.INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE CINTALAPA

TEMA:EJERCICIOS RESUELTOS MOVIMIENTO LINEAL Y ANGULAR

DOCENTE:ING. CARLOS ELMER CRUZ SALAZAR

MATERIA:FUNDAMENTOS DE MECANICAS DE LOS MEDIOS CONTINUOS

ALUMNO(A):NOEMI PEREZ PEREZ

GRADO:4º SEMESTRE.

GRUPO:“K”.

CARRERA:ING. CIVIL.

CINTALAPA DE FIGUEROA, CHIS.; A 10 DE MARZO DEL 2015.

EJERCICIOS DE MOVIMIENTO LINEAL

1.-Un niño de 40 kg está en el extremo de una plataforma de 80 kg y 2 m de longitud.  El niño se desplaza hasta el extremo opuesto de la plataforma. Supondremos que no hay rozamiento entre la plataforma y el suelo.

¿Cuánto se desplaza el centro de masas del sistema formado por la plataforma y el niño?. Razónese la respuesta.

¿Cuánto se desplaza el niño respecto del suelo? ¿Cuánto se desplaza la plataforma respecto del suelo?

Solución

Sistema aislado

Fext=0  Fext=md V cmdt

  vcm=cte

Si el c.m. está en reposo continua en reposo

Posición del c.m. respecto del extremo izquierdo d ela plataforma

Xcm=40.0+80.1

40+80=2

3m

Como vemos en la figura, el niño se mueve 4/3 m y la plataforma 2/3 m

2.-Sobre un trozo de madera cuya masa de de 20 Kg. hacemos un disparo de fusil. Teniendo en cuenta que en el momento del impacto el proyectil ( m=40g ) lleva una velocidad de 300 m/s y suponiendo que el proyectil quede incrustado en la madera, calcular la velocidad que adquiere el conjunto madera-proyectil y la distancia que recorre el sistema hasta pararse si el coeficiente de rozamiento entre la madera y la superficie horizontal en que se apoya es 0,1.

Usamos la conservación del momento lineal para conocer la velocidad final del sistema,

(1)

(2)

Para saber que distancia total recorre el sistema de partículas antes de pararse, Aislamos la velocidad   ,

Utilizamos la segunda ley de Newton 

,

(3)

(4)

3.-Un hombre de 70kg se encuentra sentado sobre una pista de hielo con una escopeta en las manos. Dispara un proyectil de 60g horizontalmente hacia adelante a una velocidad de 1000m/s. ¿Qué distancia resbalará el hombre hacia atrás si el coeficiente de rozamiento dinámico es 0.15?

Dividimos este problema en dos partes:

1. Disparo de la bala. Como el disparo es muy rápido, las fuerzas externas no tienen tiempo de actuar. Por lo tanto, en esta fase el momento total del sistema se conserva.

2. Deslizamiento hacia atrás. Debido a la velocidad que ha adquirido el hombre, empieza a moverse hacia atrás. El rozamiento se opone a este movimiento, llegando a detenerlo tras recorrer una corta distancia.

Como antes de producirse el lanzamiento, tanto el hombre como la bala dentro de la escopeta están detenidos, la cantidad de movimiento total será cero. Justo después del disparo, pero antes de que el rozamiento tenga tiempo de aparecer, la cantidad de momento seguirá siendo cero, pero ahora tendrá dos contribuciones: el momento de la bala,  ; y el momento del hombre que retrocede,  . Por lo tanto, la conservación del momento nos proporciona la ecuación

(1)

cuya solución es:

(2)

Por lo tanto, el hombre comienza a retroceder a una velocidad de 0.85m/s hacia atrás.

En la segunda fase del problema, el hombre desliza hacia atrás frenado por la fuerza de rozamiento

(3)

donde N es la fuerza normal de contacto contra el suelo. Como el hombre no atraviesa el hielo, la fuerza normal compensa exactamente su peso,  . Metiendo esto en la segunda ley de Newton,

(4)

es decir, la aceleración será

(5)

Debe notarse que hemos puesto signo positivo a la fuerza de fricción ya que el movimiento se realiza hacia atrás: la fuerza de fricción siempre tiene el signo contrario a la velocidad.

