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PHYSICAL AND ETHEREAL SPACES

GEORGE ADAMS M.A. (Cantab.)

RUDOLF STEINER PRESS, LONDON

First Edition, Rudolf Steiner Press, London 1965Reprinted 1978

The quotations from Rudolf Steiner are printed by permission of the Rudolf Steiner Nachlassverwaltung, Dornach

© Rudolf Steiner Press, London, 1965ISBN 0 85440 328 0

Made and printed in Great Britain by PRT Offset Limited, 2 Brandon Road, London N7

Co n t e nts

Foreword

I Ancient and Modern Geometry

II Ethereal Space and its Forces

III Polarity with respect to the Sphere

IV Physical and Ethereal Forces and Substances

Notes and References

Foreword

Think on it: how the point becomes a sphere and yet remains itself. Hast thou understood how the infinite sphere may be only a point, then come again, for then the Infinite will shine forth for thee in

the Finite. Piense en ello: ¿cómo se convierte el punto de una esfera y, sin embargo sigue siendo en sí. ¿No has entendido cómo la esfera infinita puede ser sólo un punto, y luego vuelve, porque entonces el Infinito brillarán para ti en lo Finito (*The original German: Sinne nach: wie der Punkt zur Sphare wird und doch er selbst bleibt, Hast du erfasst, wie die unendliche Sphare doch nur Punkt ist, dann komme wieder, denn dann wird dir Unendliches in Endliches scheinen.)

Rudolf Steiner

George Adams había esperado mucho tiempo para publicar su ensayo de 1933 , que apareció ( en alemán) en Natura , publicado por el Goetheanum , Suiza, y en la antroposofía , revista de la Sociedad Antroposófica , Londres y Nueva York. En este ensayo se presentó una declaración inicial de una teoría de las fuerzas de la naturaleza viviente sobre la base de la concepción matemática del espacio y la morfología derivada de la geometría proyectiva moderna. Fue, sin embargo , onl y muy poco antes de su muerte en la

30 de marzo 1963 , que comenzamos a preparar la nueva edición alemana . George Adams pretendeincluir ilustraciones y anotaciones y escribir un prefacio sustancial , refiriéndose no sólo a su propio

trabajo adicional, sino también al trabajo de los demás - especialmente la del profesor Louis Locher -Ernst de Suiza - en el que se han creado esta obra en la que le corresponde lugar en la historia del pensamiento científico y el esfuerzo .

No he tratado de escribir un prólogo , como sólo él, con su profunda penetración en el espíritu científico de la época moderna , lo habría hecho , tengo simpl y realizó pequeñas modificaciones en el texto , ya que sabía que sus intenciones, y he añadido ilustraciones y anotaciones . Von dem aetherischen Räume apareció en su nueva forma , en 1964 , publicado por la Verlag Freies Geistesleben , Stuttgart , el presente volumen , en el idioma Inglés , es uniforme con ella.

La investigación en química física en Cambridge en el momento del estallido de la primera guerra mundial , George Adams vio que la ciencia física moderna y la teoría matemática , después de haber sacudido los cimientos del materialismo del siglo XIX, fue sin embargo, aferrándose a conceptos analíticos

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y atomista y seguir una camino cada vez más abstruso y muy alejado de los reinos de la experiencia humana y de la vida . En su búsqueda de un enfoque menos unilateral, más universal , se le llevó a estudiar una corriente de

 matemáticos pensaban que coexista con la escuela analítica y simbólica de Riemann , a la que Einstein y

sus seguidores se han convertido sobre todo , a saber , moderno proyectiva - o como se llama a veces - la geometría sintética y el álgebra superior, que se relaciona con él . Con la creación de este método en la geometría se conectan nombres como los de los franceses Poncelet (amigo de Descartes y maestro de Blaise Pascal ) y Chasles , Felix Klein y von Staudt en Alemania , el geómetra suizo Jacob Steiner ; Cayley , Sylvester y Clifford en Inglaterra y muchos otros grandes matemáticos . George Adams vio que las ideas de este ámbito de las matemáticas , que llegó a su apogeo en el siglo pasado , habían tenido una considerable influencia en el pensamiento filosófico , representada sobre todo por el profesor Whitehead , pero que , debido a la forma abstracta en la que había sido formulado y su aparente falta de puntos de aplicación a la física newtoniana , que había recibido poca o ninguna atención por parte de los físicos . Estaba convencido de que por este camino nuevos caminos de pensamiento se abrieron para ampliar y complementar el enfoque unilateral de análisis con el universo y las formas de vida en su interior.

Fundamental para esta convicción fue su reconocimiento de otra escuela moderna de pensamiento espiritual y la filosofía , a saber , la de Rudolf Steiner. En George Adams estos dos caminos unidos , pasó su vida en el servicio a los dos. Confirmado por Rudolf Steiner en el conocimiento de que la calidad de pensamiento que prevalece en la nueva geometría es , en realidad, indispensable tanto para el científico en su búsqueda de todo el mundo la realidad y al individuo en un camino de desarrollo espiritual , era tarea de su vida para hacer esta escuela de matemáticas cada vez más accesibles y desarrollar aún más, que debe estar a disposición , en la investigación científica y de la educación , de aquellos cuyo impulso es disolver los velos de la teoría y de la incredulidad creados por una parte, por la simbolismo de la ciencia de hoy en día y por el otro por la religión ortodoxa. El carácter metamórfico y maravillosa calidad de la síntesis orgánica de la geometría proyectiva moderna se reflejan en la filosofía de Rudolf Steiner de la actividad espiritual , en el que , a través de la actividad del pensamiento puro , el hombre puede llegar a lo espiritual en el universo y en sí mismo .

George Adams quería citar en su prólogo las palabras que yo he puesto a la cabeza de este prólogo . Son viejas palabras dadas a un alumno de Rudolf Steiner en 1903 y hasta ahora inédito. En cuanto a estas palabras , George Adams escribió en una carta a un amigo en febrero de 1963 :

" El campo entero con el que mis ofertas artículo es realmente uno de esos lugares donde la ciencia exotérica de nuestro tiempo viene con fuerza en el umbral de las verdades ocultas eternas y pide ser complementada , que será dirigida y confirmado por la ciencia de la iniciación espiritual . las matemáticas formales utilizados en la idea del espacio etéreo o negativo - Profesor Locher veces lo llama el espacio polar euclidiana - desde hace tiempo se sabe que los matemáticos puros , pero aparte de su interés en su forma más bella , se han concedido sin más importancia. su importancia radica , sin embargo , no en su mera forma , sino en el hecho de que su disciplina, creado por los matemáticos del siglo XIX, da una idea de una bastante nueva concepción del espacio que corresponde exactamente a lo que siempre ha sido descrito por los ocultistas como el secreto de la dimensión espacial del etérico - de la vida.

"Fue de hecho de todo Rudolf Steiner, en este como en otros muchos campos , hacer accesible a la mentalidad moderna inclinado científicamente las antiguas verdades del ocultismo , tan importante para la cultura de futuro de la humanidad , y para dar a sus seguidores las indicaciones necesarias para lograr el desarrollo de la tarea científica. fue en este sentido que mi artículo en Natura fue escrito , en primer lugar con los lectores en mente que están familiarizados con las enseñanzas de Rudolf Steiner " .

Goethean Science Foundation,

Clent, Stourbridge, Worcestershire,

July 1964

Olive Whicher

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I Ancient and Modern Geometry

A menudo se señala Rudolf Steiner lo importante que sería para las ciencias que son hoy tan especializados que se interpenetran entre sí de un modo de vida más . La clasificación que es habitual en nuestras universidades , en algunos aspectos se someten a cambios de gran alcance . "El actual grupo de las ciencias ", dijo el Dr. Steiner, "es de hecho insuficientes para el logro de una concepción del mundo real. " A modo de ejemplo , se llegó a decir en una ocasión , sería necesario contar con médicos capacitados en medicina, bien versado en matemáticas superiores . Porque había descubrimientos fundamentales sobre las metamorfosis del organismo humano , que sólo sería alcanzable por dicha combinación .Esta interacción , por supuesto , implica cambios de espíritu en las diferentes ciencias mismas . Tal abstrusa y el mundo formal del pensamiento como la matemática moderna parece ser , al parecer, no tienen mucho significado para los que principalmente tienen que ver con la vida. De hecho , las diferentes ramas del conocimiento sólo liberarse de especialización árido en la medida en que están impregnados , mucho más que en el caso de los sistemas intelectuales elaboradas de hoy , con una sensación inmediata de la realidad. Este contacto testamento vital , sobre todo, ser estimulado por la ciencia espiritual antroposófica . El intelecto por sí sola apenas se encontrará .En el presente ensayo me espero a confirmar lo que aquí se ha dicho, para un dominio particular del conocimiento , que desde algunos puntos de vista es fundamental. Me refiero a la escuela moderna de la geometría (geometría sintética o proyectiva ) , a la importancia de que el gran maestro de la ciencia espiritual llamó varias veces la atención. Resultados de largo alcance podrían seguir si algunos biólogos y médicos entrarían a fondo en las formas de pensamiento de esta geometría. Hay cuestiones importantes en el aire - preguntas científicas que también han sido señalados por Rudolf Steiner - que tal vez sólo puedan resolver sobre esta base . Desgraciadamente , Geometría moderna , como la mayoría de las matemáticas contemporáneas , es como una regla propuesta en una forma muy abstracta , y por lo tanto muchos estudiosos , incluso matemáticamente dotados , no siempre encuentran su camino hacia el corazón de la materia, que la importancia de esta geometría para las tareas especiales que amanecerá sobre ellos . Ellos se desaniman por la forma demasiado abstracta , que se encuentran en primer lugar.Geometría moderna tiene su inicio desde muy otros puntos de vista que el familiar " Euclid " de las escuelas. Voy a hacer un intento de explicarlo aquí, no en las formas académicas habituales , pero desde el principio en la más viva luz en la que aparece con la ayuda de la antroposofía . Esto hará que muchas cosas inteligibles al pensamiento y sentimiento humano , que si se pone adelante en la forma abstracta habitual haría después de todo, sólo atraen a los especialistas. Esto se justifica por el contenido real de la nueva geometría para colocarla en el contexto que aquí se muestra - esto es un punto que tengo totalmentediscutido y establecido en otro writings.1Geometría en última instancia siempre debe tener que ver con la gran sabiduría - enseñanzas de la humanidad. Porque con su ayuda experimentamos cómo se forma el espacio por la Luz Divina de eI mundo . A través de la forma maravillosa en la que el cuerpo humano está preparado en el espacio tanto interior como exteriormente - a través de la vida en el espíritu consciente en este marco - que los seres humanos tienen la facultad de reproducir esta creación divina , a la luz del pensamiento. En geometría , tenemos un goce interior de la creación del espacio. Sus verdades no se transmiten a nosotros empíricamente , ya que no son obligatoriamente por los datos de los sentidos externos ; aprehendemos ellos por una visión interior . La geometría es , por lo tanto , un primer paso en el camino de conocimiento espiritual .Precisamente en este sentido, sin embargo, la geometría de nuestro tiempo está en la posición muy opuesta a la de la antigüedad clásica . La geometría de Euclides y los griegos era como 

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un pasado y lejano eco de los antiguos Misterios - los mayores de todos los egipcios , hebreos y caldeos época. No había sido una de las lecciones finales de la " sabiduría antigua ", para percibir cómo los Elohim - los " Espíritus de la Forma " - había colocado al ser humano en su cuerpo físico en el espacio cósmico, en ese espacio tridimensional que se expresa tan maravillosamente en la estructura principal del esqueleto humano y que en la Masonería se convierte en la arquitectura de la tumba, el monumento sagrado , la Iglesia o Temple.2 Esta fase arquitectónica , matemática y masónica , que teníade hecho ha sido como un capítulo final de los Misterios pre -cristianos , fue durante la época greco-latina traducida a las formas más abstractas de la dialéctica y se practica como medio para la formación de la mente. Este es el significado real de la geometría de Euclides , en cuanto a su fuente y el contenido por una parte y su método escolástico en el otro . Es la arquitectura del espacio - espacio en su forma final y más rígida , terrenal - que experimentamos , sobre todo, en esta geometría.Geometría moderna está en una posición diferente , tanto en cuanto a forma y contenido. Se originó en su mayor parte en el siglo XIX, en un momento en que la gran mayoría de los hombres ignora la existencia de un conocimiento espiritual más alto, o, si se pensó en ella en absoluto , puesto en duda la posibilidad de que el hombre. Y sin embargo, la nueva geometría se relaciona con los misterios , casi tan íntimamente que la escuela antigua . Para ello se plantea en los albores de una nueva era , en la que todas las ramas de la vida y el conocimiento se fusionarán progresivamente en una sabiduría recién adquirida de la Humanidad . Moderno, geometría sintética, como Rudolf Steiner señaló , es de hecho una de las pocas obras muy creativas de nuestra época en la formación del pensamiento puro como tal. Pero sólo demostrará su fecundidad en un aspecto más amplio cuando estemos listos para percibir sus nociones fundamentales a la luz de concreto que ya está ahora posible gracias a la ciencia espiritual . Así como la vieja geometría fue una vez extraída , de la sustancia viva de los Misterios en las formas más finas de la inteligencia y la dialéctica , por lo que tendremos para sublimar el nuevo , de forma bastante abstracta en la que ha empezado su curso, en el sustancia de un conocimiento espiritual recién nacido , que, como el Misterio -Sabiduría del futuro recibirá alimento de todos los aspectos de la vida humana yendeavour.3Por extraño que parezca , esta geometría no tiene su inicio a partir de las formas de pensamiento que uno podría considerar fácilmente como lo más esencial de todas las nociones espaciales . Me refiero a las formas de pensamiento fundamentales de la arquitectura de nuestro espacio terrenal, pero que encuentran su expresión clásica en el siguiente pasaje de la historia del Templo de Salomón en el libro de los Reyes : "... Y allí estaba cedro en la casa interior, tallado con manzanas y flores abiertas . . todo era cedro ; ninguna piedra se ve y se preparó un oráculo en medio de la casa , para poner allí el arca del pacto de Jehová en el santuario interior era un espacio de diez metros de longitud, y veinte codos de ancho y veinte codos de su altura , y lo cubrió de oro puro ... " (I Reyes , vi 19-20. ) .Nos enfrentamos aquí con dos conceptos , a saber, las de longitud (" tantos codos " ) y del ángulo recto. Fuera de estas dos ideas se forma el cubo , sino que es la forma arquetípica del espacio terrenal. Aquí no sólo damos por sentado que no hay tal cosa como una medida de longitud o distancia en cualquier dirección , pero suponemos que las medidas de longitud en todas las direcciones se pueden comparar , por lo que no tiene importancia , como en este caso a dicen que son iguales en las tres direcciones principales del cubo. Por otra parte , mediante la combinación de las ideas de la longitud y el ángulo de la derecha se obtiene la medida de las áreas ( " metros cuadrados " ) y de los volúmenes espaciales ( tantos " pies cúbicos " ) . Las mismas palabras que aquí empleamos , como " plaza" o " pies cúbicos " , son testigos de la forma subyacente del ángulo recto . Lo que se obtiene a lo largo de estas líneas es , en última instancia (para usar una frase de Rudolf Steiner ) la idea de espacio como contenedor potencial de las cosas físicas , físicofenómenos y objects.4 Es el espacio en el cual medimos nuestras cuarto , nuestro cúbicovolúmenes en el sentido ordinario . La otra forma arquetípica de este espacio ( al lado del ángulo transversal o la derecha y el cubo ) es la esfera o el plano de imagen - el círculo. Suponiendo que en 

