GreciaMatemáticas

2010-1

http://www.usu.edu/markdamen/ClasDram/images/05/mapAthens&Sparta.jpg

Dieudonné, J Mathematics the Music of Reason SpringerBerlín, 1998

Heath, Sir Thomas The thirteen books of Euclid's Elements translated from the text of Heiberg with introduction and commentary. Cambridge, University Press 1908. Dover NY, 1956.

Heath, T A History of greek Mathematics. Dover NY 1981

Kline, M. Mathematicas Thought form Ancient to Modern Times Oxford University Press 1972

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Indexes/Greeks.html

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html

http://www.perseus.tufts.edu/hopper/

http://www.arrakis.es/%7Emcj/teorema.htm

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/mathhist/greece.html

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/mathhist/greece.html

Siglo VIII AC

Cambio, desplazamiento de los centros de actividad “cultural”: Mesopotamia, Egipto hacia el MediterráneoAlfabeto griego se difunde por el comercio y la fundación de coloniasPensadores griegos viajan a Egipto y MesopotamiaS VII desarrollo de la literaturaSVI Tales y Pitágoras

Principales períodosClásico 600 AC – 300 AC

Alejandrino 300AC – 400DC

Principales “temas”

AritméticaGeometríaLógica

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Principales Escuelas Período Clásico 600 AC – 300 ACMileto 650 -550 : Tales, Anaximandro, AnaxímenesPitagóricos 580 – 400 Pitágoras, FilolausHeráclito 500Eliática 550 – 450 Jenófanes, Parménides, Zenón,Sofistas 450 - 400Platónica 400 Eudosio 360 Aristotélica 340

Principales períodos

Alejandrino 300AC 400DC

Euclides Arquímedes Apolonio, Aristarco, Diofanto, Eratóstenes, Hipatia, Herón, Menelao, Pappus, Ptolemeo, Teón …

Centro: Biblioteca de Alejandría642DC quema de la biblioteca de Alejandría!!

Período clasico: 600AC - 300AC

Escuela Jónica, Tales de Mileto, 600AC

Escuela Pitagórica, sur de Italia, 550AC

Academia de Platón, Atenas, 400AC

Liceo de Aristóteles, Atenas, 350AC

Personajes Matemáticos Griegos

• Thales 600 AC• Pitágoras SVI AC• Euclides 300 AC• Arquímedes 250 AC• Apolonio 250 AC

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Kapitolinischer_Pythagoras_adjusted.jpg

• Thales • Altura de la Pirámide• Teorema de Thales• Proporcionalidad

• Pitagóricos (S V AC)• Abstracción • Ternas pitagóricas, primos, progresiones• Números Inconmensurables• Números Geometría

Problema 1:Dadas dos figuras, determinar si tienen o no la “misma forma”

Problema 2:Dada una figura, dibujar otra con la “misma forma”. Ampliar o comprimir una figura

Mapas, planos, maquetas, prototipos, …Diseño!!!

FORMA !!!

http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Thales%27_Theorem_Simple.svg

http://thales-machine.com/Quickstart/ImageLib/Thales_theorem_1.png

-Si las figuras son triángulosTales, 600AC, Euclides, 300AC.

-Si las figuras son polígonos

Libro VI Prop. 20. Polígonos semejantes se dividen en triángulos semejantes...,

Triángulos semejantes si y solo si ángulos correspondientes iguales, si y solo si lados correspondientes proporcionales.

-Si son figuras rectilíneas

Libro VI Def 1.Figuras rectilíneas similares son aquellas que tienen los ángulos correspondientes iguales y los lados respectivos proporcionales.

K=1.5

Pitagóricos:

Reconocen las matemáticas como ideas y objetos abstractos. Aritmética ligada a la geometría.

Triplas pitagóricas: m, (m2 - 1)/2 y (m2 + 1)/2, soluciones a: x2 + y2 = z2

Ej 5, 12, 13

La suma de los números imparesconsecutivos da un número cuadrado:1 + 3 + 5 + 7 = 16

Matemáticas, Música, Astronomía

1 3 6 10

Números Triangulares

La suma de dos números triangulares consecutivos es un número cuadrado:

3+6=9, 6+10=16

Inconmensurables

Mesurables

Si tengo dos longitudes y puedo encontrar una tercera con la cual pueda medirlas a ambas.

Problema: la diagonal y el lado de un triángulo rectángulo isóscelesson inconmensurables.

Problema: discreto (cantidades) vs continuo (longitudes)

Zenon (450AC)Visión del espacio tiempo: Infinitamente divisible: movimiento continuo

Formado por pequeños intervalos indivisibles: movimiento sucesión de pequeños saltos

TareaAverigüe acerca de uno de los sgtes temas. Envíeme un comentario a más tardar el próximo viernes antes del medio día.

