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UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR Integrantes Grupo N o 5: Edison Jimenez, Danilo Collaguazo, Henry Vivanco, Beto Roca PROBABILIDADES
UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
Integrantes Grupo No 5: Edison Jimenez, Danilo Collaguazo, Henry Vivanco, Beto Roca
PROBABILIDADES
ii Grupo Nz 5.
Contents
0.1 . . . . . . . . . . . iv
I CAPITULO 1 v0.2 INTRODUCCIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii0.3 Resea Histrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
0.3.1 Variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii0.3.2 Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix0.3.3 Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
II CAPITULO 2 xi0.4 El concepto de Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii0.5 Algebra de Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii0.6 Sucesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv
0.6.1 Suceso elemental: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv0.6.2 Suceso seguro: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv0.6.3 Suceso imposible: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv0.6.4 Suceso compuesto: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv0.6.5 Suceso compatible: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv0.6.6 Suceso incompatible: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv
0.7 Denicin de Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv
III ANEXOS xvii0.8 CONSULTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix
0.8.1 EL CONCEPTO DE PROBABILIDAD . . . . . . . . . . xix0.8.2 DEFINICIN DE PROBABILIDAD . . . . . . . . . . . . xix0.8.3 El lgebra booleana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xix
0.8.4 Diagramas de Venn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxii0.8.5 Operaciones entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . xxiii0.8.6 Teorema de la probabilidad total . . . . . . . . . . . . . . xxv0.8.7 Teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvi
iii
iv CONTENTS
0.8.8 Distribucion De Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxvii0.8.9 Teorema de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxix0.8.10 La paradoja de Braess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxx
0.8.11 Teorema de limite de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . xxxiii0.8.12 Teorema de Moivre-Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxiv0.8.13 Error 6 Sigma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxv0.8.14 Variable aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxv0.8.15 Alfabeto Griego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxviii
0.9 Ejercicios 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxxviii0.9.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lv
0.10 Ejercicios 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lv0.10.1 Ejercisio de Probabilidades de geometria: . . . . . . . . . lxii
IV Vocabulario: lxvii
0.11 Probabilidad: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxix0.12 Experimentos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxix0.13 Aleatorios:
lxix0.14 Combinatorio: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxx0.15 Interpretacion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxx0.16 Varianza: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxx0.17 Esperanza: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxxi0.18 Variables Cualitativas: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxxi
0.19 Variables cuantitativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxxii0.20 Variables independientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxxii0.21 Variables dependientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxxii0.22 Concepto de Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxxii0.23 Regla de la adicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxxiii0.24 Regla de la multiplicacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . lxxiii
0.1
Part I
CAPITULO 1
v
0.2. INTRODUCCIN vii
0.2 INTRODUCCIN
La probabilidad es una herramienta de ayuda para la toma de decisiones porqueproporciona una forma de medir, expresar y analizar las incertidumbres asoci-adas con eventos futuros de razones entre el nmero de casos favorables y elnmero de casos posibles.Qu es probabilidad? Es una medida numrica de la posibilidad de que
ocurrir un evento en la que sus valores se asignan en una escala de 0 a 1.En la vida cotidiana aparecen muchas situaciones en las que los resultados
observados son diferentes aunque las condiciones iniciales en las que se producela experiencia sean las mismas. Por ejemplo, al lanzar una moneda unas vecesresultar cara y otras cruz.. Estos fenmenos, denominados aleatorios, se venafectados por la incertidumbre.En el lenguaje habitual, frases como "probablemente...", "es poco probable
que...", "hay muchas posibilidades de que..." hacen referencia a esta incertidum-bre.La teora de la probabilidad pretende ser una herramienta para modelizar
y tratar con situaciones de este tipo; Por otra parte, cuando aplicamos las tc-nicas estadsticas a la recogida, anlisis e interpretacin de los datos, la teorade la probabilidad proporciona una base para evaluar la abilidad de las con-clusiones alcanzadas y las inferencias realizadas. Debido al importante papeldesempeado por la probabilidad dentro de la estadstica, es necesario famil-iarizarse con sus elementos bsicos, lo que constituye el objetivo del presentetema.
0.3 Resea Histrica
No es claro el momento donde puede situarse el origen de la teora de las prob-abilidades. El primer tratado que se conoce sobre el tema son los escritos delmatemtico italiano Girolamo Cardano (1501-1576) sobre los juegos de azar,que fueron publicados despus de su muerte bajo el ttulo Liber de Ludo Aleae(Libro sobre los juegos del azar). Sin embargo, los primeros intentos de cuanti-cacin de las posibilidades de ocurrencia de sucesos, en forma cientca, datande mediados del siglo XVII.En 1654, los matemticos franceses Blas Pascal y Pierre Fermat discutieron
epistolarmente la idea de evaluar las posibilidades a favor y en contra de algunosjuegos de azar. As aparece la primera denicin de probabilidad: si un eventopuede suceder de p maneras dentro de un conjunto de s formas igualmenteprobables, entonces la probabilidad del evento es p/s. En la actualidad es fcilver que esta denicin presenta algunas dicultades, una de ellas es que elconcepto de "formas igualmente probables" no puede denirse sin utilizar lanocin de probabilidad misma, y de esa manera se realiza una denicin circular.
viii
Peor que esa, es el hecho de que muchas veces las formas posibles, s, aparecencomo innitas en nmero, por lo que no es posible evaluar el cocientePosteriormente, en 1658, Christiaan Huyghens, un joven holands que tuvo
acceso a las cartas que intercambiaron Pascal y Fermat, profundiz las ideasde ambos sobre la incertidumbre y el azar en una pequea monografa llamadaDe Ratiociniis in ludo aleae. (El razonamiento en los juegos del azar). Estesegundo libro sobre la teora de las probabilidades marc el camino sobre el quese desarrollara esta ciencia.Algunos aos despus el suizo Jaques Bernouilli (1655-1705) public su libro
Ars Conjectandi (El Arte de las Conjeturas) donde aparecen, por primera vez,las frmulas y leyes bsicas de la teora de las probabilidades. En la obra deBernouilli se presenta por primera vez el inconveniente de que no siempre puedecalcularse la probabilidad de un evento contando casos favorables y desfavor-ables. Muchas veces uno cuenta con la informacin de lo que ocurri y debendeducirse las probabilidades correspondientes. Estocambia la denicin misma de probabilidad: ahora pasar a representar
la frecuencia esperable con que ocurra un determinado suceso. J. Bernouillienuncia la ley de los grandes nmeros que seala que la frecuencia con queocurra un evento tiende a la probabilidad cuando el nmero de casos contadostiende a innito. De esta manera muchas probabilidades pueden determinarsea posteriori, es decir deducirlas a partir de la observacin de un gran nmerode casos.El desarrollo posterior de la teora de las probabilidades est asociado con el
nombre del matemtico francs Marqus Pierre-Simon de Laplace (1749-1827),que en 1975 publica su Essai philosophique sur les probabilits (Ensayo Filoscosobre las Probabilidades). En l comenta que el origen del azar en un sistemafsico proviene de la ignorancia que tenemos de todos los factores que inuyenen un fenmeno dado:Todos los acontecimientos, incluso aquellos que por su insignicancia parecen
no atenerse a las grandes leyes de la naturaleza, no son sino una secuencia tannecesaria como las revoluciones del sol. Al ignorar los lazos que los unen alsistema total del universo, se los ha hecho depender de causas nales o del azar,segn que ocurrieran o que sucedieran con regularidad o sin orden aparente, peroestas causas imaginarias han ido siendo descartadas a medida que se han idoampliando las fronteras de nuestro conocimiento, y desaparecen por completoante la sana losofa que no ve en ellas ms que la expresin de nuestra ignoranciade las verdaderas
0.3.1 Variaciones
Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (m n) alos distintos grupos formados por n elementos de forma que:* No entran todos los elementos.* S importa el orden.
0.3. RESEA HISTRICA ix
* No se repiten los elementos.
V kn = m(m 1)(m 2)(m 3):::(m n+ 1)
Tambin podemos calcular las variaciones mediante factoriales:
V kn =n!
(n k)!
0.3.2 Permutaciones
* S entran todos los elementos.* S importa el orden.* No se repiten los elementos.
Pn = n!
0.3.3 Combinaciones
Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (m n) a todas lasagrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que:* No entran todos los elementos.* No importa el orden.* No se repiten los elementos.
Ckn =V knPn
* Tambin podemos calcular las combinaciones mediante factoriales:
Ckn =n!
k!(n k)!
x
Part II
CAPITULO 2
xi
0.4. EL CONCEPTO DE PROBABILIDAD xiii
0.4 El concepto de Probabilidad
Las preguntas ms importantes de la vida son, para la Mayor parte, realmentesolo problemas de probabilidad Pierre Simn Laplace En la naturaleza y enla vida cotidiana se presentan fenmenos cuyo resultado se determina antici-padamente mediante la aplicacin de ciertas leyes o frmulas; por ejemplo, losresultados de mediciones geomtricas, los clculos nancieros o ciertos procesosfsicos.
Tambin existen fenmenos cuyo resultado no puede ser anticipado concerteza, sino que existe una probabilidad de que un cierto resultado se d. Ex-aminemos algunos ejemplos: el nmero de dardos que lanzara un jugador antesde dar en el blanco, los aos que sobrevivir un conyugue a la muerte de supareja o el nmero de autos que pasan por una esquina durante una hora deter-minada. Es evidente que nadie puede dar un resultado certero con anticipacinq que los tres eventos considerados se sucedan, entonces si se da una respuestaexiste una incertidumbre en el resultado.
Para dar una explicacin matemtica a aquellos resultados que aparecen enexperiencias de este tipo de desarrollo la teora de probabilidades.
0.5 Algebra de Eventos
Examinemos un ejemplo: el lanzamiento de un dado una sola vez. Comoresultado de la prueba pueden producirse diferentes sucesos. Sale dos, salecinco, el nmero que aparece es par, etc. Esto nos conduce a denir loseventos.
Denicin 2.1 (de evento) Se llaman eventos a todos los resultados posiblesde un experimento u otra situacin que involucre incertidumbre.
Los eventos se clasican en: elementales, aquellos que constan de un soloresultado; y compuestos, que consisten de ms de un resultado. Por ejemplo,sale doses un evento elemental; mientras que el nmero que aparece es pares un elemento elemental;
mientras que el nmero que aparece es pares un evento compuesto, porqueest conformado de los eventos elementales sale dos, sale cuatro y saleseis.
Observemos que todo evento relacionado son una prueba puede ser descritoen base a eventos elementales.
A los eventos elementales se los notar como $.
Denicin 2.2 (de espacio muestral) la coleccin de todos los eventos elemen-tales, notado por , se denomina espacio muestral.
= $$ es evento elemental
xiv
0.6 Sucesos
0.6.1 Suceso elemental:
Es cada uno de los elementos que forman parte del universo
0.6.2 Suceso seguro:
Est formado por todo lo posibles sucesos es decir es = 1
0.6.3 Suceso imposible:
Es aquel que no tiene ningun elemento es decir es igual al vaco = 0;
0.6.4 Suceso compuesto:
Es cualquier subconjunto del espacio muestral
0.6.5 Suceso compatible:
Dos sucesos A y B son compatibles cuando tienen algn suceso elemental comn.
0.6.6 Suceso incompatible:
Dos sucesos A y B son incompatibles cuando no tienen ningn suceso elementalcomn.
