+ All Categories
Home > Documents > HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ...

HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ...

Date post: 26-Mar-2018
Category:
Upload: doanbao
View: 215 times
Download: 3 times
Share this document with a friend
185
Transcript
Page 1: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

� �������� ������ �������������������������! "�#�$�� "� � ���%�&�#�'��(�

)+*+,&-�.0/21435.7698:1;8�<�=>*@?A*()CBEDF1;G

HJILKNM4O%P4Q9QRM

Page 2: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

STVUXWZY�[�\]W^�_a`cbd`&ef`hgcidjakd`cb&l@im_a`�nXkoboi'p0qVgr_as2tuim`ckdbmvwghx0yz`ck{s|xz}a`�im`ckd~�ghx2jakdbo`'irs��2`h}�����sV~w����`h�� koxzjat�x2��bo`h}a�fxzk#ju}a�a`hk � kms��ajXs�id`�s2}a�'�oja}u��xzk � kms��ajXs�id`{boidja�a`h}�idb$bdt�`hgh��s2e��f�h�f} � `c�fid_a`hk���}~ws�im_a`c~�s>im��gcb�x2k�ta_��Lbd��gcbh�V^�_a`�~ws�im_a`c~�s>im��gcb#b5imja�a`c}�imb�_Xs2��boxz~w`��Xs2gr� � kdx2ja}a����}�s����y�s2}agc`h��s�}Xs2ef�Lbo��bh�F��_a�fe�`$ta_��Lbd�fghb#b5imja�u`h}�imb�_Xs2���f}�imkdxL�ajag�imxzk5����jXs2}�imju~ ~¡`hgr_as2}a��gcbh�w^Cxbms>im��b5�@�{bojagr_&s$�a�fbdtXs2kds�im`¢s�ja�a��`c}agh`��u�%`��a`cgh�f�a`h��imx�bo`he�`cgci~ws�im`ckd�£s�e���_a�fgr_'�fb���}�im`ckd`cboim�f} ��¤kdx2~¥im_a`�yL��`���t4xz�f}�i%x��;~¡x��u`hkd}�im_u`hxzko`cim�fg¦s2eXtu_��Lbo��ghbc�as2}u�¡��_a�fgr_��fe�e�juboimkds�im`cb�s2}w��}�im`ckdtae�s0�x2�]�f�a`¦s�b%�¤kdx2~§y�s2ko��xzjub¨nX`ce��ab%x2�]~ws�im_u`h~ws�im�fghb¨bdjagr_�s2b%xzt�`hkms>imxzkRim_a`cxzko�2�utakoxz�Xs2�u��e��©iª�z���a�©�£��¤`hko`h}�im��s2e�`h��jXs>im��x2}abh�Zs2}a�«�a�f¬4`hko`h}�im��s2e � `cxz~¡`cimk5�z�w­®�fyz`c}«x2jak®im��~¡`$ghx2}aboidkms2�f}�ih�]�+`¡_Xs¦yz`tajakobdja`c�&~ws�im_a`c~�s>im��ghs2e9gcxz}�im`h}�i�s�i�im_a`¯`���t�`h}abo`�x2�Jko� � x2kh�%° x0�+`�yz`ckh�4��_u`hkd`�yz`ck±�+`�_Xs¦yz`bms�ghkd�©nXgh`c��im_u`we�s�idid`hkh�F�%`�_Xs¦yz`¡imko��`h�Vimx'`���tae£s���}|��_a`cid_a`hk¯im_a`wkd`hbojaefi���b¯s2}«`hb5irs2�aef��bo_a`h��Es2g�i¦�Lxzkh��~ws�im_a`c~�s>im��ghs2e�e©�#bot4`hs2����} � ��s¯ghxz}7�o`hgcidjakd`��as2}u����}�im_u` �¤xzko~w`ck¨ghs2bd`��u_ax0�²s � �fy2`h}s2k � ja~¡`h}�i�g¦s2}���`¯~ws2�a`®ko� � x2kdxzjabc�³'xzko`hx0yz`ckh�]`cy2`h}��f}&�a`¦s�e���} � ���©im_&~ws�im_u`h~ws�im�fghbboimju�a`h}�imb��%`#�¤xzju}a�&�fi jabo`c�¤jae´�;�f�J}ax2i}a`cgh`hbobms2k5�z�zidx±kd`�yL��`c���as2bd�fg%~ws�im_u`h~ws�im�fg¦s2ez}ux2im�fxz}abFbdjagr_�s�bZid_a`+bot4`cgcimkoja~µx2�¶s2}�xzt�`hkms>imxzkc�s2}a�¢im_u`%·XkL¸`hgr_a`�iCx2k9y2s�kd�£s>im��x2}Xs2e>�a`hko�fy�s�im�©yz`��>��_a�fgr_¯�%`R}a`h`c�a`h���¤xzk9im_a`Rgcxzjakdbo`2�C¹±bZs�kd`hbojaefih�im_u`id`��Li(�fb¨�f}�im`hkobdt�`hkobd`h�{���©im_¡~�s>im_a`c~�s�id��ghs2ea�a`�imxzjakob%��_a�fgr_�xLghgcjat��w�f}widx2irs2e¶s��4xzj�i%_as2ef�x2��id_a`�~�s�id`hko�£s2e´�º¹»~�s�id_a`h~ws�id��g¦s�e�ef�Vboxzta_a�fboim�fg¦s�id`h�ºkd`¦s��a`hkwg¦s2}ºbd����~¼id_akdxzj � _ºid_a`h~��xzk$bo�L�ft�im_a`c~�s2efidx � `�im_a`ckh�¨s2}a��ghx2}agh`c}�idkms�id`'x2}�tu_��Lbo��g¦s�e�s2tataef��g¦s>im��x2}abh��½�}�id_a`�x2im_u`hk_Xs2}u�9�]s{kd`hs2�a`ck��Es2~w�fe���s2k(���fid_"im_a`$tu_��Lbo��g¦s�eJghxz}�id`h}�i¢x2�¨��jXs2}�imja~»~w`cgr_Xs2}a�fghbc�Fs2}a�&��_ax�%xzjae��|ef���2`�idx�`h}a_as2}agh`¡_a�fb®xzk®_a`hk®~ws�id_a`h~ws�im�fghbc�9ghxzjue��|ghxz}ugh`h}�idkms�id`¡x2}Vid_axzbd`$�u`cimx2jakdbs2}a�¡ghx2}abd�f�a`hkRim_a`ta_��Lbd�fghb+gr_as2tuim`ckdb%s2b%s2}�s�tatae��fg¦s�id��xz}$x��4id_a` ~ws�id_a`h~ws�im�fghb��f}ws®�Es2~¡��ef�£s2kbd`�idid��} � �¾�¿rÀ>Á;Â>Ã�Ä�ÅdÆ0Ç2È�Å�ÁXÉËÊ ^�_a`®s�juim_ax2kdb%s2kd` � kms>im`c�¤jue¶idx�Ì#�uÍ+jubde£s�`cy��aÎu�L·XkdxL`h_ue���gr_;��ϵ�L°ja}���h�f�2`ckh�¶s2}a��Шj9�¨½±yzgr_u��}a}a�f�2x0y��¤xzk�jabo`c�¤jaeF�a�fbdgcjabdbo��xz}abc�

Page 3: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ�Ø

Ù Ú#Û�ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ�çZèCé êpz�©p ^�_a`¢�axzja�ue�`��ëbdef�fi�`��ut�`hko��~¡`h}�i{�¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯� ìpz� S Ï�s¦y2`¢�¤ju}agcid��xz}abí���¢�¯���¯���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p0îpz�ðï ñLirs>im`��ëbdtXs�gh` �¯�¯���¢�¯���¯���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p0îpz�óò ^�_a`�ñ�gr_ak¦ôxz�a��} � `hk�`h��jXs>im��x2} �¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��pzp

õ ö÷àuø7ÛFù�ú«àuø7ÞEßzàXá(éFù�ø¦æ4çFå�û¢æ�ü�ù�å7àuø0æ¶å¡ø7ÛZù�æ¶å0Ü ÙLýS �©p ½�t4`ckms�idxzkdb�xz}'° �fe���`hk5i�bdtXs�gh`hbþ�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p0ïS � S ¹±�>�ox2��}�imb÷�¯���¯�¯���¢�¯���¯���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p0qS �ðï ÿ��ut�xz}a`c}�im�£s�e�b�s2}a��ja}a�©irs2k5�{xzt�`hkds�imx2kdb:�¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p��

ý �{ÜFèZàaú�Þ´ß�Ý õ]Ùïu�©p �+xz}abo`hkoy�s�id��xz}�x2�Ctakoxz�Xs2�a�fe��©iª�w�¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯� S pïu� S ÿ��u�fboid`h}agc`�x2�C�u�L}Xs2~¡��gcb �¯���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯� SzS� ö÷àuø7ÛFù�ú«àuø7ÞEßzàXá(éFù�ø¦æ4çFå�û®ø7ÛZù��]æ4çFå>ÞEù�å�ø0å7àXèZÝ��ëæ¶å>ú õ¶ýòa�©p �`cnX}u�fim�fxz}�x2�Zim_a`¯·Xxzjako��`ck+imkds2}abo�¤x2kd~ �¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯� S ïòa� S kdxzt�`hk5im��`cb�x2�Zim_a`¯·Xxzjako��`hk(idkms2}ubo�¤xzko~ �¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯� S òòa�ðï ·Xja}agcid��xz}ub�x2�Cid_a`¢�a`hko�fy�s�id�fyz` �¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯� S�� ��âCÝhù�å��uàaâCáEùLÝ õ4ê� �©p ³'`¦s�}�y�s2efja`hb�s2}u��id_a`¢~wxz~¡`h}�idja~Nxzt�`hkds�imx2k �¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯� S ì� � S ½��abd`ckoy�s2�aef`hbN�¯�¯���¢�¯���¯���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯� S �� �ðï ° `c��bd`c}��4`ck � kd`htukd`hbo`h}�irs>im��x2} �¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯� S��� �óò ��jXs2}�im�f�¦s�id��xz} �¯���¢�¯���¯���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯�Aïzî� � � bd`hju�ax��u�f¬4`hkd`c}�im�£s�e]xzt4`ckms�idxzkdbþ�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯�Aïup

ï

Page 4: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

ò ��������������� !#ÛFù�çZèCßzù�å0ø0àXÞEè4ø�Ü�üCå>ÞEèCß�Þ¤ü�á¤ù ý¶ý

qu�©p ^�_a`¯° `c��bd`c}��4`ck � ju}agh`ckoirs���}�iª��tako��}agc��taef`Ô�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯�Aïzïqu� S " `�nX}a`c�'ja}ugh`hk5irs2�f}�iª��takd�f}agh�ftae�`¢�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯�Aï2òqu�ðï ¹±tatue���ghs�im�fxz}$#Cboirs��a��ef�fiª�wx2�J°��L�akdx � `h}|���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯�Aï �

ê %9ü�ùLß2ø0å7àXá¨ø7ÛZù�æ¶å0Ü ý4êì��©p ^�_a`¢bdt�`hg�imkdju~ x2�Js�}'xzt�`hkds�imx2k#�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯�Aï�ìì�� S ¹±tatue���ghs�im�fxz}ab+idxwñ�gr_ak0ôx2�a��} � `hk�xzt�`hkms>imxzkob#�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯�×ò Sì��ðï ñ�t�`hgcidkdja~�s2}a��`cyzx2e�juid��xz} ���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯�×ò �& %9ü�ùLß�Þ¤àXá(ßzàXÝcù�Ý �9ê�u�©p ^�_a`¢��}una}a�fid`��+`ce�e¨���¢�¯���¯���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯�×ò�ì�u� S ^�_a`®imxzkojab ���¯�¯���¢�¯���¯���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯�×ò'��u�ðï ¹÷t4x�im`h}�id�£s2e9b5im`ct ���¢�¯���¯���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯�×ò ��u�óò ^�_a`¢bd��jXs2ko`¯�%`hefe|���¢�¯���¯���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯� � î�u� � ^�_a`¢_Xs2ko~wxz}u��g�xzbogh�fe�e£s>imxzk ���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯� � p�u�ðq ^�_a`¯°�L�akox � `h}"s�imx2~ ���¯���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯� � ò�u� ì ¹÷tXs2k5im��gce�`®�f}�s2}'`��Lim`hko}Xs2eZÿ¨³ na`he�� ���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯� � ì( ö÷àXè4Ü*)düCàuå7ø0Þ´ß�á¤ù&ÝcÜ]Ýcø0ùLú�Ý ]Ù� �©p ��jXs2}�im�f�¦s�id��xz}�x2��s$~�s�}����ëtXs2koid��gce�`�b5��b5im`c~ ���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯�Aqup� � S ñ�`htas2kms�id��xz}�x���im_u`¯gc`h}�imko`¢x2�J~ws2bdb�~¡x2id��xz}¡���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯�Aqzï� �ðï +ª�a`h}�id��g¦s�e]tXs2koid��gce�`hb|�¢�¯���¯���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯�Aq2ò

Ù-,.!#ÛFù.�]ù�ÜFèCú«àXè üCà�ø7Û Þ´è�ø0ù�ä�å7àXá 4êp0îu�©p�³"s�id_a`h~ws�im�fg¦s2e4�a`cidxzjak/#Rid_a`¢^Ckox2idid`hk�takox��ajugci��¤xzkd~#jae£s#�¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯�Aq�ìp0îu� S ³"s�id_a`h~ws�im�fg¦s2e4�a`cidxzjak/#¨�f}�im` � kms2e9x2t4`ckms�idxzkdb �¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯�Aq��p0îu�ðï ^�_a`¯·X`c�L}a~ws2}'tas�im_���}�id` � kds2e �¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯�Aq �p0îu�óò ­¢`c}a`hkds2e��f�¦s�id��xz}ub+x2�Zim_a`¢tXs>im_���}�im` � kms2e��¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯�§ì S

Ù¶Ù�ö÷àuø7ÛFù�ú«àuø7ÞEßzàXá(éFù�ø¦æ4çFå�û®ø7ÛZù"ßzàXáEß�çCáEçCÝ�æ0�1�aàaå>Þ¤àuø7Þ¤æ�èCÝ ê2 pzpz�©p�·Xja}agcid��xz}as2e�b �¯�¯���¢�¯���¯���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯�§ì �pzpz� S ^�_a`®nXkdb5i�y2s�kd�£s>im��x2}�s2}a��ghko�fim�fg¦s2e4t4x2��}�imb§�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯�§ìzìpzpz�ðï ^�_a`¢bd`cghxz}a��y�s2kd��s�im�fxz} ���¯���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯�§ì �pzpz�óò ¹±tatue���ghs�im�fxz}&imx�im_u`wbot4`cgcimkds2e¨takdxz�ue�`h~3#®y�s2kd��s�im�fxz}Xs2eCgr_Xs2kms�gcim`ckd�f�¦s�id��xz}Vx2�

`h� � `h}�y�s2e�ju`hb����¯�¯���¢�¯���¯���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯�4�uppzpz� � �+xz}>�oj � s�im`®t�xz��}�idb s�}a�'Îzs2ghxz�u�9nX`hef�ab����¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯�4� Spzpz�ðq ¹±g�im��x2}�x��Cid_a`¢ghkd�©im�fg¦s2e4tXs�im_ �¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯�4�zq

Page 5: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

��������������� �ÙLõ&ö÷àuø7ÛFù�ú«àuø7ÞEßzàXá(éFù�ø¦æ4çFå>Ý2û¢ø7ÛZù&Ýcø0àuø7Þ¤æ�èZàuå7ܺüCÛZàXÝcù|ú�ù�ø7ÛZæ9é àXèCé æ¶ü�ù�å7àuø0æ¶åéZù�ø0ù�å>ú�ÞEèZàaè4ø7Ý (]Ùp S �©p�^�_a`¢boims�im�fxz}Xs2k5�{ta_Xs�bd`¯~w`�im_axL� ���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯� � pp S � S ½�t4`ckms�idxzk��a`cid`hko~w�f}Xs2}�imb÷�¯���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯� ��S

ÙLý65¡çFàXݦÞ7)rß�á¤àXݦݦÞEßzàXá+àaèZàXá@ÜFݦÞEÝ (0 p0ïu�©p8��jXs2bd���ªgce£s2bobd��ghs2e9s�bo�L~wt�imx2id��ghb�x��Cid_a`¢takdxztas � s�idxzk �¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯� �'�p0ïu� S ��jXs2bd���ªgce£s2bobd��ghs2e9s�bo�L~wt�imx2id��ghb�x��Cid_a`�­¢ko`h`h}ub��¤ju}agcid��xz}��¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯� � ì

p0ïu� S �©p ¹ tat�`h}a�a��� �¢�¯���¯���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯� ���p0ïu�ðï Í+xz_ak �5ñ�x2~w~¡`hk5�¤`he���bd`h~¡�©�ëghe�s2bdbo��g¦s�e;��jXs2}�im�f�¦s�id��xz}N���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p0îzîp0ïu�óò9��jXs2bd���ªgce£s2bobd��ghs2e9s�bo�L~wt�imx2id��ghb(�¤x2k(im_a` � koxzja}a��boims�im`¢`h}u`hk � �í�¯�¢���¯���¯�¯��p0î S

Ù'�.:{ùLÝhæ�èZàaèCßzùLÝ Ù-,; p¦òa�©p�^Cju}a}a`hef��} � s2}u��ko`hboxz}Xs2}agc`hb �¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p0î �p¦òa� S ·Xkd`h`®ko`hboxz}Xs2}agc`�`c}a`hk � �w���¯���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p0î�ìp¦òa�ðï<+ª}aboims2}�imxz}ub ���¯�¯���¢�¯���¯���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p0î �p¦òa�óò²·���}u�fim` im`h~¡t�`hkms>imjako`hb�lËÎ2xzbo`hta_ubdxz}$�oja}agcid��xz}Xv$�¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��pzpzpp¦òa� �< kd`��ë`���t�xz}a`h}�id�£s2e9�Es2g�imxzk(�¤x2k(im_a`¢��xzja}agc`:�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��pzp0ïp¦òa�ðq=�+xz}�imko���ajuid��xz}�x��Cid_a`¢�h`hkox��ª~¡xL�a`����¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��pzp �p¦òa� ì Í+xz_ak �5ñ�x2~w~¡`hk5�¤`he����Ljas2}�im���hs�im�fxz}��¤xzk�kd`cbdxz}as2}agh`cb �¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��pzp �

Ù> �?hè�ø0å7æ]éCçZß2ø7Þ¤æ�è�ø0æA@9çZàaè4ø7çZú BCùLá´éºø0ÛZù�æ¶å0Ü Ù¶Ù>(p � �©p�^�_a`¢tae£s�gh`¢x2�C�¢·C^ �¢�¯���¯���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��pzp �

p � �©pz�©p _��Lbd�fg¦s2eF^�_a`cxzkd�f`hb����¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p S îp � �©pz� SD ko��}agc��taef`�x2�C~w�f}a��~ws2e4s2gcid��xz} �¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p S î

p � � S<E e�`h�f}��5­®xzko�axz}�id_a`hxzk5��s2bs�°±s2~¡��e©imxz}u�£s2}wbo�Lboid`h~ �¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p S pp � � S �©pGF]` � `h}a�ukd`®imkds2}abo�¤x2kd~ �¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p SzSp � � S � S ° s2~¡��efidxz}a��s2}ab ���¯���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p SzSp � � S �ðï xz��bobdxz}��akds2gr�2`�imb ���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p SzSp � � S �óò ° s2~¡��efidxz}$Hób+`c�Ljas�im�fxz}ab �¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p S ò

p � �ðï²³"s>�L�%`he�eIHðb�`c�Ljas�im�fxz}abs2b�s¡°±s2~¡��e©imxz}a��s2}¡bo�Lboid`h~ �¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p S��p � �óò9��jXs2}�im�f�¦s�id��xz}�x2� E e�`c��}�� ­¢xzko�axz}�s�}a�&³'s>�L�+`ce�e]`h��jXs>im��x2}ab����¯�¢���¯���¯�¯��p S ì

p � �óòa�©p ^�_u`¯��jXs�}�id���hs�im�fxz}�takdxLgh`c�ajakd` �¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p S �p � �óòa� S �+ko`¦s�id��xz}�s2}u�"s2}u}a��_a�fe£s�id��xz}wxzt�`hkms>imxzkob��¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p0ïzïp � �óòa�ðïAϲ�fgr�{xzko�a`hko��} � ���¯���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p0ï2òp � �óòa�óòJ��jXs�}�id���c��} � ³"s7���%`hefeKHób�`h��jXs�id��xz}ab ���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p0ï �p � � � ·Xx�gr�wbdtXs2gc`����¯�¯���¢�¯���¯���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p0ïzq

p � �ðq²­¢`c}a`hkds2e��f�h`c��·¶ko`h`¢^�_a`cxzko�!���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p0ï �

Page 6: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

q ���������������p � � ìL+ª}�im`hkds2gcid��xz}ubþ�¯�¯���¢�¯���¯���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p¦ò�îp � �M�=��jXs2�akds�im�fg®s2tatakox¦�u�f~�s>im��x2}����¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p¦òap

p � �M�u�©pG��fbdgcjabdbo��xz}A�¢�¯���¯���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p¦ò'�Ù> 65¡çFàXè4ø7çZú ùLáEùLß2ø0å7æ]é]ÜFèFàXú�ÞEß�Ýwæ0�®èFæ�èN)då7ù�á¤àuø7ÞO�FÞEÝcø7ÞEß�üZàaå0ø7ÞEß�áEùLÝ2û�ø7ÛZù�ø7ÛFù�æ¶å7Üæ0� å7àXéZÞEà�ø7ÞEæ�è Ù> ]Ùp0qu�©p�^�_a`¯°±s2~¡��e©imxz}u�£s2} �¢�¯���¯���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p �zSp0qu� S< `ckoimjukd�Xs�id��xz}�bo`cio�ëjat÷�¯���¯���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p � òp0qu�ðï " `cbdjae©imb����¯���¯�¯���¢�¯���¯���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p � q

Ùuê3:{ùLèZæ¶å>ú�àXáEÞQP�àuø7Þ¤æ4è�ä¶å7æ4çFü Ù> ]Ùp7ì��©pR�`hgc��~ws�im�fxz}{~ws2t����¢�¯���¯���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p0qupp7ì�� S<" `ce£s�id�fy2`®Í+xzja}u�ab¢���¢�¯���¯���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p0q2òp7ì��ðï ÿ�e���~¡��}as�im�fxz}wx���tXs�koim�fghef`®s2}a��_a� � _�tu_ax2imx2}'`c}a`hk � ���a` � kd`c`hbx2�C�¤ko`h`c�axz~ �¯��p0qzqp7ì��óò ­¢`c}a`hkds2e��f�h`c�{ϲ��gr� " `htako`hbo`h}�irs�id��xz} ���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p0q�ìp7ì�� � °±s2~¡��e©imxz}u�£s2}TS�U0lQV>WYX�vµ���¯���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p0q��p7ì��ðq Í(s2}Xs�gr_'botXs2gh`¯x2�Cxzt�`hkms>imxzkobþ�¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p0q �p7ì�� ì " `cbdghs2e��f} � ���¯�¯���¢�¯���¯���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p7ì�pp7ì��M� " `c}axzko~�s2ef���hs�im�fxz}�~ws2t ���¯���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p7ì2ïp7ì�� � F]��}a`hs2kd�f�h`h�[ZXx0� ���¢�¯���¯���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p7ì �p7ì��©p0î>�+`h}�imkds2e©�ëboims2�ae�`®~ws2}a�©�¤xze��¡�¤xzk " ­×s2}u��bot4`cgcidkms�x2��° s2~w�fefidxz}a�£s�}abí�¯���¯�¯��p7ì��p7ì��©pzp7¹±tat�`h}u�a�©� ���¯�¯���¢�¯���¯���¯�¯���¯���¯�¢���¯�¯���¯���¯�¯���¯�¢���¯���¯�¯��p��zî

Page 7: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Ñ \ ]J^ Õ«Ö`_ ab \dc ØfeCgh]ji k ]lgRmonp_�Òrq Ó s+ª}{im_u��b+�f}�imkdxL�ajag�imxzk5��gr_as2tuim`ckh�u�%`�tako`hbo`h}�i s�yz`cko�{�ukd��`��Fx0yz`hk5yL��`c� x2�]id_a`®�Xs2bo��g±b5imkojagcidjakd`x2���Ljas2}�imja~ ~¡`hgr_Xs2}u��ghbc��s2}a�'idxzjagr_'xz}�id_a`¯ta_���bo��ghs2eC~¡x2id�fy�s�im�fxz}��¤xzk�id_a`¯id_a`hx2ko�z�+¹ �u`��irs���e�`c��~�s�id_a`h~ws�id��g¦s�eu�a�fbdghjubdbd�fxz}�x��9��jXs2}�imju~A~w`cgr_Xs2}a�fghb¨��b�im_a`��¤xLghjabRx2�4im_a`bdja�ubd`h��ja`c}�igr_Xs2t�im`hkob x��Cid_a`¢�4xLxz�¶�

t�u�t v4wyx zy{}|.~.�/x��;�C�����rx����fx������ x����ñ�jatut4xzbo`s¢b5imko`¦s2~×x��;`ce�`hg�imkoxz}ab���bJnakd`h�ws�i¨s®bd_u��`hef�$��}$��_a�fgr_�iª�%x¯}Xs2kdkox0� bdef�fidbJ_Xs¦yz`���`h`h}ghj�i�l¤bd`c`¯n � jakd`�pz�©p7v��¨½�}�im_u`¯x�im_a`ckbo���a`¢x2�Zim_u`¯bo_a��`ce�����b�s$�a`�im`cgcimx2kboghko`h`h};�

slitselectron

gun

experimental set-up

screen

shield

l pz�©p7v

��gcidjakd`c����}�n � jukd`hb�pz� S �mpz� ï'��b#id_a`���}�im`c}abd�©iª���a�fboimko���aj�im��x2}�xz�abo`hk5yz`h�ºxz}�im_a`�boghko`h`h}��_a`c}"`h�©im_a`ck�x2�Zim_a`¢bdef�fidb���b��aefx�gr��`h�9�ì

Page 8: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

� �C�����������D���L����������������� �¡�C¢¤£1����¥���¦

P_1 (brightness)

first slit blockedl pz� S v

P_2

second slit blockedl pz�ðï�v

ϲ_a`c}��4x2id_{bdef�fidb(s2ko`±xzt�`h}9�Lim_a`±xz�abd`ckoy2`h����}�im`c}abd�©iª���u��boidkd�f�ajuim�fxz}¡��b+bo_ax0��}���}�n � jakd`#pz�ðòu�

Page 9: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

���§���¨�����<¦���¥��©�ª��«¬���ª�����C­��������¯®������ �

both slits open

P = P_1 + P_2

l pz�óò�v" `c~�s�kd�>s2�ae©�z�0im_a�fbF��bF}ax2iZim_a`¨bdju~÷x2�uid_a`%tukd`cyL�fxzjabFiª�+x �a��b5imkd�f�ajuid��xz}ab/°��f`2�²±l³´ ±�µ·¶¤±¹¸¦�Ï«`¯~ws2��`¯boxz~¡`®xz�abd`ckoy�s�id��xz}ab��Xs�bd`h��xz}�im_a�fb�`���t�`hkd�f~w`c}�i¦�pz��Ï«`�g¦s�}a}ax2i®tukd`h�u��gci�`��us2gcidef�'��_a`hko`�s � �fy2`h}|`hef`hg�imkdx2}"����efeC_a�©i±id_a`$bdgckd`h`c}9�9�%`$g¦s2}xz}uef�{�u`cim`ckd~¡��}a`�id_a`¢�a��b5imko���ajuid��xz}�x���efx�ghs�im�fxz}abh�S ��^�_a`¡��}�id`h}abo�fiª�|tXs�ioim`ckd}�lEg¦s�e�e�`c�Vs2}»º ÁXɪÅ�¼O½¦Å�¼mÅ�Á;¿rÅ�¾À¿2ɴɪÅ�¼�Á v��%`¡xz�abd`ckoy2`w��_a`c}���x2im_boe��fidbRs2kd`xzt�`h}¡��bRbd�f~w�fe£s2kZimx¢im_a`tXs�ioim`ckd}w�%`bd`h`��_a`h}�s¢�+s¦yz`�tukdxztXs � s�im`cb�im_akoxzj � _id_a`wboe��©imb�#®id_a`w�f}�im`h}ubd�fiª�|x2�abd`ckoyz`c����_a`h}«im_a`��(s¦y2`hb�Á�µ¢s2}u�AÁ1¸�l¤id_a`��(s¦yz`cb#_a`ckd`s2ko`±ko`htako`hbd`c}�im`h������gcxz~¡tae�`��¡}Lju~��4`ckdb(`c}aghxL�a�f} � im_u`®s2~¡tae��©imja�a`s2}u�{ta_Xs2bo`0v%x2kd� � ��f}Xs�im�f} � s�i(`hs2gr_�bdef�fi+s2kd` ghxz~��u��}a`c�9�u�fb%takoxzt�xzkoid��xz}Xs�e¶idx�ÂÃÁ�µÄ¶fÁ1¸� ¸ ³´ ÂÃÁ�µ� ¸ ¶ÅÂÃÁ1¸� ¸l¤bd`h`¢n � jukd`$pz� � v��

wave interferencel pz� � v

Ï�`¢ghs2}'�ukms¦��boxz~w`¢gcxz}aghefjabd�fxz}ab��Xs�bd`h�'xz}�im_a`cbd`¯xz�abo`hkoy�s�id��xz}ubh�

Page 10: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

p0î �C�����������D���L����������������� �¡�C¢¤£1����¥���¦pz� ³"s>idim`ck��4`c_Xs¦yz`hb��}�s$kms�}a�axz~N�+s¦�z�S � ³"s>idim`ck�`���_a���u�fimb(�+s¦yz`��ªe��f�2`¢takoxzt4`ckoid��`hbc�+ª}#x�im_a`ckC�%xzkd�abc�2im_u`%��`h_Xs¦yL��x2jakCx��X��}a�u�fyL���ajas2ez`hef`hg�imkdx2}ab��fbZ�f}�imkd�f}abd�fg¦s2efef� kms2}u�axz~��2s2}u�#im_a�fb

kms�}a�axz~¡}a`hbob�takoxztXs � s>im`hb�s2ghgcxzkd�a�f} � idx&e£s¦��b#x����(s¦yz`�~¡`hgr_as2}a��gcbh��^�_a`cbd`�xz�ubd`hk5y�s�im�fxz}ab�¤xzko~ s�gc`h}�imkds2e�tXs2k5i�x2�¢im_u`&tXs2kds2�a� � ~ bo_a�f�@i���}�imkox��ajugh`h�²����id_a`"id_a`hxzk5� x2�¯��jXs2}�idja~~¡`hgr_Xs2}u��ghbc�

t�u·Æ Ç È�É�x Ê�|.�.Ë1�C��{��.�+ª} ��jXs2}�imju~ ~w`cgr_Xs2}a�fghbc�id_a`&boims�im`"x2��s�tXs2koid��gce�`���b{�a`cbdgckd����`h�²��� s�gcxz~¡tae�`��L�Ëy�s2e�ja`c��¤ja}ag�im�fxz}�x2�Zt4x2bd�fid��xz}{s2}a��im�f~w`���̱lQͪWÏÎov��ÀÍyÐ�Ñ Ò��ÀÎÓÐ�Ñ��^�_a��b��fb(g¦s2efe�`c��s ÃÔ¿�Õ2Å�½·ÖLÁ;¿�É º Â>ÁlEx2k�× ÉK¿2ɪÅ�Õ2År¿�ɪÂؼ v��C+ª}we�� � _�iRx2�;id_a`±s��4x0yz`�a�fbdghjubdbd�fxz}9��im_a`��+s¦yz`±�¤ja}ugcim�fxz}¡bd_axzjue��¡_Xs¦yz` id_a`�¤xzefe�x0����} � takdxzt�`hk5im�f`hbh�pz�� Ì�lÚÙÛWÏÎov� ¸ �fb%id_a`�takoxz�Xs2�a�fe��©iª�$�a��b5imko���ajuid��xz}¡�¤xzk%id_a`±tas2koid��ghef`�Hób+t�xzbd�©im�fxz}9��^�_as�i(�fbh��id_a`takoxz�Xs2�u��e��©iª�wid_Xs�is�tXs2k5im��gce�`®�fb���}�im_a`¢ko` � �fxz}3ÜÞÝÅÑ Ò s�i�im�f~w`�Î+��b�ß�à� Ì�lOͪWÏÎov� ¸Yá ÍF�^�_�jabc�¶�%`¯kd`h��ja�fkd`®im_u`¯}uxzkd~ws2e��f�¦s�id��xz}Tß/â-ã� ̱lQͪWÏÎov� ¸Yá Í ´ pz�

S �1Ì bds�im�fbonX`cb boxz~¡`®bdxzk5i x��C�+s¦yz`¯`h��jXs�id��xz}9�·Xxzk±`��us2~wtue�`2�4��}"id_a`$�axzju�ae�`��ªbdef�fi`���t�`hko��~¡`h}�i¦�9�©��ÌÔµ � �©yz`hb im_a`�b5irs�id`$�4`��zxz}u�|id_a`�bo_a��`ce�����fid_#im_u`%nXkoboi�boe��fiCghefxzbd`c�9��s2}u�¤Ì�¸ � �©yz`cb�im_a`+boirs>im`+��`c�2xz}a�$im_u`+bd_u��`hef�#���fid_#im_u`+bd`cghxz}u�¡boe��©ighefxzbd`c�9�aim_u`h}�Ì ´ ÌÔµN¶8Ì�¸ �a`hboghko����`hb�im_a`¢boims�im`¢���fid_��4x2id_'boe��©imb�xzt�`h}9�R^�_a`¯��}�id`hko�¤`ckd`c}agh`tXs�ioim`ckd}�xz�abd`ckoy2`h�"�f}�im_a`¢e£s>idim`ck�g¦s2bo`¢kd`/Za`hgcidbid_a`®�Es2gci�id_Xs�i� Ìä ¸ ³´  ÌÔµ� ¸ ¶å Ì�¸� ¸ �t�uYæ ç���Èè��x��;�C�yÈéË�x^�_a`�botXs2gh`�x2� s2efe%t�xzbobd���ue�`{b5irs�id`hb$x2��im_u`�tXs2koid��gce�`{s>i�s � �fy2`h}�id��~¡`���b#g¦s2efe�`h�«im_a`�× ÉK¿2É Å× ¾À¿L¿rÅ � ·Xxzk�jabc�+im_u`'b5irs�id`'botXs2gh`'x2�®s|tXs2k5im�fghe�`{���fe�e�jabojXs2efef����`�im_a`'bd��jXs2ko`��ª�f}�im` � kms2�aef`�¤ja}ag�im�fxz}ab�# ê ¸ lQÑ Ò v�ëGì�ÌÅ#�Ñ Ò�í î Â�ï â'ã  Ìä ¸�ðÅñhòl¤�%`®g¦s�}���~¡t4xzbo` id_a`�}axzko~�s�e����hs�im�fxz}�ghxz}u�a�fid��xz}�s�b(}a`h`c�a`h�Xv��¨^�_a��b(�fb(s#y2`hgcidxzk�bdtas2gh`��Xs2}a�_Xs2bs2}��f}a}a`hk �ªtakox��ujagci � �©yz`h}���� ó Ì�W·ô*õ�ëåï â ã¤öÌÓôlE�f}��Es2gcih�a�fi��fb�sf÷o° ��ef�4`ckoi�botXs2gc`�ø2°X�´�ð`����fi���b�gcxz~¡tae�`�im`±�¨bd`c`�bo`hg�im��x2} S �fp7v��

Page 11: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

���úù>�¨�����Å�$�C���¨û��¦��Ú�¤£1���å��ü�¥ª���¹����� pzpt�u¯ý v4wyx çþËÓw.��ÿ{�z.������x��px��[|yÈè���/{}�Ï«`+}ax0� � �©yz`%s±~wx�im�fy�s�id��xz}��¤x2kZid_a`+`c�Ljas�im�fxz}���_a�fgr_ � x0yz`ckd}abCim_a`%`cyzx2e�juid��xz}�x2�¶s tas2koid��ghef`�Hób�+s0y2`¯�¤ju}agcid��xz}9��^�_u��b���b(id_a`¢gh`hef`h�akds�im`c��� ¿��>¼�Â2Æ º ÁLÇLÅ�¼#Å��ÖÀ¿2É º Â>Á �

½�jak�`h��jXs�id��xz}�bd_uxzjae���bms>im��b5�@�{gc`hkoims2��}�ta_��Lbd�fg¦s2efef��bd`h}ubd���ue�`¢takdx2t4`ckoim�f`hbc�pz��^�_a`¢b5irs�id`�Ì�lÚÙÛWÏÎÚU�v(s>i(im�f~w`�Î ´ ÎÚU�bd_uxzjae����a`�im`ckd~¡��}a`±id_a`¢boims�im`�̱l¯Ù WÏÎov¨�¤xzk�s�e�e;e�s�im`ckid��~¡`hb©Î �LÎÚU�l ¿Ï¿�Ö × ¿2Ä º É�� v��S �1+ë�ªÌ�s2}a�3ô's�kd`±`�yzxzefjuim�fxz}ab(x��Fboirs>im`hbc�uim_u`h}���Ì[¶���ô�l��¨���|ghx2}aboims2}�imbrv+bo_axzjaef��s2efbdx�a`cbdgckd����`®im_a`¢`�yzxzefjuim�fxz}�x2�Js$b5irs�id`�l@im_a`¤× Ö�¾XÅ�¼¬¾X ×�º É º Â>Á}¾;¼ º Á;¿ º ¾�Ä�Å v��

ïu�1+ª}<÷o`cy2`hko�L�Xs¦�"bd�fidjXs�id��xz}abc�Mø¡��jXs2}�imju~»~¡`hgr_Xs�}a��gcb±bd_uxzjae��'�4`¯ghefxzbd`¢imx¡im_a`�ghe�s2bdbo��g¦s�e~¡`hgr_Xs�}a��gcb��%`¯s2kd`¢jabo`h��imx'l¤id_a` ¿rÂؼ�¼mÅ × ¾XÂ>Á�ÆLÅ�Á;¿rÅ ¾;¼ º Á;¿ º ¾�Ä�Å v��

^�_a`�nXkoboi¢ko`h��ja��ko`h~¡`h}�i®~¡`¦s2}ub±im_Xs>i�Ì:bo_axzjaef��bms�id��bo�@�"s2}�`c�Ljas�im�fxz}&��_a��gr_��fb±nXkoboio�ëxzkd�u`hk��}�id��~¡`2�u}as2~w`cef� �� Î Ì ´�� Ì l pz�ðq�v�¤xzk�boxz~¡`�xzt4`ckms�idxzk � xz}�id_a`�boims�im`�botXs2gh`���^�_a`�bo`hghx2}a�ºko`h��ja�fkd`h~¡`h}�i��f~wtaef��`cb�im_as�i �~�jab5i�4`¢s Ä º Á;ÅÏ¿�¼ xzt�`hkds�imx2kh�

Ï�`wjabd`¡im_a`�im_u��kd�Vkd`c��ja��ko`h~¡`h}�i��f}«xzko�a`hk¢imx�nX}a�Vim_a`wghxzkokd`hg�i��¤x2kd~ x2� � ��Ï«`wnXkoboikd`cg¦s2efe%id_Xs�i�xz}a`�x2� id_a`{�¤ja}a�as2~w`c}�irs2e%`h��jXs�id��xz}ab$x�� gce£s2bobd�fg¦s2e%~w`cgr_Xs2}a�fghb$��b$x��id_a`{nXkoboixzko�a`hk���}�id��~¡`2�C+ëi��fb(im_a`�� ¿2È º Ä É Â>Á����À¿L¿r � º Å��ÖÀ¿2É º Â>Á ��� Î"! ´$#�% lOͪW'&)( ! v l pz� ìzv��_a`ckd` % lQͪW'*av ´ Â+*¹Â ¸', S.- ¶0/{lOÍ4v���b�id_a`&ghe�s2bdbo��ghs2e1� ¿2È º Ä É Â>Á º ¿2Á ½·ÖLÁ;¿�É º Â>Á �2/í��b�id_a`t�x2im`c}�id�£s2e´� - ��b id_a`#~ws2bobh�9s�}a� ! lQͪWÏÎov���b id_a`�gce£s2bobd��ghs2e ¿L¿�É º Â>Á � ^�_a��b±`h��jXs�id��xz}9����}'imjako}9���b�bo��~¡��e�s2k¨idx¡id_a` Å º À�Â>Á;¿2ÄZÅ��ÖÀ¿2É º Â>Á �

l � ô , � Îov ¸ # Â+&)(Øô� ¸ ´ î��_a�fgr_#��bZs�_a� � _��ë�¤ko`h��ja`h}ugc��s2tatakox¦�u�f~�s>im��x2}®x2�uid_a`¨�+s¦yz`%`h��jXs�id��xz}¯�¤xzk43 ´6587:9<; �FÏ�`¨~�s��2`s2}�s2}Xs2efx � �®��`ciª�%`h`c}#im_u`%tXs�bdbms � `¨�¤koxz~:id_a`¨�+s¦yz`(`c��jXs�im�fxz}¢imx�im_a`¨`h�f�2xz}Xs�e�`h��jXs�id��xz}{l¤im_as�i��bc�a�¤kdxz~ ÃÔ¿�Õ2Å�ÂY¾�É º ¿ ×+imx ÇLÅrÂ>È�Å�ÉI¼ º ¿�ÂY¾�É º ¿ ×dv�s2}a��im_a`¯tXs2bobms � `¯�¤koxz~N��jXs2}�idja~ ~w`cgr_Xs2}a�fghbimx$gce£s2bobd�fg¦s2e4~w`cgr_Xs2}a�fghbh�R^�_�jabc�a�+`¢bd`c`h�{`c��jXs�im�fxz}Vl5p2� q�v��uko`h��ja��ko��} � id_Xs�i��fb(_Xs2b�boxze�j�im��x2}abx2�Zim_a`®�¤xzko~ ̱lQͪWÏÎov ´=5 lQͪW Îov 7 9?>A@ (CB DFEFG�H

Page 12: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

p S �C�����������D���L����������������� �¡�C¢¤£1����¥���¦��_a`ckd`JI|�fb�boxz~¡`¡y2`hko��bd~ws2e�e�gcxz}ab5irs2}�i¦�J���©im_ ! bds�im�fbo�@�L��} � `h��jXs>im��x2} l5p2� ìzv��'¹ bdboja~w�f} �5 � ! �]s2}a��id_a`h�fk��a`hko�fy�s�id�fyz`cb®s2ko`�x2�¨xzkd�u`hk�xz}u`$��}�I¶�4im_a`c}|idx{im_a`$ef`¦s2�u��} � xzkd�a`ck®��}�IX�$Ìbms>im��b5nX`hb�id_a`¢`h��jXs�id��xz}K I �� Π̱lQͪW Îov ´L# I ¸

SM-ON (�̱lQͪW ÎovN¶P/{lOÍ4v¯Ì±lQͪWÏÎov'Q l pz�M��v^�_a�fb�`c�Ljas�im�fxz}��fb�x2�%im_a`w�a`hbo��ko`h�«�¤x2kd~ l5p2� q�v���+ª}��Es2g�i#�©i¯��b®im_a`wkd� � _�i�`c��jXs�im�fxz}9��s2}a���fbg¦s�e�e�`c�{im_a`R� ¿��>¼�Â2Æ º ÁLÇLÅ�¼#Å��ÖÀ¿2É º Â>Á ��+ëig¦s�}���`®��kd�©idim`c}"s�b

K I �� Î Ì ´ S�Ì l pz� � v��_a`ckd`¢im_a`¢e��f}a`¦s�k(xzt�`hkms>imxzk1S�� � �fy2`h}����

S�ÌRë # I ¸S.- N Ì ¶P/¡Ì

��bg¦s�e�e�`c�&sJ� ¿��>¼�Â2Æ º ÁLÇLÅ�¼�ÂY¾XÅ�¼ ¿2É Âؼ �^�_a`�xzt�`hkds�imx2k N ´$S=TUWV µ � ¸U �fbid_a`YX ¿�¾�ħ¿L¿ º ¿2Á l á ´bdtas�im��s2eJ�a�f~w`c}abd�fxz}9�]jabojXs2e�e©��ï�v��Fs2}a�|im_a`$�¤ja}ugcim�fxz}�l´s2}a�|~�juefim�ftae��fg¦s�id��xz}'xzt�`hkms>imxzkmvZ/ �fbim_u` ¾XÂ>É Å�ÁXÉ º ¿2Ä �"^�_u`{bd~ws2e�eRgcxz}aboims2}�i[I|�fb#g¦s�e�e�`c�]\ ħ¿2Á;¿rÀ4^ × ¿rÂ>Á × É¬¿2ÁXÉ °��fi#��b¯xz}a`{x���im_ako`h`�¤ja}a�as2~w`c}�irs2e]gcxz}aboims2}�imb��}�}Xs>imjako`2�¨·Xxzk(im_a`¢ko`hghx2kd�9�X�©imb(y�s2e�ju`®��b�kdx2j � _ae©�I�_�q�Qðq S�����` p0î8a ¸cb `ck � bd`cg2�d2e àaú�ü�á¤ù�Ù�fEÙ ° `hko`¯s2kd`+�ojab5i±s��¤`���`��us2~¡taef`hb�x2�Ct4x2id`h}�im��s2e�bc�pz�·Xkd`c`¢~wx2id��xz}�#g/¨ë�îu�S ��¹÷�+s2e�eI#h/¨ë�î�x2}'xz}u`¯bo���a`��i/`ë ñ xz}�id_a`¢x2im_a`ck�lE~¡`¦s2}a�f} � Ì8ë�î$_a`hko`0v��ïu��^�_a`¢�ax2ja�ae�`��ªboe��fi(`���t4`ckd�f~w`c}�i�#j/ ´ ñ x2}�id_a`¢bd_a�f`he��;�Xs2}a�k/ ´ î�`he�bo`c��_a`ckd`��òa��^�_a`è�+xzjue�xz~���t�x2im`c}�im�£s�eC#j/{lQÍ4v ´L# � ,  Í�Â;lE�u`hbdgckd�f�4`cb s�_��L�akdx � `h}'s�imxz~�v��� ��^�_a`¢_Xs�kd~¡xz}a��g®x2bdgh�fe�e�s�imxzk�# /�lOÍ4v ´mlon p¸  Í� ¸ �

Ï«`¢���fe�e;s2}Xs2e©���c`¢bdxz~¡`®x2�Zim_a`cbd`¯`��us2~¡tae�`cbh�¶s2}a��x2id_a`hkobh�¶��}��+_Xs�tuim`ck����

Page 13: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Ñ \ ]J^ Õ«Ö`_ q]AÕ�\ Ösr ]AÕ�eCgh]li s Ö:Õ«Òrq _ut Òd^ Ö`_�]×Õ«Òd_

Õ�\ ÖµÒp_6cÏ«` _Xs¦y2` bo`h`h}���}}�+_Xs2tuid`hkpid_Xs�iRim_u` botXs2gh`x2�;�Ljas2}�imja~$�ª~¡`hgr_Xs�}a��ghs2eXboims�im`cb%x2�;s¢bo�Lboid`h~��b{s�yz`hg�imxzk�botXs2gh`&���©im_²s2} �f}a}a`ck5�ªtukdxL�ajagci|lE��} �Es�gci�s�°��e���`hk5i{botXs2gh`¦v�� Ï�`�bds0�Ôs2efbdxim_as�i�s2}�xzt�`hkds�imx2k¡l´s'ñ�gr_ak0ôx2�a��} � `hk¯xzt4`ckms�idxzkrv�xz}|im_u��b¢bdtXs�gh`�`c}�im`hkob¯id_a`¡�Xs2bd�fg�`h��jXs�id��xz}l¤id_a`#ñ�gr_ak0ôx2�a��} � `hk`h��jXs�id��xz}¶v � x0y2`hkd}u��} � im_a`¯`cy2xze�juid��xz}�x2��boims�im`cbh��+ª}'�Es�gci¦�Xid_a`¯id_a`hx2ko��x2�xzt�`hkds�imxzkob�xz}�s�° �fe���`hkoiZbotXs2gh`�tukdx0yL���a`cb�im_a`%�Xs2bo��g+~ws�id_a`h~ws�im�fg¦s2ez�¤kds2~¡`c�%xzkd�¢x2�¶��jXs2}�idja~~¡`hgr_Xs2}u��ghbc�C^�_u��b]gr_Xs2t�im`hkF�fb]�a`cy2x2im`c�¯idx s�}®x7y2`hk5y��f`c��x��Lid_axzbo`%s�bdt�`hgcidbFx2�Lxzt4`ckms�idxzk9im_u`hxzk5�im_as�is2kd`¢`cbdbd`c}�im�£s�eFidx¡s�b5imja����x2����jXs�}�idja~ ~¡`hgr_Xs2}u��ghbc�

Æ[u�t vp�Ax���È¡�C{����p{�� w ����~Ax��C� ���yȤË1x��F]`ciyx ��`�s�lEgcxz~wtue�`��avZy2`hg�imxzk�botXs2gh`��JÏ�`(s2bdboja~w`zx ��bC`h}a�ux7�%`h�¡���fid_�s2}[º ÁXÁ;Å�¼'�Û¾;¼rÂhÆ�ÖX¿�É �ó Ù W�Ù õc� " `cg¦s2efe;im_Xs>i�im_a�fb~¡`¦s�}ab(im_a`¢~ws2tó WRõ�# x ` x í îbms>im��b5nX`hb�id_a`¢takdxzt�`hk5im�f`hbpz��ef��}a`hs2kd�©iª��l¤��}{im_u`¯bo`hgcxz}a�&s�k � ja~¡`h}�irv�#ó { W��o|�¶]�¹X'õ ´ � ó { W}|�õ*¶]� ó { WYX'õS ��gcxz}>�oj � s>im`¢bo�L~¡~w`�imko�;# ó |èW { õ ´ ó { W}|�õïu��t�xzbd�©im�©yz`®�a`�nX}a�fid`h}a`cbdb/# ó { W { õg� î��¤xzk { ³´ î

p¦ï

Page 14: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

p¦ò �C�����������0~À�L®��������Ô®����¹�������8¦����Ó��¥��1�ª�����Ô�1���Ó��� ������������¤xzk s2}�� { W}|èWYXTÐ�x s2}a���ÔW}�RÐ î �é+ëi �¤xze�efx7��b�id_Xs�i±id_a`#~ws2t]��Ù��è#�x í � îÀW ñ v � �fy2`h}��� � { � ¸ ´ ó { W { õ��b�s Á;Âؼ�È xz}�x|� " `hghs2e�e4im_Xs�i�id_a��b�~¡`¦s2}ub�id_Xs�i��¤xzk�s�}�� { W�|åÐkx s�}a�k� Ð î �pz�R��� { � ´  ��Â�� { �S �R� { ¶]|������ { ��¶L�'|��ïu�R� { ��� î$�¤xzk { ³´ î��+ë�zx��fb ¿rÂ>È�¾�Ä�Å�ɪŠ�f}Vid_a��b¯}axzko~ l¤im_as�i¯��bh��s2e�eÔ�(s�jagr_���bo`h��ja`h}ugh`hb$gcxz}�yz`ck � `¦v��Jim_u`h}�x��fb

g¦s�e�e�`c��s���º ÄF��Å�¼�É × ¾À¿L¿rÅ �Ï�`wkd`cg¦s2efe¨_u`hkd`¡iª�+x'�¤kd`h��ja`c}�imef�«jabo`h���Es2g�imb�s2�4x2jui�°��ef�4`ckoi¯bdtXs�gh`hb�lEbd`c`2�J` � � � ·Xx �¨xzk� " ñ�+��]�¤x2k�takdxLx2�¤brv��

Ú¯å>æ¶ü�æ�ݦÞ@ø7Þ¤æ4è�õf´Ù��'��àXçZß�Û4Ü )/%9ß�Û���àaå�P&ÞEèFù�@;çZàXáEÞ@ø�Ü���� Âؼ { W}| Ðkx�� ¿ ��º ÄF��Å�¼�É × ¾À¿L¿rÅ � ó { W}|�õØÂA�s� { �"�'|Y��Q" `hg¦s�e�eJim_as�i�s'bd`�i}ì {�� ò Ý�x|�o� ´ p�W S WCQ:QCQ9��b¢ghs2e�ef`h� Âؼ�É��XÂ>Á;Âؼ�È�¿2Ä �f��� {�� � ´ p��¤xzk¯s2efe��s2}u� ð {M� W { l � ´ îw�¤xzk��9³´ - �ä+ëi®�fb�s ¿rÂ>È�¾�Ä�Å�ɪÅwÂؼ�É��XÂ>Á;Âؼ�È�¿2Ä × Å�É lExzk �Y¿ ×�ºÛ×dv�f��id_a`ghx2e�e�`cgcid��xz}�x2�ZnX}a�©im`®ef��}a`hs2k(ghx2~��a��}as�im�fxz}ab(x2�Zim_u` {�� Hðb���b��u`h}abo`��f}�x|�Ú¯å>æ¶ü�æ�ݦÞ@ø7Þ¤æ4è�õf�õO�oÚ�àaå>Ýhù'�uàXá+å7ùLáEàuø0ÞEæ�èy� � Ö�¾'¾XÂ × Å ì {M� ò Ý�x ºÛ× ¿{¿rÂ>È�¾�Ä�Å�É Å¯Âؼ�É��XÂ>Á;Âؼ'�È�¿2Ä × Å�É��� �XÅ�Á齦Âؼè¿2Á�� |åÐJx�� �'|�� ¸ ´¢¡ �  ó |éW {M� õØ ¸ Q+ª}�im_a�fb�gr_Xs2tuid`hkc�Rid_a`�~ws2��}«xz�L�o`hg�imb�x2��b5imja�u��s2kd`{ef��}a`hs2k¯xzt4`ckms�idxzkdb#xz}£x l@im_Xs>i$��bc�~ws2tab � �¤kdx2~$xNidx¢�fimbo`he©� �2��_a��gr_ws2ko`�e���}u`¦s2k/# � l�� { ¶��¤|®v ´ � � { ¶�� � |�v��C¹±gcidjXs2efef�z���+`xz}ae©��kd`c��ja��ko`�s�}'xzt�`hkds�imx2k � idxw��`¢�a`cna}a`h�'xz}"s��axz~ws2�f}�¥�l � v�ݦx»��_a��gr_'��b��a`c}abd`���}x!l¤id_Xs�i+��bh� � �©yz`h}{s2}�� { Ðkxþs2}a��§¨� îu��im_u`hkd`±��b%s�|åÐ�¥�l � v¨bojagr_{im_as�i�� { # |�� ð §rv��d2e àaú�ü�á¤ù�õffý ½®jukjubdjXs2e]`��us2~wtue�`®x2��s�° ��ef�4`ckoi�botXs2gc`��fbê ¸ lOÑ T v�ëGì�Ì<#�Ñ T í î Â�ï âA©  ̡ ¸ ð<ñhò���fid_�im_a`¢��}u}a`hk �ªtakox��ajugci ó Ì�W·ô*õ�ë ï â"© öÌÓôoQ¹±} `��us2~¡tae�`|x2��s��u`h}abo`�bdju�abd`�i&x2�

ê ¸ lQÑ T v{�fbJª1«U lQÑ T v�� im_a`V��}una}a�fid`hef���ë�a�f¬4`hko`h}�im��s2�ae�`�¤ja}ag�im�fxz}ab����fid_�gcxz~¡tXs2gci�bojatat�xzkoi#l¤~w`hs2}a��} � im_a`���y2s�}a��bo_�x2juimbo���a`®x2�Cbdx2~w`¢�Xs2efe9��}�Ñ T v��

Page 15: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

~À�§��� �����������Ó�����f���å���Ú�¹�Ó�Ô�1�»�À� �¡�C�Ô� p �d2e àaú�ü�á¤ù�õf � ° `ckd`��fb+s�e���b5i+x��F`��us2~¡tae�`cb+x2�Fef��}a`hs2kRxzt4`ckms�idxzkdbc� � �uxz} ê ¸ lOÑ T v���+ª}{`¦s2gr_g¦s�bd`2�X�%`�ghs2}"bo��~¡taef�wgr_axLxzbd`¬¥�l � v+imx���`¯id_a`¢xz��y��fxzjab��axz~ws2�f}J¥&l � v�ë ì�ÌÅÐ ê ¸  � ÌÅÐê ¸ ò �pz��^�_a`¢�f�a`h}�im�©iª��~ws2t

� á #'Ì]­í ÌS � ³'juefim�ftae��fg¦s�id��xz}w����s$ghxLxzkd�a�f}Xs�id` Í U #�Ì]­í Í U Ìl¤�Ë�ó`2�lQÍ U Ì+vhlQÍ4v ´ Í U ̱lQÍ4vov

ïu� ³'juefim�ftae��fg¦s�id��xz}w����s$ghxz}�im�f}�jaxzjab��¤ja}ag�im��x2}k/ #�Ñ T í î/4#�Ì]­í /èÌlEs � s2�f}�~w`hs2}a��} � l�/èÌ+vhlOÍ4v ´ /{lQÍ4vÚÌ�lOÍ4vdv��

òa����©¬;`ckd`h}�id�£s�id��xz} ® U #'̯­í # K I � U Ì� ��^�_a`¡FFs2tae�s2gh��s2} N #'Ì£­í T¡ U�V µ � ¸U Ìqu� ñ�gr_uk0ôxz�a�f} � `ckx2t4`ckms�idxzk S #�Ì]­í # I ¸

S.-]N Ì ¶O/èÌì����f}�id` � kds2e9xzt�`hkds�imx2k(���fim_���`hkd}u`heo°o#�Ñ T ` Ñ T í î± #'Ì]­í ï °�l¯Ù W}²uv¯Ì±l�²uv á ²l¤�Ë�ó`2�l ± Ì+vhlQÍ4v ´ ßY°�lQͪW}²uv¯Ì±l�²uv á ²uv��

^�_a`�axz~ws2��}#x2�;id_a`�nXkdb5i%`��us2~wtue�`���b�x2��yL�fxzjabde©�#id_a`���_axze�`�botXs2gh`ê ¸ �J^�_a`�axz~ws2�f}$x2�4id_a`

e£s�boi�`��as�~wtaef`��a`ct4`c}a�abxz}�°��R^�_a`¢�axz~ws2��}ab%x2�Fim_a`¢x2id_a`hkob�s2kd`®`hs2bd�fef�wbd`c`h}�imx��4`®�u`h}abo`2�s2b�im_u`c��gcxz}�irs2�f}Jª1«U �

Page 16: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

p0q �C�����������0~À�L®��������Ô®����¹�������8¦����Ó��¥��1�ª�����Ô�1���Ó��� �����������:{ùLú�àaå7ãºõf u³ ½¨É��XŨÀ�Å�¼�Á;Å�Ä ° ºÛ× ¿2Ä@Ä�Â>Ã+ÅdƮɪÂZ��Å1¿ �a�fboimko���aj�im��x2}µ´ ¿ÇLÅ�Á;Å�¼ ¿2Ä ºF¶ ÅdÆ�½·ÖLÁ;¿�É º Â>Á · �É��XÅ�Á�É��Xůħ¿ × É(ÅW¸-¿2È�¾�Ä�Å�¿rÂ>ÁXÉK¿ º Á × ¿2Ä@Ä]É��XÅ©¾;¼mÅ�Õ º ÂØÖ × Â>Á;Å × ¿ ×�× ¾XÅr¿ º ¿2ÄC¿Ï¿ × Å × �+ëi���b(jubd`c�¤jue9��}�xzt�`hkds�imx2k%im_u`hxzk5��imx$bo��} � e�`�xzj�i(im_ax2bd`®xzt�`hkds�imxzkob+���fid_{im_a`®tukdxzt�`hk5iª�{x2���xzja}a�a`c�a}a`cbdb$l@��_a��gr_���b�`c��ja�fy�s2ef`h}�i�imx¡ghxz}�id��}�ja�fiª�uv����ù'BJèZÞ¤ø0ÞEæ�è õf ¾±Á�ÂY¾XÅ�¼ ¿2É Âؼ � ºÛ×�4x2ja}a�a`c��º ½� � �1ë bojat¹�º2»�¼�º�¼ V µ�½ � � ̾� ðÅñ Q l S �©p7v+ª} �Es2g�i¦��im_a`"`���takd`cbdbo��xz}¥l S �©p7v��a`cnX}u`hb�s�}axzko~ ��_u��gr_ ~ws2�2`cb{im_a`&boja�abotXs2gh`�¿�l�x'vwx2���xzja}a�a`c� xzt�`hkds�imxzkob�xz}Ox �f}�imx«s«ghx2~wtaef`cid`�}uxzkd~¡`h��yz`hg�imxzkwbdtXs�gh`�lEs£À ¿2Á;¿L¿�� × ¾À¿L¿rÅ v¹±b��+`{���fe�eRbd`c`2��im_a`��4xzju}a�a`h��x2t4`ckms�idxzkdb#s2kd`�����}�boxz~¡`{kd`cbdt�`hgcidbh�R~�jagr_�`hs2bd�f`hk#idx&�a`hs2e���fid_�im_as2}�im_u`{ja}��4x2ja}a�a`c��x2t4`ckms�idxzkdbc�&° x0�%`cy2`hkh�¨bd�f}agh`�bdxz~¡`�x2��id_a`�~¡xzb5i���~¡t�xzkoims2}�ixzt�`hkds�imxzkob���}���jXs2}�imju~ ~w`cgr_Xs2}a�fghbs2kd`¢ja}���xzja}a�u`h�9�X�%`¢���fe�e9}u`h`h��imx�b5imja�u����x2id_9�

Æ[u·Æ Á z¬Âª{��������+ª}��Ljas2}�imja~�~¡`hgr_Xs�}a��gcbh�¨xzt4`ckms�idxzkdb���_u��gr_ºs2kd`y× Å�Ä ½'�¯¿�ÆWæ º ÁXÉ tue£s¦��s|gh`c}�idkms2e�koxze�`���^�_a`tako`hbd`c}�i"bo`hgcid��xz} ��b��u`cyzx�im`h� imx�s��u��bdgcjabdbo��xz} x2�¯im_a�fb�ghe�s2bdb�x2��xzt�`hkms>imxzkobh�®s2}u�²idx�id_a`�akox�s2�a`ck+ghe�s2bdb¨x2��× �>È$È�Å�É ¼ º ¿ xzt4`ckms�idxzkdbc��¹±efe�x2t4`ckms�idxzkdb � s2ko`±s�bdbdju~w`c��imx���`�a`cnX}u`h��xz}s$�a`h}ubd`¯�axz~ws2��}�¥�l � v����ù'BJèZÞ¤ø0ÞEæ�è õf£ê  �XÅ s��>�oxz��}�i ÂÚ½ä¿2Á|ÂY¾XÅ�¼ ¿2É Âؼ � � � Â>Á x���ºÛ× É��XÅ�ÂY¾XÅ�¼ ¿2É Âؼ �2Ä ÆLÅ�ÅRÁ;ÅdÆY�:�ó � Ä Ì�W·ô*õ ´ ó Ì�W � ô*õ l S � S v½¦Âؼè¿2Ä@Ä ôyÐ�¥�l � v�� ½¦Âؼ Ì`º Á&É��XůÁ;¿2ÉIÖ>¼ ¿2ÄZÆLÂ>È�¿ º Á¥�l � Ä v�ëGì�Ì<Ðkxo²ô�­ í ó Ì�W � ô õ ÅW¸zɪÅ�Á�Æ × É ÂT¿���ÂØÖLÁ�ÆLÅdÆ�½·ÖLÁ;¿�É º Â>Á;¿2ÄZÂ>Á ¿2Ä@Ä�ÂÚ½ x ò Q+ëi��b�ef`c�@i�s2bs2}�`���`ckdgh�fbd`¢imx�bd_ux7�:im_a�fb��a`cnX}u�fim�fxz}�~ws2�2`cb bo`h}abo`2�Ú¯å>æ¶âCáEùLú õf & ñ�_ax0� im_as�i{`c�Ljas�im�fxz}÷l S � S v��a`�nX}a`cb�s«ja}a�f��ja`&e��f}a`¦s�k¡x2t4`ckms�idxzk �2Ä xz}¥�l ��Ä v����ù'BJèZÞ¤ø0ÞEæ�è õf ( � ºÛ×b5�L~w~¡`cidkd��g�º ½ó � Ì�W·ô*õ ´ ó Ì�W � ô*õ½¦Âؼè¿2Ä@Ä ÌÆ��ô8º Á ¥�l � v �

Page 17: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

~À�Ç~À�»��¦�È��©�Ú����� p7ì��ù'BJèZÞ¤ø0ÞEæ�è õfEÙ-, � ºÛ× bd`cef�£� s��>�oxz��}�iéº ½ � ´¢��Ä ´ É��À¿2É ºÛ×�� � ºÛ×¡× �>È$È�Å�É ¼ º ¿¤¿2Á�Æ ¥�l � v ´¥�l ��Ä v · �+ëiF��b]jubdjXs2efef� ~�jagr_¯`¦s2bo��`ck9imx�bd_ax0�«im_Xs�iZs � �©yz`c}¯x2t4`ckms�idxzk9��b]b5�L~w~¡`cidkd��gCim_Xs2}®idxbo_ax0��id_Xs�i�fi��fb�bd`cef�£� s��>�oxz��}�ih�as2b(id_a`¢e£s�ioim`hk���ja`cboid��xz}���}�yzx2efyz`cbs2�a�a�©im��x2}Xs2e;�uxz~�s���}�ghx2}abd�f�a`hkds�im�fxz}abh�Ú¯å>æ¶âCáEùLú õfEÙ¶Ù " `��¤`hkdko��} � imx�xzjak+ef��b5i+x2�9`��us2~¡tae�`cb+x2�Fxzt�`hkds�imx2kdb+x2} ê ¸ lE`��as�~wtaef` S �óò�v��bd_ux7�:im_Xs�i�id_a`®�¤xze�efx0����} � x2t4`ckms�idxzkdb�s2ko`¢bo�L~w~¡`cidkd�fg2�pz��^�_a`¢~�juefim�ftae��fg¦s�id��xz}¡xzt�`hkds�imxzk�/ l¤�f�y/�lQÍ4v(�fb�kd`¦s�e©�ëy�s2efja`h�Xv��S ��^�_a`¢�a�©¬;`ckd`c}�id�£s�id��xz}�x2t4`ckms�idxzkh�

® U lE_a�f}�i�#���}�id` � kds�im`®����tXs2k5imbmv��ïu��^�_a`¡FFs2tae�s2gh��s2}9� N �òa��^�_a`�ñ�gr_uk0ôxz�a�f} � `ckx2t4`ckms�idxzkh�ÄS lEs � s2�f}��f�y/A�fb�kd`hs2e@v��� ��^�_a`¢�f}�id` � kds2e9xzt�`hkds�imx2k ± lE�f��°�l�² WÏÍ4v ´ °�lQͪW}²uvov��+ª}��Es2g�i¦� ® U s2}a� N s2ko`{s2g�imjXs2efef�|bo`hef�£�ªs2�>�oxz�f}�i#xz}

ê ¸ �Rs�b���b�/»�f���©i��fb�sÅ÷o}u��gh`w`h}ax2j � _2ø�¤ja}ag�im�fxz}«l¤�%`¯���fe�e;��`¢~wx2kd`®bdt�`hgc�fnXg¢�f}�bo`hg�im��x2}"ìL� S v��^�_a`¯bdja�uide�`�im��`cb�bdjakokdxzja}u�a��} � �axz~ws2�f}ab�s2}a��im_u`���ja`cboim�fxz}�x2��bo`he©�£� s2�>�ox2��}�im}a`cbdbs2ko`�s����bd`c}�i �¤xzk���xzja}u�a`h��xzt�`hkms>imxzkobh�¶s2b(id_a`®�¤xze�efx7���f} � ef`h~¡~�s��a`c~wx2}aboidkms�id`hbh�É ù�ú�ú�à«õ4fEÙLõu³ ½ � ºÛ× ��ÂØÖLÁ�ÆLÅdÆ � É��XÅ�Á�Ã+Å#¿Ï¿2Á6¿ ×Y× Ö�È�Å ¥&l � v ´ x �

Ú¯å>æ;æ;�dû ·Xxzk$s2}��£3ÞТx|�Rid_a`hko`���b$s�bd`c��ja`h}agc`6ì�3 � ò ÝÊ¥�l � v�bojagr_ºid_Xs�iR3 � í 3ºs2b� í ñ lE����id_a`¢�a`h}abo�fiª��x��y¥�l � vov��R^�_a`h}�im_u`¯ko`he�s�im�fxz}� � 3 � #£� 3 l ���s� � �"�'3 � # 3 l �lE���'�a`cna}a�fid��xz}&x��Z� � �cvbo_ax0��b�im_Xs>iéì � 3 � ò ��b±s[�(s2jagr_���bo`h��ja`h}ugh`2�Fbox � 3 � í { �4bdxz~¡`{ Уx l¤����ghxz~¡taef`cim`c}a`hbob®x2�%°�v��]s2}a���%`$bd`ci � 36ë { �#^�_u��b�`���id`h}a�ub � idx�s{�4xzju}a�a`h�xzt�`hkds�imxzk�x2}'s�e�e9x2�ox|� Ë��æ¶å>æ�áEáEàuå7ܺõfEÙLýu³ ½ � ºÛ× ��ÂØÖ�Á�ÆLÅdÆT¿2Á�Æ × ��È$È�Å�É ¼ º ¿ �Ôº É ºÛ×�× Å�Ä ½'�¯¿�ÆWæ º ÁXÉ��Ú¯å>æ;æ;�dû ñ���}agc` � �fb±��xzja}a�a`c�9�9�%`�~�s¦�"s2bdboja~¡`R¥�l � v ´ x|�®^�_�jab¾¥�l ��Ä v ´ x lEgr_u`hgr�im_u��brv��Xs2}a��bdx�¥�l � v ´ ¥�l ��Ä v��R° `c}agh` � ��b�bd`cef�£�ªs2�>�oxz�f}�ih�hË

Ï�`|����efeË�_ax0�+`�yz`ckh�¯_Xs¦yz`«idxº�u`¦s2e®���fid_ ju}L��xzja}u�a`h��x2t4`ckms�idxzkdbc�N¹±b's2} `��us2~¡tae�`��ghx2}abd�f�a`hk�im_u`¢�¤x2e�e�x0���f} � #Ú¯å>æ¶âCáEùLú õfEÙ'� ñ�_ux7�

® U ë # K I � U ��b�ju}L��xzja}u�a`h�'xz} ê ¸ lOÑ T v��

Page 18: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

p�� �C�����������0~À�L®��������Ô®����¹�������8¦����Ó��¥��1�ª�����Ô�1���Ó��� �����������Æ[uYæ Ì9���A{��yx����C��Ȥ��� Ȥ�.z |.�.�/�CÈé�ÎÍ {}�fx���Èè�C{����·Xxzk�s���xzja}a�u`h��xzt�`hkms>imxzkc� � �u�%`®g¦s�}��u`cnX}a`®id_a`®xzt�`hkms>imxzk 7CÏ im_akoxzj � _{id_a`®t4x0�%`hk�bd`ckd�f`hb7 Ï ´ «¡ � V U � ��ÑÐ��_a�fgr_'gcxz}�yz`hk � `hb±s2�aboxze�juid`he©��s2b¡ � � � ��ÑÐ � ¡ � � � ��ÑÐ ´=7 ¼ Ï ¼ QÚ¯å>æ¶âCáEùLú õfEÙ> ·��f}a� 7 a 9 DFÒ �¤xzkS ´ÔÓ p î

î î�Õ W S ´ÖÓ î # pp î Õ Q·XxzkFs2}¢ja}��4x2ja}a�a`c�#bd`cef�£�ªs2�>�oxz�f}�i;xzt�`hkms>imxzk � �>�©i]��b]b5im�fe�e2t�xzbobd���ue�`�idx�u`cnX}a`Rim_u`��4xzju}a�a`h�xzt�`hkds�imxzk 7:9<Ï jubd��} � id_a`�box��ªghs2e�ef`h� ½·ÖLÁ;¿�É º Â>Á;¿2Ä�¿Ï¿2Ä�¿�ÖLÄ Ö ×¢lEbo`h`2�¶` � � � " ñ�+��£v(��_u��gr_"�fb��4`��zxz}a�im_u`�bdgcxzt4`#x2�Jim_u��b±��xLxz�¶� Ï«`�����efeË�¶_ax0�%`cyz`ckh�]bo`h`�_ax0�µimx��a`cnX}u`�xzt�`hkms>imxzkob±e��f�2` 7:9+×ÙØ � 7:9<Ús2}a� 7CÚ jabo��} � im_a`¯·Xxzjako��`ck+imkds2}abo�¤x2kd~��f}3�+_Xs2tuid`hkòa���ù'BJèZÞ¤ø0ÞEæ�è õfEÙ> ¾±Á�ÂY¾XÅ�¼ ¿2É Âؼ2Û ºÛ×�ja}a�©irs2k5�6º ½�Û1Û ÄÓ´ Û Ä Û ´ p�´¬º ÅZÛ Ä ´ Û a µ · �Ü bo��} � id_a`+t�x0�+`ckJbd`ckd�f`hb��u`cnX}a�©im�fxz}#x2� 7 9<Ï �¤x2k���xzja}a�a`c� � ���+`(ghs2}�gr_a`cgr��id_a`%�¤xzefe�x0����} �kd`ce£s�id��xz}ubd_a�ft��4`�iª�+`c`h}"ju}a�fims2ko�{s2}a��bd`he©�£� s2�7�oxz��}�i�xzt�`hkds�imx2kdb�#!#ÛFù�æ¶å>ùLú õfEÙaê]�·%;ø¦æ4èFùiÝ©Ý�!�ÛZù�æ¶å7ùLú]� 7:9ÞÏ ºÛ× ÖLÁ º ɬ¿�¼'� º ß � ºÛ×�× Å�Ä ½'�¯¿�ÆWæ º ÁXÉ�]æ¶å�ú«àXá+ß>ÛZùLß7ãJû 7 9<Ï l 7 9<Ï v Ä ´�7 9<Ï 7 a 9ÞÏ�à ´=7 9á@âÏ a Ï�à E

��_a�fgr_'�fb(im_a`¢���u`h}�im�©iª���f¬ �Þ´ã� Ä �Ú¯å>æ¶âCáEùLú õfEÙ>& kdx0y2`¯id_a��b(id_a`hxzko`h~ takoxzt�`hkde©���¤xzk(id_a`¢g¦s2bo`�x�����xzja}a�u`h� � �+ª}|�Es2gcih�9im_a`�id_a`hxzko`h~ _uxze��ab®`�yz`c}��f� � �fb®ja}��4xzju}a�a`h��s2}a�|bd`cef�£�ªs2�>�oxz�f}�ih�#^�_a`$�¤xzefe�x0����} �bd�f~wtue�`�`��as�~wtaef`®��efe�jab5imkms>im`hbc�d2e àaú�ü�á¤ù�õfEÙ>( +ë��ô�#�Ñ T í ѵ�fb�ghxz}�id��}�jaxzjabc�aim_a`c}�id_a`¢�4x2ja}a�a`c�"xzt�`hkds�imxzkÛ #'Ì]­í 7 9<; Ì��b `¦s2bo��e©�'gr_u`hgr�2`c�«idx{�4`#ja}a�fims2ko��xz}

ê ¸ l �ojaboi®}ux2im`#id_Xs�i Û Ä �fb±~�jae©im�ftae��fg¦s�id��xz}���� 7 a 9Þ; v��ä x0�4ô«��b®��xzja}a�u`h�«s2b¢s�~�jaefid��taef��ghs�im�fxz}'x2t4`ckms�idxzk��f¬��fi®�fb¢s��4xzju}a�a`h���¤ja}ugcim�fxz}9�Räx2im`��_ax0�%`cyz`ckh�¶im_Xs>i Û ��b(�%`he�e��ª�a`�nX}a`c��lEs2}a��ja}a�©irs2k5�av+`�yz`c}"�f�Cô"��b�ju}L��xzja}u�a`h�9�

Page 19: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

~À�Þå>�L�C­��������Ô���¹� ���¹�3����¦r¥������À����� �����������Ó����� p �Ï�`¢gcxz}aghefja�a`®im_u��b�bd`cgcim�fxz}����fid_'s�ghx2jatae�`®x���jabo`c�¤jaeF�a`�nX}a�©im��x2}abh���ù'BJèZÞ¤ø0ÞEæ�è õffõÄ, ¾ × Å�Ä ½'�¯¿�ÆWæ º ÁXÉ(ÂY¾XÅ�¼ ¿2ɪÂؼ � ºÛ× ¿Ï¿2Ä@Ä�ÅdÆ t�xzbd�©im�©yz`J´ ÆLÅ�Á;Â>É ÅdÆ � � î · º ½ó Ì�W � Ì©õg� Âؼ3¿2Ä@Ä ÌpÐæ¥&l � v}��Ì ³´ î � �0º È º ħ¿�¼�Ä<� � Ã+Å�È�¿ �«ÆLÅ�ÅRÁ;Å�Á;Â>Á��ªÁ;ÅËÇ'¿2É º Õ2Å � Á;ÅËÇ'¿2É º Õ2Å � ¿2Á�Æ

Á;Â>Á��Û¾X ×�º É º Õ2Å#ÂY¾XÅ�¼ ¿2É Âؼ × �Ú¯å>æ¶âCáEùLú õffõ]Ù ñ�_ax0��im_Xs>i # N � î±x2} ê ¸ lE_u��}�i�#Z��}�im` � kms>im`¨���¯tXs�koimbc�zxzkc�2`h��ja�©y�s2e�`c}�idef�2�jabo`¯id_a`¢�a�fy2`hk � `h}agc`¢id_a`hx2kd`h~�v����ù'BJèZÞ¤ø0ÞEæ�è õffõ¶õ  �XÅ ghx2~w~�j�irs�idxzk�� � � W}¿¬��� ÂÚ½(É´Ã+Â���ÂØÖLÁ�ÆLÅdÆ$ÂY¾XÅ�¼ ¿2ɪÂؼ × � ¿2Á�Æ ¿ ºÛ× É��XÅÂY¾XÅ�¼ ¿2É Âؼ�ÆLÅ�ÅRÁ;ÅdÆ��:� � � W�¿1� ´6� ¿ # ¿ � Q�`cna}a��} � im_a`�gcxz~¡~�juirs>imxzk%x2�]iª�+x�xzt�`hkds�imx2kdb+��_a`c}�xz}a`�x2�]id_a`h~ ��b%ja}��4xzju}a�a`h��ko`h��ja��ko`hbg¦s�juim�fxz}9�X�aja`¢imx¡�axz~ws2�f}�gcxz}abo���a`ckms�id��xz}abc��­®�fy2`h}�im_a�fb��+s2ko}a��} � �¶�%`¢����e�e;�a`¦s2e]���©im_�ghxz~$�~�juims�imx2kdb�x2�Cja}��4x2ja}a�a`c�"xzt�`hkds�imxzkob��¤xzkd~ws2e�e©�$���fid_axzjui � �©y��f} � id_a`h~ s$bd`cghxz}u�'im_uxzj � _�i¦�

Page 20: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

S î �C�����������0~À�L®��������Ô®����¹�������8¦����Ó��¥��1�ª�����Ô�1���Ó��� �����������

Page 21: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Ñ \ ]J^ Õ«Ö`_ çè c Ó ]ér eCg:ØÏ«`¡ko`hghs2e�e�id_Xs�i®id_a`�`cyzx2e�juid��xz}|x2�¨im_a`��+s¦yz`¡�¤ja}agcid��xz};�NÌ �]�¤xzk¢s�tXs2k5im�fghe�`#��}Vs�t4x2id`h}�im��s2eË�/w�a�fb��a`cid`hko~w�f}a`h�����{im_a`�ñ�gr_uk0ôxz�a�f} � `ck`c��jXs�im�fxz}$#K I � Ì� Î ´ S�Ì lEïu�©p7v��_a`ckd` S ´$# I ¸

SM- N ¶P/��b�im_a`�s2tatukdxztako�£s�id`�ñ�gr_ak¦ôxz�a�f} � `hk$x2t4`ckms�idxzkh�VÏ�`�bojatataef`h~¡`h}�i�`h��jXs�id��xz} lEïu�fp0v¯���fid_�id_a`��}u�fim��s2e�ghxz}a�u�fim�fxz} Ì¡Â D V U ´ Ì�U lEïu� S v��_a`ckd`1Ì�U�Ð ê ¸ �J^�_a`�tajukdt�xzbd`�x2�¶im_u��bJgr_Xs�tuim`ck¨�fb�imx®�f}�yz`hb5im� � s�im`(id_a`�`����fboim`c}agh`��us�}a�$�Xs2bo��gtakoxzt4`ckoid��`hbc�2x2�¶boxze�j�im��x2}abFx2�Xim_a`(ñ�gr_ak¦ôxz�a��} � `hkC`h��jXs�id��xz}9�2s2}a�#id_a`+`cboims2�ae��fbd_#id_a`+gcxz}a}a`cgcid��xz}��`ciª�%`h`h}'im_a`cbd`¢��bobdja`cb±s2}u��id_a`¢bd`he©�£� s2�7�oxz��}�im}u`hbdb�x��CS��æþu�t ê {��.��x��CÉ¡Èè�C��{�� {�Ê �.��{�~yȤ~.�����/�Íñ��f}agh`��+`'��}�im`ckdtako`ci�id_a`��(s¦yz`&�¤ju}agcid��xz}�s�i{s � �fy2`h}º��}ab5irs2}�i{�f}�id��~¡`�s2b{sVtakdxz�as2�a��ef�fiª��a�fboimko���aj�im��x2}9���%`¢kd`h��ja�fkd` ï â ã  ̱lQͪWÏÎov� ¸ á Í[ë¥p lEïu�ðï�vs�is2efe;im�f~w`cbh�C+ë��l´ïu�ðï�v+_ax2e��abc�u�+`¯bms¦�{id_Xs�i ¾;¼m �Y¿"� º Ä º É�� ºÛ× ¿rÂ>Á × Å�¼·Õ2ÅdÆ �!#ÛFù�æ¶å>ùLú ýfEÙéë Á�ÆLÅ�¼¯É��XÅ�Å�Õ2Â>Ä ÖLÉ º Â>Á�Ç º Õ2Å�Á��:� ´íì ��î�· � ¾;¼r �Y¿"� º Ä º É�� ºÛ× ¿rÂ>Á × Å�¼·Õ2ÅdÆ º ß9S ºÛ×× �>È$È�Å�ÉI¼ º ¿:�

S p

Page 22: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

SzS �C�����������æå>�L¦�������®������Ú¯å>æ;æ;�dû ·Xxzk�Ì bdxze©yL��} � id_a`è�(s2jagr_���takdxz�ue�`h~ l´ïu�©pc�ªïu� S v����%`¯ghxz~¡tajuid`áï,�á Î ó Ì�WÏÌ©õ ´ ógðÌ�WÏÌ©õª¶ ó Ì�W ðÌ õ´ ó

pK I S�Ì�W ÌÓõN¶ó Ì�W pK I S�ÌÓõ´ pK I �

ó Ì�W S�Ì©õ # ó S�Ì�WÏÌ©õÙ���_a�fgr_"��b��c`hkox¡�¤xzks2efe;im�f~w`cb��f¬

ó S.ô¹W·ô õ ´ ó ô¹W S.ô*õ%�¤xzks2efeNô.Ð�¥�l S�v¢l¤�¤xzk(id_a`�÷oxz}ae©���f� øtXs2k5i¦�Xirs��2`éÌ�U ´ ô;v���^�_u��bh����}�imjukd}9��_axzef�ab��f¬6S!�fbswbo�L~¡~w`�imko��g¢xzt�`hkms>imxzk#l¤id_a��b��¤xze�efx0��b�¤kdx2~�s$yz`hkobd�fxz}'x��Cid_a` ¾XÂ>ħ¿�¼ ºF¶ ¿2É º Â>Á º ÆLÅ�ÁXÉ º É�� �¨bd`h`��¶` � � � " ñ>+��@v���Ëæþu·Æ Ì9�����¹�Cx��.Ë1x {�ÊÞzkÍ3�yȤ� ��Ë����ù'BJèZÞ¤ø0ÞEæ�è ýffõÖñ Å × ¿ ��É��XÅ �u�L}Xs�~w�fghb¢`�����b5iTº ½�É��XÅ�ò�¿�ÖX¿��ï�¤¾;¼r �hÄ�Å�È ´íì ��î � ì �áó:·[�À¿ × ¿ÖLÁ º �Ö¶Å × Â>Ä ÖLÉ º Â>Á"ÃÑ� º ¿��&¿rÂ>Á × Å�¼·Õ2Å × ¾;¼m �Y¿"� º Ä º É�� �!#ÛFù�æ¶å>ùLú ýffý  �XÅ�Æ ��Á;¿2È º ¿ × ÅW¸ ºÛ× É º ß=S ´ S Ä �%;ã�ù�ø7ß>Û æ0��üCå7æ9æ0�mû�ô #(s2b��%`�_Xs¦yz`�bd`h`c}9�;gcxz}abo`hkoy�s�id��xz}'x2��takoxz�Xs2�u��e��©iª�{�f~wtaef��`cb(im_Xs�i�S~�jab5i�4`®b5��~¡~¡`cimko��g���^�_a`�bo`he©�£� s2�>�ox2��}�im}a`cbdb�tXs�koi���b��u��õ¡ghjae©i¦�Xs�}a���%`¯xz~w�©i(�©i¦�ö #¨½�}�id_a`¢�axz~ws2��}¥ ëGì�Ì<Ð�¥�l S�v�Â���S � Ì1�2��÷ � W�boxz~w`1÷ ò�%`#g¦s�}"�a`�nX}a` Û lOÎov©ë 7ùøCúâû�üý ���'s¡gcxz}�yz`ck � `c}�i¢t�x0�+`ck bo`hko��`hbc� ñ�`ci�Ì<ë Û lQÎovÚÌ�U7�(^�_a`c}yÌbms>im��b5nX`hb¡lEïu�©pc� ïu� S v���^�_a`�_Xs�kd�|tXs2k5i®��b±idx�`��Lim`c}a�Vid_a��b imx�s2e�eCx2�

