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Notas de aula --- Parte II
FUNES DE VRIAS VARIVEIS
Escritas pelo Professor Wilson Canesin
Utilizada na disciplina Matemtica C para o curso de Cincias Aeronuticas da UniversidadeBraz Cubas
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Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da Silva
Universidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 18
1- FUNES DE VRIAS VARIVEIS
Em muitas situaes prticas, o valor de uma certa quantidade,
depende dos valores de duas outras ou de trs outras. Ento, usualrepresentar estas relaes como funes de vrias variveis.Por exemplo, numa fbrica, uma quantidade chamada de
produo (P), depende do nmero de homens-hora (L) e do nmerode mquinas (K) , usadas para produzir algum produto. Arepresentao funcional dessa relao
P = f( L, K)
O mesmo conceito se estende para qualquer nmero devariveis.
1.2 Funes de duas variveisSeja D um subconjunto (regio) do espao R2 (plano) . Chama-
se funo f de D toda relao que associa, a cada par (x,y) D, umnico nmero real, representado por f(x,y). O conjunto D o domnioda funo.Assim,D o domnio da funo em R2 ,f a funof(x,y) o valor da funo calculado em (x,y).
Exemplos de valores de funo de 2 variveis:Ex.1- se f(x,y) = x2 + 2y , ento f(2,3) = 22 +2.3 = 10Ex.2- f(x,y) = (3x+y3)1/2 f(1,2) = (3.1+23)1/2 = 3,32
Domnio das funes de duas variveisO domnio dessas funes segue as mesmas regras do domnio
de funes de uma varivel, ou seja, o domnio a regio D R2 , talque os valores calculados da funo,para todo (x,y) D resultem emvalores finitos e reais para f(x,y).
Ex.1 - Achar o domnio da funo f(x,y) = x y A condio de existncia dessa funo y-x0 (real) , portanto o seudomnio D ={ (x,y) R2 / y - x 0 }.
yx
z
(x,y) D
f(x,y)
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Ex.2 Ache o domnio da funo f(x,y) = y x
x2
2
, a funo finita
quando 2x-y 0. Assim, domnio D (xy) o conjunto de pontos, taisque,
D ={ (x,y) R2 / y 2x }.
Ex.3 - Ache o domnio da funo f(x,y) = y x
x32 , a funo finita
quando 3x - y > 0. O domnio o conjunto de pontos, tais que,
D ={ (x,y) R2 / 3x - y > 0 }.
1.3 - Grfico de uma funo de 2 variveis
J vimos que para as funes de uma varivel, o grfico noplano x,y e y=f(x).Para funes de 2 variveis o grfico em R3 e z = f(x,y). Uma
funo de 2 variveis sempre gera uma superfcie no espao R3.
y
z
xD
D
A superfcie obtidapara cada par x,y ,fixando um valor dex e variando y, emseguida fixa um 2o valor de x e varia y ,depois fixa um 3o x evaria y ,etc., atvariar x e y em todoo domnio.
Y
X Y0 00 10 20 31 0
1 11 21 32 02 12 22 33 03 1... ...
X
Z
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Exemplos de funes de 2 variveis:
Ex.1 A funo z = f(x,y) = 5
Ex.2 - A funo z = f(x,y) = 6 2 x + 3 y . Esta funo pode serescrita na forma 2x 3y + z = 6 que a equao de um plano. Paraachar os pontos onde este plano intercepta os eixos, so fazer :
a) x =0 e y =0 z = 6b) x =0 e z = 0 y = 2c) y =0 e z = 0 x = 3
X
Y
5
Z
A superfcie umplano infinito, paraleloa x,y e passando porz=5
X
Y
Z
(3,0,0)(0,2,0)
(0,0,6)
Portanto, o grfico de f noplano
Z
Y
X
A superfcie um parabolidede revoluo.
A superfcie gerada uma semi-esfera
de centro na origem.
Z
Y
X
Ex. 4 - A funo z = f(x,y) = 221 y x
Ex.3 A funo z = f(x,y) = x2 + y2
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1.4 Limite e Continuidade de Funes de 2 Variveis
O limite da funo f(x,y), quando (x,y) tende para um valor
(x0,y0), o nmero L (se existir) e representado por),(),(
),(
00 y x y x
L y x f mil
=
Se o limite existir (resultar em um valor finito e real) no ponto (x0 , y0),dizemos que a funo contnua neste ponto. Caso contrrio afuno ser descontnua no ponto. O mesmo vlido para umintervalo, isto , a funo contnua num intervalo quando o limiteexiste em todos seus pontos desse intervalo. Em geral fcil verificara continuidade das funes, por simples inspeo da mesma.
Nas funes abaixo o limite existir sempre,com exceo nasrestries.