Por lo tanto, tenemos un movimiento uniformemente desacelerado, cuyas ecuaciones son

(6)

El hombre se detendrá en el momento en que la velocidad sea cero,  , lo que nos permite encontrar el tiempo,

(7)

La posición del hombre en este instante se obtiene simplemente substituyendo el valor del tiempo en la ecuación de la trayectoria,

(8)

Teniendo en cuenta la ecuación (2) tenemos

(9)

Es decir, el hombre retrocederá un poco menos de 25cm.

4.- Un núcleo U en reposo se divide en dos fragmentos con masas de 140 y 90 u.m.a.. La Q de la reacción es de 190 MeV. (un mega M es 106 veces). Datos:

1 u.m.a. = 1.66 10-27 kg,

1eV = 1.6 10-19 J.

Hallar las velocidades de cada uno de los dos fragmentos.

Solución

1.-Conservación del momento lineal

0 = m1v1+m2v2

Los fragmentos m1 y m2 salen en la misma dirección pero en sentido contrario. La relación entre los módulos de las velocidades es

m1v1=m2v2

2.-Balance energético de la colisión La energía “potencial” nuclear se convierte en energía cinética de los fragmentos

Q=12m1 v1

2+

12m2 v2

2

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas v1 y v2

 v2=√ Qm

2 (m2

m1

+1) v1=

m2

m1

v2

v2= 7 154 447 m/s, v1=11 129 140 m/s

5.- Una pelota de béisbol de 273g se mueve hacia el bateador con una velocidad de 13.4 m/s, y al ser bateada, sale en dirección contraria con una velocidad de 26.8 m/s. Encuentre el impulso y la fuerza media ejercida sobre la pelota si el bate estuvo en contacto con la pelota por un lapso de 0.01 s.

SOLUCIÓN

Supongamos que la pelota inicialmente se mueve hacia la izquierda, y posteriormente hacia la derecha

El impulso está dado por el cambio (o la variación) del impulso, o sea,I = ∆pI = mvFINAL- mvINICIALSi el sistema de referencia lo consideramos positivo hacia la derecha, entonces la velocidad inicial, V1, será negativa, y la velocidad final, V2, será positiva.I = (0.273kg)[26.8 – (- 13.4)]m/sI = 10.97 Ns

EJERCICIO MOVIMIENTO ANGULAR

1.- Una rueda de 50cm de diámetro tarda 10 segundos en adquirir una velocidad constante de 360rpm.

a) Calcula la aceleración angular del movimiento. b) Cuando la rueda llega a la velocidad anterior, ¿cuál es la velocidad lineal de un punto de la periferia? c) Calcula la aceleración centrípeta que posee a los 5 segundos la rueda del problema.

Ordenamos los datos:

Radio = 0,25mω0 = 0 rad/sωf = 360rpm = 120π rad/st = 10 s

a) Para hallar la aceleración angular, usaremos la fórmula de la velocidad angular del MCUA:

ωf = ω0 + α·t120π = α·10α = 12π rad/s2

b) Cualquier magnitud lineal puede calcularse a partir de su correspondiente angular multiplicándola por el radio, por lo que

v = ω·Rv = 120π · 0,25 = 94,25 m/s

c) La aceleración centrípeta (o normal) es igual a la velocidad lineal al cuadrado dividida entre el radio. Para sacar la velocidad lineal a los 5 segundos, tenemos que hallar la velocidad angular a los 5 segundos, usando la misma fórmula que

en el apartado a)

ωf = 12π ·5 = 60π rad/sv = 60π·0,25 = 47,12 m/san = (47,12)2 /0,25 = 8882,64 m/s2

2.- Una bala de 100 g que lleva una velocidad horizontal de 50 m/s choca con el centro del cilindro de un péndulo. Después del choque la bala se mueve con una velocidad de 40 m/s. El péndulo gira alrededor de O y está formado por una varilla delgada de 200 g de masa y 20 cm de longitud, y un cilindro de 500 g de masa y 5 cm de radio.

Calcular el ángulo máximo que gira el péndulo como consecuencia del choque y la energía perdida en el mismo

3.- Una bala de 100 g de masa y 25 m/s de velocidad choca con una varilla delgada de masa M = 0.9 kg y longitud L = 45 cm, empotrándose en la misma 35 cm por debajo de su extremo superior. La varilla puede girar libremente alrededor de un eje perpendicular al plano del papel, que pasa por O.

Determinar la velocidad angular del sistema varilla-bala inmediatamente después del choque.

Calcular el máximo desplazamiento angular del sistema varilla-bala.

