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ALBERTO AÑAPA PICHOTA

ID: UM4891HED10774

FOUNDATIONS OF SUPERIOR MATHEMATICS

WORK ACADEMIC PRESENTED TO THE SCHOOL OF SOCIAL AND HUMAN STUDIES IN PARCIAL FULFILLMENT OF THE REQUERIMENTS FOR THE DEGREE OF MASTER IN TEACHING OF THE MATHEMATICS

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ATLANTIC INTERNATIONAL UNIVERSITY

HONOLULU, HAWAI

APRIL, 14 – 04 - 2009











FUNDAMENTOS DE MATEMATICAS SUPERIORES











ALGEBRA SUPERIOR

Introducción. Generalidades.

Los avances que se han producido en el siglo XX en Matemáticas son notables. Este hecho es más que evidente cuando se analiza el estado actual del conocimiento en las Mas Publicaciones | Sala de Prensa - Noticias | Testimonios | Página de Inicio










disciplinas más importantes de las Matemáticas o se contempla el número de disciplina emergente con gran impacto. En realidad el avance ha sido tan significativo, que un siglo parece a todas luces una escala de medida relevante para realizar un primer análisis comparativo. Tal vez analizando la segunda mitad del siglo XX consigamos una perspectiva más clara del ritmo al que las matemáticas han progresado.

Centrándonos ya en esta segunda mitad del siglo, detectamos que también en ella el progreso de las matemáticas ha sido espectacular. Uno de los referentes más populares es sin duda la definitiva prueba del Teorema de Fermat debida al Matemático británico Andrew Wiles. Pero tal vez sea en otras áreas donde el progreso ha sido más importante, aunque no dispongan de una insignia tan sobresaliente. Como genuino representante de la segunda mitad del siglo XX cabe mencionar el mundo del Análisis Numérico, de la Simulación Numérica y de la Computación.

Apenas hace 40 años se trataba de un área incipiente. Hoy se trata de una disciplina científica tremendamente compleja y desarrollada y con una perspectiva de progreso aún mayor para el siglo que estamos estrenando. A ello han contribuido no sólo los progresos realizados en el terreno del Análisis Matemático orientado a la aproximación numérica sino también, de manera decisiva, la espectacular progresión de los computadores, que han pasado en dos décadas de ser objetos raros y difícilmente manejables a compartir espacios con los electrodomésticos.

En la última década las Matemáticas han jugado también un papel muy significativo en diversos ámbitos del desarrollo tecnológico y social. Cabe mencionar por ejemplo la aplicación del Análisis de Fourier a la teoría de la Señal, de las Ecuacioes en Dervadas Parciales al Tratamiento de Imágenes o disciplinas emergentes como la Matemática Financiera.

A pesar de que el deseo de matemáticos y profesores de matemáticas sea otro, las Matemáticas no se encuentran entre las preocupaciones más importantes del ciudadano. Sin embargo, son pocos los que a lo largo de su vida no han tenido, en algún que otro momento, contacto con ellas. Y prácticamente todo el mundo está de acuerdo en que es necesario un conocimiento básico de las Matemáticas para desenvolverse con una cierta soltura en la vida cotidiana. Por otra parte, si hay alguna materia que en las escuelas levanta pasiones, y también grandes desafecciones, esta es precisamente la de matemáticas.Mas Publicaciones | Sala de Prensa - Noticias | Testimonios | Página de Inicio










Las Matemáticas son ya una Ciencia antigua. Existe desde mucho antes de que se le dieran nombre y sus orígenes se remontan al menos al momento en

que el ser humano empieza a contar.

Cabría también decir, como en su momento afirmó Galileo, que el Universo está escrito en lenguaje matemático y de este modo estableceríamos que las matemáticas surgen con nuestro Universo, de manera simultánea. Sin remontarnos tan lejos en el tiempo. Albert Einstein se preguntaba a principios del siglo que acabamos de dejar ”¿cómo es posible que la matemática, un producto del pensamiento humano independiente de la experiencia, se adapte tan admirablemente a los objetos de la realidad”.

ECUACIONES SIMULTÁNEAS

Se dice que dos o más ecuaciones con dos incógnitas son simultáneas cuando se satisfacen para valores iguales de las incógnitas.

Así, por ejemplos, las ecuaciones x + 2y = 4 x – y = 1 son simultáneas puesto que los valores x = 2, y = 1 satisfacen a la vez ambas ecuaciones.

Se dice que dos ecuaciones son equivalentes cuando una de ellas es múltiplo de la otra. Así, por ejemplo, x + 2y = 4 3x + 6y = 12 so ecuaciones equivalentes porque una de ellas es múltiplo de la otra.

En el caso de que las ecuaciones independientes tengan una única solución común se dice que son ecuaciones simultáneas.

Así, por ejemplo, las ecuaciones x + 2y = 4 x - y = 1 son independientes porque no son múltiplos una de la otra y además son simultáneas porque su única solución es x = 2, y = 1.

Se dice que dos ecuaciones independientes son incompatibles cuando o tienen ninguna solución común.

Así, por ejemplo, las ecuaciones x + y = 1 2x + 2y = 5 son incompatibles porque no hay ninguna solución común para ambas ecuaciones.

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas.











Así, por ejemplo 2x + y = 5

x - y = 1

es un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

Se llaman soluciones de un sistema de ecuaciones a los valores de las incógnitas que satisfacen a todas las ecuaciones del sistema.

Así, por ejemplo la solución del sistema anterior es x= -2, y = 1.

Se dice que un sistema de ecuaciones es compatible cuando admite soluciones y se dice que es incompatible cuando no los admite.

Un sistema compatible es determinado cuando tiene una única solución y es indeterminado cuando tiene infinitas soluciones.

Para resolver un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas hay que eliminar una de las incógnitas, esto es, deducir de ambas ecuaciones otra ecuación que no contenga a dicha incógnita y pueda resolverse.

Esta operación recibe el nombre de eliminación.

Los métodos de eliminación más utilizados son tres: método de sustitución, método de igualación y método de reducción, también llamado de eliminación por adición o sustracción.

El método de eliminación por sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones la incógnita que se quiere eliminar y sustituir su valor en la otra ecuación. .

Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de sustitución

1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones

2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación non una sola incógnita

3. Se resuelve la ecuación











4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.

5. Los dos valores obtenidos constituyen la resolución del sistema. Ejemplo.

3x – 4y = - 6

2x + 4y = 16

1) Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones.

Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente mas bajo.

En este caso: 2x = 16 – 4y simplificando queda: x = 8 – 2y

2. Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior

3 ( 8 – 2y) – 4y = - 6

3. Resolvemos la ecuación obtenida:

24 – 6y – 4y = - 6

- 10y = - 30

y = 3

4. Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

x = 8 – 2 (3)

x = 8 – 6











x = 2

5. Solución: x = 2, y = 3

Resolución de sistema de ecuaciones por el método de igualación.

1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones

2. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita

3. Se resuelve la ecuación

4. El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en los que aparecía despejada la otra incógnita

5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema. Ejemplo

3x – 4y = - 6

2x + 4y = 16

1. Despejamos, por ejemplo, la incógnita x de la primera y segunda ecuación.

3x = - 6 + 4y x =

2x = 16 – 4y x =

2. Igualamos ambas expresiones:

3. Resolvemos la ecuación.











2 (- 6 + 4y ) = 3 ( 16 + 4y)

-12 + 8y = 48 + 12y

20y = 60

Y = 3

4. Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x.

x =

x =

x =

5. Solución. X = 2, y = 3

Resolución de sistema de ecuaciones por el método de reducción.

1. Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolos por los números que convenga.

2. La restamos, y desaparece una de las incógnitas

3. Se resuelve la ecuación resultante

4. El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve

5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

3x – 4y = - 6Mas Publicaciones | Sala de Prensa - Noticias | Testimonios | Página de Inicio










2X + 4Y = 16

Lo más fácil es suprimir la y, de este modo no tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a optar por suprimir la x, para que veamos mejor el proceso.

3x – 4y = - 6 2 3x – 4y = - 6 6x – 8y = - 12

2x + 4y = 16 -3 2x + 4y = 16 - 6x - 12y = - 48

20y = 60

y = 3

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial.

2x + 4 (3) = 16

2x + 12 = 16

2x = 4

x = 2

Solución: x = 2, y = 3

DETERMINANTES

Resolución por determinantes de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

Sea el sistema a1x + b1y = c1 (1)











A2x + b2y = c2 (2)

Se lo resolvemos por el método general ya estudiado tendremos:

(3) (4)

Vemos que ambas fracciones tienen el mismo denominador a1b2 – a2b1 y esta expresión es el desarrollo de la determinante,

(5)

formada con los coeficientes de las incógnitas en las ecuaciones (1) y (2). Esta es la determinante del sistema. El numerador de x1c1b2 – c2b1, es el desarrollo de la determinante.

Que se obtiene de la determinante del sistema (5) con sólo sustituir en ella la columna

de los coeficientes de x por la columna de los términos independientes de

las ecuaciones (1) y (2)

El numerador de y1a1c2 – a2c1, es el desarrollo de la determinante











Que se obtiene de la determinante del sistema (5) con sólo sustituir en ella la columna

de los coeficientes de y1 por la columna de los términos independientes de las

ecuaciones dadas. Por tanto, los valores de x e y, igualdades (3) y (4), pueden escribirse así:

Con lo anterior podemos decir que para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por determinantes debe considerarse lo siguiente:

1. El valor de x es una fracción cuyo denominador de la determinante formada con los coeficientes de x e y (determinante del sistema) cuyo numerador es la determinante obtenida al sustituir en la determinante del sistema la columna de los coeficientes de x por la columna de los términos independientes de las ecuaciones dadas.

2. El valor de y es una fracción cuyo denominador es la determinante del sistema y cuyo numerador es la determinante obtenida al sustituir en la determinante del sistema la columna de los coeficientes de y por la columna de los términos independientes de la ecuación dadas.

Ejemplo. Resolver por determinantes

5x + 3y = 5

4x + 7y = 27

De acuerdo a los pasos señalados tenemos:











Respuesta. x = -2

y = 5

ECUACIONES SIMULTÁNEAS CON TRES O MÁS INCÓGNITAS

Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas procede lo siguiente:

1. Se combinan dos de las ecuaciones dadas y se elimina una de las incógnitas (lo más sencillo es eliminarla por suma o resta) y con esto se obtiene una ecuación con dos incógnitas.

2. Se combina la tercera ecuación con otra de las ecuaciones dadas y se elimina entre ellas la misma incógnita que se eliminó antes, obteniéndose otra ecuación con dos incógnitas.

3. Se resuelve el sistema formado por las dos ecuaciones con dos incógnitas que se han obtenido, hallando de este modo dos de las incógnitas.

4. Los valores obtenidos de las incógnitas se sustituyen en una de las ecuaciones dadas de tres incógnitas, con lo cual se encuentra la tercera incógnita.

Resolución de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas











Ejemplo. Resolver el sistema

x + 4y – z = 6 (1)

2x + 5y – 7z = -9 (2)

3x – 2y + z = 2 (3)

Combinamos las ecuaciones (1) y (2) y eliminamos la x. Multiplicamos la ecuación (1) por 2 tenemos.

2 x + 8y – z = 6 2x + 8y – 2z = 12

-1 2x + 5y – 7z = - 9 - 2x - 5y + 7z = 9

3y – 5z = 21 (4)

Combinamos la tercera ecuación (3) con cualquiera de las otras dos ecuaciones dadas, en este caso con (1), para eliminar la x. Multiplicamos (1) por (3) tenemos:

3 x + 4y – z = 6 3x + 12y – 3z = 18

-1 3x – 2y + z = 2 - 3x + 2y – z = - 2

14y – 4z = 16

Simplificando tenemos: 7y – 2z = 8 (5)

Formamos las dos ecuaciones con dos incógnitas obtenidas: (4) y (5), y formamos un sistema:











3y + 5z = 21 (4)

7y – 2z = 8 (5)

Resolvemos este sistema eliminando la z al multiplicar ecuación (4) por 2 y ecuación (5) por 5.

2 3y + 5z = 21 6y + 10z = 42

5 7y – 2z = 8 35y – 10z = 40

41y = 82

y=

Sustituyendo y = 2 en (5) tenemos:

7y – 2z = 8

7(2) – 2z = 8

14 – 2z = 8

- 2z = - 6

z =

Sustituyendo y = 2, z = · e cualquiera de las tres ecuaciones dadas, por ejemplo en (2), tenemos.

2x + 5y – 7z = - 9

2x + 5(2) – 7(3) = - 9

2x + 10 – 21 = - 9

2x = - 9 – 10 + 21











2x = 2

x = 1

Resp x = 1, Y = 2, z= 3.

Verificando tenemos.

Reemplazando los valores en ecuación 3.

3x – 2y + z = 2

3(1) – 2(2) + 3 = 2

3 – 4 + 3 = 2

2 = 2

Resolución por determinantes de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas

Por otra parte, para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas por determinantes aplicamos la regla de Cramer, que dice:

El valor de cada incógnita es una fracción cuyo denominador es la determinante formada con los coeficientes de las incógnitas (determinante del sistema) y cuyo numerador es la determinante que se obtiene sustituyendo en la determinante del sistema la columna de los coeficientes de la incógnita que se halla por la columna de los términos independientes de las ecuaciones dadas.

Ejemplo: Resolver por determinantes.

x + y + z = 4

2x – 3y + 5z = - 5











3x + 4y + 7z = 10

Para hallar x aplicando la Regla de Cramer tendremos:

x= =

Aquí vemos que la determinante del denominador (determinante del sistema) está formada con los coeficientes de las incógnitas en las ecuaciones dadas.

El numerador de x se forma sustituyendo en la determinante del sistema la columna

de los coeficientes de x por la columna de los términos independientes de las

ecuaciones dadas.

Para encontrar y tendremos:

y =

El denominador es el mismo de antes, la determinante del sistema. El numerador se

obtiene sustituyendo la columna de los coeficientes de y por la columna de

los términos independientes.

Para encontrar z tendremos:

z =











El denominador es la determinante del sistema, el numerador se obtiene

sustituyendo la columna de los coeficientes de z por la columna de los

términos independientes.

x = 3,

La solución del sistema es: y = 2

z = -1

Resolución de un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas

Ejemplo: Resolver el sistema

x + y + z + u = 10 (1)

2x – y + 3z – 4u = 9 (2)

3x + 2y - z + 5u = 13 (3)

x – 3y + 2z – 4u = -3 (4)

Combinando (1) y (2) eliminamos la x multiplicando (1) por 2 y restamos:

2 x + y + z + u = 10 2x + 2y + 2z + 2u = 20

-1 2x – y + 3z – 4u = 9 - 2x + y – 3z + 4u = - 9

3y - z + 6u = 11 (5)

Ahora combinando (1) y (3) eliminamos la x multiplicando (1) por 3 y restamos:

3 x + y + z + u = 10 3x + 3y + 3z + 3u = 30

-1 3x + 2y + z + 5u = 13 - 3x - 2y + z – 5u = -13

y + 4z – 2u = 17 (6)











Finalmente combinando (1) y (4) eliminamos la x, y restamos:

x + y + z + u = 10 x + y + z + u = 10

-1 x – 3y + 2z – 4u = - 3 - x + 3y – 2z + 4u = 3

4y – z + 5u = 13 (7)

Al reunir las ecuaciones (5), (69 y (7) obtenidas tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

3y – z + 6u = 11 (5)

y + 4z – 2u = 17 (6)

4y – z + 5u = 13 (7)

Por conveniencia eliminamos la z combinando 5 y 6, multiplicamos (5) por 4 y sumamos.

4 3y – z + 6u = 11

y + 4z – 2u = 17

12y – 4z + 24u = 44

y – 4z – 2u = 17

13y + 22u = 61 (8)

Ahora combinando (5) y (7) eliminamos la z restándolas.

3y – z + 6u = 11 3y – z + 6u = 11

- 4y – z + 5u = 13 - 4y + z – 5u = -13

- y + u = - 2 (9)











Al reunir (8) y (9) tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

13y + 22u = 61 (8)

- y + u = - 2 (9)

Resolvemos este sistema multiplicando (9) por 13 y sumando:

13y + 22u = 61 13y + 22u = 61

13 - y + u = - 2 - 13y + 13u = - 26

35u = 35

u = 1

Ahora, sustituimos u = 1 en una ecuación de dos incógnitas, por ejemplo en (9), y tenemos:

- y + u = - 2

- y + 1 = - 2

- y = - 3

y = 3

Sustituimos u = 1, y = 3 en una ecuación de tres incógnitas, por ejemplo en (5) y tenemos:

3y – z + 6u = 11

3(3) – z + 6(1) = 11

9 – z + 6 = 11

- z = 11 – 9 – 6

- z = - 4











z = 4

Finalmente sustituimos u = 1, y = 3, z = 4 en cualquiera de las ecuaciones dadas, por ejemplo en (1), y tenemos:

x + y + z + u = 10

x + 3 + 4 + 1 = 10

x = 10 – 3 – 4 – 1

x = 2

x =2

y = 3

Respuesta: z = 4

u = 1

Verificando en cualquiera de las cuatro ecuaciones, por ejemplo en 4 tendremos:

x – 3y + 2z – 4u = - 3

2 – 3(3) + 2(4) – 4(1) = - 3

2 – 9 + 8 - 4 = - 3

- 3 = - 3

Resolución gráfica de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Sistema compatible determinado. Tiene una solución











Ejemplo:

3x – 4y = - 6 3x – 4y = - 6 3x – 4y = - 6

2x + 4y = 16 2x + 4y = 16 3(2) – 4y = - 6

5x = 10 - 4y = - 12

x = 2 y = 3

Gráficamente la solución es el punto de corte de las dos rectas.

Y

2x + 4y = 16

4

3

X’ 2 0 1 2 8 X

3x – 4y = - 6

Y’Mas Publicaciones | Sala de Prensa - Noticias | Testimonios | Página de Inicio










Sistema compatible indeterminado.- El sistema tiene infinitas soluciones

Ejemplo:

x + y = 1 (-2) - 2x – 2y = -2

2x + 2y = 2 2x + 2y = 2

0 = 0

Gráficamente obtenemos dos rectas coincidentes. Cualquier punto de la recta es solución

Y

X + y = 1

1

X’ X

1

2x + 2y = 2











Y’

No tiene solución o incompatible

Ejemplo: x + y = 3 (-2) - 2x – 2y = - 6

2x + 2y = 2 2x + 2y = 2

0 = - 4

Gráficamente obtenemos dos rectas paralelas.

Y

3 x + y = 3

1

X’ X

1 3

2x + 2y = 2

Y’

RACIONALIZACIÓN











Para racionalizar el denominador de una fracción hay que convertir una fracción cuyo denominador sea irracional en una fracción equivalente con denominador racional. Al racionalizar el denominador irracional de una fracción, desaparece todo signo radical del denominador. A continuación veamos dos casos:

Primer caso.

Racionalizar el denominador de una fracción cuando el denominador es monomio.

La regla dice que se multiplican los dos términos de la fracción por el radical del mismo índice que el denominador, de modo que multiplicado por éste dé como producto una cantidad racional.

Ejemplos:

1. Racionalizar el denominador de

Multiplicando ambos términos de la fracción por y tenemos:


El dominador . Para que en el denominador quede una raíz exacta hay

que multiplicar por y para que la fracción no varíe se multiplica

también el numerador por . Tendremos











3. Racionalizar del denominador de

Se multiplican ambos términos por porque esta cantidad multiplicada por

da una raíz exacta, y tenemos:

Expresiones conjugadas

Primer caso:

Dos expresiones que contienen radicales de segundo grado, como , que sólo difieren en el signo que une sus

términos, son conjugadas.

Así, la expresión conjugada de la de es .

El producto de dos expresiones conjugadas es racional. Así,

Segundo caso.

Racionalizar el denominador de una fracción cuando el denominador es un binomio que contiene radicales de segundo grado.

Según la regla, se multiplica ambos términos de la fracción por la conjugada del denominador y se simplifica el resultado.

Ejemplos:












Al multiplicar ambos términos de la fracción por tenemos:

Simplificación:

Como el denominador – 23 era negativo, le cambiamos el signo al numerador y al denominador de la fracción. También se puede cambiar el signo del denominador y de la fracción para quedar.


Multiplicamos ambos términos por la conjugada del denominador y tenemos:

Para racionalizar el denominador de una expresión que contiene tres radicales

De segundo grado hay que verificar dos operaciones, tal como se indica a continuación.

Ejemplo.

Racionalizar el denominador de











Consideremos el denominador como un binomio . Se multiplican los

dos términos de la fracción por la conjugada de esta expresión que es y tendremos:

=

Multiplicamos ambos términos nuevamente por la conjugada del denominador.

= R.

LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Los números complejos, tienen la capacidad de representar todas las raíces de los polinomios, cosa que con los reales no era posible.

El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i). Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y las corrientes eléctrica.

En matemática, los números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. La propiedad más importante que caracteriza a











los números complejos es el teorema fundamental del algebra, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.

Estos nuevos números, que reciben el nombre de números irracionales junto con el conjunto Q de los números racionales constituyen el conjunto R de los números reales.

Esta nueva ampliación del campo numérico permite efectuar cualquier medida, pero sin embargo no permite hallar raíces pares de números negativos. Así, por ejemplo, no existe ningún número real que represente . Estas raíces reciben el nombre de imaginarias.

La raíz recibe el nombre de unidad imaginaria y se acostumbra a representar con la letra i.

Toda expresión del tipo , donde n es par y –a es un número real negativo, es una cantidad imaginaria pura.

Toda raíz imaginaria puede expresarse como producto de un número real por la unidad imaginaria.

Así, por ejemplo,

Las potencias sucesivas de la unidad imaginaria van repitiéndose periódicamente.

En efecto,

Para sumar y restar raíces imaginarias se expresan como producto de un número real por la unidad imaginaria y a continuación se operan como radicales semejantes.

Ejemplo:Mas Publicaciones | Sala de Prensa - Noticias | Testimonios | Página de Inicio










Sumar

Solución tendremos

Por tanto.

Para multiplicar raíces imaginarias se expresan como producto de un número real por la unidad imaginaria y a continuación se multiplican simplificado al máximo las potencias de la unidad imaginaria.

Ejemplo.

Multiplicar

Solución tendremos que

Por tanto,

O sea,











Es decir, que es resultado final simplificado al máximo.

Para dividir raíces imaginarias se expresan como producto de un número real por la unidad imaginaria y a continuación se dividen, simplificando al méximo las potencias de la unidad imaginaria.

Ejemplo.

Dividir

Solución: Tendremos que

O sea,

Simplificando numerador y denominador por 16i tendremos:

º R.

Que es el resultado final simplificado al máximo.

Efectuando esta breve introducción sobre las cantidades imaginarias, diremos que un número complejo es aquel que consta de una parte real y de una parte imaginaria. Es decir, que los números complejos son números del tipo , donde a y b son números reales y donde i es la unidad imaginaria.











Se dice que dos números complejos son conjugadas cuando únicamente se diferencian en el signo de la parte imaginaria.

Así, por ejemplo, a + bi y a – bi son números complejos conjugados.

LOGARITMOS

El logaritmo de un número respecto a otro llamado base es el exponente a que hay que elevar la base para obtener dicho número.

Así, por ejemplo, si tenemos que

22 = 4

23 = 8

25 = 32

26 = 64

diremos que siendo 2 la base en todos los casos, el logaritmo de 4 es 2 puesto que 2 es el exponente a que se debe elevar la base 2 para obtener el número 4. Análogamente, en base 2 el logaritmo de 8 es 3, el logaritmo de 32 es 5 y el logaritmo de 64 es 6. Para expresar estos hechos haciendo uso de la notación logarítmica diremos que:

log2 4 = 2

log2 8 = 3

log2 32 = 5

log2 64 = 6

En general, si se cumple que xy = z, tendremos que y = logx z. Es decir, que la operación de extraer logaritmos, también llamada logaritmación, es una operación inversa de la potenciación puesto que mientras en la potenciación se trataba de











encontrar un número llamado potencia conocidos la base y el exponente, en la logaritmación se trata de hallar el exponente conocida la base y la potencia.

De las condiciones anteriores se deduce fácilmente que cualquier número positivo puede utilizarse como base de un sistema de logaritmos. Por consiguiente, el número de sistemas de logaritmos es infinito.

LOGARITMOS VULGARES Y NATURALES.

En la práctica son los dos sistemas de logaritmos más utilizados, a saber, el sistema de logaritmos vulgares cuya base es 10 y fueron descubierto por el matemático inglés Henry Briggs y el sitema de logartmos naturales o neperianos descubierto por el matemático escocés John Neper, cuya base es el número irracional = 2,7182818284…….

Cuando se emplean logaritmos vulgares se acostumbra omitir el subíndice 10. Así, por ejemplo, tendremos que si

100 = 1 escribimos log10 1 = 0 o bien log 1 = 0





Obviamente, para que en una base cualquiera el logaritmo de un número natural sea otro número naturales condición necesaria que el número dado sea una potencia exacta de la base.

Así, por ejemplo tendremos que:

log5 25 = 2 puesto que 52 = 25













Ahora bien, log4 5 no será un número natural puesto 5 no es una potencia exacta de 4. De modo que similar log 7 o es tampoco un número natural puesto que log10 7 no es potencia exacta de 10

Propiedades de los logaritmos.

1 La base de un sistema de logaritmos no puede ser negativa, pues de ser así sus potencias pares serían positivas las impares negativas, y tendríamos una serie de números alternativamente positivos y negativos, y por tanto, habría números positivos que no tendrían logaritmo

2. Los números negativos no tienen logaritmo, porque siendo la base positiva, todas sus potencias, pares o impares, son positivas y nunca negativas.

3. En todo sistema el logaritmo de la base es 1, porque siendo b la base tendremos

4. En todo sistema el logaritmo de 1 es cero, porque siendo b la base tendremos:

5. Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo, porque siendo log 1 = 0, los logaritmos de lo números mayores que 1 serán mayores que cero, por tanto serán positivos

6. Los números menores que 1 tienen logaritmo negativo, porque siendo log 1 = 0, los logaritmos de los números menores que 1 serán menores que cero, por tanto serán negativos.











LOGARITMO DE UN PRODUCTO

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores

Siendo A y B los factores: x = log A e y = log B y siendo b la base del sistema, probaremos que

Log (A x B) = log A + log B.

