Historie kombinatorických her · 2017-04-11 · Historie kombinatorických her Nestranné hry...

Historie kombinatorických herNestranné hry

Václav Vopravil

Praha

[email protected]

11. dubna 2017

Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 1 / 76

E. R. Berlekamp, J. H. Conway, R. K. Guy: Winning Ways for yourMathematical Plays; 2ed. vol. 1-4 , A. K. Peters Ltd., 2001-2004,ISBN 1-56881-130-6, ISBN 1-56881-142-X, ISBN 1-56881-143-8, ISBN1-56881-144-6

J. H. Conway: On Numbers and Games, Academic Press, 2ed. 2001,ISBN 1-56881-127-6


E. R. Berlekamp, J. H. Conway, R. K. Guy: Winning Ways for yourMathematical Plays; 2ed. vol. 1-4 , A. K. Peters Ltd., 2001-2004,ISBN 1-56881-130-6, ISBN 1-56881-142-X, ISBN 1-56881-143-8, ISBN1-56881-144-6

J. H. Conway: On Numbers and Games, Academic Press, 2ed. 2001,ISBN 1-56881-127-6

D. E. Knuth: Surreal Numbers; How two ex-students turned on to puremathematics and found total happiness (Reading, Massachusetts:Addison-Wesley, 1974), vi+119 pp. ISBN 0-201-03812-9, Illustrated byJill C. Knuth; Czech translation by Helena Nešetřilová, Nadreálná čísla,in Pokroky Matematiky, Fyziky a Astronomie 23 (1978), 66–76,130–139, 187–196, 246–261

J. Cihlář, V. Vopravil: Hry a čísla (On Games and Numbers), PF UJEPÚstí nad Labem, 125 str., 1983, 1995, ISBN 8070441046


CONWAY John [1976], On Numbers and Games, Londres,

Academic Press Inc., 1976


CONWAY, John H., Über Zahlen und Spiele, Vieweg, (1983)

EBBINGHAUS, Heinz-Dieter, et al., Numbers, Volume 123 of GraduateTexts in Mathematics (1990). (Translation of the German version Zahlen.)

The Book of Number. By John Horton Conway and Richard K. Guy.Springer-Verlag, 1996, 320

SCHLEICHER Dierk, STOLL Michael, An Introduction to Conway’s Gamesand Numbers, arXiv:math/0410026 (2005) et Moscow Math Journal 6 2(2006), 359-388

FERGUSON Thomas S., Game Theory, Impartial Combinatorial Games(UCLA lecture), 2nd ed. (2014)http://www.math.ucla.edu/∼tom/Game Theory/comb.pdf


BERLEKAMP Elwyn et CONWAY John et GUY Richard,

Winning Ways for your mathematical plays, Vol. 1-4, 2ndEdition, Wellesley (Massachusetts), A K Peters, 2001–2004


BERLEKAMP Elwyn et CONWAY John et GUY Richard,

Winning Ways for your mathematical plays, Vol. 1-4, 2ndEdition, Wellesley (Massachusetts), A K Peters, 2001–2004

E. R. Berlekamp, J. H. Conway, and R. Guy. Winning Ways for yourMathematical Plays. Academic Press, 1982;Gewinnen: Strategien für mathematische Spiele, Vieweg, 1985


M. Albert, R. Nowakowski, D. Wolfe: Lessons in play: An

introduction to combinatorial game theory, A K Peters, Ltd./ CRC Press, Natick, MA, 2007


A. Siegel: Combinatorial Games Theory, Graduate Studies

in Mathematics, Vol. 146, AMS 2013


16. stol. Nim, Fan Tan, Tsyan–shidzi1508 Luca Pacioli ekv. Nim(30;1–6)1577 G. Cardano x nestranná hra1612 C. G. Bachet Hra 1001636 D. Schwenter1694 J. Ozanam1769 E. G. Guyot (Francie), Anglie: 1820 J. Badcock, 1821 J. Jackson1901 C. L. Bouton Hra Nim1902 H. E. Dudeney Kayles1907 W. A. Wythoff Wythoffova královna (tsyan–shidzi)1910 E. H. Moore Mooreův Nim$_k$1912 E. Zermelo Zermelova věta (1913)1914 S. Loyd Kayles1931 E. Lasker Laskerův Nim1935 R. P. Sprague Sprague–Grundyova teorie nestranných her1935 T. R. Dawson Dawsonovy šachy, betlové hry1939 P. M. Grundy Sprague–Grundyova teorie nestranných her(Matematika a hry), 1964