0.7 Denicin de Probabilidad
Cuadro 2.1: Equivalencias entre proposiciones de la teora de probabilidades yde los conjuntos.Entonces un evento no es ms que un subconjunto del espacio muestral .Sealemos que el conjunto de espacio muestral fue introducido por Galileo
para resolver el problema de por qu en el lanzamiento de tres dados 10 y11aparecen ms frecuentemente que 9y 12. Para resolverlo enlisto todoslos casos posibles.Volviendo a nuestro ejemplo, si representamos por un nmero el que sale en
la prueba de arrojar un dado, tenemos:Espacio muestral: = 1; 2; 3; 4; 5; 6A= el nmero que sale es par = 2; 4; 6Como los eventos se han asociado a conjuntos, es natural pensar que sus
operaciones tienen algn signicado como eventos.
0.7. DEFINICIN DE PROBABILIDAD xv
Sean A y B dos eventos de y x el resultado de un experimento, en el Cuadro2.1 se presenta una armacin relativa a los eventos A y B y su equivalencia enla teora de conjuntos.Es claro que estos conceptos se extienden a cualquier sucesin de eventos.2.3 Denicin de ProbabilidadUna probabilidad provee una descripcin cuantitativa de la posibilidad de
ocurrencia de un evento particular y se puede pensar que su frecuencia relativa,en una serie larga de repeticiones de una prueba, en la que uno de los resultadoses el evento de inters.Formalmente, la probabilidad de un evento A se dene como una funcin
que cumple:
xvi
Part III
ANEXOS
xvii
0.8. CONSULTAS xix
0.8 CONSULTAS
0.8.1 EL CONCEPTO DE PROBABILIDAD
Interpretacin de los conjuntos como eventos: a) Ocurre el evento A. b) OcurreA u ocurre B(A B = 0) .f) No ocurre A (ocurre Ac)A1. Para todo eventoA : 0 < Pr(A) < 1:A2.Pr( ) = 1:A3. Si A y B son incompatibles:Pr(AuB) = Pr(A) + Pr(B):De aqu no es difcil demostrar que en generalPr(AuB) = Pr(A) + Pr(B) Pr(AnB)Conocida como frmula de la probabilidad para la unin.Ejemplos.1. Dados los eventos A, B y C del espacio muestral S, expresar mediante
las operaciones entre conjuntos los eventos:a) Tan solo ocurre A.b) Si ocurre A, no ocurre B.c) Por lo menos uno de los dos eventos ocurren.Solucin:a) puede ocurrir A, y simultneamente no ocurre B y no ocurre C; es decir
que el evento esb) si no ocurre B entonces ocurre Bc; es decir que si ocurre A, tambin
ocurre BC, el evento es
0.8.2 DEFINICIN DE PROBABILIDAD
a) Pr(AC) = 1 Pr(A):b) Si A B entoncesPr(A) < Pr(B):Solucin:a) = AUAc (con A y Ac disjuntos), entonces por A3. Pr( ) =
Pr(A)+Pr(Ac)yporA2:P r( ) = 1; con lo que se obtiene: 1 = Pr(A)+Pr(Ac)y el resultado es inmediato.b) Si A C B entoncesB = AU(AcnB) siendo A y (AcnB) incompatibles;
por lo tanto por A3
0.8.3 El lgebra booleana
El lgebra booleana es un sistema matemtico deductivo centrado en los valorescero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " o " denido en ste juegode valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, porejemplo, el operadorbooleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida
booleana.
xx
Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales,de aqu se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades delsistema, el lgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados:
Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un oper-ador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultadobooleano.Conmutativo. Se dice que un operador binario "o" es conmutativo si AoB =
BoA para todos los posibles valores de AyB:Asociativo. Se dice que un operador binario "o" es asociativo si (AoB)oC =
Ao(BoC) para todos los valores booleanos A;B; yC:Distributivo. Dos operadores binarios "o"y"%" son distributivos siAo(B%C) =
(AoB)%(AoC) para todos los valores booleanos A;B; yC:Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con
respecto a un operador binario "o" si AoI = A:Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un
operador booleano "o"si AoI = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valoropuesto de A:Leyes fundamentalesEl resultado de aplicar cualquiera de las tres operaciones denidas a variables
del sistema booleano resulta en otra variable del sistema, y este resultado esnico.1. Ley de idempotencia:a:a = aa+ a = a2. Ley de involucin:a = a3. Ley conmutativa:a:b = b:aa+ b = b+ a4. Ley asociativa:a: (b:c) = (a:b) :ca+ (b+ c) = (a+ b) + c5. Ley distributiva:a: (b+ c) = (a:b) + (a:c)(a+ b) :c = (a:c) + (b:c)a+ (b:c) = (a+ b) : (a+ c)(a:b) + c = (a+ c) : (b+ c)a+ a:b = a+ b6. Ley de cancelacin:(a:b) + a = a(a+ b) :a = a7. Leyes de De Morgan:(a+ b) = a:b(a:b) = a+ b
0.8. CONSULTAS xxi
OPERACIONES Operacin sumaa b a+ b0 0 00 1 11 0 11 1 1La operacin suma (+) asigna a cada par de valores a; b de A un valor c de
A:a+ b = cSu equivalencia en lgica de interruptores es un circuito de dos interruptores
en paralelo.(colocar el graco 01)Si uno de los valores de a o b es 1, el resultado ser 1, es necesario que los
dos sumandos sean 0, para que el resultado sea 0:(colocar el graco 02)
Operacin productoa b a:b0 0 00 1 01 0 01 1 1La operacin producto (:) asigna a cada par de valores a; b de A un valor c
de A:a:b = cEsta operacin en lgica de interruptores es un circuito en serie de dos in-
terruptores(colocar el graco 03)
solo si los dos valores a y b son 1, el resultado ser 1, si uno solo de ellos es0 el resultado ser 0.
(colocar el graco 04)Operacin negacin
a a0 11 0
La operacin negacin presenta el opuesto del valor de a:a = bUn interruptor inverso equivale a esta operacin:
(colocar el graco 05 y 06)Operaciones combinadasa b a+ b0 0 10 1 11 0 01 1 1
xxii
Partiendo de estas tres operaciones elementales se pueden realizar otras mscomplejas, que podemos representar como ecuaciones booleanas, por ejemplo:a+ b = cQue representado en lgica de interruptores es un circuito de dos interrup-
tores en paralelo, siendo el primero de ellos inverso.(colocar el graco 07)
La distinta secuencia de valores de a y b da los resultados vistos en la tablade verdad.(colocar el graco 08)Principio de dualidadEl concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relacin o
ley lgica le corresponder su dual, formada mediante el intercambio de losoperadores unin (suma lgica) con los de interseccin (producto lgico), y delos 1 con los 0.
ADICION PRODUCTO1 a+ a = 1 a:a = 02 a+ 0 = a a:1 = a3 a+ 1 = 1 a:0 = 04 a+ a = a a:a = a5 a+ b = b+ a a:b = b:a6 a+ (b+ c) = (a+ b) + c a:(b:c) = (a:b):c7 a+ (b:c) = (a+ b):(a+ c) a:(b+ c) = (a:b) + (a:c)8 a+ (a:b) = a a:(a+ b) = a
0.8.4 Diagramas de Venn
Un conjunto es la reunin en un todo de objetos bien denidos y diferenciablesentre si, que se llaman elementos del mismo.Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relacin de pertenencia
a A.En caso contrario, si a no es un elemento de A se denota a A.Ejemplos de conjuntos: : el conjunto vaco, que carece de elementos.N: el conjunto de los nmeros naturales.Z: el conjunto de los nmeros enteros.Q : el conjunto de los nmeros racionales.R: el conjunto de los nmeros reales.C: el conjunto de los nmeros complejos.Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos:1) Por extensino enumeracin: los elementos son encerrados entre llaves
y separados por comas. Es decir, el conjunto se describe listando todos suselementos entre llaves.2) Por comprensin: los elementos se determinan a travs de una condicin
que se establece entre llaves. En este caso se emplea el smbolo j que signicatal que". En forma simblica es: que signica que el conjunto
0.8. CONSULTAS xxiii
A es el conjunto de todos los elementos x tales que la condicin P(x) esverdadera, como3) Diagramas de Venn: son regiones cerradas que sirven para visualizar el
contenido de un conjunto o las relaciones entre conjuntos4) Por descripcin verbal: Es un enunciado que describe la caracterstica que
es comn para los elementos.
0.8.5 Operaciones entre conjuntos
Las operaciones entre conjuntos son las disposiciones especcas de combinarconjuntos para formar otros, de semejante estructura. Dichas operaciones sonla unin, la interseccin, la diferencia, la complementacin, el conjunto Productoo conjunto cartesiano, y la diferencia simtrica.
1. UNIN O REUNIN
Unin o reunin de los conjuntos A y B es el conjunto de elementos "x" quepertenecen a "A", a "B" o a ambos, se simboliza por: A(B; y se lee: "A uninB"Por comprensin:
Grcamente, la unin de conjuntos se representa, en un diagrama de Venn-Euler, achurando la zona donde se encuentran los diversos elementos que pertenecena los conjuntos que van a formar la unin o reunin.
2. INTERSECCIN
Interseccin de los conjuntos A y B es el conjunto de elementos "x" que pertenecena "A" y a "B". Est formado por elementos comunes a los conjuntos que formanla interseccin. Se simboliza por A(B y se lee: A interseccin BGrcamente, la respuesta es la zona sombreada que contiene a los elementos
que pertenecen a ambos conjuntos.
3. DIFERENCIA
Diferencia entre los conjuntos "A" y "B", es el conjunto de elementos "x" quepertenecen a "A" pero no a "B", se simboliza por "A( B"
xxiv
0.8. CONSULTAS xxv
Por comprensin:AB = fx=x 2 Ay; x =2 BgEs decir: x 2 fABg () x 2 \x =2 Bg
4. COMPLEMENTACIN
Complemento de un subconjunto cualquiera "B" respecto a "U" (conjunto uni-versal), es el conjunto de elementos de "U" que no pertenecen a "B". Se llamatambin complemento de "B" en "U", o simplemente conjunto diferencia de "U(B". Se lo reconoce por:Ejemplo :Si el conjunto universal est formado por los habitantes de nuestro pas, y
si "A" es el conjunto de habitantes de nuestra ciudad, entonces "A" representaa los habitantes de nuestro pas que no son de nuestra ciudad.
0.8.6 Teorema de la probabilidad total
El Teorema de la probabilidad total nos permite calcular la probabilidad de unsuceso a partir de probabilidades condicionadas:Ejemplo: supongamos que si llueve la probabilidad de que ocurra un acci-
dentes es x% y si hace buen tiempo dicha probabilidad es y%. Este teorema nos
xxvi
permite deducir cul es la probabilidad de que ocurra un accidente si conocemosla probabilidad de quellueva y la probabilidad de que haga buen tiempo.La frmula para calcular esta probabilidad es:Es decir, la probabilidad de que ocurra el suceso B (en nuestro ejemplo, que
ocurra un accidente) es igual a la suma de multiplicar cada una de las probabil-idades condicionadas de este suceso con los diferentes sucesos A (probabilidadde un accidente cuandollueve y cuando hace buen tiempo) por la probabilidad de cada suceso A.Para que este teorema se pueda aplicar hace falta cumplir un requisito:Los sucesos A tienen que formar un sistema completo, es decir, que contem-
plen todas las posibilidades (la suma de sus probabilidades debe ser el 100%).
