Gauss Simple[1]

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER

FACULTAD DE INGENIERÍAS FÍSICO-QUÍMICAS

ESCUELA DE INGENIERÍA DE PETRÓLEOS

Métodos Numéricos

Gauss Simple

Marcela Fernanda Garzón Torres cód.2073740Silvia Ximena Lizcano Gutiérrez Cód.2042093Jorge Mario Padilla Reyes cód. 2072354

Pedro Fernando Quiroga Novoa cód. 2080712Oscar Ricardo Roa Romero cód. 2062234

Eduardo Carrillo

Universidad industrial de SantanderMétodos Numéricos

2010

http://images.google.com.co/imgres?imgurl=http://www.escueladepetroleosuis.com/images/home_logopetroleos02.jpg&imgrefurl=http://www.escueladepetroleosuis.com/contactenos.html&usg=__nmHLZq0xUERSPGs4BHBlThVnbLw=&h=199&w=273&sz=17&hl=es&start=4&sig2=H3ya5utQMtmtriY1JcZXBw&tbnid=H6NSbbVGjrh3MM:&tbnh=82&tbnw=113&prev=/images?q=ingenieria+de+petroleos+UIS&gbv=2&hl=es&ei=0cL5SpK9BI21tgfslLXQCg%00%E5%A1%B9%EF%92%81%E1%B4%BB%E4%A1%BF%E2%B2%AF%E5%B6%82%E8%97%84%E6%8C%A7%00%00%EA%AE%A5




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Introducción

Para el desarrollo de métodos de soluciones de ecuaciones es necesario tener en cuenta algunos conceptos básicos que nos permiten comprender como podemos hallar tales soluciones según las características de las matrices obtenidas, pudiendo tener facilidades a la hora de realizar las operaciones requeridas o llevar a cabo los procesos necesarios. Cuando hace referencia a Gauss Simple encaminamos la solución de un sistema de ecuaciones lineal a la triangulación del sistema obteniendo una solución simple una solución simple como veremos a continuación.





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Conceptos Básicos

Matrices:

Las matrices y los determinantes son herramientas algebraicas utilizadas en muchas áreas como las ciencias sociales, económicas y biológicas, con las cuales se facilita el ordenamiento, manipulación y caracterización de datos. Las dimensiones de una matriz pueden ser representadas de la siguiente manera:

Una Matriz nxm implica que tiene un numero n de filas y un numero m de columnas, por lo cual cuando n=m estamos hablando de una matriz cuadrada. La matriz puede representarse como una tabla rectangular de números reales y/o complejos asi:

Para representarla de una manera más apropiada encontramos la siguiente forma:

A=a(i,j) donde i representa la posición de la fila en donde estamos y j representa la posición en columnas de donde nos encontramos

Tipos de Matrices:

1- Matriz simétrica: Es aquella matriz cuadrada en donde los valores de ai,j=aj,i

=





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2- Matriz Cuadrada: es aquella matriz que está compuesta por un número igual tanto de filas como de columnas.

3- Matriz Traspuesta: encontramos esta matriz cuando a partir de una matriz ya establecida cambiamos el ordenamiento de filas por columnas y viceversa, de la siguiente manera, teniendo un matriz A=a(i,j) obtenemos su transpuesta así At=a(j,i)

4- Matriz Triangular: es una matriz cuadrada que contiene todos los elementos por encima o por debajo de la diagonal principal nulos.

5- Matriz Aumentada: Este tipo de matriz se obtiene de unir dos matrices, de la siguiente manera:

Matriz triangular superior.

Matriz triangular inferior.





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De esta unión se obtiene la matriz aumentada que se denota:

Esta notación es útil para resolver sistemas de ecuaciones lineales dados por matrices cuadradas. En álgebra lineal, se utiliza la matriz aumentada para representar los coeficientes así como las constantes de cada ecuación. Ejemplo:

6- Matriz bandeada: En matemáticas una matriz se le llama Matriz Banda o bandeada cuando es una matriz donde los valores no nulos son confinados en un entorno de la diagonal principal, formando una banda de valores no nulos que completan la diagonal principal de la matriz y más diagonales en cada uno de sus costados.