4.- Dos niños de 25 kg de masa cada uno están situados en el borde de un disco de 2.6 m de diámetro y 10 kg de masa. El disco gira a razón de 5 rpm respecto del eje perpendicular al disco y que pasa por su centro. ¿Cuál será la velocidad angular del conjunto si cada niño se desplaza 60

cm hacia el centro del disco?.

Calcular la variación de energía cinética de rotación del sistema, y explica la causa del incremento de energía.

5.- Un cubo de madera de 2 kg y 20 cm de arista, que descansa sobre una superficie horizontal sin fricción, está sujeto a una barra rígida de longitud 2 m y masa 300 g fijada a la superficie por un extremo en el punto O y por el otro al centro del cubo. Una bala de masa 50 g y velocidad 200m/s se incrusta en el cubo a la altura de su centro de masa (en la dirección perpendicular al cubo, tal como se muestra en la figura) ¿Cuál es la velocidad angular del sistema después del choque?.

¿Se conserva la energía en esta colisión?.

Momentos de inercia respecto de un eje que pasa por el cm del cubo:

EJERCICIO CONSERVACION DE LA ENERGIA

1.- Un bloque de 200 g permanece en reposo en A cuando el muelle de constante 500 N/m está comprimido 7.5 cm. Se suelta el dispositivo de sujeción y el bloque recorre el camino ABCD. Calcular:

La velocidad del bloque cuando pasa por B, C y D.

La reacción del raíl cuando pasa por el punto más alto, C.

SOLUCION

2.- Desde la ventana de un edificio de 15 m de altura se lanza un objeto de masa m = 400 g hacia la calle, utilizando el muelle de constante k=750 N/m, como muestra la figura. El objeto a una distancia inicial de 80 cm se desplaza 10 cm comprimiendo el muelle y luego, se suelta. Calcular:

La velocidad del objeto al final del plano inclinado.

La distancia entre la base del edificio y el lugar de impacto del objeto en el suelo.

SOLUCION

3.-Un objeto de masa 0.5 kg cuelga de una cuerda inextensible y de masa despreciable de 60 cm de longitud y está a una altura de 1m sobre el suelo. Se separa de la posición de equilibrio 80º y se suelta. Cuando forma 30º con la vertical se corta la cuerda que sujeta al objeto con una tijera o un dispositivo similar, y el objeto describe una trayectoria parabólica tal como se muestra en la figura.Calcular

La velocidad v del objeto cuando alcanza la desviación de 30º. La tensión de la cuerda.

Las componentes (vx, vy) de la velocidad inicial. La posición (x, y) de partida del objeto en su trayectoria parabólica. El alcance R medido desde el origen y la altura máxima H

SOLUCION

4.-Una cuerpo de masa m=4 kg, está sujeto por una cuerda de longitud R=2 m, gira en el plano inclinado 30º de la figura.

Dibuja las fuerzas sobre el cuerpo en la posición B (más alta) y en la posición A (más baja)

Calcula la velocidad mínima que debe llevar el cuerpo en la posición más alta B, para que pueda describir la trayectoria circular.

Calcula la velocidad con la que debe partir de A para que llegue a B, y describa la trayectoria circular.

Calcula la tensión de la cuerda cuando parte de A y cuando llega a B.

SOLUCION

5.-Una pista de patinaje tiene la forma indicada en la figura. El primer tramo lo constituye un arco de 60º de una circunferencia de 30 m de radio. El segundo tramo discurre por un plano inclinado tangente a la circunferencia en el punto inferior del arco. En el tramo plano se coloca un muelle (parachoques) de constante k=40 N/m cuyo extremo libre coincide exactamente con el final del tramo circular.

Un patinador de 70 kg de masa se deja deslizar con velocidad inicial nula desde el extremo superior del primer tramo circular siendo detenido finalmente por la acción del resorte. A lo largo de la pista no hay rozamiento. Determinar:

La reacción de la pista en A y B. El punto A hace un ángulo de 30º con la horizontal, y B es un punto del plano inclinado.

La distancia que habrá comprimido el muelle cuando el patinador se detiene por completo

SOLUCION

6.- Se deja caer sobre un muelle en posición vertical una masa de 0.5 kg desde 1 m de altura. El muelle tiene una longitud de 0.5 m y una constante de 100 N/m.