Ejercicio:En un saquito hay papeletas de tres colores, con las siguientes probabilidades
de ser elegidas:a) Amarilla: probabilidad del 50%.b) Verde: probabilidad del 30%c) Roja: probabilidad del 20%.Segn el color de la papeleta elegida, podrs participar en diferentes sorteos.
As, si la papeleta elegida es:a) Amarilla: participas en un sorteo con una probabilidad de ganar del 40%.b) Verde: participas en otro sorteo con una probabilidad de ganar del 60%c) Roja: participas en un tercer sorteo con una probabilidad de ganar del
80%.Con esta informacin, qu probabilidad tienes de ganar el sorteo en el que
participes?:1.- Las tres papeletas forman un sistema completo: sus probabilidades suman
100%2.- Aplicamos la frmula:P (B) =
P(Ai) P (B=Ai)
Luego,P (B) = (0,50 * 0,40) + (0,30 * 0,60) + (0,20 * 0,80) = 0,54Por tanto, la probabilidad de que ganes el sorteo es del 54%.
0.8.7 Teorema de Bayes
El teorema de Bayes se utiliza para revisar probabilidades previamente calcu-ladas cuando se posee nueva informacin. Desarrollado por el reverendo Thomas
0.8. CONSULTAS xxvii
Bayes en el siglo XVII, el teorema de Bayes es una extensin de lo que ha apren-dido hasta ahoraacerca de la probabilidad condicional.Comnmente se inicia un anlisis de probabilidades con una asignacin ini-
cial, probabilidad a priori. Cuando se tiene alguna informacin adicional seprocede a calcular las probabilidades revisadas o a posteriori. El teorema deBayes permite calcular lasprobabilidades a posteriori y es:
0.8.8 Distribucion De Poisson
Esta distribucin es una de las ms importantes distribuciones de variablediscreta. Sus principales aplicaciones hacen referencia a la modelizacin desituaciones en las que nos interesa determinar el nmero de hechos de ciertotipo que se pueden producir en
un intervalo de tiempo o de espacio, bajo presupuestos de aleatoriedad yciertas circunstancias restrictivas. Otro de sus usos frecuentes es la consid-eracin lmite de procesos dicotmicos reiterados un gran nmero de veces si laprobabilidad de obtener un xitoes muy pequea .Proceso experimental del que se puede hacer derivarEsta distribucin se puede hacer derivar de un proceso experimental de ob-
servacin en el que tengamos las siguientes caractersticas
xxviii
Se observa la realizacin de hechos de cierto tipo durante un cierto periodode tiempo o a lo largo de un espacio de observacin
Los hechos a observar tienen naturaleza aleatoria ; pueden producirse o node una manera no determinstica.
La probabilidad de que se produzcan un nmero x de xitos en un intervalode amplitud t no depende del origen del intervalo (Aunque, s de su amplitud)
La probabilidad de que ocurra un hecho en un intervalo innitsimo esprcticamente proporcional a la amplitud del intervalo.
La probabilidad de que se produzcan 2 o ms hechos en un intervalo in-nitsimo es un innitsimo de orden superior a dos.
En consecuencia, en un intervalo innitsimo podrn producirse O 1 hechopero nunca ms de uno
Si en estas circunstancias aleatorizamos de forma que la variable aleatoriaX signique o designe el "nmero de hechos que se producen en un intervalode tiempo o de espacio", la variable X se distribuye con una distribucin deparmetro . As : x =) P (A)El parmetro de la distribucin es, en principio, el factor de proporcionali-
dad para la probabilidad de un hecho en un intervalo innitsimo. Se le sueledesignar como parmetro de intensidad , aunque ms tarde veremos que secorresponde con el nmero medio
de hechos que cabe esperar que se produzcan en un intervalo unitario (mediade la distribucin); y que tambin coincide con la varianza de la distribucin.
Por otro lado es evidente que se trata de un modelo discreto y que el campode variacin de la variable ser el conjunto de los nmero naturales, incluido elcero: x 2 f0; 1; 2; 3; :::gLa funcin de masa de la distribucin de Poisson es
donde
k es el nmero de ocurrencias del evento o fenmeno (la funcin nos da laprobabilidad de que el evento suceda precisamente k veces).
es un parmetro positivo que representa el nmero de veces que se esperaque ocurra el fenmeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el sucesoestudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados enla probabilidad de que ocurra
k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de dis-tribucin de Poisson con = 10 4 = 40.e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...)
0.8. CONSULTAS xxix
0.8.9 Teorema de Chebyshev
Proporciona la estimacin de la probabilidad de que una variable aleatoriaasuma un valor dentro de k desviaciones estndar de su media para cualquiervalor k.La probabilidad de qe una variable aleatoria que cuyo valor se distribuye
normalmente, asuma un valor dentro de k desviaciones estndar de la media esal menos de: Esto es:
Para cualquier variable aleatoria X con media y desviacin estndar , laprobabilidad de que X tome un valor contenido en k desviaciones estndar dela media, siendo k una constante positiva cualquiera, es cuando menos
1 1k2p( k < X < + k) 1 1k2
Simblicamente, el teorema se expresa de cualquiera de las siguientes man-eras:La desigualdad de Chbyshev es muy importante, ya que permite determinar
los lmites de las probabilidades de variables aleatorias discretas o continuas sintener que especicar sus funciones de probabilidad. Este teorema asegura quela probabilidad de queuna variable aleatoria se aleje de la media no ms de k desviaciones estndar,
es menor o igual a 1/k2 para algn valor de k >1. Aunque la garanta no siemprees muy precisa, la ventaja sobre este teorema es su gran generalidad por cuantoes aplicable acualquier variable aleatoria con cualquier distribucin de probabilidad, ya
sea discreta o continua.Para un conjunto cualquiera de observaciones (muestra o poblacin), la pro-
porcin mnima de los valores que se encuentran dentro de k desviaciones es-tndares desde la media es al menos 1 - 1/k2, donde k es una constante mayorque 1.o Regla emprica: Para una distribucin de frecuencias simtrica de cam-
pana, aproximadamente 68% de las observaciones estar a ms y menos unadesviacin estndar desde la media, aproximadamente 95% de tales observa-ciones se encontrar a ms ymenos dos desviaciones estndares de la misma; y prcticamente todas las
observaciones (99,7%)se hallarn a ms y menos tres desviaciones con respectoa la media.Curva simtrica de campana que muestra las relaciones entre la desviacin
estndar y la media-3s -2s -1s X 1s 2s 3s70 80 90 100 110 120 13068%95%99,7%
xxx
Si una distribucin es simtrica con forma de campana, prcticamente todaslas observaciones se encuentran entre la media ms o menos tres desviacionesestndares.
0.8.10 La paradoja de Braess
La paradoja de Braess dicta que al agregar mayor capacidad a una red, cuandolas entidades por ella escogen la ruta de forma egosta, puede en algunos casosreducir el desempeo de toda la red. La paradoja fue presentada en 1968 por elmatemtico alemn Dietrich Braess. El trabajo original de Braess mostraba unasituacin paradjica, en la que la construccin de una va adicional (inversin decapital), llevaba a que, con la misma demanda de trco, los tiempos de viajepara todos los usuarios de la red aumentaran.Braess demostr con un ejemplo simple, cmo al agregar ms vas en una
red de trco, se puede llegar a empeorar el desempeo de todos los usuarios.La red clasica para mostrar esta paradoja se presenta en la gura 1. Los rcosrojos representan autopistas de gran capacidad, mientras que los arcos amarillosrepresentan vas de baja capacidad. Al aadir una va entre los puntos X y Y,los tiempos de todos los usuarios empeoran sustancialmente (gura 2). Estoconstituye una paradoja en la medida en que se espera que al realizar unainversin en vas, los tiempos de los usuarios disminuyan, no que aumenten.Aunque este es un caso terico, se han podido encontrar algunos ejemplos de lavida real, no solo en redes de transporte, sino tambin en otro tiempo de redes.Ejemplo:Supongamos que entre Pelotillehue y Buenas Peras un conductor puede elegir
entre dos rutas. La primera consta de dos tramos: uno largo pero expedito entrePelotillehue y la localidad de Cumpeo, que el conductor toma invariablementeunos 60 minutos en
0.8. CONSULTAS xxxi
recorrer, y otro corto pero congestionado entre Cumpeo y Buenas Peras,donde el tiempo de traslado es directamente proporcional al nmero de au-tomviles que utilizan la va; as, si hay 100 coches circulando, el viaje tarda 10minutos, pero si la cantidad decoches aumenta a 300, el tiempo de traslado sube a media hora.La segunda opcin parte con un tramo corto pero congestionado entre Pelotille-
hue y Peor es Nada, donde al igual que en el caso anterior el tiempo de viajedepende directamente del nmero de vehculos en la ruta. Una vez llegado aPeor es Nada, el conductorpuede tomar un camino largo pero sin atascos donde el tiempo de viaje es
igual a 60 minutos.Como ambas rutas ofrecen condiciones ms o menos similares, la mitad de
los conductores tiende naturalmente a preferir una, y la otra mitad la otra. As,si tenemos a 400 conductores, 200 seguirn el camino Pelotillehue Cumpeo Buenas Peras, el cual lestomar 80 minutos de viaje (60 + 20 minutos), mientras los otros 200 optarn
por la ruta Pelotillehue Peor es Nada Buenas Peras, que les signicar losmismos 80 minutos de viaje aunque distribuidos de manera opuesta, tal comolo indica el grco queintenta explicar esta situacin al lector.
Ahora supongamos que las autoridades encargadas del transporte en Pelotille-hue y Buenas Peras quieren disminuir el tiempo de traslado entre ambos puntos,y que para ello se hacen asesorar por la solcita gente de la Secretara de Trans-porte del DistritoFederal, expertos en eso de acortar los tiempos de traslado al interior de la
ciudad. Ellos, en un ataque de ingenio y perspicacia, ven una solucin que a
xxxii
primera vista tiene una lgica impecable: la construccin (sin licitacin previa,por supuesto) de una spercarretera urbana de alta velocidad con muchas pistas por lado y harto
hormign armado que conecte los puntos intermedios de Cumpeo y Peor esNada en tan slo 10 minutos, tal como lo indica el grco 2. La propuesta seve tremendamente atractiva para losautomovilistas, que vislumbran que su aburrido viaje de 80 minutos ahora
se ver reducido a slo 50, un ahorro de media hora que ante sus ojos bien valela construccin de una mole de concreto en medio de la ciudad.Sin embargo, la historia dice que las cosas resultaron completamente dis-
tintas a como estaba planicado, y que poco despus de inaugurada la nuevasuperva los conductores se dieron cuenta que los tiempos de viaje no slo nodisminuyeron, sino que muy por elcontrario aumentaron, algo que los idelogos de la iniciativa jams pensaron
que pudiera ocurrir. Cmo se explica esto? La respuesta es ms sencilla de loque uno supondra, y est relacionada con el carcter esencialmente individual-ista de las decisiones quegeneralmente toma un conductor cuando se encuentra detrs del volante.