Ejemplo:

A= ; B =

(AIB)=





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La matriz anterior tiene un ancho de banda de 3 y recibe el nombre especial de matriz tridiagonal

7- Multiplicación de matrices:

Dadas dos matrices A y B, tales que el número de columnas de la matriz A es igual al número de filas de la matriz B; es decir:

La multiplicación de A por B, que se denota A·B, A×B o simplemente AB, está definida como:

Donde cada elemento está definido por:

Ejemplo:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/11/Matrix_multiplication_diagram.svg





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8- Determinantes

Asociado a cada matriz cuadrada A hay un número llamado determinante de A. El Determinante de A se puede escribir de dos formas:

Determinante de A (no lo confundan con el signo del valor absoluto de un número real).

Det A Esta se utiliza a veces en lugar de para evitar la confusión.

Una matriz es de primer orden cuando únicamente tiene un solo elemento y

y definimos el determinante de A cómo .

Ahora si la matriz A es una matriz cuadrada de segundo orden tendremos una matriz de 2 x 2 de modo que

Es una matriz cuadrada de segundo orden.

Para hallar el determinante de esta matriz se realiza de la siguiente manera:

multiplicar multiplicar





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( a11 ) ( a22 ) - ( a21 ) ( a12 )

Ejemplo:

Encuentre si

GAUSS SIMPLE

El método de Gauss, también conocido como método de eliminación simple de Gauss, es una de las primeras técnicas empleadas por actuarios, matemáticos e ingenieros para la resolución de sistemas de ecuaciones. El método comprende dos fases:

Eliminación de las incógnitas hacia adelante

Sustitución hacia atrás

La primera fase tiene el objetivo de reducir el sistema original a una forma triangular superior. Por ejemplo, para un sistema de n ecuaciones en n incógnitas que se representa con la siguiente matriz aumentada:

… (3)

RESTAR

multiplicar multiplicar

RESTAR





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Se comienza por eliminar la primera incógnita x1 desde la segunda ecuación hasta la

n-ésima. Para tal efecto, se multiplica el primer renglón de la matriz (3) por , con lo que se obtiene

…(4)

Esta ecuación se sustrae del segundo renglón de la matriz (3) para obtener

…(5)

que a su vez puede representarse por

…(6)

En donde el apostrofo de primalidad, denota que los valores de las variables implicadas (a22,…,a2n y b2) han cambiado después de esta primera operación. Este proceso se repite para los renglones restantes de la matriz (3). Por ejemplo para eliminar la primera incógnita x1, de la tercera ecuación del sistema (renglón tres de la





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matriz (3)), se resta a ésta el producto del primer renglón (primera ecuación del

sistema) de la matriz (3) por . Repitiendo estos pasos con las ecuaciones

restantes del sistema (renglones restantes de la matriz (3), se da paso al siguiente sistema modificado:

… (7)

En este primer conjunto de operaciones realizado para las ecuaciones dos hasta n, (renglones dos hasta n de la matriz (3)) se dice que la primera ecuación del sistema es la ecuación pivote y al coeficiente a11, se le conoce como coeficiente o elemento pivote. Es frecuente referirse al proceso de eliminar incógnitas hacia delante con el nombre de normalización de un sistema de ecuaciones.

Una vez que se ha eliminado del sistema la primera incógnita x1 desde la segunda ecuación hasta la n-ésima, se procede a eliminar la segunda incógnita x2, desde la tercera ecuación del sistema hasta la n-ésima, con lo que el sistema toma la siguiente forma:

…(8)





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El doble apóstrofo de bi-primalidad, indica que los coeficientes a los que afecta, han sido sujetos a un proceso operaciones de normalización dos veces. Este proceso

continua hasta eliminar la incógnita xn-1 de la n-ésima ecuación, obteniendo la siguiente matriz modificada final:

…(9)

Como puede observarse, es una matriz triangular superior, en donde los apóstrofos de primalidad ( ), bi-primalidad ( ),…, n-1 primalidad (n-1), indican el número de operaciones de normalización aplicadas a cada ecuación del sistema.

La segunda fase de la eliminación de Gauss, consiste en que, una vez que se ha obtenido una matriz triangular superior a través de operaciones de normalización, realizar la sustitución hacia atrás. Este proceso comienza despejando xn de la última ecuación (último renglón de la matriz (9))

…(10)

A su vez, este resultado se sustituye hacia atrás en la ecuación n-1 del sistema modificado final, (renglón n -1 de la matriz (9)). Este mecanismo se repite para las x restantes, lo que se representa mediante la expresión general:





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…(11),

para i = n-1, n-2,…,1

Ejemplo:

Aplicando el método de eliminación de Gauss y empleando seis dígitos significativos, resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

3x1 – 0.1x2 – 0.2x3 = 7.85… (12)

0.1x1 + 7x2 – 0.3x3 = -19.3... (13)

