Hilton Marching Triangles

7/30/2019 Hilton Marching Triangles

http://slidepdf.com/reader/full/hilton-marching-triangles 1/12

M a r c h i n g T r i a n g l e s :

D e l a u n a y I m p l i c i t S u r f a c e T r i a n g u l a t i o n

A . H i l t o n

1

a n d J . I l l i n g w o r t h

V i s i o n , S p e e c h a n d S i g n a l P r o c e s s i n g G r o u p ,

D e p a r t m e n t o f E l e c t r o n i c a n d E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g

U n i v e r s i t y o f S u r r e y , G u i l d f o r d . G U 2 5 X H . U . K .

a . h i l t o n @ s u r r e y . a c . u k

A b s t r a c t

A n e w s u r f a c e - b a s e d a p p r o a c h t o t r i a n g u l a t i o n o f a n i m p l i c i t s u r f a c e c a l l e d ` M a r c h i n g T r i a n g l e s ' ( M T )

i s i n t r o d u c e d i n t h i s p a p e r . M T e n a b l e s r e c o n s t r u c t i o n o f a n e c i e n t t r i a n g u l a r m e s h r e p r e s e n t a t i o n

o f a n o p e n m a n i f o l d i m p l i c i t s u r f a c e o f a r b i t r a r y t o p o l o g y . T h e s u r f a c e - b a s e d a p p r o a c h p o l y g o n i s e s t h e

i m p l i c i t s u r f a c e b y g r o w i n g a t r i a n g u l a t e d m e s h a c c o r d i n g t o t h e l o c a l g e o m e t r y a n d t o p o l o g y . A l o c a l

3 D D e l a u n a y S u r f a c e C o n s t r a i n t i s i n t r o d u c e d t o e n s u r e t h a t t h e t r i a n g u l a t e d m e s h i s l o c a l l y D e l a u n a y

a n d i s a c o r r e c t s u r f a c e a p p r o x i m a t i o n o f t h e m a n i f o l d s u r f a c e . T h e r e s u l t i n g t r i a n g u l a t i o n i s g l o b a l l y

D e l a u n a y w i t h u n i f o r m t r i a n g l e s h a p e p r o v i d i n g a n e c i e n t r e p r e s e n t a t i o n o f t h e i m p l i c i t s u r f a c e .

M T o v e r c o m e s s e v e r a l l i m i t a t i o n s o f p r e v i o u s v o l u m e - b a s e d i m p l i c i t s u r f a c e p o l y g o n i s a t i o n t e c h n i q u e s .

V o l u m e - b a s e d a p p r o a c h e s , s u c h a s M a r c h i n g C u b e s ( M C ) , i n t e r s e c t t h e s u r f a c e w i t h a v o l u m e t r i c d e c o m -

p o s i t i o n o f t h e s p a c e . T h i s r e s u l t s i n h i g h l y i n e c i e n t r e p r e s e n t a t i o n d u e t o n o n - u n i f o r m t r i a n g l e s h a p e .

M T a l s o e n a b l e s p o l y g o n i s a t i o n o f o p e n m a n i f o l d s , d y n a m i c i n t e g r a t i o n o f n e w d a t a i n t o a n e x i s t i n g

t r i a n g u l a t i o n , r e d u c e d c o m p u t a t i o n a l c o s t a n d c o r r e c t a p p r o x i m a t i o n o f c o m p l e x g e o m e t r y .

R e s u l t s a r e p r e s e n t e d f o r t h e p o l y g o n i s a t i o n o f i m p l i c i t s u r f a c e s d e n e d p a r a m e t r i c a l l y a n d f r o m s u r f a c e

m e a s u r e m e n t s o f r e a l o b j e c t s . I m p l i c i t s u r f a c e r e p r e s e n t a t i o n o f r e a l o b j e c t s i s b a s e d o n t h e g e o m e t r i c

f u s i o n o f m u l t i p l e r a n g e i m a g e s . T h e M a r c h i n g T r i a n g l e s a l g o r i t h m l e a d s t o b o t h r e p r e s e n t a t i o n a l a n d

c o m p u t a t i o n a l c o s t s a f a c t o r o f 3 | 5 l o w e r t h a n p r e v i o u s v o l u m e b a s e d a p p r o a c h e s s u c h a s M C .

1 I n t r o d u c t i o n

1 . 1 V o l u m e - B a s e d I m p l i c i t S u r f a c e P o l y g o n i s a t i o n

P o l y g o n i s a t i o n o f i m p l i c i t l y d e n e d s u r f a c e s h a s a t t r a c t e d c o n s i d e r a b l e i n t e r e s t f o r v i s u a l i s a t i o n i n m a n y

e l d s i n c l u d i n g c o m p u t e r g r a p h i c s a n d m e d i c a l i m a g i n g . I m p l i c i t s u r f a c e p o l y g o n i s a t i o n b a s e d o n a

u n i f o r m s u b d i v i s i o n o f s p a c e a r e w i d e l y u s e d 6 ] . T h e s e a p p r o a c h e s a r e v o l u m e - b a s e d a s t h e y u s e a

v o l u m e t r i c d e c o m p o s i t i o n o f t h e s p a c e t o p o l y g o n i s e t h e i m p l i c i t s u r f a c e . A p o l y g o n a l r e p r e s e n t a t i o n i s

c o n s t r u c t e d b y i n t e r s e c t i n g t h e i m p l i c i t s u r f a c e w i t h c u b i c o r t e t r a h e d r a l c e l l s . V e r t i c e s i n t h e p o l y g o n a l

r e p r e s e n t a t i o n a r e p o s i t i o n e d a t t h e i n t e r s e c t i o n o f t h e e d g e s o f t h e v o l u m e d e c o m p o s i t i o n w i t h t h e i m p l i c i t

s u r f a c e . E a c h p o l y g o n i s t h e n s u b d i v i d e d i n t o a s e t o f t r i a n g l e s . T h e s u r f a c e t o v o l u m e i n t e r s e c t i o n

p r o d u c e s a h i g h l y n o n - u n i f o r m d i s t r i b u t i o n o f t r i a n g l e s h a p e a n d s i z e , r e s u l t i n g i n a h i g h l y i n e c i e n t

r e p r e s e n t a t i o n o f t h e i m p l i c i t s u r f a c e g e o m e t r y . R e p r e s e n t a t i o n a c c u r a c y i s d e p e n d e n t o n t h e s i z e o f t h e

s p a t i a l s u b d i v i s i o n . T h e u s e o f a u n i f o r m s p a t i a l s u b d i v i s i o n l i m i t s t h e m a x i m u m p o l y g o n s i z e t o t h e s i z e

o f t h e v o l u m e c e l l . T h i s r e s u l t s i n p o l y g o n a l r e p r e s e n t a t i o n s w h i c h a r e h i g h l y i n e c i e n t f o r t h e g e o m e t r i c

a c c u r a c y o b t a i n e d . T y p i c a l m e d i c a l i m a g e s r e s u l t i n m e s h e s o f o r d e r 1 0

6

t r i a n g l e s . A d a p t i v e s p a t i a l

s u b d i v i s i o n a n d m e s h o p t i m i s a t i o n t e c h n i q u e s h a v e b e e n p r o p o s e d t o o b t a i n m o r e e c i e n t r e p r e s e n t a t i o n s

f r o m v o l u m e - b a s e d t e c h n i q u e s . A c o m p a r a t i v e e v a l u a t i o n o f v o l u m e - b a s e d a l g o r i t h m s i s g i v e n i n 7 ] .

1

S u p p o r t e d b y E P S R C G R / K 0 4 5 6 9 ` F i n i t e E l e m e n t S n a k e s f o r D e p t h D a t a F u s i o n '



1 . 2 S u r f a c e - B a s e d I m p l i c i t S u r f a c e P o l y g o n i s a t i o n

I n t h i s p a p e r w e p r e s e n t a n a l t e r n a t i v e t o p r e v i o u s v o l u m e - b a s e d i m p l i c i t s u r f a c e p o l y g o n i s a t i o n a p -

p r o a c h e s . A s u r f a c e - b a s e d a p p r o a c h c a l l e d ` M a r c h i n g T r i a n g l e s ' ( M T ) i s i n t r o d u c e d w h i c h e n a b l e s i m -

p l i c i t s u r f a c e p o l y g o n i s a t i o n b a s e d o n t h e l o c a l s u r f a c e g e o m e t r y a n d t o p o l o g y . S u r f a c e - b a s e d a p p r o a c h e s ,

a s d e n e d b y B o i s s o n n a t 2 ] , a l l o w m e s h v e r t i c e s t o b e p l a c e d a c c o r d i n g t o t h e l o c a l s u r f a c e g e o m e t r y .

A 3 D D e l a u n a y c o n s t r a i n t i s i n t r o d u c e d w h i c h e n s u r e s t h e c o n n e c t i v i t y b e t w e e n m e s h v e r t i c e s i s l o c a l l y

D e l a u n a y a n d c o r r e c t l y a p p r o x i m a t e s t h e i m p l i c i t s u r f a c e . T h e r e s u l t i n g t r i a n g u l a t i o n i s a n a c c u r a t e a n d

e c i e n t r e p r e s e n t a t i o n o f t h e i m p l i c i t s u r f a c e . T h e t r i a n g u l a t i o n i s a n a p p r o x i m a t i o n o f t h e D e l a u n a y

t r i a n g u l a t i o n f o r t h e s e t o f m e s h v e r t i c e s o n a m a n i f o l d s u r f a c e . T h e D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n i s a n o p t i -

m a l g e o m e t r i c s t r u c t u r e w h i c h g i v e s u n i f o r m t r i a n g l e s h a p e , r e s u l t i n g i n a n e c i e n t r e p r e s e n t a t i o n . T h e

r e s u l t i n g t r i a n g u l a t i o n i s t h e r e f o r e d i r e c t l y s u i t a b l e f o r a p p l i c a t i o n s s u c h a s v i s u a l i s a t i o n o r n i t e e l e m e n t

a n a l y s i s .