Ex. 1 f(x,y) = x2 + y2 xy , contnua para todo par x,y
Ex.2 f(x,y) = x3y2 xy + y3 + 6, contnua x , y
Ex.3 f(x,y) = 1
22
+
y x y x
contnua x.y 1 ou y 1/x
Ex. 4 f(x,y) = y x y x
+
contnua se x y
X
y
D
X
y
D
y = x
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Ex.5 f(x,y) = ln(x-y) contnuax,y tal que x - y > 0ou y > x
Ex.6 f(x,y) =22
1 y x contnua se 1-x2
-y2
0 ,ou x2
+y2
1
Ex.7 f(x,y) = x y / 1 a funo contnua se y 1/x 0 , y 1/xQue resulta no grfico:
y > xy
x
x
y
D
O domnio umacircunferncia decentro na origeme de raio r 1
y
x
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1.5 Derivadas de Funes de 2 Variveis
A definio de derivada parcial de uma funo de 2 variveis a
mesma que a de funes de uma varivel. A nica diferena aqui que , como se tem duas variveis , uma delas deve ser mantida fixaenquanto se d acrscimos para a outra. Assim, seja a funo f(x,y) ,sua derivada em relao a x
),(),( y x f y x x f f += incremento da funo
x y x f y x x f
x f
+=
),(),( taxa de variao da funo
Analogamente , se mantivermos agora o valor de x constante aderivada parcial em relao a y
1.6 Interpretao geomtrica da derivada parcial
Nas funes de uma varivel, a derivada mede a inclinao dareta tangente curva no ponto dado. Nas funes do tipo f(x,y) deduas variveis, a derivada em relao a x, mede a inclinao da retatangente superfcie, no ponto dado (x0 ,y0,z0) e numa seo paralelaao eixo x, com y constante, e numa seo paralela a y e com xconstante.
),( y x f x f
x f
x==
Derivada parcial em x
y0 yx0x
z
Assim,
tan = fx(x0,y0) = f / x
tan = fy(x0,y0) = f / y
l i mx0
0 ymil ),( y x f
y
f
x
f y=
=
Derivada parcial em y
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TABELA DE DERIVADAS (adaptada p/derivadas parciais)
Nmero Funo f = f(x,y) Derivada f s = f/ s , s = x,y
1 f = k ( k = constante) f s = 0 (derivada de 1 const.)
2 f = x ou f = y f s = 1 s = x ou y
3 f = u n ; u = f(x,y) Ds un = n u n-1 us , u s=u/ (x,y)
4 f = n mu Dsn msn m u
unum
u =
5 f = ln u Ds ln u =u
u s
6 f = lg a u Ds lga u =au
u sln
7 f = a u Ds au = a u lna u s
8 f = e u Ds eu = e u us
9 f = u v f s = v u s + u v s
10 f = u / v , u s=u/ (x,y) f s =(v u s u v s ) / v 2
11 f = senu f s = cosu .u s
12 f = cosu f s = -senu .u s
13 f = tanu f s = sec2u .u s
14 f = secu f s = secu.tanu.u s
15 f = cscu f s = -cscu.cotu.u s
16 f = cotu f s = -cotu.cscu.u s
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1.6.1- A tcnica de Derivadas Parciais
A derivada parcial em relao a "x" , considera y como
constante, enquanto que a derivada parcial em relao na "y"considera x como constante.
fx = f / x y=constante
fy = f / y x=constante
Ex.1 - Derivar a funo f(x,y) =3 x3y2
fx = (3x3
y2
) / x = 9x2
y2
fy = (3x3
y2
) / y = 6x3
y
Ex.2 - Derivar a funo f(x,y) = x2 + y2
fx = ( x2 + y2) / x = 2x fy = (x2 + y2) / y = 2y
Ex.3 - Derivar a funo f(x,y) =x /( x2 + y2 )
f = u / v , u =x e v = x 2 + y 2 f s = [ v u s u v s ]/v 2
fx =[(x2 + y 2).1 x. 2x]/( x 2 + y 2)2 = (y 2-x2)/(x 2 + y 2)2
fy =[(x2 + y 2).0 x. 2y]/( x 2 + y 2)2 = -2xy/(x 2 + y 2)2
Ex.4 Calcular a inclinao da reta tangente interseo dasuperfcie z = 4 x2 y -xy3 , com o plano y=2 no ponto (3,2 ,48).Soluo: Para derivar em relao a x, mantm y constante.
332 8)()4( y y x y x x
y x x x
z =
=
mas no ponto x=3 e y=2 , tem-se
tan = )2,3( x f
= 40 = tan-1(40) = 88,57
Ex. 6 Calcular a inclinao da tangente interseo da superfciez = x3 + y2 +2xy, com plano y = 1 no ponto (1,1,4).
