บทท 3

งานและความรอน (Work and Heat)

3.1 นยามของงาน (definition of work)

เรานยามงานวาคอแรง (Force, F ) ทกระทำแลวทำใหวตถเคลอนทไดระยะขจดในทศเดยวกบแรงเทากบ x นนคอ

W =∫ 2

1Fdx (3.1)

อยางไรกตาม เมอพจารณาเธอรโมไดนามกสในระดบมหภาค การใชนยามของงานผกตดกบแนวคดเกยวกบระบบ, สมบตตางๆ และกระบวนการ เปนสงทตรงกบการประยกตใชมากกวา ดงนน เราจะนยามงานดงตอไปน: งานททำโดยระบบจะเกดขนเมอผลกระทบเพยงอยางเดยวทอาจเกดกบกบสงแวดลอมคอการยกนำหนก สงเกตวาการยกนำหนกคอผลทแรงกระทำในระยะทางคาหนง และขอสงเกตอกอยางหนงกคอนยามน ไมไดยนยนวานำหนกถกยกขนจรงๆ หรอมแรงกระทำทระยะทางหนงจรงๆ เพยงแตกลาววา ผลกระทบเดยวทเกดกบสงแวดลอมอาจเปนการยกนำหนกเทานน ในทางวศวกรรม งานทกระทำโดยระบบมคาเปน และงานทกระทำใหแกระบบมคาเปน ลบโดยใชสญญลกษณ W แทนงานทกระทำโดยระบบ

31

หนา 32 งานและความรอน

พจารณารปท 3.1

รปท 3.1: ตวอยางของงานทขามขอบเขตของระบบ

เราจะพจารณาวาเกดงานขามขอบเขต (boundary) ของระบบหรอไม โดยทดลองเปลยนใบพดเปนรอก พบวา สงเดยวทเกดขนคอ นำหนกถกยกขนไดโดยระบบ นนคอมงานเกดขน

ถาเราลดของเขตของระบบใหครอบคลมแคแบตเตอรเพยงอยางเดยว จะเกดงานหรอไม? (รปท 3.2)

รปท 3.2: ตวอยางของงานทขามขอบเขตของระบบทเนองมาจากการไหลของกระแสไฟฟาขามขอบเขตของระบบ

คำตอบคอ ถาเราสามารถออกแบบระบบไดดจนมแรงเสยดทานในมอเตอรนอยมากหรอไมมเลย เพราะฉะนน เมอมการไหลของกระแสไฟฟาขามขอบเขตของระบบ กจะเกดงานเหมอนกน

งานและความรอน หนา 33

3.2 หนวยของงาน(Unit of work)

งานในหนวย SI มหนวยเปนจล (Joule)

1 J =1 N m

กำลง (Power) คออตราของการทำงาน โดยมสญญลกษณเปน W

W ≡ δW

dt

หนวยสำหรบกำลง คออตราของงาน 1 จลตอวนาท, หรอวตต (Watt)

1 W = 1 J/s

หนวยของกำลงอกแบบหนงทนยมใชคอ กำลงมา (horsepower, hp) โดย

1 hp = 550 ft lbf/s

สงเกตวา งานทขามขอบเขตของระบบในรปท 3.1 เปนงานทเกยวของกบการหมนเพลา ในการบรรยายเกยวกบกำลงจะใช ดฟเฟอเรนเชยลของงาน จากสมการ (3.1)

δW = Fdx = Frdθ = Tdθ

นนคอแรงทกระทำตอระยะทาง dx หรอแรงบด (torque, T = Fr ) ทกระทำตอมมของการหมนดงรปท 3.3 ดงนน สามารถหากำลงไดจาก

W ≡ δW

dt= F

dx

dt= FV = Fr

dθ

dt= Tω (3.2)