I n t h i s p a p e r w e i n t r o d u c e t h e M a r c h i n g T r i a n g l e s ( M T ) a l g o r i t h m f o r i m p l i c i t s u r f a c e t r i a n g u l a t i o n

w i t h a p p r o x i m a t e l y u n i f o r m t r i a n g l e s i z e a n d s h a p e . R e s u l t s a r e c o m p a r e d w i t h t h e v o l u m e - b a s e d M a r c h -

i n g C u b e s ( M C ) a p p r o a c h t o i m p l i c i t s u r f a c e p o l y g o n i s a t i o n w i t h u n i f o r m s p a t i a l d e c o m p o s i t i o n 1 ] . M T

w i t h a n a d a p t i v e d i s t r i b u t i o n o f t r i a n g l e s i z e a c c o r d i n g t o t h e l o c a l s u r f a c e c u r v a t u r e w i l l b e i n v e s t i g a t e d

i n f u t u r e w o r k .

T h e m o t i v a t i o n f o r t h i s w o r k i s t h e r e c o n s t r u c t i o n o f 3 D m o d e l s o f r e a l o b j e c t s f r o m m u l t i - v i e w s e t s

o f r a n g e i m a g e s u r f a c e m e a s u r e m e n t s . R e c e n t r e s e a r c h 5 , 3 ] h a s r e s u l t e d i n t h e g e o m e t r i c f u s i o n o f

m u l t i - v i e w r a n g e i m a g e s i n t o a s i n g l e i m p l i c i t s u r f a c e r e p r e s e n t a t i o n . R e l i a b l e g e o m e t r i c f u s i o n i n r e g i o n s

o f c o m p l e x g e o m e t r y i s a c h i e v e d b y c o n s t r a i n t s o n t h e l o c a l s u r f a c e g e o m e t r y a n d t o p o l o g y b a s e d o n

m e a s u r e m e n t u n c e r t a i n t y 5 ] . I n p r e v i o u s w o r k t h e M C a p p r o a c h w a s u s e d t o r e c o n s t r u c t a t r i a n g u l a t e d

m o d e l f r o m t h e i m p l i c i t s u r f a c e r e p r e s e n t a t i o n . T h i s a p p r o a c h h a s s e v e r a l l i m i t a t i o n s : t h e s u r f a c e i s

a c l o s e d m a n i f o l d ; a l l d a t a a r e r e q u i r e d a p r i o r i ; t h e r e s u l t i n g t r i a n g u l a t i o n i s h i g h l y n o n - u n i f o r m ; t h e

m e t h o d i s c o m p u t a t i o n a l l y e x p e n s i v e a n d r e c o n s t r u c t i o n o f o b j e c t g e o m e t r y i s l i m i t e d b y t h e c u b e s i z e .

M T w a s d e v e l o p e d t o o v e r c o m e t h e s e l i m i t a t i o n s .

2 I m p l i c i t R e p r e s e n t a t i o n o f a n O p e n M a n i f o l d S u r f a c e

A n i m p l i c i t s u r f a c e i s d e n e d a s t h e z e r o - s e t , f ( ~x ) = 0 , o f a e l d f u n c t i o n , f ( ~x ) , w h e r e ~x i s a p o i n t i n 3 D

s p a c e R

3

. A c l o s e d m a n i f o l d s u r f a c e i s a 2 - m a n i f o l d i n R

3

o f a r b i t r a r y t o p o l o g y w h i c h i s g e o m e t r i c a l l y

c o n t i n u o u s i n p o s i t i o n . A n o p e n m a n i f o l d s u r f a c e h a s g e o m e t r i c d i s c o n t i n u i t i e s i n p o s i t i o n i . e . h o l e s .

I m p l i c i t r e p r e s e n t a t i o n o f a m a n i f o l d s u r f a c e , S , c a n b e a c h i e v e d b y d e n i n g a s c a l a r e l d f u n c t i o n , f ( ~x ) ,

t o b e t h e d i s t a n c e t o t h e n e a r e s t p o i n t o n t h e s u r f a c e , ~x

n e a r e s t

, w h e r e f ( ~ x

n e a r e s t

) = 0 : f ( ~x ) = j ~x

n e a r e s t

? ~x j .

S i g n e d e l d f u n c t i o n r e p r e s e n t a t i o n s a r e c o m m o n l y r e q u i r e d f o r i m p l i c i t s u r f a c e p o l y g o n i s a t i o n a l g o r i t h m s ,

s u c h a s M a r c h i n g C u b e s , b e c a u s e t h e y d e n e p o i n t s a s e i t h e r ` i n s i d e ' , f ( ~x ) < 0 , o r ` o u t s i d e ' , f ( ~x ) > 0 ,

a c l o s e d m a n i f o l d s u r f a c e S . A c h a n g e i n t h e s i g n o f t h e e l d f u n c t i o n b e t w e e n t w o p o i n t s i n d i c a t e s

t h a t t h e m a n i f o l d s u r f a c e m u s t i n t e r s e c t a s t r a i g h t l i n e b e t w e e n t h o s e p o i n t s a t l e a s t o n c e . A s i g n e d

e l d f u n c t i o n c a n b e e v a l u a t e d f o r a c l o s e d m a n i f o l d s u r f a c e , S , f r o m t h e s u r f a c e n o r m a l o r i e n t a t i o n ,

~n

n e a r e s t

, a t t h e n e a r e s t p o i n t , ~x

n e a r e s t

a s : f ( ~x ) = ( ~x ? ~x

n e a r e s t

) : ~n

n e a r e s t

. R e p r e s e n t a t i o n o f a n o p e n

m a n i f o l d s u r f a c e r e q u i r e s e x p l i c i t r e p r e s e n t a t i o n o f t h e d i s c o n t i n u i t y b o u n d a r y . A b o u n d a r y f u n c t i o n b ( ~x )

i s d e n e d w h i c h i s ` f a l s e ' i f t h e n e a r e s t p o i n t i s i n t e r n a l t o t h e s u r f a c e a n d ` t r u e ' i f t h e n e a r e s t p o i n t i s o n

t h e b o u n d a r y . T h u s a n o p e n m a n i f o l d s u r f a c e , S , i s r e p r e s e n t e d i n a n i m p l i c i t f o r m a s t h e s e t o f p o i n t s

f o r w h i c h f ( ~x ) = 0 ; b ( ~ x ) = ` f a l s e ' ] . R e p r e s e n t a t i o n o f a n o p e n m a n i f o l d s u r f a c e , S , i s i l l u s t r a t e d f o r a

c r o s s - s e c t i o n i n g u r e 1 . F i e l d f u n c t i o n e v a l u a t i o n i s s h o w n f o r t w o p o i n t s x

1

a n d x

2

w i t h n e a r e s t p o i n t s

i n t e r n a l t o t h e s u r f a c e , b ( x

1

) = ` f a l s e ' , a n d o n t h e s u r f a c e b o u n d a r y , b ( x

2

) = ` t r u e ' .

I n t h e i m p l i c i t s u r f a c e - b a s e d g e o m e t r i c f u s i o n a p p r o a c h 5 ] i n f o r m a t i o n o n s u r f a c e b o u n d a r y , b ( ~x ) , a n d

o r i e n t a t i o n , ~n

n e a r e s t

, i s a v a i l a b l e w h e n e v a l u a t i n g t h e e l d f u n c t i o n f ( ~ x ) a t n o a d d i t i o n a l c o m p u t a t i o n a l

c o s t . F o r p a r a m e t r i c i m p l i c i t s u r f a c e f u n c t i o n s t h i s i n f o r m a t i o n i s d e n e d i m p l i c i t l y i n t h e c o n t i n u o u s

e l d f u n c t i o n , f ( ~x ) , a n d m a y b e f o u n d b y a n u m e r i c a l s c h e m e s u c h a s g r a d i e n t d e c e n t . T h i s i s a n a l o g o u s

t o e d g e i n t e r s e c t i o n t e c h n i q u e s u s e d i n v o l u m e - b a s e d i m p l i c i t s u r f a c e p o l y g o n i s a t i o n s c h e m e s .



x2_nearest

x1_nearest

n2_nearestn1_nearest

x1:[f(x1),b(x1)=‘false’]

x2:[f(x2),b(x2)=‘true’]

Implicit Surface:[ f(x)=0,b(x)=‘false’]

F i g u r e 1 : F i e l d f u n c t i o n e v a l u a t i o n

3 D e l a u n a y T r i a n g u l a t i o n o n a M a n i f o l d S u r f a c e

T h i s s e c t i o n d e n e s t h e t h e o r e t i c a l b a s i s o f a l o c a l 3 D p r o c e d u r e f o r c o n s t r u c t i n g a t r i a n g u l a t e d p o l y h e d r a l

m o d e l , M = f T

0

: : : T

N

g , o f a n u n k n o w n o b j e c t s u r f a c e , S . W e i n t r o d u c e a 3 D s u r f a c e - b a s e d c o n s t r a i n t

f o r t h e D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n o f a s e t o f p o i n t s , X = f ~x

1

: : : ~ x

i

: : : ~ x

N

g , o n a n a r b i t r a r y t o p o l o g y m a n i f o l d

s u r f a c e , S , w h e r e e a c h p o i n t ~x

i

i s a v e c t o r , ( x ; y ; z ) , d i s p l a c e m e n t f r o m t h e o r i g i n i n R

3

.