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x f
= 3x2 + 2y
tan = )1,1( x
f
= 5 = tan-1(5) = 78,69
Ex. 7 Achar as derivadas parciais da funo f(x,y) =( x2 + y3).senx
x f
=
xvu
).( =
xv
uv xu
+
.. = 2x.senx + ( x2 + y3).cosx
y f
=
yvu
).( =
yv
uv yu
+
.. = 3y2.senx + ( x2 + y3).0 = 3y2.senx
1.7 Diferencial total de uma funo de 2 ou mais variveis
A condio para que uma funo seja diferencivel que suasderivadas parciais existam. Assim, dada a funo z = f(x,y) , suadiferencial total :
dy y f
dx x f
zd +
=
Ex.1 diferenciar a funo z = 3x3y2 2xy3 +xy 1
x f
= 9x2y2 2y3 +y e
y f
= 6x3y 6xy2 + x
assim, a diferencial da funo
df = (9x2y2 2y3 +y ) dx + (6x3y 6xy2 + x) dy
A funo de vrias variveis diferencivel se suas derivadas parciaisforem contnuas. A diferencial de uma funo F(x1,x2,...xn) de nvariveis :
dF = 11
dx xF
+ 2
2
dx xF
+......+ n
n
dx xF
=
= n
ii
i
dx xF
1
Ex.2 -Calcule a diferencial da funo F(x,y,z) =2x+3xy-2zy
Fx = 2+3y ; Fy = 3x-2z ; Fz = -2y
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dF = (2+3y) dx +(3x-2z)dy 2ydz
1.8 Derivada de funes compostas
Seja a funo f(x,y) onde por sua vez x = x(t) e y = y(t) . Aderivada desta funo em relao a t
t d yd
y f
t d xd
x f
t d f d
+
=
Ex.1 Calcular a derivada da funo F(x,y) = x2 + 3y 5 ,
onde x(t) = et
e y(t) = t3
.a) A funo pode ser posta em funo de t , F(t) = e2t +3t3 5
E a derivada dF/dt = 2 e2t + 9t2
b) Calcula-se pelas derivadas parciais
x f
= 2x ;
y f
= 3 ; =
t d xd et ; =
t d yd 3t2
Assim
t d F d = 2x.et + 3.3t2 = 2 et + 9t2
Se a funo tiver mais de 2 variveis, f(x1,x2,...xn), onde x1(t),x2(t),...xn(t) , so funes de t, ento a sua derivada em relao a t dada pela regra da cadeia
t d xd
x f
dt df i
n
i= = 1 = t d xd x f t d xd x f t d xd x f n
n+++
...22
1
1
Ex.2 Dada a funo f(x,y,z) = 2x+3y-2z , onde x=sent, y=et e z =t2
fx = 2 , fy = 3 , fx = -2 , dx/dt =cost ; dy/dt =et ; dz/dt = 2t
t et t d
f d t 4.3cos.2 +=
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Exerccios propostos: achar as derivadas df/dt
1) f(x,y,z) =x+x2
y+3xyz , com x=sent ; y= cost e z= t3
2) f(x,y,z) =ex+y+z , com x=t2 ; y= t3 e z = t-13) f(x,y,z) =x2y+3yz2 , com x=1/ t ; y= 1/ t2 e z =1/ t3
1.9 Derivada de uma funo implcita de 2 ou mais variveis
Uma funo est na forma implcita, quando no est resolvidapara uma varivel especfica. As funes resolvidas para uma varivelso chamadas de explcitas. Exemplo, y = f(x), z = f(x,y) . Na formaimplcita seria f(x,y)=0, f(x,y,z) =0, etc.
A derivada de uma funo implcita do tipo f(x,y)=0, em relao ax
0=+
dxdy
y f
dxdx
x f 0=
+
dxdy
y f
x f
ou,
Ex.1 Derivar a funo f(x,y) = 2x2 + 5y3 + 2 =0 usado, diretamente afrmula acima,
2154 y
x
y f x f
dxdy =
=
Ex.2 Derivar a funo f(x,y) = 4y2 6xy = 0
x y y
y f x f
dxdy
686
=
=
Para mais de 2 variveis, F(x,y,z) = 0 . Fazendo u = f (x,y,z) ediferenciando, e aps algumas consideraes teremos
y
x
f f
y f x f
dxdy =
=
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Ex.3 - Achar as derivadas x z e y z , da funo x2+y3- z=0.Soluo;
z f x f
x z
=
= x x 21
2 =
z f y f
y z
=
= 22
31
3 y
x =
Exerccios propostos: Derivar as funes implcitas e achar x z e y z , nas expresses abaixo
1) 2 x3- 4 y2 6 z = 0
2) x2 + xy2 + xyz3 3 =0
1.10 Derivadas parciais de segunda ordem
Se f uma funo de duas variveis x e y, suas derivadasparciais so fx =f / x e fy = f / y . Se derivarmos essas derivadasmais uma vez, obteremos as derivadas parciais de segunda ordem,que so representadas por
2
2
x
f f xx
= , y x
f f xy
=2
, x y
f f yx
=2
, x y
f f yy
=2
Quando a funo e suas derivadas so contnuas, as derivadascruzadas so iguais , ou seja f xy = fyx .
Ex.1 Calcular as derivadas de f(x,y) = 4x2 +3y2 6xy
fx =f / x = 8x 6y e fy = f / y = 6y 6x
z
x
f f
z f x f
x z =
=
e z
y
f
f
z f y f
y z =
=
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2
2
x f
f xx = = 8 ; ;
x y f
f yx =
2
= -6
y x f
f xy =
2
= -6 ; x y
f f yy
=2
= -6
EX.2 - Calcular as derivadas de f(x,y) = e2x+5y
fx =f / x = 2e2x+5y fy = f / y = 5e2x+5y
2
2
x f
f xx = = 4e2x+5y ;
x y f
f yx =
2
= 10e2x+5y
y x f
f xy =
2
= 10e2x+5y ; x y
f f yy
=2
= 25e2x+5y
EX.3 - Calcular as derivadas de f(x,y) = ln(x2+y2)
fx =f / x = 222
y x x+
; fy = f / y =V U
y x y =+ 222
2
2
x f
f xx = =
2
..V
V U U V x x =222
22
)()(2
y x x y
+ ;
x y f
f yx =
2
=222 )(
4 y x
xy+
y x f
f xy =
2
=2
..