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sentido de que podemos comparar las medidas de longitud en todas las direcciones , la consecuencia inmediata es la idea de una superficie cuyos puntos son equidistantes en cada lado de un centro determinado. Esa es la esfera. En el plano de la imagen se convierte en el círculo.Ahora lo importante en la nueva geometría es precisamente esto, que aprendamos a concebir el espacio no sólo en este aspecto en el que sirve como contenedor potencial de las cosas físicas . Cuando Concerve que en este último aspecto , lo que experimentamos en realidad no es más que la última etapa de un largo proceso de espacio creativo , al igual que el hombre ósea sólida , el esqueleto rígido , no es sino la última etapa en el largo proceso de la evolución del hombre como un ser terrenal. Los verdaderos arquetipos ideales de espacio no son , sin embargo , obligados a las formas rígidas del cubo o de las tres direcciones perpendiculares . Geometría moderna pone más cerca de estos arquetipos ideales , sino que penetra en el proceso de espacio creativo , sino que aprehende " espacio en el devenir. " De ahí la importancia que tiene que asignarle un conocimiento más espiritual también de la naturaleza exterior . Porque es necesario aprender a ver en la naturaleza también no sólo lo que está ya hecho ( y por lo tanto muere ), pero lo que es nuevo , cada vez en su vida. Tenemos que liberar la imaginación de la esclavitud de las formas acabadas de espacio . Sin embargo, no hay que alcanzar esta meta simplemente dejando el espacio y las formas espaciales a un lado. Necesitamos un puente en el conocimiento : una comprensión del " ser espacial " y de la repercusión de distancia de la existencia espacial en lo puramente espiritual , una vez más . Necesitamos una verdadera transición a la esencia interior de la apariencia espacial. La nueva geometría proporciona este puente , o una parte esencial de la misma , una vez convocamos a la vida con el toque deAnthroposophia.5Debería ser casi innecesario añadir que la nueva geometría también, en última instancia , nos da una idea de ideales en las formas acabadas de espacio terrenal : las medidas de longitud y volumen , la esfera y el ángulo derecho , el círculo y el cubo y así sucesivamente. Pero a diferencia de Euclides, que no se inicia a partir de estos . Lo que comienza con , es la idea de una polaridad en el que el aspecto terrenal o física del espacio es , de hecho, sólo uno de los dos . En contra de este último es el aspecto etéreo o etérico , como propongo llamarla . Hablando en términos de la ciencia espiritual , tenemos los verdaderos fundamentos ideales de la geometría cuando nos hablan del contraste de lo físico y lo etéreo , cuando nos apropiamos de la polaridad cósmica del cielo yTierra, o incluso Sun y tierra.6Esto, en efecto , es la concepción original de todo el espacio - mucho más original, mucho más profundo y más potente que las formas acabadas de espacio terrenal con sus cubos de formas y contenidos. Podemos describirlo más o menos , para empezar , de un punto de vista , como una polaridad de " interna y externa . " Esto nos recuerda la época primitiva de nuestra evolución , cuando el astro de "Old Saturno " se abarca por primera vez por los espacios celestiales. Dentro de este cuerpo de Saturno los seres espirituales de las esferas que rodean corrían por sus fuerzas . Lo que había sido engendrado por los Tronos ( "Spirits of Will ") como una esencia interior, como si fuera un núcleo de fuego del nuevo mundo , era que los espíritus celestiales de los alrededoresespacios de la meta inmediata de su actividad.7 Aunque debemos utilizar estos términos espaciales parafalta de otra lengua, no debemos pensar en este sentido de un espacio así formado y configurado a fondo como es el espacio del Universo actual . Sin embargo, en el contraste de interior y exterior o del núcleo de la Voluntad y la esfera espiritual que rodea , ya existían los primeros rudimentos de espacio en el antiguo Saturno.En una época posterior - en el "Luna Vieja " existencia del cosmos - las condiciones se hicieron más complicadas. Desde el cuerpo central surgió una dualidad - la dualidad de la luna y el sol. Porque cuando se llegó a una cierta etapa , el viejo Luna - cuerpo se separa del sol. Desde entonces las fuerzas celestes trabajaron hacia abajo sobre el planeta Luna no sólo de la esfera que rodea del Cielo en su conjunto , pero en gran medida del propio sol. Acerca de esta etapa Rudolf Steiner escribe en su esquema de la Ciencia Oculta :

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" Como consecuencia de haberse separado del Sol, la Luna está relacionado con el Sol en la misma forma que una vez fue a Saturno a la totalidad de la evolución cósmica circundante. Saturno se formó a partir de la el cuerpo de los Espíritus de Voluntad ( Tronos ) . De la sustancia Saturno rayed hacia el espacio cósmico todo lo que se vivió en la conciencia de los seres espirituales en su entorno. Y a través de los acontecimientos que siguieron , esto despertó raying -back gradualmente a la vida independiente. Tal es la esencia de toda la evolución . Ser independiente se separa primero a partir de la vida del medio ambiente , a continuación, el medio ambiente graba en sí - por así decirlo , por la reflexión - sobre el ser separado , y luego este último evoluciona aún más , de forma independiente. Lo mismo hizo el cuerpo de Luna cortar en sí desde el Sol, y , para empezar,simpl y refleja la vida del cuerpo Sol ". 8

Estamos aquí tocamos uno de los secretos primordiales de la evolución, que es de hecho profundamente relacionada con el origen del espacio mismo y de todas las cosas espaciales. En nuestra edad del cosmos , también, el contraste del tipo solar y etérea frente al terreno físico es el que en todos los seres vivos , es más , incluso en el mineral " muerto" , así llamada , si una vez que entendamos este último en una forma más profunda . Hablando de "Sun " en este sentido, no sólo hemos de pensar en un cuerpo celeste que ocupa un lugar evidente en los espacios cósmicos , tenemos en cuenta la totalidad de la esfera luminosa del cielo , que por todos lados está trabajando hacia la Tierra de un modo similar al Sol - con la celestial , a diferencia de las fuerzas terrestres.

Figure 1: Tetrahedra

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Figure 2: Point of lines and line of points

Figure 3: Plane, woven of lines and points

Figure 4: Point, formed of lines and planes

Figure 5: Line of points and line of planes

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Figure 6: Circle into parabola

Llevamos este contraste del elemento de tipo solar y de lo terrenal - física en nuestra propia naturaleza humana también, y lo experimentamos de manera natural en la imaginación geométrica. Esta es la experiencia básica en que se funda la geometría moderna. Se expresa en primer lugar en la polaridad de Punto y Plano . El punto es el polo terrestre, el plano celestial . ( En la Figura 1 , el contraste de punto y plano que la suscita la esfera se muestra muy bien por los tetraedros , el uno que circunscribe una esfera , la otra inscrito dentro de él . ) Es muy cierto que el punto y el plano aparecen en la primera como puramente formas abstractas , y nosotros no pueden reconocer inmediatamente en ellos esta muy real polaridad de la Naturaleza cósmica . Sin embargo, eso es así, se vuelve cada vez más claro , más encontramos nuestro camino en la materia. Para empezar , ciertas dificultades inherentes deben ser superados . Ellos ya se han superado en gran medida en la nueva geometría y todo el que empieza a aprender lo que tiene que pasar por el proceso por sí mismo. Lo que todavía no se ha alcanzado sólo será quizá por descubrir cuando la geometría se levanta fuera de la esfera puramente abstracto y se coloca en su contexto real en una ciencia espiritual del mundo y del hombre , ya que estamos aquí procuramos hacer.

Las dificultades surgen del hecho de que en nuestra vida terrenal naturales que experimentamos el espacio en un aspecto unilateral físico. En verdad , todo el espacio se basa en una polaridad pura y absolutamente "justo" : Heaven and Earth , etéreo y físico, o incluso " la luz y la oscuridad " - llamarlo como lo haremos. Sin embargo, nosotros experimentamos , para empezar desde el punto de vista del cuerpo físico. Es cierto que tenemos también nuestra éter - cuerpo como el arquitecto esencial y constructor de la física , esta última , también, por lo tanto, es atravesada por la luz celestial . Por lo tanto , en todos los conceptos espaciales , incluso los más rígidos y más terrenal, la luz etérea es originalmente allí, aunque sea muy reconocido.

Pero las formas de imaginación espacial que se despliegan para empezar , de hecho, las que corresponden a la esfera del espacio terrestre en su estado más acabado. Es un espacio que se ha caído , por así decirlo, de su conexión celestial, que experimentamos en la vida ordinaria y en la geometría de la clase pasada de moda , como el vaso o recipiente potencial de las cosas y fenómenos físicos .

Sin embargo, en nuestro pensamiento activo que tenemos el poder latente para liberarnos de esta esclavitud de un solo lado , física espacial. Esto es precisamente lo que la nueva geometría ha hecho en gran medida , a pesar de que hace justicia a lo que debemos comenzar a pensar conscientemente en este espíritu. Por lo general, pensamos en un avión, por ejemplo, como un tipo particular de superficie , y concebimos esta última - obviamente - como una entidad extendida. Tiene una superficie , una magnitud capaz de división en partes más pequeñas. Cuando aplicamos esta forma de pensamiento

 en la práctica, se divide la superficie en metros cuadrados o en pulgadas , o en el cálculo integral en aún

más pequeños y en los últimos elementos de superficie " infinitamente pequeño" . Así nos imaginamos la superficie o avión a consisten en partes extensas que, sumados , constituyen el conjunto. Es esta amplia forma de pensar que ahora tenemos que ser capaces de superar . Tenemos que ser capaces de imaginar el plano en su totalidad , de forma fluida por así decirlo, en efecto etéreo - no como un conjunto de muchos

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puntos o zonas parciales centrados en puntos, pero en su extensión infinita como un todo único. Cuando esta experiencia se gana , vamos a describir el avión con toda sinceridad como indivisa e indivisible - o mejor dicho , como entidad indivisible , sobre todo , por lo que es en la experiencia etérea de espacio, al igual que el punto es indivisible de la experiencia física.

No hace falta decir que aquí tenemos en mente no cualquier porción limitada de un avión , tales como una mesa o un trozo de papel , pero en cada caso el plano en su totalidad , continuando como lo hace en el infinito en todas las direcciones . " Esto nos lleva a otra de las dificultades que deben superarse . Es la dificultad de concebir lo que desde el punto de vista físico, debemos describir como " infinitamente distante " . Dentro de los límites de la física que nunca podemos llegar a la claridad sobre esta cuestión. La mente física imagina las infinidades de espacio mirando el espacio vacío en todas las direcciones ( la frase es de Rudolf Steiner , consulte el curso de mi vida , en la página 45 ) . La verdad es que a través de los llamados " distancias infinitas " de otro espacio físico , un mundo etérico comienza a brillar en nuestra imaginación física. Desde el punto de vista puramente físico esto da lugar a paradojas inevitables , ya que aquí tomamos la licencia de las ideas más concretas y sensoriales y empezamos a tocar el suprasensible.

El plano en su totalidad , ya que se extiende hacia el infinito en todas las direcciones , es de hecho una entidad independiente y casi cíclica , volviendo en sí mismo a través de la infinita en todos los lados . Salir al infinito en una dirección, y usted se vuelve de lo infinito en la dirección opuesta . Para en el infinito cada recta del espacio tiene un solo punto. No hay dos puntos en el infinito , uno a la izquierda, por ejemplo, y otro a la derecha , ni tampoco se puede decir que no hay ninguno en absoluto. Sólo hay una (Figura 2 ) . Es el mismo punto infinitamente distante que alcanzas a medida que avanza hacia la izquierda y hacia la derecha . Salir al infinito hacia la izquierda, volverá a la derecha y así completar el ciclo. Ve hacia la derecha y volverá a la izquierda una vez más a su punto de partida. Lo mismo se aplica a una línea vertical . Ir hacia arriba, hacia el infinito y regresará desde el infinito por debajo de usted . Zenith y el nadir son un único punto en el espacio de la imaginación pura matemática .

Cuando aplicamos estos conceptos al plano en su totalidad , se percibe que en el " infinito " tiene como su periferia , no como uno podría suponer un círculo inmenso. sino una línea recta. A pesar de que nos rodea por todas partes, esta "línea en el infinito " es recta. Y para todo el espacio reconocemos que en el infinito que tiene como circunferencia - como el conjunto de puntos infinitamente distantes - no como uno podría suponer una "esfera " del infinito

dimensiones , pero un plane.9 matemáticos tanto verdaderamente hablan del " avión eninfinito " de espacio . Es significativo que el infinitamente distante . es decir, las porciones más cósmicos

de este espacio no son polarizado en los pares de opuestos que pertenecen al mundo finito y física . El círculo y la esfera son siempre polarizado en el diametralmente opuesto pares de puntos o antípodas en cada dirección . pero en lo infinito del espacio de los dos antípodas se funden siempre en una sola. Cuando percibimos esto realmente comenzamos a sentir el espacio ya no sólo como un gran sin fin , sino como un todo autónomo , orgánico . Y entonces podemos encontrar la verdadera transición de lo terrenal - física para el aspecto etéreo.

Como ejemplo, se puede hacer el siguiente experimento en el pensamiento. Imagine un plano horizontal en cualquier posición dada , y por encima de ella un punto fijo en el espacio . Ahora hágase pasar por el punto un segundo plano , móvil. Deje que el último movimiento con bastante libertad por todas las posiciones posibles , sujeto a la condición de que nunca se despide de

 el punto fijo , que de hecho actúa como un pivote para el plano de movimiento . Ambos planos , el uno

en movimiento , así como la horizontal fija a continuación, son , por supuesto , a ser concebido en su extensión infinita . En algún lugar tendrán una línea - una línea recta en común. (Aquí y en toda la segunda parte, yo siempre voy a utilizar la única línea de palabra , meanning "línea recta" . ) Trate de imaginar cómo esta línea , en la que los dos aviones se encuentran, se mueve en el plano horizontal a continuación. Se reconocerá a la vez que la más pequeña es la inclinación entre los dos planos se convierte , más lejos estará la línea de ir en la distancia . ; . Ahora hay una posición en la que los planos son paralelos - donde , en efecto , el plano móvil también se convierte en horizontal . Que llegue muy cerca de esta posición sin llegar a alcanzarlo , y verá la línea común de los dos aviones hacia el exterior con el aumento de velocidad en el horizonte infinito. Por otra parte , esto se llevará a cabo por todos lados . Si el plano móvil fue , para empezar, inclinado hacia abajo , a la izquierda y se hace a continuación, para acercarse a la horizontal , la línea se moverá hacia la izquierda . Se moverá hacia el exterior hacia la derecha , hacia delante o hacia atrás o en cualquier dirección que queramos , de acuerdo con la inclinación del plano de la que empezamos

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a acercarse a la posición paralela . En el momento en que se alcance este último , la línea común de los dos planos se desvanece al parecer. Sin embargo, en el momento siguiente , si se rebase la marca, aunque sea poco, volverá a aparecer en la parte opuesta . Si la línea se desvanece hacia la izquierda , volverá a la derecha. O va a barrer todo en el horizonte, a una gran distancia y con enorme velocidad , si guardamos el plano móvil muy cerca de la posición paralela , moviéndolo alrededor y de aquí para allá por poco . Percibimos al fin que en el sentido ideal de la línea común de los dos planos es allí en la posición paralela también , sólo que se ha movido hacia el infinito en todos los lados . Todavía sigue siendo una línea recta , la línea común de dos planos no puede ser concebible que cualquier otro de derecho. Así percibimos que la porción infinitamente distante de cada plano es una línea recta . Planos paralelos son tales que sus líneas infinitamente distantes en común , así como otros pares de planos tienen otras líneas en común. Ahora podemos afirmar sin excepción: los dos planos del espacio tienen una línea recta en común. Ya no necesitamos hacer excepción ( como la Geometría mayor tenía que hacer) de planos paralelos .

En cuanto a la parte infinitamente distante de una misma línea recta , se llega a una conclusión similar. Imagínese en un plano dado una línea horizontal y un punto fijo por encima de ella , como en la Figura 2 . Al pasar por el punto y en el plano, pensar en un segundo , móvil , línea, girando como un rayo sobre el punto. El punto común del rayo que se mueve con la línea horizontal debajo mueve hacia el exterior en el infinito , a la derecha o a la izquierda como sea el caso . Como las dos líneas crecen en paralelo , que desaparece por un momento , sin embargo, el siguiente instante en que emerge de nuevo en el horizonte de la dirección opuesta . Aquí percibimos la transición bastante continuo y rápido de la distancia infinita de la izquierda a la distancia infinita de la derecha, o viceversa. La posición exactamente paralela corresponde al punto " infinitamente distante " , que está a la derecha y a la izquierda en una vez . Por lo tanto, los puntos de una línea recta que forman una serie cíclica.

Así percibimos que las extensas entidades de espacio - la línea recta, el plano - no salen en vagos nada , pero entendemos totalidades encerradas en sí mismas y orgánicos. Esta visión nos ya nos preparan para reconocerlas como entidades , único e indivisible . Debemos ser capaces de sentir en este último aspecto también, si vamos a encontrar el camino a través de la geometría en el aspecto más etéreo del espacio y del cosmos . A continuación, ya no sólo tenemos la sensación de que el avión se compone de un número infinito de puntos, nos sentimos como un todo único. A pesar de que Euclides define el punto : " Un punto es lo que no tiene partes" , por lo que ahora nos sentimos sobre el avión : " Un avión es el que no tiene partes" . Por extraño que pueda parecer, esta es la verdad para el aspecto etéreo del espacio, al igual que el otro es para los más obvia - la física. Y ahora, para compensar esto debemos desarrollar en el otro lado de la facultad de sentir el punto - que es lo que , obviamente, la indivisible de la experiencia física - como una cosa múltiplemente organizado y miembros, es decir , divisible . como

 Rudolf Steiner , dijo en una ocasión, tenemos que aprender a experimentar lo que es " amplia "

intensamente , y lo que es "intensivo " ampliamente. Para sentir la " extensa " intensamente es experimentar el avión como una sola , todo indivisible . Para sentir la " intensa " ampliamente , es ver el punto de compuesto ( a pesar de su "no extensión" !) De muchas partes y miembros. ¿Cuáles son las partes o miembros de la cuestión? Ellos son los planos que pasan a través de él en todas las direcciones . La relación es mutua. Al igual que el plano se puede dividir en puntos o regiones centradas en puntos , por lo que es el punto de dividirse en los aviones y "regiones planas " - usando la última palabra , la verdad , en el sentido acostumbrado , pero no es menos exacta. Al igual que el avión se encuentra en uno de los aspectos de un organismo de infinitos puntos y de la diversidad infinita (para los puntos de un plano no mienten caóticamente al lado del otro , pero son múltiplemente organizada , tal como lo experimentamos de inmediato cuando empezamos a dibujar figuras geométricas en un pedazo de papel ( por ejemplo , la Figura 3 ) , así el punto en el espacio ahora representan un organismo de infinitos

aviones , no menos inteligente y diversa miembros (Figura 4 ) ) .10La idea puramente geométrica aquí hemos desarrollado (es el llamado " principio de dualidad " de la

geometría moderna , llevada a su conclusión lógica ) es el complemento ideal de un hecho cósmico de la Naturaleza. Reconocer esto, y hemos pasado la mitad del camino - más de la mitad del camino en una dirección - para cerrar la brecha entre el ocultismo y la ciencia moderna . La experiencia física del espacio y las cosas espaciales afirma con convicción evidente que "el todo es mayor que la parte " - Euclid una vez más! Esta propuesta responde , por ejemplo, a la división de un avión en sus puntos o regiones de punto centrado . Para el mundo etéreo todo lo contrario es cierto . En el mundo etéreo el conjunto es de ninguna manera mayor que la parte , es más pequeña en el contrario . Así que Rudolf Steiner nos contó cómo la

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formación de un órgano etérico - dijo el hígado etérico - aparece a la conciencia suprasensible. Corrientes de colector e influencias fluyen juntos desde el cosmos. En el lugar donde se interpenetran , surge por su interacción ( que es una interacción cualitativa , pero su efecto es al mismo tiempo espacial ) el órgano etérico como un todo . Estas corrientes del universo son las partes cósmicos , los miembros etéricos del órgano . El órgano en su conjunto por lo tanto, es más pequeño que sus partes . Este es un proceso absolutamente real , perceptible a la conciencia suprasensible. En el mundo del pensamiento puro, es decir , en la Geometría , la verdad es que corresponde en su forma más ideal de la concepción del punto como un organismo de muchos aviones - dentro miembros y compuesto por los aviones que se tejen a través de él en todas direcciones.

