Date post: | 06-Jul-2018 |
Category: |
Documents |
Upload: | gilang-brahmana |
View: | 252 times |
Download: | 0 times |
of 34
8/17/2019 Fungsi Bloch
1/34
Fungsi Bloch
8/17/2019 Fungsi Bloch
2/34
•Elektron Bloch pada Potensial Periodik
• Massa efektif elektron merupakan massa elektrodalam pita energi ketika mengalami gaya ataupercepatan. Potensial periodik diambil dari persaSchrodinger, sehingga masalahnya kembali pad
klasik elektron bebas
8/17/2019 Fungsi Bloch
3/34
Dari persamaan gerak kita tahu bahwa perumusakecepatan elektron adalah;
apabila kecepatan grup ini kita turunkan terhadapmaka akan kita peroleh
atau dapat dituliskan dalam bentuk
dt dk
T d
dt
dVg 11 2
=
dt
dk
dk
T d
dt
dVg 2
21
=
8/17/2019 Fungsi Bloch
4/34
dari persamaan gerak kita ketahui bahwa
dengan mensubstitusi persamaan gerak ini ke persamaan sebel
sehingga diperoleh
atau dapat ditulis menadi
dt
dk
dk
T d
dt
dVg 2
21
=
F
dt
k d =
F
dk
T d
dt
dVg 2
21
=
F dk
T d
dt
dVg 2
21
=
8/17/2019 Fungsi Bloch
5/34
ruas kiri merupkan percepatan, dan ruas kanan merupakan
dikalikan gaya !. Berdasarkan hukum "" #ewton kita ketahui
sehingga dari persamaan tersebut di de$nisikanlah massa e
hubungan sebaran elektron Bloch menggunakan pendekatakuadratik %ektor gelombang. Pada kristal kubik, ketika padaminimum, maka titik simetri ko, pendekatan energi menadi
F dk
T d
dt
dVg 2
21
=
m
F a =
2
2
11*
dk T d
m
=
8/17/2019 Fungsi Bloch
6/34
dengan koe$sien & dinyatakan sebagai
hubungan sebaran bentuknya sama seperti elektrbebas, tetapi massa electron diubah menadi
yang mana bergantung pada potensial periodik ddide$sikan sebagai
parameter ini disebut massa efektif pada elektron
2
0 )(0 k k at Tk k −+≈
*2
2
m A =
em *m
2
2
2
1
*
1
k
T
m
k
∂∂
=
8/17/2019 Fungsi Bloch
7/34
Secara alamiah, massa efektif berbeda dari masselektron bebas, perbedaannya pada nilai masing'pita dan ika ada beberapa minimum dalam pita, bergantung pada kekisi (ona Brillouin. Massa efekberguna pada elektron ketika menenentukan sifat
kristal pada daerah pita dengan pendekatan kuadenergi telah diketahui. Pita pada logam atau pitakonduksi dan %alensi dalam semikonduktor merupcontoh yang terbaik. Dalam kasus ini system elekBloch pada massa elektron bebas diganti menad
efektif elektron.