โดยทวไป เปนการคอนขางสะดวกในการเจาะจงพดถงงานตอหนงหนวยมวลของระบบ (work per unit mass of system) หรอ "specific work" โดยเราสามารถนยามไดเปน

w ≡ W

m

หนา 34 งานและความรอน

รปท 3.3: แรงกระทำทรศม r ใหคาแรงบด T = Fr

3.3 งานทกระทำทขอบเขตทเคลอนทไดของระบบทอดไดอยางงาย (Workdone at the moving boundary of a simple compressible sys-tem)

พจารณารปท 3.4 ถาเราดงเอานำหนกออก 1 กอน ลกสบจะวงขนไดระยะ dL เราสามารถพจารณากระบวนการกงสมดล (quasi-equilibrium process)1 และคำนวณปรมาณงาน W ทกระทำโดยระบบระหวางกระบวนการได ถาใหแรงทงหมดทกระทำบนลกสบเทากบ PA โดย P คอความดนของแกส และ A คอพนทหนาตดของลกสบ

1

รปท 3.4: ตวอยางของงานทกระทำท moving boundary ของระบบในกระบวนการกงสมดล

ดงนน งาน δW คอ

1กระบวนการกงสมดลเกดขนเมอการเปลยนแปลงทเกดขนทละนอยนนใกลเคยงกบสภาวะสมดล

งานและความรอน หนา 35

δW = PAdL

แต A dL = dV ดงนน

δW = PdV (3.3)

งานทกระทำในกระบวนการกงสมดลหาไดโดยการอนทเกรตสมการ (3.3) อยางไรกตาม เราสามารถอนทเกรตไดกตอเมอเรารความสมพนธของ P และ V ระหวางกระบวนการ

ลองพจารณารปท 3.5 เปนกระบวนการอดแกส โดยความดนทเปลยนไปเมอปรมาตรลดลงสามารถเขยนกราฟไดดงรป

รปท 3.5: การใชแผนภาพความดน-ปรมาตรเพอแสดงใหเหนถงงานทกระทำทmoving boundary ของระบบในกระบวนการกงสมดล

เราตงสมมตฐานวาระบบเปนกระบวนการกงสมดล การเปลยนปรมาตรเปนไปแบบทละนอยยง (infinitesimal) ดงนน งานทกระทำบนแกสหาไดโดยการอนทเกรตสมการ

หนา 36 งานและความรอน

1W2 =∫ 2

1δW =

∫ 2

1PdV (3.4)

สญญลกษณ 1W2 คอ งานทกระทำระหวางกระบวนการเปลยนสภาวะจาก 1 ไป2 นนคอ งานทกระทำบนระบบ ∫ 2

1 PdV กคอพนทใตกราฟระหวางจดท 1 และ 2นนเอง (a-1-2-b-a)

พจารณารปท 3.6 ถาเราสามารถเลอกเสนทางไดหลายเสนทางในการเปลยนสภาวะจาก 1 ไป 2

รปท 3.6: กระบวนการกงสมดลทหลากหลายระหวางสองสภาวะทกำหนดให แสดงใหเหนวางานเปนฟงกชนวถ

จะเหนไดวา พนทใตกราฟขนกบวถทาง (path) ทเราเลอกใช ทำใหพนทใตกราฟมคาตางกน หรอนนคอ W เปนฟงกชนวถ (path function, มคาขนกบวถทางทกระบวนการดำเนนไป) และทำให δW เปน inexact differential

ในทางเธอรโมไดนามกสมสองนยามทเกยวกบฟงกชน คอ

• point function (state function) คาของมนไมขนกบวถทาง แตขนกบสภาวะ (state) เรมตนและสดทายของฟงกชน ทำใหมสมบตเปน exact dif-ferential เชน dP, dV, ฯลฯ

งานและความรอน หนา 37

• path function คาของมนขนกบวถทางทกระบวนการดำเนนไป ทำใหมสมบตเปน inexact differential เชน W, q, ฯลฯ ซงดฟเฟอเรนเชยลของ path func-tion จะใชสญญลกษณ δ (delta)

