IES Conde Diego Porcelos 1 Funciones y características 4º ESO DEFINICIONES: Una función es una relación o correspondencia entre dos magnitudes o variables x e y, de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. · Variable independiente: x, es la variable cuyos valores se fijan previamente. · Variable dependiente: y = f(x), es la variable que depende de los valores que toma la x. Una función puede estar definida mediante una tabla, por una gráfica, o bien, por una fórmula. Se llama dominio de definición de una función al conjunto de valores que puede tomar la x, es decir, a los valores de la x para los que existe función. Se designa por Dom (f). La imagen o recorrido de una función es el conjunto de valores que toma la variable dependiente, se designa por Img (f). Ejemplos: Halla el dominio y la imagen de las funciones cuya gráfica se representan a continuación. En este caso: Dom(f) = [1, 13] e Img(f) = [6, 26] En este caso: Dom(f) = R – {0} Img(f) = R – {0} En este caso: Dom(f) = [-1, 1] Img(f) = [0, 1]
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Funciones y características 4º ESO
DEFINICIONES:
Una función es una relación o correspondencia entre dos magnitudes o variables x e y, de manera que a cada valor
de x le corresponde un único valor de y.
· Variable independiente: x, es la variable cuyos valores se fijan previamente.
· Variable dependiente: y = f(x), es la variable que depende de los valores que toma la x.
Una función puede estar definida mediante una tabla, por una gráfica, o bien, por una fórmula.
Se llama dominio de definición de una función al conjunto de valores que puede tomar la x, es decir, a los valores
de la x para los que existe función. Se designa por Dom (f).
La imagen o recorrido de una función es el conjunto de valores que toma la variable dependiente, se designa por
Img (f).
Ejemplos: Halla el dominio y la imagen de las funciones cuya gráfica se representan a continuación.
En este caso:
Dom(f) = [1, 13] e
Img(f) = [6, 26]
En este caso:
Dom(f) = R – {0}
Img(f) = R – {0}
En este caso:
Dom(f) = [-1, 1]
Img(f) = [0, 1]
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Vamos a la página 94 del libro y vamos haciendo distintos ejercicios:
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n g(x)
Primero antes de continuar os recuerdo lo que es el dominio y el recorrido de una función
Ahora vamos hacer una serie de ejercicios de dominios de libro de algunas funciones como
las que aparecen aquí abajo:
DOMINIOS DE ALGUNAS FUNCIONES:
o Una función polinómica, f(x) = P(x), es aquella función definida mediante un polinomio. Su dominio es
el conjunto de los números reales R.
o Una función racional, f(x) = P(x)
, es aquella función definida mediante un cociente de polinomios. Q(x)
Su dominio es el conjunto de los números reales excepto los valores de x que anulan al denominador.
o En una función dada por radicales, f(x) = , el dominio viene dado por el índice n:
· Si n es par, el dominio de estas funciones es donde sea positivo el radicando.
· Si el índice n es impar, el dominio coincide con el dominio del radicando.
Os explico alguno de estos ejercicios y el resto les haces por tu cuenta:
a) Calcular el dominio de
Si damos cualquier valor a la x siempre obtendremos el valor de la y.
Para x = 7 y = 1/7-3 y = ¼
Para x = -7 y = 1/-7-3 y = 1/-10
Por lo tanto “aparentemente” pertenece al dominio de esta función cualquier número
porque al sustituirle en la función siempre se obtiene otro.
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Sin embargo para este tipo de funciones en las que hay un polinomio en el
denominador, NO pertenecen al dominio de la función los valores de x que “anulan el
denominador”.
¿Quién anula en este ejemplo el denominador? Pues x = 3. ¿Por qué no pertenece al
dominio x = 3 ?. Porque 1
3−3=
1
0 (𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 )
El dominio son por tanto todos los números reales menos x=3.
Esto en matemáticas se expresa así Dom y = R - {3}
b) Calcular el dominio de
Para calcular los valores que NO pertenecen al dominio de la función igualamos el
denominador 2x + 10 = 0 espejamos la x y nos queda x = -5.