Entre las polaridades de punto y plano , los media en línea recta . En sus relaciones se equilibra en partes iguales entre ellos. ( Dos aviones , por ejemplo, tener una línea recta en común, por lo que tienen dos puntos , a saber la línea que se "une " a O de nuevo : . Un punto y una línea en el espacio exterior que genera un plano , de modo que hacer un plano y un línea exterior que genera un punto - . su punto de reunión ) las rampas de línea , por un lado a la física y , por otra, el aspecto etéreo del espacio. Se irradia a través de los puntos del espacio , y se teje en los planos , creando muchas formas e imágenes . Visto como el rayo que sale de la punta, que la experiencia de la línea recta más con la calidad de la Voluntad, cuando se teje formas e imágenes en el plano, la seguimos más con nuestra vida de pensamiento .

La línea en sí se puede dividir de una manera doble ( Figura 5 ) . En primer lugar, obviamente, se puede dividir en los infinitos puntos que están " a lo largo de ella. " Este es el , el aspecto espacial físicamente obvia . Pero también podemos dividir la línea etérea , para que podamos reconocerlo como forma orgánica de todos los aviones que giran a su alrededor. Piense en una línea que el eje común de sus aviones . Trate de experimentar la imagen, no en la forma extensiva de costumbre, pero en la medida de lo posible sentir las cosas extensas intensamente . Uno será entonces reconocer los aviones es natural que los miembros , más aún , ya que las partes de la línea , al igual que en el espacio físico que uno siente los puntos como sus partes o miembros. Y si ahora tenemos en cuenta que este último también - los puntos de una línea recta - constituyen una serie cíclica , vemos que la polaridad es perfecto. Al igual que los aviones como los miembros etéricos de un círculo de línea alrededor de él , por lo que los puntos que los miembros de su círculo física "a lo largo " que - a través de la infinita

 y vuelta a empezar . Esta es la hermosa polaridad reconocemos cuando en pura pensamos que superar la

unilateralidad de la imaginación ingenua , que surge del hecho de que en nuestra vida terrenal lo físico es el aspecto familiar.

Estrechamente relacionada con la polaridad de punto y plano en el espacio , es una actividad del pensamiento que era , de hecho, el origen histórico de la nueva geometría. Es una forma de pensamiento que tiene de alguna manera que ver con nuestra visión del mundo espacial , y por lo tanto con el arte y la ciencia de la perspectiva, o " proyección" como se le llama . De ahí , también, el nombre, la " geometría proyectiva ", por el cual se conoce a veces geometría moderna. El mundo del espacio que nos rodea se extendió por todas partes , llenos de la luz del sol. Nuestro ojo por el contrario - visto como un órgano físico - tiene una contratación , la función puntual . Se recibe este espacio - de - luz difundida , por así decirlo , en un solo foco . Es cierto que con nuestra éter del cuerpo que estamos viviendo en este mundo lleno de luz . Etéreo , como Rudolf Steiner vez

descrito, estamos nadando en la luz y con it.11 No obstante , sólo llevarlohogar de la conciencia física y terrenal mediante el ejercicio de la contracción necesaria , por medio del

órgano físico . Este proceso de contratación , este encuentro del campo de visión en un foco puntual y su proyección sobre la pequeña superficie de la retina, se describe en la forma familiar de la óptica fisiológica . Aunque hay mucha ilusión en las explicaciones habituales , lo que es evidentemente cierto es que este juego de contracción y expansión de la relación entre el ojo al mundo que nos rodea es de alguna manera fundamental de nuestra visión de los espacios llenos de sol .

Los aspectos puramente espacial del proceso se estudian en la teoría de la perspectiva, ya que se practica también por los grandes artistas de la época del Renacimiento - el amanecer de la era moderna naturalista . Es en esto que la nueva geometría nació realmente . W empezar imaginando cada punto del espacio como un punto de vista capaz posibilidad de recibir en sí mismo todas las formas e imágenes del espacio circundante. Este fue el resultado muy natural , por la geometría pura , de toda la teoría del punto de vista óptico. Inducir a error ya que estas formas de pensamiento han sido en las teorías materialistas de la óptica - con sus rayos de luz quasimaterial , corpúsculos voladores y otras construcciones hipotéticas - no son

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menos importantes y fructíferos para el pensamiento puro. Imagínese , por ejemplo , en un plano alguna imagen geométrica , tejido de líneas y puntos . En contra del avión, concebir un punto de vista , es decir , cualquier punto en el espacio. Las formas y figuras que aparecen ampliamente ante nosotros en el plano de la imagen son recibidas por el ojo de punto como un cono de rayos , que es más como una semilla o germen de la luz. Hablando en detalle, las líneas de la imagen se convierten en avión tantos aviones en el ojo - punto, ya que todas las líneas en el espacio , junto con un punto fuera que genera un avión. Los puntos de las imágenes planas se convierten en rayos , es decir , las líneas rectas en el ojo - punto . Cualquiera que sea la imagen o patrón se teje de las líneas y puntos en el plano , se recibe como una configuración correspondiente de planos y líneas en el ojo - punto . Sin embargo, esta configuración no será hacia el exterior imaginables como el cuadro avión era . La imagen en el plano, como una entidad extendida, se ha recibido en el punto de intensidad. De una forma expandida y visible , se ha convertido , por así decirlo , una semilla de la luz , no menos formada específicamente . Verdaderamente podemos describir como una semilla de luz , si la "luz" que connotamos la formación , la forma de entrega de principio de espacio. Por si ahora enfrentamos el punto que contiene esta configuración latente por cualquier otro plano de espacio , no habrá surgir en el último una imagen fresca , respondiendo en todos los detalles a la original , sólo en la metamorfosis correspondiente , de acuerdo con las posiciones relativas de los dos aviones y de los ojos de punto .

Para tomar un caso simple, imagino que en un plano de un círculo, frente al centro del círculo de cualquier punto en el espacio ( Figura 6 ) . Habrá ray establece en este último - no sólo hacia el círculo , pero en ambas direcciones desde el punto - un cono (un " cono circular recto , " ordinario como se le llama ) . Si nos enfrentamos a este cono por otro plano , se obtiene una curva nueva. Es una sección denominada " cónico " o cónica ; será círculo o una elipse , parábola o hipérbola como puede ser el caso . Es una metamorfosis del círculo original . Debemos recordar que el

 imagen original , es decir , el círculo , la verdad consiste no sólo en puntos, pero al mismo tiempo de las

líneas dentro de su plano , es decir, las líneas tangentes , que, como dice el refrán , " envolver " la misma. Se forma en otras palabras, no sólo por el aspecto físico de espacio (en sentido radial , punto por punto, a partir de su centro ) , pero al mismo tiempo etérea - periféricamente . Los puntos de la circunferencia dan lugar a los rayos , los llamados "generadores " del cono ; las líneas tangentes dan lugar a los planos tangentes del cono . El cono también se forma no sólo de las líneas de generación que se encuentran tan hacia fuera y visible ante nosotros, sino que consiste en no

menos orgánicas de los planos tangentes por el cual es " enveloped.12Continuando con este juego rítmico de expansión en imágenes externas y la contracción en la calidad de

la semilla -como de los puntos , creamos las metamorfosis básicos de forma espacial . Además, por este medio, no sólo somos capaces de transformar las formas , una vez dadas como en el último ejemplo , pero para dar a luz los frescos , etapa por etapa, en un proceso creciente de mejora. Este ritmo no , de hecho, contiene la calidad creativa del espacio, y es en esto - la idea más original del espacio - que aprehendemos la gran polaridad que es la base de la evolución del mundo mismo. Podemos llamarla una polaridad de las semillas y la forma, o la semilla y la imagen. En nuestro propio ser humano también, somos por lo tanto polarizada. Para que podamos llegar a reconocer que esta polaridad del espacio está profundamente relacionado con la vida del tiempo , el juego de pasado y futuro - nacimiento y la muerte y la resurrección del mundo. Tenemos los dos polos de nuestro ser humano. Out of the past que llevamos en nosotros, en nuestra cabeza naturaleza múltiples imágenes cósmicas , cuya muerte sombras que experimentamos en nuestra vida de pensamiento , mientras irradiando hacia el futuro que llevamos las semillas de mundos futuros dentro de nosotros , en nuestra voluntad , en el interior espiritual formación de la extremidad - hombre . Desde el pasado estamos formados fuera de los arquetipos cósmicos primarios , de los cuales sólo un débil eco es visible para nosotros en las constelaciones , hacia fuera , en la aparente infinitud del cielo. Fuera de la periferia del espacio infinito la imagen cósmica morir en nuestro ser. Este es el secreto de la cabeza de la formación humana. Pero en el reino de la voluntad surgen los arquetipos cósmicos a una nueva vida , de esas profundidades de la Tierra en la que descendemos con nuestro yo como en el fuego -kernel del mundo. "El pasado lanzando sus sombras", Rudolf Steiner escribe, " las futuras semillas de sujeción de la realidad , conocer

en el ser humano. Y el encuentro es la vida humana de nuestros días. " 13Ahora podemos nombrar el misterio espiritual a la que la nueva geometría ha sido todo

inconscientemente acerca, por primera vez en la idea pura del espacio. Es el misterio de Persephone - la

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evolución de la Tierra y el Hombre del pasado y hacia el futuro . Es el mismo proceso profundo que se promulgó en el mundo de las plantas , y otra vez en los ritmos más cortos del año . Reconocer este hecho es de importancia incalculable , por lo que empezamos a tomar fuerza del espacio ya no sólo en su forma rígida , acabado, pero en su evolución a tiempo. Tiempo en su esencia es fundamental para los pensamientos arquetípicos del espacio. En el progreso espiritual de la ciencia debemos crecer capaz de referirse espacio y todas las relaciones espaciales una vez más para el elemento del tiempo , por que esto significa en la vida del conocimiento empezamos a levantar el mundo espacial en el exterior

spiritual.14Durante sus conferencias sobre la relación de las diferentes ciencias a la Astronomía (Stuttgart, enDe enero de 1921 ) , Rudolf Steiner habló en los siguientes términos sobre el mundo de las plantas:

"A través de la planta en el mundo la vida de la Tierra como si fuera se abre al Universo . La vida de las plantas , que cubren una región de la Tierra, es de hecho una especie de órgano sensorial , sensible a todo lo que se revela a la Tierra de los Cosmos. En épocas en que la interacción es más intensa entre una parte de la superficie de la Tierra y el Universo , es como si un ser humano estaban abriendo los ojos al mundo exterior para recibir impresiones de los sentidos . y cuando la interacción es menos intensa entre la Tierra y el Cosmos , la consiguiente disminución y el cierre hacia el interior de la vida vegetativa es como un cierre de los ojos al Cosmos. es más que una simple comparación con SA y que a través de la vegetación de un territorio determinado abre sus ojos para el Universo en primavera y verano y cierra sus ojos en el otoño y el invierno. y como por la apertura y cierre de los ojos lo hacemos de una manera

 conversar con el mundo exterior , también se trata de un tipo de información o revelación del Universo

que la Tierra recibe por la apertura y el cierre de sus ojos a través de la vida de plants.15" Y para describirlo un poco más de precisión , podemos considerar la vegetación de una determinada

región de la Tierra cuando se expone , por así decirlo, a la interacción más viva con la vida solar, y entonces podemos dirigir nuestra atención a la estado de la vegetación en esta región cuando no queda expuesta . el invierno, no necesito decirlo , no interrumpe la vida vegetal de la Tierra. no hace falta decir que la vida vegetal continúa durante todo el invierno . Pero se expresa en todo . otra manera que cuando se expone a la explotación intensiva de los rayos del Sol - o , por así decirlo, del Cosmos Bajo la influencia de la vida solar de la vida vegetal de la Tierra tira hacia el exterior en forma de las hojas se desarrollan y se vuelven más complejos , . . flores y capullos desarrollan Pero cuando esto es seguido por el cierre de los ojos al universo, si es que podemos llamarla así , la vida vegetativa vuelve sobre sí misma - en la semilla Retirarse del mundo exterior , se dispara ya no en . forma exterior , sino que se concentra , si ma y ponerlo así, en un punto , se hace centrado en sí mismo.

. " Podemos describir este cambio Trul y como una ley de la Naturaleza La interacción entre el earthl y ya la vida solar se manifiesta en la vegetación de la Tierra bajo la influencia solar los brotes de vida vegetativa externas en forma , . Bajo la influencia de la vida en la tierra que se cierra en un punto , se convierte en la semilla o germen en todo esto no es una cualidad de expansión y de contracción o una reunión en un centro Aquí empezamos a aprehender las relaciones del propio espacio en un aspecto directamente cualitativa este . . . es precisamente lo que debemos poner en práctica en el desarrollo de nuestras ideas , si queremos hacer progresos esenciales en este ámbito " .

Lo que Rudolf Steiner describe aquí , que conduce a la exigencia de que echemos mano de las relaciones de espacio desde un aspecto cualitativo - este es el fondo cósmico de la raíz- ideas de espacio que se revelan en la nueva geometría. Podemos aplicar conscientemente , en este contexto puramente geométrica , las palabras " la expansión y contracción " tomados de la teoría de las plantas de Goethe. Goethe mismo no tiene intención de ellos en un sentido espacial trivialmente , pero con un significado más profundo y más cualitativa .

