Corpos RıgidosOscilacoes

GIROSCOPIOMecanica II (FIS-26)

Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pela

IEFF-ITA

12 de marco de 2013

R.R.Pela Corpos Rıgidos

Corpos RıgidosOscilacoes

Roteiro

1 Corpos RıgidosDinamica do Movimento do Corpo RıgidoEnergia CineticaMovimento Giroscopico

2 Oscilacoes

R.R.Pela Corpos Rıgidos

Corpos RıgidosOscilacoes

Dinamica do Movimento do Corpo RıgidoEnergia CineticaMovimento Giroscopico

Roteiro

1 Corpos RıgidosDinamica do Movimento do Corpo RıgidoEnergia CineticaMovimento Giroscopico

2 Oscilacoes

R.R.Pela Corpos Rıgidos

Corpos RıgidosOscilacoes

Dinamica do Movimento do Corpo RıgidoEnergia CineticaMovimento Giroscopico

Dinamica

~F (ext) = M~aCM ~τ (ext) =d~L

dt~L = M~rCM × ~vCM + ~LCM

~τ(ext)CM =

d~LCM

dt

Se o eixo de rotacao for um eixo principal de inercia, entaopode-se dizer que:

~L = I∆~ω

~τ (ext) = I∆~α

Para se determinar completamente o movimento do corporıgido e necessario alguma outra informacao adicional,e.g. algum vınculo conectando a translacao e a rotacao.

R.R.Pela Corpos Rıgidos

Corpos RıgidosOscilacoes

Dinamica do Movimento do Corpo RıgidoEnergia CineticaMovimento Giroscopico

Energia Cinetica

Translacao (retilınea) ou curvilınea: EC = Mv2CM/2.

EC =Mv2

CM

2+ICMω

2

2

Corpo rıgido gira em relacao aum eixo fixo passando por umponto O:

EC =IOω

2

2R.R.Pela Corpos Rıgidos

Corpos RıgidosOscilacoes

Dinamica do Movimento do Corpo RıgidoEnergia CineticaMovimento Giroscopico

Forcas que nao realizam trabalho

Forcas que atuam sobre pontos fixos do corpo rıgido ouque sao perpendiculares a seus deslocamentos.Exemplos: reacoes em pinos de apoio em relacao aosquais o corpo gira, a reacao normal atuante sobre umcorpo que se move ao longo de uma superfıcie fixa e opeso de um corpo quando seu CM se move em um planohorizontal.

A forca de atrito estatico ~f atuante sobreum corpo rolico quando ele rola semdeslizar sobre uma superfıcie rugosatambem nao realiza trabalho (quandoocorre deslizamento, a situacao e bemdiferente).

R.R.Pela Corpos Rıgidos

Corpos RıgidosOscilacoes

Dinamica do Movimento do Corpo RıgidoEnergia CineticaMovimento Giroscopico

Exemplo

A barra fina mostrada na Figura tem uma massa m e umcomprimento l e e solta do repouso quando θ = 0. Determinea reacao do pino em funcao de θ

R.R.Pela Corpos Rıgidos

Corpos RıgidosOscilacoes

Dinamica do Movimento do Corpo RıgidoEnergia CineticaMovimento Giroscopico

Solucao

Equacoes das forcas e dos torques

An −mg sin θ = mω2(l/2)

At +mg cos θ = mα(l/2)

mgl

2cos θ =

1

3ml2α

Por conservacao de energia

ω2 = 3(g/l) sin θ

An =5

2mg sin θ At = −1

4mg cos θ

A =√A2

n +A2t =

mg

4

√1 + 99 sin2 θ

R.R.Pela Corpos Rıgidos

Corpos RıgidosOscilacoes

Dinamica do Movimento do Corpo RıgidoEnergia CineticaMovimento Giroscopico

Exemplo

O bloco retangular da uniforme com as dimensoes mostradasesta deslizando para a esquerda sobre a superfıcie horizontalcom uma velocidade v1 quando atinge o pequeno degrau emO. Assuma um recuo desprezıvel no degrau e calcule o valormınimo de v1 que permitira ao bloco girar livremente emrelacao a O e por pouco chegar a posicao elevada A semvelocidade. Calcule o percentual de perda de energia parab = c.

R.R.Pela Corpos Rıgidos

Corpos RıgidosOscilacoes

Dinamica do Movimento do Corpo RıgidoEnergia CineticaMovimento Giroscopico

Solucao

(H0)2 = I0ω2 =

1

12m(b2 + c2) +m

[( c2

)2+

(b

2

)2]

ω2

=m

3(b2 + c2)ω2

(H0)1 = (H0)2

mv1b

2=m

3(b2 + c2)ω2

ω2 =3v1b

2(b2 + c2)

R.R.Pela Corpos Rıgidos

Corpos RıgidosOscilacoes

Dinamica do Movimento do Corpo RıgidoEnergia CineticaMovimento Giroscopico

Solucao

1

2IOω

22 = mg

√( c2

)2+

(b

2

)2

− b

2

v1 = 2

√g

3

(1 +

c2

b2

)(√b2 + c2 − b

)Percentual de perda de energia

n =∆E

E=

12mv

21 − 1

2IOω22

12mv

21

= 1 − 3

4(

1 + c2

b2

)Para b = c

n = 62,5%

R.R.Pela Corpos Rıgidos

Corpos RıgidosOscilacoes

Dinamica do Movimento do Corpo RıgidoEnergia CineticaMovimento Giroscopico

Giroscopio

O ingrediente basico de um giroscopio e um volante emrotacao rapida, colocado numa haste que serve como eixo(e tambem eixo de simetria).