Si sustituimos x = -5 en la función nos queda 15
0 (𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 )
Por lo tanto el dominio de la función son todos los números reales menos x = -5
Dom y = R - {−5}
c) Calcular el dominio de
Si hacemos lo mismo con este ejercicio (igualamos el denominador a cero)
X2 + 1 = 0 es una ecuación de segundo grado sin solución, por lo tanto no hay números
que anulen el denominador. Por consiguiente:
Dom y = R (todos los números reales).
e) Calcular el dominio de
Si igualamos x2+ x – 6 = 0 es una ecuación de segundo grado donde x = -3 y x = 2
Por lo tanto Dom y = R - {−3, 2}, es decir, todos los números reales excepto 2 y -3
ya que anulan el denominador al sustituirles en la función.
¿Habéis entendido?
Ahora vamos hacer ejercicios de calcular los dominios de funciones en las que la x está
dentro de una raíz.
Si la raíz es de índice par (2,4,6,…) descartamos del dominio los valores de la x que hacen
que el radicando (lo que está dentro de la raíz) sea negativo. Ya sabes que no existen las
raíces de un número negativo si el índice es par.
Si el índice de la raíz es impar cualquier valor de la x vale porque siempre existen las
raíces de números positivos o negativos.
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Veamos ejemplos de esto:
g) Calcular el dominio de y = √𝑥 + 7
Como el radicando está dentro de una raíz cuadrada descartamos los valores de la x
que hacen que x + 7 sea negativo. Al dominio solo pertenecen los números que hacen
el radicando positivo. Es decir hay que resolver la inecuación:
x + 7 ≥ 0 , es decir , x ≥ -7
¿Quiénes son los números mayores o iguales que -7? . Pues el intervalo [-7 , ∞).
El dominio de esta función son todos los números reales incluidos en el intervalo
[-7,∞). Dom y = [-7 , ∞)
i) Calcular el dominio de y = √3𝑥 − 9
Como el radicando está dentro de una raíz cuadrada descartamos los valores de la x
que hacen que 3x - 9 sea negativo. El dominio son los números que hacen el
radicando positivo. Es decir, hay que resolver la inecuación
3x - 9 ≥ 0 ; 3x ≥ 9 ; x ≥ 9/3 ; x ≥ 3
¿Quiénes son los números mayores que 3? . Pues el intervalo [3 , ∞)
El dominio de esta función son todos los números reales menos el intervalo [3 , ∞)
Dom y = [3 , ∞)
k) y = √3𝑥 − 43
Como el radicando está dentro de una raíz cúbica (índice impar) demos el valor que
demos a la x siempre existe la raíz cúbica. Existen las raíces cúbicas de números
positivos o negativos, en consecuencia Dom y = R (todos los números reales).
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Veamos como calculamos los dominios de funciones de raíces de índice par donde el
radicando es un polinomio de segundo grado.
Para ello os tenéis que acordar como se resolvían en el primer trimestre las inecuaciones
de segundo grado.
Veamos el ejercicio a)
a) Calcular el dominio de la función y = √𝑥2 − 9
Lo mismo que hemos hecho en los ejercicios anteriores, los valores de x que
pertenecen al dominio de la función son los que hacen que el radicando 𝑥2 − 9 sea
positivo.
Es decir, tenemos que resolver la inecuación 𝑥2 − 9 ≥ 0
¿Cómo se resuelve una inecuación de 2º grado?
1. Se calculan las raíces del polinomio 𝑥2 − 9 que en este caso son x = 3 y
x = -3
2. Luego hacemos la tabla:
-∞ -3 3 ∞
𝑥2 − 9 + - +
Por lo tanto el dominio de la función son los intervalos positivos:
Dom y = [-∞ , -3) U [3, ∞)
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b) Calcular el dominio de la función y = √𝑥2 + 6𝑥 − 7
Lo mismo que hemos hecho en los ejercicios anteriores, los valores de x que
pertenecen al dominio de la función son los que hacen que el radicando 𝑥2 + 6𝑥 − 7
sea positivo.
Es decir, tenemos que resolver la inecuación 𝑥2 + 6𝑥 − 7 ≥ 0
¿Cómo se resuelve una inecuación de 2º grado?