T h e 3 D D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n o f a n a r b i t r a r y p o i n t s e t X i s c o m p o s e d o f t e t r a h e d r a l v o l u m e s ,

T

i j k l

= T ( ~ x

i

; ~x

j

; ~x

k

; ~x

l

) , s u c h t h a t t h e r e e x i s t s a s p h e r e w h i c h p a s s e s t h r o u g h e a c h v e r t e x , ( ~x

i

; ~x

j

; ~x

k

; ~x

l

) , o f

T

i j k l

w h i c h d o e s n o t c o n t a i n a n y o t h e r i n t e r i o r p o i n t s o f X . E a c h t e t r a h e d r a i s c o m p o s e d o f f o u r t r i a n g u l a r

f a c e s , ( T

i j k

; T

i l j

; T

l i k

; T

j k l

) . I n t h e c a s e w h e r e t h e p o i n t s , X , l i e o n a m a n i f o l d s u r f a c e , S , B o i s s o n n a t 2 ]

d e r i v e s t h e f o l l o w i n g i m p o r t a n t p r o p e r t y w h i c h m u s t b e s a t i s e d f o r t h e D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n D ( X )

t o c o n t a i n a p o l y h e d r o n , M ( X ) , w h i c h i s a c o r r e c t a p p r o x i m a t i o n o f t h e s u r f a c e S . P o l y h e d r o n , M ( X ) ,

i s a s i m p l e m a n i f o l d c o m p o s e d o f a c o n n e c t e d s u b s e t o f t h e f a c e s o f t h e D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n , D ( X ) .

C o r r e c t a p p r o x i m a t i o n r e q u i r e s t h a t t h e p o l y h e d r o n , M ( X ) , r e s p e c t t h e r e l a t i v e l o c a t i o n s o f t h e p o i n t s ,

X , o n t h e s u r f a c e S . T h i s r e q u i r e s t h a t M ( X ) i s d i e o m o r p h i c t o a c u r v e d p o l y h e d r o n M

C

( X ) t i g h t l y

s t r e t c h e d o n t h e s u r f a c e S t h r o u g h t h e p o i n t s X . T h u s e a c h t r i a n g l e T i n M ( X ) m u s t b e d i e o m o r p h i c

t o a c u r v e d t r i a n g l e T

C

o n M

C

( X ) . D i e o m o r p h i s m b e t w e e n t w o s u r f a c e p a t c h e s A a n d B c a n b e d e n e d

a s t h e e x i s t e n c e o f a p r o j e c t i o n t h a t r e l a t e s e a c h p o i n t o n A a n d B a n d r e s p e c t s t h e i r r e l a t i v e l o c a t i o n s .

A t r i a n g l e T

i j k

w h i c h i s l o c a l l y d i e o m o r p h i c t o t h e m a n i f o l d s u r f a c e S i s a f a c e i n t h e 3 D D e l a u n a y

t r i a n g u l a t i o n D ( X ) p r o v i d e d t h e f o l l o w i n g p r o p e r t y i s s a t i s e d :

D e l a u n a y F a c e P r o p e r t y : T r i a n g l e T ( ~ x

i

; ~ x

j

; ~x

k

) i s a f a c e i n t h e 3 D D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n

D ( X ) p r o v i d e d t h e r e e x i s t s a c i r c u m s p h e r e p a s s i n g t h r o u g h e a c h t r i a n g l e v e r t e x , ( ~x

i

; ~x

j

; ~x

k

) ,

t h a t d o e s n o t c o n t a i n a n y o t h e r i n t e r i o r p o i n t o f X .

T h e a b o v e p r o p e r t y f o l l o w s f r o m t h e d e n i t i o n o f t h e D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n . A p r o o f f o r t h e D e l a u n a y

t r i a n g u l a t i o n i n R

2

i s g i v e n b y O ' R o u k e 8 ] a n d e x t e n d s t o R

3

. T h e D e l a u n a y F a c e P r o p e r t y r e q u i r e s t h a t

t h e s e t X o f p o i n t s o n a m a n i f o l d s u r f a c e m u s t b e s u c i e n t l y d e n s e t o s a t i s f y t h e a b o v e c o n s t r a i n t . T h i s

r e q u i r e s t h a t i n r e g i o n s o f h i g h c u r v a t u r e o r f o r t h i n p a r t s t h e m a x i m u m s p a c i n g b e t w e e n m e a s u r e m e n t s

i s d e t e r m i n e d b y t h e a m o u n t o f f r e e s p a c e a r o u n d t h e s u r f a c e . T h e D e l a u n a y f a c e c o n s t r a i n t i s i l l u s t r a t e d

i n F i g u r e 2 f o r a p o l y h e d r a l a p p r o x i m a t i o n M ( X ) o f t h e m a n i f o l d s u r f a c e S . T h e s p h e r e p a s s i n g t h r o u g h

t h e v e r t i c e s o f t r i a n g l e , T

i j k

d o e s n o t c o n t a i n a n y o t h e r p o i n t i n X .

I f t h e a b o v e f a c e p r o p e r t y i s s a t i s e d f o r a l l T i n a p o l y h e d r o n M ( X ) w h i c h i s d i e o m o r p h i c t o s u r f a c e ,

S , t h e n t h e D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n D ( X ) m u s t c o n t a i n t h e p o l y h e d r o n M ( X ) . C o n s e q u e n t l y i f M ( X )

i s i n D ( X ) t h e n i t i n h e r i t s t h e o p t i m a l g e o m e t r i c p r o p e r t i e s o f t h e D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n . T h u s M ( X )



Empty Cirum-sphere

Manifold Surface, S

C

Tijk

x_j

x_k x_i

Polyhedral approximation M(X)

F i g u r e 2 : D e l a u n a y f a c e p r o p e r t y

i s a D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n o f t h e m a n i f o l d s u r f a c e , S , f o r t h e p o i n t s e t X . T h e D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n

d e n e s a n o p t i m a l g e o m e t r i c s t r u c t u r e w h i c h i s s y m m e t r i c , i s o t r o p i c a n d c l o s e l y r e l a t e d t o t h e m e t r i c o f

t h e s u r f a c e . D i s t a n c e s o n t h e t r i a n g u l a t i o n M ( X ) a p p r o x i m a t e t h e d i s t a n c e o n t h e m a n i f o l d s u r f a c e S .

I n p a r t i c u l a r t h e t r i a n g u l a t i o n m a x i m i s e s t h e m i n i m u m a n g l e o f a n y t r i a n g l e . T h i s i s a n a l o g o u s t o t h e

2 D D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n o f a p o i n t s e t w h e r e t h e p o i n t s , X , l i e o n a 2 - m a n i f o l d s u r f a c e i n R

3

r a t h e r

t h a n t h e p l a n e R

2

.

4 D e l a u n a y S u r f a c e C o n s t r a i n t

R e c o n s t r u c t i o n o f a t r i a n g u l a t e d p o l y h e d r o n t h a t c o r r e c t l y a p p r o x i m a t e s t h e s u r f a c e a n d i s g e o m e t r i c a l l y

o p t i m a l r e q u i r e s t w o c o n d i t i o n s t o b e s a t i s e d . E a c h t r i a n g l e T i n M ( X ) m u s t :

1 . R e s p e c t t h e r e l a t i v e l o c a t i o n s o f p o i n t s X o n t h e s u r f a c e S .

2 . S a t i s f y t h e D e l a u n a y F a c e P r o p e r t y .