8/17/2019 Fungsi Bloch
8/34
)ristal yang bukan kubik, hubungan persebarannybukan simetri bola. *ika simetri secara lokal pada Brillouin ortorombik, maka bentuk energinya
watak'watak elektron dicirikan oleh tripletSehingga nilai harap energi sebuah +amiltonian Eadalah
2
0
2
0 )()(0 y x Azk k Ayk k AT T y x X K K +++−+≈
z
z
y
y
x
x
k k m
k k
m
k k
m
k k T T
zy y x
*2
)(
*2
)(
*2
)( 2
0
22
0
22
0
2
0
++
++
−≈
.*,*,* z m ym xm
∑ +∂∂∂
−= =
ji ji ji
k efektif r V x xm
T H ,
2
,
2
0 )(*
1
2
8/17/2019 Fungsi Bloch
9/34
dengan ber%ariasi pada ruang riil, kemudian ener
elektron merupakan potensial gangguan yang dihdengan teorema massa efektif. Misalkan massa bpada potensial satu dimensi
dengan adalah parameter kekisi dan & adalah lupenghalang. Menurut teorema Bloch, fungsi gelomelektron dalam suatu potensial periodik dinyatakasebagai
∑ +∂∂∂
−= =
ji ji ji
k efektif r V x xm
T H ,
2
,
2
0 )(*
1
2
∑∞
∞→
−=n
nL x A xV )()( δ
)()exp()( xU ikx x =ψ
k )( xU
8/17/2019 Fungsi Bloch
10/34
Sehingga memenuhi persamaan
dengan menyatakan turunan yang bergantung te- dan adalah nonrelati%istik energi elektron. Perluelektron Bloch dapat diterapkan untuk sistem rela
)()( xU nL xU =+
)()()()()(2
02
2
xU k T xU xV ik m
=
++∂+
−
8/17/2019 Fungsi Bloch
11/34
Fungsional Energi ElektronBloch
Sistem yang diguanakan dalam kaian ini memendistribusi !ermi Dirac yang terdegenerasi, sehinggpeluang terdapatnya electron di daerah lebih bes)f adalah Sistem +amiltonian untuk elektron'elekBloch pada potensial periodik semikonduktor ada
k
m
mkk
m
mk
m
T T
x x
k k ..
*
...
*
.
2 3333
2
0
+=
8/17/2019 Fungsi Bloch
12/34
k m
mkk
m
mk
mT T
x x
k k ..*
...*
.2 3333
2
0
+=
8/17/2019 Fungsi Bloch
13/34
karena simetri komponen tensor yakni komponenkomponen yx , komponen yz komponen zy,kom xz komponen zx
rata'rata energi kinetik elektron dihitung
z y
yz
z x
xz
y x
xy
z
zz
y
yy
x
xx
k k m
mk k
m
mk k
m
m
k m
mk
m
mk
m
m
+
+
+
+
+
=
***
2
*
2
*
2
22
2*
( ) k m
mk T k ..
2
1*
=
( )∫ ∫ ∫ == =
= f
k
k dk k
m
mk k f
00
*
2
0
..
π
θ
π
ϕ
2
8/17/2019 Fungsi Bloch
14/34
uraikan masing-ma
( )∫ ∫ ∫ == =
= f
k
k dk k
m
mk k f
00
*
2
0
..
π
θ
π
ϕ
( ) ( ) ( )
ϕ θ θ
θ ϕ θ
θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ
θ ϕ θ ϕ θ
π π
d dkd k
k m
m
k m
m
k m
m
k m
mk
m
mk
m
m
f k
yz
xz xy
zz yy xx
sin
cossinsin2
coscossin2sinsincossin2