~L = I~ω.

Se fizermos atuar um torque na mesma direcao de ~L:

∆L = τ∆t = I∆ω,

temos uma frenagem ou aceleracao do volante.Por outro lado, se o torque ~τ for perpendicular a ~L:

0 = 2~L · ~τ = 2~L · d~L

dt=d(L2)

dt

R.R.Pela Corpos Rıgidos

Corpos RıgidosOscilacoes

Dinamica do Movimento do Corpo RıgidoEnergia CineticaMovimento Giroscopico

Giroscopio

Quando ~τ e perpendicular a ~L, ele nao altera a magnitudedo momento angular, mas so a sua direcao.Como no movimento circular uniforme, o vetor ~L gira nointervalo de tempo infinitesimal ∆t de um angulo ∆ϕ talque ∆L = L∆ϕ = τ∆t. Portanto:

dϕ

dt, Ω =

τ

L.

R.R.Pela Corpos Rıgidos

Corpos RıgidosOscilacoes

Dinamica do Movimento do Corpo RıgidoEnergia CineticaMovimento Giroscopico

Giroscopio

No caso em que o eixo do giroscopio forma um angulo θqualquer com a vertical

A magnitude de ~L se mantem constante, e o vetor ~Lprecessa em torno da vertical, descrevendo um cone deangulo θ de abertura.

R.R.Pela Corpos Rıgidos

Corpos RıgidosOscilacoes

Dinamica do Movimento do Corpo RıgidoEnergia CineticaMovimento Giroscopico

Giroscopio

∆L = L sin θ∆ϕ = τ∆t,

dϕ

dt, Ω =

τ

L sin θ,

τ = ΩL sin θ.

De forma vetorial, podemos dizer que:

~τ = ~Ω × ~L.

R.R.Pela Corpos Rıgidos

Corpos RıgidosOscilacoes

Dinamica do Movimento do Corpo RıgidoEnergia CineticaMovimento Giroscopico

Exemplo

Um piao esta girando em torno de seu eixo de simetria. Emrelacao ao eixo de simetria, o raio de giracao e de 6,0 cm, e ocentro de massa esta a 3,0 cm do ponto fixo. Se o piaoprecessa a 10 rpm, encontre o valor da velocidade angular ωde rotacao do piao em torno do eixo de simetria.

R.R.Pela Corpos Rıgidos

Corpos RıgidosOscilacoes

Dinamica do Movimento do Corpo RıgidoEnergia CineticaMovimento Giroscopico

Solucao

~τ = ~Ω × ~L

mgb sin θ = Ωmk2Gω sin θ

ω =gb

Ωk2G

= 79 rad/s

R.R.Pela Corpos Rıgidos

Corpos RıgidosOscilacoes

Dinamica do Movimento do Corpo RıgidoEnergia CineticaMovimento Giroscopico

Exemplo

Cada uma das rodas identicas tem uma massa de 4,00 kg e umraio de giracao kz = 120 mm e esta montada em uma hastehorizontal AB presa a haste vertical (que passa por O). Secada roda gira em torno do eixo z a 3600 rpm, determine avelocidade angular de precessao (rad/s) em torno do eixo ynos casos a seguir (g = 9,81 m/s2):

1 a haste horizontal esta fixada a umaluva em O (livre para girar somenteem torno do eixo y).

2 a haste esta presa a luva por umgarfo articulado em torno do eixo x.

R.R.Pela Corpos Rıgidos

Corpos RıgidosOscilacoes

Roteiro

1 Corpos Rıgidos

2 Oscilacoes

R.R.Pela Corpos Rıgidos

Corpos RıgidosOscilacoes

Introducao

Sistemas que vibram: constituem uma classe deproblemas que e muito comum e muito importante.Carros (um carro vibra por causa do motor e, tambem, porcausa da superfıcie da estrada)Acionamento de discos de computadorAtomos em redes cristalinasCordas de violinosMaquina rotativa (ligeiramente desbalanceada)Linhas de transmissao (vibracao induzida pelo vento)Asas de avioes (“flutter”)Estruturas de edifıcios (comportamento de estruturassujeitas a terremotos).Movimento oscilatorio: surge como uma resposta a umaperturbacao na presenca de forcas restauradoras.

R.R.Pela Corpos Rıgidos

Corpos RıgidosOscilacoes

Classificacoes

Ha dois tipos de vibracoes: livres e forcadas.A vibracao livre ocorre quando o movimento e mantido poruma forca restauradora, gravitacional ou elastica, como porexemplo a oscilacao de um pendulo ou a vibracao de umabarra elastica.A vibracao forcada e causada por uma forca externaperiodica ou intermitente aplicada ao sistema.

Essas duas formas de vibracoes podem ser tantoamortecidas quanto nao-amortecidas. As vibracoesnao-amortecidas continuam indefinidamente, pois osefeitos de atrito sao desprezados na analise.Como as forcas de atrito internas e externas estao semprepresentes, os movimentos oscilatorios sao na realidadeamortecidos.

R.R.Pela Corpos Rıgidos