I n t h i s s e c t i o n w e u s e t h e a b o v e c o n d i t i o n s t o d e r i v e a s u r f a c e - b a s e d a p p r o a c h t o t r i a n g u l a t i o n o f a

m a n i f o l d i m p l i c i t s u r f a c e . W e s t a r t w i t h a p a r t i a l m o d e l , M

0

( X

0

) , w h i c h i s a c o r r e c t a p p r o x i m a t i o n o f

p a r t o f t h e s u r f a c e S a n d i s a l s o a p o l y h e d r o n i n t h e D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n D ( X

0

) , a s d e n e d i n t h e

p r e v i o u s s e c t i o n . W e d e n e a l o c a l p r o c e d u r e f o r a d d i n g t r i a n g u l a r e l e m e n t s , T

n e w

, t o t h e b o u n d a r y o f ,

M

0

, s u c h t h a t t h e r e s u l t i n g t r i a n g u l a t i o n M = f M

0

; T

n e w

g i s a l s o a c o r r e c t a p p r o x i m a t i o n o f S a n d i s

l o c a l l y D e l a u n a y . G i v e n a n e d g e e ( ~ x

i

; ~ x

j

) o n t h e b o u n d a r y o f t h e e x i s t i n g m o d e l w e n d a n e w p o i n t

~x

n e w

o n t h e s u r f a c e r e g i o n a d j a c e n t t o e o u t s i d e t h e b o u n d a r y o f t h e e x i s t i n g m o d e l . T h u s t h e t r i a n g l e

T

n e w

= T ( ~x

i

; ~ x

j

; ~x

n e w

) i s a c o r r e c t l o c a l a p p r o x i m a t i o n o f t h e s u r f a c e . F o r t h e t r i a n g l e T

n e w

t o b e a d d e d

t o t h e m o d e l M

0

t h e f o l l o w i n g c o n s t r a i n t m u s t b e s a t i s e d :

3 D D e l a u n a y S u r f a c e C o n s t r a i n t : A t r i a n g l e , T ( ~x

i

; ~x

j

; ~x

n e w

) , m a y o n l y b e a d d e d t o

t h e m e s h b o u n d a r y , a t e d g e e ( ~x

i

; ~x

j

) , i f n o p a r t o f t h e e x i s t i n g m o d e l , M

0

, w i t h t h e s a m e

s u r f a c e o r i e n t a t i o n i s i n s i d e t h e s p h e r e p a s s i n g t h r o u g h t h e t r i a n g l e v e r t i c e s , x , a b o u t t h e

c e n t r e , c

T

, w h e r e c

T

i s t h e c i r c u m - c e n t r e o f t h e t r i a n g l e v e r t i c e s , ( ~x

i

; ~x

j

; ~x

n e w

) , i n t h e p l a n e

o f t h e t r i a n g l e , T . S u r f a c e p o i n t s o f t h e s a m e o r i e n t a t i o n a r e d e n e d b y a p o s i t i v e n o r m a l

d o t p r o d u c t , n

T

: n

M

0

> 0 .

T h e D e l a u n a y s u r f a c e c o n s t r a i n t i s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 3 . T h i s c o n s t r a i n t g u a r a n t e e s t h a t t r i a n g l e

T

n e w

u n i q u e l y a p p r o x i m a t e s t h e l o c a l s u r f a c e i n t h e m e s h M ( X ) . T h u s t h e m e s h M ( X ) d o e s n o t o v e r - f o l d

o r s e l f - i n t e r s e c t . T h e r e s u l t i n g t r i a n g u l a t i o n w i l l c o r r e c t l y r e p r e s e n t t h e s u r f a c e t o p o l o g y a n d a p p r o x i m a t e

t h e s u r f a c e g e o m e t r y .

T h e a b o v e c o n s t r a i n t i s a n a p p r o x i m a t i o n o f t h e D e l a u n a y F a c e P r o p e r t y . A n a p p r o x i m a t i o n i s r e q u i r e d

a s t h e D e l a u n a y F a c e P r o p e r t y d o e s n o t c o n s t r a i n t h e c e n t r e o f t h e e m p t y c i r c u m - s p h e r e . I m p l e m e n t a t i o n



j

ik

r

C

F i g u r e 3 : 3 D D e l a u n a y S u r f a c e C o n s t r a i n t

o f t h e e x a c t D e l a u n a y F a c e P r o p e r t y w o u l d r e q u i r e a s e a r c h f o r a n e m p t y s p h e r e w i t h c e n t r e o n t h e l i n e

e q u i - d i s t a n t f r o m t h e t r i a n g l e v e r t i c e s . C o n s t r a i n i n g t h e c e n t r e o f t h e c i r c u m - s p h e r e t o b e t h e c e n t r e o f

t h e c i r c u m - c i r c l e i n t h e t r i a n g l e p l a n e , c

T

, e n a b l e s t h e D e l a u n a y F a c e P r o p e r t y t o b e s a t i s e d . H o w e v e r ,

t h i s i m p o s e s a h a r d c o n s t r a i n t t h a t f r e e - s p a c e a r o u n d t h e s u r f a c e m u s t b e g r e a t e r t h a n t h e r a d i u s o f t h e

c i r c u m - s p h e r e . R e l a x a t i o n o f t h i s c o n s t r a i n t i s a c h i e v e d b y a l l o w i n g p a r t s o f t h e e x i s t i n g m o d e l , M

0

( X

0

) ,

w i t h o p p o s i t e o r i e n t a t i o n t o i n t e r s e c t t h e s p h e r e . T h i s a l l o w s t r i a n g u l a t i o n o f c o m p l e x g e o m e t r i e s s u c h a s

t h i n s u r f a c e s e c t i o n s a n d r e g i o n o f h i g h c u r v a t u r e . T h e r e s u l t i n g t r i a n g u l a t i o n i s l o c a l l y a p p r o x i m a t e l y a

D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n o f t h e m a n i f o l d s u r f a c e S .

T h i s c o n s t r a i n t e n s u r e s t h a t t h e t r i a n g l e T

n e w

i s l o c a l l y a D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n o f t h e m a n i f o l d

s u r f a c e , S . T h i s e n s u r e s t h a t t h e r e s u l t i n g t r i a n g u l a t e d m o d e l M , i s a p p r o x i m a t e l y g l o b a l l y D e l a u n a y ,

F o r t u n e 4 ] . T h u s t h e r e s u l t i n g m o d e l M ( X ) w i l l a p p r o x i m a t e t h e o p t i m a l g e o m e t r i c p r o p e r t i e s o f t h e

D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n D ( X ) f o r t h e p o i n t s e t X . I n p a r t i c u l a r t h e r e s u l t i n g t r i a n g u l a t i o n w i l l h a v e t h e

d e s i r a b l e p r o p e r t i e s o f n e i g h b o u r h o o d s y m m e t r y a n d i s o t r o p y . T h i s c o n s t r a i n t d o e s n o t i m p o s e a n y r e -

s t r i c t i o n s o n t h e m e s h v e r t e x p o s i t i o n . I n p a r t i c u l a r m e s h v e r t i c e s a r e n o t r e s t r i c t e d t o l i e a t m e a s u r e m e n t

p o i n t s u n l i k e p r e v i o u s a l g o r i t h m s 2 , 9 ] . T h i s f a c i l i t a t e s t h e d e s i g n o f a n e w a l g o r i t h m w h i c h p o s i t i o n s

m e s h v e r t i c e s a c c o r d i n g t o l o c a l s u r f a c e g e o m e t r y .

5 M a r c h i n g T r i a n g l e s A l g o r i t h m

A n i m p l i c i t s u r f a c e t r i a n g u l a t i o n a l g o r i t h m c a n n o w b e d e v e l o p e d b a s e d o n t h e l o c a l 3 D D e l a u n a y s u r f a c e

c o n s t r a i n t . G i v e n a n i m p l i c i t s u r f a c e r e p r e s e n t a t i o n , f ( ~x ) ; b ( ~x ) ] , o f a n a r b i t r a r y t o p o l o g y o p e n m a n i f o l d

s u r f a c e t h e t r i a n g u l a t i o n a l g o r i t h m p r o c e e d s a s f o l l o w s . F i r s t l y a n i n i t i a l s e e d m o d e l , M ( X ) = M

0

( X

0

) ,

i s d e n e d . T h i s m a y b e e i t h e r a s i n g l e t r i a n g u l a r s e e d e l e m e n t o r a p r e v i o u s l y c o n s t r u c t e d m o d e l t o w h i c h

w e w i s h t o i n c o r p o r a t e n e w m e a s u r e m e n t s . T h e c u r r e n t m o d e l M ( X ) i s r e p r e s e n t e d a s a l i s t o f e d g e s a n d

v e r t i c e s . T h e a l g o r i t h m i s i m p l e m e n t e d a s a s i n g l e p a s s t h r o u g h t h e e d g e l i s t . N e w e d g e s i n t r o d u c e d b y

t h e a d d i t i o n o f n e w e l e m e n t s t o t h e m o d e l a r e a p p e n d e d t o t h e e n d o f t h e e d g e l i s t . T h e a l g o r i t h m d o e s

n o t t e r m i n a t e u n t i l a l l m o d e l e d g e s h a v e b e e n t e s t e d o n c e . T h e a l g o r i t h m p r o c e e d s b y t e s t i n g e a c h e d g e ,

e

b o u n d

= e ( ~x

i

; ~x

j

) , o n t h e c u r r e n t m o d e l b o u n d a r y , M :

1 . E s t i m a t e a n e w v e r t e x p o s i t i o n , ~x

p r o j

, b y p r o j e c t i n g a c o n s t a n t d i s t a n c e , l

p r o j

, p e r p e n d i c u l a r t o

t h e m i d - p o i n t o f t h e b o u n d a r y e d g e , e

b o u n d

, i n t h e p l a n e o f t h e m o d e l b o u n d a r y e l e m e n t , T

b o u n d

=

T ( ~x

j

; ~x

i

; ~x

k

) .

2 . E v a l u a t e t h e n e w v e r t e x p o s i t i o n , ~x

n e w

, o n t h e i m p l i c i t s u r f a c e a s t h e n e a r e s t p o i n t t o ~x

p r o j

: ~x

n e w

=

~x

n e a r e s t

w h e r e f ( ~x

n e a r e s t

) = 0 .

3 . T e r m i n a t e t h e m e s h g r o w i n g ( 8 ) f o r t h e e d g e e

b o u n d

i f e i t h e r :

( a ) N e a r e s t p o i n t i s o n t h e b o u n d a r y b ( ~x

n e w

) = ` t r u e ' .