cossinsincossin
2
0 0
2
0
2
*
2
*
2
*
2
*
2
*
2
*
∫ ∫ ∫
+
+
+
+
+
=
( )
( )
( )ϕ θ θ
ϕ θ ϕ ϕ θ
ϕ θ ϕ θ θ
ϕ θ ϕ θ ϕ θ
ϕ θ θ θ
ϕ θ ϕ θ
ϕ θ ϕ θ
π
θ
π
ϕ
d dkd k
d dkd k m
m
d dkd k m
m
d dkd k m
m
d dkd k m
m
d dkd k m
m
d dkd k m
m
f k
k
yz
xz
xy
zz
yy
xx
sin
sincossin2
coscossin2
sinsincossin2
cossin
sinsin
cossin
2
0 0
2
0
34
*
24
*
34
*
24
*
234
*
234
*
∫ ∫ ∫ = = =
+
+
+
+
+
=
8/17/2019 Fungsi Bloch
15/34
Setelah diuraikan diperoleh
( )ϕ θ ϕ θ π
θ
π
ϕ
d dkd k m
m
xx
k
k
f
234
*
0 0
2
0
cossin
= ∫ ∫ ∫
= = =
3
4
1 *
π f
xx
k m
m
=
xx f m
m
k
= *
1
4π
( )ϕ θ ϕ θ π
θ
π
ϕ
d dkd k m
m
yy
k
k
f
234
*
0 0
2
0
sinsin
= ∫ ∫ ∫
= = =
8/17/2019 Fungsi Bloch
16/34
( )ϕ θ ϕ θ π
θ
π
ϕ
d dkd k m
m
yy
k
k
f
234
*
0 0
2
0
sinsin
= ∫ ∫ ∫
= = =
3
4
1 *
π f
yy
k m
m
=
yy
f m
mk
=
*
1
4π
( )ϕ θ θ θ π
θ
π
ϕ
d dkd k
m
m
zz
k
k
f
24
*
0 0
2
0
cossin
= ∫ ∫ ∫ = = =
3
4
1 *
π f
zz
k m
m
=
zz
f
m
mk
=*
1
4π
4π
8/17/2019 Fungsi Bloch
17/34
zz
f m
mk
=
*
1
4π
ϕ θ ϕ θ ϕ θ π
θ
π
ϕ
d dkd k m
m
xy
k
k
f
sinsincossin2 34*
0 0
2
0
= ∫ ∫ ∫
= = =
0.3
4
12
* f
xy
k m
m
=
0=
θ ϕ θ θ
π
θ
π
ϕ
dkd k mm
xz
k
k
f
coscossin2 24*0 0
2
0
= ∫ ∫ ∫ = = =
0.
12
* f
xz
k m
m
=
0=
8/17/2019 Fungsi Bloch
18/34
semua suku'suku tersebut diberikan oleh
dengan demikian fungsional energi kinetiknya
ϕ θ ϕ ϕ θ π
θ
π
ϕ
d dkd k m
m
yz
k
k
f
sincossin2 34*
0 0
2
0
= ∫ ∫ ∫
= = =
0.
12
* f
yz
k
m
m
=
0=
zz
f
yy
f
xx
f m
mk
m
mk
m
mk
+
+
=
*
*
*
1
4
1
4
1
4 π π π
+
+
=
zz yy xx
f m
m
m
m
m
mk
***
1
4π
+
+
+== zz yy xx
f kok
m
m
m
m
m
mk
m
T T ***
2
1
4.
2
π
d d iki f i l i ki ik
8/17/2019 Fungsi Bloch
19/34
dengan demikian fungsional energi kinetiknya
Momentum !ermi untuk gas electron se
dalam sistem tak homogen, dimana kerapatan
merupakan fungsi posisi, diasumsikan bentuk funenergi kinetiknya sama, sehingga
sehingga bentuk fungsional energinya
+
+
+=
zz yy xx
f kok m
m
m
m
m
mk
mT T
***
2
1
4.
2
π
323 f k = ρ π
( )
∗+
∗
∗+=
zz yy xx
kok m
m
m
m
m
m
mT T 3
2
2
31
4.
2π
π
( ) ( )dr r m
m
m
m
m
m
mT T
zz yy xx
kok ∫
∗+
∗
∗+= 3
3
2
2
31
4.
2 ρ π
π
( ) ( ) ( )dr r m
m
m
m
m
m
mT F
zz yy xx
ko RR ∫
∗+
∗
∗+= 3
3
2
2
31
4.
2 ρ π
π ρ
8/17/2019 Fungsi Bloch
20/34
dengan fungsional yang didapatkan, kita dapat menghitung
minimizer untuk beberapa potensial yang memenuhi syarat
( ) ( ) ( )dr r m
m
m
m
m
m
mT F
zz yy xx
ko RR ∫
∗
+
∗
∗
+= 3
3
22
31
4.