ê ¸ �é+ëi®�fb®_a`hko`�im_Xs�i®id_a`bd`cef�£�ªs2�>�oxz�f}�id}a`hbob%x��¹S»��b¨jabo`h�Vl´s�b%�+s2b+ko`h~ws2kd��`h��`¦s�kde��f`hkc�z�+`�~ws¦�¡�a`cnX}u` Û lQÎov¨x2} ê ¸ yL�£sim_u` �¤ja}ag�im�fxz}Xs2eXghs2e�gcjae�jabmv���Ï«`±_as0y2`�bd`c`h}�s�e�kd`hs2�u�$id_Xs�i+s�bdx2e�juid��xz}¡ghxz}ubd`hk5yz`cb�takdxz�as2�a��ef�fiª�lE���«bo�L~¡~w`�imko�Vx2��S&v��'·���}Xs�e�ef�2�]�+`{}ux2im`¡im_Xs�i#bdxzefjuim�fxz}ab�s2kd`wja}a�f�Lju`{���«id_a`w�¤xzefe�x0����} �s2k � ja~¡`h}�i¦�%­®�fyz`c}"s�}���iª�%x¡bdxzefjuim�fxz}abh��im_a`c��k��a�f¬4`hko`h}agc`2�)þÌ�Xbdxze©yz`hb#l´ï��fp7v%���©im_mþÌ¡Â D V U ´ îu�Í%��b5�L~w~¡`cidko��x2��S��Ñ� þ̱l¯Ù WÏÎov�� ´ � þ̱l¯Ù Wrî�vÿ� ´ î��¤xzk�s�e�e Î��X_u`h}agc` þÌ8ë�îu�jËÚ¯å>æ¶âCáEùLú ýf � �+_u`hgr���¤xzkd~ws2efef��im_Xs>ipz� Û lQÎovÚÌ�U bdxze©yz`hb�id_a`�ñ�gr_ak0ôx2�a��} � `hk�`h��jXs�id��xz};�S � Û lQÎN¶��7v ´ Û lQÎov Û l��7v�l � kdx2jat�takdxzt�`hk5iª�uv��Ï�`¯ghx2}aghefja�a`¢im_a�fbbo`hg�im��x2}'����`h~¡ta_Xs�bd���c��} � im_as�i��¤xzk�xzjak±ñ�gr_ak¦ôxz�a��} � `hk�`h��jXs>im��x2}��¤xzk �~�jae�s�im�fxz}&x2�+��jXs2}�imja~ ~¡`hgr_as2}a��gcb®imx�~�s2��`�bd`h}ubd`2�Zim_a`wñ�gr_uk0ôxz�a�f} � `ck¯x2t4`ckms�idxzk®~�jab5i���`bd`cef�£�ªs2�>�oxz�f}�ih�$Ï�`�����efe�s2�a�ako`hbob�im_u`¡�f~wt�xzk5irs2}�i¢��ja`hb5im�fxz}�x2�%��_a��gr_«t4x�im`h}�id�£s2e��¤ju}agcid��xz}abc�/w� � �fyz`¢ko��bd`�idx�bd`he©�£� s2�7�oxz��}�i�xzt�`hkds�imx2kdb�S ´0# H p¸ l N ¶O/A�f}��+_Xs2tuid`hk ì��

Page 23: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Ñ \ ]J^ Õ«Ö`_ �

]AÕ�\ Ösr ]AÕ�eCgh]li s Ö:Õ«Òrq _ut Õ�\ Ö ��Ò q _8eCÖG_ÕA_�] Ó Ø���Òp_]r^�_a`¡·Xxzjako��`hk�idkms2}ubo�¤xzko~Ô��b¢s�jabo`c�¤jaeJidx�xze���}|~�s�}��&s2kd`hs2b¢x2�%~�s�id_a`h~ws�id��ghb�s2}a�Vta_���bo��gcbh�^�_a`¢tajakot4x2bd`¢x2�Fim_a`¢tako`hbo`h}�igr_Xs2tuid`hk���b(idx¡ko`cyL��`�� id_a`¢takdx2t4`ckoim�f`hb�x2�Fid_a`¯·¶x2jakd�f`hk%idkms2}ub5��¤xzko~'�us2}a��imx��a��boghjabobid_a`¢��~¡t4x2koirs�}�i(kdxzef`��fi�tae�s¦��b��f}���jXs�}�idja~ ~¡`hgr_Xs2}u��ghbc�

ýyu�t � x�6�.�/���/{}� {�Êh��wyx þ{�|.����x��p����Ȥ�.��Ê�{}���^�_a` � ÂØÖ�¼ º Å�¼�ÉI¼ ¿2Á × ½¦Âؼ�È ��bRs®~ws2t9���'�z��_a��gr_¡bd`c}a�ab%s®�¤ju}agcid��xz}�Ì<#�Ñ T í î ��}�imx¢s�}ax2im_u`hk�¤ja}ag�im�fxz}� ÌÅ#�Ñ T í î ��_u`hkd`¢�¤xzk�*[Ð�Ñ T �

̱l�*av�ëAl S�� I�v}a T G¬¸ ï â"© 7 a 9���� (�G�H ̱lQÍ4v á ÍlE�©i¢��b®gcxz}�yz`h}u��`h}�i¯imx���}�idkdxL�ajagh`$id_a` e�s2}agr�&gcxz}ab5irs2}�i¦�ÎI¶�]�f}�idx�xzjak¯·Xxzjakd�f`hk±idkms2}ubo�¤xzko~{v��+ëi��b�gce�`¦s�k(im_Xs�i�����b�s�e���}u`¦s2k(x2t4`ckms�idxzkh�+ª}�im_u`'�¤xzefe�x0����} � `���`hkdgc��bo`2��im_a`'kd`hs2�a`hkw��b¡s2bo�2`h� idx�gcxz~wtujuim`'sV�¤`�� �Xs2bd�fg"·Xxzjukd��`ckimkds2}ab5�¤xzkd~¡bh�Ú¯å>æ¶âCáEùLú �¤fEÙ ñL_ax0��im_Xs>i�ja}a�a`ck��pz� 7 a��p ý » ( » p ­í 5 a T G¬¸ 7 a�� ��� pp ý � l�� 7 l 5 vÆ� î�v�lE_u��}�i�#Jgcxz~¡tae�`�im`±id_a`®bd��jXs2ko`®��}{id_a`®`���t�xz}a`h}�is2}u�'~¡x0yz`®im_a`¢gcxz}�imxzjak�x2�C��}�id` � kds�im�fxz}���}{id_a`¢ghxz~¡tae�`���tae�s2}a`¦vS � 7 a �p ý ( � Ï ( ­í lE�a`�i � v a µ�G¬¸ 7 a �p ý �!� Ï ø � � l � �fb�s{t�xzbd�©im�©yz` á ` á ~ws�idkd�©�av�lE_a�f}�i�# �u�£s � x>�}Xs�e����c`®s2}a��jabo`¢id_a`¢takd`�yL��xzjabkd`cbdjae©i�v

S ï

Page 24: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

S ò=�C�����������4ù-�L®��������Ô®����¹�������8¦����Ó��¥¹�¬�������#"Ô��¥��1�Ú�Ô� ���1�����$"Ô����®ïu�&%�lQÍ4v�­í l S�� I�v a T G¬¸ lE_a`ckd`'%���b�id_a`)(�º ¼Ï¿L¿�ÆLÅ�Ä ÉK¿¤½·ÖLÁ;¿�É º Â>Á lE}ax2i�kd`¦s�e�ef�Vs��¤ja}agcid��xz};��aj�i±s$�a�fboidkd���ujuim�fxz}¶v���gr_Xs2kds2gcid`hkd�f�h`c�'����im_u`¯tukdxzt�`hk5iª� ß+* lOÍ4v�%�lQÍ4v á Í ´ * lEî�vdv��

ýyu·Æ , ��{��Ax��C�C��x�� {�Ê9��wyx þ{�|.����x��d�C��Ȥ�.��Ê�{����^�_a` � kd`hs�i�juid��e��©iª�¡x2��id_a`¯·¶x2jakd�f`hk+idkms2}ab5�¤xzkd~N�a`hko�fyz`cb��¤kdxz~Nid_a`®�¤xze�efx0����} � takdxzt�`hk5im�f`hbh�pz��^�_a` e£s2}ugr_a`hko`he]im_a`cxzkd`c~�#-� �fbs¡ja}u�firs�ko�{~ws2t��¤kdx2~

ê ¸ lQÑ T v(idxw�©imbo`hef�+l¤}ax2im`®id_Xs�i�f}a�fid�£s2efef��im_u`w·C^¥��b¢�a`�nX}a`c��xz}ae©�"�¤xzk¢��}�id` � kds2�ae�`�lê µ v��¤ju}agcid��xz}ab���id_a`wb5irs�id`h~¡`h}�i

_a`ckd`¢��b(id_Xs�i�im_u`�·C^ `���id`h}a�ub �¤kdx2~ê µ/. ê ¸ imx¡s�ja}a�©irs2k5�{~ws2t�xz} ê ¸ v��

S ��^�_a`±��}�yz`ckdbd�fxz}{�¤xzko~�jae£s�#Cim_u`®s2�>�oxz�f}�i0� Ä x2�1� ��b � �fyz`c}{����id_a`�~ws2t�̯­ í 2Ì���_a`ckd`2̱lQÍ4v�ëAl S�� I�v�a T G¬¸ ï â"© 7 9 ( � � G�H Ì�l�*av á *

lEs2}a������im_a` e£s2}ugr_a`hko`he]im_a`cxzkd`c~'��im_a�fb���b�s2efbdx$im_a`¢�f}�y2`hkobd`0v��ïu� # K I3&R(�̱l�*av ´ *4 ̱l�*uv��òa�65Í0̱l�*av ´ K I�& � ̱l�*av��� �75ô0Ì ´ l S8� I�v a T G¬¸ ô 9: Ìqu� ;ô 9ÓÌ ´ l S�� I�v T G¬¸ ô Ì�

° `ckd`l * 90<avclQÍ4v�ë ï * l�²av=<9lOÍ # ²av á ²

��b im_a` ¿rÂ>ÁÄÕ2Â>Ä ÖLÉ º Â>Á x�� * s�}a�><��¯^�_u`$e£s2b5i��¤xzjak�tukdxzt�`hk5im��`cb�g¦s�}V��`�efx�xzbo`he©�'boja~¡~�s2ko���c`h�����bms¦�L��} � id_Xs�i�im_u`�·Xxzjukd��`ck+imkds2}ab5�¤xzkd~�`���gr_Xs2} � `cb �u�f¬4`hkd`c}�im�£s>im��x2}�s2}a��ghxLxzkd�u��}Xs�id`®~�jae��im�ftae��fg¦s�id��xz};��s�}a�'tukdxL�ajagcidbs2}a��ghxz}�yzx2e�juid��xz}abc�

Ú�å7æ9æ0�mû ^�_a` takdxLx2�4x2�9takoxzt�`hkoiª��p��bRboxz~w`���_Xs�i¨im`cgr_a}a��ghs2e�s2}a���+`��ojaboi¨bo�2`cidgr_��fiR_a`ckd`lEbo`h`���` � � � ·Xx �@v®�¤xzk#�u`cirs���e�bmv��3+ª}�tXs2k5im��gcjae£s�kh�C�%`����fe�eRbd_ax0��im_Xs>ik� * � ´ � * �7��ñLjatat�xzbd`* Ð ª «U �9s2}u�&e�`�iZª@?¨�4`#id_a`#gcja��`�x2�Rbd�f�a`#ef`h} � im_ S , §±gh`c}�idkd`c�«s>i id_a`�xzko� � �f}9���+_ax�x2bd`R§bd~ws2efe;`h}uxzj � _�bdx�im_Xs>i�im_a`¢bdjutat4x2koix2� * �fb�ghxz}�irs���}a`c���f}�ª@?d�¨½�}a`¢g¦s2}�bd_ux7�:im_Xs�iìØÁ � ëAl�§ , S v T G¬¸ 7 9���� (�G�H Â.*[Ð�§�I �BA T ò

Page 25: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

ù>�Þå>��"�¥��¤���¹�������f��"Þ�����Ŧ����1�DC����¹�DC�� E �FHGJILK M�NPORQSM�K$M�NUTVILWYXYILG�FHG�MLZ[ORQS\^]^F_WHX`\aN�O�G�bYILc�\ ê ¸8d ª@?fe!g�h QjiSGkXml4ORQS\ InNUGU\!onILWp\aqjiYInOUFHM�Kd b$NUM�b`M�GUFrORF_M�K EsgtE�e!u ï  *  ¸ ´ ïSv�w  *  ¸ ´ ¡

� ð Á � W * �G ¸

´ d � §'Ise T ¡��x ? H�y�z © Ân * d *Se� ¸ í ï Ân *  ¸

ILG § í î$gjË{�|�}p~������ � f_� � QSMD��ORQYI�O ìØÁ � ò F_G�ILK�MLN�ORQ$M�KSM�N�T+ILW[GU\!O gä MD���0\+��FHW_W-bSNUMDoL\�bSNUMLb[\�N�O=l�� u ILK$���k\+WH\�I�oL\VORQ$\+bSN�MsMLZ�G�MLZ�OUQS\+MLOUQS\aN�bSN�M�b[\�N�OUFH\aG�ILG\!�s\�NUcaF_GU\�G gJ� KjOU\a��NUInORF_KS�4Xml�bYILN�OUG u �0\�QYI�o�\

d # K I�&�Ìke d *Se ´ d E � Ise a T G¬¸ ï 7 a 9 ( � � G�H Ù d # K I�&Ve¯Ì d Í[e á Í´ *¤Ù d E � I�e�a T G¬¸ ï 7 a 9 ( � � G�H Ì d Í[e á Í ´ *7 Ì d *Se�Q

h M6��i$G�ORFrZ�l�OUQS\aG�\7T+InKSFHbSi$W�InOUFHM�KSG��0\7c�ILK�O�In�L\ Ì`Яª¬«� ILKS��iSG�\7ORQS\6�$\aKSG�F_O=l�MLZ ª1«� FHKê ¸ u ILKS��ORQ$\�c�M�KmORF_K�i$F_O=l'MLZ ��u FHK)ILK)ILbSb$NUM��sFHTVInORF_M�K�ILNU�LiSTV\�KmO gjËýyuYæ þ|.�.Ë1�C��{��.�j{�Ê9��wyx zyx����/É¡Èè�C�/É�x� G&ILK�ILbSb$WHFHcaInORF_M�K u �k\�KSMD� G�QSMD� QSMD�¡OUQS\�¢ h caILK�X`\�iSGU\���OUMV�S\!£YKS\�Z�iSKSc!ORFHMLKSG�MLZ¤OUQS\�S\�NUF_onInOUF_oL\VM�b`\aNUInORMLN g�¥ \VNU\acaILWHW�M�i$N�KSMLORInORF_M�K ® ë # K Iï&)g�¦ MLORFroLI�OR\a�§Xml�bSN�M�b`\aN�O=l��MLZ�ORQ$\�¢ h¨u �0\'�S\�£SKS\)ILK©M�b`\aNRI�ORM�N < d ® e d Z�M�N6GUi õ c�FH\�KjOUW_l�KSFHc�\+Z�iSKSc!ORFHMLKSG <$e M�K ê ¸ ILGZ�M�W_WHMD��G gª'�m«­¬¯®�°D®�}`¬±� f_² d < d ® e¯Ìke d *Se�ë³< d *Se¤ Ì d *Se7´ ¼ ��µ �Ö º ÕØ¿L¶ µ!·Y¸ ¶<� �1< d ® eP¹Rë d E � Ise a � G¬¸ 2<º9�¹ �» \�O&iSG�WHM�M��VInO^I6Z�\���\¼�$ILTVb$WH\aG gd2e1½S��¾¤���¿� f �À g�� Z < d *Se ´ *[u ORQS\�K>Xml)bSNUM�b`\aNPO=l��VMLZ­OUQS\Á¢ h¨u OUQS\ÁILX[MDoL\��S\!£YKSF_OUFHM�K���F_oL\aG&iSGXSILc��< d ® e ´ ® d GUM InO&W_\�ILGPO�M�iSN��S\!£YKSF_OUFHM�K�TVIL�L\�G�GUM�T \¨GU\�KSGU\ e!gEsg�ä M8�¡GUiSb$b[M�G�\ < d *Se ´ Â+*¹Â ¸ g�h QS\�K¿Â< d ® eP¹ d *Se ´  *¹Â ¸ ¹^g

Page 26: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

ELÃÅÄC�����Æ�Ç��4ù-�L®��Æ��^ÇÔ®��ƹ�!Ä����8¦¨ÇÆkÈ�¥¹�¬��Æ��^Ç#"JÈ�¥��1�ÉÇÔ�ÊÆ��1�ÌËÍ$"JÈ���®{�|8}`~����s� � f_Î � QSMD�¡OUQYInO # I ¸ 3 N ¹ ´  *¹Â ¸ ¹&gh QjiSG��0\'QYI�o�\  ®  ¸ ´Ô# I ¸ N g�� KÏZ�ILc�O u \!��OR\�KS�SF_KS�¿ORQ$FHG�\¼�$ILTVb$WH\ u �k\�caILKÏ�S\!£YKS\< d ® e ��QS\aK < FHG�I6b`M�W_l�KSMLTVFHILW ÷ ��F_OUQ'M�iSN�XYILN�\¨QYILKS�$G øSg-� O�F_G@\�ILG�FHWrl+G�\a\aK�ORQSInO�ORQSF_G�S\!£YKSFrORFHMLK'caM�F_KScaF_�S\aG���F_OUQ'ORQS\�M�KS\�ILX`MDo�\ g

� g&» \�O < d *Se ´=7 a�� ��� pp ý d I7Ð�IniSGUG�F�ILK e¼g­h QS\�K)i$GUFHK$��ORQS\NU\aG�iSW_OkMLZ/bSN�M�XSWH\�TºÑ g À u �0\¨QYI�o�\< d ® eP¹ d Í[e ´ d E � Ise a T G¬¸ ß 7 a » ( ajÒ » p G¬¸íH ¹ d ²$e á ²[g¯� K WHFH�LQjO�MnZÓORQ$\&b$NU\�o�F_M�iSGJ\!�$ILT bSWH\ u �k\caILK)��N�F_OU\ÌORQSF_G�ILG d GU\!OUOUFHKS� I ´ À Z�M�N@ORF_�SFHKS\�GUG ed 7 Ú ¹ke d Í[e ´ d Ñ � e}a T G¬¸ ï 7 a » ( ajÒ » p G�Ô ¹ d ²$e á ²ùQ

Page 27: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Õ Ö ×ÙØ Ú§ÛÝÜ Þ

ß à á�ÛÝܧâÊ×Ùà ã�Ûäá

� KåILKmlÏb$Qjl�G�FHc�InW0ORQ$\aM�NPl u ORQS\+q�iSILKmORF_OUFH\�GÁORQSInO7c�InK©X[\�\¼�sb[\�NUFHT \aKmORILWHWrlæTV\aILGUiSN�\a�ÏçÌOUQS\´Lè!éDµ ¼¼ê�ë è ¶ µ�é ç0ILNU\MLZ¤MLXjo�F_M�iSG�FHT b`M�N�ORILKSca\ g­� K'ORQSF_G@c�QYILbsOR\aN u �k\��SF_GUc�iSGUG�ORQ$\�MLXSGU\�N�onILXSW_\aGMLZ�qjiYILKmORiSTìT \ac�QSILKSFHc�G u ILG��0\aW_W/ILG@ORQS\�KSMnORFHMLK)MnZ¨í�qjiYInKjOUFHî�FHKS��ï4I4caWHILGUG�FHcaILWÓORQ$\aM�NPl gð'ñDò ó ôÌõ6ö ÷�õ6ø�ù>ô¨úûõ6ö�ü ý­þ>ô ÿ � ÿ ô¨ö�ý­ù�ÿ ���§ô��-õÁý����¥ \�NU\�c�ILW_W1ORQYInO^FHK�qjiYILKmORiST T \ac�QYILK$FHcaG u OUQS\�GPO�InOU\�MLZ-IVbYILNPORF_caWH\�InO^ORF_TV\���F_G^�S\�GUc�NUFHX`\a�Xml IÏ�@I�o�\æZ�iSKSc!ORF_M�K ¹ d�� � e!gºh QS\�bSNUMLXYILXSF_WHF_O=l:�SF_G�OUNUFHX$i$ORF_M�K#Z�M�N�ORQ$\�b`M�G�F_ORF_M�K u � u MLZORQ$\)bSILN�OUFHcaW_\ u FHG � ¹ d��� � e � ¸ gåh QjiSG4ORQS\�T \�ILKåonILWHi$\'MLZ^OUQS\�b[MLGUF_OUFHM�KåI�O OUFHT \��6F_G7��F_oL\aKXml�� � � ¹ d�� � e � ¸���� d KSMLOR\'OUQYInO7ORQ$FHG7FHG4I>oL\ac�OUM�N FHK���� e¼g©� Z^�0\)�S\�£YK$\�OUQS\�caM�M�NU�$FHKYInOU\T6iSWrORF_bSWHF_c�InOUFHM�K M�b`\aNRI�ORM�N ����� ¹ d� e�� ��� ¹ d� eORQ$\aK�OUQS\�T \�InK:onILW_iS\�MnZORQ$\"!�#%$'&)(+*�,-(�.0/1.32�(+4�2650/7&)(�(�8U�09:.<;=2>/ � 9�.?2650/A@B26;=26/ ¹ 9:@C ¹ >��� ¹EDGFH (D�I&1(�*�,0JK26/ ��L+� � C ¹ >��� ¹MDON CMP¹ >��� ¹MDª¶ C ¹ >��� P¹MD

N C ÀQSRUT ¹ >��� ¹MDN¶ C ¹ >��� ÀQSR�T ¹EDN C ¹ QRUT ��� ¹ED�V C ¹ >��� QR�T ¹MDN C ¹ QROWXT >���ZY ¹MD[ �\5K/)8>/]8>/1&^;+_:_ Wa` ZbcYed ` b V b ` 9�@E265K/gf ´ihjhjk�¸ ë ¸É´ ¼ (+4 ` ;+.$� bjl Fm+n

Page 28: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

m+o Ä�p�qsrÆ�Ç�tvu3w¡Èyx�Í$Çzty{|qsxE}/Ç0Í¥ /~&1(�*�,KJK26/ � [ � ¹ l N � � ¹6¶ m�� ¹;+.S�AJ0@B/~2>509�@E2>(V�+/12 QR�W�T >���ZY N�V QSR� � ���9��|9:.S�6£<.<;=_�_:� ��L+� � C ¹ >��� ¹EDzN À� C ¹ V QSR�� � ¹ED1�

� @y�-/14�(+8>/+���M/¨�K/).0(+2>/�2650/s(�,e/186;=2>(�8 V QSR|� � ����� � F � @k�O/)_�_��s�O/¨�0/).K(+26/�2>50/�*�/^;+."�=;+_:J0/C ¹ ` ¹MD (+4�;+.�(�,e/186;=2>(�8 ` ��� � `��y� Fz� 50/1.A2>50/];+�e(��+/c�-/)&1(�*�/1@� �� � � ��� �y� N ��� � �y� [�� F À l

�\509:&Z579:@y8>/)*�9�.K9�@>&1/).�2\(+4�265K/��K/�£<.09�269:(�.g(+4�2650/~&)_�;+@>@B9�&);+_�*�(�*�/1.�26J0* F¤¥ /�&^;+_:_�2650/~(�,-/)8Éç;=2>(�8���2650/ h+´ih+µ!·Y¸�k|h ´ ¾ µ ¼�ë ¸=´ ¼ F-� .�4�;+&G2^�+� � 9�@\;j@>/1_:4�ç�;n���B(�9�.�2y(+,e/186;=2>(�8y(�.7� ¸ [ � � l F� @B9�.S� 2650/�¢ � �s�M/]&)(�*�,0JK2>/�2650/~*�/^;+.��=;+_�JK/�(+4¡2>50/~*�(+*�/1.32>J0*¢(+,e/186;=2>(�8C ¹ � � ¹MDON C�£¹ Z¤� � ¹EDN C�£¹ �¥ £¹MD�N§¦ ¥ � £¹ [ ¥0l � ¸ ��¥ �

� 509:@)�|;+.S��@B9�*�9�_�;+8�&1(�*�,KJK2Z;=2>9�(�.K@)��@>5K(8�¨2>5<;=2]� £¹ [ ¥Kl � ¸ 9�@©265K/�,08B(��<;+�K9�_�9�2ª�6�09:@B2>8>9��KJK269:(�.j4�(�8265K/],0;+8B2>9�&)_:/�*�(�*�/1.�26J0* Fð'ñ�« ¬®­�ú¤ô��-÷�õ�­�øaô¨ú¯g°�±�²�³�´�³�µ-²·¶�¸�¹»ºs¼ (��0@B/)8S�+;=�0_�/ ºHé ë é�½G¾ ½�¿Pë�ÀBÁ ´Øº¼<Â@´ ¾ ½ ¼Uë Â=´ ¼ ´i¼ ÂÃ<½¨éG ë ª½¨é ¾$ë f ½ � ¸ [ �zÄ l)ÅÆ /�50;��+/�;+_�8B/^;+ÇK�s@>/1/).c;y4�/GÈ�/�É0;=*�,0_:/)@U(+4�(��K@>/)8S�=;+�0_�/1@)�i9�.0&1_�J0ÇK9�.0ÊM2>50/z,e(+@>9:2>9�(�.s(�,e/186;=2>(�8>@1���� �02650/~*�(�*�/1.�26J0*Ë(�,e/186;=2>(�8>@1�+� � ;=.0ÇA2>50/ÍÌ ë h�º¾ÎÂ=´i¼Äº ë ¼§´ ¾ ½ ¼�ë Â=´ ¼ �

T NÏV R ¸m � � ¶ÑÐÏN Òm � � ��� ¸ ¶ÓÐz�Ô .K(+2650/18c/�ÉK;+*�,K_�/ [ È\9�265Õ;+.�(�����9�(+J0@c&1_Ö;+@B@>9:&^;+_z;+.0;+_�(�Ê+J0/ l 9:@~4�JK8>.09:@>50/1Ç����×2650/ ë ¼�Ø+k|¾ ë�¼h+´ih�½G¼<Â�k|hû´ ¾ ½ ¼�ë Â=´ ¼ é �<� � N [ �'Ù � l�� F� 50/g8>/);+Ç0/18Í9�@c9�.���9:26/1Ç�26(ÚÇ0/)8B9:��/"2>50/�4�(�_:_�(�È\9�.KÊ7/1Û�J0;=269:(�.�4�(�8]2650/"/G��(�_:JK269:(�.�(+4y2>50/*�/^;+.g�=;+_�JK/�(+4�;=.7(��K@>/)8S�=;+�0_�/ F

Page 29: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

u3wÝÜ�wÑp�Þ©ßSàKÞzásxEÞzt�âãtäÞ�rztäÞ�àKÞzá åKqså�ßGæ\á m+çè]éiµëê¡ì�°�í ¶�¸:î ï 5K/)&Zðg265<;i2y4�(�8\;+.��g(��0@B/)8S�+;=�0_�/=� ` �0ÈO/c5<;^�+/�|L=� �O� `��y� N C�ñ QROW�T ` Y ñ D1�Æ /]ÈO(�J0_:Ç'_�9:ð+/�26(�J0@>/]26509:@ä8B/)@BJ0_:2�(�.72>50/�*�(�*�/).�26JK*ò(�,e/186;=2>(�8 Fyó 9�*�,0_�/�&1(�*�,0JK2Z;i269�(+.0@Ê�9���/ W � � Y N§ô ;+.0Ç W Ð � Y N QSR|� Ð �<@>(j2>5<;=2

QR W�T � Y N�V � Ð;+.0ÇA50/1.0&)/ ��L+� �M�õ� � �y� N � V � � Ð �y� � [�� F m l� 509:@y9�@\;jÛ3J<;+.�26J0*¢*�/1&Z5<;+.09:&^;+_�*�/^;=.sçö�=;+_:J0/s��/18>@B9�(�.A(+4 H /1Èy2>(�.�÷X@\/)Û3J<;=2>9�(�.�(+4¡&)_�;+@>@B9�&^;=_*�/)&Z5<;+.K9�&)@ F·ø 8 9:4äÈO/79:.0&)_:J0Ç0/�/)Û3J<;=2>9�(�. [ù� F Ò l ��ÈO/A5<;^��/�2650/7;+.<;+_:(�Ê�J0/g(=4�ú�;+*�9:_:2>(�.�÷X@/)Û3J<;i269�(+.0@ Fó 9�.K&)/ (�����9�(�J0@B_:� W�T T Y Nûô �UÈM/�;+_�@B(�5<;^��/ ��L+� �]� T � Nüô �UÈ\509�&Z5õ9�@�265K/�*�/^;=.sç�=;+_�JK/���/)8B@>9:(�.7(=4¡2>50/~&)(�.0@B/)8S�+;i269�(+.7(+4¡/).K/)8>Ê=� Fð'ñZý þ ô�ÿaú¤ô¨ö�­�ô���� �-ô�� �-ô¨ú�ô¨ö�ý­õÁý�ÿ)� ö� 50/�4�8>;+*�/GÈM(+8>ð�(+JK26_:9�.0/1Ç"J0,"26(Í2>509�@M,e(�9:.�2E9�@M&^;+_:_�/)Ç�2650/���f à ¼��´ À º¼�Ø�½ ¼�¼ ½ ¾;¼ ½�é�½G¼< ë ÂIº�´i¼ (+4Û3J<;+.�26JK* *�/)&Z5<;=.09�&1@ F ï 5K8>(�.0(+_�(�Ê�9:&^;+_:_:�+��Û3J<;=.32>J0* *�/1&Z5<;+.09:&)@cÈM;+@��08>@B2c4�(�8>*�J0_Ö;=2>/)ÇÕ9�.265K/cúä/)9:@>/).3�-/)8BÊ�8B/),08B/)@>/1.�2Z;=2>9�(�.��<È\509:&Z5AÈO/].0(�ÈIÇ0/1@>&)8B9��-/ F� (�8\;+.�(��0@B/)8S�+;=�0_�/ ` �<ÇK/�<.0/

` [ � lzd��� #������ ` ���� #������ �ó 9:.0&)/ ñ N � �� #������ ñ��][ 2>50/�@>(+_�JK2>9�(�."(=4 ó &Z508��(+Ç09�.0Ê+/)8)÷X@E/1Û�J0;=269:(�. l �K;+.0Ç � �� #�������9�@EJK.09:26;+8B�+�ÈO/c5<;^�+/ [ �3�g; @B9�*�,0_�/s&)(�*�,0JK26;=269:(�."È\509�&Z5A9�@y_:/142ä;+@ä;+.�/�ÉK/18>&19�@>/ l 2>5<;=2� `��y� N � ` [ � l �y��� � [�� F�� l

è]éiµëê¡ì�°�í ¶�¸ ²Ò F � 8>(��+/c/1Û�J0;=269:(�. [ù� F�� l Fm F � 8>(��+/]2>5<;=2 �� � ` [ � l N QROW�T ` [ � l�Y �

Page 30: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

��ô !�p�qsrså¡Þ�tvu3w§æyxyàKÞzty{|qsxE}�ÞOà� 509:@Í_Ö;+@S2j/)Û3J<;i269�(+. 9�@Í&);+_�_:/)Ç�2>50/ÚÌ ½�ºHé�½G¼`èG½ ¼ Ø�½#")k ë  º�´i¼ 4�(�8�2>50/"269:*�/�/1�+(�_�JK2>9�(�. (=4ä2>50/(��0@B/)8S�+;=�0_�/ ` F%$ .g,<;+8B2>9�&1J0_Ö;+81��26;+ð39�.0Ê � ;+.KÇ �g4�(+8 ` ��ÈM/~(��K26;+9�.�2650/�Û3J<;+.�2>J0* ;+.0;+_�(�Ê+J0/(+4�2650/]ú�;+*�9:_:2>(�."/)Û3J<;i269�(+.0@\(+4�&1_Ö;+@B@>9:&^;+_�*�/)&Z50;+.09�&1@ �

� P� [ � l N � [ � l [�� F'& l;+.0Ç P� [ � l N�V � Ð [ � [ � lBl � [�� F � l$ .Õ2>50/�ú�/)9:@>/1.��-/)8BÊÚ8B/),08B/)@>/1.�2Z;=2>9�(�.���2650/1.���2650/�@B26;=26/�9�@(�KÉ|/)Ç [ ;=2 ñ�� l �¡;+.0ÇÕ2>50/�(��0@>/18B�mç;+�0_:/)@ä/1�+(�_:�+/j;+&)&1(�8>ÇK9�.0Ê�26(�2>50/Íúä/)9:@>/).3�-/)8BÊ"/)Û3J<;=2>9�(�. Fsø 4©&1(�J08B@>/+�-2650/ ó &Z508)�(�Ç09:.0Ê�/)8s;+.0Çú�/19�@B/).3�e/18>Ê]8>/1,08>/1@>/).�26;=269:(�.0@O;+8>/y&1(�*�,K_�/12>/)_��Í/)Û3J09��=;+_�/1.32 [ ��� ;�J0.09:26;+8B�c268>;+.0@B4�(+8>*�;=269:(�. l Fð'ñ+* , ù>õ�ö'ý�ÿ�-&õÁý©ÿ1�VöÆ /c.0(�ÈãÇK/)@>&18>9:�e/c;�,08B(|&1/)Ç0JK8>/~4�(�8\,<;+@>@B9�.0Ê�4�8>(�*¢&)_Ö;=@>@>9:&^;+_U*�/)&Z50;+.09�&1@ä2>(�Û3J<;=.32>J0* *�/¼ç&Z5<;+.K9�&)@1�<&^;+_:_�/1Ç ")k ë ¼< º�. ë ÂIº�´i¼<FÆ /7@B26;+8B2�È\9:265�2650/'ús;+*�9�_�26(�.09�;+.�4�(�8B*ÍJ0_Ö;i269�(+. (+4~&)_�;+@>@B9�&^;=_ä*�/)&Z50;+.09�&1@)�EÈ\50/18>/Ú2>50/�<;+@B9�&�(���/B/)&12>@s;=8>/];+@y4�(�_�_:(�È\@ FÒ F\� 50/ ¾ à ë é�½Ìé ¾$ë f ½ [ (+8ä@S2Z;=2>/~@>,<;+&1/ l � Ä0 Ù � Ä� /)Û3J09:,0,e/1ÇAÈ\9�265g265K/21 ´43Hé�éD´i¼�è�5 ë f76 ½G �8 �:^�:9 F�� 5K/c_�;=2>2>/)8E9:@yÇ0/�<.K/)ÇÚ(+.7,<;=9�8>@y(=4¡4�J0.K&1269:(�.0@y(�.�� Ä0 Ù � Ä� ���

8�; #<=9 N >? �#@BA [DC ;C ¥�� C<

C ��� V C ;C ��� C<

C ¥ � l �m F\� 50/]ú�;+*�9:_:2>(�.09Ö;=.��FE [ ���¥0l �<;j8>/);+_�4�J0.0&G269:(�.g(�.g� Ä0 Ù � Ä� [ È\509:&Z57Ê�9���/1@E2650/�/1.0/)8BÊ+�(+4�265K/]&1_Ö;+@B@>9:&^;+_�@S��@B26/1* l F� 50/1.7265K/]&1_Ö;+@B@>9:&^;+_�Ç|�|.0;+*�9:&)@y(+4�265K/]@S��@B26/1*®;+8>/�Ê�9���/1.7���'Ì ë h23¾ÎÂÉ´i¼�G éͽ#")k ë ÂH3�´i¼$é �

P� N 8 T >�I9 P¥ N 8 T Z¥D9 �� 50/\&)(�8B8>/1@>,-(�.0Ç09:.0Ê�4�J0.0Ç<;=*�/1.326;+_0(���/B/)&12>@z9�.jÛ3J<;+.�26JK* *�/)&Z5<;+.K9�&)@z;=8>/E265K/E4�(�_�_:( È\9:.0Ê FÒ F\� 50/�@B26;=26/�@>,0;+&)/���J [ � Ä0 l �¡;+.0Ç×265K/�&1(�*�*�JK2Z;=2>(�8)� � W � � �XY ��(+4�2ªÈM(7(�,-/)86;i26(�8B@c;=&1269:.0Ê(�.A� J [ ��Ä0 lm F Ô ó &Z508��(+Ç09�.0Ê+/)8Í(�,-/)8>;=26(+8)� T N E [ �� � l [ 2>50/gús;=*�9:_:26(+.09Ö;+. l ;+&12>9�.0Ê7(�.�2650/�@B2Z;i26/@B,<;+&)/ F

Page 31: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

u3wÎu3wÑr�àKÞLKNM æOM�ßQPRP�Þzt�Þzá å�ߪqs}¨æyrzÞ�t\qsåMæytsà � ÒS /)&^;=_�_3265<;=2�2650/EÇ|�|.0;+*�9:&)@�(=4-2>50/EÛ3J<;+.�2>J0* @S�|@S26/1*v&^;+.j�-/EÇ0/1@>&18>9��-/)Ç ����2>50/yúä/)9�@B/).3�-/)8>Ê/)Û3J<;i269�(+.0@ P� N QR�W�T B�<Y P� N QR�W�T � Y[ È\5K9�&Z57;+8>/�265K/]@>;+*�/~;+@ [ù� F'& l ;+.0Ç [ù� F � lBl FÆ /~.0(=26/�265<;i2y4�(�8y&)_�;+@>@B9�&^;=_�*�/1&Z5<;+.09:&)@

8 � >����9 N 8 ¥ �¥��)9 N ô 8 ¥ >���T9 NVU �;+.0Ç�4�(�8yÛ3J<;+.�2>J0*ò*�/1&Z5<;+.09:&)@

W � >����Y N W � � �6Y N§ô QR W � >����Y NWU � �� 50/1@>/O;+8>/�2>50/sf ë ¼Ó´i¼X3 f ë ¾ f ´ihjhjk� ë ÂH3�´i¼�56½G¾ ë ÂY3�´i¼$éGF � ;+.0Ç ¥ ;+8>/©&);+_�_:/)Ç�f ë ¼Ó´i¼X3 f ë ¾ ê�ë 5Z3 ë è)¾�½�é(+4¡&)_�;+@>@B9�&^;=_�*�/1&Z5<;+.09:&)@1�ë;+.0Ç � ;+.0Çj�U��f ë ¼Ó´i¼X3 f ë ¾/´7[<½\5 ë ÂÉ´45Ré (+4�Û3J<;+.�2>J0* *�/)&Z5<;+.K9�&)@ F� 50/~4�(�_�_:( È\9:.0Ê�26;+�0_�/�,K8>(���9�Ç0/1@s;j@>JK*�*�;+8B��(+4�2650/]&)_�;+@>@B9�&^;=_�*�/1&Z5<;+.09:&^;+_�(��F/B/)&G26@�;+.0Ç265K/)9�8yÛ3J<;=.32>9Hî1/)ÇA&)(�J0.�2>/)8>,0;+8B2>@ �ø �F/B/)&G2 ï^] _`]@B26;=26/ acb Ä Ù aed Ä ;+.0Ç ��J [ � Ä0 l ;=.0Ç@>,0;+&)/ � (�9:@>@>(+.7�08>;+&Zð+/G26@ &)(�*�*ÍJK26;=26(�8/G��(�_:JK269:(�. ,<;i265A9�. ,<;=265�9:.(+4¡@B2Z;i26/ ,050;+@>/¼çª@>,0;+&)/ ��J [ � Ä l(+�0@>/18B�=;+�0_:/ 8B/^;+_�4�J0.K&1269:(�. @>/1_:4�çª;+Ç4/B(�9:.32E(�,e/186;=2>(�8(�.7@S2Z;=2>/~@>,<;+&1/ (�.�@B26;=26/~@B,<;+&)/8>/1@>J0_�2�(=4�*�/^;+@BJ08>9:.0Ê Ç0/12>/)8>*�9�.K9�@B2>9�& ,K8>(��<;=�09�_:9�@B2>9�&(+�0@>/18B�=;+�0_:/(��F/B/1&126@ä&)(+.32>8>(�_:_�9:.0Ê ú�;+*�9:_:2>(�.09Ö;=. ó &Z5K8��(�Ç09:.0Ê�/18ä(+,e/186;=2>(�8ÇK��.<;+*�9�&1@&^;+.0(+.09�&);+_ � ;+.0Ç ¥ (�,e/186;=2>(�8>@&)(�(�8>Ç09:.<;=2>/)@ � [ *ÍJ0_:2 F l ;=.0Ç��ð'ñ¼ð f ú�ô¨ù�ü'��ü ÿg©ô��-ô¨ö�ý�ÿaõ6ø?����ô��-õÁý�����ú� 50/õ&)(�8B8>/1@>,-(�.0Ç0/1.0&)/õ�e/G2ªÈM/1/).I&1_Ö;+@B@>9:&^;+_�(+�0@>/18B�=;+�0_:/)@A;+.0Ç Û3J<;+.�26J0* (+�0@>/18B�=;+�0_:/)@�9�@A;@>JK�K26_:/�(+.0/ Fh� (�8�&);+.0(�.09:&^;+_¡�+;=8>9Ö;=�0_�/1@)��ÈO/ 5<;^��/ 265<;=2�2>50/j�=;+8>9�;+�0_�/ � 9�@�*�;+,0,-/)Ç 2>(�2>50/(�,-/)8>;=26(�8�(+4z*ÍJ0_�269:,0_�9:&^;=2>9�(�.g��� � ��;+.0Ç'265K/��=;+8>9�;+�0_�/ ¥ 9�@�*�;=,0,e/1Ç'26(�2>50/Í(�,-/)8>;=26(+8O� NV QSR|� 0 �ëï (�.�269:.3J09�.0Êc26509:@)�|ÈO/�@>5K(�J0_�Çg50;��+/~;�4�J0.0&G269�(+. ;�[ �el *�;+,K,09�.0Êc26(j;+.g(+,e/186;=2>(�8E(+4*ÍJ0_�269:,0_�9:&^;=2>9�(�.Í��� ;�[ �el �K;=.0Çg;]4�JK.0&12>9�(�. ;�[ ¥0l *�;=,0,09�.KÊ]2>(Í;+."(+,e/186;=2>(�8 ;�[ � l F ú�(�ÈO/1��/18)�

Page 32: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

� m !�p�qsrså¡Þ�tvu3w§æyxyàKÞzty{|qsxE}�ÞOà265K/s4�(�_�_:(�È\9�.0Ê~@>9:*�,K_�/ä&^;+@B/�@>50(�È\@E2>50/�;+*Í�K9�Ê�J09�2ª� (+4U265K9�@M&1(�8>8B/)@B,e(�.KÇ0/).0&1/ Fz� 50/�4�J0.K&1269:(�.�"��¥ N ¥Í�^� &)(�J0_:Ç��e/~*�;+,0,-/)Ç�9�.�26(�;+.��g(=4¡2>50/�4�(�_�_:( È\9:.0Ê�2>508>/1/]ÇK9�@B2>9�.0&G2\(�,-/)86;i26(�8B@ �

��� � � �^�� Òm [ ��� ��i×� �^�el �$ .�265K9�@Í&);+@>/=�z2>50/g;+*��09�Ê�JK9:2ª�×9�@c8>/1@>(�_���/)Ç?����8B/)Û3J09:8>9�.KÊÚ265<;i2�265K/g8>/)@BJ0_:2>9�.0ÊÚ(�,e/186;=2>(�8�9:@@>/1_:4�çª;+Ç4/B(�9:.32 F�j JK2ä9:."2650/~Ê�/1.0/)8>;+_U@>9�26J<;=2>9�(�.

;�[ ���¥0l ;�[ �� � l�@>5K( È\9:.0Ê 265<;=2\2>509�@y&1(�.0Ç09�269�(+.g8>/)@B(�_:�+/)@\2650/];+*��09�Ê�JK9:2ª�g;=.0Çg265<;=2ä9�2\&^;+.A�e/~9:*�,0_:/)*�/).�26/1Ç9�.g2>/)8>*�@y(+4�;�*�;=2>50/)*�;=269:&^;+_ë4�(�8B*ÍJ0_Ö;Í8B/)Û3J09:8>/)@\@B(�*�/�ÈO(�8>ð F$ .Ó*�;=2>50/)*�;=269:&)@1��(�,-/)86;i26(�8B@j(��K2Z;=9�.0/1Ç �3� ;×&1/)8S2Z;+9:. Û�J0;+.�269Hî);=269:(�. 8>JK_�/"4�8>(+* 4�J0.K&!ç269:(�.0@ ;�[ ���¥0l @6;i269�@S4��9�.0Ê�&1/)8B26;+9�.�/)@S269:*�;=2>/)@z;+8B/\&^;+_:_�/)Ç [Yé�½Gk À ´ À 3 k�½\56½G¼<ÂY3 ë ¾`´7[<½\5 ë Â=´45RéGFml 9�4�ç4�/)8B/).�269�;+_�(�,-/)8>;=26(+8>@yÈ\9:2>5A@B*�(�(+2>5A&1(|/\n�&)9�/1.�26@)�-;+@yÈO/)_:_�;+@\&)/)8S2Z;+9:.�9�.�26/1Ê�86;+_�;+.0ÇA@>9�.KÊ�J0_Ö;=8(�,-/)8>;=26(�8B@\;+8>/~/�É0;=*�,0_:/)@\(+4¡,0@>/1J0Ç0(�Ç09:oe/)8B/).�269�;+_�(�,-/)8>;=26(+8>@ F

Page 33: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Õ Ö ×ÙØ Ú§ÛÝÜ pq Ö Û r s t ÛÝÜ�Ú�×vu�sûÚew Ø Üxu�s tVu¤Ø ã�Û

ø .0/s(=4�2650/ä4�J0.0Ç<;=*�/1.326;+_-9�*�,0_�9:&^;=2>9�(�.0@�(+4UÛ3J<;+.�26JK*ü2>50/)(�8S��9�@z2650/ k|¼ f ½\5� ë 3¼<ÂYyz[D5Z3¼ f 3{[-¾�½ç�265<;=2�9�@1��2650/�4�;+&12c265<;i2Í&)/18B26;+9�.Õ,05��|@B9�&);+_MÛ3J<;+.�2>9:269:/)@c&^;+.0.K(+2Í�-/"*�/^;+@BJ08>/1Ç�@>9:*ÍJ0_:26;+.0/¼ç(�J0@B_:�×È\9:2>5�;+8B�09:2>86;+8S�×;+&1&)J08>;+&1� F|$ .�2>509�@]&Z5<;+,K2>/)81��ÈM/�/)@B26;+�0_:9�@>5Õ,08>/1&)9:@>/�*�;=2>50/)*�;=269:&^;+_@B26;=26/1*�/1.�26@ä(+4¡2>50/~J0.0&1/)8B26;+9�.�2ª�g,K8>9�.K&)9�,K_�/ F}�ñDò ~�þ>ô þ ô�ÿ�ú¤ô¨ö�­�ô���� ù�ö��&ô��­ý¤õÍÿ�ö�ý�� � �zÿ�ö���ÿ)��øaôÆ /�&)(�.0@B9�Ç0/18\;Í,<;+8S269�&1_�/�9:.�;Í@B26;=26/ ñ ;=.0Çg26509:.0ð�(=4�2>50/~(��0@B/)8B�=;+�K_�/)@ � ;+.0Çj�A;+@y8>;+.0Ç0(+*�=;+8>9�;+�0_:/)@©È\9:2>5",08>(+�<;+�09:_�9:2ª��Ç09�@S268B9��0JK2>9�(�.K@~� ñ � Jy;+.0Çõ� £ñ � JE8B/)@B,e/1&1269���/1_:� F©� 5K/ À 3Hé�[<½\5Ré\3�´i¼ (+4��� 9:.�2>50/~@B26;=26/ ñ 9�@ [ � ���)l J d � [ ��� V � ��� �y� l J �\�;+.0Ç�265K/]ÇK9�@>,-/)8B@>9:(�.�(+4e� � 9�@ [ � � �1l J d � [ � � V �Õ� � �y� l J �y� ���� °3µëéi°�í ��¸�¹�� ��� °��A°�³Y�)°�²�ê©°3éT����²N��°�é�´��0³�²e´Z�x��é=³�²N��³H�¡ì�°����¯´45 ë ¼Xy4éG ë ª½ ñO�� ��� � � ��� R L m �è]éiµ�µD�#�E� 50/]�<;+@>9:&�9�.0Ê+8>/)ÇK9�/).�2\9:@E2650/~&)(+*�*ÍJ|2Z;=2>9�(�.g8B/)_Ö;i269�(+.QROW � >�<Y N 9�Ç[ 2>509�@�9:@~;g*�;=2>8>9%ÉÚ/1Û3J<;=269:(�.��U*�/^;+.K9�.0Ê �ëW � ��>� � Y N�U �+� � l F�� (+8�.0(+2Z;i269�(+.<;+_�@>9�*�,0_:9�&)9�2ª���-ÈM/;+@B@>J0*�/ � � �y� N �Õ� �y� N ôKF�H (=269�.KÊÍ265<;=2y4�(+8E2ªÈM(�@>/)_�4�ç�;+ÇT/B(�9�.�2y(�,-/)8>;=26(+8>@ ` � b �C Q W�` ZbcY D � NÏV m�� � C ` ñ Zb ñ D

���

Page 34: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

��& !�p�q�rså¡Þzt���wãå¡p�Þ�K¡á�!�Þ�t\å0q�ß�á åO Ñr�t\ß�á�!�ß�rz}�ÞÈO/c(��|2Z;+9:.

Ò N C�ñ ñ DzN C�ñ QR W � � B����Y ñ DN�V mR � � C � � ñ >��� ñ DO¡ mR � C � � ñ >��� ñ D �¡ mR^¢ � � ñ ¢£¢ ��� ñ ¢ N mR [ � � �Gl [ � ���)l �� 509:@äÇK(|/1@ä9�2 F%¤

}�ñ�« ¥ûôz¦�ö>ô¨ü ù�ö���ô��­ý­õ�ÿ�ö�ý�� � ��ÿaö���ÿ^��ø�ôÆ /c;=_�@>( 5<;^�+/]2>50/�4�(�_�_:( È\9:.0Ê�8B/)_�;=26/1Ç78B/)@>JK_:2 F��� °3µëéi°�í ��¸:î§� a °�±�²�°F¨§��²���°3é�´��<³�²e´Z�x�¡éi³�²���³©�¡ì�°��«ªE¼ ��J [ � Ä l �

V � � Ò& � � � J[ 8B/)&);+_�_©2650;=2c4�(+8c(�,-/)8>;=26(+8>@ ` � b �¡ÈM/�È\8B9:2>/ ` � ô 9:4 C�ñ ` ñ D � ô 4�(�8�;=_�_ ñ �©;+.0ÇõÈM/È\8>9�26/ ` �»b 9:4 ` V b¬� ô l Fècé µ�µ=�­�äï (+*�,0J|26/ [ 4�(+8>*�;+_�_��B® l? � Q W � � � � A � � � � � � A B����Y N R � � � � � J

[ � N @>,0;+&)/~Ç09:*�/1.0@>9:(�. N¯� l F ú�/).K&)/R � ¢ � � � � A ñ ¢ J N m ? � � C � � � � A � � � � � � A ñ >��� ñ D;+.0Ç�265K/)8>/G4�(�8>/ R [ � V m l ¢ � � � � A ñ ¢ J N�V m�� � ? � C � � ñ ���� � � J ñ DG�H (�È 2650/ ï ;+J0&Z5��mç ó &Z53ÈM;+8�îÍ9�.0/1Û3J<;+_�9�2ª�"9:*�,0_:9�/1@� ? � C � � ñ ���� � � J ñ D � ¡ ¢ � ñ ¢£¢ Ò� � � ñ ¢

[ ,K8>(���/ 26509:@�® l �UÈ\509:&Z5Õ26(+Ê�/12>50/)8�È\9:2>5õ2>50/ ,08>/G��9�(�J0@]9�.K/)Û3J<;+_:9:2ª�'Ê+9:��/1@�2650/�Ç0/)@B9�8B/)Çõ8>/)@BJ0_:2 F¤è]éiµëê¡ì�°�í ��¸ ² ó 50(�È�265<;i2s265K/Í8>/\�<.0/)Ç �z� &);+.'�-/ÍJ0@>/1Ç 26("Ê�9���/�;�Û3J09�&ZðA,08>(�(+4z(+4©2>50/ú�/19�@B/).3�e/18>Ê �°��F

Page 35: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

��wÝÜ�wÓqsrzr�}Uß\!�qså�ßGæyá�±-à�åKq�xOß�}�ß)åO Iæ^PÓph �M�t�æ~â\Þzá � �}�ñZý ² � ��ø^ÿ)��õÁý�ÿ)� ö«³�ú¯ý­õÍ­ ÿaø^ÿ�ý�� �h´�þµ�)ü �©�h�4ô¨ö$ .?&)_�;+@>@B9�&^;=_M*�/)&Z5<;+.K9�&)@1�©2650/g5���Ç08>(+Ê�/).Ó;=26(+* 9:@jJ0.0@B26;+�0_:/ � ;=@Í2650/g/1_�/)&G268B(�.?(�8>�09�26@�2>50/.3J0&)_:/)J0@ [ ,08B(+26(�. l �K9�2M8>;+Ç09�;=26/1@E;+.0Ç�4�;+_�_:@�(+.32>(�265K/�.3J0&)_:/)J0@ FMø .0/�(+4U265K/°�<8>@S2M2>8>9�JK*�,05K@M(+4Û3J<;+.�26JK* *�/1&Z5<;+.09:&)@yÈM;+@\@>50(�È\9�.KÊ 2>5<;=2y2>509�@E9:@y.0(+2\@B(�9:. _`]ÕF0� 50/~_Ö;i2>26/18E@B26;=26/1*�/1.�2�9:@/GÉ|,08B/)@B@>/)Ç×*�;=265K/)*�;=269:&^;+_:_:���3�A265K/�,08B(�,e/18B2ª��2650;=2s2>50/Íú�;+*�9:_:2>(�.09Ö;=.�� T [ ;+.0Ç72650/18>/14�(+8>/265K/]/1.0/)8BÊ+� l 9:@y�e(+J0.0Ç0/1ÇA4�8B(�*¢�-/)_:( È F� 50/]53��Ç08B(�Ê�/1.';=2>(�*¢9:@yÇ0/)@B&)8>9:�e/1Ç7���g2>50/ ó &Z508��(+Ç09�.0Ê+/)8\(�,-/)86;i26(�8

T N�V R Jm �� V � J� � �

(�.Õ��J [ � Ä l [ � ;+.KÇ V � ;+8>/j2>50/�*�;+@B@c;=.0Ç�&Z5<;=8>Ê�/�(+4�2650/�/)_:/)&12>8>(�.õ8>/1@>,-/)&G269:�+/)_�� l F"� 50/8>/\�<.0/1ÇÚJ0.0&1/)8S2Z;+9:.32ª�",08>9:.0&)9:,0_�/�Ê+9:��/1@T � R Jo � � � � J V

� J� � � �� 50/]8 F 5 F @ä5K/)8>/~8B/^;+&Z50/1@�9�26@y*�9�.09:*ÍJ0*Ë;=2j� � � � A N¶& � � J L R J�;+.0Ç�@B(

T � V m � ��·R J �� 53J0@)�<2>50/~/).0/18>Ê+�g(=4�2>50/~5��|ÇK8>(�Ê�/1.Ú;i26(�*Ë9�@y�-(�J0.0Ç0/1ÇA4�8B(�*¢�-/)_:(�È~�<;+.0Ç�@>( 265K/�/)_�/1&12>8>(�.Ç0(�/)@\.0(+2\&1(�_�_�;+,0@B/�(�.�26( 2650/~,08B(+26(�. F

Page 36: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

�¹¸ !�p�q�rså¡Þzt���wãå¡p�Þ�K¡á�!�Þ�t\å0q�ß�á åO Ñr�t\ß�á�!�ß�rz}�Þ

Page 37: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Õ Ö ×ÙØ Ú§ÛÝÜ º» Ø Û¼t#Ú�Ü©×�ã Ú©Ö Û¾½ Ü¿w

ø J08\.0/GÉ�2\2Z;=@>ð"9:@E26(�&)_Ö;=@>@>9�4��2>50/~(�8>�09�26@ [ 9 F / F @B(�_�JK2>9�(�.K@ l (+4�2650/ ó &Z5K8��(�Ç09:.0Ê�/18ä/1Û3J<;=269:(�.Q�R C ñC � N T ñÈ\9:2>5�Ê�9:�+/).A9�.09�269Ö;=_e&1(�.0Ç09�269�(+. ñ � # @ � N ñ��;+&1&)(�8BÇ09�.0Ê�26(�265K/)9�8~�-/)5<;^��9�(+J08c9:.×@>,<;+&1/!çù269�*�/ F�H ;=2>J086;=_�_:�+��ÈM/�ÈE;=.32]26(AÇ09:@B269:.0Ê�J09:@>5õ�e/¼ç2ªÈO/)/). @B26;=26/1@"È\509�&Z5 ;+8B/'_�(�&^;=_�9Hî1/)Ç�4�(�8";+_:_ä2>9�*�/+�\;+.KÇ»2>50(�@B/ÚÈ\50(�@B/õ/1@>@B/).�269�;+_�@>JK,0,e(+8B2*�( �+/)@O(�og26(c9�.À�<.K9:2ª� F©ó J0&Z5g;~&)_�;+@>@B9:�<&);=269:(�.�9:@z*�;+ÇK/äÈ\9�265 2650/�50/)_:,�(+4�;]��/18B��9�*�,-(�8B26;+.�29�.��=;+8B9Ö;+.�2kç©2>50/ é�[<½ f ÂH5Gk�h (+4¡;+.�(�,e/186;=2>(�8 F�Æ /��-/)Ê�9:.A����Ç0/)@B&)8>9:�09�.KÊ 2>50/�Ê�/1.0/)8>;+_�2650/1(�8B�+�;+.0Ç�265K/).�ÈM/~,08B(|&1/)/)ÇA26(�;+,0,K_�9�&);=269:(�.0@ F

Á ñDò ~�þ>ô ú���ô(��ý©��ù�ÿ �´³õ6ö ����ô���õ�ý����¯g°�±�²�³�´�³�µ-²¶Ãe¸�¹ÅÄ�Ã<½ @>,-/)&G268>JK* ´QÆ ë ¼Ï´7[<½\5 ë Â=´45 ` ´i¼ ë Ì 3¾rèG½\5�Â0é�[ ë f ½OÇ 3HécÂ�Ã<½�éGk$è!é�½G´QÆ ÈÏØ�3 ê ½G¼æè�y

É [ ` lzd 8�Ê|Ë È � ` V Ê 3Hé~¼Ó´iÂ3¼ ê ½\5GÂH3�è)¾�½ÂÌ�à ë é]¼Ó´Vè!´ik�¼ À ½ À 3¼ ê ½\5Ré�½�Í 9� 50/]J0@>J<;=_U8>/^;=@>(�.0@\2650;=2 ` V Ê 9�@y.K(+2ä9�.���/18B269:�0_�/~;=8>/Ò F [ ` V Ê l ñ N§ô 5<;+@ä;j.0(�.sçfî)/18>(�@>(�_:JK269:(�.�� ñÎË Ç×F©� 50/). Ê 9�@\;+. ½\3�Ø�½G¼ ê�ë ¾Îk<½ (=4 ` Fm F [ ` V Ê l ñ N ô í>;+_�*�(�@S2Rï�5<;=@z;~.K(�.sç=î1/)8B(]@B(�_�J|269�(+. Fm] (�8>/y,08B/)&19�@>/1_:�+��ÈM/\@6;^� 8 ñ > 9�ÏÇ 9�@ä;xÐ ½\yi¾Óé�½#")k<½G¼ f ½ 4�(�8 ` ;=.0Ç Ê 9�4� n

Page 38: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

� o !�päq�rså¡ÞztÒÑ^wÑàKrzÞ !äå¡t\q�}§å¡psÞäæytz [ ; l ¢ ñ > ¢ N Ò 4�(�8\;+_:_�Ó[ � l ¢ [ ` V Ê l ñ > ¢ ô ;+@OÓ Ô[ & l ñ > ôÖÕM½ ë 6 ¾×y ;+@OÓ Ô [ 26509:@y*�/);+.0@ C�Ø ñ > D� ô 4�(�8\;+_�_ Ø�Ë Ç l F� 509:@\9�@EÈ\5<;=2\ÈO/~*�/);+.��3� [ ` V Ê l ñ N§ô í>;+_:*�(+@B2Rï�5<;^�|9:.0Ê�; .K(�.sç=î1/)8B(�@B(�_�JK2>9�(�. F

¯g°�±�²�³�´�³�µ-²¶Ãe¸:îÙÄ�Ã<½ ,-(�9�.�2\@B,e/1&1268BJ0* ´QÆ ` 3HéÉ£Ú [ ` l N 8�Ê � Ê 3Hé ë ¼�3HéD´i¾ ë ª½ À ½\3�Ø�½G¼ ê�ë ¾Îk<½6´QÆ ` Õ�3ÂÃ(Ûz¼X3ª½]hjk|¾ÎÂH3{[-¾×3 f 3ÂYy 9

Ì�3HéD´i¾ ë ª½ À h�½ ë ¼X3¼�Ø4éD´ih�½~¼�½\3�ØiÃ$è!´ikF56ÃY´D´ À ´QÆ Ê 3Hé À 3Hé Á ´43¼<ÂXÆZ5�´ih É [ ` l Í Åú�/18>/�265K/ hjk�¾ÎÂH3{[-¾×3 f 3ÂYy (+4�;+.A/)9:Ê�/).��=;+_�JK/ Ê 9�@E2>50/~Ç09�*�/).0@B9�(�.g(=4¡2>50/~@>J0�0@B,<;+&1/HzÜDÝ©Ý [ ` V Ê l©d 8 { Ë � J � [ ` V Ê l { N§ô 9 �

è]éiµëê¡ì�°�í Ãe¸ ² ó 50(�È H J0_:_ [ ` V Ê l 9�@\;j��/)&G26(�8\@B,<;+&)/ Fè]éiµëê¡ì�°�í Ãe¸ßÞ ó 50(�È 2>5<;=2�4�(�8 ` N `�à �+/19�Ê�/1.K4�J0.0&G269:(�.0@�(+4 ` &)(�8B8>/)@B,e(+.0Ç09�.KÊ�26(�Ç09:oe/)8B/).�2/)9:Ê�/).��=;+_:J0/)@ä;+8B/�(�8B2>50(�Ê�(�.0;+_ F¯g°�±�²�³�´�³�µ-²¶Ãe¸:¶ÙÄ�Ã<½ &1(�.�269�.3J0(+J0@�@B,e/1&12>8>J0* ´QÆ ` 3Hé

ÉXá [ ` l N 8�Ê � Â�Ã<½\56½L3Hé ë Ð ½\y=¾Óé�½#")k<½G¼ f ½�Æ�´45 ` ë ¼ À Ê 9 �Æ 50/). ` 9�@\@>/1_:4�çª;+Ç4/B(�9:.32)��2>50/)@B/]2ªÈO(�@B/12>@ä*�;+ð=/]JK,A2>50/�È\50(�_�/�@B,e/1&12>8>J0* ���� °3µëéi°�í Ãe¸:�§�+â�°��Uì��|ãäÆ ` N ` à � ÂÃ<½G¼ÚÂÃ<½é�[<½ f ÂH5Gk�h ´QÆ ` 3Hé�ÂÃ<½�k�¼X3�´i¼�´QÆsÂ�Ã<½å[Y´43¼<Âé�[<½ f ÂH5Gk�h ´QÆ ` ë ¼ À Â�Ã<½ f ´i¼<ÂH3¼<kY´ikjé¨é�[<½ f ÂH5�k|h ´QÆ `�æ

É [ ` l N É£Ú [ ` lIç ÉXá [ ` l �è]éiµëê¡ì�°�í Ãe¸èà ó 50(�ÈI2>5<;=2ä4�(�8(é � Ç Ç J0.K9:2Z;=8B��� É [ é à6` é l N É [ ` l � É£Ú [ é à6` é l NÉ£Ú [ ` l �ë;+.KÇ ÉXá [ é à6` é l N ÉXá [ ` l Fê°ëI�0íì��ì�°¿Ãe¸:í Æ /~@>5K( ȧ265<;=2Ò F É [ � �Gl N ÉXá [ � �Gl N �m F É [ ���)l N ÉXá [ ���1l N �

Page 39: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Ñ�w�î�w�å¡p�Þ¨àKrzÞ !äå¡t2KRï æOP qsáËæyrzÞztäqsåMæyt � ç� 8>(�(+4O(+4O2>50/j@>/1&)(�.KÇÕ4�;+&G2 � ;+@B@>J0*�/+�U4�(�8�@B9�*�,0_�9:&)9:2ª�+� � N Ò F2� (�8~;+.�� ÊðË �ä�©ÈM/h�<.0ÇÕ;Æ /1��_�@>/)Û3J0/1.0&)/]4�(�8 � ;=.0Ç Ê Fz� 509�@y@B/)Û3J0/1.0&)/Í9:@y@>J0&Z5A265<;i2�9�26@y@BÛ�J0;+8>/c;+,0,08B(^ÉK9:*�;i26/)@E2>50/Ç0/1_:2Z;8çö4�J0.0&G269:(�. Uñ [ �el NòU [YÊ V �el È\509�&Z57@>(�_���/1@\2>50/~/)Û3J<;=2>9�(�.

[ � V Ê l U\ñ�N ô/GÉK;+&G26_�� FOó J0&Z5Ú; @B/)Û3J0/1.0&)/c9�@y@>ð=/12>&Z50/)Ç 9:.e�<Ê�J08B/ n F Ò F

3

2

1

Weyl sequence for x,[ n F Ò lú�(�È�Ç0(�ÈO/��<.0Ç×@>JK&Z5Õ;"@B/)Û3J0/1.0&)/ ñ >¹ó§ô /12 Ø �-/j;c�|ÉK/1ÇÕ,-(�@B9:269���/]4�J0.0&12>9�(�.Ú@>J0,0,-(�8S26/)Ç(�. W V Ò Ò Y �ë;=.0Ç7@BJ0&Z572>5<;=2 ¦ � Ø � J N Ò �Æ /]&1(�*�,08>/1@>@y26509:@y4�J0.0&12>9�(�.��09�.0&18>/);+@>9:.0Ê 9:26@y5K/)9�Ê+532)�<;+.0ÇA@>5K9:42y265K/]8B/)@BJ0_:2y2>( Ê �

ñ > [ �el N ÓA ��J Ø¡[ Ó [ � V Ê lBl �

� 50/1. ¦ � ñ > � J NI¦ � Ø � J N Ò;+.0Ç¢ [ � V Ê l ñ > ¢ J NI¦ � � V Ê � J Ó�� Ø�[ Ó [ � V Ê l>l � J ���

N ÒÓ J ¦ � õ�� J � Ø�[ õ l � J � õ ô;+@OÓ Ô§F©� 53J0@ Ê|Ë É [ �el ;=2\_�/);+@B2 FzH (�ȧÈO/c@B50(�ȧ2>5<;=2 ñ > ô ÈO/^;=ð�_�� F%$ .0Ç0/1/)Ç��

� ¦ öñ > ; � N � ¦B÷ 0 � ñ ÷ ø A � >öñ > ; �

¡ [ ¦ � ñ > � J lA ��J [ ¦ ÷ 0 � ñ ÷ ø A � >

� ; � J l A ��J

Page 40: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

&�ô !�päq�rså¡ÞztÒÑ^wÑàKrzÞ !äå¡t\q�}§å¡psÞäæytz È\509:&Z5 ô ;+@Ó Ô ����;�ÈO/)_�_ çªð3.0(�È\.�8B/)@BJ0_:2�(+4�;+.<;+_��|@B9�@ F�� 53J0@)� Ê|Ë ÉXá [ �el F�$ 2�9�@z/^;+@S�26( &1(�.��|9:.0&)/~��(+J08>@B/)_:4¡265<;i2 � 5<;+@\.0(�/)9:Ê�/).��=;+_:J0/)@ FH (�ȧÈO/],08>(���/~265K/`�08>@B2\4�;+&G2 Fz� @>9�.KÊ�,08B(�,-/)8B2>9�/1@y(+4¡2>50/ ��� �0ÈO/]50;��+/

¢ [ � V Ê l ñ > ¢ N ¢ [>[ � V Ê l ñ > l £ ¢ N ¢ [ ¥ V Ê l £ñ > ¢ �� ;+ð+/~4�(�8 £ñ > 2>50/ Æ /G��_U@>/)Û3J0/1.0&)/�&)(�.0@S268BJ0&12>/)Ç';=�e(���/ �£ñ > N ÓA ��J £Ø�[ Ó [ ¥ V Ê l>l

È\9:2>5 ¦ � £Ø � J N Ò �ó (jÈO/c5<;^�+/¢ ñ > ¢ N ¢ £ñ > ¢ N Ò;+.0Ç ¦ ö;eñ > N ¦ ö £; £ñ > ô

4�(�8\;+.�� ;�Ë ��J F%� J08B2>50/)81�¢ [ ¥ V Ê l £ñ > ¢ ôLù ¢ [ � V Ê l ñ > ¢ ô

;+.0ÇÚ@>( ñ > 9:@s; Æ /G��_¡@B/)Û3J0/).K&)/Í4�(�8z�×;+.0Ç Ê F\� 53J0@ É [ � l N ÉXá [ � l N � F�H ( È�_:/12�J0@s@B/)/50(�È ñ > _�(�(�ð3@ F�Æ /~5<;^��/ñ > [ �el N [ m��¡R l � A ��J ¦ � ��� 0 ��� Ó A ��J £Ø�[ Ó [ ¥ V Ê lBlB��¥N ���� 0 � ñ ��� Ó � A ��J Ø�[ �eL Ó l �Æ /�È\9:_�_�;+@B@>J0*�/ Ø d Ò 4�(�8y� � � ¡ Ò L m F�� 50/). ñ > _�(�(�ð3@�_�9�ð=/�;ä,0_�;+.0/©ÈM;��+/ [ È\9:265c;+*�,0_�9�26J0ÇK/Ó � A ��Js;+.0ÇgÈM;��+/c�+/)&12>(�8 Ê l �<&)JK2ä(�o ;=2 Ô ��� Ø¡[ �eL Ó l [ � ñ > ��9:@y@>ð+/G26&Z50/1Ç'9�.Ö�<Ê+J08>/ n F m l F

-n/2 n/2Weyl sequence for p,

1/ n

[ n F m l

Page 41: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Ñ�w�î�w�å¡p�Þ¨àKrzÞ !äå¡t2KRï æOP qsáËæyrzÞztäqsåMæyt & ÒÆ /"8>/1*�;+8Bð 265<;=2c26509:@�4�;+&G2j;+_:@>(Ú4�(�_:_�(�È\@~4�8>(�* 265K/",08>/G��9�(�J0@�(�.0/+��2>(�Ê�/G2650/18�È\9:2>5�,08>(+�sç_�/1* n F n ;+.0Ç�2650/ � (�J08B9�/18M268>;+.0@B4�(+8>* F� 50/c4�(+_�_�(�È\9:.0ÊÍ/GÉ|/18>&)9:@>/�;+@>ð3@�4�(+8E2650/]@>,-/)&G268>JK*®(=4�2ªÈO(�(+4�(�J08\(+265K/)8\4�;��+(�J08B9:26/~(�,-/)8Éç;=2>(�8>@ Fè]éiµëê¡ì�°�í Ãe¸:ú � 8B( �+/Ò F � (�8 Ð � ��� È &)(�.�2>9�.3J0(�J0@1� É [ Ð l N 86;+.0Ê+/ [ Ð lm F É [ V � l N ÉXá [ V � l N W ô Ô lÆ /~.0(�Èã@B50(�ȧ2>5<;=2ä@>/1_:4�ç�;=Ç4/B(�9�.�2M(�,e/186;=2>(�8>@\5<;^�+/c8B/^;+_�@B,e/1&12>8>J0* F

��� °3µëéi°�í Ãe¸�¹Fû¾ãäÆ ` N `�à � Â�Ã<½G¼ É [ ` lüÏ � Åè]éiµ�µD�#�\ó J0,0,-(�@B/ � � [ýÊ l(þN ôKF©� 5K/).7ÈO/]&)(�*�,0JK2>/¢ [ ` V Ê l ñ ¢ J N C6[ ` V Ê l ñ [ ` V Ê l ñ DN ¢ ` ñ ¢ J V m � � [YÊ l C�ñ ` ñ D i�� Ê � J ¢ ñ ¢ J@>(

¢ [ ` V Ê l ñ ¢ J � ¢ ` ñ ¢ J V m � � � [�ñ l � ¢ ñ ¢£¢ ` ñ ¢ i�� Ê � J ¢ ñ ¢ JN [ ¢ ` ñ ¢ V � � � [ýÊ l � ¢ ñ ¢ l J i�� � � [YÊ l � J ¢ ñ ¢ J;+.0Ç¢ [ ` V Ê l ñ ¢ � � � � [YÊ l � ¢ ñ ¢;+.0ÇA@>( Ê þË É [ ` l ���"2>50/ Æ /G�|_U2>50/)(�8B/)* F¤è]éiµ=�©µD�^³´ ³�µe²ÎÃe¸�¹ë¹òÿ�½G ` N `�à Å ã©Æ Ê 3Hé ë ¼ ë fZf k|hjk�¾ ë ÂH3�´i¼ [Y´43¼<Â�´QÆ É [ ` l � Â�Ã<½G¼ ÊxËÉXá [ ` l)Åè]éiµ�µD�#��ó J0,0,-(�@>/ 8 ñ > 9 9:@];A@B/)Û3J0/).K&)/"(+4O/)9:Ê�/).|4�J0.0&12>9�(�.K@~È\9�265õ/)9:Ê�/).��=;+_�JK/)@~&)(�.��+/)8>Ê+9�.0Ê26( Ê F%j �g,K8>(��0_:/)* n F'& �KÈO/�&^;+.A;+@B@>J0*�/�2650/ ñ > ;+8B/�(�8B2>50(�.0(�8B*�;=_ F�� 5K/). � � C�; ñ > D � J ¡¢ ; ¢ J [ � ;+8>@B/1�=;+_�÷ @y8B/)_Ö;i269�(+. l 9:*�,0_:9�/1@ C�; ñ > Dz ô 4�(�8\;+_:_ ; �0@>( ñ > ô ÈM/);+ð3_:�+�ë;+.0Çg2653J0@9:2\9:@\; Æ /G�|_U@B/)Û3J0/1.0&)/�4�(+8 T F¤$ 40265K/O(�,-/)8>;=26(+8 ` 5<;+@�265K/�4�(�8B*I(+40; ó &Z508)�(�Ç09:.0Ê�/)8�(�,-/)8>;=26(�8�(�.c��J��iÈO/M&);+.�@S268B/).0Ê+2>50/).265K/ Æ /G�|_�2>50/)(+8>/)* �3�Ú@>50(�È\9:.0Êg265<;=2~9�2�9�@s/).0(�JKÊ�5õ2>(g&)(�.K@>9�ÇK/)8 Æ /1��_©@>/1Û�JK/).0&1/)@cÈ\5K(�@>/@>JK,0,e(+8B2ä*�(��+/)@\(�o 26( 9:.À�<.09�2ª� F¯g°�±�²�³�´�³�µ-²¶Ãe¸�¹�î 8 ñ > 9�Ï ��J [ ��� l 3Hé ë @>,08B/^;+Ç09:.0Ê�@>/)Û3J0/1.0&)/ Æ�´45 ` ë ¼ À Ê 3 Æ

Page 42: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

& m !�päq�rså¡ÞztÒÑ^wÑàKrzÞ !äå¡t\q�}§å¡psÞäæytz � Å ¢ ñ > ¢ N Ò Æ�´45 ë ¾¾ Ó� Å Æ�´45 ë ¼XyVè!´ik|¼ À ½ À é�½G b�Ï ��� � éGk�[£[ [�ñ > l��Ab N��LÆ�´45 Ó éGk� f 3ù½G¼<Â�¾×y�¾ ë 5�Ø�½ Å ¢ [ ` V Ê l ñ > ¢ ô ë é Ó Ô Å

è]éiµëê¡ì�°�í Ãe¸�¹ ² ó 50(�È�2>5<;=2~;g@>,K8>/^;=Ç09�.0Êg@B/)Û3J0/1.0&)/ 4�(�8 ` � Ê 9�@�;+_�@B(g; Æ /G��_©@>/)Û3J0/1.0&)/4�(�8 ` � Ê F��� °3µëéi°�í Ãe¸�¹�Þ ãäÆ T NÏV � i ÐÒ3Hé ë é�½G¾ Æ ¿Pë�ÀBÁ ´43¼< ��f ÃF5 �´ À 3¼�Ø�½\5�´7[<½\5 ë Â=´45 � Â�Ã<½G¼ÉXá [ T l N 8�Ê � ÂÃ<½\5Z½(3Hé ë é�[D5Z½ ë�À 3¼�Ø6é�½#")kë½G¼ f ½mÆ�´45 ` ë ¼ À Ê 9 �Æ /]@Bð39�,�2650/~,08B(|(+4�(+4¡26509:@E2650/1(�8>/1* [ @B/)/ W ú ó YÖl F

Á ñ�« ² � ��ø^ÿ)��õÁý�ÿ)� ö�ú ý�� � �kþ � �� ü ÿ�ö��4ô�� ����ô���õ�ý�����ú$ .�2>509�@]@>/1&1269:(�.ÕÈO/";=Ç0Ç08>/1@>@�2ªÈO('&1/).�268>;+_O9:@>@BJ0/)@ F|� 9:8>@S26_:�+��ÈO/�ÈM;+.�2�2>(Úð3.0(�Èû4�(�8~È\509�&Z5,-(+26/1.32>9Ö;+_:@)� Ð �¡ÈO/�&);+.�&1(�.0&)_:J0Ç0/�265<;=2]265K/ ó &Z508)�(�Ç09:.0Ê�/)8c(�,-/)86;i26(�8 T N V ���J�� � i Ð 9:@@>/1_:4�çª;+Ç4/B(�9:.32 F Ô @�ÈO/�@6;^Èã9:. ï 5<;=,K26/18 � �-(�.0_��"È\50/1. T 9:@ä@B/)_�4�ç�;+Ç4/B(+9�.�2\Ç0(�ÈO/�ð3.0(�Èã2>5<;=2265K/]Û3J<;=.32>J0* ÇK��.<;=*�9:&)@y/GÉ|9:@B2 FOó /1&)(�.KÇ0_:�+�0ÈM/�È\9�@B5A2>( Ç0/)@B&)8>9:�e/�2>50/�@>,-/)&G268>JK*ò(+4 T F Ô @ÈO/c@B5<;+_�_�@>/)/]9�."2>50/~.0/GÉ�2�@>/1&1269:(�.��<ð3.0(�È\_�/1Ç0Ê�/~(+4 É [ T l Ê�9:�+/)@äJ0@\9�*�,e(�8S2Z;+.�2M9�.K4�(�8B*�;i269�(+.;+�-(�JK2�2>50/ .<;=2>J08>/j(+4z2>50/j@>(�_:JK269:(�.0@�(=4 ó &Z508��(�ÇK9�.0Ê�/18)÷X@~/)Û3J<;=2>9�(�. [ ;+.0Ç×50/).K&)/+�¡;+�-(�JK2�2>50//1�+(�_�J|269�(+.A(=4�,05���@>9:&^;+_U@S2Z;=2>/)@ l Fø J08 �0@B2�8B/)@BJ0_:2�&)(���/18>@�f ´i¼)Ûz¼X3¼�Ø ,-(+26/1.32>9Ö;+_:@@çM2>5<;=2�9�@)�ë,-(+26/1.�269Ö;=_�@EÈ\509:&Z5'9�.0&18>/);+@>/]26(9�. �<.09:2ª��È\9:2>5 � F��� °3µëéi°�í Ãe¸�¹|¶ ÿ�½GÂ�Ð [ �el � ô ë ¼ À Ð [ �el Ô ë é � � � Ô Å Ä�Ã<½G¼� Å T N�V � i ÐÒ3Hé¨é�½G¾ Æ ¿Pë�ÀBÁ ´43¼<Âk´i¼ � J [ ��Ä l� Å É [ T l f ´i¼$é\3HéGÂ�é6´QÆ`3HéD´i¾ ë ª½ À ½\3�Ø�½G¼ ê�ë ¾Îk<½�é 8�Ê > 9�� A Õ�3ÂÃ Ê > Ô ë é Ó Ô Åè]éiµ�µD�#�Í� 50/ ,08>(�(+4O(+4�@>/1_:4�ç�;=Ç4/B(�9�.�2>.0/)@B@]9:@s4�;+9:8>_:�A26/1&Z50.09:&^;+_���;+.0Çõ&^;+.×�-/ 4�(+J0.0Ç×9�. W ú ó Y �4�(�8\/GÉK;+*�,0_:/ FM� (�,K8>(���/]2650/]@>/1&)(�.0ÇÚ,<;+8B2)�ë@>J0,0,-(�@B/ Ê 9�@\9:.A2>50/c&1(�.�269:.�JK(�J0@s@B,e/1&12>8>J0* (+4T �<;=.0Ç7_:/12 8 ñ > 9 �e/];j&)(+8>8>/1@>,-(�.0Ç09:.0Ê�@>,08B/^;+Ç09:.0Ê @>/1Û�JK/).0&1/ FE� 50/1.ô�� C�ñ > [ T V Ê l ñ > D�N C�ñ > V

� ñ > D i C�ñ > Ð ñ > D�V ÊN§¦ � � ñ > � J i ¦ Ð � ñ > � J V Ê � 9�.|4��� @BJ0,0,�� ����� Ð [ õ l V Ê Ô

Page 43: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Ñ�w �KwÓqsrzr�}Uß\!�qså�ßGæyá�à�åMæIà�!�p�t"!æ^M�ß�áÍâ\Þztûæyr�Þzt\qsåMæytsà &£�[ �-/)&);+J0@B/ 8 ñ > 9 9:@¡@B,08>/);+Ç09�.KÊ l � È\509�&Z5�9�@�;�&1(�.�2686;=Ç09�&G269�(+. F�� 5�JK@�2650/�&)(+.32>9�.3J0(�JK@�@>,-/)&G268BJ0*9�@]/)*�,K2ª� F�� J08B2>50/)81��265K/)8>/�*ÍJ0@B2��e/�/)9:Ê�/).��=;+_�JK/)@c2>/).0ÇK9�.0ÊA26( i Ô (�8c/)_:@>/ T ÈM(+J0_�Ç��-/�-(�J0.0Ç0/1Ç�4�8B(�* ;+�-(���/ [ ÈM/ä&)_:/^;+8B_:�j50;��+/ T � ô ��;+.0Ç�(�,-/)8>;=26(�8B@�È\9�265��e(+J0.0Ç0/1Ç�@>,-/)&G268BJ0*;+8B/]�-(�J0.KÇ0/)Ç l F%$ 2\9�@\/^;+@S�"26( @B50(�ÈI265<;i2 T 9:@\.0(+2\�-(�J0.0Ç0/1Ç Få¤ø J08\.0/GÉ�2\2650/1(�8>/1*ò&)(���/18>@\2650/~&);+@>/~È\50/).�265K/],-(+2>/).�269�;+_�26/1.0Ç0@\26(4î)/18>(�;=2\9�. �<.09:2ª� F��� °3µëéi°�í Ãe¸�¹ � ÿ�½GÂ�Ð èG½ f ´i¼<ÂH3¼<kp´ikmé � Õ�3ÂÃ�Ð [ �el ô ë é � � � Ô Å Ä�Ã<½G¼� Å T N�V � i ÐÒ3Hé¨é�½G¾ Æ ¿Pë�ÀBÁ ´43¼<Â� Å ÉXá [ T l N W ô Ô l Ì�éD´ T f ë ¼Óà ëLê ½>´i¼<¾×yõ¼�½ùØ ë ÂY3 ê ½ 3HéD´i¾ ë ª½ À ½\3�Ø�½G¼ ê�ë ¾Îk<½�é � [Y´Dé�é\3�è)¾×yë fZf k�hjk|¾ ë ÂH3¼�Ø ë ¡ô4Í Åè]éiµ�µD�#� Ô Ê�;+9�.��34�(�8M;Í,08>(�(+4U@B/)_:4�çª;+Ç4/B(�9:.�26.0/1@>@)��ÈM/�8B/14�/18M2650/s8>/^;=Ç0/)8M2>( W ú ó Y �K4�(�8O/GÉK;+*�,0_�/ FÆ /],K8>(���/~2650/~@B/)&)(+.0ÇÚ,<;=8B2 F�Æ /~5<;^��/=�-���"2>50/�268B9Ö;+.0Ê+_�/�9:.0/)Û3J<;+_:9:2ª�+�

¢ [ T V Ê l ñ > ¢ V ¢ Ð ñ > ¢ ¡ ¢ [ V � V Ê l ñ > ¢ ¡ ¢ [ T V Ê l ñ > ¢ i ¢ Ð ñ > ¢ �ó J0,K,e(�@B/ 8 ñ > 9 9�@�;�@>,08B/^;+Ç09:.0Ê�@B/)Û3J0/).K&)/ Fz� 50/1.j2650/M2>/)8B* ¢ Ð ñ > ¢ Ê�(�/)@�26(¨î1/)8>(~;=@RÓ Ô�-/)&^;=J0@>/ Ð Ê+(|/1@\2>(Vî1/)8B(�;=2ä9:.À�<.09�2ª�g;+.0Ç 8 ñ > 9 9:@\@>,08B/^;+Ç09:.0Ê FMó ( Ê 9�@\9�.g2>50/c&1(�.�269:.�JK(�J0@@>,-/)&G268BJ0* (+4 T 9:o Ê|Ë &)(�.�26@B,e/1& [ V � l FzÆ /�5<;^��/ [ @>/)/~,08B(��0_:/)* n F ç l &)(�.�2>@>,-/)& [ V � l NW ô Ô l F¤Æ / &1(�.0&1_�J0Ç0/726509:@"@>/1&1269:(�.·È\9:2>5»;�&Z5<;+8>;+&12>/)8>9_î^;=2>9�(�.Ñ(+4~2650/'&1(�.�269:.�JK(�J0@g@>,-/)&G268BJ0*(+4O; ó &Z508)�(�Ç09�.KÊ�/)8�(�,-/)8>;=26(+8�9�.×;g*�;+.0.0/18�@>9:*�9:_Ö;+8\26("2>50/ &Z5<;+86;=&126/18>9_î^;=2>9�(�.'(=4O2>50/j,e(+9�.�2@>,-/)&G268BJ0* ;+@ä;j@>/12ä(+4¡/)9:Ê�/).��=;+_:J0/)@ F��� °3µëéi°�í Ãe¸�¹�Ãx��#I� � ²�µ-ì%$&#�³�íÕµe²m� ��´45 ë ��f ÃF5 �´ À 3¼�Ø�½\5�´7[<½\5 ë Â=´45 � T � Õ�3Â�Ã7è!´ik|¼ À ½ À [Y´ ¿Âª½G¼<ÂY3 ë ¾ �

É [ T l N f ¾H´DéGkF56½ 8�Ê � [ T V Ê l ñ N ô Æ�´45 ñ [Y´i¾×yi¼Ó´ih23 ë ¾¾×yVè!´ik|¼ À ½ À 9 �ó (jÈO/c@B/)/~265<;=2y2>50/~&)(�.�2>9�.3J0(�J0@\@B,e/1&1268BJ0* ;+_:@>(�;+8>9:@>/1@\4�8B(�*¢@B(�_�J|269�(+.0@y(+4�2650/~/)9:Ê�/).��=;+_:J0//)Û3J<;i269�(+.��0�0JK2\2>50/)@B/c@B(�_�JK2>9�(�.K@y*�;^�".K(+2\_�9���/�9�.g2>50/~@>,<;+&1/���J [ � Ä l Fècé µ�µ=�­�ÓÆ / ,08B(���/õ(�.0_:��2650;=2�8 F 5 F @ Ï _ F 5 F @ F �s;+.0Ç»8>/G4�/)8g265K/ 8>/^;=Ç0/)8g26( W ó Y 4�(�8�;&)(+*�,0_:/12>/Í,08>(�(+4 F ô /G2 ñ �-/ ;�,-(�_��|.K(�*�9�;+_�_��g�-(�J0.0Ç0/1ÇÕ@B(�_�J|269�(+.'(+4 [ T V Ê l ñ N ôKF ô /12')( �-/�2>50/Í�-(�ÉÚ(+4z@B9�Ç0/¼çª_�/1.0Ê+2>5 m�* &)/).�2>8>/)Çõ;=2�2650/�(�8>9:Ê�9�. F ô /12\! ( 5<;^��/j@>JK,0,e(+8B2�9:. ')(,+ AÈ\9:2>5�! ( d Ò (+. ')( � ôc¡ ! ( ¡ Ò �ë;=.0Ç7@BJ0, ( � 0 � C.-0 ! ( [ �el ��� Ô§FMø JK8ä&);+.0Ç09:Ç<;=2>/~4�(+8\; Æ /1��_@>/1Û3J0/).0&1/�9:@ / ( d ! ( ñ

¢ ! ( ñ ¢ �

Page 44: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

&¹& !�päq�rså¡ÞztÒÑ^wÑàKrzÞ !äå¡t\q�}§å¡psÞäæytz H (=26/�265<;i2 ¢ / ( ¢ N Ò ;+.0ÇA9:4 ñ þË ��J��K265K/). [ @>9:.0&)/ ¢ ! ( ñ ¢ Ô l

¦�÷ 0 ÷ 021 � / ( � J ô;+@ * Ô 4�(�8\;=_�_ �ÍF©Æ /~@>50(�ȧ2>5<;=2

[ T V Ê l / ( ôK�ô /1243 [ * l N �6587�� ñ � J ��*�(�.0(=26(�.09:&^;+_:_:�s9�.0&18>/^;=@>9�.KÊ F¡Æ /E&)_�;+9�*ã2>50/)8B/y9�@�;�@BJ0�0@B/)Û3J0/).K&)/ 8 * > 9@>JK&Z572650;=2 3 [ * > i m l3 [ * > V Ò l Ò �$ 4�.K(+2^�K2>50/).�265K/)8>/]9�@:9 � Ò ;+.0Ç * � � ô @>J0&Z5A265<;=23 [ * i � l � 9;3 [ * l4�(�8�;+_:_ * � * � F�� 53J0@)3 [ * � i � ¥Kl^� 9 � 3 [ * � l ;+.0Ç�@B(<3 [ * lå� &)(�.K@B2>= ( È\9�265?= N 9 A � Ä � Ò Fj JK2>3 [ * l ¡ ' *�@ 4�(�8y@B(�*�/�A [ �3�g;+@>@BJ0*�,|269�(+. l �<;j&1(�.�2686;=Ç09�&G269�(+. FzH (�È~�

[ T V Ê l ! ( ñ N ! ( [ T V Ê l ñ i W V � ! ( Y ñN [ V � ! ( l ñ V m�� ! ( � � ñ �

ó 9:.0&)/ ¢ � > ! ( ¢ � 9�@yJK.09:4�(�8B*�_����e(�JK.0Ç0/)Ç��¢ [ T V Ê l ! ( ñ ¢ ¡ ' ¦ 5 7CB � � 587 [ � ñ � J iã� � ñ � J l ¡ ' ¦ 5 7CB � � 587 � ñ � J �

ó (¢ [ T V Ê l / ( ¢ ¡ ' 3 [ * i m l V 3 [ * V Ò l3 [ * l

¡ ' [ 3 [ * i m l3 [ * V Ò l V Ò l;+.0ÇA@>( ¢ [ T V Ê l / ( � ¢ ôKFå¤

Page 45: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Ñ�wÝÜ�w·à|r�Þ !äå¡t2K�ï q�ázM�Þ�{�æy} Kyå�ßGæyá & �Á ñZý ���§ô(��ý���ù�ÿ õ�ö�ü ô÷�� ø�ù¿ý©ÿ1�Vö$ .�2>509�@¡@>/)&G269:(�.�ÈO/y/GÉ|,0_Ö;=9�.�5K( È?2>50/M@B,e/1&1268BJ0* (=4ë; ó &Z508)�(�Ç09:.0Ê�/)8¡(�,-/)86;i26(�8¡Ê�9:�+/)@�JK@�J0@>/G4�J0_9�.|4�(�8>*�;=269:(�.7;+�e(+JK2�265K/Í@>(�_:JK269:(�.0@�(+4z2650/ ó &Z508��(�ÇK9�.0Ê�/18�/)Û3J<;=2>9�(�. F~Æ /Í�-/)Ê�9:.'È\9:2>5'@>(�*�/@>9:*�,K_�/�.0(=269�(+.0@ F¯g°�±�²�³�´�³�µ-²¶Ãe¸�¹Fíãº�éGk$è!é�[ ë f ½>D Ï ��J 3Hé 9:.3�=;+8B9Ö;+.�2 k|¼ À ½\5 ë ¼§´7[<½\5 ë Â=´45 ` 3 Æ ` / Ë DÕ�Ã<½G¼�½ ê ½\5 / Ë D Åè]éiµëê¡ì�°�í Ãe¸�¹Fú ó 5K( ȧ265<;=2Ò F\� 50/~@B,<;+.Ú(=4¡2>50/~/)9�Ê+/).K4�J0.K&1269:(�.0@y(+4 ` 9�@y9:.3�=;+8B9Ö;+.�2yJK.0Ç0/)8 `m F � (�8 ` @S�|*�*�/1268B9�&=�09:4 D 9:@y9�.��=;+8>9�;+.�2yJ0.0Ç0/18 ` �0265K/).A@>(�9�@DFE d 8 ñÎË � J � C�ñ / D©N ôHG / Ë D 9

$ 4©ÈO/j8>/)@S268B9�&12�;"@>/1_:4�ç�;=Ç4/B(�9�.�2ä(�,-/)8>;=26(�8 ` 26(�2650/Í9:.��+;=8>9Ö;=.32�@>JK�0@>,<;=&)/j(�8S2650(�Ê+(�.<;+_�26(�2>50/@>,0;+. (+4e;+_�_�9:2>@�/)9:Ê�/).K4�JK.0&12>9�(�.0@1��2650/ Æ /1��_K2>50/)(+8>/)* [ ,0_:J0@�@B(�*�/\;=�0@B2>86;+&G2©@>,-/)&G2686;=_02650/1(�8B� l9�*�,0_���2>5<;=2 ` �JI @B,<;+.7(+4�/19�Ê�/1.K4�J0.0&G269:(�.0@y(+4 Ô K�L5<;+@ä;j,0J08B/)_��g&)(�.�2>9�.3J0(�J0@\@B,e/1&1268BJ0* FH (�È ÈM/'È\9:_�_\@>/1/'50(�È 2650/Ú@>,-/)&12>8>J0* (+4]; ó &Z508��(�ÇK9�.0Ê�/18"(�,-/)8>;=26(�81� T �yÊ�9���/)@�J0@g;@>,0;+&)/¼çö269:*�/�&Z5<;+8>;+&12>/)8>9_î^;=2>9�(�.�(+4y2650/�Û�J0;+.�26J0* *�/1&Z5<;+.09:&^;+_O/1��(+_�JK2>9�(�.�� ñ N � �� ��#���� ñ�� FÆ /c;=@>@>JK*�/];+_:_�4�J0.0&G269�(+.0@y�e/1_�(�ȧ;+8>/~.0(�8B*�;=_�9Hî1/)Ç Fó J0,0,-(�@B/e�<8>@S2Í265<;i2 ñR� ˾8 @B,<;+.A(+4¡/)9�Ê+/).K4�J0.K&1269:(�.0@\(+4 T 9 FÚ� 50/1.�4�(�8Í;=.3�NM � ô �265K/)8>/~9:@\;+. � @>JK&Z572650;=2 9�.K4# ¦ ÷ 0 ÷ ø21 � ñ � J � Ò V M �� (�@B/)/�26509:@)�<.0(=26/�2650;=2ä9:4 T ñR� N Ê<ñR� �K2>50/). � �PO QSRT ñ�� N � �PO U,RT ñR� �0;+.0ÇA@>(

¦ ÷ 0 ÷ V21 � ñ � J N ¦ ÷ 0 ÷ V21 � ñ�� � J ô;+@ � Ô§F�ó J0&Z5Õ; ñ 9:@�&^;+_:_�/1Ç ; è!´ik|¼ À éG ë ª½ ��;+@�9�2�8>/1*�;+9:.0@s/1@>@B/).�269�;+_�_��'_�(�&^;=_�9Hî1/)Ç79�.@>,0;+&)/~4�(�8\;+_:_e269:*�/ Fzø .A2>50/~(+265K/)8\5<;+.0Ç��<9:4

ñR� Ë�8 @>,<;+.A(+4¡/)9:Ê�/).K4�JK.0&12>9�(�.0@y(=4 T 9 E

Page 46: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

&£¸ !�päq�rså¡ÞztÒÑ^wÑàKrzÞ !äå¡t\q�}§å¡psÞäæytz 265K/).�4�(�8\;+_�_ � � ¦�÷ 0 ÷ ø21 � ñ � J ô;+@�� Ô§FÏó 268>9:&12>_:��@>,-/^;+ð39:.0Ê0�y26509:@"&)(+.3�+/)8BÊ�/).0&1/×9�@"9:.Ñ2650/Ú@>/).K@>/ (+4 ½\5�Ø�´ À 3 f h�½ ë ¼ �;�[ � l ô 9�.�/)8BÊ�(�Ç09�&�*�/^;+.A;+@y� Ô *�/);+.0@

ÒW ¦YX� ;�[ � lS� � ô;+@ W� Ô§Fc� 509:@�8>/1@>J0_�2~9�@�&);+_�_:/)ÇÚ2>50/[Z k<½G¾¾�½jÂÃ<½�´456½Gh [ @>/1/+��/)ÊK� W ï �]\có Y 4�(�8�;",08B(|(=4 l Fó J0&Z5';�@S2Z;=2>/+� ñ �ë9�@ä&^;=_�_�/1ÇA; é f ë Â�Â�½\5Z3¼�Ø éG ë Â�½ �e;+@ä9:2ä/1�+/).�26J<;=_�_:��_:/^;^��/1@�;+.��Ö�KÉ|/1Ç'�<;+_:_U9�.@>,0;+&)/ FÆ /�&)(�.K&)_�JKÇ0/�2>5<;=2]2650/�&)_Ö;=@>@>9��<&^;i269�(+.Õ(+4M2650/�@>,-/)&12>8>J0* 9�.�2>(7,-(�9�.�2�;+.0Ç�&1(�.�269:.�JK(�J0@,<;+8S26@~&)(+8>8>/1@>,-(�.0Ç0@]26(A;�&)_Ö;=@>@>9��<&^;i269�(+.õ(=4O2>50/ ÇK��.<;+*�9�&)@~9:.32>(7_:(|&);+_�9_î)/1Ç [ �-(�J0.0Ç l @S2Z;=2>/)@;+.0ÇA_�(�&^;=_�_:�mçöÇ0/)&);���9:.0Ê [ @B&^;=2B26/18>9�.KÊ l @B26;=26/1@ F

Page 47: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Õ Ö ×ÙØ Ú§ÛÝÜ ^» Ø Û¼t�u¤×�ã t ×�á�Ûäá

$ .�2>509�@]&Z5<;+,K2>/)8�ÈO/�È\9:_�_©@>(+_:��/�2650/ ó &Z508)�(�Ç09�.KÊ�/)8c/)9�Ê+/).��=;+_�J0/�/)Û3J<;i269�(+.�9�.�;A4�/1Èû@B,e/1&)9�;+_&^;=@>/)@ [ 9�/+�y4�(�8"; 4�/GÈ ,0;+8B2>9�&)JK_Ö;+8�,e(+2>/).�269�;+_�@ l �EÈ\509:&Z5 .K(+2g(�.0_��Ñ9:_�_:J0@B2>86;=2>/7@B(�*�/ (=4]2>50/Ê�/1.0/)8>;+_ë;+8>Ê+J0*�/1.�26@©,08B/)@>/1.�26/)Ç";+�e(��+/+�3�0JK2)��9:.Í4�;+&12)��4�(�8>*v;~�0;+@>9:@�4�(�8©(�J08©9:.32>J09:2>9�(�.Í;+�e(+JK2Û3J<;+.�26JK*ò�e/15<;^�|9:(�J08 F_�ñDò ~�þ>ô ÿ�ö|¦�ö ÿ�ý­ô `�ô¨øaøô /12 D �-/�2650/~�-(^É W ô � Y Ä Ï ��Ä FzÆ /�2Z;+ð=/

Ð [ �el Nba ô � Ë DÔ �ðþË D;+@\(�J08y,-(+2>/).�269�;+_ F�� 5K9�@\*�/);+.0@E2>5<;=2\ÈM/~9:*�,-(�@>/ l 9:8>9:&Z50_�/G2E�-(�J0.0Ç<;=8B�g&1(�.0Ç09�269�(+.0@

ñ � cd N§ô [ o F Ò l(�.g265K/~ÈM;^��/]4�J0.0&12>9�(�. F�$ 2�9:@\;j@>9�*�,0_:/�*�;i2>26/18E26( @>(+_:��/�2>50/~/)9�Ê+/).��=;+_�J0/�/1Û3J<;=269:(�.V R Jm �

� ñ N�e ñ [ o F m l9�. D È\9:265]2650/M�e(�JK.0Ç<;+8S�c&1(�.0Ç09�269:(�. [ o F Ò l �+JK@>9�.KÊ�265K/E*�/G2650(�Ç�(=4ë@>/),0;+86;=2>9�(�.c(+40�=;+8B9Ö;+�0_:/)@ Fl (�9:.0Êj@>(0�0ÈO/~(��K26;+9�.�/)9:Ê�/).��=;+_:J0/)@ [ /).0/18>Ê+��_:/1��/1_�@ l

e > N R JgfIJm � � J Ä? �#@BA Ó J�& n

Page 48: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

& o !�p�qsrså¡Þ�tih�wÑàKrzÞ !�ߪq�}¶!�q�à|ÞOàÈ\9:2>5�&)(�8B8>/)@B,e(+.0Ç09�.KÊ�/19�Ê�/1.K4�J0.0&G269�(+.0@ [ �-(�J0.0ÇA@B26;=26/1@ l

ñ > NÄj�#@BA @B9�. [ fIÓ �6���� l

4�(�8�/^;+&Z5¨9:.�26/)Ê+/)8�2>8>9:,0_�/ Ó N [ Ó A� Ó J Ó Ä l �^Ó �ð� Ò F Æ /7@>/1/Ú265<;i2�265K/'/)9:Ê�/).��=;+_�JK/ e >;+,0,-/^;=8>@jÈ\9:2>5�ÇK/)Ê�/1.0/)8>;+&1��/)Û3J<;=_E26(»� 8£8 � �)9 � � � J� N � ÓBJ� 9 � F�Æ /A8B/)*�;+8>ðõ265<;i2�2>50/Ê�8B(�J0.0Çsçö@B26;=26/ [ _:(�ÈM/1@B2 l /1.0/)8BÊ+� e � A�� A�� A � 9:@y.0(�.sçöÇ0/)Ê�/1.0/)8>;=26/ Fè]éiµëê¡ì�°�í í�¸�¹ l /12>/)8B*�9:.0/ä2>50/s@B,e/1&12>86;�(+4�2650/�(�,e/186;=2>(�8>@ � ;+.0Ç]�g(�.�2>50/s@B,<;+&1/���J [ D l[ È\9�265�î)/18>(��e(+J0.0Ç<;+8S�g&)(+.0Ç09:2>9�(�.K@ l F_�ñ�« ~�þ>ô ý�����ù�úH (�È�ÈM/y&1(�.0@B9�Ç0/18z;s,<;+8S269�&1_�/O(�. ;s26(�8BJ0@ W»N �OÄ L�k Ä F¡� 509�@�&)(�8B8>/)@B,e(+.0Ç0@©26(�26;+ð39�.0Ê Ð d ô9�.�265K/c&1J0�e/ D �<�0JK2ä26509:@y269�*�/�È\9:2>57,-/)8B9�(�Ç09�&��-(�J0.0Ç0;+8B��&1(�.0Ç09�269�(+.0@ F�� 5<;=2�9�@1�0ÈM/c@>(�_���/265K/]/19�Ê�/1.��+;=_�J0/�/1Û�J0;=269:(�. [ o F m l È\9:2>57�-(�J0.KÇ<;+8B�"&)(�.0ÇK9:269:(�.0@

ñ�[ �el � 0ml @ � N ñ�[ �el � 0ml @onC ñ L C �qp � 0ml @ � N C ñ L C �qp � 0ml @on

4�(�8\;+_:_<! �¥ F©� 5K9�@\_�/);+Ç0@E26( [ @B/),<;=86;=2>9�(�.�(+4��=;+8>9�;+�0_�/1@y;+Ê�;=9�. l /19�Ê�/1.K4�J0.0&G269:(�.0@ñ > [ �el N

Äj�#@BA a @B9�. [ J�r > lQ0mln l&1(�@ [ J�r > l�0mln ltsÈ\9:2>5�/)9�Ê+/).��=;+_�J0/1@ e > N m f J R J� � J Ä? A Ó J�[ Ê+8>/^;i26/)8\@B,<;+&)9:.0Êj265<;=.A4�(�8E2>50/~9�.À�0.09:2>/sÈM/1_�_��0�0JK2\È\9:2>5�509�Ê�5K/)8yÇ0/1Ê�/).0/186;+&G� l Fè]éiµëê¡ì�°�í í�¸:î l /G26/)8B*�9:.0/j2650/�@>,-/)&G268>;7(+4O2650/�(�,-/)86;i26(�8B@ � ;+.0Ç7�õ4�(�8�265K9�@~@>,<;=&)/ [ 9�/=�� J [ D l È\9:2>5�,e/18>9�(�Ç09:&��e(+J0.0Ç<;+8S�g&)(+.0Ç09:2>9�(�.K@ l F

Page 49: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

h�wÝÜ�wÓq�räæcå¡Þzá å�ߪqs}ÓàUå¡Þ�r & ç_�ñZý ² �Õ�4ý¤ô¨ö�ý©ÿaõ�ø�ú�ý¤ô��ú�/18>/�ÈO/]26;+ð+/�265K/](+.0/!çöÇ09�*�/).0@B9�(�.0;+_�,-(+26/1.�269Ö;=_

Ð [ �el Nua Ð � � ô � � ôô � ¡»ôK�ó (�_���9�.0Ê 265K/A/19�Ê�/1.��+;=_�J0/�,08B(��0_�/1* @>/1,<;+8>;=26/1_:� 9:.�2>50/g2ªÈM(ÕÇ09:oe/)8B/).�2�8>/)Ê+9�(�.0@ Ê�9���/1@�J0@�;Ê�/1.0/)8>;+_U@>(�_:JK269:(�.g(+4�2650/�4�(�8B*ñ Nwv ` � p � 0 i b�� �� p � 0 � � ô [ �x� p ��J�� Nye l' � p � 0 i{z � �� p � 0 � � ô [ � � p � �J�� N�eIV Ð � l �

� 50/18>/�;+8>/�.0(��e(�JK.0Ç @B26;=26/1@)���0JK2�ÈO/j&^;+.×@>;��Ú@>(�*�/12>509�.KÊ�;+�e(+JK2�265K/j@>&^;i2>26/18>9:.0Êg@B26;=26/1@ Fó J0,K,e(�@B/ e � Ð � ��;+.KÇ'2Z;+ð=/ ¥ A N Q�| È\50/)8B/ | N~} [ m � L R J l [ Ð � V�e l � ôKF�� 50/1. 4�(�8;��-(�J0.0ÇK/)Ç @>(+_�JK2>9�(�.��ëÈO/Í8>/1Û�JK9�8>/<z NÏôKF�$ *�,e(+@>9�.KÊ�265K/Í&)(�.KÇ09:2>9�(�.A265<;=2 ñ �-/ ' A ;=2 ô �2650;=2\9�@ ñ � � � N ñ � � + C ñ L C � � � � N C ñ L C � � � +_�/);+Ç0@E2>(�2>50/~/)Û3J<;=2>9�(�.0@` i b N ' Q ¥ �i[ ` V bjl N�V | 'Ô 42>/)8\*�;+.09�,KJ0_Ö;=2>9�(�.K@)��ÈM/`�<.0Ç�2650;=2

� d b` N ¥ � V Q�|¥ � i Q�|[ � 9:@s&);+_�_:/)Ç72>50/ 56½��\½ f ÂY3�´i¼ f ´�½�� f 3ù½G¼< l �e(�81��*�;+ð39�.0Ê�2650/cÇ0/),-/).KÇ0/).0&1/ (�.Ú265K/Í/).0/18>Ê+� e/GÉ|,0_:9�&19:2^�

� [ e l N�� eIV Q � Ð � V�e� e i Q � Ð � V�e �ó 9:*�9:_Ö;+8B_:���39�4 e � Ð � �KÈO/](��K2Z;=9�.

� [ e l N � eIV � eIV�Ð �� e i � eIV�Ð � �$ .A,<;+8B2>9�&1J0_Ö;+81�K9�4 eIV�Ð � �]� Ò �0265K/).� [ e l4� Ò V mq� eIV�Ð �e;+.0Ç";+_�*�(�@B2O;+_:_<(+4U265K/�ÈM;��+/�9�@O8>/�</)&G26/)Ç F�� 5K9�@M9:@O9:.�@B,09:2>/�(+4U2>50/�4�;=&12�265<;=2O2650/�/).0/18>Ê+��(+4265K/c,<;=8B269:&)_:/�9�@ä;+�-( �+/]2>50/]�<;+8>8B9�/18 F$ .Ú&)_�;+@>@B9�&);+_U*�/1&Z5<;+.09:&)@1�ë2>50/],<;+8B2>9�&1_�/�ÈO(�J0_�ÇA.0(+2ä4�/)/1_265K/]�0;+8>8B9�/)8\;i2ä;+_�_ F

Page 50: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

� ô !�p�qsrså¡Þ�tih�wÑàKrzÞ !�ߪq�}¶!�q�à|ÞOà_�ñ+* ~�þ>ô ú��'ù>õÍ�-ô `�ô¨ø�øH (�È ÈM/]&)(�.K@>9�ÇK/)8ä;j,e(+2>/).�269�;+_�ÈO/)_:_U(+4��0.09:2>/�Ç0/),K2>5 Ð � �<;+.KÇAÈ\9:ÇK265�9 [ @>/)/`�<Ê�JK8>/ o F�� l F

x

V(x)

the finite well

-a/2 a/2

-V [ o F�� l� 50/gÇ0/G26/18>*�9�.<;=2>9�(�.Õ(+4\2650/g,-(�9:.32Í;+.0Ç &1(�.�269�.3J0(+J0@j@>,-/)&G2686; 9:@Í@B2>86;+9:Ê�5�2>4�(�8SÈE;+8BÇ��©;+.KÇ�9:@_�/G42ä;+@\;+.A/GÉ|/)8B&)9:@>/ Fè]éiµëê¡ì�°�í í�¸ ² ó 50(�ÈÒ F:� á [ T l N W ô Ô lm F:� Ú [ T lüÏ [ VsÐ � ô l�KF 2>50/~/)Û3J<;=2>9�(�.0@y4�(�8E2>50/~/)9:Ê�/).��=;+_�JK/)@\;+8B/ [ V�Ð � ¡�e�¡»ô l¥ 2Z;+. [ 9 ¥0L m l N | ¥ &1(+2 [ 9 ¥0L m l N�V |È\50/18>/ | N � V m � eR J ¥ N � m � [ eIV�Ð � lR JÆ /j.K( È @B2>J0ÇK�Ú2>50/j@>&);=2>2>/)8B9�.0Ê�@B26;=26/1@�9�. *�(�8>/�Ç0/126;+9�_ FL$ 4�4�(�8 e � ô ÈO/ÍÈ\8>9�26/ ñ 9�.265K/~4�(+8>* ñ 9�.0& N ` ���� p&� 0 ��� � � V 9 L m;+.0Ç ñ 2>86;+.K@ N ` W [ e l ���� p � 0 �;� � ��� � � 9 L m[ W [ e l 9�@E2>50/ ÂY5g�+¼S�Gh23����\3�´i¼ f ´�½�� f 3ù½G¼< l 265K/).

W [ e l N &1(�@ [ ö¥ 9 L R l V Q ¥ ö¥ @B9�. [ ö¥ 9 L R l

Page 51: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

h�wÎu3w�å¡p�Þ·p�qst°ï�æ\áäß\!Iæ\à�!�ß�}�}UqsåMæ\t � ÒÈ\50/18>/ ö¥ N } m � [ e�V Ð � l ;+.KÇ ¥ N � m � e��� 509:@ä9:*�,K_�9�/1@ � W [ e l � J N &1(�@ J [ ö¥ 9 L R l i eÐ � i e @B9�. J [ ö¥ 9 L R lÈ\509:&Z579:@y@>ð+/G26&Z50/1Ç 9�.e�<Ê+J08>/ o F'&0F

transmission coefficientE

1

|T|

[ o F'& lÆ /]@B/)/~265<;i2ä;=2y2650/~/1.0/)8BÊ�9�/1@ä@>;=269:@B4��9�.KÊ�@B9�. [��p �� l N§ô �09 F / F

eÏNÏVsÐ � i Ó J f J R Jm � 9 � ôS� Ó N Ò �7�S�^�^�)�� W [ e l � J�5<;=@�*�;iÉ|9�*�; [�� W [ e l � J N Ò l È\509�&Z5�;+8>/�&^;+_:_�/1Ç 56½��D´i¼��+¼ f ½��GFg� 50/�&)(�8B8>/)@B,e(+.0Ç2�9�.KÊA�=;+_:J0/)@](+4 e ;+8B/�2>50/ 56½��D´i¼��+¼ f ½g½G¼�½\5�Ø�3ù½��GF�Æ /�8>/)*�;+8Bð'265<;=2]4�(�8~_Ö;=8>Ê�/hÓ?2650/1@>/";=8>/;+,0,K8>(^É|9�*�;=26/1_:��/)Û3J<;+_U26(j2>50/~/).0/18>Ê+�g_:/1�+/)_�@\(+4�265K/]9:.À�<.09�26/�ÈO/)_:_U(+4¡2>50/~@6;+*�/�È\9�Ç|265 F_���� ~�� � � ¡<¢4£ ¤¦¥ ÿ)�§¤¦¨m��ÿ�©ª©�¡�«]¤¦¢�­¬o®jÃS��5�h+´i¼X3 f ´�� f 3¾¾¯�+Â=´45 ús;�°?±:_³²x´¶µo±%·¶µ?±�¸

¹»º½¼¿¾ JÀ�ÁY i ÒÀ Á[à J � ÄÅ� JªÆÆÇ® È:±³È�Èɸg´8È³Ê ® ² ¬o®�® ±�Ê ® µËÊ�·¶È�Ì ®�ÍoÎ ´8ÏoÈ ® ° ® É Í È�±�Ð&±³²�ȳÑNÒ�´ Î ² ¬ ±³¸¦´ ÍÓ®&Î ·�²�´ Î�Ô«� ´ Î ¸�±�° Í È³±�Ð�±¯²ÕÑ8ÖÈ ® Ð�´8µo¸g±�Ç ®&Î ² ¬o® ´¶µ ® �öÇo±�° ® µo¸g±�´8µo·¶ÈqЪ·¶¸ ®¶Ô� ± Î ¸g²�Ö2²x´ Îg® °¦´�Ê ® ·¶È³È�² ¬o® Ð�´8µS¸g²�·�µ×²�¸yÈ ® Îg® ¸�Ð�·¶È ®�ØÄ�ÙÚ ÛoÄ ¸�´Ü² ¬ ·�²�Ý ÙÚ Añ Ý]È ¬o®�Îg® Ý º¿¼ÜÞ ¾ÓßCà2á�à ÄÓâ Ô©ó2® ²�²�±�µ0Ê Û º�ã ��åä Ê8±³Ê ® ¸ ¹ ÙÚ ¾ à ¹ >�æèçÈ ¬o®&Î�® ¹ >ªæèç º ÒÀ ßgß Ý >�æèç â J i Ä J â

Page 52: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

é8À !�ê>ëíìså¡Þïîih;ðÑàSìzÞ !�ßÕëòñ¶!]ë�à|ÞOàÈ:±³² ¬ Ý >ªæCç º"¼ÜÞ ßèà;á¶à ÄÓâ Ô�ÆN® ±�µË² Î ´�ÇoÌoÐ ® ² ¬o®ôó\5Z½��+ÂH3�´i¼ ·¶µ0Ç �+¼<¼X3�ÃF3¾¯�+ÂY3�´i¼ ´ Í�®�Î ·�²x´ Î ¸

9 à º Ò� À ß Ä ¼�Þ Ý >ªæèç â9 º Ò� À ß Ä i Þ Ý >�æèç â Æõ­¬o® Ð�´8°¦°<ÌS²x·�²x±³´8µ Îg® È%·�²x±�´¶µ ö 9 � 9 àg÷ º Ò ßCø Ô é â±�¸ ® ·¶¸�±³È³Ñ?Ê ®�Î ±:� ® Ç Ô©ÆN® Ð�·¶µ Îg® È Î ±³² ®ù¹ ±�µô² ®�Î °?¸:´¶Ò]9ô·¶µ0Çú9 à ·�¸ÉÒ�´8È�ȳ´ È:¸ Ø

¹ >ªæCç º 9 à 9(i ÒÀ ÆÆÇ® ¸x·ªÑ?² ¬ ·�²ï² ¬ ±�¸ ® É ÍoÎ�® ¸�¸�±³´8µ�±�¸ï±�µ ¼Ó´45�û¦�+¾�Æ�´45�û ·¶¸ü² ¬o® 9 à · ÍSÍÓ® · Î ¸)²�´ý² ¬S® È ® Òþ²)´�ÒP9 Ô�ÆÇ®±�µË² Î ´�ÇoÌoÐ ® ² ¬o®�[S��5GÂH3�óG¾�½~¼.ÿ;û��G½\5 ´ Í�®�Î ·�²x´ ÎA º 9 à 9È ¬ ±³Ð ¬ ¸�·�²x±³¸ � ® ¸:² ¬o® Î�® È%·�²�±�´8µo¸ Aú9 º 9 ß A ¼ Ò â ßCø Ô�¸ âAú9 à º 9 à ß A�i Ò â ßCø Ô�� âß ÌS¸ ® ßèø Ô é â ²x´ ¸ ®�® ² ¬o® ¸ ® â ÔMï È ® · ΠȳѶÖ

¹ >ªæèç º A¬iüÒÀ Æ��� °3µëéi°�í í�¸ßÞ Ð ½�ÃS���+½� Å A � ô� Å � ß A â º k + ÌöÂÃ<½�¼Ó´i¼ ¿ ¼�½ùØË�+ÂH3��+½°3¼<Â�½ùØ�½\5x��Í � ½��;óZÃ7½\3�Ø�½G¼����+¾ ÿë½äÃS����3¼�ئû ÿ�¾ÎÂH3{[-¾×3�ó\3ÂYy Ò Åè]éiµ�µD�#�Ò Ô:õ­¬ ±³¸:±�¸ ® ·�¸gÑ8Ö.Ï ® Ð�·¶Ìo¸ ® 9 à ±�¸É² ¬S® ·=Ç4/g´8±�µË²:´¶Ò]9.Ö.¸�´

� ñ � A ñ º ¢ 9 ñ ¢ J � ô Æ

Page 53: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

h;ð��×ð�å ê�Þ ê>ëíî°ï�æ\áäß\!Iæ\à�!�ß,ñåñ�ësåMæ:î é �À Ô j Ñ[² ¬o® ·¶Ï�´�Ê ® ÖqA ñ º ô ±:o 9 ñ º ôSÔ� ´¶² ® ² ¬ ·�²:² ¬o® Ò�ÌoµoÐ&²�±�´8µ

ñR� º�� � � 0 � ��Jß � ·¦Ð&´8µo¸m²�·¶µË² â ±³¸É² ¬o® Ìoµo±:Û×Ì ® ÒC·¶°?±³È³Ñ¦´¶Ò ¸�´8ȳÌS²x±³´8µo¸­´¶Ò9 ñ º ß Ä i à;á¶à ÄÓâSñ º ô·¶µKÇ ¬o® µoÐ ® ´¶Ò­A ñ ºËôSÔ[õ­¬ Ìo¸ ñR� ß µo´ Î °?·¶È³±�� ® Ç Ï×Ñ ¸ ® ²g²x±�µKÊ � º ß À f â � A � · â ±³¸ ² ¬o®Ê Î ´8Ìoµ0Ç�¸m²�·�² ®¶Ô� ´�È Ö.² ¬o® Ð&´8°?°ýÌS²�·�²�±�´8µ Î�® È�·�²x±³´8µ ßèø Ô�� â ±³° Í È�± ® ¸At9 à ñ�� º 9 à ñ��·¶µKÇú±³µgÊ ® µ ®&Î ·¶È A ß 9 à â > ñR� º Ó ß 9 à â > ñ�� Æõ­¬ Ìo¸ � > º ß 9 à â > ñR�±³¸:·¶µ ® ±�Ê ® µSÒ�ÌoµSÐ&²x±³´8µ�´¶Ò]A È:±¯² ¬�® ±:Ê ® µËÊ�·¶È�Ì ® Ó Ôè]é µ-ê¡ì�°|í í�¸:¶ ó2¬ ´�ÈY² ¬ ·�² ¢ � > ¢ J º ÓR® Ô ú>±³µ×² Ø È Î ±³² ® ¢ � > ¢ J º � ñR� � 9 > ß 9 à â > ñR�� Ö² ¬o® µ Í Ìo¸ ¬ ² ¬o® 9<÷ ¸P² ¬oÎ ´8Ì0Ê ¬ ² ¬o® 9 à ÷ ¸ ß ±�µoÐ&È�Ì0Ço±³µ0Ê:² ¬o® µ ® Ð ® ¸�¸�· Î Ñ<Ð�´8°¦°<ÌS²x·�²x´ Î ¸ â ÌoµË²x±³È² ¬o® Ñ ¬ ±³² ñR� ·¶µ0Çú·¶µoµS± ¬ ±³È%·�² ® ±³² Ôó ´ ñ > º Ò� ÓR® ß 9 à â > ñ��±³¸Å· µo´ Î °?·¶È³±�� ® Ç ® ±:Ê ® µ2Ò�ÌoµoÐ&²�±�´8µ ´¶ÒÓA È:±³² ¬ ® ±:Ê ® µËÊ�·¶È�Ì ® Ó Ô�ÆÇ® µo´�È ¸ ¬ ´�È ² ¬ ·�²Å² ¬o® ¸ ®· Îg® ² ¬o® ´8µSÈ³Ñ ® ±�Ê ® µSÒ�Ìoµoвx±³´8µo¸ Ô�$ ²­Ò�´¶È�È�´�È:¸)Ò Î ´8°b² ¬o® Ð�´8°¦°<ÌS²x·�²x±³´8µ Îg® È%·�²x±�´¶µo¸)² ¬ ·�²:±³Òñ ±³¸:·¶µËÑ ® ±:Ê ® µSÒ�ÌSµoÐ&²�±�´8µ�´¶Ò]A È:±³² ¬�® ±�Ê ® µ×Ê�·¶È³Ì ® Û� ô Öo² ¬o® µAt9 � ñ º ß Û ¼ Á â 9 � ñ Æ ßCø Ô ø â$ Ò�È ® Ð ¬ ´2´¶¸ ® Á ¸�´?² ¬ ·�² Û ¼ Á � ô È ® Ð&´8µË² Î ·+Ço±�вòA � ô ÌoµoÈ ® ¸g¸ò98� ñ ºIôSÔ j ÌS²² ¬ ±�¸­±³° Í È³± ® ¸ 9�� ñ º�� ñR�Ò�´ Î ¸�´8° ® ±�µË² ® Ê ®�Î�� ß � ·�Ð&´8µo¸m²�·¶µË² â Ö�¸�´�ÏËÑ ßèø Ô ø â Ö Û º��.Ô Ô ÍoÍ È¯Ñ;±�µ0Ê µo´�È ß 9 à â � ²x´² ¬ ±�¸ ® Û×Ì.·�²�±�´8µ�ÖÓ·¶µ0ÇtÌo¸�±³µ0Ê[² ¬S® Ð�´8°¦°<ÌS²x·�²x±³´8µ Î�® È�·�²x±³´8µo¸&ÖëÈ ® Ð�·¶µ ¸ ¬ ´ È ñ º�� ñ � ß �·¶µS´¶² ¬o®&Î Ð�´8µo¸m²�·¶µË² â ÔOó ´jÈ ® · Îg® ÇS´8µ ®¶Ôå¤

Page 54: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

é & !�ê>ëíìså¡Þïîih;ðÑàSìzÞ !�ßÕëòñ¶!]ë�à|ÞOà� µëéiµ-ì�ìH�KéT�«í�¸:� � ß ¹ >ªæCç â º 8 ÓÂi Ò6á À � Ó º§ô2� Ò � À � ÆªÆªÆ 9Õ�3Âà ½\3�Ø�½G¼)Æ�ÿ|¼ óGÂH3��i¼S� ñ > º ßSÒ6á � Ó�® â ß 9 à â > ñR� Å� ±³µ.·¶È�ȯÑ8Öײ ¬o® µ�Öo² ¬S® ¸ ÍÓ® Ð&² Î Ìo°~´¶ÒP² ¬S® ´ Î ±�ʶ±�µ.·¶È ¬ · Î °?´8µS±�Ðò´8¸gÐ�±³È�È%·�²x´ Î úí·¶°¦±�ȯ²x´8µS±%·¶µ?±�¸� ß ¹ â º 8 ¾ Ã ß Óhi Ò6á À â>� Ó º§ôS� Ò � À � Æ�ÆªÆ 9È:±³² ¬�® ±�Ê ® µSÒ�ÌoµSÐ&²x±³´8µo¸:´8ÏS²x·¶±�µ ® Ç�ÏËÑ Î�® ¸�Ъ·�È�±�µKÊ ² ¬o® ñ > ÷ ¸ Ô_��7} ~�� � þ � � ¢Å¤h� � ¥ ¡�«�¤¦£Ô ¬ Ñ|Ç Î ´�Ê ® µN·�²x´8° Ð�´8µo¸g±�¸m²x¸ù´¶ÒÉ· ÍoÎ ´¶²x´¶µÇ·�µ0ÇN·�µ ® È ® Ð&² Î ´8µ�Öå±�µË² ®�Î ·�Ð&²x±³µ0ÊôÊ;±%·�· ï ´8Ìoȳ´8°<ÏÒ�´ Î Ð ® È%·^È Ô ÆÇ® È:±�ȳÈz� Î ¸g²�°[·=ð ® ² ¬S® ¸g±�° Í È�±¯ÒþÑ;±�µ0ÊÇ·¶¸�¸gÌo° Í ²x±³´8µ ² ¬ ·�² ² ¬o® µ×ÌoÐ�È ® Ìo¸ ß ² ¬o®ÍoÎ ´¶²x´8µ â ±�¸Å±�µ �.µo±³² ® È¯Ñ ¬o® ·ªÊ;ѶÖS·�µ0Ç ¸�´]Ço´ ® ¸4µo´¶²4°¦´6Ê ®¶Ô�õ­¬ Ìo¸zÈ ®>¬ ·ªÊ ® ² ¬o®:® È ® Ð&² Î ´8µ °¦´�Ê2±³µ0ÊÌoµ0Ç ®�Î ² ¬o® ±�µ2�.Ì ® µSÐ ® ´¶Ò]² ¬o® ® É;² ®&Î µ.·�È Í ´¶² ® µË²x±�·¶È Ð ß ÄÓâ º¿¼ � J á � ÄÅ� ÖKÈ ¬S®�Î�® � ±³¸É² ¬o® Ð ¬ · Î Ê ®´¶Ò�² ¬o®íÍSÎ ´¶²�´8µ�Ö2·¶µ0Ç ¼ � ² ¬ ·�²)´¶Ò ² ¬o®>® È ® Ð&² Î ´8µ Ô]õ­¬o® · ÍoÍSÎ ´ ÍoÎ ±%·�² ®�ó Ð ¬oÎ �´+Ço±�µ0Ê ®�Î ´ ÍÓ®&Î ·�²�´ Î ±³¸² ¬S®�Î�® Ò�´ Î�® ¹ º½¼ ¾ JÀ�Á  ¼ � J á � ÄÅ�·¶Ð²x±�µKÊ ´8µ ² ¬o® úܱ�È³Ï ®&Î ²<¸ Í ·¶Ð ®"! J ß�# Ä â Ô $ µ ï)¬ · Í ² ®&Î ç È ® È:±�ȳÈü¸ ®�®�¬ ´�Èu²x´ Î�® ÇoÌoÐ ® ² ¬o®ÍoÎ ´8ÏoÈ ® °�´¶ÒŲ ¬o® °?´ Îg®ýÎg® ·¶È³±�¸g²�±�Ð]úÜÑ�Ç Î ´�Ê ® µ ·�²x´8° �MÈ ¬o® µ ² ¬S® µ×ÌoÐ�È ® Ìo¸ ¬ ·¶¸ ·c�.µS±³² ® °[·�¸�¸ß ·<²ªÈü´��ÕÏ�´�ÇSÑ ÍoÎ ´8ÏoÈ ® ° â �4²x´ ² ¬o® ÍoÎ ´8ÏoÈ ® °w¸m²xÌ0Ço± ® Ç ¬o®�Îg®¶ÔÔ ¸�Ìo¸gÌ.·¶È�ÖyÈ ® ÈÉ·¶µË²�²x´�¸m²xÌ0Ç2Ñ ² ¬o® ¸ ÍÓ® Ð&² Î Ìo° ´�Ò ¹ÇÔ"õ­¬o® � Î ¸g²�¸m² ®�Í ±�¸?²x´�±�µËʶ´�ð ®² ¬S® ´ Îg® ° �2Ô Ò ¸SÔ ú>´�È ® Ê ®&Î Ö]² ¬o® ÒC·¶Ð&² ² ¬ ·�²ù´8Ì ÎùÍ ´�² ® µË²�±%·¶È Ð ß ÄÓâ º»¼ � J á � ÄÅ� ±³¸ ¸�±�µKÊ8ÌoÈ%· Î ·�²² ¬S® ´ Î ±�Ê8±³µ?±³¸)· Í ´8¸g¸�±³ÏoÈ ® ´8Ïo¸m²�·¶Ð&È ®¶ÔR$ µ[ÒC·¶Ð&²�Ö;² ¬o® ´ Î�® ° �2Ô Ò ¸ Ð�·¶µôÏ ®í® É2² ® µ0Ç ® Çô²x´ýÐ�´�Ê ®&Î ² ¬ ±³¸Ðª·�¸ ® ß ¸ ®�® Ö ® ÊoÖ ö ï ��\]ó ÷ â Ö2·¶µ0Ç�È ® °?·ªÑ Ð�´8µoÐ&È�Ì0Ç ® ² ¬ ·�² ¹ ±�¸ï¸ ® ȯÒ%�,·+ÇT/g´8±�µË²ªÖ�È:±¯² ¬ Ð&´8µË²x±³µ;ÌS´8Ìo¸¸ Í�® в Î Ìo° ® Û×Ì.·�È]²x´ô² ¬o® ¬ ·¶È¯Ò%�ÕÈ�±³µ ® ö ô2�ZÔ â Ô�ø Ì Î Ê8´Ë·�È�ÖÓ² ¬o® µ Ö�±�¸í²�´e�.µ0Ç ² ¬o® Ï�´8ÌoµKÇ2�Õ¸m²�·�² ® ¸ß ® ±�Ê ® µSÒ�Ìoµoвx±³´8µo¸ â ·�µ0Ç?Ï�´8ÌoµKÇ2�Õ¸m²�·�² ®Ü® µ ®�Î Ê8± ® ¸ ß ® ±:Ê ® µËÊ�·¶È�Ì ® ¸ â ÔR$ ²ï±�¸ï· Î�® °[· Î ð�·¶ÏoÈ ® ÒC·¶Ð&²Å² ¬ ·�²È ® Ð�·¶µ��.µ0Ç�² ¬S® ¸ ®�® É Í È�±�Ð&±³²�È³Ñ Ô $ µ0Ç ®�® Ç Ö)·¶¸g±�Ç ® Ò Î ´8° ² ¬o® ±�µ �.µo±³² ® È ® ȳÈ�ÖŲ ¬o® ´¶µoȳÑÇ°<Ìoȯ²x±¯�Ço±³° ® µo¸�±³´8µ.·¶È Í ´¶² ® µË²x±�·¶È�¸ÉÒ�´ Î È ¬ ±³Ð ¬ ² ¬o®Íó Ð ¬oÎ �´�ÇS±�µ0Ê ®&Î:® ±�Ê ® µËÊ�·¶È�Ì ® ÍoÎ ´8ÏoÈ ® ° Ð�·¶µtÏ ® ¸g´8È³Ê ® Ç® É Í È³±�Ð&±³²xȯÑô· Î�® ² ¬S®ù¬ · Î °¦´8µo±³Ðò´8¸�Ð&±�ȳÈ%·�²�´ Î ·¶µKÇ�² ¬o®cï ´8ÌoÈ�´¶°<Ï Í ´¶² ® µË²x±�·¶È Ôj)® Ð�·¶Ìo¸ ® ² ¬o®~ï ´8ÌSÈ�´8°<Ï Í ´�² ® µË²�±%·¶È�±�¸ Î ·+Ço±�·¶È�ȯÑ×��¸gÑ;°¦° ® ² Î ±³Ð ß Ç ®&ÍÓ® µ0Ço¸­´8µSȳѦ´8µ * º � ÄÅ�Jâ Ö±³²:±³¸­µ.·�²�Ì Î ·¶ÈÓ²x´jÈ)´ Î ð ±�µ�¸ Ío¬o®�Î ±�Ð�·¶È�Ð�´;´ Î ÇS±�µ.·�² ® ¸ ß * �%$2� � â ÖKÈ ¬o®&Î�®Ä A º * ¸�±³µ ß $ â ¸�±�µ ß � â Ä J º * ¸�±³µ ß $ â Ð�´8¸ ß � â Ä Ä º * Ð�´¶¸ ß $ â �

Page 55: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

h;ðß�Ëð�å ê�Þ ê mM î�æ~âäÞzá ësåMæOï é8éô2¡&$ � fÅÖ ô2¡ � � À f Ô�$ µ�¸ ÍS¬o®�Î ±�Ъ·�È�Ð�´;´ Î Ço±³µ.·�² ® ¸�Ö2² ¬o® ô · Í È�·¶Ð�±�·¶µ Ï ® Ð�´8° ® ¸

 º  ( i Ò* J Â('È ¬o®&Î�®  ( º C J á C * J i À* C á C (Ç ®&ÍÓ® µ0Ço¸Ü´8µoȳÑ[´8µ�² ¬o® Î ·=Ço±%·¶È�Ê�· Î ±�·¶ÏoÈ ® Öo·¶µKÇ

Â)' º Ò¸�±�µ ß $ â C á C $ ß ¸�±�µ ß $ â C á C $ â i Ò¸�±�µ J ß $ â C J á C � JÇ ®&ÍÓ® µ0Ço¸Ü´8µoȳÑ[´8µ�² ¬o®+* ¸ Ío¬o®�Î ±�Ð�·¶È�,<Ê�· Î ±%·¶ÏoÈ ® ¸ $;� � Ôõ­¬o® ® ±:Ê ® µ2Ò�ÌoµoÐ&²�±�´8µS¸ý´¶Ò Â)' · Î�® ² ¬o® È ® È�ȯ�öð×µo´�È:µ ��[<Ã<½\5\3�ó��+¾�ÃS��5�û-�i¼X3�ó�� Ö�È ¬ ±�Ð ¬ ²x·+ð ®² ¬S® Ò�´ Î ° . �/ ß $;� � â º�� / �10 ÷ � ÷/ ß Ð&´8¸ ß $ âgâ �� �32 ßCø Ô ç âÈ ¬o®&Î�®2Ý]º�ôS� Ò � ÆªÆªÆ Ö Á º ¼°ÝÕ�ª¼zÝ i Ò � ƪÆ�Æ �7Ý�¼ Ò �7Ý Ö � / � ±�¸>·[Ð�´8µS¸g²�·�µ×²�Ö�·¶µ0Çú² ¬o®hÿ�½ùØ�½G¼ À 56½Æ�ÿ�¼ óGÂY3��i¼ 0 �/ Ъ·¶µ�Ï ® È Î ±³²g² ® µ0 �/ ß Ü â º ßSÒ ¼�Ü=J â �R��JÀ / Ý ® à / + � á¶à Ü / + � ß Ü J ¼ Ò â / Æ ßCø Ô Ò ô â

$ µ�ÒC·¶Ð&²�ÖKÈ ®ù¬ ·ªÊ ® ¼ Â)' . �/ ºòÝ ß Ý i Ò â . �n Æ ßCø Ô Ò+Ò âè]éiµëê¡ì�°�í í�¸èà ï)¬S® ÐZð ßèø Ô Ò�Ò â ÌS¸�±�µKÊ ßCø Ô ç â ·¶µ0Ç ßèø Ô Ò ô â ß · Ïo±³²É² ® Ço±³´8Ìo¸ â Ô$ ²4²xÌ Î µo¸4´8ÌS²Å² ¬ ·�²4² ¬o® ¸ Ío¬o®�Î ±�Ð�·¶È ¬ · Î °?´8µS±�Ð�¸&Ö . �/ ÖËÐ�´8° ÍoÎ ±�¸ ® ·�µ?´ Î ² ¬ ´¶µo´ Î °?·¶È2Ï.·¶¸�±³¸4´¶ÒÓ² ¬o®ú>±³È�Ï ®�Î ²)¸ Í ·¶Ð ®4!�J ß65 J87 à:9 â ´¶Ò !�J Ò�ÌoµoÐ&²�±�´8µS¸­´8µô² ¬o® ¸ Ío¬o®&Î�® 5 J º 8�Ä�Ë # Ä �.� ÄÅ� º Ò 9 È:±¯² ¬² ¬S® ° ® ·�¸�Ì Îg® à:9 º ¸�±³µ J ß $ â à $ à � ß ¸ ®&® Ö ® ÊoÖ ö

ô ô ÷ â Ôj)® Ò�´ Î�® Ð�´8° Í È ® ²x±³µ0Êò² ¬S® ¸g´8È�ÌS²�±�´8µ ´�ÒÓ² ¬o®>® ±�Ê ® µËʶ·�È�Ì ®­ÍoÎ ´8ÏoÈ ® °iÒ�´ Î ² ¬o®:¬ Ñ|Ç Î ´�Ê ® µô·�²�´8°�ÖÈ ® °?·+ð ® · Ò ® È Î�® °?· Î ð;¸ï·¶Ï�´8ÌS²4² ¬o® Ð�´8µoµ ® Ð&²�±�´8µ ²x´ù·¶µKÊ8ÌoÈ%· Î °?´8° ® µË²�Ìo° Ô õ­¬o® Û×Ì.·¶µË²xÌo° �° ® Ð ¬ ·¶µS±�Ъ·�È4·¶µ0Ê8ÌoÈ�· Î °¦´8° ® µË²xÌo° ! º ß ! A �;! J �;! Ä â ±�¸ò² ¬S® ¸ ® ȳÒ%�Õ·+Ç4/g´8±³µË² ß Ê ® Ð&²�´ Î ��Ê�·¶È�Ì ® Ç â´ Í�®�Î ·�²x´ Î !�º Ä Ù ÝÈ ¬o®&Î�® Ý º ¼>Þ ¾=< ·�¸<Ìo¸�Ìo·¶È ÔAÆN® Ç ® �.µ ® ·¶È�¸g´ú² ¬S® ¸>Û×Ì.· Îg® Ç�°?·+Ê8µo±¯²xÌ0Ç ® ´¶Ò­² ¬o® ·¶µKÊ8ÌoÈ%· ΰ¦´8° ® µË²xÌo°�Ö ! J º&! J A i ! JJ i ! JÄ ÔÅõ­¬o® Ò�´8ȳÈ�´�È:±�µ0Ê�ÒC·¶Ð&²�¸>· Î�® ® ·�¸�±�ȯÑôÐ ¬o® ÐZð ® Ç ØÒ Ô�! J º"¼ ¾ J Â(' ß ¬o® µoÐ ®4! J . �/ º ¾ J Ý ß Ý i Ò â . �/ â

Page 56: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

é ¸ !�ê>ëíìså¡Þïîih;ðÑàSìzÞ !�ßÕëòñ¶!]ë�à|ÞOàÀ Ô�! Ä . �/ º ¾ Á . �/ Ôõ­¬ Ìo¸�È ® ¸ ®&® ² ¬ ·�²í² ¬S® ¸ Ío¬S®�Î ±³Ðª·¶È ¬ · Î °?´8µS±�Ð�¸>· Îg® Ö ±³µúÒC·¶Ð²ªÖÓ¸�±�°ýÌoȳ²x·¶µ ® ´¶Ìo¸ ® ±�Ê ® µSÒ�Ìoµoвx±³´8µo¸´¶ÒP² ¬o® ·¶µKÊ8ÌoÈ%· Î °?´¶° ® µ×²�Ìo° ´ Í�®�Î ·�²x´ Î ¸ ! Ä ·�µ0Ç ! J Ôõ ´ýÐ�´8° Í È ® ² ® ² ¬o® ¸�´¶È�ÌS²�±�´8µ¦´¶Ò�² ¬o®í® ±�Ê ® µ×Ê�·¶È³Ì ®ÜÍoÎ ´8ÏSÈ ® °�Ö�È ® ¸ ®�® ð ® ±�Ê ® µSÒ�Ìoµoвx±³´8µo¸ï´¶Ò ¹±�µ ² ¬o® ¸ ®�Í · Î ·�² ® Ç2��Ê�· Î ±�·¶ÏoÈ ® ¸ÉÒ�´ Î °ñ ß * �;$2� � â º³� ß * â . �/ ß $;� � â Æ

� È�Ì0Ê+Ê8±�µ0Ê<² ¬ ±�¸­±³µË²x´ ² ¬o® ® ±�Ê ® µ×Ê�·¶È³Ì ® ® Û×Ì.·�²x±�´¶µ ¹ ñ º�e ñ Ö0È ® ´¶ÏS²�·¶±³µß ¾ JÀ�Á ö ¼  ( i Ý ß Ý i Ò â* J ÷ ¼ � J á * â �yº�e�� Æ ßCø Ô Ò À âõ­¬o® ¸�´8ȳÌS²x±³´8µo¸4´¶Ò�² ¬o®�ø(l?> ßCø Ô Ò À â · Î�® È ® È�ȯ��¸g²�Ì0Ço± ® Ç ß ¸ ®&® Ö ® ÊoÖ ö

ô ô ÷ â Ô�Æ ±³² ¬ ´8ÌS²�Ê8´8±³µ0Ê�±³µË²x´Ç ® ²�·¶±³È�¸�ÖzÈ ®tÎ�® °[· Î ðN² ¬ ·�²¦´8µ ® Ъ·¶µ{¸ ¬ ´�È ß ÏËÑ Í ´�È ®&Î ��¸ ®�Î ± ® ¸[° ® ² ¬ ´|Ço¸ â ² ¬ ·�² ßCø Ô Ò À â ¬ ·¶¸¸>Û×Ì.· Î�® ��±�µË² ® Ê Î ·�ÏoÈ ® ¸g´8È�ÌS²�±�´8µS¸­´8µoȳÑ?Ò�´ ÎÓ�@ � J¾ � ¼ ÁÀ e Ë 8 Ý i Ò �7Ý i À � ÆªÆªÆ 9 Æõ­¬o® Ð�´ ÎgÎ�® ¸ Í ´8µ0Ço±³µ0Ê ® ±�Ê ® µSÒ�ÌoµSÐ&²x±³´8µo¸&Ö � > / · Î�® ´¶ÒP² ¬o® Ò�´ Î °

� > / ß * â ºBA / ���:C ��J 3 > / ß A âÈ ¬o®&Î�®4A º J�� æ �> � � * Öq·¶µ0Ç�3 > / ±³¸:· Í ´8ȯÑ2µS´8°?±�·¶È Ô$ µ�Ò�ÌSÈ�È�Ö;² ¬o® µ�Öo² ¬S® ¸g´8È�Ì2²x±�´¶µo¸­´¶ÒP² ¬o® ® ±:Ê ® µËÊ�·¶È³Ì ® ÍoÎ ´¶ÏoÈ ® ° ¹ ñ ºHe ñ · Îg®ñ ß * �;$;� � â º¡� > / ß * â . �/ ß $2� � âÈ ¬o®&Î�® Ý�º§ôS� Ò � À � Æ�ÆªÆ Á º"¼zÝ,��¼°Ý i Ò � ƪÆ�Æ �7Ý Ó ºVÝ i Ò �7Ý i À � Æ�ƪƷ¶µ0Ç e ß ºye > â º¿¼ ß Á � ·À ¾ J â ÒÓ J Æ ßCø Ô Ò � âó ´~È ® ¸ ®&® ² ¬ ·�²4² ¬o® úÜÑ�Ç Î ´�Ê ® µô·�²�´8° ¬ ·¶¸ï·¶µ?±�µÀ�.µS±³² ® µ×Ìo°ýÏ ®&Î ´¶Ò ÏÓ´¶Ìoµ0Ǧ¸g²�·�² ® ¸üÏ ® È�´�È ² ¬o®Ð�´¶µ×²�±�µ×Ìo´8ÌS¸Ü¸ ÍÓ® Ð&² Î Ìo° ß È ¬ ±�Ð ¬ ¸g²x· Î ²�¸Ü·�²�� ®&Î ´ â Ö0È ¬ ±�Ð ¬ ·¶Ð�Ð&Ìo°<ÌoÈ�·�² ® ·�²�� ®&Î ´ Ô4õ­¬o® Ê Î ´8Ìoµ0Ǹg²x·�² ®Ü® µ ®�Î Ê�Ñ8Ö;´8ÏS²�·�±�µ ® Ç Ò�´ ÎåÝ�º Á º ôS� Ó º Ò Ö×±³¸ e A º¿¼ Á ��· á À ¾ J Ô Ô µ ® ·¶¸gÑ Ð&´8ÌoµË²�.µ0Ço¸² ¬S® Ç ® Ê ® µ ®�Î ·¶Ð&Ñ�´¶ÒP² ¬S®ù® µ ®�ΠʶÑ�È ® Ê ® È e > ²�´¦Ï ®

> �A?

/ @ � ß À Ý i Ò â º Ó J Æ

Page 57: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

h;ð©Ñ�ð{ë½ì�ëòîäå�ß\!�ñ�Þ·ß�áFë�á�ÞED�å¡Þ4îäá>ëíñ Þåï P�ß�Þ4ñ M é �� ±�µo·¶È�ȯÑ8Ö�È ® µS´¶² ® ² ¬ ·�²�² ¬o®[® É ÍoÎ�® ¸�¸g±�´8µ ßèø Ô Ò � â ±³¸ý±�µN·+Ê Îg®�® ° ® µË²ÍÈ:±¯² ¬ ² ¬o®ô® ° Í ± Î ±³Ðª·¶ÈÒ�´ Î °<ÌoÈ%· ß *#j ·¶È³° ®&Î ¸ ®�Î ± ® ¸8, â  e¿º¡� ß ÒÓ J F ¼ ÒÓ J â

ßSÒ ¡ Ó F � Ó ±³µË² ® Ê ®�Î ¸&Ö � · Ð&´8µo¸m²�·¶µË² â Ò�´ Î Ço±�o ®&Î�® µoÐ ® ¸  e ±�µ ® µ ®�ΠʶÑ�È ® Ê ® ȳ¸�Ö�È ¬ ±�Ð ¬ÍoÎg® Ç.·�² ® ¸jÛ×Ì.·¶µË²�Ìo° ° ® Ð ¬ ·�µo±�Ð&¸�Ö4·¶µ0ÇÕÈÉ·¶¸ Ïo·¶¸ ® Ç�´8µ�° ® ·¶¸�Ì Î�® ° ® µË²�¸<´¶ÒÜ·¶Ïo¸g´ Î�Í ²x±�´¶µ�·¶µ0Ç® °¦±�¸g¸�±³´8µ ¸ Í�® в Î · Ô_�� Á ² G ¡ý¢�«©ÿ)�Ü©�� ÿª¥ ¡<¥ �IH�«]� ¢4¥ ¡<©KJML ¦ � ©N� ´POMO ® ®RQ ² ® µTS ´8Ì ÎVU Ìo·¶µË²x±���·�²x±³´8µ ÍoÎ ´2Ð ® SoÌ Îg® ²x´ô² ¬o® Ъ·¶¸ ® ´¶Òü·ôÐ ¬ · ÎXW¶® S Í · Î ²x±�Ð&È ® ±³µ ·¶µ®YQ ² ®�Î µo·¶È ® È ® в Î ´��Õ°?· W µ ® ²x±�Ð[Z ® È�S ÔE\ ÒqÐ&´8Ì Î ¸ ® Ö˱¯Ò.² ¬o®)®YQ ² ®&Î µ.·¶È]Z ® È^S ±�¸ Í Ì Î�® È³Ñ ® È ® Ð&² Î ±³Ð¶Ö¶² ¬o® µ±³²É±�¸:· Í ´�² ® µË²�±%·¶È_Z ® È�S Ö.·¶µTS"Zo²x¸`O:±¯² ¬ ±³µô² ¬o® Ò Î ·�° ® O)´ Î8a O ® ¬ ·ªÊ ® Ð�´8µo¸g±�S ®&Î�® St·¶È Î�® ·�SSÑ ß ·¶¸O ® ¸�·PO�±�µ�¸ ® Ð&²�±�´8µ ø Ô�¸ â Ôb Ì ÍoÍ ´8¸ ® Ö­² ¬o® µ�Öɲ ¬ ·�² · °[· W µ ® ²�±�ÐcZ ® È^Sd[Ö:·¶µeS ·¶µ ® È ® Ð&² Î ±�Ð"Z ® È^S�Ö e Ö:· Î�®úÍoÎ�® ¸ ® µË²ß ·�µTS · Îg® ²x±�° ® ��±�µTS ®�Í�® µTS ® µË² Ø d ��e Ø #�f ÙÚ #�f â Ô1gÇ®ha µo´POFÒ Î ´¶°w² ¬o® ² ¬S® ´ Î Ñ�´¶Ò ® È ® в Î ´��°?· W µ ® ²x±�¸g° ßji · Q O ® È�Èjk ¸ ®lU Ì.·�²x±³´8µo¸ â ² ¬ ·�²­² ¬o® ¸ ® Z ® È^So¸­Ðª·¶µ�Ï ® ®YQ2ÍoÎ�® ¸�¸ ® St±³µ ² ®�Î °?¸)´¶Ò ² ¬o®Ê ® Ð&²�´ Î>Í ´¶² ® µË²x±�·¶È�Ö=m Ø # f ÙÚ # f Öq·¶µTS ² ¬o® ¸�Ъ·�È%· Î­Í ´¶² ® µË²x±%·�È�Ö�n Ø # f ÙÚ # Ê2±�·e¿º"¼ < n d º��ZÜ * Ý mß O ® · Î�® Ìo¸g±�µ W ÌoµS±³²x¸:±³µ"O ¬ ±�Ð ¬ ² ¬o® ¸ Í�®�® St´¶Ò È�± W8¬ ²ªÖ � Öo±³¸ ®oU Ì.·¶È�²�´¦´¶µ ® â Ôp Ð&Ð�´ Î So±�µ W ²�´ ´8Ì ÎqW¶® µ ®&Î ·¶È U Ìo·¶µË²x±���·�²x±³´8µ ÍoÎ ´2Ð ® SoÌ Î�® ÖrO ® O Î ±¯² ® ² ¬o® Ð�È�·¶¸�¸g±�Ð�·¶Èts>·¶°¦±�ȯ�²x´¶µo±%·¶µôÒ�ÌSµoÐ&²�±�´8µ�Ò�´ Î · Í · Î ²x±�Ð&È ® ´�Ò]Ð ¬ · ÎXW8®4u ¸gÌoÏ]v ® Ð&²Ü²x´ ² ¬o® Z ® È�So¸ e ·¶µTS+d[Ö

w ß Ä �Rx â º yÀ�Á ß x<¼zu m ß ÄÓâgâ|{t} u n ß ÄÓâ·¶µTS ² ¬o® µ Î�®&Í È%·�Ð ® ² ¬o® Ъ·¶µS´8µo±�Ð�·¶ÈÓÊ�· Î ±%·¶ÏSÈ ® ¸ Ä ·¶µeS x O:±¯² ¬ ² ¬o®?U Ì.·¶µË²xÌo°wЪ·¶µo´¶µo±�Ð�·¶È ´ Í�®�Î �·�²�´ Î ¸ Ä ·¶µTS Ý ÔÅõ­¬o®ùÎ�® ¸gÌoȳ²�±�µ W b Ð ¬SÎP~´�So±³µ W8®&Î ´ ÍÓ®&Î ·�²�´ Î ±�¸¹ ß m � n â º yÀ�Á ß Ý ¼zu m â { } u n

·¶Ð²x±�µ W ´8µ ! { ß6# f â Ô3gÇ®ÉÎ�® °[· Î8a ² ¬ ·�² ² ¬o® ¸ ® ȯÒ%�,·�S�vg´¶±�µË²xµ ® ¸�¸ ´¶Ò ¹ ß m � n â Ð�·¶µ<Ï ®É® ¸m²�·¶Ïoȳ±�¸ ¬o® SÏËÑ Ìo¸g±�µ Wc�ý������� �?���_�X��ÿo��������� ß ö ��� \ b ÷ â Ôp µ ±³° Í ´ Î ²x·¶µË²üÒ ® ·�²xÌ Î�® ´¶Ò�² ¬o® ´ Í�®�Î ·�²x´ Îɹ ß m � n â ±³¸É±³²�¸`� �¶ÿ � �?���������R�C��� ó;�Ô3gÇ® Î�® Ъ·¶È³È² ¬ ·�²�±�µ ² ¬S® ² ¬o® ´ Î Ñ�´¶Ò ® È ® Ð&² Î ´���°[· W µ ® ²�±�¸g°úÖ­² ¬S® Ê ® вx´ Î�Í ´�² ® µË²�±%·¶Èqm ±³¸ µo´¶²�Ìoµo± U Ì ® ȯÑ

Page 58: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

é ø � ê>ëíìV�3�ïîih;ð��Sì[� �t� ëòñ � ë?�=�1�S ® ² ®�Î °?±³µ ® S�ÏËÑô² ¬o® °[· W µ ® ²�±�ÐVZ ® È�S d Ô[� µ ÒC·¶Ð²ªÖo±¯Ò�O ® ·�STS ² ¬S®4W¶Î ·�So± ® µË²­´¶Ò]·¶µËÑôÒ�ÌoµSÐ&²x±³´8µ� ²�´�m ß ·�� �¶ÿ � �����g���S�©ÆN���û¦��������� â Ö=O ® ´8ÏS²x·¶±�µô² ¬o® ¸x·¶° ® °[· W µ ® ²�±�ÐqZ ® È�S d Ø

�ZÜ * Ý ß m } < � â º��ZÜ * Ý m º d Æ� ·¶Ì W8® ±³µ×Ê�· Î ±%·¶µSÐ ® ´¶ÒP² ¬o®�U Ì.·¶µË²�Ìo°�sí·¶°¦±�ȯ²x´8µS±%·¶µ ¹ ß m � n â ±�¸ Îg® � ® Ð&² ® St±³µ�² ¬o® Î�® È%·�²�±�´8µ¹ ß m } < � � n â º�uo  æj¡ ¹ ß m � n â u£¢:  æ�¡ Æ ßCø Ô yo¤ â¥4¦�§©¨3ª�«]¬ ír­:í � ¬S® Ð a ² ¬ ·�² ®oU Ì.·�²�±�´8µ ßèø Ô yN¤ â ¬ ´8È�SS¸ Ôõ­¬ Ìo¸ ±³Ò�m ·¶µTS¯®m°So±²± ®&Î ÏËÑ · W8Î ·�So± ® µË² Ê ® вx´ Î �³Z ® È�S�Ö�² ¬o® µ ² ¬S® ´ ÍÓ®&Î ·�²�´ Î ¸ ¹ ß m � n â ·¶µTS¹ ß ®m � n â · Îg® Ìoµo±³²x· Î ±³È³Ñ ®oU Ìo±¯Ê�·¶È ® µ×²­Ê;±�· ² ¬o® Ìoµo±¯²�· Î Ñô°?· Í

´ ÙÚ u   æ�¡ ´´8µ ! { ß6#�f â Ôïõ­¬ Ìo¸>² ¬o® ²µO)´-sí·¶°¦±�ȯ²x´8µo±�·¶µo¸)· Î�® Ío¬ Ñ;¸�±³Ðª·¶È³È³Ñ ®lU ÌS±³Ê�·¶È ® µË² Ô¶\ Ò]Ð�´8Ì Î ¸ ® Ö.² ¬ ±³¸Ü±³¸²x´ Ï ® ®YQ2ÍÓ® Ð&² ® S ·�¸�m¿·¶µeS·®mFÐ&´ Î�Îg® ¸ Í ´8µTS�²x´ ² ¬S® ¸�·¶° ® °[· W µ ® ²�±�ÐqZ ® È�S Ô\ µ ® Ð�·¶µ ±�° Í ´8¸ ®�Î�® ¸g² Î ±�вx±³´8µo¸ ß Ð�·¶È�È ® S�� �¶ÿ � � ó;���¹¸����������S� â ´¶µ{² ¬S® Ê ® Ð&²�´ Î[Í ´¶² ® µË²x±%·�Èmu±�µN´ Î S ®&Î ²�´ Î�® °?´�Ê ® ¸�´¶° ® Ö]´ Î ·¶È�ÈèÖå´¶Òɲ ¬S® Ò Î�®&® So´¶° ±³µËÊ8´8È¯Ê ® SN±�µ ² ¬o® Ð ¬ ´8±�Ð ® ´¶Ò¶m Ô pÐ�´¶°?°¦´8µ Ð ¬ ´8±³Ð ® ±�¸ à Þ�º m º�» Ö a µo´PO:µ ·�¸4² ¬o®�¼1��ÿ=����û�� � �¶ÿ � �Ô¾½ Ñ ·¶µ[· ÍoÍoÎ ´ ÍoÎ ±�·�² ®`W ·�Ì W8®² Î ·¶µo¸mÒ�´ Î °?·�²x±³´8µ�Ö;² ¬o® � ´8Ìoȳ´8°<Ï W ·�Ì W8® Ъ·¶µ�·¶È²OÉ·ªÑ;¸ÜÏ ® ·¶Ð ¬ ± ® Ê ® S ÔgN® µo´PO½Ð�´8µo¸g±�S ®&Î ·¶µ ±³° Í ´ Î ²�·¶µË²Ü¸ Í�® Ð&±%·¶ÈPЪ·¶¸ ® �É·[Ð�´8µS¸g²�·�µ×²ò°[· W µ ® ²�±�Ð�Z ® È^S�O:±³² ¬ µo´® È ® в Î ±³ÐqZ ® È^S ÍoÎ�® ¸ ® µË² Ô p Í ´8¸�¸g±�ÏoÈ ® Ð ¬ ´8±�Ð ® Ò�´ Î m½±�¸m ß ÄÓâ º yÀ dÀ¿ Ä Æ ßCø Ô y é â

p µS´¶² ¬o®&Î­Í ´¶¸�¸�±³Ïo±�ȳ±³²ÕѶÖ2¸gÌ ÍoÍ ´8¸�±³µ W d�²�´ Ï ® So± Î�® Ð&² ® St·�È�´8µ W ² ¬o® Ä f · Q ±�¸)�1d º ß »S�;»S�;Á â �ï±³¸m ß ÄÓâ º�Á ß ¼ Ä { �;»S�%» â Æ ßCø Ô yN â

¥4¦�§©¨3ª�«]¬ Ãr­^Ä � ¬o® Ð a ² ¬ ·�² Ï�´¶² ¬ ßCø Ô y é â ·¶µeS ßCø Ô yP â Ñ;± ® È�S ² ¬o® °[· W µ ® ²�±�Ð4Z ® È^SÅd[Öå·¶µTS² ¬ ·�²­² ¬o® ²µOü´ô· Îg®?W ·¶Ì W¶® � ®lU Ìo±³Ê�·¶È ® µË² ÔÆ ¸g±�µ W ² ¬o® ¸ ® Ð&´8µTSúÐ ¬ ´8±�Ð ® Ò�´ Î mýÖo² ¬o® · ÍoÍoÎ ´ ÍoÎ ±�·�² ® b Ð ¬oÎP~´�So±�µ W¶®�Î ´ Í�®�Î ·�²x´ Î ±³¸¹ ß m â º yÀ�Á ö ß Ý_Ç } uPÁ Ä { â { } Ý {{ } Ý {f ÷ Æõ ´ò·¶µ.·�ȳÑ]� ®ü¹ ß m â Ö�O ® · ÍoÍ È¯Ñ ² ¬o® � ´8Ì Î ± ®�Î ² Î ·¶µo¸mÒ�´ Î ° ²�´>´¶µoÈ³Ñ ² ¬o® Z Î ¸g²]·¶µTSù² ¬ ± Î Sùʶ· Î ±%·�ÏoÈ ® ¸ß Ä ÇµÈ f ÙÚ x ÇµÈ f â ÔÅõ­¬ ±�¸ Îg® ¸�ÌSȳ²x¸:±³µ�² ¬o® Ìoµo±¯²�· Î ±�È³Ñ ®lU ÌS±³Ê�·¶È ® µË²:´ ÍÓ®&Î ·�²�´ Î

®¹»º yÀ�Á Ý {{ } Á[à {À ß Ä { } yuPÁ x Ç â { } yÀ�Á x {f

Page 59: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

h;ð6É�ð{ë½ì�ëòî�� �Y� ñÊ� ��Ë ë Ë �ED��3�4î Ë ëíñÌ�1ÍÏÎ � �4ñÊÐ é�ÑO ¬o®&Î�® à º&uPÁ á Á ·�µTS x Ç �Rx f ·¶Ð&²Ü·¶¸)°<Ìoȳ²�± Í È³±�Ð�·�²x±³´8µ ´ ÍÓ®&Î ·�²�´ Î ¸ ÔEgN® Îg® °?· ÎXa ² ¬ ·�²®¹ ·¶Ð²x¸·¶¸ù· ¬ · Î °¦´8µo±³Ð ´8¸�Ð&±�ȳÈ%·�²�´ Î ±�µ ² ¬o® Ê�· Î ±%·¶ÏSÈ ® Ä { Ö ·¶µTSÇ·¶¸�·�°<ÌSȳ²x± Í È�±³Ðª·�²�±�´8µ�´ Í�®�Î ·�²x´ Î ±³µ x Ç·¶µTS x f Ô4� µ ² ¬o® Ò�´¶È�È�´PO:±³µ W[ÍoÎ ´8ÏoÈ ® °�Ñ8´8Ì · Îg® ·¶¸ a�® S ²x´cS ® ² ®�Î °?±³µ ® ² ¬o® ¸ Í�® в Î ÌS° ´¶Ò4² ¬ ±³¸´ Í�®�Î ·�²x´ Î&Ô¥4¦�§©¨3ª�«]¬ Ãr­�Ò:Óy Ô b ¬ ´�Oy² ¬ ·�²Ü² ¬o® ® µ ®&ÎXW ÑôÈ ® Ê ® ȳ¸Ü´�ÒÔ®¹ ß Ð�·¶È�È ® S�Õ ���¹¸Ë�¶ÿ ���Y���Y� � â · Î�®?W ±¯Ê ® µúÏËÑ

ß�Ö } yÀ â ¾ à }Ø×3{ á À�ÁO ¬o®&Î�® Ö ºÙ»S� y � À � ƪÆ�Æ ·¶µeS ×ÛÚ # Ô b ¬ ´POw² ¬ ·�²<² ¬o® Ð�´ ÎgÎ�® ¸ Í ´8µTSo±³µ WÅW8® µ ®&Î ·¶È³±�� ® S® ± W8® µSÒ�Ìoµoвx±�´¶µo¸:· Î�®

´3Ü È Ý ß x Ç � Ä { �Rx f â º �©Ü ß Ä { } x Ç á uPÁ â8Þ ß x f ¼ ×�âO ¬o®&Î�® �©Ü ±³¸É² ¬o® Ö ² ¬�® ± W¶® µSÒ�ÌoµSÐ&²x±³´8µ�´¶ÒP² ¬o® ¬ · Î °?´¶µo±�Ðò´¶¸�Ð�±³È�È�·�²x´ Î&ÔÀ Ô p µ.·¶È³Ñ]� ® ² ¬S® ¸�·¶° ®ÜÍoÎ ´8ÏoÈ ® ° ±�µ ²µO)´ßSS±�° ® µo¸g±�´8µo¸&ÖàO:±³² ¬ ² ¬o® °[· W µ ® ²�±�Ð`Z ® È�S Í�®�ÎgÍÓ® µ2�So±³Ð�ÌoÈ�· Î ²�´ ² ¬o® Í È%·�µ ®¶Ô

Page 60: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

 » � ê>ëíìV�3�ïîâá;ð��Sì[� �t� ëòñ � ë?�=�1�

Page 61: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

ã ä åçæ èêéMë ì

åîí·ïñð(æ åçëòèÌóEô�õ3é ö+ï ö+èêéâ÷ ö

�µøÌù%úTû^ü Ð ú�ý¶ÍeùXþ�Î O þ S þoü Ð ÎXû Ï þ ý�øÌþRQ=ùXþoøTü8û�ÿ�øØÿ Ò ù%úTþ Ð ÿ�ø Ð þ�ÍeùXü S þ Ê þ È ÿ8͹þ S ÍoÎXþ Ê û�ÿ Ì ü È³Ñ ù%ÿ� ý�ø Ñ�� Í�ý¶Î|ù%û Ð&È þ4ü Ñ ü8ùXþ � ü�Ô b Í þ Ð û Z.Ð ý È³È³Ñ¶Ö O þ Ð ÿ�øTü8û S þ&Î�ý[ÍTú Ñ üXû Ð ý È ü Ñ ü|ù%þ � Ð ÿ�øeüXû�ü|ù%û^øTW ÿ Ò��Í�ý¶Î|ù%û Ð�È þlüÊÿ Ò � ý�üXü8þoü Á Ç�� ÆªÆªÆ � Á�� O úTû Ð ú û�øàù%þ&Î%ý Ð ù ÍTý�û�Î O û�üXþ Ê û ý`ù%úTþï͹ÿ�ù%þlø:ùXû ý È ü   � ß Ä   ¼ Ä � â ÖO úTþ&ÎXþ Ä � û�ü�ù%úTþüÍ ÿ�ü8û^ùXû�ÿ�ø4ÿ Ò ù%úeþE� � ùXú<Í�ý¶Î|ù%û Ð&È þ�Ô��tQeý � Í È þlütÿ Ò ü ÌoÐ ú)ü Ñ ü|ù%þ � ü¾û�ø Ð�È�ÌeS þ¶ý�ù%ÿ � üÿ8Î � ÿ È þ Ð�ÌSÈ þoü � û^þ Ö ýqü Ñ ü8ù%þ � Ð ÿ�øTüXû^ü8ù%û^øTWqÿ Ò þ È þ Ð ùxÎ8ÿ�øTü¾ý�ø S ø ÌSÐ�È þlûeû^ø:ùXþ�ÎXý Ð ùXû�øTW Ê û�ý � ÿ ÌoÈ ÿ � ÏÒ ÿ8Î Ð þoü&Ô¾gÔþ O û È³È O Î8û^ù%þ?ùXúTû�ü`þRQTý � Í È þ?ÿ Ì ù�þRQSÍ È û Ð û^ù ȳÑ?È ý£ùXþ�Î�Ô ���� ����������������� �"!#� !%$&� ' ���)()*¹G��,+�� ��-/.�0 1�(21��304'p65"5 ÿ87 S û�øeW ùXÿ+ÿ89:74W�þoøTþ"7%ý<;�=>7Xý � þ O ÿ<7Xa@? O þ%A þlW�û�ø O û^ùXúòùXúTþ 5 ; ý£üXüXû 5 ý<; s ý � ûB;^ùXÿ�øTû�ý�øC=6ÿ87 �� 9D;�ý£ù%û^ÿ�øzÿ<=VùXúTû�ü�üFE]ü|ù%þ �2GIH úTþ�ý<JDJD78ÿ8JD7Xû�ý£ù%þ�JTúTý�üXþ � üKJTý 5 þ+û�üML f �N ¿ L f �O O úTþ�78þCPRQS P Ç���TUTUT�� P �WV ý<7Xþ?ùXúTþ�JTý<78ùXû 5 ;^þ 5 ÿ]ÿ87 S û^ø�ý£ùXþoü�?©ý£ø S x)Q S x ÇX�UTUTUT"� x �WV ý<78þ4ùXúTþYJ�ý<78ùXû 5 ;�þ � ÿ �� þoøàù;ý G H úeþ s ý � ûZ;^ùXÿ�øTû ý£ø#=>9Tø 5 ù%û^ÿ�ø"û�ü

[ S P � x V Q �\ ]^ Ç y_a` ] x {

] } S P VO úTþ"7Xþ�°û^ü�ù%úTþ?ùXÿ�ù;ý<;bJ ÿ�ùXþoøàù%û�ý<;rÿ<=�ù%úeþ4ücE]ü8ù%þ � ?©W�ûed�þlø û^øcù%úTû^ü 5 ý�ü8þ�AfE

S P V Q y_ \  hg^]  

] S P  @i P] V T

H úTþ"U�9�ý�øàù%ûZjNý£ùXû�ÿ�økJ:7Xÿ 5 þoþ S ü(û�ø ùXúTþcü8ù%ý�ø S ý<7 SÌO ýUElAfEk78þ�JD;�ý 5 û^øTWmL f �N ¿ L f �O O û²ù%ún { S L f �N V ?fP O û^ùXú�ùXúTþ � 9D;²ù%ûBJ:;�û 5 ý£ù%û^ÿ�ø4ÿ8J þ"7%ý£ùXÿ87�Po?ex O û²ù%úqprQ i/sutwv N ?=ý£ø S [ S P � x V O û²ù%úÂ=y

Page 62: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

 _ ��x�y{z �3�}|�~��KÍ yVË%����z�y |�� �Y��� �B� � ���3�1Í��ù%úeþ4ÿ<J þ"7%ý£ùXÿ87�[�Q�[ S P � p V G �tQwJD;�û 5 û²ù�;ZE<?]ùXúTþ b 5 úD7N~ÿ S û�øeW�þ�7�ÿ8J¹þ�7Xý£ù%ÿ87�[ û^ü`W�ûZd�þoø2A�E

[�Q �\ Ç y_a` ] p {] } S P V S Ñ G y V

ý 5 ù%û�øeW�ÿ�øCn { S L f � V G�6���T¬��tª6« Är­�Ò � ÿ�øTü8û S þ"7¾ý � ÿ8;�þ 5 9D;^þ O û²ù%ú � þ";�þ 5 ù�78ÿ�øTüEÿ<= � ý�ü8ü ` ý�ø S 5 ú�ý<78W�þ i u8?:ý�ø S� ø�9 5 ;�þlû�ÿ<= � ý�üXü8þoü ` ] ý�ø S 5 ú�ý<78W�þoü{� ] ?���Q y �UTUTUT�� � G �µø+ùXúTû�ü 5 ý�üXþa?¹ùXúTþ b 5 úD7P~ÿ S û�øTW�þ�7ÿ8J¹þ�7Xý£ù%ÿ87"?�[,�3���h?�û^ü[,�����@Q y_�`

�\ Ç p {] } �\ Ç y_�` ]�� {

] } S P ��� V S Ñ G _8Vý 5 ù%û�øeW ÿ�ø�n { S L f�� ��  �4¡ V G s þ�78þ)P¢Q S P Ç��UTUTUT�� P �£V ý<7Xþ-ùXúTþcþ�;^þ 5 ù�7Xÿ�ø 5 ÿ=ÿ<7 S û^ø�ý£ù%þlü�? � QS �:ÇX�UTUT�TK� � V ýa7XþhùXúTþ4ø�9 5 ;�þ"9Tü 5 ÿ=ÿ87 S û�øTý£ù%þlü�?fp