V
V U U V y y =222 )(
4 y x xy
+ ;
x y f
f yy =
2
=222
22
)()(2
y x y x
+
Note que f xy = fyx
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1.11 Derivadas Parciais de Funes de Vrias Variveis
As derivadas parciais tm a mesma definio j vista para 2 variveis
e so representadas da mesma forma.Exemplos:
1) f(x,y,z) = x2 + y3 +z2x
fx = 2x+z2 ; fy = 3y2 ; fz = 2zx
2) f(x,y,z,t) = ln( 2x + 3y - z2 + t2 )fx = 2232
2t z y x ++
; fy = 22323
t z y x ++
fz = 22322
t z y x z
++ ; ft = 2232
2t z y x
t ++
Exerccios propostos - Derivar as funes:1) f(x,y,z) = 3x+5y-6z2) f(x,y,z) = 2xy+2xz+3yz
3) f(x,y,z) = z x y x
+
4) f(x,y,z) = xyz 5) f(x,y,z) = (x2+2y-3z)3 6) f(x,y,z,t) = 2x-3zt7) f(x,y,z,t) =ln(3x2+5y2-zt3)
1.12 Derivadas de Ordem Superior
Seja a funo f de n variveis x,y,z,...r,s,t . As suas derivadas de
ordem superior so calculadas a partir de suas primeiras derivadas.fx ,fy,...fr,fs,ft , ou seja fxx ,fxy,...fxt ; fyx,fyy,...,fys,fyt , etc.
Ex.1 f(x,y,z) = x2 + 4xy2 3y2z3
fx = 2x + 4y2 ; fxx =2 ; fxy= 8y ; fxz = 0
fy = 8xy 6yz3 ; fyx = 8y ; fyy= 8x 6 z3 ; fyz =-18yz2
fz = -9y2z2 ; fzx = 0 ; fzy = -18yz2 ; fzz = -18y2 z
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Ex.2 Calcule as derivadas de ordem superior da funo :
f(x,y,z) = ln(xy2z3) .Lembrando que Ds lnu = us /u e Dsun =unn-1us
fx = y2z
3/ xy
2z
3=1/x ; fxx = )(
1
x x = -1.x-2
= -1/x2
fxy = 0 ; fxz = 0
fy = 2xyz3 /xy2z3 = 2 / y ; fyx = 0 ; fyy = )2( 1
y y
= -2y-2 = -2 / y2
fyz = )2( 1
y z
= 0
fz = 3xy2z2 / xy2z3 = 3 / z ; fzx = 0 ; fzy = 0 ; fzz = -3 /z2
EXERCCIOS -Derivar as funes a seguir (c/respostas)
1) f(x,y,z)=2xy+3xz+4yz Resp. fx =2y+3z , fy = 2x+4z , fz=3x+4yfxx=0 ; fxy=2 ; fxz=3fyx=2 ; fyy=0 ; fyz=4fzx=3 ; fzy=4 ; fzz = 0
2) f(x,y,z) = z y y x + ; fx= 1/(y-z) ; fy=-(z+x)/(y-z)2 ; fz=(x+y)/(y-z)2 fxx=0 ; fxy=-1/(y-z)2 ; fxz=1/(y-z)2 ;fyx=-1/(y-z)2 ; fyy=2(z+x)/(y-z)3 ;fyz=(2x+y-z)/(y-z)3; fzx=1/((y-z)2 ; fzy= fyz ; fzz =2(x+y)/(y-z)3
3) f(x,y,z)=(x+2y+3z)3 ;fx=3(x+2y+3z)2 ; fy=6(x+2y+3z)2 ;fz=3(x+2y+3z)2
;fxx= 6(x+2y+3z) ; fxy= 12(x+2y+3z) ; fxz= 18(x+2y+3z) fyx= 12(x+2y+3z)
;fyy=24(x+2y+3z) ; fyz= 36(x+2y+3z) ; fzx= 6(x+2y+3z) ; fzy= 12(x+2y+3z)
; fzz= 18(x+2y+3z) .4) f(x,y,z)= xyz =(xyz)1/2 ; fx=(1/2).yz(xyz)-1/2 ; fy=(1/2).xz(xyz)-1/2
fz =(1/2).yx(xyz)-1/2 ; fxx=(-1/4)(yz)2(xyz)-1/2 ;
fxy= (1/2)z(xyz)-1/2-(1/4)(yz)2(xyz)-1/2; fxz=(1/2)y(xyz)-1/2-(1/4)(yz)2(xyz)-1/2 ;
fyx=(1/2)z(xyz)-1/2-(1/4)(xz)2(xyz)-1/2 ;fyz= (1/2)x(xyz)-1/2-(1/4)(xz)2(xyz)-1/2 ;
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fzx=(1/2)y(xyz)-1/2-(1/4)(yx)2(xyz)-1/2;fzy= (1/2)x(xyz)-1/2-(1/4)(yx)2(xyz)-1/2 ;
fzz=(1/2)(yx)2
(xyz)-1/2
.