Cmo es esto? Recapitulemos: con la construccin de la nueva autopista elconductor se encontr con dos opciones para ir de Pelotillehue a Cumpeo. Laprimera, la va ya existente,signicaba un tiempo jo de traslado de 60 minutos, mientras que la segunda,
en el peor escenario posible, es decir, con la totalidad de los 400 automvilescirculando all, tomaba 50 minutos (40 minutos entre Pelotillehue y Peor esNada ms 10 minutos en laSuperva). Ni tontos, los automovilistas escogieron esta segunda opcin, sin
precaver que el tramo Peor es Nada Buenas Peras tambin experimentarauna recarga de trabajo, traducida en 40 minutos de traslado en lugar de losanteriores 20. En suma, lallegada de la nueva autopista de conexin signic que el tiempo de traslado
aumentara de 80 a 90 minutos. Mejor no les fue a los que se mantuvieron lealesal viejo recorrido, pues si bien es cierto mantuvieron los 60 minutos que tomael transitar entre Pelotillehuey Cumpeo, vieron incrementar en casi 20 minutos su tiempo de desplaza-
miento entre Cumpeo y Buenas Peras dada la mayor congestin en este tramo(en el entendido que 399 automviles eligen la nueva ruta va autopista y unsolo conductor solitario se mantieneen la ruta antigua).
Este fenmeno, conocido como la paradoja de Braess, debe su nombre almatemtico alemn Dietrich Braess, quien lo enunci por primera vez en 1968.La paradoja seala que el incremento de la capacidad de una red vial puede enalgunos casos reducir laeciencia del sistema, puesto que induce elecciones de conductores cuyas
decisiones son tomadas teniendo en cuenta exclusivamente el benecio individual
0.8. CONSULTAS xxxiii
y no el colectivo. En otras palabras, la suma de estrategias ptimas individualesno mejora en absoluto elcomportamiento del total del sistema (s, nos estamos metiendo en los in-
teresantes terrenos del equilibrio del Nash que no es basquetbolista, y en elcual no pretendo introducirme, que ese pedregoso camino preero dejrselo amatemticos y economistas). Paraoptimizar los tiempos de traslado de todos los vehculos sera necesario que
los conductores actuaran de manera cooperativa, lo que signicara que en laprctica todos debieran sacricar algo, como tomar rutas que a primera vistase ven ms lentas, para que elsistema funcionara ms ecientemente.Suena esto a pura teora de escritorio y pizarrn? Pues no lo es tanto, que
ejemplos sobran para demostrar la validez de los enunciados de Braess. Uno delos mejores se encuentra en Sel, donde la frmula de menos vas igual a trcoms expedito demostrser plenamente vlida.
0.8.11 Teorema de limite de Laplace
La Transformada de Laplace es una tcnica Matemtica que forma parte deciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transfor-mada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadasestn denidas por medio de una integral impropia y cambian una funcin enuna variable de entrada en otra funcin en otra variable. La transformada deLaplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecua-ciones Integrales. Aunque se pueden resolver algn tipo de ED con coecientes
xxxiv
variables, en general se aplica a problemas con coecientes constantes. Un req-uisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED.Su mayor ventaja sale a relucir cuando la funcin en la variable independienteque aparece en la ED es una funcin seccionada.Denicin de la TransformadaSea f una funcin denida para ,t 0, la transformada de Laplace de f(t)
se dene comocuando tal integral convergeNotas1.La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integracion
se considera constante2.La transformada de Laplace convierte una funcion en t en una funcion en
la variable s3.Condiciones para la existencia de la transformada de una funcin:
1.De orden exponencial2.Continua a trozos
0.8.12 Teorema de Moivre-Laplace
En probabilidad el teorema de Moivre-Laplace es una aproximacin normal ala distribucin binomial. Se trata de un caso particular del Teorema central dellmite. Establece que la distribucin binomial del nmero de xitos en n pruebasindependientes de Bernoullicon probabilidad de xito p en cada intento es, aproximadamente, una dis-
tribucin normal de media np y desviacin tpica , (cabe aclarar que q = 1-p),si n es sucientemente grande y se satisfacen determinadas condiciones.El teorema apareci por primera vez en la segunda edicin de The Doctrine of
Chances, de Abraham de Moivre, publicado en 1738. Los "ensayos de Bernoulli"no se llamaron as en ese libro, pero De Moivre escribi lo suciente sobre ladistribucin deprobabilidad de el nmero de veces que apareca "cara" cuando se lanzaba
una moneda 1800 veces.[cita requerida]El teorema
Si n!1, entonces para k en el entorno pnpq-de np, se puede aproximarnk
pkqnk
0.8. CONSULTAS xxxv
0.8.13 Error 6 Sigma
SIX SIGMA es una metodologa de mejora de procesos, centrada en la reduccinde la variabilidad de los mismos, consiguiendo reducir o eliminar los defectos ofallas en la entrega de un producto o servicio al cliente. La meta de 6 Sigma esllegar a un mximo de3,4 defectos por milln de eventos u oportunidades (DPMO), entendindose
como defecto cualquier evento en que un producto o servicio no logra cumplirlos requisitos del cliente.1Seis sigma utiliza herramientas estadsticas para la caracterizacin y el es-
tudio de los procesos, de ah el nombre de la herramienta, ya que sigma es ladesviacin tpica que da una idea de la variabilidad en un proceso y el objetivode la metodologa seis sigma esreducir sta de modo que el proceso se encuentre siempre dentro de los lmites
establecidos por los requisitos del cliente.Obtener 3,4 defectos en un milln de oportunidades es una meta bastante
ambiciosa pero lograble. Se puede clasicar la eciencia de un proceso con baseen su nivel de sigma: 1 sigma= 690.000 DPMO = 31% de eciencia 2 sigma= 308.538 DPMO = 69% de eciencia 3 sigma= 66.807 DPMO = 93,3% de eciencia 4 sigma= 6.210 DPMO = 99,38% de eciencia 5 sigma= 233 DPMO = 99,977% de eciencia 6 sigma= 3,4 DPMO = 99,99966% de ecienciaPorcentajes obtenidos asumiendo una desviacin del valor nominal de 1,5
sigma.Por ejemplo, si tengo un proceso para fabricar ejes que deben tener un
dimetro de 15 +/-1 mm para que sean buenos para mi cliente, si mi procesotiene una eciencia de 3 sigma, de cada milln de ejes que fabrique, 66.800tendrn un dimetro inferior a 14 osuperior a 16mm, mientras que si mi proceso tiene una eciencia de 6 sigma,
por cada milln de ejes que fabrique, tan solo 3,4 tendrn un dimetro inferiora 14 o superior a 16mm.Dentro de los benecios que se obtienen del Seis Sigma estn: mejora de la
rentabilidad y la productividad. Una diferencia importante con relacin a otrasmetodologas es la orientacin al cliente
0.8.14 Variable aleatoria
En probabilidad y estadstica, una variable aleatoria o variable estocstica esuna variable estadstica cuyos valores se obtienen de mediciones en algn tipode experimento aleatorio. Formalmente, una variable aleatoria es una funcin,que asigna eventos (p.e., losposibles resultados de tirar un dado dos veces: (1, 1), (1, 2), etc.) a nmeros
reales (p.e., su suma).
xxxvi
Los valores posibles de una variable aleatoria pueden representar los posiblesresultados de un experimento an no realizado, o los posibles valores de unacantidad cuyo valor actualmente existente es incierto (p.e., como resultado demedicin incompleta oimprecisa). Intuitivamente, una variable aleatoria puede tomarse como una
cantidad cuyo valor no es jo pero puede tomar diferentes valores; una distribu-cin de probabilidad se usa para describir la probabilidad de que se den losdiferentes valores.Las variables aleatorias suelen tomar valores reales, pero se pueden consid-
erar valores aleatorios como valores lgicos, funciones... El trmino elementoaleatorio se utiliza para englobar todo ese tipo de conceptos relacionados. Unconcepto relacionado es el deproceso estocstico, un conjunto de variables aleatorias ordenadas (habitual-
mente por orden o tiempo).
Denicin formalUna variable aleatoria (v.a.) X es una funcin real denida en el espacio
muestral, , asociado a un experimento aleatorio.X : ! RLa denicin formal anterior involucra conceptos matemticos sosticados
procedentes de la teora de la medida, concretamente la nocin de espacio deprobabilidad.Dado un espacio de probabilidad (; A; P ) y un espacio medible (S;
P) una
aplicacin X : ! S es una variable aleatoria si es una aplicacin A;P-medible.En la mayora de los casos se toma como espacio medible de llegada el
formado por los nmeros reales junto con la -lgebra de Borel (el generadopor la topologa usual de R), quedando pues la denicin de esta manera:Dado un espacio de probabilidad (; A; P ) una variable aleatoria real es
cualquier funcin A=B(R) medible donde B(R) es la lgebra boreliana
Rango de una variable aleatoriaSe llama rango de una variable aleatoria X y lo denotaremos RX , a la imagen
o rango de la funcin X es decir, al conjunto de los valores reales que sta puedetomar, segn la aplicacin X. Dicho de otro modo, el rango de una v.a. es elrecorrido de la funcin por laque sta queda denida:Ejemplo:Supongamos que se lanzan dos monedas al aire. El espacio muestral, esto
es, el conjunto de resultados elementales posibles asociado al experimento, es
0.8. CONSULTAS xxxvii
= fCC;CS; SC; SSg
donde (c representa "sale cara" y x, "sale cruz").
Podemos asignar entonces a cada suceso elemental del experimento el nmerode caras obtenidas. De este modo se denira la variable aleatoria X como lafuncin
X : ! R
dada por
CC ! 2
CS; SC ! 1
SS ! 0
El recorrido o rango de esta funcin, RX , es el conjunto
RX = f0; 1; 2g
0.8.15 Alfabeto Griego
xxxviii
0.9 Ejercicios 2.5
1: Sea un espacion muestral y A;B y C eventos cualesquiera, exprese lassiguientes armaciones como uniones e intersecciones de A;B y C y de suscomplementos.
a) Ninguno de los eventos A;B, C ocurre.
0.9. EJERCICIOS 2.5 xxxix
x 2 AC \BC \ CCb) Por lo menos uno de los eventos A;B, C ocurre
x 2 A [B [ Cc) No ocurre ms que un evento.
x 2 (A \B \ C)Cd) Ocurre exactamente dos eventos.
x 2 (A \B \ CC) [ (AC \B \ C) [ (A \ C \BC)e) Ocurren no ms de dos eventos.
x 2 (A \B \ CC)
2: Con el empleo de la denicin de probabilidad, demuestre:
a) Pr() = 0
Se sabe que:Pr() = 1; y que Pr (A [B) = Pr (A) + Pr (B) ; entonces:Pr() = Pr( [ )Pr() = Pr () + Pr ()1 = Pr () + 1Pr () = 1 1Pr () = 0
b) Pr (A [B) = Pr (A) + Pr (B) Pr (A \B)
sea:A = (AB) [ (A \B)Pr(A) = Pr (AB) + Pr (A \B)despejando:Pr (AB) = Pr(A) Pr (A \B) ()entonces,A [B = (AB) [BPr(A [B) = Pr (AB) + Pr(B)reemplazamos ()Pr (A [B) = Pr (A) + Pr (B) Pr (A \B)
3: Se arrojan dos dados, sean A el evento "la suma de las caras es impar", y Bel evento "sale por lo menos un tres". Describa los eventos A\B;A[B;A\BC :Encuentre sus probabilidades si se supone que los 36 eventos elemntales tienenigual probabilidad.