Si x es el log de A significa que x es el exponente al que hay que elevar la base b para que dé A; si y es el de log B significa que y es el exponente al que hay que elevar la base b para que dé B; luego, bx = A

by = B

Al multiplicar estas igualdades tenemos: bx+y = A x B.

Si x + y es el exponente al que hay que elevar la base b para que dé A x B, x + y es el logaritmo de A x B, luego,

Log (A x B) = log B; luego, log (A x B) = log A + log B.

LOGARITMO DE UN COCIENTE.

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el del divisor.

Siendo A el dividendo, B el divisor, x = log A, y = log B siendo b la base del sistema, probaremos que

En efecto: bx = A











by = B

Si dividimos miembro por miembro estas igualdades tenemos:

bx-y =

Si x – y es el exponente al que hay que elevar la base para que dé , x – y es el log

de ; luego, , o sea:

LOGARITMO DE UNA POTENCIA

El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.

Siendo x = log A y b la base del sistema, demostraremos que log An = n (log A)

En efecto, al ser x el log A tenemos: bx = A. Elevamos ambos miembros a la potencia n y tenemos:

bn x = An

Si nx es el exponente al que se eleva la base para que dé An; luego, log An = nx y como x = log A tenemos log An = n (log A).

LOGARITMO DE UNA RAIZ

El logaritmo de una raíz es igual al de la cantidad subradical dividido entre el índice de la raíz.

Siendo x = log A y b la base del sistema, probaremos que

Si x es el log A tenemos: bx = A. Extrayendo la raíz enésima de ambos miembros

tenemos: o sea, . Ahora bien: si es el exponente al que se











eleva la base para que dé es el log de luego, y como

queda:

CARACTERÍSTICA Y MANTISA

Como ya vimos, el logaritmo de todo número que no sea una potencia de 10 consta de una parte entera y un decimal. La entera se llama característica, y la decimal mantisa.

Así,

en log 25 = 1.397940 la característica es 1 y la mantisa 0.397940;

en log 4125 = 3.615424 la característica es 3 y la mantisa 0.615424;

en log 0.05 = la característica es y la mantisa 0.698970

La mantisa siempre es positivo, pero la característica puede ser cero si el número está comprendido entre 1 y 10; por otro lado, es positiva si el número es mayor que 10 y negativa si es menor que 1.

La potencia de 10 sólo tienen característica y su mantisa es 0.

VALOR DE LA CARACTERÍSTICA.

De acuerdo con lo anterior podemos decir que.

1. La característica del logaritmo de un número comprendido entre 1 y 10 es

cero

2. La característica del logaritmo de un número mayor que 10 es positiva y su valor absoluto es 1 menos que el número de cifras enteras del número. Así, 84 tiene dos cifras enteras y la característica de su logaritmo es 1; 512 tiene tres cifras enteras y la característica de su logaritmo es2; 1215.65 tiene cuatro cifras enteras y la característica de su logaritmo es 3.

3. La característica de un número menor que 1 es negativa y su valor absoluto es 1 más que el número de ceros que hay entre el punto decimal y la primera cifra











significativa decimal. Así, la característica de logaritmo 0.5 es -1; la de logaritmo 0.07 es -2; la de logaritmo 0.0035 es - 3, etc.

CARACTERISTICAS NEGATIVAS.

En el logaritmo de un número menor que 1 la característica es negativa, pero la mantisa es positiva. Así, logaritmo 0.5 = -1 + 0.698970. Este log no puede escribirse - 1.698970, pues esto indica que tanto la característica como la mantisa son negativas.

El modo correcto de escribirlo, indicando que sólo la característica es negativa, es

. Del mismo modo, log 0.03 =

COLOGARITMO

El cologaritmo de un número es el logaritmo de su inverso: Ejemplos.

El cologaritmo de 2 es el logaritmo de , el cologaritmos de 54 es el logaritmo de .

En general, colog x = y como el log de un cociente es igual al log del dividendo

menos el log del divisor, tendremos:

luego queda:

Esto nos dice que restar el logaritmo, de un número equivale a sumar el cologaritmo del mismo número.

Por tanto, como en lugar de – log b podemos poner colog b y

tendremos.











En conclusión, el cologaritmo se usa para convertir en suma una resta de logaritmos.

Ejemplos:

1. Hallar el valor de 1225 x 0.84 por logaritmos

Como el logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores, tendremos:

Log (1225 x 0.84) = log 1225 + log 0.84

= 3.084576 +

= 3.008855

Buscando en una tabla el antilogaritmo de 3.008855 (o sea, el número al que corresponde este logaritmo) encontraremos que es 1020.59, Luego

1225 x 0.84 = 1020.59 0 sea 1029.6 R.

2. Hallar por logaritmo el valor de 3214.8 x 0.003 x (-43.76)

Como un número negativo no tiene logaritmo, trabajaremos prescindiendo del signo - de 43.76 y una vez hallado el producto, de acuerdo con la regla de los signos, le pondremos signo -. Tendremos:

Log (3214.8 x 0.003 x 43.76) = log 32144.8 + log 0.003 + log 43.76

= 3.507154 +

= 2.625352

El antilogaritmo de 2.625352 es 422.0388, por tanto.











3214.8 x 0.003 x (- 43.76) = - 422.0388

3. Hallar el valor de por logaritmos

El logaritmo de un cociente es igual al del dividendo menos el del divisor, luego

pero dado que restar el log de un número equivale a sumar su cologaritmo, podemos escribir:

=

=

corresponde al número 0.019545, luego

4. Hallar el valor de 7.56

Como el logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el log de la base, tendremos:

Log 7.56 = 6 (log 7.5) = 6 (0.875061) = 5.250366

El antilog de 5.250366 es 177977.551, luego 7.56 = 177977.551 aproximadamente.

5. Hallar el valor de











Como el logaritmo de una raíz es igual al log de la cantidad subradical dividido entre el índice de la raíz, tenemos:

0.095424 corresponde al número 1.24573, luego

Combinación de los casos anteriores.

Ejemplos:

1. Hallar el valor de por logaritmos

= log 3284 + log 0.09132 + colog 715.84

= 3.516403 +

El log corresponde al número 0.41894, que es el valor de la expresión

dada, hallado por logaritmo.

2. Hallar el valor de por logaritmo

= log 100.39 + log 0.03196 – (log 7.14 + log 0.093)

= log 100.39 + log 0.03196 – log 7.14 – log 0.093

= log 100.39 + log 0.03196 + colog 7.14 + colog 0.093











= 2.001690 +

= 0.684116

Este logaritmo corresponde al número 4.831877.

3. Hallar el valor de por logaritmo.

= =

= 0.190884 + 0.465980 = 0.656828

Este logaritmo corresponde al número 4.5376 luego

4. Hallar el valor de por logaritmo.

=

= =

A corresponde el número 0.25048, y éste es el valor de la expresión dada.

A estas alturas sólo se puede hallar por logaritmos el valor de expresiones donde las operaciones indicadas son productos, cocientes y raíces, pero no sumas o restas.

ECUACIONES EXPONENCIALES.











Las ecuaciones exponenciales son aquellas en que la incógnita es exponente de una cantidad, y para resolverlas se aplican algoritmos a los dos miembros de la ecuación y se despeja la incógnita.

Ejemplos:

1. Resolver la ecuación 3x = 60

Aplicando logaritmo tenemos:

x (log 3) = log 60

2. Resolver la ecuación 52x-1 = 125

Aplicando logaritmo:

(2x – 1) log 5 = log 125

2x – 1 =

2x =

x =

x =

PROGRESIONES.











Sucesiones.

Una serie es una sucesión de términos formados de acuerdo con la ley: 1, 3, 5, 7……… es una serie cuya ley dice que cada término se obtiene sumando 2 al término anterior; 1, 2, 4, 8……. Es otra serie cuya ley dice que cada término se obtiene multiplicando el término anterior por 2.

En Algebra elemental abordaremos las progresiones, que son series clasificadas en aritméticas y geométricas.

El signo que se usa en progresión aritmética es y un punto (.) después de cada término; y el que se usa en la progresión geométrica es :: con dos puntos (:) entre cada término.

PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Son todas aquellas series donde cada término después del primero se obtiene sumándole al anterior una cantidad constante, llamada razón o diferencia.

El signo de la progresión aritmética es y entre cada término se escribe un punto. De este modo, 1 . 3 . 5. 7. ….. es una progresión aritmética creciente cuya razón es 2, porque 1 + 2 = 3; 3 + 2 = 5; 5 + 2 = 7, etc.

8 . 4. 0. - 4 … es una progresión aritmética decreciente cuya razón es – 4, porque 8 + (- 4) = 8 – 4 = 4, 4 + (- 4) = 0, 0 + ( - 4) = - 4, etc.

La razón en toda progresión aritmética se obtiene restándole a un término cualquiera el término anterior.

En la razón es











En la razón es

DEDUCCION DE LA FORMLA DEL TÉRMINO ENÉSIMO

Siendo la progresión

donde u es el término enésimo y la razón es r

En toda progresión aritmética, cada término es igual al anterior más la razón; luego:

b = a + r

c = b + r = (a + r) + r = a + 2r

d = c + r = (a + 2r) + r = a + 3r

e = d + r = (a + 3r) + r = a + 4r…….

Podemos ver que cada término es igual al primer término de la progresión a más tantas veces la razón como términos le preceden; por tanto, como esta ley se cumple para todos los términos, u será igual al primer término a más tantas veces la razón como términos le preceden, y como u es el término enésimo, le preceden n – 1 términos; por tanto.

u = a + (n – 1) r

Ejemplos

1. Hallar el 15º término de 4 . 7 . 10 ………

En este caso a = 4, n = 15, r = 7 – 4 = 3, luego











U = a + (n – 1) r = 4 + (15 -1) 3 = 4 + (14 x 3) = 4 + 42 = 46 R.

2. Hallar el 42º término de - 2, -

r =

u = a + (n – 1) r

u = - 2 + (41) R.

DEDUCCIÓN DE LAS FÓRMULAS DEL PRIMER TÉRMINO, DE LA RAZÓN Y DEL NÚMERO DE TÉRMINOS

Ya encontramos que, u = a + (n – 1) r (1). Ahora despejamos a, r y n en esta fórmula.

Despejando a tenemos: a = u – (n – 1) r .

Para despejar r en (1) transponemos a y tenemos: u – a = (n -1) r

donde:

Para despejar n en (1) efectuamos el producto indicado y tenemos:

u = a nr – r

transponiendo a y – r

u – a + r = nr, por tanto:











Ejemplos.

1. Hallar el primer término de una progresión aritmética sabiendo que el 11º término

es 10 y la razón .

a = u – (n – 1) r

a = 10 – (11 – 1) = 10 – (10) = 10 – 5 = 5

2. Hallar la razón de una progresión aritmética cuyo primer término es y 8º

término .

r =

3. Descubrir cuántos términos tiene la progresión:

En este caso: r = . Entonces:

térm.

DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA PARA ENCONTRAR LA SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA.











Siendo la progresión a . b . c ……….. l. m. u, que consta de n términos.

Al designar como S la suma de todos los términos de esta progresión tendremos:

S = a + b + c ……………….. + l + m + u

Y también: S u + m + l ……………..….. + c + b + a

Si sumamos estas igualdades tenemos:

2 S = (a + u) + (b + m) + (c + l) + ………… + (l + c) + (m + b) + (u + a).

Todos estos binomios son iguales a (a + u), porque como ya lo demostramos, la suma de dos términos equidistantes de los extremos es igual a la suma de los extremos, y como hay tantos binomios como términos tiene la progresión, tendremos.

2 S = (a + u) n y de aquí

Ejemplos:

1. Hallar la suma de los 12 primeros términos de En la fórmula de la suma entra u, que es el 12º término, el cual desconocemos y los vamos a buscar.

Aplicando la fórmula de la suma: tendremos:

R.











2. Hallar la suma de los 13 primeros términos de

La razón es Busquemos el 13º términos:

U = a + (n – 1) r =

Aplicando ahora la fórmula de la suma tendremos:

=

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS.

Son todas aquellas series donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad constante, llamada razón.

El signo de la progresión geométrica es :: y entre cada término se escribe: (dos puntos). De este modo :: 5 : 10 : 20 : 40 ……… es una progresión geométrica donde la razón es 2, porque 5 x 2 = 10; 10 x 2 = 20; 20 x 2 = 40, etc.

La progresión geométrica es creciente cuado la razón es, en valor absoluto, mayor que uno, y es decreciente cuando la razón es, en valor absoluto, menor que uno, o sea, cuando la razón es una fracción propia.

:: 1 : 4 : 16 : 64 …………. es una progresión geométrica creciente cuya razón es 4, y

:: 2 : 1 : ……… es una progresión geométrica decreciente cuya razón es











En la progresión geométrica finita hay un número limitado de términos y en la infinita un número limitado. :: 2 : 4 : 8 : 16 es una progresión finita, porque consta de 4

términos; y :: 4 : 2 : 1 : ………. Es infinita, porque consta de un número limitado de

términos.

En toda progresión geométrica es posible encontrar la razón dividiendo un término cualquiera por el anterior.

DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DEL TÉRMINO ENÉSIMO.

Siendo la progresión :: a : b : c : d ………… u, donde u es el término enésimo y la razón es r.

En toda progresión geométrica, cada término es igual al anterior multiplicado por la razón; luego: b = a r

c = b r = (a r) r = ar2

d = c r = (a r2) r = ar3

e = d r = (a r3) r = ar4 ……….

Podemos ver que un término cualquiera es igual al primero a multiplicado por

la razón elevada a una potencia igual al número de términos que lo preceden, una ley que siempre se cumple; luego, como u es el término n y le preceden n – 1 términos, tendremos:

Ejemplos.

1. Hallar el 5º término de :: 2 : 6 : 18 ……

a = 2, n = 5, r = 6 2 = 3

luego: u = = 2 x 3 5-1 = 2 x 34 = 2 x 81 = 162

2. Hallar el 7º término de :: : : ……











La razón es = - Por tanto:

U = a rn-1 =

Si la razón es negativa (y esto sucede siempre que los términos de la progresión son alternativamente positivos y negativos) hay que tener cuidado con el signo que resulta de elevar la razón a la potencia n – 1.

Si n – 1 es par, el resultado tendrá signo +, y si es impar tendrá signo -.

DEDUCCIÓN DE LA FORMULA DEL PRIMER TÉRMINO Y DE LA RAZÓN.

Ya encontramos que u = a rn-1 (1)

Al despejar a tenemos: la fórmula del primer término en una progresión

geométrica.

Para encontrar la razón despejamos r n-1 en (1) y tenemos:

r n-1 = y extrayendo la raíz n – 1, queda , que es fórmula de la razón en

una progresión geométrica.

Ejemplos.

1. El 6º término de una progresión geométrica es y la razón . Hallar el primer

término

u = , r = , n = 6, luego











a = = 2

2. El primer término de una progresión geométrica es 3 y el 6º término – 729. Hallar la razón.

a =3, u = - 729, n = 6, luego:

=

DEDUCCIÓN DE LA FORMULA DE LA SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA.

Siendo la progresión :: a : b : c : d : …………. u cuya razón es r.

Designamos con S la suma de todos sus términos y tendremos:

S = a + b + c + d + ……………. + u (1)

Multiplicamos los dos miembros de esta igualdad por la razón:

Sr = ar + br + cr + dr + …………. Ur (2)

Al restar (1) de (2) tenemos:

Sr = ar + br + cr + dr + ………… + ur











- S = - a – b – c – d – d - …………. - u

Sr – S = ur – a

Cuando efectuamos esta resta debemos tener presente que, como cada término multiplicado por la razón da el siguiente, a r = b y esta b se anula con - b; b r = c y esta c se anula con - c; c r = d y esta d se anula con - d, etc. Entonces, arriba queda u r y abajo - a, y de ahí resulta el 2º miembro de la resta u r – a.

Sacando S factor común en el primer miembro de la última igualdad tenemos:

S (r – 1) = u r – a

Y de aquí

Ejemplos.

1. Hallar la suma de los 6 primeros términos de :: 4 : 2 : 1 : …

Buscamos el 6º término:……

r = 1 2 =

u =

Aplicando la fórmula de la suma tenemos:











SUMA DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA DECRECIENTE INFINITA

Si en la fórmula sustituimos u por su valor u = a r n-1, tendremos:

y al cambiar los signos a los dos términos

de esta última fracción tendremos (1)

En una progresión geométrica decreciente, la razón es una fracción propia, y si ésta se eleva a una potencia, cuanto mayor sea el exponente, menor será la potencia de la fracción. Por tanto, cuanto mayor sea n, menor es r n y menor será a r n; siendo n suficientemente grande, a r n será tan pequeña como queremos, es decir que cuando

n aumenta indefinidamente, a r n tiende el límite 0 y por tanto o sea S,

tiende al límite . Esto se expresa brevemente diciendo que cuando n, el número

de términos de la progresión, es infinito, el valor de la suma es

Ejemplos.

1. Hallar la suma de la progresión :: 4 : 2 : 1 : ……..

a = 4, r = , luego tenemos











8 es el límite al cual tiende la suma, que nunca llega a ser igual a 8, pero cuanto mayor sea el número de términos que se tomen, más se aproximan a 8.

2. Hallar la suma de la progresión infinita :: 5 : - : : ……..

a = 5, r = - luego tenemos:

=

es el límite de la suma.





















ALGEBRA LINEAL











ALGEBRA LINEAL

Introducción. Generalidades

El álgebra lineal es la rama de la matemática que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistema de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales, y transformaciones lineales.

Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas por computadora, ingeniería, etc.











La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años de 1843 cuando Williams Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones; y de 1844 cuando Hermann Grassmann publicó su libro Die lineale Ausdehnungslehre.

CONCEPTOS BÁSICOS

Para ilustrar los conceptos básicos estudiados en el álgebra lineal suele tomarse como ejemplo el espacio vectorial Rn (conocido también como espacio vectorial real de dimensión n) por ser el más simple y a la vez el más usado en aplicaciones

Los objetos básicos de estudio son las n-tuplas ordenadas de números reales (que se denominan vectores y el conjunto de todos los vectores

con n elementos forma el espacio vectorial R n

Así, por ejemplo, el vector (4, 5, 7/11, - 8) es un vector del espacio R 3 y (6, -1, 0, 2, 4) es un elemento de R 5. En particular, R 2 corresponde a un plano cartesiano y R3

es el espacio auclideano provisto de un sistema de coordenadas.

Las operaciones básicas entre los vectores (en lo que concierne al algebra lineal) son dos: la suma de vectores y el producto por escalar

Ejemplos.

(2,3) u+v (7,4)

u Mas Publicaciones | Sala de Prensa - Noticias | Testimonios | Página de Inicio










v (5,1) v+u

Representación gráfica de la suma

de dos vectores en R 2.

Para sumar dos vectores en R n, se suman las coordenadas en posiciones correspondientes.

Ejemplo: La suma de (3, -1), 5) con (2, 4, 0) es (3 + 2, -1+ 4, 5 + 0) = (5, 3, 5)

Esta operación puede interpretarse gráficamente como trasladar uno de los vectores sumandos para que “inicie” al final del otro. Esta regla suele llamarse también regla del paralelogramo por la figura que aparece en el diagrama.

La segunda operación básica es el producto por un escalar, que en este ejemplo corresponde a multiplicar un número real (un escalar) por un vector, y está dado por la regla:

La interpretación gráfica del producto por escalar es una contradicción o dilatación del vector (dependiendo de la magnitud del escalar) junto con una posible inversión de su sentido (si el signo es negativo)

Las funciones T entre los espacios vectoriales descritos de interés para el algebra lineal son aquellas que satisfacen las dos condiciones siguientes para todo par de vectores u, v y todo escalar r:

Las funciones que cumplen las condiciones anteriores se denominan transformaciones lineales y en el ejemplo que estamos usando corresponden a matrices de números reales.











Específicamente, las transformaciones lineales entre R n y R m son las matrices de tamaño n x m.

Nota: El algebra lineal suelen representarse los vectores en forma vertical en vez de horizontal, de modo que las transformaciones lineales correspondan a multiplicar matrices.

El álgebra lineal estudia entonces las distintas propiedades que poseen estos conceptos y las relaciones entre los mismos. Por ejemplo, estudia cuándo una ecuación de la forma Au = v (donde u,v son vectores y A es una matriz) tiene solución, problema que es equivalente a determinar si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución o no.

CONTEXTO GENERAL

De manera más formal, el álgebra lineal estudia conjuntos denominados espacios vectoriales, los cuales constan de un conjunto de vectores y un conjunto de escalares (que tiene estructura de campo, con una operación de suma de vectores y otra de producto entre escalares y vectores que satisfacen ciertas propiedades (por ejemplo, que la suma es conmutativa).

Estudia también transformaciones lineales, que son funciones entre espacios vectoriales que satisfacen las condiciones de linealidad:

A diferencia del ejemplo desarrollado en la sección anterior, los vectores no necesariamente son n-adas de escalares, sino que pueden ser elementos de un conjunto cualquiera (de hecho, a partir de todo conjunto puede construirse un espacio vectorial sobre campo fijo).

Finalmente, el álgebra lineal estudia también las propiedades que aparecen cuando se impone estructura adicional sobre los espacios vectoriales, siendo una de las más frecuentes la existencia de un producto interno (una especie de producto entre dos vectores) que permite introducir nociones como longitud de vectores y ángulos entre un par de los mismos.











Concluimos de manera general un ejemplo diferente de espacio vectorial ilustrado todas estas ideas en un nuevo contexto.

ESPACIO VETORIAL DE POLINOMIOS

Un ejemplo espacio vectorial está dado por todos los polinomios cuyo grado es menor o igual a 2 con coeficientes reales sobre una variable x

Ejemplos de tales polinomios son:

La suma de dos polinomios cuyo grado no excede a 2 es otro polinomio cuyo grado no excede a 2

El campo de escalares es naturalmente el de los números reales, y es posible multiplicar un número por un polinomio:

Donde el resultado nuevamente es un polinomio (es decir, un vector)

Un ejemplo de transformación lineal es el operador derivada D, que asigna a cada polinomio el resultado de derivarlo:











El operador derivada satisface las condiciones de linealidad, y aunque es posible demostrarlo con rigor, simplemente lo ilustramos con un ejemplo la primera condición de linealidad:

Cualquier espacio vectorial tiene una representación en coordenadas similar a R n, lo cual se obtiene mediante la elección de una base (es decir, un conjunto

especial de vectores), y uno de los temas recurrentes en el álgebra lineal es la elección de base apropiadas para que los vectores de coordenadas y las matrices que representan las transformaciones lineales tengan formas sencillas o propiedades específicas.

Es importante recalcar, que diversas cualidades de una persona, como son la edad, altura, rendimiento académico, inteligencia, etc. no pueden ser determinados solamente por un solo valor numérico. Estas diferentes medidas recogidas sobre un individuo podemos formalizarlas como una fila o columna de números reales (

denominado vector, denotado su tamaño de forma arbitraria por n (columnas o filas).

Si los datos recogidos se agrupan en m filas y una sola columna (mx1) decimos que esta tabla de datos es un vector columna, si por el contrario los datos se ordenan en una tabla de una sola fila y n columnas (1xn) diremos que es un vector fila.

Ejemplo:

Siendo x es un vector columna e y un vector fila.

De este modo, si deseamos definir un vector en SPSS semejante al siguiente ejemplo, bastará con escribir las siguientes instrucciones











compute x =

compute y =

El vector es útil en psicología, sobre todo como simplicidad de notación, para describir una lista de números asociados a una entidad, como pueden ser ciertas propiedades de un sujeto humano (eje: altura, peso, edad, CI, etc.) o la formalización de una teoría psicológica compleja (ej: P.D.P.)

Un caso especial de matriz es la tabla constituida por una sola fila y una sola columna (1x1), conteniendo por lo tanto un solo valor numérico. A este tipo particular de de matriz se le denomina escalar.

M A T R I C E S O A L G E B R A M A T R I C I A L

En matemáticas, una matriz es una ordenación rectangular de números, o más generalmente, una tabla consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. Las matrices se utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales, realizar un seguimiento de los coeficientes de una aplicación lineal y registrar los datos que dependen de varios parámetros. Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

Una matriz es una tabla rectangular de números (llamados elementos o entradas de la matriz), ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito mxn), y a m y n dimensiones de la matriz. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después. Comúnmente se dice que una matriz m-por-n tiene un orden de mxn ( “orden” tiene el significado de tamaño). Dos matrices se dicen que son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos.

Al elemento de una matriz que se encuentra en la fila y la columna se le llama elementos o elementos ( )-iésimo de la matriz. Se vuelve a poner











primero las filas y después las columnas. Así siempre, se denotan a las matrices con letras mayúsculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en minúsculas para denotar a los elementos de las mismas. Por ejemplo, al elemento de una matriz A que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le denota como o a

. Notaciones alternativas son o . Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices con fuentes en negritas para distinguirlas de otros tipos de variables. Así A es una matriz, mientras que A es un escalar.

Ejemplo.

Por ejemplo, si hemos recogido información sobre el comportamiento de diversos sujetos (m) en distintas pruebas (n), podremos representar los datos en una matriz A. cada celda de la matriz representara el comportamiento de un sujeto en una prueba concreta:

= medida del sujeto en la prueba

El tamaño de una matriz es el número de elementos por filas y columnas (m,n), recibiendo el nombre de orden de la matriz.

TIPOS DE MATRICES.

1. Matriz cuadrada











Diremos que una matriz mxn A es cuadrada si m = n (igual número de filas y columnas. Ejemplo.

.

2. Matriz diagonal

Una matriz cuadrada se llama diagonal si son cero los elementos que no pertenecen a su diagonal principal. Ejemplo

3. Matriz identidad o unitaria

Una matriz cuadrada se llama matriz identidad si es diagonal y los elementos de su diagonal principal valen la unidad. Se usará la notación I n, donde n es el orden de la matriz. A veces se utiliza la notación abreviada I cuando el orden se sobrentiende o no es necesario especificarlo Ejemplo.

4. Matriz escalar

Es toda matriz diagonal en la que todos los términos de la diagonal principal son iguales. Ejemplo

5. Matriz simétricaMas Publicaciones | Sala de Prensa - Noticias | Testimonios | Página de Inicio










Diremos que una matriz A de orden mxn es una matriz simétrica si coinciden con su transpuesta, es decir A = A Ejemplo.