5) f(x,y,z,t) = ln(2x2+y2-zt2) ; fx=4x/(2x2+y2-zt2) ; fy=2y/(2x2+y2-zt2)
fz= -t2 /(2x2+y2-zt2) ; ft=-2zt/(2x2+y2-zt2) ;fxx=4(y2-zt2)/( (2x2+y2-zt2)2;
fxy=-8xy/( (2x2+y2-zt2)2 ; fxz=4xt2 /( (2x2+y2-zt2)2 ; fyx=-8xy/(2x2+y2-zt2)2;
fyy=(4x2-2y2-2zt2)/(2x2+y2-zt2)2 ; fyz=2yt2 /(2x2+y2-zt2)2;
fzx=4xt2 /( (2x2+y2-zt2)2 ; fzy= 2yt2 /(2x2+y2-zt2)2 ; fzz=-t4 /(2x2+y2-zt2)2
6) f(x,y,z) = sen(x2+xy+yz2) ; fx = -(2x+y)cos(x2+xy+yz2) ;
fy=-(x+z2)cos(x2+xy+yz2) ; fz=-2yzcos(x2+xy+yz2);
fxx = -2.cos(x2+xy+yz2)+(2x+y)2sen(x2+xy+yz2)
fxy = -cos(x2
+xy+yz2
)+(2x+y)(x+z2
)sen(x2
+xy+yz2
)fxz = 2yz(2x+y)sen(x2+xy+yz2) ; fyy= (x+z2)2sen(x2+xy+yz2)fyx= fxy ; fyz = -2zcos(x2+xy+yz2)+2yz(x+z2)sen(x2+xy+yz2) ;fzx=fxz ; fzy =fyz ; fzz =-2ycos(x2+xy+yz2)+(2yz)2sen(x2+xy+yz2)
7) f(x,y,z) =322 z y xe ++ ; fx=2x
322 z y xe ++ ; fy=2y322 z y xe ++ ; fz=3z2
322 z y xe ++
fxx=2322 z y xe ++ +4x2
322 z y xe ++ ; fxy=4xy322 z y xe ++ ; fxz=6xz2
322 z y xe ++
fyx=fxy ; fyy=2
322 z y x
e++
+ 4y2 322 z y x
e++
; fyz= 6yz2 322 z y x
e++
fzx=fxz ; fzy=fyz ; fzz = 6z322 z y xe ++ +9z4
322 z y xe ++
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1.13 Mximos e mnimos para funes de duas variveis
Uma importante aplicao do estudo de derivadas parciais, a
da otimizao de funes. Otimizar uma funo, significa encontrarseu desempenho mximo ou mnimo. Como para as funes de umavarivel, quando as derivadas primeiras forem nulas, teremos pontosextremos que podem ser mximos ou mnimos. Para saber de que tiposo esses pontos, teremos de utilizar o determinante Hessianocalculado no ponto (x0,y0 ), que definido a seguir.
H(x0,y0 ) =),( 00 y x
yy yx
xy xx
f f
f f
Assim ,
Se as derivadas fx e fy forem nulas, o ponto(x0,y0) um extremo, e
a) H(x0,y0 )>0 e fxx(x0,y0)+ fyy(x0,y0) 0 e fxx(x0,y0)+ fyy(x0,y0) >0 ento (x0,y0) um mnimo.
c) H(x0,y0 )
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Ex.1 Para o projeto de uma calha, tem-se uma folha metlica de 12cmde largura, a qual deseja-se dobrar de forma a se ter uma capacidademxima.
A rea da seo da calha a rea do retngulo, mais a rea dos doistringulos.
A = f = (1/2).xcos.xsen. 2 + x sen.(12-2x) (a)
f(x,) = x2 cossen + 12xsen -2x2sen
Estudar os extremos (mximos e mnimos) da funo.fx = ( f / x) = 2xsencos + 12sen - 4xsen=0
2xcos = 4x 12 ou cos = 2-6/x
f = ( f / ) = x2 cos2 + 12xcos - 2x2 cos=0
= x ( 2cos2 - 2cos-1)+12cos
substituindo o valor cos = 2 6/x na 2a equao eresolvendo, encontra-se x = 4 que resulta cos =2-6/4=1/2
cos = = 60o
O resultado to razovel, que omitimos o teste das 2as
derivadas,tambm p causa do trabalho que estas dariam. Mas para ter certezapodemos calcular a rea (a) para valores de x e abaixo e acimadestes e confirmaremos se a capacidade ou no mxima.
sen2 = 2sen cos =2 cos 2 - 1
cos2 =cos 2 - sen 2
= 2cos2
-1
xx
x sen y cos
12-2x
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X Y, Z,
Ponto de mximo: (x,y) = ( 4, 60 )
0 5 10 15 20
05
1015
20
0
5
10
15
20
XYZ
193
194
195
196197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
4 6 3.336
4 12 6.58
4 18 9.647
4 24 12.4534 30 14.928
4 36 17.013
4 42 18.662
4 48 19.846
4 54 20.553
4 60 20.785
4 66 20.562
4 72 19.919
4 78 18.904
4 84 17.576
4 90 16
=
Ex.2 Achar os extremos da funo
f(x,y) = sen[0,0225(x2
+y2
) 0,45(x+y) + 4,5].Calculando as primeiras derivadas , tem-se:
fx = cos[0,0225(x2+y2) 0,45(x+y)+4,5].(0,045 x 0,45) = 0
fy = cos[0,0225(x2+y2) 0,45(x+y)+4,5].(0,045 y 0,45) = 0
Como o cos(...) diferente de zero(para no dar uma soluo nula)ento quem deve ser zero so : 0,045 x 0,45 = 0 , e 0,045 y 0,45 =
0 , que resulta x = 10 e y =10 .Para verificar se o ponto de mximo ou de mnimo calcula-se assegundas derivadas.