Solucin:
= f(i; j) =i; j = 1; 2; ::::; 6g ; Card() = 36
Para el evento A :
xl
A1 = f(i; j) =i = 2; 4; 6 ; j = 1; 3; 5g A2 = f(i; j) =i = 1; 3; 5 ; j = 2; 4; 6g
A = A1 +A2Card(A) = Card(A1) + Card(A2)Card(A) = 9 + 9Card(A) = 18
donde:
Pr(A) =Card(A)
Card()=18
36=1
2
Para el evento B :
B1 = f(i; j) =i = 3 ; j = 1; :::; 6g B2 = f(i; j) =i = 1; :::; 6 ; j = 3g
B = B1 +B2Card(B) = Card(B1) + Card(B2)Card(B) = 6 + 6Card(B) = 12
donde:
Pr(B) =Card(B)
Card()=12
36=1
3
Entonces,
A \B :A \B = f(i; j) =i1; i2 = 3 ; j1; j2 = 2; 4; 6gPr (A \B) = 6
36=1
6
A [B :Pr(A [B) = Pr(A) + Pr(B) Pr(A \B)Pr(A [B) = 1
2+1
3 16
Pr(A [B) = 23
A \BC :PrA \BC! probabilidad de que ocurra el evento A y no ocurra el evento
BA \BC = f(i; j) =i1 = 2; 4; 6 ; j1 = 1; 5 ; i2 = 1; 5 ; j2 = 2; 4; 6gCard
A \BC = 12
Pr(A \BC) = 1236=1
3
0.9. EJERCICIOS 2.5 xli
4: Un gerente de compras desea hacer pedidos a proveedores diferentes, alos que nombra como A;B y C: Todos los porveedores son iguales en loq eurespecta a la calidad por lo que escribe cada letra en un papel, mezcla lospapeles y selecciona a ciegas a uno de ellos. Se har el pedido al vendendo quesalga seleccionado. Calcule las probabilidades de los eventos:
a) Se seleccion al proveedor B:
Pr(B) =1
3= 0:333
b) Se selecciona al proveedor A o C:Pr(A [ C) = 0:33 + 0:33 = 0:66
c) El proveedor A no se selecciona.Pr(b [ C) = 0:33 + 0:33 = 0:66
5: Entre los voluntarios que acuden al banco de sangre a realizar donaciones eobserva que uno de cada tres tiene sangre O+, uno de cada quince tiene O-, unode cada tres tiene A+, y uno de cada diecisis tiene A-. Cul es la probabilidadde que la primerapersona que llegue un da done sangre: a) tiop O+, b) tipo O, c) tipo A. d)
ya sea O- o A-
a) Pr(A) = 0:33
b) Pr(A [B) = 0:33 + 115= 0:396 67
c) Pr(C [D) = 0:33 + 116= 0:392 5
b) Pr(B [D) = 115+1
16=31
240
6: Una empresa tiene dos tiendas distribuidoras, una en el norte y otra enel sur de la cuidad. De los potenciales clientes, se sabe que el 30% solo compraen la tienda norte, el 50% solo compra en la tienda del sur, el 10% compraindistintamente en las dos y el 10%de los consumidores no compra en ninguna de las dos. Sean los eventos A :
"el cliente compra en la tienda norte" y B : "el cliente compra en la tienda sur".Calcule las probabilidades (e interptelas):
a) Pr(A)La probabilidad de que pase el evento A, es decir que los clientes compren
en en la tienda Norte es:Pr(A) = 0:3 + 0:10Pr(A) = 0:40
b) Pr(A [B)
xlii
La probabilidad de que pase el evento A[B; es decir que los clientes comprenen cualquiera de las dos tiendas es:Pr(A [B) = Pr(A) + Pr(B) Pr(A \B)Pr(A [B) = 0:40 + 0:60 0:10Pr(A [B) = 0:90
c) Pr(BC)La probabilidad de que pase el evento BC ; es decir que ningn cliente compre
en la tienda Sur es:Pr(BC) = 0:30 + 0:10Pr(BC) = 0:40
d) Pr(A \B)La probabilidad de que pase el evento A\B; es decir que los clientes compren
en las dos tiendas:Pr(A \B) = 0:10
f) Pr(AC \BC)La probabilidad de que pase el evento AC \BC , es decir que los clientes no
compren en ninguna tienda es:Pr(AC \BC) = Pr(A [B)CPr(AC \BC) = 0:10
e) Pr (ArB)La probabilidad de que pase el evento A r B, es decir que los clientes slo
compren en la tienda Norte es:Pr (ArB) = Pr(A) Pr(A \B)Pr (ArB) = 0:40 0:10Pr (ArB) = 0:30
g) Prh(A \B)C
i
0.9. EJERCICIOS 2.5 xliii
La probabilidad de que pase el evento (A \B)C ; es decir que los clientescompren solamente en una de las tiendas ya sea Norte o Sur, como pueden nocomprar en inguna tienda.
Prh(A \B)C
i= Pr(AC [BC)
Prh(A \B)C
i= Pr(AC) + Pr(BC) Pr(AC \BC)
Prh(A \B)C
i= Pr(AC) + Pr(BC) Pr(A [B)C
Prh(A \B)C
i= 0:60 + 0:40 0:10
Prh(A \B)C
i= 0:90
7: Se envan 3 ocios a 3 personas diferentes. Sin embargo una secretariadistrada revuelve los ocios y se puede considerar que los mand al azar. Siuna coincidencia es el hecho de que una persona reciba el ocio correcto, calculela probabilidad de que haya:
8: Calcule los siguientes coecientes binomiales CKN :
Si CKN =n!
k!(n k)!
a) C24 =4!
2!(4 2)! =4!
2! 2! = 6
b) C03 =3!
0!(3 0)! =3!
0! 3! = 1
c) C13 =3!
1!(3 1)! =3!
1! 2! = 3
d) C23 =3!
2!(3 2)! =3!
2! 1! = 3
e) Ci5; i = 1; :::::; 5
i = 1; C15 =5!
1!(5 1)! =5!
1! 4! = 5
i = 2; C25 =5!
2!(5 2)! =5!
2! 3! = 10
i = 3; C35 =5!
3!(5 3)! =5!
3! 2! = 10
i = 4; C45 =5!
4!(5 4)! =5!
4! 2! = 5
i = 5; C55 =5!
5!(5 5)! =5!
5! 0! = 1
xliv
Ci5 = 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 31
9: Calcule AKN en los siguientes casos:
Si AKN =n!
(n k)! ;
a) A24 =4!
(4 2)! =4!
2!= 12
b) A03 =3!
(3 0)! =3!
3!= 1
c) A23 =3!
(3 2)! =3!
1!= 6
d) A26 =6!
(6 2)! =6!
4!= 30
e) Ai5; i = 1; :::::; 5
i = 1; A15 =5!
(5 1)! =5!
4!= 5
i = 2; A25 =5!
(5 2)! =5!
3!= 20
i = 3; A35 =5!
(5 3)! =5!
2!= 60
i = 4; A45 =5!
(5 4)! =5!
1!= 120
i = 5; A55 =5!
(5 5)! =5!
0!= 120
10: Determine el numero de permutaciones en un conjunto de n elemntospara:
a) n = 33! = 3 2 1 = 6
b) n = 44! = 4 3 2 1 = 24
c) n = 55! = 5 4 3 2 1 = 120
d) n = 66! = 6 5 4 3 2 1 = 720
0.9. EJERCICIOS 2.5 xlv
11: Determine el nmero de parejas formadas por los elementos de los con-juntos A y B si:
a) Card(A) = 4; Card(B) = 3Parejas = 4 3 = 12
b) Card(A) = 5; Card(B) = 4Parejas = 5 4 = 20
c) Card(A) = 8; Card(B) = 5Parejas = 8 5 = 40
d) Card(A) = 13; Card(B) = 5Parejas = 13 5 = 65
12: Cuntos arreglos se pueden formar con los elemnetos de los conjuntoscuya cardinalidad se indica:
a) Card(A) = 4; Card(B) = 2; Card(C) = 5Arreglo = 4 2 5 = 40
b) Card(A) = 5; Card(B) = 7; Card(C) = 4; Card(D) = 5Arreglo = 5 7 4 5 = 700
13: Cantas parejas se con reposicin pueden formarse con conjuntos cuyacardinalidad es:
P kn = nk
a) n = 332 = 9
b) n = 552 = 25
c) n = 772 = 49
14: Forme todas las combinaciones y variaciones que se pueden obtener apartir de los conjuntos:
a) A = fa; e; i; o; ug en grupos de tres elemntos
Combinaciones Variaciones
Ckn =n!
k!(n k)! Akn =
n!
(n k)!
xlvi
C35 =5!
3!(5 3)! =5!
3!(2)!= 10 A35 =
5!
(5 3)! =5!
2!=
60
b) A = f1; 2; 3; 4; 5; 6g en grupos de tres elemntos
Combinaciones Variaciones
Ckn =n!
k!(n k)! Akn =
n!
(n k)!C36 =
6!
3!(6 3)! =6!
3!(3)!= 20 A36 =
6!
(6 3)! =6!
3!=
120
15: Para los conjuntos indicados fomre todas las parejas sin reposicin y conreposicin:
a) A = fa; e; i; o; ug
Con reposicin Sin reposicin
P kn = nk Ckn =
n!
k!(n k)!P 25 = 5
2 = 25 C25 =5!
3!(5 2)! =5!
2!(3)!= 10
b) A = f1; 2; 3; 4; 5; 6g en grupos de tres elemntos
Con reposicin Sin reposicin
P kn = nk Ckn =
n!
k!(n k)!P 26 = 6
2 = 36 C26 =6!
2!(6 2)! =6!
2!(4)!= 15
16: Al almacenar un nmero telefnico una persona olvid las tres ltimascifras, recordando que stas son diferentes, las marc al azar. Halle la probabil-idad de que se haya marcado las crifras correctas
C310 =10!
3!(10 3)! =10!
3!(7)!= 120
Card() = 103 = 1000
0.9. EJERCICIOS 2.5 xlvii
Pr(A) =120
1000=3
25
17: Un comit de direccin de una empresa que consta de 6 gerentes y 4subgerentes debe elegir un presidente y un vicepresidetne. De cantas manerasse pueden elegir este par de funcionarios si el presidente debe ser un gerente
18: A un automovilista le levantaron doce infracciones por estacionarse ile-galmente. Observa que las infracciones fueron hechas en lunes o jueves.
a) Encontrar la probabilidad de este evento:
Pr(L [ J) = Pr(A) + Pr(J) Pr(L \ J)Pr(L [ J) = 1
12+1
12 ( 1
12 112)
Pr(L [ J) = 16 1144
=23
144
b) De las 12 infracciones ninguna se le impuso en domingo, es por stoevidente que la polica no levanta infracciones en domingo?
No, debido a que el automovilista pudo no circular ese dia.
19: Un dispositivo consta de 3 elementos A;B; y C. La probabilidad de queA falle es el dolbe de la de B, y la probabilidad de que C est funcionando es eldoble que la de A: Determinar la probabilidad de que cada uno de los elementosest funcionando.
20: De entre 9 empleados se deben seleccionar a 3 para viajar a 3 plantasA;B; y C fuera de la cuidad. Cada empleado ir a una planta. De cuntosmodos diferentes se puede hacer la seleccin de los empleados que viajarn?.
C39 =n!
k!(n k)!C39 =
9!
3!(9 3)! =9!
3!(6)!= 84
20.- De entre 9 empleados se debe seleccionar a 3 para viajar a 3 plantas A,B y C fuera de la ciudad. Cada empleado ira a una planta. De cuantos modosse puede hacer la seleccion de los empleados que viajarn?
Solucin:
Akn =n!