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II. Ethereal Space and its Forces

Sin embargo , no es sólo una cuestión de estas relaciones más generales. Una gran variedad de posibilidades nuevas y muy concreta Queda abierto a la ciencia. Rudolf Steiner en sus conferencias científicas especiales hablaba de tales aberturas muy definitivamente . Para comprender el funcionamiento espacial de las fuerzas etéreas y resplandeciente , debemos desarrollar , entre otras cosas , la idea de una especie de contra- espacio o antispace , frente al espacio físico de un solo lado de la conciencia normal. Estas son tareas muy definidas , tanto para el pensador matemático y para el investigador de la naturaleza externa. Porque hay muchas cosas en la naturaleza que no somos capaces de reconocer - aunque pueden estar cerca de nosotros todo el tiempo - porque de hecho ellos sigan su curso en un contador de espacio de tal, mientras que la conciencia de hoy , con su unilateral orientación física , ha fijado su atención en la dirección opuesta y por lo tanto no ve los procesos en cuestión . Que las fuerzas etéreas tienen que ver con un tipo opuesto de espacio o de trabajo espacial , se expresa por Rudolf Steiner , incluso en los capítulos elementales de la ciencia espiritual . El , aspecto phyical ordinaria del espacio es tal que casi siempre experimentamos como de un centro familiar. Esto es cierto tanto en lo que se refiere a la estructura puramente geométrica de este espacio y en relación con las fuerzas físicas y las sustancias que contiene. Típico de este tipo de espacio es , por ejemplo, la idea de " coordenadas polares " , como se les llama , donde medimos las distancias en todas direcciones radialmente desde un centro elegido y en los mismos ángulos fhe marca de tiempo entre los diferentes radios . Tenemos lo que obtenemos un registro preciso de las relaciones de forma y posición en este tipo de espacio . Esto en cuanto a la geometría pura. Y cuando pensamos en las sustancias y fuerzas en el espacio físico externo , experimentamos esta calidad centrado aún más intensamente. Todos los efectos físicos de rayos a cabo desde los centros - centros de gravedad , polos magnéticos, las cargas eléctricas , las fuentes de radiación y similares. Los rayos a cabo en los centros y los propios de todas las partes en la periferia del espacio. Las fuerzas físicas pueden, por tanto verdaderamente ser descritos como " fuerzas centradas ". En su conjunto constituyen el polo terrestre de funcionamiento de la naturaleza. La ciencia ortodoxa hasta ahora se ha pensado en ellos, en términos generales , ya que el único tipo de fuerzas , y ha tratado de explicar la naturaleza en términos de ellos solos . Dr. Steiner por su parte establece delante de ellos otro tipo de fuerza, que él describe como "periféricos " o " fuerzas cósmicas ". Estas son precisamente las "fuerzas etéreas " deantroposófica science.16 Siempre trabajan , dice, a partir de la mundialmente circunferencia.Esto no quiere decir ( como uno podría muy fácilmente concluir , después de analogías físicas ) que funcionan en momentos concretos de la circunferencia del espacio . Cada " fuerza etérica " funciona de toda la circunferencia. Es decir , su fuente espacial es precisamente de la naturaleza opuesta de lo que cabría imaginar físicamente . Su origen no es un punto en absoluto, sino todo lo contrario , es decir, una "periferia infinita " . El lector puede referirse a los capítulos introductorios científicos en el Manual de Fundamentos médicos de la terapia de Rudolf Steiner y la Dra. Ita Wegman . Leemos , por ejemplo, en el tercer capítulo, de los " fenómenos de la vida " :

"Los programas de observación ... que los fenómenos de la vida tienen una orientación totalmente diferente de los que siguen su curso dentro de la esfera sin vida. De estos últimos seremos capaces de decir , que revelan que están sometidos a fuerzas que irradian hacia fuera desde la esencia de la sustancia material Estas fuerzas

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irradian desde el - . relativa - . centro a la periferia Pero en los fenómenos de la vida , la sustancia material aparece sujetos a fuerzas de trabajo desde el exterior hacia el interior - . hacia el centro relativo Pasando a la esfera de la vida de la sustancia debe sustraerse de las fuerzas tomar radiografías de ida y someterse a los que irradian hacia adentro " ."Ahora que es la Tierra la que cada sustancia terrenal, terrenal o proceso , debe sus fuerzas de la naturaleza que irradian hacia el exterior. Dispone estas fuerzas en común con la Tierra. Es , de hecho , sólo como un componente del cuerpo de la Tierra que cualquier sustancia que tiene la naturaleza química descubre en ella y en lo que respecta a la vida, que debe dejar de ser una mera parte de la Tierra, . deja su comunidad con la Tierra y se recogió en las fuerzas que rayos hacia el interior a la Tierra desde todos los lados - de más allá de la . reino terrenal . Cada vez que vemos una sustancia o proceso se desarrollan en las formas de vida, debemos concebir que se retiraba de las fuerzas que trabajan en ella a partir del centro de la tierra , y entrando en el dominio de los demás , que tienen , no un centro , pero un peripherry ... "

Dr. Steiner no sólo habla de las fuerzas de trabajo de una manera opuesta espacial , en muchos pasajes que en realidad habla de una clase opuesta del espacio mismo . ( Para los estudiantes de la ciencia contemporánea, esto no parece del todo sorprendente , ya que, como los recientes desarrollos de la física han sugerido , ya no podemos distinguir entre lo abstracto espacio de la totalidad de las fuerzas que están trabajando en ello. ) Ahora la cuestión es : ¿Dónde vamos a encontrar el punto de apoyo para la idea de tal contra- espacio - es decir , un espacio enfrente de la calidad - el espacio familiar de la experiencia física ? La realidad puede sin duda ser alcanzado por el espíritu humano de muchas maneras. Nuestra manera matemática - el camino del pensamiento puro - es sólo una manera , aunque importante en este sentido . El hecho es que la geometría moderna proporciona la clave de la forma más natural, si nos aventuramos nuevamente a tomar las palabras de Rudolf Steiner en serio, por paradójico que parecen a primera vista. Es significativo cómo en este momento el pensamiento matemático puro y plomo investigación suprasensible en la misma dirección .En primer lugar debemos comprender claramente cómo el libre metamórfica espacio, equilibrado de la " geometría proyectiva " - el espacio cuyos cimientos se revela en la polaridad pura de punto y plano , la expansión y la contracción , la forma manifiesta y las semillas de página - se relaciona con el espacio rígido y ya terrenal que nos ocupa en la antigua geometría de Euclides , de las escuelas. Los hombres de genio que trajo la nueva geometría para su cumplimiento durante el siglo pasado se convirtió en totalmente claro al respectorelación; 17 sin embargo, un enigma fresco surgió de la propia claridad de su percepción . sóloel conocimiento de la ciencia espiritual de la naturaleza del cosmos será en este momento dar una solución real.Aquí debo hacer un esfuerzo para explicar cómo el espacio de Euclides - unilateralmente espacio físico , como lo he llamado - se relaciona con la mayor movilidad y , como sabemos , el espacio más original de la geometría proyectiva . Se exponen en una forma puramente abstracta , estas cosas atraen sólo a los matemáticos entrenados , sin embargo, en sí mismos no son tan difíciles , y esimportante para los círculos más amplios para familiarizarse con ellos. 18 Por lo tanto, tomar prestadade otro ámbito de conocimiento ciertas ideas que ayuden a explicar lo que se quiere

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decir . Los que conocen Metamorfosis de Plants19 de Goethe estarán familiarizados con una idea que es realmente significativo , no sólo por la botánica , pero en todas las ciencias de la vida y para el caso de la estética también . Hay una entidad viviente cuya formación lleva todapruebas de un cierto principio subyacente de la forma. La idea formativa no se expresa en una , de manera causal externa , como por la imposición - en conjunto de tales o cuales factores externos. Se revela intrínsecamente , vivamente . Puede ser de carácter plástico o más musical y rítmica - como un motivo , un tema subyacente . Desplegado como un proceso vivo , como una idea que mora en nosotros , se trata de la expresión, en todas partes y órganos de la entidad de que se trate . En cada planta , por ejemplo , una idea tan formativa o arquetipo oculto está viviendo , y con el ojo de la imaginación podemos reconocer la misma en constante metamorfosis , fiel a sí misma en las hojas y brácteas , pétalos y cápsulas. Pero el mismo principio formativo que las diversas partes tanto, revelan variedly - nos resulta manifiesta también en la forma y el carácter del conjunto. El principio oculto que subyace en todos los órganos y todas las funciones vitales , emerge una vez más como en una sola imagen en la forma de todo el organismo . Por otra parte esto es cierto no sólo en un sentido espacial, sino en la vida del tiempo. Lo que reconocemos por ejemplo, en cada planta de la Tierra como el ritmo esencial de su vida - "La expansión y contracción " - nos encontramos de nuevo en la relación de la Tierra viva - el cuerpo del Sol, en el gran juego cósmico de las estaciones ( comparar el pasaje antes citado de Rudolf Steiner ) . La idea hermosa , que en el conjunto se pone de manifiesto lo que funciona como un proceso en cada parte , se aplica también a la formación de espacio como tal . En la nueva geometría que comenzamos a experimentar el espacio más como un organismo vivo , por lo tanto, estas ideas de la metamorfosis se aplican . Ya hemos visto lo que es en el trabajo, la idea original del espacio: la polaridad de punto y plano . En esta polaridad que tenemos que ver con un número infinito de puntos y un número infinito de planos. Lo que importa es su potencial de interacción en virtud de la línea que los rayos y tejidos entre los dos tipos de entidad creando lo que hemos descrito como las "imágenes" y las "semillas" de la forma. Lo que ahora si descubrimos , en la formación del espacio cósmico en su conjunto , un plano arquetípico único , un punto arquetípica ? Debemos ser capaces de decir que en la formación de todo el espacio de la propia idea de la polaridad , que es en el trabajo en todas sus partes y procesos , se revela una vez más como en una forma cósmica en su totalidad. Esta posibilidad aquí se abre al pensamiento .

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Figure 7: Light-woven space of the crystal

Figure 8: Cube and octahedron

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Figure 9: Circles about a "cosmic centre"

Figure 10: Poles and polar planes

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Figure 11: Reciprocation between centre and infinite periphery

Figure 12: "Ethereal concentric Spheres"

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Figure 13: Line-line polarity with respect to the sphere

Figure 14: Leaf-primordia at growing-point (Euphorbia Wulfenii)

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Ahora bien, lo notable es que la geometría moderna nos da la respuesta precisamente en esta

dirección , sin embargo, es sólo la mitad de la respuesta! Porque en efecto el espacio de Euclides

- la forma de espacio que normalmente experimentamos - emerge desde el espacio libre y

arquetípico descrito anteriormente , cuando de entre todos los planos de este último que solo

fuera uno con un especial , como si fuera una función cósmica . Por supuesto, es el "plano

infinitamente distante " (página 19 supra ( "..." distancias infinitas "del espacio físico ...") ) . En

el espacio original de la geometría proyectiva , la polaridad de los puntos y aviones funciona

como un proceso subyacente de " expansión y contracción " . A partir de este espacio original ,

el espacio de Euclides surge cuando postulamos un solo plano , por así decirlo la absoluta , la

periferia infinito de tal espacio. Es en relación a este , el plano único o absoluto o cósmica del

espacio ordinario , que entonces encontramos la explicación más profunda de las simetrías y las

medidas que son tan familiares para nosotros . En la figura 7 se representa este plano único ,

desde que las formas cristalinas de cubo y octaedro se dibujan proyectiva . Para el cubo y el

octaedro en la Figura 8 , este plano sería el plano infinitamente distante de espacio físico ,

euclidiana . ( Hay que añadir que no sólo este " plano absoluto " o "plano en el infinito ", sino

una especie de arquetipo círculo forma dentro de él , se necesita el "círculo imaginario en el

infinito " para completar la transición desde el espacio proyectivo gratuito a la . espacio de

Euclides Este hecho, como he mostrado en otro lugar , cabe en su totalidad con las concepciones

aquí se desarrolló , pues la idea del círculo, no en su forma rígida, sino en su aspecto libre y

móvil como la cónica o cuádrica , es la inmediata resultado de las polaridades original del punto

y la línea y el plano . entonces, ¿qué más natural que entre estas formas se debe emerger como

una especie de arquetipo

círculo , impresa en forma cósmica del espacio en su totalidad ? ) 20

Con imaginación física que podemos ir más lejos ! A lo sumo podemos distorsionar este espacio

, hasta cierto punto , como se ha hecho en los llamados " Geometrías no euclidianas " . Pero

ahora podemos jugar con la idea de que existe , frente al espacio de la imaginación física , otro

espacio donde las relaciones son precisamente lo contrario - un espacio en el que nos

enfrentamos no con un plano cósmico , pero con un punto cósmico , no como a una periferia

infinita pero con un " centro de infinito " , si la paradoja puede ser permitido. En este espacio de

las relaciones de forma y medida , en lugar de irradiando desde los puntos centrales ( "orígenes"

relativos como se les llama en la geometría analítica ) en la periferia infinita en cada lado,

estarían trabajando hacia el interior de los espacios amplios , es decir , de periferias relativa

hacia un único " punto absoluta " o centro cósmico . En otras palabras, hemos de concebir un

espacio que recibe su sello y medida , no desde un plano cósmico único como "plano en el

infinito " , pero desde un punto cósmico único. En un contador de espacio - o anti - espacio un

punto tal, y no un avión , una calidad de centro y la contracción , no la expansión , sería el "

infinitamente distante " . Todas las condiciones de este espacio , todas las actividades de la

misma, pasarían gradualmente a sí mismos hacia adentro, hacia este punto central, al igual que

en el espacio físico que poco a poco pierden a sí mismos hacia el exterior en la amplia extensión

, en la periferia cósmica. Los círculos linewise en la Figura 9 ( aunque sólo dos dimensiones)

llaman

a la mente un espacio de formación de periféricos de esta type.21

Es significativo que Rudolf Steiner describe precisamente en estos términos el espacio en el que

las actividades solares del universo tienen lugar , como por ejemplo en el éter del cuerpo de un

ser vivo y sobre todo en el "cuerpo celestial", como lo llamamos nosotros , del propio sol. Cito

una vez más un pasaje de la charla- curso mencionado en los diferentes ámbitos de la ciencia en

relación a la Astronomía .

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"Lo que se piensa comúnmente en como la constitución física del Sol nunca realmente entender

las ideas que se derivan de la vida terrenal. Debemos , por supuesto, comenzar con los

resultados de la observación pura , que de hecho son elocuentes hasta cierto punto , pero

debemos tratar de penetrar con ideas tales como son fieles a su naturaleza real ...

 

" Aquí se debe hacer en el siguiente intento. Podemos comenzar por imaginar un proceso que

tiene lugar en la vida terrenal. Vemos que siga su curso al seguir las indicaciones hacia el

exterior desde un punto central. Toma su curso en dirección radial. Se puede ser una especie de

brote, tal como por ejemplo una erupción volcánica o la dirección de una cierta deformación ,

como en un terremoto o similares. seguimos este proceso en la Tierra en la dirección de una

línea que va hacia el exterior de lo dado centro . Y ahora, en contraste con esto usted puede

concebir que el interior del Sol, como solemos llamarlo, es de tal naturaleza que los fenómenos

no son impulsados desde el centro hacia el exterior , pero por el contrario, que sigan su curso de

la corona a través de la cromosfera hacia la fotosfera - . no desde dentro hacia fuera sino de

afuera hacia adentro vas a concebir , una vez más ... que los procesos vayan hacia adentro y ,

por decirlo así , poco a poco perderse hacia el punto central al que se tiende , al igual que los

fenómenos que parten de la Tierra se pierden hacia el exterior en la expansión de las esferas , en

la amplia extensión . así llegaréis a obtener una imagen mental que le permitirá poner un poco

de orden en los resultados empíricos ....

"Sólo cuando entramos así en el aspecto cualitativo , sólo cuando estamos dispuestos , en el más

amplio sentido de la palabra, para desplegar una clase de matemáticas cualitativos , vamos a

avanzar esencial ... Aquí sólo quisiera añadir que no es una posibilidad, sobre todo para los

matemáticos puros , para encontrar la transición a una matemática cualitativos hecho existe esta

posibilidad en un alto grado en el tiempo que necesitamos, pero considerar la geometría

analítica con sus múltiples resultados en relación con S Geometría ynthetic - . . a lo real

experiencia interior de la geometría proyectiva . cierto, esto oNL y darnos el principio, pero es

un muy, muy buen comienzo ... "

El conocimiento derivado de la ciencia espiritual es , en ningún caso abstracto y remoto , sino

que siempre tiene que ver con una realidad de la vida. Así que en este caso. Vamos a acercarnos

más a la idea de un " espacio periférico " o la lucha contra el espacio que aquí se ha sugerido, si

recordamos la forma en que nosotros mismos en ciertas etapas de la vida antes del nacimiento o

después de la muerte vivimos en otro tipo de espacio que en la la Tierra . Para que salgamos en

el éter cósmico y en los reinos de sol y estrellas. A medida que aquí vivimos en un punto central

- en un espacio que toma su inicio, por nuestra experiencia , desde el centro dado que nuestro

cuerpo terrenal es - por lo que no

vivir en la periferia , en la periferia. En una conferencia pronunciada el 21 de octubre de

1921,22

Rudolf Steiner describe la experiencia interior del ser humano después de la muerte en algunas

palabras como éstas : " El mundo cósmico que era antes en la periferia que nos rodea - el mismo

que sentimos nosotros mismos a ser dentro , mientras que por otro lado, lo que antes era la

mundo terrenal en el que se puso de pie - nos sentimos en adelante como nuestro mundo exterior

centrada .... " Si esto es así, hay de hecho , incluso en la experiencia real, una cosa tal como un

"mundo exterior centrada " - un mundo exterior , no se transmite a nuestro alrededor como una

circunferencia , pero de tal manera que nosotros morar en toda la circunferencia y la mirada

hacia un como centro de nuestro mundo exterior . Miramos hacia el infinito , no como en la

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amplia extensión de una circunferencia , sino más bien hacia el interior como en un centro

cósmico.