6. Matriz idempotente

Es una matriz la cual es igual a su cuadrado, es decir A es idempotente si A x A =

A es decir, A2 = A Ejemplo.

O sea, la matriz elevada al cuadrado va a ser la misma matriz sin elevarla.

OPERACIONES MATRICIALES.

Suma de matrices

La operación suma es posible que las dos matrices posean las mismas dimensiones, siendo definido a nivel formal como:

A + B = C (c i j = a i j + b i j)

Resta de matrices

La sustracción de matrices es posible siempre que cumpla las condiciones de la suma, definiendo el proceso formal como:

A – B = C (c i j = a i j – b i j)











Ejemplo:

Propiedades

- Asociativa

Dadas las matrices mxn A, B y C

A + (b + c) = (a + B) + C

- Conmutativa

Dadas las matrices mxn A y B

A + B = B + A

- Existencia de matriz cero o matriz nula

A + O = o + A = A

- Existencia de matriz opuesta

Con -A =

A + (- A) = 0

Multiplicación de matrices











Una matriz puede ser multiplicada por una constante K (escalar), definiendo el proceso a nivel formal como: K A:

KA =

Las matrices pueden multiplicarse por los vectores de acuerdo a la regla:

C = Ab (c1 =

Es decir,

c = Ab =

Ejemplo.

da como resultado

Ab =

Dos matrices pueden ser multiplicadas si cumplen en sus dimensiones la regla general: (A(m, k) y (B(k, n)), es decir, las columnas en A son iguales a las filas de B. En caso de comprobar el requisito anterior la operación producto crea una nueva matriz (C) de acuerdo a la regla general:

C i j =

En el siguiente caso:











La matriz resultante sería:

Dado el siguiente ejemplo numérico:

A (2, 3) = B (3, 2) =

=

Propiedades.

Si los elementos de la matriz pertenecen a un cuerpo, y puede definirse el producto, el producto de matrices tiene las siguientes propiedades.

- Propiedad asociativa (AB) C = A (BC)

- Propiedad distributiva por la derecha: (A + B) C = AC + BC











- Propiedad distributiva por la derecha: C (A + B) = CA + CB

El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir AB BA. La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A/B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matrices cuadradas..

Matriz inversa.

Dada la matriz A(n, n) diremos que la matriz B(n, n) es la inversa de la matriz A si cumple la expresión: A . B = I, siendo I la matriz unitaria de orden n, es decir:

Para calcular pues la inversa de una matriz bastará resolver la ecuación.

A . B =

Se ve que la obtención del resultado será laboriosa, aumentando su dificultad con el valor de n.

Sea la matriz A = de la cual queremos calcular su inversa. Para ello

designaremos por B la inversa de la matriz A, es decir B = A -1

B =











Para obtener los valores de los elementos de la matriz B resolveremos la ecuación A . B = I

Multiplicando las dos matrices resulta.

Igualando los elementos de la matriz unitaria a estos elementos resultantes de la multiplicación queda:

de donde:

de aquí: y

NOTA: Se da por supuesto que el lector sabe resolver sistemas de ecuaciones. De no ser así, puede consultar la parte la parte de álgebra dedicada a este tema.

de donde:

y de aquí:

y

Luego la matriz inversa de A será:











que también se puede expresar, en virtud de la

propiedad del producto de una matriz por un escalar, por:

Propiedades.

1. Si existe, A -1 es única

2. (A -1) -1 = a

3. (A · B)—1 = B -1 · A -1

La matriz inversa de una matriz cuadrada A de orden n, es la matriz, A -1, de orden n que verifica A . A -1 = A -1 · A = I donde I es la matriz identidad en orden n.

La matriz que tiene inversas de llaman regulares y las que no tienen inversa matrices singulares.

Matriz transpuesta

La operación transpuesta (A´ ) de una matriz cambia las columnas por filas de una matriz inicial A. Por ejemplo, si tenemos el caso siguiente:

Su transpuesta será:

Si se cumple la regla : A = A´ decimos que la matriz es simétrica.











Propiedades de la transposición de matrices:

1. La transposición de una matriz transpuesta es la misma matriz original

(A’) = A

2. C = A + B C´ = (A + B)’ = A’ + B ‘

3. Si AB es definida, (AB)´ = B ‘ A ‘

4. La transposición de una matriz identidad es la matriz identidad misma

5. Si A es una matriz cuadrada tal que A = A´, entonces A es una matriz simétrica.

6. La transpuesta de un escalar es el escalar mismo. Por tanto, si es un escalar.

7. La transpuesta de es , donde es un escalar.

RANGO DE UNA MATRIZ

El rango de una matriz es el orden de la submatriz cuadrada más grande cuyo determinante no sea cero.

A es una matriz singular. Aunque su orden es 3x3, su rango es de 2, puesto que se puede encontrar una submatriz 2+x cuyo determinante no es cero. Por ejemplo, si se borran la primera fila y la primera columna de A, se obtiene.











Si se borra la fila iésima y la columna jésima de una matriz N x N, el determinante de la submatriz resultante se denomina el menor del elemento a i j; y se denota .

El menor de a11 es

El cofactor del elemento a ij de una matriz A N x N, denotado c ij, está definido como: c ij = (-1) i+j

Reemplazando los elementos de una matriz A por sus cofactores, se obtiene la matriz de cofactores de A, denotada por (cof A).

La matriz adjunta (adj A) es la transpuesta de la matriz de cofactores.

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.

En matemática y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3

que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de











saberes, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

Ejemplos.

1.

El determinante es de tercer orden, siendo desarrollo en un primer momento

después de lo cual resolveríamos el siguiente nivel, resultando….

2.

Desarrollando el determinante por la primera fila tendremos.

=











=

=











GEOMETRÍA ANALÍTICA











GEOMETRIA ANALÍTICA

El plano Cartesiano.

La Geometría Analítica es un puente entre el álgebra y la geometría que hace posible resolver geométricamente problemas algebraicas, pero el primer caso es muchísimo más importante, especialmente cuando se asignan números a conceptos esencialmente geométricos. Por ejemplo, pensemos en la longitud de un segmento de recta, o en el ángulo entre dos rectas. Aun cuando se conozcan exactamente las rectas y los puntos en cuestión, la cantidad que representa la longitud de un segmento, o el ángulo entre dos rectas, en la realidad sólo se puede medir en forma aproximado. Los métodos algebraicos nos permiten calcular de manera exacta la cantidad.

La relación entre álgebra y la geometría se forma asignando números a puntos. Por ejemplo, veamos esta asignación de números a los puntos de una recta. Primero que nada seleccionamos un par de puntos O, P de la recta, como se muestra en la figura 1. Al punto O, que llamaremos el origen, se le asigna el número cero y el punto P se le asigna el número uno. Si definimos a OP como la unidad de longitud, asignamos números a todos los demás puntos de la recta como sigue: a Q, en el lado del origen donde se encuentra P, se le asigna el número positivo x, sí y solo sí su distancia al origen es x. A un punto Q del lado contrario del origen se le asigna el número negativo - x sí y solo sí su distancia al origen es x unidades. De este modo, cada punto de la recta se le asigna un número real y a cada número real le corresponde un punto en la recta.











De tal modo se establece una escala en la recta, a la cual llamaremos en adelante un eje coordenado. Al número que representa un punto dado se le llama coordenada de ese punto, y al punto se le llama la gráfica del número.

Del mismo modo que se representan los puntos en una recta (espacio unidimensional) mediante números únicos, los puntos en un plano (que es un espacio bidimensional) se pueden representar por pares de números.

Después veremos que los puntos en un espacio tridimensional se pueden representar mediante tercios de números.

Fig. 1

-x 0 1 x

Unidad de longitud

Distancia x Distancia x

Para representar puntos en un plano mediante pares de números, elegimos dos rectas que se intercepten y establecemos una escala en cada una de ellas, como vemos en la figura 2. El punto de intersección es el origen. Estas dos rectas se llaman ejes, y se diferencian mediante símbolos, que normalmente son las letras x y. Para un punto dado P en el plano, corresponde un punto Px en el eje x. Es el punto de intersección del eje x con la recta que contiene a P y es paralela al eje Y. (Si P está en el eje y. esta recta coincide con el eje y. Igualmente existen un punto Py en el eje y, que el punto de intersección de ese

eje y la rectas que pasa por P que es paralela al (o que es el) eje x.

Las coordenadas de esos dos puntos en los ejes son las coordenadas de P. Si a es la coordenada de Px, y b es la de Py, el punto P queda representado por (a, b). En este ejemplo, a es la abscisa de P, y es la ordenada de P.

- Usaremos la notación AB para indicar el segmento de recta que une a los puntos A y B, y representaremos su longitud mediante AB.











Y

Py P (a, b)

b

a Px x

Fig. 2

En un plano coordenado se acostumbra utilizar las siguientes convenciones:

1. Los ejes son perpendiculares entre sí.

2. El eje x es una recta horizontal con sus coordenadas positivas hacia la derecha del origen, y el eje es una recta vertical con sus coordenadas positivas arriba del origen

3. Se usa la misma escala en ambos ejes.

Naturalmente, no es indispensable apegarse a estas convenciones cuando haya otras que sean más cómodas. Con frecuencia violaremos la tercera, cuando trabajemos con figuras cuyo trazo podría ser muy difícil si insistiéramos en usar la misma escala en ambos ejes.

En esos casos podemos usar libremente escalas distintas, sin olvidar que con ello distorsionamos la figura. A menos que se cite explícitamente que nos aportamos de las convenciones, o que esto sea obvio por el contexto, siempre nos apegaremos a las dos primeras convenciones.

Ahora podemos identificar las coordenadas de los puntos de la figura 3.

Nótese que todos puntos en el eje x tienen ordenada cero, mientras que los que están en el eje Y tienen abscisa cero. El origen tiene sus dos coordenadas iguales a cero, por que está en ambos ejes.











Los ejes dividen al plano en cuatro regiones. que se llaman cuadrantes, los cuales conviene identificar con los números que se muestran en la figura 4. Los puntos que están en esos ejes no están en ningún cuadrante.

Representando gráficamente tenemos:

Y Y

3 (0,3)

(-1,2) 2 (2,2) II I

(-3,0) 1 (1,3)

-3 -2 -1 0 1 2 3 X X

-1

(-3,-2) -2 (0,-3) III IV

(-2,-3) -3 (2,-3)

Fig. 3 Fig. 4

A las coordenadas de un punto determinadas de esta manera, con frecuencia se las llama coordenadas cartesianas, en honor del matemático y filósofo francés René Descartes. En el apéndice de un libro publicado en 1637, Descartes presentó la primera descripción de la geometría analítica. A partir de ahí vinieron los avances que finalmente condujeron a la invención del cálculo infinitesimal.











FORMULA DE LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Estableceremos la distancia entre dos puntos de un eje coordenado. Sean P1 y P2 dos puntos en una recta y tengan las coordenadas x1 y x2, respectivamente. Si P1 y P2

están ambos a la derecha del origen, y P2 está más alejado que P1, como se muestra en la figura 5a, entonces.

P1P2 = OP2 – OP1 = x2 – x1

X1 x2

0 P1 P2 x

(a)

X1 x2

x

P1 P2 0

(b)

x1 x2

x

P1 0 P2

( c )

Si el origen está a la derecha de uno o de ambos puntos, expresar la distancia entre ellos se complica sólo un poco. En la figura 5b,

P1P2 = P1O – P2O = - x1 – ( - x2 ) = x2 – x1 y en la figura 5c,











P1P2 = P1O + OP2 = - x1 + x2 = x2 – x1

Vemos, entonces, que P1P2 = x2 – x1 en los tres casos en los que P2 está a la derecha

de P1. Si P2 estuviera a la izquierda de P1, entonces

P1P2 = x1 – x2

Lo cual se puede comprobar con facilidad, Por lo tanto, P1P2 siempre se puede representar como la coordenada mayor menos la menor. Como x2 – x2 sólo difieren en que uno es el negativo del otro, y como la distancia siempre es no negativa, vemos que P1P2 es la diferencia que es no negativa. Por consiguiente,

P1P2 =

Esta forma es muy cómoda cuando se desconocen las posiciones relativas de P1 y p2. Sin embargo, como los valores absolutos a veces imponen mucho, los evitaremos siempre que conozcamos las posiciones relativas de P1P2.

Dirijamos ahora nuestra atención al problema más difícil: determinar la distancia entre dos puntos en el plano. Supongamos que nos interesa calcular la distancia entre P1 = (x1, y1) y P2 = (x2, y2), en la figura 6. Se traza una recta vertical que pase por P1 y una horizontal que pase por P2, que se intersecten en un punto Q = (x1, y2). Supongamos que P1 y P2 no se encuentren en la misma recta horizontal o vertical, P1P2Q forman un triángulo rectángulo que tiene su ángulo recto en Q. Podemos emplear ahora el teorema de Pitágora para calcular la longitud de P1P2. De acuerdo con lo anterior,

QP2 = y P1Q =

y

P1 (x1, y1)











x

Q (x1, y1) P2 (x2, y2)

Fig. 6

(mantenemos en este caso los valores absolutos, porque deseamos que la fórmula obtenida sea válida para cualquier punto P1 y P2 no tan sólo para lo que vemos en la figura 6). Según el teorema de Pitágoras,

P1P2 =

Pero como se puede emitir los símbolos de valor

absoluto y llegamos a: P1P2 =

La distancia entre dos puntos P1 = (x1, y1) y P2 = (x2, y2) es

P1P2 =

Para deducir esta fórmula supusimos que P1 y P2 no estaban en la misma reta horizontal o vertical; sin embargo, la fórmula es válida aún en esos casos. Por ejemplo, si P1 y P2 están en la misma recta horizontal, entonces y1 = y2 y y2 – y1 = 0. Por consiguiente.

P1P2 =

Vemos que no siempre es igual a x2 – x1. Como el símbolo representa a

una raíz cuadrada no negativa, entonces, cuando x2 – x1 sea negativa, no es

igual a x2 – x1, sino más bien a











Supongamos, por ejemplo, que x2 – x1 = -5. Entonces,

El teorema 1.1 depende de conveniencia de que los ejes son perpendiculares entre sí. Si no se adopta esa convención, no se puede usar este teorema, pero se puede deducir otra fórmula más general basada en la ley de los cosenos. Sin embargo, no lo haremos aquí, ya que la convención de utilizar ejes perpendiculares se observa de modo casi universal.

Ejemplos: 1. Calcular la distancia P1 = (1, 4) y (-3, 2).

Sol. P1P2 =

y

P(1, 4)

2

P2 (-3, 2)

- 3 x

2. Si P1= (x, 0), P2 = (2, 5) y P1P2 = , calcular x.

P1P2 =

x2 – 4x + 29 = 50

x2 – 4x – 21 = 0Mas Publicaciones | Sala de Prensa - Noticias | Testimonios | Página de Inicio










(x + 3) (x – 7) = 0

x = - 3, x = 7

PENDIENTE DE LA RECTA

La pendiente o coeficiente angular es la inclinación que la recta determina con respecto al eje XX´ en el plano cartesiano.

En la gráfica apreciamos que el ángulo α es la inclinación de la recta r. Siempre se considera desde el eje X hacia la recta en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj. Ejemplo.

Y

2

α

X’ 0 X











Y’

La pendiente se simboliza con m y representa un número. En término de ángulo, es la tangente del ángulo. Por lo que: m = tan α

La pendiente de una recta puede hallarse conociendo dos puntos o también conociendo su ecuación.

PENDIENTE DE LA RECTA CONOCINEDO DOS PUNTOS

Sean los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2)

Como m = tan α y tan α =

m = , de donde, sin demostración,

m =

es la fórmula de la pendiente conociendo dos puntos: Pero deben ser x1= x2 y, no importa el orden en que se toman las coordenadas, por lo que puede anotarse:

m =

Ejemplo:

1. Hallar la pendiente de una recta que pasa por los puntos A (3,5) y B(-2,1).

Solución:

1. Para una mejor interpretación ubicamos los puntos en el Plano Cartesiano











2. Reemplazamos en la fórmula los valores de las coordenadas.

m =

Y

5 - (3,5)

4 -

3 -

2 -

(-2,1) -

X’ X

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2

-3

-4

Lo mismo resulta si m = m = m =

En término de ángulo como m = tan α tan α = , tan α = 0,8

Buscando en las tablas de valores naturales de las funciones trigonométricas, en la columna de la tangente ¿a qué ángulo corresponde tan = 0,8?

(α = arc tan 0,8; alfa es el ángulo cuya tangente es 0,8)

α = 38º aprox.











Luego, la recta que pasa por los puntos A (-2, 1) y B (3, 5) forma un ángulo de 38º con el eje XX’ .

NOTA: Para el valor del ángulo hay que tener presente los signos de la función

tangente en cada cuadrante en el primero , en el segundo ; en el tercero y en

el cuarto .

En el ejemplo, tan α = corresponde al primer cuadrante.

FUNCIÓN LINEAL

Las relación algebraica más simple es de la forma:

y = mx + b forma explícita

otras formas de expresión son:

Ax + By + C = 0 forma explícita

forma segmentaria o canónica

a = b =

Analizaremos en especial la explícita.

PENDIENTE DE LA RECTA CONOCIENDO LA ECUCACIÓN

Ecuación de la recta: y = mx + b











m: constante numérica es la pendiente de la recta, es decir, la tangente de α, siendo α el ángulo que forma la recta con el semieje positivo de abscisas; b: ordenada en el origen;

tg α = α: se conoce como ángulo de inclinación.

Se observa que el coeficiente m, o pendiente de la recta, es positivo o negativo según que el ángulo de inclinación α sea agudo (0 α 90º) o bien obtuso (90º α 180º). Ej.

y

y

α

x

α b

0 x

Representamos ambos casos:

a. Pendiente positiva:

tg α > 0 m > 0

b. Pendiente negativa:

tg α < 0 m < 0

Ejemplo de recta con pendiente positiva.











Veamos un ejemplo gráfico numérico.

y = 2x + 3

b = 3 m = 2

m = tg α = =

Para representar gráficamente, lleva el valor del cos α sobre un eje paralelo al de abscisas y el valor del sen α, son su signo, sobre un eje paralelo al de ordenadas.

Observamos que la paralela al eje de abscisas contiene al punto (0, b).

y

2u

3 - 1u

-

Y=2x+3 -

x

y

Otra de forma de representar la recta es dando también valores a X.

Recordemos que sólo son necesarios dos valores de X para tener determinada una recta.

x y











A 0 3

B -2 -1

y

A(0,3)

-

-

-x -2 o x

-1 B(-2,-1)

Y=2x+3

-

Ejemplo de recta con pendiente negativa.

Sea:

b = 5; m = tg α = =

Resolviendo con tabla de valores:

y

x y











A 0 -5

B -2 -4

x

-2 -1 - 1 2

-

-

B(-2,-4) -4 -

-5 - x A (0.-5)

y

(Podemos comprobar que empleando cualquiera de los métodos la solución es la misma).

Recta que pasa por el origen de coordenadas.

Sea la ecuación:

Y = ax

Vemos que la ecuación anterior carece de ordenada en el origen; es decir : b = 0. La recta pasa por el origen 0.

Ejemplo:

y = -x

b = 0 m = tg α = =

y











1

x 0 x

-1 y = - x

y

Rectas paralelas.

Dadas dos rectas que responden a las siguientes ecuaciones.

y1 = m1x + b1

y2 = m2x + b2

dichas rectas serán paralelas si: m1 = m2

Ejemplo gráfico – numérico

y1= 2x + 7

y2 = 2x + 3 y

m1 = m2 = 2 -

-

- 2u

7 -

- 1u











-

y=2x+7 - 2u

3 -

- 1u

y=2x+3 -

-x o x

- y

Retas perpendiculares.

Dadas dos rectas y1, y2 que responden a las siguientes ecuaciones.

y1 = m1x + b1

y2 = m2x + b2

si m1=

las rectas son perpendiculares

Ejemplo – gráfico numérico

y1 = ex + 6

y2 = -

y

-











-

- 3u

6 -

-1u

-

3 3u

- 1u

- y2 =-1/3x+3

x’ x

y1=3x+6

y’

casos particulares:

Si m = 0; resulta y = b = constante

y

y = b

b

x











y la recta es paralela al eje X. Ejemplo: y = 4

Un caso similar se presenta si

x = a = constante

y

x=a

a

Su representación será una recta paralela al eje X

FORMULAS DE PUNTO DE DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

Supongamos que queremos encontrar en punto que se encuentra a cierta fracción del amino de A a B. ¿Será posible posible expresar las coordenadas del punto deseado en términos de las coordenadas de A y de B?. Sean A = (x1, y1) y B = (x2, y2) dos puntos dados, y sea P = (x, y) el punto que estamos buscando. Si definimos,

r =











(Ver fig. 7), entonces P está a 1/3 de la distancia de A a B cuando r = 1/3 a 4/5 de la distancia de A a B cuando r = 4/5, etc. Podemos generalizar el problema al caso en el x y se deben expresar en términos de X1 + y1 + X2 + y2 y r. El problema se puede simplificar mucho si manejamos las x las y por separado.

Si A, B y P se proyectan en el eje x (ver figura 8) para definir los puntos Ax, Bx y Px,

respectivamente, entonces, según la geometría elemental.

y

Fig. 7

B(x2, y2)

P(x, y)

A(x1, y1)

x

P(x1, 0) Px(x, 0) Bx(x2, 0)











despejamos a x obtenemos

x = x1 + r (x2 – x1)

Si proyectamos sobre el eje y, entonces

y = y1 + r (y2 – y1)

Estos dos resultados, a los que se les llama fórmulas de punto de división, se describen en el siguiente teorema.

Teorema 1.2

Si A= (x1, y1), B = (x2, y2) y P es un punto tal que r = , entonces las coordenada

de P son x = x1 + r (x2 – x1) y = y1 + r (y2 – y1)

En la figura, se muestra la interpretación geométrica de los términos para x

en la fórmula de punto de división. Si examinamos con cuidado esa figura comprendemos y podemos recordar con mayor facilidad las fórmulas.

NOTA: Que si B está a la izquierda de A, X2 – x1 es negativo, pero tiene el mismo valor absoluto que la distancia entre las proyecciones de A y B sobre el eje x. Podemos hacer el esquema correspondiente y compararlo con la figura 1.16. Naturalmente, se puede emplear una figura semejante para interpretar los términos para Y de la fórmula del punto de división.

Ejemplo:

Y Fig. 8











B(x1, y1)

P(x, y)

A(x1, y1) x2 – x1

x

x1 r(x2 – x1)

x

Ejemplos:

1. Si A = (-1, 5), B = (7, 1) y = 3, determinar P.

Solución; Observemos que no se nos da la relación AP/AB, el dato es AP/BP. Sin embargo es muy fácil determinar r partiendo de la relación que se nos da. Supongamos que AP = 3 y que BP = 1, para obtener AP/BP, Entonces, AB = AP + BP = 3 + 1 = 4, y AP/AB = ¾. Naturalmente, no sabemos que AP = 3 y que PB = 1, pero si sabemos que AP = 3 PB. Así, si PB = 1, entonces AP = 3k Esto da como resultado AB = 4k y AP/AB= 3/4, como antes. Ahora proseguiremos como en los ejemplos anteriores.

x = x1 + r (x2 – x1) y = y1 + r (y2 – y2)

= - 1 + (7+1) = 5 + (1 - 3)











= 5 = 2

Por consiguiente: P = (5, 2)

Mientras que los valores negativos de r no tiene sentido cuando r =AP/AB, vemos que cuando se usan en las fórmulas de punto de división el segmento AB se prolonga en la dirección opuesta, esto es, de B a P, pasando por A. Por ejemplo, supongamos, que r = - 2. Entonces AP es doble de AB, P y B están en los lados opuestos de A. Sin embargo, podemos llegar al mismo resultado invirtiendo los papeles de A y B y tomando un valor positivo de r.

2. Dado el AB, donde A = (- 3, 1) y B = (2,5), éste se prolonga más allá de A, hasta un punto P localizado el doble de distancia de B que de A (ver figura). Determinar P.

Solución: Supongamos que el valor de r es negativo. Como AP = AB entonces A entre P y B.

r = -

y

-

-

5 - B(2, 5)

-

-

-

A(-3. ¡) -











-3 0 2 x

Por consiguiente.

x = x1 + r (x2 – x1) y = y1 + r (y2 – y1)

= - 3 – 1 [ 2 – ( - 3)] = -1 – 1 (5 – 1)

= - 8 = - 3

Entonces P: P = (- 8, - 3)

Solución alterna:

Invertimos los papeles de A y B, y tenemos:

R = , B = (x1, y1) = (2, 5), y A = (x2, y2) = (- 3, 1)

x = x1 + r (x2 – x1) y = y1 + r (y2 – y1)

= 2 + 2 (- 3 – 2) = 5 + 2 (1 – 5)

= - 8 = - 3

y P = (-8, - 3) como antes.

Un caso muy importante de las fórmulas de punto de división se presenta cuando r = ½, que determina el punto medio del segmento AB. Al emplear las fórmulas de punto de división llegamos al siguiente teorema.

Si P es el punto medio de AB, entonces las coordenadas de P son:

y











Así, para encontrar el punto medio de u segmento AB sencillamente promediamos las coordenadas x y de los puntos dados. Un momento de razonamiento nos permitirá ver la lógica de lo anterior, el promedio de dos alturas está a la mitad de ellos, el promedio de dos temperaturas está a la mitad entre ellas, etc.

3. Encontrar el punto el punto medio del segmento AB, donde A = (1, 5) y B = (- 3, -1)

Solución:

x = y =

x = - 1 y = 2

Por lo tanto, P = (-1, 2).

FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

La ecuación de una recta cualquiera viene dada por la expresión Ax + By + C = 0, donde A o B deben ser distintos de cero y C puede o no vale cero. La ecuación precedente recibe el nombre de forma general de la ecuación de una recta.

Consideremos ahora el problema inverso. Es decir, la ecuación anterior, ¿representa siempre a una recta?. Para contestar a esta pregunta vamos a estudiar las dos formas posibles de la ecuación anterior con respecto al coeficiente de y, o sea, las formas para B = 0 y para B 0

Si B = 0, entonces A 0 y la ecuación se reduce a la forma x = - C/A, que es la ecuación de una recta paralela al eje Y.