(nk)! = A39 =
9!6! = 504
21.- En el ejercicio anterior considerese que los 3 empleados van a ir a lamisma planta. De cuantas maneras se puede hacer la seleccion?
xlviii
Solucin:
Ckn =n!
k!(nk)! = C39 =
9!3!6! = 84
22.- Si en el ejercicio anterior, de los 9 empleados, 7 son hombres. Cul esla probabilidad de seleccionar exactamente una mujer entre los tres escogidos?
Solucin:Se ha visto que
93
= 84 maneras de seleccionar a 3 empleados de los 9.
Igualmente hay21
modos de seleccionar 1 mujer entre las 2 que se tiene, y
72
= 21 maneras de seleccionar 2 hombres de entre los 7 que hay.Si se hacen al azar las selecciones(es decir, se pueden seleccionar con igual
probabilidad todos los subconjuntos de los 3 empleados), entonces la probabili-dad de seleccionar exactamente 1 mujer es:
P (seleccionar exactamente 1 mujer) =(21)(
72)
(93)= 2(21)84 =
4284 = 0:5
23.- La fabrica ensambladora ha determinado que la demanda del autoSuzuki Forza es igual para cada uno de los colores azul, blanco, verde y rojo. Sehacen tres pedidos sucesivos de autos de ese modelo. Determine la probabilidadde que:
Solucin:Card() = 4P (A) = P (B) = P (C) = P (V ) = 1=4
a) Se pidan uno azul, uno blanco y uno rojoP = 3!(P (A):P (B):P (R))
P = 6( 14 )3
P = 332
a) Se pidan dos azulesP = ( 14 )(
34 )(
34 )
P = 96424.- Luego de las pruebas para ocupar un puesto a los 6 aspirantes se les
clasica de acuerdo al puntaje obtenido. Los resultados no llegan al empleadorpor lo que l contrata a dos aspirantes al azar. Cul es la probabilidad de quehaya contratado a los dos aspirantes mejor calicados?
Solucin:P (A \B) = P (A) P (B)P (A \B) = ( 16 )( 13 )
0.9. EJERCICIOS 2.5 xlix
P (A \B) = 11825. Siete personas han solicitado empleo para llenar dos vacantes. de
cuntos modos se puede llenar las vacantes si:
Solucin:
a) la primera persona seleccionada recibe mayor salario que la segunda?N() = 7N(A) = 2Importa el orden de seleccin para la vacante.V 27 = (
7!(72)! )
V 27 = 42
b) No hay diferencia entre las vacantes?
No importa el ordenNo entra todos los elementosNo se repite los elementosC27 =
n!k!(nk)! =
7!2!(5)! = 21
26.- Un paquete de 6 focos tiene 2 piezas defectuosas. Si se escogen 3 focospara su uso, calcule la probabilidad de que ninguno tenga defectos.Solucin:P (defectuoso) = 13P (escoger:foco) = 12
P (A \B) = P (A) P (B)P (A \B) = ( 13 )( 12 )P (A \B) = 1627.- En un restaurante de comida rpida se indica al cliente que su hambur-
guesa, a ms del pan y la carne, puede ir con todo lo siguiente o sin ello: salsade tomate, mostaza, mayonesa lechuga, cebolla, tomate o queso. Cuntos tiposde hamburguesas son posibles?
Solucin:2n = 27 = 128 hamburguesas
28.- La produccin de una mquina consta de 4 fases. Hay 6 lneas demontaje para la primera fase, 3 para la segunda, 5 para la tercera, y 5 para laltima. Determine de cuntas formas distintas se puede montar la mquina eneste proceso de produccin.
Solucin:
lSe trata de un Arreglo mltiple que consiste en realizar la primera fase,seguido de la segunda fase, tercera y cuarta fase con sus respectivas lneas demontajeformas de montar la mquina= 6 3 5 5 = 450 formas diferentes
29. En un plano hay 15 puntos de los cuales no hay tres que sean colineales.Cuntas rectas determinan?.
Solucin:
Como cada par de ellos determinan una recta, el nmero de ellas que puedendeterminarse por estos 15 puntos es una combinacin donde : n = 15 y k = 2:Ckn =
n!k!(nk)! = C
215 =
15!2!13! = 105 rectas
30.- Cuntos tringulos determinan los vrtices de un polgono regular de9 lados?.
Solucin:Se trata de una combinacin entre el nmero de diagonales que se puede
trazar desde un vrtice (k) y el nmero de lados del polgono (n), entoncesnmero de diagonales desde un vertice es igual a (n 3) donde n es el nmerode ladosde l polgono, por lo tanto son 6 diagonales de cada vrtices.La combinacin es Ckn =
n!k!(nk)! = C
69 =
9!6!3! = 84 triangulos
31.- Una heladera tiene 16 sabores disponibles. De cuntas formas sepueden pedir 6 helados si:
Solucin:
a) no se elige el mismo sabor ms de una vez?
Se trata de una combinacin donde n = 16 y k = 6Ckn =
n!k!(nk)! = C
616 =
16!6!10! = 8008 formas
b) se puede pedir un mismo sabor hasta 6 veces?
Se trata de una permutacin donde n = 16 y k = 6P kn = n
k = 1616 formas
c) un sabor no se puede pedir ms de 5 veces?
0.9. EJERCICIOS 2.5 li
n = 16 y k = 5 (n 1)nk = 15 166 ; se puede pedir 15 166 formas
d) la mitad debe ser de fresa?
Se trata de una permutacin donde n = 15 y k = 6=2P kn = n
k = 153 = 3375 formas
32.- Un entrenador de ftbol debe seleccionar a 11 jugadores de entre losque haba convocado anteriormente para la concentracin. si puede hacer unaseleccin de 12 376 maneras . cuntos jugadores estuvieron presentes en laconcentracin? ( Se supone que ningn jugador tiene un puesto jo de juego.)
Solucin:C11n =
n!k!(nk)! = 12376n!
11!(n11)! = 12376n = 17
33.- En un lenguaje de computacion Pascal, un identicador consta de unaletra, o de una letra seguida de hasta siete simbolos, que pueden ser letras odgitos. (En este lenguaje son indistinguibles las letras mayusculas y minusculas,hay 26 letras y 10 dgitos). Cuntos identicadores diferentes se pueden utilizaren un lenguaje de computacin?
Solucin:
26 letras+ 10 d{gitos = 3626(360+361+362+363+364+365+366+367) = 26
P7i=0 36
i = 2; 0961012
34.- En cualquier set de un partido de tenis, el oponente X puede vencer aloponente Y de siete maneras. (Con el marcador 6-6, se juega un desempate: tiebreaker). El primer tenista que gane tres sets obtiene la victoria. De cuntasmaneras se pueden registrar los resultados si:
Solucin:a) X gana en cinco sets?;
7 posibilidades de ganar, si X gana en 5 sets 4 75 = 67228
b) para ganar el partido se necesita jugar como minimo tres sets?
73 + 3 74 + 4 75 = 74774
lii
35.- Entre 100 artculos de un lote hay 5 defectuosos. Halle la probabilidad deque entre 10 articulos escogidos al zar, no se tenga ms de un artculo defectuoso.
Solucin:
P (x =< 1) = P (x = 0) + P (x = 1)
=C010C1090C10100
+C110C990C10100
=C010C1090 + C110C990
C10100= 0; 73847
36.- Un distribuidor de electrodomsticos recibe un envi de 20 planchas,de las cuales hay 3 defectuosas. Para conocer si el lote esta bueno prueba 6aparatos. El distribuidor aceptar el lote si encuentra a lo mas un aparatodefectuoso entre los probados. Cul es la probabilidad de rechazar el envi?
Solucin:P ("rechaza el envio") = 1 P ("apruebe el pedido")
= 1 P (x =< 1)= 1 (P (x = 0) + P (x = 1))= 1
hC03C617C620
+C13C517C620
i= 1 [0; 31929 + 0; 47897]= 1 0; 79826= 0; 20174
37.- Tres boletos ganadores son extraidos de una nfora que contiene 100boletos. Cul es la probabilidad de que gane una persona que compr?
Solucin:
100 boletos 3 boletos ganadores
a) 4 boletos?;P ("por 1 boleto"o "por 2 boleto"o "por 3 boleto")
= P (x = 1) + P (x = 2) + P (x = 3)
=C14C296C3100
+C24C196C3100
+C34C096C3100
= 0; 11280 + 0; 00356 + 0; 000023= 0:11656
P ("gane") = 1 P ("no gane")= 1 P ("x = 0")= 1 C04C396
C3100= 1 0; 88361= 0:11639
0.9. EJERCICIOS 2.5 liii
b) solo un boleto?;
P (x = 2) =C11C299C3100
= 0:03
P ("x gane") = 1 P ("no gane")= 1 P (x = 0)
= 1 C01C399C3100
= 0:03
38.- Entre las 80 bombas de gasolina que hay en una ciudad, 10 entregan unacantidad de menor que la que el cliente compra. Un inspector de la direccin deHidrocarburos visita aleatoriamente cinco de ellas para vericar si la cantidadvendida es correcta. Cul es la probabilidad de que descubra al menos unafraudulenta?.
Solucin:80 servicio10 entregan una cantidad menor que la que el cliente compra5 son visitadas
Cual es la probabilidad P de que encuentre al menos una de ellos?P (probabilidad de al menos uno de ellos") = 1 P (x < 1)
= 1 P (x = 0)
=C010C570C580
= 0:50345
39.- En el juego del "Cuarenta" se reparten 5 cartas, al azar, a cada jugador,a partir de un mazo de 40 cartas. Cul es la probabilidad de que un jugadortenga:?
Solucin:# = C540 = 658008
a) un as, un dos, un tres, un uatro y un cinco, del mismo palo?P (A) = 4#
P (A) = 4658008P (A) = 6:078 106
b) a cartas del mismo palo?
P (B) =30C410#
P (B) = 6300658008P (B) = 9:5743 103
c) una "ronda" es decir, 3 cartas de la misma denominacion (as,dos,etc)?
liv
P (C) =40C236#
P (C) = 25200658008P (C) = 0:03829
40) En un closet hay 6 pares de zapatos. Se escogen 4 zapatos al azar.Encuentre la probabilidad de que haya por lo menos un par de zapatos entre los4 zapatos escogidos.6 Pares de zapatos
+12 zapatos =) escogo 4 zapatos
C36 Los pares totales que se pueden formarC34 Los pares que se puedeb}n formar apartir del total
P (p) =C36C34
P (p) = 420
P (p) = 1541) En los paise europeos existe una forma muy popular de lotera, llamada
Lorro, que consiste en seleccionar 6 nmeros de una cartilla que contiene 44nmeros. (del 1 al 44) El dia del sorteo se seleccionan 6 bolas al azar y sinreposicin. Una persona gana elpremio principal si los 6 nmeros sorteados coinciden con los seleccionados;
tambien se puede ganar premios si 4 o 5 nmeros sorteados coinciden. Determinela probabilidad de:a) ganar el premio principal.b) ganar al menos un premio
Bolas (1-44)6 Bolas GanadorasP(A)= "Ganar el primer premio"P(B)="Ganar el segundo premio"
P =C66 C038C644
= 11C644
= 17059052b)Pr(C)="Ganar al menos uno de los dos premios"
P (C) = P (A) + P (B)
P (C) =C66 C038+C56 C138+C46 C238
C644
P (C) = 15703+638+11C644
P (C) = 10545+228+1C644
P (C) = 107747059052P (C) = 0:001526
0.10. EJERCICIOS 2.8 lv
42) El ensamblaje de una tarjeta elctronica consta de 4 pasos que puedenrealizarse en cualquier orden. El fabricante desea comparar de forma experi-mental los tiempos de ensamblaje para cada combinacin posible de los pasos.Cuntos ensayos deberrealizar en el experimento?.