( b ) I m p l i c i t s u r f a c e n o r m a l o r i e n t a t i o n , n

n e w

, o f T

n e w

= T ( ~x

i

; ~x

j

; ~x

n e w

) i s o p p o s i t e t o t h e m o d e l

o r i e n t a t i o n n

b o u n d

o f t h e b o u n d a r y t r i a n g l e T

b o u n d

: n

b o u n d

: n

n e w

< 0 .

4 . A p p l y 3 D D e l a u n a y S u r f a c e C o n s t r a i n t t o T

n e w

.

5 . I f T

n e w

p a s s e s t h e 3 D D e l a u n a y S u r f a c e C o n s t r a i n t



i

k

i j

i j

(a) Step 1: Estimate new vertex position (b) Step 4:Delaunay constaint for new

(d) Step 7:Delaunay constraint for overlap(c) Step 6:Delaunay constraint for next

projC

prev

ji

k

overlap

C

C

next

F i g u r e 4 : I l l u s t r a t i o n i n 2 D o f k e y s t e p s i n t h e M a r c h i n g T r i a n g l e s a l g o r i t h m

( a ) a d d v e r t e x ~x

n e w

t o t h e v e r t e x l i s t .

( b ) a d d t r i a n g l e T

n e w

t o t h e m e s h M .

( c ) a d d e d g e s e ( ~x

j

; ~x

n e w

) a n d e ( ~x

n e w

; ~x

i

) t o t h e e n d o f t h e e d g e l i s t .

6 . I f T

n e w

f a i l s t h e L o c a l D e l a u n a y S u r f a c e C o n s t r a i n t t h e n a p p l y s t e p s 4 & 5 t o a d j a c e n t b o u n d a r y

v e r t i c e s , T

n e w

= T

p r e v

= T ( ~ x

i

; ~ x

j

; ~x

p r e v

) o r T

n e w

= T

n e x t

= T ( ~x

i

; ~ x

j

; ~x

n e x t

) .

7 . I f T

n e w

, T

n e x t

a n d T

p r e v

a l l f a i l t h e L o c a l D e l a u n a y S u r f a c e C o n s t r a i n t t h e n i f t h e D e l a u n a y c i r c u m -

s p h e r e f o r T

n e w

( ~x

i

; ~x

j

; ~x

n e w

) o v e r l a p s a b o u n d a r y t r i a n g l e , T

o v e r l a p

, o n a n e x i s t i n g p a r t o f t h e m o d e l ,

M ( X ) w i t h t h e s a m e o r i e n t a t i o n a s t h e b o u n d a r y t r i a n g l e , T

b o u n d

, s u c h t h a t n

b o u n d

: n

o v e r l a p

> 0 ,

t h e n a p p l y s t e p s 4 & 5 w i t h T

n e w

= T ( ~x

i

; ~x

j

; ~ x

o v e r l a p

) w h e r e ~x

o v e r l a p

i s t h e n e a r e s t b o u n d a r y v e r t e x

o n T

o v e r l a p

.

8 . T e s t i n g o f e d g e e

b o u n d

t e r m i n a t e s w h e n o n e o r n o n e w t r i a n g l e s h a v e b e e n a d d e d t o t h e m o d e l , M .

T h e m e s h g r o w i n g a l g o r i t h m d e n e d a b o v e e n a b l e s t r i a n g u l a t i o n o f a m a n i f o l d i m p l i c i t s u r f a c e o f

a r b i t r a r y t o p o l o g y a n d g e o m e t r y . T h e p r i n c i p a l s t e p s o f t h e M T a l g o r i t h m a r e i l l u s t r a t e d i n F i g u r e

4 . S t e p s ( 1 ) a n d ( 2 ) e s t i m a t e a p o s s i b l e n e w v e r t e x p o s i t i o n , x

n e w

, o n t h e i m p l i c i t s u r f a c e , f ( ~x

n e w

) .

P r o j e c t i o n b y a c o n s t a n t d i s t a n c e e n s u r e s a p p r o x i m a t e l y u n i f o r m t r i a n g l e s i z e . S t e p ( 3 ) e n s u r e s t h a t t h e

n e w t r i a n g l e , T

n e w

, i s a c o r r e c t a p p r o x i m a t i o n o f t h e l o c a l s u r f a c e . N e w m e s h v e r t i c e s m u s t c o r r e s p o n d t o

n o n - b o u n d a r y p o i n t s o n t h e i m p l i c i t s u r f a c e , s t e p ( 3 a ) . T h i s c o n s t r a i n t e n s u r e s t h a t t h e t h e b o u n d a r i e s

o f g e o m e t r i c d i s c o n t i n u i t i e s i n a n o p e n m a n i f o l d i m p l i c i t s u r f a c e a r e c o r r e c t l y r e c o n s t r u c t e d . S t e p ( 3 b )

e n s u r e s t h a t t h e l o c a l m o d e l g e o m e t r y c o r r e s p o n d s t o t h e i m p l i c i t s u r f a c e g e o m e t r y . T h i s i s r e q u i r e d w h e r e

t h e e s t i m a t e d v e r t e x p o s i t i o n , ~ x

p r o j

, m a y e r r o n e o u s l y c o r r e s p o n d t o a d i e r e n t p a r t o f t h e o b j e c t s u r f a c e .

T h i s m a y o c c u r f o r t h i n o b j e c t p a r t s w i t h t h e s i m p l e e s t i m a t i o n s c h e m e o f s t e p ( 1 ) . A n a d a p t i v e s c h e m e

f o r e s t i m a t i o n o f n e w v e r t e x p o s i t i o n s b a s e d o n l o c a l s u r f a c e p r o p e r t i e s s u c h a s c u r v a t u r e w o u l d r e d u c e

i n c o r r e c t c o r r e s p o n d e n c e s . S t e p ( 4 ) e n s u r e s t h a t t h e n e w t r i a n g l e , T

n e w

, l o c a l l y s a t i s e s t h e D e l a u n a y

c i r c u m s p h e r e c o n s t r a i n t . H e n c e , t h e r e s u l t i n g t r i a n g u l a t i o n i s l o c a l l y D e l a u n a y . S t e p ( 5 ) a d d s a t r i a n g l e

s a t i s f y i n g t h e D e l a u n a y c o n s t r a i n t t o t h e m e s h . N e w b o u n d a r y e d g e s a r e a p p e n d e d t o t h e e n d o f t h e

e d g e l i s t t o e n s u r e t h a t t h e m e s h g r o w i n g a l g o r i t h m w i l l t e s t t h e m p r i o r t o t e r m i n a t i o n . S t e p ( 6 ) a l l o w s

t h e l o c a l c o n n e c t i o n o f e x i s t i n g m o d e l v e r t i c e s t o f o r m a c o n t i n u o u s s u r f a c e r e p r e s e n t a t i o n . S t e p ( 7 ) i s

r e q u i r e d t o e l i m i n a t e c r a c k s i n t h e i m p l i c i t s u r f a c e w h e r e t h e e s t i m a t e d t r i a n g l e s o n a d j a c e n t b o u n d a r y

r e g i o n s o v e r l a p . T h i s o c c u r s f o r m e s h g r o w i n g w h e r e d i e r e n t p a r t s o f t h e t r i a n g u l a t i o n m e e t d u e t o t h e

o p e n m a n i f o l d s u r f a c e t o p o l o g y . S t e p ( 8 ) t e r m i n a t e s t e s t i n g f o r e d g e e

b o u n d

a f t e r o n e o r n o t r i a n g l e s h a v e

b e e n a d d e d . T h e m e s h g r o w i n g a l g o r i t h m t h e n a p p l i e s s t e p s ( 1 t o 8 ) t o t h e n e x t b o u n d a r y e d g e i n t h e

e d g e l i s t . T h e ` M a r c h i n g T r i a n g l e s ' m e s h g r o w i n g a l g o r i t h m r e c o n s t r u c t s a t r i a n g u l a t i o n w h i c h i s a c o r r e c t

a p p r o x i m a t i o n o f t h e i m p l i c i t s u r f a c e a n d i s l o c a l l y D e l a u n a y . T h e r e s u l t i n g t r i a n g u l a t e d m e s h , M ( X ) ,

a p p r o x i m a t e s t h e o p t i m a l g e o m e t r i c p r o p e r t i e s o f t h e D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n f o r t h e s e t o f v e r t i c e s X o n

t h e s u r f a c e S .



( a ) 5 t r i a n g l e s ( b ) 1 0 t r i a n g l e s ( c ) 5 0 t r i a n g l e s ( d ) 1 0 0 t r i a n g l e s ( e ) 1 4 9 8 t r i a n g l e s

F i g u r e 5 : M a r c h i n g T r i a n g l e s f o r a s p h e r e : ( a | d ) i n t e r m e d i a t e m e s h e s , ( e ) n a l m o d e l

A p p l i c a t i o n o f t h e M T a l g o r i t h m t o a p a r a m e t r i c a l l y d e n e d i m p l i c i t s u r f a c e r e p r e s e n t a t i o n o f a s p h e r e

i s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 5 . T h e a l g o r i t h m i s i n i t i a l i s e d a s a s i n g l e t r i a n g u l a r s e e d o n t h e i m p l i c i t s u r f a c e .