Vlastnosti kombinatorických her

Neformálně hry splňují tyto vlastnosti [WW, str. 14]:1 Hru hrají dva hráči, budeme je nazývat levý a pravý hráč (bílý, modrý

a černý, červený). V případě nestranné varianty první a druhý.




a černý, červený). V případě nestranné varianty první a druhý.2 Ve hře je několik (většinou konečně mnoho) pozic a jedna z nich je

počáteční.





počáteční.3 Pro každou pozici oba hráči mají k dispozici seznam možných tahů,

které určují bezprostředně následující pozici (množina tahů může být iprázdná).







4 Oba hráči, levý a pravý, se ve hře pravidelně střídají.







4 Oba hráči, levý a pravý, se ve hře pravidelně střídají.5 Oba hráči mají úplnou informaci o hře.







4 Oba hráči, levý a pravý, se ve hře pravidelně střídají.5 Oba hráči mají úplnou informaci o hře.6 Hra je bez náhodných prvků.







4 Oba hráči, levý a pravý, se ve hře pravidelně střídají.5 Oba hráči mají úplnou informaci o hře.6 Hra je bez náhodných prvků.7 V normální variantě hráč na tahu, který nemůže táhnout, prohrál.







4 Oba hráči, levý a pravý, se ve hře pravidelně střídají.5 Oba hráči mají úplnou informaci o hře.6 Hra je bez náhodných prvků.7 V normální variantě hráč na tahu, který nemůže táhnout, prohrál.8 Hra skončí po konečně mnoha tazích (není dovolena nekonečná

posloupnost tahů).


Nestranné hry

Nim Dva hráči střídavě odebírají sirky z několika hromádek. V jednomtahu je možno odebrat z libovolné hromádky libovolný počet sirek.(Existuje mnoho variant, kde jsou povoleny jiné tahy.) Kdo nemá tah,prohrál.

Vim Máme několik řad černých a bílých koleček. Například |tt❞❞tt❞❞ttt❞❞❞t❞

.

Hráči se střídají v tazích, v každém tahu hráč 1) vybere řádek 2) jakoprvní vymění v řádku černé na bílé a může měnit všechna kolečkalibovolně vpravo (bílé za černé nebo naopak). Hráč, který uděláposlední pravidly povolený tah, vyhrál.


Hry s odebíráním předmětů

Neformální pravidla těchto her jsou tato:1 Dva hráči, tradičně Levý a Pravý hráč, L a R, střídavě odebírají

kameny z jedné (nebo více) hromádek.




kameny z jedné (nebo více) hromádek.2 Pravidly hry je určeno kolik lze v jednom tahu odebírat kamenů. Tato

čísla jsou kladná, pro oba hráče stejná (a neměnná). Obecně takovámnožina S může být nekonečná, ale my se zaměříme pouze nakonečné množiny S.






3 Každé odebrání kamenů se nazývá tahem.






3 Každé odebrání kamenů se nazývá tahem.4 Hráč, který ve hře zahraje poslední pravidly povolený tah, vyhrál.

Poslední hráč odebere poslední kámen a následující hráč již žádnýpravidly povolenými tahy, nemůže kameny odebírat. (Jinak by porušilpravidla.)






3 Každé odebrání kamenů se nazývá tahem.4 Hráč, který ve hře zahraje poslední pravidly povolený tah, vyhrál.

Poslední hráč odebere poslední kámen a následující hráč již žádnýpravidly povolenými tahy, nemůže kameny odebírat. (Jinak by porušilpravidla.)

5 Ve hře je vždy jeden z hráčů vítězem. (Ve hře nemůže nastat patovánebo remízová situace.)



Tajemství hry Nim

Nim je klasická hra, která jako první přilákala pozornost profesionálníhomatematika Ch. L. Boutona (1901–1902), který také vyřešil a publikovaljejí teorii.

Na počátku máme několik hromádek kamenů (nebo jiných předmětů). Hráčna tahu si vybere jednu hromádku a z ní odebere několik kamenů (odeberealespoň jeden kámen, ale může odebrat i celou hromádku).