Si B 0, podemos dividir la ecuación por B y transponer términos, obteniendo finalmente la forma.











Que es la ecuación de una recta cuya pendiente es - y cuya ordenada en el origen

es - .

Así pues, concluiremos que la ecuación Ax + By + C = 0 siempre representa una recta. Por lo tanto, tenemos el siguiente resultado.

Una ecuación lineal en las variables x e y representa una recta y recíprocamente.

Consideremos ahora los tres coeficientes A, B y C de la forma general de la ecuación de la recta. Todos ellos son constantes reales y pueden tomar cualquier valor real, siempre que A y B no sean simultáneamente nulos. Puede demostrarse con facilidad que solamente dos de estas constantes son independientes. En efecto, por lo menos uno de los coeficientes A y B debe ser diferente de cero. Por lo tanto, si A 0, podemos dividir la ecuación por A de manera que tome la forma.

En la que tan sólo aparecen dos constantes independientes, B/A y C/A. Ahora bien, para calcular estas constantes se necesitan dos ecuaciones

independientes.

La interpretación geométrica de que una recta quede determinada por dos condiciones independientes es que una recta queda completamente determinada si se conocen dos de sus puntos o bien uno de sus puntos y su dirección.

Ejemplo.

Hallar los valores que deben tener los coeficientes de la ecuación general de una recta Ax + By + C = 0, para que la recta pase por los puntos (-4, 4) y (3, -2)











A partir de dichos coeficientes hallar la ecuación de la recta.

Solución: Como ambos puntos se hallan situados sobre la recta, deben satisfacer la ecuación de dicha recta. Así pues, para el punto (-1, 4) tendremos que

- A + 4B + C = 0

Y para e punto (3, -2) tendremos que

3A – 2B + C = 0

Resolviendo las ecuaciones anteriores para A y B en función de C, se obtiene

A = -3C/5, B = -2C /5

Sustituyendo estos valores de A y B en la forma general de la ecuación de la recta se obtiene

Dividiendo toda la ecuación por C y simplificando, se obtiene como ecuación de la recta 3x+ 2y – 5 = 0, cuyos coeficientes son A 0 3, B = 2, C = - 5

Representando gráficamente tenemos:

y

(-1, 4) -

-

- 3x + 2y – 5 = 0

-

x

- (3, -2)











-

- De las tres constantes de la ecuación de una recta A, B o C, dos de ellas además de no tener valor nulo, son independientes

- Una recta queda determinada totalmente si se conocen dos de sus puntos gracias a la independencia de sus variables.

- Dos rectas en el espacio pueden relacionarse entre sí de cuatro formas distintas: por coincidencia, por cortarse en un punto, por ser perpendiculares o por ser paralelas.

- Si los coeficientes de dos restas, en la ecuación personal son proporcionales, éstas son coincidentes.

FAMILIAS DE LINEAS RECTA

Se denomina familia de rectas o haz de rectas al conjunto de rectas que satisfacen una única condición geométrica.

El concepto de familia de rectas resulta útil para determinar la ecuación de una recta en particular. El procedimiento consiste, básicamente, en dos etapas:

a) Se escribe la ecuación de la familia de rectas de manera que satisfaga una condición dada.

b) Se denomina el valor del parámetro de la familia aplicando la otra condición dada..

Resulta especialmente interesante la familia de rectas que pasan por la intersección de dos rectas dadas. Supongamos que las ecuaciones de dos rectas que se cortan son.

y sea P1(x1, y1) su punto de intersección.











Consideremos la ecuación

En donde k1 y k2 son constantes arbitrarias que pueden tomar todos los valores reales, exceptuando el caso en que ambas sean cero simultáneamente. Vamos a demostrar que la ecuación precedente es la ecuación de la familia de rectas que pasan por P1.

Como k1 y k2 son constantes, la ecuación es lineal en las variables x e y y, por lo tanto, representa una línea reta.

Además, como P1 (x1, y1) está sobre ambas rectas, sus coordenadas satisfacen sus respectivas ecuaciones, de modo que

Haciendo x = x1 y y = y1, obtenemos que

K1 · 0 + k2 · 0 = 0

que es verdadera para cualquier valor de k1 y k2. Por consiguiente, la ecuación anteriormente indicada representa a todas las rectas que pasan por P1 (x1, y1), punto de intersección de ambas rectas.

Sin embargo, generalmente no nos interesa obtener las rectas a partir de dicha ecuación. Podemos, por ejemplo, eliminar la segunda recta de la familia

especificando que k1 puede tomar todos los valores reales excepto cero. Con esta hipótesis se puede dividir la ecuación por k1, y si reemplazamos la constante k2/k1 por k, la ecuación toma la forma más simple.

en done el parámetro k puede tomar todos los valores reales. Esta ecuación representa entonces la familia de todas las rectas que pasan por la intersección de las dos rectas, con la única excepción de la segunda recta.











La importancia de esta última ecuación radica en que nos permite obtener la ecuación de una recta que pasa por la intersección de dos rectas dadas sin tener que buscar las coordenadas del punto de intersección.

- Todas las rectas de una familia están relacionadas por unos valores constantes k.

Ejemplo gráfico.

(x3, y3)

(x2, y2)

(x1, y1)

- Al igual que una recta tiene unas ecuaciones que la determinan, también las líneas curvas y, en especial, la circunferencia pueden determinarse mediante una expresión matemática.

ECUACION DE CIRCUNFERENCIA

Circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal modo que se mantiene siempre a una distancia constante de un punto fijo de dicho plano.











El punto fijo se denomina centro de la circunferencia y la distancia constante se llama radio.

La circunferencia cuyo centro es el punto (h, k) y cuyo radio es la constante r, tiene por ecuación.

En efecto, sea P(x, y) un punto cualquiera de la circunferencia de centro C(h, k) y radio r. Por definición de circunferencia, el punto P debe satisfacer la condición geométrica.

= r

tal como podemos observar en la siguiente figura, y que viene expresada, analíticamente , por la ecuación

y

x1 x

C

y’

O sea, Mas Publicaciones | Sala de Prensa - Noticias | Testimonios | Página de Inicio

0

C(h,k)










Recíprocamente, sea un punto cualquiera cuyas coordenadas nada satisfacen la ecuación anterior, de modo que se verifica la igualdad.

Extrayendo la raíz cuadrada

que es la expresión analítica de la condición geométrica aplicada al punto P1. Por lo tanto, demostrados los teoremas directo y recíproco, se concluye que la ecuación anterior es la buscada.

Para el caso particular en que el entro C esté en el origen, h = k = 0, y tenemos el siguiente resultado.

La circunferencia de centro en el origen y radio r tiene por ecuación

Así pues, si se conocen las coordenadas del centro y la longitud del radio, la ecuación de la circunferencia puede escribirse inmediatamente.

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos vértices son

Solución: Para construir la circunferencia que pasa por tres puntos dados se debe trazar las mediatrices de dos cualesquiera de los lados, por ejemplo, de y

de , tal como puede observarse en la siguiente figura.

y











P2 (3,5)

l1

P1(-1,1)

x’

lll

P3(5, -3)

Y1

La intersección C de l1 y l2 es el centro y la distancia de C a uno cualquiera de los puntos P1, p2, p3 es el radio. Siguiendo este mismo método vamos a determinar analíticamente la ecuación de la circunferencia.

Resulta inmediato determinar que las ecuaciones de las mediatrices son l1: x + y = 4 y l2: x – 4y = 0. La solución común de ambas ecuaciones es x = 16/5, y=4/5, de manera que las coordenadas del centro C son (16/5, 4/5).

Para calcular el radio, tenemos que

Por consiguiente, la ecuación buscada es

- Una circunferencia es el conjunto infinito de puntos P que equidistan de otro punto C, que llamaremos también centro

- Para determinar la ecuación de la recta basta conocer el centro y la distancia r o radio que hay hasta un punto cualquiera de esa circunferenciaMas Publicaciones | Sala de Prensa - Noticias | Testimonios | Página de Inicio

0 l2










FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

Desarrollando la ecuación ordinaria de la circunferencia

se obtiene

que puede escribirse en la forma

siendo

Así pues, la ecuación de una circunferencia puede escribirse siempre como en la ecuación precedente, que se denomina forma general de la ecuación de la circunferencia.

A continuación vamos a comprobar que, recíprocamente, toda ecuación del tipo anterior representa una circunferencia. Para ello, observemos que la ecuación general puede expresarse del modo.

Sumando a ambos miembro resulta

o sea

Es evidente que depende del segundo miembro que la ecuación precedente represente o no una circunferencia. Podemos considerar los tres casos siguiente:











a) Si > 0, la ecuación representa una circunferencia de centro en el punto ( y cuyo radio es igual a

b) la ecuación representa una circunferencia de radio cero. Se dice también que la circunferencia es un círculo punto o un círculo nulo. En esta caso, la ecuación representa un solo punto de coordenadas

c) Si < 0, la ecuación representa un círculo imaginario.

La ecuación no representa en este caso un lugar geométrico.

Así pues, obtenemos el siguiente resultado:

La ecuación representa una circunferencia de radio diferente de cero únicamente si

> 0

En este caso, las coordenadas del centro de la circunferencia son y el

radio es

Ejemplo:

Reducir la ecuación 2x2 + 2y2 – 10x + 6y – 15 = 0 a la forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia. Si la ecuación representa una circunferencia, hallar su centro y su radio.

Solución: En primer lugar dividiremos la ecuación por 2, que es el coeficiente de x2, y pasaremos el término independiente al segundo miembro. Volviendo a ordenar los términos obtendremos:

(x2 – 5x) + (y2 + 3y) = 15/2











Para completar los cuadrados, sumamos el cuadrado de la mitad del

coeficiente de x y el cuadrado de la mitad del coeficiente de y a ambos miembros. De este modo resulta:

(x2 – 5x + 25/4) + (y2 + 3y + 9/4) = 15/2 + 25/4 + 9/4

que puede escribirse como

(x – 5/2)2 + (y + 3/2)2 = 16

Por consiguiente, la ecuación dada representa una circunferencia cuyo centro es (5/2,. -3/2) y cuyo radio es 4.

FAMILIAS DE LA CIRCUNFERENCIA

Una circunferencia que satisface menos de tres condiciones independientes no es única. La ecuación de una circunferencia que satisface solamente dos condiciones contiene una constante arbitraria denominada parámetro. En este caso, se dice que dicha ecuación representa una familias de circunferencias de un parámetro.

Así, por ejemplo, la familia de todas las circunferencias concéntricas cuyo centro común es el punto (1, 2) tiene por ecuación: (x -1)2 – (y - 2)2 = k2


(1,2)










(x -1)2 + (y - 2)2 = k2

en donde el parámetro k es cualquier número positivo.

Vamos a estudiar a continuación el caso de la familia de curvas que pasan por las intersecciones de dos circunferencias dadas. Sean C1 y C2 dos circunferencias dadas cualesquiera distintas, cuyas ecuaciones respectivas son

A partir de las ecuaciones anteriores se deduce la ecuación

E donde el parámetro k puede tomar todos los valores reales. Supongamos que los círculos C1 y C2 se cortan en dos puntos distintos P1(x1, y1) y P2(x2, y2). Como las coordenadas de P1(x1, y1) satisfacen las ecuaciones de C1 y C2, también satisfacen la ecuación anterior y ésta se reduce a 0 + k · 0 = 0, que es verdadera para todos los valores de K.

Análogamente, las coordenadas de P2(x2, y2) satisfacen también dicha ecuación para todos los valores de k, puesto que satisfacen las ecuaciones de de C1 y C2.

Por consiguiente, la última ecuación representa la familia de curvas que pasan por las dos intersecciones de las circunferencias C1 y C2. Para determinar la naturaleza de las curvas de dicha familia, escribimos la ecuación en la forma











Si k = - 1, esta ecuación se reduce a una de primer grado y, por lo tanto, representa una línea recta. Para cualquier otro valor de k; la ecuación representa una circunferencia. E particular, para k = 0, la ecuación anterior se reduce a la ecuación de C1.

Esta ecuación resulta muy útil, para obtener la ecuación de una curva que pasa por las intersecciones de las circunferencias dadas, ya que en este caso no es necesario determinar las coordenadas de los puntos de intersección.

Todos estos resultados pueden resumirse del modo siguiente:

Si las ecuaciones de dos circunferencias dadas cualesquiera C1 y C2 son.

La ecuación.

Representa una familia de circunferencias todas las cuales tienen sus centros e la recta que une los centros de C1 y C2.

Si C1 y C2 se cortan en dos puntos diferentes, la ecuación representa, para todos los valores de k diferentes de -1, todas las circunferencias que pasan por los dos puntos de intersección C1 y C2, con la única excepción de C1 misma.

Si C1 y C2 son tangentes entre sí, la ecuación representa, para todos los valores de k diferentes de -1, todas las circunferencias que son tangentes a C1 y C2 e su punto común con la única excepción de C2 misma.

Si C1 y C2 no tienen ningún punto común la ecuación representa una circunferencia para cada valor de k diferente de -1, siempre que la ecuación resultante tenga coeficientes que satisfagan la ecuación de una circunferencia. Ningún par de circunferencia de la familia tiene un punto común con ninguna de las dos circunferencias C1 y C2.











Ejemplo.

Las ecuaciones de dos circunferencias son

Hallar la ecuación de la circunferencia C3 es un miembro de la familia.

En donde el parámetro k debe determinarse mediante la condición de que el centro de C3 se halla situado sobre la recta r. resulta inmediato determinar el centro de cualquier circunferencia de la familia anterior. Sus coordenadas son:

,

Como estas coordenadas deben satisfacer la ecuación de r, tendremos que:

De donde se deduce inmediatamente que k= - 7/3

Sustituyendo este valor de k y multiplicando, se obtiene como ecuación de C3:

En la siguiente figura se muestra el trazo de las tres circunferencias C1, C2 y C3 y la recta r.











y

C1 r

C2

C3

x´ 0 x

y´

LAS CÓNICAS.

Son líneas que se determinan al cortar un cono con planos de distinta inclinación.

Las cónicas son circunferencia, elipse, parábola e hipérbola.

Es importante tener en cuenta que son líneas y no superficies.

Circunferencia.

Es la línea que se observa al cortar un cono recto con un plano paralelo a la base. Ejemplo.Mas Publicaciones | Sala de Prensa - Noticias | Testimonios | Página de Inicio










Elipse

Es la línea que se observa al cortar un cono recto con un plano oblicuo. Ejemplo.

Parábola











Es la línea que se observa al cortar un cono recto con un plano paralelo a la generatriz

Hipérbola

Es la línea que se observa al cortar un cono recto co un plano perpendicular a la base del mismo.











Definición y generalidades de la parábola.

La parábola, la elipse, y la hipérbola se denominan secciones cónicas o simplemente cónicas.

Una parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia a una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia a un punto fijo del plano que no pertenece a la recta.

El punto fijo se denomina foco y la recta fija directriz de la parábola. Tal como podemos observar en la figura, designemos por F y l el foco y la directriz de una parábola, respectivamente. La recta a que pasa por F y es perpendicular a l se denomina eje de la parábola. Sea A el punto de intersección del eje y la directriz. El punto V, punto medio del segmento AF está por definición, sobre la parábola. Este punto se llama vértice de la parábola. El segmento de recta, tal como BB´, que une dos puntos cualesquiera diferentes de la parábola se llama cuerda. En particular, una cuerda que pasa por el foco, como CC´, se denomina cuerda focal. La cuerda focal LL´ perpendicular al eje se llama lado recto. Si P es un punto cualquiera de la parábola, la recta FP que une el foco F con el punto P se llama radio focal de P o radio vector.











L B

C

L

P

V

F a

C’

L’

B’

Ecuaciones de la parábola

La ecuación de una parábola adopta su forma más simple cuando su vértice está en el origen y su eje coincide con no de los ejes coordenados.











Tal como podemos observar en la figura siguiente, consideremos la parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje X. El foco F está sobre el eje X. Sean (p,0) sus coordenadas. Por definición de parábola, la ecuación de la directriz es x = - p

Sean P(x, y) un punto cualquiera de la parábola. Tracemos por P el segmento PA perpendicular a . Entonces, por la definición de parábola, el punto P debe satisfacer la condición.

Ejemplo.

y

A P(x,y)

0 x

F(p,0)

X =- p

y2 = 4px











p1(x, y1)

y1y = 2p(x+x1)

Ahora bien,

Pero como

Tendremos

Elevando al cuadrado ambos miembros de esta última ecuación y simplificando, se obtiene y2 = 4px

Recíprocamente sea P1(x1, y1) un punto cualquiera cuyas coordenadas satisfagan la anterior ecuación. Tendremos:

=

Si sumamos (x1 – p)2 a ambos miembros de esta ecuación y extraemos la raíz cuadrada, obtenemos, para la raíz positiva.

Por consiguiente, P1 está sobre la parábola.











Evidentemente, la parábola considerada pasa por el origen y no tiene ninguna otra intersección con los ejes coordenados. La única simetría que posee es con respecto al eje X. despejando y de la ecuación tenemos.

Por lo tanto, para valores de y reales y diferentes de cero, p x deben ser del mismo signo. Así, pues, podemos considerar dos casos: p > 0 y p < 0.

Si p > 0, deben excluirse todos los valores negativos de x, y toda la curva se encuentra a la derecha del eje Y. Como no se excluye ningún valor positivo de x, como y puede tomar y todos los valores reales, se obtiene una curva abierta que se extiende indefinidamente hacia la derecha del eje Y y hacia arriba y abajo del eje X. En este caso se dice que la parábola se abre hacia la derecha.

Análogamente, si p < 0, todos los valores positivos de x deben excluirse en la ecuación y toda la curva aparece a la izquierda del eje Y, tal como podemos observar en la siguiente figura (2). En este caso, se dice que la parábola se abre la izquierda.

Hay dos puntos sobre la parábola que tienen abscisa igual a p, uno de ellos tiene la ordenada 2p y el otro la ordenada –2p. Como la abscisa del foco es p, la longitud del lado recto es igual al valor absoluto de 4p.

Si el vértice de la parábola está en el origen y su eje coincide con el eje Y, se demuestra que la ecuación de la parábola es

En donde el foco es el punto (0, p). Ejemplo..

y











F(p, o) 0 x

= - p, p < 0

(2)

Tal como podemos observar en la figura (3) , si p > 0, la parábola se abre hacia arriba.

y

. F(0,p)

0 x

y= - p, p < 0

(3)

Si p < 0, la parábola se abre hacia abajo, tal como observamos en la figura 4

y

Y = p, p< 0











0

x

F(0,p)

Fig. 4

Los resultados pueden resumirse del modo siguiente:

- La ecuación de una parábola de vértice en el origen y eje X, es y2 = 4px, en donde el foco es el punto (p, 0) y la ecuación de la directriz es x = - p.

- Si p > 0, la parábola se abre hacia la derecha; si p < 0, la parábola se abre hacia la izquierda.

- Si el eje de una parábola coincide con el eje Y, y el vértice está en el origen, su ecuación es x2 = 4py, en donde el foco es el punto (0, p), y la ecuación de la directriz es y = - p. Si p > 0, l a parábola se abre hacia arriba: si p < 0, la

parábola se abre hacia abajo.

En cada caso, la longitud del lado recto está dada por el valor absoluto de 4p, que es el coeficiente del término de primer grado.

Tal como podemos observar en la figura (5), consideremos la parábola cuyo vértice es el punto (h, k) y cuyo eje es paralelo al eje X.

Silos ejes coordenados se trasladan de modo que el nuevo origen o coincida con el vértice (h, k), la ecuación de la parábola con respecto a los nuevos ejes X’ e Y´ vendrá dada por

y´

y

(h, k)











0´ x´

0 x

Fig. 5

y ’ 2 = 4px ’

en donde las coordenadas del foco F son (p,0) referido a los nuevos ejes. A partir de la ecuación de la parábola referida a los ejes originales X e Y se pueden obtener las ecuaciones.

x1= x – h; y1= y – k

Sustituyendo estos valores de x´ e y´ en la ecuación anterior se obtiene.

(y – k)2 = 4p(x – h)

Análogamente, la parábola cuyo vértice es el punto (h, k) y cuyo eje es paralelo

(x – h)2 = 4p(y – k)

Siendo la longitud de la porción del eje comprendida entre el foco y el vértice.

Los resultados anteriores pueden resumirse del modo siguiente

- La ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje paralelo al eje X, es de la forma

siendo la longitud del segmento del eje comprendido entre el foco y el vértice.

- Si p > 0, la parábola se abre hacia la derecha. Si p < 0, la parábola se abre hacia la izquierda.Mas Publicaciones | Sala de Prensa - Noticias | Testimonios | Página de Inicio










- Si el vértice es el punto (h, k) y el eje de la parábola es paralelo al eje Y, su ecuación es de la forma

(x – h)2 = 4p (y – k)

- Si p > 0, la parábola se abre hacia arriba. Si p < 0, la parábola se abre hacia abajo.

Si desarrollamos y transponemos términos en la ecuación

se obtiene

Que puede escribirse del modo siguiente.

En donde

Recíprocamente, completando el cuadrado en y, se puede demostrar que una ecuación como la anterior representa una parábola cuya eje es paralelo al eje X.

Si , la ecuación toma la forma

Que es una ecuación cuadrática en la única variable y. Si las raíces r1 y r2 de la ecuación anterior son reales y distintas, la ecuación puede escribirse e la forma

Y el lugar geométrico correspondiente consta de dos rectas distintas, son reales e iguales, el lugar geométrico correspondiente consta de dos rectas











coincidentes representadas geométricamente por una sola recta paralela al eje X,.Por último, si las raíces r1 y r2 son complejas, no existe ningún lugar geométrico. Los resultados anteriores pueden resumirse del modo siguiente:

- Una ecuación de segundo grado en las variables x e y que carezca de término en xy puede escribirse en la forma.

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Si A = 0, C 0 y D 0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo o coincide con el eje X. Si, en cambio, D = 0, la ecuación representa dos recta diferentes paralelas al eje X, dos rectas coincidentes paralelas al eje X, o ningún lugar geométrico, según que las raíces de Cy2 + Ey + F = 0 sean reales y desiguales, reales e iguales o complejas.

Si A 0, C = 0 y E 0, o la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo a o coincide con el eje Y. Si, en cambio, E = 0, la ecuación representa dos rectas diferentes paralelas el eje Y o ningún lugar geométrico, según que las raíces de Ax2+ Dx + F = 0 sean reales y desiguales, reales e iguales o complejas.

La elipse.

Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de modo que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos.

Los dos puntos fijos se denominan focos de la elipse. Tal como podemos observar en la figura 6, sean F y F´ los focos de una elipse. La recta r que pasa por los focos recibe el nombre de eje focal.

El eje focal corta a la elipse en dos puntos, V y V ´, que se denominan vértices. La porción del eje focal comprendida entre los vértices, es decir, el segmento VV´, se llama eje mayor. El punto C del eje focal, punto medio del segmento que une los focos, se denomina centro. La recta r´ que pasa por C y es perpendicular al eje focal r recibe el nombre de eje normal. El eje normal r´ corta a la elipse en dos puntos A y A´, y el segmento A A´, y el segmento AA´ se denomina eje menor. Un segmento como BB´ que une dos puntos diferentes cualesquiera de la elipse, se llama cuerda. Una curda que pasa por uno de los focos se denomina cuerda focal. Tal como L L´, perpendicular Mas Publicaciones | Sala de Prensa - Noticias | Testimonios | Página de Inicio










al eje focal r, se llama lado recto. Como la elipse tiene dos focos, tiene también dos lados rectos. Una cuerda que pasa por C, tal como D D´, se denomina diámetro. Si P es un punto cualquiera de la elipse, los segmentos F P y F´ P que unen los focos con el punto P se llaman radios vectores de P. Ejemplo.

r´

B D A E

P

V´ V

F r

E´

B L´

A D´

Fig. 6

Ecuación de la elipse.

Tal como podemos observar en la figura 7, consideremos la elipse de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje X.

Los focos F y F´ están sobre el eje X. Cono el centro 0 es el punto medio del segmento F F´, las coordenadas de F F´ serán (c, 0) y (- c, 0), respectivamente, siendo c una constante positiva.

y


F

F










A P(x, y)

V´ V

x

A

Sea P(x, y) un punto cualquiera de la elipse. El punto P sebe satisfacer la ecuación.

Siendo a una constante positiva mayor que c.

Ahora bien,

De modo que la condición geométrica queda expresada analíticamente por la ecuación.

Para simplificar la ecuación anterior, pasamos el segundo radical al segundo miembro, elevamos al cuadrado, simplificamos y agrupamos los términos semejantes. De este modo se obtiene.

Elevado de nuevo al cuadrado, resulta


F(-c,0) F(c,0)










de donde

Como 2 a > 2c se cumple que a2 > c2 y, por lo tanto, a2 – c2 es un número positivo que puede ser reemplazado por el número positivo b2, es decir,

Sustituyendo a2 – c2 por b2, se obtiene

b2x2 + a2y2 = a2b2

Dividiendo por a2b2 resulta

X2/a2 + y2/b2 = 1

Recíprocamente, sea P1(x1, y1) un punto cualquiera cuyas coordenadas satisfacen la ecuación anterior. Se demuestra fácilmente que la ecuación anterior conduce a la relación.

Que es la expresión analítica de la condición geométrica aplicada al punto P1. Por consiguiente, P1 está sobre la elipse cuya ecuación hemos obtenido anteriormente.

Por ser a y –a las intersecciones con el eje X, las coordenadas de los vértices V y V´ son (a, 0) y (-a, 0), respectivamente, y la longitud del eje mayor es igual a 2a..

Las intersecciones con el eje Y son b y –b.

Por lo tanto, las coordenadas de los extremos A y A´ del eje menor son (0, b) y (0, - b), respectivamente, y la longitud del eje menor es igual a 2b.

Así pues, la elipse es simétrica con respecto a ambos ejes coordenados y al origen.

Despejando y en la ecuación de la elipse se obtiene,











Por consiguiente, se obtienen valores reales de y tan sólo para valores de x del intervalo.

Despejando x de la ecuación de la elipse se obtiene

De manera que se obtienen valores reales de x, únicamente para los valores de y comprendidos en el intervalo

De los resultados anteriores se deduce que la elipse está limitada por el rectángulo cuyos lados son las retas . Por lo tanto, la elipse es una curva cerrada y, evidentemente, no tiene asíntotas verticales ni horizontales.