Pero dentro de la naturaleza terrenal también, este anti- espacio, esta calidad tipo solar del

espacio está activo. Sobre todo para un conocimiento detallado del éter del cuerpo del hombre y

los demás seres vivos , es importante para el desarrollo , no sólo las ideas de este espacio , pero

la correspondiente sensación espacial. En muchos procesos de la Naturaleza , es este tipo de

espacio y la fuerza espacial que es en el trabajo. Por otra parte para el cuerpo humano - incluso

el cuerpo físico en su anatomía y fisiología - esta polaridad del espacio y anti- espacio se vuelve

importante cuando tratamos de entender en detalle las metamorfosis , los " giros insideout ", que

van de los órganos del metabolismo y la integridad física del sistema a los órganos

correspondientes de la cabeza del hombre. En este sentido también, Rudolf Steiner señaló cuán

necesario sería abordar los problemas con la ayuda de las matemáticas " cualitativos" . (De ahí

su observación relativa a los médicos y las matemáticas superiores, que hemos citado al

principio. )

Ahora, desde el punto de vista de la geometría moderna , es posible calcular la geometría de este

tipo de anti- espacio con total exactitud. Es bien sabido que la geometría euclidiana ya se ha

modificado en las geometrías no euclidianas , los llamados . Tales modificaciones eran sin

embargo principalmente un tipo de distorsión del espacio de Euclides , sin ningún muy

 

cambio radical en sus cualidades fundamentales. Aquí en cambio , hablando en términos

matemáticos, tendríamos que desarrollar la inversa directa de Euclides Geometry.23 Nosotros lo

tanto deberíamos estar llenando un vacío de que los matemáticos de la época moderna han sido

muy consciente - a veces incluso dolorosamente consciente . tenían

experimentado , para empezar, en Geometría proyectiva ( lo que aquí he llamado la geometría

del espacio original o arquetipo - en alemán : Urraum ) la polaridad armoniosamente equilibrada

de punto y plano . De esta geometría , el espacio común de Euclides se derivó como he

explicado anteriormente , por el supuesto ideal de un plano único o cósmica - el "plano en el

infinito " . Hasta aquí todo bien . Pero la plena armonía de las relaciones mutuas se imparied

así , porque en el espacio euclidiano uno siempre tenía que ver con las relaciones con este plano

único, y no había tal cosa como un único punto en el espacio que idealmente se han

equilibrado . Una cierta unilateralidad - bastante inexplicable , para empezar , desde el aspecto

del pensamiento puro - lo que se deslizó en la armonía bien equilibrada

que uno había experimentado por primera vez en proyectiva space.24 ¿Por qué esta

unilateralidad ? la

buscar mente preguntar.

La solución de este problema sólo se puede encontrar con la ayuda de la ciencia antroposófica .

Debemos volver una vez más , en efecto, al ser humano , porque es él , después de todo que está

experimentando todos estos pensamientos y imaginations.25 Hombre en su actual conciencia

normal se coloca en el mundo del espacio , de tal manera que él experimenta en un

terrenal - físico, es decir, de una manera centrada , puntual . En el pensamiento puro, la

geometría moderna , en cierta medida trascendió este aspecto de un solo lado , con el

descubrimiento del espacio proyectivo o arquetípico, el punto y el plano en el que , por

ejemplo , el terreno y los polos ideales celestiales , son totalmente equilibrado. Y será un paso

más para superar el punto de vista terrenal de un solo lado , ahora a desarrollarse las nociones de

ese espacio que es precisamente opuesto a lo físico , que es unilateral celestial en otras palabras,

aun cuando éste es earthly.26

Es importante darse cuenta de que las relaciones se entrelazan . Si se me permite recurrir una

vez más a Goethe , que no tienen más que ver con una polaridad como de " luces y sombras " ,

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donde las polaridades se mezclaban en un sentido meramente exterior. ( ¡Esto daría lugar a un

gris indiferente ) Es cuando la oscuridad funciona intrínsecamente , hacia el interior de la luz, y

del mismo modo la luz en la oscuridad , que los colores vivos - amarillo y rojo, naranja , violeta

y azul - nacen . Así también tenemos que entender las polaridades de espacio. Es precisamente

característico de espacio físico - es decir, el espacio que experimentamos de manera más

centrada , puntual - que recibe su sello y medir desde un plano cósmico , desde la periferia , es

decir, de una etérea y cósmica entidad . Este es el secreto de nuestro mundo. El que vive en las

profundidades - a saber, la piedra terrenal, el mineral, el cristal - tiene su fuente de forma en los

espacios más lejanos del cosmos, a la luz celestial . O en el lenguaje técnico de la Antroposofía :

es el mineral , con domicilio en las "profundidades" , que tiene su cuerpo etérico o cuerpo- de -

formativo -fuerzas en lo "alto " , en la circunferencia celeste. (Incluso el pensamiento puro

descubre este hecho esencial en la noción del plano infinitamente distante del espacio de

Euclides , porque el euclidiano , espacio cartesiano es bastante esencialmente un cristal pensado

form.27 )

Una vez más entonces: el espacio físico o centrado tiene una fuente esencial de su formación en

el mundo -periferia . Y para los efectos divinos , es decir, por las fuerzas etéreas o periférico

( página 36 supra ( "El conocimiento derivado de la ciencia espiritual ... ")) es todo lo contrario .

Las fuerzas etéreas son precisamente los que dirigen su actividad a algo físico, hablando más

definida , hasta cierto punto o semilla que germina , ya sea la propia Tierra en el funcionamiento

más macrocosmos , o cualquiera de los puntos de vida de gérmenes multitud que se desarrollan

en el reino terrenal y aquí reciben las fuerzas celestiales .

La etérea está siempre activo en el mundo , llegando de esferas cósmicas y dirigir su actividad

hacia algún germen o semilla física de punto - hacia un centro de mundo relativo . La física de

la otra parte existe en forma acabada , sin haber recibido su formación

 

más o menos recientemente o en los tiempos primitivos de la periferia etérea de los cielos , de la

"plano infinitamente distante " del espacio físico o terrestre que ocupa. Este último proceso se

dirigir nuestro pensamiento hacia el pasado . El físico cae fuera del dominio de la "vida " y se

convierte en mera existencia física , precisamente por cuanto los vivos éter -cuerpo se retira en

el " infinitamente distante " . El primer proceso en el otro lado se refiere a la futura . Los

espacios celestiales dirigen sus éter -fuerzas hacia el punto germinal física que es su infinitud ,

sino que nutren y sostienen que desde todos los lados , para que ellos perciben en cada salón de

gérmenes momento algo potencial del futuro cósmico.

Si llamamos " espacio arquetípico " o Urraum la idea del espacio en el que los elementos del

pasado y del futuro , de la periferia celeste y el centro terrenal, es decir , del plano y de punto ,

mantienen un equilibrio perfecto - en otras palabras, la idea de " espacio proyectivo " , se

describe al principio - tenemos las siguientes relaciones :

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Hay que recordar en la aplicación de estas ideas que, en realidad tenemos que ver no con un espacio solo, pero con un sinnúmero de espacios que se interpenetran - espacios etéreo y físico. Incluso dentro de la física , no tenemos un espacio , sino como Rudolf Steiner explicó una vez un número incalculable . Porque en realidad toda forma de cristal o cristal de tipo en elmundo mineral tiene su propio espacio , llenando el Universe.28 puro pensamiento en sí reconoceránque esto es así , si las leyes conocidas de la Cristalografía se interpretan como una vez que se merecen de ser, a la luz de la nueva geometría. También en este caso , la experiencia suprasensible del mundo mineral en su verdadera esencia confirmará lo que sugiere la evidencia empírica y el pensamiento claro de la geometría . Así, en lo físico no sólo tenemos una, sino una infinidad de espacios , todos ellos de tipo físico . En lo etéreo será lo mismo. En cualquier parte del mundo, surge una semilla (es decir , una semilla o germen de punto , en el sentido más amplio) - en cualquier parte del elemento de vivir calidez empollando una nueva semilla de la existencia física se prepara para recibir las ideas formativas del cielo, hay un espacio etéreo darán forma a sí mismo acerca de este punto central como sobre su infinitud , su " absoluta ". Para la formación de la Tierra viven en la evolución macrocósmica , el fuego central de la Tierra debe haber actuado de esta manera en épocas prístinas . Fiel a sí misma la Tierra viva da a luz , en el ritmo repetido de las estaciones del año , miríadas de semillas de otros lugares de sus reinos de vida. La extinción de proceso del nuevo nacimiento se escenifica en todas germination.29 III . La polaridad con respecto a la Esfera

Ahora tenemos que desarrollar, en primer lugar en el pensamiento puro , las posibilidades implícitas en la idea del espacio etéreo o antispace . En el curso posterior será más esencial para preservar el equilibrio adecuado entre el pensamiento y la experiencia. No tenemos que crear otra rama de la " matemática aplicada " en el sentido habitual . El punto es que en el desarrollo de las matemáticas puras formas mentales de espacio etéreo vamos a adquirir una nueva sensación de espacio , y mientras lo hacemos , vamos a empezar a ver las cosas de nuevo . Lo haremos otra vez capaces de despertar en nosotros la experiencia interior de lo etéreo , superando así la vieja esclavitud mental del espacio - aspecto meramente físico. Es de esta manera que la nueva línea de pensamiento se fertilizar nuestro conocimiento de la naturaleza externa - y del ser humano. Debemos , una vez más , empiezan a ver cosas nuevas - y las cosas nuevas .Nuestra primera tarea , por lo tanto , es el desarrollo de la geometría pura del espacio negativo o etéreo. Podemos empezar con el ejemplo más simple y natural - a saber , la superficie de una esfera . Tratamos de prever en su etérea , así como en su aspecto físico espacial. ( Voy a describir el espacio euclidiano normal, en lo que sigue , como " espacio físico " Esto no significa dar a entender

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que lo experimentamos físicamente , sensualmente , . Es la forma del espacio que corresponde a la idea de la física del tipo opuesto. del espacio, que ahora estamos a punto de estudiar con más detalle , es el " etéreo " . )Para empezar hay que llamar a la mente - a la luz de la geometría moderna - las propiedades conocidas de la esfera , como lo es en el espacio ordinario . La primera cosa que , obviamente, es que tiene un centro . En el momento en que pensamos en una "esfera " , nuestro pensamiento espacial se centra en este punto. Sin embargo, la importancia de este punto , para el espacio físico , es sólo relativa - en relación con la esfera dada . Otra esfera tendrá otro centro. Lo que tiene importancia absoluta de espacio físico , como tal, no es un punto, pero un plano - a saber , el "plano en el infinito " . De hecho, el centro de la esfera determinada sólo se produce por la relación de este último para el "plano en el infinito " dicho , que es el " plano absoluto " . El centro es el "polo " del plano absoluto con respecto a la superficie dada . Podemos llegar a ella de la siguiente manera . Desde cualquier punto elegido del plano en el infinito - es decir, desde cualquier punto infinitamente distante - sacamos todas las líneas posibles de la superficie (?) . Evidentemente Estas líneas forman un cilindro , tocando la esfera en un gran círculo, o un familiar (?) . El plano del círculo pasa por el centro . Si hacemos esto para todos los puntos infinitamente distantes del espacio , obtenemos todos los planos a través del centro . En otras palabras , a partir de todos los puntos del plano infinitamente distante se obtiene todos los planos del punto central : desde el plano - de - puntos , por así decirlo , un punto de aviones . Los engendra esfera de esta manera un giro a fondo de dentro a fuera del espacio - no sólo en el sentido local , como que el exterior se transforma en el interior o la periferia hacia el centro , pero en un sentido aún más cualitativo : puntos en planos , aviones en puntos . Para la misma manera en todos los planos del espacio será por relación a la esfera dar lugar a un punto como su "polo " específica ( Figura10 ) . Puntos relativamente cerca del centro surgirán de aviones muy lejos en el espacio. Si nos imaginamos un punto de viajar a lo largo de un radio desde el centro hacia el exterior a la circunferencia , el plano correspondiente se desplazará hacia el interior desde la periferia celeste a su encuentro ( Figura 11 ) . Comenzando en el plano infinito - incluso como el punto comienza en el centro - el avión se moverá paralelamente a sí misma hacia el interior , en ángulo recto con el radio en cuestión . El punto en su exterior, el avión en su movimiento hacia el interior, será por fin se funden en uno al otro a medida que alcanzan la superficie de la esfera misma , desde dentro y desde fuera , respectivamente . Aquí ahora el punto se convierte en un " punto de la superficie " , mientras que el avión se convierte en el correspondiente " plano tangente " . El punto y el plano tangente pertenecen orgánicamente el uno al otro y para el organismo de la esfera . En efecto, el ámbito - o cualquier otra superficie , para el caso - sólo se convierte en una superficie de plástico en la medida en que no sólo consiste en tantos puntos, es decir, los puntos finales de sus radios en este caso , pero al mismo tiempo de los tantos aviones . No sólo se forma desde dentro , radialmente y por así decirlo atómicamente al igual que con un par de compases , pero también se moldea plásticamente desde fuera por el plano tangente , que viene hacia el interior de todos los lados del plano del cielo, como una mano en movimiento de la luz, lo envuelve y modelos fuera del cosmos.Si, como se ha indicado al inicio (página 18 ( " ... Pero las formas de imaginación espacial ... ")) hemos aprendido a experimentar el avión en su totalidad etéreo, dejaremos de hacer objeciones , ya que podría ser apto para ver con la imaginación puramente físico , que el plano tangente después de todo " sólo pertenece a la superficie en un punto único " , mientras que el punto se encuentra en su totalidad en la superficie . Vamos a percibir que el avión, etéricamente hablando, pertenece a la superficie toda partícula como totalmente como punto hace físicamente. Seremos capaces de seguir estos pensamientos a su conclusión lógica en todas las direcciones , y los encontraremos tanto más justificada por cada nueva prueba que aplicamos . Podemos por supuesto también concebir el avión en su físico, aspecto amplio como compuestos de un número infinito de puntos, pero si lo hacemos seremos lo mismo que pensar en el punto como compuesto de sus partes etéreas , a saber, sus infinitos planos ( página 22 ( " ... la idea puramente geométrica que tenemos aquí se desarrolló ... ")) , y encontraremos la respuesta correspondiente. Uno de los puntos del plano extensa " pertenece

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" a la superficie , así también lo hace uno de los aviones de la cuestión.En nuestra concepción de la esfera hasta el momento, dos elementos distintos han jugado un papel importante . En primer lugar , la polaridad etéreo y físico - el "principio de la dualidad " que prevalece en el espacio arquetípico, como la llamábamos . Esto aún no determina el tipo físico ( euclidiana ) de espacio . El hecho de que la esfera se refiere a cada plano un punto específico y viceversa , es un hecho de espacio arquetípico. La raíz - idea de espacio , a saber, la relación polar de puntos y aviones , viene a la expresión en virtud de la esfera en una forma y la calidad específica . Reconocer que necesitamos no estar pensando en términos de Euclides y, de hecho , nosotros apenas entenderlo completamente hasta nos hemos liberado en cierta medida de las ideas de espacio euclidiano , como lo hacemos en la geometría proyectiva . Pero había también un segundo elemento en nuestras consideraciones , a saber, el plano absoluto o infinitamente distante que es la característica de espacio físico . Desde la singularidad de este plano se derivó el punto que durante la esfera dada es correspondientemente único, a saber, el centro como el polo de avión allí .Pasando de la física con el tipo etéreo del espacio, vamos a mantener sin cambios todas las ideas que eran debido al espacio arquetípico pura y simple. Sólo el último elemento cuyo nombre - lo que determina la variedad física de un solo lado del espacio - que ahora se tiene que convertir en su contrario. En lugar de un plano infinitamente distante o plano cósmico , ahora vamos a tener que concebir como nuestra infinitud un punto cósmico. Para simplificar, imaginemos que , para empezar , en el centro de la esfera. Esto se da , podemos ahora desarrollar la idea de la esfera de la periferia hacia el interior , es decir , en el sentido del espacio etéreo. Sin embargo en este punto de una explicación preliminar debe ser dado, como para el método de la descripción . Cuando describimos en detalle los aspectos del espacio etéreo , es al principio un poco difícil hacernos entender sin confusión . Porque en nuestras imágenes mentales , para empezar , en todo caso , todavía tenemos las formas de espacio físico. Y los nombres de las acostumbradas formas espaciales y las posiciones son todos ellos derivados de este último aspecto . Sin embargo, deseamos evolucionar en el pensamiento puro de la idea de un espacio que es precisamente lo contrario de la calidad. Sólo podemos hacerlo mediante la superación de la parte física que es más o menos determinado automáticamente a nosotros en nuestras imágenes mentales . A pesar de la apariencia habitual de estas imágenes , que ahora empezamos a desarrollar una sensación de espacio muy diferente. ( Podemos describirlo como " dinámico " de lo que sentimos como una cualidad dinámica en nuestro sentido de la estética de las formas en la naturaleza y en el arte , es a menudo muy cerca de este aspecto etéreo. Sin embargo, a la vez que nos vemos obligados a usar expresiones tomadas de espacio físico , que para el espacio etérico no tiene el significado que los nombres implican . hay que hacer referencia , por ejemplo, para el "plano infinitamente distante . " En la totalidad orgánica del espacio arquetípico que es un plano entre otros planos . sin embargo, para el espacio etérico su importancia no es que es infinitamente distante , sino todo el Al contrario , es más frecuente en el medio - medio periférico , si se nos permite esta paradoja - el lugar de descanso periférica, del que partimos . Sin embargo no podemos dejar de describirlo , para empezar cuando el avión en el infinito en el espacio de nuestra imaginación. ¿Qué más debemos hacer referencia a ella?La dificultad radica en la naturaleza del caso . Como estamos pensando en términos de geometría y no queremos decir que en un sentido meramente abstracto o simbólico, no podemos dejar de evocar imágenes mentales definidos. Experimentamos estas fotos , para empezar en su aspecto físico espacial : ángulo recto como ángulos rectos , paralelos como paralelos , distancias iguales como iguales , y así sucesivamente . Es en la superación de estos aspectos obvios que a menudo serán llevados a ver lo que es etéreo . Sin embargo, se deriva de los nombres desde el aspecto que tenemos que superar , ya que en este aspecto nuestros términos espaciales acostumbrados originan . Con la conciencia cotidiana que vivimos una vez por todas en el espacio físico , el otro aspecto que debemos tener por el esfuerzo interno. Para evitar malentendidos , voy a describir como "el espacio de nuestra imaginación " , o como el aspecto de la " aparente" , lo que experimentamos en nuestras imágenes mentales , para empezar. Así, la expresión " el plano infinitamente distante de nuestra imaginación " nos referirse al plano en cuestión , mientras que al mismo tiempo las palabras que