fxx = - sen(...).(0,045. x - 0,45)2 + cos(). 0,045fyy = - sen(...).(0,045. x - 0,45)2 + cos(). 0,045
Ento, calculando-se essas derivadas no ponto x = y =10, tem-se:fxx + fyy > 0 que corresponde a um ponto de mnimo da funo.
mximo
1007550
25
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Substituindo os valores x = y = 10 na funo f(x,y) vemos que vai darzero, e portanto a funo tem um mnimo nesse ponto. Isso confirmado pelo grfico tridimensional da funo.
MGrfico 3D da funo seno
0 5 10 15
05
10
15
0.5
0
0.5
Ex.3 Achar os extremos da funo, com os mesmos valores doexemplo 2, para uma exponencial.
f(x,y) = 5,4)(45,0)(0225,022 ++++ y x y xe = ef(x,y)
fx = [-0,045 x + 0,45] .5,4)(45,0)(0225,0 22 +++ y x y xe
fy = [-0,045 y + 0,45] .5,4)(45,0)(0225,0 22 +++ y x y xe
fxx = [-0,045 x+ 0,45]2. ef(x,y)+ 0,045 . ef(x,y)
fxx = [-0,045 y + 0,45]2. ef(x,y)+ 0,045 . ef(x,y)
No ponto x=y=10, tem-se:
fxx + fyy < 0
que corresponde a um ponto de mximo, conforme pode serverificado no grfico da funo.
Note que nos pontos x =10 e y=10, a funo tem um de seusmnimos.
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MGrfico 3D da funo exponencial
010
20
0
10
20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Ex.4 A temperatura T (C) em cada ponto de um painel plano dada pela equao T=16x2 +24x +40y2 . Encontre a temperatura nospontos mais quentes e mais frios da regio.
fx = ( f / x) =32x +24 ; fy = ( f / y) = 80y
Os pontos extremos so calculados para fx =0 e fy =0 , resultando
x= -3 / 4 = - 0,75 e y =0 .
H(x0,y0 ) =),( 00 y x
yy yx
xy xx
f f
f f =
)0,4 / 3(800
032
> 0
H(x0,y0 ) > 0 , fxx + fyy > 0 um ponto de mnimo.
O ponto de mnimo (x,y) = (-3/4 , 0 ), e em qualquer outroponto na vizinhana dele, a temperatura j ser maior, conformemostra o grfico da superfcie.
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X Y, Z,Ponto de mnimo: (x,y) =(-0,75 , 0)
05
1015
2005
1015
200
100
XYZ
0 1 28
9
10
1112
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
-1 1.2 49.6
-1 1.6 94.4
-1 2 152
-0.8 -2 151.04-0.8 -1.6 93.44
-0.8 -1.2 48.64
-0.8 -0.8 16.64
-0.8 -0.4 -2.56
-0.8 0 -8.96
-0.8 0.4 -2.56
-0.8 0.8 16.64
-0.8 1.2 48.64
-0.8 1.6 93.44
-0.8 2 151.04
-0.6 -2 151.36
=
Ex.5 Achar os pontos crticos da funo f(x,y) =x2 + y2 2x .
Os pontos crticos de f(x,y) , so a soluo do sistema:
fx = 2x 2 = 0 , ou x=1
fy = 2y =0 , ou y=0 , o ponto (x,y) =(1,0)Por outro lado,
fxx(1,0) = 2 , fxy(1,0) = 0 , fyx(1,0)= 0 e fyy(1,0) = 2
H(1,0) = yy yx
xy xx
f f
f f =20
02 = 4 >0
fxx(1,0) + fyy(1,0) >0 , o ponto um mnimo de f(x,y).
1.14 Mximos e mnimos (locais) de funes de vrias variveis
Seja f uma funo de n variveis x1,x2,...xn , diz-se que um pontoP0(x10,x20,...xn0) um ponto de mximo local de f(x1,x2,...xn), quandof(x10,x20,...xn0) > f(x1,x2,...xn) , para qualquer ponto P(x1,x2,...xn) vizinhode P0(x10,x20,...xn0).
mnimo
Escala em x = x-10Escala em y =y-10
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Da mesma forma, P0(x10,x20,...xn0) um ponto de mnimo localde f, se f(x10,x20,...xn0) < f(x1,x2,...xn) para qualquer ponto P(x1,x2,...xn)vizinho de P0(x10,x20,...xn0).
O ponto P0 encontrado, pela soluo das equaes:
fx1 =0 , fx2=0 , ......., fxn = 0 (tangentes superfcie no ponto)
O determinante Hessiano calculado no ponto P0 , de mximo oude mnimo, para o caso de n variveis dado por:
H(P0) =)(....)()(
................