ในการหาคาอนทกรลของสมการ (3.4) ตองจำไววา เราตองการหาคาพนทใตเสนโคงในรป ซงจะเกยวของกบปญหา 2 ชนด ทแตกตางกน คอ

1. ความสมพนธระหวาง P และ V อยในรปของขอมลจากการทดลอง หรอไดมาจากการเขยนกราฟ ดงนน เราสามารถหาสมการไดโดยหาจากกราฟโดยตรงหรอจากการทำ numeriacal integration

2. ความสมพนธของ P และ V อยในรปของ analytical relationship (func-tional relationship) ซงสามารถอนทเกรตไดโดยตรง

ตวอยางสำหรบกรณท 2 เชน กระบวนการพอลทรอปก (polytropic pro-cess) ซงเปนกระบวนการทปรมาตรและความดนมความสมพนธในรปสมการคอ PV n =

คาคงท (constant) ตลอดกระบวนการ คา n ทเปนจำนวนยกกำลงมคาไดตงแต −∞ถง +∞ ขนกบวาเปนกระบวนการแบบใด สำหรบกระบวนการในลกษณะน เราสามารถอนทเกรตสมการ (3.4) ไดดงน

PV n = constant = P1Vn1 = P2V

n2

P =constant

V n=

P1Vn1

V n=

P2Vn2

V n

∫ 2

1PdV = constant

∫ 2

1

dV

V n= constant

(V −n+1

−n + 1

)∣∣∣∣21∫ 2

1PdV =

constant1 − n

(V 1−n

2 − V 1−n1

)=

P2Vn2 V 1−n

2 − P1Vn1 V 1−n

1

1 − n

=P2V2 − P1V1

1 − n(3.5)

สมการ (3.5) ใชไดททกคาของ n ยกเวนท n = 1 โดยเมอ n = 1:

PV = constant = P1V1 = P2V2

หนา 38 งานและความรอน

และ

∫ 2

1PdV = P1V1

∫ 2

1

dV

V= P1V1ln

V2

V1(3.6)

งานและความรอน หนา 39

ตวอยางท 3.1 ระบบกระบอกสบ-ลกสบดงรป บรรจนำมวล 0.1 kg ความดน1000 kPa ท 500◦C ทำใหนำเยนลงโดยใชวธใหแรงคงททลกสบ จนกระทงปรมาตรลดลงเหลอครงหนง จากนนจงลดอณหภมของนำใหเหลอ 25◦C ขณะทปรมาตรคงทจงหาความดนสดทายของนำ และงานทงหมดในกระบวนการ และแสดงกระบวนการเปลยนแปลงใน p-v diagram

หนา 40 งานและความรอน

ในบทน เราจะพจารณางานเนองจากการเคลอนทของขอบเขต (boundary move-ment work) ในกระบวนการกงสมดล อยางไรกด ในบางกรณทเราพจารณา เชน กระบวนการทไมอยในสมดล (nonequilibrium process) ซงแรงของแกสทตานการลดปรมาตรในกระบอกสบ PA มคา ไมเทากบ Fext ซงในกรณน งานทกระทำสามารถหาไดจาก

δW = FextdL = PextdV (3.7)

3.4 ระบบอนๆ ทเกดงาน

Strech wire: พจารณาระบบของลวดทถกดงโดยแรงดง T (Tau) เมอความยาวของลวดเปลยนไป dL งานทกระทำบนระบบคอ

δW = −T dL (3.8)

เราจำเปนตองใสเครองหมายลบในสมการ เพราะถาระบบทำงาน dL จะมคาเปนลบเราสามารถอนทเกรตสมการ (3.8) ได

1W2 = −∫ 2

1T dL (3.9)

เราสามารถหาคาของการอนทเกรตไดถารความสมพนธระหวาง T กบ L

งานและความรอน หนา 41

ตวอยางท 3.2 ลวดโลหะความยาว L0 ถกยดออก จงหางานในหนวยของ mod-ulus of elasticity และ strain