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cumplan los requisitos sugieren que para el argumento en el momento dado es quizás de ninguna manera " infinitamente distante " , pero muy cercano y más accesible .Como un ejemplo de la experiencia dinámica de formas , podemos imaginar un círculo ( es decir, un círculo aparente) en un espacio etérico de lo cual, el punto cósmica no es del todo en el centro . Para nuestra imaginación visual inmediata es un círculo con un punto excéntrico. Para el espacio etérico ya no es un círculo en absoluto ; vamos a experimentar de forma dinámica como una elipse . Esto es literalmente cierto, no se trata simplemente de una elipse en teoría, pero que se siente como tal una vez que hemos entrado en las ideas de espacio etéreo de la forma de que se trate . Lo que en el espacio físico era la mera diferencia en la posición , a saber, la excentricidad , sin afectar a la forma como tal , por espacio dinámico se convierte en un cambio cualitativo interior de la forma una vez que el punto de excéntrica está actuando como el punto cósmica .Por el contrario , lo que a la imaginación física puede aparecer excéntrica o asimétrica , que, en determinadas condiciones en la formación dinámica del espacio etérico convertido concéntrica y simétrica ( Figura 12 ) . Las elipses de Kepler de las órbitas planetarias pueden servir de ejemplo . Si concebimos la trayectoria planetaria para estar en un espacio éter - la esfera planetaria correspondiente - de lo cual, el punto cósmica es el centro del sol , el camino del planeta de tal espacio es un círculo puro , aunque físicamente que aparece como una elipse . Como histórica lado , esto no carece de interés cuando recordamos cómo incluso Kepler tuvo su inicio a partir de la idea tradicional de que los caminos de lacuerpos celestes deben estar basados en la pura circle.30En el mundo orgánico que a menudo tienen que ver con las formas dispuestas en capas más o menos excéntrica sobre algunos núcleo o kernel. Si imaginamos un proceso tal que se ha producido etéricamente - desde la periferia en lugar de desde el interior - bastante nuevas posibilidades se abren hacia fuera para la interpretación de dicha vida forms.31Ahora bien, para volver al ejemplo de la esfera en éter - espacio : como hemos colocado el punto cósmica en el centro aparente , la esfera aparecerá como tal en nuestro espacio etérico , así como en la física . De hecho, hemos elegido un espacio etérico relacionada con el espacio de la imaginación en la forma más sencilla posible con respecto a la superficie dada . El plano que a nuestra imaginación física es la " infinitamente distante " , es con respecto a la superficie polar en relación al punto que es el infinitamente distante del espacio de éter elegido .En el espacio físico del "interior " de la esfera representa un volumen finito como podríamos llenar con cualquier sustancia . En el espacio etéreo se ha convertido en infinito . Esta infinitud alcanza hacia adentro hasta el punto cósmico , al igual que en el espacio ordinario la extensión infinita va hacia el exterior a la periferia celeste. Por otra parte , ahora formamos la esfera, no desde el centro hacia afuera, como con un par de compases , pero desde el exterior - periféricamente , esféricamente . Para ello, nosotros no empezamos desde un punto central, pero desde el plano correspondiente - el plano infinitamente distante de nuestra imaginación . Este plano se ha convertido ahora en el "centro periférico " de nuestra superficie , al igual que un punto es su centro físico . Y como en el espacio físico que podríamos imaginar un punto de ir radialmente hacia fuera desde el centro en todas las direcciones hasta que alcanza la superficie , por lo que hoy concebimos un plano , viajando hacia el interior desde el "plano medio" celestial hasta que toque la superficie. Si como un plano tomamos nuestro comienzo de la periferia ( el "plano en el infinito " de la imaginación física) , podemos acercarnos a la esfera de todas las direcciones : desde arriba y desde abajo, desde la derecha y desde la izquierda , y así sucesivamente. El avión se mueve hacia adentro , paralela a sí misma : esta es la contraparte etérica del punto que se mueve radialmente hacia fuera desde el centro . Para cada dirección paralela hay dos maneras diametralmente opuestos hacia dentro desde la periferia celeste a la superficie . Un plano horizontal, por ejemplo, se iniciará " en el infinito ", ya sea por encima o por debajo (es el mismo "plano en el infinito " por encima de nosotros y debajo de nosotros !) Y acercarse a la superficie, se mueve hacia abajo en el primer caso , al alza en el otro . Esto corresponde al hecho evidente de espacio físico , que un punto que se desplaza verticalmente hacia el exterior desde el centro se puede llegar a la superficie en cualquiera de dos direcciones opuestas , hacia arriba o hacia abajo . Obtenemos pares diametralmente opuestos

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de aviones , o puntos , de la esfera ( véase la Figura 11 ) .El avión , ya que viene hacia el interior desde la circunferencia celestial de todas las direcciones , modelos y moldes de la esfera sin espacio etéreo , ya que la envuelve por todas partes . Hemos descrito el etérico típica formación de la esfera , como en contra de su construcción física . Uno de los secretos más profundos de la existencia subyace en la analogía completa aún diferencias fundamentales de calidad entre los dos. Tiene que ver con la relación del hombre macrocósmica y microcósmica . ¿Qué hay en el espacio etéreo que corresponde a los radios en la física ? Un doble infinidad de tales líneas rayos desde el centro hacia afuera en todas las direcciones . Cada una de estas líneas se adapte a la superficie en dos puntos diametralmente opuestos . Así también en el plano medio etérico (el plano infinitamente distante de la imaginación física ) tenemos una doble infinidad de líneas. Los vemos entretejen en todo el ámbito de los cielos. Cada una de ellas es la línea común que une el plano medio de los cielos con dos planos paralelos diametralmente opuestos de la superficie. (Figura 13 podría ayudar en la formación de la imagen geométrica necesaria . Nos ve representado la línea común de dos planos que se reúnen en lo finito. Permita que estas dos planos se conviertan en la posición vertical hasta que se convierten en paralelo y la línea común se moverá hacia afuera y combinar en el plano en el infinito . Manteniendo su contacto con la esfera , los planos se determinan entonces dos puntos diametralmente opuestos sobre la esfera , cuya línea común es un diámetro de la esfera . en contra de este diámetro o línea radial de la esfera es la línea común de los dos planos , sino que ahora está en el infinito Esta es la línea que une el plano en el infinito con los dos planos paralelos diametralmente opuestos de la esfera) . .Así, por ejemplo, la línea horizontal en el plano celestial es la línea común o "path etérea " , que va de avión allá de todos los planos horizontales - hacia abajo o hacia arriba , lo que nos plazca . Una vez más , desde el plano medio celestial hay dos posibles formas de llegar a la superficie horizontal. Estamos aquí, recordamos lo dicho anteriormente (página 23 ( " ... Piensa en una línea que el eje común de sus aviones ... ")) : cada línea en el espacio se eslabones no sólo físicamente en sus infinitos puntos , pero etérea en sus aviones . Así, en el espacio etéreo de la línea es esencialmente un "camino" , no por los puntos que se ejecutanlo largo de ella , pero para los aviones que tienen en ella su axis.32 común Y si , como en nuestro últimoejemplo, la línea en sí está hablando físicamente infinitamente distante , el movimiento de sus aviones aparece como paralela.Pero todavía no hemos abordado una cuestión esencial : ¿Cómo sabemos que estamos modelando un ámbito concreto, no un elipsoide por ejemplo, o una superficie más complicada ? En otras palabras , ¿qué hay en el espacio etéreo para corresponder a la idea de distancias iguales a lo largo de todos los radios desde el centro , por lo que idea que diferenciar el ámbito de todas las otras formas en el espacio común? La respuesta a esta pregunta sería darnos a conocer otra forma - principio suprasensible y matemática , que es en el trabajo no sólo en el espacio físico o etéreo pero ya en el espacio arquetípico ( proyectivo ) que les subyace . Es imposible exponer en su totalidad dentro de los límites de esta explicación essay.Some se encuentra en el segundo capítulo, "La música de los números" en el espacio y la Luz de la Creación, y en Strahlende Weltgestaltung.9 Aquí sólo puedodar la siguiente indicación breve . En el espacio euclidiano , el principio de la forma a la que nos referimos ahora aparece en relación íntima con el número tres ( las tres dimensiones ) , con el ángulo correcto , y con el que la comparación de las distancias en las direcciones radiales por el cual la esfera se define normalmente . Podemos recordar cuán íntimamente las formas del círculo y la esfera se relacionan con la forma del ángulo recto ; presenciar el teorema de Pitágoras, los elementos de trigonometría , las funciones circulares , etc Un punto del espacio infinitamente distante , por su relación con el ámbito , da lugar , como vimos a un plano que pasa por el centro. Para la esfera , este plano es siempre en ángulo recto con el punto infinitamente distante . Eso es lo que diferencia el ámbito del elipsoide y todas las demás formas . Pensando en esto a su conclusión , vemos que los radios de tres en tres . Partiendo del centro de la esfera , que contemplamos siempre tan muchos conjuntos de tres radios en ángulos rectos entre sí . Cada una de las líneas es en ángulo

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recto con el plano que figura en los otros dos: Estos son los conocidos sistemas cartesianos de ejes - de espacio físico , la más natural de todos los sistemas de referencia - y podemos dibujarlos en todas las direcciones imaginables desde el centro dado. La esfera es de hecho la imagen perfecta , el prototipo de todo el año y el acabado de esta triple transversal de las dimensiones del espacio . Se relaciona con los tres ejes como el cráneo es la estructura humana .Ahora para el espacio etéreo de la esencia de la cuestión es que la esfera igualmente determina trinidades de las líneas - no radialmente en un centro puntual , sino como líneas celestes en el plano de los cielos , en el "centro periférico. " En efecto, el ámbito engendra siempre tantos triángulos rectángulos en el plano del cielo. Cada una de estas triángulo se compone de tres líneas y puntos en el plano celestial, al igual que cada sistema de ejes cartesianos se compone de tres líneas y planos en el centro terrenal. No sólo los radios en el centro terrenal pero las líneas celestes en la periferia este modo están relacionadas entre sí por la esfera . ( En Astronomía práctica medimos los cielos aparentes por medio de tales triángulos rectángulos , como es por cierto muy conocido . )En Geometría moderna tenemos que entender este principio de formulario ya como funciona en el espacio arquetípico : es decir , aún no en la forma rígida del ángulo recto sino en el número - ritmo subyacente ; no en la forma acabada del círculo pero en movimientos circulares y relaciones ; no en la esfera como una forma específica , pero en el redondeoy que encierra la potencia que el espacio arquetípico asimismo contains.33 En efecto , la raízideas de espacio no sólo conducen a una polaridad de entrada y exhalación eterna entre las cualidades terrenales y celestiales de punto y plano , sino que también conducen a un redondeo y el principio que encierra lo que viene a nacer y se mantiene entre estos polos , y encuentra su expresión típica de la esfera perfecta . Matemáticamente hablando, este redondeo y rodeando principio está relacionado con el gran enigma de " números imaginarios " (véase la raíz cuadrada de [ -1 ] ) . Tiene su trasfondo espiritual concreta en lo que se llama el astral. Se trata de un principio más aritmética y musical de espacio, pero desempeña formativa en el espacio a través de todos los ritmos de la serie , que son más bien expresan en círculos formas . En el éter en el mundo real este principio se manifiesta en el llamado sonido éter o éter químico ; " éter de números " que a veces se llama .La realidad suprasensible a la que nos referimos aquí vive igualmente en el número tres . La trinidad que se expresa en los tres ejes polares, en ángulo recto , o en el correspondiente triángulo rectángulo en el plano del cielo, es en la fundación del mundo espiritual, el mismo que se revela en el alma del hombre : pensar y sentir y dispuesto. Nos referimos aquí a las explicaciones de Rudolf Steiner sobre las tres dimensiones del cuerpo y del espacio en sí mismo en su relación con las tres fuerzas del alma. El triángulo correspondiente en la esfera celeste se describe en una conferencia pronunciada en Dornach en el 11 de abril 1920 . Este es el misterio del hombre macrocósmica y microcósmica , hacia la que estamos llegando . Al igual que en la geometría pura no comprendemos plenamente la esfera hasta que seamos capaces de crear no sólo desde el centro hacia afuera con un instrumento terrenal, sino de la periferia cósmica hacia adentro , por lo que pasa con el origen espiritual de estas formas espaciales . La trinidad subyacente está en el trabajo "como es arriba , es abajo ", en lo cósmicoesfera de las estrellas como en el ámbito de la terrenal - radial directions.34El modelado de plástico de la superficie por un plano en movimiento , que hemos descrito más arriba en términos de la geometría pura etérea - esto también es la sombra ideal de una realidad suprasensible . Eso no quiere decir que las fuerzas etéricas se deben hacer objeto de un cálculo de la ciencia . Debemos distinguir aquí el aspecto cualitativo e ideal de las matemáticas , en el que las esencias espirituales de Forma y número se expresan , por el meroaspecto cuantitativo . En conferencias impartidas en La Haya los días 8 y 9 de abril de 1922,35 enla relación de la antroposofía de las ciencias y de las artes plásticas , Rudolf Steiner habla de el contraste de espacio físico y etéreo con el que se trata aquí . Él describe este último como una especie de " espacio plástico ". Es el espacio de un escultor debe experimentar: en verdad, como Rudolf Steiner muestra , un espacio muy diferente de la de Euclides . Él ha estado hablando , para empezar una de las tres dimensiones del espacio físico. Cuenta cómo se deriva la forma cartesiana

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de los tres ejes o dimensiones de nuestra propia experiencia corporal : como arriba y abajo, derecha e izquierda y adelante-atrás . Luego se pasa a describir cómo podemos expcrience actualmente la correspondiente aunque forma más cualitativa en los cielos , en la esfera de las estrellas . Y ahora se habla de un espacio de fuerzas - no las fuerzas procedentes de puntos , sino de la esfera infinita .

" Es el secreto de este otro tipo de espacio que no podemos llevar nuestro origen en un punto y relacionar todo con este punto como en la Geometría cartesiana ; . ? Tenemos que empezar desde el frente ¿Qué es lo contrario de un punto Se trata de un esfera infinitamente distante - una esfera a la que hay que mirar hacia arriba aproximadamente como lo hacemos al firmamento azul del cielo ( suponiendo que estos últimos eran reales) : Supongamos que en lugar de un punto que aquí tenía una esfera hueca , en medio de los cuales que era, y que ahora todo lo que está relacionado en su interior a esta esfera hueca . lugar de relacionarse cosas por las coordenadas de un punto como origen , debería determinar todo lo relativo a esta esfera hueca ... " Aquí el Dr. Steiner indica en una forma más o menos ilustrado cómo los poderes de este último tipo de espacio de trabajo interior. Hay que imaginárselo haciendo un boceto en la pizarra a medida que continúa :" El tipo de espacio por lo tanto se obtiene no se puede describir adecuadamente en términos de los meros tres dimensiones. Encontrar el camino tanto hacia el interior desde el cielo estrellado a la concepción de otro tipo de espacio , se obtiene un espacio que sólo puedo indicar en la foto - . así como la forma que tenía que simbolizar el primer tipo de espacio con las tres líneas perpendiculares, por lo que debe tener para indicar este último espacio haciendo uso de todas las manos algunas de estas configuraciones , es como si no hubiera superficies o planos de las fuerzas que vienen hacia adentro del universo de todos los lados , acercándose a la Tierra , y desde fuera de trabajo plásticamente en las diferentes regiones de la superficie de la Tierra."Nosotros de hecho llegamos a esa idea cuando empezamos a ir más allá de lo que se ve de los seres vivos , y sobre todo el hombre, con los ojos físicos - es decir , por medio de los sentidos físicos - . Ven el cuerpo físico Cuando tenemos más allá de esto y han llegado a lo que ahora estoy describiendo como' Imaginación ' , cuando en lugar del hombre físico del Universo comienza a abrirse a nosotros en forma de imagen y para dotarnos de un nuevo tipo de espacio - cuando nos adelantamos a esto, reconocemos lo que es en realidad un segundo cuerpo de la ser humano , que la clarividencia intuitiva antaño llamado el " cuerpo etéreo " y que nosotros , como he dicho hace un momento, y no podríamos llamar el "cuerpo de fuerzas formativas . Es un organismo supra-sensible , compuesta de fina materialidad etérea e impregnando el cuerpo físico del hombre. Estudiamos el cuerpo físico bastante verdad cuando miramos en el espacio que ocupa para las fuerzas que impregnan ella. Pero en este tipo de espacio no podemos estudiar el cuerpo etérico o cuerpo del formativa fuerzas , que sin embargo funciona a través y por medio de la persona humana. Sólo podemos estudiarlo cuando percibimos cómo se forma a partir de todo el Universo , cuando percibimos cómo por todas partes estas superficies o planos de las fuerzas vivas se acercaban a la Tierra , acercándose al ser demasiado humano , y desde fuera se forman plásticamente el cuerpo etérico " .