)(....)()(
)(....)()(
000
000
000
11
12212
12111
P f P f P f
P f P f P f
P f P f P f
nnnn
n
n
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
Alm disso necessrio calcular os n determinantes
0 =1
1 = )( 011 P f x x
2 = )()()()(
00
00
2212
2111
P f P f
P f P f
x x x x
x x x x
3 =
)()()(
)()()(
)()()(
000
000
000
332313
322212
312111
P f P f P f
P f P f P f
P f P f P f
x x x x x x
xx x x x x x
x x x x x x
..................................................................
n =
)(....)()(
................
)(....)()(
)(....)()(
000
000
000
11
12212
12111
P f P f P f
P f P f P f
P f P f P f
nnnn
n
n
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
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Ento, se:
a) 0, 1, 2,...,n forem todos positivos, P0 um ponto de
mnimo de f .b) 0, 1, 2,...,n so alternadamente positivos e negativos, P0
um ponto de mximo de f.
Ex.1 Achar os pontos crticos da funo f(x,y,z) = x2 + y2 + z2 everificar se so de mximos ou de mnimos.
H(0,0,0) =200
020
002
= 8
0=1 ; 1= 2 = 2 ; 2 = 2002
= 4 ; 3 =200
020
002=8
todos positivos , logo, o ponto P0 (0,0,0) um ponto de mnimo de f.
Ex.2 Estudar a funo f(x,y,z) =-x2 - y2 - z2 +4y+2z-5 .
Os pontos crticos da funo so:
fx = 2x = 0 x =0fy = 2y = 0 y =0 P0(0,0,0) ,que o nico ponto crticofz = 2z =0 z =0
fxx = 2 , fxy = 0 , fxz = 0fyx = 0 , fyy = 2 , fyz = 0fzx = 0 , fzy = 0 , fzz = 2
fx = -2x = 0 x =0fy = -2y+4 = 0y =2 P0(0,2,1) ,que o nico ponto crticofz = -2z=2 =0 z =1
fxx = -2 , fxy = 0 , fxz = 0fyx = 0 , fyy = -2 , fyz = 0fzx = 0 , fzy = 0 , fzz = - 2
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H(0,2,1) =200
020
002
= - 8
0=1 ; 1= 2 = -2 ; 2 = 2002
= 4 ; 3 =200
020
002
=-8
Os sinais dos (s) so alternados, logo o ponto P0(0,2,1) um pontode mximo da funo f.
Ex.3 Estudar os extremos da funo:
f(x,y) = x3 / 3 + 2y3 / 3 3x2+ 10y2 + 8x + 42y + 2
O Hessiano calculado nestes pontos H(x,y) =2040
062
y
x
H(4,7) =80
02 >0 e 0=1 ; 1= 2 = 2 ; 2 = 8002
= 4 ;
O ponto de mnimo.
H(4,3) =80
02
0 e 0=1 ; 1= 2 = -2 ; 2 = 8002
= 16
fxx =2x-6 , fxy =0 ,fyx = 0 , fyy = 4y - 20 .existem pontos que podem ser crticos, ou seja
P1(4,7) ; P2 (4,3) ; P3(2,7) e P4(2,3)
fx = x2 6x +8 = 0 x1=4 e x2 =2fy = 2y2 20y + 42 = 0y1=7 e y2=3
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O ponto de mximo.
Exerccios propostos:1 - Achar os extremos da funo f(x,y)=2x2 +3y2 - x3 /3 y3 /3 +1
Resp. P1(0,0) mnimo e P4(4,6) mximo eP2(0,6) e P3(4,0) so selas.
2 - Achar os extremos da funo f(x,y)=senx + sen(y+ /2)Resp. P1( /2,0) mximo.
3- Achar os extremos da funo f(x,y)= x3 /3 + y4 /4 - 25x + 27y + 1Resp. P1(5,-3) mnimo.
4- Achar os extremos da funo f(x,y)= -x3 /3 -y3 /3 -2x2-3y2+4x+8y+1Resp. P1(2,4) e P2(2,2) so de mximo.
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1.15 Operadores especiais da fsica1.15.1 - Gradiente
Define-se o gradiente de uma funo escalar f(x,y,z), e
representa-se por grad f ouf, a expresso:
grad f =f = i x f
+ j y f
+ k z f
O gradiente um vetor e i , j , k so os vetores unitrios.
1.15.2 - DivergnciaDenomina-se divergncia de um vetor k V jV iV V z y x ++=
r
, erepresenta-se por divV ou . V , a expresso
div V = . V = xV x
+ y
V y
+ zV z
Uma aplicao de divergncia em aerodinmica, no escoamento deum fluido, onde V = v , ou seja, o produto da densidade pelavelocidade ento div ( v) representa o escoamento por unidade de
volume num ponto do fluido.1.15.3 - Rotacional
O rotacional do vetorV, representado por rot V, ou V definido por
rot V =V =
z y x V V V z y x
k ji
= i z
V
y
V y z
+ j
x
V
z
V z x
+ k
y
V
x
V x y
O rotacional em mecnica dos fluidos, mede a velocidade de rotao() do fluido ou vorticidade do fluido num ponto dado, da forma
= (1/2). rot ( v)
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1.16 Integrais mltiplasAs integrais mltiplas podem ser definidas ou indefinidas, ou
podem ser mistas. Porm, seguem as mesmas regras das integrais
simples e por isso relembremos aqui as principais frmulas deintegrao simples:
u ndx = 11
+
+
nu n
+ C , onde u =f(x) e
n 1
= udu
ln u + C
e udu = e u + C
a udu = a u / lna + C
cosu du = senu + C
senu du = -cosu + C
tanu du = -ln |cosu + C
secu du = ln secu + tanu + C
csu du = ln cscu - cotu + C
cotu du = ln senu + C
sec 2u du = tanu + C
csc 2u du = - cotu + C
secu tanu du = secu + C
cscu cotu du = -cscu + C
sen 2 u du = [2u - sen2u] / 4 + C
cos 2 u du = [2u + sen2u] / 4 + C
A integral mltipla mais simples a integral dupla para calcular area de uma figura plana.