1. Se calculan las raíces del polinomio 𝑥2 + 6𝑥 − 7 que en este caso son
x = 1 y x = -7
2. Luego hacemos la tabla:
-∞ -7 1 ∞
𝑥2 + 6𝑥 − 7 + - +
Por lo tanto el dominio de la función son los intervalos positivos:
Dom y = [-∞ , -7) U [1, ∞)
c) Calcular el dominio de la función y = √−𝑥2
Lo mismo que hemos hecho en los ejercicios anteriores, los valores de x que
pertenecen al dominio de la función son los que hacen que el radicando −𝑥2 sea
positivo.
Es decir, tenemos que resolver la inecuación −𝑥2 ≥ 0
¿Cómo se resuelve una inecuación de 2º grado?
1. Se calculan las raíces del polinomio −𝑥2 que en este caso es x = 0
2. Luego hacemos la tabla:
-∞ 0 ∞
−𝑥2 - +
Por lo tanto el dominio de la función es el intervalo positivo:
Dom y = [0, ∞)
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CONTINUIDAD:
Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo. Los puntos donde la gráfica se interrumpe
se llaman puntos de discontinuidad.
a) b) c)
Por ejemplo, la función “a” es discontinua en x = 0 porque no está definida (no existe) en ese punto. La función “b”
es discontinua en todos los números enteros porque salta en cada uno de ellos. Y la función “c” es continua.
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CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO, MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Una función es creciente cuando al mirar su gráfica de izquierda a derecha, la gráfica sube. Una función es
decreciente cuando al mirarla de izquierda a derecha, baja. Una función es constante cuando ni sube ni baja. Una
función no tiene por qué ser entera de la misma forma, puede tener intervalos crecientes, intervalos decrecientes y
otros intervalos en los que sea constante.
Se dice que una función tiene un Máximo relativo en x = a, si el valor de la función en ese punto es más alto que
en un entorno alrededor suyo. En este caso, la función pasa de creciente a decreciente.
Se dice que una función tiene un Mínimo relativo en x = a, si el valor de la función en ese punto es más bajo que
en un entorno a su alrededor. En este caso la función pasa de decreciente a creciente.
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Se dice que una función tiene un máximo absoluto en x = a si en ese punto el valor de la función es el más alto de
toda la gráfica. Igualmente, una función tiene un mínimo absoluto en x = a si en ese punto la función tiene el valor
más bajo de toda la gráfica.
Ejemplos:
a)
b)
Veamos ahora una serie de ejercicios resueltos del libro de la página 95 del libro:
En esta función vemos que hay un máximo relativo
en x = -1 (y vale 2), hay un mínimo relativo en x = 1
(y vale -2) y no hay ni máximo ni mínimo absolutos.
En esta función vemos que hay un mínimo relativo en x = -2
(que vale -2), que además es absoluto, hay un máximo relativo
en x = 0 (que vale 2), que también es absoluto, hay otro
mínimo relativo en x= 2 (y vale -1) y otro máximo relativo en
x =4 (y vale 1)
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De la página 99 del libro:
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PERIODICIDAD y TENDENCIA:
Si observamos la gráfica de esta función, vemos que hay un dibujo básico que se va repitiendo a los largo de los
ejes coordenados. Esto quiere decir, que los valores de la función se van repitiendo. Cuando esto ocurre se dice que
la función es periódica. Se llama periodo, y se designa por la letra T, a la longitud de la figura básica que se repite.
En el ejemplo, el periodo vale T = 4. Podemos ver que la función en 1 vale lo mismo que en 5, y valdrá lo mismo que en
9, y así sucesivamente.
Ejemplo:
Estudia la periodicidad de la siguiente función:
x
Podemos observar que esta función es periódica de periodo T = 1
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Si observamos la gráfica de abajo vemos que a medida que pasa el tiempo la gráfica se estabiliza en una velocidad
de 55 m/s
Hay funciones en las que aunque solo conozcamos un trozo de ellas, podemos predecir como se comportarán lejos
del intervalo en que han sido estudiadas, porque tienden hacia un valor cuando la variable independiente tiende hacia
un valor muy grande (∞) o tiende a un valor muy pequeño (-∞).
Este valor al que tiende la función se llama TENDENCIA.