T h e m e s h g r o w i n g t h e n p r o c e e d s t o a d d e l e m e n t s t o t h e m e s h b o u n d a r y . F i g u r e s 5 ( a | d ) s h o w s n a p s h o t s

o f t h e m e s h g r o w i n g p r o c e d u r e f o r 5 , 1 0 , 5 0 a n d 1 0 0 t r i a n g l e s . T h e a l g o r i t h m t e r m i n a t e s w h e n n o m o r e

t r i a n g l e s c a n b e a d d e d t o t h e m e s h b o u n d a r y 5 ( e ) 1 4 9 8 t r i a n g l e s . I n t h i s c a s e t h e i m p l i c i t s u r f a c e i s c l o s e d

a n d t e r m i n a t e s w h e n n o b o u n d a r y e d g e s e x i s t .

M T d o e s n o t i m p o s e a n y c o n s t r a i n t o n t h e p o s i t i o n o f n e w v e r t i c e s . I n p a r t i c u l a r m e s h v e r t i c e s a r e n o t

c o n s t r a i n e d t o l i e a t m e a s u r e m e n t p o i n t s u n l i k e p r e v i o u s m e s h g r o w i n g p r o c e d u r e s 2 , 9 ] . T h i s f a c i l i t a t e s

a d a p t i v e m e s h g r o w i n g b y e v a l u a t i n g t h e p r o j e c t e d d i s t a n c e , l

p r o j

, a c c o r d i n g t o t h e l o c a l s u r f a c e g e o m e t r y .

R e s u l t s p r e s e n t e d i n t h i s p a p e r a r e f o r a c o n s t a n t p r o j e c t i o n d i s t a n c e w h i c h e n a b l e s a u n i f o r m d i s t r i b u t i o n

o f t r i a n g l e s i z e a n d s h a p e . I n p r i n c i p l e a n a d a p t i v e M a r c h i n g T r i a n g l e s a l g o r i t h m c o u l d b e i m p l e m e n t e d

w h e r e t h e p r o j e c t i o n d i s t a n c e i s d e r i v e d f r o m l o c a l s u r f a c e p r o p e r t i e s s u c h a s c u r v a t u r e .

I f t h e i m p l i c i t s u r f a c e i s c o m p o s e d o f s e v e r a l d i s c o n n e c t e d s u r f a c e r e g i o n s t h e n a ` s e e d ' m e s h i s r e -

q u i r e d f o r e a c h r e g i o n . A n a n a l o g o u s s c h e m e i s r e q u i r e d w i t h p r e v i o u s v o l u m e - b a s e d i m p l i c i t s u r f a c e

p o l y g o n i s a t i o n a l g o r i t h m s s u c h a s M C 1 ] a n d m e s h g r o w i n g a l g o r i t h m s 9 ] .

T h e M T a l g o r i t h m a l l o w s e i t h e r ` s t a t i c ' o r ` d y n a m i c ' i n t e g r a t i o n . T h i s i s a d v a n t a g e o u s i n s i t u a t i o n s

w h e r e t h e i m p l i c i t s u r f a c e i s c o n s t r u c t e d f o r t h e g e o m e t r i c f u s i o n o f m u l t i p l e s e t s o f m e a s u r e m e n t s 3 , 5 ] .

D y n a m i c i n t e g r a t i o n a l l o w s t h e a d d i t i o n o f n e w m e a s u r e m e n t s i n t o a n e x i s t i n g m o d e l . M T e n a b l e s t h e

e x t e n s i o n o f a n e x i s t i n g m o d e l b o u n d a r y i f n e w m e a s u r e m e n t s m o d i f y t h e i m p l i c i t s u r f a c e i n a n a d j a c e n t

r e g i o n . D y n a m i c i n t e g r a t i o n i s p o s s i b l e a s t h e m e s h g r o w i n g a l g o r i t h m a c t s d i r e c t l y o n t h e e x i s t i n g

t r i a n g u l a t e d m o d e l . P r e v i o u s v o l u m e t r i c a p p r o a c h e s p o l y g o n i s e t h e i m p l i c i t s u r f a c e b y t h e i n t e r s e c t i o n

w i t h a v o l u m e c e l l . D y n a m i c i n t e g r a t i o n i s t h e r e f o r e n o t p o s s i b l e u n l e s s t h e i n t e r m e d i a t e v o l u m e t r i c d a t a

s t r u c t u r e i s m a i n t a i n e d .

6 A l g o r i t h m P e r f o r m a n c e

6 . 1 C o m p u t a t i o n a l C o m p l e x i t y

T h e c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t y o f i m p l i c i t s u r f a c e p o l y g o n i s a t i o n a l g o r i t h m s c a n b e d e n e d i n t e r m s o f

t h e n u m b e r o f e l d f u n c t i o n e v a l u a t i o n s . T h e t i m e c o m p l e x i t y o f t h e M T a l g o r i t h m d e p e n d s o n t h e

n u m b e r o f e d g e s , N

E

i n t h e p o l y h e d r a l m o d e l , M . T h e a d d i t i o n o f n e w e l e m e n t s t o e a c h e d g e i n t h e

m o d e l i s c o n s i d e r e d w h e n i t i s o n t h e b o u n d a r y o f a n i n t e r m e d i a t e p a r t i a l m o d e l . T e s t i n g o f a c a n d i d a t e

t r i a n g l e t o b e a d d e d t o t h e m o d e l b o u n d a r y r e q u i r e s t w o i m p l i c i t s u r f a c e f u n c t i o n e v a l u a t i o n s . O n e t o

d e n e t h e n e a r e s t p o i n t o n t h e s u r f a c e a n d t h e s e c o n d t o d e t e r m i n e m o d e l o v e r l a p . T h e E u l e r f o r m u l a

8 ] f o r a t r i a n g l a t e d m e s h d e n e s t h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e n u m b e r o f e d g e s , N

E

, n o d e s , N

N

, f a c e s ,

N

F

, a n d h a n d l e s , N

H

: N

N

? N

E

+ N F = 2 ? 2 N

H

. I t f o l l o w s t h a t i f t h e n u m b e r o f h a n d l e s i s s m a l l

t h e n u m b e r o f n o d e s a n d f a c e s i s t h e s a m e o r d e r a s t h e n u m b e r o f e d g e s O ( N

N

) = O ( N

E

) = O ( N

F

) .

F o r M T w i t h a c o n s t a n t p r o j e c t i o n d i s t a n c e , l

p r o j

, t h e e l e m e n t e d g e l e n g t h a n d a r e a a r e a p p r o x i m a t e l y

c o n s t a n t . T h e r e f o r e , t h e c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t y i s p r o p o r t i o n a l t o t h e a r e a o f t h e m a n i f o l d s u r f a c e S .

I n a d d i t i o n t h e n u m b e r o f e l e m e n t s i n t h e n a l r e p r e s e n t a t i o n i s p r o p o r t i o n a l t o t h e s u r f a c e a r e a .

T h e c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t y o f t h e v o l u m e - b a s e d M C a p p r o a c h d e p e n d s o n t h e n u m b e r o f c u b e s

v i s i t e d . T h i s d e p e n d s o n t h e n u m b e r o f c e l l s i n t e r s e c t e d b y t h e i m p l i c i t s u r f a c e . T h e l o w e r b o u n d o n

t h e n u m b e r o f c e l l s o c c u r s f o r a a t i m p l i c i t s u r f a c e a l i g n e d w i t h t h e v o l u m e t r i c s u b d i v i s i o n . I n t h i s



O b j e c t M o d e l S i z e T i m e ( s ) ( S U N S p a r c 1 0 )

M T M C M T M C

S p h e r e 1 4 9 8 1 1 2 7 2 4 1 2

T o r u s 1 1 9 8 8 7 4 4 4 1 3

J a c k 4 5 3 3 1 3 0 3 2 2 2 6 5 7 4

T e l e p h o n e 6 1 7 8 4 1 7 5 9 4 3 8 2 4

R a b b i t 9 8 1 7 2 6 7 9 2 1 0 6 1 1 8 0

T e a p o t 3 3 7 2 8 7 8 5 0 7 7 9 5 2 7 8 5

S o l d i e r 4 9 9 2 2 8 2 8 7 7 1 0 8 7 4 1 9 1

T a b l e 1 : C o m p a r i s o n o f M a r c h i n g T r i a n g l e s a n d C u b e s

c a s e t h e l o w e r b o u n d o n t h e n u m b e r o f c e l l s v i s i t e d i s p r o p o r t i o n a l t o t h e a r e a o f t h e s u r f a c e . F o r a

c u r v e d s u r f a c e t h e n u m b e r o f c e l l s v i s i t e d i s p r o p o r t i o n a l t o a f a c t o r t i m e s t h e a r e a o f t h e s u r f a c e . O n

a v e r a g e a p p r o x i m a t e l y t w o i m p l i c i t s u r f a c e f u n c t i o n e v a l u a t i o n s a r e r e q u i r e d p e r c u b e v i s i t e d . T h u s t h e

c o m p u t a t i o n a l c o m p l e x i t y o f t h e M T a l g o r i t h m i s e q u a l t o t h e l o w e r b o u n d o f t h e c o m p l e x i t y f o r t h e M C

a l g o r i t h m .