x
y
dx
dy
x1 x2
f(x)
dA
A rea infinitesimal dA = dx. dy obtida integrando de x
1at x
2
[ ] ==2
1
2
1
)(0
)(
0.
x
x
x f x
x
x f dx ydydx A
= 21
)( x
xdx x f A
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Ex.1 Achar a rea sob a funo y= -2x2 + 18 , de x=0 at x=3.
A = 2
1
)(
0. x
x
x f dydx = 2
1
)( x x
dx x f = +30 2 )182( dx x = [ ]303
1832 x x +
A = - 18 + 54 = 46 (unid2)
Outros exemplos de integrais so:
Ex. 2 Calcular a integral mltipla mista (definida e indefinida) 2 x
x
xydxdy
Soluo:
2 x
x
xydxdy = dx y x x
x
2
2.
2
= dx x x
x
22
.24
= c x x +812
46
Ex.3 Calcular a integral mltipla mista + x
o
dxdy y x )sen(
+
x
o
dxdy y x )sen( = [ ] dx y x x
+
0)cos( = -
dx x x ]cos)2[cos( =
= c x x ++ sen)2sen(21
As integrais mltiplas so muito usadas para calcular integrais devolume de slidos, conforme mostra a figura
dxdy
dz
x
y
z O volume do slido pode ser calculado por uma integral
tripla, do tipo:
=a b c
dxdydzV 0 0 0
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1.16.1- Volume de slidos de revoluoUm slido de revoluo se forma girando uma figura plana em
torno de uma reta fixa.Girando o grfico de uma funo f(x) em tono do eixo x, tem-se:
Ex1: Usando o mtodo do disco circular, calcule o volume do slidogerado pela revoluo da regio sob a funo y = f(x) = x3, no intervalo[1,2].
V =1
2
7x
dxxdx]x[dx)]x(f [72
1
62
1
232
1
2 = == = 7
127 (unid)3
Ex2: Achar o volume gerado pela funo f(x) = 22 xa em [-a, a]
a b x
y = f(x)r = f(x)
dV = r2 dx
dV = [f(x)] 2 dx
=b
a
dx x f V 2)]([
y
Figura plana girando em x Clculo do elemento de volume
1 2 x
y = x 3
(1,1)
(2,8)
R
y
(1,1)
(2,8)
x
r
8/3/2019 Funcoes de Varias Variaveis Calculo 22
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Matemtica C prof. Wilson C. Canesin da Silva
Universidade Braz Cubas Bacharelado em Tecnologia em Cincias Aeronutica 48
V =a
a
3x
xadx]xa[dx]xa[dx)]x(f [3
22
1
22a
a
222a
a
2
= ==
=
+
3a
a3
aa
33
33 =
+
3a
a3
aa
33
33 =
3a2
a23
3
= 2a3
31
1 =34 a3 que o volume da esfera gerada.
Ex3: Calcule o volume gerado pela parbola y = x2 girando em torno
do eixo de y, no intervalo [0,4].
V =0
4
2y
ydydy]y[dy)]y(g[dyr4
0
24
0
2b
a
2b
a
2 == = = = 8 = 25,13 unid3.
Slido (esfera) gerado pela rotaodo semi-crculo
-a a x
y
y =22 xa = r
Semi-crculo em rotao
4
0 x
y = x 2
Seo plana parbola
x =y
x
y
Slido gerado pela parbola
de revoluo
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EXERCCIOS PROPOSTOS1) Calcule o gradiente da funo (x,y,z)= x2+2xy+z3
Resp. grad = (2x+2y) i + 2xj + 3z2 k
2) Dada a funo vetorialV = 2x3 i+3xyz2 j+4(x2+y3) k , calcule asua divergncia.
Resp. divV = 6x2 + 3xz2
3) Calcule o rotacional do vetorV = x2 i + 2xyj + 5yz2 k
Resp. rot V = 5z2 i + 2yk
4) Calcular a integral + x
dxdy y x0
)( Resp. x3 / 2 = C
5) a b
xydxdy0 0
Resp. a2b2 / 4
6) Integrar as expresses do centride de uma figura plana,transformando integral dupla em integral simples. As expresses em
integral dupla so: xc = (1/A) 2
1
)(
)(
x
x
x f
xg
dxdy x e yc = (1/A) 2
1
)(
)(
x
x
x f
xg
dxdy y
Resp. xc =(1/A). 2
1
.)]()([ x
x
dx x xg x f e yc =(1/2A). 2
1
)]()([ 22 x
x
dx xg x f
7) Calcular o volume gerado pela hiprbole y =1/x , girando em x e de
0,5 at 3
Resp . V = ==3
5,0
23
5,0
2 ]1
[)]([ dx x
dx x f 8,34 unid3