La abscisa del foco F es c. Si sustituimos x por este valor se obtienen las coordenadas correspondientes que son

de donde,

Por lo tanto, la longitud del lado recto para el foco F es 2b2/a. Análogamente, la longitud del lado recto para el foco F´ es 2b2/a.

Se define la excentricidad de una elipse como la razón c/a y se suele representar por la letra e. Así pues,

Como c < a, la excentricidad de una elipse es menor que la unidad.











Consideremos ahora el caso en que el centro de la elipse está en el origen, pero su eje focal coincide con el eje Y. Las coordenadas de los focos son entonces (0,c) y (0, -c). En este caso, la ecuación de la elipse es

en donde a es la longitud del semieje mayor, b la longitud del semieje menor y a2 = b2

+ c2.

Los resultados anteriores pueden resumirse del modo siguiente.

- La ecuación de una elipse de centro en el origen, eje focal el eje X, distancia focal igual a 2c y cantidad constante igual a 2a es

- Si el eje focal de la elipse coincide con el eje Y, de modo que las coordenadas de los focos sean (0,c) y (0, - c), la ecuación de la elipse es

- Para cada elipse, a es la longitud del semieje mayor, b la del semieje menor, y a, b y c están relacionados por la expresión

- También, para cada elipse, la longitud de cada lado recto es 2b2/a y la excentricidad e viene dada por la fórmula.

< 1











Consideremos la elipse cuyo centro está en el punto (h,k) y cuyo eje focal es paralelo al eje X, tal como puede observarse en la figura 7.

y´

y

o x´

0 x

Sean 2ª y 2b las longitudes de los ejes mayor y menor de la elipse, respectivamente. Si se trasladan los ejes coordenados de manera que el nuevo origen 0 ‘ coincida con el centro (h, k) de la elipse, la ecuación de la elipse referida a los nuevos ejes X ‘ e Y ‘

vendrá dada por

x ’ 2/a2 + y´ 2/b2 = 1

A partir de esta ecuación puede deducirse la ecuación de la elipse referida a los ejes originales X e Y usando las ecuaciones.

x´ = x – h; y´= y – k

Sustituyendo estos valores de x´ e y´ en la ecuación de la elipse, se obtiene

Que es la ecuación de la elipse referida a los ejes originales X e Y.

Análogamente, puede demostrarse que la elipse cuyo centro es el punto (h,k) y cuyo eje focal es paralelo al eje Y tiene por ecuación


0´

(h,k)










Los resultados anteriores pueden resumirse del modo siguiente:

- La ecuación de la elipse de centro el punto (h,k) y eje focal paralelo al eje X, viene dada por la expresión.

- Si el eje focal es paralelo el eje Y, su ecuación viene dada por la expresión

- Para cada elipse a es la longitud del semieje mayor, b es la del semieje menor, c es la distancia del centro a cada foco, y a, b y c están ligadas por la relación a2= b2 + c2.

- También, para cada elipse, la longitud de cada uno de sus lados rectos es 2b2/a y la excentricidad e viene dada por la expresión.

< 1

Consideremos la ecuación de la elipse en la forma

Quitando denominadores, desarrollando, transponiendo términos y ordenando se obtiene.Mas Publicaciones | Sala de Prensa - Noticias | Testimonios | Página de Inicio










Que puede escribirse de la forma

en donde,

A = b2, C = a2, D = - 2b2h, E = - 2a2k, F = b2h2 + a2k2 – a2b2

Obviamente, los coeficientes A y C debe tener el mismo signo.

Recíprocamente, consideremos una ecuación de la forma anterior y reduzcámosla a la forma ordinaria completando cuadrados. Se obtiene,

Sea

Si tomamos un valor M 0, la ecuación anterior puede escribirse del modo siguiente.

que es la ecuación ordinaria de la elipse.

Los resultados que hemos ido obteniendo pueden resumirse del modo siguiente

Si los coeficientes A y C son del mismo signo, la ecuación Ax2+ Cy2+ Dx + Ey + F = 0 representa una elipse de ejes paralelos a los coordenados, o bién un punto o no representa ningún lugar geométrico real.

Propiedades de la elipse.











a) La tangente a la elipse b2x2 + a2y2 = a2b2 en cualquier punto P1(x1, y1) de la curva tiene por ecuación

b) Las ecuaciones de las tangentes de pendiente m a la elipse b2x2 + a2y2 = a2b2 son

c) La normal a una elipse en uno cualquiera de sus puntos es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese punto.

:

La hipérbola

Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un `plano de modo que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos.

Tal como podemos en la figura 8, los focos se designan por F y F´. La recta r pasa por los focos recibe el nombre de eje focal. El eje focal corta a la hipérbola en dos puntos V y V´, denominados vértices. La porción del eje focal comprendido entre los vértices, el segmento VV´, se llama eje transverso. El punto medio C del eje transverso se denomina centro. La recta r´ que pasa por C y es perpendicular al eje focal r recibe el nombre de eje normal. El eje normal r´ o corta a la hipérbola. La porción del eje normal, el segmento AA´, que tiene C por punto medio, se denomina eje conjugado. El segmento que une dos puntos distintos cualesquiera de la hipérbola se llama cuerda. Una cuerda que pasa por un foco, tal como E E´, recibe el nombre de cuerda focal. Una cuerda focal, como LL´, perpendicular al eje focal r, se denomina lado recto. Evidentemente, la hipérbola tiene dos lados rectos. Una cuerda que pasa por C, tal como D D´, se llama diámetro. Si P es un punto cualquiera de la hipérbola, los segmentos FP y F´P que unen los focos con el punto P se denominan radios vectores de P. Ejemplo.

r´











B

E L

- A P

F D F

V´ C V r

D´

E´ - A

B´ L´

Fig 8

Ecuaciones de hipérbola.

Tal como podemos observar en la figura 9, consideremos la hipérbola de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje X.

Los focos F y F´ están situados sobre el eje X. Como el punto 0 es el punto medio del segmento F F´, las coordenadas de F y F´ serán, respectivamente, (c,0) y )-c,0) siendo c una constante positiva.

Sea P(x, y) un punto cualquiera de la hipérbola. Por la definición de hipérbola, el punto P debe satisfacer la condición.

en donde a es una constante positiva y 2 a < 2c. La condición geométrica es equivalente a las dos relaciones











La primera de esta relaciones se verifica cuando P está sobre la rama izquierda de la hipérbola. La segunda relación se verifica cuando P está sobre la rama derecha.

Fig. 9

Ejemplo: y

A

P(x,y)

0

F(-c,0) V´ V F(c,0)

A´

Ahora bien,

De modo que la condición geométrica queda expresada analíticamente por

Las ecuaciones precedentes se reducen a











Puesto que c > a, c2 – a2 es un número positivo que podemos designar por b2. Por consiguiente, sustituyendo e la ecuación anterior la relación

c2 – c2 = a2

se obtiene,

b2x2 – a2y2 = a2b2

que puede escribirse en la forma,

x2/a2 – y2/b2 = 1

Recíprocamente, puede demostrarse que si P1(x1, y1) es un punto cualquiera cuyas coordenadas satisfacen la ecuación anterior, entonces P1 está sobre la hipérbola. Así pues, la última ecuación es la ecuación de la hipérbola.

Las Intersecciones de la hipérbola considerada con el eje X son a y -a. Por consiguiente, las coordenadas de los vértices V y V´ son (a, 0) y (-a, 0), respectivamente, y la longitud del eje transverso es igual a 2a. Aunque no hay intersecciones con el eje Y, se toman como extremos del eje conjugado los puntos A (0,b) y A´(0,-b). Por lo tanto, la longitud del eje conjugado es igual a 2b.

La hipérbola es simétrica respecto a ambos ejes coordenados y al origen. Así pues, despejando y de la ecuación de la hipérbola, resulta.

Por consiguiente, para que los valores de y sean reales, x está restringida dentro de los intervalos . Así pues, ninguna porción de la hipérbola aparece en la región comprendida entre las rectas x = a y x = - a.

Despejando x de la ecuación de la hipérbola se obtiene.

de la cual se deduce inmediatamente que x es real para todos los valores reales de y.











Las ecuaciones precedentes indican que la hipérbola no es una curva cerrada, sino que consta de dos ramas diferentes, una de las cuales se extiende indefinidamente hacia la derecha, arriba y abajo del eje X.

La hipérbola considerada no tiene asíntotas verticales ni horizontales, aunque posteriormente demostraremos que tiene dos asíntotas oblicuas.

La longitud de cada lado recto de la hipérbola es 2b2/a. La excentricidad e de una hipérbola está definida por la razón c/a. Así pues,

Como c > a, la excentricidad de una hipérbola es mayor que la unidad. Si el centro de la hipérbola está en el origen pero su eje focal coincide con el eje Y, se demuestra análogamente, que la ecuación de la hipérbola es


- La ecuación de la hipérbola de centro e el origen, eje focal coincidente con el eje X, y focos los puntos (c, 0) y (- c, 0) es

x2/a2 – y2/b2 = 1

- Si el eje focal coincide con el eje Y, de manera que las coordenadas de los focos sean (0, c) y (0, - c), entonces la ecuación es

y2/a2 – x2/b2 = 1

- Para cada hipérbola, a es la longitud del semieje transverso, b la del semieje conjugado, c la distancia del centro a cada foco, y a, b y c están ligados por la relaciónMas Publicaciones | Sala de Prensa - Noticias | Testimonios | Página de Inicio










c2 = a2 + b2

Para cada hipérbola, la longitud de cada uno de los lados rectos es 2b2/a, y la

Excentricidad e está dada por la relación

> 1

Si el centro de una hipérbola no está en el origen, pero sus ejes son paralelos a los ejes coordenados, se obtiene el siguiente resultado:

- La ecuación de una hipérbola de centro el punto (h, k) y eje focal paralelo al eje X, es de la forma

- Si el eje focal es paralelo el eje Y, su ecuación es

- Para cada hipérbola, a es la longitud del semieje transverso, b la del semieje conjugado, c la distancia del centro a cada foco, y a, b y c están ligadas por la relación.

c2= a2 + b2

Para cada hipérbola, la longitud de cada lado recto es 2b2/a, y la excentricidad e viene dada por la relación

> 1.











De la distancia de la ecuación de la hipérbola nos resulta:

Si los coeficientes A y C difieren en el signo, la ecuación Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, representa una hipérbola de ejes paralelos a los coordenados o un par de rectas que se cortan.

Asíntotas de la hipérbola.

Si en la ecuación de la hipérbola despejamos y, se obtiene,

que puede escribirse del modo siguiente,

Si un punto de la hipérbola se mueve a lo largo de la curva, de manera que su abscisa x aumente ilimitadamente, el radical del segundo miembro de la ecuación anterior se aproxima cada vez más a la unidad y la ecuación tiende a la forma.

Como la ecuación anterior representa las rectas y = bx/a y y = - bx/a, la hipérbola es asíntota a estas dos rectas.


- La hipérbola b2x2 + a2y2 – a2y2 tiene por asíntotas las rectas bx – ay = 0 bx + ay = 0

Consideremos la hipérbola cuyos ejes transverso y conjugado son de igual longitud. Entonces a = b, y la ecuación b2x2 – a2y2 = a2b2 toma la forma

x2 – y2 = a2

Debido a que sus ejes son iguales, la hipérbola anterior recibe el nombre de hipérbola equilátera. Las asíntotas de la hipérbola equilátera son las rectas x – y = 0 y x + y











= 0. Como estas rectas son perpendiculares, resulta que las asíntotas de una hipérbola equilátera son perpendiculares entre sí. Por este motivo, la hipérbola equilátera se denomina también hipérbola rectangular.

Una forma particularmente útil de la ecuación de la hipérbola equilátera es,

x y = k

en donde k es una constante cualquiera diferente de cero.

Si dos hipérbola so tales que el eje transverso de cada una es idéntico el eje conjugado de la otra, se dice que son hipérbolas conjugadas.

Puesto que la ecuación de una hipérbola es

x2/a2 – y2/b2= 1

la hipérbola conjugada tiene por ecuación

y2/b2 – x2/a2 = 1

En la figura 9 se han representado un par de hipérbolas conjugadas, junto con sus respectivas asíntotas.

y

(0, b)

(- a, 0) 0 (a, 0)

X











(0, - b)

Fig. 9

Propiedades de la hipérbola

a) La ecuación de la tangente a la hipérbola b2x2 – a2y2 = a2b2 en cualquier punto P1(x1, y1) de la curva es

b2x1x – a2y1y = a2b2

b) Las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola b2x2 – a2y2 = a2b2 de pendiente m son.

> b/a

c) La tangente a una hipérbola en cualquier punto de la curva es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese punto.





















T R I G O N O M E T R I A











FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA ADICIÓN

Y DE LA SUSTRACCIÓN DE ÁNGULOS

Funciones Trigonométricas de la suma y de la diferencia de dos ángulos.

Tal como podemos observar en la figura 1, supongamos que XOQ = a y QOP = b son dos ángulos cuya suma es XOP = a + b.

Construyamos ON OX, PQ OQ, PM OX y RQ PM.

Si consideramos los triángulos OQN, PQR y OPQ, tendremos que en OQN y PQR los ángulos QPR = NOQ = a por tratarse de ángulos agudos con los lados perpendiculares.

Así pues, vamos a calcular las funciones trigonométricas del ángulo a + b.

Cálculo del sen (a + b)

Sen (a + b) = PM/OP (1)Mas Publicaciones | Sala de Prensa - Noticias | Testimonios | Página de Inicio










Pero como PM = PR + RM (2)

y RM = QN (3)

y

P

a

R Q

a

0 b x

M N

fig. 1

Sustituyendo (3) en (2) resulta:

PM = PR + ON (4)

Sustituyendo (4) en (1)

Sen (a + b) = (PR + ON) / OP = PR / OP + ON / OP

Multiplicando ambos términos de la primera fracción por PQ y ambos términos de la segunda fracción por OQ resulta:

Se (a + b) = PR · PQ / OP · PQ + QN · OQ / OP · OQ (5)


1a










Ahora bien, PR / PQ = cos a (6)

PQ / OP = sen b (7)

ON / OQ = sen a (8)

OQ / OP = cos b (9)

Sustituyendo (6), (7), (8) y (9) en (5) tendremos:

Sen (a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a

Cálculo del cos (a + b)

cos (a + b) = OM / OP (1)

Ahora bien, como ON = OM + MN, tendremos que:

OM = ON – MN (2)

Pero MN = RQ (3). Sustituyendo (3) en (2) resulta:

OM = ON – RQ (4)

Sustituyendo (4) en (1) tendremos:

Cos (a + b) = (ON – RQ) / OP = ON / OP – RQ / OP

Multiplicando ambos términos de la primera fracción por OQ y ambos términos de la segunda fracción por PQ tendremos:

cos (a + b) = ON · OQ / OP · OQ – RQ · PQ / OP · PQ (5)

Ahora bien, ON / OQ = cos a (6)

OQ / PQ = cos b (7)

RQ / PQ = sen a (8)

PQ / OP = sen b (9)

Sustituyendo, (6), (7), (8) y (9) en (5) tendremos:Mas Publicaciones | Sala de Prensa - Noticias | Testimonios | Página de Inicio










cos (a + b) = cos a · cos b – sen a · sen b

Cálculo de la tan (a + b)

tan (a + b) = sen (a + b) / cos (a + b) (1)

Pero como sen (a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a (2)

y cos (a + b) = cos a · cos b – sen a · sen b (3)

Sustituyendo (2) y (3) en (1) resulta:

tan (a + b) = (sen a · cos b + sen b · cos a) / (cos a · cos b – sen a · sen b)

Dividiendo ambos términos por cos a · cos b tendremos:

O sea, tan (a + b) = (4)

Pero como (5)

y (6)


Cálculo de la cot (a + b)

(1)

Ahora bien, (2)

y (3)












Dividiendo ambos términos por sen a · sen b tendremos:

(4)

Pero como (5)

y (6)


Cálculo de la sec (a + b)

(1)

Pero como (2)


Cálculo de la csc (a + b)

(1)

Pero como (2)












Las funciones trigonométricas de a – b se obtiene a partir de las anteriores haciendo a – b = a + ( - b)

Cálculo del sen ( a - b)

(1)

Pero como (2)

y (3)


Cálculo del cos (a – b)

(1)

Pero como (2)

y (3)


Cálculo de la tan (a – b)

(2)


(1)

Pero como (2)












Cálculo de la sec (a – b)

(1)

Pero como (2)

y (3)


Cálculo de la csc (a - b)

(1)

Pero como cos (- b) = cos b (2)

y sen (- b) = - sen b (3)

Sustituyendo (29 y (3) en (1) resulta:

Ejemplo.

Sabiendo que sen 37º = 0,6018 y cos 20º = 0,9397, calcular las funciones trigonométricas de 57º y de 17º.

Solución Tendremos que:











Cos 37º =

Tan 37º = sen37º / cos 37º = 0,6018 / 0,7986 = 0,7536

cot 37º = cos 37º / sen 37º = 0,7986 / 0,6018 = 1,3270

sen 20º =

tan 20º = sen 20º / cos 20º = 0,3420 / 0,9397 = 0,3640

cot 20º = cos 20º / sen 20º = 0,9397 / 0,3420 = 2,7475

Así pues,

Sen 57º = sen (37º + 20º) sen 37º · cos 20º + sen 20º · cos 37º =

0,6018 · 0,9397 + 0,3420 · 0,7986 = 0,8387

= cos 37º · cos 20º - sen 37º · sen 20º =

0,7986 · 0,9397 – 0,6018 · 0,3420 = 0,5446

tan 57º = sen 57º / cos 57º = 0,8387 / 0,5446 = 1,5399

cot 57º = 1 / tan 57º = 1 / 1,5399 = 0,6494

sec 57º = 1 / cos 57º = 1,8361

csc 57º = 1 / sen 57º = 1,1924

sen 17º = sen (37º - 20º) = sen 37º · cos 20º - sen 20º · cos 37º =

0,6018 · 0,9397 – 0,3420 · 0, 7986 = 0,2924

Cos 17º = cos (37º - 20º) = cos 37º · cos 20º + sen 37º · sen 20º =

0,7986 · 0,9397 + 0,6018 · 0,3420 = 0,9563











tan 17º = sen 17º / cos 17º = 0,3057

cot 17º = 1 / tan 17º = 3, 2709

sec 17º = 1 / cos 17º = 1,0457

csc 17º = 1 / sen 17º = 3,4203

Funciones Trigonométricas de los ángulos doble y mitad de un ángulo dado.

Las funciones trigonométricas del ángulo 2a se obtienen a partir de las de a + b haciendo b = a.

Cálculo del sen 2a

Tenemos que sen (a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a

Haciendo b = a resulta:

sen 2a = sen a · cos a + sen a · cos a

Es decir, sen 2a = 2 sen a · cos a

Cálculo del cos 2a

Tenemos que cos (a + b) = cos a · cos b – sen a · sen b


Cos 2a = cos a · cos a – sen a · sen a

Es decir, cos 2a = cos2 a – sen2 a

En el caso de que interese poner el cos 2a en función del cos a. Utilizaremos la igualdad sen2 a = 1 – cos2 a











Sustituyendo en la expresión anterior resulta:

Cos 2a = cos2 a – (1 – cos2 a) = 2 cos2 a – 1

Cálculo de la tan 2a

Tenemos que tan (a + b) = (tan a + tan b) / (1 – tan a · tan b)


Tan 2a = (tan a + tan a) / (1 – tan a · tan a)

O sea, tan 2a = 2 tan a / (1 – tan2 a)

Cálculo de la cot 2a

Tenemos que cot (a + b) = (cot a · cot – 1) / (cot a + cot b)


Cot 2a = (cot a · cot a – 1) / (cot a + cot a)

O sea, cot 2a = (cot2 a – 1) / 2 cot a.

Cálculo de la sec 2a

Tenemos que sec (a + b) = 1 / (cos a · cos b – sen a · sen b)


Sec 2a = 1 / (cos a · cos a – sen a · sen a)

O sea, sec a = 1 / (cos2 a – sen2 a)

Pero como sen2 a = 1 – cos2 a, sustituyendo en la expresión anterior resulta:











Sec 2a = 1 / (2cos2 a = 1)

Ahora bien, cos2 a = 1 / sec2 a

De donde, sec 2a =

Cálculo de la csc 2a

Tenemos que csc (a + b) = 1 / (sen a · cos b + sen b · cosa)


csc 2a = 1 / (sen a · cos a + sen a · cos a)

O sea, csc 2a = 1 / 2 sen a · cos a

Análogamente pueden hallarse las funciones trigonométricas de los ángulos 3a, 4a, etc.

Por su parte, las funciones trigonométricas del ángulo mitad se obtienen a partir de las de a haciendo a = x / 2.

Cálculo del sen (x / 2)

Tenemos que cos 2a = cos2 a – sen2 a (1)

Pero como cos2 a = 1 – sen2 a (2)


cos 2a = 1 – sen2 a

Haciendo a = x / 2, tendremos:

Cos x = 1 – 2 sen2 (x / 2)











O sea, 2 sen2 (x / 2) = 1 – cos x

Es decir, sen2 (x / 2) = (1 – cos x) / 2

De donde, sen (x / 2) =

Cálculo del cos (x / 2)

Tenemos que cos 2a = cos2 a – sen2 a (1)

Pero como sen2 a = 1 – cos2 a (2)


Cos 2 a = cos2 a – 1 + cos2 a = 2 cos2 a – 1

Haciendo a = 1 / 2, tendremos:

cos x = 2 cos2 (x / 2) – 1

O sea, 2 cos2 (x / 2= = 1 + cos x

Es decir, cos2 (x / 2) = (1 + cos x) / 2

De donde, cos (x / 2) =

Cálculo de la tan (x / 2)

Tenemos que tan (x / 2) = sen (x / 2) / cos (x / 2) (1)

Pero como sen (x / 2) = (2)

y cos (x / 2) = (3)

Sustituyendo (2) y (39 en (1) resulta:











Cálculo de la cot (x / 2)

Tenemos que cot (x / 2) = 1 / tan ( / 2) (1)

Pero como tan (x / 2) = (2)


Cálculo de la sec (x / 2)

Tenemos que sec (x / 2) = 1 / cos (x / 2) (1)

Pero como cos (x / 2) = (2)


Cálculo de la csc (x / 2)

Tenemos que csc (x / 2) = 1 / sen (x / 2) (1)

Pero como sen (x / 2) = (2)


.

TRANSFORMACION EN PRODUCTOS DE SUMAS Y DIFERENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.











Suma se senos.

Tenemos que:

Sen (a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a (1)

Sen (a – b) = sen a · cos b – sen b · cos a (2)

Sumando miembro a miembro (1) y (2) resulta:

sen (a + b) + sen (a – b) = 2 sen a · cos b (3)

Ahora bien, si hacemos a + b = A (4)

A – b = B (5)


2a = A + B

O sea, a = (A + B) / 2 (6)

Sustituyendo (6) en (4):

Es decir, (7)

Sustituyendo (4), (5), (6) y (7) en (3) tendremos:

Diferencia de sumas.

Tendremos que:

sen (a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a (1)











sen (a – b) = sen a · cos b – sen b · cos a (2)

Restando miembro a miembro (1) y (2) resulta:

Sen (a + b) - sen (a – b) = 2 sen b · cos a (3)

Pero como a + b = A (4)

A – b = B (5)

a = (A + B) / 2 (6)

b = (A – B) / 2 (7)

Sustituyendo (4), (5) y (7) en (3) tendremos:

Suma de cosenos.

Tendremos que

cos (a + b) = cos a · cos b – sen a · sen b (1)

cos (a – b) = cos a · cos b + sen a · sen b (2)


Cos (a + b) + cos (a – b) = 2 cos a · cos b (3)


A – b = B (5)

a = (A + )) / 2 (6)

b = (A + B) / 2 (7)

Sustituyendo (4), (5), (6) y (7) en (39 tendremos:











Diferencia de cosenos.

Tenemos que:

cos (a + b) = cos a · cos b – sen a · sen b (1)

cos (a – b) = cos a · cos b + sen a · sen b (2)

Restando miembro a miembro (1) y (2) resulta:

Cos (a + b) – cos (a – b) = 2 sen a · sen b (3)


A – b = B (5)

a= (A + B) / 2 (6)

b = (A - B) / 2 (7)

Sustituyendo (4), (5), (6) y (7) en (39 tendremos:

Suma de tangentes.

Tenemos que tan A + tan B = sen A / cos A + sen B / cos B

O sea, tan A + tan B = (sen A · cos B + sen B · cos A) / cos A · cos B (1)

Pero como Sen A · cos B + sen B · cos A = sen (A + B) (2)


Diferencia de tangentes.











Tenemos que tan A – tan B = sen A / cos B – sen B / cos B

O sea, cot A + cot B = (sen B · cos A + sen A · cos B / sen A · sen B (1)

Pero como sen B · cos A + sen A · cos B = sen (A + B) (2)


Diferencia de cotangentes.

Tenemos que cot A – cot B = cos A / sen A – cos B / sen B

O sea, cot A - cot B = (sen B · cos A – sen A · cos B) / sen A · sen B (1)

Pero como sen B · cos A – sen A · cos B = sen (A – B) (2)


cot A – cot B = sen (B – A) / sen A · sen B

Suma de secantes.

Tenemos que sec A + sec B = 1 / cos A + 1 / cos B

O sea, sec A + sec B = (cos A + cos B) / cos A · cos B (1)

Ahora bien, cos A + cos B = 2 cos (2)

O bien,











Diferencia de secantes.

Tenemos que sec A – sec B = 1 / cos B – 1 / cos B

O sea, sec A – sec B = (cos B – cos A) / cos A · cos B (1)

Ahora bien, cos b – cos A = - 2 sen (2)


Suma de cosecantes.

Tenemos que csc A + csc B = 1 / sen + 1 / sen B

O sea, csc A + csc B = (sen A + sen B) / sen A · sen B (1)

Ahora bien, sen A + sen B = 2 sen (2)


Diferencia de cosecantes.

Tenemos que csc A – csc B = 1 / sen A – 1 / sen B

O sea, csc A – csc B = (sen B – sen A) / sen A · sen B (1)

Ahora bién, sen B – sen A = - 2 sen (2)












ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS.