] Q i�sctwv Nc¤ û�ü�ù%úTþ � ÿ � þlø:ùK9 � ÿ<=EùXúTþ{� � ù%úþ�;^þ 5 ù�7Xÿ�ø¥? � ] Q i/sutwvM¦ ¤ û^ü�ù%úTþ � ÿ � þoøàù�9 � ÿ<=3ùXúTþ�� � ù%ú"ø�9 5 ;�þ�9eü�?¹ý�ø S S P �K� V Q y_ \  hg^

] u {§ P  @i P] § i \   È

] u¨� ]§ P  @i �] § } y_ \  hg^

] �   �]

§ �  @i �] § T

� ÿ87�ý)øTþ�9=ù�7%ýa; � ÿ8;^þ 5 9D;�þa? O þhú�ýUd�þ�\ Ç � ] Q � u T

��=}� Q y ?=ù%úTþq7XþlüK9D;²ù%û^øTW)üFE]ü8ùXþ � û�ü 5 ý<;B;^þ S ý�ø ý£ùXÿ � ?=ÿ87/� � ý�ù%ÿ � S �&Q�� Ç V Gb û�ø 5 þ4ø�9 5 ;�þlûÊý<7Xþ � 9 5 ú+úTþoýUd=û^þ�7�ùXú�ý�ø"þ�;^þ 5 ùK7Xÿ�øeü�?�û�øcùXúTþ4;�þoý S û�øeW(ý<JDJD78ÿPQ=û � ý£ùXû�ÿ�ø-ÿ�øTþù;ý£a�þoü¾ø�9 5 ;�þlûw=>7Xÿ<joþoø�ý£ù3ù%úTþlûB7�J ÿ�ü8û^ùXû�ÿ�øTü"?�ý�ø S 5 ÿ�øTü8û S þ"7Xü"?àû�øTü|ù%þNý S ÿ<= S Ñ G _8V ?�ù%úTþ b 5 úD7P~ÿ S û�øTW�þ�7ÿ8J¹þ�7Xý£ù%ÿ87[M©@ª�Q y_a`

�\ Ç p {] } S P ��� V

ÿ�ø�n { S L f � V O û²ù%ú � Ú L f � ?£ù%úTþ�J ÿ�ü8û^ùXû�ÿ�øTü�ÿ<=TùXúTþ�ø�9 5 ;�þoû«?<JD;�ýUE=û^øTWIùXúTþW78ÿ8;�þ1ÿ<=�J�ýa7%ý � þlùXþ�7Xü GH úTû^ü¶û�ü 5 ýa;B;�þ S ùXúTþq½¶ÿ<7Xø � \4J:J þløTúTþoû � þ"7¶ýaJDJD7XÿNQ=û � ý£ùXû�ÿ�ø G �³ù£JD;�ýUE=ü¶ýY=>9Tø S ý � þoøàù;ý<;¬7Xÿ<;�þ�û�øU�9�ý�øàù�9 � 5 úTþ � û^ü8ùK7FE8? O úTþ�78þ � ÿ�ü|ù 5 ÿ � JD9eù;ý�ù%û�ÿ�øTüEý<78þ S ÿ�øTþ O û²ù%ú ùXúTþ�ÿ8J¹þ�7Xý£ù%ÿ87�[M©@ª G3H úTþþoû^W�þoøfd£ý<;Z9Tþoü?ÿ<=�ù%úeþ�ÿ<J þ"7%ý£ùXÿ87q[M©¬ª ý<7Xþ,=>9eø 5 ùXû�ÿ�øTü�ÿ<=�ù%úeþ 5 ÿ]ÿ87 S û^ø�ý£ùXþoü�? � ?�ÿ<=�ù%úTþ(ø�9 5 ;^þoû Gi û^øTû � ûBjlû�øTWqùXúTþ6;^ÿ O þoü|ù`þoû^W�þoøfd£ý<;Z9Tþ � ù%úeþVW878ÿ89Tø S ü|ù;ý£ùXþVþløTþ�78W<E �EO û^ùXúr78þoüKJ¹þ 5 ù�ù%ÿ � W�ûZd�þoüù%úeþ4þlU�9TûB;^ûBAD78ûB9 � J ÿ�üXû^ùXû�ÿ�øeü�ÿ<=�ù%úTþ�ø�9 5 ;^þoû«?Tû G þ G ùXúTþ�üXú�ý<J¹þ�ÿ<=�ù%úTþ � ÿ8;�þ 5 9D;^þ G

Page 63: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

~��®­:�K�=� z¬y | y � ��¯`Ë°¯ Î�� x � � � Ë ��|I� ¯ ÎØÍ y �e��Í ¯ � ��¯`Ë Â8±p üKJ¹þ 5 ù�7%ýa;`ý�ø�ý<;eE]üXû�ühÿ<=�ÿ8J¹þ�7%ý�ù%ÿ87 S Ñ G y V û^ü)ý � ÿ<7Xþ S þ�;�û 5 ý£ùXþ)JD78ÿ8AD;�þ � ùXú�ý�øÌû²ùßû�ü�=6ÿ87ÿ�øTþ � J�ýa78ù%û 5 ;^þ�ÿ<J þ"7%ý£ùXÿ87Xü G \qøTþ-ý S ý<JeùXü ù%úeþ�ù%ÿ]ÿ8;^ü O þ ú�ýUd�þ üXþlþoøÌüXÿC=�ý<7hùXÿ+ù;ý£a�þ û^ø:ùXÿ ý 5 �5 ÿ<9Tøàù�ù%úTþ6J�ý<78ùXû 5 ;�þ�W�þoÿ � þYù�7FE G H úTþ{78þoüK9:;^ù%û^øTW üFJ þ 5 ùK7%ý<;_ý�ø�ý<;eE=ü8û�ü1û�ü S þoü 5 7XûZA þ S û�ø³² ����´4b�µ GH úTþ � ý�û^øC78þoüF9D;^ù�? S 9eþhù%ÿ�g G s 9TøDjlû�a�þ"7�? � G d£ý�ø�gBû^øàù%þ�7"?_ý£ø S � G i G¥¶ úTû^üK;^û�ø S ùXúTþ%·�¸�¹�»º��½¼��;��¾ V ?eW�ûed�þlü�ý S þoü 5 7XûZJeù%û^ÿ�ø ÿ<=ÊùXúTþ?üKJ¹þ 5 ù�7%ý)ÿ<= � ý�øfE � J�ýa78ù%û 5 ;^þ b 5 úD7N~ÿ S û^øTW�þ�7¶ÿ8J þ"7%ý£ùXÿ87Xü"?W�þløTþ�7Xý<;�ûZjoû�øeWßù%úTþq7XþlüK9D;²ù%ü�ÿ<= � ú�ý<JeùXþ�7/¿ G gêþ O ûZ;B; øTÿ�ù�W�ÿ(û�øàùXÿ(ùXúTþ?ù%úTþlÿ87FE"ÿa= � ý�øfE � A¹ÿ S Eb 5 úD7N~ÿ S û^øTW�þ�7 ÿ8J þ"7%ý£ùXÿ87Xü úTþ�78þ G s ÿ O þ"d�þ"7�? O þ O ûZ;B; S û^ü 5 9eüXüßù O ÿòÿa=�û^ù%ü S û�ü|ù%û^ø 5 ù�=6þNý£ùK9D7Xþlü�?O úTû 5 ú�ý<78þ�øTÿ�ù�JD78þoüXþløàùVû^ø"ùXúTþ�ÿ�øTþ � A¹ÿ S E 5 ý�ü8þ G

��XÀ Á�0{Â��,+ ������!%� !M$Ã��Ä�0 -�04�)� + 0 !M$�' ��1�1�' !�����!%�H úTþ b 5 úD7P~ÿ S û�øTW�þ"7Vÿ8J¹þ�7Xý£ù%ÿ<7 S Ñ G y V 5 ÿ �#� 9eù%þlü O û^ùXú�ù%úeþ ÿ8J¹þ�7Xý£ù%ÿ87�ÿ<=EùXÿ�ù;ýa;�ùK7%ý�øTüF; ý£ùXû�ÿ�ø ÿ<=ù%úeþ4ücE]ü8ù%þ � ´ S P Ç��UT�TUT�� P ��V}ÅÆ ´ S P Ç } w �UT�TUT�� P � } w Vý�ø S ÿ�øTþ 5 ý�ø+ü8úTÿ�Çq?�ù%úTþ"7Xþ"=6ÿ<7Xþ<?TùXú�ý£ù�û²ù%ü�üKJ¹þ 5 ù�7K9 � û�üÈJD9D78þ�;eE 5 ÿ�øàùXû�ø�9Tÿ89Tü G b ÿ�û^ø"ÿ87 S þ"7`ù%ÿÿ8Aeù%ý�û�øêû�øàù%þ"7Xþlü8ù%û^øTW�üFJ þ 5 ùK7%ý<;1û�ø:=6ÿ87 � ý�ù%û�ÿ�øêýaA ÿ89=ù ÿ89:7 üFE]ü|ù%þ � ?�Ç1þ ú�ýUd�þ-ùXÿ�7Xþ � ÿ�d�þ-ù%úTû^üù�7Xý�øTüF; ý£ùXû�ÿ�ø�ýa;�û�øfd£ý<7Xû�ý�ø 5 þ S�É AD7Xþoý�a�Êcû^ù V G \qøTþYÇ�ýUE+ÿ<= S ÿ�û^øTW�ùXúTû�üIû�ü/A�E Z:Ë û�øeW�ù%úeþ 5 þlø:ùK7Xþÿ<= � ý£üXü�ÿ<=�ù%úTþ�üFE]ü|ù%þ � ý�ùU?�ü%ýUE<?Tù%úTþ�ÿ878û�W�û^ø¥Ì�\ Ç `

] P ] Q&» TgÔþ�Ç�ûZ;B;tøeÿ�ù S þoü 5 7XûZA þ�ýcW�þløTþ�7Xý<; � ý�ù%úTþ � ý£ùXû 5 ý<;�J:7Xÿ 5 þ S 9D7Xþ�=6ÿ87 Z:Ë û^øTWcù%úTþ 5 þløàù�7Xþ�ÿ<=� ý�üXü"?bAD9eù6Ç�ûB;B;Êü8úTÿ�Ç úeÿ¨Ç�ùXÿ S ÿ û²ùqû�ø ù%úTþ 5 ý�ü8þßÿ<=¾ùÍÇ1ÿ�J�ý<78ùXû 5 ;�þoü"? � Q _ G �µø�ùXúTû�ü 5 ý�ü8þ<?Ç1þ 5 ú�ý£øTW�þ?ù%úTþqJ�ýa78ù%û 5 ;^þ6d£ý<7Xû�ý<AD;�þlü�ý�ü£=6ÿ8;Z;�ÿ�Ç�ü�Ì

P Ç�� P { ÅÆ � Q&P Ç i P { �½Î Q ` Ç P Ç } ` { P {` Ç } ` { T S Ñ G ± Vs þ"7Xþ � û�ü?ù%úeþ 5 ÿ=ÿ87 S û�øTý£ù%þ(ÿ<=1ù%úTþ%7Xþ"; ý£ùXûZd�þMJ¹ÿ�üXû²ù%û^ÿ�øÅÿ<=�ù%úeþ�ùÍÇ1ÿmJ�ýa78ù%û 5 ;^þoü�?�ý�ø SkÎ û^ü�ùXúTþ5 ÿ]ÿ87 S û�ø�ý�ù%þ�ÿ<=_ùXúTþoûZ7 5 þoøàùK7XþVÿa= � ý£üXü G�Ï üXû^øTW�ù%úTû^ü 5 ú�ý£øTW�þ�ÿ<=¥d£ý<7Xû�ý<AD;^þoü¾û�ø(ù%úeþ�ùÍÇ1ÿ � JTý<78ùXû 5 ;^þb 5 úD7N~ÿ S û^øTW�þ�7�ÿ8J¹þ�7Xý£ù%ÿ<7

[ { Q y_a` { p { Ç } y_a` { p {{ } S P Ç i P { Vý 5 ù%û�øeW�ÿ�øCn { S L�Ð V ?DǶþ4ý<7F7Xûed�þ�þNý�ü8ûB;eEcý£ù`ùXúTþ�ÿ8J þ"7%ý£ùXÿ87®[ { Q y_aÑ p {t} y_ �°Ò {3} S � V

Page 64: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Â�¤ ��x�y{z �3�}|�~��KÍ yVË%����z�y |�� �Y��� �B� � ���3�1Í��Ç�úTþ"7Xþ/pCQ i�sctwv�¦ ? Ò Q i/sutwv%Ó ? Ñ Q �}Ô>��Õ�ÖÔ   �3Õ S ù%úTþ��;�X¸<×�Ø;�X¸r¾%Ù�Ú½Ú V ?¹ý�ø:ÛÜ� Q ` Ç } ` {S ùXúTþ)ù%ÿ�ù%ý<; � ý�ü8ü V G �µøÜ=�ý 5 ùU?Êû^ù 5 ý�ø³A¹þ�ü8úTÿ�Ç�øòùXú�ý£ùY[ ý�øDÛ ®[ ý<78þ�9TøTû^ù%ý<7XûZ;ZE þ�Ý�9Tûed£ý<;�þlø:ù�?Ç�û^ùXúhùXúTþ1þ"Ý�9TûZd£ý<;^þoø 5 þ�Þ�ûed�þlø�AfEhý/9TøTû²ù;ý<7cE47Xþoý<;�ûZjNý£ùXû�ÿ�ø?ÿa=Tù%úTþ 5 ú�ý�ø:Þ�þ¶ÿ<= 5 ÿ]ÿ87KÛeû�ø�ý£ùXþoü S Ñ G ± V GH úTþ�J¹ÿ�û^ø:ù�øTÿ�Ç�û^ü�ùXú�ý£ùIÿ�øTþ 5 ý�ø+üXþ"J�ý<7%ý�ù%þ�d£ý<78û ý<A:;�þoü`û^ø ùXúTþ ÿ<J þ"7%ý£ùXÿ87 ®[ { G �µøm=6ÿ87 � ý<;; ý£øDÞ89�ý<Þ�þ<?eùXúTû�ü � þNý�øeü�ù%ú�ý£ù&®[ { 5 ý�ø�A¹þqÇ�78û^ù8ù%þoø û�ø ùXúTþ4=6ÿ87 �

®[ { Q�[àß�Ò } Ò4ßá[%â �ÿ�ø2n { S LÖÐ V Q�n { S L ¦ f V ßãn { S L Ó f V Ç�úTþ�78þ[�Q y_aÑ p { } S � V

ý 5 ù%ü�ÿ�øCn { S L ¦ f V ?©ý�øDÛ [Mâ � Q y_ � Ò {ý 5 ù%üVÿ�ø�n { S L Ó f V G � ;^þNý<7F;ZE�[ñý�øDÛm[%â � ý<7Xþ�ù%úeþ b 5 úD7N~ÿ8ÛTû^øDÞ�þ�7�ÿ8J¹þ�7Xý£ù%ÿ878üIÿa=Eù%úTþ��%�Y�eÙ��j�»ä��¾r¼�����¼��hÿ<=¹ù%úeþ�JTý<78ùXû 5 ;^þoü"?:ý�øDÛ(ÿ<=¹ù%úTþlûB76Ø;�Y���µ�Y�4¼uå�¾%Ù�Ú½Ú�¾r¼�����¼��q7XþlüKJ¹þ 5 ùXûZd�þ�;ZE G �³ù�û�ü¾þ�Ý�9�ýa;B;ZE5 ;^þNý<74ù%ú�ý�ù)ÿ<=�û�øàùXþ�7Xþlü8ù�=6ÿ87�9Tü)û�ü�[�?[ý�øDÛÌøeÿ�ù�[Mâ � Gçæ ÿ£ù%þ-ùXú�ý£ù�[ úTý�ü ù%úeþr=6ÿ87 � ÿ<=Iýÿ�øTþ � J�ýa78ù%û 5 ;^þ b 5 úD7N~ÿ8ÛTû^øDÞ�þ�7`ÿ<J þ"7%ý£ùXÿ87£Ç�û^ùXúcþ Ë ù%þ"7Xø�ý<;�J¹ÿ�ùXþoøàù%û�ý<;� S � V G p ;Z; ùXúTþ�ý�ø�ý<;eE]üXû�ü�ǶþÛTþ�d�þ�;^ÿ8J¹þ�ÛC=6ÿ<7`üK9 5 ú+ÿ8J þ"7%ý£ùXÿ87Xü`û^ü�ý<JDJD;^û 5 ý<AD;�þVøTÿ�Ç�ù%ÿ%[ G ��½è éoê�0{�����U-��,.ëÂ���+�� �U-�.�041i ý�øfE � JTý<78ùXû 5 ;^þ�üFE]ü|ù%þ � ü ÛTû^üKJD;�ý�E ý{7Xþ � ýa7Xa�ý<AD;^þ¶øTþ�Çë=6þNý�ù�9D78þ�ÿ<=¬Ý�9�ý�øàù�9 � JTúfE=ü8û 5 ü G}Ï ø:;�û�a£þû�ø 5 ;�ý�üXü8û 5 ý<;{JTúfE]üXû 5 ü�?�ûZÛTþoøàù%û 5 ý<;4JTý<78ùXû 5 ;^þoü S û G þ G ?{J�ý<7|ù%û 5 ;�þlü)Ç�û^ù%úBù%úeþêüXý � þ � ý�üXü8þoü+ý�øDÛ5 ú�ý<7FÞ�þoü"?tÿ87"? � ÿ878þMÞ�þoøTþ"7%ý<;Z;ZE<?oÇ�úeû 5 úÔû^øàù%þ�7Xý 5 ù4û^øÅùXúTþ�ü%ý � þ�Ç�ýUE V ý<78þ(û�øDÛTû^ü8ùXû�øDÞ89eû�üXúTý<AD;�þû�ø�Ý�9�ý�øàù�9 � Jeú�E]ü8û 5 ü G¢H úTû�ü � þoý�øTü)ù%ú�ý�ù ý<;Z;ÈJD7Xÿ<A�ý<ATûZ;�û^ùÍE�ÛTû�ü|ù�78ûBAD9eùXû�ÿ�øeü,Ç�úTû 5 ú 5 ý�øëA¹þþ Ë ùK7%ý 5 ù%þ�ÛY=>7Xÿ � ý�ø ��� J�ýa78ù%û 5 ;^þ�Ç�ýUd�þÖ=>9Tø 5 ù%û�ÿ�ø ´ S P Ç��UT�TUT�� P ��V ?�üXúeÿ89D;BÛYA¹þ�ücE �#� þlùK7Xû 5 Ç�û²ù%ú7XþlüKJ¹þ 5 ùVù%ÿ%J¹þ�7 � 9eù;ý£ùXû�ÿ�øeü�ÿa=tù%úeþ 5 ÿ=ÿ<7KÛTû^ø�ý£ù%þlü�ÿ<=¾ûBÛeþoøàù%û 5 ý<;¥JTý<78ùXû 5 ;^þoü GWH úTû^ü�û^ü�þ�Ý�9TûZd£ý<;^þoøàùù%ÿ ù%úTþ#JD7Xÿ<J þ"78ùÍEÅù%ú�ý�ù ´ S P Ç��UT�TUT�� P ��V û�ü4û�øfd£ý<7Xû�ý�øàù�9eøDÛTþ�7hüK9 5 úzý2J þ"7 � 9=ù;ý£ùXû�ÿ�ø � ÿ�ÛD9D;^ÿ5 ú�ý�ø:Þ�þ�ÿ<=Eü8ûBÞ�ø Gp ü8üK9 � þ2=6ÿ<7�ü8û � JD;�û 5 û²ùÍEêùXú�ý£ù�ý<;B; � J�ýa78ù%û 5 ;^þoü(ý<78þ ûZÛTþoøàùXû 5 ýa; GìH úTþoø ù%úTþ"û�øfd£ý<78û ý�ø 5 þJD78ÿ8J þ"78ùÍE ÿ<= ´ S P Ç��UTUTUT"� P �WV =6ÿ87 � 9D; ý�ù%þ�Û ý<A¹ÿ�d�þ � þoý�øTü�ù%ú�ý£ù ´ S P Ç��UTUT�T"� P �WV A¹þ�;^ÿ�øDÞ�ü`ùXÿ ý7Xþ"JD7XþlüXþlø:ù%ý£ù%û^ÿ�øcÿ<=rùXúTþVücE �#� þlùK7Xû 5 Þ87Xÿ<9DJ�í � S ùXúTþ{Þ878ÿ89DJ-ÿa=oJ þ"7 � 9eù%ý£ù%û^ÿ�øTü�ÿ<= � û^øDÛTû 5 þoü V5 ÿ<7K7XþlüKJ¹ÿ�øDÛTû^øDÞÅù%ÿêýÜî�ÿ89eøDÞêù%ý<AD;�þoý<9lÇ�û^ùXú�ý£ù � ÿ�ü8ù(ùÍÇ1ÿ 5 ÿ8;B9 � øTü GëH úTþ üXú�ýaJ þ ÿ<=VùXúTþî�ÿ89Tø:Þ ù;ý<AD;^þNý<9�û�ürÛeþlù%þ"7 � û�øTþ"ÛãAfE�ùXúTþïÚÍð¹���Ìÿ<=?ùXúTþ�J�ý<7|ù%û 5 ;�þlü-û^ø�d�ÿ8;Zd�þ�Û Gòñ øTþ � 5 ÿ8;B9 � øî�ÿ89Tø:Þhù;ýaAD;�þoý<9 Ë,� û G þ G JD9D7Xþ";ZE(ücE �%� þlù�78û 5 ´ S P Ç��UTUT�T�� P ��V � 5 ÿ87K78þoüKJ¹ÿ�øDÛ�ù%ÿ�J�ý<78ùXû 5 ;�þoü Ç�û²ù%ú

Page 65: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

~��ôó�� � Ð?� Ë � �Y�3y{�kz¬y |�� �Y��� ��� Âfõû�øàùXþ�Þ�þ"7ßüKJTû^øTü�?[ÿ87%ö{¼�Ú�¼��:Ú�?�Ç�úTûB;^þ�ùÍÇ1ÿ � 5 ÿ8;B9 � ø ù%ý<AD;�þoý<9 Ë 5 ÿ87F7XþlüKJ¹ÿ�øDÛÌù%ÿÜJ�ýa78ù%û 5 ;^þoü�Ç�û²ù%úú�ý<;e= � û^ø:ùXþ�Þ�þ"7VüFJTû�øTü"?Êÿ87�÷��Y��¾)��¼��:Ú GYH úTû^ü47Xþ�;�ý£ù%û^ÿ�ø�A¹þlùÍÇ1þoþløêù%úeþ)üFE �#� þlùK7FEmJD7Xÿ8J¹þ�7|ù%û^þoü?ÿ<=Ƕý�d�þ�=>9Tø 5 ù%û^ÿ�øTüIý�øDÛ+ùXúTþ4üKJTû^ø�ÿ<=3J�ý<78ùXû 5 ;�þoü"?©û�ü�ø]øeÿ¨Ç�ø ý�ü�ùXúTþ��;�Y�eÙ�����¼��ïùY�Y�«ú¶�;�Y�mÚÍð¹���ïÙ��¹¸ÚY��Ù��j�BÚY����Ø½Ú G�û þ/Ç�ûB;B;¹øTÿ�ù£Þ�ÿßû�øàùXÿ ù%úTû^ü¶ù%ÿ<JTû 5 úTþ�78þ<?�ý�ø:Û�7Xþ"=6þ"7¶ù%úeþ?û�øàù%þ"7Xþoü|ù%þ"Û278þNý<Ûeþ�7¶ùXÿ(ý�øfEÿ<=�ù%úTþ�ü|ù;ý�øDÛTý<7KÛ2A ÿ]ÿ8ø:ü�ÿ�ø�Ý�9�ý�øàù�9 �ü� þ 5 úTý�øTû 5 ü�Þ�ûZd�þoø û�øcù%úTþq78þ"=6þ�78þoø 5 þoü G

Page 66: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Â� ��x�y{z �3�}|�~��KÍ yVË%����z�y |�� �Y��� �B� � ���3�1Í��

Page 67: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

ã ä åçæ èêéMë ýÿþ

� ä é � é�ï í ÷ å í æ å°èÌä ó¾íÙèêé�� ëÌåîõ

�µø+ùXúTû�ü 5 ú�ý<J=ù%þ�7"?¬Ç1þ�Ûeþ�7Xûed�þhý 5 ÿ�øfd�þoøeû�þoøàù67Xþ�J:7Xþoü8þoøàù;ý�ù%û�ÿ�øm=6ÿ87`ù%úTþhû�øàù%þ"Þ87%ýa;�ø�þ�78øTþ�;�ÿ<=EùXúTþ� 5 úD7��ÿ8ÛTû^øDÞ�þ�7¾þ�d�ÿ8;Z9eù%û^ÿ�ø)ÿ8J¹þ�7Xý£ù%ÿ87"?� ¢: � ����� G�H úTû^ü¾û�ütùXúTþ É�� þ"E]ø � ý�ø�J�ý£ùXú)û�øàù%þ"Þ87%ýa; G Ê � ûB78ü8ù�?Ç1þhøTþlþ�Û üXÿ � þ � ý�ù%úTþ � ý£ùXû 5 ý<;¹ùXÿ=ÿ<;�ü G���2��� � ����Ä�04' �����U-���.�ê�0/��!%�Ü+�� ��Ä�0 �á+ !��3��0{+ ÂÜ+ !�êÜ�Ü-È�

$<!#+}' �Ü.����þlù���?��r?©ý£øDÛ��! "� A¹þ4ü8þ�;e= � ý<Û$#8ÿ�û�øàù�ÿ8J¹þ�7%ý�ù%ÿ878ü�ÿ�ø�ý&%IûZ;BA¹þ�78ù�üKJ�ý 5 þ(' G ��=�²)� � � µ+*Q�»:?ù%úeþoø,�   ��-   © ¡ *Q.�   - �   © û�ø�Þ�þoøTþ"7%ý<; G ½W9eù�ǶþYÛTÿ(ú�ýUd�þ�ù%úeþq=6ÿ<;B;�ÿ�Ç�û^øDÞ G/10325476$298 Ò:Ó;:jÒ=< /+6>4@?�?A256 � 6>4;BDCFEG?IH�476$8JCFK �ML Õ3NPOQNPRSO º NPT � ÙGU¹¸�� ù N ù�¼�×VU¹¸ N ¸k¼ T�XWF�QWWÙGU¹¸(�! Y��Ú NPZ å\[cÙà¸^]U¼ R U O ÙGU¹¸)ù�¼�×9U¹¸ N ¸�å T ¼�¾�ù NPZ ¼�ú`_&a¥º N U�åU¼ Tcb � Sed Vgf »9W

��h ��-   © ¡ Qji i ;^û �ÜAkcl S ��h9m nM��h9o n V Üp 298 � 6>q Ò:Ó;:srta¥º N ؽ¼$U�ä NPTeu9N UbØ N º NPTvNgR Ú R U O º N Ú N U:Ú N ¼uå O º N ü8ùK7Xÿ�ø:ÞVÿ8J¹þ�7Xý£ù%ÿ87Êù%ÿ<J ÿ8;^ÿ8Þ<Ew_÷¼ T ¼½ð NPT Ù O ¼ T Úx� Ü ÙGU�yz� ¼$URÙk· RSZ ù NPT\O ÚÍð:Ù�Ø N '{W1� Ü Æ � R U O º N Ú O|T ¼$U u ¼½ð NPT Ù O ¼ TO ¼½ð�¼ Z ¼ uG}�~ ú T\RSOeO�N U�i i ;^û � Ü�kcl � Ü Q��c� R ��� � Ü�� i � � � Æ � åU¼ T Ù ZSZ � Ú '�_k÷�¼ Tù�¼�×9U�y N yk¼½ð NPT Ù O ¼ T Ú�W4ú N ØKÙGU O Ù$� N Ub¼ T ¾ ؽ¼$U�ä NPTeu9N UbØ N _��PU O º N åU¼ T ¾�× Z ÙçÙfù�¼�ä N ú N ×�Ú N yÙç×9U R åU¼ T ¾�y N ؽ¼�¾6ð�¼�Ú RSO|R ¼$Uã¼uå O º N�R U O�NPT ä�Ù Z ² � ��� µ _�a¥º N åU¼ T ¾�× Z Ù�Ú OeRSZSZ º�¼ Z y�Ú6åU¼ T Ù�Ub¼$U@[×9U R åU¼ T ¾�y N ؽ¼�¾6ð�¼�Ú RSOeR ¼$U�_� 6$4w4�H < H�4�6 �1� � � 4MCD�DBD29B L>� û þ 5 ý�øÌù%ý<ø�þ d Q � G ��þYù%í Ü Qt� ��-   © ¡ � Ü ý�øDÛ�� Ü Q� - � Ü � © � Ü GÖæ ÿ�Ç�A�E-ù%þ�;^þoü 5 ÿ8JTû^øDÞD?

í ÜÜ i � ÜÜ QRí ÜÜ i � Ü í Ü ¢ ÇÜ �� Ü í Ü ¢ ÇÜ ��A�A� i � ÜÜ ¿

Page 68: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Â�� � x/y6z��F  |¢¡G£8� ��x�  Î  {�¾Ë Í yqË z�y���x�¤�ËQ�F �¥ | y6�Q Ü ¢ Ç\ O ^§¦ � OÜ S í Ü i � Ü V í

Ü ¢ O ¢ ÇÜüXÿ

� í ÜÜ i � ÜÜ � fÜ ¢ Ç\O ^§¦ � � Ü � O � í Ü i � Ü �� í Ü �

Ü ¢ O ¢ Ç

f Ü ¢ Ç\ O ^§¦ S � ý Ë S � � Ü �¨�G� í Ü � VFVÜ ¢ Ç � í Ü i � Ü �

f Ö �G¨ - ¨   ¨ © ¨ � í Ü i � Ü �¨TÏ ü8û�øDÞ ý�J¹ÿ¨Ç1þ�7¶üXþ�78û�þlü¶þ Ë J�ý£øTüXû^ÿ�ø¥?wÇ1þqü8þoþ � í Ü i � Ü � Qj© S �Aª Öw« V ý�øDÛ-üXÿ � í ÜÜ i � ÜÜ � Æ �ý�ü Ö Æ ¬ G`­���2�XÀ � ����Ä�04' �����U-���.ãê�06�3!#�Ü+��ÿ�U�)�30¯®%+}��.á!%Â�04+ �Y��!%+}1û þ 5 ÿ�øTü8ûBÛTþ"7�û^øàù%þ�Þ<7%ý<;rÿ<J þ"7%ý£ùXÿ87Xü"?§°#?�ÿ�ø�ý,=>9Tø 5 ù%û^ÿ�ø"üKJ�ý 5 þ<Ì

S ° � V S P V Q²±�³ S P �K� V � S � Vµ´ �S ³ S P ��� V û�ü�ù%úeþ¶� NPT U NPZ ÿ<=�ù%úTþ�ÿ8J¹þ�7Xý£ù%ÿ87 V G � Ë ý � JD;�þlü`û�ø 5 ;B9DÛTþ� G °òQ¸· S i/s�v V =6ÿ87£Ç�úTû 5 ú ùXúTþqø�þ"7XøTþ";�û^ü³ S P ��� V Q S _>¹V ¢9ºµ� «V»· S P i � V S � � G � V_ G ³ Q� S � 9:;^ù%ûZJD;�û 5 ý£ùXû�ÿ�ø�ÿ8J¹þ�7Xý£ù%ÿ87 V =6ÿ87£Ç�úTû 5 ú ùXúTþqø�þ�78øTþ�;Êû^ü

³ S P ��� V Q� S P V^¼ S P i � V T� 6$4 � 4�½�¾S?>¾¿4M�jÀ5Á :ÃÂÄ�»å¯°ÆÅ%ÙGU�yQ° « Ù TvNQR U O�N�uGT Ù Z ¼½ð NPT Ù O ¼ T Ú ~ ú RSO º�� NPT U NPZ Ú�³ÇÅ%ÙGU�y&³ « �AWO º N U O º NXR U O�N�uGT Ù Z � NPT U NPZ ¼uåc°ÉÈ.°ÆÅÊ° « R Ú³ S P ��� V Q.±Ë³ÇÅ S P �½Î V ³ « S Î:��� V^´ Î:T� 6$4 � K|298 À5Á :ÍÌ Î 7Xÿ�d�þ4ùXúTû�ü G

Page 69: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

¡G£f�ôó�� ��x� ¸ÏР{�ÐѯÒCy�Ñòz¬y���xɤÊѶ�F �¥ | y{� Ó�Ôp 298 � 6>q�À5Á :sÕÄ�»åÖ° R Ú�ÙGU R U OÊN�uGT Ù Z ¼½ð NPT Ù O ¼ T ú RSO º×� NPT U NPZ Ú�Ù O|R Ú>å }�R U u

± § ³ S P � P V § ´ P{Ø ¬ �O º N U O º N ùK7%ý 5 þ2¼uåÖ° R Ú OeT ³ Q ± ³ S P � P V^´ P T���2�½è � Ä�0 Ù�06(2�Ü' �,� Â�����Ä �U�)��0�®#+ ��.Ú�þ 5 ýa;B;_ùXú�ý£ù`ù%úeþ4ü8ÿ8;B9=ù%û�ÿ�ø ù%ÿ(ù%úTþ � 5 úD7��ÿ8ÛTû^øDÞ�þ�7`þ"Ý�9�ý£ù%û^ÿ�ø

sct9Û � ª Û§Ü QÃ[ �Ç�û^ùXúcù%úTþ�û�øeû^ù%û�ý<; 5 ÿ�øDÛeû^ù%û^ÿ�ø � § ^§¦ Q � ¦û�üÈÞ�ûZd�þlø+û^øcù%þ�7 � ü`ÿa=3ùXúTþ�þ"d�ÿ<;B9eùXû�ÿ�ø"ÿ8J¹þ�7Xý£ù%ÿ87�Ý S Ü V Ȳ� ¢: Þ�D ��� ý�ü

� QÄÝ S Ü V � ¦ T%Iþ"7XþY[ û�ü�ý(üXþ";Z= � ýaÛ$#8ÿ�û�øàù � 5 úD7A�ÿ8Ûeû�øDÞ�þ"7`ÿ8J¹þ�7%ý�ù%ÿ87"?Tü%ýUE[�Q i t «_a`�ß ë S P V T

ñ 9D7�Þ�ÿ�ý<;1û^øêùXúTû�ühüXþ 5 ù%û^ÿ�ø û�ü�ù%ÿm9TøDÛTþ"7Xü8ù%ý�øDÛ ùXúTþ þ"d�ÿ8;B9=ù%û�ÿ�øÔÿ8J¹þ�7Xý£ù%ÿ87¶Ý S Ü V QË� ¢DàâáäãåAfExæ�ø:ÛTû�øDÞßý 5 ÿ�øfd�þløTû�þløàù/78þ�JD78þoü8þoøàù;ý£ùXû�ÿ�ø"ÿ<=Êû²ù%ü1û�øàù%þ"Þ87%ý<;�ø�þ"7XøTþ"; G�û þ4ÛTþoøTÿ£ù%þVùXúTþ?û�øàù%þ"Þ87%ýa;ø�þ"7XøTþ";Êÿ<=`Ý S Ü V AfE�Ý S �¬� P V S ý<;�ü8ÿ 5 ý<;Z;�þ�ÛcùXúTþ{ð T ¼½ð:Ù u Ù O ¼ T =>7Xÿ � P+ù%ÿ � V GÏ ü8û�øDÞ(ù%úTþ H 7Xÿ�ù8ù%þ"7ÈJD7Xÿ�ÛD9 5 ù�=6ÿ<7 � 9D;�ý:?wÇ1þ�ú�ýUd�þ� ¢ à�áäãå Qj�   � å ÕÕèçêé ¢Vë7 ¡ ��� Qji i ;^û �ì k�l ³ ììÇ�úTþ"7Xþ(³ ì ÈÄ� à å ãÕèç n é � ¢ à�í�ãå n G � ÿ

Ý S �¬� P V Q ;�û �ì kcl ±î�A�A�v±Ë³ ì S ��� P ì ¢ Å V �A�A��³ ì S P « � P�Å V ³ ì S P�Å � P V^´ P ì ¢ ÅM�A�A� ´ P�Å T S � � G _8Væ ÿ�Çq? ³ ì S �¬� P V Q�� à å ã�ïÕèç n S �¬� P V �£¢ àâí5ðòñ�ó�ãå ný�ü/%?©ý£øDÛ+úeþoø 5 þ1� ¢: Íë§ � ì � û^ü�ý � 9D;^ùXûBJD;^û 5 ý£ù%û^ÿ�ø�ÿ<J þ"7%ý£ùXÿ87 S 5 úTþ 5 øcù%úTû^ü V G

Page 70: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

¿ � � x/y6z��F  |¢¡G£8� ��x� "ÏР{�êѯÒ2y¯Ñ z�y���x�¤ÊÑQ�F �¥ | y6�ô 2V8õ8 � À9Á :Ãöò÷¼ Tcb � Se÷ Vgøù� W

� ÔÕsúAé S P ��� V Q S _$¹÷ V ¢9ºµ� « � ¢ ú ÕAû N ¢�¦ û Õ T� 6$4w4�H � � ÿ87 b � Se÷ V¯üÄ� ?�JD7Xÿ8A:;�þ � ¤ G � üXúeÿ¨Ç�üqùXú�ý£ùqùXúTþ � H S Ç�û^ù%ú t Q � V ÿ<= ÷ ºµ� « � ¢ ú Õ>û N û Õû�ü¯� ¢ ÔÕsúû O û Õ ?Êý�øDÛ ù%úeþ�7XþoüF9D;^ù6=6ÿ8;B;^ÿ¨Ç�ü�=>7Xÿ � S � � G � V G �µøÜ=�ý 5 ù�?_ù%úTû^ü � H þ�Ý�9�ýa;�û^ùÍE+û�ü/d�ýa;�ûBÛC=6ÿ87b � ÷ Q � ý�üÈÇ1þ�;Z; S û�ø"ýMÛTû^ü8ù�78ûBAD9=ù%û�ÿ�ø�ý<;¹üXþoøeüXþ V Gg­æ ÿ�Ç ü8þlù8ù%û�ø:Þ ÷ Q � ì Þ�µ ý�ø:ÛCJD;Z9DÞ8Þ�û^øDÞßû^ø:ùXÿ S � � G _8V Þ�ûed�þlü�9eü

Ý S �¬� P V Q ;�û �ì kcl ± �A�A� ± �  Íý n ��� S _$¹ sctÜ`�þ V ¢ ì ºµ� « ´ P�Åw�A�A� ´ P ì ¢ ÅÇ�úTþ"7Xþrí ì Q¢ÿ ì ¢ ÅO ^§¦ S `�þ § P O   Å i P O § « ª _ Ü}i S P O   Å V Ü ª þ¥V Ç�û^ùXú³P ¦ Q�Po?�P ì Q � G�� þPæ�øTþù%úeþ,JTû�þ 5 þ�Ç�û�üXþ�;�û�øeþNý<7È=>9Tø 5 ù%û^ÿ�ø�� ì üK9 5 ú ù%ú�ý£ù�� ì S �fV Q Po?�� ì S Ü ª þ�V QòP�Ž? �A�A��?�� ì S Ü V Q �S ü8þoþ æ�Þ89D78þ � � G ± V G

s

piecewise linear functiont(n-1)t/n2t/nt/n

x

y

S � � G ± VH úTþløí ì Q ì ¢ Å\ O ^§¦ � `

§ � ì SKS� � V Ü ª þ�V i � ì S� Ü ª þ�V § «_ S Ü ª þ¥V « i S � SFS� � V Ü ª þ�VFV�� Ü ª þ Tæ ÿ�Çq?¬í ì û^ü�ý&Ú�û�þ � ý£øTøcüK9 � =6ÿ<7�ù%úTþ 5 ;�ý�üXü8û 5 ý<;�ý 5 ù%û�ÿ�ø

í S � � Ü V Q²± ¦ �` _� � S i V « i S � V��$´ i

ÿ<=�ù%úTþqJ�ý�ù%ú�� ì G � ÿ�Ƕþ4ú�ýUd�þ4üXúTÿ�Ç�øÝ S ��� P V Q ;^û �ì kcl ±�� n��� ñ � ã

�  Íý ��� n ¡ ����� � ì S � � G ¤ V

Page 71: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

¡G£f�ôó�� ��x� ¸ÏР{�ÐѯÒCy�Ñòz¬y���xɤÊѶ�F �¥ | y{� ¿ �Ç�úTþ"7Xþ Ò ìN�� ¦ � û�ü�ù%úTþ S þ i � V � ÛTû � þoøTü8û�ÿ�øTý<;©üKJ�ý 5 þ�ÿ<=J�ý£ù%úeü�� ì Ç�û^ù%ú�� ì S �fV Q&Po?�� ì S Ü V Q � ?ý�øDÛIÇ�úTû 5 ú�ýa7Xþ³;�û^øTþNý<7�ÿ�ø S� Ü ª þ � S� � V Ü ª þ¥V =6ÿ87 � Q � ���<�UTUTUT�� þ i � ?Vý�øDÛ � � ì QS «��  Þ�^ì � V ¢ ì ºµ� « ´ � ì S Ü ª þ¥V �A�A� ´ � ì SFS þ i � V Ü ª þ�V G%Iþ"9D7Xû^ü8ù%û 5 ý<;Z;ZE<?=ý£ü þCÆ ¬ ? � ì ý<JDJD78ÿàý 5 úTþlü�ý�J�ý£ùXúr=>7Xÿ � P"ù%ÿ � S û�ø-ùXû � þ Ü V G H ú�9eü£Ç¶þÇ�7Xû²ù%þ

Ý S �¬� P V Q²±�� ��� ñ � ã �  Íý �!� � ¡ ����� � T S � � G õ V%Iþ"7Xþ Ò N�� ¦ � û�ü�ù%úeþ4üFJ�ý 5 þ4ÿa=3J�ý�ù%úTüÈ=>7Xÿ � P�ùXÿ � ÛTþ æ�øeþ�Û ý£ü

Ò N�� ¦ � Q � �m̬² � � Ü µ Æ L º § ± ¦ § � § « Ø ¬ � � S �fV Q&P � � S Ü V Q � � TH úTû^ü�û^ü�ù%úTþÈ÷ NP} U�¾%ÙGU6ð:Ù O º R U O�N�uGT Ù Z G �³ù�û^ü�øeÿ�ù7XþNýa;B;ZEqý�ø û^øàù%þ�Þ<7%ý<;«?�AD9eùtý�=6ÿ87 � ýa;�þ Ë JD78þoüXü8û�ÿ�øÇ�úTÿ�ü8þ � þNý£øTû�øDÞÅû^ü%Þ�ûZd�þløëAfE S � � G ¤ V GáÏ üXþ�=>9D;�7XþlüK9D;²ù%ü�ý<7Xþ"ÿ8Aeù%ý�û�øeþ�ÛØøTÿ�ø � 7XûBÞ�ÿ87Xÿ89eüK;ZEïAfEù�78þNý£ùXû�øDÞ�û^ù/=6ÿ87 � ý<;B;eEcý�üqý�ø û�øàùXþ�Þ87Xý<; G#" øTücǶþ"7Xü4Ç1þ,Þ�þlùIù%úTû^ü/ǶýUE ý<78þ û�øàùXþ�;B;^ûBÞ�þløàù/Þ<9Tþoü8üXþoüÇ�úTû 5 ú � 9eü8ù�A þ+#F9Tü|ù%û æ�þ�Û�AfE�7XûZÞ�ÿ87Xÿ<9Tü¶ù%ÿ]ÿ8;^ü Gæ ÿ�ùXþhùXú�ý£ù Ò ìN�� ¦ � û^üVý�ø S þ i � V � ÛTû � þoøeüXû�ÿ�ø�ý<;_üF9DATüFJ�ý 5 þ ÿ<=Eù%úeþ ¬ � ÛTû � þoøTü8û�ÿ�øTý<;rüKJTý 5 þÒ N�� ¦ � G �³ù?üXý£ù%û^ü^æ�þlü Ò ìN�� ¦ � %$ Ò « ìN�� ¦ � ý£øDÛ S û^ø üXÿ � þßü8þoøTü8þ V ;�û � ì kcl Ò ìN�� ¦ � Q Ò N�� ¦ � G4û þ 5 ý<;Z;üK9 5 ú�üK9:ATüKJ�ý 5 þoü'& U RSOÊN y R ¾ N U:Ú R ¼$U¬Ù Z Ù�ðfð T ¼)( R ¾%Ù OeR ¼$U:Ú�ÿ<= Ò N�� ¦ � G�µø S øeÿ�ø � 78ûBÞ�ÿ<7Xÿ89Tü V 5 ÿ � JD9eù%ý£ù%û^ÿ�øTü�?�û^ù4û^ühÿ<=�ùXþoøï9TüXþ�=>9D;1ùXÿC9Tü8þxæ�øTû²ù%þ � ÛTû � þløTüXû^ÿ�ø�ý<;¾ýaJ �JD78ÿ Ë û � ý£ùXû�ÿ�øeü¶ù%ÿ)ù%úeþYJTý£ù%ú üKJ�ý 5 þ�ÿ�ù%úeþ�7`ù%ú�ý£ø ùXúTþqJ ÿ8;eE�Þ�ÿ�ø�ý<; ÿ�øTþ4ý<A¹ÿ�d�þ Gû þ 5 ý�ø 5 ÿ�øeü8ù�7F9 5 ù � ÿ<7XþçÞ�þoøTþ"7%ý<;�æ�øeû^ù%þ � ÛTû � þløTüXû^ÿ�ø�ý<;qý<JDJD78ÿ Ë û � ý£ùXû�ÿ�øeü"ý�ü2=6ÿ<;B;�ÿ�Ç�ü Gξû 5 øcýÆæ Ë þ"ÛC=>9Tø 5 ù%û^ÿ�ø*� N ¦�+ Ò N�� ¦ � G H úTþoø

Ò N�� ¦ � Q,� N ¦ Ò ¦ � ¦ � Tæ ÿ£ù%þ Ò ¦ � ¦ � û^ü`ý¶%IûZ;BA¹þ�78ù¶üKJ�ý 5 þ G.- úTÿ]ÿ�ü8þhý£øcÿ878ùXúTÿ�øTÿ87 � ýa;bA�ý�ü8û�ü �0/

] � û^ø Ò ¦ � ¦ � ý�øDÛ�ÛTþPæ�øTþÒ ì¦ � ¦ � Q üFJ�ý�ø �0/ ] � ì Å

ý�øDÛÒ ìN�� ¦ � Q,� N ¦ Ò ì¦ � ¦ � TH úTþlø Ò ìN�� ¦ � û�üßý æ�øTû^ùXþrÛTû � þløTüXû^ÿ�ø�ý<;�ý<J:JD7Xÿ Ë û � ý£ù%û^ÿ�øòÿ<= Ò N�� ¦ � G�H E�JTû 5 ý<; 5 úTÿ�û 5 þlüßÿ<=1� N ¦ý�øDÛ �0/ ] � ý<7Xþ

� G � N ¦ û�üWJTû�þ 5 þ"Ç�û^üXþq;�û^øTþNýa7�ý�øDÛ �0/ ] � ý<78þqüKJD;^û�øTþlü G}H úTû^üÈÞ�ûZd�þoü�ù%úeþ4J ÿ8;eE�Þ�ÿ�ø�ý<;_ý<JDJD78ÿ Ë û �� ý£ù%û^ÿ�ø û^ø:ùK7Xÿ�ÛD9 5 þ�Û+ý<A ÿ�d�þ G

Page 72: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

¿ _ � x/y6z��F  |¢¡G£8� ��x� "ÏР{�êѯÒ2y¯Ñ z�y���x�¤ÊÑQ�F �¥ | y6�_ G � N ¦ û^ü�ý 5 ;�ý�üXü8û 5 ý<;bJ�ý�ù%ú S ý 5 7Xû²ù%û 5 ý<;¬J ÿ�û�øàù�ÿ<=ÊùXúTþ?ý 5 ù%û�ÿ�ø)=>9Tø 5 ùXû�ÿ�øTý<;¥í S � VKV ý�øDÛ �0/ ] �ý<78þ�þlûBÞ�þlø:=>9Tø 5 ù%û^ÿ�øTü�ÿ<=�ùXúTþx%�þoü8üXû ý£øÔÿ<=�í�ý£ù2� N ¦ S ü8þoþ�ù%úTþ�øTþ Ë ù üXþ 5 ù%û^ÿ�ø V G �µøÔù%úTû^ü5 ý�üXþa?�ûZ=43 + Ò ì¦ � ¦ � ?=ù%úTþlø

� 3MQ S _>¹ seÜ�t` V ¢9ºµ� « S _$¹;þÜ5 `t V ì

ì6]^ Å ´ ÷

]

Ç�úTþ"7Xþ3MQ ì\ ]

^ Å ÷] / ] T

�³ù�û�üÈ7Xþoý�üXÿ�ø�ý<AD;^þ�ùXÿ(þ Ë J þ 5 ù�ù%ú�ý�ù�ûZ=;�û �ì kcl ± � n��� ñ � ã

�  Íý ��� � ¡ ���7� �þ Ë û^ü8ù%ü"?Eù%úTþløzû^ùhû�ü û^øDÛTþ"J þløDÛTþoøàù(ÿ<=`ùXúTþxæ�øeû^ù%þ � ÛTû � þløTüXû^ÿ�ø�ý<;�ý<J:JD7Xÿ Ë û � ý£ù%û^ÿ�ø¥? Ò ìN�� ¦ � ?tùXú�ý£ùÇ1þ 5 úTÿ]ÿ�ü8þ G� 6$4 � K|298 À5Á :98� G1- ÿ � JD9eùXþ S 9eüXû�ø:Þ S � � G õ V ý�øDÛBý�æ�øeû^ù%þ � ÛTû � þløTüXû^ÿ�ø�ý<;�ý<J:JD7Xÿ Ë û � ý£ù%û^ÿ�øØÿ<=�ù%úTþ�JTý£ù%úüFJ�ý 5 þ V Ý =6ÿ87S ý V S P V Q � S =>78þoþqJ�ý<7|ù%û 5 ;�þ VS A V S P V Q �;: Õ

« P « S úTý<7 � ÿ�øTû 5 ÿ�ü 5 ûB;Z; ý£ùXÿ87 V G_ G#� þ"7XûZd�þ�ý%JTý£ù%ú"û�øàùXþ�Þ87Xý<;¥7Xþ"JD7XþlüXþlø:ù%ý£ù%û^ÿ�øC=6ÿ<7�ù%úTþ�û�øàùXþ�Þ87Xý<;¥ø�þ"7XøTþ";Êÿ<=Ð� ¢;< áå G± G�Ï üXþIùXúTû�ü¾ùXÿ(æ�øDÛ-ýYJTý£ù%ú�û�øàù%þ"Þ87%ý<;@78þ�JD78þoüXþløàù;ý£ùXû�ÿ�ø%=6ÿ87�� S>= V È�ù�7c� ¢;< áå S E�ÿ89�üXúTÿ<9D;BÛÞ�þYù`ù%úTþ�þ Ë J:7Xþoü8üXû^ÿ�ø S � ± G Ô VKV G

���2�@? A 04��04+ ��.U������� �"!#�Ü1�!%$&� Ä�0 Â�����Ä �U�)��0�®#+ ��.%Iþ"7XþYǶþ � þoøàùXû�ÿ�øCAD7Xû^þ)BDEcùÍÇ1ÿcþ Ë ù%þløTüXû^ÿ�øTüIÿ<=Eù%úeþ � þ"E]ø � ý�ø�J�ý�ù%ú�û^øàù%þ�Þ<7%ý<;�Ç1þßú�ýUd�þ�#F9eü8ùû�øàùK7Xÿ�ÛD9 5 þ"Û G

Page 73: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

¡G£f��C�� ¥�  Ñ   | y{�;¤@Dby��D¤�¯ÖÑFEï¯Öϲ��x  ãz�y���x�¤ÊÑQ�F �¥ | y6� ¿ ±� G ξú�ý�ü8þ � üKJ�ý 5 þ�JTý£ù%ú û�øàù%þ"Þ87%ýa;�Ì

Ý S �¬� P V Q ± � ��� ñ � ã�G ý�øfE:ù%úTû^øDÞ �  �H ãI �7J� � ¢V� �!� � � ¡Z¡ ����� � �ͪ ¹Ç�úTþ"7Xþ �ͪ ¹ û�ü�ùXúTþ{ð:Ù O º�¾ N Ù�Ú�× TvN ?TøTÿ87 � ýa;�ûBjlþ�Û"ý�ü

± � ¢ àÕ H ãI ¨ � ¨ Õ �ͪ ¹ Q �S 7Xþ 5 ý<;B;¾û^øLKNM ´ªPO pkQ ´ O p ª S _>¹V O � « V G)H ÿmÛTþ"7XûZd�þ�ùXúTû�üY7Xþ"JD7XþlüXþoøàù%ý£ù%û^ÿ�ø¥?�Ç1þr9eüXþ�ùXúTþH 7Xÿ�ù8ù%þ"7YJ:7Xÿ�ÛD9 5 ùq=6ÿ87 � 9D;�ý:?rù%úTþ(þ Ë J:7Xþoü8üXû^ÿ�ø��  RQS�TS � s�U [ =6ÿ87 U ü � ý<;Z;�?�ý£øDÛòùXúTþücE � A ÿ8;^û 5 S JTü8þ�9DÛeÿ � ÛTûWV_þ"7Xþlø:ùXû ý<; V 5 ÿ � J ÿ�üXû^ùXû�ÿ�øM=6ÿ87 � 9D; ý G�Ï ø:;�ûBø£þ�ùXúTþ678þ�JD78þoü8þoøàù;ý£ùXû�ÿ�øX �   H ãI ý � �o?¶ù%úTû^ü%=6ÿ<7 � 9D;�ý úTÿ8;BÛeü-ý<;^üXÿ³=6ÿ87 � ÿ<7Xþ 5 ÿ � JD;�û 5 ý£ùXþ�Û�[�?WÇ�úeû 5 úKýa7Xþ øTÿ�ùÝ�9�ý<Û:7%ý£ùXû 5 û�ø�p�Y

_ G�" J�ý<7|ù%û 5 ;�þVû�ø ý,d�þ 5 ù%ÿ87�J¹ÿ�ù%þlø:ùXû ý<;M� S P V G �µø ùXúTû�ü 5 ý�üXþa?�ù%úTþX%Vý � ûZ;^ù%ÿ�øTû ý�ø�û�ü[ S P � p V Q �_a` S p i ��� S P VFV « ë S P V

ý�ø:Û ùXúTþX��ýaÞ87%ý�ø:Þ�û ý�ø-û�ün S P � P V Q ` _ P « i S P V !� P×�A� S P V TH úTþqJD78ÿ8J�ý<Þ�ý£ù%ÿ87`ü|ù%ûZ;B;_úTý�ü`ù%úTþq7Xþ"JD7XþlüXþlø:ù%ý£ù%û^ÿ�ø

Ý S �¬� P V Q ± � ��� ñ � ã �  Þý �!� ¡ ����� � �AD9=ù�Ç�û²ù%ú

í S � V Q ± ¦ n S � � � Vµ´ i6Q ± ¦ S` _� � « i S � VFV^´ i+ !� ± ¦ � S � V � � ´ i T� û^ø 5 þa?eû^ø�Þ�þoøTþ"7%ý<;«?ä� S P V ÛTÿ]þoü¶øTÿ�ù 5 ÿ �#� 9eù%þ6Ç�û²ù%ú v ? 5 ýa7Xþqü8úTÿ89D;ZÛ�A þqþ Ë þ�7 5 û�ü8þ�Û û�ø5 ÿ � J:9eù%û^øDÞ(ýÆæ�øTû^ùXþ � ÛTû � þoøTü8û�ÿ�øTý<;rý<J:JD7Xÿ Ë û � ý£ù%û^ÿ�ø¥Ì3ÿ�øTþ�üXúTÿ<9D;BÛcù;ýaø�þ

\ � S �_ S P   lP     Å VKV � S P     Å i P   Vÿ87 \ �_ S � S P   V !� S P     Å VKV � S P     Å i P   Vý�ø:Û+øTÿ£ù \ � S P   V � S P     Å i P   V ÿ<7 \ � S P     Å V � S P     Å i P   V T

Page 74: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

¿ ¤ � x/y6z��F  |¢¡G£8� ��x� "ÏР{�êѯÒ2y¯Ñ z�y���x�¤ÊÑQ�F �¥ | y6�

Page 75: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Z [ \^] _a`cb ý ý

\d_e[ `gf \d_ehji,\lk m `�_anpo brq _e[ ` i,\lkjiTo kso tnvu wx\^byhz\g_eh4np{ t

H}| ~ 5�� ; 5 9D;Z9 �z�<=:d � 7�� ��� ����� ��? � � ~ Ë � ~ � ���ed ~}� �P� | ~)� ��� � 57� ; � | ~ �87cE������ � ����Ç��,7��ZÞ | � ?<J:; � E�� �=>9 �DÛ � ��~ � ��� ;�7��8; ~ � | 7��89:Þ | �89 � J | E���� 5 � G}H}| ��� 5 | � J � ~ 7 5 ��� ��� ����� � ����d ~ 7Fd�� ~ Ç��a=;��� ��~ �<=� |�~ A � ��� 5%� �KJ ~ 5�� �j�<= � | ~ d � 7�� ��� ����� � ; 57� ; 5 9D;B9 � Gûa~ Ç��Z;B;f9 � ~ � | ��� � �P� ~ 7�� � ;���� -%| � J � ~ 7�� � ±� �DÛ � ¤ ?���� 5 ���$#F9�� 5)� �����%Ç�� � | � | ~ J �P� | ��� � ~ Þ87 � ;���� � 7��wÛD9 5 ~ Û���� � | ~ J:7 ~ d����89 � 5 | � J � ~ 7�? � ��8A ��� ����9�� ~ =>9:;Ý�9 � � � � ���P� �ed ~ 7 ~ �K9D; � � � A��89 � Ý�9 � � � 9 � �FE�� � ~7� � G�����0� Ù�� �Ü-�¡j¢7£��¥¤,.U1H}| ~ A � ��� 5 �8A5# ~ 5)� �z�<= � � 9:Û:E���� � | ~ 57� ; 5 9D;B9��4�<=:d � 7�� ��� ����� � � 7 ~ åX×VUbØ O|R ¼$U¬Ù Z Ú�?aÇ | � 5 | � 7 ~ #F9�� �=>9 � 5�� ����� �{Û ~ æ�� ~ Û¦����=>9 � 5)� ����� �FJ �<5 ~ � GYH}| �P� ����?¬Ç ~ �FJ ~ 5 �e=»E � �FJ �<5 ~ ?�§e¨���©s©«ª�� ¬ � ����� �)¨� �DÛ � |�~ åX×9UbØ O|R ¼$U¬Ù Z Ú �P­ ~ #�ª � � � ��® ��íáÌP§ Æ°¯#±²´³�µ 8·¶ K¿2=À7À : À % ~ ­ ~ ��­ ~ ��� ��~ ¬)� ��� ��� ~ Ë � � ® ¸ ~ �%�P©�©«ª � ¬ � ����� ��¸ �)¨wí}¨ � �DÛ � | ~ � ®�� ¬ ~ �§¹����Ç | ��¬ | � | ~�º ��­ ~ Û ~ æ�� ~ Û ±� ± §p»�¼ «�½�¾ ÷�¿�À�Á ¯Äà ¨�Å + §Æ���gæ�Ç ~ Û�¨ � �:Û

íÉÈ���ÊË ±ÍÌÎ ÅÏ��ÐÑ�±#ÒjÓ ��¸ ª �P� �����Ô©«ª � ¬ � ����� ��¸ È4§Õ»,Ö ½�¾ ÷�¿�À�Á à ¨ × ¦ + ¾ ÷�¿�À�Á æ�Ç ~)Ø ¨ � � ØÙ È���ÊË � ½ × ¦ Ã

Ú õ

Page 76: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Ú Ó �jÛ#ÜFÝ �F ßÞ ¡�¡�à Ò Ü � Û  `Ò Ü �D¤ �zÜ´á�â  ��%ã�ä4Þ�å5� Û   �zÜFá`� ä á ä4E�ãÖÏLæ Ü Þc¤ Ü �D¤�ãÖÑFE½èç ~ ¬ � � � ¬ � ª �P¸�¸ º � | ����ée��© � | ��� � � � � ® ~ ¬7� �P¸ ¬ � � ~ �P© ~ Ç � � ® ¸ ~ � ç � � | Å ½ × Ã »¼ ½ ×�êL× ¦ Ã�Ã�±ë�± §p» � ��È ¯ º Ë ¯ßì�íïî ½ � à + ¼ Å ½ ¯ º Ã�� ¨ î È ¯ßì Ë ¯ ¨ � � Ø

Ù È���ÊË ±�ð�ñ î ½ � à Ф ± � � ­ ��¬ | ¸ ~ � ©«ª � ¬ � ����� ��¸ È4§ò»ôó Å ½ ¯ º Ã È � � + ¼ « ½ ¯ º Ã1í�õ � + ¼ « � ¨ � � ØÙ È���ÊË �Ñ ± ð�ñ íïõ � í « Ðö�± - ¸�� ������¬ �P¸�� ¬ � �����ÏÈj§Õ» � � + Ö Å ½�¾ � ¿ � Á ¯ ì Ã1í � ½ ��à » ÷�¿ � ½ � à » À � ¨ � � Ø

Ù È���ÊË ±y÷¦ � �Ñ�ø í � í « ê î ½ � Ã�� ÐÓ ± - ¸�� ������¬ �P¸�� ¬ � �����ÏÈj§ � �#��� � | ~ ® ­ ~ Ó ����ª � ~ Ç � � ®�¸ ~ ¨ � � Ø

Ù È���ÊË ± ÷¦ ¼ ½ � ¿ � Ã^´ ܽ | ~ ­ ~ ¼ÉÈ ¯ ìcù ¯ ì Ë ¯ ��� � | ~ûú�ü uGT ü U uGR ü U Ã�±Ú ± " ¬ � ��������© � ¬ ¸9� ������¬ ��¸ æ ~ ¸ Ø � |�~ � ­ º ÈN§ » � � + ó Å ½ ¯ º ù ¾ � ¿ � Á ¯sì�Ã�í � ½ × ¿ ��à »Å ½ × Ã ¿ � ½ × ¿ � à »¸· ½ × Ã��Ù È���ÊË ±ý÷¦ ±�ð�ñ � ê �Ñ í � í « �Ñ íïõ2þ � í « î ½ � Ã�� Ð

� ± KFª � Ø ­��P� ��¬F©«� ­ � Èz§p» � ½ � à ¨@� � � ~ ¸ ©9ÿ � Ø #������ � � ® ~ ­���� � ­ ¨ � � ØÙ È���ÊË �Ñ�� � ¿ �û���)Ð ½ ��� ± � Ã

Ô ± " ¬ � ��������© � � Ò M æ ~ ¸ Ø Èj§p» � � + ó Å ½ ¯ O ù ¾ � ¿ � Á ¯ O à í õ �A��» ��� � � ØÙ È��ÊË �Ñ ± ÷¦ ± ð�� � ê í � í « í õ ù � í « � Ð

� ��± � ����­�� � � � � �Ô©«ª � ¬ � ����� ��¸ È� È ¯ ù ¯ º Ë ¯Ù È���ÊË ± � ½ � ½� à ¿ õ � ½� Ã�õ´ º Ð� ~ ç � ¸�¸ ~ � ¬7��ª � � ~ ­ � � � º ��© � | ~ � ~ ©«ª � ¬ � ����� ��¸ �}��� �P® ® ¸ ��¬ �P� ������� � �� �ª � � � ª � ��~ ¬ | � � ��¬7�� � Ø �ª � � � ª � æ ~ ¸ Ø � | ~ � ­ º ±

Page 77: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

¡�¡�à���à � Û  ¸Ï ¤ Þ1E3�Tæ Ü Þ�¤ Ü �D¤�ãÖÑ Ü Ñ â � Þc¤ �D¤ �zÜFáýÝ ãg¤ÊÑQ�zE Ú�Ú������� ����� �����4¡���¤��'¢)¤ ¡s¢)£�� ¤�� � !"�ߢ)¡j¢#!�¤%$'&·£�¢��Ô¡(�) | ~ � � � ��������© �+* T\RSO|R * ü Z�,.-$R U O �P© � ©«ª ��¬ � ����� ��¸ ��� � ¬ ~ � ��­���¸ ��� ~ ± � � ��� � Ø � ­ ~ ¬ � ~ Ç � ~ � ���������© � | ~ ª���ª ��¸ � � � �����*��© � ¬ ­ � � ��¬ ��¸;® ����� � ��© � ©«ª�� ¬ � �����*��©Ðæ�� � � ~ ¸ º�� � � º Ó ��­ � ��/�¸ ~ � ½ � ~ ¨ �® ¸�� ¬ ~ ç | ~ ­ ~ � | ~�Ø ~ ­ � Ó �P� � Ó ~ Ó � � ��� | ~ � Ã�± ) | ~ ��� ¸ ª � ����� ����© � � � º ® |�º ����¬ ��¸ ~ �ª �P� ������� �P­ ~¬ ­ � � ��¬ �P¸Ï® ����� � �}�P©z¬ ~ ­���� ����©«ª � ¬ � ����� ��¸ � ½ ü * O|R0- U�1�29U * OeR0- U ü Z43 Ã�±� � ç | ��� ©«� ¸�¸ � ç �7¨ § ������� ��~ � ®�� ¬ ~ �P©z©«ª � ¬ � ����� � ± � � ç � ¸�¸���¸ � ��� �#��¸ ç � º � / ~ ��¸ ��� ~ �P­½ � ~ Ó ~ ¬ � � ­ à � ®�� ¬ ~ ¨�� ­�� � �65 � ~ � ®�� ¬ ~ ¨ � � Ø ç � ¸�¸ Ó ��­ º © ­ � �^~ Ç � � ®�¸ ~ � � ~ Ç � � ® ¸ ~ ±7 298Ð�D¾¿?A¾|4��.À7À :Ãr;: Ó ��­ � �P� ����� - 1F� + § ü Z<- U u / R<3 ü , ü O>= Wß� h R U�§ ~@?BA ü T\}$R U u×R U üU NPR uC=EDF- 2 TG=.-H- y - 1 � �AW 3 2 * = O@= ü O � ¦ »T� ü U�y Û � h ª Û ? í hFI ¦ » / _� � � | ��� Ø ~ æ���� � ������¨���©j§°��� ��¸ ��� ~ ��­ � ® � ¬ ~ ½ � �´� � ª ��ª ��¸�¸ º ��� à ¨ ç ~û� � º ��� é ~ / + §e¨ � � Ø� h » �& ? / ± M*� ­ ~ � ~ � ~ ­���¸�¸ º ¨�§ ¬7��ª ¸ Ø / ~ � � � � ��©«� ¸ Ø ± � � � | ���´¬ � � ~ ¨ � |�~ûØ � ­ ~ ¬ � ����� /��© � | ~ Ó ��­ � �P� ����� ¸ � ~ �}��� � | ~ ��� � � ~ � � � ®�� ¬ ~ � � § ±²´³�µ 8·¶ K¿2=À7À :à�F~ æ � ~ § þGJ » � � + Ö ½�¾ ÷�¿�À�Á¿ § Ã0í � ½ ÷ à » × ¿ � ½ À à »LK � ½ � � �65 � ~� ® � ¬ ~ Ã�± ) |�~ �¸� � § þGJ » § ¦�¦ ½ � ~7~ æ � ª ­ ~ ��� ±!Ñ�à ¨ � � Ø � � ~ Ç � � ® ¸ ~ ��© � Ó �P­ � ��� �����Í��©� + § þGJ ��� � | ~NØ � ­ ~ ¬ � ����� / + § ¦�¦ ���#� h »,�¶ ? / + § þGJP±

x

y

variations of a path

xy

+00

½ ��� ±!Ñ�Ã� ~ � � ç Ø ~ æ�� ~ � ��� � �����N��© Ø �WV ~ ­ ~ � � � �P� �������P©�©«ª � ¬ � ����� ��¸ � ç | ��¬ | ��� � Ø � ­ ~ ¬ � ~ Ç � ~ � ���������©4ª ��ª ��¸ Ø ��V ~ ­ ~ � � � �P� ��������©�©«ª � ¬ � ����� ����©Fæ � � � ~ ¸ º�� � � º Ó ��­ � ��/ ¸ ~ � ±7 298Ð�D¾¿?A¾|4��.À7À :ÍÌ ú NPO Ù È�§ÕË ¯ DPN ü 1�2VU * O|R0- U ü ZE- U ü 1�2VU * O|R0- U 3M, ü * N §!_1a =@N � ­ON~ ¬ | ~ �Ø ~ ­ � Ó �P� � Ó ~ ~P-$T Ó ��­ � �P� ����� ��¸ Ø ~ ­ � Ó �P� � Ó ~ -$T ��­�� Ø � ~ � � � ��® � - 1 Ù ü O � R<3+O@=@N 1�2VU * O|R0- U Û Ù ½ � Ãy N & U N y D } ÛÛ ? Ù ½ � h Ã0í hFI ¦ » ± Û Ù ½ � à ��3 ½ ��� ± ë�Ã1 -$T ü U } 37W ü U�y A ü T\R ü O|R0- U�� h - 11� ü Z<- U u 3w_p 298 µ 6>q�À7À :sÕta =9R<3 y N & U RSOeR0- U ü Z43H- ü ,9,�ZÞR�NG3JOQ- 1�29U * O|R0- U ü Z43 y N & U N y - U ü U ü DF3PO|T ü * OR RSZSDPNPTPO(3M, ü * N&~^N�u{~QT9T _ T ���%U RSO@= O>=@NXR U OÊN�uGT ü Z�TvNM,�Z ü * N y D }&O>=@NXR U@U NPT [ ,�TV- y�2 * O _

Page 78: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Ú �@�jÛ#ÜFÝ �F ßÞ ¡�¡�à Ò Ü � Û  `Ò Ü �D¤ �zÜ´á�â  ��%ã�ä4Þ�å5� Û   �zÜFá`� ä á ä4E�ãÖÏLæ Ü Þc¤ Ü �D¤�ãÖÑFE� � ��� � © � � ­�¸ º ~ � � ºa� �P��� ~ ­�� �¥¬)� � ® ª � ~ � |�~ � ­ON~ ¬ | ~ � Ø�~ ­ � Ó �P� � Ó ~ ����© � | ~ ©«ª ��¬ � ����� ��¸ �N���~ Ç � � ® ¸ ~ ½ ��� ± � à © ­ � � � | ~ �6/ � Ó ~2Ø�~ æ�� � � ������¨ � � Ø � | ~ ��� ��é���� ¸ ~ © ��� � � � ~ Ç ~ ­ ¬)��� ~ ½ | ��� � Ȫ ��ª ��¸�¸ º ¨ ��� ~N| � � � ����� � ~ ��­��P� ~ / º ®��P­�� � Ã�±� 6$4 � K|298 À7À :Ãö Ú ~ © ~ ­�­ ��� �¦� � � |�~ ¸ ��� � ��©F©«ª�� ¬ � ����� �P¸ � � � Ó ~ �É��� ~ Ç � � ®�¸ ~ ��� ± � ¨Ä� | � ç� | �P� È� ± Û Ù ½ � à »,Å

ë�± Û Ù ½ � à » õ�î ½ � ÃW ± Û Ù ½ � à » ê ß �ö�± Û Ù ½ � à » ê ø ��Ôê õ�î ½ � ÃÓ ± Û Ù ½ � à » ê ºº� ½ Û J� ¼ Ã Û � ¼Ú ± Û Ù ½ � à » ­ �Q õ�î ½ � à ç | ~ ­ ~1­ È Û « ê ß ��� � | ~%X�Y : ZsNFZ�DPNPT\O|R ü U�� ® ~ ­��P� � ­� ± Û Ù ½ � à »²�2� ½ ��� � | ����¬ � � ~ � | ~ Ó �P­ � ��� ����� ��¸ Ø�~ ­ � Ó �P� � Ó ~ ��� Ø ~ æ � ~7Ø ç � � | ­ ~ � ® ~ ¬ �1� �� | ~ ��/ � ��­�� ¬ � ��� � ~ ­ ÿ ® ­ � Ø ª ¬ ��­��P� | ~ ­}� | � � � | ~ ��� � ~ ��­���¸ ÃÔ ± Û Ù ½ � à » ­ �� ��± Û Ù ½ � à » ê õ ½ Û9[ � ¼ Ã Û � ¼" �#��� � |�~ æ � � � ~ ÿ Ø � ��~ � ������� �P¸ ¬ � � ~ ¨ ��* T\RSOeR * ü ZE,.-$R U O ��� ��®�¸9� ¬ ~ ç |�~ ­ ~ � |�~ Ø ~ ­ � Ó ��� � Ó ~Ó � � ��� | ~ � ±7 298Ð�D¾¿?A¾|4��.À7À :98\:]1�2VU * O|R0- U·� R U¦§ R<3 ü ¬ ­ � � ��¬ �P¸'® ����� � ~G^`_ � - 1 ü 1�29U * OeR0- U ü Z Ù R 1Û Ù ½ � Ã È � _a �Ô© � ¬ � ¨ � � � º ® |�º ����¬ ��¸ ~ �ª ��� ����� � ��­ ~ ¬ ­ � � ��¬ �P¸ ® ����� � ~ �ª �P� ����� �.©«� ­ ¬ ~ ­���� ����©«ª � ¬ � ����� ��¸ � ±

²´³�µ 8·¶ K¿2=À7À :cb - ��� � ����ª ��� � ç � � | � | ~ � � ��~ ¸ ��� � ��© ~ Ç � � ® ¸ ~ ����©s©«ª � ¬ � ����� ��¸ �)¨ ç ~ ¬ � �ç ­ � � ~�Ø � ç �*��� ��~ ��© � | ~N~ �ª ��� ����� � Ø ~ ��¬ ­ � / ��� ��� | ~ � ­ ¬ ­ � � ��¬ ��¸ ® ����� � �)ÈW ± ß ��» � ½ � � ­ ��¬ | ¸ ~ � ~ �ª �P� �����Ϩ�� | ��­ � ������¬ Ãö�± øed��»cê õ�î ½ � à ½�f ~ ç � ���hg � ~ �ª �P� ����� ÃÓ ± ººMi ½ Û J� ¼ à » ½ Û � ¼ à ½ Ò ª ¸ ~ ­ ÿÊ� ����­�� � � ~´~ �ª �P� ����� ÃÚ ± ­ �¶ õ�î ½ � à » � ½ � ��� ¸ ��� ~ ��­ ç � Ó ~#j�k ¸ ~ ����ÿml�� ­ Ø ��� ~ �ª �P� ����� Ã

Page 79: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

¡�¡�àon�à � Û   Eä  � ãÖÑ â æ Ü Þ�¤ Ü �D¤�ãÖÑ Ú ÔÔ ± ­qp » � ½«ç � Ó ~ ~ �ª �P� ����� Ã� ��± ê õ ½ Û�[ � ¼ Ãsr Û � ¼e» � ½ ¬ ¸9� ������¬ ��¸ æ ~ ¸ Ø�~ �ª �P� ����� ÃtvuOw·µyx{z À7À.|<}]~������ * ������3M,.� üC� �>�O�C�(�>=.�q����� * =.�F���O�F���>A ü ���>A��G� Û Ù - 1 ü 1�2 � * ���0-C� ü � Ù �����>A��G3�>���>=.� * -C� ü �O�O�F�.�"D 2 ���E�<�q�"� § -CA��F� §B��� = ü �"�<3G� 1 -C� ü �>� � + § � Û Ù ½ � à �<3��@=.�����>��� ü �1�2 � * ���0-C� ü � 1 �V-CZ�� � § �>�.�Q- ¯ ���>A��F��D�� / ÊË Û9� Ù ½ � � Ã0í � Iy� U =.�F�V� � � �<3 ü A ü ��� ü ���0-C��- 11��>� �>=.�����>�V� * ���0-C� / �) | ~ ©«� ¸�¸ � ç ��� � ¬)��� � ~ ¬ � ����� / ~ � ç ~7~ � ¬ ­ � � ��¬ ��¸�® ����� � � � � Ø � ��� � � � ½ � ­ � � Ç�� � � à ���© � � � ¸ � ��­ © ­ � �l� ª ¸W� �Wÿ Ó ��­ � ��/ ¸ ~ ¬ ��¸ ¬)ª ¸ ª � ±��� u� �xCuOw À7À.|eÀ5Á¢¡ 1#� � Z��>�.�>Z��S£C�G3 ü 1�2 � * ���0-C� ü � Ù ���>=.�F� � � �<3 ü * ���>��� * ü �E,.-C�>�.�¤- 1 Ù �¥¦xC �§`¨�uOw À7À.||À�À Î ­ � Ó ~ � | ��� ½ ��� � � ¸9�P­'� � � | ~ ª ��ª ��¸ æ�� � � ~ ÿ Ø � ��~ ��������� ��¸ ¬ � � ~ Ã�±" � ç ~ | � Ó ~ � ~7~ �Ϩ � | ~N~ �ª �P� ��������©«� ­�� ¬ ­ � � ��¬ ��¸Ï® ����� � �P© � | ~ ©«ª � ¬ � ����� ��¸

Ù ½ � à »²± ÷� ½ ø ÑT ��©'ê î ½ � Ã�Ã��­ ~a~ Ç � ¬ ��¸ º f ~ ç � ���hg � ~ �ª �P� �������P©û¬ ¸�� ������¬ ��¸ ��~ ¬ | � � ��¬7� ± ) | ������� � � ® ~ ¬7� ��¸ ¬ � � ~ ��©� |�~ ,����>� * �4,��<��- 1 Z��>�.�>Z ü � ü * ���0-C� Ȧ��� ¸ ª � ����� ����© ® |�º ����¬ ��¸ ~ �ª �P� ����� � � ����� � �<ª ~ ½ � � ­ ~® ­ ~ ¬7��� ~ ¸ º ¨ � � é ~ � ���P� ����� �P­ º à ¬ ~ ­���� ��� ©«ª � ¬ � ����� ��¸ �)¨�¬ ��¸�¸ ~)ØÍü * ���0-C� 1�2 � * ���0-C� ü �43 ± a � ������� ~��© � | ~ /�� ����¬ ® ­ ��� ¬)� ® ¸ ~ �Ä�P© � � Ø�~ ­ � ® |�º ����¬7� ±�����G« ¬���� �`�q!#£�� � ��¤%�ߢ7¤ ¡j¢7£��a � � | ~ ª ��ª ��¸ ¬ ��¸ ¬7ª ¸ ª �7¨��W©���� ~ ç ��� | ~ � � ��é�� � ç ��© � ¬ ­ � � ��¬ �P¸�® ����� � ��� � ¬ � ª ��¸�¸ º � � ��� � � ª �½ � ­ � � Ç�� � ª � à ¨���� ~ ¸ ����é�� ���Ä� | ~ � ~ ¬)��� Ø�Ø ~ ­ � Ó ��� � Ó ~ ±�­ � ­'� | ~ � � ��~ ­ ~ � ������¨ ç ~ � ~7~)Ø � �Ø ~ æ�� ~ � | ~ � ~ ¬7��� Ø�Ø ~ ­ � Ó �P� � Ó ~ ��© � ©«ª ��¬ � ����� ��¸ ±7®u 8¯D¾@°A¾   ¯.À7À.||ÀO± : Ó �P­ � ��� �������P©�� ��¸ ��� � 3 � � Ø / �<3 ü � U -C²<, ü � ü Z³�F�Q�F� 1 ü Z��>���H� � � � ´ +§ �(3 2 * =+�>= ü � � � � � »T� � Û ��µ Û ? í � I ´ Iy� » / � ü ��� Û ��µ Û.¶ í � I ´ Iy� » 3h�7®u 8¯D¾@°A¾   ¯.À7À.||À  ú �F� Ù DF� ü 1�2 � * ���0-C� ü �·-C� ü 1�2 � * ���0-C��3M, ü * � §B�¸� =.�¦¹ ~ ����� � �¢º -C�Ñ � Ø�Ø ~ ­ � Ó �P� � Ó ~F» - 1 Ù ü � � �<3¼�>=.��-G,.�F� ü �Q-C� Û © Ù ½ � à º -C� Ù�½ ½ ½ � à » 3 2 * =+�>= ü �

½ Û ©Fµ Û ? Û�¶ à ٠½ � � � ´ à í � I ´ Iy� »e¾À¿qÁ{Â.© Ù ½�à ÃQÄ ½QÅÆÅ ± W Ã1 -C� ü �>� ¿ � Ä � U =.�F�V� à �HÇ ´ �<3 ü � U -C²<, ü � ü Z³�F�Q�F�qA ü ��� ü ���0-C��- 1 à ü �<-C�O� ¿ ü ��� Ä �

Page 80: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

ÈÆÉ.Ê Û#ÜFÝÌË`Í Þ'ÎÆÎ à³Ï ÜÌË4ÛÌÍ Ï ÜÌËÑÐ Ê Ü´á�âqÍÌË ã�ä4Þ�å Ë4Û"Í Ê ÜFá Ê ä á ä4E�ãÓÒLæ Ü Þ Ð ÜÌËÑÐ ãÓÔFEÕ � � ® ª ����� ����� �ß��© � |�~ � ~ ¬7��� Ø�Ø ~ ­ � Ó �P� � Ó ~ �.�P© � |�~ ©«ª � ¬ � ����� ��¸ �'������ª ­.¸ ��� � �P© ~ Ç � � ® ¸ ~ ���­ ~ ¸ ~ © ��� � � � ~ Ç ~ ­ ¬)��� ~ ±¥¦xC �§`¨�uOw Ö�Ö | Ö�× Õ ��� � ����ª ��� � ç � � | ��ª ­�¸ ��� � �P© ~ Ç � � ® ¸ ~ ����©�©«ª � ¬ � ����� ��¸ �)¨�� | � ç � | ���ë�± Ù�½ ½ ½0à à »,ó�Ø{Ù{Ù î ½0à à ½ � �P��­ �WÇ � ª ¸�� � ® ¸ ��¬ �P� ������� ® ~ ­��P� � ­ Ã�±W ± Ù�½ ½ ½0à à »cêÌÚ ½�Û ��® ¸9� ¬7� � � Ã�±ö�± Ù ½ ½ ½0à à »cê ø  ©i êýóÜØ{ÙCÙ î ½0à à ½�Ý ¬ | ­ d� Ø ��� � ~ ­ � ® ~ ­��P� � ­ Ã�±Þ�± Ù ½ ½ ½0à à » êÌßOµ�ßÆà ½ Â�© áâ ¼ à ßOµ�ßÆà4ê ½ ßOµ�ßÆàmÂ.©â áâ ¼ Ãsr Â.©â ¼}Ð ½QÅÆÅ ±!ö�ÃÚ ± Ù�½ ½ ½0à à »\ã rÍî ½ ½ ½0à Ã�±È�± Ù ½ ½ ½0à à »åä ±æ�± Ù ½ ½ ½0à à »\ã ½�ç géè ¸ ~)� / ~ ­�� � � � Ã�±Å É�± Ù ½ ½ ½0à à »cê õ ½  © ¼Â õ à © Ã�õ ê õ ½  © ¼Â õ à  à Ãsr

 © ¼Â à © Ð) | ~ ©«� ¸�¸ � ç ��� � ¬ ­ � � ~ ­ �����·©«� ­2� ¬ ­ � � ��¬ ��¸'® ����� ��� � / ~ � � ��� � � �cª ~ ­ ���û��� � � ¸9��­�� � � | ~ê � � � ~ ÿ Ø � ��~ � ������� ��¸ Ó ~ ­ ��������¨ � � Ø � | ~ ® ­ ����©4��� ¸ ~ © �#� � � � ~ Ç ~ ­ ¬7��� ~ ±��� u� �xCuOw Ö�Ö | ÖOë ¡ 1 à � �<3 ü * ���>��� * ü �ì,.-C�>�.�¤- 1 Ù � ü ���  © Ù ½0à � Ãîí'É º ü ,.-H3F�>���>A��¦�O�@ï��.�>�Q�-G,.�F� ü �Q-C� » ���>=.�F� à � �<3 ü �<- * ü �sZ��>�.�>Z��S£C�F��- 1 Ù �¥¦xC �§`¨�uOw Ö�Ö | Öìð ñ ­ � Ó ~ � | ��� ±Û ~ � ª �.� � ç ® ª ­ ��ª ~ � | ~ �ª ~ � � �����Ô��© ç | ~ � | ~ ­ � ­ � � �}� ¬ ­ � � ��¬ ��¸�® ����� � ��© � |�~ ¬ ¸�� ������¬ �P¸� ¬ � ������©«ª�� ¬ � ����� �P¸ Ù ½0à à » ¾y÷� ¼ ½�Ãz½ Ù Ã ¿óòÃz½ Ù Ã�à ßìÙ

½«ç | ��¬ | ��� � ��� ¸ ª � �����Ô�P© � | ~ Ò ª ¸ ~ ­ ÿ Û ����­�� � � ~#~ �ª �P� ������ÿj� ~ ¨ � ¬ ¸9� ������¬ ��¸�®��P� | à � ��� � � �cª ~ �� |�~ � ¬ � ����� ± è´� ç ~ | � Ó ~ � ~7~ �Ϩ � | ~ ¹ ~ ����� � � Ù�½ ½ ½0à à ��� � � Ó ~ � / º ½mÅÆÅ ±!ö�Ã�± � ~ ¬ ��¸�¸  © áâ ¼ � | ~�O�F���F� ü ���S£C�ô��Z ü 3G3 ±��� u� �xCuOw Ö�Ö | ÖEõ ~ 2 ,9,.-H3H�  © áâ�ö ¼ í]É � ~ 2 ,9,.-H3H� 1�2 ���@=.�F���>= ü �  ©â ¼ �<3 ü DF- 2 ���O�ô� 1�2 � * ²���0-C� �÷� =.�F���@=.�F�V�¼�<3 ü � � í'É �3 2 * =ø�@= ü � Ù�½ ½ ½�à äíùÉ 1 -C�¤�;úù� � �

Page 81: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

ÎÆÎ àoû�à ÜFÝßÝßáüÐ Ê ÜÌËÑÐ ãÓÔ Ë ã Ë4Û"Í�ý�Ý�Í Ê Ë Þ Ü´á�Ý Þ�ãÓþ áüÍ Ï å æ Ü Þ Ð ÜÌËÑÐ ãÓÔ Ü´á Ê Û#Ü Þ Ü Ê Ë`Í Þ ÐmÿÏÜÌËÑÐ ãÓÔ�ãÓÒ Í(Ð¥¦xC � �� ½ ©«� ­ ¼e»dì © òà © ê î ½�à Ã�à Èa � � | ���.¬ � � ~ Ù½ ½ ½0à à »cê ø  © µ�Â�Ù © ê î ½ ½ ½�à à ���Ô¼ © ½�¾ É ¿ � Á Ãç � � | ç � ­ ��¬ | ¸ ~ �¼/ ��ª � Ø ��­ º ¬)��� Ø � � ����� � ± ) |�~ � ��­ ��� � ©«� ­ � �P© � | ~ ª � ¬ ~ ­���� ��� � º ® ­ ��� ¬)� ® ¸ ~½ � ~7~ Õ | ��®�� ~ ­ Þ�à � � º � � | ��� ß © µ�ßOÙ ©�� Å µ ½ W Ù © Ã�± Ý � Ù�½ ½ ½�à à � ø µ W�� © ê�� î ½ ½ ��� ç | ��¬ | ���í'É ©«� ­ � ��ª 5 ¬7� ~ � ��¸ º � � ��¸�¸ ± ã�  �xC �¨�¨>µEx Ö�Ö | ÖOb �`-C��e3 2�� * �0�F�.�����q3FZ ü �>�4� ü * ���>��� * ü �C,.-C�>�.��- 1 Ù º �0�G� ü * � ü 3G3F� * ü �C, ü �@= »�<- * ü �>����Z��>�.�>Z��S£C�G3¼�>=.� ü * ���0-C�E� Ù �� ~ ¬7����¬ ¸ ª Ø ~ � | ����� ~ ¬ � ����� ç � � | � ç �´©«ª ­@� | ~ ­4­ ~7� ��­ é�� ��/ ��ª �4� | ~ Ó ��­ � �P� ����� ��¸ ¬ �P¸ ¬7ª ¸ ª � ±tvuOw·µyx{z Ö�Ö | Ö };¡�� �>=.��ï��.�>�M�F²m���>Z³�F�E3F�0-C� ü �E3H�F�����>�O�C��@=.�"3H� * -C�����O�F���>A ü ���>A�� �<3¦-�D�AH�0- 2 3F����>=.���O�F�F�>A ü ���>A��%- 1 �>=.�(ï��V3F�¤�O�F���>A ü ���>A�� ��� =.�¦A ü ��� ü ���0-C� ü � ü � ü �<-ô� 2 � * ü � DF� U ���>���M�F�Ù ½ ½ ½0à ÃmÄ »å â �  â Ù ½0à à ¿ Ä �)ÐtvuOw·µyx{z Ö�Ö |<±� ���� µ���x µ ¯ ��u w��`¨ °�«¶ ¨ � u�x���� ¡�� 1 -C��Z ü �>���{� à �<3 ü * ���>��� * ü ��,.-C�>�.�h- 1 ü 1�2 � * ²���0-C� ü ��� ½�à à 2 ���O�F� ü * -C�E3F��� ü �>�.� Ö ½�à à º � � � � -C� �@=.� 3M, ü * ��� Ã�� § í Ö ½�à à » É! » � " à �<3ü * ���>��� * ü ��,.-C�>�.�- 1 �>=.� 1�2 � * ���0-C� ü �#� ½0à à ê ? Ö ½�à à 1 -C�¤3H-CZ³�·? º �@=.� ú�ü ��� ü �O�O� Z 2 �����4,����0�F� » �ü ��� à 3 ü ���<3@ï¤�G3¼�>=.� * -C�E3F��� ü �>�.� Ö ½0à à » É ������%$ & & & $�¢#!�¤ ¡j¢7£�� ¡z£ ¡��� �&�� !�¡�ߤ�$;& �s£(' $ �*) + ��¤%�ߢ7¤-,

¡j¢7£��¥¤%$ù!·�¥¤%�s¤%!}¡� �'¢/.1¤�¡s¢7£�� £10\�F¢32����v� ¤�$����q�­ � ­�� � � ��~ � � ¨ ç ~ ¬)��� ��� Ø ~ ­�� � �6/ � ��­�� ¬ � � ~ ¸ ©9ÿ � Ø�4 ����� � � ® ~ ­��P� � ­ ó ��� ��� ��~ ¹ � ¸</ ~ ­@�� ® � ¬ ~ ±65 º �P® ® ¸ º ��� � Ó ��­ � �P� ����� ��¸�� ~ ¬ | � �< �ª ~ � � � � | ~87�~ � ~ ­ô� º!9 ©«ª � ¬ � ����� ��¸;:=< ¿ ó < í ¨ç ~ ç � ¸�¸ Ø�~ ­ � Ó ~ � ��� � ® � ­���� � � ¬ | ��­�� ¬ � ~ ­ �cª �P� ��������© ~ � � ~ � Ó ��¸ ª ~ ����©zó ±��� u� �xCuOw Ö�Ö |<± Ö ??> ����©A@ ½ ó à �<3 ü � �F�S�O�F�.A ü � 2 �®- 1�ó � " �@=.�F�V�÷�<3 ü Z��>�.�>Z��S£C�F� 1 -C�Ù ½ < à >CB© � < ¿ ó < �qU �>�>=ø�@=.� * -C�E3F��� ü �>�.� � < ��» Å �¥¦xC � ��ED < � � ��� � � �cª ~ � Ù ç � � | � | ~ � � Ó ~ ��¬)��� � ��­�� ��� � �GF < � ��� � Õ ñy��© Ù ½�à à ê ? � < � © ½ ?��� � Û ����­�� � � ~�� ª ¸W� � ® ¸ � ~ ­ à � � Ø � < � �Ä» Å ± ) | ~ Ó ��­ � �P� ����� ��¸ Ø�~ ­ � Ó �P� � Ó ~ ��© � | ���ß©«ª�� ¬ � ����� �P¸���'ó < ê ? < ¨ � � Ø � � �ß� ~ ¬7��� Ø Ó ��­ � �P� �����2��� � | ~ � ® ~ ­��P� � ­ ó ê ? ± Ý � < � � ��� � � �<ª ~ � Ù ç � � |� |�~ � � Ó ~ �*¬)��� � ��­�� ��� � �GF ó < � » ? < � ¨�ó ê ? � É ¨ � � Ø � < � �}» Å ¨�� ± ~ ± �GF ? ��� � � ÒIH ��©ó � � Ø ? »,����©J@ ½ ó Ã�± ã) | ��� ­ ~ ��ª ¸W�F¸ ~ � Ø �1ª � � � � | ~ A ü ��� ü ���0-C� ü �y,����>� * �4,��<��- 1LK�2 ü �.� 2 Z Z³� * = ü �.� * 3 È.©«� ­´� � º< ¨ � < ¿ ó < � � ? »,����©�@ ½ ó Ã� � Ø�~ �ª �P¸ � � º�| � ¸ Ø �}�GF�ó < » ? < ±) | ����¬ � � / ~N~ Ç � ~ � Ø ~)Ø � � | � � | ~ ­ ~ � � ~ � Ó �P¸ ª ~ �7È

Page 82: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

È�ÑyÊ Û#ÜFÝÌË`Í Þ'ÎÆÎ à³Ï ÜÌË4ÛÌÍ Ï ÜÌËÑÐ Ê Ü´á�âqÍÌË ã�ä4Þ�å Ë4Û"Í Ê ÜFá Ê ä á ä ý ãÓÒLæ Ü Þ Ð ÜÌËÑÐ ãÓÔ ý��� u� �xCuOw Ö�Ö |<±�±M��N=��¯ON µ�³ ¶ x ��¯OP#�«¶ ¨@u��å� =.�RQ �>=TSVU - 1�ó ��� 1 �>�Ó��WÆ�<3F�@3G���<3 ���>A��F� D��

?�X » Y�ª ®Z\[^]R_ I X�` B aGb ©c!d3_Ie-f\ghcAg I B �ji ¿ ó i ��Ðk1k1l�m nporqtsOuT21vtw�� &xoryzq{w�Cv|q � }6v�!~or'�y¸� � $#� �a b��\���6�E�3�(��aGb Ø �3�|�����\��a Y|� �����A�\�3�/� ç � Y �E� Ø�º �E��� � ¸ � YEY a � � ¸ � � �\aG��b�����b � �\aG��b�� ¸ ��b Ø aG� Y� ��aG�Ea � � ¸ ����a�b#� Y ½ � ¸ � YEY a � � ¸ �����\� Y à a�b Y ���r� Ø �/�\��a ¸ ± � ��a ¸ � Y � � �M� Y �\� Ø�º a Y ����� / Ó aG��� Ya��r�������\��b � ��a�b � ¸ � Y�Y a � � ¸ �(� � ����b�a �3Y �~aG� ç a ¸�¸ � ¸ Y ������� Ó ��� Y ����� ¸ aGbM�\��� ��� Y a ÿ�� ¸ � YEY a � � ¸��b�� ¸ º Y a Y ��� ����b��E��� Y º Y �\�3� Y �\����� ç �-��b Ø �/����� é �-a�b � �����J�E�3� Y Å ë ��b Ø Å W ±) ��� Y ç � � ��b Y a Ø �/�R�\���-� � �\a���b����Jb � �Ea���b�� ¸Ù ½0à à »e¾ i� ¼ ½0Ã4½ Ù Ã ¿ òÃ4½ Ù Ã�à ßOÙ�Ð� �x��� Ó � Y ��� ç b�� / � Ó �x�E������aG� à a Y�Y � 5 � aG�3b#� ¸ º Y �(� ¸�¸ ���\���/b Ù ½ ½ ½�à øí É ������� Ó a Ø � ؽ  © ¼ µ� òà © à íLÉ�± Ý ��a�b��E��a Y{� � Y ��a��8�à a Y � � ��aG�\a � � ¸ �����\� ���\���/b¡aG�{�ra�bJa��ra ª � Y Ù ½�à Ã�±¢ b£�E�������\���/�r����b Ø � ) �J�3�����3� ÅÆÅ ± Å ö a��r� ¸ aG� Y �E�����raG� �à a Y � � �EaG�Ea � � ¸ �����E� Y � � ���E�����Ù�½ ½ ½ �à à ��� Y b�� � ���\a Ó � Y ��� � �\�E�J���O�\���/b �à a Y b����t���(aGb�a��ra ª �3� ± � � ç a ¸�¸ Y ��� ç ¸ ���E�3���E������3a � �3b Ó � ¸ ��� Y ��� Ù½ ½ ½ �Ã Ã Ø � � �E�3� Y �¤�r��b����\��b�a � � ¸�¸ º � Y�à a�b � �E�z� Y � Y ± Ý ���\���¤����aGb�� à � ç ���3b�\�J� Y �6� ¸�¸ � Y �|�3a � �3b Ó � ¸ ���¤��� Ù�½ ½ ½ �à à / � � ���r� Y�ª �/�E��� Y �/�����E���\� Y �E��� à�g¥Y ����� ç �Ja � � �à a Y ��ra�b�aG�(a ª �3�/���������¦�E��� Y �R����� ç �Ja � � �à ��� Y ¸ � Y �§�\��a Y ���E�����3�%� º ± ) �J������a�b#� Y ��� ç ��a � �r��b�������\�J�*�3a � �3b Ó � ¸ ��� Y ��� Ù�½ ½ ½ �à à / � � ���(� YÓª �3���1� ¸ � º � Y ��� � a�� ¸ �E� ¸ ��aGb{�\������b�� ¸ º Y a Y ��� � ¸ � YEY a � � ¸�����E� Y ± ) ��� º ���E� � ��b Y a Ø �3��� Ø a�b¤�\�Ja YRY � � �Ea���b ±a b��\��a Y Ø a Y�� � Y�Y aG��b ç �?��� Ó �?� Y � Ø a��r� ¸ a � a�� ¸ º �\�����¨� � �T�E����� / � � ��� Y � Ù�½ ½ ½ �à à a Y �Ý � ��� d� Ø aGb � �3�������3�E���\��� Ø � ê b�� Ø ��b ¼ © ½�¾ É ¿ à Á à ç a��\� ç a��Ea � � ¸ ��� ½ ª �3��� à / ����b Ø ��� º � ��b Ø a ÿ�\aG��b Y �!a��©��� Y �-������� ¸ º ����aGb�� Y ��� � �\�����p�E��b�bJa�b � � F �\�Vª ± � � Ø �/b����\�~�\��a Y«Y ��� � �E�E��� / º�6?�X ½ à Ã� � B ç aG�E� ?�X Ë ª � Y Q Ë ª ± f ���\���E�����Ra�� �à a Y � Õ ñ ��b ¾ É ¿ à Á �!�\���/b �í¬ > �Ã í¥® � Ç ¬E¯a Y � Õ ñ ��b ¾ É ¿E°�Á ± ) ��� Y ����� ° ú à � �6?�X ½ ° Ã� a Y �\��� Y ��� � �\�E�J�±��� Ù ½ ½ ½ �Ã�¬ à » Ù ½ ½ ½ �à à ��b¾ É ¿E°�Á ç a��\� ª �/�E� / ����b Ø ��� º � ��b Ø aG�Ea���b Y ±W±� � Y ��� � a²� ¸ a ª �*b�� ç �E�1�E��� � ¸ � YEY a � � ¸ � � �Ea���b¤����b � �\aG��b�� ¸Ù ½0à à » ¾ i� � ø Ñ í òÃ í ©'ê î ½�à Ã� ��b��\��� Y ��� � �t³ » � Ã�� Ö B ½�¾ É ¿ à Á ¯µ´�Ã�í Ã4½ É�à »T× ¿ Ãz½ à à »eK �­��b Ø � ��b#�\a�b����-�\� Ø �3bJ���\�/ º �à �­� � �EaG�Ea � � ¸ ����a�b#�����O�\�Ja Y ����b � �\aG��b�� ¸ ½ � ¸ � YEY a � � ¸ �����E� Ã�±��� u� �xCuOw Ö�Ö |<±­¶;?�X ½ ° à �<3¦Z³-C��-C�Q-C�.� * ü �>���÷�O� * �V� ü 3F�>�O���>� ° �

Page 83: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

ÎÆΠื�à Ê ãÓÔ-¹ 仺 ÜÌË`Í Ý ã Ð Ô Ë�ý�Ü Ô â ¹ Ü Ê ãÓþ Ð Ò ÐQÍßá;â¼ý È�륦xC � ��EDR� ��b Y a Ø �/� ? B ½ ° à ����b Ø ¸ �/��a�� Y b������6� ¸ a ª � Ø �/a � �/bJ����b � �\a���b / � i B ± ç � ê b��½¼i B �E� / �i B � Ç �E�3b Ø � Ø �\� ¾ É ¿E° r¿¾ Á / º É�± Ý � / º �\��� Ó ���Ea����\aG��b�� ¸ ����a�b � a�� ¸ ���? B ½ ° r£¾�à ú � ¼i B ¿ Ù ½ ½ ½ �à à ¼i B �'» ? B ½ ° à Э �����E���3�/�«� ��� ¸ a�� º ���/�E��a Y a��r��� Y�Y a / ¸ � / º �E��� 7 ��bJa ��� � ��b#�Ea�b������Ea���b��E���3�����3� 9 ç ��a � �Y �\���\� Y �\�����*aG�©��b��/a � �/bJ����b � �\a���bT���«� Ý � ��� d� Ø a�b � �3�������/�\���E����a Y̪ �3���¤��bÀ��b������3b Y �/�z�Áa��a Y � Ó �3� º ç �J�3�E� ª �3�E� ± ) �6� Ç �E�3b Ø �E���|�J�E�!���I�\�r�\���t��a � ���3�~�3a � �3b Ó � ¸ �J� Y ����b�� � ��b�� Y �|�E��� aGb  � Ç �J�Ea�b � a�� ¸ � ± ã7®u 8¯O�@°Ã�   ¯ Ö�Ö |c± × : ,.-C�>�.� �Ãz½ ° � à 3 2 * =ø�@= ü �`?�X ½ ° � à » É 1 -C� 3H-CZ³��Q¸�<3 * ü �>�<�ô� ü � ��b 4 � ÿ� ���E�*����a�b#� �M- �Ãz½ É�à » × ü �<-C�O� �à �Ý �Va��ÁÄ » �Ã4½ ° � à a Y � � ��b 4 � � ���E������a�b#�µ�\� × �A�\�J�3b Ù�½ ½ ½ �à à ��b ¾ É ¿E° � Á ��� Y � É �/a � �/b Ó � ¸ ��� ±) �����~a Y �J�E���3���-a YRY ���r��b���b ÿ ª �/�E� ¿ � ¼ © ½�¾ É ¿E° � Á à ç a��\� ¿ ½ É�à » ¿ ½ ° � à » É Y � � ���\�����Ù ½ ½ ½ �à à ¿ » É Ð ½QÅÆÅ ±�Þ�Ã) ��a Y a Y �E���VÅ ü * -�D��·� K�2 ü ���0-C� ± è�Y � ¸ �J�Ea���b6���Æ�\��a Y � �����Ea���b ç a��\� ¿ ½ É�à » É ç a ¸�¸�/ � � � ¸�¸ � Ø�{Å ü * -�D��(A�� * �Q-C�ï¤�F�S� ±7®u 8¯O�@°Ã�   ¯ Ö�Ö |c± ë � =.� a�b Ø � Ç - 1 Ù�½ ½ ½ �à à �<3¦�@=.��� 2 Z�DF�F�%- 1 ���0� ü ���>A����F�S�O�F�.A ü � 2 �G3¼�>� = ü 3º * - 2 �.���>�O�÷Z 2 �����4,���� * �>��� » -C� ¼ © ½�¾ É ¿ à Á à U �>�>=³£C�F�V-÷DF- 2 ��� ü ��� * -C�����>���0-C�E3 �� �§��� � � ¸�¸ �E����� ����� ° Y �(� ¸�¸ � Ù�½ ½ ½ �à à ��� Y b�� ª �3�����3a � �3b Ó � ¸ ��� Y ��b ¾ É ¿E°�Á ½ ) ���/���E�/� ÅÆÅ ± Å Ú Ã�±Õ ��� / a�b�aGb � �\��a Y �¨� � � ç a��\� ) ���3���E�3� Å�Å ±�ÑPë � a Ó � Y �\���*��� ¸�¸ � ç a�b � �E� Y � ¸ � ±��� u� �xCuOw Ö�Ö |<± ð ��N  �x���u��å� =.� �>���O��W - 1 Ù ½ ½ ½ �à à �<3�� K�2 ü � �M-��>=.� � 2 Z�DF�F��- 1 ,.-C�>�.�@3* -C�zÇ 2 � ü �Q�¼�M- �Ãz½ É�à ü �<-C�O� �à � * - 2 �.���>�O�³Z 2 �����4,���� * �>��� º 3H�G�(ï`� 2 �G��T9T ��È » �

index = # of conjugate points

spec[S"( )]

t

½QÅÆÅ ± Ú Ã

Page 84: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

È W Ê Û#ÜFÝÌË`Í Þ'ÎÆÎ à³Ï ÜÌË4ÛÌÍ Ï ÜÌËÑÐ Ê Ü´á�âqÍÌË ã�ä4Þ�å Ë4Û"Í Ê ÜFá Ê ä á ä ý ãÓÒLæ Ü Þ Ð ÜÌËÑÐ ãÓÔ ý) ��� Y �E���¤��a � �\�J�E�{�\�����1��� Y �/�(�/� � � Ø a Y � Y ��� ¸�¸ � ç Y ±�­ ��� Y � 5 � a��3b#� ¸ º Y �6� ¸�¸ �Ea��r� Y ��\�J�3�E�«a Y ����b�a ��� � ¸ � Y�Y a � � ¸ �����E� ç aG�E�t�\�J� Y �(� ¸�¸ � Y �É� � �\aG��b ± è�Y �\a��r�µa�b � �E�3� Y � Y ���\�J�»�����E� Y�ra � �#� ¸ � Y �t�E��a Y ���E�����3�%� º ± ) ��a Y ���������3b Y aG�É�E���3���Va Y �6����a�b#��a�b��\���V�����\� � ��b 4 � � ���\�-�\��Ãz½ É�à ½ Y �3� ê � ����� ÅÆÅ ±�È�Ã�±a)

- small times

conjugate point

minimizes action- classical path no longer- conjugate point

b)

- classical path has smallest action

Ê ÅÆÅ�Ë È#ÌÍ�ÎÁÏywxÐ�¨@u�Ö�Ö |c± õ è bM��ÑJ���(�JÒ�������� � ��b 4 � � ���\������aGb��(a Y �À�E���Eb�aGb � ����aGb��(a�b��8��bJ� ÿØ aG�(�/b Y aG��b���Ò������E�3b#�\a���Ò Ê Y �3� ê � �J�E� ÅÆÅ�Ë æ#Ì Ë

turning point

x

ba

V(x)

Ê ÅÆÅ�Ë æ#Ì) ��� � Ò�� YEY a � ��Ò �����E� à Y �����%� Y ����Ó��­��b Ø �\�J�Eb Y / � ��é ���h�\�3�R�JaG�E�Ea�b �1Ô ���R�\aG�(��Õ Ë·f � çÙ ½ ½¨Ê Ã Ì§Ö ê ø Â�©× ê î ½ ½hÊ Ã Ì��b Ø aG�Ia Y �z� Y�Ø �\� � ��� ��é �\�����«Ù ½ ½ Ê Ã Ì òà Ö\É Ê 4 � Y �©Ú�a F �3���3b#�\a����\� f � ç �E��b gÛY � �����\aG��b Ì ËÝ a�b � �òÃ Ê É#ÌRÖ òÃ Ê Õ Ì~Ö É Ê �E���|Ü��3Ò�� � a�� Ø ���*�(�E���EbJa�b � ����aGb#��a Y"ª �/�E� Ì � Ô a Y�� ��b 4 � � ���\�-�\�¤Ó Ë a �*a Y� ÒG�z���R�J�3�E�*�E����� à � �3� Y � Y �E� / ���r�ra�bJa��(��Ò�� � �Ea���b������E�����h�\�/�~�JaG�E�Ea�b �VÔ Ëf � ç ç ���E�/�E���Eb(�\�|�E���*Ý�� � � / a�� �����Ea���b Ê ÅÆÅ�Ë Þ#Ì �J��bJÚ � ��b Y a�ÚJ�3�»a�� Yü1�2 ��� ü Z³�F�.� ü �.3H-C� 2 ²���0-C��Þ Ê Ù Ì Ë Þ Ê Ù Ì a Y �\�J� ß ù ß �(���\��a�Ñ Y ���Ea Y � Ø aGb �

Ù ½ ½hÊ �Ã Ì Þ ÖåÉç aG�E�¤�\����a�bJaG�\a���Ò � ��b�ÚJaG�\aG��b Y Þ Ê É�̧Ö\É ��b�Ú òÞ Ê É�̧Öàß ß�áÞ a YR� ��Ò�ÒG�3Ú{�\�J�1Å ü * -�D��Z ü �����âW Ë

Page 85: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

ÎÆΠื�à Ê ãÓÔ-¹ 仺 ÜÌË`Í Ý ã Ð Ô Ë�ý�Ü Ô â ¹ Ü Ê ãÓþ Ð Ò ÐQÍßá;â¼ý È�ö¥¦xC ­Ð( �� �>°�   ¯ Ö�Ö |c± b � =.� Å ü * -�D��Z ü �����âW÷= ü 3¼�@=.� 1 -C�>�<- U �>�O� ,��V-G,.�F�F���0�G3T � �Ñ-C� ü �.�¤ã �Mä ´Æ��ÞÆã'�<3 ü Å ü * -�D��hï¤�F�S� � ^·-C�.A��F�V3H�F���H� ü �.� Å ü * -�D��hï¤�F�S�Ü�<3®- 1 �@=.�1 -C��ZåÞÁã 1 -C� 3H-CZ³��ã ��ä ´ �æ � �Ã Ê Õ � Ì �<3 ü * -C�zÇ 2 � ü �Q��,.-C�>�.� �M- �Ã Ê É#Ì � "�Þ Ê Õ � Ì = ü 3 ü £C�F�G-C²ô�F�S�O�F�.A ü � 2 �G� � � � � Ú��/� Þ Ê Õ � ̵ÖÉ �

¥¦xC � ��EDÅ�Ë ) ��� ê � Y �;�����%�;a Y � / Ü!a���� Y Ë ) �V���E�ÃÜ����\��� Y � � ��b�Ú¤�������;ÒG�/� ¿ / �*�|Ý�� � � / a ê �/Ò�Ú �A��b�ÚÒG�/� ã Ö ò¿ Ê É#Ì Ë ) ���/b ¼¿ >çÞÆã Y ���\a Y ê � Y �\��� Y ���(�LÚ�a F �/�E�/b��Ea²��Òè� �����Ea���bÀ� Yq¿ ç a��\��E��� Y ���r�*a�b�a��\a���Ò � ��b�Ú�a��\aG��b Y Ë ¹ �3b � � ¿ Ö ¼¿ Ëé Ë �Ã Ê Õ � Ì a Y � � ��b 4 � � ���\������aGb#�1a F �\�J�3�E��a Y �8Ý�� � � / a ê �3ÒGÚ ¿�Y � � ���\����� ¿ Ê Õ � Ì{Ö É Ë5 Ø �E���6�����/Ü!a���� Y|Y �����E�3�r�3b#�z�É�E���3���6a Y ã�êÖ É Y � � ���\����� ¿ Ö ÞÆã � ç ��a � ��a��r��ÒGa�� YÞ Ê Õ � Ì ã Ö É ËeÝ � Þ Ê Õ � Ì ��� Y � ª �3�����3a � �3b#Ü���ÒG��� Ê ç aG�\�£�\�����3a � �3b#Ü�� � �\��� ã Ì ����b�ÚÚ���� Þ Ê Õ � ̧Ö\É Ëã f � ç^ç � � aGÜ����E���¤Ú�� ê b�a�b � � �/���r�/�\��a � j Ú Ø b����ra � aGb#�\�3�����E�������Ea���b���� Þ Ë Õ ��b Y aGÚ��3�r��¨���ra�Ò Ø ��� � �Ea��\a � ��ÒÁ�����\� Y íë Ê Ù Ì Y �\�����Ea�b � ���T�Ã Ê É#Ì ç aG�\��Ü����EaG��� Y a�b�a��\a���ÒìÜ��/Ò�� � a��\a�� YRí �Àä ´ Ëç �3bJ���\� �í Ö ò

�Ã Ê É�Ì Ë ) ���/b Þ Ê Ù Ì§Ö Â Ã­ë Ê Ù ÌÂ�í í ë I îëa Y �\���rÝ�� � � / aI�(���E�Ea�Ñ Ê ��Ò���b � �Ã Ì Ë a b�ÚJ�3�3Úì� Ã�ë Y ���\a Y ê � Y �\���L� �����\aG��b Â Ù Ê Ã­ë Ì�Ö É Ë�ç a�� ÿ���3���3b#�\a����\aGb � �E��a Y � �����\aG��b ç aG�E���E� Y ��� � �*�E� í �Á��b�Ú�� Y a�b � �E�����-Ù ½ ½ Ê Ã Ì�Ö Â â  â Ù Ê Ã Ì � ç �ê b�Ú / Ø �\����Ú�� ê b�a��\a���b¤���  â �E�����É-Ö ÂÂ�í  â Ù Ê Ã­ë ÌµÖ Ù ½ ½¨Ê Ã�ë Ì Â Ã­ëÂ�í á) ��� Y � Â Ã­ë µ�Â�í í ë I îë Y ���\a Y ê � Y �E���tÝ�� � � / aÁ� �����Ea���b Ë�f ��Ñ!�3�ÂÂ�í Ã�ë Ê É#Ì§Ö ÂÂ�í �Ã Ê É#̧Ö\É��b�Ú ÂÂ�í òíë Ê É�Ì§Ö ÂÂ�í í Öïß ßç ��a � � � ���(�JÒ��/�E� Y �E�������E�!��� Ë

Page 86: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

ÈÆÞ.ÊIð~ñ�ò Ë`͵ó ÎÆÎ�ô Ï ñ Ë ð Í Ï ñ ËÑÐ ÊÉñ�õ�ö ÍÌË»÷1øèó-ù�Ë ð Í ÊÉñ�õ Ê ø õ ø`ý(÷ Ò�ú ñ ó Ð ñ ËÑÐ�÷ Ô ýk1k1l�û &ýüRw§y3orq o10¡w§þTÿ ü��µy/wIyzü~v����TvtwIþÝ ���J��� Y � �à a Y � � ��aG�\a � ��ÒJ�����\�1�����«Ù���a��\� Ã Ê É�Ì©Ö�� ��b�Ú Ã Ê à ÌµÖ Ë�� ���3br�\���� �� �����C���������� ��� a Y Ù � Ê �����Ì > Ù Ê �Ã Ì Ë�� b��������~����Ò�Ò���� Y �

Ù Ê Ã Ì§Ö ¾��� Ê Ã � òÃ Ì ßOÙ�á� uìw�wxÏBÖ�Ö |c±�}"!%�@ï�����# Ö Ê Â$ µ� òÃ Ì Ê �à Ì&% �(' � �÷�*) �F� ٠� Ê ����JÌ µ6 �¤Ö,+ # ᥦxC � ��ED è�- ��a�bì�.�«� Y ��� � a²��Ò�a ª �¤�\� Ö0/1% òà % © µ é2+43 Ê Ã Ì Ë65 Y aGb - �\��� � ����aGb��E�JÒ�����b�Úa�b#�E� - �E���\aG��b87 Ø �����%� Y �9�«� ê b�ÚÂ Ù Ê �Ã Ì µ6 ��Ö ¾:�� � / ò�à  ò�à µ� �8+;3 ½ Ê �Ã Ì Â �à µ� �Á

Ö ¾ �� � Ê +</>=�à +:3 ½ Ê �à Ì�Ì Â �à µ� �Á Ór:/ ò�à  �à µ� ��% � �����a � � ��� Y �à a Y � � ��aG�Ea � ��Ò�����aGb��»��b�Ú Ê Â �à µ� ��Ì Ê à Ì©ÖåÉ �Ja Y 4 � Y � +</ òÃ Ê É#̧Ö"+ # � Y;� Ò���a��r�3Ú Ëã � ��a Y ÒG�3�r�6�(a��r��Ò�aG� Y" # µ� TÖ?+  © Ù � Ê ����JÌ µ� � Â Ë ¢ b��E���L���E���3�*����b�Ú �  # µ� �ÖÊ Â µ� # Ì ` B Ö/ Þ ` B Ê # � à Ì Ë�� ��a Y@- a�Ü�� Y � Y © Ù � Ê ����JÌ �  Ö,+</ Þ ` B Ê # � à Ì����a � ��� Y ���A7�Ò�a Y ��� Y �E���*����Ò�ÒG����a�b - ��� Y ��ÒG� Ë¥¦xC ­Ð( �� �>°�   ¯ Ö�Ö |G¶� ¢¡B� �DC 8� �C�zÇFEÆ� �M�HGI�C�>�.���J� � � ) �F� Ú��/� ÊLK öNMPORQTS Ç URVK S K U ÌµÖ ª �� ���*����Ò�ÒG����a�b - ��ÑA�3� � a Y ��a�ÒGÒ�� Y �\�\���\� Y �\�Ja Y ��� Y �JÒG�;�����«�\���*��Ñ����(��ÒG�����Á�E��� � Ò�� YEY a � ��Òì�����JW�r��b�a � � YE� a�Ò�Ò����\��� Ë¥¦xC �§`¨�uOw Ö�Ö |G¶ Ö Õ ��b Y aGÚ��3�É�E���;�����E�r��b�a � � YE� a�ÒGÒ²���E���3������� Y � Û � - �\��b - a²��b|a YX ÖZY © òà © +Y�[ ö© à © Ë Õ ���r���J�\�

Ù � Ê ���R�Ì§Ö \é Y a�b Ê \ à Ì^] Ê � © r: © Ì � � Y Ê \ à ÌX+¿é��_a`

Page 87: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

ÎÆÎ�ôcb#ô ñ¦Ê ËÑÐ�÷ Ô ÷ Ò Ë ð Í Ê ó Ð�ËÑÐ ÊÉñ�õ�ò�ñ Ë ð Èed��b�Ú Y � � ���(�J�J�\� Â.© Ù � Ê ����JÌ µ6 �  rÖ,+ \Y aGb \ à áf ���\�»�E�����I�E��a Y a Y aGb ê b�a��\�©����� à Ö Qhg µ \ �����I��ÒGÒAaGb#�\� - �3� Y Q ËX� ��� Y Ã Ê Qhg µ \ Ì ���E� � ��b 4 � - ���\��\� Ã Ê É#Ì Ë� uìw�wxÏBÖ�Ö |G¶�±M�Ri Ï.w � ¨ °   ¯*j�k Ï P  �§ � u�l �ÆÏ °�   ¯ � Ù � C ���DC@ï¤�mC(� ) ��n ���>���J�C�.² Å^ �� �po�� � K E ²�����C�  ٠� µ�Âyà Ö,+ ã Ê ���  ٠� µ� ��Ì Ê Å�Å�ËcÅ É#Ìq ) �F�V��ã��DC¦� ) � � � CmCF� �R �_n ���>�����C�.� ���FEO� � �����C� CmC�� � � �M�ô� q �>� )2 �¥¦xC � ��ED Ý a�b � �tÙ � Ö Ù Ê �à ̵Ösr �� Ê �à � ò�Ã Ì �^�»�-���zÜ��Â Ù Ê �Ã Ì µ�Âyà Ö Ê �à � ò�à Ì&% × '^�ut ¾��� Ê Â_ ·µ6 �à Á{ �à µ�Âyà t Â_ µ� ò�à Á{ ò�à µ6Â.à Ì ßOÙ

Ö Ê �à � ò�à Ì&% × '^�ut Â_ µ� ò�à Á{ �à µ�Âyà % × '^�× ' � t ¾��� Ê Â_ µ� �à + ßOµ�ßOÙ Ê Â_ µ� ò�à Ì�Ì Â �à µ�Âyà��b�Ú Y aGb � � �à a Y � Õ ñ ���§Ù;����bJÚ Â �à µ6Â.à % × '^�× ' � Ö"+ ò�à % × '^� ���\�Ja Y a Y Ê �à � ò�à Ìv+ Ê Â_ µ� ò�Ã Ì ò�à % × '^� áÖw+ Ê # ò�à + Ê �à � ò�à ÌEÌ�% x ' KFypzNK á�â Ö,+ ã Ê ��� # Ì áÝ aGb � � # Ö Â_ µ� ò�à % × '^� Ö Â Ù � µ� � �«�-���E��Ú���b�� Ë ã� uìw�wxÏBÖ�Ö |G¶­¶M� �   ¯ � uOx�{JÏ °�   ¯  �� u ¯ uOx��É�

�F���F�0��� Ê �Ã Ì > Â_ ®òà òà + % îâ Ö � �C�^CF� �¥¦xC � ��ED}| � � ���(�J�J�\� ßßÆà Ê Â$  òà òà + ÌµÖ Â ©  òà © =à òà t  ©  òà  à òà ©t Â$ Âvòà =à + Â_ ®òà =à + Â$  à òÃ

Page 88: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

ÈÆÈ.ÊIð~ñ�ò Ë`͵ó ÎÆÎ�ô Ï ñ Ë ð Í Ï ñ ËÑÐ ÊÉñ�õ�ö ÍÌË»÷1øèó-ù�Ë ð Í ÊÉñ�õ Ê ø õ ø`ý(÷ Ò�ú ñ ó Ð ñ ËÑÐ�÷ Ô ýÖ Ê ßßÆà Â_  òà + Â_ Â Ã Ì òÃY � KFyK áâ òà + % îâ a Y � � ��b Y �\��b#� Ê ����a � �~�»����aGÒ�Ò Ú��/b����E��7 Ø � Ì Ë f ���Â_ Âvòà òà + Ö ã Ê Ã � Â_ ®òà ÌF�

���/b � � � a Y �\�J�-�/b��3� -�Ø ��� �ÃOË ã| ���»��b#�Tb���� �E�£��� YEY ������� �?�\a��r�LW�Ú��3���3bJÚ��3b#���\�£�?�Ea��r�LW aGb�Ú��/���/b�Ú��3b#����a � �\�J�E���� � Ò�� YEY a � ��Òt�r���Ea���b Ë | �����3�%�����E� � Û � - �/b�Ú��E���E�\��b Y �����E� ��b=Ù � Ê ����$� à Ì �\����7J����a�b� � Ê ����$� � Ì ÜAa�� � � Ö Ù � t � à % ��� K M zNK �(' `�� áf ���\�*�\�����R���E���p�\�����3bJ�3� -�Ø�� ��b Y �3�%Ü����\a���b�Ò����Â_ Âvòà òà + % îâ Ö �

�«�t���zÜ�� � � Ö ¾ �� Â_ ®òà òà % îâ Ö ¾ îâ # ÁHß � áÛ �/� �à 7�� Y � � ���\�����  ٠µ6Â.à % �(' î� Ö,+ � Ë� uìw�wxÏBÖ�Ö |G¶ × �à % �(' î� �DC �� � CmCF� �R ��G � ) � �F���F�����t� �¥¦xC � ��ED Û �/��Ù Ö Ù � Ë.� �J�3b  ÙÂyà Ö t ¾ �� Ê Â_  òà ®òÃÂyà t Â_  à  ÃÂ.à Ì ßOÙÖ t Â_  òà  ÃÂyà % � � Ö t Â_  òà  ÃÂ.à % × '^� áÝ aGb � � Ã Ê Ù Ì§Ö t òÃ Ê à Ì Ê Ù + à Ì t�� Ê�Ê Ù + à Ì © Ì �9�»�����zÜ�� ÃÂyà % × '^� Ö,+ òÃ Ê à Ì�  ÙÂyà Ö + Â$ ®òà òà Ṡ�/b � �  ÙÂ.à % �(' î� Ö,+ � � �3b��/� -�Ø Ê �Ã ÌµÖ �ã

Page 89: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

ÎÆÎ�ôcb#ô ñ¦Ê ËÑÐ�÷ Ô ÷ Ò Ë ð Í Ê ó Ð�ËÑÐ ÊÉñ�õ�ò�ñ Ë ð ÈÆæ� uìw�wxÏBÖ�Ö |G¶ ë>� � C ���DC@ï¤�mC¼� ) ��n ���>�����C�.² Å^ �� �po�� � K E �����C�ã Ê ��� Â$� � µ� ��Ì©Ö � á Ê Å�Å�ËcÅ�Š̥¦xC � ��ED Ý �/���\aGb -�à Ö �à a�b Ê Å�Å�ËcÅ É#Ì ����b�Ú�� Y a�b - �E�����  ٠µ�Âyà % �(' î� Öw+ � �I�»� ê b�Úã Ê ���  ٠µ� ��Ì�% �(' î� Ö � á­ aGb���Ò�Ò Ø �a�»�-b����E���\����� Âh� � � Ö Â Ù � % �(' î� t Ê Â ÙÂyà t � Ì&% �(' î�  �à � Ö Â Ù � % �(' î�����a � � � ���(�JÒ��/�E� Y �E�������E�!��� Ë ãtvuOwxÏyx{z Ö�Ö |�¶ ð ¡������DC 2� ���>��� �R �pG � ) ���m��� � ��� �>�®�����³� à �� ) �F��� % �(' î� �DC 2� � CmCF� �R �G � ) ���m��� � �J� � �F���F�����-��� ��� q ���O�F���C�Q�@� % �(' î� >4�H� �­ a�b���Ò�Ò Ø � � ��b Y a�Ú��/�~� � Ò²� Y�Y a � ��Ò �������Ea � ÒG�*a�b ä ´ ��a��\���1�����E�3b#�\a���Ò 3 Ê ��Ì Ë��� u� �xCuOw Ö�Ö |�¶ õ ��k Ï P  �§ � °{� u� �x{uOw¿�å�*) � � � CmCF� �R �Ì��� Ç#� � �J�C�����J� G ����� � �<� � ��F���F�����|� �DC �O�m���O�mCF� � �>� � ) ��� �0�L� �.�.� ���³�F����� �:�� � í í S Ö é Ê � +:3 Ê ��ÌEÌ�� � ÁÃíº q ) �F�V� � Á²í �DCÓ� ) �¤�>�.���F��G��m���pE � �s�>� ä X » �C��� ) ��CH�F� � � ��ä X %�3 Ê ��Ì ú¡� º � ) � � � CmCF� �R �>��� �>�D� q �ô�÷�V�0�����C� » �¥¦xC � ��ED � a Y � - �3�!Ú�� Y a � a F � ��7�� Ø!Y �\�����§��ÒG�3��W Û � - �\��b - �*���������\a���b=�H� Ö4� ���� ò� � ò� ������/�E���\��� Õ ����a Y �E� F �3Ò Y�Ø ��7���Ò YR� ��b�7�� � ���r���J�\�/Ú��E��7��� ���� Ê ��Ì©Ö"+ Åé Ê � +:3|Ì ` B�  3 � ��� ��� á� ��� Y �\��� - �/�AÚ�� Y a � �P�������\aG��b~7�� � ���r� Y=� Ö"+ Åé Ê � +:3|Ì ` B�;� 3 Ê � Ì � ò� ��©záf ��� aG�v Ta Y � � Ò�� YEY a � ��Ò �����E�������3b��/� -�Ø � ���\���/b�a��R��7�� Ø!Y �\��� f �L�R�\��b����������\a���b/ =  Ö,+ � 3 Ê   Ì á

Page 90: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

æÆÉ.ÊIð~ñ�ò Ë`͵ó ÎÆÎ�ô Ï ñ Ë ð Í Ï ñ ËÑÐ ÊÉñ�õ�ö ÍÌË»÷1øèó-ù�Ë ð Í ÊÉñ�õ Ê ø õ ø`ý(÷ Ò�ú ñ ó Ð ñ ËÑÐ�÷ Ô ý�§b��3� -�Ø�� ��b Y �/��Ü����\aG��b Y � Ø!Y /

é � ò  � © t 3 Ê   Ì§Ö ���b�Ú��\�J� Y �����«�(�P�!�����\aG��b Y a��r��Ò Ø=  Ö,+ Åé Ê � +:3tÌ ` B�¡� 3 Ê   Ì � ò  ��©ã Ë

Page 91: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

¢ £ ¤¦¥ §©¨"ª «­¬¤­§¡£ ¨¯® ¤­§¡°�±s¤?² ³ ¨4§©´¶µ ª;·¹¸ §¡£ ¨

·�§º¤­§¡°»´¶¼ ¤¦ª�½ ¥ £ ¤?·¾¨ ® ¨4§¡£ ´¿³ ¤?¼ ³´À¥ ¨"ª¡¤­§©´Àª ³ ¨4§©¨"ª:® °�¼ ¤?¼¶§1·

� b��\��a Y¤� �����J�E�3�8�«�ÀÚJ� YE� �EaÁ7����\�J�À�(���E���3�(���\a �3Y ����a � �¹�»�¾��aGÒ�Ò�� Y ���\��Ú��/�Ea�Ü���� Y ������Ò�������V��Ò²� Y ���E���ï�\���©�����E�taGb��E� - �E��Ò Ë�� ��� Y �©�����E�V�JÒ²� Y ���E� CH�L�ÃÂ�Ä � � CmCL �R � �Ã��� K E CLÂ�Ä � � CmCL �R � ��r�z��b�aGb - �\�J� Ø �����*Ò��z��Ú�a�b - W ����Ú��3�R� Y�Ø �(�A�\���Ea � ��ÑA����� Y�Y a���b Y � Y �E��� 7 �����E���r�/�\�/� 9ÆÅ�Ç É Ëk�ȤlÃk É þTÿ ÊOwIvtwIy3orqTv���Ë ��þTv�ÊÉÿ ) ÿ�w§þTo~Ì| ���«����ÒGÚ�Ò�aDÍ����\�rÚ��/�E�3���(aGb����\���-� Y%Ø �(�J�E���\a �3Y ���è� Y�� a�ÒGÒ²���E��� Ø a�b#�E� - �E��Ò Y ���è�E���*�����E�¾aÎeÏ�Ø � MeQ â V zNÐHß Ã� Y Å2Ç É Ê �J�3�E� à a Y � ê b�aG�E�tÚJa��r�3b Y a���b���ÒìÜ����Ea��p7�Ò�� Ì ËÑ� ����7�� Y a � a�Ú��3�ra Y �E������� Y Å2Ç É ��\�J�8aGb��E� - �E��b�Úïa Y ��a - ��Ò Ø � YE� a�ÒGÒ²���Ea�b - ��b�Ú Ø aG�3Ò�Ú Y � Y �(��ÒGÒ � ��b#�E�EaD7J�J�\aG��b¡��Ñ � �/�J�Ò�����/�E�� Ù Ê Ã Ì§Ö\É Ê aG��� � �Ea��\a � ��Òì����aGb�� Y Ì Ë| � Y �\��Ú Ø Ó

Ê Å Ì > ¾ÕÔ Ê Ã Ì Ø � M�Q â V zNÐ#ß X Ã�����/�E� Ô �×Ö �Ø ��b�Ú � ��b Y a�ÚJ�3�R���»� � � Y � YPÙÅ�Ë Y ����� Ê Ô Ì � ��b#����a�b Y b�� � ��aG�Ea � ��Òì����a�b#� Y ���IÙ Ë�ç � ê bJ� Ö Å ß�Ú Â Ù Ê Ã Ì�FÂ Ù Ê Ã Ì �FÛ �  âAÜ áæ Å

Page 92: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

æ#éyÊIð~ñ�ò Ë`͵ó Î�ÝJô Ï ñ Ë ð Í Ï ñ ËÑÐ ÊÉñ�õ�ö ÍÌË»÷1øèó"ýìùOË ð Í�ýüË ñ ËÑÐ�÷ Ô ñ ó�Þ ò©ð~ñ ýEÍ Ï ÍÌË ð ÷ ö¿ñ Ô ö ÷ ò ͵ó ñf ���\� �Ø � M�Q â V zNÐ Ö Ø � MeQ â V zNÐ � Y � ¾ Ô Ø � M zNÐ Ö ¾ Ô �YîØ � M zNÐÖ ¾ Ê .ß Ì Y Ô Ø � M zNÐ Ö � Ê Å Y Ì

��������b Ø / Ëé Ë Y ����� Ê Ô Ì � ��b#����aGb Y ��b�Ò Ø ��b�� Õ ñ � �à ���1Ù Ë �ÉÑJ����b�Ú Ù Ê Ã Ì ���E����b�Ú �ÃÁË | �Ea��\aGb -à + �à Öáà Å�â �«�t�p7J����aGbÙ Ê Ã Ìäã Å Ö Ù Ê �à ÌRã Å t Åé : â � ÙXå å Ê �Ã Ì â í t�� Ê à Å�â»æ Ì� Ó

Ê Å Ì§Ö Å ´ z Û Ø � M�Q îâ V zNÐvç Ô Ê �à t à Åaâ Ì Ø �Dè�é Ç M�ê êcQ îâ V épë z Û Ø �íì Qïî Ð é�ð V ß X â áf �&�s�»�-� Y ���E���*�����E�|��Ò²�ç Î Ï Ø �Dè�é Ç M ê ê Q îâ V épë z Û ß â Ö Ê é g ß Ì ´ z Û ] Ú����ìÙ�å å Ê �à ÌJ` ` B z ÛÊ �»� � ��b{ÚJ�3�Ea�Ü��~�\��a Y ��ÑJ�J�E� Y�Y aG��b6���E����� Y � Ø ����b���Ò Ø �\a �~� ��b#�\aGb!�����\aG��b(��� r Ø `�ñ è�é Ç M&ê ê épë�������óò Ø Ê Ó Ì�íõô �O�\����� - �x�E���6aGb��E� - �E��b�Ú8a Y b����VaGb#�\� - �\�p7�ÒG�1a�b8�E���6� Y ����Ò Y �/b Y � Ì Ëf ���\aGb - �\����� Ô Ê �à t à Å�â Ì�Ö Ô Ê �Ã Ì t�� Ê à Å Ì ���«�1���zÜ��1�\��� CLö ö÷Â��C� pø ��G ) CH�v��W�ÄG �^CLÂ��C� Ê �����R��b�� � ��aG�\a � ��Ò�����a�b#� Ì ÙÓ

Ê Å Ì§Ö Ê é g ß Å Ì ´ z Û ] Ú�����Ù å å Ê �à ÌJ` ` B z Û Ô Ê �Ã Ì Ø � MeQ îâ V zNÐ ] Å t�� Ê à Å ÌJ` á Ê Å é ËSÅ Ìk�ȤlFÈ ùÀ�xÿú�µv-wIo2�ûÌTÿ�wÉÿ��µ) yzqTvVq{w�Êü ��� Y �������E���6���\�Ea � � Y �J�E����Ú��/�E�3�E�ra�b���b#�R����b � �Ea���b���� Y �E�������E�����/���\aG� YÅ�Ë@ý a Y aGb#Ü��3�%�\aÁ7�Ò���a F Ú���� ý êÖôé Ë@ý Ö ý ß � Ú��/� ýwþ�äÿ Ë Ú���� Ê ý�� ÌµÖ Ú���� Ê ý Ì Ú���� Ê � Ì� Ë@ý�� ô � Ú��/� ý Ö�� �E� Q���� V

Page 93: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

ÝJôTÝJô ÷ ò�� ó ñ�� ÷Ró ö������ ó������ ñ � ��� ��ÿ� Ë Ú���� ý Ö��!

��ܤ��� ��"| ���«����ÒGÚ�ÒGaDÍ����E�1Ú��$#�bJ�-�E����Ú��/�E�3�E�ra�b&%�b#�����'%)( � �J� =��Ú�aGb - �/�~�����/�*%��E��� ËÍ�ÎÁÏ&+xÐ�,.-0/21435/ 6 �/�87 Öw+�9 t 3 ��b ] ô^� ` ��aG�E�;:/�3�E��7����Jb�Ú<%�� Ø1� ��b�ÚJaG�\aG��b Y Ê % Y�Y ���r�3 a Y 7�����b�ÚJ�3Ú�%�b�Ú � ��b#�\aGb������ Y Ì ËÑ� ���3b=�Ê 7 + Ê é gÁQ ã Ì Û Ì Y a�b Ê é gÁQ �hã Ì = Ö = 3 Ê ��Ì Y a�b Ê é gÁQ �hã Ì =�>=Ê5? �J� %�3�% Ì =$@ ßBA Ê é g A$�hã Ì =CED Ú ? ��� � �\� C Òµ�E���3��� Ø �\�/Ò�Ò ? � ? �\� C �F7 � C ? CED �HG - � D Ü C Ò��J�)G D �E���;G D �\�3�%Ü C Ò ] Ê é g A*ã Ì Û +? �J� %�3�%ï� Ê é g A*ã Ì Û t ? ��� %�38% ` Ë.� ��� ? �I Ê 7 ̧Ö�J Ê é g A ã Ì Û t:� Ê Å Ì&% A þLK�M á(A�L�\� Ø G D - �\� � ���(���A�\���\�J�-ÚJ�/�\�/�E�)G D<CND ��Ú�G��E� � �EÒ Ø �u�»� - �/� � �/ÜPO " Ö ª Ëü ��� C ��� ? GG�QGGÜ��*� C �E�QG�Ñ�� ý �9�«� � CED ÚJ�$# D �SR � ÊT@ ÌVU �E� ýSW ×µÖ�X� �Y

Ü[ZE\ �]" W × Ë^S_a`cb�,5-2+ /2143d1 (fe�Z&�gG Dih e�G ?kj C ? Y h e CNh Ú Y h Ê ý ̵Ö�� W2l êm Q Ø Vf Z���\.ZEn�7 Öw+�9 t 3 Z D ] ô^� 'odp �kG h eq: Y nQZ27rZts D Ú C n Ø j Z D Ú&G h GuZ D ?$vw O ÊT@ Ì§Ö h n C j Y 7 W × U x �Yzy ZE\�O" Wf{

Yz| G ? h ? \.ZEnHò �~} @�� �\Å��E� } ? Y$Y�Yz| CE�)�&� Y Å��f�SÅ \.Ztn���� Å � ��� \ w O e C ? CND�CND<CE�d�~h G j�j Z D�h G D s C Wh GdZ D G D�h Z J ò �~} @���� ô M v h e Y D � YS�&Y # D Y�&Y h 7 Ug� W2l ê� Q Ø V��(fZ �&Y # D YH� v �&Y h 7�e C ? � n�Z � Y n h G Y ? Å W � C 7�Z yEY v 7&s hSD Z hS� n�Z � Y n h�� � ��� h]h s�n D ? Zts h�h e CNh�ke Y D 7�� +�9 t 3 v \.Ztn Yz| CE�)�&� Y v w O � Z Y ? e C ytY CEDqCED&CE�d�~h G j�j Z D�h G D s Cah GuZ D;h Z C�D Y G - euW7�Zts&nQe�ZfZ � ZE\ ô v CED � h e&G ? �&Y # D G h GuZ DPCE�&��� G Y ? �� h G ? � G�� j s �dh v e�Z&� Y$yEY n v h Z j Z ��� s h Y C �&Y h Y n � G D<CED�h \.n�Z ��h e&G ? �&Y # D G h GuZ D ��� D �ke CNh\.Z �d� Z�� ?Hv � YS�&Y ?�j n�GD7 Y ? Z � Y s ? Y \.s �4h Y j e D GD�~s Y ? \.Ztn j Z ��� s h�CNh GuZ D ZN\ �&Y h Y n � G D<CED�h ? �5 ? G D - h e Y \.Ztn � s �uC " Wf{ � Å��} @�� ç��Ø � {�W<� � W � � �\.Ztn Y C j e "&  þ I } 7 � � Y C � ? h Zw O } @�� � Å��} @�� ç��Ø � {�W<� x   � W � ¢¡ � � �

Page 94: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

� �c£'¤ ñ�ò���� ó ÝJô � ñ�� ¤ � � ñ�� � £ ñ�õ�ö���� ÷1øèó � ù � ¤ �L�¥�Jñ�� ��÷�� ñ ó�Þ ò ¤ ñ���� � ��� ¤ ÷ ö¿ñ � ö ÷ ò�� ó ñ¦ �ih e Y ? � Y j h n CN�§�;CE��� G D - h e Y ZEn Y � v � W � ¡ G ? h e Y A h e Y G - Y D y CE� s Y ZE\ � W � O � (fZw O } @�� � Å��} @a� ç¨�Ø � {�W<� h n � W � O � � �� e&G ? \.ZEn � s �uC j CND 7 Y s ? Y \.s � v C ? G h4�;C©� 7 YVY C ? G Y n h Z �&Y CN� �kG h e ��ª }T� W � O � � r�� W � O }B���R� � � �h e CED ��ª } 7 Wf{ � �«�¬§­&+¯®�,.-0/2143d° | Y j Z D ? G �&Y n�7±� +�9 G D�C¯² 7�Z |f³ � � ] + �t� � �t�a´ p �kG h e � Y nQGuZ � G j7�Zts D � C n � j Z D � G h GuZ D ? ��� D[h e�G ?kj C ? Y� W � O }����� �¶µ } � g � � W p z Û � W�· S W U · ¸ z Û �G D �º¹»� v CND � ? Zh n � W � O � ç&¼¾½t¼ � W � O }B���ä� � � � µ ç<¼ } � g � � W p z Û � } � g � � W p z Û y Z � } � � �¦ s h j CE� j s �¿CNh GuZ D ZE\ ��Y h 7û7 �[h e&G ? � Y h e&Z � G ?�? h G �d�4CÀ� nQZp7 � Y � �� e Y � Z ? h s ? Y \.s � j CE� j s �uCNh GdZ D<CE�¶h Y j e D GÁ�~s Y \.Ztn�s ? G ? C ? \.Z �u� Z�� ? � 6 Y h ý CED � � 7 Y( j e&n =Z � G D - Y n8Z � Y n CNh Ztn ? Z D Û } ] ô^�QÁ ´ ÂQ p � �kG h e[Ã�Gun�G j e � Y h 7�Zts D � C n � j Z D � G h GdZ D ? � à Y D Z h Y7 �ÅÄ � h e Y ? Z � s h GdZ D�h Z ý Ä � � ô �kG h e Ä � }÷ô � � ô v!ÆÄ � }÷ô � �ÈÇÉ� } Ä»C � ¹ � ��CNh n�G |)y CE� s YH�\.s D j h GdZ D Z D ] ô^�QÁ ´ � ��� e Y D Z D Y j CED ? e&Z��ÊÌË -~`c_a-2+ /2143�Í ��Y h ý�&Y h � �

�&Y h¥Ä � }ÎÁ ���Y h§Ä ¼ }ÎÁ � � } Å��f�Ï� �Ði-2+¯­&_�ÑÈ/2143uÒÔÓ � ý ��Õ å å }EÖà � ��� ø@ ��Lø Â�ö÷ �R �AG ö ) ÖÃ4× ö ) �F� Ä � ÂDCHö ) ��Ø �� �po�Â�� ö ø ÂÚÙ �D�C�2ÛÖÃ�Ü^S_a`cb�,5-2+ /2143dÝ 6 Y h ý }.Á � 7 Y h e Y Z � Y n Cah Ztn +  Û� t»Þ } � � �&Y # D Y$� Z D Û } ] ô^�QÁ ´ ÂQ p � �kG h eÃ�Gun�G j e � Y h 7rZts D � C n � j Z D � G h GuZ D ?Hv CED � � Y h�Ä � }ÎÁ � 7 Y h e Y j Ztn�n Y ? � Z D � G D -Åß C j Z�7&G �;CNh nQG | �(fe&Z�� h e CNhqh e Y \.s D j h GuZ D ? ��Y h ý } � � CED �È�&Y h§Ä } � � e C ytY h e Y ? CE� Y : Y n�Z ? ZE\ h e Y ? CE� Y� s ��h G �&� G j G h G Y ? } � Ø G ? C : Y n�ZàZE\ Ô } � � ZE\ � s ��h G ��� G j G h�� A Gd\ Â

x �  � x Ô } � Ø � � ô \.ZEn # �ô^� �H�©� �*A8+ Å CED �    �  �   Ô } � Ø ��á� ô � �

Page 95: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

¢ £ ¤¦¥ §©¨"ª «ãâµ ¤¦·º°4ä2±á²X¤¦·©·©°�±s¤?² ¤ ¼ ¤?² ½ ·©°�·

å D Yz| h n Y � Y ��� s ? Y \.s ��CE�&� n�Z C j e h Z h e Y ? h s � � ZE\h�~s CED�h s � ? � ? h Y � ? } �ke&G j e C n Y h��f� G j CN�u�d�� G�� j s �dhVh Z ? Z � yEY CND<CE�d�~h G j CN�u�d� � G ? h Z Yz| �&� ZEG h¶h e Y \ C j hVh e CNh Å G ? C ? �;CN�u� j Z D ? h*CED�h v CED � h Z? Y$Y Í C ? �2�)��h Z h G j Yz| � n Y ?Q? GuZ D ? \.Ztn � e � ? G j CE� �~s CND~h G h G Y ? C ? � Y � Y h Å8Ç ô ��� e�G ? G ?�j CE�u� YH�æ E CLÂ�Ä � � CmCL �R � } Ztn CH�L�ÃÂ�Ä � � CmCL �R � � CND<CE�d� ? G ?Hv CED � G ? h e Y ? s^72ç Y j h ZE\ h e Y � n Y ? Y D�h j e CN��h Y n �è]éqêëè ì�íLî�Ê'ïzð�ñ<�Hî�ÊXÊ'ï©ñkî��òî�ÊvËPó �Åô'õÀô¶ï©ñ<Ê õ÷ö�ô¶øLù ú»û¶õ�úLîFü÷îSð

ô�õ)ûý e Y �<CNh eÈG D�h YHþ n CE� } Å ô � � � e C ? h e Y \.ZEn � ZN\ h e Y Z ?Qj G �u�uCNh Ztn � G D�h Y$þ n CE� ?iÿ Y ? h s � G YH� G D? Y j h GuZ D Åë�f�cÅE��� h G ? D<Cah s&n CE� v h e Y D v h Z CE���&�d� } \.Ztn ��CE�u��� � h e Y � Y h e&Z � ZE\ ? h�CNh GuZ D&C n �÷� e C ? Y} ÿ G h e ? ��CE�u�¶�<C n CE� Y h Y n Å � h Z h e Y �&CNh e0G D�h YHþ n CE� v G D Ztn �&Y n h Z �&Y n�G yEY C�� s C ? G�� j �uC ?Q? G j CN�Yz| � n Y ?�? GuZ D \.Ztn h e Y ( j e&n �Z � G D þtY n � nQZ �<C þ CNh Ztn � W�� O � Ð } ����� � � ý e CNh G ?Hv�ÿ Y ? G ���&���À�&� s þ h e Y�<CNh eLG D�h YHþ n CE� Yz| � n Y ?Q? GuZ D } Å ô � � � G D�h Z h e Y ? h�Cah GuZ D<C n �q� e C ? YÌYz| �<CED ? GuZ D \.Ztn � s �¿C } Å��f�SÅ � �à Y D Z h G D þ Õ } à � ��Õ } à � � �¢v h e Y n Y ? s �dh G ?� W�� O � Ð }������ � � ç ����� ��� � � ��� ���! "� Ð$# à � x%� j � ZE\ �

& %� } �&Y h ÕXå å } Öà ��� W<� � Û � ��� � %�$ �� Ð } Å('*) } à Å ���} Å ÿ �SÅ �ÿ e Y n Y & %� G ?�? Z � Y D ZEn ��CE� Gd: CNh GuZ D j Z D ? h*CED�h �,+ Y��&Y h Y n � G D Y & %� U & v C ?Q? s � G D þ G h G ?G D �&Y � Y D ��Y D�h ZE\ Öà CND �.- � ü Ztn - � ô vEÿ Y Í D Z ÿ h e Y Í Y n D Y � ZE\ h e Y � n�Z �<C þ CNh Ztn Yz| �&� G j G h*��� Ù� W�� O�/ � Ð } ����� � � } �10 Ç Å � �32 � W p � Û � �48· 5©W�6$· ¸ � Û Ð �

(fZ G D �<C n h G j s �uC n v � W�� O / � Ð }7�8��� � � } �90 Ç Å � �12 � W p � Û �*: Z ÿ h e Y nQG þ e h ��e CED � ? G �&Y ZE\ h e YYz| � n Y ?�? GuZ D } Å ÿ �cÅ � \.ZEn � W��� O / � Ð }7�8�;� � G ? } h Z � Y C � G D þ Ztn �&Y n � & } �&Y h Õ å åØ } Ã Ø �Q� W<� � Û � ��� / ��� / �� Ð�t�

Page 96: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

�=< £'¤?>A@ ���CB 1DFEHGJI > � �LK £�MN> ��� � £O>,MP> � >,M Þ � � �ÿ e Y n Y h e Y j nQG h G j CE��� ZtG D�h G ? Ã Ø } @�� � � ' }��RQS� ��@ � � � ý e~s ? Õ Ø } Ã Ø � � 2 }��TQS� � Û �t� � CED �Õ å åØ } Ã Ø � � Q 2  Û{ ÿ G h ePÃ�Gun�G j e � Y hVU Zts D � C n � j Z D � G h GdZ D ? �W Z �)�<C nQG ? Z D[h e2s ? þ G ytY ? s ?& � } �&Y h }XQ 2  Û{ ��� � � Û } �90 Ç Å � �12 � W p � ÛCED � h e Y n Y \.Ztn Y� W�� O � Ð } ����� � � xj � ? %� } �90 Ç � Å �12 � W p � ÛRY

�&Y h }XQ 2  Û{ ��&Y h Õ å å } Öà �[Z ��]\ � ��� � %�! "�]^ } Å_'`) }ba c �Q� } Å ÿ �Ï� �

C ? ced ô � ý e�G ? G ? � n Y j G ? Y �d��h e Y � s C ? G�� j �¿C ?�? G j CE� Y¢| � n Y ?Q? GdZ D ÿ Y ÿ Y n Y � Z2Z=f~G D þ \.ZEn �+ Y D Z ÿ þ G yEY CÔ² ? Y � G��ÉnQG þ ZtnQZts ? ³ �&Y n�G y CNh GuZ D ZE\ h e�G ? Yz| � n Y ?Q? GuZ D �H+ Y C ?Q? s � Y \.Ztn? G ����� G j G h��ih e CNh Õ�e C ? Z D&��� Z D Y j n�G h G j CE�¥� ZtG D�h v Ög � 6 Y h J�hji M U Y h e Y D Ztn ��CE� Gu: Y$�ÅY G þtY D �\.s D j h GdZ D ? ZE\'ÕOk k }EÖg ��ÿ e&G j eP\.Ztn �òClU<C ? G ? ZE\nm \ }�o�ôp� � ´ � } ÿ G h eq: Y nQZ U ZEs D � C n � j Z D � G h GuZ D ?�� �ü Ztn h e Y A h e ZEn �&Y n'# D G h Y � G � Y D ? GdZ D<CE��CE�&� n�Z | G �;CNh GuZ DSh Z h e Y ? �<C j Y ZE\ �<CNh e ? G D�h e Y �&CNh eG D�h YHþ n CE� v2ÿ Y h�C f Y h e Y A � � G � Y D ? GuZ D<CE� ? �<C j Y ZE\¾\.s D j h GdZ D ? ZE\ h e Y \.Ztn �g �   � Ög '  x i�q �Nr ijhji �s | �<CED � G D þ Õ } g �   � C nQZEs D � Ög þ G yEY ?Õ } g �   � �gÕ }EÖg � ' Å��t hu� Õ k k }EÖg � h�v '*) }7h=w �ÿ e Y n Y hFU g �   Q Ög �  x

�xr iyh;i �+ Y CN� ? Z÷e C yEY # g �   �{z    |� � r i} z   ? Z � Y j Z D ? h�CED�h � �C: Z ÿ s ? G D þ h e Y \ C j hkh e CNht hu� Õ k k } Ög � h�v � x � Ç i r � r i t h � � Õ k k } Ög � hji}v � x i�~ i r

\i} ÿ e Y n Y Õ k k } Ög � hji � ~ i;hji �8ÿ Y e C ytY� ��� ¡;� � 5}�V6 � ��� �� �

¡�� ��]^ # g �   � � ��� � %�! ��]^ � � ����������¸� �]\b^ } ÅC'*) } r w � c �Q� z   �   r �

Page 97: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

1DFE��pEHGJI > � �LK £�MN> �&� � £O>,M�> ��� � @ �(�F� � £ �P�V�g� ¤ ����B��V� � ����I � £ � � � � ���( Y hQh G D þ.� U r i � a c h e&G ? U

Y j Z � Y ?c   �]\ z   � ��� � %�! "�]^ � � � � �;�X� ¸� �]\ } Å_'`) } � w!a c �Q� �   �ÿ e&G j e�G ? z   } �10 Ç c �   �]\ } ��Y h } Õ k k }EÖg �9� � ¡ �Q� W<� �]\ � ��� � %�$ ��]^ } Å_'`) } a c �Q�ÿ e Y n Y��   U J X   � r ijhji M ? Z h e CNh�&Y h Õ k k } Ög �9� � ¡ � �   � ~ i � ý Z C y ZtG � �&Y h Y n � G D G D þ h e Yj Z D ? h*CED�h ? z   C nQG ? G D þ G D;h e Y ²�� Y C ? s&n Y$³ # g v2ÿ Y j Z ���&C n Y C þ C G D ÿ G h e h e Y \.n YHY } - �H� �� n�Z �<C þ Cah Ztn � ý C f~G D þ C n CNh GdZ þ G yEY ? s ?� W�� O �]^ } ����� �} \]� � ^ 4 � W p �]\ � � G �  � � z   } �10 Ç c �   �]\ } �&Y h } Õ k k } Ög �9� � ¡ ��� W<� �]\ � ��� � %�! ��]^z   } �90 Ç c �   �]\ } �&Y h }XQ 2�  \{ � � ¡ ��� W<� �]\ÿ e&G j e�n Y � n�Z � s j Y ? } Å ÿ � � �zv C ? Y¢| � Y j h Y$� �

è]éqêy¡ ì�íL'ïzð�ñ¥¤Hîe¢O¢'ï©ñkîe¤�n¦Pó úÅô'õÀô'ï©ñ?¢¨õ)öiô'øLù¨§ ûVù�ù�©ª¢¨ö�íª©»ñ ðô'ïHõ.©

«[-�¬�­�® ¯�®5`�­�/2°435/±°³²µ´n¶ n YHY D ? \.s D j h GuZ D ×p· � } �8�;���j¸ � ×n¹Lº�» ²µ´ ¹j¼ ´}½�¾ »b¹ ½ ýH¿ÁÀ } ý QA¸ � W<� }������ � ×» ²µ´ ¿7µ» ´ Û ½�¾ÄÃ�Å�´}½  ´}à ¹Lº�» ²µ´T½;´ À�¹ Ã�ÆÄ´ µ» } ý QǸ � W<�HÜ: Z ÿ]v \.Ztn ý ? Y � \È� C � ç�ZtG D~h } ý QǸ � W<� ��Ç� �É � W�� � �Êp��Ëb � �ÿ e&G j e j Z D yEY n þtY ? Gd\nÌ 2 }�¸ � � � � ý C f~G D þ ¸ �ÎÍ ' Ç]Ï } Í n Y CE� v Ï � � ? ��CE�u� �zv CED � � Y h�h G D þÏ d � �&Y # D Y ? } ý Q Í Q ÇÐ� � W<� }������ � � Çc � �É � W�� � �]^ }������ � � �ÑÒ �]^ � � �Ó ? G D þ Zts�n � s C ? G�� j �¿C ?�? G j CE� Y¢| � n Y ?Q? GdZ D } Å ÿ �Ï� � \.ZEn h e Y � n�Z �<C þ CNh Ztn � W�� O �]^ v~ÿ Y e C ytY G D�h e Y� Y C � G D þ Ztn ��Y n C ? cld � } � n�Z �&� G D þ h e Y Q Ç]�À\.nQZ � h e Y D Z h�CNh GuZ D �} 7 Q Í � W<� }������ � � Çc xÔ C WÖÕ

� �É × ÔÙØ � � � � Ô Ç Êuѵ ��]^ � �

Page 98: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

�=Ú £'¤?>A@ �nÛCBÝÜ1DFEHGJI > � �LK £�MN> ��� � £O>,MP> � >,M �V� � �ÿ e Y n Y�Þ G ? h e Y j n�G h G j CN� �<CNh eP\.n�Z � � h Z � G Dih G � Y � v Õ Ô } �8��� � ��Õ } Þ �zv CND �

× Ô Uº} 2�90 Ç � c � p �]\ }�&Y h }XQ 2�  \{ ��&Y h Õ k k } Þ � � � �]\ �: Z ÿ ÿ Y ÿ CND~h�h Z�s ? Y h e Y ? h�Cah GuZ D<C n �)� e C ? Y CN�&� nQZ | G ��CNh GuZ D�C þ C G D v U s h8h e&G ? h G � Y G D;h e Y� y C n�G CÄU&� Y � à Y D Z h Y U�� � Ô h e Y j n�G h G j CN�<� ZtG D�h ? ZE\ h e Y � e C ? Y Õ } Þ � ' Í � � ý e Y � ? CNh G ? \ �Àh e YY � s Cah GuZ D   Õ } Þ � �Ä  � � Q Í �å ? G D W e CE��h Y n ÅÆÅ v Þ Ñ U Þ q �ß G ? C j �¿C ?Q? G j CE�E�<CNh e CNh Y D Y n þ � Í � 6 Y h Õ Ô } �8���  � � U Õ } Þ � � �\.Ztn CÀ�<CNh e þ ZtG D þ \.n�Z � � h Z � G Dqh G � Y � � ý e Y DPh e Y ? h�CNh GuZ D<C n �i� e C ? Y \.Ztn � s �uC þ G yEY ?} 7 Q Í � W<� }������ � � Çc x Ô x ß # � �]\Ô1à Ø ��á ß à �]^ � } Å�â���â �

ÿ e Y n Y ÿ Y s ? Y h e Y D Z h�CNh GuZ D # � �]\Ô1à U × Ô9à } �10 Ç c � � �]\ }   \ Õ Ô �3  � \ � W<� �]\ � q ß CED �äã Ô1à }������8� Í � �Õ Ô } �8��� � ' Í � � q ß } ? Z ã Ô1à G ? h e Y 6 Y$þtY D � n Y h n CND ? \.Ztn � ZE\'Õ Ô � �åV-f+¯+¯­ /f°43d1# Ô à � Q�} �10 Ç c � p W<� ��Y h Y   \ ã �Ä  �   �   \ ã �Ä  �   Í  \ ã �Ä  �   Í   \ ã �Ä  Í \ Z } Å�â��çæ �

è ²µ´}½;´ ã ¿ÁÀ ã Ô à } �8�;��� Í � Üé Ñ�-�¯9ê Ë `Òë ®�_�`4`Òë;ì + Y #<n ? h Y ? h*CÄU&� G ? e��Y h }LQ 2�  \{ ���Y h } Õ k k } Þ ��� � }XQ 2�� W p �&Y h }   \ Õ Ô �Ä  �   � � � } Å�â���í �

ý Z � Z h e�G ?�ÿ Y n Y j CN�u�'h e CNh Gd\�\.Ztn CED Z � Y n Cah Ztn�î ÿ Y��&Y D Z h Y h e Y � ¹ � ��CNh n�G | ? Z � y G D þî Ä �{� } h e Y ß C j Z U G Y � s Cah GuZ D ��ÿ G h e Ä } � � �H� CND � ÆÄ } � � � Å U��»Ä�ï�h e Y D�&Y h }XQ 2�  \{ ��&Y h } Õ k k } Þ �Q� ��&Y h§Ä W�4nð ¸ñ } � ��&Y h§Ä ��ò ò � Ô } � � �: Y¢| h ÿ Y s ? Y h e Cah Q Å2 Ä �9ò ò � Ô } � � � }   \ Õ Ô  �   � � W<�

Page 99: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Ü1DFE��pEHGJI >�óFô K £�MN>�óuóFôz£O>,M�>�ó �öõ @A÷ � ÷�ôz£öó �V� ÷�¤ Û���B?ÛøÛøù ó ��Inù £¥÷�ô �Vù ú=úCED � Q Å2 Ä W�4Oð ¸ñ } � � � }   \ Õ É Ç Ô  �   � � W<� � QÌ} 2

�� W<�

h Z C n�nQG ytY CNh } Åûâ��í � �+ Y j CEDPh e Y D ? e�Z ÿ h e CNh ��Y h }   \ Õ Ô �Ä  �   � � }   \ Õ Ô  � \ � W<� � q ßY � s CN� ? h e Y n � e � ? � G D Y � s CNh GdZ D } Å�âf��æ � } ? Y$Y CE��� Y D � G | \.Ztn �&Y h�C G � ?�� �Cü: Z ÿ]v � G�ý Y n Y D~h G CNh G D þ h e Y;Y � s CNh GdZ D } ÅÆÅt�SÅÆÅ � } h e Yÿþ CE� G �dh Z D � ß C j Z U G Y � s CNh GuZ D ��ÿ G h en Y ? � Y j h�h Z � þ G yEY ? }  ��c�Ä �� � }   \ ã �Ä  �   � � �H�? Z h e Y �;Cah nQG | }   \ ã �Ä  �   � � e C ? C�� Y nQZ3� Y G þtY D y CE� s Y v CND � ? Z÷e C ? �&Y h Y n � G D<CED�h�� Y nQZ v CED �h e~s ? # Ô à � } �10 Ç c � p W<� }   \ ã �3  �   Í � }   \ ã �Ä  �   Í � � } Å�â�� < �� Ztn � s �¿C } Å�â���â �zv h Z þtY h e Y n ÿ G h e } Å�â�� < �¢v G ? Zts&n �&Y ? Gdn YH� � s C ? G�� j �¿C ?�? G j CE� Y¢| � n Y ?Q? GdZ D \.ZEn h e Y¶ n YHY D ? \.s D j h GuZ D }� Q Í � W<� }������ � ���� ��� � ���������������^S_a`c®¶`��û®7¯9®.`�­! 2°#"d°%$ » � � � Ô ×��Y h }LQ   \ Õ Ô  �   � � � }   \ Õ Ô  � \ � ��Y h

& ðz¸báðj5yðj6 ðz¸báðj5yðyÑð ¸ áðj6�ðyÑ ð ¸ áðyÑ ¸('^S_a` `�ë�ì + YÅ� n�Z �¨h e Y*) s U,+.- � + j Y/) \.ZEn ) +u�)�&�.+ j +dh�� ZE\ - Z h10Nh2+ Z - � à + ý Y n Y -~h2+30Nh2+.- þSã �Õ ' Í � � q �ß ÿ +�h eqn Y4) � Y j h h Z � v<ÿ Y Z U�h105+6-  ã  � �   Õ  � '   Õ  �   �  � ' Í   �  � �ÿ e + j e � s Y h Z   Õ �Ä  � � Q Í þ + ytY/)  ã  � �   Õ  � �7 +d�8+d�30 n �d� v   ã  � �   Õ  � 09- �   ã  Í � � �

Page 100: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Å �=� £'¤?>A@A÷ ÛCBÝÜ1DFEHGJI >,óÙô K £�MN>�ópóÙôz£O>,MP> ù >,M � óÙôXóý e + ) �.0 ) h Y � s 0Nh:+ Z - v h Z þtY h e Y n ÿ +�h e   Õ �Ä  � � Q Í �;+ Y � �,)

  \ ã  Í \ �   �  Í � QÌ}   \ Õ  � \ �1< � �� s&n h e Y n � ZEn Y v   \ Õ  �   � �   \ ã  �   � Q   \ ã  �   Í   Í  �   �  ��   \ Õ  � \ o�Q  

\ ã  �   �   \ ã  Í \ '   \ ã  �   Í   \ ã  Í   � ´� Q   \ Õ  � \ �&Y h

& ð ¸ áðj5yðy6 ð ¸ áðj5yð}Ñð ¸ áðj6�ðyÑ ð ¸ áðyÑ ¸ ' �üè]éqê�é = õ)ø»û�ð?>[õ)ó ó ù�û¶ötù�¤/@ ¢�ù�ó ï¢ð�ñ?¤$îe¢�¢'ïHñ 8A[íL[ô'ï/B îFô¶ï$õ ©� -qh e + )�)QY j h:+ Z - ÿ Y]�&Y n + yEY 0 )QY �8+ � j �30 )C) + j 0E� Y¢| � n Y4)2) + Z - \.ZEn h e Y]Y + þtY - y 0E� s Y/) } Y - Y n þ �q� Y$y �Y � ) � ZE\ h e Y 7 j e&n �Z � +.- þtY niZ � Y n 0Nh Ztn � � Q ^ ¸\ 4�D ' - �{+ Y s )QY h e Y ¶ n YHY - ) \.s - j h:+ Z -Yz| �E09- ) + Z - } Å�â���â � \.nQZ � h e Y �.0 ) h j e 0E��h Y n � � Ztn ) +d�����.+ j +dh�� v2ÿ Y ÿ +d�u�F0 )2) s � Y �Ì� Åt�å �&���.+ j 0Nh:+ Z - ZE\ h e Y[Yz| � n Y4)2) + Z - } Å�â���â � n Y � s + n Y/) 0 ) h s � � ZN\ h e Y j �.0 )2) + j 0N� �E0Nh e ) 0NhG |fYH�[Y - Y n þ � � W Z - ) + ��Y n h e Y h n 0 ç Y j h ZEn + Y4) \.n�Z � � h Z � 0Nh Y - Y n þ � Í ��+ Y j 05- ÿ n +�h Y h e Y �} s ) +.- þ +6- \.Ztn �H0E��- Z h:0Nh:+ Z - � 0 ) g   � g 5j6JILKFMÿ e Y n Y M + ) 0!� Y n + Z � + j h n 0 ç Y j h ZEn � } \.n�Z � � h Z � � ZE\ �N+.-O+u�80E�8� Y n + Z � v 0Nh)h e Y�Y - Y n þ �Í v ÿ e +u� Y g 5j6 + ) Z - Y ZE\ h e Y \.Zts&nQP � n +u�N+dh2+ ytY$³ �E0Nh e ) \.nQZ � � h Z � 0Nh Y - Y n þ � Í } )�YHYG þ s�n Y Å�â�� � � �

x

4

31

2

primitive paths more primitive paths

V(x)

y x y

E E

V(x)

} �� � �

Page 101: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Ü1DFEDFESR�� ¤ B K ó ��õ õ�ÛCB¥��Û M?T ó ÛCõ ô K £�MN>�óuóÙôz£O>AM G.I > ù ÷�ô�U >A÷�ô ��ù Å � Åå �d��V2W,X ) X÷�E09V:W ) 05Y2XZV:Y2X/09V:X � +.-*V2W,X ) 0E�NX ÿ 0©�\[ )2] ÿ X�^ ] - ) + � X/Y ] -&�d� ] -,X9[ ) 0©�*V2W,X G Y ) V] -,X � ý W,X ) �E05^4X_V2+u�NX��,+6^4V:`OY2X ]5a g   +6-bV2W,+ ) ^/0 ) X_+ )�) f XcV:^1W,X � +.- G þ `OY2X Å�â�� Ú �

nturning pointsyx

t

} Å�â�� Ú �� ] YdV:WO+ ) �E09V2W ÿ X�^ ] �)�,`OV2X ã � ¡ � ã � ' K Ìÿ W,X4Y2XÌÀ� � É m } M � ÆM � �fe ' Í � �¦ `OV M + ) 0g^4Y2+hV:+.^/0E� �,09V:W )2] 2 � ÆM \ ' - } M � �xÍ05- �

Ì÷� � ÉZi 2 ÆM \ Q ÍNj ' Í � � �Ok#lNm� �} ÿ WOX/Y2X l � 2 ÆM 05- � � � � ÆM �fe � �+ Xn- ] ÿ � X4V2X/Y��8+6-,X # � � + X*WE0 y X l }7� � �   ã �Ä  � � ý W,X þ � ß X$�o`E0pV:+ ] - } Å�Åt�cÅ�Å �+u�)�&�6+.X )   ã �Ä  � � IHq �32 } Í Q - }7� �Q�)2]   \ ã �Ä  �   Í � I 2P� l } � � �Ó ) +.- þ } Å�â�� < � [ ÿ X_WE0 y X # � � 2 \l }7� � l } � � �å VH0rV2`,Y2-,+6- þ � ] +.-sV � É [ l }7� É � � � 05- � l ^1WE05- þ X )8) + þ - } ÿ XbV:W,+6- f 0ÄU ] `OV l } � � 0 ) 0�t`&�hV:+ � y 0E�.`OX �Ha `,-O^4V:+ ] -u[ ] Y�0 a `,-,^cV:+ ] - ] -vV2W,X_wx+6XH�805-,- ) `OY a 05^4X ]9a a ¸ [ )C] 0pVx0gV2`,Y2-,+6- þ� ] +.-sV q l }7� � ^/Y ]5)2) X ) V ] 0 � + ý X4Y2X4-oV ) W,X/XcV ]5a V:WOXZw�+.X$�H09-,- ) `,Y a 05^/X � �

Page 102: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Å � � £'¤?>A@A÷ ÛCBÝÜ1DFEHGJI >,óÙô K £�MN>�ópóÙôz£O>,MP> ù >,M � óÙôXó¦ X/^/05` ) X l ^1WE05- þ X )y) + þ -n09V�X/05^1W ]5a V:W,X�V ÿ ] V2`,Y2-,+6- þ � ] +.-sV )�]5a V:W,XS��X/Y2+ ]f� +.^zV2Y:0 ç X4^ �V ] Y��\[ ÿ X�^ ] -O^H�.` � X�V:WE09V # � �]\� ¡ � # � �]\� }LQ Å �   �7 ]N] `,Y ) X$�8+ � ^$�30 )C) +.^/0E�FX | �,Y2X )2) + ] - } Å�â���â � a{] YdV2W,X ¶ YCX/X/- )�a `O-,^4V2+ ] - · Ñ }������ � + )· Ñ }������ � � �x   q ÉF| X | � o Ç } ã � � c ' K o Åc �Ok#lNm � �ÿQ 0 ´ � ´

} | + ) 0g^ ] - ) V105-sV �� | Ø ��áJ} �]^ ÅÅ Q Ø � ��~��f��� � 5 �]^ < �� + Xy^ ] -,^H�6` � X�V:WE0pVd0 ) ced � [ · Ñ }������ � WE0 ) � ] �.X ) } 05- � WOX/-,^4X � WE0 ) X/+ þ X/- y 0E�.`,X ) �'ÿ W,X/-� k lNm