2 ρ π
π ρ
8/17/2019 Fungsi Bloch
21/34
Model Kronig-Penney
Model kronig / Penney dalam satu dimensi adalahmerupakan suatu deretan potensial persegi denga, dipisahkan oleh penghalang energy yang lebardan tinggi 0o. uas penghalang b0o, berubah darberhingga sampai nol. Sebagian dari fungsi gelom
bergetar dalam sumur dan meluruh secara e-pon
8/17/2019 Fungsi Bloch
22/34
Energi potensial dari sebuah elektronn dalam sebsusunan inti / inti atom yang positif dianggap berseperti sebuah susunan sumur potensial periodik periode a1b
Di dasar sumur, yaitu untuk 2 3 - 3 a, elektron d
berada disekitar sebuah inti atomSebaliknya, diluar sumur, yaitu untuk /b 3 - 3 2, potensial elektron dianggap sama dengan 0o
untuk menelaskan berbagai sifat penting dari tinlaku elektron diperoleh dari persamaan schroding
3 3
8/17/2019 Fungsi Bloch
23/34
untuk kedua daerah yaitu daerah 2 3 - 3 a, dan db 3 - 3 2 sebagai berikut;
a. 4ntuk 23-3a
b. 4ntuk /b3-32.
*ika kita misalkan bahwa energi elektron lebih kecpada dan kita dide$nisikan dua besaran real dsebagai berikut;
( )( ) )0,(0
2022
2
==+ V bebaselektronuntuk x E m
dx
xd ψ
ψ
( )( ) 0)(
2022
2
=−+ xV E
m
dx
xd ψ
ψ
α β
( )22
02
2
2
2 E V
mdan E
m−==
β α
( )2
8/17/2019 Fungsi Bloch
24/34
Maka persamaan'persamaan 567 dan 587 dapat ditmenadi
)arena energi potensial dari model )roning'Penneadalah periodik, maka fungsi'fungsi gelombang teharuslah berbentuk fungsi Bloch, yaitu;
( )( ) )0,(0
2022
2
==+ V bebaselektronuntuk x E
m
dx
xd ψ
ψ
( )( ) "0)(
2022
2
=−+ xV E
m
dx
xd ψ
ψ
( )( )
( )( ) x
dx
xd dan x
dx
xd ψ β
ψ ψ α
ψ 22
22
2
2
0 −=+
( ) ( ) xue x k ikx±=ψ
8/17/2019 Fungsi Bloch
25/34
Dimana sekarang adalah sebuah fungsi perdalam - dengan perioda a1b, yaitu;
Sekarang marilah kita hitung turunan kedua terhadari persamaan 597, sebagai berikut;
Selanutnya coba kita subsitusikan persamaan 597ini kedalam persamaan'persamaan 57 dan 5
8/17/2019 Fungsi Bloch
26/34
b. untuk /b 3 - 3 2
=ang mana u6 dan u8 masing / masing menyatakauk5-7 dalam inter%al 2 3 - 3 a dan /b 3 - 3 2. Sep
kita ketahui bahwa dari mekanika kuantum atau d$sika kuantum, solusi umum untuk persmaan /persamaan 5>7 dan 5627 di atas adalah
Dan
0)(2 2222
2
22
=++ uk dx
duik
dx
ud β !10"
xk i xk i !e Aeu )()(1+−− += α α 11"
xik xik "e#eu )()(2+−− += β β
12"
kiki )()( +αα 1"
8/17/2019 Fungsi Bloch
27/34
=ang mana &,B,? dan D adalah tetapan / tetapanbiasa ditentukan oleh syarat batas berikut ini
Syarat batas yang ditunukkan oleh persamaan 56sesuai dengan syarat bahwa fungsi gelombang A turunan pertamanya 5dAd-7 dan uga u dengan dharuslah kontinyu
xk i xk i !e Aeu )()(1+−− += α α
xik xik "e#eu )()(2+−− += β β
1"
12"
)0()0(')0()0( 2121 ==== xuntuk dx
du xuntuk
dx
duuu 13"
)()(')()( 2122 b xuntuk dx
dua xuntuk
dx
dubuau −===−= 14"
Sebaliknya kondisi yang ditunukkan oleh persamaan 567 s
8/17/2019 Fungsi Bloch
28/34
Sebaliknya, kondisi yang ditunukkan oleh persamaan 567 sdengan syarat bahwa uk5-7 adalah periodic. Dengan mengg
syarat'syarat batas ini dan mensubstitusikannya ke dalampersamaan'persamaan 5667 dan 5687, kita akan memperolepesamaan linier homogeny sebagai berikutC
& 1 B ? 1 D 6
8/17/2019 Fungsi Bloch
29/34
sinh (b) sin (a) cosh (b) cos (a) +cosk (a b) 0 "1&!