Se denominan ecuaciones trigonométricas aquellas en las que la incógnita aparece como ángulo de funciones trigonométricas.

Para resolver las ecuaciones trigonométricas, generalmente se transforma ecuación de modo que quede expresada por una sola función trigonométrica y a continuación se resuelve como una ecuación algebraica.

Al operar las ecuaciones trigonométricas se introducen con frecuencia soluciones extrañas. Por lo tanto, se deben comprobar todas las soluciones, sustituyéndolas en la ecuación inicial.

Una vez resuelta algebraicamente la ecuación se debe resolver trigonométricamente. Es decir, debe hallarse el ángulo que satisface el valor de la función trigonométrica.

En los ejemplos siguientes se muestran algunos casos de resoluciones de ecuaciones trigonométricas.

Ejemplos:

1. Resolver la ecuación 2 sen2 x + sen x = 0

Solución, Tendremos:

Sen x (2 sen x + 1) = 1

Así pues, las posibles soluciones son:

sen x = 0











y sen x + 1 = 0, es decir, sen x = - 1 / 2

si sen x = 0, x = 0º, 180º, 360º……

En general, x = 0º + k · 180º siendo k = 1, 2, 3, ……

Si sen x = - 1 / 2, x = 210º, 330º, 570º, 690º

En general, x = 210º + k · 360º siendo k = 1, 2, 3,……

x = 330º + k · 360º siendo k = 1, 2, 3, …..

Comprobemos las soluciones:

a) x = 0º + k · 180º

2 · sen2 (0º + k · 180º + sen (0º + k · 180º) = 2 · 0 + 0 = 0

Es decir, x = 0º + k · 180º es solución

b) x = 210º + k · 360º

2 · sen2 (210º + k · 360º) + sen (210º + k · 360º) =

2 (- 0,5)2 + (- 0,5) = 0,5 – 0,5 = 0

Es decir, x = 210º + k · 360º es solución

c) x = 330º + k · 360º

2 · sen2 (330º + k · 360º) + sen (330º + k · 360º) =

2 (- 0,5)2 + (- 0,5) = 0,5 – 0,5 = 0

Es decir, x = 330º + k · 360º también es solución.

2) Resolver la ecuación cos2 x = cos 2x











Solución.

Tenemos que cos 2x = cos2 x – sen2 x (1)

Pero como sen2x = 1 – cos2 x (2)


cos 2x = cos2 x – 1 + cos2 x = 2 cos2 x – 1 (3)

Sustituyendo (3) en el enunciado tendremos:

cos2 x = 2 cos2 x – 1

O sea, 1 = cos2 x

Es decir, cos x = 1

Las posibles soluciones son:

x = 0º, 360º,…… es decir, x = 0º + k · 360º siendo k = 1, 2, 3,….

Y X = 180º, 540º…. es decir, x = 180º + k · 360º siendo k = 1, 2, 3,.


Cos2 (0º + k · 360º) = 1 = cos 2 .

Por lo tanto, x = 0º + k · 360º es solución.

cos2 (180º + k · 360º) = (- 1)2 = 1 = cos 2

Por lo tanto, x = 180º + k · 360º también es solución.

Así pues, las soluciones son x = 0º, 180º, 360º,….

Es decir, x = 0º + k · 180º siendo k = 1, 2, 3,……

3) Resolver la ecuación sen x = cos x

Solución:











Dividiendo ambos miembros por cos x tendremos:

Tan x = 1

Es decir, las posibles soluciones son x = 45º, 225º, 415º,….

O sea, x = 45º + k · 180º siendo k = 1, 2, 3,…..


sen 45º =

sen 225º = -

Es decir, que las soluciones son x = 45º + k · 180º.

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

La resolución de triángulos oblicuángulos (cualesquiera) se fundamenta en dos teoremas fundamentales que se expresan sendas relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo cualquiera.

Ambos teoremas, denominados “teorema de los senos” y “teorema del coseno” respectivamente, se demuestran a continuación.

Teorema de los senos,

Para resolver un triángulo hay que conocer sus tres ángulos y sus tres lados. Ahora bien, un triángulo queda perfectamente determinado si se conocen tres de sus elementos siempre que uno de ellos sea un lado. Así pues, para resolver un triángulo se deben hallar tres elementos del triángulo una vez conocidos los otros tres.

Un teorema muy importante para resolver triángulos es el teorema de los senos:











Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

Para efectuar la demostración de este teorema consideraremos dos casos:

1. Que el triángulo sea acutángulo

2. Que el triángulo sea obtusángulo.

Caso 1. Tal como podemos observar en la figura 1, supongamos que MNP es un triángulo acutángulo y que NQ y MR son alturas de dicho triángulo.

N

R

P

m

M P

Q n

Fig. 1

Se trata de demostrar que m / sen M = n / sen N = p / sen P.Mas Publicaciones | Sala de Prensa - Noticias | Testimonios | Página de Inicio










Para ello, consideremos los triángulos MNQ y PNQ.

En el triángulo MNQ tenemos que sen M = NQ / p

Es decir, NQ = p · sen M (1)

En el triángulo PNQ tenemos que sen P = NQ / m

Es decir, NQ = m · sen P (2)

Comparando (1) y (2) resulta:

p · sen M = m · sen P.

O sea, m / sen M = p / sen P (3)

En el triángulo MNR tenemos que sen N = MR / p

Es decir, MR = p · sen N (4)

En el triángulo MRP tenemos que sen P = MR / n

Es decir, MR = n · sen P (5)


p · sen N = n · sen P

O sea, n / sen N = p / sen P (6)

Comparando (3) y (6) tenemos:

M / sen M = n / sen N = p / sen P, tal como queríamos demostrar.

Caso 2.

Tal como podemos observar en la figura 2, supongamos que MNP es un triángulo obtusángulo y que MQ y PR son altura de dicho triángulo.

Se trata de demostrar que m / sen M = n / sen N = p / sen P.

Para ello, consideremos los triángulos MQN y WPQ.Mas Publicaciones | Sala de Prensa - Noticias | Testimonios | Página de Inicio










En el triángulo MQN tenemos que sen N = MQ / p.

Es decir, MQ = p · sen N (1).

En el triángulo MPQ tenemos que sen (180º - P) = MQ / n.

Es decir, MQ = n · sen (180º - P) (2)

Ahora bien, sen (180º - P) = sen P (3)


MQ = n · sen P (4)

M

R

n p

180º- P

Q P m N

Fig. 2

Comparando (1) y (49 tendremos.

p · sen N = n · sen P

O sea, n / sen N = p / sen P (5)

En el triángulo MPR tenemos que sen M = = PR / nMas Publicaciones | Sala de Prensa - Noticias | Testimonios | Página de Inicio










Es decir, PR = n · sen M (6)

En el triángulo PRN tenemos que sen N = PR / m

Es decir, PR = m · sen N (7)


n · sen M = m · sen N

O sea, m / sen M = n / sen N (8)


M / sen M = n / sen N = p / sen P, tal como queríamos demostrar.

Otro teorema importante para resolver triángulos es la denominada ley de las tangentes.

En todo triángulo oblicuángulo, la diferencia de dos de sus lados, es a su suma como la tangente de la mitad de la diferencia de los ángulos opuestos a esos lados es a la tangente de la mitad de la suma dichos ángulos.

En efecto, tal como podemos observar en la figura 3, supongamos que MNP es un triángulo oblicuángulo. Tendremos que: m / sen M = n / sen N por el teorema de los senos.

Ejemplo:

M











p n

N P

m

fig. 3

Es decir, m / n = sen M / sen N

Pero (m – n) / n = (sen M – sen N) / sen N (1)

y (m + n) / n = (sen M + sen N) / sen N (2)

por las propiedades de las proporciones.

Dividiendo miembro a miembro (1) y (2) resulta:

(m – n) / (m + n) = (sen M – sen N) / (sen M + sen N) (3)

Pero como sen M – sen N = 2 sen (4)

y sen M + sen N = 2 sen (5)

Sustituyendo (4) y (5) en (3) tendremos:

(m -n) / (m + n) =

Es decir, (m – n) / (m + n) = (6)











Ahora bien, (7)

y (8)


(m – n) / (m + n) = tan (9)

Pero como cot (10)

Sustituyendo (10) en (9) se obtiene:

Teorema del coseno

Un teorema muy empleado en la resolución de triángulos, por relacionar un ángulo con los tres lados, es el teorema del coseno.

El cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de dichos lados por el coseno del ángulo que forman.

Para efectuar la demostración de este teorema consideraremos dos casos:

1. Que el triángulo sea acutángulo

2. Que el triángulo sea obtusángulo

Caso 1. Tal como podemos observar en la figura 4, supongamos que MNP es un triángulo acutángulo y que NQ es una altura de dicho triángulo.











N

P m

M P

n Q

fig. 4

Así pues, tendremos que: m2 = n2 + p2 – 2n · MQ (1) por tratarse del lado opuesto a un ángulo de un triángulo.

Ahora bien, MQ / P = cos M

Por tanto,

MQ = p · cos M (2)


m2 = n2 + p2 – 2np · cos M, tal como queríamos demostrar.











Caso 2. Tal como puede observarse en la figura 5, supongamos que MNP es un triángulo obtusángulo y que NQ es la altura que se obtiene al prolongar PM.

Así pues, tendremos que m2 = n2 + p2 + 2n · MQ (1) por tratarse del lado opuesto a un ángulo obtuso de un triángulo.

N

m

p

180 - M

Q P

M n











Fig. 5

Ahora bien, OM / P = cos (180º - M) = - cos M

Por lo tanto,

OM = - p · cos M


tal como queríamos demostrar.

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS.

Los dos teoremas demostrados anteriormente permiten resolver un triángulo cualquiera conocer todos sus elementos a partir de tres elementos del triángulo entre los que debe figurar forzosamente uno de los lados del mismo.

Así, los cuatro casos posibles de resolución de triángulos cualquiera son estos.

1er CASO. Resolver un triángulo cuando se conoce un lado a y dos ángulos A Y B del mismo

2º CASO. Resolver un triángulo cuando son conocidos dos lados a y b y el ángulo opuesto a uno cualquiera de ellos, por ejemplo A.

3er CASO. Resolver un triángulo cuando se conocen dos lados cualesquiera a y b y el ángulo comprendido entre ellos.

4º CASO. Resolver un triángulo cuando se conocen los tres lados del mismo a, b y c.











Tal como se indicaba anteriormente, en los cuatro casos figura como dato al menos uno de los lados del triángulo.

1er CASO.

Datos: un lado a, y dos ángulos A y B.

Incógnita: b, c, C.

C

b a

A c B

Fórmulas para la resolución:

C = 180º - (A + B)

b =

c =

DEMOSTRACIÓN. En efecto, C = 180º - (A + B), ya que la suma de los tres ángulos de un triángulo vale 180º, y una vez calculado el valor del ángulo C, los lados b y c se calculan fácilmente por aplicación del teorema de los senos:











de donde

b = y c = ,

tal como se quería probar..

Ejemplo: Resolver un triángulo en el que un lado mide 10cm y los dos adyacentes al mismo 60º y 45º, respectivamente.

Datos: a = 10cm, B = 60º, C = 45º.

Incógnita: b, c, A.

A

b c

C B

a

Solución:

A = 180 – ( B + C) = 180º – (60º + 45º) = 180 – 105º = 75º











b = = 8,96 cm.

c =

Los valores de sen A, sen B y sen C que figuran en las expresiones anteriores se han buscado e unas tablas trigonométricas naturales y también de manera directa con la calculadora.

2º CASO.

Datos: dos lados a y b, y el ángulo A opuesto a uno de ellos.

Incógnitas: c, B, C.

A

b c

C B

a

Fórmula para la resolución:

c =

DEMOSTRACIÓN. En efecto, según el teorema de los senos, se tiene:











de donde se deduce

Conocidos los ángulos A y B, el C debe valer C = 180º - (A + B).

ya que la suma de los ángulos de un triángulo vale 180º.

Finalmente, por aplicación del teorema de los senos se tendrá:

c = tal como se quería probar.

Ejemplo. Resolver un triángulo, dos de cuyos lados miden 2 y 4 cm, y el ángulo opuesto de l primer lado 30º

Datos: a = 2 cm, c = 4 cm, A = 30º.

Incógnitas: b, B, C.

C

a b

B A

C

SOLUCIÓN.











3er CASO.

Datos: dos lados a y b, y un ángulo C comprendido entre ellos.

Incógnita: c, A, B.

C

a b

B A

c


c =

sen A =

B = 180º - (A + C)

DEMOSTRACIÓN. En efecto, el lado c se calcula por aplicación del teorema del coseno mediante la fórmula.

c =











Una vez calculado el lado c, el ángulo A se calcula por aplicación del teorema de los senos.

de donde, sen A =

Inicialmente, el ángulo B se calcula teniendo en cuenta que la suma de los tres ángulos de un triángulo vale 180º; es decir

B = 180º - (A + C)

Ejemplo. Resolver un triángulo sabiendo que dos de sus lados miden 8 y 10 cm y el ángulo comprendido entre ellos 64º 14’.

Datos: a = 8 cm; b = 10 cm; C = 64º 15’

Incógnita: c, A, B.

C

a b

B c A

SOLUCIÓN.

c =











c =

Sen A =

A = 47º 50 ‘

B = 180º - (A + C) = 180º - (47º 50 ‘ + 64º 15 ‘) = 67º 55 ‘

Como puede observarse, el cálculo del lado c se ha efectuado según la fórmula que proporciona el teorema del coseno.

Esta expresión es polinómica y, por lo tanto, no permite que le sea aplicado el cálculo logarítmico cuando se trata de efectuar cálculos topográficos y otros en los que se precise gran precisión y exactitud.

Para subsanar este inconveniente se emplea normalmente en la resolución del tercer caso de triángulos la fórmula llamada de las tangentes, que sí permite el cálculo logarítmico.

Dicho teorema de las tangentes y su aplicación a la resolución del 3er caso de resolución de triángulos se verán más adelante.

4º CASO.

Datos: los tres lados a, b, c.

Incógnita: A, B, C.

C

a b











B A

c

Fórmula para la resolución:

C = 180º - (A + B)

DEMOSTRACIÓN. En efecto, del teorema del coseno:

a2 = b2 + c2 – 2 b c cos A se deduce

y análogamente

El ángulo C se calcula teniendo en cuenta que la suma de los tres ángulos de un triángulo vale 180º

C = 180º - (A + B)

Ejemplo. Calcular los 3 ángulos de n triángulo sabiendo que sus lados miden, respectivamente, 6, 8 y 4 cm

Datos: a = 6cm; b = 8cm; c = 4 cm

Incógnita: A, B, C. c











a b

B c A

A = 41º 24 ‘

B = 104º 28 ‘

C = 180º - (A + B) = 180º - 41º 24 ‘ + 104º 28 ‘8 = 34º 8 ‘

Como ocurría en el caso anterior, se ha resuelto esta caso por aplicación de la fórmula del teorema del coseno y por lo tanto no es posible aplicar el cálculo logarítmico. De este modo, los A y B calculados a partir de la fórmula del coseno y, en consecuencia, el C obtenido a partir de éstos, no puede obtenerse con demasiada exactitud.

Por este motivo se utilizan preferentemente para la resolución del 4º caso de resolución de triángulos las fórmulas de Briggs, que mediante expresiones no polinómicas (les es aplicable el cálculo logarítmico), permiten calcular con mayor precisión (se trabaja con 6 cifras decimales) el valor de los tres ángulos de un triángulo, conocidos los tres lados del mismo.

Las fórmulas de briggs y su aplicación a la resolución del 4º caso de resolución de triángulos se verán en el siguiente apartado.











Fórmulas de Briggs, su aplicación a la resolución de triángulos a partir de los tres lados.

FORMULAS DE BRIGGS.

Las fórmulas de briggs permiten conocer los tres ángulos A, B y C, de un triángulo si se conocen los tres lados del mismo.

Son las siguientes:

En donde a, b y c son los tres lados del triángulo considerado y p es el semiperímetro de dicho triángulo.

DEMOSTRACIÓN.

En efecto, por la fórmula correspondiente a la tangente trigonométrica del ángulo mitad se tiene:

(x)

Pues bien, partiendo del teorema del coseno que proporciona indirectamente el valor de los coseos de los ángulos de un triángulo, por ejemplo cos A, se expresará 1 + cos A y 1 – cos A en función de los tres lados a, b y c y del semiperímetro p del triángulo.

En efecto, según el teorema del coseno.











a2 = b2 + c2 – 2 b c cos A,

de donde,

(1)

Sumando una unidad a los dos miembros de esta expresión se tiene:

pero

2 b c + b2 + c2 = (b + c2),

con lo que:

y teniendo en cuenta que x2 – y2 = (x + y) (x- y), se tendrá:

de donde: (xx)

Restando ahora de la unidad los dos miembros de la expresión resulta:

pero:

- b2 – c2 + 2 b c = - (b – c)2,

con lo que:











Y recordemos que:

x2 – y2 = (x + y) (x – y)

se tendrá:

de donde:

(xxx)

A continuación se expresa las sumas algebraicas de las ecuaciones (xx) y (xxx) en

función del semiperímetro del triángulo y de los lados del mismo.

En efecto, si p es el semiperímetro de un triángulo, se tendrá:

de donde:

a + b + c = 2 p:

b + c + a = 2 p (1)

b + c – a = (b + c + a) – 2a = 2p – 2a = 2 (p – a) (2)

a + b – c = (a + b + c) – 2 c = 2 p – 2 c = 2 (p - c) (3)

a – b + c = (a + b + c) – 2b = 2p – 2b = 2 (p – b) (4)

y sustituyendo los valores de las sumas algebraicas (1) y (29 en la expresión (xx) y (3) (4) en la expresión (xxx), respectivamente, se tiene:











Y sustituyendo los valores obtenidos para 1 + cos A y 1 – cos A en la expresión (x) se tendrá:

Es decir,

11) tal como se quería demostrar.

Análogamente si se hubiese partido de las expresiones de cos B 0 cos C, se hubiera llegado a las fórmulas:

APLICACIÓN DE LAS FÓRMULAS DE BRIGGS PARA LA RESOLUCIÓN DEL CUARTO CASO DE RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

4º CASO.

Resolver un triángulo conociendo los tres lados a, b y c.

Datos: a, b, c.











Incógnitas: A, B, C.

C

a b

B A

c


Ejemplo: Resolver un triángulo, conocidos sus tres lados, a = 12 cm, b = 6 cm y c = 8 cm

Incógnitas: A, B, C.

SOLUCION:

P =











Aplicando las fórmulas de Briggs se tiene:

A = 117º 16 ‘ 46 ‘ ‘

B = 26º 23’ 2 ‘’

C = 36º 20 ‘ 8 ‘ ‘





















CALCULO DIFERENCIAL

E

INTEGRAL











CALCULO DIFERENCIAL

INFINITESIMOS.

Se dice que una sucesión es un infinitésimo cuando su límite es cero. En símbolos: (a n) es infinitésimo si lim a n = 0

Ejemplo.

Demuestra que la sucesión (a n) = es un infinitésimo.

Solución.

Fijamos un número > 0. Entonces, podemos escribir:

= < n >











Es decir a partir del término cuyo lugar es el primer natural mayor que se cumple

que la distancia a 0 es menor que o, equivalentemente, a n . La sucesión

(a n) = tiene límite 0 y es un infinitésimo.

INFINITÉSIMOS Y SUCESIONES DIVERGENTES

Sabemos que la sucesión (a n) = (n) = (1, 2, 3, 4,……) es divergente, pues su límite es infinito. La sucesión formada por sus inversos:

es un infinitésimo.

Esta relación no es casual pues se verifica siempre. En concreto: Si una sucesión es divergente, la sucesión inversa es un infinitésimo. Es decir: Si (a n) es divergente,

entonces es un infinitésimo.

Para su demostración tomemos > 0 tan pequeño como se quiera y consideramos K

= > 0. Como (a n) es divergente, existirá un natural n o de modo que si es n > n o se

tendrá que > k. Se deduce que, para cada n > n o se debe cumplir: < lo

que comprueba que es un infinitésimo.

Ejemplo: La sucesión (a n) = (n2 + 1) = (2, 5, 10, 17, …..) es divergente, pues fijado un número k tan grande como queramos se cumple que > k para

cualquier n >

Si se quiere que la sucesión tome un valor mayor que un millón, bastará tomar el término que ocupa el lugar mayor que es decir, a 1000.











La sucesión inversa es un infinitésimo.

También se verifica la propiedad recíproca, con la condición de que, a partir de un cierto término, todos los siguientes sean distintos de cero. En concreto.

Si una sucesión (a n) es un infinitésimo, su inversa es divergente.

La demostración es parecida a la anterior. Fijado un número k positivo y tan grande

como se quiera, hacemos .

Como (a n) es un infinitésimo, habrá un término a no a partir del cual se verifica que < .

Por tanto, podemos escribir: > = k, lo que asegura divergencia de

Ejemplo.

La sucesión (a n) = es un infinitésimo, mientras que su

inversa: es una sucesión divergente pues siempre

podremos encontrar término mayor que cualquier número positivo k fijado de antemano.

INFINITÉSIMOS Y SUCESIONES CONVERGENTES

Si una sucesión (a n) es convergente y tiene límite L. Por tanto, si a cada de la sucesión le restamos L Por tanto, si a cada término de una sucesión le restamos L obtendremos otra sucesión cuyos términos están cada vez más cercanos a L – L = 0

Eso quiere decir que, si de cada término de una sucesión convergente (a n) restamos su límite L, se obtiene una nueva sucesión cuyo límite es cero.











a n – L 0

Vemos ahora cual es el comportamiento de los infinitésimos respecto a las operaciones algebraicas usuales

SUMA DE INFINITÉSIMOS.

L suma de dos infinitésimos es otro infinitésimo. Es decir, si (a n) y (b n) son infinitésimos, entonces (a n + b n) es un infinitésimo.

Para demostrarlo, fijemos > 0. Debemos encontrar un término de la sucesión tal que todos los posteriores cumplan que < .

Si lim a n = 0, deberá existir un natural n 1 tal que si n > n 1, entonces < .

Si límite de lim b n = 0, deberá existir un natural n 2 de modo que si n > n 2, se tenga

que <

Llamando n 0 = máx (n1, n 2), ocurrirá que, siendo n > n o se verificarán las dos desigualdades anteriores. Por tanto.

<

Ejemplo:

La sucesión es un infinitésimo pues lo son los dos sumandos .

PRODUCTO DE INFINITÉSIMOS.

El producto de dos infinitésimos es otro infinitésimo.

Es decir, si (a n) y (b n) son dos infinitésimos, (a n · b n) es otro infinitésimo.











Para demostrar que (a n · bn) es un infinitésimo necesitaremos probar que, fijado > 0, existe un término de la sucesión a partir del cual los siguientes verifican que < .

Si lim a n = 0, deberá existir un natural n 1 tal que sin n > n 1, entonces <

Si lim bn = 0, deberá existir otro natral n 2 de modo que sin n > n 2 se tenga que < 1.

Llamando n o = máx (n 1, n 2), ocurrirá que, siendo n > n o se verificarán las dos desigualdades anteriores. Por tanto.

< · 1 =

PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN INFINITÉSIMO

La multiplicación de un número por infinitésimo es otro infinitésimo.

Es decir, si (a n) es un infinitésimo y r es un número, entonces (ra n) es otro infinitésimo.

a) Si r = 0, resulta la sucesión (ra n) = (0, 0, 0, 0,… ) que evidentemente es un infinitésimo.

b) Si r 0, fijado > 0 debemos encontrar un término de la sucesión a partir del cual < .

Por ser lim a n = 0, existe un natural n o de modo que si es n > n o, entonces <

De aquí deducimos que para cualquier natural n > n o se cumple que:

<

De aquí deducimos que cuando (a n) es un infinitésimo y r 0, entonces la sucesión

es un infinitésimo y, por tanto, la sucesión inversa será divergente.











LIMITES DE LAS SUCESIONES SUMA Y PRODUCTO

El estudio de los infinitésimos perimite hallar fácilmente los límítes de muchas sucesiones.

La suma de dos sucesiones convergente es otra sucesión convergente cuyo límite se obtiene sumando los límites de las sucesiones sumandos.

E símbolo, si lim a n = a y lím b n = b, entonces lim (a n + b n) = a + b.

Para demostrarlo, basta comprobar que es un infinitésimo, pues sabemos que una sucesión (C n) tine límite L si, y sólo si la diferencia es un infinitésimo.

Si lim a n = a es un infinitésimo

Si lím b n = 0 es un infinitésimo.

Como la suma de dos infinitésimos es otro infinitésimo, resulta:

que es infinitésimo.

El producto de dos sucesiones convergentes es otro sucesión convergente cuyo límite es el producto de los límites de las sucesiones factores.

Simbólicamente, si lím a n = a y lím b n = b, entonces lím (a n · b n) = a · b

Basta demostrar que la sucesión es un infinitésimo.

(a n) es una sucesión convergente y, por tanto, estará acotada.

Si M es una cota superior, se cumplirá que

Dado que lím a n = a y b n = b, se tiene que y son infinitésimos. Por tanto:











que es un infinitésimo, por serlo M ·

Si lim a n = a y lím b n = b, es fácil deducir las siguientes propiedades a partir de los teoremas anteriores:

lím (a n + r) = a + r; lím (r · a n) = r · a;

lím (- a n) = - a; lím (a n – b n) = a – b.

LIMITE DE LA SUCESIÓN INVERSA Y DE LA SUCESIÓN COCIENTE.

Ya onocemos el hecho de que si (a n) es un infinitésimo y sus términos son distintos de

cero, la sucesión inversa es divergente.

Si (a n) es una sucesión convergente y su límite es a, distinto de cero, entonces existe un término a no, a partir del cual todos sus términos son distintos de cero, verificándose además las desigualdades siguientes:

0 < a n < 2a, si a > 0

2a < a n < 0, si a < 0

E este caso, podremos considerar la sucesión inversa y enunciar el siguiente

teorema:

Si una sucesión es convergente con límite distinto de cero, la sucesión inversa también es convergente y su límite es el inversa del límite de la sucesión original.

Es decir, si lím a n = a 0, etonces lím .











Para la demostración basta ver que es un infinitésimo.