หนา 42 งานและความรอน

liquid film: พจารณาฟลมของเหลวทมคาความตงผว (surface tension)L ดงรปท 3.7

รปท 3.7: งานบน surface film

เมอเราขยบลวด งานอาจถกกระทำบนระบบ หรอระบบทำงาน ถาพนทของฟลมเปลยนไป dA งานททำโดยระบบจะมคาเทากบ

δW = −LdA (3.10)

การเปลยนแปลงจากตำแหนงท 1 ไปยงตำแหนงท 2 คอ

1W2 = −∫ 2

1LdA (3.11)

electrical work: ถาความตางศกย = E และปรมาณของประจไฟฟาทไหลเขาสระบบ = dZ

สำหรบกระบวนการกงสมดล

δW = −EdZ (3.12)

เนองจากกระแส i = dZ/dt เขยนสมการ (3.12) ใหมได

δW = −Eidt

1W2 = −∫ 2

1Eidt (3.13)

งานและความรอน หนา 43

เราสามารถเขยนสมการ (3.13) ในรปของสมการอตรา (rate equation) ของกำลง(power) ไดดงน

δW

dt= −Ei (3.14)

3.5 สรป งานในกระบวนการตางๆ

• simple compressible system = 1W2 =∫ 21 PdV

• streched wire = 1W2 = −∫ 21 T dL

• surface film = 1W2 = −∫ 21 LdA

• electrical = 1W2 = −∫ 21 EdZ

ดงนน งานรวมทงหมดในระบบใดๆ คอ

δW = PdV − T dL − LdA − EdZ + . . . (3.15)

สมการ (3.15) สามารถเขยนในรปของอตราหรอกำลงไดดงน

W =dW

dt= PV − T V − LA − EZ + . . . (3.16)

3.6 นยามของความรอน (definition of heat)

ความรอน: รปแบบของพลงงานทถายเทขามขอบเขตของระบบทอณหภมใดๆ ไปยงอกอณหภมอน (หรอไปยงสงแวดลอม) ทตำกวาโดยความแตกตางของอณหภมของระบบทงสอง

โดยทวไปเราจะใหความสนใจกบความรอนทขอบเขตของระบบเทานนซงกคอพลงงานทถายเทขามขอบเขตของระบบนนเอง

หนา 44 งานและความรอน

3.7 หนวยของความรอน (Unit of heat)

ในระบบ SI ความรอนมหนวยเปนจล (Joule) เหมอนกบงาน สวนในหนวยองกฤษมหนวยเปน ft.lbf หนวยอนๆ ทนยมใชสำหรบความรอนคอ Btu (British thermalunit) ซงคอปรมาณความรอนทตองการทำใหนำปรมาณ 1 ปอนด มอณหภมเพมขนจาก 59.5◦F เปน 60.5◦F

3.8 เครองหมายของความรอน

• heat transfer to sytem −→ ⊕

• heat transfer from system −→ ⊖

ระบบทไมมการถายเทความรอน (Q = 0) เราเรยกวา (adiabatic)

Q เปนฟงกชนวถเหมอนกบงาน ดงนน เราสามารถเขยนไดเปน

∫ 2

1δQ = 1Q2

อตรา (rate) ของการถายเทความรอนไปยงระบบนยามโดย Q

Q ≡ δQ

dt

heat transfer per unit mass กคอ "specific heat transfer"

q ≡ Q

m

งานและความรอน หนา 45

3.9 ลกษณะของการถายเทความรอน

การนำความรอน (conduction): การถายเทความรอนซงเกดจากการชนกนของโมเลกลพลงงานสง (อณหภมสง) กบโมเลกลพลงงานตำ (อณหภมตำ) โดยการนำความรอนจะเกดไดมากขนเมอมความแตกตางของอณหภมเพมมากขน และความสามารถของสสารในการถายเทพลงงาน เราอธบายไดโดยใช Fourier's law of conduc-tion