Hráči se v tazích střídají a hráč, který odebere poslední kámen, vyhrál ajeho soupeř prohrál.


Tajemství hry Nimna jedné hromádce

Máme-li pouze jednu hromádku, její analýza je jednoduchá: Pro každouneprázdnou hromádku, může hráč odebrat všechny kameny a vyhraje.Pokud hromádka je prázdná (bez kamenů), potom předcházející (previous)hráč má vyhrávající strategii.

Výsledek je možné zapsat do tabulky:

n 0 1 2 3 4 . . .

výsledek P N N N N N


Tajemství hry Nimna dvou hromádkách

Hra na dvou hromádkách není pro analýzu opět příliš složitá. Pokudhromádky mají různý počet kamenů, hráč na tahu (následující, next) můžesvým tahem dorovnat počty kamenů na obou hromádkách.

Například, máme-li dvě hromádky o 4 a 6 kamenech (situaci reprezentujeuspořádaná dvojice Nim[4,6]), potom prvním dobrým tahem zanechatsituaci Nim[4,4]. Nyní s každým tahem prvního hráče, druhý hráč můžeopět hromádky dorovnat v druhé hromádce (zanechá stejný početkamenů). Typ této strategie se nazývá Tweedledum and Tweedledee.

Charakteristiku pozic na dvou hromádkách lze zapsat takto:

Nim[n,m] =

{

P, je-li n = m

N , je-li n 6= m.


Tajemství hry Nim

Pro tři a více hromádek je analýza již složitější. Budeme potřebovat zavéstnové pojmy.Předně zavedeme tzv. nim součet dvou nezáporných celých čísel x, yzapsané ve dvojkové soustavě a sečteme jejich cifry modulo 2, tj.0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1 a 1 + 1 = 0.Pro nim součet budeme používat značku ⊕.Např. uvažujme 5⊕ 7. Dostaneme:

5 = 22 + 1 7 = 22 + 21 + 1.

Proto ve dvojkové soustavě dostaneme

5 = (101)2 7 = (111)2

Součtem cifer modulo 2 dostaneme:1 0 1

⊕ 1 1 10 1 0

Protože (010)2 = 2, je 5⊕ 7 = 2.Václav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 16 / 76

Tajemství hry Nimnim součet

Nim součet má zajímavé vlastnosti:1 je asociativní: x⊕ (y ⊕ z) = (x⊕ y)⊕ z,

2 je komutativní: x⊕ y = y ⊕ x,

3 má neutrální prvek 0: x⊕ 0 = 0⊕ x = x

4 každé číslo je svým opačným prvkem, tj. x⊕ x = 0,

5 má vlastnost krácení: x⊕ y = z ⊕ y ⇒ x = z.

Tato operace je důležitá, protože Bouton charakterizuje pozice v obecnéhře Nim pomocí nim součtu počtu kamenů na jednotlivých hromádkách.


Tajemství hry Nim

Pokud budeme reprezentovat pozici n hromádek s x1, x2, . . . , xn jakoNim[x1, x2, . . . , xn] dostaneme tento výsledek (charakteristiku pozic):

Věta (Bouton, 1901)

Pozice Nim[x1, x2, . . . , xn] je P pozice právě tehdy a jen tehdy, je-li

x1 ⊕ x2 ⊕ · · · ⊕ xn = 0.

Poznamenejme, že toto tvrzení platí i pro jedno a dvouhromádkovouvariantu hry Nim.


Tajemství hry Nim

Nyní je čas na příklady: Uvažujme hru Nim na 4 hromádkách v poziciNim[3, 5, 7, 9]. Musíme spočítat 3⊕ 5⊕ 7⊕ 9. Protože3 = (11)2, 5 = (101)2, 7 = (111)2 a 9 = (1001)2, dostaneme

0 0 1 10 1 0 10 1 1 1

⊕ 1 0 0 11 0 0 0

je 3⊕ 5⊕ 7⊕ 9 = 8 6= 0 a tedy pozice je N .


Tajemství hry Nim

Nyní je čas na příklady: Uvažujme hru Nim na 4 hromádkách v poziciNim[3, 5, 7, 9]. Musíme spočítat 3⊕ 5⊕ 7⊕ 9. Protože3 = (11)2, 5 = (101)2, 7 = (111)2 a 9 = (1001)2, dostaneme

0 0 1 10 1 0 10 1 1 1

⊕ 1 0 0 11 0 0 0

je 3⊕ 5⊕ 7⊕ 9 = 8 6= 0 a tedy pozice je N .