Es efecto, haciendo , a partir de un cierto término de la sucesión se verificará:

< < a + < <

Términos positivos > >

Multiplicando los tres miembros de la doble desigualdad por resulta:

> >

Dado que a es una constante y es un infinitésimo, también lo serán

Los términos de la sucesión

está comprendidos entre dos un infinitésimo.

La demostración del teorema cuando a < 0 es completamente análoga.

Como consecuencia de lo anterior se demuestra que:

Si dos sucesiones son convergentes, su cociente también es una sucesión convergente uyo límite es el cociente de los límites (siempre que el límite de la sucesión denominador no sea cero).

Es decir, si lím a n = a y lím b n = b 0,











entones lím

Para la demostración, basta tener en cuenta que, de la igualdad

Se deduce que es un producto de sucesiones convergentes.

Sin demostración, enunciamos la propiedad del límite de potencias.

Si lím a n = a y lím b n = b, entonces lím =

Sobre la propiedad anterior hacemos la consideración de que si el límite de a n es un número negativo y el límite de b n es un número irracional, o un número racional

representado por una fracción de denominador par, el límite de la potencia no está definido.

EXPRESIONES INDETERMINADAS.

En las operaciones con sucesiones divergentes han aparecido algnas expresiones indeterminadas. Las principales indeterminaciones son las siguientes:

Estas expresiones simbolizan operaciones con sucesiones cuyo resultado o puede predecirse de antemano pues dependerá de las sucesiones concretas involucradas.

Ejemplo.











Las dos sucesiones (a n) = (n) = (1, 2, 3, 4, …) y (b n) = (n2) = 1, 4, 9, 16,….) son divergentes y tienen por límite infinito. Al intentar calcular el límite del cociente tendremos:

indeterminación.

Si relizamos primero la división y después calculamos, el límite se tiene:

De aquí podríamos sacar la conclusión de que en este caso:

De aigual forma, si invertimos el orden del cociente se llega a la siguiente conclusión:

Realizando primero la división:

es decir,

Vemos que la expresión según las sucesiones que intervengan, puede dar resultados diferentes. Por eso se llaman formas o expresiones indeterminadas. A partir de ahora trataremos la manera de reslver algunas de ellas

LIMITES DE SUCESIONES POLINÓMICAS. CONSTANTE.

La sucesión (a n) = (5) = (5, 5, 5, 5, ………) tiene límite 5 pues todos sus términos distan cero del límite 5, menos de cualquier distancia prefijada de antemano. En general.

El límite de una sucesión constante es la propia constante.

Es decir, si (a n) = (k) = (k, k, k, k,……..), entnces lím k = k

La demostración es evidente, pues < sea cual sea el > 0 Mas Publicaciones | Sala de Prensa - Noticias | Testimonios | Página de Inicio










Prefijado.

LIMITE DE SUCESIONES POLINÓMICAS DE GRADO MAYOR QUE CERO.

Del hecho, ya conocido, de que la sucesión (n) = (1, 2, 3, 4,……..) es divergente y tiene límite infinito, y de las consecuencias extraídas de los teoremas sobre límites, podemos deducir que:

(k · n p) es divergente cuando p > 0

es un infinitésimo para p > 0

Toda sucesión polinómica p(n), de grado mayor que cero, es divergente y su límite es , según que el coeficiente del término de mayor grado

sea positivo o negativo.

Ejemplos:

a) Dado que (an 2 + bn + c) = podemos escribir:

lím (an2 + bn + c) = lím

b) Aplicando el criterio anterior:

lím (2n 3 – n2 + 8) = ,

lím (- n4 + 6n3 + 3n2 + n + 5) = -

LIMITES DE COCIENTES DE POLNOMIOS











En el cálculo del límite de un cociente de polinomios no puede aplcar el teorema del cociente de los límites, pues se obtiene una expresión indeterminada de la forma .

Para hallar el límite correspondiente se divide el numerador y el denominador por la mayor potencia que aparece en la expre4sión y despu´çes se calcula el límite.

Ejemplo:

a)

R.

b) lím

c) lím

De los tres ejemplos anteriores deducimos la regla para hallar el límite del cociente de dos sucesiones polinómicas:

Dadas dos sucesiones polinómicas p(n) y q(n), que tiene a y b como coeficiente de los términos de mayor grado, se cumple:

- Si grado de p(n) < grado de q(n), entonces lím











- Si grado de p(n) = grado de q(n), entonces lím

- Si grado de p(n) > grado de q(n), entonces lím , despejando del

signo de .

Ejemplo:

a) lím c) lím

b) lím d) lím

Esta regla también es de aplicación cuando hay potencias fraccionarias de n, como las que se mostrarán a continuación.

Ejemplos:

a) lím pues n 2 es de grado superior a n ½.

b) lím

c)

En este último caso no resulta inmediato la aplicación de la regla anterior. Por eso utilizamos el procedimiento general. Hay que tener en cuenta que dividir por n fuera de la raíz equivale a dividir entre n 2 dentro de ella. El siguiente es un caso análogo.











d)

EXPRESIONES INDETERMINADAS

Cuando puede efectuarse la operación se opera antes y, después, calcular el límite.

Ejemplo:

lím Nos aparece la forma indeterminada , dado que: lím

y lím

Por tanto, empezamos e3fectuando la diferencia del paréntesis:

lím =

lím

Cuando hay radicales en el minuendo o en el sustraendo o en ambos, la operación no es inmediata. En tal caso, se multiplica y divide por la expresión conjugada y se tiene en cuenta que

(a + b) · (a – b) = a2 – b2

Ejemplo:

lím es una indeterminación por ser lím = , por ser lím

y lím n =











Multiplicamos y dividimos por la expresión conjgada obteniendo:

lím

lím

A veces son necesarias varias transformaciones para resolver una indeterminación. Ejemplo.

lim

lím

EXPRESIONES EXPONENCIALES. El NÚMERO e

En este epígrafe estudiamos las sucesiones del tipo . En muchos casos

podremos calcular el límite de la potencia sin más que conocer los límites de a n y de b n. Pero en otros llegaremos a la indeterminación . Empezamos viendo algunos ejemplos.











a) lím (n2 + 1) n-3 = (

b) lím (n2 + 1) – n + 3 = ( ) = 0

c) lím = (2 ) =

d) lím

En todos los casos, con sólo saber el límite de la base y el del exponente obtenemos el límite de la potencia. Hay ocasiones en que esto no ocurre.

Ejemplos.

a) lím . Aunque lo parezca, 1 no tiene por qué ser 1, ya que la base

se aproxima a 1, pero no es exactamente 1. Hallando algunos términos de la sucesión, obtenemos:

a 1= 11, a 2 = 36, a 3 = 81,….., a 10 = 1024,….., a 100 = 13780

Da la impresión de ser una sucersión divergente con límite infinito.

b) lím = (1 ). Hallando algunos términos de la sucesión se tiene:

b1 = 2, b2 = 1,56, b3 = 1,37,….., b 10 = 1,1,……, b 100 = 1,01

Esta sucesión sí parece tender a 1.

c) lím = (1 ) . Algunos términos de la sucesión son:











c 1 = 0, c 2 = 0,0625, c3 = 0,026, c 4 = 0,01,….., c 10 = 0,000026

Esta sucesión parece tender a 0.

Queda claro, por tanto, el carácter indeterminado de las potencias del tipo 1 . Habremos de buscar métodos específicos para su resolució en cada caso concreto.

Analizando con cierto detalle la sucesión S n = .

Algunos de sus términos aparecen a continuación:

S 1 =

S 2 =

S 3 =

S 4 =

S 10 =

S 100 =

S 1000 =

S 1000000 = ……. = 2,71828047

Aunque cada término calculado es mayor que los anteriores, el crecimiento es tan lento que nos hace pensar que la sucesión es convergente. Así es efectivamente y su límite es un número irracional (es decir, con infinitas cifras decimales no periódicas) y

se le asigna con la letra e











e = lím

El número e es un número extraordinariamente importante y nos permitirá resolver las indeterminaciones del tipo 1 . Veamos como:

Hemos visto que pero también ocurre que

y e general si t n entonces

Este hecho nos permite resolver las indeterminaciones 1 usando el siguiente teorema.

Si lím es de tipo indeterminado 1 , entonces lím =

lím = lím (1 + a n – 1) = lím

Dado que a n 1, tiene que 0 y por tanto donde deducimos aplicando

lo dicho anteriormente.

lím = …. = lím =

lím =

tal y como queríamos demostrar.











APLICACIONES DE LA DERIVADA

El estudio de las derivadas se interesano sólo por los cambios que se efectúan en las cosas, sino por lo más o menos rápidamente que las cosas cambian. Este deseo de medir el cambio llevó por caminos tortuosos hasta la noción de derivada en el siglo XVII.

Las formulaciones de Newton y Leibnitz estuvieron llenas de osuridades que no fueron salvadas hasta la publicación en 1823 de las lecciones de Cauchy sobre el cálculo infinitesimal.

Actualmente, la aplicación de las derivadas es multiple, por ejemplo para conseguir el máximo rendimiento de los motores de explosión deben efectuarse laboriosos cálculos de derivadas.

TANGENTE A LAS CÓNICAS.

Ya analizamos de temas anteriores que la tangente a una curva de ecuación y = f (x) en el punto de abscisa x = a, viene dada por la ecuación:

y – f (a) = f ‘ (a) (x – a)

Nos enfrentamos ahora al problema de encontrar la tangente a una cónica en uno de sus putos. Este problema, sin el conocimiento de las derivadas, puede ser resuelto de dos maneras.

a) El sistema formado por las ecuaciones de la cónica y de la tangente ha de tener solución única pues cónica y tangente se cortan en un solo punto.

Este procedimiento aparte de tener excepcones, suele ser muy engorroso.

b) La tangente cumple una determinada propiedad geométrica (es perpendicular al radio de la circunferencia, es la bisectriz de los radios vectores del punto de tangencia en la hipérbola,….).











Utilizar estas propedades puede resultar costoso, aparte de que el método es por completo particular en ada cónica. El uso de la derivada nos proporcona un método cómodo y general para resolver el problema.

Ejemplo:

Calcular la ecuación de la tangente a una elipse en un punto de su gráfica

P(x 0, y 0).

Solución:

El procedimiento para obtener la tangente es completamente analítico.

(x 0, y0)

b

j

Derivando en forma implcita:

Quitando denominadores:


b

a










Despejando y ‘ y simplificando:

La pendiente de la tangente en el punto P(x 0, y 0) es:

Por tanto la ecuación de la tangente es:

Expresión que, operando convenientemente, resulta muy sencilla:

=

Dividiendo por a2b2 obtenemos:

Como P(x 0, y0) está en la elipse se tiene que y, por tanto:

(ecuaciones de la tangente a la elipse).

Del mismo modo se obtienen las tangentes a la hipérbola y a la parábola.

Hipérbola: Punto p(x 0, y0);

Tangente: en P:











Parábola: y2 = 2px; Punto (x 0, y0);

Tangente en P: y 0 y = px + px 0.

Si los valores de una fución f nos dice por qué puntos pasa su gráfica, los de la derivada indican qué dirección sigue la gráfica en cada punto.

La derivada nos permite decidir dónde crece o decrece una función y donde alcanza sus valores máximos o mínimos.

CRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN

Sea f una función derivada e un pnto x = a. Entonces:

- Si f ‘ (a) > 0, f es creciente en a de la figura. 1

- Si f ‘ (a) < 0, f es decreciente en a de la figura 2

Para determinar los intervalos de crecimiento de una función, hallaremos los valores donde f ‘ se anula o no está definida y, una vez ordenados, estudiaremos el signo de f ‘ y, por tanto, los intervalos de crecimiento de f.

a

fig. 1











a

Fig. 2

Ejemplo:

Estudiar el crecimiento de la función f(x) =

Primero calculamos el dominio de la función. Paro ello:

x2 - 4x = 0 x (x – 4) = 0 x = 0 ó x = 4, de donde se sigue que la función está definida en R - (0,4)

La derivada es:

f ‘(x) =

que no está definida tampoco en los puntos donde no lo estaba f.

hacemos f (x) = 0 - 2x2 – 2x + 4 = 0 x = - 2 ó x = 1

Ahora estudiamos el signo de f ‘ en cada uno de los intervalos de la recta en que los anteriores valores dividen a la recta (el método más cómodo suele ser dar valores arbitrarios, uno por cada intervalo)

Por ejemplo.

f ‘ (-3) < 0; f ‘ (-1) > 0; f ‘ (0, 5) > 0; f ‘ (2) < 0; f ‘ (5) < 0











Signo de f ‘ - - + + -

Crecimiento se f -2 0 1 4

Luego la función decrece e ( , crece en (- 2, 0), crece en (0, 1), decrece en (1, 4) y decrece en (4, ).

EXTREMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN.

Los extremos relativos (máximos o mínimos) de una función sólo pueden presentarse en los puntos que figuran en el esquema de monotonía ( en ellos, la derivada vale cero o no existe).

Si f alcanza en x= a un extremo relativo (máximo o mínimo) entonces, o bien f ‘ (a) = 0 o bien f ‘ (a) no existe.

Sin embargo, puede suceder cualquiera de las dos cosas si que f posea un extremo en x = a.

Ejemplo. Figura 3











a b c d

La función dbujada sólo presenta extremos en b y c, y en cambio, f ‘ se anula en a y c y no existe en b y d (en los puntos angulosos la función no es derivable pues en ellos la pendiente es distinta a izquierda y derecha).

Cualquiera de los siguientes criterios garantiza la existencia de extremos:

Criterio del cambio de signo de la izquierda.

Sea f una funció contínua en a y derivable alrededor de a.

- Si en a, el signo de f ‘ cambia de negativo a positivo, f tiene un mínimo en x = a.

- Si en a, el signo de f ‘ cambia de positivo a negativo, f tiene un mínimo en x = a

- Si el signo de f ‘ no cambia, en x = a no hay máximo ni mínimo relativo.

Ejemplo.

Para la función f (x) = estudiada antes, se tiene que x = - 2 es mínimo

relativo y x = 1 es un máximo relativo.

Criterio de la segunda derivada.

- si f ‘ (a) = 0 y f ‘’ (a) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en x = a

- Si f’ (a) = 0 y f ‘’ (a) < 0, entoces f tiene un máximo relativo en x = a

Ejemplo.

Es la función f ‘ (x) = x2 – 8x + 12 definida en todo R, si hacemos.

f ‘ (x) = 0 2x – 8 = 0 x = 4











Además como f ‘‘ (4) = 2 f ‘’ (4) = 2 > 0 concluimos que la función presenta un mínimo en x = 4.

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN.

En muchas actividades hmanas surgen problemas de optimización, es decir, problemas que obligan a encontrar para qué valores de ciertas variables (x, y, z,….) una magnitud M alcanza su “valor óptimo” (máximo o mínimo).

Ejemplo:

Un granjero dispone de 100 metros de valla, con los que desea construir un corral rectangular de la máxima superficie posible.

y

x

figura 4

Su problema se reduce a encontrar el máximo de la magnitud S (superficie del corral)

S = x · y

donde x e y son las dimensiones del corral y, por tanto, han de cumplir que 2x + 2y = 100 pues han de utilizarse, exactamente, 100 mteros de valla.











Para resolver estos problemas utilizaremos el siguiente procedimiento:

1. Expresaremos la magnitud M a optimizar, en función de las variables que la definen

M = g (x, y, z,……..)

2. Expresaremos las variables x, y, z,…… en función de una de ellas.

3. Ahora podemos expresar M en función de una sola variable, por ejemplo:

M = f (x)

Los valores óptimos de M corresponderán a los máximos o míimos de f que ya sabemos calcular.

En el ejemplo, queremos hacer máxima S = x · y con la condición 2x + 2y = 100.

De la última igualdad deducimos que y = 50 – x. Por consiguiente, podemos expresar.

S = x · (50 – x) = 50x – x2

La derivada es S ‘ = 50 – 2x. Por tanto igualando 50 – 2x = 0 x = 25

Dados que S ‘’ = - 2 < 0, concluimos que S tiene un máximo cuando X = 25 y por tanto y = 50 – 25 = 25

Es decir, el corral de área máxima es un cuadrado de 25m de lado y área 625 m 3.

Ejemplo:

Hallar un número positivo cuya suma con su inversa sea mínima.

Solución.

Llamamos al número x; su inverso es 1/x

El ennciado impone la condición de que sea mínima la suma S = x +

Para hallar el mínimo de la función S = anterior deribamos e igualamos a cero:











S ‘ =

El enunciado dice que el úmero sea positivo, por lo que desechamos X = - 1

S ‘’ = > 0

Luego para x = 1 hay mínimo. El número pedido es, por tanto, el 1.

Ejemplo:

Dado un círculo de radio 4 dm, inscribe en él un rectángulo de área máxima.

C

A B

Solución:

Llamando x e y a loa lados del rectángulo, queremos hacer máxima la función área:

S = x · y

Buscamos una relación entre x e y. En el triángulo rectángulo ABC, se tiene que:


2r = 8

y

x










x2 + y2 = 82 y =

que, sutituído en la fórmula del área el rectángulo S = x · y queda:

Procedemos como en los ejemplos anteriores:

Las raíces son: X = 0 y x =

Los valores x = 0 y x = - 4 carecen de sentido (los lados de un rectángulo son positivos).

Por tanto, X = 4

Es un cuadrado

De lado 4 dm y de área 32dm2.(Compruebe el lector que S ‘’ (4 < 0).

Ejemplo 2.

Calcula las coordenadas de los putos de la parábola y 2 = 4x, tales que sus distancias al punto A (4, 0) sean mínimos.

P(x,y)











A (4, 0)

Solución.

Queremos que la distancia d (A, P) = sea mínima. Tenemos que buscar otra relación entre e y , que se obtiene por ser P(x, y) un punto de la parábola y 2 = 4x. Sustituimos y 2 e la distancia:

Condición de mínimo:

d ‘ =

Si x = 2 y 2 = 4 · 2 y = . Se tienen, por tanto, dos puntos:

P (2, 2 ) y P ‘ (2, - 2 .

CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD

Diremos que una función es cóncava si su gráfica se curva hacia arriba, mientras que si lo hace hacia abajo diremos que es convexa











CONCAVA

Fig. 1

CONVEXA

Fig. 2

PUNTO DE

INFLEXIÓN

Fig. 3

A los puntos donde una función pasa a ser cóncava a convexa o viceversa se les denomina puntos de inflexiónMas Publicaciones | Sala de Prensa - Noticias | Testimonios | Página de Inicio










La segunda derivada nos permite deducir la curvatura de una función. En concreto:

- Si f ‘’(a) > 0, la función es cóncava en a

- Si f ‘’ (a) < 0, la función es convexa en a

- Si f ‘’ (a) = 0, de modo que f ‘’ cambia de signo en a, la función tiene un punto de inflexión en x = a

Así, para determinar los intervalos de concavidad y covexidad de una función y sus putos de inflexión hallaremos los valores de x donde f ‘’ se anule o no exista y, una vez ordenados, estudiaremos el signo de f ‘’ y, por tanto, los intervalos de curvatura de f.

Los valores donde f exista y f ‘’ cambie de signo son los puntos de inflexión.

Ejemplo.

Estudiar la curvatura y los puntos de inflexión de f ‘ (x) = x4 – 12x2

La función está definida en todo R. Sus derivadas primera y segunda son:

f ‘ (x) = 4x3 – 24x f ‘’ (x) = 12x2 – 24

de modo que

f ‘’ (x) = 0 x = - ó x =

Estudiamos el signo de f ‘’ en cada uno de los intervalos e que los anteriores valores dividen a la recta.

Signo de f ‘’ + - +











Curvatura de f - -

De aquí deducimos que la función es cóncava en (- , convexa en (- y cóncava en ( . Hay dos puntos de inflexión en x = - y x =

Damos ahora una introducción ejemplificada de la representación de funciones polinómicas y racionales a través del estudio de sus propiedades.

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES POLINÓMICAS

Sabemos que las funciones poliómicas y derivables en todo R(es decir, son “suaves”: sin saltos ni picos). Además sus límites en son infinitos. Esto, junto con lo estudiado hasta ahora, nos permite obtener sus gráficas siguiendo estos pasos:

1. Hallamos sus límites en y las raíes de f. Con estos datos decidimos en qué intervalos es la función positiva o negativa.

2. Hallamos las raíces de f ‘. A partir de ellas, construimos el esquema de crecimiento y calculamos los máximos y mínimos de la función.

3. Se halla las raíces de f ‘’. A partir de ellas construimos el esquema de curvatura y calculamos los puntos de inflexión.

Si en algún paso no sabemos resolver la correspondiente ecuación, pasaremos a la siguiente etapa. Al final, y para apuntalar la gráfica, podremos calcular algunos valores de la función.

Ejemplo.

Representar gráficamente la función y = x2 + x2 – x – 1

1. Las raíces de f se obtienen por la regla de Rufii y son: x = 1 y x = - 1 (doble)

Además :

lím f (x) = lím f (x) = -











El esquema de signo de f se obtiene dando valores a x en cada uno de los tramos y sustituyendo en la función. Así obtedremos los intervalos en los que la gráfica transcurre por encima o por debajo del eje X.

- - + .

- - 1 - 1

2. f ‘ (x) = 3x2+ 2x – 1, igualando f ‘ (x) = 0 y resolviendo la euación de segundo grado

obtenemos las raíces x = - 1 y x = .

El esquema de crecimiento de la función es:

Signo de f ‘

Crecimiento de f -1 1/3

En el punto A (- 1, 0) hay un máximo y en B hay un mínimo

3. f ‘’ (x) = 6x + 2. Igualando f ‘’ (x) = 0 obtenemos la raíz x = -

El esquema de curvatura es el siguiente.

Signo de f ‘’ - +

Curvatura de f 1/3

Del cambio de curvatura deducimos que el punto.











es de inflexión.

La gráfica de la función es la siguiente:

-

-

-

-

- 1/3 1/3

-2 -1 1 2 3

0,59

-1,18

-

-

Fig. 4

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES.

Una función racional es de forma donde p (x) y q (x) son polinomios.

Según sabemos, estas funciones están definidas y son contínuas en todo R salvo en aquellos puntos que anulan al denominador q (x). Para construir su gráfica seguiremos estos pasos.











1. Calculamos las raíces de f (soluciónes de p (x) = 0, q = (x) 0) y sus discontinuidades (soluciones de q(x9 = 0.

Estudiando el límite de la función en estos últimos, obtendremos bien una asíntota

vertical (si el límite es o bien una discontinuidad evitable (si es )

Fig. 5

a

-

- A´SINTOTA VERTICAL EN X = a

-

Fig. 6

a

DISCONTINUIDAD EVITABLE EN x = a

2. Al calcular los límites en puede ocurrir:











a) lím f 8x) = L, siendo entonces la recta y = L asíntota horizontal para x

x

-

Fig. 7

L

lím f (x) = . En este caso hallamos m = lím f (x) / x pudiedo resultar.

x x

b1) m un número. Si es así, calculamos n = lím (f(x) – mx) siendo entonces la recta y = mx + n una asíntota oblicua para x

Fig. 8











Y = mx + n

b2) m = . En esta casoo, la función presenta una rama parabólica según el eje Y. -

fig. 9

3. Se hallan las raíces y discontinuidaders de f ‘ para a continuación construir el esquema de crecimiento de f y decidir sus máximos y mínimos.











4. Calcular (si no es excesivamente complicado) las raíces y discontinuidades de f ‘’

8los puntos de discontinuidad de f ‘ y f ‘’ son los mismos que en f)

A partir de ellas hacemos el esquema de curvatura y calculamos los puntos de inflexión.

Ejemplo:

Representar gráficamente la función y =

1. Raíces de f: 2x + 1 = 0 x = -

Discontinuidad de f:

x2 – 4x = 0 x (x-4) = 0 x = 0 ó x = 4

Esudiamos ahora los límites en los puntos de discontinuidad:

- en x = 0 hay un límite de tipo , luego x = 0 es asíntota vertical

Además

Lím f(x) = lím f (x) = -

x x

- En x = 4 hay un límite de tipo luego x = 4 es asíntota vertical y se tiene:

lím f (x) = lím fx) =

x x

2. lím f (x) = 0 pues el grado del numerador es menor que el del denominador.

x

De aquí se sigue que la recta y = 0 es asíntota horizontal para x

3. El estudio de las raíces y discontinuidades de f ‘ ya está hecho al principio del tema.











4. La expresión de f’ ‘’ es complicada por lo que prescindimos de esta cuarta etapa. La gráfica de la función es:

Fig. 10

-2 1

- 0,25

-1

Definición de derivada.

Se define derivada de una función f en un punto a al lím f(x) – f(a) es el

b b - a

de que exista .

La derivada de la función f en el punto a se simboliza por f ‘ (a). Así pues,

f ‘ (a) = lím f (a) – f(a)

b b - a

Cuando el límite anterior existe, es decir, cuando existe f ‘ (a), se dice que la función f es derivable e el punto a.

DERIVADA DE FUNCIONES











Tal como se indicó anteriormente, la derivada de la función f en un punto determinado a, si existe, es:

f ‘ (a) = lím f (a + h) – f (a)

h b – a

Ahora bien, si denominamos h a la diferencia b – a, tendremos que b = a + h. Por tanto, si b tiende hacia a, h tiende a cero, al disminuir indefinidamente la logitud del intervalo de extremos a y b.

Así pues, efectuadas estas consideraciones, tendremos que:

f ‘ (a) = lím f (a + h) – f (a)

h b – a

que es otra manera de calcular la derivada hallando límites que siempre tienden a cero.

Dada una función f, se define la función derivada de f, f ‘, como aquella función que a los números a para los cuales f es derivable les asigna el valor de f ‘ (a).

Es decir,

f

a f ‘ (a)

DERIVADA DE f (x) = x n, SIENDO n NUMERO NATURAL

Si f (x) = x n con n , entonces f ‘ (x) = n x n-1 para todo x

En efecto, calculamos la derivada en un punto a cualquiera. Tendremos:











f ‘ (a) = =

Ahora bien, como el resultado anterior es válido para cualquier a, la función derivada será f ‘ (x) = n x n-1, tal como queríamos demostrar.

Ejemplo.

Calcular la derivada de la función f (x9 = x 7 para un x cualquiera. Calcular dicha dervida para x = 1.