4 Pasos
4! = 24
Tendria que realizar 24 ensayos
43) En la calidad nal de un cake se identican 3 factores de incidencia: lacantidad de harina, que tiene dos niveles 150g. y 170g., la cantidad de levadura,que tiene dos niveles 10g. y 15g. y la temperatura de horneado, que tiene tresniveles: 170oC, 200oC y220oC. Cuntos cakes se deberan hornear para cubrir todas las variaciones
posibles de los factores de los factores que inciden en la calidad del cake?.
Tenemos 3 factores
a= harina =) 2 nivelesb= harina =) 2 nivelesc= harina =) 3 niveles
a b c = 2 2 3
Se deberian hornear 12 cakes
0.9.1
0.10 Ejercicios 2.8
1. Sean A y B dos eventos con Pr(A) 6= 0 y Pr(B) 6= 0. Demuestre quePr(A \B) = Pr(B) Pr(AjB) = Pr(A) Pr(BjA)
Pr(A \B) = Pr(B) Pr(A \B)Pr(B) = Pr (A) Pr(B\A)Pr(A)
Pr(A \B) = Pr(A \B) = Pr(A \B)
2: Demuestre que si A y B son eventos independientes y si A B entonces,o Pr(B) = 1 o Pr(A) = 0
lvi
Si A y B son independientes entonces quiere decir que:
Hiptesis:Pr(A\B) = Pr(A)Pr(B) y A B
Pr(A \B)C = 1 Pr(A \B)Pr(AC [BC) = 1 Pr(A \B)Pr(AC) + Pr(BC) Pr(AC \BC) = 1 Pr(A \B)Pr(AC)+Pr(BC) = 1Pr(A\B) (Debido a que
A B;Pr(AC \BC) = 0)1Pr(A)+1Pr(B) = 1Pr(A)Pr(B) (Reemplazo
de la Hiptesis)Pr(A) Pr(B) Pr(A) Pr(B) + 1 = 0Pr(A) Pr(B) [1 Pr(B)] Pr(B) + 1 = 02 2Pr(B) = 02[1 Pr(B)] = 01 Pr(B) = 0Pr(B) = 1
3. En un crculo de 20cm de radio se encuentra un crculo menor de radio10cm. Halle la probabilidad de que un punto marcado al azar en el crculomayor caiga tambin en el crculo menor.Pr = (10)
2
(20)2
Pr = 314:161256:64Pr = 0:25
4. Sea = f(x; y) =0 x 1; 0 y 1g el espacio muestral de unfenmeno aleatorio. Calcule la probabilidad de los eventos .a) A = f(x; y) =0 x 1; 0 y 1=2gb) B = el tringulo limitado por las rectas x = 0; y = 0; y = 1 xc) Son independientes los eventos A y B ?
Vericamos si son independientesPr(A \B) = Pr(A ) Pr(B)
12 =
12 12
12 6= 14
No son independientes
Pr(A ) = area de Aarea de =( 12 )(1)(1)(1) =
12
1 =12
Pr(B) = area de Barea de =( 112 )(1)(1) =
12
1 =12
5. Supngase que un punto es elegido aleatoriamente en el cuadrado unitario.Si se conoce que el punto est en el rectngulo limitado por y = 0; y = 1; x = 0;
0.10. EJERCICIOS 2.8 lvii
y x = 12 . Cul es la probabilidad de que el punto est en el tringulo limitadopor y = 12 ; x =
12 y y + x =
12 ?
Pr(A ) = area de area de
Pr(A ) =
12 12
2
1 12
Pr(A ) =
142
12
Pr(A ) =1812
Pr(A ) = 14
6:En el cuadrado unidad se consideran los siguientes evento:
A : El tringulo limitado por x = 0; y = 1; y = x+1
3
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
x
y
A
B : El tringulo limitado por x = 0; y = 0; y = 1 x
lviii
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
x
y
a) Halle Pr(B nA);Pr(B j A) y Pr(A [BC)
0.10. EJERCICIOS 2.8 lix
rea de A =(0:66) (0:3)
2= 0:099
rea de B =(1) (1)2
= 0:5
Entonces,
Pr(B nA) = (0:5 (0:5 0:099)) 0:099 = 0:351 5Pr(B j A) = Pr(B \A)
Pr(A)
Pr(B j A) = 0:5 0:0990:099
= 0:5
Pr(A [BC) = 0:099 + (0:099 (0:099 0:5)) = 0:148 5
b) Pruebe si A y B son independientes:Si lo son ya que si pasa el evento A, pasa el tambien pasa el evento B
7. Se tiene un grco que representa la funcin trigonomtrica seno, limitadapor lar rectas x = =2; x = =2; y = 1; y = 1. Sobre el grco cae una gotade tinta. Cul es la probabilidad de que la gota de agua de tinta haya cadodentro del rea comprendidaentre el eje x y la curva y = sen x ?.(Observacin: Suponga que el rea de la mancha de tinta es despreciable.)
B = 1C = B senx
lx
P (A) = (4B 2B) + (2B senx)P (A) = 4B senx
8. Se lanzan dos dados cal es la probabilidad de que en los dos dados salgael 3, si se sabe que la suma es 6?.Pr ("primer dado salga 3" y "segundo dado salga 3" j "la suma es 6")
= f(1; 5) (5; 1) (2; 4) (4; 2) (3; 3)gB \A = f3; 3g 136Pr(BjA) = Pr(B\A)Pr(A)
=136536
= 159. Para cierta localidad el promedio de dias nublados en el mes de julio es de
seis. Halle la probabilidad de que el primero y el dos de julio haga buen tiempo.
P=("Dias"Nublados) DiasdeJuilio=31
= f1; 2; 3; :::; 31g
P(A) = Dias buen tiempo 636P(B) = 1 y 2 sea buen tiempo
P (B j A) = P (B\A)P (A)=
1930631
= 23110: En una biblioteca hay 8 libros de literatura de ciencia ccin, 3 de los
cuales son de Julio Verne.La biblioteca toma al azar dos libros. Determine la probabilidad de que
ambos resulten ser de Julio Verne
8 Libros =)3 de Julio Verne
Pr(A \B) = 38 14=3
32
11) Supongase que el 5% de todos los hombres y el 0.25% de todas las mujeressufren daltonismo. Una persona escogida al azar resulta ser dltonica .Cul esla probabilidad de que esta persona se un hombre?.(Se considera que la cantidadde hombres ymujere es igual?Hombres =)50%=)0,5 P(B1) = "Sea hom-
bre"Mujeres =)50% =)0,5 P(B2) = "Sea mu-
jer"
0.10. EJERCICIOS 2.8 lxi
A= "La persona escogida es daltonica"
Debemos encontrar aplicando el teorme da Bayes
P (B j A)P (B j A) = P (B1)P (AjB1)P (B1)P (AjB1)+P (B2)P (AjB2)
= (0:5):(0:5)(0:5):(0:5)+(0:5):(0:25)= 0:0250:025+0:00125= 0:95
12) Un inspector debe seleccionar a un trabajador de entre 4 aspirantesnumerados del 1 al 4. La seleccion la lleva a cabo mezclando los nmeros ytomando uno al azar. Sean A el evento "se selecciona al trabajador 1 o al 2";B, el evento "se selecciona altrabajador 1 o al 3"; y C, el evento "se selecciona el trabajador 1". Son
independientes: a)A y B? b) A y C?P(A) = "Seleccionar al trabajador 1 o 2" P (A) = 12P(B) = "Seleccionar al trabajador 1 o 3" P (A) = 12P(C) = "Seleccionar al trabajador 1" P (A) = 14
Calcularemos si son independientes:
P (B\A) = P (A)P (B) P (B\A) = P (A)P (B)14 =
12 12 14 = 12 14
14 =
14
14 =
18
Se cumpple la condicion entonces Se cumpple la condicionentoncesA y B son independientes A y B no son
independientes
13)La empresa de correos ha determinado que el 10% de los paquetes envia-dos al exterior no llegan a su destino. Dos libros pueden enviarse separadamenteo en un solo paquete. Para cada una de las dos formas de envio postal, encuen-tre:a) la probabilidad de que ambos libros lleguen a su destinob) la probabilidad de que al menos un libro llegue a su destino.14: En una exhibicin de arte hay 12 pinturas de las cuales 10 son originales.
Un visitante selecciona una pintura al azar y decide comprala despus de es-cuchar la opinin del experto sobre la autenticidad de la pintura. El expertoest en lo correcto 9 de cada 10casos, en promedio.a) Dado que el experto decide que la pintura es autntica, Cal es la prob-
abilidad de que l no se equivoque?
Pr(A \B) = 1012 910=3
4= 0:75
lxii
b) Si el experto decide que la pitura es una copia, entoces el visitante ladevuelve y escoge otra, Cal es la probabilidad de que la segunda pinturaescogida sea la original?
Pr(B j A) = Pr(B \A)Pr(A)
15) Una prueba para detectar el virus del SIDA en la sangre da el diagnosticocorrecto con una probabilidad del 95%. Segn datos estadisticos, uno de cada2000 ecuatorianos en promedio, es portador del virus. Dado que la prueba fuepositiva para una persona,Cul es la probabilidad de que ella realmente tenga la enfermedad?
B1="Lapersona tiene sida" 12000B1="Lapersona tiene sida" 19992000
A= "Prueba positiva"Debo Hallar P (B j A)
P (B j A) = P (B1)P (AjB1)P (B1)P (AjB1)+P (B2)P (AjB2)=
( 12000 ):(0:95)
( 12000 ):(0:95)+(19992000 ):(0:05)
= 192018
0.10.1 Ejercisio de Probabilidades de geometria:
Interpretacin Geomtrica de la Probabilidad1) Un cable de 50 cm de longitud tiene desgatado un segmento de 15 cm.
Halle la probabilidad de que el cable se rompa en un punto ubicado en el seg-mento desgastado
La probabilidad de que el cable se rompa en el segmento desgastado es de310
0.10. EJERCICIOS 2.8 lxiii
5) Dentro de un semicirculo de radio igual a 17cm, se encuentra un paralel-ogramo de base 16 cm y altura 9 cm. Si marca un punto, al azar, dentro delsemicirculo. Cul es la probabilidad de que el pnto no se encuentre dentrodel paralelogramo?La probabilidad de que el pnto no se encuentre dentro del paralelogramo
es 288289
9) Encuentre la probabilidad de que un putno marcado en el interior delcuadrado, tambien se hallle en el rea sombreada. (Figura 5.1)
La Probabilidad de que un punto marcado este dentro del rea sombreadaes 3813) En el cuadrado unidad se unieron os puntos (0,0), (1/2,1) y (1,0) medi-
ante tres rectas, de manera que se form un triangulo. Se marc aleatoriamenteun punto dentro del cuadrado, Cual es la probabilidad de que se encuentredentro del cuadrado limitado por las rectas x = 12 ; X = 1; y = 0; Y =
12 , si se
conoce que se encuntra en el interior del tirngulo formado anteriormente?