Jediný vyhrávající tah je odebrat 8 kamenů z poslední hromádky, dostaneme

0 0 1 10 1 0 10 1 1 1

⊕ 0 0 0 10 0 0 0.


Pojďte, pane, budeme si hrát . . .

Nim[2,3,4]



Nim[2,3,4]

Amoves A movesA movesB moves B moves B looses



Nim[2,3,4]


Nim[3,4,5] Nim[5,10,15] Nim[2,3,4,5,6]



Nim[2,3,4]


Nim[3,4,5] Nim[5,10,15] Nim[2,3,4,5,6]

Nim[20,35,41,62]


Prolog

Matematická teorie nestranných her začíná v roce 1901 (1902). Rámecpředteorie je v renesanci. Základy teorie nalezneme v Evropě v rekreačnímatematice v Itálii 16. století. Luca Pacioli (asi 1445–1517) a jeho ViribusQuantitatis (Síla a množství). V roce 1612 (první vydání) francouz ClaudeGaspard Bachet (1581–1638) přinesl mnoho aritmetických problémů, kterénastínil Pacioli, ve své knize Problemes. . . (Problémy rozumu, které jsoupodle čísel). Tato knížka putovala po cele Evropě během 17. století, mělaodezvu v rekreační matematice v Německu, Itálii, Francii a v Anglii, najdese v 18. a 19. století.


Prolog

Matematická teorie nestranných her začíná v roce 1901 (1902). Rámecpředteorie je v renesanci. Základy teorie nalezneme v Evropě v rekreačnímatematice v Itálii 16. století. Luca Pacioli (asi 1445–1517) a jeho ViribusQuantitatis (Síla a množství). V roce 1612 (první vydání) francouz ClaudeGaspard Bachet (1581–1638) přinesl mnoho aritmetických problémů, kterénastínil Pacioli, ve své knize Problemes. . . (Problémy rozumu, které jsoupodle čísel). Tato knížka putovala po cele Evropě během 17. století, mělaodezvu v rekreační matematice v Německu, Itálii, Francii a v Anglii, najdese v 18. a 19. století.

Matematické rekreace jsou samy tak staré, jako je matematika sama.Rekreace se najdou již ve starých dokumentech, příklady lze nalézt vRhindově papyrusu (∼1650 př.n.l.) nebo v babylonských tabulkách (∼1750př.n.l.). Tenkrát byly rekreace integrální součástí matematiky, každá velkákultura přispěla k její historii.


Prolog

Bouton položil základ výzkumu v oblasti CGT. Analýza Nimu a jeho řešení,pokládání otázek a zobecňování výsledků. Tak například Moore (Nimk) —může se odebírat i nejvíce z k hromádek současně. Emanuel Lasker(1868–1941) přinesl v roce 1931 novou variantu, zobecnění Nimu.Matematici R. Sprague (1894–1967) a P. Grundy (1917–1959) nezávislezobecnili výsledky (1935–1939) pomocí SG věty, která redukuje výsledekkaždé nestranné hry na nějakou konfiguraci Boutonovy hry Nim. S tímtovýsledkem se CGT stává obecnou a abstraktní.

Později (1982) vychází [WW], která se stává referenční knížkou, obsahujedoporučení pro hraní her a jejich analýzy. Před tím ještě vychází [ONAG](Conway *1937) v roce 1976 — teorie nadreálných čísel a ukazuje analogiimezi čísly a hrami.


Luca Pacioli (Itálie, 1508)

Fra Luca Bartolomeo de Pacioli (1445 – 1517)

PACIOLI Luca, De Viribus Quantitatis, 1508






Pacioli nepodává žádná vysvětlení a tím i obecnou metodu pro řešeníjakékoliv podobné úlohy. (Zpětná indukce.)


Pacioli nepodává žádná vysvětlení a tím i obecnou metodu pro řešeníjakékoliv podobné úlohy. (Zpětná indukce.)