Calcular la longitud h del muelle cuando está comprimido al máximo

SOLUCION

7.- Un péndulo simple está formado por un hilo inextensible y de masa despreciable de 0.5 m de longitud del que cuelga una masa puntual de 2 kg. Si se separa de la posición de equilibrio 10º y se suelta, calcular la tensión del hilo cuando el péndulo pasa de nuevo por la posición vertical. Tomar g=9.8 m/s2.

SOLUCION

8.- Un bloque de 5 kg desliza con velocidad constante por una superficie horizontal mientras se le aplica una fuerza de 10 N, paralela a la superficie. a) Dibujar en un esquema todas las fuerzas que actúan sobre el bloque y explicar el balance trabajo-energía en un desplazamiento del bloque de 0,5 m. b) Dibujar en otro esquema las fuerzas que actuarían sobre el bloque si la fuerza que se le aplica fuera de 30 N en una dirección que forma 60º con la horizontal, e indicar el valor de cada fuerza. Calcular la variación de energía cinética del bloque en un desplazamiento de 0,5 m

-Balance trabajo-energía: Estudiamos el carácter conservativo o no conservativo de las fuerzas y su efecto sobre la energía del cuerpo.

- Fuerza gravitatoria: Es conservativa. No realiza trabajo, al ser perpendicular al desplazamiento, por lo que no hará variar la energía potencial gravitatoria del cuerpo (Epg = m·g·h , con nivel cero de Epg en el suelo)

-Normal: es No conservativa. No realiza trabajo, al ser perpendicular al desplazamiento, por lo que no contribuye a variar la energía mecánica del cuerpo.

-Fuerza de rozamiento: Es no conservativa. Realiza un trabajo negativo, ya que se opone al desplazamiento. Esta fuerza disipa energía mecánica del cuerpo, que pasa al medio mediante calor.

-Fuerza aplicada: Es no conservativa. Realiza un trabajo positivo, ya que va a favor del desplazamiento. Esta fuerza aporta energía mecánica del cuerpo.

Aplicamos el principio de conservación de la energía mecánica

Vemos que la energía mecánica del bloque se mantiene constante, ya que el trabajo total de todas las fuerzas no conservativas es nulo.

También la energía cinética se mantiene constante, ya que según el teorema trabajo-energía cinética

b) Calculamos las fuerzas en la nueva situación:

9.- ¿Qué velocidad tendrá un vagón de una montaña rusa sin rozamiento en los puntos A, B y C de la figura, si el carrito parte de O con v0 = 0 m/s ?

Al no existir rozamiento, las únicas fuerzas que tenemos aplicadas durante el movimiento del vagón son: Fuerza gravitatoria (Fg = mg). Es conservativa.Normal: Es no conservativa, pero no realiza trabajo, ya que actúa en perpendicular al desplazamiento en todo momento.

Como no hay aplicadas fuerzas no conservativas que realicen trabajo, la energía mecánica del vagón se mantendrá constante durante todo el recorrido.

Calculamos en primer lugar la energía mecánica en el punto O. (la velocidad en O es cero, ya que parte del reposo)

En el punto A, que está en el suelo, el vagón tendrá energía cinética pero no potencial (h = 0 m)

Igualando las energía mecánica en ambos puntos (la masa no influye)

Sustituimos los valores

Calculamos las velocidades en los otros dos puntos usando el mismo procedimiento

10.- Un cuerpo de 0.5 kg, sujeto al extremo de un resorte horizontal de constante elástica k = 300 N/m, tiene un m.a.s.. Cuando el cuerpo está a 12 mm de su posición de equilibrio, su velocidad es de 0.3 m/s, ¿cuál es la energía total del cuerpo?¿Y la amplitud de su movimiento? ¿ Y la velocidad máxima que alcanza el cuerpo?

La energía total es:Em = Ec +Ep = 1/2 m v2 + 1/2 k x2 = 1/2 0,5 0,32 + 1/2 300 0,0122 = 0,0441 J = 44,1 Mj

Para calcular la amplitud recuerda que Em = 1/2 k A2, y sustituyendo:

0,0441 = 1/2 300 A2 → A = 0,017 m = 17 mmPara calcular la velocidad máxima puedes usar que Em = 1/2 m vmáx

2, ya que para x = 0 la velocidad es máxima y la energía potencial es cero, y sustituyendo:

0,0441 = 1/2 0,5 vmáx2 → vmáx = 0,42 m/s

BIBLIOGRAFIA

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