� � � �90 cr} ��' Å��t� �} a{] Y�09-Z+6-oV2X þ X4Y � � � ý W,+ ) + ) V2W,X�� ¹ ²F½���� ¹p��� ´}½ º ´}Ãh� À ´ �l¿ �2�}Ã�¾ ÀjÀ}¿ ��¾Äà æ/� ¾ µ» ¿h� ¾ »�¿Ð¹1 � ¹1 � ¿7» ¿Ð¹1Â} a{] Y ��� Å � ��� V�+ ) 05-HX | �OY2X )C) + ] - a{] YJV:W,X¥�o`E05-sV:`���X4-,X/Y þ �)�.X y XH� ) } V:W,XxX/-OX/Y þ � Í 0E�&��X�09Y )+.-nV:W,XÀ�6X a V�WE09- ��) + � X�V:WOY ] ` þ WrV2W,X��E0pV:W M 09V�X/-,X4Y þ � Í � [ ÿ WO+.^1Wr` ) X ) �,`,YCXH�d�*^H�.0 )2) +.^�0N�� 09V:0O��_�p������f� 2°u"ÚÍ 7 W ] ÿ V:W,09V a{] YuV2W,X�WE05Y�� ] -O+.^ ]5) ^/+d�u�.09V ] Y�� ] V:X4-oV2+30E��[/V:WOX ¦ ] W,Y � 7 ] �)�8X4Y a X$� �^ ] - � +6V2+ ] - þ + y X ) 0E�u� ]9a V2W,X�X/-,X4Y þ �[�6X y XH� ) X | 09^4V*��� �è]éqê�� ì�íL'ïzð�ñ¥¤Hîe¢O¢'ï©ñkîe¤ n¦Pó úÅô'õÀô'ï©ñ?¢ öEõ�û ô¶øLù ü�û¶õ)íª©�@¢¾ô'îFô�ù ù,©Lù�û¶üJ¦þ X4Y2X ÿ X � X/YC+ y X�0,�f`,0 ) + � ^H�.0 )2) +.^/0E�OX | �OY2X )C) + ] - a{] Y�V:WOX þ Y ] `O- ��) V:09V:X�X4-,X/Y þ � } � ] ÿ X ) VJX4+ þ X4- �y 0E�.`OX � ]5a V:W,X 7 ^1W,Y �]t� +.- þ X/Y ] ��X4Y:09V ] Y � � Q ^ ¸\ 4�D ' - ÿ W,X/- - }7� � d � 0 ) � � � d � } 0^ ] - G -,+6- þ � ] V2X/-sV:+.0E� � �+ X G Y ) V � X G -,X�0_^ ] `&���.X ]9a �f`,05-sV:+6V2+.X ) ÿ W,+6^1Wb05Y2X a 0E�N+u�6+305Y a Y ] � ) V:09V:+ ) V:+6^�0E�<�NX/^1W,05- �+.^ ) �«���¬�­�® ¯�®��­  2°u"dÒ °³²µ´ �E05Y�V:+hV:+ ] - a `,-,^4V2+ ] - ×�¡t¢£�¤:¥ ¾ »_¿7 ÆÄ´}½ À ´ » ´ �A¼ ´}½�¾ » � ½;´ £§¦ � ¿ÁÀ¡�¢£�¤�¨ » ½ Ø <o©«ª¬ » ²µ´ » ½�¾f�j´ ¿ÁÀ è ´}Ã7í���F´{®  ´2� ¾ Àx¯J¢ � ¤�° i Í�±fjp²É è ¿7» ² Í�± d �S³5´

Page 103: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Ü1DFE�µFE G.I >�óÙô K2¶ MN>�óuóÙô ¶ >AMÿ>�ó �øõ @A÷ � ÷�ô ¶ ó �C�VB ÷�· ÛP�¥B��JI�ù T*ó8÷p>A÷ Û ÛøùAÛøB��e� Å � â«���¬�­�® ¯�®��­  f¸u"6¹ °³²µ´ a Y2X4X�X/-,X4Y þ5º ¥ � ¥C¿ÁÀ� ¢£�¤�° Q Å£n» - ¡t¢£�¤�¼ý W,X a Y2X/X�X4-,X/Y þ5º + ) 0�` ) X a ` » �o`E09-oV2+6V º�a{] Yu` ) W,X/YCXøU�X4^�05` ) X ]9a V2W,X a{] ».» ] ÿ +.- þ ^ ] -,-,X4^4V2+ ] -ÿ +6V2W�V:W,X þ Y ] `,-,½ ) V:09V:X�X/-OX/Y þ9º�]5a V:W,X 7 ^1W,Y �] ½,+.- þ X/Y ]\¾ X/Y209V ] Y �Q¿À�Á �o���p�f� f¸u"ÃÂSÄ2Å#�oÆN­��QÇu­#È:Énǵê;Ê » +.Ë© � ² � ¢£�¤�° Í É ¼�_�p�F��ë�ì ¡t¢£�¤�° ²Ì ± q É Ø <o© Ñ;Í ° Ø <o© Ñ / ¢QÅ(' ²Ì ± q�Î Ø <o© � Ñ;Í < Ñ / ¤)2] » - ¡Ï° Q £ Í É ' » - ¢QÅ('SÐ�¤ÿ W,X4Y2X Ð!¨ ²Ì Î Ø <o© � Ñ Í < Ñ / d � 0 ) £ d � ¼ý W,+ ) ½ ] X ) +hV ¿ üÑ `,Y þ\] 0 » V:WOX/-u[u+ ) V ] G -,½�V:W,Xt0 )Cº Ë ¾ V ] V2+.^ )za{] Y Í É U º ½,XcV:X/YCË8+6-,+.- þ 05-r0 )�º Ë ¾ V ] V:+6^XcÒ ¾ YCX )C) + ] - a{] Y ¡t¢{£�¤ ` ) +6- þ 0 ¾ 09V:Wv+.-sV:X þ Y:0 » ¿Ó ) ÿ XZWE0�Ô5X ) X/X/- ¢ ¾ Y ] U » X/Ë Å � ¿� ¤ [OV2W,X ¾ 09V:Wv+.-sV2X þ Y20 » XcÒ ¾ YCX )C) + ] - a{] Y ¡t¢{£�¤ + )¡t¢{£�Õ c ¤Ö° � � 0 ¾ 09V2W ]9a�¾ X/YC+ ] ½ © Ø < �4× ���! "�]^ # g ¢QÅ�â ¿�ú ¤ÿ W,X4Y2XxØFÙ ¢ g ¤�°!Ú ©É i 4 \nÛg \ ' - ¢ g ¤ j ¢ - ] V2X�V:WE0pV�V:WO+ ) + ) - ] V�V:WOXd` ) `,0 » 05^cV:+ ] - � V2W,X ¾�] V:X4-sV:+30 »X/-sV2X/Y ) ÿ +6V2W�V:W,X ]\¾,¾�]\) +6V:X ) + þ - ¤ ¿ÜÝ�f�QÇ,�ßÞ� f¸u".à °³² ¿ÁÀä¼ ¾ » ² ¿7µ» ´âáĽ�¾ÄÃ���¾  ¾f� » � ¾ÄÃ7íãåä}´ ¼ � »l¹1 ¾ ½ ¿ á ¹ ½ ¹ � À�� ¾ » ²µ´ � ¾ » ¿ ��¾Äúû¹ �  ��¾ » ¿Ð¹1 ´æ +6Ë8+6^ f +6- þ V:W,X ¾ Y ] ^4X/½,`,YCX ÿ Xz` ) X/½ a{] YJV2W,X 7 ^1W,Y �] ½O+.- þ X4Y ¾ Y ]\¾ 0 þ 09V ] Y ¢ +.X9[oV2W,X ) V10pV:+ ] -E05Y º¾ WE0 ) X_Ë8XcV:W ] ½ ¤ [ ÿ X ) X4X_V2WE09V�V2W,XR�f`,0 ) + � ^ » 0 )2) +.^/0 » XcÒ ¾ 09- ) + ] - a{] Y ¡t¢£�Õ c ¤ + )ÌË8+6-,+.Ë80 » ¾ 09V2W ) Ô |nç Î �]\Ô Ø < � × � Ô "�]^

Page 104: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Å � æ ¶ ·?>A@A÷ ÛCBÝÜ1DFEHGJI >,óÙô K:¶ MN>�ópóÙô ¶ >,MP> ù >,M � óÙôXó¢ | 0�^ ] - ) V:05-sV ¤ ÿ W,X/YCX ç Ô ° ½,X4V�Ø k kÉ ¢ Þ É ¤½,XcV�Ø k kÙ ¢ Þ ¤05-,½èØ É ¢ g ¤�° Ú ©É ¢�2vÕ5é\¤ Ûg \ ¿ Ó �l¿7µ¿Ã� ¾Äà ¼ ¾ » ² a{] YzØFÙ�+ ) 08^ » 0 )C) +6^�0 » ¾ 09V2W a{] Y�V:WOXZ+6-oÔ5X/Y�V:X/½¾�] V:X4-oV2+30 » Q - ¿ + X )2¾ X/^4+30 » +.�4XzV ]Nê ° Å a{] Y ) +6Ë ¾ » +.^4+6V º [;05-,½ ÿ X_0 )2) `,Ë8X - WE0 )�] - » ºH] -,XËN+.-,+6Ët`,Ë�09V � É ¿ ý W,X/-vV:W,X�ËN+.-,+6ËH0 » ¾ 09V:Wv+ )(Þ ¢ e ¤�¨ � É ¢ 0�^ ] - ) V:05-sV ¾ 09V:W ¤ [E05-,½Ø k kÙ ¢ Þ ¤�° Q 2�  \ë ' - k k ¢ � É ¤c¼ì X4^�05` ) X � É Ë8+6-,+.ËN+.�4X ) - [ - k k ¢ � É ¤�¦ � 05-,½ ÿ X ÿ YC+6V:Xn+6VH0 ) 2 Þ \ ¿ ý W,X/-Ï` ) +.- þ V2W,XËNX4V:W ] ½ ¢mÅ«é ¿ é5¤ ]5a ^ ] Ë ¾ `OV:+6- þ Y:0pV:+ ]5)�]5a ½OX4V:X4Y2ËN+.-E09-oV ) [ ÿ X_X�0 ) + » ºH] UOV:05+.-ç Ô ° é Þ £Ø Ô © Q Ø < Ô © ¼Ó » )2] [sØFÙ ¢ Þ ¤�°�£ - ¢ � É ¤ ¿ + X�^�09-�- ] ÿ ^ ] Ë ¾ `OV:X ¡�¢£�Õ c ¤ [\05-,½�WOX/-,^4X ¢ 0 ».» ) V2Y:05+ þ WsV a{] Y ÿ 09Y2½^ ] Ë ¾ `;V109V2+ ] - ) ¤ 05YCY2+6Ô5X_09V � ¢£�Õ c ¤Ö° - ¢ � É ¤N' c Þ Õ\éV'*)Ý¢mÅ«Õ9£�¤¢ +6-íV:WOX » X/05½,+6- þQ] YC½,X/YÝ0 ) cHd � ¤ ¿%î XcV2V:+6- þ £ d � 09-,½ï` ) +.- þ V2W,X � X º -,Ë805- �ñð 05^a{] YCËt` » 0;[ ÿ X ] UOV105+6- Í Édò - ¢ � É ¤N' Åé c Þÿ W,+6^1Wè+ ) V:WOX�½,X ) +.YCX/½�0 )Cº Ë ¾ V ] V2+.^ ¢ 0 ) c d � ¤ XcÒ ¾ YCX )2) + ] - a{] YxV2W,X þ Y ] `O-,½ ) V:09V:X_X/-OX/Y þ9º ¿� Vy+ ) X$�o`E0 » V ] V:W,X_^ » 0 )2) +.^/0 » þ Y ] `,-,½ ) V109V2XZX4-,X/Y þ5º [ - ¢ � É ¤ [ ¾ » ` ) V2W,X þ Y ] `,-O½ ) V:09V:X ]5a V2W,XWE05YCË ] -,+.^ ]5) ^/+ ».» 09V ] Y ÿ +6V2WóV:W,X a Y2X!�o`,X/-,^ º q - k k ¢ � É ¤2Õ12 ¿ ý W,+ ) +6-,½,+.^/09V:X ) V:WE0pV�V:W,X » ] ÿX/-OX/Y þ9º X�Ò;^/+6V:09V:+ ] - )2¾ X/^4V2Y2`,Ë ]5a 0 ¾ 05Y�V:+.^ » Xb+.-ôV:WOX ¾�] V:X4-oV2+30 » - ¢ � ¤ + ) V:W,X » ] ÿ X4-,X/Y þ5º)2¾ X/^cV:YC`,Ë ]5a V:W,+ ) WE05Y2Ë ] -,+6^ ]\) ^/+ »6» 09V ] Y ¿

Page 105: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

õ ö ÷ùø úåûýü þ%ÿ� û������ ÷�� �Ïû�� W,X8- ] V:+ ] - ]5a 0bY2X )C] -E05-O^/XÝ+ ) 0 f X º - ] V:+ ] -å+6-�o`E05-sV2`,Ë ¾ W º;) +.^ ) ¿ � V�YCX a X/Y ) V ] ËNX4V:0��) V:0�� » X ) V:09V:X ) �?+ ¿ X ¿ [5V ]�) V109V2X )�� W,+6^1W a{] Y » ] -��zV2+.ËNX�+.-sV2X/YCÔ90 » ) ��X/WE0�Ô5Xy0 )�) V10�� » X ) V109V2X ) [��,`OVX4Ô5X/-sV:`,0 ».» º �OY2X�0 f ` ¾ ¿�� - ] V:WOX/Y ��] YC½ ) [�V:W,X ) X�05YCX ) V109V2X )Z]5a V:WOXH^ ] -oV2+.-o` ] ` )�)2¾ X/^cV:YC`,Ë¢ + ¿ X ¿ ) ^/09V2V2X/YC+.-�� ) V109V2X ) ¤ [ � W,+6^1W a{] Y�0 » ] -��8V2+.ËNX���X/W,0«Ô5XN0 ) + a V:W,X º�� X/YCX�� ] `O-,½ ) V:09V:X ) ¿� - a 05^4V/[uV:W,Xg- ] V2+ ] - ]9a V2W,X�� ] `O-,½ ) V10pV:Xg+ ) 05-r+6½,X�0 » +.�/09V:+ ] -��xË ]\) V ]5a V:W,X ) V109V2X )�� W,+.^1W05YCX ¢ V:0 f X4-�V ] ��X ¤ � ] `,-O½ ) V:09V:X ) +.-H^4X/Y�V105+6-ÝË ] ½,X » ) [oV:`OY2- ] `OV V ] ��X�YCX )2] -E05-,^4X ) V10pV:X ) +.-0�Ë ] Y2X�Y2X/0 » + ) V2+.^�0 ¾O¾ Y ] 09^1W ¿ X ) f X4V:^1W!�,YC+.X#" º V:W,XZËH09V2W,X/Ë809V2+.^�0 » V:W,X ] Y ºn]5a YCX )C] -E05-,^4X ) V:09V:X ) ¿ ] ^1WE05Y:09^4V:X4Y2+6�/XV:WOX/Ë +.-NV:X/YCË ) ]5a#)C¾ X4^4V2Y:0 » ^1WE05Y:09^4V:X4Y2+ ) V:+6^ ) [ � X�WE0�Ô\XxV ] ` ) XzË ] YCXy½,XcV105+ » X4½8- ] V:+ ] - ) V2WE05-V:WOX )C¾ X4^4V:YC`,Ëv[ ) `O^1Wô0 )Z)C¾ X4^4V2Y:0 » ½,X4- ) +hV:+.X ) [ ] Y��5X/-,X4Y:0 » +.�/X�V2W,X8- ] V:+ ] - ]9a V:W,X )2¾ X/^cV:YC`,Ë0 » V ] �\XcV:W,X4Y ¿ W,XNY2X ) ` » V2+.-��bV:WOX ] Y º [ � W,+.^1Wå+ ) X » X$�s05-sVZ05-,½ ¾�]%� X/Y a ` » [�+ ) - ] VZ^ ] - ) +.½,X4Y2X/½W,X4Y2X ¿ þ X/YCX � Xy^ ] - ) +.½,X4Y�0 ¾ 05Y�V:+.^4` » 09Y/[&�,`;V�^4X/-sV:Y20 » ^�0 ) X ]5a Y2X )2] -E09-,^/X ) ½,`,X�V ] V:`O-,-,X » +.-��O[] - � W,+6^1W � X_+ ».» ` ) V2Y:09V2X )2] ËNX ]5a V:W,X�Ë809V:WOX/Ë809V:+6^ ) 05-O½ ¾ W ºf) +6^ ) +.-sÔ ] » Ô\X4½ ¿'y�)(*' +-,ª©ª©).�¤0/û©)1 2£©�@ 34.�¢65.©)2e©�78.�¢9 ] - ) +.½,X4Yd0 ¾ 05YCV2+.^ » Xx+.-80 ¾�] V:X/-sV2+30 »;: ¢=<�¤ [ ]5a V:WOX a{] YCË ) W ]*� -�+.- G �\`,YCX Åûæ ¿ Å ¿6� a : ¢><�¤ d? � 0 ) < d � ¢ +.- )2] ËNXy½O+.Y2X4^4V2+ ] - ) ¤ [oV:W,X4- ) `O^1Wb0 ¾�] V:X/-sV2+30 » + ) ^�0 ».» X4½ � ÂpÀ}» ¾sä$ÃÁ´ ¿4� -HV:W,+ )Å � í

Page 106: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Å �&@ ¶ ·BADCA÷ ÛFE ÜpµHGIE¥Û ó ��ù A ù ¶ Û ó^�0 ) X5[EV2W,X�^ ] YCY2X )C¾�] -,½,+.-J� 7 ^1W,Y*K] ½O+.-��\X4Y ]\¾ X4Y:09V ] Y/[ � [,+ ) - ] VL� ] `O-,½,X/½ a Y ] ËM��X » ]*� ¿potential for tunneling

escape to

bound state""would be

V(x)

x

tunnels under barrier

¢QÅûæ ¿ Åߤ� a V:W,XN�E05Y2YC+.X4YZ+ ) Ô\X4Y º V2W,+.^ f [ÖV2W,X/-§V2W,X ¾ 05Y�V:+6^ » X )2¾ X/-O½ ) » ] V )�]5a V2+.ËNX8+6-QV:WOX � X ».» [�05-,½��X/WE0�Ô\X ) 0 ) + a +hV � X4Y2Xè0�� ] `,-,½ ) V:09V:X ¿ þx]%� X4Ô5X/Y4[�X4Ô\X4-sV:`E0 »6» º +hV�V:`,-O-,X » ) V2W,Y ] `J�\WSV2W,X�E05YCY2+6X/Y ¢PO � ¾ µ» � � » � µ ´}à ¿7Â á ¤ 05-O½ X ) ^/0 ¾ X ) V ] � ¿ Wo` ) V2W,X ) V:09V:X ]5a V2W,X ¾ 05Y�V:+.^ » XZ+ ) 0) ^/09V2V2X/YC+.-�� ] -,X ¿Q� Vy+ ) +.-sV:`O+6V:+hÔ\X » º Y2X�0 )2] -E0�� » X�V2WE09VÅ ¿ X4-,X/YP� º�]5a Y2X )C] -E05-O^/X ò X/-,X4YR� º�]9a � ] `,-,½ ) V:09V:X�+6- � X »6»é ¿ YCX )2] -E05-,^4X » + a X4V2+.ËNXy+ ) ½,X4V2X/YCË8+6-,X/½ � º �E05YCY2+.X4YdV:W,+6^ f -,X )C) 05-O½nW,X4+S�\WsV/[�05-,½ c�¿7 +.-O^/XzV2W,X�Y2X )2] -,05-,^/X ) 05Y2XzÔ5X/Y º ^ » ]\) XyV ] � ] `,-,½ ) V109V2X ) + a V:W,XT�,05Y2YC+.X/Y + ) » 05YP�\X5[ ] Y c + )) Ë80 »6» [ � XZV:Y º V ] ËN+.ËN+.^ ] `,Y�V:Y2X/09V:ËNX/-sV ]5a V2W,XU�\Y ] `,-,½ ) V:09V:X ¢ ) X4^4V2+ ] - Åûâ ¿ æs¤ ¿ ì `OVyY2+V�\WsV0 � 0 ºW� X�Y2`,-v+.-sV ] 0 ¾ Y ] � » X4Ë���+ a : ¢><�¤ d Õ � 0 ) < d � +.- )2] Ë8X�½,+6Y2X4^4V:+ ] - ) [OV:W,X4-¡t¢£�¤�° V:Y Ø <o©�ª ° � ¼ W,X ¾ 05Y205½,+S�5Ë ]5a V:WO+ )�¾ Y ] � » X4Ë + ) V2W,X�½,+6Ô5X/YP�\X/-,^4X ]9a V2W,X�+.-sV:XX�\Y:0 »¡t¢ZY�¤J° � ²É Ø <\[ �R]_^ \ ê ra{] Y Ya` � ¿ þx]*� XcÔ\X/Y4[ � X�^/05-�½,X G -,XtV:W,+ ) +.-sV2X$�\Y20 » � º 05-r05-E0 » º V:+.^_^ ] -oV2+.-o`E09V2+ ] - ¿ ¡t¢ZY�¤+ )L� X ».» �ñ½,X G -,X/½ a{] Y Ð Ø ¢ZY�¤�¦ � ¿ 9 ] -sV:+.-o`,X�+hV�09-E0 » º V2+.^�0 ».» º +.-sV ] Ycbed < 0 )za{] ».» ]*��) ¿ XË ] Ô5X Y a Y ] Ë Ð Ø ¢fY�¤�¦ � +6-sV ] Ð Ø ¢ZY�¤g` � [?05-O½ ½OX a{] YCË V:WOX�^ ] -sV ] `,Y ]5a +.-sV:XX�\Y:09V2+ ] -è09VV:WOX ) 05ËNX�V:+.ËNX5[O+.- ) `,^1W*0 � 0 º V:W,09V Ð Ø ¢ZY r \ ¤�¦ � ¢ ) X4X G �\`,Y2X Åûæ ¿ é\¤ ¿contour deformation ¢QÅûæ ¿ é\¤

Page 107: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Üpµ\G��JG*��E¥ÛCÛIE?Û ó �Vù A ù ¶ Û ÛøùAÛQE��e� Å � �Ñ a ^ ] `,Y ) X5[�+6-bV2W,+ )�¾ 05YCV2+.^/` » 05Yd^/0 ) X � X f - ]*� V2W,X�Y2X ) ` » V0�¡�¢ZY�¤�°(¢ é&Yh ¤ < Î ^ \ ° ?Li ¢ é � Y �h ¤ < Î ^ \a{] Y Ykj � ¢ � W,+.^1Wv+ )�¾ `OY2X » º +6ËH0��5+.-E05Y º � ¤ ¿ W,X/YCXb+ ) 0 ¾�]%� X/Y a ` » ËNX4V:W ] ½ ]5a Y ] V109V2+.-��*V2W,Xb^ ] -sV ] `,Y � W,+6^1WS+ ) 0 ¾,¾ » +.^/0�� » X8Ët`,^1W��X º\] -,½åV2W,X ) +.Ë ¾ » Xt+.-sV:XX�\Y:0 » � Xg^ ] - ) +6½,X/Y ¿l� Vg� ] X ) 0 )�a{] »6» ]*��) ¿ � ] Y�m b-d [ � XN^1W,05-��\XÔ905Y2+.0�� » X ) Ôf+30 r ° Ø <\n � ¿ WO+ ) �\+hÔ\X )¡t¢ZY�¤J° Ø <\n � ²É Ø <\[ Ùpo ]Sq � ] ^ \ ê�� ¼ ¢QÅûæ ¿ âs¤ W,X_+.-sV:XX�\Y:0 » W,X4Y2X_+ ) ^ ] -oÔ5X/YP�\X/-sV�09-,½v05-E0 » º V2+.^�+6-�mN0 ) » ] -��g0 )Ð Ø ¢fY Ø < \ n ¤d¦ � ¼ ¢QÅûæ ¿ æo¤ XZ^ ] -sV:+.-o`,XZ+6Vy05-E0 » º V:+6^�0 »6» º +.-�m805-O½ Y [ ¾ Y2X ) X/Y�Ô;+6-��HV2W,+ ) ^ ] -,½,+6V2+ ] - ¿r� - ¾ 05YCV2+.^/` » 05Y4[ a{] YYkbkd < [ � X ) W ] ` » ½bWE0�Ô\X h Õ3æ�j ÌHs ¢ m ¤tj â h Õ3æ ¿u ]*�ï] � ) X4YCÔ\X�V:W,09V�V:W,X�Y ¿ W ¿ ) ¿ ]5a ¢QÅûæ ¿ âs¤ + ) +.-,½,X ¾ X4-,½,X4-oV ]5a m ¿6� -,½,X/X4½u[o+6VJ+ ) 05-E0 » º V:+.^�+.-m�0 ) » ] -��z0 ) ¢QÅûæ ¿ æo¤ W ] » ½ ) [s05-,½t+ ) +.-O½,X ¾ X/-,½OX/-sV ]5a Ð Ø ¢ m ¤ ) +6-,^/X V:W,X » 09V2V2X/Y�^�05-���Xd^1WE09-��\X/½� +6V2W ] `OV�^1W,05-��\+6-��vV2W,Xg+.-sV:XX�\Y:0 » [�� º ^1WE05-J�\+.-��bV:WOXgÔ905YC+30�� » X ]5a +.-sV2X$�\Y209V:+ ] - ¢ �Uvd Ø <\n ò � [m k bkd�¤ ¿ Wo` )w� X�^ ] - ) V2Y2`,^cV:X/½v05-Ý05-E0 » º V2+.^x^ ] -sV2+.-o`E09V2+ ] - ]9a ¡t¢ZY�¤ � +hV:W Ð Ø ¢fY�¤d¦ � +6-sV ]0gY2X$�5+ ] - � +6V2W Ð Ø ¢ZY�¤tj � ¿w� - a 05^cV�[ � X�^ ] -oV2+.-o`,X4½nV:WO+ )�a `,-,^4V2+ ] - ] -sV ] V:W,X ) X4^ ] -O½ ) W,X4X4V]5a +6V ) wx+6X/Ë805-,- ) `OY a 05^4X5�� +.-,0 ».» º [ � X_½,X G -,X ¡�¢ZY�¤ [ Ykj � [�� º ¢mÅûæ ¿ âs¤ � +hV:W m ] ��X º +.-�� ¢QÅûæ ¿ æo¤ ¿'y�)(y¡ x�34.y. 34.�¢z5 ©)2£©�7L. .�©).y3Q1l¦ +6V2W )2] ËNX � + ) ½ ] Ë{�s05+6-,X/½F[ � X�Y2X4V2`,Y2-�V ] V:W,X ¾ Y ] � » X/Ë ]5a ½,X G -,+.-��tV2W,X ¾ 09YCV:+hV:+ ] - a `,-O^#�V:+ ] - ¡�¢£�¤ 09-,½ a YCX/XÝX4-,X/YP� ºS� ¢{£�¤ +.- V:W,X8^�0 ) X � W,X4- : ¢><�¤ d Õ � 0 ) < d � +.- )2] ËNX½,+6Y2X/^cV:+ ] - ) ¢ ] Y�Ë ] Y2X ¾ YCX/^/+ ) X » º [ ) ` ¾�|0}$~ : ¢><�¤8j � a{] Y )2] ËNX_^ ] -,X�� ¤ ¿ Xg��XX�\+.- � +6V2Wè0½,X G -,+6V2+ ] - ¿«���¬�­�® ¯�®��­  ��?" Ï$ º ¾ �l¿ íã � ¢ m ¤(¿7 ¾t� ¹p�A¼ ÃÁ´P�Z� ¿ÁÀ � i � m � ` Ï4j ¥ è ¿ Ã7ÃOä}´z��¾ÄÃ7ÃÁ´2�T¾�� ¹p�A¼ ÃÁ´P��F´ ºû¹ ½ � ¾ » ¿Ð¹1Â�¹Lº � ¿ º � ¢ � ¤x° � ¥ � ¢ m ¤e¿ÁÀ ¾  ¾Äí㠻 ¿ � ¿7 i � m � ` Ï4j ¥ ¾  � » ²µ´}½;´ ¿ÁÀ ¾ ¹1 ´c�¼ ¾Ä½�¾ � ´ » ´}½ � µ¿7» ¾Ä½cãtἠ¹ � ¼��t¢ZY�¤1¥6Y bkd�¥¥À � �j² » ²p¾ »� ¢ m8� Y�¤J°��t¢ZY�¤ < Î � ¢ m ¤��t¢ZY�¤ºû¹ ½ Y�bkd ´

Page 108: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

� � Ú ¶ ·BADCA÷ ÛFE ÜpµHGIE¥Û ó ��ù A ù ¶ Û ó� a : ¢=<�¤ WE0 ) ^/X4YCV109+.-_05-E0 » º V:+.^ ¾ Y ]\¾ X/Y�V:+6X ) [ßV:WOX/- � ¢ m ¤ ^/05-g��XJ^ ] - ) V2Y2`,^cV:X/½�� º ^1WE05-��\+6-��V:WOX�Ô905Y2+.0�� » X ) +6- � 0 ) < vd < Ø <\n a{] Y�m b�d [�09-,½tV:W,X4-�^ ] -sV2+.-o`,+.-J�yV:WOXdY2X ) ` » V�05-E0 » º V:+6^�0 »6» º+.-�m ¿dî XcV�[ a{] Y�XcÒO05Ë ¾ » X5[ : ¢=<�¤�° ? z < w 0 ) < d � � ¿ WOX/- : ¢ Ø n <�¤ ° ? z Ø w n < w ¿ 0 f Xm ° ?Li h Õ3â ¿ WOX/- : ¢ Ø n <�¤�° z < w + )_) V:0�� » XN+.- V:W,X8½,+.YCX/^cV:+ ] - < d � � ¿ W,XN�\Y ] ` ¾�t¢ZY�¤ W,X/YCX_+ ) V:W,X ἠ¹ � ¼�¹Lº � ¿ Ã�¾ » ¿Ð¹1ÂpÀ ��t¢ZY�¤ ��� ¢=<�¤ v� Ø ± n ^�� � ¢ Ø n <�¤a{] Yt� b��4�p¢=d ± ¤ ¿Ó )C) `,ËNX_V2WE09V � XZ^/05-v^ ] - ) V:YC`,^4Vy0g^ ] Ë ¾ » X�Ò�½,X a{] Y2Ë809V2+ ] -u[ � ¢ m ¤ [ ]9a � [ ) `,^1WvV:WE09V¡t¢{£�¤�° V2Y Ø <o©«ªQ��n�� j � ¢ � æ ¿ í\¤a{] Y ÌHs ¢ m ¤d¦ � ¢ ] Y�Ë ] Y2XT�5X/-,X4Y:0 »6» ºNa{] Y � m � ` Ï [ Ì\s ¢ m ¤d¦ � ¤ ¿�_�p�������û®7¯9®{��­! ���"V��� º[» ½ Ø <o©�ªQ��n�� j � ºû¹ ½ m b���� i � m � j Ï4j ¥l» ²µ´  » ½ Ø <o©�ªQ��n�� ¿ÁÀ¿7 �F´ ¼ ´  �F´ µ»(¹Lº m ´�_�p�F��ë�ì Ø <o©«ª4��n�� + ) 05-E0 » º V2+.^�+6- i � m � ` Ïcj 05-,½ ) 0pV:+ ) G X )Ø <o©«ªQ��n Ê ë � °��t¢ e ¤ < Î Ø <o©�ªQ��n�� �t¢ e ¤a{] Y e b�d [?09-,½n^ ] - ) X$o`,X/-sV » º [ V:Y Ø <o©�ªQ��n Ê ë � ° V:Y Ø <o©«ª4��n�� ¼þ X4-,^/X9[EV:Y Ø <o©«ª4��n�� + ) +.-,½OX ¾ X/-,½,X4-sV ]5a Ð Ø ¢ m ¤ [�05-O½ )C] + ) +.-,½OX ¾ X/-,½,X4-sV ]5a m ¿ ü ¿� a V:W,X4Y2XN+ ) 0n^ ] Ë ¾ » XcÒ ½OX a{] YCËH09V2+ ] -F[ � ¢ m ¤ [ ]5a � [ ) `,^1WQV2WE09V ¢ � æ ¿ í\¤ W ] » ½ ) [ � X8^�0 »6»¡t¢{£�¤�° V:Y Ø <o©«ª4��n�� 09- ¾s� ¿ ¾säj¾ »�¿ � ¼ ¾Ä½ » ¿7»�¿Ð¹1Â�º �  � »�¿Ð¹1 a{] Y � [o05-,½ � ¢£�¤Ö° ? ¢ � Õ9£�¤ » - ¡�¢£�¤V:WOX º ½;´j´T½;´ À�¹1 ¾  �j´£´  ´}½�á5ã a{] Y � X�+.-sV:X4Y ¾ YCX4VÍ ¢{£�¤�¨%Ð Ø � ¢£�¤0 ) V:WOX ½;´ À�¹1 ¾  �j´ä´  ´}½âá5ã 0pV�V:W,X�V:X4Ë ¾ X/Y209V:`OY2X � Õ9£ [� ¢{£�¤�¨ ? ÌHs � ¢{£�¤0 ) V:W,X ½j´ À�¹1 ¾  �j´z�F´1��¾5ã ¼ ½ ¹ äj¾sä ¿ à ¿7» ã ¼ ´}½ � µ¿7»ö»�¿Ã� ´ ¢ ] Y ½;´ À�¹1 ¾  �j´ è ¿ � » ² ¤ 09V V:WOXyV:X4Ë ¾ X/Y��09V2`,Y2X � Õ9£ [O05-,½ � ¢{£�¤�¨ �� ¢{£�¤

Page 109: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Üpµ\G��\G ô ù ó8÷JA ù ÷ �Vù ó � � ú0 ) V:WOX ½;´ À�¹1 ¾  �j´�à ¿ º ´ »�¿Ã� ´ 09V�V:W,X�V2X/Ë ¾ X4Y:09V2`,Y2X � Õ9£ ¿ W,X ½j´ À�¹1 ¾  �j´A´ ¿ áF´  Æ1¾Äà � ´ a{] Y��/X4Y ]V:X4Ë ¾ X/Y209V:`OY2X�+ ) �\+hÔ\X4- � º ¸$� ° Í � ?ai � � ¨ » +6Ë© � ² � ¢£�¤�¼Ó ) `E0 »6» º [ � ÌHs ¡ � j�j � Ð Ø ¡ � ¿ þ X/-,^4X5[Í °!Ð Ø � ò ? �£ » - ¢Ð Ø ¡�¤05-,½ � ° ? Ì\s � ° �£ Ì\s » - ¢ � � i ÌHs ¡Ð Ø ¡ ¤ ò �£ ÌHs ¡Ð Ø ¡ ¼� - a 05^4V/[ ] -,X�^�09- ) W ]*� V:WE0pV a{] Y � j�j-�wj�j � < Î [Ø <H�­ª�� ^�  � É ° Ø <H� ËZ¡ � ^�  � É � ) ËH0 ».»+ a � É » +6X ) -OX�05Y Í � +6-�V:W,X )2¾ X/^cV:Y20 » ½,X/^ ] Ë ¾�]\) +6V2+ ] - ]5a �Q¿ u ] V:X�V2WE09VØ <H� ËZ¡ � ^�  ° Ø < ~ ¡ � ^�  Ø <H� Ñ\¡ � ^� XcÒ;W,+V�,+6V ) X�Ò ¾�] -,X4-sV:+30 » ½,X4^�0 º 09V�V2W,X ¢ ) » ]*� ¤ Y:09V2Xy� ��¿ WO+ ) + ) ^ ] - ) + ) V2X/-sV � +6V2W ] `OY ¾ +6^4V:`OY2X]5a 0�Y2X )C] -E05-O^/XZ0 ) 0gËNX4V:0�� ) V10�� » X ) V:09V:X ¿'y�)(£¢ ¤¦¥�§�¨�2©¥ª¨65l¥�§ ] ^ ] Ë ¾ `OV:X ¡�¢£�¤ � X ¾ Y ] ^/X/X4½H0 ) +.-�V:W,Xt�5Y ] `,-O½ ) V109V2X ¾ Y ] � » X4Ë�« � X�Y2X ¾ Y2X ) X/-sV ¡t¢£�¤ a{] Y��Ë80 ».» º 0 ) 0 ¾ 09V:W�+6-oV2X$�\Y20 » [�05-,½�V:W,X4-_0 ¾,¾ » º V:WOX a{] Y2Ë80 » f`,0 ) +6^ » 0 )2) +6^�0 » XcÒ ¾ 05- ) + ] - ¢ ^ a ¢ � â ¿�ú ¤C¤ �¡�¢£�ÕH¬;¤Ö° Ì%­ |*ç Î ^��­ Ø <¯® × � ­ � ^� ¢ 0 ) 0 » � 0 ºf)t� XZ+V�\- ] YCX�V:W,X a 05^4V ] Y ¢ � �-° ¢_± ¬;¤C¤2¤ ¿ þ X/Y2X9[�0 ) ��X a{] Y2X9[ Þ 05YCX�^/Y2+hV:+6^�0 » ¾�] +6-oV )]5a ØFÙ ¢f²F¤ ]5a�¾ X/Y2+ ] ½ £ [ | + ) 0�- ] Y2Ë80 » +6��09V2+ ] - a 05^4V ] Y�+.-,½OX ¾ X/-,½,X4-sV ]5a8Þ 05-,½ � [E05-,½ç ­ ° ½OX4V�Ø6³ ³´ ¢ Þ ´ ¤½,X4V�Ø ³ ³Ù ¢ Þ ¤ ¼

Page 110: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

�&�*µ ¶ ·BADCA÷ ÛFE ÜpµHGIE¥Û ó·¶ ù A ù ¶ Û óu ]*� Þ + ) 0 ¾ X/YC+ ] ½,+.^Ö^ » 0 )C) +6^�0 » ¾ 09V:W_+.-�+.Ë80��\+6-E05Y º V2+.ËNX ¢ ] Y#+6-�+.-sÔ\X4YCV:X4½ ¾�] V:X4-sV:+30 » ? : ¢><�¤2¤ [� +6V2W ¾ X4Y2+ ] ½ £ » 05YR�\X ¢ ) X4X G �\`,Y2X � æ ¿ @ ¤ ¿

paths in inverted potential

"bounce"

static

a x

V(x)

¢ �0¸,¿ @ ¤ � ]8¾ X/YC+ ] ½,+.^ )C] » `;V:+ ] - )�]5a 05YR�,+hV:Y205Y2+ » º » 05YP�\X ¾ X/YC+ ] ½n09Y2X¹ ë ¢ e ¤�¨ µ¢ P )Rº�a{] Y P ) V:09V:+6^ º ¤ 05-,½ ¹z» ¢ e ¤ � µ v� ¼�v� µ¢ P � ºHa{] Y P � ] `,-,^4X º ¤ ¿ ¹z» + ) ^�0 »6» X4½è05-¾½=¿JÀ#ÁZÂ�¿ÃÁ_Ä�¿ ] Y ä Ä � ¿ �£Å ¿ 7 +.-,^4X ¹ ë + ) 0HË8+6-,+.Ë�`,Ë ]5a: [ : ³ ³ ¢>Æ ë ¤�¦ µ [E05-,½ )2] Ø ³ ³Ù ¢ ¹ ë ¤ ° ?DÇ �ë � � �� W,X4Y2X �w�d° : ³ ³ ¢ µ ¤ ¿ X�^ ] Ë ¾ `OV2X/½ ��X a{] Y2Xç ­ È ° �d£) +6-,W ¢f�d£�¤ ò �d£É0Ê ©a{] Y £ » 05YP�\X ¿ æ ] Y2X ] Ô5X/Y/[�ØFÙ ¢ ¹ ë ¤J° µO¿ X � + ».» ) W ]*� » 09V:X4Y ¢ ) X/^4V2+ ] - �0¸,¿�Ë ¤ V2WE09Vç Î ^��­ Ì ° ?Li £ Ø < Î ^��» Í ½,XcV£Î_Ø ³ ³Ù ¢ ¹6» ¤%Ͻ,X4V�Ø ³ ³´ ¢ ¹ ´ ¤kÐ < Î ^�� ¢ �0¸,¿�Ñ ¤� W,X4Y2X Ø » ¨ ØFÙ ¢ ¹z» ¤J°ÓÒ ­ Ì l8m ê <ÔSÕ V2W,XgÖ5^4V Ô ]&×b]5a V:WOXkØp� ] ` × ^/X º [�Ö × ½½,XcV η٠¨ ½,X4V ¢ Ù Ï � × ` »6»�Ú �ÜÛ ¤�¼ ¢ �0¸,¿ÞÝ ¤

Page 111: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

ßpµ\G�µ\G-à6á�âBá$ãzä�ãzäFå C äQE A ãDæzELäèç-éfê ¶ çJä CJ· ç ¶ âëê;æzâ ¶ ã�á ¶ âtì �&�&�9rí »6»Sî$ï#ð Ô × � ð�ñ�î Õ î�òRî ÕRó »Üð ÕXô � î�ñ Ö�Ô î ¢>õ í ò�» Ö ò � î £�¤ö ° ? �£n» × ¢�Ð É ¡�¤ ò ¬\�éÖ × ½ � ò ? �£�÷ s ¡Ð É ¡ ò ¬ Øèø Î ^��» Í Ï ½ îXð Î�Ø ³ ³Ù ¢ ¹z» ¤%Ͻ îXð Ø ³ ³Ù ¢>Æ ë ¤ Ð ø Î ^�� É ø ® Ì ^�  ¼ù¯í ð�ñJî ¾ ò í �ÃÖ�� Ô » Ô ð º í õ ½ î$ï Ö º í õ ð�ñJî Õ ð Ö ðRî Ô × ÕPÔ ½ îyðRñ�î � î4».» ÔSÕ� ° ï í × Õ ð É ø ® Ì ^� � ñ�îXòRî Ø » ° Ø ¢ ¹z» ¤ ÔVÕ ð�ñ�î Ö ï#ð Ô í × í õ ð�ñJî Ô × Õ ð Ö × ð í × ¢ � ñ Ô ï£ñIî ó Ö » Õ ðRñ�în»Vî × � ð�ñ í õ ðRñ�îË Ô × Ô ËNÖ » � î í ½ î ÕPÔ ï Ô × ð�ñ�î Ó �\Ë í × Ë îXð�ò Ô ï ê¯ú ��° ¢ : ¢=<�¤ ? ö ¤pû ê <��c¤ ¿ ñ ÔSÕ î Ò ¾ » Ö Ô × Õ ðRñ�îÕ î × ÕRÔ ð Ô Ô Ô ð º í õ ð�ñ�ît» Ô õ î#ð Ô Ë î Õ í õ ó × Õ ð Ö�� »Sî × ó ï4»Sî Ô ð í Õ ËlÖ ».» Ô�Ö ò Ô Ö ð Ô í × Õ í õ ¾ Ö ò Ö5Ë î#ð�îXò Õ ¢=õ í òî ÒJÖ5Ë ¾ »Vî ô � î Ô � ñ�ð ½ îXð�îXò Ë Ô × î Õ8ÔSÕ í ð í ¾ î Õ ¤ ¿ü Ô × Ö ».» º ô � î × í ðRî�ðRñ Ö ð ½ îXð Ø ³ ³Ù ¢ ¹ ë ¤ ò É Ê ©é�� ¼'Bý)(pý xþ/0¥�/#¨�. ¨6.Tÿ �e.T342�¨�,�34.T§ ���N5 §6.�����§65 ¥ �¦,�¥�78¨�/$5 ¥�9rí × ÕPÔ ½ îXò ó Ö × ð ó Ë ð ó ×�× î/» Ô × �aÖ ð�× Ô ðRîkð�î Ë ¾ î$ò Ö ð ó òRî Õ � £ j�� ¤ ¿ u í � � îcñ Ö«Ô î�ð íï í × ÕRÔ ½ î$ò Ö »6»Bð�ñJòRî$î!ïXò Ô ð Ô ï Ö » ¾ Ö ð�ñ Õ í õ ¾ î$ò Ô í ½ £ � Õ î$î� � ó òPî �0¸,¿�� ¤ ô ¹ Î ° ¹ ë ¨ <�� � ± ô¹ � ° ¹z» ô ¹�� ¨ <���� | ¿

V(x)w 2

w3

1

xapaths of period

w

� �0¸,¿�� ¤ù Ô × ï$î�: ³ ³ � <�� � ± ¤�¦ µ ô ¹ Î ÔVÕ ÖgË Ô × Ô ËlÖ »Ãð�ò Ö�� î$ïXð í ò º ¿ Ó Õ � î � Ô »6» Õ îXî ô ¹z» ÔVÕ Ö Õ Ö5½,½ »Sî ¾ í Ô × ðí õ æ í ò Õ î Ô × ½ î Ò �\¿ ü Ô × Ö »6» º ô : ³ ³ � <���� | ¤rj µ ô Ö × ½ Õ í ¹�� ÔSÕ Ö » Õ í Ö Õ Ö5½,½ »Sî ¾ í Ô × ð ¿ü í ò�� ° ����� ô ØFÙ � ¹�� ¤�° : � < � ¤ £

Page 112: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

�&� é ¶ ·BADC ãzäFE ßpµHGIELäèç ¶ â A â ¶ äèçÖ × ½ õ í ò�� ° é � � ô ØFÙ � ¹ Î ¤wj ØFÙ � ¹!� ¤c¼� × ð�ñ ÔVÕ ï Ö Õ î ô ð�ñ�î ó Ö ÕPÔ � ï/» Ö ÕRÕRÔ ï Ö »;î Ò ¾ òPî ÕRÕPÔ í × õ í òwð�ñJî ½ î$ï Ö ºb¾ ò í �ÃÖ�� Ô » Ô ð º ÔVÕ� ° ? �£ ç ­ " � ÷ s ç ­ ] É ø ®&� ­ ] � ^�  � ÷ s ç ­ # É ø ®&� ­ # � ^�  ¤c¼ ñ�ò í ó � ñ � ñ Ô ï£ñ¾ð�ò Ö�� î$ïXð í ò º ô ¹ � í ò ¹�� ô ½ í î Õ ð�ñ�îNð ó ×�× î4» Ô × � ð Ö%$ î ¾ » Ö ï$î'& ¹�� ï í òRòPî �Õ ¾ í × ½ Õ ð í Ö ð�ñJî$ò ËlÖ »6» º ½ ò Ô Ô î × î Õ ï Ö ¾ î � ½ ó îªð í ð�ñ�îXò ËlÖ » " ó ïXð ó Ö ð Ô í × Õ ¤ ô Ö × ½ ¹ � ï í òRòPî �Õ ¾ í × ½ Õ ð í Öl ó Ö × ð ó Ë ð ó ×J× î/» Ô × � î Õ ï Ö ¾ î ¿y� õ £ ÔSÕ Ô îXò º Õ ËlÖ ».» � » Ö ò � îgðRî Ë ¾ îXò Ö ð ó òRî ¤ ô ðRñ�îð�ò Ö × ÕPÔ ð Ô í × í ïXï ó ò Õ ð�ñ�ò í ó � ñ ¹!� ô Ö Õ í × » º ¹�� ï Ö × ñ Ö�Ô î Ö ò � Ô ð�ò Ö ò Ô » º Õ ËlÖ ».» ¾ î$ò Ô í ½ ¿ Ñ × ðRñ�îí ðRñ�î$ò�ñ Ö × ½ ô4Ô õ�£ ÔSÕ Ô î$ò º » Ö ò � î � Õ ËNÖ ».»4ð�î Ë ¾ î$ò Ö ð ó òPî ¤ ô ¹ � ÕRÔ ð Õ ï4» í Õ îlð í ð�ñ�î � í ðPð í Ë í õð�ñJî � î4».» ô Ö × ½ í × îDï Ö × Õ ñ í � ð�ñ Ö ð ØFÙ � ¹ � ¤wj ØFÙ � ¹�� ¤ ¿4� × ð�ñ ÔVÕ ï Ö Õ î ô ð�ñ�îBð�ò Ö × ÕRÔ ð Ô í × í ï$ï ó ò Õð�ñJò í ó � ñ ¹ � ¿ü í ò Ô × ð�îXò Ë î ½ Ô Ö ð�îwðRî Ë ¾ îXò Ö ð ó òRî Õ$ô ð�ñ�î8ð ó ×�× î/» Ô × ��½ î ¾ î × ½ Õ ò Ö5½ Ô ï Ö »6» º í × ð�ñ�î � î í Ë î#ð�ò ºí õ ð�ñ�î ��Ö òRò Ô î$ò ¿ ñ�î$òPî ÔVÕ Ö ï$ò Ô ð Ô ï Ö » Ô�Ö » ó î í õO£ ô £�( ò é h Õ��)��� | � ñ�î$òPî �w��!� | ° ? : ³ ³ � <���� | ¤ ôÖ ð � ñ Ô ï£ñ Ö ¾ ñ Ö Õ î ðRò Ö × ÕRÔ ð Ô í × í ï$ï ó ò Õ « ð�ñJî ðRò Ö × ÕPÔ ð Ô í × ÔVÕ � î#ð � îXî × ð�ñJî ÕPÔ ð ó Ö ð Ô í × Õ � ñ�îXòRî½ îXï Ö º ÔVÕ ½ ó î�ð í ð ó ×�× î4» Ô × � ô Ö × ½è½ ó î�ð í ð�ñ�îXò ËlÖ » " ó ï#ð ó Ö ð Ô í × Õ*� ï$ò í ÕRÕ í Ô î$ò ¤ ¿B� × Ö ÕRó ¾ îXò �ï í × ½ ó ï#ð í ò í õ ð�ñ�î Õ îXï í × ½ ð ºf¾ îDð�ñJîBð�ò Ö × ÕPÔ ð Ô í × ÔSÕ ï í × ð Ô × ó í ó�Õ �QÖ Õ ðRî Ë ¾ îXò Ö ð ó òRî ½ î$ïXòRî Ö Õ î Õ� î/» í � � Õ9£�( � Ô ¿ î ¿ £ Ô × ï$òRî Ö Õ î Õ Ö�� í Ô î £�( ¤ ðRñ�î�ð ó ×�× î/» Ô × � ð�ò Ö+� î$ï#ð í ò º � Ô õ ó òRï Ö ð�î Õ õ ò í Ë ¹��Ö × ½ Õ » Ô ¾ Õ ½ í �8× ð�ñJî �ÃÖ òPò Ô î$ò � Õ î$î, � ó òRî �0¸,¿Ü�*µ ¤ ¿ ü í ò £ j £�( ð ó ×�× î/» Ô × � ð Ö-$ î Õ ¾ » Ö ïXîð�ñJò í ó � ñ ¹�� ¿c

jump for

< c

type 2 superconductor

<

= � �$¸,¿V�0µ/.� × Ö ÕRó ¾ î$òPï í × ½ ó ïXð í ò í õ ðRñ�î0Ãò Õ ð ð ºf¾ î �>Õ î$î1 � ó òRî �0¸O¿V�&��. ô ð�ñ�îXòRî Ö òPî × í ï/» í Õ î ½ ðRò Ö+� îXïXð í ò Ô î Õ� Ô ðRñ ¾ î$ò Ô í ½3254 ( ôtÕ í ð�ñ�î�ð�ò Ö × ÕRÔ ð Ô í × ÔVÕ ½ ÔVÕ ï í × ð Ô × ó í ó�Õ �r½ îXï Ö º � ó Ë ¾ Õ õ ò í Ë ¹�� ð í Ö

Page 113: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

ß76\G98HG C EBä;:Zä0< CB¶ âBäFâ�ã�á A�= à A?> ã ¶ E�à ¶ E ã�@DäBA ¶ æ�â > ä �&���ð�ò Ö+� î$ï#ð í òDC Ö ðtðRñ�î � í ðPð í�EMí õ ðRñ�î �ÃÖ òPò Ô îXòGF

c

no trajectoriesfor

type 1 superconductor

c

<

=

<

jump for

� �$¸ F ���+. ñ�îwòPî ÕRóIH ð Ö�� í�J î ÕRóLKLK í òpð Õ ðRñ�î õ í HMH í � Ô × � K ñ/C ÕRÔ ï Ö H�K�Ô ï#ð ó òPî í õ ð�ñ�îrð ó ×�× î HSÔ × � K ò í ïXî ÕPÕ F Ô ðRñcðRñ�îON í H ðQP E Ö ×�× K ò í ��Ö�� ÔRHVÔ ðSC É øUT ^WV ô ð�ñJî K Ö òpð Ô ï H î ÔVÕ Ö ð Ö × î × îXò � C H î J î H ö F ñ�îK ò í �ÃÖ�� ÔMHSÔ ðSC í õ ð ó ×�× î HSÔ × � õ ò í�E Ö × î × î$ò � C H î J î H ö ÔSÕ É ø ®GX � ñ�î$òPîZY T ÔVÕ ð�ñ�î Ö ïXð Ô í × í õð�ñJî E Ô × Ô E Ö H[K Ö ðRñ Ö ð�î × îXò � C ö F ñ�î K ò í ��Ö�� ÔRHVÔ ðSC í õ ð�ñ ÔSÕ�K ò í ïXî ÕPÕgÔVÕ É øUT ^WV ø ®\X F ñ ó�Õð�ñJî�ð í ð Ö H]K ò í �ÃÖ�� ÔMHSÔ ðSC í õ ð ó ×J× î HVÔ × � ÔVÕÒ É øUT ^WV ø ®GX�^`_ É øUTUa ^WV ø ®GX a� ñ�îXòRî ö ´ Õ í H J î Õ ðRñ�î Õ ð Ö ð Ô í × Ö òDC K í Ô × ð8î ó Ö ð Ô í ×Çcb�Ç ö � ö b� � Y T .ed � b � � Ç Y T b�Ç ö d µIf

N ó ð ?BÇ Y T b�Ç ö ÔSÕ ð�ñ�î K îXò Ô íUg í õ ðRñ�î�ðRò Ö+� îXïXð í òhC ó × g îXòBðRñ�î �ÃÖ òRò Ô î$ò Ö ðLð�ñ�îgî × î$ò � C H î J î H? ö ô Ö × g Y T a � ö ´ b � ÔVÕ ð�ñJî Ö ïXð Ô í × í õ Ö K Ö òpð Ô ï H î � Ô × Ô E Ö�� Ô × Ö òhCWð Ô E î . Ö ðDð�ñ�î�î × î$ò � Cö ´ ï í òRòPî ÕQK í × g Ô × � ð í ð�ñJî K î$ò Ô íUg � b � F'Bý)(ji k�34.mlÃ.mno�e5 ¥).T¥ª¨4/$2qpsr&2U78¨65 3tr&5 3�¨1�). ue5 ,�¥�7L. ñ�î � í ó × ïXî Õ í HVó ð Ô í × ô ¹6» ôIK òPî Õ î × ð ÕLÕ í�E î ÕRó � ð H îXð Ô î Õ F ¹6» � òPî Ö%$ Õ ðRñ�îyð�ò Ö × ÕQH Ö ð Ô í × Ö H Õ C E �E îXð�òDC í õ Ywv � ² . ô Ö × g ñ�î × ï$îyx¹z» ÔVÕ Ö PXî$ò í � E í�g î í õ Y ³ ³v � ¹z» . �Y ³ ³v � ¹6» . x¹z» d µIf í î Õ ð Ö�� HSÔVÕ ñWð�ñ ÔVÕ$ô�ÕPÔ E KLH C g Ô{z îXòRî × ð Ô Ö ðRîyð�ñ�î�î ó Ö ð Ô í × Ç Ywv � ¹z» .;d µ � Ô ðRñ òPî ÕhK îXïXðLð í ú F ñ ó�Õ � îgñ Ö J î�ð � í K ò í � H î E Õ �� FmY ³ ³v � ¹z» . ñ Ö Õ Ö P$îXò í î Ô � î × J Ö HSó î ô�Õ í õ í ò E Ö HMH C| g îXð}Y ³ ³v � ¹z» .S~ ø�� ^�� d ï í × Õ ð Ò É ø����Q� ®�� �� � ­ Ì � �Q� ^��_ '��� d � � �$¸ F ����.

Page 114: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

�&�0¸ > @ ADC ãzäFE ß76HGIELäèç ¶ â A â > äèç� F�x¹z» ñ Ö Õ í × îZP$îXò í � Õ î$îZ � ó òPî �0¸ F ���/. ô Ö × g Õ í ðRñ�î ù ð ó ò E ��� Ô í ó J ÔMHRH î©ð�ñ�î í òhC � õ ò í�Eí ò g Ô × Ö òhC g ÔMz î$òRî × ð Ô Ö H î ó Ö ð Ô í × Õ . ðRî HMHSÕ�ó�Õ ðRñ Ö ð ôzÔ × õ Ö ï#ð ô Y ³ ³v � ¹z» . ñ Ö Õ î�� Ö ï#ð H C í × î× î ��Ö ð Ô J î�î Ô � î × J Ö HVó î%F

s

wb

� �$¸ F �'�/. ñ ÔVÕ � Ô J î Õ Ö Õ î$ï í × g òRî Ö Õ í × õ í òwð�ñJî Ô × ð�î � ò Ö H;� �0¸ F �+��. ð í�g Ô J îXò � î-F í ÔMHRHSóJÕ ð�ò Ö ð�îgð�ñ�î Õ î g Ô J î$ò � î × ï$î ÕXô � î�ï£ñ Ö × � î J Ö ò Ô Ö�� H î Õ F ò Ô ð�î ô õ í ò ² × î Ö ò ¹z» ô ² d¹z» � � � Ô ðRñ � d �� ´ ¼ � � � �� ñ�îXòRîm� � �-� Ö òRîQð�ñ�îFî Ô � î × õ ó × ïXð Ô í × Õ í õ Y ³ ³ � ¹z» . � Ô ðRñUî Ô � î × J Ö HVó î Õ0� � � Ô × Ô × ï$òPî Ö ÕPÔ × � í ò g î$ò . F ñ�î ×Ywv � ² . ^ Ywv � ¹z» . � �� ´ � � ¼ �� f

N ó ð � ´ j µ Ö × g � � d µ ô ñJî × ïXî � î�ñ Ö J îgð � í�g Ô J î$ò � î × ð Ô × ð�î � ò Ö HVÕ �Ò �ø � É ø [D� � ]� ^��_ G� ¼+� d �õ í ò�� dëµI�0� F î Ö H òRî Ö g C $ × í � ðRñ Ö ð � î�ï Ö × g î� × î�ð�ñ�î�Ãò Õ ð Ô × ðRî � ò Ö H � C Ö × Ö × Ö H CHð Ô ïï í × ð Ô × ó Ö ð Ô í × ð í � î Ò �ø � É ø [ a � ]a ^��_  � ¼ ´ d Í � � ´h ¬ Ð ø�� ^�� d ?Li[����� � ´h ¬ ����

ø�� ^�� f ñ�î Õ î$ï í × g Ô × ð�î � ò Ö Hfô ï í òPòRîXïXð H C ðRòRî Ö ð�î g ôBÔVÕNÕ ñ í �8× ð í ï í × ðRò Ô � ó ð�î �>Õ î$î)ðRñ�î õ í HMH í � Ô × �Õ îXïXð Ô í × . Y ø�� ^��» 4 ± � h ¬ � �$¸ F �$¸�.� ñ�îXòRîqY » ÔVÕ ð�ñ�î Ö ï#ð Ô í × í õ ðRñ�î ØP� í ó × ï$î º ô Ywv � ¹z» . F��Lî × ïXîÒ × î Ö ò ­ Ì É ø ® � � �X� ^�  d3¡ ­ Ì É ø ®�� ­ Ì � ^� 

Page 115: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

ß76\G£¢�G >t¶ â�ãzE8á�A�ætã�á ¶ â ¶ à ã�@DäB¤�äFE ¶ :Zå ¶¦¥ ä �&�%Ë� ñ�îXòRî ¡ � ^��­ Ì d ?Bi 4 Y ø�� ^��» Í Ï g îXð Î Y ³ ³v � ¹z» . Ïg îXð}Y ³ ³´ � ¹ ´ . Ð ø�� ^��� ðRñ ÔSÕtÔVÕ?� �0¸ F Ñ�.h. Ö × g§g îXð Î ÔVÕ g î\ × î g Ô × � �0¸ F Ý/. F'Bý)(�¨ ©«ª ¥ª¨1¬;­'u�®k¨1­\ªl¥ ª¯r ¨0�±° ²�°³¬1ª�l ÿ ªµ´±°¶ ñ�î J Ô ò Ô Ö H ðRñ�î í òRî EMí õ ï H Ö ÕPÕRÔ ï Ö H E î$ï£ñ Ö × Ô ï Õ�·&Ô J î ÕÒ x¹6» � d Y � ¹6» .1d Y » f¸ î\ × îTð�ñ�î × í ò E Ö HSÔ PXî g PXî$ò í î ÔM· î × õ ó × ïXð Ô í ×

� � d Y ø��W¹ �» x¹z» f¶ ñ�î × � ¹z»}ºs» � � � . � ú .1d ¹z» � ú . ºs» � Y ø��W¹ �» x¹6» � ú . ^ ¹6» � ú º¼» � ú ø��W¹ �» .jf�Bî × ï$î ² ^ ¹z» � ú º¼» � Y ø��W¹ �» . º �

½/¾¿ �» ½ � ½Ö × g ð�ñJî$òRî õ í òRî À

½ � » ½ d Y ø��W¹ÂÁ» � ú À½/¾¿ � � » ½ fÃ × ð�î · ò Ö ð Ô × ·¯·&Ô J î Õq��Ä ¸ F Ä ¸�. FÅBý±Æ�Ç Èɪ���¬!l[ÊZª ÿ ÿ °³¬1r�°³pG´�ËZ®±Ì©¥ª¨0­G²mÌg¨1­Gª ¥Ír�ª�¬Î¬;°y§!ª ¥±Ì©¥�Ï�°T§¶ ñ�î · í Ö H í õ ðRñ ÔSÕFÕ îXïXð Ô í × ÔSÕ g î$ò Ô J î Ö Õ î E Ô{Ð ï H Ö ÕPÕRÔ ï Ö H õ í ò E óLH Ö õ í òQðRñ�îDòPî Õ í × Ö × ïXîyî ÔM· î × J Ö H£Ðó î Õ í õ Ö ù ï£ñ�ò�Ñí%g Ô × · î$ò í K îXò Ö ð í ò�Ò Ô ðRñ Ö ð ó ×�× î HVÔ × ·µK í ð�î × ð Ô Ö H F�Ó�î K ò í ïXî$î gÕÔ C Ö × Ö H í · CÒ Ô ðRñ�ðRñ�îgðRòRî Ö ð E î × ð í õ Ö ï í × × Ô × ·�K í ð�î × ð Ô Ö H¦Ô × Õ î$ïXð Ô í × Ä � F � Ò8ñ Ô ï£ñ H î Ö g ð í ð�ñ�îqN í ñ�ò Ðù¯í�E�E î$ò õ î H gZÖ ó Ö × ð Ô P Ö ð Ô í × ò óLH î%F

Page 116: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Ä�Ä�× > @mØÚÙDãzäeÛ ß76�ÜÝÛLäèç ¶ â�Øyâ > äèçÞ ÕªÔ × ðRñ�îkòPî Õ ð í õ ð�ñ ÔSÕ ï£ñ Ö K ð�îXò ô Òèî)ï í × ÕRÔ g î$ò Ö ð ó ×�× î HSÔ × ·ßK í ðRî × ð Ô Ö H í õ ð�ñJî õ í ò EÕ $ îXðRï£ñ�î g Ô × ·&ó òPî Ä ¸ F Ä Ë F

2

(real)

(complex)

resonance potential

1

classically forbidden

E

V(x)

x �DÄ ¸ F Ä Ë�.¶ ñ�î K Ö ðRñ Ð_Ô × ðRî · ò Ö H îj� K òRî ÕRÕRÔ í × õ í òwð�ñ�îáàTòRî$î × Õ õ ó × ï#ð Ô í × í õ1â ÔSÕXô Ö Õ8Ô × Õ î$ïXð Ô í × Ä � F � ôãáä � ö � åc�Qæ}.0d Ò �´ ÒIç ��� ��� è ÉGéRê ® ê � � ë{ì û T�ë{ì{¹Âí f �DÄ ¸ F Ä'× .Ó�î Õ îXî $ ïXò Ô ð Ô ï Ö HeK í Ô × ð ÕZ� Ô îXï Ö óJÕ î ô Ö Õ Ö H Ò Ö C ÕXô ÒrîOÒ ÔVÕ ñ¾ð í Ö KLKLH C!ð�ñ�î E îXðRñ íUg¾í õ Õ ð Ö Ðð Ô í × Ö òDC K ñ Ö Õ î . Ò8ñ Ô ï£ñ Ö òPîWï H í Õ î g ð�ò Ö�� î$ïXð í ò Ô î Õ§� æîdïåI. Ö ð©ðRñ�îOI�¯î g î × î$ò · C ö F ¶ ñ�îð�ò Ö+� î$ï#ð í ò Ô î ÕLÔ × K ñ Ö Õ î ÕhK Ö ïXî Ö òPî Õ ñ í Ò × Ô × ·&ó òPî Ä ¸ F Ä Ñ F

classically forbidden

p

x

phase portrait

classically allowed

p

x

fixed energy

�DÄ ¸ F Ä Ñ�.Þ ðLî × îXò · C ö ôLK ñ Ö Õ î Ð�ÕQK Ö ï$î ÔVÕ¦K Ö òpð Ô ð Ô í × î g Ô × ð í ï H Ö ÕPÕRÔ ï Ö HMH C Ö HRH í Òèî g ô Ö × g ï H Ö ÕRÕPÔ ï Ö HRH C õ í ò ÐÔ Ô gLg î × òRî ·&Ô í × Õ?� Ö Õ8Ô × ·&ó òPî Ä ¸ F Ä Ñ�. F à õ Òrîgï í%E KLH î�� Ô õ Clð�ñ�î K ñ Ö Õ î ÕQK Ö ï$îðòñ§ðôóõ ö`ñ�ö

Page 117: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

ß76UÜø÷�ܼA³ù¦@ÚÛ�:�ç]ù8å)å�äeÛLà�ä =[¥ûú æüØDâ�ã�áD¤wØDã�á�ùtâ àeù�ÛýÛLäFç]ùtâmØDâ > äFç Ä�Ä Ñð�ñJî KJÔ ïXð ó òRî Ô î$ï í�E î Õ ð�ñ Ö ð Õ ñ í Ò × Ô × ·&ó òRî Ä ¸ F Ä Ý F

x

Im(p)

Re(p)

�DÄ ¸ F Ä Ý/.¶ ñ ó�Õ Òèîgï í × ÕPÔ g îXò8ï í�E KLH îj� K Ö ð�ñ Õ í õ ð�ñ�î õ í ò Eÿþ ��� .1d�� ������� . ô Ö × g d ��� � F � îXðÙ � �m� � .1d Ò �� � ���� Á º�� � � .jf¶ ñ�î × Y � þ � ����� .;d Ò �� ��� � � �� Á � � � �).Q. ����� . � � d � Ù � ��� � .Ö × g Õ í Ç�� Y d � Ç�� Ù � Ö × g Ç Y � þ � ��� � .Ç � d � Ç Ù � ��� � .Ç � f¶ ñ ó�Õ ð�ñ�î K ñ Ö Õ î õ Ö ïXð í ò Ô × �DÄ�� F Ä'× . ÔSÕ

Y � þ � ����� . º ö ������� .�d ��� Ù � ��� � . � ö � .jf� í Ò ô ð�ñ�î�òPî Ö H ïXò Ô ð Ô ï Ö HwK í Ô × ð ��� � � . Õ Ö ð ÔVÕ Ãî ÕÇ � Y d �I� Ç Y ��� � � .Ç d � ö �Õ í � � ñ Ö Õ�K î$ò Ô íUg ô Ö × g � Ñ� � d �"! � ��� � . � Ö ÕtÔ × ·&ó òPî Ä#� F Ä Ñ�. F ¶ ñ ÔSÕ ñ Ö Õ Ö K ñ Ö Õ î$ � d Y ��� � � . � ö Ï %'& ¹ % ë ¿ øUT f¶ ñ�îgï í�E KLH î��WïXò Ô ð Ô ï Ö HwK í Ô × ð ��� Á ��� .1d(� Á ������� .j� ��� . Õ Ö ð ÔVÕ Ãî ÕÇ � Y � þ � ����� .ed � Ç�� Ù � ��� � .;d �Ö × g Ç Y ��� Á � ��� � .Ç � d � Ç Ù � � Á � � .Ç � d � ö �

Page 118: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Ä�Ä Ý > @mØÚÙDãzäeÛ ß76�ÜÝÛLäèçwù8â�Øyâ > äèçÕ í � Á ñ Ö Õ�K î$ò Ô íUg �·ô Ö × g � Ñ� Á d ! � � � Á . � Ö ÕtÔ × ·�ó òRî Ä#� F Ä Ñ�. F;�Bî × ï$î�ð�ñ�î K ñ Ö Õ î ÔSÕ� $ Á d � � Ù � � Á � � . � ö � . Ï*),+�-/.10 � 2�3) 2 ¿ TÓeî�ï Ö × ï£ñ Ö ò Ö ï#ð�îXò Ô PXî Ö · î × î$ò Ö H ï H í Õ î g ï$ò Ô ð Ô ï Ö H í ò Ô Ô ð Ô CWð�ñ�î HSÔVÕ ð�DÄ � � � � Ä � � Á � Ä � �Z� �'fGf'f�.��

E î Ö × Ô × · ðRñ�î8òRî Ö H ï H í Õ î g5476 ÔSÕ ðRò Ö J îXò Õ î gNí × ï$î ô ðRñ�îtï í%E KLH î��Uï H í Õ î g8476 ÔSÕ ðRò Ö J îXò Õ î g � �ð Ô E î Õ$ô ð�ñJîDòRî Ö H 476 ÔSÕ õ í HRH í Òèî g Ö · Ö Ô × ô ð�ñJî × ðRñ�îDï í�E KLH îj� 476 � Á ð Ô E î ÕXô îXð�ï-F � Òèî õ í HMH í Òð�ñJîlòPî Ö H 476 Õ î J îXò Ö H ð Ô E î Õ�Ô × ÕRó ïXï$î ÕRÕRÔ í × Ô õ Õ í�E î í õ ð�ñ�î � é Ö òRî¯P$îXò í . F Þ KLKLH C Ô × · ðRñ�îÕ ð Ö ð Ô í × Ö òDC K ñ Ö Õ î E î#ð�ñ íUg ô Òrî í�Ô ð Ö Ô × ð�ñJî õ í HRH í Ò Ô × · ï í × ðRò Ô Ô ó ð Ô í × ð í ð�ñ�î K Ö ð�ñ Ô × ðRî · ò Ö H�9�� ½ ¿ � �� ";:<:<: �>= ? éRê � û ½ ìA@ " ¹Âí ø ê � " ûCB<B<B ûI�>= ìA@ 0 ¹Âí

d ? é @ " ¹Âí �½ED � � ? é @ " ¹Âí ��

� ¿ � ? ø � @ 0 ¹Âí . ½d ? é @ " ¹Âí �� ½ ¿ � � ? é @ " ¹Âí ÄÄF� ? øG@ 0 ¹Âí . ½ d ? é @ " ¹Âí ÄÄ�� ? é @ " ¹Âí ��_ø v�HJI 0;K Ld ? é @ " ¹Âí �DÄF� ? øG@ 0 ¹Âí .ÄF� ? é @ " ¹Âí � ? øG@ 0 ¹Âí f

Ó�ò Ô ð Ô × · ð�ñ�î H í Òrî Õ ð�òRî Õ í × Ö × ï$î�î ÔR· î × J Ö HVó î Ö Õ ö � �M�ON ö Ö × g îj� K Ö × g Ô × · ? é @ " ê Tcì{¹Âí ð íÃò Õ ð í ò g î$ò Ö ò í ó × g ö � ô Ö × g ? øG@ 0 ê TcìM¹Âí ð í PXî$ò í ð�ñ í ò g î$ò ô�·�Ô J î Õ ð�ñ�î�î Ö ó Ö ð Ô í ×?Gé @ " ê TUa�ìM¹Âí d Äõ í ò ö � �>Ô F î%F ö � ÔVÕ ð�ñ�î · ò í ó × g Õ ð Ö ð�î�î × î$ò · C ô Ö Õ Ô î õ í òPî . ô Ö × g ð�ñ�î�î�� K òPî ÕPÕRÔ í ×N ö dQPSRUT $ � � ö � .T ö V ø�� ? øG@ 0 ê T�a�ì{¹Âíõ í ò N ö F ¶ ñ�î H Ö Õ ð�ðSÒ í î Ö ó Ö ð Ô í × Õ òRî K òRî Õ î × ð ð�ñ�îµN í ñ�ò Ð ù¯í�E�E îXò õ î H gÖ ó Ö × ð Ô P Ö ð Ô í × õ í òòRî Õ í × Ö × ï$î Õ F

Page 119: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

W X Y[Z \^]`_ acbdfe \g_ihkj l mn\po>h e \^h qrl Y e \pl s t ]vuwj\pX ]Qhx_zy¶ ñ�î · í�{ H í õ Ö ó {E| ð ó E Ãî H g ð�ñ�î í òhC � Ò8ñ~}Vï£ñ¼Òèî§ÒF} HRH í õ ð�î |�{%ÔIÔ òRî J } { ð�î {E�8� ü!¶ . } � ð íg î � ï$ò,} Ô îWî H î E î | ð { òDC K { òPð�}Sï H î ��{�|Lg ð�ñJî�}Sò�} | ð�îXò { ï#ð�} í�|~� F à ð ��E5{ ð�ñ�î E8{ ð�}Sï { H õ ò {%E î\Ò í ò $ï {E|ÕÔ î�ð�ñ í óI· ñ�ð í õ {�� K { òPð�} { H g } z î$òRî | ð�} { H î Ö ó { ð�} í�|�� � 6 ¸�� � . } | } | | }VðRî H C E5{�| C JE{ ò�} Ð{%Ô H î � F � ü!¶ ñ {��Úg î$î K ï í�|~| î$ïXð�} í�|�� ÒF}VðRñ {¯J�{ ò�}Sî#ðSC í õ g } � ï'} KLH } | î � ô } | ï HSó g } | · � ð { ð�} � ð�}Sï { HE î$ï£ñ {�| }Sï ��{�|Lg ï í�|Lg î |�� î gÕE8{ ðRð�îXò K ñ/C � }Vï � ô K ò í�Ô~{%Ô } H }VðSCWðRñ�î í òDC � }Sî � ð í ï£ñ {�� ð�}Sï 6 ¸�� � . ô{�|Lg�|�í�| H } | î { ò 6 ¸�� � FÅ?iZÆ�Å ���±° ��p\Ì�Ï�° ª¯r������Þ HMH�K ñ�C � }Sï { H ð�ñJî í ò,}Sî � ï {�|�Ô îUï H {��,� }{Ãî g�Ô C ðSÒ í� îXð �Dí õ K { ò {%E î#ð�îXò � 9 Ò8ñ�î#ð�ñ�îXòyð�ñ�î�C g î Ð� ïXò�} Ô î K { òPð�}Vï H î � �øK í } | ð í ò H í ï { H }RPXî g©í%Ô � î$ï#ð � . í ò�Ãî H g~� � î��\ðRî |Lg î glí%Ô � î$ï#ð � . ô {E|Lg Ò8ñ�îXðRñ�î$òð�ñJî\C { òPî�ï H {��,� }Sï { H � î%F · F ðRñ�î�òPî � óLH ð � í õ î�� K î$ò,} E î | ð �5{ òRî g î#ð�î$ò E } | } � ð�}Vï . í ò Ö ó {�| ð ó E� E î {E� ó òPî E î | ðgòRî � óLH ð ��{ òRî K ò í%Ô�{%Ô } H } � ð�}Vï . F?Ó�}VðRñcðRñ~} � ï H {��,� }M�ï { ð�} í�| } | E } |Lg ô Òrî ñ {'J îð�ñJî õ í HMH í ÒF} | · g } { · ò {%E5g } � KLH { C�} | · ðRñ�î KLH { ï$î í õ � ü!¶ òPî H { ð�} J î ð í ï H {���� }Sï { H E îXï£ñ {�| }Vï �� 4�� . ô ï H {���� }Sï { H Ãî H g ðRñ�î í òDC � 4 ü�¶ . ô {�|Ig¼Ö ó {E| ð ó E E î$ï£ñ {E| }Sï � � ��� . � ñJî$òRî � } � ðRñ�î| ó E�Ô î$ò í õ g î · òRî$î �Bí õzõ òPî$î gJí�E . 9

Ä%Ä �

Page 120: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Ä ��� > @�Ø�ÙDãzä;Û��78�Ü�����ã�Û³ù ¥ æ > ã���ù���ã)ù ú æ[Ø���ãDæ�� �>��ä =[¥ ã�@Dä�ù¦Û�¡Ö£¢�{�|�¤ }RP {¥¤ }§¦ |4�� � õ �¨�© ©

� õ � © © � õ �ª ª47« ¶ � õ ��« ¶Ö£¢�{�|�¤ }RP {¥¤ }§¦ |¶�¬~­ ¤ Ò®¦ K ¬ C � }*¯ { H 47« ¶ �S{�° ­±­ H ­ ¯ ¤�° ¦ Ð E5{ · | ­ ¤ } �QE � � � . �ø· ¦ J ­ °�| ­ gÎÔ C �²{ �UÒ ­ HRH�³ �­ Ö£¢�{¥¤ }§¦ |~� . {�|Ig · °�{'J } ¤ C �ø· ¦ J ­ °�| ­ gßÔ C � } |~��¤ ­ } | ³ � ­ Ö£¢�{E¤ }§¦ |�� . FáÓ ¬~­ | ¦ | ­^´ Ö£¢�{�|�¤ }RP ­ ��µ�¶{ �UÒ ­ HMH�³ � ­ Ö£¢�{E¤ }§¦ |���· ¦ | ­ ¦ Ô�¤�{ } |~�¨¤ ¬~­ ¤ ¬~­ ¦ ° C^¦�¸ Ö£¢�{�|�¤�¢IE ­ H ­ ¯ ¤�° ¦ g C |�{%E }§¯ � � � �;¸ . F¶�¬~­ { KLK ° ¦ K ° } {E¤ ­ Ö£¢�{�|�¤ }MP {E¤ }§¦ | ¦�¸ ¤ ¬~­¨� } |��,¤ ­ } | ­ Ö£¢�{¥¤ }§¦ |~� } ��¢~| $ | ¦�Ò | Fà |¹{%gLg } ¤ }*¦ |º·J¤ ¬�­ ° ­ {�° ­ E8{E| C ´ E ¦�¯ $ µ�47« ¶ � � } ­ | ¦ | ÐSK ¬ C � }*¯ { H ¦ | ­ � . Ò ¬ }§¯ ¬�­ ��} �,¤ ¦ | H C¤ ¦ Ô ­ Ö�¢~{�|�¤ }RP ­ g F ¶�¬~­ � ­ } | ¯ H ¢Ig ­ ¤ ¬~­ ¤ ¬~­ ¦ ° } ­ � · } J ­ |ßÔ C ¤ ¬�­¼» H ­ } | Ð à�¦ °hg ¦ | ­ Ö£¢�{¥¤ }§¦ |º·{�|Lg½¤ ¬~­�¾ {�| ·7Ð � } HRH � ­ Ö£¢�{E¤ }§¦ |~�"¿ · {�¢ · ­�À�­ H g5¤ ¬~­ ¦ ° C . F ¶�¬~­ � ­ {�° ­ Ô ¦ ¤ ¬ J�{E° } {¥¤ }§¦ |~� ¦ |5¤ ¬~­� � ¤ ¬~­ ¦ ° C�F ¶�¬~­ ¸�¦ °hE ­ ° } � ¦ Ô�¤�{ } | ­ g Ô C ° ­ KLH { ¯�} | · ¤ ¬~­ J ­ ¯ ¤ ¦ °���¤�°�¢ ¯ ¤�¢�° ­ ¦�¸ � � Ô C {¯�¦ E KLH ­ �¼¦ | ­ ·Á{E|Lg�¤ ¬~­ H {E¤,¤ ­ ° } �F{Â| ¦ | Ð ¯�¦ E�E�¢�¤�{E¤ } J ­ · ­ | ­ °�{ H }RP {¥¤ }§¦ | FÃwÄ�Å�ÃÆÅ�à Ç^È7É�Ê~Ë�ÌÎÍUÏ8ÐiÈ�ÑÓÒÕÔÁË�ÑÓÊÞ K ¬ C � }*¯ { H ¤ ¬~­ ¦ ° C � K ­ ¯�} À�­ � Ò ¬ {E¤ } ¤ E ­ {�|�� ¸�¦ °�{�� C ��¤ ­ EÖ¤ ¦ Ô ­ } |S{ K {�°�¤ }§¯ ¢ H {E° ´ ��¤×{E¤ ­ µ¿�¤ ¬~­ �,¤�{E¤ ­ � K { ¯ ­JØ · ¬ ¦�Ò ¤ ¬ } �7��¤×{E¤ ­�­ J ¦ H J ­ � } |¼¤ } E ­ ¿ ­ J ¦ H ¢�¤ }§¦ | H { Ò Ø ·~{E|Lg ¬ ¦�Ò ¤ ¬ } �®�,¤×{¥¤ ­¯�¦ °�° ­ � K ¦ |Lg~�Õ¤ ¦ ¤ ¬~­ ¦ ¢�¤ ¯�¦ E ­ � ¦�¸ K ¬ C � }*¯ { H E ­ {��,¢~° ­ E ­ |£¤�� ¦ |5¤ ¬�­ � C ��¤ ­ E�¿ ¦ Ô~� ­ °hJE{%Ô H ­ � Ø F¶�¬~­ ¤×{%Ô H ­ ¿�Ù F � Ø g } � KLH { C ��¤ ¬~­ ¦ Ô�Ú ­ ¯ ¤��mg ­ � ¯ ° } Ô } | · 4��Û{�|Lg¶�¨� FÓ ­ ÒF} HMH } |�¤�° ¦ g�¢ ¯ ­ ��« ¶ Ô C Ö£¢�{�|�¤ }MP�} | · 47« ¶ F1Ó ­ g ¦ ¤ ¬ } �¯Ô C {E|�{ H ¦ · CßÒF} ¤ ¬ ¤ ¬~­Ö£¢�{�|�¤ }MP {E¤ }§¦ | ¦E¸ 4�� ¿ } ­ ·Ü¤ ¬~­ K {E����{ · ­ ¤ ¦ ��� Ø F!Ó ­ ÒF} HMH � ­'­ H {E¤ ­ °�¤ ¬ {E¤¹¤ ¬ } �¹{�|�{ H ¦ · C��¢ ·�· ­ ��¤�� Ò ­�¬ {'J ­ ¤ ¦ K ¢�¤¼47« ¶ · Ò ¬ }*¯ ¬ } � ¦ ° } · } |�{ HMH C · } J ­ | } |ݤ ­ °QE½� ¦�¸ {z6 ¸�� · } |�¤ ¦� {-E } H ¤ ¦ | } {�| ¸�¦ °QE F ¶�¬ } � } �mg ¦ | ­ } |²¤ ÒƦ �,¤ ­ K � 9 } |�¤�° ¦ g~¢ ¯'} | · ¤ ¬�­ K ° } | ¯'} KLH ­ ¦E¸ E } | } E5{ H{ ¯ ¤ }§¦ |º·�{�|Lg¤ ¬~­¨ÞÓ­ · ­ |Ig~° ­ ¤�°�{�|~� ¸�¦ °QE FÃwÄ�Å�ÃÆÅOß ÇzÔÁË�à�ÌÓË,á�Ï�ÑâÒÕã�äåË�à�Ë�ä�ÍUϽÍÜÌçæ�Ë�Ò®à¶�¬~­ K ° } | ¯'} KLH ­ ¦�¸ E } | } E8{ H { ¯ ¤ }*¦ |è¿ K ° ¦ K ­ ° H C · ¦�¸ ´ �,¤×{¥¤ }§¦ |�{�° C µ{ ¯ ¤ }*¦ | Ø ��¤×{E¤ ­ ��¤ ¬ {E¤ ­ J ¦ ÐH ¢G¤ }§¦ | ­ Ö�¢~{E¤ }*¦ |~� ¸�¦ ° K ¬ C � }*¯ { H �,¤�{E¤ ­ ��{�° ­�� ¢ H ­ ° Ð Þ { · °�{�| · ­�­ Ö£¢�{E¤ }*¦ |~� ¸�¦ °®{ ¯ ­ °�¤×{ } | ¸ ¢~| ¯ Ф }*¦ |�{ H ¯ { HRH ­ gM¤ ¬�­Mé�ê1ë ì�í¥î ¿ � ­�­ 4 ¬ { K ¤ ­ ° Ä�Ä ¸�¦ ° ­ � {-E KLH ­ � ¦�¸�¸ ¢�| ¯ ¤ }§¦ |�{ H ��{�|Lg � ¢ H ­ ° ÐÞ { · °�{�| · ­�­ Ö�¢~{E¤ }*¦ |~� Ø F� ¦ ° ­ K ° ­ ¯�} � ­ H C · Ò ­ g ­'À | ­ ¦ | ¦ ¢~°®� K { ¯ ­ ¦�¸ K ¦ ��� } Ô H ­�À�­ H g~��· � ·~{ ¸ ¢�| ¯ ¤ }§¦ |�{ H · Y ·G��¢ ¯ ¬¤ ¬ {E¤ � } ��{�� ¦ H ¢�¤ }*¦ |8¤ ¦ ¤ ¬~­ 47« ¶�­ Ö�¢~{E¤ }*¦ | }*¸ {�|Lg ¦ | H C5}*¸�ï-Y ¿ � Ø d(� F à | K {�°�¤ }§¯ ¢ H {E°�· Ò ­

Page 121: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

�Eð�ÜòñIÜèó�ô�äÜ����õ�ö?ù�Û ¥ ù�� ã>÷Dä�ù¦Û�¡¼Ø�øZØQ÷mØ��²��ô¦ã)ù����SØ"��øÓ¡Uø¦ãzäÕ� Ä � Ä

¯�¦ |~� } g ­ °�{ ¯ H {���� ¦�¸ ­ � {�ù KLH ­ � ¸ ° ¦ ùÖ4 ¬ { K ¤ ­ ° Ä�Ä�9Y ¿ � Ø dûú V� ú£ü�ýCþ ¿ � ¿ æÓÿ Ø ÿ !�� � ¿ æÓÿ Ø ÿ �� ¿ æÓÿ Ø�Ø � � æ � ¿ Ä Ù � Ä Ø