Es notable cómo Rudolf Steiner habla , en los pasajes que tengo aquí en cursiva , de superficies o planos de fuerzas : por un plástico , plano - como trabajar de lo etéreo de la periferia celestial . Esta es precisamente la calidad que encontramos en la idea matemática pura del espacio etéreo. " Plane" es la idealización matemática de esta cualidad etérea , que trabajan en superficies cósmicas de fuerza , incluso como " punto " es la forma ideal de matemática de la física y terrenal. Visto el mundo de las plantas , podemos decir : El plano es la hoja,mientras que el punto es la semilla o eye.36 Cuando se abra la planta y se expande en la hoja , revelael elemento similar al Sol , cuando los contratos en el punto o semilla, que revela lo terrenal ( comparar el otro pasaje citado de Rudolf Steiner , en la página 27 ( " ... A través del mundo de las plantas la vida de la Tierra ... ") ) . Muchas formas orgánicas y formas en la naturaleza viva - en la

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embriología y otras esferas - se prestan a mucho más penetrante explicación una vez que están impregnadas a fondo con la verdad de que el espacio en sí se origina no sólo en el momento, pero en el plano , que es construido no sólo hacia el exterior y ampliamente como desde un punto de partida física y terrenal, pero por dentro , intensamente , desde el etéreo y celestial . IV . Fuerzas físicas y Ethereal y Sustancias

Ahora vamos a trabajar en esta polaridad en lo relativo a las sustancias y de las fuerzas vivas. Así podremos encontrar un nuevo acceso ideal a las sustancias y las fuerzas etéreas , como son conocidos por la ciencia espiritual .

0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

el 0, por supuesto, en referencia al centro. Toma ahora un éter-esfera crece hacia adentro, y dejar que este proceso también tiene lugar etéreo en las fases rítmicas iguales. Si llamamos a 1 el radio aparente de la esfera que se alcanza en el primer paso (que es el radio desde el centro, desde el punto hacia el exterior, no el ideal cósmica pero el radio aparente), entonces el radio aparente en el siguiente paso de el crecimiento hacia el interior será de 1/2, en la tercera etapa tercera y así sucesivamente. En el origen etérea de todo el proceso - en la periferia celeste de la que tomamos nuestro inicio - el radio aparente físicamente es infinito. Por lo tanto se obtiene la secuencia de medidas aparentes:

∞, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,...

Sin embargo, la congestión aparente es aún mayor. Porque es necesario que primero restar estas cifras el uno del otro para obtener las medidas de los pasos sucesivos. Lo que para el espacio etéreo - es decir, a ser posible, y realmente - son los pasos iguales (1, 1, 1, ...) será en el aspecto físico como la serie congestionada:

∞, 1/2, 1/6, 1/12, 1/20,...

Dicho sea de paso , se puede observar que en este caso más simple, el tipo físico de crecimiento puede ser transformado en el etéreo por el bien conocido polar recíproca transformation.42 Cada punto se transforma con respecto a la esfera de unidad en laplano polar correspondiente y viceversa ( véase la página 42 ( " ... Vamos a percibir que el avión, etéricamente hablando, pertenece a la superficie toda partícula tan completamente como punto hace físicamente .... ")) . Así, para el 2 obtenemos 1/2 , porque el 3 1/2 , y así sucesivamente . Es una especie de reflexión entre los números , de los cuales la esencia es que el cero se refleja en el infinito y el infinito en la nada. Espiritualmente también, esta transformación mutua de 0 y ∞ es la verdadera imagen de la transición de la esfera infinita del Cielo con sus arquetipos divinos y cósmicos , a la Tierra del centro como la semilla cósmica. Este último , para empezar es la nada, sino que recibe a la nueva vida que la que se está muriendo en las esferas cósmicas Podemos recordar las palabras conocidas Faust : "En deinem Stern Hoff ' ich das todo zu finden " .Pensemos ahora en un proceso hacia adentro etérea con un mayor impulso . En lugar de crecer de manera uniforme hacia el interior - para el aspecto físico congestionado hacia el punto cósmico , que por este crecimiento uniforme y finita nunca puede llegar a - dejar que crezca cada vez más rápido hacia el interior hasta el infinito , hasta que por fin llega a su infinitud , el propio punto cósmico. Nosotros captamos el punto cósmico como una esfera etérea cultiva infinito. Sentimos que ya no están en su aspecto trivial como un punto físico muerto, sino para citar las palabras de Rudolf Steiner , una vez más , como un punto que tiene el área de una esfera infinita . En su infinitud etérea se teje de muchos planos . Al igual que en la esfera celestial para los ojos físicos no son los innumerables puntos

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de estrellas , por lo que en el punto cósmico son innumerables aviones , tejido a través de la médula. Si esto es siempre un proceso real en la naturaleza externa - en otras palabras , si en el punto de tal éter - espacio de un germen vivo cósmico , un receptor físico es allí - el momento en que el éter - esfera , crecido hacia el interior , aclara sobre esta punto , significará para el físico de un nuevo comienzo. Fuera de otro mundo - desde los espacios etéreos hacia adentro - los nuevos poderes de creación han surgido en ella. Es un nuevo nacimiento en el mundo físico . Fuego o calor hará ray a cabo por ejemplo en este punto hacia el exterior en el entorno físico espacios . Y a partir de este momento en adelante, tendremos una vez más a la radiación física espacial de la clase habitual , la que a su vez se " pierde a sí mismo en la amplia extensión ". Este es un proceso similar a la que tiene lugar en la punta de crecimiento de cada planta . ( Figura 14 es Euphorbia wulfenii , una imagen microscópica . )Podemos imaginar el último proceso , a su vez va hacia afuera, hacia el infinito , hasta que alcanza el plano cósmico y se había cambiado de nuevo a una actividad etérea que trabaja una vez más hacia el interior. Cuando pierde la física en sí en el infinito lo etéreo se nace , y viceversa. Llegamos así a la idea de un ritmo no sólo hacia el exterior y amplia, pero cualitativa : éter del espacio perdiéndose en lo físico , físico que de ella nace ya su vez perderse en el vasto cósmica , por el nuevo nacimiento de un ser etéreo , una vez más . Tales posibilidades son el resultado muy natural de la idea de espacio y anti - espacio . El pensamiento ya no está unido a un espacio rígido de una vez dada a los que sólo amplios movimientos serían posibles . Concebimos procesos cuya esencia radica en el devenir y impropia de los espacios , en la creación de espacios y su aniquilación . Rudolf Steiner describió una vez la esencia de calor a medida que un "movimiento intensivo" en este mismo sentido . Cuando, por ejemplo , como en una llama , las fuerzas químicas funcionan por sí mismos y dan lugar a la calidez , bien podemos tener este tipo de proceso.La acción química no está en la verdad contenida dentro de los límites de la física space.43 Es unde expediente temporal cuando lo representamos con nuestros símbolos físicos espaciales : átomos y moléculas , las fórmulas estructurales , etc .Para la comprensión de calor que viven en contraposición al calor muerto , será más significativo de concebir este trabajo hacia el interior de los espacios etéreos y brota suscita de nuevo en el punto . Cualidades del colector y los elementos de forma pueden ser en el trabajo en este proceso , el concepto de la esfera es , pero la matriz , por así decirlo , en el que todo tipo de efectos de este tipo puede ser diferenciada . Con la idea de espacio y anti - espacio como aquí desarrollado , tenemos un acceso a este tipo de procesos como Rudolf Steiner describe a menudo fuera de la ciencia espiritual . ¿Cómo son estas cosas en la realidad actual , sólo la experiencia puede decir , ya sea a modo de experimento exterior o por la investigación suprasensible. Pero la derecha formando de ideas es importante en ambos casos .Es un hermoso ejercicio de pensamiento, de imaginar el proceso antes mencionado : el trabajo hacia el interior de un éter -esfera de las distancias cósmicas , la fusión de la misma en el punto central, su infinitud , la reversión repentina cualitativa , A lo cual el punto se cambia en función de de infinitud etéreo para el comienzo de la nueva existencia física y a su vez envía una esfera en expansión física , hasta que este último alcanza una vez más la esfera del cielo y de nuevo un cambio cualitativo tiene lugar - esta vez en la dirección opuesta - y un éter fresco - esfera una vez más crece hacia dentro ...Según el Dr. Steiner, los procesos en el sector la naturaleza, por ejemplo , las radiaciones de la luz y el calor y otras fuerzas , no se pierden en infinitud vaga pero sólo salen a un determinado ámbito y luego vuelven sobre sí mismos , transforma en calidad. Desde el aspecto de espacio y anti - espacio podemos imaginar bien este tipo cualitativo de ritmo .Ahora vamos a detenernos por un momento en el contraste elemental de las fuerzas físicas y etéreas o , como les llamamos normalmente " La gravedad y la luz " . Una vez más la esfera servirá como ilustración. Una esfera de la materia física revela su naturaleza esencial de las fuerzas de presión, la

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gravedad tiene una tendencia de contratación. Cada partícula de materia tiende hacia el centro, es decir, el "centro de gravedad " del todo. Por lo tanto , si esta fuerza sólo estaban en el trabajo, toda la esfera caería al menos en el único punto . Pero hay otra característica , igualmente característico de la materia física , es decir, su " impenetrabilidad " . Cada partícula mantiene el espacio que ocupa. Así como una fuerza que contrarresta tenemos la elasticidad, el poder sustentador , lo que " da " un poco , pero al final resiste la presión hacia el interior de dibujo. De acuerdo con el peso específico y el espacio específico afirmando tendencia o la elasticidad del material en cuestión , se crea un cierto equilibrio en el juego de presión y contra-presión . Frente a esto, ahora podemos evolucionar , para empezar, en el pensamiento puro , la idea de una esfera etérea de fondo. Ya hemos visto que está lleno , no de dentro hacia fuera , sino desde la periferia cósmica en la superficie. Su medio etéreo no es un centro de gravedad , pero el avión del cielo de la luz. Por otra parte está formada de planos , no puntos . Cada uno de sus aviones tiende a regresar como con sed de la luz a la periferia celestial . El último es no sólo el medio geométrico , sino que es el centro periférico para las fuerzas de la éter - esfera . Así como el cuerpo físico tiene su centro dinámico en un "centro de gravedad " , por lo que el cuerpo etérico tiene su centro dinámico en un plano medio "deluz ", o lightness.37 Así llegamos al concepto de " peso negativo " - negativola gravedad. No aprieta la esfera de la sustancia hacia el interior , que es una mierda o dibuja hacia fuera. Pero la naturaleza sustancial de la éter -esfera le da lo mismo un tipo de espacio - el mantenimiento de la calidad , aunque sea negativa en vez de positiva. Contiene las fuerzas que resisten el rápido retorno de todas sus partes en el plano del cielo. Así como la materia física mantiene el espacio que ocupa por llevar hacia el exterior las fuerzas elásticas , por lo que el espacio etéreo mantiene su espacio por sostener las fuerzas hacia el interior . Vive en el equilibrio de su espacio - relleno negativo y de su gravedad negativa . Obtenemos así con plena exactitud la idea de fuerzas cualitativamente suctional . ( Las fuerzas de succión - mecánica ordinaria son sólo presiones metamorfoseadas . Las fuerzas suctional a la que nos referimos aquí son desde el principio cualitativamente diferente , incluso en su relación con el espacio . )En un éter - esfera tales , si como consecuencia de una excesiva " de relleno del espacio negativo " una descarga repentina , como si fuera una explosión eran venir sobre , esto funciona hacia el interior a través de la superficie de la esfera hacia el punto cósmica . Sería todo lo contrario de lo que ocurre en los volcanes físicas de la Tierra . Tales son las formas de pensamiento que Rudolf Steiner llama en la interpretación de los fenómenos solares (página34 arriba (" ... " lo que se piensa comúnmente en como la constitución física del Sol ... ")) . Pero también son de importancia dentro de los reinos de la tierra de la Naturaleza , en su calidad de sol es en el trabajo aquí también. Así, por ejemplo, el Dr. Steiner nos contó cómo un elemento similar al Sol es el que en el ser humano , con toda la sensación o la percepción sensorial. en el sentido del tacto , por ejemplo, nos damos cuenta de que la presión de los cuerpos físicos en nuestro . . Nuestro propio cuerpo etérico responde a la presión de las fuerzas de succión correspondin Sensation se plantea en este juego de las fuerzas Cito de nuevo a partir de las conferencias antes mencionadas sobre la relación de la Astronomía a las diferentes ramas de la ciencia . :

. " ... Esta fuerza de succión, incluso a medida que avanza desde el Sol, trabaja también en el ser humano , impregnando su cuerpo etérico de arriba hacia abajo en el cuerpo humano, por lo tanto, dos entidades opuestas están en el trabajo - solar y terrestre Nosotros . debe ser capaz de demostrar en detalle que estas cosas están ahí, y podemos hacerlo , una vez que nos damos cuenta de las verdaderas interpretaciones ... Si prosigo con mi dedo , se levantará sobre esta superficie la fuerza de la presión por lo que este ponderable prensas materia en mi contra la contrapresión corresponde a la fuerza del Sol, que funciona a través de mí - . . es decir , a través de mi cuerpo etérico Imagínese aquí una superficie de

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presión en contra del ser humano - o en contra de que el ser humano prensas - y usted tiene el funcionamiento de la ponderable y las fuerzas imponderables . es la interacción de la presión ponderable desde afuera hacia adentro, y el imponderable de dentro hacia fuera , lo que da la sensación consciente de la presión. Si lo percibimos claramente podemos decir con verdad que la polaridad de Sol y la Tierra , en medio de la cual se coloca al ser humano, es realmente sentían por nosotros en todo sentido de la percepción " .

Por último , voy a llamar la atención sobre un aspecto de espacio etéreo que no será poco importante para la comprensión de la homeopatía effects.44 Hablamos ahora del crecimiento hacia afuera física y el crecimiento hacia el interior de una esfera etérea . Vamos a invertir el pensamiento e imaginar una esfera física disminuye en magnitud - la reducción asu centro. Si contiene sustancia física , este último va a crecer concentrada , como la misma cantidad ahora se distribuye en un volumen cada vez más pequeño . ¿Qué pasa con la correspondiente proceso etérea ? La esfera se atenúa , se " encoge hacia afuera " (física , por lo que paradójicamente hablando). Externamente que crece en tamaño , pero el crecimiento aparente no es real , de hecho el éter - esfera se está convirtiendo en más pequeño . Se vuelve cada vez más a la esfera celeste , su plano medio.Si hemos practicado la idea de espacio etéreo , somos capaces de sentir pronto dos procesos de manera muy diferente a pesar de que pueden ser coincidentes en el aspecto espacial hacia el exterior . Externamente , por ejemplo , hay un espacio esférico cada vez más grande . Si concebimos físicamente , nos sentiremos realmente como un crecimiento . Pero si pensamos en ello como un proceso etéreo, nos sentiremos como un crecimiento más pequeña , una contracción periférica en el plano celestial, que está hablando etérea la "esfera de dimensiones infinitesimales " .Precisamente aquí se verá cuán necesario es encontrar la verdadera idea para cualquier proceso en la naturaleza, en lugar de aplicar ciegamente ideas que después de todo ser extraño a la esencia de la misma . Piense en un espacio real , un matraz esférico por ejemplo, llena de una sustancia física , por ejemplo una solución acuosa. Si aplicamos las ideas físicas acostumbradas de espacio, hemos de decir : " Si hacemos el espacio más pequeño , por ejemplo por evaporación hacia abajo , la solución se volverá más concentrada, ya medida que la concentran la acción de la sustancia será más intensa . " Es tan obvio como puede ser.¿Cómo va a estar en el otro lado, si dicha sustancia física se une con algo etéreo - si, por ejemplo, como una esencia vegetal que está conectada con la vida, o como una sal de metal con la vida cósmica de edades vírgenes de la Tierra. En la medida en que algo físico se presenta como el portador de la vida etérea , actuará como la Tierra misma en su relación con las fuerzas celestiales. Es decir , actuará de manera germinal - en ese sentido más amplio del término , que hemos explicado al principio. Una esfera de éter fuerzas tiene su " punto cósmico " , su " infinito " , en el dominio de esta parte de la sustancia física . Dondequiera que transportamos este último , la esfera etérea acompaña. Lo esencial de este relativamente pequeño volumen físico no es lo físico como tal, sino la esfera etérea lleva consigo . Este último se une con la sustancia física , que era al mismo tiempo el objetivo de su actividad. No ha salido todavía, porque si lo hubiera hecho, la sustancia esté muerto y no mayor uso para el efecto de que se trate . ¿Qué sucede ahora cuando diluir la sustancia física ? Nos concentramos realmente (aunque la expresión es contradictoria ) , es decir , que intensifican el ámbito específico de la fuerza etérea y la sustancia que está unida con esta física . Por lo tanto, es totalmente comprensible - o mejor dicho por el espacio etéreo tan evidente como es el contrario para las condiciones puramente físicas - que a fuerza de dilución física generalmente podemos hacer que la influencia etérea más fuerte. Este es precisamente el principio de las diluciones homeopáticas , que en nuestro pensamiento físico son por tanto tiempo a causa de la infracción. Parece absurdo , siempre y cuando las personas aprecian formas