4ntuk menyederhanakan persamaan 56>7 ini, )roig dan Pememilih kasus yang mana nilai 02 cenderung menuu tak
dan nilai b menuu nol, tetapi hasil kali 02b tetap terhinggademikian, potensial model )ronig dan Penney menadi popenghalang sebuah fungsi delta. Dalam keadaan seperti i)ronig'Penney ini dimodi$kasi menadi sebuah deret sumpotensial yang terpisahkan oleh sebuah potensial penghayang sangat'sangat tipis. )arena itu, hasil kali 02b 5untuk
disebut kekuatan penghalang 5 barrier strength7.
Pada saat b I 2, sinh 5Gb7 I Gb, dan cosh 5Gb7 I 6. Di samdari persamaan 5@7 ika kita menumlahkan F8 dan G8 kemmembaginya dengan 8FG maka kita akan memperoleh haseba ai berikutC
•
αβ
β α
2
22 +
2
22 0
2 αβ αβ
β α mV =
+"
Dengan menggunakan persamaan 82 ini dan kondisi dim
8/17/2019 Fungsi Bloch
30/34
Dengan menggunakan persamaan 82 ini dan kondisi dimb 2
sinh dan cosh5b7 kita dapat menulis persammenadi
*ika kita defenisikan besaran P sebagai berikutC
maka menadi maka menadi
)( bβ bβ → ,1→
2
0
αβ
$m
)( bβ )cos()cos()sin( kaaa =+ α α
2
0
αβ
$m)cos()cos()sin( kaaa =+ α α !21"
2
0bam$a
% α
2
0
α bm$
#ilai P adalah sama dengan luas energy potensial penghala
8/17/2019 Fungsi Bloch
31/34
g gy p p g
adi kita memperbesar nilai P berarti mengikat sebuah electsecara kuat pada sebuah sumur tertentu, sekarang coba kitsubstitusikan persamaan 88 ini ke dalam persamaan 86 +asilnya adalah sebagai berikutC
Persamaan 8@ ini merupakan syarat agar solusi untuk persgelombang itu ada. )ita ketahui bahwa nilai cos5ka7 terletakdan 16 sehingga ruas kiri dari persamaan 8@ itu harus me
sedemikian rupa sehingga nilai'nilai ruas kiri persamaanterletak dalam rentang '6 dan 16. nilai'nilai
yang menghasilkan nilai
"23!a % α
)cos()cos()sin( kaaa =+ α αα
cos()sin()-( aaa % α α α +
8/17/2019 Fungsi Bloch
32/34
menarik 3 kesimpulan
*ika P , pita'pita energy dipersempit sedemikian r
•
8/17/2019 Fungsi Bloch
33/34
*ika P , pita pita energy dipersempit sedemikian rsehingga menadi berbentuk garis'garis dan memsebuah spectrum garis. Dalam kasus seperti itu,persamaan 8@ akan memiliki solusi hanya ika s
5sebab ika sin 5 7 tidak sama dengan nol, persammenadi tak hingga, karena P 7. *adi agar persammemiliki solusi maka
Sin5 7 2
8
Diman n bilangan bulat. )arena itu, denganmenggunakan persamaan 8@ dan 8 energy dditulis sebagai berikutC
8/17/2019 Fungsi Bloch
34/34