6 . 2 R e p r e s e n t a t i o n C o s t

T h e s a m e r e p r e s e n t a t i o n a c c u r a c y f o r s u r f a c e S i s a c h i e v e d i f t h e c o n s t a n t c u b e s i z e f o r M C i s e q u a l

t o t h e c o n s t a n t p r o j e c t i o n d i s t a n c e f o r t h e M T a l g o r i t h m . T h e M C a l g o r i t h m g e n e r a t e s a t l e a s t t w o

t r i a n g l e s p e r c u b e . T h i s d e n e s t h e l o w e r l i m i t f o r t h e n u m b e r o f t r i a n g l e s w h i c h i s p r o p o r t i o n a l t o t h e

i m p l i c i t s u r f a c e a r e a . I n g e n e r a l f o r a c u r v e d s u r f a c e t h e n u m b e r o f t r i a n g l e s f o r t h e M C a l g o r i t h m w i l l b e

c o n s i d e r a b l y l a r g e r t h a n t h e l o w e r l i m i t 7 ] . F o r M T t h e n u m b e r o f t r i a n g l e s w i l l a l w a y s b e p r o p o r t i o n a l

t o t h e a r e a o f t h e s u r f a c e a s t h e p o s i t i o n i n g o f v e r t i c e s i s b a s e d o n t h e l o c a l s u r f a c e g e o m e t r y . T h e n u m b e r

o f t r i a n g l e s i s a p p r o x i m a t e l y g e o m e t r i c a l l y o p t i m a l f o r a g i v e n m a n i f o l d s u r f a c e a s i t a p p r o x i m a t e s t h e

m e t r i c o f t h e s u r f a c e , S , d u e t o t h e l o c a l D e l a u n a y c o n s t r a i n t . H e n c e t h e n u m b e r o f t r i a n g l e s f o r M T

i s e q u a l t o t h e l o w e r b o u n d o f t h e M C a l g o r i t h m f o r t h e s a m e r e p r e s e n t a t i o n a c c u r a c y . I n p r a c t i c e t h e

n u m b e r o f t r i a n g l e s i s s i g n i c a n t l y l o w e r f o r M T d u e t o t h e u n i f o r m d i s t r i b u t i o n o f t r i a n g l e s h a p e .

6 . 3 G e o m e t r i c L i m i t a t i o n s

T h e M T a l g o r i t h m r e c o n s t r u c t s t h e c o r r e c t t o p o l o g y o f i m p l i c i t s u r f a c e f e a t u r e s l a r g e r t h a n t h e c o n s t a n t

p r o j e c t i o n d i s t a n c e , l

p r o j

. A s s u m i n g t h e i m p l i c i t s u r f a c e c o r r e c t l y r e p r e s e n t s t h e l o c a l t o p o l o g y t h e n

t h e l o w e r l i m i t f o r c o r r e c t t o p o l o g y r e c o n s t r u c t i o n i s t h e p r o j e c t i o n d i s t a n c e . T h e 3 D D e l a u n a y S u r f a c e

C o n s t r a i n t d o e s n o t i m p o s e a n y l i m i t a t i o n s o n t h e d i s t a n c e b e t w e e n a d j a c e n t s u r f a c e s . T h e u s e o f t h i s

c o n s t r a i n t e n a b l e s c o r r e c t r e c o n s t r u c t i o n o f a r b i t r a r i l y t h i n o b j e c t p a r t s a n d c r e a s e e d g e s . T h e M T

a l g o r i t h m e l i m i n a t e s l i m i t a t i o n s o n s u r f a c e g e o m e t r y i n h e r e n t i n p r e v i o u s m e s h g r o w i n g a l g o r i t h m s 2 , 9 ] .

T h e c e l l s i z e f o r v o l u m e - b a s e d a l g o r i t h m s i m p o s e s s i m i l a r l i m i t a t i o n s o n r e c o n s t r u c t i o n o f c o r r e c t t o p o l o g y

7 ] . F e a t u r e s o r t h i n o b j e c t s s m a l l e r t h a n t h e c e l l s i z e m a y r e s u l t i n i n c o r r e c t r e c o n s t r u c t i o n a n d s p u r i o u s

a r t i f a c t s .

7 R e s u l t s

D i r e c t c o m p a r i s o n o f t h e r e p r e s e n t a t i o n a l a n d c o m p u t a t i o n a l e c i e n c y o f t h e M T a n d M C h a s b e e n

p e r f o r m e d f o r p o l y g o n i s a t i o n o f i m p l i c i t s u r f a c e s d e r i v e d f r o m s y n t h e t i c m o d e l s a n d r e a l o b j e c t m e a s u r e -

m e n t s . T h r o u g h o u t t h i s c o m p a r i s o n t h e M T p r o j e c t i o n d i s t a n c e , l

p r o j

, i s e q u a l t o t h e M C v o x e l s i z e t o

o b t a i n t h e s a m e g e o m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n a c c u r a c y .

7 . 1 P a r a m e t r i c I m p l i c i t S u r f a c e s

R e s u l t s f o r t h r e e p a r a m e t r i c i m p l i c i t s u r f a c e s d e r i v e d f r o m a l g e b r a i c e x p r e s s i o n s f o r a s p h e r e , t o r u s a n d

j a c k a r e g i v e n i n T a b l e 1 . F i g u r e 6 g i v e s a c o m p a r i s o n o f t h e r e c o n s t r u c t e d t r i a n g u l a t e d m e s h u s i n g t h e



M T a n d M C a p p r o a c h e s . R e p r e s e n t a t i o n c o s t s f o r M T a r e a f a c t o r o f 3 | 7 l o w e r f o r a l l s h a p e s . T h e s p h e r e

a n d t o r u s g i v e s t h e g r e a t e s t d i e r e n c e i n r e p r e s e n t a t i o n c o s t b e t w e e n M T a n d M C d u e t o t h e s m o o t h l y

c u r v e d s u r f a c e s . T h e c o m p u t a t i o n a l c o s t f o r M T i s r e d u c e d b y a f a c t o r o f 3 c o m p a r e d t o M C . T h i s i s

d u e t o t h e u s e o f a s u r f a c e - b a s e d a p p r o a c h w h e r e t h e c o s t i s d i r e c t l y p r o p o r t i o n a l t o t h e s u r f a c e a r e a .

C o m p a r i s o n o f t h e r e c o n s t r u c t e d m e s h e s i l l u s t r a t e s t h e i m p r o v e m e n t i n r e p r e s e n t a t i o n e c i e n c y d u e t o

u n i f o r m t r i a n g l e s h a p e a c h i e v e d w i t h t h e M T a p p r o a c h . R e s u l t s d e m o n s t r a t e t h a t b o t h t h e r e p r e s e n t a t i o n

a n d c o m p u t a t i o n a l c o s t a r e s i g n i c a n t l y l o w e r f o r t h e M T a p p r o a c h f o r t h e s a m e r e p r e s e n t a t i o n a c c u r a c y

a n d v i s u l i s a t i o n q u a l i t y .

7 . 2 I m p l i c i t S u r f a c e s f r o m G e o m e t r i c F u s i o n

R e s u l t s f o r t h e M T i m p l i c i t s u r f a c e s p o l y g o n i s a t i o n o f s u r f a c e m e a s u r e m e n t s o f r e a l o b j e c t s a r e i l l u s t r a t e d

i n F i g u r e 7 . I m p l i c i t s u r f a c e r e p r e s e n t a t i o n s w e r e o b t a i n e d b y g e o m e t r i c f u s i o n o f m u l t i p l e r a n g e i m a g e s

5 ] . T h e t e l e p h o n e a n d b u n n y d a t a s e t s w e r e m e a s u r e d u s i n g a C y b e r w a r e r a n g e s e n s o r 3 ] a n d t h e t e a p o t

a n d s o l d i e r d a t a s e t s a r e f r o m a n N R C C r a n g e s e n s o r 1 0 ] . E a c h d a t a s e t s c o n t a i n s a p p r o x i m a t e l y 1 0

r a n g e i m a g e s . T h e t e a p o t a n d s o l d i e r d a t a s e t s a r e t a k e n f r o m m u l t i p l e v i e w p o i n t s i n t h e h o r i z o n t a l p l a n e ,

r e s u l t i n g i n r e g i o n s o f n o d a t a f o r h o r i z o n t a l s u r f a c e s a n d o c c l u d e d r e g i o n s . T h e M T p r o j e c t i o n d i s t a n c e

a n d M C c u b e s i z e a r e e q u a l t o t h e s a m p l i n g r e s o l u t i o n o f t h e r a n g e i m a g e s . R e s u l t s d e m o n s t r a t e a c c u r a t e

r e c o n s t r u c t i o n o f b o t h s u r f a c e g e o m e t r y a n d t o p o l o g y . S m a l l h o l e s , t h i n s u r f a c e r e g i o n s , c r e a s e e d g e s

a n d r e g i o n s o f h i g h c u r v a t u r e a r e c o r r e c t l y r e c o n s t r u c t e d . T h e r e l a t i v e r e p r e s e n t a t i o n a n d c o m p u t a t i o n

c o s t s f o r M C a n d M T a t t h e s a m e r e s o l u t i o n a r e g i v e n i n T a b l e 1 . T h e r e p r e s e n t a t i o n a l c o s t s a r e a

f a c t o r o f 2 | 7 l o w e r f o r M T c o m p a r e d t o M C . O b j e c t s w i t h s m o o t h s u r f a c e s r e s u l t i n a g r e a t e r r e d u c t i o n

i n r e p r e s e n t a t i o n c o s t f o r t h e s a m e g e o m e t r i c a c c u r a c y . T h e c o m p u t a t i o n a l c o s t f o r M T i s a f a c t o r o f

3 | 1 0 l o w e r t h a n M C a s i t i s d i r e c t l y p r o p o r t i o n a l t o t h e s u r f a c e a r e a . A c o m p a r i s o n o f t h e M T a n d M C

r e c o n s t r u c t e d m e s h f o r a r e g i o n o f t h e b u n n y h e a d i s p r e s e n t e d i n F i g u r e 8 . T h i s i l l u s t r a t e s t h a t t h e M T

r e p r e s e n t a t i o n e c i e n c y i s s i g n i c a n t l y b e t t e r d u e t o t h e u n i f o r m t r i a n g l e s h a p e .