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de pensamiento que aparecen con una lógica irrefutable para demostrar su inutilidad . Hay , por supuesto, aquellos otros que a pesar de todas las objeciones teóricas permiten a los hechos de la experiencia convencerlos .En este caso también es muy importante que nos dirigimos nuestros pensamientos en la dirección correcta y desarrollar sobre todo la derecha sensación espacial. El punto no es , por una mera transformación polar para traducir automáticamente todas las ideas físicamente espaciales o incluso mecánica en su opuesto y para desarrollar la geometría etéreo de la misma manera analítica , indiferente y meramente causal en el que la física demasiado a menudo ha sido tratada . La transformación polar responde realmente a un hecho de la naturaleza , o mejor dicho una verdad arquetípica de nuestro Universo , de esto no cabe ninguna duda . No obstante, se debe utilizar con cuidado, no tenemos que caer de nuevo en los viejos errores dogmáticos . Nuestro objetivo a este respecto , en lo que se refiere a pensamiento puro , debe ser que la polaridad de los espacios físicos y etéreos nos puede enseñar a considerar a la antigua en una forma de vida más , no para desarrollar este último con toda la vieja intelectualismo . La misma naturaleza del caso, nos guiará bien , si no hacemos mucho de la mera inteligencia formal y la especulación. Porque en este reino ya no tenemos que ver con un espacio ya hecho y rígido, pero con la venir - a - ser y el paso -lejos- de nuevo de espacios en el juego de los opuestos . En este ir y pasar de los espacios , las influencias puramente espirituales también trabajarán . El espacio ya no es un sistema cerrado en sí mismo .Nuestro último ejemplo puede ilustrar este punto. Para los efectos etéreos , es significativo que la intensificación de la acción - es decir, la dilución física aparente - no debería tener lugar de una manera indiferente , pero con un cierto ritmo , lo que se llama " potentising . " Un cierto elemento de tiempo y el número es important.45 Aunque tal vez no predicen la teoría espacial que esto debe ser así , sin embargo, también se puede apreciar el hecho , pues nos recuerda quevisión más profunda que en gran medida mostró el comienzo de esta forma de pensamiento . La polaridad fundamental de los Cielos y la Tierra es el equivalente espacial de un misterio del tiempo. De hecho, es "El tiempo que se convierte en el espacio" , cuando entendemos este último en el espíritu de la nueva geometría. En su devenir y en su paso , espacio aquí recibe ritmos de tiempo y el número de un mundo puramente espiritual . Así empieza la vida cósmica para ser revelado , y desde el lado de la geometría pura de la manera también se abre en esa espiritualización de todo el conocimiento espacial para que el espíritu de nuestra época está llamando.

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Notes and References

1. George Adams (who changed his name from George Adams Kaufmann in 1940) wrote his main geometrical work in German: Strahlende Weltgestaltung: Synthetische Geometrie in geisteswissenschaftlicher Beleuchtung, published in 1934 by the Mathematical Section at the Goetheanum, Dornach, Switzerland. In 1960 there appeared another main work: Die Pflanze in Raum und Gegenraum: Elemente einer neuen Morphologie, by George Adams and Olive Whicher, published by Verlag Freies Geistesleben, Stuttgart. In the former work George Adams set forth the fundamentals of Modern Geometry with many illustrations in a widely accessible form, relating it to the history of culture in general and especially to the teachings of Spiritual Science as imparted by Rudolf Steiner. In the later work the theory of Physical and Ethereal Spaces is brought to bear especially on the phenomena of plant form. Here, the leading ideas of Goethe's Metamorphosis of Plants are interpreted and developed in a fresh direction, with the help of scientific methods not yet available in Goethe's time. / In the years between these two works, besides numerous articles and essays, there came the two English works of which Die Pflanze in Raum und Gegenraum is a further development: The Living Plant, 1949 and The Plant between Sun and Earth, 1952, both published by the Goethean Science Foundation, Clent, Worcestershire. / References to the German book, Die Pflanze in Raum und Gegenraum, are included here because this work is far more substantial than the two English books. It is hoped in due course to publish an English translation.

2. Rudolf Steiner: Universe, Earth and Man (The Rudolf Steiner Publishing Co., London), a lecture course held in Stuttgart in 1908.

3. Of the origin of Geometry in the ancient Mysteries, see Rudolf Steiner's lectures, Flashlights on the deeper Impulses of History. See also the book by Ernst Bindel: Die aegyptischen Pyramiden als Zeugen vergangener Mysterienweisheit, Verlag Freies Geistesleben, Stuttgart, 1957.

4. Rudolf Steiner's second lecture-course on Science, Lecture 14 (Dornach, 14th March, 1920).

5. This was done in the work on plants and in other fields. See also The Threefold structure of the World,in the Golden Blade of 1953. (Rudolf Steiner Press, London.)

6. Die Pflanze in Raum und Gegmraum, Chapters II and III, especially §46; The Plant between Sun and Earth, §24; Space and Counterspace: George Adams, M.A., in The Faithful Thinker, Centenary Essays on the Work and Thought of Rudolf Steiner (Hodder and Stoughton, London, 1961).

7. Rudolf Steiner: Occult Science, an Outline (Rudolf Steiner Press, London, 1963), pages 115-129.

8. Rudolf Steiner: Occult Science, page 141.

9. It is no doubt possible to speak of a “sphere (or circle) of infinite dimensions,“ for we thereby suggest the continued growth of a sphere or circle beyond all finite limits. The point is that when a sphere expands into the infinite, it at last merges in the infinitely distant plane. When the radius is infinite, it is no longer a sphere in the strict sense of the word; it is a plane. As it becomes a point when it contracts without limit, so does the sphere become a plane when it expands. See also George Adams Kaufmann: Space and the Light of the Creation, pages 31,32, published by the author, London, 1933.

10. Readers acquainted with analytical Geometry will recognise that this is precisely what happens when we pass from “point co-ordinates“ to “plane co-ordinates.“ When we write the “equation of a plane“ (in point co-ordinates, in the familiar Cartesians for example) we are envisaging the plane, not as a whole, but as the sum-total of infinitely many points, namely all points that satisfy the equation. On the other hand when we write the point in plane co-ordinates, we are in fact considering the point, not as an indivisible entity, but as made up of infinitely many planes. The idea of plane co-ordinates, discovered by Plucker and others in the nineteenth century, was only made possible by the spirit of modern synthetic geometry.

11. Rudolf Steiner: First Science Course (23rd Dec. 1919-3rd Jan. 1920), Lecture VI.

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12. See Louis Locher-Ernst: Raum und Gegenraum (Dornach, 1957), Nr. 4, page 24. (Refer also to note16.)

13. Rudolf Steiner: The Michael Mystery, the letters of January 1925 and Christmas 1924; What is the Earth in reality in the Macrocosm? and The Mystery of the Logos. (Anthroposophical Publishing Co., London, 1956.)

14. See a lecture by Rudolf Steiner (17th December, 1922) about the spiritualising of the knowledge of space in Man and the World of Stars. (Anthroposophic Press Inc., New York, 1963.)

15. Gerbert Grohmann: Die Pflanze and Die Pflanze als Lichtsinnesorgan der Erde, Verlag FreiesGeistesleben, Stuttgart, 1962.

16. The working of “cosmic forces“ has especially been dealt with by Dr. G. Wachsmuth in his book Etheric Formative Forces in Universe, Earth and Man (Anthroposophical Publishing Co., 1932) and in other works. In recent years these forces have been investigated and confirmed in manifold directions by anthroposophical experimenters. In this essay the attempt is made, following certain indications given by Rudolf Steiner, to develop mathematical conceptions corresponding to the nature of such forces, and in particular -as an initial step in this direction - the conception of a counter-space or peripheral space. / Other works by George Adams, which aim to develop in this sense the fundamental concepts of physics and physical chemistry, have appeared in the Korrespondenz of the Mathematisch- Physikalischen Institut, Dornach, Switzerland, led by Dr. Georg Unger. See George Adams: Universalkrafte in der Mechanik and also works by G. Balaster, M. Martin and G. Unger. / Quiteindependently, Louis Locher-Ernst developed the mathematical basis for a peripherally formed negative space or “Gegenraum“ (he called it “polar-Euclidean space“). See Louis Locher-Ernst: Projektive Geometrie und die Grundlagen der Euklidischen und Polareuklidischen Geometrie" (Zurich, 1940) Zur mathemattschen Erfassung des Gegenraums; Mathematisch-Astronomische Blatter, Heft 3, Dornach,1941. Raum und Gegenraum, Eisfuhrungin die neuere Geometrie, published for the Mathematisch-Astronomieche Sektion, Goetheanum, Dornach,1957.

17. A most important step in metamorphic thinking was achieved in the new algebra (the so-called theory of invariants) in the middle of the nineteenth century by Cayley, Sylvester and others (see Strahlende Weltgestaltung).

18. See Strahlende Weltgestaltung and Die Pflanze in Raum und Gegenraum (see Note 1)

19. An English edition of the Metamorphosis of Plants with introduction by Agnes Arber was published by the Chronica Botanica Co., Waltham, Mass. (H. K. Lewis and Co., London), 1946.

20. Die Pflanze in Raum und Gegenraum, Chapter II; The Plant between Sun and Earth, § 13; The LivingPlant, Chapter III; Space and the Light of the Creation.

21. Die Pflanze in Raum und Gtgenraum, Chapter III; The Plant between Sun and Earth, §§ 14, 15; TheLiving Plant, §§ 27,28.

22. Goetheanum Weddy (1933), Nos. 4 to 6.

23. See Felix Klein's Lectures on non-Euclidean Geometry (Berlin, 1928), pages 182, 183, 189. In a short article published in 1910 (Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, Vol. 28), Professor D. M. Y. Sommerville enumerates no less than twenty-seven conceivable geometries of threedimensional space. Among them are the Euclidean and the two wellknown non-Euclidean geometries. One of the twenty-four others is the geometry of “anti-space“ which is here intended. Somewhere in mathematical literature there may be further developments in this direction, I have not found them. Interest has generally centred on such spaces as are more nearly in accord with the conditions of physical imagination, or else, alternatively, the geometry of abstract spaces of any number of dimensions has been worked out, quite without reference to the imagination or to the forms of nature. The paper here referred to is also mainly analytical in form.

24. W. K. Clifford, the eminent English mathematician, sought refuge from this painful difficulty in the hypothesis that cosmic space is not Euclidean at all, but curved that is to say, non-Euclidean. For in the

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one type of non-Euclidean geometry (in the so-called “elliptic space“) the pure polarity remains unimpaired. “Upon this supposition of a positive curvature, says Clifford (Lectures and Essays, Vol. I, page 322), the whole of geometry is far more complete and interesting; the principle of duality, instead of half breaking down over metrical relations, applies to all propositions without exception. In fact I do not mind confessing that I personally have often found relief from the dreary infinities of homaloidal space in the consoling hope that, after all, this other may be the true state of things“. (The “dreary infinities“ of course, are changed into quite another aspect when one recognises the reality of the ethereal. That was not possible in Clifford's time.)

25. See Rudolf Steiner's letter: The Michael's Mystery, letter XXIV.

26. Die Pflanze in Raum und Gegenraum, Chapters II and III, in particular §§ 23, 24, 25, 37, 38. See also the two English books (Note 1).

27. See Strahlende Weltgestaltung, in particular Chapter VII and Die Pflanze in Raum und Gegenraum, §27. See also Note 13)

28. Rudolf Steiner: True and False Paths in Spiritual Investigation (Anthroposophical Publishing Co.,1926), Chapter III. See also Space and the Light of the Creation, Figures 10 and 19.

29. Die Pflanze in Raum und Gegenraum, §§ 38-40. The Plant between Sun and Earth, §§ 23, 27, 28; TheLiving Plant, § 35.

30. Rudolf Steiner, in lecture III of the third science course, (jan. 1st - 18th, 1921.) One aspect of this question is dealt with by Louis Locher-Ernst in Goetheanum, 18th October, 1953: “Was sagen uns Keplers Gesetze fur die Welt der Bildekrafte?“

31. Die Pflanze in Raum usd Gegenraum, § 57; The Plant between Sun and Earth, § 28; The Living Plant,§§ 10, 28, 39·

32. Die Pflanze in Raum und Gegenraum,§§ 59,60; The Plant between Sun and Earth, §§ 29, 3I; The LivingPlant, §§ 46, 47

33. Die Pflanze in Raum und Gegenraum,§§ 33-36; The Plant between Sun and Earth, §§ 4, 5, Note 9; TheLiving Plant; Space and the Light of the Creation, Chapter II.

34. See Rudolf Steiner's letter in The Michael Mystery, No. XXIV. See also the articles by Olive Whicheron “Human Movement“ in Gymnastic Education, by Bothmer (published by the Goetheanum, Dornach)and in the Golden Blade, 1960 and 1962 (Rudolf Steiner Press, London).

35. Published in translation in the Golden Blade, 1961.

36. Die Pflanze in Raum und Gegenraum, §§ 38, 43; The Plant between Sun and Earth, § 10; The LivingPlant, §§ 5,24,42,45.

37. The ethereal nature of light is as yet imperfectly understood. It is no mere matter of chance that the word “light“ or “lightness“ has its apparently double meaning. The wisdom of language is here in advance of our physical understanding. Goethe was more aware of the true polarity of “Light and Darkness,“ to which idea the science of the future will without doubt find its way back again. In his book Man and Matter (Faber & Faber, 1951), Ernst Lehrs writes about “lightness“ or “levity“ as the opposite pole of gravity and about Space and Counterspace. There appear here the apt expressions coined by him of “all-relating point“ and “all-embracing plane.“ (Chapter XII, page 215.)

38. Rudolf Steiner's Farbenlehre (II). English translation: Colour (Rudolf Steiner Publishing Co., 1935)·

39. Second Science Course (March 1st-14th, 1920), lecture VII.

40. Die Pflanze in Raum und Gegenraum, Chapter VII; The Plant between Sun and Earth, §§ 9-12; TheLiving Plant, Chapter VII.

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41. If as an element of physical volume we take the content of an infinitesimal sphere about the point in question, as is often done in mathematical considerations, the corresponding idea in ether-space would be the “etheric volume“ of an exceedingly flattened hyperboloid of rotation, enveloping the plane on either side. (The cosmic point is at a focus.) If on the other hand a cube is taken as the physical space element, the corresponding thing in ether-space would be a kind of octahedron. Physically speaking, the ethereal elements of volume interpenetrate; compare what was said on page 22.

42. This well-known transformation has an important bearing on the relation of ethereal geometry to physical. Deeply related as it is to the archetypal idea of space (“inner and outer“, and their mutual reflection), it occurs often and from diverse points of view in anthroposophical mathematical writings. Nevertheless its connection with the ideas we are here setting forth is not quite so far-reaching as might appear from the much simplified example we have chosen. The notion of the “cosmic point“ and of the consequent “negative space“ is an essentially new one. (The qualitative, polar reciprocal transformation- points into planes, planes into points - which was described on page 42 and to which we also now refer, is not to be confused with the more frequently described “inversion“, which only changes inner points into outer points and vice versa. Both are important, but it is the former which will aid us most in the transition of thought from physical to ethereal spaces. It is in fact the more elementary of the two; yet it demands stronger activity in qualitative thinking.)

43. Second Science Course, lecture IV; Die Pflanze in Raum und Gegenraum, § 48; The Plant between Sun and Earth, § 23.

44. The effects of highly potentised dilutions or “smallest entities“ have been abundantly tested and proved in a great variety of natural phenomena by L. Kolisko and many others.

45. See Theodor Schwenk: Uber einige feinere Vorgange bei der Herstellung flüssig potenzierter Heilmittel (Weleda-Verlag Arlesheim, Switzerland); and George Adams: “Potentisation and the Peripheral Forces of Nature“ in The British Homoeopathic Journal, Vol. L, No.4, October 1961.

The reader is referred for further mathematical and scientific data to the very extensive Notes and References in Die Pflanze in Raum und Gegenraum and The Plant between Sun and Earth. Good elementary textbooks on Projective Geometry to be recommended are those by Cremona, L. N. G. Filon and J. L. S. Hatton. Unfortunately, most of the easier works still fall back on Euclidean metrical conceptions, instead of deriving these from purely projective notions; for the transition to ethereal space an understanding of the latter process is of course essential. Of the greatest value are: Veblen and Young, Projective Geometry, Vols. I and II, Boston,1910-18; D. M. Y. Sommerville, Analytical Geometry of Three Dimensions, Cambridge, 1934; also the various lecture-courses by Felix Klein (Springer, Berlin, 1924-28), English editions of some of which have since been published in the United States.

Acknowledgement: The microscopic camera-lucida-reproduction (growing-point of Euphorbia Wulfenii in transverse section) in Figure 14 is included with the kind permission of the late Dr. A. H. Church, Oxford.

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