V 16. století chybí vhodná symbolika reprezentovat neznámou a psátrovnice. Nebylo možné nalézt obecné řešení, každý případ byl řešen(analyzován) nezávisle bez vzorce. Nicméně celá staletí s použitímaritmetiky matematikové dosahují pozoruhodných výsledků.

Vznikají důmyslné metody k řešení příkladů, které bychom řešil dnesalgebrou.

Rekreační problémy a triky jsou předávány ústně dlouho před tiskem prvníknihy.


Gerolamo Cardano (Itálie, 1577)

Gerolamo Cardano (1501 – 1576)

CARDANO Gerolamo, Practica arithmetice et mensurandi singularis, Milan,1577


Gerolamo Cardano (Itálie, 1577)


Claude-Gaspard Bachet (Francie, 1612)

Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581 – 1638)

1 BACHET Claude-Gaspard, Problemes plaisans et delectables, qui sefont par les nombres, Lyon, 1ere édition, 1612

2 BACHET Claude-Gaspard, Problemes plaisans et delectables, qui sefont par les nombres, Lyon, 2eme édition, 1624









Daniel Schwenter (Německo, 1636)

Daniel Schwenter (1585 – 1636)

SCHWENTER Daniel, Deliciae Physico-Mathematicae, Nuremberg, 1636








Jacques Ozanam (Francie, 1694)

Jacques Ozanam (1640 – 1718)

OZANAM Jacques, Récréations mathématiques et physiques, Quicontiennent les Problemes et les Questions les plus remarquables, et lesplus propres a piquer la curiosité, tant des Mathématiques que de laPhysique ; le tout traité d’une maniere a la portée des Lecteurs qui ontseulement quelques connaissances légeres de ces Sciences, Paris, 1778


Jacques Ozanam (Francie, 1694)


Matematické rekreace


Matematické rekreace

Edme Gilles Guyot (Francie, 1769)

John Badcock (Anglie, 1820)

John Jackson (Anglie, 1821)


Charles Leonard Bouton (1901)

Matematické a fyzikální rekreace hrají důležitou roli v dějinách vědy amatematiky. Tento nový žánr, který je založen v 16. století, se rozvinul plněv 18. století. Matematické rekreace sjednocují matematiku, která vzniklakolem obchodu (otázky spojené s výměnou peněz, směny jako platby),praktickou geometrii (měření vzdáleností, rovinných útvarů, těles, opevnění)a magii (jako hermetické tradice 14. století).



Matematické a fyzikální rekreace hrají důležitou roli v dějinách vědy amatematiky. Tento nový žánr, který je založen v 16. století, se rozvinul plněv 18. století. Matematické rekreace sjednocují matematiku, která vzniklakolem obchodu (otázky spojené s výměnou peněz, směny jako platby),praktickou geometrii (měření vzdáleností, rovinných útvarů, těles, opevnění)a magii (jako hermetické tradice 14. století).Vede k rozvoji nových experimentálních a čistě vědeckých přístupů.



Matematické a fyzikální rekreace hrají důležitou roli v dějinách vědy amatematiky. Tento nový žánr, který je založen v 16. století, se rozvinul plněv 18. století. Matematické rekreace sjednocují matematiku, která vzniklakolem obchodu (otázky spojené s výměnou peněz, směny jako platby),praktickou geometrii (měření vzdáleností, rovinných útvarů, těles, opevnění)a magii (jako hermetické tradice 14. století).Vede k rozvoji nových experimentálních a čistě vědeckých přístupů.



Matematické a fyzikální rekreace hrají důležitou roli v dějinách vědy amatematiky. Tento nový žánr, který je založen v 16. století, se rozvinul plněv 18. století. Matematické rekreace sjednocují matematiku, která vzniklakolem obchodu (otázky spojené s výměnou peněz, směny jako platby),praktickou geometrii (měření vzdáleností, rovinných útvarů, těles, opevnění)a magii (jako hermetické tradice 14. století).Vede k rozvoji nových experimentálních a čistě vědeckých přístupů.První stopy hry Nim jsme objevili, abychom lépe porozuměli původukombinatorických her, které jsou na křižovatce čistě zábavné hry avýchovné problémy, jejichž řešení vyžaduje jisté matematické znalosti.