8 C o n c l u s i o n s

A n e w ` s u r f a c e - b a s e d ' a p p r o a c h t o i m p l i c i t s u r f a c e p o l g o n i s a t i o n h a s b e e n p r e s e n t e d c a l l e d ` M a r c h i n g

T r i a n g l e s ' M T . A l o c a l ` 3 D D e l a u n a y S u r f a c e C o n s t r a i n t ' i s u s e d t o c o n t r o l m e s h g r o w i n g a c r o s s a m a n i f o l d

s u r f a c e i n R

3

. T h e m a n i f o l d s u r f a c e i s o p e n o r c l o s e d a n d o f a r b i t r a r y t o p o l o g y . T h e M T a l g o r i t h m e n s u r e s

t h a t t h e r e c o n s t r u c t e d t r i a n g u l a t e d m e s h :

1 . I s a c o r r e c t a p p r o x i m a t i o n o f t h e s u r f a c e g e o m e t r y a n d t o p o l o g y .

2 . I s l o c a l l y a D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n o f t h e m a n i f o l d s u r f a c e .

T h e u s e o f a c o n s t r a i n t b a s e d o n t h e D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n r e s u l t s i n a r e p r e s e n t a t i o n w i t h o p t i m a l

g e o m e t r i c p r o p e r t i e s . I n p a r t i c u l a r e c i e n t r e p r e s e n t a t i o n i s a c h i e v e d d u e t o u n i f o r m t r i a n g l e s h a p e .

C o m p a r i s o n w i t h ` v o l u m e - b a s e d ' i m p l i c i t s u r f a c e p o l y g o n i s a t i o n a l g o r i t h m s s u c h a s M a r c h i n g C u b e s

d e m o n s t r a t e s s i g n i c a n t i m p r o v e m e n t i n b o t h r e p r e s e n t a t i o n a n d c o m p u t a t i o n c o s t s f o r t h e s a m e a c c u r a c y .

T h e o r e t i c a l a n a l y s i s s h o w s t h a t b o t h c o s t s a r e e q u a l t o t h e l o w e r b o u n d o f t h e M a r c h i n g C u b e s a l g o r i t h m s .

G e o m e t r i c l i m i t a t i o n s o n r e c o n s t r u c t i o n o f t h e c o r r e c t s u r f a c e t o p o l o g y a r e s i m i l a r t o t h o s e w i t h p r e v i o u s

v o l u m e - b a s e d a p p r o a c h e s . R e s u l t s f o r p o l y g o n i s a t i o n o f i m p l i c i t s u r f a c e s d e n e d p a r a m e t r i c a l l y a n d

f r o m s u r f a c e m e a s u r e m e n t s o f r e a l o b j e c t s g i v e a f a c t o r o f 3 | 5 i m p r o v e m e n t i n b o t h r e p r e s e n t a t i o n a n d

c o m p u t a t i o n c o s t s .

T h e M T a p p r o a c h a l s o h a s s e v e r a l p o t e n t i a l a d v a n t a g e s o v e r p r e v i o u s v o l u m e - b a s e d a p p r o a c h e s .

F i r s t l y i t a l l o w s a c c u r a t e p o l y g o n i s a t i o n o f o p e n m a n i f o l d s u r f a c e s t h r o u g h t h e u s e o f a n i m p l i c i t b o u n d -

a r y f u n c t i o n . S e c o n d l y d y n a m i c i n t e g r a t i o n o f n e w i m p l i c i t s u r f a c e r e g i o n s i n t o a n e x i s t i n g m o d e l i s

a c h i e v e d . T h i s i s i m p o r t a n t f o r a p p l i c a t i o n s s u c h a s f u s i o n o f m u l t i p l e r a n g e i m a g e s o f r e a l o b j e c t s a s i t

a l l o w s c o n t i n u o u s u p d a t i n g o f t h e m o d e l b a s e d o n n e w m e a s u r e m e n t s . T h e M T a p p r o a c h d o e s n o t i m p o s e

a n y r e s t r i c t i o n s o n t h e m e s h v e r t e x p o s i t i o n u n l i k e p r e v i o u s m e s h g r o w i n g a l g o r i t h m s 2 , 9 ] . T h i s a l l o w s

e c i e n t r e p r e s e n t a t i o n w i t h a p p r o x i m a t e l y u n i f o r m e l e m e n t s h a p e . F u t u r e w o r k w i l l i n v e s t i g a t e a d a p t i v e

i m p l i c i t s u r f a c e p o l y g o n i s a t i o n b a s e d o n l o c a l g e o m e t r i c p r o p e r t i e s s u c h a s s u r f a c e c u r v a t u r e .



( a ) M a r c h i n g T r i a n g l e s ( b ) M a r c h i n g C u b e s

F i g u r e 6 : P a r a m e t r i c I m p l i c i t S u r f a c e P o l y g o n i s a t i o n



F i g u r e 7 : M a r c h i n g T r i a n g l e R e c o n s t r u c t i o n o f 3 D M o d e l s f o r R e a l O b j e c t s

( a ) M a r c h i n g T r i a n g l e s ( b ) M a r c h i n g C u b e s

F i g u r e 8 : R e a l O b j e c t I m p l i c i t S u r f a c e P o l y g o n i s a t i o n



R e f e r e n c e s

1 ] J . B l o o m e n t h a l . A n i m p l i c i t s u r f a c e p o l y g o n i z e r . G r a p h i c s G e m s e d . H e c k b e r t , P . S . , 4 : 3 2 4 | 3 5 0 , 1 9 9 4 .

2 ] J . D . B o i s s o n n a t . G e o m e t r i c s t r u c t u r e s f o r t h r e e - d i m e n s i o n a l s h a p e r e p r e s e n t a t i o n . A C M T r a n s a c -

t i o n s o n G r a p h i c s , 3 ( 4 ) : 2 6 6 | 2 8 6 , 1 9 8 4 .

3 ] B . C u r l e s s a n d M . L e v o y . A v o l u m e t r i c m e t h o d f o r b u i l d i n g c o m p l e x m o d e l s f r o m r a n g e i m a g e s . I n

C o m p u t e r G r a p h i c s P r o c e e d i n g s , S I G G R A P H , 1 9 9 6 .

4 ] S . F o r t u n e . V o r o n o i d i a g r a m s a n d d e l u a n a y t r i a n g u l a t i o n s . I n C o m p u t i n g i n E u c l i d e a n G e o m e t r y ,

e d s . D u , D . - Z . a n d H w a n g , F . , p a g e s 1 9 3 | 2 3 0 , 1 9 9 2 .

5 ] A . H i l t o n , A . J . S t o d d a r t , J . I l l i n g w o r t h , a n d T . W i n d e a t t . R e l i a b l e s u r f a c e r e c o n s t r u c t i o n f r o m

m u l t i p l e r a n g e i m a g e s . I n 4 t h E u r o p e a n C o n f e r e n c e o n C o m p u t e r V i s i o n , p a g e s 1 1 7 | 1 2 6 . S p r i n g e r ,

1 9 9 6 .

6 ] W . E . L o r e n s e n a n d H . E . C l i n e . M a r c h i n g c u b e s : A h i g h r e s o l u t i o n 3 d s u r f a c e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h m .

C o m p u t e r G r a p h i c s , 2 1 ( 4 ) : 1 6 3 | 1 6 9 , 1 9 8 7 .

7 ] P . N i n g a n d J . B l o o m e n t h a l . A n e v a l u a t i o n o f i m p l i c i t s u r f a c e t i l e r s . I E E E C o m p u t e r G r a p h i c s a n d

A p p l i c a t i o n s , 1 3 ( N o v e m b e r ) : 3 3 | 4 1 , 1 9 9 3 .

8 ] J . O ' R o u k e . C o m p u t a t i o n a l G e o m e t r y i n C . C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , 1 9 9 4 .

9 ] M . R u t i s h a u s e r , M . S t r i c k e r , a n d M . T r o b i n a . M e r g i n g r a n g e i m a g e s o f a r b i t r a r i l y s h a p e d o b j e c t s .

I n P r o c e e d i n g s o f I E E E C o n f e r e n c e o n C o m p u t e r V i s i o n a n d P a t t e r n R e c o g n i t i o n , p a g e s 5 7 3 | 5 8 0 ,

1 9 9 4 .

1 0 ] M . S o u c y a n d D . L a u r e n d e a u . A d y n a m i c i n t e g r a t i o n a l g o r i t h m t o m o d e l s u r f a c e s f r o m m u l t i p l e

r a n g e i m a g e s . M a c h i n e V i s i o n a n d A p p l i c a t i o n s , 8 : 5 3 { 6 2 , 1 9 9 5 .

Date post:	14-Apr-2018
Category:	Documents
Upload:	mephistopheles-mephi
View:	217 times
Download:	0 times

Hilton Marching Triangles

Documents