Solución: tendremos f ‘ (x) = 7x 6

En el caso de que x = 1, f ‘ (x) = 7 · 1 6 = 7

DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES.

Si las funciones f y g son derivables en un punto a, la función f + g también será derivable en el punto a, y se cumple que (f + g) ‘ (a) = f ‘ (a) + g ‘ (a).

En efecto tendremos que:Mas Publicaciones | Sala de Prensa - Noticias | Testimonios | Página de Inicio










tal como queríamos dermostrar.

Ejemplo.

Calcular la derivada la derivada de la función f (x) = x5 + x2 para un x cualquiera. Calcular dicha derivada para = 2

Solución: Tendremos.

f (x) = g (x) + h (x) siendo g (x) = x5 y h (x) = x2

Por lo tanto, f (x) = g ‘(x) + h ‘(x)

Pero como g ‘(x) = 5x4

y h’(x) = 2x

Resulta que f ‘(x) = 5x4 + 2x

En el caso de que x = 2 tendremos que f ‘(2) = 5 · 24 + 2 · 2 = 84.

DERIVADA DEL PRODUCTO DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN

Si f es una función derivable en a, la función g = c · f, donde c es una constante, también es derivable en el punto a y se verifica que g ‘(a) = c · f ‘(a)

En efecto, tendremos que

=












Ejemplo:

Calcular la derivada de la función f (x) = 3x5 para un x cualquiera. Calcular dicha derivada para x = 4.

Solución: Tendremos

F (x) = 3 · g (x) siendo g (x) = x5

Así pues, f ‘ (x) = 3 · g ‘ (x) = 3 · 5x4 = 15x4

En el caso de que x = 4, f ‘(4) = 15 · 44 = 3840.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA.

De los resultados anteriores se deduce inmediatamente que la derivada de una función polinómica es otra función polinómica

del tipo

Ejemplo.

Calcular la derivada de la función f (x) =5x3 – 3x2 + 6x + 1 para un x cualquiera. Calcular dicha derivada para x = - 1


f ‘ (x) = 15x2 – 6x + 6











Por tanto, f ‘ (-1) = 15 (-1)2 – 6 (-1) + 6 = 27

DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES.

Si f y g son funciones derivables en un punto a, la función f · g también es derivable en el punto a y se cumple que

En efecto, tendremos que

=


Ejemplo.

Calcular la derivada de la función f(x9 = (x2 + 3) (2x – 1) para un x cualquiera. Calcular dicha derivada para x = 0


f (x) = g (x) · h (x) siendo g (x) = x2 + 3 y h (x) = 2x – 1











por tanto, f ‘(x) = g ‘(x) · h(x) + g(x) · h ‘(x)

Ahora bien, g ‘(x) = 2x

y h ‘(x) = 2

Por consiguiente, f ‘(x) = 2x · (2x -1) + (x2 + 3) · 2

Es decir, f ‘(x) = 4x2 – 2x + 2x2 + 6 = 6x2 – 2x + 6

En el caso de que x = 0, f ‘(0) = 6.

DERIVADA DE FUNCIONES DE EXPONENTE FRACCIONARIO.

Si f es uuna función derivable en un punto a, la función también es

derivable en a y se verifica que

Vamos a efectuar la demostración por el método de inducción matemática.

Para n = 1, la expresión anterior es válida porque f es, por definición, derivable.

Para n = 2, tenemos que:

Así pues, que coincide con la expresión. Para n = 3, tenemos que:

Así pues,

que coincide con la expresión.

Supongamos pues, que la expresión es válida para n, es decir, que se verifica











que Se tra de comprobar, finalmente, que la expresión es válida para el valor n + 1. Así pues, tendremos que:

Por lo tanto,

, que coincide con la expresión indicada, tal como queríamos demostrar.

Supongamos que la función f derivable en el punto a es siendo x > 0.

Evidentemente, . Aplicando el resultado obtenido anteriormente tendremos:

Es decir, 1 =

Por consiguiente,

Generalizando para cualquier x > 0 tenemos que la derivada de la función

es:

Consideremos ahora la función Tendremos que

Es decir,











Generalizando para cualquier x > 0 tenemos que la derivada de la función es

Ejemplo.

Calcular la derivada de la función para un x cualquiera. Calcular dicha derivada para x = 8.

Solución: tendsremos

Así pues,

En el caso de que x = 8 tendremos que:

Ejemplo

Calcular la derivada de la función f (x) = 3x2 + 2x – 4x1/2 para un x cualquiera.

Calcular dicha derivada para x = 9.

Solución: tendremos

Así pues,

= 6x + 2 -

En el caso de que X = 9 tendremos que:











DERIVADA DE UN COCIENTE

Si f y g son funciones derivables en un punto a y g (a) 0, entonces la función k = f/g también es derivable en a y se verifica que:

En efecto tenemos que

=

=

=

Tal como queríamos demostrar.











Ejemplo.

Calcular la derivada de la función f(x) = (2x + 1)/(3x2 – 3) para un x cualquiera. Calcular dicha derivada para x = 0


Así pues,

Es decir,

O sea,

En el caso de que x = 0 tendremos que:

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRCAS.

a) Derivada de la función f(x) = sen x

La derivada de la función es la función Mas Publicaciones | Sala de Prensa - Noticias | Testimonios | Página de Inicio










En efecto, tenemos que:

Ahora bien,

Además,

Sustituyendo los valores anteriores en (1) resulta:


b) Derivada de la función f(x) = cos x

La derivada de la función f (x) = cos x es la función f ‘ (x) = - sen x

En efecto, tendremos que:











tal como

queríamos demostrar.

Derivada de la función f (x) = tg x

La derivada de la función f (x) = tg x es la función f ‘(x) = sec2 x


f (x) = tg x = sen x/cos x = g (x) / h (x) siendo g (x) = sen x y h (x) = cos x

por tanto,

.


d) Derivada de la función f (x) = csc x


f (x) = csc x = 1/sen x

Así pues,












c) Derivada de la función f (x) = sec x

la derivada de la función f (x) sec x es la función f ‘ (x) = sec x · tg x


f (x) = sec x = 1/cos x

Así pues,


f) Derivada de la función f (x) = cotg x

La derivada de la función f (x) = cotg x es la función f ‘(x) = - csc2 x


f (x) = cotg x = 1/tg x

Así pues,


DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARITMICA











a) Derivada de la

La derivada de la función es la función

En efecto que;


b) Derivada de la función .

La derivada de la función es la función


Así pues,

Ral como queríamos demostrar.

DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA. REGLA DE CADENA.

Para derivar funciones compuestas se utiliza el siguiente teorema, conocido con el nombre de regla de la cadena.











Consideremos la función f, que es la composición de las funcioes g y h, de modo que Si la función g es derivable en el punto a y la función h, es derivable en el punto , entonces la función f es derivable en el punto a y se verifica que

En efecto, supongamos que

Tendremos que,

Ahora bien, si para todo x situado en un entorno de a que sea distinto de a, tendremos que:


Ejemplo 1.

Calcular la derivada de la función para un x cualquiera.


siendo

Aplicando la regla de cadena,











Comprobando que el resultado obtenido es el mismo que el que resulta al efectuar la operación del modo siguiente:

En efecto,

Ejemplo 2.

Calcular la derivada de la función siendo cualquiera.


siendo = 4x + 2

Aplicando la regla de la cadena:

Ejemplo 3.



siendo












Ejemplo 4



siendo


Ejemplo 5.


Solución: tendremos.

siendo

Apliando la regla de la cadena:

Ejemplo 6.



siendo












DERIVADA DE LAS FUNCIONES INVERSAS

Supongamos que la función es la función inversa de la función y que Si la función es derivable en el punto a y entonces es derivable en

el punto b verificándose que .

Ahora bien, como entonces y, por lo tanto, la expresión anterior se convertirá en

Generalizando,

Ejemplo.

Comprobando que la derivada en el punto X = 4 de la función coincide

con la inversa de la derivada de la función en el punto x = 2.

Solución. Tendremos que

Así pues,

Así pues,

Por consiguiente,











DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS.

a) Derivada de la función

Arc sen es la inversa de la función sen cuando restringimos la función sen al intervalo .

Así pues, aplicando el resultado obtenido para la derivada de funciones inversa resultará:

b) Derivada de la función

Arc de la función inversa de la función cos cuando restringimos la función cos al intervalo

Así pues, aplicando el resultado obteido para la derivada de funciones inversa resultará:

c) Derivada de la función











es la función inversa de la función tg cuando restringimos la función tg al intervalo

Así pues, aplicando el resultado obtenido para la derivada de funciones inversas resultará.

Análogamente se demuestra que si entonces

La derivada de las funciónes y se emplean en raras ocasiones. Dejamos como ejercicio para el lector el cálculo de sus correspondientes derivadas.

Ejemplo 2.

Calcular la derivada de la función

Solución.

siendo


Ejemplo 2.

Calcular la derivada de la fución

Solución











siendo


.

Ejemplo 3.


Solución:

siendo


DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL.

La función exponencial es la inversa de la función logarítmica. Así pues, para calcular su derivada utizaremos la expresión obtenida anteriormente para la derivada de la inversa.

Por consiguiente la derivada de la función exponencial coincide con ella misma. Por lo tanto, si entonces











En el caso de que la base de la función exponencial sea un número a > 0, tendremos que

Empleando la regla de la cadena resulta:

O sea,

Ejemplo 1:



siendo u (x) = x2 + 1

Así pues,

Es decir,

Ejemplo 2.



siendo

Así pues,

Es decir,





















CALCULO INTEGRAL

LA INTEGRAL INDEFINIDA.

Cauchy, a principios del siglo XIX; Riemann, a mediados del mismo siglo; y Lbesgue, a principios del siglo XX, han sido los matemáticos a cuyos esfuerzos se deben los sucesivos refinamientos que ha tenido la teoría de las integrales. Ya en este siglo, surge la teoría de la medida como continuación natural del cálculo integral. Una de sus ceraciones es la medida de Hausdorff, que mide y estudia los conjuntos de medida cero bajo la integral de Lebesgue.

PRIMITIVA DE UNA FNCIÓN.

El concepto de primitiva es el recírpoco al de derivada.

Dada una función g, hallar su función derivada g ‘.

Obviamente, el problema inverso sería éste: Suponiendo que nos dan g ’, hallar la función g. Pero, como distintas funciones pueden tener la misma derivada, éste es un problema que no tiene solución única, de modo que lo enunciaremos de forma más precisa así: Suponiendo que se conoce una función f, se tra de hallar otra función F que cumpla la condición F ‘ = f.











Una función F (x) se dice que es primitiva de una función f (x) si F ‘(x) = f (x).

Ejemplo.

1. F (x) = x3 es una primitiva de f (x) = 3x2, dado que F ‘(x) = 3x2 = f (x)

2. F (x) = sen x es una primitiva de f (x) = cos x, pues F ‘(x) = cos x = f (x).

- Si F (x) es una función primitiva de f (x), también lo es F (x) + k, siendo k cualquier némero real.

Así ocurre, pues: (F (x) + k) ‘ = F ‘(x) + 0 = f (x).

Por ejemplo, las funciones,….. son todas primitivasde la función 3x2.

INTEGRAL INDEFINIDA.

Una función f (x) puede tener infinitas primitivas que se diferencian unas de otras en una constante.

El conjunto de todas las primitivas de f (x) se llama integral indefinida de f (x).

Se representa por:

Por tanto si F (x) es una primitiva de f (x), se tiene que:

donde k la llamada constante de integración.

Ejemplos:











1. 2.

El cálculo de primitivas, además de un simple juego de ingenio es un ejercicio de importancia capital por las múltiples aplicacioes que presenta.

INTEGRALES INMEDIATAS.

Los siguientes son consecuencia inmediata de las orrespondientes propiedades de las derivadas. Se les llama integrales inmediatas.

Estos resultados, dados sin más, dan poco juego, se acaban en sí mismos.

Necesitamos nuevas reglas que nos permitan enriquecer la gama de funcioes que sabemos integrar.

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA.Mas Publicaciones | Sala de Prensa - Noticias | Testimonios | Página de Inicio










1.

2.

Estas propiedades, aplicadas a las funciones anteriores, permiten operarlas de diversas formas, dando lugar a una enorme variedad de funciones que, con sólo estas reglas, podemos integrar.

Ejemplos.

-

-

-

-

-

-

-











MÉTODOS GENERALES DE INTEGRACIÓN

En general, cada función se integra de una forma particular. Sin embargo, las primitivas de muchas funciones se pueden calcular, mediante transformaciones adecuadas, gracias a las integrales inmediatas.

METODO DE DESCOMPOSICIÓN.

A veces para calcular, la integral de una función f, conviene descomponer f (x) en suma de otras funciones que sepamos integrar, si lo logramos, hallamos la integral integrando cada sumando. El siguiente ejemplo es una muestra de ello.

-

Otras eces,la descomposición se consigue expresando una fracción como suma de fracciones y simplificando cada una de estas. Por ejemplo.

.

-

-











-

pues es inmediato comprobar que el numerador es la derivada del denominador.

En general resultado que se usa con mucha frecuencia

Por ejemplo:

-

Otras veces, hace falta “echarle imaginaión”. Como por ejemplo en las siguientes.

-

-

MÉTODO DEL CAMBIO DE VARIABLE.

A veces una integral de apariencia difícil se reduce a otra conocida si se cambia adecuadamente la variable de integración. Cuando se hace eso, dx se suele calcular derivando la relación entre x y la nueva variable. Al final, debe darse el resultado en términos de la primera variable (x)

Ejemplos.











- . Podemos aprovechar el cambio para que desaparezca la raíz del siguiente modo:

=

Hay integrales en las que aparece una función f (x) y su derivada f ‘(x). En ellas conviene efectuar el cambio f (x) = t que al diferenciar produce f ‘(x) dx =dt. Los siguientes ejemplos son una muestra de ello.

- Efectuamos el cambio sen x = t y, por tanto:

- En esta integral parece una función (x2 + 1) y, prácticamente, se deriva (x). Por ello hacemos el cambio:

x2 + 1 = t

En otras integrales el cambio no resulta tan evidente. Por ejemplo, una muy clásica es:











- Efectuamos el cambio: con lo cual:

dx Cambiamos

Exponemos a continuación un conjunto de integrales de uso frecuente cuyos resultados se justifican porque se reducen a las inmediatas ya estudiadas, efectuando el cambio:

-

-

-

-

-

-

-

-











-

-

-

INTEGRACIÓN POR PARTES.

Sean y dos funciones derivables. Diferenciando la función u · v se obtiene:

de donde

e integrando miembro a miembro:

que es una fórmula deintegración por partes.

Ejemplos











-

y resulta:

-

y queda:

Notas.

1. Como norma general se debe tener en cuenta que todas la integrales de las formas.

donde p(x) es un polinomio y a y b son números reales, se integran tomando como función u = p(x9 y reiterando el proceso si el grado de p(x) es mayor que 1.

Análogamente, las integrales de la forma:

se calcula haciendo











2. En el cálculo de algunas integrales, al reiterar la integraciñón por partes se vuelve a obtener la integral de partida, que se despeja.

Ejemplo.

Calcular

Haciendo

Se ontiene:

integral esta última que de nuevo calculamos por partes haciendo:

de donde:

o bien fórmula de la que podemos despejar .

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES

El propósito es ahora calcular integrales de la forma

donde y son dos polinomios











Si el grado de P(x) es mayor o igual que el grado de Q(x), se efectúa la división y se puede escribir:

siendo grado < grado Q(x) y resulta:

En la que, al ser C(x) un polinomio, su integral es inmediata y el problema queda

reducido a determinar siendo grado < grado Q(x).

Ejemplo

Para empezar a calcular dado que el grado de x 3 es mayor que el

de x 2 -2x + 2 empezamos efectuando la división.

x3 x2 -2x + 2

- x 3 + 2x2 - 2x x + 2

2x2 – 2x

- 2x2 + 4x - 4

2x - 4

Luego:

y;

El siguiente paso a realizar es calcular las raíces del polinomio denominador Q(x). Es decir, resolver la ecuación Q(x) = 0. Se pueden presentar los siguientes casos:











1. Que las raíces sean todas reales y simples.

Si las raíces del polinomio Q(x) son r1, r2, ………. Rn todas reales y distintas, se puede descomponer:

donde A1, A2,…………, An son números que hay que determinar.

APLICACIONES DE FUNCIONES RACIONALES.

1. Calcular

Solución.

Las raíces del polinomio x2 – 4 son las soluiones de la ecuación x2 – 4 = 0, es decir x = 2 y x = -2. Descomponiendo en fracciones simples obtenemos:

Dando a x los valores 2 y - 2 obtenemos:

de donde y por tanto:











2. Que las raíces sean todas reales y algunas sean múltiples.

En tal caso, para cada raíz real múltiple r de orden p se escriben p fraccioes así:

Donde B1, b2, B3, Bp son constantes que hemos de calcular.

Ejemplo.

Calcular

Solución.

Descomponiendo mediante regla de Ruffini el denominador x4 – x3 – 3x2 + 5x – 2 obtenemos las raíces x = 1 (triple) y X = - 2 (simple). Por tanto, podemos escribir:

y por tanto

Dando a x los valores -2, -1, 0 y 1 e igualando se tiene:

Sistema con solución: De aquí deducimos:











LA INTEGRAL DEFINIDA. CALCULO DE AREAS

Históricamente la integral nació como herramienta para el cálculo del área bajo la gráfica de una función. Así, en el siglo XVII, Newton y Leibnitz suministraron, en su “Cálculo diferencial” un método directo para determinar áreas limitadas por curvas muy diversas.

Gracias al cálculo infinitesimal, en la segunada mitad del siglo XX surge el mundo de los fractales. Su aparición está muy relacionada con la irrupción del ordenador y su facilidad de cálculo y representación gráfica.

En la actusalidad, el cálculo integral muy utilizado en el diseño de construcciones, en la termodiámica, en el diseño de embarcaciones, además se utiliza para determinar volúmenes y calcular diversas áreas.

INTEGRAL DEFINIDA

Supongamos que f(x) es una función contínua en un intervalo (a, b). llamamos integral definida de f(x) entre a y b al área orientada comprendida entre la gráfica de f(x), el eje x y las abscisas x= a y x = b. Se la representa por:

Fig. 1

f (x)

a bMas Publicaciones | Sala de Prensa - Noticias | Testimonios | Página de Inicio










Al hablar de área orientada queremos decir que el valor de la integral será positivo o egativo dependiendo de sí la función es positiva (gráfica por encima del eje X) o negativa (por debajo).

Ejemplo.

1.

x = 2 y x = 5. Es el área del trapecio sombreado de la figura:

Fig. 2

5

2

2 5











2.

x = - 1 y x = 3. Su valor es el área del rectángulo sombreado de la figura.

Fig. 3

-1 3

-2

y = 2

Por tanto:

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA.

Las siguientes propiedades so todas razonables e intuitivas. Haremos uso de ellas enseguida para el cálculo de áreas.

-











-

- Si f(x) es contínua en y c está entre a y b, entonces:

- > 0

y si f(x) < 0 en todo entonces < 0

-

- Por consiguiente

LA INTEGRAL Y SU RELACIÓN CON LA DERIVADA

Hemos Comprobado con integrales que de algún modo resolvíamos directamente. En la mayor parte de las integrales que surgen en la práctica el úico camino es el de la aproximación numérica (especialmente hoy con la ayuda del ordenador)

De todas formas, hay algunas funciones que aparecen muy a menudo que pueden ser integradas mediante el estupendo truco que halló Barrow, el maestro Newton, en el siglo XVII.

LA FUNCIÓN ÁREA.

Si f(x) es contínua en , poemos calcular para cada x

Por tanto, podemos considerar la nueva función.











que es el área contenida bajo la gráfica de f entre a y un punto variable x.

F(x)

F(x)

a b b

Fig. 4

Se ve intuitivamente que la rapidez de crecimiento de F es proporcional a la ordenada de f.

Efectivamente ocurre que F’ = f, tal como prueba el Teorema fundamental del cálculo.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO.











Si f(x) es una función contínua en la función:

Es derivable y verifica que

Ejemplo.


Llamamos

Por teorema fundamental de cálculo,

CONSECUENCIA FUNDAMENTAL; LA REGLA DE BARROW

Si f(x) es contínua y G(x) es ua primitiva de f(x), entonces:

Demostración:

Si G(x) es otra primitiva de f(x), se tiene que F(x) =G(x) + k.

Si le damos a x el valor a obtenemos: F(a) = G(a)+k. Pero como:











Se obtiene que k = - G(a). Sustituimos:

F(x) = G(x) – G(a). Si ahora sustituimos x por b:

F(b) = G(b) – G(a)

Es decir:

Ejemplos:

1. Calcular la derivada de la función

La función cuya derivada se nos pide es del tipo

Si G(x) es una primsa de f(x), por regla de Barrow se tiene que:

Derivando obtenemos:

Teniendo en cuenta que G ‘ = f se tiene que:

Aplicando a nuestro caso concreto:











2. La regla de Barrow permite calcular integrales definidas a partir del conocimiento de una primitiva. Por ejemplo:

=

3. El cambio de variable es igualmente aplicable a la integral definida. En concreto:

Utilizamos el cambio de variable: 1 – x = t2 - dx = 2tdt

Pero al cambio la variable también cambia los límites de integración. En este caso:

4. La fórmula para la integración por partes en la integral definida es:











Así:

CALCULO DE AREAS

Area entre curva y el eje X

Si para calcular el área entre una curva y = f(x), el eje x y dos abscisas, a y b, nos limitamos a obtener el valor de la integral.

nos exponemos a equivocarnos, pues si la curva corta al eje x, la integral

compensa áreas positivas y negativas y su valor no coincide con lo que usualmente llamamos área.











Fig. 5

Lo correcto es calcular por separado la integral de cada tramo que quede a un mismo lado del eje x.. Para que no nos veamos en la necesidad de representar la curva, es conveniente seguir estos pasos:

1. Resuelve la ecuación f(x) = 0 para averiguar los puntos de la curva con el eje x.

2. Selecciona las raíces que estén entre a y b y ordénalas de menor a mayor. Por ejemplo:

a < x1 < x2 < x3 < b

f(x)

x1 b Mas Publicaciones | Sala de Prensa - Noticias | Testimonios | Página de Inicio










a x2 x3

Fig. 6

3. Se calcula el valor absolute de la integral definida en cada tramo que queda a un mismo lado del eje x y se suman los resultados, es decir.

Ejemplo.

Calcular el área del recinto plap delimitado por la curva y = x2 – 1, el eje OX, y X = 2

y =x2 -1











-2 -1 1 2

Fig. 7

Solución.

Puntos de corte de la curva con el eje X: x2 – 1 = 0 x2 = 1 x = - 1 ó x = 1. dado que ambas raíces están entre -2 y 2, se tiene que:

.

Calcular el área limitada por la gráfica y = cosx, el eje OX, x = 0 y x = 2

Solución.

Punto de corte con el eje X: cos x = 0 tiee como únicas soluciones entre x = 0 y x =

2 los valores x = y x =











y = cos x

2

0

Fig. 8

Deduciendo la fórmula para el área de un círculo de radio R.

Solución.

La ecuación implícita de una circunferencia de radio R centrada en el orígen es

Despejando y obtenemos:

que conduce a las ecuaciones:

correspondiente a la semicircunferencia superior e inferior, respectivamente.

Fig. 9Mas Publicaciones | Sala de Prensa - Noticias | Testimonios | Página de Inicio










R

La superficie del círculo será el cuádruplo del área sombreada, es decir:

=

APLICACIÓNES GEMÉTRICAS DE LA INTEGRAL. CALCULO DE VOLUMENES.

De un cuerpo geométrico conocemos las áreas S(x) de las secciones producidas por planos perpendiculares a una recta r en los pùntos x de la misma.


0










a x b

S(x)

Fig. 10

En estas condiciones, el volumen del cuerpo viene dado por la fórmula:

Interpretamos el volumen como la “suma infinita” de volúmenes S(x) dx. Infinitamente pequeños (en física se llaman elementos infinitesimales de volumen:

Ejemplo.

1. Una vasija de 1 m de profundidad tiene la propiedad de que al ir llenándose de agua, en cada instante el área de la superficie del agua es igual a la altura alcanzada por el agua, ¿cuántos litros de agua podremos verter en la superficie?

Fig 11











S(x) 1 m

Solución.

Si llamamos x a la altura, el área de la superficie visible es S(x). Pero en el enunciado se nos dice que S(x) = x. Por tanto, el volumen es:

es decir 500 litros

2. Hallar el volumen de un cono con radio de la base R y altura h.

x

r

h

R


R

x










Fig. 12

Solución.

El área S(x) corresponde a un círculo de radio puesto que por la semejanza

de los triángulos rectángulos se tiene que:

Por tanto el área del círculo es

De manera que:

VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN

Un trozo de curva y = f(x) entre x = a y x = b se hace girar alrededor del eje X.

Engendra un cuerpo de revolución cuyo volumen queremos. Al cortar por un plano perpendicular en el punto de abscisa x, la sección producida es un círculo de radio

De manera que:

f(x)











a b

Fig. 13

Fig. 14

Por tanto, el volumen engendrado es:

Ejemplo.

1. Volumen engendrado al girar la parábola alrededor del eje X entre 0 y 4.

y =


xb

a










0 4

Fig. 14

Solución.

LONGITUD DE UN ARCO DE CURVA

Tenemos un arco y = f(x) y queremos calcular su longitu entre dos puntos A y B de abscisas a y b.

A

f(x)

BMas Publicaciones | Sala de Prensa - Noticias | Testimonios | Página de Inicio

4










a b

Fig. 15

La longitu de arco de curva AB es

Ejemplo:

Hallar la longitu de la circunferencia de radio R:

Solución:

En la ecuación de la circunferencia x2 + y2 = R2 despejamos la y, y = que describe la semicircunferencia superior.

y = +

R

0











Fig. 16

Para hacer su longitud hacemos:

y

AREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN

Un trozo de curva y = f(x) entre x = a y x = b se hace girar alrededor del eje X

Fig. 17

Engendra un cuerpo de revolución cuya superficie es:


b

a










Ejemplo:

Obtener la fórmula del área de la esfera de radio R.

Solución:

Hacemos girar la semicircunferencia superior alrededor del eje X entre - R y R. La superficie es:











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