Matematické a fyzikální rekreace hrají důležitou roli v dějinách vědy amatematiky. Tento nový žánr, který je založen v 16. století, se rozvinul plněv 18. století. Matematické rekreace sjednocují matematiku, která vzniklakolem obchodu (otázky spojené s výměnou peněz, směny jako platby),praktickou geometrii (měření vzdáleností, rovinných útvarů, těles, opevnění)a magii (jako hermetické tradice 14. století).Vede k rozvoji nových experimentálních a čistě vědeckých přístupů.První stopy hry Nim jsme objevili, abychom lépe porozuměli původukombinatorických her, které jsou na křižovatce čistě zábavné hry avýchovné problémy, jejichž řešení vyžaduje jisté matematické znalosti.Hry a matematické hádanky zaujaly lidi celá staletí. Lidská fascinacezáhadných problémů je universální.



Matematické a fyzikální rekreace hrají důležitou roli v dějinách vědy amatematiky. Tento nový žánr, který je založen v 16. století, se rozvinul plněv 18. století. Matematické rekreace sjednocují matematiku, která vzniklakolem obchodu (otázky spojené s výměnou peněz, směny jako platby),praktickou geometrii (měření vzdáleností, rovinných útvarů, těles, opevnění)a magii (jako hermetické tradice 14. století).Vede k rozvoji nových experimentálních a čistě vědeckých přístupů.První stopy hry Nim jsme objevili, abychom lépe porozuměli původukombinatorických her, které jsou na křižovatce čistě zábavné hry avýchovné problémy, jejichž řešení vyžaduje jisté matematické znalosti.Hry a matematické hádanky zaujaly lidi celá staletí. Lidská fascinacezáhadných problémů je universální.Boutonovým přístupem se objeví netriviální řešení, je algoritmizovatelné,umožňuje použít na více možností, zobecnění. . . Tato teorie nemohla býtdříve, vzhledem k velmi omezenému vývoji algebry a absence abstraktní aobecné teorie struktur matematiky.


Článek Ch. Boutona (1901) se stal milníkem v historii kombinatorickýchher. Hra Nim se stává předmětem vážného studia matematiky, dovolujerůzné alternativy. Od aritmetického řešení se ustupuje směrem k vítěznéstrategii. Hra Nim ale nezmizí z rekreační matematiky, ihned se objevujehra Kayles – Sam Loyd (1841–1911) a Henry Dudeney (1857–1930).Studium je završeno na konci 30. let tzv. Sprague–Grundyovou větou:Každá nestranná hry (hra typu Nim) je ekvivalentní hře Nim na jednéhromádce. V padesátých letech Richard Guy a Cederic Smith řeší oktalovéhry. Od roku 1966–1982 vzniká [WW] a teorie dosáhla svého vrcholu v roce1976 [ONAG] v teorii nadreálných čísel Johna Hortona Conwaye.


Článek Ch. Boutona (1901) se stal milníkem v historii kombinatorickýchher. Hra Nim se stává předmětem vážného studia matematiky, dovolujerůzné alternativy. Od aritmetického řešení se ustupuje směrem k vítěznéstrategii. Hra Nim ale nezmizí z rekreační matematiky, ihned se objevujehra Kayles – Sam Loyd (1841–1911) a Henry Dudeney (1857–1930).Studium je završeno na konci 30. let tzv. Sprague–Grundyovou větou:Každá nestranná hry (hra typu Nim) je ekvivalentní hře Nim na jednéhromádce. V padesátých letech Richard Guy a Cederic Smith řeší oktalovéhry. Od roku 1966–1982 vzniká [WW] a teorie dosáhla svého vrcholu v roce1976 [ONAG] v teorii nadreálných čísel Johna Hortona Conwaye.

Hra Nim se stává objektem seriózního matematického výzkumu.



Charles Leonard Bouton (1869 – 1922)

BOUTON Charles, Nim, A Game with a Complete Mathematical Theory,The Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 3, No. 1/4, (1901-1902), pp.35-39






W. A. Wythoff (Nizozemí, 1907)

Willem Abraham Wythoff (1865 – 1939)

WYTHOFF Willem, A Modification of the Game of Nim, Nieuw Archiefvoor Wiskunde, 2e Reeks VI, (1905 – 1907), pp. 199-202





E

{

1

2k(1 +

√5)

}

, E

{

1

2k(3 +

√5)

}





xn = ⌊nϕ⌋ yn = ⌊nϕ2⌋

ϕ =1 +

√5

2



1

1Half a century later (around 1960) and unaware of this, the mathematician Rufus P.Isaacs (of Johns Hopkins University) gave another description of the same game interms of the moves of a chess queen allowed only to travel south and/or west [the heapsizes are the queen’s cartesian coordinates, both of which are zero when the queen is atthe chessboard’s southwest corner].