0.3x1 – 0.2x2 + 10x3 = 71.4... (14)

Solución. Aplicando el proceso de eliminación hacia delante, se multiplica la ecuación

(12) por y se sustrae el resultado de la ecuación (13), obteniéndose:

Luego se realiza el producto de la ecuación (12) por y se sustrae de la ecuación (14) para eliminar x1. Como resultado de estas operaciones, se tiene el siguiente sistema modificado:

3x1 – 0.1x2 – 0.2x3 = 7.85 (12)

7.00333x2 – 0.293333x3 = -19.561 (13)

– 0.1900002x2 + 10.0200x3 = 70.6150 (14)





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Una vez hecho lo anterior, se procede a eliminar x2 de la ecuación (14). Para ello, se

realiza el producto de la ecuación (13) por y el resultado se sustrae de la ecuación (14). Este proceso elimina a x2 de la tercera ecuación, completando la fase de eliminación hacia delante, obteniendo un sistema correspondiente a una forma triangular superior:

3x1 – 0.1x2 – 0.2x3 = 7.85 (15)

7.00333x2 – 0.293333x3 = -19.5617 (16)

+ 10.0200x3 = 70.0843 (17)

En consecuencia, se procede a la sustitución hacia atrás. Primeramente, de la ecuación (17) se despeja x3:

…(18)

Ahora, este resultado se sustituye en la ecuación (16):

7.00333x2 – 0.293333(7.00003) = -19.5617

De la cual se despeja x2:

…(19)

Finalmente, se sustituyen los valores (18) y (19) en la ecuación (15), de la que se despeja x1:





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El método de eliminación de Gauss, puede enfrentar las siguientes dificultades:

Error de redondeo. Tomando en cuenta que las verdaderas soluciones del sistema son x1 = 3, x2 = -2.5 y x3 = 7, se observa que hay una pequeña diferencia con los resultados obtenidos por el método de eliminación de Gauss. Esto se debe al error de redondeo en los cálculos.

División entre cero. Se ha llamado al método como método de Gauss simple, debido a que con él es posible incurrir en la división entre cero, por ejemplo, para resolver el siguiente sistema:

Implicaría incurrir en una división entre cero al intentar normalizar la primera ecuación.

Sistemas mal condicionados. Son aquellos en donde pequeños cambios en los coeficientes generan grandes variaciones en la solución.

Ejemplo de un sistema mal condicionado:





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Resolviendo, se tiene que x1 = 8 y x2 = 1. Modificando ligeramente la segunda ecuación del sistema:

Se tiene que x1 = 4 y x2 = 3. Como puede observarse, una ligera variación en uno de los coeficientes del sistema, ocasionó una fuerte variación en la solución del mismo. En general, se dice que un sistema es mal condicionado si su determinante es cercano a cero. Sin embargo, para detectar el mal condicionamiento, primero es necesario escalar todas las ecuaciones de forma

tal, que el valor máximo de cada coeficiente en cualquier ecuación sea la unidad y posteriormente, calcular el determinante.

Ejemplo. Establecer sí los siguientes sistemas de ecuaciones están mal condicionados

a)

b)

c)





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Solución.

a) Escalando el sistema se obtiene:

, det = 1(1)-0.667(-0.5) = 1.33

El determinante no es cercano a cero, por lo tanto el sistema no es mal condicionado.

b) Escalando el sistema se obtiene:

, det = 0.5(1)-1(0.55) = -0.05

El determinante es cercano a cero, por lo tanto el sistema es mal condicionado.

c) Escalando el sistema se obtiene:

, det = 0.5(1)-1(0.55) = -0.05

El determinante es cercano a cero, por lo tanto el sistema es mal condicionado. Suponiendo que se calcula el determinante del sistema c) sin realizar el escalamiento, el resultado que se obtiene es 20, lo que engañosamente haría pensar que el sistema no es mal condicionado.

Técnicas para el mejoramiento de las soluciones del método de eliminación de Gauss





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Uso de un mayor número de cifras significativas

Pivoteo. Antes de normalizar cada renglón, es conveniente localizar el coeficiente más grande en valor absoluto disponible en la columna que está por debajo del elemento pivote, con el objetivo de intercambiar los renglones de tal manera que el elemento más grande sea el elemento pivote, al cual se le conoce como pivote parcial. Al procedimiento en el que tanto en las columnas como en las filas se busca el elemento de mayor valor absoluto y posteriormente se intercambian se le denomina pivoteo total.