Q = −kAdT

dx(3.17)

k = conductivity, A = total area, dTdx = Temperature gradient

คาของ k สำหรบโลหะมคาประมาณ 100 W/m K สวนพวกของแขงทไมใชโลหะมคาระหวาง 1-10 W/m K

รปท 3.8: การนำความรอนจากภายนอกกระปองนำอดลมสภายในกระปอง

การพาความรอน (convection): เกดเมอตวกลาง (media) มการเคลอนไหว(flow) ตวอยางเชน ลมพดผานตก, การไหลของตวกลาง เชน นำ ในอปกรณแลกเปลยนความรอน (heat exchanger) โดยการถายเทความรอนจะเปนไปตาม New-ton's law of cooling

Q = Ah∆T (3.18)

h = heat transfer coefficient ซงเปนฟงกชนของสมบตของตวกลางตวอยางของคาสมประสทธ (ในหนวย W/mK2) ดงแสดงในตารางท 1ตารางท 1: ตวอยางคาสมประสทธในแตละแบบ

หนา 46 งานและความรอน

รปท 3.9: การพาความรอนทพนผวของวตถรอนดวยอากาศ

Natural convection h = 5-25, gas h = 50-1000, liquidForced convection h = 25-250, gas h = 50-20000, liquidBoiling phase change h = 2500-100 000

งานและความรอน หนา 47

ตวอยางท 3.3 พจารณาการถายเทพลงงานอยางคงทจากหองทมอณหภม 20◦Cในบาน สอากาศนอกบานทมอณหภม −10◦C ผานหนาตางดงภาพดานลาง การแปรผนของอณหภมกบระยะทางจากผวกระจกดานนอกบาน ซงม convection heat trans-fer layer แสดงดงรปทสองดานลาง หนาตางกระจกมความหนา 5 mm (0.005 m)และมคา conductivity เทากบ 1.4 W/m K และพนทผวรวม 0.5 m2 ภายนอกบานมลมพด ซงทำใหคา convective heat transfer coefficient มคา 100 W/m2K ขณะทอณหภมทผวกระจกดานนอกเทากบ 12.1◦C จงหาอตราของ heat transfer ในแกวและท convective heat transfer

หนา 48 งานและความรอน

การแผรงส (radiation):เปนการถายทอดพลงงานในรปของคลนแมเหลกไฟฟาในอากาศ โดย

Q = εσAT 4s (3.19)

ε = emissivityσ = Stefan-Boltzman constant

Ts = surface temperature

รปท 3.10: ตวอยางของการแผรงสความรอน

3.10 ขอเปรยบเทยบระหวางความรอนกบงาน

• ความรอนและงานเปนปรากฎการณทเกดชวขณะ (transient phenomena) โดยทงคมการถายเทพลงงานขามขอบเขตของระบบเมอระบบมการเปลยนสภาวะ

• ความรอนและงานเปนปรากฎการณทขอบเขตของระบบ (boundary phenom-ena) โดยสงเกตไดทบรเวณขอบเขตของระบบเทานน

• ความรอนและงานเปนฟงกชนวถ และเปน inexact differential

รปท 3.11 แสดงใหเหนถงความแตกตางระหวางความรอนและงาน รป (a) เราพจารณาเฉพาะแกสในระบบ พลงงานทผานขอบเขตของระบบเนองมาจากอณหภมของผนง (ทพนลวดไฟฟา) สงกวาอณหภมของแกส เราจงสามารถพจารณาไดวามความรอนขามขอบเขตของระบบ ในรป 3.11(b) เราพจารณาระบบทรวมถงภาชนะและลวดความตานทาน สงทขามขอบเขตของระบบกคอกระแสไฟฟา ซงเราพจารณาเปนงาน

งานและความรอน หนา 49

รปท 3.11: ตวอยางทแสดงความแตกตางระหวางความรอนและงาน