Wilhelm Ahrens (1910)

AHRENS, Wilhelm (1872–1927)


Danzinger Zeitung (1907)


E. H. Moore (1910)

Eliakim Hastings Moore (1862 – 1932)

MOORE Eliakim, A Generalization of the Game Called Nim, The Annals ofMathematics, 2nd Ser., Vol. 11, No. 3, avril 1910, pp. 93-94


E. H. Moore (1910)


Le Rip Van Winkle Puzzle (1914),

The Game of Kayles (1907)

Samuel Loyd (1841 – 1911), Henry Ernest Dudeney (1857 – 1930)

DUDENEY Henry [1907]2, The Canterbury Puzzles and Other CuriousProblems, a l’adresse suivantehttp://www.gutenberg.org/files/27635/27635-h/27635-h.htm

(2nde édition, Thomas Nelson and sons, LTD, London, Edimbourg, NewYork, 1919)

LOYD Samuel, Cyclopedia of Puzzles, New York, The Lamb PublishingCompany, 1914

21902-01-26, The Weekly DispatchVáclav Vopravil (Praha) Historie CGT 11. dubna 2017 55 / 76

Samuel Loyd


Henry Ernest Dudeney


DUDENEY Henry [1907]


DUDENEY Henry [1907]


Cyclopedia of Puzzles, Samuel Loyd


Hraje se jako na obrázku,3 hráč na tahu položí buď jednu nebo dvěsousedící figurky. Hráči se střídají a vyhraje hráč, který položí poslednífigurku. Který hráč vyhraje?

3Sam Loyd’s Cyclopedia of 5000 Puzzles, Tricks, and Conundrums, 1914http://www.mathpuzzle.com/loyd/cop232-233.html


Kayles


Kayles


Kayles


Kayles


Emanuel Lasker (1931)

Emanuel Lasker (1868 – 1941)

LASKER Emanuel, Brettspiele der Völker, Berlin, August Scherl, str.183–196, 1931


Emanuel Lasker (1931)


Laskerův Nim (1931)


Roland Sprague (1935)

Roland Sprague (1894 – 1967)

SPRAGUE Roland, Über mathematische Kampfspiele, TôhokuMathematical Journal, Vol. 41, 1935/36, pp. 438-444


Patrick Grundy (1939)

GRUNDY Patrick, Mathematics and Games, Eureka, No. 2, mai 1939, pp.6-8


Patrick Grundy (1939)


Claude Jacques Berge, Francie, 1958

Claude Berge (1926 – 2002)

BERGE Claude, Théorie des graphes et de ses applications, Paris, Dunod,2nde édition, 1967


Dawson’s Chess (1935)

Thomas Rayner Dawson (1889 – 1951)


Dawsonovy šachy (1935)

Úloha(Dawsonovy šachya) Na šachovnici 3× n jsou pěšci, jako na obrázku. Pěšcichodí stejně jako v šachu, braní figurek je povinné. Kdo nemůže táhnout a)vyhrál b) prohrál. Který z hráčů vyhraje v závislosti na n?

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

(Dawsonovy šachy II) Hraje se na pásku čtverečků, které nejsou zpravidlaobsazené znaky. Hráči se pravidelně ve svých tazích střídají, každým svýmtahem umístí znak X na nějaký dosud prázdný čtvereček. Omezení pro tahje, že hráč, který je na tahu, nemůže znak X položit bezprostředně vedlejiž položeného znaku. Hráč, který udělal poslední tah, vyhrál.

aCaissa’s Wild Roses (1935), republished in Five Classics of Fairy Chess byDover (1973),


[email protected]

http://www.wopravil.cz/hs

Je ještě nekonečně mnoho tvrzení, která jsou třeba ověřit, ale máme jenkonečně mnoho času. . . (D. Knuth)





Date post:	16-Jul-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	1 times
Download:	0 times

Historie kombinatorických her · 2017-04-11 · Historie kombinatorických her Nestranné hry...

Documents