-Paradojas de Zenón?Qué dicen las paradojas de Zenón? En qué contexto se formularon? Qué nos dicen hoy?-Influencia de Aristóteles o de Platón en la historia de las matemáticas-Nacimiento, influencia y muerte de la Biblioteca de Alejandría-Eratóstenes, medición del radio de la tierra

Platón (400AC)… la aritmética tiene un efecto magnífico, eleva la mente y la impulsa a razonar sobre números abstractos y la rebela contra la introducción de objetos tangibles o visibles en los argumentos

Período Alejandrino 300AC 400DC

Euclides Arquímedes Apolonio, Aristarco, Diofanto, Eratóstenes, Hipatia, Herón, Menelao, Pappus, Ptolemeo, Teón …

Centro: Biblioteca de Alejandría

642DC quema de la biblioteca de Alejandría!!

Período Alejandrino 300AC – 400DC

Euclides, Alejandría 300AC: Los Elementos

Arquímedes, Alejandría 250AC Método exhaustivo

Período Alejandrino 300AC – 400DC

Arquímedes, Alejandría 250AC Método exaustivo

Diofanto 250 AC Ecuaciones diofantinas. Álgebra, sin depender de la geometría.

Hiparcus, Menalao y Tolomeo: 120AC Trigonometría

Alejandría

Fundada por Alejandro Magno en 332 AC se convirtió en el centro cultural del mundo antiguo.Ptolomeo I mandó construir el gran palacio y su hijo, el edificio conocido como El Museo, santuario de las Musas, diosas de las artes y las ciencias. En él estaba la biblioteca, un jardín botánico, zoológico, observatorio…Había habitaciones para sabios y estudiantesAtrae estudiosos y documentos de todo el mundo: de Grecia, Egipto, Mesopotamia, India, Persia,…Traducen y guardan toda la ciencia conocida!

Cómo terminó??

Algunos sabios que pasaron por allí

Euclides, quien desarrollo allí su Geometría,Arquímedes, científico y matemático, met. exhaustivo Hiparco quien desarrollo la trigonometría, Aristarco, que defendió el sistema heliocéntrico, Eratóstenes, quien se dedicó a la geografía y consiguió medir la circunferencia terrestre con un error inferior al 1%, Herófilo de Calcedonia un fisiólogo que llegó a la conclusión de que la inteligencia está en el cerebro y no en el corazón, Apolonio de Pérgamo , quien estudió las cónicas, Herón de Alejandría, inventor de engranajes.

Posteriores al S II DC

Ptolomeo Claudio, 100-178 quien escribiò El Almagesto, Teoría geocéntrica, astrónomo y geógrafoGaleno, (130- 200) quien escribió sobre anatomíaPappus de Alexandria (c. 320) geómetra

Theon de Alexandria (c. 390) y su hijaHypatia de Alexandria (c. 370-415) escribieron una versión de los Elementos de Euclides

Proclus (412 – 485) Filosofo neo-platònico

Elementos de Euclides

Euclides 325 - 265Alejandría

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html

http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/papyrus/tha.jpg

Fragmento de Los Elementos, libro II ca 100AC

Los ElementosAnterior al 450 AC, tradición oralPrimeros escritos en rollos de papiro. Frágiles, corta vidaHay que copiarlos repetidamente, se introducen errores, cambios, adicionesS II DC aparecen los primeros códices, primero de papiro, luego de pergaminoLetras: Pasan de mayúsculas sin separación entre palabras a minúsculas, con separación

Los Elementos Acerca del libro.

Copia más antigua actual: Manuscrito de 888DC, (cerca de 1200 años después de ser escrito)

Escrito en minúsculas, por el escriba Stefanusa a solicitud del Aretas, obispo de Cesarea, Capadocia (hoy en Turquía ) para la biblioteca de libros religiosos y matemáticos. Contiene anotaciones.

Hay fragmentos de manuscritos del 225AC

Hay aluciones a Los Elementos en textos más antiguos.

Los Elementos Acerca del libro.

Muchos de los manuscritos se basan en la versión de Teón y su hija Hipatias, Alejandría SIV DC

Primeras versiones conocidas en Europa en la edad media: (Adelard de Bath, 1120) traducciones al latín del árabe, de la versión de Teón

Uno de los libros más importantes en la historia de la humanidad. Junto con la Biblia, de los primeros impresos y con mayor número de ediciones. Texto de educación básica por 2000 años!

Iluminación de la letra P.