La probabilidad de que el punto se encuentre dentro del cuadrado es 34
lxiv
0.10. EJERCICIOS 2.8 lxv
17) Dentro del cuadrado unidad se denen los eventos:* A: el paralelogramo limitado por las rectas x = 0; y = 0; X = 1; 2x
4y + 1 = 0* B: el tringulo limitado por las rectas y = 0; x = 1; 3x 2y = 1* C: el rectangulo cutos vrtices son los puntos (0; 0); (0; 1=2); (1; 1=2); (1; 0)
Halle:a) Pr(A \B);Pr(B j C), Pr(B n C)b)Son independientes, dos a dos, los eventos A,B y C?
a) La Pr(A \B) = 1148 , la Pr(B j C) = 34 , laPr(B n C) = 2948b) Pr(A \B \ C) 6=Pr(A) Pr (B) Pr (C)
Los eventos A, B y C no son independientes
21) Dentro de un cuadrado se trazan los arcos como se muestra en la Figura5.5.
Se marca un punto al azar dentro del cuadrado y se dene los eventos*S. el punto se encuentra en el tringulo curvilineo ABD
lxvi
*T: el punto se encuentra en el tringulo ractangulo ADC
Halea) Pr(S) y Pr (T )b)Pr(S j T ) , Pr (T j S) ,y Pr (S n T )c)Son independiente S y T?
a) La probabilidad de Pr(S) = 8 y la probabilidad Pr (T ) =12
b) La probabilidad de Pr(S j T ) = 8+ 14 ,la probabilidad Pr (T j S) = 12+ 1, y la probabilidad Pr (T n S) = 16 18
Part IV
Vocabulario:
lxvii
0.11. PROBABILIDAD: lxix
0.11 Probabilidad:
La probabilidad es un mtodo mediante el cual se obtiene la frecuencia de unsuceso determinado mediante la realizacin de un experimento aleatorio, delque se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones sucientementeestables. La teora de laprobabilidad se usa extensamente en reas como la estadstica, la fsica, la
matemtica, las ciencias y la losofa para sacar conclusiones sobre la prob-abilidad discreta de sucesos potenciales y la mecnica subyacente discreta desistemas complejos.
0.12 Experimentos:
Un experimento es un procedimiento mediante el cual se trata de comprobar(conrmar o vericar) una o varias hiptesis relacionadas con un determinadofenmeno, mediante la manipulacin y el estudio de las correlaciones de la(s)variables quepresumiblemente son su causa.La experimentacin constituye uno de los elementos claves de la investigacin
cientca y es fundamental para ofrecer explicaciones causales.En un experimento se consideran todas las variables relevantes que inter-
vienen en el fenmeno, mediante la manipulacin de las que presumiblementeson su causa, el control de las variables extraas y la aleatorizacin de lasrestantes. Estos procedimientospueden variar mucho segn las disciplinas (no es igual en fsica que en psi-
cologa, por ejemplo), pero persiguen el mismo objetivo: excluir explicacionesalternativas (diferentes a la variable manipulada) en la explicacin de los resul-tados. Este aspecto se conocecomo validez interna del experimento, la cual aumenta cuando el experimento
es replicado por otros investigadores y se obtienen los mismos resultados. Cadarepeticin del experimento se llama prueba o ensayo.
0.13 Aleatorios:
La aleatoriedad se asocia a todo proceso cuyo resultado no es previsible ms queen razn de la intervencin del azar. El resultado de todo suceso aleatorio nopuede determinarse en ningn caso antes de que este se produzca. El estudiode los fenmenosaleatorios queda dentro del mbito de la teora de la probabilidad y, en un
marco ms amplio, en el de la estadstica.La palabra aleatorio se usa para expresar una aparente carencia de propsito,
causa, u orden. El trmino aleatoriedad se usa a menudo como sinnimo con
lxx
un nmero de propiedades estadsticas medibles, tales como la carencia de ten-dencias o correlacin.La aleatoriedad ocupa un lugar importante en la ciencia y la losofa.
0.14 Combinatorio:
La combinatoria es una rama de la matemtica perteneciente al rea de matemti-cas discretas que estudia la enumeracin, construccin y existencia de propiedadesde conguraciones que satisfacen ciertas condiciones establecidas.
0.15 Interpretacion:
La interpretacin es el hecho de que un contenido material, ya dado e indepen-diente del intrprete, sea comprendido o traducido a una nueva forma deexpresin. Dicho concepto est muy relacionado con la hermenutica.La condicin bsica de una interpretacin es ser el de alguna manera
especicada al contenido original del objeto interpretado .1Para Gadamer el lenguaje2 es el medio universal en el que se realiza la com-
prensin misma. La forma de realizacin de la comprensin es la interpretacin.3La relacin intrprete-interpretacin se considera compleja y cada caso re-
sponde a muy variadas nalidades, condiciones y situaciones, lo que planteamultitud de cuestiones y problemas.Los problemas de interpretacin se entienden mejor si se especica el con-
texto o marco en el que se hace dicha interpretacin. Por ejemplo no existen losmismos problemas en la interpretacin de unas observaciones cientcas, que enla interpretacin dealgunos aspectos culturales. Dada la variedad de campos en los que aparece
la necesidad de interpretacin, parece necesario hacer una clasicacin de m-bitos fundamentales de interpretacin. En artculos independientes se tratandiversos contenidosespeccos de interpretacin, como se seala en Interpretacin (desambiguacin).
0.16 Varianza:
En teora de probabilidad, la varianza (que suele representarse comonsigma^2)de una variable aleatoria es una medida de dispersin denida como la esperanzadel cuadrado de la desviacin de dicha variable respecto a su media.Est medida en unidades distintas de las de la variable. Por ejemplo, si
la variable mide una distancia en metros, la varianza se expresa en metros alcuadrado. La desviacin estndar, es la raz cuadrada de la varianza, es unamedida de dispersin alternativaexpresada en las mismas unidades de los datos de la variable objeto de
estudio. La varianza tiene como valor mnimo 0.
0.17. ESPERANZA: lxxi
Hay que tener en cuenta que la varianza puede verse muy inuida por losvalores atpicos y no se aconseja su uso cuando las distribuciones de las variablesaleatorias tienen colas pesadas. En tales casos se recomienda el uso de otrasmedidas de dispersin msrobustas.El trmino varianza fue acuado por Ronald Fisher en un artculo de 1918
titulado The Correlation Between Relatives on the Supposition of MendelianInheritance.
0.17 Esperanza:
En estadstica la esperanza matemtica (tambin llamada esperanza, valor es-perado, media poblacional o media) de una variable aleatoria X , es el nmeronoperatorname{E}(X) que formaliza la idea de valor medio de un fenmenoaleatorio.Cuando la variable aleatoria es discreta, la esperanza es igual a la suma de
la probabilidad de cada posible suceso aleatorio multiplicado por el valor dedicho suceso. Por lo tanto, representa la cantidad media que se "espera" comoresultado de un experimentoaleatorio cuando la probabilidad de cada suceso se mantiene constante y el
experimento se repite un elevado nmero de veces. Cabe decir que el valor quetoma la esperanza matemtica en algunos casos puede no ser "esperado" en elsentido ms general de lapalabra - el valor de la esperanza puede ser improbable o incluso imposible.Por ejemplo, el valor esperado cuando tiramos un dado equilibrado de 6
caras es 3,5. Podemos hacer el clculo y cabe destacar que 3,5 no es un valorposible al rodar el dado. En este caso, en el que todos los sucesos son de igualprobabilidad, la esperanza esigual a la media aritmtica.
0.18 Variables Cualitativas:
Son las variables que expresan distintas cualidades, caractersticas o modali-dad. Cada modalidad que se presenta se denomina atributo o categora y lamedicin consiste en una clasicacin de dichos atributos. Las variables cuali-tativas pueden ser dicotmicascuando slo pueden tomar dos valores posibles como s y no, hombre y mujer
o son politmicas cuando pueden adquirir tres o ms valores. Dentro de ellaspodemos distinguir:Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativa: La variable puede
tomar distintos valores ordenados siguiendo una escala establecida, aunque noes necesario que el intervalo entre mediciones sea uniforme, por ejemplo: leve,moderado, fuerte.
lxxii
Variable cualitativa nominal: En esta variable los valores no pueden sersometidos a un criterio de orden como por ejemplo los colores.
0.19 Variables cuantitativas
Son las variables que se expresan mediante cantidades numricas. Las variablescuantitativas adems pueden ser:Variable discreta : Es la variable que presenta separaciones o interrupciones
en la escala de valores que puede tomar. Estas separaciones o interrupciones in-dican la ausencia de valores entre los distintos valores especcos que la variablepueda asumir.Ejemplo: El nmero de hijos (1, 2, 3, 4, 5).Variable continua: Es la variable que puede adquirir cualquier valor dentro
de un intervalo especicado de valores. Por ejemplo la masa (2,3 kg, 2,4 kg, 2,5kg,...) o la altura (1,64 m, 1,65 m, 1,66 m,...), o el salario. Solamente se estlimitado por la precisin delaparato medidor, en teora permiten que exista un valor entre dos variables.
0.20 Variables independientes
Son las que el investigador escoge para establecer agrupaciones en el estudio,clasicando intrnsecamente a los casos del mismo. Un tipo especial son lasvariables de control, que modican al resto de las variables independientes yque de no tenerse en cuentaadecuadamente pueden alterar los resultados por medio de un sesgo.Es aquella caracterstica o propiedad que se supone ser la causa del fen-
meno estudiado. En investigacin experimental se llama as a la variable que elinvestigador manipula.
0.21 Variables dependientes
Son las variables de respuesta que se observan en el estudio y que podran estarinuidas por los valores de las variables independientes.Hayman (1974 : 69) la dene como propiedad o caracterstica que se trata
de cambiar mediante la manipulacin de la variable independiente.La variable dependiente es el factor que es observado y medido para deter-
minar el efecto de la variable independiente.
0.22 Concepto de Probabilidades
La probabilidad de un evento se denota con la letra p y se expresa en trminosde una fraccin y no en porcentajes, por lo que el valor de p cae entre 0 y 1. Por
0.23. REGLA DE LA ADICIN lxxiii
otra parte, la probabilidad de que un evento "no ocurra" equivale a 1 menos elvalor de p y se denota conla letra q:
P (Q) =1 P (E)Los tres mtodos para calcular las probabilidades son la regla de la adicin,
la regla de la multiplicacin y la distribucin binomial.
0.23 Regla de la adicin
La regla de la adicin o regla de la suma establece que la probabilidad de ocur-rencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidadesindividuales, si es que los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, quedos no pueden ocurrir almismo tiempo.P (AoB) = P (A)UP (B) = P (A)+P (B) si A y B son mutuamente excluyente.P (AoB) =
P (A)+P (B)P (AyB)siAyB son no excluyentes. Siendo: P(A) = probabilidadde ocurrencia del evento A. P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B.P(A y B) = probabilidad deocurrencia simultanea de los eventos A y B.
0.24 Regla de la multiplicacin
La regla de la multiplicacin establece que la probabilidad de ocurrencia dedos o ms eventos estadsticamente independientes es igual al producto de susprobabilidades individuales.P (AyB) = P (AB) = P (A)P (B) si A y B son independientes. P (AyB) =
P (AB) = P (A)P (BjA) si A y B son dependientes.
![FGV/EMAp - As probabilidades da Copa do Mundo [Infográfico]](https://static.documents.pub/doc/80x56/55496740b4c905d8558b49a6/fgvemap-as-probabilidades-da-copa-do-mundo-infografico.jpg)