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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

http://www.sectormatematica.cl/media/NM3/DETERMINANTES.doc

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_sim%C3%A9trica

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_transpuesta

http://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matemática)

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_triangular

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_banda

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_aumentada

http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicación_de_matrices

http://www.slideshare.net/nestorbalcazar/mtodos-numricos-05

http://www.slideshare.net/nestorbalcazar/mtodos-numricos-05

http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n_de_matrices

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_aumentada

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_banda

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_triangular

http://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_transpuesta

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_sim%C3%A9trica

http://www.sectormatematica.cl/media/NM3/DETERMINANTES.doc





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ANEXOS 1

CODIGO DEL METODO EN JAVA

package gauss;

import javax.swing.JOptionPane;

public class gauss {

public static void main(String[] args) {

JOptionPane.showMessageDialog(null,"SOLUCION DE ECUACIONES LINEALES POR EL METODO DE GAUSS");

int i,j,s,k,h,n;

double d;

double m[][];

double r[];

double x[];

//Recuerde que el numero de incognitas y de ecuaciones deben ser iguales

n=Integer.parseInt(JOptionPane.showInputDialog("ingrese el numero de incognitas"));

m= new double [n][n];

r= new double [n];

x= new double [n];

//RECUERDE QUE LA DIAGONAL PRINCIPAL DE LA MATRIZ DE COEFICIENTES NO PUEDE TENER CEROS

for(i=0;i<=n-1;i++){

k=i+1;

r[i]=Double.parseDouble(JOptionPane.showInputDialog("ingrese el elemento "+k+" del vector de soluciones"));

x[i]=0;

for(j=0;j<=n-1;j++){





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h=j+1;

m[i][j]=Double.parseDouble(JOptionPane.showInputDialog("ingrese el elemento "+k+h+" de la matriz de coeficientes"));

}

}

//Este ciclo convierte la triangular inferior en ceros

for(i=0;i<n;i++){

for(j=i;j<n;j++){

if(i==j){

d=m[i][j];

for(s=0;s<n;s++){

m[i][s]=((m[i][s])/d);

}

r[i]=((r[i])/d);

}

else{

d=m[j][i];

for(s=0;s<n;s++){

m[j][s]=m[j][s]-(d*m[i][s]);

}

r[j]=r[j]-(d*r[i]);

}

}

}

//A continuacion se calcula el valor de las ingognitas

for(i=n-1;i>=0;i--){





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double y=r[i];

for(j=n-1;j>=i;j--){

y=y-x[j]*m[i][j];

}

x[i]=y;

}

for(i=0;i<n;i++){

k=i+1;

JOptionPane.showMessageDialog(null,"el valor de la incognita x"+k+" es "+x[i]);

}

}

}





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ANEXO 2

CODIGO DE GAUSS SIMPLE EN MATLAB

-------------------------La funcion datos.-------------------------------------

%Los datos se ingresan en la variable a

%como matriz ampliada

a=[4 3 2 6;12 2 4 8;3 4 1 4];

%Calculos adicionales

[m,n]=size(a);

b=a(:,n);

----------------------------------la funcion gauss-----------------------------

%Eliminacion Gauss simple

%Realizado por Ing E.Porto

clc;clear;

disp('Eliminacion Gauss simple')

disp('Realizado por Ing E Porto')

%Los datos se almacenan en el archivo datos.m

%como matriz ampliada en la variable a

datos;

disp('matriz original')

disp(a)

an=a;

%valores iniciales descomposicion lu crout

%la respuesta se almacena en las matrices

%low y upp





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low(:,1)=a(:,1);

upp(1,:)=a(1,1:m)/a(1,1);

% eliminacion hacia adelante

for i=1:m-1

for j=i+1:m

fprintf('\n eliminacion fila %g columna %g \n',j,i)

a(j,:)=a(j,:)-a(i,:)*a(j,i)/a(i,i);

disp(a)

pause

end

%descomposicion lu crout

low(i+1:m,i+1)=a(i+1:m,i+1);

upp(i+1,i:m)=a(i+1,i:m)/(a(i+1,i+1));

end

% sustitucion hacia atras

%la respuesta se almacena en x

x(m)=a(m,m+1)/a(m,m);

for k=m-1:-1:1

s=0;

for p=k+1:m

s=s+a(k,p)*x(p);

end

x(k)=(a(k,m+1)-s)/a(k,k);

end

% presentacion de resultados

disp('matrices lu');

disp('matriz inferior =');disp(low);

disp('matriz superior = ');disp(upp);

disp('solucion del sistema AX=B');

disp(x)


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