Parte del texto de los Elementos traducido al latín del árabe por Adelardo de Bath ca 1300

http://en.wikipedia.org/wiki/Euclid's_Elements

Palimpsesto de un texto de Arquímedes, copiado en el siglo X por un monje en Constantinopla. Descubierto en 1899 en EstambulEn el SXII borran y escriben encima textos religiosos. Libro de 174pgs de 20 cm por 15. Contiene 4 trabajos de Arquímedes: Cuerpos que Flotan, Métodos de Teoremas Mecánicos.

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Greek_sources_1.html

Vivió en la época de Ptolomeo primero, porque Arquímedes, que vivió después del primer Ptolomeo menciona a Euclides.

También se cuenta que Ptolomeo le preguntó una vez Euclides si no había un camino más corto a la geometría que a través de los Elementos y Euclides respondió que no había ningún camino real a la geometría. Era por lo tanto posterior al grupo de Platón, pero anterior a Eratóstenes y Arquímedes, que eran contemporáneos.

EUCLIDES (Segùn Proclus, S V DC)

http://www.fisicanet.com.ar/biografias/cientificos/e/img/euclides.jpg

EUCLIDES (Segùn Proclus, S V DC)

Euclides reunió en “Los Elementos”, la sistematización de muchos de los teoremas de Eudoxio, perfeccionò muchos de los de Teeteto, y puso en forma de demostraciones irrefutables, proposiciones que había sido más bien vagamente establecidas por sus predecesores.

Euclides estaba a gusto con las ideas filosóficas de Platón y es por eso que pensaba que el objetivo de los elementos en su conjunto era la construcción de los llamados sólidos platónicos.

Euclides 300AC

Los Elementos

A partir de 23 definiciones, 5 postulados y 5 nociones comunes,

prueba 465 proposiciones Libro V: Proporciones, razones entre inconmensurablesLibro VI: SemejanzaLibros VII, VIII y IX: teoría de números. Propiedades de enteros y razonesLibro X, inconmensurables

Ejemplo: Elementos de Euclides, libro 2 prop 6:

Si un segmento (FE) es bisectado (I) y se le agrega un segmento en linea recta (ED), entonces el rectángulo formado por el total con el segmento agregado y el segmento agregado, junto con el cuadrado de la mitad (AD+FH) es igual al cuadrado formado por la mitad y el segmento agregado (SC). Resolver, completando el cuadrado, la ecuación x2 + bx = n, (x + b)x +(b/2)2 = (x + b/2)2

= n +(b/2)2

Elementos de Euclides Teorema de Pitágoras

Libro I Proposición 47En un triángulo rectángulo el cuadrado del lado opuesto al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo recto.

Libro I Proposición 48Si en un triángulo el cuadrado de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados del triángulo, entonces el ángulo comprendido por los otros dos lados del triángulo es recto.

http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Illustration_to_Euclid%27s_proof_of_the_Pythagorean_theorem2.svg

Libro 1 proposición 47 y 48

http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Pythagorean_proof_(1).svg

Prueba del Teorema de Pitágoras atribuida a los Pitagóricos

Otras pruebas del Teorema de PitágorasBhaskara India (1114-1185)

Leonardo da Vinci.

Ideas GriegasBúsqueda explicación racional de la naturaleza

Relación entre las matemáticas y la naturaleza. Pitagóricos, la naturaleza está regida por relaciones numéricas

Creación de las matemáticas como ciencia abstracta, basada en el razonamiento deductivo

Estudio de la lógica, leyes del razonamiento, reflexión acerca de cómo razonar

Fundamento de la verdad, pasa del experimento a la no contradicción.

Griegos:

Énfasis en el poder de la mente

Matemáticas como una manera de predecir y describir la naturaleza ( o como su estructura misma!)

Universo diseñado, inteligible y controlado por leyes matemáticas

Dificultades: Sistema de numeración: Base 10 pero no notación de posición. Letras como números. En el período alejandrino usaron para los fraccionarios los sexagesimales de los babilonios.

Solo aceptan racionales positivos, lo que pesó sobre occidente por siglos. De ahí el uso de la geometría para manipular ideas algebráicas.

Restricción geométrica a la regla y el compás, para garantizar la existencia.

Evitar el infinito

Problemas:

• Cuadratura del círculo

• Trisección del ángulo

• Duplicación del cubo

• V Postulado, Postulado?

Problemas:

• No aceptar los irracionales

• Uso de la geometría para probar afirmaciones aritméticas

• Infinito potencial – actual

• Falta fundamentación a los números

Otras pruebas del Teorema de Pitágoras

Chou Pei China (aprox. 300 a.C.). Kou Ku lado más corto (kou) el más largo (ku)