¸�¦ ° ��9 ð �� ñ ð ë õ ð � � ­ ° ­ · þ } ��¤ ¬~­��ºé����é�î��ì é�î�� 1î��1ì ë�� ��� K ­ ¯�} { H }MP�} | · ¸ ¢~°,¤ ¬~­ °'· Ò ­¬ {'J ­ ¤ ¬�­ ¸�¦ HRH ¦�ÒF} | · } ù K ¦ °,¤�{�|�¤ ­ � {�ù KLH ­ ¦E¸ { ¯ H {���� }§¯ { H À�­ H g¤ ¬~­ ¦ °�� 9��������� �"!$#%'&(# | » H ­ } | Ð à�¦ °Qg ¦ | À�­ H g¤ ¬~­ ¦ °�� ~ ¶�¬~­�» à Þ { · °�{�| · } {�|Zg ­ |~� } ¤)� } �þ ¿ � ÿ �� Ø d Ä� ¿ �� Ø Á � Ä� © !��¥� © Á �$* ¿ � Ø f¶�¬~­ ¯�¦ °,° ­ � K ¦ |Lg } | · �Îé���,é�î��ì é�î,+.-�îçê1ë ì�í¥î é/ ·0 ¿ � ÿ �� Ø dûú£ü�ý21 Ä� ¿ �� Á � © !��¥� © Á Ø ��* ¿ � Ø43} �*g ­'À | ­ g ¦ | â � ¿ ð � Ø ñ50 Á ¿ ð � Ø ¿ {E¤ H ­ {��,¤ }A¸ * ¿ � Ø d !�* ¿ � Ø d � Ø � Ó ­ ° ­ ¯ { HMH ¸ ° ¦ ù4 ¬ { K ¤ ­ ° Ä�Ä ¤ ¬ {E¤F¤ ¬~­ ¯'¦ °�° ­ � K ¦ |Lg } | · ¯ ° } ¤ }§¯ { HwK ¦�} |�¤ ­ Ö£¢�{¥¤ }§¦ | } �6 � º !7* ¿ � Ø d�� ¿ Ä Ù � � ؤ ¬�­�89/: 1ì î<;.=�í>����í¥î? A@B-�é�ë ì�í¥î �¶�¬~­ � ­ ¤ ¦�¸Î¸ ¢~| ¯ ¤ }*¦ |~� � ¦ | Ò ¬ }*¯ ¬DC } �FE ­1À | ­ E ÒF}HG:G · } | · ­ | ­ °�{ G ·�Ô ­ {��AI�{ ¯ ­ ¦�¸ I�{E¤ ¬ �J 9LK �GÿAMON õ P} | � ¦ ù ­ ¿ } | À | } ¤ ­ E } ù ­ |~� }§¦ |~{ G Ø �AI�{ ¯ ­7P � P } � ¯ { GHG ­ Ef¤ ¬~­RQ×í¥îTSU�-V�,é�ë ì�í¥î?�)W�éQX ¦�¸ ¤ ¬~­I ¬ ��� }*¯ { G �Y�G��¤ ­ ù²· {�|�E } ¤�� ­ G ­ ù ­ |�¤���{�° ­ ¯ { GHG ­ E À�­ G E~� � à | ¦ ¢~° ¯ {E� ­ · P } �F{ GMÒ {T�G��{¹�AI~{ ¯ ­¦�¸7¸ ¢�| ¯ ¤ }§¦ |~� ¦ |i� ¦ ù ­ÂÀ | } ¤ ­ Ð E } ù ­ |~� }*¦ |�{ G ù5{�| }A¸�¦ZG E � à | · ­ | ­ °�{ G · P ¯�¦ ¢ G EßÔ ­ ¯ ¢~°�[ ­ Eº·Ô~¢�¤ ¸�¦ °F� } ù�I G*}§¯'} ¤)� Ò ­ {E����¢�ù ­9P } ��{]\ }:G Ô ­ °,¤��AI�{ ¯ ­ � Ó ­ ° ­ ù5{�°A^¼¤ ¬ {E¤ } | · ­ | ­ °�{ G ·Á¤ ¬~­Þ { · °�{�| · } {�| ¸ ¢~| ¯ ¤ }§¦ |�{ Gº} �_E ­'À | ­ E ¦ |g¿ {½�,¢LÔ~��I�{ ¯ ­ ¦�¸ Ø M P ·�¤ ¬�­ ¤�{�| · ­ |�¤mÔ�¢~|�E G ­ ¦E¸ P �Å9`ZÆ.a bdcG°�­Tegfih ª�¬;´±ª7e jlk±°�ª�¬nm ÌpoÍÌ q�Ìpr ­Tcsj0ª7e�­GÌpe oUmDotfj!°urà |p¤ ¬ } ��� ­ ¯ ¤ }§¦ | Ò ­ E ­ � ¯ ° } Ô ­ ¿ } | À | } ¤ ­ Ð E } ù ­ |~� }*¦ |�{ G Ø \"{�ù }:G ¤ ¦ | } {�|z�����,¤ ­ ù½��·7{E|�E Ò ° } ¤ ­¤ ¬�­�» G ­ } | Ð à�¦ °AE ¦ |8¤ ¬~­ ¦ °��{���{7\�{�ù }:G ¤ ¦ | } {�|8�Y�G��¤ ­ ù �

Page 122: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Ä4vZv w ÷�Ø�ÙDãzä;Û��¥ð�Ü�����ã�Û³ù_xzy w ã���ù���ã)ù ú y[Ø���ã�y�� �>��äÕôix ã>÷Dä�ù¦Û�¡ÃwÄ�ÅOß�Å�à {ÂÑi|ÕÑ>à~}�Ô�Ñ æ�Ô�ÍUà�Ê�ã ÒÆÔÁä��!��n�t�"���(�L��#%'&H���"+���ì:�¹é�Q×í¥î<� �������ì �~ s�� 1î�ë ì é��B/: �+.-Gî�Q1ë ì�í¥î�4+.-Gî�Q1ë ì�í¥î é/���� T Á ��� �>� í¥îé�îfì î�î� s�.;:WL��íB�-�Q1ël�)W�éQX X�Uë��< �Þέ · ­ |�E~° ­ ¤�°�{�|~� ¸�¦ °�ù ���<�7í +¡�i�Üì:�,� "SUî� A���B�� ¿�¢ Øl£�¤T¥§¦�¨ ¿A© ¥ ÿ ¢tª � � ¿ ¥CØ�Ø ¿ Ä Ù �¬« Ø­ ¿�© ¥ ÿ ¢tª � � ¿ ¥CØ�Ø © ¨�® %°¯ ê ¨ ì ¿�±V²³9´>��µU�(!� #%'&H¶ � ¬ ¦+Ò ¤ ¬ {E¤ � } �F{ G � ¦Â¯�¦ |§[ ­s· · {�|�ES¤ ¬ {¥¤�¿ Þέ · ­ |�E~° ­ ¤�°�{�|~� ¸�¦ °�ù Ø Á ­ �¹¸ ���������� �"!$#%'&»º ¶�¬~­½ÞÓ­ · ­ |�E~° ­ ¤�°�{�|~� ¸�¦ °�ù ù8{I���¤ ¬~­ · } [ ­ | ¸ ¢�| ¯ ¤ }§¦ |~��¼ ¸ ¢~| ¯ ¤ }*¦ |�{ G ��{��¸�¦ZGHG§¦�Ò ��¿�¤ ¬~­ � ­ {E° ­�­ {�� }:G ��[ ­ ° } À�­ E Ø 9Ä � � ¿"½ Ø ­¿¾2À Á°À 0Á óõÂ� ¿�Ã Ø ­ÄÀ ÅTÀ 0Á ¾v � � ¿ � Ø ­ÇÆÁ È © � © Á óõÂ� ¿�¢ Ø ­ÉÆÁUÈ © ¢ © Á«�� 0 ¿ æÓÿ ½ Ø ­ ¾UÁ 0Á � � ¿ æ Ø;óõ ¿ Þέ°Ê � ¤�°�{�|~� � } |z[ Ø â ¿ æÓÿ Ã Ø ­ Å 0Á ¾ÌË � ¿ æ Ø� � 0 ¿ J ÿ�� Ø ­ ÈFÍ ÆÁ ¿ © � © Á � © ! J © Á Ø �Î* ¿ J Ø.Ï ¸ZÐ æ óõ ¿ ÞέBÊ � ¤�°�{E|~� � } | � Ø â ¿ J ÿ ¢ Ø ­ÈFÍ ÆÁ ¿ © ¢ © Á Ë © ! J © Á Ø Ë * ¿ J ØXÏ ¸�Ð æÃwÄ�ÅOß�ÅOß Ñ ÍUä�Ë�Ï;æ�Ò®à�Ë�ÍUà�Ê� ¢�I�I ¦ � ­ ¤ ¬~­ EV�G|~{�ù }*¯ � ¦E¸ {��Y���,¤ ­ ùc{�° ­ E ­ ¤ ­ °,ù } | ­ E¯Ô���¤ ¬~­ I~° } | ¯�} I G ­ ¦�¸ ù } | } ù8{ G { ¯ ¤ }*¦ |ÒF} ¤ ¬ { Þ { Ê °�{�| Ê } {�| ¸ ¢~| ¯ ¤ }*¦ |�¼ ¸ ¢�| ¯ ¤ }§¦ |�{ Gº¦ |�{ ¯�¦ | À�Ê ¢~°�{¥¤ }§¦ |���I�{ ¯ ­9P ·0 9 M Ptõ ð ²Ò�¬~­ |i{�Ó éÔ¹ì�/ ë;í¥î�ì é�î]+.-�î�Q1ë�ì�í¥î�4+.-�î�Q1ë ì�í¥î é/ ¸�¦ °�¤ ¬~­ ������¤ ­ ù } ��¤ ¬~­½ÞέBÊ�­ |�E~° ­ ¤�°�{�|�� ¸�¦ °,ù¿ } |¤ ¬~­ ¤×{E| Ê�­ |�¤��AI~{ ¯ ­ [E{�° } {%Ô G ­JØ ¦�¸ 0 â 9 M¡Õ Ptõ ð ²ÃwÄ�ÅOß�Å¹Ö Ç²Ò®Ë�Ê�ÊGÒ®àØ×�Ô�ÍÜÌ�ÙÕÑÎæ�ÊÞέ ¤ÛÚ Ô ­ {�[ ­ ¯ ¤ ¦ °��AI�{ ¯ ­ · Ò ¬ }*¯ ¬ Ò ­ ¯ { GHG ¤ ¬�­]�1ëOé�ë) ��)W�éQX � « ¦ ° ­.· {�ù�I G ­ ·º¤ ¬~­ ¯BG {���� }§¯ { Gù ­ ¯ ¬ {�| }§¯ ����¤×{E¤ ­ ��I�{ ¯ ­ ¸�¦ °�{� } | Ê G ­ I�{�°�¤ }*¯BG ­ } �9Ú ­ ðÝÜ�ñ ðÝÜ ·�{�|�E ¤ ¬�­5» G ­ } | Ð à�¦ °AE ¦ |�,¤�{E¤ ­ ��I�{ ¯ ­ } ��Ú ­ â Æ ¿ ð Ð Ø ñ50 Á ¿ ð Ð Ø �Ì� ¢�I�I ¦ � ­ * {�|�Esã {�° ­ E }ßÞ ­ ° ­ |£¤ } {%Ô G ­ ¸ ¢~| ¯ Ф }*¦ |~��¼ ¸ ¢~| ¯ ¤ }§¦ |�{ G � ¦ |àÚ � Ò�¬~­ |5{âá í¥ì:�X�Jí¥î]�B�,éQXã� 1ë ¦E¸ * {�|�E�ã } ��{ ¸ ¢~| ¯ ¤ }*¦ |Ó¿�{ G Ø · Í * ÿ ã Ï ·¦ |gÚ�·���{E¤ } � ¸ � } | Ê

Page 123: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

�Eð�ÜòñIÜèó�ô�äÜ����õ�ö?ù�Ûäx¯ù�� ã>÷Dä�ù¦Û�¡¼Ø�øZØQ÷mØ��²��ô¦ã)ù����SØ"��øÓ¡Uø¦ãzäÕ� Ä4v «Ä � ͧå ÿ å Ï } �¦Ô }:G§} | ­ {E°v � Í * ÿ ã Ï ­ � Í ã ÿ * Ï ¿��A^ ­ Ò Ð �Y��ù5ù ­ ¤�°�� Ø«�� Í4æ ÿ Í>ç ÿXè Ï�Ï Ë Í>ç ÿ Í è�ÿ æ Ï�Ï Ë Í è�ÿ Í4æ ÿ ç Ï�Ï ­ � ¿�é�{ ¯�¦ Ô }Î} E ­ |�¤ } ¤)� Ø �ê�!����´4ëì#%'&:%Äí'�< 2�� 1ë�í +�+.-�î�Q1ë�ì�í¥î é/��X�'îÜì ë"��ë"�< á í¥ì:�X�Jí¥î]�B�,éQXã� 1ë"�Z+#í>�sÔvé�Þ } ­Ýï G Ê�­Bð °�{<ñ��������� �"!$#%'&Hò ó ¸ Ú } �w{�| } |~| ­ °YôõI~° ¦ E~¢ ¯ ¤Ü�AI�{ ¯ ­ ·£¤ ¬�­ ¸�¦ZG:G*¦4öF} | Ê ¯'¦ |~��¤�°�¢ ¯ ¤ }*¦ |àI~° ¦ E~¢ ¯ ­ �{Â6 ¦�} ��� ¦ | ð °�{ ¯ ^ ­ ¤ 9÷ � ï ����¢�ù ­ ¤ ¬�­ ° ­ } �U{ G*} | ­ {�° ¦ I ­ °�{E¤ ¦ °�ø ¦ |]Ún�,¢ ¯ ¬ ¤ ¬ {E¤_ø Õ ­ � øg¿ ø } �U{ �s�>Ô�WL/: XQ1ë�ì¹Q¦ I ­ °�{E¤ ¦ ° Ø � Ò�¬�­ | Í * ÿXù Ï ­�ú T * ÿ ø T ù �} �F{½6 ¦�} �,� ¦ | ð °�{ ¯ ^ ­ ¤¹¿ ¯ ¬~­ ¯ ^¤ ¬ } � Ø �v � ¿�4�� Ø�ó ¸ Ú ­ìû Ü,ü û Ü ·~¤ ¬~­ |

ø ­ R � ý� ý � V ¿ ÷ Ù � � Ø} �F{Â�Y��ù�I G ­ ¯ ¤ }§¯�¦ I ­ °�{E¤ ¦ °�· Ê } [ } | Ê ¤ ¬~­ 6 ¦�} ��� ¦ | ð °�{ ¯ ^ ­ ¤Í * ÿ�ù Ï ­ !à��* å ! Å ù �è! Å * å !�� ù ²«�� ¿ »~þ¨ØFó ¸ Ú ­�ÿ Æ ¿ û Ð Ø ü 0�� ¿ û Ð Ø {�|�E ø } �F{�� } |^¿ ÷ Ù � � Ø ·�¤ ¬~­ 6 ¦�} ��� ¦ | ð °�{ ¯ ^ ­ ¤ } �

Í * ÿXù Ï ­ ú Í T ± * T�� ù�� T�� * T ± ù Ï ² ¿ ÷ Ù � Ù Ø��!��n�t�"���(�L��#%'&���� \"{Eù }HG ¤ ¦ | } {�|�Y���,¤ ­ ù ì:��é á í¥ì:�X�Jí¥î��)W�éQX ]��é�� XQ1ë�í>�u�)W�éQX Ú îÜì ë"�é á í¥ì:�X�Jí¥î �B�,éQXã� 1ë � ë�íA� 1ë��< s�âîÜì ë"�¶é Ó éÔ¹ì�/ ë;í¥î�ì é�î � "SUî� A�Sí¥î±ë���é�ë��)W�éQX ñ��������� �"!$#%'& � ¢~°�¤ öƦ ù5{ } | ­s· {�ù7I G ­ � ¦�¸ \�{�ù }:G ¤ ¦ | } {�|8�Y�G��¤ ­ ù5��{�° ­÷ � ¿�4�� Ø Ú ­ û Ü,ü û Ü öF} ¤ ¬Dð °�{ ¯ ^ ­ ¤"{��F{ ð ¦ [ ­ · {�|�E�\�{�ù }HG ¤ ¦ | } {E|� ¿� ÿ Ã Ø ­ ÷v�� © à © � Ë � ¿� Øv � ¿�� þ¨Ø Ú ­ìÿ Æ ¿ û Ð Ø ü 0�� ¿ û Ð Ø öF} ¤ ¬zð °�{ ¯ ^ ­ ¤"{���{ ð ¦ [ ­ {�|�Eg\"{�ù }:G ¤ ¦ | } {�|ÿ ¿�� ÿ ¢ Ø ­ ÷v ú Í © ¢ © � Ë © ! � © � Ë * ¿�� Ø.Ï

Page 124: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

÷ vE� w ÷����Dãzä����¥ð�������ã����_xzy w ã�� ����ã!�#"7y$����ã�y�� �>��äÕôix ã>÷Dä��%��¡ÃwÄ�ÅOß�Å�& Ñ ÍUä�Ë�Ï;æ�Ò®à('�ÊMÑ$)�*�Í�æ�Ë�Ò®à�Ê� ¢�I�I ¦ � ­ Ú } �Õ{9\"{�ù }:G ¤ ¦ | } {�|��Y�G��¤ ­ ù²·G{�|�E8{����,¢~ù ­ Ú } �Õ{ ¸ ¢�| ¯ ¤ }§¦ |½�AI�{ ¯ ­ ¦ [ ­ ° û Ð � Ò�¬~­¸ ¢~| ¯ ¤ }*¦ |�{ GU¦ |$Ú ö ¬ }*¯ ¬ ù8{�I~�(+-,. +�¿� Ø } � ¯ { G:G ­ Ez¤ ¬~­ s�¥é/ -~é�ë ì�í¥î�+.-Gî�Q1ë ì�í¥î é/ ¿ {E¤/ Ø ·ö ¬ }*¯ ¬ ö ­ E ­ | ¦ ¤ ­ ¿ öF} ¤ ¬ � ¦ ù ­ { ð ¢~� ­ ¦E¸ | ¦ ¤×{E¤ }§¦ | Ø {��0+�¿� Ø ���!��n�t�"���(�L��#%'&1 \"{�ù }:G ¤ ¦ | ³ � ­32 ¢�{E¤ }*¦ |~� é�X 4+�¿5 Ø ­ Í +�¿� Ø ÿ ÿ Ï ¿ ÷ Ù �76 Ø+#í>��é/�/ Uñ��������� �"!$#%'&(#�8 ó ¸ ¤ ¬~­:9 ¦�} �,� ¦ |5�,¤�°�¢ ¯ ¤�¢~° ­ } � Ê } [ ­ | ð �½{��Y�Gù7I G ­ ¯ ¤ }§¯F¦ I ­ °�{E¤ ¦ °_ø�·�¤ ¬~­ |

Í +�¿� Ø ÿ ÿ Ï ­ ú<;�= +¡ø ;>= ÿ ­ ú ï � ø ;�= ÿ ­ ø ;�= ÿ ¿� Øö ¬ }*¯ ¬ G ­ {E~��¤ ¦ \�{�ù }:G ¤ ¦ | ³ � ­32 ¢~{E¤ }*¦ | 4+ ­ ø ;�= ÿ ¿�+ Ø ² ¿ ÷ Ù �@? ØAg­�¬ {T[ ­ ¤ ¬~­ ¸�¦ZG:G*¦4öF} | Êpð {E� }§¯ ° ­ �,¢ G ¤�· ö ¬ ¦ � ­ I~° ¦G¦�¸>}*¸tG ­ ¸ ¤�{��F{�| ­s·G­ ° ¯�} � ­�BCED !§��´>!� #%'&�#�# F ñ ��W�é�ë�� +HG ì î Ú �Jí>/ � X�7�IF�J ñ�K � ì �

¸ML�¸�NY* ¿�+HG Ø ­ Í * ¿O+HG Ø ÿ ÿ Ï+#í>��é/�/+.-�î�Q1ë�ì�í¥î é/�� * ñ

P ñ ��+�0 ¿O� ÿRQ عé�îL� ÿ ¿�� ÿ ¢ Ø�é�� Û�� s/Aé�ë  A�D�B�Sé��i ¹� 1îL��X �ë(�,é�î��"+#í>�sÔ �Oì î QTS ¢ � �®ë"�< 1îë��< �U2-V/: s�.;¹�ºé���,é�î� p A@B-~é�ë ì�í¥î��l+#í>�C ¿O� ÿ 4� Ø ­ úWVX 0 ¿O� ÿ 4� Ø ¸YN

é�� � A@B-�ì��¥é/: 1î�ëÕë;í½ë��< Ó éÔ¹ì�/ ë;í¥î? A@B-�é�ë�ì�í¥î �IF�J ñ�K � ñ³9´>��µU�(!� #%'&(#V� 9 ° ¦ [ ­ ¤ ¬ } ��¤ ¬~­ ¦ ° ­ ù �

Page 125: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

�Eð��[Z>���\�0]_^!äUô�ô:` ø�ä�"àya�Dã�� ����øb��øc�`÷0������ô¦ã!�����d�"��ø�¡Üø¦ãzäÕ� ÷ v ÙAg­ [ ­ ° }A¸ �¼¤ ¬ } ��° ­ ��¢ G ¤ } |¤ ¬~­ � þ ¯ {�� ­ � A } ¤ ¬+ ­fe �¢hg{�I�{E¤ ¬ } | ÿ Æ ¿ û Ð Ø ü 0�� ¿ û Ð Ø · ­i2 ¢�{E¤ }§¦ |g¿ ÷ Ù �[? Ø } �e 4� 4¢ g ­ ø e �:j � Ë *�k ¿O� Ø¢ g{�|�E ö ­ } ù5ù ­ E } {E¤ ­ G �½° ­ ¯�¦ [ ­ °F¤ ¬~­ � G ­ } |Vô þ ¦ °�E ¦ | ­32 ¢�{E¤ }*¦ | �³9´>��µU�(!� #%'&(#V¶ � ¬ ¦�öû¸�¦ °�ù5{ G:G ��·�¤ ¬ {¥¤ öF} ¤ ¬ ¤ ¬�­/9 ¦�} �,� ¦ | ð °�{ ¯ ^ ­ ¤ Ê } [ ­ | } |g¿ ÷ Ù � Ù Ø ·

Í ¢U¿� Ø ÿ ��¿�l Ø.Ï ­ ï ¿5 � l Ø ² ¿ ÷ Ù �7m Øê�!����´4ëì#%'&�#�º#U�@B-�é�ë�ì�í¥î?�IF�J ñ�n � ��é�4�"ë���é�ëwë"�< 9 s�¥é/ -�é�ë�ì�í¥îu+.-�î�Q1ë�ì�í¥î é/��X� ¢ �Üé�îL� � �Ué�� ¯ {E| ¦ | }*¯ { Gܯ'¦G¦ °�E } |~{E¤ ­ ��ñTo �Q�é�î�Ô½é>ã� g�IF�J ñ�n � �1ìß��í>��í>-��]�B�¶ì î�ë(��íB�-�Q1ì î�>�t+#í>�Û�qp è/rX �ë��< 2+.-�î�Q1ë ì�í¥î é/�� �>¿ �ºØsB ¿O� ÿ ¢ Ø ,. ú � ÿ � �Öé�îL� ¢Õ¿ �ºØ�B ¿�� ÿ ¢ Ø ,. ú � ÿ ¢ � ñ í'�< Û� ìß��í>��í>-§�� s���1ì�í¥î^í +7�IF�J ñ�n � ì:�¨ë��< 1î Í ¢Õ¿ �ºØ ÿ �>¿ ��Ø.Ï ­pú � ÿ ��� ñt9`cuwv x y{zb|~}ucTc>��o }��c��yÛj��i�7e o y,o y q�ypr �Bc°j��7e��iy,e oUmDotfj�}ur\ ­ ° ­ ö ­ ö °��*¤ ­ ��� · ö ­ GHG ³�� ­i2 ¢��E¤�� ¦Y� � � � \:�Eù�� G ¤ ¦�� ��� �¸�¦ °,ù²·M� � �pI~° ­ G ¢�E ­ ¤ ¦ 2 ¢�� � ¤����i� � Ê��� �Ò�¬~­E� � · ö ­ G:G ­32 ¢��E¤R� ¦Y� � � � �p[�� ¯ ¢~¢�ù���° ­

� å�� ­�� � ü ç ­ ; � L ; N ¿ ÷ Ù �7� Ø� ü � ­ � ; ç L ; N � å4ç ­�� ¿ ÷ Ù � ÷ � ظ�¦ °l[ ­ ¯ ¤ ¦ ° À~­ G E � � B û ÜI� Æ . û Ü ¿�¤ ¬~­�­ G ­ ¯ ¤�°�� ¯ À�­ G E Ø � � E ç B û ÜI� Æ . û Ü ¿�¤ ¬�­ ù�� Ê � ­ ¤R� ¯À�­ G E Ø �Ò�¬~­z­i2 ¢��E¤�� ¦Y� � ¿ ÷ Ù � ÷ � Ø �*ù�I G �ݤ ¬~­ ­s· � � ¤ ­ �~¯ ­ ¦�¸ I ¦ ¤ ­ � ¤���� G �\  B û ÜI� Æ . û � � Eæ B û ÜI� Æ . û Ü/� ¢ ¯ ¬ ¤ ¬ �¥¤� ­ � ; æ L ; N � �   ç ­ � ü æ ²

Page 126: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

÷ v 6 w ÷����:¡�¢��¤£¥ð��¦¥I§(¡����_xzy w ¡a¥ �%§¨¡!�#"7y$��§(¡�y�©«ª�¥I¢Õôix¬¡>÷:¢��%��¡Ò�¬~­ ° ­ � � ��° ­ E~¢ � E�� �~¯ �b� � ¤ ¬�­ ¯ ¬ ¦ � ¯ ­ ¦�¸ æ ÿ   �2� I ­ ¯ � À ¯ � G:G ��·�� � � ��é-Z� �ë(�,é�î��"+#í>�.Ô½é�ë�ì�í¥î

æ ,. æ Ë �®­   ,.   � ; ­ L ; N¸�¯ ° ­°B û ÜI� Æ ,. û G ­ ��[ ­ � � � · ö ­ G:G ³7� ­32>± ��²R� ¯Y� � � � [���°���� � ² ��³ �´��I�I~° ¯ I~°�����² ­ ¯wµ�¯ ��¶i· ¯�¸ ­�¹ö ·�ù��T�_²w��^�·   £ � � å�æ ­º�¿��· æ � � ë(�,é�î��s� s�X�� �Ø ösµ ��¶ µ � � ¶i� G:G ·BE�² µ ·¼» í>-V/§í>Ô7�p��é-� �(½�¾ ¯ ù ��¯�ö#¯Y� ¹ ö · öH¯ ¾ ^�� �² µ � � Ê � ±�Ê · � Ò µ ± � ¹ ö · µ �T[Y· � ­ � ; æ L ; N ç ­ � ü æ� � E ± � � � Ê ² µ · � ·i¶ ¯Y� E�· 2�± ��²R� ¯Y�b¯�¸ ¿ ÷ Ù �7� Ø ¾ · � ± G ² � � �6 æ ­h� � å�æ ­h� ² ¿ ÷ Ù � ÷÷ ØA · ¾ ·i¶¿� G:GÀ¸ ¾ ¯ ùÂÁ µ ��IÀ²R· ¾ ÷÷ ¹ ² µ ��²�· 2�± ��²R� ¯Y� ¿ ÷ Ù � ÷Z÷ Ø � � ² µ · ��± G · ¾ ô Þ � Ê ¾ � � Ê ·!· 2�± ��²�� ¯Y�¸�¯ ¾ ² µ ·{��¶3²�� ¯Y� C ¿ æ Ø ­ ÷v úxú Í�à 4æ�à � � à � ü æ�à � Ï ¿ ÷ Ù � ÷ v Øösµ · ¾ ·Ä² µ ·u[�� ¾ ����²R� ¯Y� � � ��ù ¯�� Ê ² ¾ � � � [�· ¾ � ·Û[�·i¶ ² ¯ ¾ À · G E � �³9´>��µU�(!� #%'&(#V% � µ�¯�ö ² µ ��²%² µ ·9\:��ù®� G ² ¯Y� ��� � ¶ ¯ ¾�¾ · � I ¯Y� E�� � Ê ² ¯ ¿ ÷ Ù � ÷ v Ø � �ÿ ¿ æ ÿ � Ø ­ ÷v ú Í�ÃÅ�bà � Ë Ã � ü æ�à � Ï ­ ÷v ú Í�ÃÅ�´Ã � Ë Ã ç´Ã � Ïösµ · ¾ · � � � ² µ ·9E ± � G À · G Eb² ¯ æ ¹ � � E � å�� ­�� �Ò µ ·9I µ � � · � I���¶3· ¸�¯ ¾ ² µ � � \:��ù®� G ² ¯Y� ��� � � �

Ú ­�ÿ ÆdÆ GÈÇÊÉ Ð¿Ë ¿ û Ü>Ì û Ü ØÎÍ 0 � Æ GÈÇdÉ ÐÏË ¿ û Ü�Ì û Ü Ø ÿ� � ¯ ð ¯ZG ·s[ � I���¶i· ¯�¸ ² ¾ � � � [�· ¾ � ·Û[�·i¶ ² ¯ ¾ À · G E � �Þ ·3² M ð ·�² µ ·âI ¾ ¯ Úзi¶ ²R� ¯��´¯ IÑ· ¾ ��² ¯ ¾ ¯�¸ [Y·i¶ ² ¯ ¾ À · G E � ¯Y� ² ¯ ² ¾ � � � [Y· ¾ � ·9[Y·3¶3² ¯ ¾ À · G E � BM * £ * � ¿ j ØwÒ Æ � ¿ � å * Ø ²³9´>��µU�(!� #%'&(#Vò Á µ ·3¶X^b² µ ��² � å ¿ M * Ø ­�� �

Page 127: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

£Eð��[Ó>��"7y$��§(¡a¥ÕÔÖ�:¡a¥ �s§h�%ªó�ô$¢�¥I§�õ�ö{�%�¡x×�%§Ø�:§�x¦©\�0]_^¼¢Uô�ô_¢0"ày$�:¡a¥ �s§"ø ÷ v ?A ·9EÀ· À � ·Ä² µ · 9 ¯ � �Ð� ¯Y� ð ¾ ��¶X^�· ² ¯Y� Ú ð �Í * ÿXù Ï ­ © ;�Ù Æ Ú * ÿ ø V ;�Ù Æ Ú ù ª

ösµ · ¾ · ø V £ e � �OMM � g ²³9´>��µU�(!� #%'&(#�� Á µ ·i¶X^�² µ ��² � � · ö · GHG�Û � · 2>± ��²R� ¯Y� � � ¾ ·×· 2>± �H[�� G · � ²�² ¯ ² µ ·7\:�Eù�� G ² ¯��· 2�± �ܲR� ¯�� � 4� ­ ø V ; � ÿ ¿�� Ø � ­ ¿ æ ÿ � Ø ²A ·�ù��^�·�² öH¯ À � � G ¶ ¯ ù5ù®· � ² � �÷ ��Ý ¯ ²R·�² µ ��² ÍÜ�sÞ ¿� Ø ÿ æàß ¿�l Ø.Ï ­ M Þáß ¿� � l Ø

ösµ · ¾ · M ÞÅß ¿5 � l Ø � � ² µ ·�ù���² ¾ � · � � ²R· Ê ¾ � G ^�· ¾ � · Ga¯�¸ M � A · � ²R� G:G ¾ · ¸ · ¾ ² ¯ æ � � E �� � ¶i� ��¯Y� �¶¿� G [�� ¾ ��� ð G · � ¹�ðÀ± ² ö �² µ Q×í¥î��1ë(�,é�ì î�ë"� �v � Ò µ · À ¾ � ²¡\:�Eù�� G ² ¯�� · 2�± ��²�� ¯Y�4æ ­ M ; Ú ÿ ¿ æ ÿ � Ø ­ �OM � ­ � �� µ�¯�ö � ² µ �ܲ0² µ ·E¶ ¯Y� Ú ±�Ê �ܲR· À · G E � � � ¹ � �\¸ ��¶3² ¹ ² µ ·E· G ·i¶ ² ¾ �¶ À · G E ¹ � � ² µ · ��¯ ²R��²R� ¯Y�� ±�ÊZÊ · � ²R·°E�� � ² µ · À ¾ � ²äI G ��¶3· �t9`cuÕâ ã<��y,e�j��iä�yÛj��3��e �×å bdci}��Tegfihæ��ç�è��7e y,e�è x yÄzb|¬}ucTc}��c��yÛj��3��e oA ·é� ¾ · ��¯�ö ¾ ·¿��E��ê² ¯ ��²�²�·�ù7IÀ²b² ¯ 2�± � � ²R��i·¼² µ ·Ø� G ·i� � ô þ ¯ ¾ E ¯Y� ² µ · ¯ ¾ � � A · ð · Ê � �ö �² µ � G ·i� � ô þ ¯ ¾ E ¯Y� ² µ · ¯ ¾ �ë� � \:��ù®� G ² ¯Y� ��� �¼¸�¯ ¾ ù ¹ � � E I ¾ ¯ ¶3·i·BE ¹ � ���ß[Y· G �é��²(ì ¾ � ² ¹�ð �� � � G�¯ Ê � ö �² µ ² µ ·âI�� ��� � Ê · ¸ ¾ ¯Yí ¶ G � ��� ��¶¿� GÖí ·i¶ µ � � ��¶ � ² ¯ 2>± � � ² ± í¬í ·i¶ µ � � ��¶ �{î ösµ �¶ µ � �� ± í�í � ¾ ��i·°Ec� � ² µ ·�²R� ð G · îOï ��ð�ñ�ñ.� A ·�²w��^�· ¹ ¸�¯ ¾ �À¯4ö ¹

*�î � ñ ­ ÷v � � à � à �ö �² µ � � � �

Page 128: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

÷ v m w�ò ���:¡�¢��¤£Üó��¦¥I§(¡����_xzy w ¡a¥ �%§¨¡!�#"7y$��§(¡�y�©«ª�¥I¢�ôix¬¡ ò ¢��%�0õö�÷%ø�&:øÕö ùéú�ûü)�*�ý�þ!ÿ����Îý�ÿ����Hþ������Îût}Ä*���û� � E�· ¾ 2�± � � ²R��¿��²�� ¯Y� ¹ ² µ ·Ä¶ G � �Ð� ��¶i� G I µ � � · � I���¶i·

Ú ­ ÿ Æ î û Ü ñ ü� � î û Ü ñö �² µ ² µ · 9 ¯ � ��� ¯Y� ð ¾ ��¶X^�· ²�� ¾ � � � � Ê ¸ ¾ ¯Yí ² µ · ��� í I G ·i¶ ²R��¶ í ��² ¾ � · ø ¹>ð ·3¶ ¯Yí · � ² µ · 2�± � � ² ± í� ²R��²R· � I���¶i· � î ÿ Æ î û Ü ñ���� � ñî ���7·�� � î ¶ ¯Y� ì Ê � � I���¶i· ñ ö �² µ ¾ · � I ·i¶ ²�² ¯ �����η ð · � Ê�± · í ·¿� � ± ¾ ·�� ¯�� ¶ ¯�� ì ÊY± ¾ ��²R� ¯Y�� I���¶i· ñ ² ¯ Ê · ² µ · ¾ ö �² µ ² µ ·c¶ ¯Yí�í ± ²w��² ¯ ¾ Þ� K å � å N ¯�¸�¯ I · ¾ �ܲ ¯ ¾ � ¯Y� ² µ · � ²w�ܲR· � I���¶i·�� Ò µ ·¶ G � ��� ��¶i� G�¯ ð � · ¾ [�� ð G · � ¹ ¾ ·i� G ô¹[�� G ± ·°E ¸ ± � ¶ ²R� ¯�� � G � ¯Y� ² µ ·àI µ � � · � I���¶i· ¹tð ·i¶ ¯�í · 2�± � � ² ± í¯ ð � · ¾ [�� ð G · � ô � · G¸ ôI��E�� ¯ � � ² ¯ I · ¾ �ܲ ¯ ¾ � ¯Y� ² µ · � ²w�ܲR· � I���¶i· � î ÿ Æ ñ � ó � I�� ¾ ²R�¶ ± G � ¾ ¹ ² µ ·¶ G � ��� ��¶i� G ¶¿� ��¯Y� �¶¿� G [�� ¾ ��� ð G · � �! #" î ñ � � E ¢$ #" î ñð ·i¶ ¯�í ·�² µ · ¯ IÑ· ¾ ��² ¯ ¾ ��&%(' î ñ ­ í ± G ²)� ð � � î ñ ¢*%+' î ñ ­ �-,/. ; �1032�4¯Y� ² µ · � ²w��²�· � I���¶3· � î ÿ Æ ñ �Ò µ ·{¶ G � ��� �¶¿� G � þ E � � � í �¶ � � ¾ · Ê · � · ¾ ��²�·BE ð � ² µ ·9\:� í � G ² ¯Y� ��� �®¸ ± � ¶3²�� ¯Y� � Gÿ î � � ¢ ñ ­ ÷v 5 Í�à ¢ à � Ë Ã � � à � Ë � � à � à � Ïösµ �¶ µ ¹�± ��6 · ¾ 2�± � � ²����i��²R� ¯Y� ¹�ð ·i¶ ¯Yí · � ² µ ·87M¶ µ ¾:9¯;6 � � Ê · ¾ ¯=< · ¾ ��² ¯ ¾ÿ ­ ÿ î � %+' � ¢ %+' ñ¯Y� � ²R��²R· � < ��¶i·��³ · ¸�¯ ¾ · < ¾ ¯ ¶i·3· 6 � � Ê ² ¯>6 � � ¶ ± ��� ² µ · < ¾ ¯ ð�? · í � ö � ² µ ² µ � � � ���H[Y·/� <�< ¾ ¯ ��¶ µ ¹ ö · ¾ · í � ¾ ^² µ ��²�² µ · � ²R��²R· � < ��¶3· � î ÿ Æ ñ � � � � < ��¶i· ¯�¸�¸ ± � ¶3²�� ¯Y� � ? � ¯�� � � � � ì � �²�·sô 6 � í · � � � ¯Y� � ? � < ��¶i·¯�¸Ñ¸ ± � ¶3²�� ¯Y� � ¹ � ��6 ² µ · 2>± � � ² ± í ¯ ð � · ¾ [�� ð�? · � ¶i� � ð ·�² µ�¯ ±�Ê µ ² ¯�¸ � � � � ì � � ²R·.ô 6 � í · � � � ¯Y� � ?< � · ± 6�¯ ô 6 � Þ · ¾ · � ²���� ? ¯=< · ¾ ��² ¯ ¾ � �@ � Ê µ ²�� ö � � ¹ ¯ ± ¾ � <�< ¾ ¯ ��¶ µ´µ � �s� · ¾ � ¯ ± � < ¾ ¯ ðA? · í � �³Û´4��µCB#DFE G!HäÒ µ · ¾ ·E� � ¹ � �b¸ ��¶ ² ¹ ��¯ �η ð · � ÊY± · î ² ¾ � � � ? ��²�� ¯Y� � � [�� ¾ ��� � ² ¹ � � Ê í �>ô�ì � � ²R· ñí ·¿� � ± ¾ · ¯Y� � � ì � � ²R·sô 6 � í · � � � ¯�� � ? � < ��¶i· � � A ·Ä� ¾ · ¸�¯ ¾ ¶3· 6 ² ¯ ¾ · � ¯ ¾ ²%² ¯(í ·¿� � ± ¾ · � ^ �À¯4ös�² ¯ · · � � ² ¯Y� � ± ¶ µ � < ��¶i· � B�þ � ± �Ð� ��� �bí ·i� � ± ¾ · � �

Page 129: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

£�ó��[Ó>��"7y$��§(¡a¥ÕÔÖ�:¡a¥ �s§h�%ªJIÄô$¢�¥I§-KML{�%�¡x×�%§Ø�:§�x¦©\�0]_^¼¢�ôaô_¢0"ày$�:¡a¥ �s§ON ÷ v �P �L´4´1DFQ�4�"� �RG!H/A · ¾ · < ? ��¶i· � � ö � ² µ ¸TS*U�î � ñ ¹ ² µ · þ � ± ��� ��� �¼í ·¿� � ± ¾ · ¯�¸Hí ·¿� � �� ��6 ¶ ¯ [�� ¾ ��� � ¶3· ¯;< · ¾ �ܲ ¯ ¾ è � Ò µ · ¯;< · ¾ ��² ¯ ¾ è ��¶ ² � ¯Y� � î û Ü ñ �� � · ö � � ² ¯V6 · � ¶ ¾ � ð · ¸TS*U � � ² µ ¾ ¯ ±�Ê µ ì � �²R·.ô 6 � í · � � � ¯Y� � ? � <�< ¾ ¯ · � í �ܲR� ¯�� � ¯�¸ ² µ ·¸ ± � ¶ ²R� ¯Y� � < ��¶3·=�W7 ± <�< ¯ � · å�å�å�XZY Ð XZY Ð � Æ X�å�å�å� � � � · 2�± · � ¶i· ¯�¸ ì � � ²R·.ô 6 � í · � � � ¯Y� � ? � ±�ð � < ��¶3· � ¯�¸ ÿ Æ ¹ ösµ�¯ � · ? � í �²H� � ÿ Æ � Ò µ · �¸TS à [:\ î � ñ ­^] Ð î 6 ·3² è Ð ñ Ò Æ�_ �a` Òb � Æ Udc=e\ �1f _ � � �ösµ · ¾ · � �ê� � ² µ · ± � ± � ? �η ð · � ÊY± · í ·i� � ± ¾ · ¯�� �¼ì � �²�·sô 6 � í · � � � ¯Y� � ? � < ��¶i· ¹ è Ð � � è¾ · � ² ¾ ��¶ ²R· 6 ² ¯ Y Ð ¹ � ��6 ] Ð � � � ��¯ ¾ í � ? ���i��²R� ¯Y� ¶ ¯Y� � ²R� � ²�¶ µ�¯ � · � � ± ¶ µ ² µ ��²5

[ \ ¸TS*U�î � ñ à [ \ ­ ÷ ²A ·Ä� � ² ¾ ¯F6 ± ¶3·Ä² µ ·hg �°W g Q�i g�j ��k=lnm g ¯�¸ � ¸ ± � ¶3²R� ¯Y� � ? Y ö �² µ ¾ · � < ·3¶3²�² ¯ ¸TS*U� î Y ñ £ 5 Y î � ñ ¸TS*U�î � ñs²

Ò µ ·Ä²R· ¾ í � ��¯ ? ¯ Ê � � í ·¿� � � �®� �A6 �Õ¶ ¯:o � ¾ ��� � ¶i· è �׶ ¯ ¾Ð¾ · � <ѯ���6 � ² ¯ ² µ · < ¾ ¯;< · ¾ ²���· �� î � î ñ�ñ ­º�� ��6 � î � î ñ � î l ñÐñ ­ è î � l ñösµ · ¾ · è î � l ñ � � ² µ ·Ä� � ²�· Ê ¾ � ?qp · ¾ � · ? ¯�¸ è � ½ ¯ ¾ ² µ ·{� ? ·i� � ô þ ¯ ¾ 6À¯Y� ² µ · ¯ ¾ � ¹ ö ·{²R� p ·

è ­ ÷v î �:j Ë � � ñ Ò Æ�_ �î ¾ ·i¶i� ?(? �:j Ë � � � � ¹ � ¯ ² µ � � í � p · ��� · � � · ñ � Ò ¯ Ê · ²�� � � 6 ·¿� ¯�¸ ² µ · ¯ ¾ � Ê � �E¯�¸ ² µ � � ¶ µ�¯ ��¶i· ¹��¯ ²�·�² µ ��²%² µ ·Ä¶ ? � ��� ��¶¿� ? � ? ·i� � ô þ ¯ ¾ 6�¯Y�Jr � í � ? ² ¯Y� ��� � � �ÿ î � � ¢ ñ ­ ÷v 5 Í ¢ � Ë Ã � � à � Ë � � à � à � Ï

­ ÷v 5 Í ¢ � Ë � î �:j Ë � � ñ � Ï ­ ÷v 5 Í ¢ � Ë Ã î �:j Ë � � ñ Æ�_ � � à � Ï î ÷ ï � ÷ «�ñ­ ÷v 5 Í ¢ � Ë Ã ÷v è Ò Æ � à � Ï ²

Page 130: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

÷ « � w�ò ���:¡�¢��¤£Üó��¦¥I§(¡����_xzy w ¡a¥ �%§¨¡!�#"7y$��§(¡�y�©«ª�¥I¢�ôix¬¡ ò ¢��%�0õ³ ± ² ö ·E� ¾ · ��¯ ² ¯ ± ² ¯�¸ ² µ · ö!¯>¯s6 ��� ·3²)�³Û´4��µCB#DFE �$H_ó ²%² ± ¾ � � ¯ ± ²s² µ ��² S*U�î ÿ Æ î û Ü ñ�ñ ­�� ²Ò ¯ � ·i·�² µ �ܲ�² µ · ¾ ·Ä� � � < ¾ ¯ ð�? · í ¹ ö ·Ä¶ ¯Yít< ± ²�· ¸�¯ ¾ í � ?(? �

� î 5 à � � à � ñ ­ 5u5wv î � l ñ � 2 �yx � î � î ñ � î l ñÐñ ¸ Ü ¸ Ü l­ 5z5 v î � l ñ � 2 �{x è î � l ñ ¸ Ü ¸ Ü l ²ó ¸ è ­^| î �-, � 2 ñ ² µ · � è î � l ñ ­~}| î � l ñ � �A6 � ¯

� î 5 à � � à � ñ ­ î j }| ñ î � ñs²½ ¯ ¾ è ­ î �:j Ë � � ñ Ò Æ�_ � ¹ ö · µ � o ·}| î ñ ­ î�v ¢ ñ Ò Ü _ � 5 ` Þ Å�� 2 î à à à � Ë � � ñ Ò Æ�_ � ¸ Ü Ã

­�|��1� ¤ N ² Ã Ã Ò � Ë � î Ã Ã Ò � ñ � � à à . � ²Ò µ ± � � î È�à � � à � ñ ­�� ¹ � �A6 ��¶i��²R� � Ê ² µ ��² S*U�î ÿ Æ î û Ü ñ�ñ ­º� �Ò µ � � � ¾ ÊY± í · � ² � ±�ÊZÊ · � ² � ² µ �ܲ }| î ñ í ± � ² ð ·t��� i g��=� k=i g�jÄ��² ? ·¿� � ² ¸ � ÷ ­ v ²R� í · � � �¯ ¾ 6 · ¾ ² ¯ ¾ · í®¯1o ·�² µ · � � � ÊY±�? � ¾ � ² � �ܲ% ­º� � A ·Ä· · < ·i¶3² ¹ ² µ · � ¹ ² µ ��² � î È�à � Ò Ë � à � ñ úZ�¸�¯ ¾ ¤Û� î�¸ � ÷ ñ LZv ­ ÷ ¹ � ��6S*U�î ÿ Ò Ë î û�� ñ�ñ ­~� � �9ú î#� � ÷ ñ L;�÷ ��� î#� � ÷ ñ L;�r · ¾ · ÿ Ë î û � ñ � � ² µ ·87 ¯ ð ¯ ? · o � < ��¶i· ¯�¸�¯ ¾ 6 · ¾ � Bÿ Ë î û�� ñ�� Í��æà î ÷s�°j ñ Ë _ � � p � Ïî �À¯ ²R· ÿ Ë�� X ÿ Ë X � X ÿ Ò Ë X ÿ Ò Ë�� ¹ � k �Z���ê� ñ �� ·i¶ ² ¯ ¾ � � � ² µ · � < ��¶i· � î ÿ Ò Ë � �TS*U ñ � ¾ · ¸ ± � ¶ ²R� ¯Y� � ? � Y î � ñ ¯Y� ÿ Ò Ë � ± ¶ µ ² µ ��²5 Ã�Y î � ñ à � ��S$U�î � ñ úZ�^�

Page 131: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

£�ó��[Ó>��"t�$��§(¡a¥ÕÔÖ�:¡a¥ �s§h�%ªJIÄô$¢�¥I§-KML{�%�-�×�%§Ø�:§O�¦©\�0]_^¼¢�ôaô_¢0"y�$�:¡a¥ �s§ON ÷: �÷Ò µ · í®¯ � ² ð � � �¶ ·�¡À� ít< ? · ¯�¸ � ± ¶ µ � ¸ ± � ¶3²�� ¯Y� � ? � � � � ¸�¯ ?(? ¯�ö � � ½ �¢¡ � p ÿ Ë � Ò µ · � ² µ ·í � < � p ÿ Ò Ë ,. 5 � �J£ � î � ñ £ � î � ñ� � � ? � � ·i� ¾ ¸ ± � ¶ ²R� ¯Y� � ? ¯�� ÿ Ò Ë ösµ ��¶ µ � � � � � î ÿ Ò Ë � �TS*U ñ � A ·Ä¶ ¯�í>< ± ²R· ¸�¯ ¾ í � ?¤? �

� î à 5 � � à � ñ�� 5w5 � î ñ � î l ñ � î � î ñ � î l ñ�ñC� ú � � è � � ú¥�^�� ¯ ¾ · Ê · � · ¾ � ?¤? � ¹;? · ²$¦ î�NM§ � �¨�¨� � N Ð ñ ð ·�� <ѯ ? � ��¯Yí ��� ? � � NM§ � �¨�¨� � N Ð � ��6 ìA¡ � § � �¨�¨� � � Ð p ÿ Ë �Ò µ · � ² µ · ¸ ± � ¶3²�� ¯Y� � ? Y B � p ÿ Ò Ë ,.©¦ î � î � § ñ�� �¨�)� � � î � Ð ñÐñ� � � � · ? · í · � ² ¯�¸ � î ÿ Ò Ë � �TS*U ñ �Ò ¯ � ± í�í � ¾ ��i·:² µ · � ¹ ö · µ � o · í � 6 ·�² µ · ¸�¯ ?¤? ¯�ö � � Ê ¶ ¯ ¾Ð¾ ·3¶3²R� ¯Y� BP8ª&«1« DFQ=¬1­ ªd®V¯ H ¾ · < ? ��¶3· � î ÿ § î û Ü ñ���� � ñ ð �{ � î ÿ Ò Ë î û Ü ñ�� �TS*U ñ ösµ · ¾ · è � î �0j Ë� � ñ Ò § _ � � ��6 ��� î�� � ÷ ñ L;� �� �À¸�¯ ¾ ² ± � ��²R· ? � ¹ ² µ ·�ì ¾ � ²�¶ ¯ ¾�¾ ·3¶3²�� ¯Y�bµ � � Ê · � · ¾ ��²R· 6 � ¸ ± ¾ ² µ · ¾ < ¾ ¯ ðA? · í B �°, ; � � � ��¯ ²�±� í®í · ² ¾ ��¶ ¯Y� � î ÿ Ò Ë � �TS*U ñ � ó � ¸ ��¶ ² ¹ ö · µ � o ·\² µ · ¸�¯ ?¤? ¯�ö � � Ê � � ²R· Ê ¾ ��²�� ¯Y� ð � < � ¾ ² �¸�¯ ¾ í ±�? � 5 ²Y î �-, ; � ù ñ �TS*U�î � ñ�� 5 î �-, ; � Y ñ ù ��S$U�î � ñ Ë , 5 ²Y ù ; � �TS*U�î � ñ� 5 î �°, ; � Ë ,õè Ò § � ñ Y ù �TS*U�î � ñ

ösµ · ¾ · ö · µ � o · ± � · 6 ; � �TS*U�î � ñ�� �¡è Ò § � �TS*U�î � ñ �Ò ¯ � ·i·�² µ � � ¹ ² µ � � p ¸�¯ ¾ í � ?¤? � � ð ¯ ± ²%² µ · þ � ± �Ð� ��� �bí ·i� � ± ¾ ·{� � ð ·3� � Ê�TS*U�î � ñ�� ¶ ¯�� � ² ` Òb � Æ U c=e �:f _ � � � �Ò µ ± � ö · µ � o · î �-, ; � ñ Õ � �°, ; � Ë ,õè Ò § �ösµ �¶ µ ? ·¿� 6 � ± � ² ¯ ² µ · ¸�¯ ?(? ¯�ö � � Ê ¶ ¯ ¾�¾ ·i¶ ²R� ¯�� �P8ª&«1« DFQ=¬1­ ªd® GT³$H �°,�. ; � ,.µ´�£ �°,�. ; �°¶ .� ,¹è Ò § � �Ý ¯ ²R· ��¯�ö ² µ ��²·´ Õ � ´ ¹ � � 6 · � � ¾ · 6 �

Page 132: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

÷:  � ¸�ò ���:¡�¢��¤£Üó��¦¥I§(¡����·�¹� ¸ ¡a¥ �%§¨¡!�#"t�$��§(¡O��©«ª�¥I¢�ôº�¬¡ ò ¢��%�0õ» «�ª!¼ B#DFE GF½$¾#GM ¿ · ¾ � o · ¸�¯ ¾ í � ?(? � ² µ ·Ä¶ ¯Yí®í ± ²R��²R� ¯Y� ¾ · ? �ܲR� ¯�� �,.ÁÀ ´ î ñ�� � î l ñ/Â� v î � l ñ î ÷ ï � ÷ ð�ñ,. À ´ î ña� ´ î l ñ/Â� ,. À � î ñ�� � î l ñ/Â!� �A�A · µ � o ·�� í>< ¾ ¯:o · 6 ¯ ± ¾ � � ² ± ��²�� ¯Y� �H� ¯Yí · ösµ ��² ¹Vð�± ²%� � · ¾ � ¯ ± � < ¾ ¯ ð�? · í � ²R� ?(? ¾ · í ��� � � B» «1ª!¼ B#DFE Ã$H ÿ î � � ´ ñÄ� � �7 < ·i¶i� ì�¶¿� ?(? � ¹ ö · ö � ?(? < ¾ ¯:o ·�² µ · ¸�¯ ?(? ¯�ö � ��Å � ð �² ? ��²R· ¾ B» «�ª!Æ�ª&Ç ­�¬1­ ªd® GF½*¾#G>1

÷� 5ZÈ ´ � ¶ à � � à � ¶ � � � �)É � �^�Ý ¯ ²R· ¹ µ�¯�ö · o · ¾ ¹ ² µ ��²{�Ø� ��6 ´W� ¾ · ¯;< · ¾ �ܲ ¯ ¾ ô o � ?�± · 6�6 � � ² ¾ � ðÀ± ²R� ¯Y� �(î p ÿ Ò Ë ñ ¹ � ��6 ² µ · ¾ ·� � �À¯ ¾ ·¿� � ¯Y� ² ¯ ·�¡ < ·3¶3²�² µ � � ·�¡ < ¾ · ��� � ¯Y� ² ¯ ð ·Äì � �²�·=�P8ª&«1« DFQ=¬1­ ªd® Ã$HàA ·Ê� A �¶ p ¯ ¾ 6 · ¾ � ÿÿ î � #" � ´ �" ñ ,. B ÿ î � � ´ ñ BA · ö � ?(? <ѯ � ² < ¯Y� ·�² µ · 6 · � ¶ ¾ � < ²R� ¯Y�b¯�¸ ² µ � � < ¾ ¯ ¶3· 6 ± ¾ · ¸�¯ ¾ � ? � ²�² ? · ösµ � ? ·���η3² ± � ��¯�öË< � ± � ·c� ��6 � ± í®í � ¾ ���3· ¯ ± ¾ ¶ ¯ ¾�¾ ·3¶3²�· 6 2�± � � ²R��¿��²�� ¯Y�Ì< ¾ ¯ ¶i· 6 ± ¾ · � � ² µ ·²w� ð�? · ð · ? ¯4ö � � þ Á ½ÎÍ � þ�Ï ½CÍ� ²w��²�· � < ��¶3· ÿ § î û�Ð ñ Í � î û�Ð ñ � î ÿ Ò Ë î û�Ð ñ�� �TS*U ñ ¹ �8� ÷

¶i� ��¯Y� �¶¿� ? � �" î ñ � î ñ�� í ±�? ² ð � � î ño � ¾ ��� ð�? · � ´ �" î ñ ´ î ñ�� �-,/. ; �1032�4 ¶ Þ ��$Ñ Ò § � î ñ¯ ð � · ¾ o � ðA? · � Y î � �" � ´ �" ñ B ÿ § üÒ � . û � · ? ¸ ôI� 6 � ¯ � � ² ¯=< · ¾ ��² ¯ ¾ �B Y î � � ´ ñ B ¯Y� � î ÿ Ò Ë � �TS*U ñ6 � � � í ��¶ � r � í � ? ² ¯Y� ��� � ÿ î � �" � ´ �" ñ 7M¶ µ ¾¨9¯;6 � ��Å · ¾ ¯;< · ¾ ��² ¯ ¾ ÿ � B ÿ î � � ´ ñ B9 ¯ � ��� ¯�� ð ¾ ��¶ p · ² � Þ� î ¶ ¯Yí®í ± ²w�ܲ ¯ ¾RñÈ ´ �" î ñ�� � �" î l ñ É � v î � l ñ Þ� À ´ î ñ�� � î l ñ/Â!� v î � l ñ

Page 133: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

£�ó��[Ó>��"t�$��§(¡a¥ÕÔÖ�:¡a¥ �s§h�%ªJIÄô$¢�¥I§-KML{�%�-�×�%§Ø�:§O�¦©\�0]_^¼¢�ôaô_¢0"y�$�:¡a¥ �s§ON ÷: ; ³ · ¸�¯ ¾ · í®¯1o � ��Å(¯Y� ¹ ö · í � p ·Ä� ¾ · í � ¾ p � ð ¯ ± ² í �ܲ µ · í ��²���¶i� ? ¾ � Å�¯ ¾ ��7�² ¾ �¶3² ? ��� < ·¿� p ô� �AÅ ¹ �W� ��6 ´T� ¾ · ¯;< · ¾ ��² ¯ ¾ ô o � ?± · 6Ì6 � � ² ¾ � ð�± ²�� ¯Y� � � Í µ�¯ ± Å�µ � î ñ ¹ ¸�¯ ¾ ·a¡�� í>< ? · ¹ � � ��¯ ²ö · ?(? ô 6 · ì � · 6 ¹ � î � ñ î ¸�¯ ¾ �b²�· � ² ¸ ± � ¶3²R� ¯Y� � p ÿ Ë ñ � � ö · ?(? ô 6 · ì � · 6 � A ·®² µ � � p ¸�¯ ¾ í � ?¤? �

¯�¸ � î � ñ � ��Ó � î ñ � î ñ � º� ó �Ô< � ¾ ²R��¶ ±�? � ¾ ¹ ² µ ·/¶ ¯ ¾�¾ ·i¶ ²0·a¡ < ¾ · ��� � ¯Y��¸�¯ ¾ ² µ ·Ä¶ ¯Yí®í ± ²R��²R� ¯Y�¾ · ? ��²�� ¯Y� î ÷ ï � ÷ ð�ñ � � ,. À ´ î � ña� � î�Õ ñ/Â!� ú � � Õ �^�CED D ª!« DFE GF½$¾ ¯ 8�ÖØ× � k=l�l � p ÿ ËMÙ � î � ñ k �&jÚ´ î � ñ k �MgÌÛ:g l ÜaÝ�k j±Þ × ��� iÊ×�ß g�� k=ià× �MÛ × � � î ÿ Ò Ë � �TS*U ñ ñA · ¯�í � ²à² µ · < ¾ ¯M¯�¸ �ö�÷%ø�&:øâá ãä��û$ý�ÿ�/�Hþ ý�þ�åfý�þ�þæ�Õúæ��çÕý�ÿ����Hþ��W�Eûº��ý�ÿA�Á��ÊèJDTé ® ­�¬:­ ª&® GF½$¾ ¯ G í$ê g%� �À� � µ � ? ��²�� ¯Y�ׯ;< · ¾ ��² ¯ ¾�ë î � ñ Ù k �&j i�ê g%¶ ¾ ·i��²R� ¯Y� ¯;< · ¾ ��² ¯ ¾�ë�ì î � ñk �MgíjFg�î��qg�jðï)ñë î � ñ�� ÷� � î Ñ Ò § _ � � ñ ¶ , ´ î Ñ § _ � � ñ î ÷ ï � ÷ ï ñë ì î � ñ�� ÷� � î Ñ Ò § _ � � ñ �ò, ´ î Ñ § _ � � ñ � î ÷ ï � ÷ 6�ñ» «�ª!¼ B#DFE GF½$¾ ¯&¯ � � ²R� ð�? � � µ ² µ ·{¶ ¯Yí®í ± ²w�ܲR� ¯�� ¾ · ? ��²R� ¯Y� �À ë î � ña��ë ì î�Õ ñàÂ&� . ú � � Õ �À ë î � ñ���ë î�Õ ñàÂ!� À ë ì î � ña��ë ì î�Õ ñàÂ!� �

¸�¯ ¾ � � Õ p ÿ Ë �A · ��¯�ö ì ��6 ² µ ·Ä·�¡ < ¾ · ��� � ¯Y�b¸�¯ ¾ ² µ · r � í � ? ² ¯Y� ��� ��¯=< · ¾ ��² ¯ ¾ÿ î � � ´ ñ�� ÷� 5óÈ ´ � ¶ à � � à � ¶ � � � � É

� � ²�· ¾ í � ¯�¸ ² µ ·Ä¶ ¾ ·¿�ܲR� ¯�� � ��6 � ��� � µ � ? �ܲR� ¯��_¯;< · ¾ ��² ¯ ¾ � � ï � � � î ÷ ï � ÷:  ñ ¹ ö ·/¶i� ��ö ¾ �²�·ÿ î � � ´ ñÎ� ÷� 5 È ´ � ¶ î ÷� Ñ Ò § � ñ � É � ÷� 5 È À ,� Ñ Ò § _ � î ë ì � ë>ñ/ � ¶ À ÷� Ñ Ò § _ � î ë ì ¶ ë>ñà � É� ÷ð 5 È Ñ Ò § _ � ë ì Ñ Ò § _ � ë ¶ Ñ Ò § _ � ë Ñ Ò § _ � ë ì É � ÷� 5 ë ì Ñ Ò § ë ¶ .ð 5 î Ñ Ò § v ñ î � ñ �

Page 134: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

÷:  ð ¸�ò ���:¡�¢��¤£Üó��¦¥I§(¡����·�¹� ¸ ¡a¥ �%§¨¡!�#"t�$��§(¡O��©«ª�¥I¢�ôº�¬¡ ò ¢��%�0õösµ · ¾ · ö · µ � o · ± � · 6 ² µ ·:¶ ¯Yí®í ± ²R��²R� ¯Y� ¾ · ? �ܲR� ¯���¸�¯ ¾Wë � �A6 ë ì ¹ � ��6 ² µ · � · ? ¸ ôd� 6 � ¯ � � ² � · ���¯�¸ Ñ � Í µ ·(ì ¾ � ²�²R· ¾ í � � ��¯Y� ô � · Å ��²R� o · ¹ � ��6 ² µ · � ·i¶ ¯Y��6 � � � � ì � � ²R· ¹ ösµ ��¶ µ · � ²w� ðA? � � µ · � ¹¸�¯ ¾ í � ?¤? � ¹ < ¾ ¯;< ¯ � � ²R� ¯�� ÷ ï � ÷ � �A ·(¶i� �¼í � p · ² µ � � � ¾ Å ± í · � ² ¾ � ÅY¯ ¾ ¯ ± � � � ¸�¯ ?(? ¯4ö � � ½ � ¾ � ² ¹ ö · í®¯:o · ² ¯bí®¯Yí · � ² ± í� < ��¶i· o ���´² µ · ½ ¯ ± ¾ ��· ¾ ² ¾ � � � ¸�¯ ¾ í B ë î ñ ,. ôë î�õ ñ ¹ ë ì î ñ ,. ôë ì î�õ ñ � A · ö � � µ ² ¯ � µ�¯�ö² µ ��² Ó{ö î�õ ñ ôë î�õ ñ ôë ì î�õ ñ �Fõ � � ¹ ösµ · ¾ · ö î�õ ñ�� î à õ à � ¶ � � ñ § _ � î ² µ ·yj=�(Û ß g��MÛ�� × � l¢kî ñ ���η3²û Ð ��÷Äø=ù�úFû�ü ø î � 6 � � � ¯ � � ² ± � � ¯�� ñ ¹ ë ø � Ó1ýFþ ôë ¹ � ��6 ö ø � í � �Aÿ ù ýFþ ö î�õ ñ � Í µ · �À ë ø ��ë ì� Âd� î oY¯ ? ü ñ v ø Æ �� ¯ ² µ ��² 5 ö ôë ôë ì�� oY¯ ? ü��ø=ù�ú�û ö ø ë ø ë ìø �� � ² µ · ¯ ² µ · ¾ µ � �A6 ¹� ö ø ë ø ë ìø ��� ö ø ë ìø ë ø ¶ oY¯ ? ü�� ö ø � �^�ö�÷%ø�&:ø�� ���w�Á�å�ûº�!�Õþ �A · �À¯�� 6 · � ¶ ¾ ���Ñ·(² µ · < ¾ ¯ ¶i· ��� ¯�¸ oJ����� × �±jFg��a���F� ¯ ¾ oJ������� mAk � i ��� k=i � × � í · � ²�� ¯Y� · 6 � �� � ·¿� ¾ ? �· ¾ � ·i¶3²�� ¯Y� ��η3²�� î�� �" � ´ �" ñ �Ñ·{�(¶ ? � ��� ��¶i� ? ¯ � � · ¾ o ��� ? ·��� � A ·Ä·�¡ < ¾ · ��� � î�� �" � ´ �" ñ � � ²R· ¾ í � ¯�¸�� � ��6 � ì ¹ �sµ · ¾ ·

� � �� Ñ Ò § _"! � �" ¶ , Ñ § _"! ´* �"� �A6 � ì � �� Ñ Ò § _"! � �"$# , Ñ § _"! ´ �"² ¯®¯ �À²w��� � � î�� �" � ´ �" ñ���ü î � � � ì ñ �� �&% � ² µ ·�·�¡ < ¾ · �Ð� � ¯��q¸�¯ ¾hü ¹ í®¯:o ·�� ?¤? � ì Û � ² ¯ ² µ · ? · ¸ ² ¯�¸ ² µ · ��Û � ¹ ² ¯ë¯ �M²w��� � � �·a¡ < ¾ · �Ð� � ¯Y��¯�¸ ² µ · ¸�¯ ¾ í ü î � � � ì ñ����' Æ (5 ü ' Æ ( î � ì ñ

'� ( �

Page 135: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

£�ó��[Ó>��"t�*)�§(¡a¥ÕÔ+):¡a¥ �s§h�%ªJIÄô$¢�¥I§-KML{�%�-�×�%§,):§O�¦©�)0]_^¼¢�ôaô_¢0"y�*):¡a¥ �s§ON-�:  ï  � Ý ¯��.� · 2�± � � ²R��i·�² µ · ¯ � � · ¾ o �/� ? ·0� � � ¸�¯ ?(? ¯1� � B� î�� #" � ´ �" ñ ,. B � î�� � ´ ñ B £ � ' Æ (

5 ü ' Æ ( î ë ì ñ ' ë ( �Í µ � � � � ² µ · A �¶ p ¯ ¾ 6 · ¾ · 6´¯ � � · ¾ o �/� ? ·=�r · ¾ ·/� ¾ · � ¯Yí ·Ä·a¡�� í>< ? · � ¯�¸ A ��¶ p ¯ ¾ 6 · ¾ � ��Å B243*³�E Æ B�DÚGF½$¾ ¯ Ã

� � B � ! B � B À Ñ § _"! î ë ¶ ë ì ñ/ ! B� B î Ñ § _"! ë>ñ ! ¶ î Ñ § _"! ë ì ñ ! ¶ Ñ § _"! ë ì Ñ § _"! ë ¶ Ñ § _"! ë Ñ § _"! ë ì� î Ñ § _"! ë>ñ ! ¶ î Ñ § _"! ë ì ñ ! ¶ � Ñ § _"! ë ì Ñ § _"! ë �� �&5 � � · ¸�¯ ¾ · ¹ 6 � �� B 5 È ´ ! ¶ à � � à ! ¶87 ! � ! É B � �� 5 ë ì Ñ Ò § ë �» «�ª!¼ B#DFE GF½$¾ ¯:9 À � ·3· À<;0= ¤ �η ² | �?> � � Ñ � � � � î���î � ñ ! ñ �W7 µ�¯1�� � B ��î � ñ ' B � | ' _"!A@ ' î | Ò § _"! ��î � ñ�ñ �sµ · ¾ · @ ' � � ² µ · � GCB r · ¾ í �²�· <ѯ ? � ��¯Yí ��� ?� � B `ED 0GFa4 B � `ED 0GFa4 Ò _"! �ö�÷%øIH:øIH J *�ý�þ!ÿ����º�Õþ �LK ýNMPOéûØç±çRQ Êêû*S�T�ý�ÿ����Hþ�ÊÍ µ · < ¾ ¯ ¶3· 6 ± ¾ · 6 · � ¶ ¾ �U� · 6 �/� ¯:o · ¸�¯ ¾ ² µ ·WV ± � � ²����¿�ܲR� ¯��ê¯�¸ ² µ ·YX ? ·i� �$Z ; ¯ ¾ 6�¯�� ² µ · ¯ ¾ �¶¿� ¾�¾ �· � ¯1o · ¾ ² ¯ ² µ ·�¶¿� � · ¯�¸ � �1¡ � · ?¤? Û � ·[V ± ��²R� ¯Y� � ¹ �sµ�¯ � · r � í � ? ² ¯Y� ��� � ¸�¯ ¾ í ±�? �ܲR� ¯��\� � �Å � o · � � � � ·i¶3²�� ¯Y� � ï �   �Í µ · ¾ ·E� ¾ ·�² �!¯ · �Ð� · � ²���� ? 6 ��]Ö· ¾ · � ¶i· � ¹ �sµ �¶ µ^� · ? � � ² µ · ¾ ·=�� � Í µ · ¾ ·/� � ��¯_í � ��� ¹ 7 � � ¹ � � ² µ · ��� ¶¿� � ·=� Í µ �ܲ�� � ¹ ² µ · 6 � � < · ¾ � � ¯Y� ? � � � � ² µ � �¶i� � ·Ä� � ö î�õ ñ�� à õ Ã î ·[V ± � o � ? · � ² ? � ¹ ² µ ·{¶ ¯:o � ¾ ��� � ¶i· ¯;< · ¾ ��² ¯ ¾ � � §! î #P_ ñ Ò § _"! ñ �� � Í µ ·`V ± � � ²����3· 6 � îIa ñ � ��6 � îba ñ � ¾ · ¯;< · ¾ ��² ¯ ¾ Zâo � ?± · 6 ² ¾ � � � o · ¾ � · o ·i¶ ² ¯ ¾ ì�· ? 6 � �Í µ �ܲ0� � ¹ ¯ ± ¾ V ± � � ² ± í � ²w��²�· � < ��¶3·/� �� ! î 6 Ò Ë Æ c ÇdÉ ' Ë ñ

Page 136: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

�: ed ¸�ò ) f:¡�¢hg¤£Üóji¦¥I§(¡kgml·�¹� ¸ ¡a¥Rl%§¨¡nlpot�*)�§(¡O��©«ª�¥I¢�ôº�¬¡ ò ¢�lqg0õÍ µ · r � í � ? ² ¯Y� ��� �׸�¯ ¾ ² µ ·0V ± � � ²����3· 6 ��� ² µ · ¯ ¾ � � � ¹ ¯�¸ ¶ ¯ ± ¾ � · ¹ � ± � ²6 � �� 5 r ÃÅ�bà ! ¶ à �ts � à ! r� ��6 ² µ · �À¯Y�uZ ² ¾ � o ��� ? ¶ ¯Yí®í ± ²R��²R� ¯Y� ¾ · ? ��²�� ¯Y� � �,. À � îIa ñ�� � îwv ñ/Â!�yx îIa # v ñ î , � ñ�sµ · ¾ · x îIa # v ñ � � ² µ ·à� � ²�· Å ¾ � ?sp · ¾ � · ? ¯�¸ ² µ · ¯;< · ¾ ��² ¯ ¾ ¯�¸!< ¾ ¯ �зi¶ ²R� ¯Y� ¯Y� ² ¯ ² µ ·!² ¾ � � � o · ¾ � ·o ·3¶3² ¯ ¾ ì�· ? 6 � �z0{}|A{ ~}���n� �N�W���&��,�?���[�������Y��� � ���}����� X ?������ Z ; �e� 6 �e���������e� � � ��� � �¤?(?���� o �����?��?�� Å ����? � �e��� 6 � ì �������U�/����/�������^�/�����U���¤?������U�e�,�/� 68� ���E�����U�e��� < �[�������e���[  ë îIa ñ �/� 6 ë�ì îba ñ   � ��� � � � �����^�e��� Å ���:�=?(? �6 � ì ��� 6 � � î � ï � � ï Z � ï � �1d ñ  ��/� 6^� ��� � � � � �&�e� ! î 6¢¡u£ � �TS*U ñ � �,� � �¤?(?¤��� � ���=p��ë î � ñ�� �� ��î Ñ ¡ § _"! � ñ ¶ ,. ´ î Ñ § _"! � ñ

ë ì î � ñ�� �� ��î Ñ ¡ § _"! � ñ # ,. ´ î Ñ § _"! � ñ �¥P�����m���:�¦� ë{� �� Ñ ¡ § _"! � ¶ ,.ØÑ § _"! ´ � Ñ § _"!A§ D �Í �j���¨�����?�e�A? � ���;?U�u���U�/�W���}�����?� V �:�������e� ëj©��«ª �U� © � � �e���¬� � �,�����j���¨���R� © £ �  �/� 6^� ��?(?¤���­�����\®�k � mFmu¯ �°²± D ª!« DFE GF½$¾ ¯ ½´³ �ñ ® g�� i/× � � µÒ ! î 6 ¡u£ � �TS*U ñ � k �Vï�g¨¶��a� i�i g�� k Û� � ·� 'E¸�¹ �º �N» 5 � ' îba$§ � �¨�¨� � a ' ñ�ë ì îIa$§ ñ+¼1¼1¼�ë ì îIa ' ñ¬© �ea$§ ¼1¼1¼ �ea '¶ ê g��Mg � ' µ� ! £ x ( îI½ ' � ñ���¾ '£ x (h¿ § ! îI½ � ñÀ:�e�q��� í>< ?U� � ��� �   � � 6 ���������¨�����¨� � � � � �h� �� ' �º �N» 5 � ' î ë ì ñ ' © �» «�ªqªÂÁ H

Page 137: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Ã�ójiÈóji8ÄÅl ¸ I N�f-) ¸�Æ �: �Ç� � �,� ì ���¬�P��� í �/��pÈ���:�¦� 5 � ' î ë ì ñ ' © � 5 � £ x (' î ë ì ñ ' ©� ���[��� � £ x ( îIa$§ � �¨�)� � a ' ñ�� ��N» �É ùEÊ \ ��îIa É 0 § 4 � �¨�¨� � a É 0

' 4 ñ µÒ ! £ x ( îb½ ' � ñ���P����� Û�ñ ¯?¯ g i �a��� k=i � × � ��� �¦î ���[���7C ' ����� Å ���e� < �/� < �[� í �����������e�����/�h����� � o �/��� Z� � ?U��� ñ �� � �,�?�������������w� � � ���:�¦� o � � ���e���¨�/�h�������I�e� íÌË

' § ��î �[Í ñ�©   � � �  Î�/��� 6 �������È��� ! �¥��/��� 'Ï § ��î �RÍ ñ�© �'Ï § î ë î Ñ § _"! �RÍ ñ ¶ ë ì î Ñ § _"! �[Í ñ�ñ¬© ������U� Å ����� � � í®í �����������e�Ð���)?��¦���U�/����  � � � ������� Ë î ë ¶ ë ì ñ �U�}�����¨���e� í �=?+�I�/� í'Ï § î ë ¶ ë ì ñ¬© � �ÿ�Ñ�ÒCÓ '

5 � ÿ�Ò î ë ì ñ ÿ ë Ò © �Ôn�u� î ë ì ñ ÿ ë Ò © ��ª ����?U�[����Õ ��ª  ����'Ï § ��î �RÍ ñ¬© ��� ÿ[Ó '5 � ÿ ¹ î ë ì ñ ÿ © �

Í �j��� o � � ���/�����/�k�����m�I�e� í � ��N» 5 � ' î ë ì ñ ' ©�/��� 6 �������²��� ! �  � �,�¨�:� o � � � �������/� Å �j���I�e� � �/� 6^� � ít< �����¦���U�/�Ö 5 � ' î ë ì ñ ' ©�� 5Ø× ( î ë ì ñ ( ©&Ù�� � ª ��Ú� 7�N» > � ' � × ' � � � 7 î � ï � �1Ç ñ» «1ª&¼ B�DsE GF½$¾ ¯�Û 7 ��� � î � ï � ��Ç ñ �

Page 138: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

�: eÜ ¸�ò ) f4Ý Æ gÞÃÜóji�ßáà?Ýkgml·�¹� ¸ Ý�ßRlqàØÝnlpot�*) à?ÝO�NâãÄkß Æ ôº�tÝ ò4Æ lqg0õÍ �j���È � �ä� ' �º �N» 5 � ' î ë ì ñ ' © å � ' µ ¾ ' £ x (Å¿ § !¦æ ½ � ñ Émç ·è 'E¸�¹ À ¾ ' £ x (h¿ § !¦æ ½ ��é Â��� � ?U�/��� 6   � �e�������U���&� 6 �������0���[�� ��/� 6 ����� � �0�U�­����� � ���;?U� ! � < � � � �ëêèJDTé ® ­�¬:­ ª&® GF½$¾ ¯-ìîí ê gÈï/ï × Û × ����ñð ÖØ× ���íÛ ßAk ��g��(Û

ò £ ·è § À ¾ ' £ x (Å¿ § ! æ ½ � é  �ó g?� k=l�l ò ' £ ¾ ' £ x (h¿ § !¦æ ½ �/éi�ê g � Zà< �/����� � ?�� ��� � ���e�1ô�õ ñ}� × � ® g�� i � × � Ù ò ¹ �.ö ôÍ ��� < ��� o �U�e���q�������e����÷ < ��� o � 6 �[�P�\���������/� � �����e÷È�e� < ���U��÷ !¦æ 6 ¡u£ � �TS*U é ç òÅ � o ��� � �

� �º �k» 5 � ' æ ë ì é ' ©ùøúûûü� ¹�$§� !rý�þþÿ �

���e����� o �[�P���&�U�q���/������� � ��� � p/��� ���������e���È ë æ � é r � ' µ ò '� º � > ��� � ' � µ ò ' ¡ §�/� � ë ì æ � é r � ' µ ò '� º � ¶ � � ¾ £ x ( � ' µ ò ' Ñ § �» «�ª!¼������ � ½$¾ ¯�� � ��� � � ���:���&���������U�q���[�����U� Å  À ë æ � é � ë ì æ Õ é Â&� � ²� Õ �

Page 139: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Ã��ji���i�� Æ à Æ g&)! Îß#" Æ �pÄNg ÆhÆ Ý�$ Æ lqg&% �: ('» «�ª!Æ�ª&Ç ­�¬1­ ªd®�� ½*¾ ¯�)+* ×-, Û/.�0�1/243 ê 16547 ¯ .98:3 ×-, .�7 , Ù 6 � Ó ë ì Ñ ¡ § ë Ù 7 , 0<; ������� � ��� �j��÷ Z� ��� Ù�= � Ó ë ì ë Ù ×�ß 1/2>7?3 × 2MÛ ôA@/, 3 ê 1 ÖØ× ���íÛ ß 7$�B142C1 ß 2C1�ÛD1 , 3E7?3�. ×-, Ù6 � ø æ

'� § Ñ ¡ §F#G � ' é= � ø æIH � ' é��» «�ªqªÂÁ>J Í ���U�m�U�P����÷ ; �K���Ð÷ �������[�4�/�Å�����U� Å ����� � �/÷ ÷��u�������U�e�����L�U�������e����M ���<���E�ONe����������R���/���U�q�/���/�^� ¡ �[� � ������MÍ �j��� � �P���DN/�P� � ���/�����L� �PNe���#�\����÷ ; ���q�����?�U��QE�����U�e�����¤�e���h�¬��������� ; � � �SR ! æ 6 ¡u£ � �UTWV é� ��� � � �U�È�U� ��� ; �[� ���[�j�Ð�/� Ñ  &��� �ù�U� � ��� � � ����� X �U�[�U� Z ; �/�>���e�YXP�/÷ �������e��������� � ��� �/��Z���U��� � �0����÷ �/�n���U÷ ; �U�?�/��� Z N/������� � �U�?� ; ���������/���¨�U�,�Z[�������� � ���0�U� � ���E�����U� Å �j��÷ � ���0�/�N��/���U� � ����� r 6 ç]\ ·'E¸�¹'� §_^ #P_ Fa` ¶ 7 ! �% � ; �/����� � � ���/�[ u�����¨� ; � � ������÷Ø����6 �U�b æ 6 é � È ª É ÷ È ÷ '�c § À H 7 �ad é É� ���[���¨�����4Q��[��� Z ��� Å �����I��� � ���U�e���U�­�����PN�� � ����÷�  © Me �U�$��� � ���f���/ ��������­�����[�e�g�h����� � ��� � �[�P���e� Z ����������� � ���U� Å ; �/����� � ����� æ � �e���e��� é �/��÷ �/��� 7 Mz0{}|Bi j �PkW�Pl �nmOoLp��Pq ~�l � � rtsW� �ulwv

xÎ�[�zy � � �?���L��� Z �?�-{��e�����q� ; �����¦���e�q�e��R ! æ ½}| é M �,� � �e�����f���[�q�����X4��÷ �������/�����/�6<~�� �� � È å �­å !�� � y ! � Éæ X ; � �/�����[� ; �e� ���&����y�� º #4_ � 7 ! é M¿ ��[:���U� Å � �����������e�y�/� � �������U���f���¦���U�/��� ; ���������/���Ð���Ð�U� ����� X ; � ����� æ � Å M ë æ a é ����(� y � ���� y�¡�� � é �U�E�����­��� 6<~�� � ë ì æ a é y ë æ a é#� a���,� ÷ �O����� � V ���/�����fQ[�²��� � �����^����� X ; � �/���/ +�/� � � �e���¬����� � �mÀ:� � � � ; � � �����:�?�U�?�e�e���g���(M5 � � ����� X ;  ������ �e��� Z ; �/����� � ��� � ; �[�������e�ny����[������÷ �������?���f� ����� ; ��� ; ���¬�������²����6�~�M % �; �/�¬��� � � �U�/��  6<~ ç�\ ·'E¸�¹

'� � y Fa` �

Page 140: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

�O� ª � $�) f4Ý Æ gÞÃ-�ji�ßáà?ÝkgmlA�Z� � Ý�ßRlqàØÝnlpou�*) à?ÝS�NâãÄkß Æ ��tÝ�$ Æ lqg&%5 �e�/�U�¤ u�������A����� � ��� � �[���\�I����� æ ���/� Z ���j������� � ���U� � é �����[�e�g�?Mz0{}|/� ��kh�N�Pl ���A�wo��uk`��q��� V �:����������� � X4�/÷È�f�����e���U�/���­�¬��� ���U�L�Y� � �DNe� � �e������� ; �/� � ��� ���e� Z �U�����[��� � ���U��� �e�� ¬�I���[�L¡V �:�/������÷¢[��L�f���������e���U����M£�q��� � �[�j�����?���e�����Î�/�¥¤mÀ¦�.�U�q��� ��� ���[�������/� �W��� � �����0�U�����[��� �AZ�����e���q÷È�§�����9�È����� ; � � ������� � �/��������� � ���L���I�e�­�����m�I�����m�����[�e��������M�q�������Ð�/���?� � � � �O�$� ���­�U����������� � ��� ���U�����[��� � �����e�Y�U�����^�¨¤¨À��PM©�q���u[������ � �D�Y���m����?� �8���Y����� V �:�?��������� � XP�/÷È�f�����e���U�/� �U� V �����¬���U�/�ù�`�I��� � ���U�e���?�&�/� � �/�!���L�e����� ���f�e���[������/� � � � M«ªu� � �.� ������÷ ��� ; �������[������� ���L��� Z ���j������� � ���U�e�ù���0�����¬[:���f� � M��q���Y��� � �e� �� �D�^������� � �e�����������P�/���U�����[��� � ���U�/���/�N���/Ne�����?��[��L�f���P�e�P�/�^�U�����[��� � �����e�����h��[��L�f� � �����W�V �:�/������÷ Z ÷ � � �:�/��� � �?�k�g�$������÷�M 5 �Y�U��������� � �����e�`�/�h�����U�4�­� ; � � ���f� � � � �e�����f���[���L�¢�U�W��������a®u� � �:� ; �����LM % �Ð�����U�ë��� � �����e� � �m÷ � � � �²�I� � ����÷ �/� � �n�/�Ð����� æ Ne�[�g�h����¯ � � ��� é ; ��� � �U�[÷�/� � �e��������� � ���U� �����L��� Z �U�����[��� � ����� � V �:�/������÷°[:�L���`�����[�e�������LM 5 ÷ �e���<���R���/���U�L�W����������÷È������/���������q��� � {�� � �4�U� � ���/�e� �������¨� � � ; � �/�������U� � �u� � M % � � ��� � � �I�e��� �^�U�²± ; =  ³ªu�K´µM��� � �e��������������X4��÷ �������/�����/� 6¶�.6�·w¸ ��¹�º� ���[��� 6�·w¸��U�h����� X �U����� Z ; �e�g���e��X4��÷ �������/�����/� �������������Ð�U�\����� ; ����N$�U�e���ë��� � ���U�e�+  ¹¼» ª  �/� � º � � r @ æ � é r� ���[��� @ �U�&� ; �(���$���e÷È����� � ��� � ����� � �/��� �������I���/÷ � �L�U� � M�q��� ; ��� � �U��÷ �������&�U���������Å��� @ �:�/�h�e�g�����A½¿¾� e������� º æ � é �U� ���/� � �L��� Z ����[:���L�WMÀ�q���U�; ��� � �U�[÷ � �/� � �¨���[÷ �����U���ZN$�U�ZÁ 8:3�2>7? ® .µÃ-8f1/3PïDÄ&Å�ð �/� � . ,OÆ 2>7?­2C1>0 ï @CÇ ð � ��� Z � ] ��M���¨��� ; �U� � � º æ � é � ����� ºÉÈ ��Ê Ë ' � rÍÌ ' ¿ È ��Î ' r æ �DÏ M �EÜ éÐ ���[��� Ì ' ¿ È µ R ! æ ½Ñ| ' é   Ì ' ¿ È � �/�zÒ ª  ��/���

� Î ' æ a � � �O�L� � a ' é �'Ï � � æ a Í é �% � Ð �0� ; ; ���O®���÷ �¦��� Ì ' ¿ È¦Ó �¨ÔÖÕ � ¾�¼1¼1¼E¾ Õ '  ������[��×Ì ' ¿ È � Î ' ç � æ Õ � é ¼1¼1¼ � æ Õ ' é

Page 141: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Ã��jiÙØ$i.o���)!�mg&)4Ý�ß � )4fhfÅg l¥Ú ߬â�Û4Ý�ßRl&à ÜO� Ü�U� Ð �L��� Z ����[:���L���/�&� ; ������� � �P��� � �e÷ ÷²������� �� $���L��� Z �?��{��e�U���q� ; ���������/���LM¥e ���z��� ] �[���[�j�>���/ ����Ð � Ð ������� Ý�Þ æ a é � � Þ

Ï �àß æ a ��á a éÝ æ a � é ¼1¼1¼

Ý æ a Þ é ��������¢�/® ; ���[�����U�e� æ Ü�Ï M Ü1Ü é � �e�����[� ; �e� ���¨������÷È�$�/������� �Ð�e�u�m��������������� �I��� � ���U�e����M<�q�����0���� V ���KN��?�U�[�j�0��� � ��������� � Z � ] �����[�U� À��/���������m�����/�����I�/��÷È�²���6�����>�e�\÷È�e÷ �[����� r ����� � �/ h�¨âzã� �u� Z � ] Mä ���������[� Ð �O� ���å�����åâzã � ��� Z � ] ���&N$���}� 8K7?3�3�.µæB1u7/çÍç�2CÃ�è(. ¯ 7?3é.µÃ ,�MPêñ�W�����U� � �/��� Ð ���� ; ��� � � ½Þ Ð �����}�����4��������� � � æ Ògë é

Þ  ��/�������[�zÒ ª M���P����� � ��� Ó �m���[���¨� � �e�ÍNe�����U�����P÷ �¦�����[÷ ����� � �?��÷ �R�������Ð�I�e�n��÷ �$�/�����U� �²�e���&�����e� �e��I��� � �����e�Ý M¥xÎ�[�&ì Ó �¨�uí · �I��� � �����e����� � �^���:�¦�zì�½ ª  �î�ì� Ü  ���� ��ì æ ª é � Ü M}ï ��[:���

ì È æ a é �¿Ò ¡�| ì æ a � Ò é �¥P� Ð�Ð �0���R� Ý È �ðì Èòñ Ý Mw�q���[� Ý È ���q��÷È�u�����¤ :��� � Ý È Ý ���&Ò ª Mh¥P�/���m���:���óÝ È æµô é � óì È æµô é óÝ æéô é � óì æ Ò ô é óÝ æµô é �ªu� óÝ È ���&�������������U�?�f�K� óÝ � ����� ] ���q�����¨÷ �e÷È��������÷L� � �?��� å ô åUõ Ü�� Ò�M���?���/������� Ð ���:��� ����� � �/� �������U�e� ÌÞ ¿ È µ Rwö¨�U�P�U� � �e÷ ; ����� Ó �U� Ð �����W����� ���������>�U�������e��U�ÍN��/�����/� � � �/��÷²M��q�:�¦�k���� ¦����øù�U�¤�����ë÷È�e÷È��������÷ä� ; �����¦���e� æ ø]� î ËUù æéô é ô Ë æéô ég� ô é  ¦�������± ºúÈ � ø4´�� ª � ] Ì

Þ ¿ È ���h�U� ��� ; �[� ���[�j�n�/�WÔ a � M¦�q�$��� Ð �P��� V ���U���z[������Å������� Ì Þ ¿ È µ Rwö æIû Þ éÐ ���[��� û Þ ��ü a µ ½}ý Þ å Ô a � � ª§þ �/� ���������^���[�Ì Þ ¿ È ¿ ÿ � Ì Þ ¿ È ×�� � Fa` � Ó ��� ÿ ��q����� × � � Fa` � Ó ��� ÿ � �e���¬�����������[���/�������I��� Z ����� æ ê�� é � ��� Z � ] Mê"�q���������&�e���q���:���&���[÷ �DN$�U���������4ê�� � ��� Z � ] æ ß ª é ���q���/�q���u�����K¯ � � ���OM��&��÷È�DNu��� ������6â ã � ��� Z � ] æ Ò ª é  :��� Ð �/Ne���[ -���£Ne�[�g�Z���K¯ � � ���� :�/� �������4��� Ð �D�$� ; �e����� Ó ���?Mz0{}|� ��W�nqÉlh��woE� ���`�Él �� ¨o�� �6�Ào��uke ���[�������>���e  Ð �?��� �������¬���/��� V �:����������� � X4�/÷È�f�����e���U�/���q���������[� Ð �L�f�éM!�q���<[:�����m�¬��� ; ��� ��� ZNe�[�����f�������U� ��÷È�e���}�e�����������$���e� Z V �:����������� � X4�/÷È�f�����e�����/���+�U�©[:� ����� �P����� � �e����� � � V �:�?��������� �� ; ; ���O®u�U÷ �������e�WM��q���U�0�U� � �e÷ ; �U�[���L�K�Y�/�:�?���(�e�e��� ���������È�������:�����U�e�Y�U�¢���e� Z �U�����E���!��� ] ��� Z���������?� � V ���������e��� Ð ������� �����u[:����� ����� ; ��� ; ��� � ��� � �?�f�K�W��� Ð �D�$� �¨���U�����/����QE�����U�e�`�����e����� ����?�U�����U�e� ���P�������������¬�OM êñ���������¤  V �:����������� � XP�/÷È�f�����e���U�/���0�/���}��� �e��� Z ��� Z �e��� � �e�����[� ; �e� Z���[� � � Ð ���������U�����/� æ XP�������[� Ó ���g� é � V �:�����U�e�������N÷È�/�����e�WM

Page 142: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

ÜO�U� � $zÛ f4Ý Æ gÞÃ-�ji�ßáà?ÝkgmlA�Z� � Ý�ßRlqàØÝnlpou��Û à?ÝS�NâãÄkß Æ ��tÝ�$ Æ lqg&%êñ�^�����¨����÷ ; �����¬�&�������:�����U�e���[ u�I�e�q�a®��/÷ ; �U�÷¶��÷u·w¸ ��º æ ÜDÏ M ÜO' éÐ ���[��� º � ¹ ¡ ö � r ø æ ¹ Ý é r

Ð �����ðø æ Ý é � � æ Ý ö é  4����� V �:�?��������� � � ; ; ���D®u��÷ �����U�e� ���}� Ó N$�U�e��� æ ������� Ð � ; ���������������º ���y� � �e�ÍNe�[���U�[���C���y����� � �?���L� �I�e��÷ é M ê"� � �e�����[� ; �e� �������������É�U�U���E�/���fQE�¦���U�/�ù�/���e��� ��W������N$���?�ë���(���������e� Ý ¹�� ª �U� ���/� Z ���U�����/�n��� ] �[���[�j�����?�n� V �:�����U�e����MYXP� Ð �/Ne�[�� n���������������÷ �/�Í���U÷ ; �e�¬���/��� � �/���[� Ð ���[���6[�� ���U��� � � �e����� � � V �:����������� � � ; ; ���O®u�U÷ �������e� � �e���¬�������������� � �e�����f���[��� Ó �U� � �/� � � ; ���:�����¬��� ; MÑêñ����������� � �/�������e���4�����?�U� Ð ����� V ���/������÷��:� � �����������e����/���e��� �ú, à , 3�2/. ® .�7?8�æ/8K7���/.µæ>7?8��DÃ-8 Á 3�.µÃ , � �����������q�����/�}�����KN$���?�-�e������M¥�q�������²�/���¨�/®�� � �>���Ð������ ������� Ð �6����� � ����� Ó ���U�����}�U�}�����U�q��� � ���U�e�WMÔn�[�I�/��� ; ��� � ���L���U� �}���}�����U�!���U� � �������U�e�+  Ð ���e�KNe��� Ð �����U÷ ; �U��  Ó ���¨�����������m�U÷ ; �e�����/����/®��/÷ ; �����&�/�����e� Z �����KNu�U�?� � ���/����� � �?�Î���(�U�����U�e���Ý ¹ MëÔn�/�����a®���÷ ; �����P�/���¨�������U÷È�������U�e���e���� � � Ü M¥xÎ�[� � æ Ý é � ��� Ü� å�� Ý å ö � ¹ ¡ ö � æ ¹ Ý é��Ð ���[��� æ �U���e�g�����­���\�f���[�j�����9� ������� Ð ����� æ ÜDÏ M ÜO' é�é

� æ Ý é � Ü�! ö Ý ö � ø æ Ý é �À:�e�q�e���A[:�������/®��/÷ ; �U��  Ð �¨��� � �� æ Ý é � Ü� æ

Ý ö á Ë ö é ö�I�e�\���/÷ ��Ë » ª M�êñ�8������� � �/���� ë�����^�I��� � ���U�e�:���� æ Ý é �:�/�È�¢÷È�U���U÷È�fQ��[�²��� � � �U�/���È�/��I��� � �����e���

Ý r ½ ½ Ð �����}����� Ó �e��� �:�/�#� � �e���������U�e���Ý æ a é " Ë � ¹�/� a " d  Î��� � Ð �����Y� ; ; ��� ; ���U�����²��÷È�u�/�������[��� � �e� �������U�/���LM4�q�����m÷ �����U÷È�fQ[��� � ��� Ó ��I�e�������a® ; �U� � ���>��� r Ý ¹ æ a é � ˹ ���/��� æ Ë a é æ ÜDÏ M � ª éÀ:�e�q�e���&��� � �e�����a®���÷ ; ���/ ���� � �� æ Ý é �$# æ � �e� æÝ é á Ü é

Page 143: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Ã��jiÙØ$i.o���Û!�mg Û4Ý�ß � Û4fhfÅg l¥Ú ߬â�Û4Ý�ßRl&à ÜO� ¾�I�e�����e÷È�%# » ª MAêñ�������U� � �����/ 

� æ Ý é �:�/� �È÷ �����U÷È�fQ[���ë�U�W� � �U�/�����/���I��� � �����e���Ý r ½ ± ª � � � ´ Ð �����¢����� Ó �/��� �:�/�#� � �e� ���������e���

Ý æ a é ª ��� a á d �/� � Ý æ a é � � � ¹ �/�a d  ���� � Ð �����Ð� ;�; ��� ; �����¦������÷È�u�/�������[��� � �e� �������U�/���LM ä ���/���¤ j�������ë÷È�U����÷ ��Q��[� � �/� Ó ��I�e�������a® ; �U� � ���>��� r Ý ¹ æ a é � �¹ ���/� ¡�� æ'&)( * F é � æ ÜDÏ M ��Ü é+-,�.0/ ����� �2143650798;: æ¶É3 : 7?3 ï�<>= ô@?BA ðS7 , 0?ï�<>= ô@? <RðS7?2C1 æ/2/.93�.µæ>7?8Oç�Ã-. , 3C�AÃ Æ 3 : 1&æBÃ-2a2C1�­ç�à , 0?Â. ,2DzÆaÁ�, æ/3é.µÃ , 7?8E� � æ Ý é ô�q��� Ó �e��� �:�/�#� � �e���������U�e���n� ; � � �K[:�L� � Ó ��N/�0�/���¨��� � ���������Ý ¹ æ a é �j� ���Î���R�P���À� æ Ý é �/� a " d � æ ÜDÏ M �?� é�q����� ��� ���[�L��������� Ð � Ð �/��� �����\�I��� � ���U�/�:�?�� æ Ý é ��� Ó ��[:�������?Må�q���[��� �/���\��������� ÷ �e���Ó �e��� �:���g� � �e���������U�e���\�����������9�$�U� � æ Ü�Ï M �(� é ��� ��� � �ù�/� �����W� Ó �DNe� � �/�����LM$F ��� ��� �����[���Ó �e��� �:���g� � �e� �������U�/��� �:�/�m�����\÷ �����U÷È�fQ[���Ý ¹ æ á a é Ð ���f���������\�/������� � Ð � ���DN/� � �e���¬���/���÷È�U����÷ ��Q������LM+-,�.0/ ����� �214365��HG 2Cà ® 143 : .@�8K7��/3��/3µ7?3­1 ¯ 1 , 3 ô�q��� �I�/��� Ó �e��� �:�/�#� � �e� ���������e���q� ; �U���P�?���¤�����¨���[�����I��� � ���U�/���P�������\�I�e���q��� ; �(���(�e� � �?�f�K��U���JIj����N��?�������Ð��� � ���e��� r �I��� � ���U�e��� �I���/÷ �e��� �/�m���������`��� � ���e��� � �/�����/� Ó � � �e�����U�j���/���>�K����R�I�e��÷È�L�¨�U�����­�I��� � ���U�e���¤�I���e÷��/���/�������Î��� � ���e�LM��q�j��� Ð �h�:�ONe�ë� 3 ÃBç�Ã-8fà D .µæ>7?8�æBà , �D1/2 ® 7?3�.µÃ ,8K7/¶HK � � ���/����� � �?�&���?�U�����U�e� �����/�����U� �,�U�8�e���^�/� ����� ��� � ���e��� �����D�$�}��� Ð �D�$�È�U�8�����^���/÷È���� � ���e� æ �/� �/Ne�(���������e� ���n� � �e�������j���e���Ñ���[�I�e��÷ �¦���U�/� Ð �����È���U÷È�&���[�gN$�U� ���/�n����[�I�/��÷ �������e�; �/���/÷È�[���[� é Mw�q���m��� ; �(�U�?�e� � �?�-��� � ���e��� � �/� Ó � � �:�/��� � ��������Q���� Ó �}�����-Ij�:���j�����­�L � ¹ æ Ý æ � d é á

Ý æ á d é�éÐ ��� � � �U� �^��� ; �?�U�(�e� � �?�k�U�ÍN��/���U�/���OMhê"�²�U� � �?���U���¢����� 3­ÃBç�Ã-8fà D .µæ>7?8 æ : 7?2 D 1 Må�q��� ���(�U�u���U�/���Ý ¹ æCM é Ð ���������[� � Ó �DNe�0�:�ONe�¨��� ; �(���(�e� � �?� � ���/�>�e�[� � �/� � � � ���[� ; � � ����N/�L���/  Ð ���f�U�m���(�U�u���U�/���Ý ¹ æ á M é �:�ONe� � �:�/�g�e��� á � �/� � á � � M¦�q���&���(�U�����U�e���Ý ¹ æCM é �/��� � �?���U�L� 3 ÃBç�Ã-8fà D .µæ>7?8N�DÃ-8:.93 à , ��/� �������0���(�U�u���U�/��� Ý ¹ æ á M é �/��� 3 ÃBç�Ã-8fà D .µæ>7?8©7 , 3é.9ÂO�DÃ-8:.93­Ã , � M�q������� �a®u�U���m��� ; �(�U�(�/� � ���k���(�U�����e��� �?�U���}�U�`�����e�����P���U÷È�������U�e��� æ ® Ã-2a3é.µæB1�   ¯ à , ÃBç�Ã-8f1�  . , �/3µ7 , 3 à , �  e�R� � M é  e�����e���e�������/� � �/�����/� Ó � Ð �����������?�a® ; �U� � ���>���?M��,�£���m�����w����� � ��� Ó �­�����[÷���[���/ ���� �����[�I�[�&�����¨�U�����[���[������� ���E�?���[�q���?����� Ó �u� � �6± � �(�� P����{#´µM¥P� Ð Ð �²���[����������� �/���&÷ �/������� Ó {�� � �� -�����-Ij�:���j����÷Ø�����[�e�g���������e� K ������N$����� � �U�/����� � ������?�U�����U�e����MN�,� � �e�����f���[�P�uX4��÷ �������/�����/� �/�������m�I�e��÷ æ ÜDÏ M ÜO' é Ð ��� � � Ð � Ð ������� ���÷ � Ü� � r � ö r � r� æ Ý é r � æ ÜDÏ M � ¾ é

Page 144: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

ÜO�(� � $zÛRQ4Ý Æ�S Ã-�NT�ßáà?Ý S�U �Z� � Ý�ß U àØÝ U9V ��Û à?ÝS�NâãÄkß Æ ��tÝ�$ ÆWUXS %�,� Ð �e� ���²��� � ��������� �����������/� �,�����È� ; � � ������÷ �/� ÷ ���E�/�¨����� Ó �������/÷¨M��q�����0÷È�E����� Ð �Ð �/���ë��� �¬��� ���?�����&� ; � � ������÷Þ���W÷î���E���Å�����

� æ Ý é MN�,���/������÷ �&�����&�I��� � ���U�e�:���� æ Ý é �:�/��Ð÷È�U����÷ ��Q����[  Ý ¹ Mnê"� Ý ¹ ���4������N$����� æ �µM<�?M Ý ¹Y� ª é �������¢����� � ��ø æ

Ý é �Z� æ Ý ö é  ¤����� � �e����� � �Ij�:�?��������� � � ; ; ���D®u��÷ �����U�e�Ð����÷ ���À{������S÷u·w¸ æ �/� ���U� � �������L�W� Ó �DN/� é MÅ��� �/���0�������������¬���L��U�8�������:�¦���U�/��� Ð ����� Ý ¹ �U�\���e� K ������N$���?��  ��� � �ù�/� ���?����� � ����� Ð ����� ��� ; �(���(�e� � �?�Å���(�������/����/� � �/�����[� ���j�������������U� �,� Ó {�� � ����M êñ� Ð �:�¦� �I�(���U� Ð ��  Ð �¬�e�KNe� �¢�I�e��÷ �?� Ó �u�Ð�g�$�¬����÷ ����� ������E����÷ �[���¨�/�h������� � �/���?M?À:�e�4���U÷ ; ��� � ���­�e  Ð � � �e����������� ����� � �����\�/�Å���e�`�����/���g�������U�e�:���f��� K�U�ÍN��/�����/���q�I��� � �����e�:�?���� æ Ý é æ �?M � M � æ Ý é � î ü æ Ü��(� é å[� Ý å ö � � æ Ý � M é�é �/� � Ð � Ð �f���¤÷ � � ����I� Ð ����÷ �/� � ��� Ó �e���q�����m�����/���>�U�������e�:�?����� K �U�ÍN��/���U�/��� � �/���²�¦�q�����¨�����WM���¨��� ; �������[���4�����-Ij�:���j����÷+[:���f���U�}�����¨�I�/��÷Ý æCM é � Ý ¹ æCM é �]\ æCM é

Ð ���[��� Ý ¹ æCM é ��� ����� � �U�/����� � �?�h÷ �����U÷È�fQ[���m�/�� æ Ý é �/� � \ æCM é ��� ; �������������^Ij�:�/������÷_�:� � K�����������e���m�/���e��� �W����� � �U�/����� � �?� Ó � � � �/���e�����Ý ¹ æCM é M^F ���P�e�����N��� Ð �U�4��� ; �/���m�I���e÷ ������e���f�e���:�?�`Ij�:�/������÷ [��L�f� Ý æCM é ���^����� ��� Ð [:���f� \ æCM é M ¥��/���\���������e�¢����� � � �?�U� �/� ¹ æ ���÷ �?���� ����U÷È�������U�e���U����� � �e� ; �U��� � � �e���������j� é  Ý ¹ æCM é �Ha æ ¹ ¡�� é �/� � \ æbM é �$a æ Ü é M�q���4[:���¬�P�¬��� ; ���­���È�/® ; �/� � � æ Ý é �/���e��� � Ý ¹ ���\�����¨�����U�g�}�e�>�����Jc� æ Ý é � � æ Ý ¹ é � Ü�ed \ � ÷ &gf�f � æ Ý ¹ é \�» � a æ ¹;\ ý é ��,� � �e÷ ; �����m�I�e��÷ �?����� ��� Ð ����� � ���/� �e�0�/�¦N��/����� Ó �U���­�I���e÷

Ý ��� \ �ih-� � ���������kj0�/�������U�/�÷È�E�/�������ic� T©V æ Ý é �$l ¡�� & ¡nm2o ¿ V�prq o)st� övu Ý �wl ¡�� & ¡nm2o�x ÑBy ¿ V�prq{z o�x ÑBy}| st� övu \� & ¡nm2o�x ¿ V�prq o~x�st� ö ¡nm2o�x ¿ V�piq y s � TWV æ \ é �ï ��[���� � cUR ö æ ÷ ¡u£ � � T©V æ Ý é�é R ö æ ÷ ¡u£ � � TWV æ \ é�éÓ � � cU� æ Ý é � & ¡nm2o x ¿ V piq o x st�O��¡nm2o x ¿ V prq y st� ö � æ Ý ¹ �]\ é �ê"���U�q���/������� � ��� � � ��� �������

� �U�q�����������g�(Mh¥��/®$�E :���[�� Vy � � � Vo � ¡��Ð ���[��� �/� Ó �R�I�e��� � Vo � áW� § o � �� í ¡�� Ý �

Page 145: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Ã��NTÙØ2T V ��Û!� S Û4Ý�ß � Û�Q�Q SRU Ú ß¬â�Û4Ý�ß U à ÜO�UÏ� �e�����JIj���[�j�>���/  �÷ � � ÷ � ¡�� � Ü� � c æ � Vy é ö �

� æ Ý ¹ ��\ é c�e��Rwö æ ÷ ¡u£ � � T©V æ \ é�é MwX���� � ��÷ � Ü� � c æ�æ � Vy é ö �]\ y ö \&� a æ ¹n\ ý é�é c � � æ Ý ¹ éÐ ���[��� y ö �ð÷ &gfgf � æ Ý ¹ é � á�� F � �Y� � æ Ý ¹ é �¥P� ÐðÐ � � �:�/� �e�¨����� � �DN/��������� � � í � í ~ � Ü� y ��q���[� � TWV �$� � TWV��Ð ���[��� � �$l V�� l ¡��V & ¡nm y ¿ z:V piq ¡ V prq� |�y st� ö ��,�����[:��� �/���������[�q���������/�g�Ð� ; �[�������e�� � cUR ö æ ÷ ¡u£ � � TWV é R ö æ ÷ ¡u£ � � T©V�� éÓ � æ � � � é æ \ é �$� ��� ö/� æ \ é MÀ�q���[�� � � V � ¡��� � � V á Ü� æ í ¡�� á í ¡��~ é \ � � V�� � � �ï ��[���� ÷ Þ���� � � � � ÷ � ¡�� � ¡����e��Rwö æ ÷ ¡u£ � � T©V � é Mw�q�����÷ ÞJ��� �¿÷^�O�~� | � � cNa æ ¹;\ ý é c � � æ Ý ¹ é æ ÜDÏ M �-� éÐ ���[��� ÷^�O�~� | � Ü� � c æ � öy �]\ y ö \ é c � æ ÜDÏ M �?Ï é

Page 146: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

ÜO�>� � $zÛRQ4Ý Æ�S Ã-�NT�ßáà?Ý S�U �Z� � Ý�ß U àØÝ U9V ��Û à?ÝS�NâãÄkß Æ ��tÝ�$ ÆWUXS %eN�/������� ����� Ð ���}����� � �e������� ; �e� ���U� �^��� Ð � ���E�����U�e�¢�/� �,�/�����U�����������U�e��� ; �[�������e���[  Ð ��:�ONe� ÷^�O�~� | � � Ë ù æCM é y£Ë æCM é#� M � æ ÜDÏ M �i� é�q�j��� Ð ���:�ONe��� ��� Ð �I����� �������/�g� Ð ����� � �DN��/���U�/� � � á Ü��(� yP +��� � Ð �������������e��� K­; ������� � ���� ; ���������e�Ay&Mwy ���[������÷ �������&�������U������� �����¨� ; � � �����?� ; ��� ; ���¬�������q�/�¦÷^�O�~� | MxÎ�[�����}����÷ ÷ �/���fQ��������Y� Ó �DNe�Y�/���?���$�����LM ��� Ó �L�e�/� Ð �����.� XP�/÷È�f�����e���U�/�����0������I�e��÷ æ Ü�Ï M � ¾ é   Ð �������Ð����� �I��� � ���U�e�:���

� æ Ý é �:�/�?�W÷È�U����÷ ��Q��[� Ý ¹  h� � ����� �W�e� �����Ð� ; � � �Rwö æ ÷ ¡u£ � � T©V é M���� � �e���¬����� � ���L�^�²���������/���f�K�?�JIj���KN/���U����� XP�/÷È�f�����e���U�/� æ Ü�Ï M ��� é � � ���U���²�e������ � ; � � �}R¥ö æ ÷ ¡u£ � � TWV�� é Ð ������� ����� � ��N��/�����/� � � �U�Wí ~h� æ � y é ¡�� Ð �����4yY� æ ÷ &gf�f� æ Ý ¹ é�é ��� öDMâ ; ���¨�����P�?� �������KNe� � �/�������/���

� æ Ý ¹ é æ ����� � ��������� � �?�:�[�����g�?�È�/�Ý ¹ é  ������P��� Ð X4��÷ �������/�����/��U�4� ; ��������� Ó �������e�W�/� ������Ij�:�?��������� � X4��÷ �������/�����/� æ Ü�Ï M �(Ï é �e� æ Ü�Ï M �r� é Ó � � ���[��÷ Ð ��� � ��U���/�h�����e���[�P�e�g����� K a æ \ ý é K �U�^����� ��� Ð Ij�:�/������÷ [��L�f� \ M � �e�����JIj�������>���e +�e���²�a® ; � � ����������P������U� Ð K �[�����g�?�^� ; � � ������÷î�/�N�����0�e�����e�U���?� æ ��� � ��� Ð é XP�/÷ �������e�������}�U� ���[������÷ �����L�Ó � ����� � ; � � ������÷L�/�*�����U��I$���?�����¦��� � X4�/÷È�f�����e���U�/� æ Ü�Ï M ÜD' é �e� æ Ü�Ï M � ¾ é   Ð ��� � �¤ ���� �������¤ �������R������÷ �����L� Ó �}�����0� ; � � ������÷Ø�/��y4 u�����¨��Ij�:�����0���$�/�&�/�������XP�[�������/�^�/�

� æ Ý é ��� Ý ¹ M¥P� Ð�Ð �n���U� � ����� Ó ������� ������� �����/���g�������U�e� K �U�ÍN��/�����/��� � �/����M ÀN�������� ����[�P��� Ó � � � � ; �/� ��/� � �/�������L��N/��� Ð �����4����� ÷È�U���U÷È�fQ��[� Ý ¹ �U�&�I���e÷î� ; �Í�u��� � �?� ; �e�U�����/�ÀN$��� Ð M ä � � � ������� � �?�; �e�U���\�/������� ; �/���[�j�����?�ë�I��� � ���U�e���?�� æ Ý é  Å���\���\�¢�¬�������U�e���/�g�����(���������e���/�4����� � �U�/����� � ����JIj�:�¦���U�/���&�/�N÷È�/���U�e� �I�/�&����� � �U�/����� � ���©X4�/÷È�f�����e�����/�\�I��� � ���U�/�:�?�÷ æ Ý � � é � � Ü� � æCM é ö � � æ Ý é �

�q�j��� Ý ¹ ���(�KNe���q�����¨ �¥P� Ð ���e�^�JIj�:�����U�e��¡�Ý � á §� æ Ý é � æ ÜDÏ M �/Ç éÐ ��� � �����q���/�����U� �\�L����� Ó ���&�����m�w�/÷ ���U�U�/�h���e� K �U�U���E�/� Ð �ONe�0�JIj�:�����U�e�ê Ý � ø�� æ Ý é � ªÐ ����� ê � § ö� á�� F �����hï�� ä �U�/÷ Ó �����¨� ; �[�������e� æ �����U�0�U�m����� � �U�/����� � �?�¥���$�:�/÷È� � � � �e����� K� ; �e� ���U� �W���W������Ij�:�/������÷ ���$�:�/÷È� � ���e��N/��� Ó ��������ª � ��� ��(���U���e���?��I$���������e� � §n� � §;� �÷ � é M��q���U� �JIj�:�����U�e���U�0�U�ÍN��/���U�/��� Ð ����� ����� ; � � ����������� ���L�U�����KN$�U����� � �e���e� ; ���&÷ �/���U�e���K ����� G Ã-. , æ>7?2`�1 D 2Cà Á ç M�êñ� ; �/�¬��� � � �U�/��  Ó � � �/�����W�/�m�����/���g�������U�e�:���q�U�ÍN��/���U�/� � �� n�I�e� �/�Í�� µù½ |u  Ý ¹ æbM á � é �U� �?�������������������e�:�/�#�`���?�U�����U�e�¢�/�­����� ��Ij�:�������e�����q÷ �����U�/� æ Ü�Ï M �eÇ é M�q�j��� Ð �0�:�ONe� � � K ���U÷È�������U�/�:�?�Â÷ �/�����I�(������w��ü) �¡ Ý ¹ åY¢ µ ½ | þ

Page 147: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Ã��NTÙØ2T V ��Û!� S Û4Ý�ß � Û�Q�Q SRU Ú ß¬â�Û4Ý�ß U à ÜO�jÇÐ ���[���R �¡0���n�����Z ��������b�­� ; �[�������e�>¡?÷ � ; ; ��� � Ý æCM é ��� Ý æbM á ¢ é  ��E� � � ; �e���j�n�/� Ð ��� � �^���q������������e�:�/�#�Ð���(�U�����U�e�}��� æ Ü�Ï M �eÇ é M¥P� ÐtÐ � �/® ; ��� �������u[:���f� Ý æCM é  ��/���e��� ��¡������ ÷ �/�����I�(�f���£�BMåêñ�,�/������� Ð �e�g����  Ð ���� � �e÷ ; �/���0�/�Í�h[:���f�

Ý æCM é ��� Ý æbM é � Ý ¹ æCM á � é �]\ æCM á � éÐ ���[��� Ý ¹ æbM á � é �U�ë����� ; ���-{�� � �����e�}�/�Ý æbM é �e�����������m÷ �/�����I�(�����£�� :��� � \ æCM á � é �U�n�����; ���-{�� � ���U�/���/�

Ý æbM é ���������0�e�������(�e�e���?�©���U��� � ���U�/�4¤:�µM<�?M \J¥�¦   o � �£� Ð ���[��� Ð �0�:�ONe�²�����L������ �����������U�e� \J¥ æbM é � \ æbM á � é   Ý ¥ æbM é � Ý æbM á � é  :�[� � M&¥��/���m�������P�����¨���/� �/�����4� ; � � �/   o � �£�Å�U�q� ; �/������� Ó �Ð�����¨�I��� � ���U�e��� §Ý ¹ æbM á � é � §;M Í  N§n� Ü � �O�L� � � M � �e�����JIj���[���C���/ Â������ Ó �DNe�¨�e�������(�e�/�:�?�U���­� � �e� ���������e� Ó � � �e÷È���� \ æCM é � Ý ¹ æCM ég� M � ª � æ ÜDÏ M ��Ü éF Ó ���[�gNe�?���:��� �������I��� � ���U�/��� §

Ý ¹ � §;M Í �����©¨ 1/2CÃ- ¯ ÃL0�1� æ ���f�/�����I��� � �����e��� Ð �����`�[�f�e�[� KN��?�U���¬Q��[��� é �/�¨�����úXP�������U�/�.� ; �[�������e�å÷ &gfgf � æ Ý ¹ é M«êñ� ���[�L�¤ 4�����W�I��� � �����e���Ý ¡ æCM é �Ý ¹ æCM � ¢ é �/���0�?��� � ������� � ��� ; �/�U�����q�/�������¨�I��� � ���U�e�:���

� c§ � æ Ý ¡ é � ª ª4¢ µ ½ | �ï �6h-�����������U������� �²�����U�q��I$���������e� Ð ���������[� ; � � �P��� ¢ Í �¦� ¢ � ª   Ð �4[:� �÷ &gfgfjæ � æ Ý ¹ é�é § Ý ¹ � §;M Í � ªÐ ��� � �¢�[����� Ó �U�������[�m�e���m�������[�����U�e�WM�q��� � �e� �������U�/� æ Ü�Ï M �/Ü é ���������[� ���:���4�������:� � �����������e����/���}�e�������(�e�e���?�n���`�����ZQ������ K ÷È�������?�/�S÷ &gfgf � æ Ý ¹ é  n�/��� ���������[�I�e���Z�U�U� �����������L�K� ��� �����; �e��������N/�m� ; � � �������Î��� Ó � ; � � �²�/�¦÷ &gfgf� æ Ý ¹ é M�q�j��� Ð � ; �/���²�I���e÷ ������[:���f� Ý æCM é ���^����� ; �/�U� æ � � \ æCM é�é Ð ���[��� � µy½}| ��� � \ æbM é���¦���U�#[:��� æ Ü�Ï M �/Ü é Mw�q�������U��  � � � æ Ý é �������U�g[����q�����¨��I$���������e�� ü Ý æCM � � é á Ý ¹ æCM é þi� Ý ¹ æbM ég� M � ª�/� � \ æbM é � Ý æbM � � æ Ý é�é á Ý ¹ æbM é �� �e�ÍNe�[�����L���/ $����� [:���f� Ý æCM é ������� � �e���¬����� � ���L�\�I���e÷ � ��� � \ æbM é � ��� �e�>���U� �4��� �����n�JIj�:�����U�e�Ý æbM é � Ý ¹ æbM á � é ��\ æCM á � é ��q���P�����/�����I�e��÷ �����U�e�\�/�-������÷È�e÷ �[������÷«[:���f�¤  � æbM é   � �/� Ó �&�I�e����� �����U� � � �¬���/� ���/�>�x*�?�e���/� �e�U�/�8�I�/��÷ �?�U����÷�M �q���[� �����^�����/�����I�/��÷ �������e���\�/� Ó �/��� Ý æCM é �/� � � æCM é �u���L���ù�� �����e��� � �?�+�����/�����I�e��÷ �����U�e�òM�q��� �/�:�?�K�u���U� ; �������[�����L� � Ó �DN/�È�I�e�m�����\���e�,�����/���>���¦���U�/� K ���UN��/�����/��� � �/��� � �/� Ó �\�/® K���[� ���������?�����m���������>�U�������e� K ���ÍN/���������j�ë�e����M ���4���e�«�<� ; ���������0�����U�q���[����M

Page 148: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

ÜO��Ü � $zÛRQ4Ý Æ�S Ã-�NT�ßáà?Ý S�U �Z� � Ý�ß U àØÝ U9V ��Û à?ÝS�NâãÄkß Æ ��tÝ�$ ÆWUXS %¬`­X®O¯°®±¬ ²$³±´tµ·¶R´B´B³±¸�¹Ü MRº¼»·½n¾�¿)À'Á>½B¿)À'.!¾ J e �U�$��� � ���f���/  Ð � � �/�¢��� K ���j����� ; ���R� Ð ����� Ð �È�:�ONe�u���e���È� Ó �DNe� �/�Ij�:�/�����fQE�¦���U�/� �/�¤����� � ���/����� � �?�����(���������e�Ý ¹ æbM é �U�È�����z[:���¬� � �����/ ��e�Å����� ÷ �/�����I�(�f�\�/����(�U�����U�e��� Ý ¹ æCM á � é ������������� � �e� �òM!êñ� ���[�L�¤  Ð � � �/�Y�/������N/�����������²������� ����� � Ó �DNe�Ó �h[:�����z���e��� �?����� � �/���e��� � �?�-�����������I�e��÷ �¦���U�/�Ý æCM é � \ æCM é � Ý æCM é á Ý ¹ æCM é �/� � � æbM é � � æbM é æ ÜDÏ M ��' é�/���^������� ; �[���I�e��÷ ��� � � �/���e��� � �?�«I$���/�����fQ��������e�WMêñ� �����������/���>���¦���U�/�����UN��/�����/��� � �/���/  Ð �W�:�ONe� ���ÂIj�:�/�����fQ�� �U������� ; ��������� � �`�/�0��#�u÷È÷È�[���#� �e���e� ; M X4�ONe� Ð �^�[� � �/�����������L����� � � � ; ��� Ó �U��÷ Ó �R�I�e����à êñ���w� � � Ð ��:�ON/�/ +���ÄIj�:���j���fQ[�U� �\�����<� �-® Ð �L�f�*��I$���������e���LMA�q������� Ð � �:�?���������E�?� Ð �����¨����� �e��#�u÷È÷È�[�����U�[�LM ä �ë�¨���[��� ���E  Ð �WIj�:�/������Q��&�����&���U� � �����e÷ ���e���[��� � [:���f�È�U�\����� ������� � �����e������/���#Ne�[�����?�����������e� Ó ����� �/�h���������/� �e�n�e���e� ; Mnek�/�����U� �}���Ð�����<[:���f� \ ��� æ ÜDÏ M ��' é

� �/� Ó � � �e�����f���������¢�/��Ij�:�/�����fQE�¦���U�/�W�U� �����n���U��� � ���U�e� �����/���gNe�[���������Ð�����n�e���e� ; �/������/���g�������U�e���LM� M°Å ��� ½B¿gÀbÆ·À'Ç�¿gÀ'ȼÀ'¾�ÆB½;,�À'½n¾ÉÈ � M � �ËÊiÌ�Ì�Í6Î�Ê?�!ÏJINÐnÊ�ÑÒÍ@ÓrÔ æ Ü�Ï M �eÇ é Í6ÌÕÍ@ÔÍNiÊrÖ×ÍËÊrÔ>Ñ Ð Í6ÑÒØÙÖ�ÏJÌ ; Ï�Î�ÑÑ�ÓYÑ�Ø;ÏXÖ�Ï��ËÊiÑ�Í�N2Í@̱ÑÒÍ6Î ��Ö×Ó�Ð ; ÓrÚ-÷ÛÓrÑ�Í@Ó�ÔBÌ K ÑÒØBÏ�Ü Ã-2C1 , 3 ¨XD 2Cà Á ç MÀ�XØBÏJÖ�Ï~ÚCÓ�Ö�ÏWÊrÔÍ�^̱ÑÊiÑ�Í@Ó�Ô KÊrÖ#�YÌ�Ó(�6ÐBÑÒÍ6Ó�Ô4Ý Ý!Þ ÝrÓrÚtÑÒØ;Í6ÌßÏ�I2Ð;ÊiÑÒÍ6Ó�Ô%ÎJÊrÔ Ó Ïn  Ó Ó2Ó�̱ÑÒÏL��¡ Ó �-ÊSxàÓ�Ö×ÏJÔ>ÑCQ�ÑÒÖ�ÊrÔ;Ì×ÚCÓrÖ�÷ÛÊiÑÒÍ6Ó�ÔÍ6ÔNÑ�Ó¼Ê^Ñ�ÖÒÊON�Ï��@Í6Ô � Ð ÊON�Ïic Ý0á æCM � � é � Ý!Þ æ M á]â � á M Þã Ü á]â ö é æ ÜDÏ M³¾rä éM+-,g.!/ �I�§� �2143650å+*ß: 1Bææ�çJè!0?.92C1Bæ/3Wæ>7?8fæ Á 8K7?3é.µÃ , 3 : 7?3�3 : 1 ÆaÁ�, æ/3é.µÃ , Ýná �L7?3é.@�Cé£1��ï�<>= ô@?0ê ðç�2CÃ�ëD.�0�1>0 Ý0Þ .@�67�æ/2a.93é.µæ>7?8�ç�Ã-. , 3£Ã Æ �Ûì Ý é ô�XØNÐ;ÌíÍ6Ô¼Ñ�Ø;Ï°ÑÒÖÒÊiÔ;Ì>�@ÊiÑÒÍ6Ó�ÔnÊ?�����%Í@ÔÍNiÊrÖ�Í@ÊrÔ>Ñ�ÎJÊrÌ�ÏiÝ;Ê-Ì�Í@Ô��(�@Ï°Ì×ÑÒÊiÑÒÍ6Ó�ÔnÊrÖ#�^Ì�Ó?�@ÐBÑ�Í@Ó�Ôu�@ÏJÊ?�;Ì�ÑÒÓÊrÔîÏ�Ô>ÑÒÍ@Ö×Ï � � K �BÍU÷¼ÏJÔ;Ì×Í@Ó�ÔnÊ��Î÷ÙÊrÔBÍ6ÚCÓ(���ÄÓrÚïÌ×Ó(�@ÐBÑ�Í@Ó�ÔBÌLM!�XØ;Ï�Ì�Ï©Ì�Ó?�@ÐBÑ�Í@Ó�Ô;Ì�ÊrÖ�Ï%ÑÒÖÒÊONrÏL�@Í6Ô �Ð ÊON�ÏJÌ�ÝàÓ�Ö �DÃ-8:.93­Ã , � ì Í6Ô ; ØÍ�2Ì�Í6ÎJÌRÑ�ÏJÖ�÷¼Í@ÔBÓ(�@Ó(��� é M&�XØBÏ��ðÊrÖ�Ï ; ÊrÖÒÊ/÷¼Ï�Ñ�ÏJÖ×ÍfQJÏ�� Ó �ÄÑ�Ø;ÏJÍ6ÖÍ6Ô;Í6Ñ�ÍËÊ?� ; Ó�Ì�ÍñÑÒÍ@ÓrÔ;ÌJÝ M Þ ÊrÔ �òÑÒØ;Ï�Í@ÖSNrÏL�6ÓtÎ�Í6ÑÒÍ6ÏJÌ�Ý â M��XØBÏ��îÎJÊrÔ Ó Ï©Ö�Ï ; Ö�Ï�Ì�ÏJÔ>Ñ�ÏL�]ÊrÌP�6Í@Ô;Ï�ÌÓ�Ô�Ñ�Ø;Ϩ÷ÙÊrÔBÍ6ÚCÓ(���ó�£�BM¾�MWôõ. � � ¾�¿g» � È�.!¾ßÇ � ,)Æ;½t¿gÀ'.!¾¥M¦�XØ;Ï ; ØÍ�2Ì�Í6Î�Ê?�0INÐnÊrÔ>ÑÒÍñÑ­� Ð Ø;Í6ÎØÛÍ6Ì�ÎJÓ�Ô;Ì×ÏJÖ#N�ÏL���;Ð;Ï°ÑÒÓÑ�ÖÒÊrÔ;Ìg�ËÊiÑ�Í@Ó�ÔóÍ6ÔUNiÊrÖ×ÍËÊrÔBÎJÏYÍ@ÌXÑÒØBÏ6[nÏ��f�^÷ÛÓe÷¼ÏJÔ>Ñ�Ð�÷¨M ê}ÔÄÑÒØBÏ%Î��ËÊrÌ×Ì�Í@ÎJÊ?�·Î�ÊrÌ×ÏrÝ0ÑÒØ;Ï�ËÊ�Ñ�ÑÒÏ�ÖÍ6ÌA��Í�NrÏJÔ Ó � ø ì Ý � �·ö � � �ì M ö×� Ý ì M ö � M �

Page 149: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

÷��NTÙØ2T V ��Û!� S Û�øÉù � Û�Q�Q SRU ÚRù±ú�Û�øÉù U°û ÜO�Í'�XØ;Ï�INÐnÊiÔNÑ�Ð;ü [;ÏL�f�ÂüÛÓ�ü¼ÏJÔ>Ñ�Ð;üÄÝÀø¼Ý`Í6ÌkÓ Ó ÑÊrÍ6Ô;ÏL� Ó �£I2Ð;ÊrÔ>ÑÒÍfQ�Í@Ô �¬ø ì Ý � �Éö Í@ÔÂÑ�Ø;Ï̱ÑÊrÔ �;ÊrÖ>� Ð ÊO�?M+-,g.!/ �I�§� �21436505ý8;: Ã�þ�3 : 7?3¥. , 3 : 1P3�2>7 , �/8K7?3�.µÃ , ­. , ë-7?2a.�7 , 3Ñæ>7��D1ÿ ø ì Ý � �Éö ÿ}7 , 0�.93C�� Á 7 , 3 Á�� æBà Á�, 3 1/2Eç�7?2a3Cÿ ø ÿÑ7?2C1�æBà , �D1/2vë?1>0uÂA.���1��

ü-ø ì Ý � �·ö � ÷ ì Ý � �·öaþ �Hä 7 , 0 Ü� ± ø � ÷¨´��$ä �ªtÐ ; ; ÓrÌ�Ï � � Ü M��0ÓrÖ°Ñ�Ø;ÏkÌ×Ó(�@ÍñÑÒÓ�Ô ì ÜDÏ M³¾rä ö ÝnÑÒØBÏkÏJÔBÏJÖ>����� ������÷ ì Ýná � � á ö Ý�ÊrÔ �ðÑ�Ø;Ïü¼Ó�ü¼ÏJÔ>ÑÒÐ;ü ø��������ðø ì Ýná � � á ö Ý;Ì�ÊiÑÒÍ6Ì×Ú9� Ñ�Ø;ÏYÖ�Ï��ËÊiÑ�Í�N2Í@̱ÑÒÍ@Î�Ö�Ï��ËÊiÑ�Í@Ó�Ô�� ������ø ö����� � � ö� ��� ì ÜDÏ M³¾ Ü öÐ Ø;Ï�Ö�Ïk��� �����ð÷ ì Ý!Þ � � Þ ö Í@ÌíÑÒØBÏ-üÛÊrÌ×ÌXÓrÚßÑ�Ø;ÏYÌ�Ó(�6Í6Ñ�Ó�Ô ì ÍéMPÏ�M�Í6ÑÒÌXÖ×ÏJ̱Ñ�Ï�Ô;ÏJÖg�?� ö M+-,g.!/ �I�§� �214365�� � 7����<1/2a.bë?143 : 1 NtÍ6Ö�Í@Ê?�«Ö×ÏL�ËÊ�ÑÒÍ@ÓrÔ��� � Ý!Þ � ö � ¹�� ö � � ì ¹ Ý0Þ ö ì ÜDÏ M³¾ � ö

Æ Ã-2S3 : 1��DÃ-8:.93 à , ����Ã�0�1/2/.bë?1S3 : .@�ÿ æBà , �/.�0�1/2S3 : 1 Æ 7 � .98�è Ý � ì M ö � Ý!Þ ì fJM ö � 8 . , æB1Ý0Þ .@�67�æ/2a.93é.µæ>7?8�ç�Ã-. , 3 Ã Æ 3 : 1 ÆaÁ�, æ/3é.µÃ , 7?8 �Ûì Ý ö ÿïþ 1 : 7rë?1�� f �Ûì Ý � ö � �� � �$ä �� : 18K7?3�3­1/2. � ç�8:.µ1� � <>=!�#" ? �$�� ç%��Ä4�D13 : 1-ëD.92/.�7?8©2C1/8K7?3�.µÃ , 3­ÃPç�2BÃ�ë?1P3 : 12C1/8K7?3�.bëD.@�/3é.µæ Æ Ã-2 ��Á 8K7 � <>=!�#"N<��$��XØ;ÏXINÐnÊiÔNÑ�Ð;ü9ü¼Ó�ü¼ÏJÔ>ÑÒÐBü ø �@ÏJÊ?�;Ì Ñ�ÓRÑÒØ;ÏXÌ×Ó(�@ÍñÑÒÓ�Ô%ÎJÏJÔ>Ñ�ÏJÖ�üÛÓrüÛÏ�ÔNÑ�Ð;ü'&�Î�Ó�Ô-{×Ð �>Ê�ÑÒÏÑ�Ó©Ñ�Ø;ÏYÌ�Ó(�6Í6Ñ�Ó�Ô�ÎJÏ�ÔNÑ�ÏJÖWÎJÓ2Ó�Ö>�BÍ@ÔnÊiÑ�Ï?M

Page 150: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Ü�Ï ä � $zÛRQ�ø)( S ÷-�NT ù û ø S�U �Z� � øÉù UXû ø U9V ��Û û øS� ú+*ßù,(} ���ø�$-( UXS %

Page 151: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

. / 021 3�465 798: 0<;=3 : > 49?)4A@B3�5DCFEHG ; 0 > I @KJ CML; C=;FNO5D49?�0P3 IRQ I JS3 I @ 1 0T5U3 I @V?)4AJXW 3Y/ 43Y/ 4'CZ5UG CML 5Y0<E I 0[3 I C=;

ê}ÔkÑ�Ø;Í@ÌÉÎØnÊ$\BÑ�ÏJÖ Ð Ï^]BÏJÌ�Î�Ö�Í Ó ÏÕÑ�Ø;Ï�Ñ�Ø;ÏJÓrÖ`_-ÓrÚ;Ñ�Ø;Ï^\;ØBÏJÔ;Ó�ü¼ÏJÔBÓ�Ô�ÓrÚnÏ�üÛÍ6Ì�Ì×Í@Ó�Ô%ÊrÔ�]^Ê Ó Ì�Ó�Ö`\BÑÒÍ6Ó�ÔÓrÚ�Ï�a6ÏJÎ�Ñ�Ö�Ó�üÛÊ?��ÔBÏ�ÑÒÍ6Î^ÖÒÊ$]BÍËÊiÑ�Í@Ó�Ô Ó _òÌ%_ṯÑÒÏ�üÛÌ-ÓrÚ�Ô;Ó�Ô K Ö�Ï�a@ÊiÑÒÍcb2Í@Ì×Ñ�Í@Îd\nÊrÖ×Ñ�Í@Îea@ÏJÌ�Ì×Ð;ÎØ ÊiÌ%Ê�ÑÒÓ�ü¼ÌÊrÔ�]óü¼Ófa@Ï�ÎJÐ�a6ÏJÌeg ä Ñ�Ñ�ÏJüh\BÑÒÌÕÑ�Ó©ÎJÖ�ÏJÊiÑÒÏ�Ì×Ð;ÎØ Ê�ÑÒØ;Ï�Ó�Ö`_ ÊiÑíÑÒØBÏ�ÏJÔ�]óÓrÚ·ÑÒØBÏiaËÊṟÑXÎJÏ�Ô>ÑÒÐ;Ö%_óÊrÔ�]ÑÒØBÏ Ó ÏL�rÍ@Ô;Ô;Í6Ô ��ÓrÚïÑÒØ;Í6Ì�Ó�Ô;ÏOa@Ïe]îÑÒÓóÑÒØ;Ï Ó Í6Ö×ÑÒØîÓiÚÕINÐnÊrÔ>Ñ�Ð;üj\;Ø!_2Ì�Í@Î�ÌJÝ ÊrÔ�] Ð Ï�Ö�ÏÛÊk]BÖ�Ílb2Í6Ô �ÚCÓ�Ö×ÎJÏkÍ6Ô Ñ�Ø;Ïm]BÏeb�Ïea@Óf\BüÛÏ�ÔNÑRÓrÚ�INÐnÊrÔ>ÑÒÐBüZnnÏeao] ÑÒØ;Ï�Ó�Ö`_$g&�XØ;Ï%Ð�\;Ì×Ø;ÓrÑ�ÓrÚ ÑÒØ;Ï�Ì�Ï�Ê�Ñ�ÑÒÏ�üp\tÑÒÌ�Í6ÌÑÒØBÏ%ÑÒØBÏJÓ�Ö%_ÄÓiÚ�I2Ð;ÊrÔ>ÑÒÍoqJÊiÑÒÍ6Ó�Ô ÓrÚ�üÛÊiÑ�Ñ�ÏJÖ�ÊrÔ�]eÖ�Ê$];ÍËÊ�ÑÒÍ@ÓrÔk]BÏJÌ�Î�Ö�Í Ó Ïe]îÍ@ÔÄÑ�Ø;Ïm\BÖ�Ïeb2Í6Ó�Ð;Ì�ÎØ;Ê$\ KÑÒÏ�Ö�Ìeg�FRÔ�al_ Ó _ðÊrÌ�Ì×Ð;ü¼Í@Ô �¼ÑÒØ;Ï%üÙÊiÑ×ÑÒÏ�Ö�ÊrÔr]ðÑÒØ;Ï%ÖÒÊ$]BÍËÊiÑ�Í@Ó�Ô�ÑÒÓ Ó Ï%I2Ð;ÊrÔ>ÑÒÐ;ü Ý�ÎJÊrÔeÓ�ÔBÏn��Ícb�ÏÊÄÎ�Ó�Ô;Ì×Í@Ì×Ñ�ÏJÔ>Ñs]BÏJÌ�Î�Ö�Íl\BÑÒÍ6Ó�ÔÂÓrÚÕÑÒØ;Ïh\;Ø;Ï�Ô;Ó�ü¼ÏJÔ;Ó�ÔÂÍ@Ô�I2ÐBÏJÌ×Ñ�Í@Ó�Ôtg��XØNÐ;Ì�Ý�Ó�Ð;Ö-Ì×ÑÒÊrÖ×Ñ�Í@Ô �k\�ÓrÍ@Ô>ÑÌ�ØBÓ�Ð�ao] Ó ÏYÊuªtÎØ;Ö �Ó$];Í@Ô �rÏJÖXÓf\!ÏJÖ�ÊiÑÒÓ�Ö^];ÏJÌ×ÎJÖ�Í Ó Í@Ô��¼INÐnÊiÔNÑ�Ð;ü<\nÊiÖ×ÑÒÍ6Î�a6ÏJÌíÍ6ÔNÑ�ÏJÖ�ÊrÎ�Ñ�Í@Ô � Ó Ï�Ñ Ð ÏJÏ�ÔÑÒØBÏJü¼Ì�Ï�acb�Ï�ÌJÝÉÊrÔ�] Ð ÍñÑÒØîINÐnÊrÔ>ÑÒÐBü ÖÒÊ$]BÍËÊiÑ�Í@Ó�Ô�gPê}ÔòüÛÊiÑÒØBÏJüÛÊiÑÒÍ6Î�Ê$aàÑÒÏ�Ö�ü¼ÌJÝ«Ñ�Ø;Ï^INÐ;ÏJ̱ÑÒÍ6Ó�Ô Ð ÏÊ$]�]BÖ�ÏJÌ×Ì�Í@ÌRØBÓ Ð Ñ�Ø;Ï Ó Ó�Ð;Ô�]òÌ×ÑÒÊiÑÒÏkÌ×ÑÒÖ×Ð;Î�Ñ�Ð;Ö�Ï^ÓiÚ�ÑÒØ;Ï�\nÊiÖ×ÑÒÍ6Î�a6Ï%Ì%_ṯÑÒÏ�ü Í@Ì�üÛÓ�];Íln;Ï�] Ó _ðÑ�Ø;ÏÍ@Ô>Ñ�ÏJÖÒÊiÎ�ÑÒÍ6Ó�Ô Ð Í6Ñ�Ø£Ö�Ê$];ÍËÊ�ÑÒÍ@ÓrÔ�gÛF�ÔBϼÏa®u\�Ï�Î�ÑÒÌ%ÑÒØnÊiÑYÑ�Ø;Ï��rÖ�Ó�Ð;Ôr]£Ì±ÑÊiÑ�ÏÛÓrÚ�ÑÒØ;ÏO\nÊiÖ×ÑÒÍ6Î�a6Ï^Ì`_2Ì KÑÒÏ�ü Ì�Ð;Ö%b2Ílb�Ï�ÌJÝ Ð ØBÍoa@Ï^Ñ�Ø;ÏÛÏa®tÎJÍ6Ñ�Ï�]£Ì×ÑÊ�ÑÒÏJÌ-ÑÒÐ;Ö×ÔÂÍ6ÔNÑ�ÓÄÖ×ÏJÌ×Ó�ÔnÊrÔ;Î�ÏJÌegå�XØ;ÏÙÖ×Ï�Ê$av\nÊrÖ±ÑÒÌ-ÓrÚÕÑ�Ø;ÏÖ�Ï�Ì�Ó�Ô;ÊrÔ;ÎJÏ�Ì K ÑÒØ;ÏÛÖ�Ï�Ì�Ó�ÔnÊiÔ;ÎJÏÛÏJÔ;Ï�Ö>��Í6ÏJÌ K \;Ö×Óu]BÐ;ÎJϼÑÒØ;Ï�Ü�w$� çÙ� :�x Æzy'ÝRnnÖ�̱Ñ�Ï/®u\!ÏJÖ×Í@ü¼ÏJÔ>ÑÊ$alal_ü¼Ï�ÊrÌ×Ð;Ö�Ïe] Ó _p{ÉÊiü Ó ÊrÔr] �°Ï�ÑÒØBÏJÖ×ÚCÓrÖ|] ì {·Êrü Ó Ð ÊrÌÕÊ Ð ÊrÖ`];Ï�]ÛÑÒØ;Ï~}�Ó Ó Ï�a�\;Ö×Íoq�ÏWÚCÓ�Ö�Ñ�Ø;Í@Ì�];Í@Ì KÎJÓ�brÏJÖ`_ ö gÑ�XØ;Ï�Í6üÙÊ���Í@ÔnÊiÖ`_�\nÊiÖ×ÑÒÌÕÓrÚ·ÑÒØ;ÏRÖ×ÏJÌ×Ó�ÔnÊrÔ;Î�ÏJÌ K Ñ�Ø;Ïi];Ï�Î�Ê�_�\;Ö×Ó Ó Ê Ó Íoa@ÍñÑÒÍ6ÏJÌ K ÊrÖ×Ï!��ÍlbrÏJÔÓ _ÄÑ�Ø;Ïh�����z� x�� Ã��c� ���úÇAÁ � � ì Ì�Ï�ÏrÝ4Ïe�;ÝÀ±���Ð�ª�´ ö gò�XØ;Í6Ì~\BÍ@Î�Ñ�Ð;Ö�Ï Ð ÊiÌRÏJ̱ÑÊ Ó a6Í@Ì×Ø;Ï�]eÖ×Ío��ÓrÖ�Ó�Ð;Ì`al_Í@Ô²±����wª Ü ´ K ±����Àªu�?´�Ý Ð Ø;Ó�Ì×Ï%Ö×ÏJÌ�Ðra6ÑÒÌ Ð Ï�];ÏJÌ×ÎJÖ�Í Ó ÏYØ;Ï�Ö�Ï�gÜDϧÜ

Page 152: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Ü�Ïf� ��� ÛRQ�ø)( S ÷$�>T V ��Û û øS� ú�(v��(��Wø S�U ��� û Û�úÄù�� � U * ûkUXû-¡OS (v�©Û�øÉù�¢ ù%�·øÉù��ðQ�Û S øÉù����R(��t£Bø � (]ø �¤�¥§¦�¤ ¨P©ª «F¬k� ­�®e¯�°h±²­�¬m±�°ÏJÎ�Ê�aoa·ÚCÖ�Ó�üM³tÏ�Î�ÑÒÍ6Ó�Ô Ü�Ï g´��g��ÛÑ�ØnÊiÑ�ÑÒØ;Ï�INÐnÊiÔNÑ�Íoq�Ï�]îÏ�a6ÏJÎ~ÑÒÖ�ÓrüÙÊ$�rÔ;Ï�Ñ�Í@Î�nnÏ�al]eÍ@Ì�];ÏJÌ×ÎJÖ×Í Ó Ï�] Ó _Ñ Ð Ó�ÎJÊrÔ;Ó�ÔBÍ@Î�Ê�aµnnÏeao];Ì�cÙÑÒØ;Ï�INÐnÊiÔNÑ�Íoq�Ï�]¶b�ÏJÎ~ÑÒÓ�ÖO\!ÓrÑÒÏ�Ô>ÑÒÍËÊ�a ì I2Ð;ÊrÔ>ÑÒÍoq�Ï�] ÎJÓ�ÔBÔ;ÏJÎ~ÑÒÍ@ÓrÔ öm· � ì M öÊrÔ�]�INÐnÊrÔ>ÑÒÍlqJÏe]ÂÏ�a6ÏJÎ~ÑÒÖ�Í6ÎsnnÏ�al]� ì M ö ÊrÎ~ÑÒÍ@Ôr� ÓrÔ�Ñ�Ø;Ïh�0Ó2ι¸eÌ`\nÊrÎJÏOº§» �½¼ gO¾XØ;Ï�_òÌÒÊiÑ�Í@̱ڿ_ÑÒØBÏ-̱ÑÊrÔr]nÊrÖ|] ÎJÓrüÛü�ÐtÑÊiÑ�Í@Ó�Ô Ö×Ï�a@ÊiÑÒÍ6Ó�Ô;Ì�¹À ì M ö�Á· � ì � ö,ÃÅÄ í ì M á � ö)ÆÈÇÉÁÏ�Ñ�Î$gñÝ!Ê°Ø;ÏJÖ×Ï&í ì M á � ö Í@Ì Ñ�Ø;ÏXÍ@Ô>ÑÒÏe��ÖÒÊ�ar¸rÏ�Ö�Ô;Ïea0ÓrÚ0ÑÒØ;ÏË\;Ö×Ó�Ì×ÏJÎ~ÑÒÍ6Ó�Ô©Óf\�Ï�ÖÒÊiÑ�Ó�Ö ÚCÖ×Ó�ü Ñ�Ø;ÏËb�Ï�Î�ÑÒÓrÖ KnnÏeao];ÌRÓrÔÍ ý Ñ�Ó ÑÒØ;Ïs]BÍlb�Ï�Ö|��Ï�Ô;ÎJÏ K ÚCÖ×ÏJÏ ì Ñ�ÖÒÊrÔBÌ`b�Ï�Ö�Ì×Ï ö b�Ï�Î�ÑÒÓrÖinnÏ�al];Ì�gξXØ;Ï^INÐnÊiÔNÑ�Ð;üÏ��Êrü¼Íoa KÑÒÓrÔ;ÍËÊrÔÐ�rÓÑbrÏJÖ×Ô;Í@Ô��©ÑÒØBÏ-Ï�b�Ófa6ÐBÑÒÍ6Ó�ÔóÍ@ÌË��Ícb�Ï�ÔSÒ!_

÷ �» � Ü�ÎÓ cµ ì M ö ö�Ô9Õ ÎJÐBÖ|a · ì M ö`ÖÑ× cµØ!Ù M ÁÊ°Ø;Í6ÎØ�Í@Ì�Ì×Ð;̱ѰÊkINÐnÊrÔ>Ñ�Íoq�Ê�ÑÒÍ@ÓrÔ ÓrÚàÑÒØBÏRÎ�a@ÊrÌ�Ì×Í@Î�Ê�at��ÊrüÛÍla6Ñ�Ó�Ô;ÍËÊiÔ¼ÚCÐ;ÔBÎ�ÑÒÍ6Ó�ÔnÊ$a g�Ú}Ô Ñ�ÏJÖ�ü¼ÌíÓrÚàÑ�Ø;ÏÎJÖ×Ï�ÊiÑ�Í@Ó�Ô ÊrÔr]ðÊrÔBÔ;Í@Ø;ÍlaËÊiÑ�Í@Ó�ÔÛÓf\!ÏJÖÒÊ�ÑÒÓ�Ö×ÌíÑÒØ;Ï�Ì�Ï-ÓfÒ�Ì×ÏJÎ~ÑÒÌ�ÊrÖ�ÏiÊ°Ö×Í6Ñ×ÑÒÏJÔÄÊrÌíÚCÓfala@Ó�Ê°Ì· � ì M övÄ Ó Õ &�ÛÝÜeÞ ß�à ì�á ö Ô Ø�âPÎ�â Ö�ã � ì á ö Ø Ù á ÁÊ°Ø;Ï�Ö�Ï ã � ì�á ö äVå ã � ì ��æ ö � Ù Õ �Ñç � ì�á ö Ö �Éè é × Ý ç � ì á övÄKå � á � Ý;ÊrÔ�]óØ�g Î$g�̱ÑÊrÔ�]BÌ°ÚCÓrÖÕÑÒØ;Ïkê±Ø;ÏJÖ×üÛÍ KÑÒÍ@ÊrÔóÎJÓ�ÔÑÌ×Ð��>ÊiÑ�Ï�ë;ÝnÊiÔ�] ì �» Ä Ó � ç � ì á ö àÈí ì á ö à ì á ö Ø Ù á âî Ì%_2Ì×ÑÒÏ�ü ÓrÚ`INÐnÊrÔ>Ñ�Ð;ü üÙÊiÑ×ÑÒÏ�Ö ì ÊiÑ�Ó�üÄÝBüÛÓfa6ÏJÎ�Ð�a@ÏiÝ;Ï�Ñ�Î$g^Ê°ÍñÑÒاnrïtÏ�]ðÔNÐ;Îea@Ï�Í ö Í@Ì�];Ï�nnÔ;Ï�]Ò!_ ÑÒØBÏm³2ÎØ;Ö �Óf]BÍ@Ô���Ï�Ö°Óf\�Ï�ÖÒÊiÑ�Ó�Öìsð¹ñ�òló Ä ôõ ö è ÷��ø'ù ×

ö Ôûú ×�üÉýÿþ���� ì � Á � öÊrÎ~ÑÒÍ@Ôr� Ó�Ôº ð¹ñ�òcó Õ Ä�� × ì Í Ù ô ö`Öì Ó�ÖRÊ Ì�Ð�Ò;Ì`\nÊrÎ�ϼÓiÚïÑ�Ø;Í@Ì�ÓrÚ�Ê ];Ïen;Ô;Í6Ñ�Ï^Ì`_2üÛü¼Ï�Ñ�Ö`_ Ñ _�\�Ï ö g��Ï�Ö�Ï� Í@ÌYÑÒØBÏÙÔNÐ;üsÒ!ÏJÖ%ÓrÚXÏ�a6ÏJÎ~ÑÒÖ�ÓrÔ;ÌkÍ6ÔÈbrÓfalbrÏ�]4Ý`ÊrÔ�] ø Ý � ö ÊiÔ�] ù ö Ä� � ��� ß�� ÊiÖ�ÏÛÑ�Ø;ÏüÛÊrÌ�Ì�ÝßÎ�ÓtÓ�Ö`];Í@Ô;ÊiÑÒϼÊrÔ�]�ü¼Ó�üÛÏ�Ô>ÑÒÐ;ü Ý·Ö�ÏJÌ`\�Ï�Î�Ñ�Ílb�Ïeal_rÝ ÓrÚ�ÑÒØ;Ï����{ÑÒØ�Ï�a6ÏJÎ~ÑÒÖ�ÓrÔ�g��nÐ;Ö±ÑÒØ;Ï�Ö�ü¼Ó�Ö�ÏiÝú Í6ÌWÑ�Ø;Ï�Ê$ÒBÌ�Ófa6ÐBÑÒÏ�biÊ$a@Ð;ÏYÓrÚ ÑÒØ;Ï%Ï�a@Ï�Î�Ñ�Ö�Ó�ÔÄÎØnÊrÖ|�rÏrÝ � Ä ì � è Á â�â�â Á � ô ö Ý�� Ä

ì � è Á â�â�â Á ��� ö ÝÊrÔ�] üÉýÿþ���� ì � Á � ö Í6Ì�ÑÒØBÏ�ÑÒÓiÑÊ$a��ÕÓ�Ð�a6Ó�üsÒ \!ÓrÑ�ÏJÔ>ÑÒÍ@Ê$a!ÚCÓrÖ�� Ïea@Ï�Î�ÑÒÖ×Ó�Ô;ÌXÊiÔ�]�� ÔNÐ;Î�a6ÏJÍ a@Ó2Î�ÊiÑ�Ï�]ÊiÑXÑ�Ø;Ï�\�Ó�Ì×Í6Ñ�Í@Ó�Ô;Ì � è Á â�â�â Á � ô ÝnÊiÔ�]ðÊ�Ñ � è Á â�â�â Á ���¼ÝnÖ�ÏJÌ`\�Ï�Î�Ñ�Ílb�Ïeal_rÝÅ]BÍlb2Ío];Ïe]§ÒÈ_ ú g��Ê�];ÍËÊiÑ�Í@Ó�ÔîÍ6Ô>ÑÒÏJÖ�ÊrÎ�Ñ�ÌÎÊ°Í6ÑÒØòüÛÊiÑ�Ñ�ÏJÖib2ÍËÊ Ñ�Ø;ÏÛü¼Í@ÔBÍ@üÛÊ$a·ÎJÓ�Ð�\ra@Í@Ôr� ü¼ÏJÎØ;ÊrÔ;Í@Ì×ü ì Ì×ÏJϼÌ�Ï�Î��ÑÒÍ6Ó�Ô �ug"! ö g î Ô�Ï$#NÐ;ÍcbiÊ$a@Ï�ÔNÑ)ÊíÊ�_-ÑÒÓ�ÊrÖ�Ö×Ílb�ÏÕÊiÑßÍ6Ñ ì Ê°Ø;Í6ÎØ�Í@ÌÉÎJÓ�ÐBÎØ;Ï�]©Í@Ô \;Ð;Ö×Ï�ac_%üÛÊiÑ�Ø;ÏJüÛÊiÑÒÍ6Î�Ê$a

Page 153: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

÷$�&%ñ÷'%wø � ( � ( úÄù,�àø*) û ù ( û ÷ +�,ÑÒÏ�Ö�ü¼Ì ö Í6Ì ÑÒÓ�Ö×ÏJü¼ÏJüsÒ!ÏJÖßÑÒØnÊiÑ ·.- ì � ö Í@ÌßÑÒØ;Ï/#NÐnÊrÔ>Ñ�Ð;ü9Î�Ó�Ô;Ô;Ï�Î�ÑÒÍ6Ó�Ô4Ý>Ì×ÓiÊÕÏ°Ö�Ïe\�aËÊiÎJÏÕÑ�Ø;ÏXÐ;Ì�Ð;Ê$a];Ï�Ö�ÍlbiÊiÑ�ÍlbrÏJÌ�Ò!_ ÑÒØ;ÏYÎ�ÓÑbiÊrÖ×ÍËÊrÔ>Ñ°Ó�ÔBÏJÌ$0ù 21 ù43�5 ä ù ú å · - ì � ö â ì

÷ 6 g ÷ ö¾XØNÐ;Ì�ÑÒÓ�ÓfÒtÑ87rÍ6ÔðÑÒØ;Ï�ÚCÐraoaOÝ!Í@Ô>Ñ�ÏJÖ�7iÎ�ÑÒÍ6Ô��Ð�.7rüÛÍla6Ñ�Ó�Ô;Í97iÔkÊ�Ï^Ö�Ïe\�a97rÎ�Ï�ÑÒØ;Ïm\47rÖ×Ñ�Í@Îea@Ïkü¼Ó�ü¼ÏJÔ>Ñ87tÝù ö Ý`Í6Ô ìsð¹ñ�òcó Ò!_òÑÒØBÏÙÎJÓ�b:7rÖ×Í97rÔ>Ñ-üÛÓrüÛÏ�ÔNÑ�7 ù43;5=< ö Ä ù ö ?>@z· - ì � ö ö 7rÔ�]A7$]�]ÂÑ�ÓÄÑÒØBÏÛÖ×Ï$B�Ðra6ÑÑÒØBÏ�n;Ï�ao]S�C7iüEDla6ÑÒÓrÔFD97rÔ ì -» Ö�ÏGB|\!Ó�ÔFBHDoÒ�a6ÏYÚCÓrÖË]r_2Ô47rüIDKJ$B°ÓrÚ · - ì � ö g��WÓÑÊMLeb�LJÖ�Ý�ÑÒØNL-Ó$\2L�Ö�7iÑ�Ó�ÖÊMLeÓfÒBÑ�7�D@ÔOD@Ô ÑÒØFDPBpÊ*7�_QDKBIDoala=��]FLennÔNL�]R0SD6ѼØ47�B7rÔTLJüh\BÑ _û];Ó�üE7�D6Ô ÓrÚi]FLennÔND6Ñ�D6Ó�Ô�g ¾XØFL\;Ö×ÓfÒ�aKL�üUDKBXÑ�Ø47iÑ ·.- ì � ö DPBXÑÒÓ2Ó¼Ö×Ó'V���ØW7rÔ Óf\2L�Ö�7iÑ�Ó�Ö��OÚXV;ÔFJ~Ñ�D@ÓrÔ�gµ¾ÉÓ¼ÖYLJüIL�]u_�D6Ñ�Ê*LZD@ÔNB×Ñ�DñÑ�VBÑYL7rÔ\[ � y �`w ë x^] � ��y _�[�ya` ]cb gv}C7rüIL�ac_ ÊMLZdHL�\�aK7�J$L · - ì � ö DPe ì ÷ 6 g ÷ ö Ò!_�7�egff\hL$d�7ji�f'd · kì � ö 0· - ì � öl1 · k ì � övänmo�p · - ì � öÊrqFLGdYL mo DPB/7sB�üIf�f�iYqFL�];��f'VNi/tu�^vXVFeFJGiYDKf'etg�Ú�ewva7�JGi$xNi�qFLyB`\2LGJ$Dcn4JzBYq47$\hLyf�v o DPB�eFf�irD6üp\hf'd��i87:e{irvXf'd/VNB�g î alatÊ*LzeFLGL�]W7:i/i�qFL�ÒhL��'DPeFeFDPe��sÊrDoalatÒhLZLGeFJ$f�]FLe]WDKeg7�e�LGBHi�D6ü7ji�LÎÒhL�aKf�Ê�gî Bg7|dYLGBYV�a=iÐÊ*L}7�dHdYDcb'L\7:i~iYqFL�BHi�7�e�]47:d|] �C7rüIDoa=i�f'eFDK7�eOf�vZeFf'e���dYL�aK7:i�Dcb;DKBHiYDKJ ü7jiYi�LGdDKe&iYL$d�7:JGi�DPe��sÊrDPiYqSdY7$]FDK7:i�DPf'eì ì ú ö Ä ôõ ö è ÷��ø

ì ù > 3h< ö ö × Ôûú ×�üÉýÿþ���� ì � Á � ö Ô ì »7�J�i�DKer�If�e§º ð¹ñ�òló � ºÐ»'x�ÊrqFL$dHL ù > 3h< ö Ä ù ö ú · ì � ö ö x ù ö Ä� � � ß�� x�7�e�]ì » Ä Ó ç ì�á ö à í ì�á ö à ì�á ö Ø!Ù á ÁÊrDPiYq ç ì á ö Ä � á � g���eFL�J�7�e�BYqFf�Ê�i�qF7:i ì ì ú ö DKB ÊML�ala�]NLen4eFLe] VFe�]NL$d�BYf�üIL�üIDoal]ydYLGBHi�dHDKJ�i�DKf�eFBf'e o g}.f�ÊKÊML \47�BYBri�fO]FD6üELGeFBYDPf'e�aPL$BYBµb�7:dYD97�Ò�aKLGBr7�B�vXffaoaPf�ÊrB� 1 � ×ø ú × � Á

á 1 ú ×� å ø ú ×� ×á ÁD�g�L$g=x�i�qFL�L�aKLGJGiYdYf'e�JGf�f�d|]FDPe47:i�LGB�7�dHL%üIL�7:BYVFdHL�]�DKeSVFeFD=i�B f�v�i�qFLm�*f'qFd.d�7$]NDKVFB �$� þ�� ò Ä ���� > � g¾/qFLGeSi�qNLd�.7rüIDoaPiYf'eFDK7�e ì ì ú ö DKBXüE7$\�\hL�]�DKe&iYf�iYqFL �C7rüIDoa=i�f'eND97�e � >��� �

ì ì � ö xrÊrqFL$dHLì ì � ö Ä ôõ ö è ÷�Èù ×� 3�<ö Ô ü ì � ö Ô ì » Á

Page 154: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

÷ + � � �.(�� ø)(l� ÷$�&%W��� ( û øC� ú�(v��(��Wø��y)/��� û ( úÄù�� �E)�* û ) û-¡ ��(v� ( øÉù�¢ ù%�·øÉù�� �h( �WøÉù����R(��t£Bø � (]ø �ÊrqFLGdYL � Ä Õ > �� @ Ö Ù é ×�� è é × x · � � öiÄ � �Éè é × · k¡ 4> �� @ �h¢ ÊrDPiYq o � á ö dYLe\�a97:J$L�] Ò!_ o  4> �� @ � > �� �á ¢ x7�e�] ü � � öOÄ ü�ý�þ��Y�   � Á � > �� � � ¢ gU¾/q;VNB�iYqFLwL$eNL$d|��_�DKB�üIL�7:BYVFdHL�]£DKe|iYqFLwVFeFD=i�Bsf�v � > �� � Äø å ×   > �� @ ¢ × Ä � �Ë_u]rÒ2LGd|��gT}.f�iYL�i�q47:iS¤ ä > �� @ DPB�iYqFL²n4eFL���BHiYdYVFJ�i�VFdHLAJGf'eFBHi�7�e&i�gTÚ�i�B\Fq!_;BYDPJ�7$aÈb:7$aKVFLlDPB¦¥ èè Ùc§ xjqFf�Ê*L�b'LGd¡DKezi�qFDPB�ÊMf'd`¸yDPi�DKB¨J$f�eFBYDl]FL$dHL�]s7�B�7rB�üE7$aoa�x�]FD@üIL$eFBHDKf'eraKL$BHB\47�dY7rüILGi�LGd�g¾/qFL��C7iüEDlaPi�f�eFD97�e ì � � ö DPB$x'f�v�JGf'VFdHBYL�x&LG#{VFDlb:7$aPL$e&i¦iYf�f'VFd¡f�dYDo��DKe47$aÈ�.7rüIDoaPiYf'eFDK7�e ì � ú ö g©.er]FL$dHBHi87:e�]FDKer�IiYqFLzB|\hL$JGiYd�7$aªJGf�üh\2f'BHDPiYDKf'ewf�v ì � � ö DKB�i�qNLZf$Ò�ÌHL$J�iCf�v�i�qNDKB/J8q47$\�i�L$deg¾�fIBYD6üp\raKDPv¿_IeFf:i87:iYDKf'e�ÊML�f�e�al_J$f'eFBHDo]FLGd/i�qFLzJ�7:BYLZ� Ä ÷ 0ì � � ö Ä ÷� ù ×� 3 Ô ü � � ö Ô

ì » Á � ÷ 6 g � öÊrqFLGdYL ��« Í Ù 7:e�] ù � 3 Ä ù � · � � ö ÊrDPiYq ù Ä� � � ß gv}.f�Ê ìsð¹ñ�òcó Ä è× ù × Ô ü � � ö g¾/qFLZff\2LGd�7:iYf'd ·s� � ö q47�B/i�qFLzBY7rüEL�vXf�d�üU7:B · -a� � ö 0·s� � öµÄ Ó � ú ÛÝÜG¬ ß�à � á ö ÔQ­ â å â ö ãR� á ö Ø Ù áÒFVNi^ÊrDPi�q~iYqFL�eFL�Ê®JGf'V�\�aPDKe���vXVFeFJGiYDKf'e ã�� á ö�Ä o � á ö,ã - � á ö g¦¯°Lz7�BHBYV;üILCi�qF7:i ã DKB�dHL�7$a�7�e�]B�7ji�DKB%n4L$B Ó � ã � ×ç ±³² â � ÷ 6 g ,&´¾/q{VFB ì � � ´ ]FLe\2LGe�]FB.7$aKBHfIf�e�iYqFL � JGf'V�\�aPDKe�� ´ vXVFeFJGiYDKf'e � f'd�vXf'd�üµva7�JGiYf'd ´ ã�� á ´ gî ili�qFDPB \2f'DPe&i Ê*L/vXf'd`�'LGi�7$Òhf'VNi�iYqFLrf'dYDl�'DKe¶f�v2iYqFL�\2f:i�L$e&iYD97$a ü � � ´ x�ÒNVNild�7:iYqFL$d�7�BHBYV;üILDPi/iYfOÒ2LZ7��'L$eNL$d�7�aªdYL�7�aRvXVFeFJGiYDKf'e�BY7:i�DPBHv¿_;DKe��sB�i87�er]47�d|]S7�BHBYV;üh\Ni�DPf'eFBGx4B�7�_üIDKe Õ ü � � ´ Á�· Ö « � × Ô �l¸ 7:e�] ü7�ï Õ ü � � ´ Á8· Ö « � ×� þ`ý � ÷ 6 g�� ´� BHL$L À �-³�Ú|Ú Ã ´ g¦�*L$dHi�7�DKeral_'x�i�qFL��*f�V�aKf�ümÒ�\hf�i�LGe{iYD97$a�B�7ji�DKB%n4L$B�i�qFDPBs7�BYBHV;üh\Ni�DPf'e�g���eFLJ�7�eBYqNfÑʹi�q47jirVFe�]FLGd JGf'e�]FD=i�DPf'eFB � ÷ 6 g , � ÷ 6 g´� ´ x;iYqFLzff\hL$d�7ji�f'dì � � ´ DKB*L$BYBHL$e&i�DK7$aoac_~BHL�aPv9��7$]�ÌHf'DPe&if'ewi�qNL ]Nf�ü7:DKe�º � ì ��· ´H´ x¤�¥§¦�» ¼Kªy½�¯¡¾�½�¿¬ ¯ ­�°h± À�ª-¯�Á�¾�Â

¯°L Ê*f�V�ao] aPDo¸�LSn4dYB�i~i�f�LzïF7:ÃEDPeFL�7AB%_�B�i�LGà J$f'eNBYDKB�i�DPe���f�vzÃE7:iYiYL$d~7:e�]³d�7$]FDK7:i�DPf'eOeFf�iJ$f�V�\�aKLe]giYf�L�7�J8qgf�i�qNL$d�gµ³�VNJ8q�7sB`_;BHiYL$ÃÄDKBË]NL$BYJGdYDlÒ2Le]SÒ!_wi�qNLd�.7�ÃIDoaPiYf'eFDK7�eì �a· ´ Ä ìsð¹ñ�òcó � Ç » Ô Ç ðÂñ�òló � ì » Á � ÷ 6 g +'´

Page 155: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Å$�&%ÇÆN% �lÈ �rÉC��� Ê ( É�Ë�)/Ì9� È É ¡ � � ÷ +'+ÊrqFDPJ8q°DPByffÒNi87:DKeFLe]�Ò!_�BHLGiYiYDKe���i�qNLh\F7�d�7�ÃILGiYL$d � DKe � ÷ 6 g �'´ xRi�fkq$LGdYfF0 � ÄÍ· gI© BYDKer��iYqFLBYLe\47�dY7:i�DPf'e�f�v)b:7�dHD97$ÒraKL$BGxrÊMLZf$ÒNi87�DPeÎ Õ ì ��· ´ ÖiÄ Î � ìsð¹ñ�òcó ´ Ô Î � ì » ´Î&Ï Õ ì �a· ´ Ö Ä Î&Ï � ìsð¹ñ�òcó ´ Ô Î&Ï � ì » ´Î ýÿþ�Ð ó Õ ì ��· ´ Ö-Ä Î è¨Ñ Î × Ñ Î ÙÊrqFLGdYL Î è Ä Î&Ï � ìsð¹ñ�òcó ´ Ô Î ýÿþ�Ð ó � ì » ´Î × Ä Î ýÿþ�Ðó � ìsð¹ñ�òcó ´ Ô Î&Ï � ì » ´Î Ù Ä Î ýÿþ�Ð ó � ìsð¹ñ�òcó ´ Ô Î ýÿþ�Ð ó � ì » ´ â�rL$J�7�aoa�iYqFLzB|\hL$JGiYd�7$aªB�i�dHVFJGiYVFdYLZf�v�i�qFLd³�J8qFd�Òff]FDPe��'L$drff\hL$dY7:i�f�d ì�ðÂñ�òló gv¾�_�\FDPJ�7$alal_'xuÊ*Lzq47�b'LÎ � ì�ðÂñ�òló ´ ÄÔÓ eFLe�&7:i�Dcb'LZÕ¡Ö ×�BCØ ö�Ù Ñ Ó JGf'e&i�DKe{VFVNà À ·uÁ ² ´ Ù � ÷ 6 g 6&´�.LGdYLZ� Ä?·rÁ ÷ Á â�â�ây7�e�]²ÊMLI7�BYBHVFÃELIØrÚ ÛÜØ è Û2â�â�â�gd¾/qFL�L$Do��L$eNvXVFeNJGi�DPf'eRxªÝ ð¹ñ�òlóÚ xªJGf'dYdHL��B|\hf'e�]NDKe��¶iYfsØrÚ�DKBMJ�7$alaKL�]Ii�qFLyÞ$� ] [�� �¶ß y�w$y ��xuÊrqFDlaKL i�qFL.L$Do��L$eNvXVFeNJGi�DPf'eFBMÝ ð¹ñ�òcóö vXf�d�Ø ö ÊrD=i�q�Tà ÷ xM7�dYLwJ$7$aoaPL�]|i�qNL��Há�_ x y,� ��ß y�w$y � ß gY¾/qFL§�'L$eNL$d�7�aKDoqGL�]|vXVFeNJGi�DPf'eFBsf�v i�qNLgJGf'e&i�DPe;VNf'VFBB|\hL$J�i�dHVFÃÄ7�dYLzDl]FL$e&i�Dcn4L�]ÐÊrD=i�qwi�qFLzBHJ�7:iHi�L$dHDKe��IBHi�7:i�LGB�g

x x

scattering statesbound states

x0E

0. . . E1

� ÷ 6 gâ! ´³�\2LGJGi�dHVFÃãf�v ìsð¹ñ�òlóä4f'dRi�qFL�nFL�ao]�x Î ýÿþ�Ð ó � ì » ´ Ä À ·rÁ ² ´ 7�e�] Î&Ï � ì » ´ ÄÔÓj· Ù g�¾/qFLlL$Dl�'L$e!b:7$aPVFL · J$f'dHdYLGB|\hf'e�]FBi�fsiYqFLÎb�7:J$VFVFÃ<b�L$J�i�f'dG0 ì »uå Äæ· g ¾/q{VFB�Ê*LZq47�b'LÎ Õ ì ��· ´ ÖiÄçÓ Õ�Ö - B Ø öuÙ ¸èöHé Ú Ó J$f�e{iYDKe{VFVFÃ2ÒFd�7�eNJ8q À Ø ö Á ² ´ Ù Á � ÷ 6 gÇ� ´ÊrqFLGdYL�Ø ¸ Ä®· g ¾/qFLZffÒNi�7�DKeNL�]�B|\hL$J�i�dYVNÃãDKBË\FDPJGi�VNdYL�]kÒhL�aKf�Ê�g

x

bound states

branches of the continuous spectrum

0xx

1E . . . 0

E

� ÷ 6 gÇê ´

Page 156: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

÷ +�6�� �.(�� É È �ëÅ$�&%W��� ( ÌsÉC�¦ì È � È � É��y)/����Ì ( ìSË�� �E)ríw̶)/Ì ¡ � È � ( É�Ë�¢¦Ë%�¨É�Ë�� �h( � É�Ë���� È �t£NÉ �CÈ É �³u\hL$J�i�dHVFÃUf�v ì ��· ´¾/qFLZL$Do��L$eNvXVFeNJGi�DPf'eFB/f�v ì �a· ´ J$f'dHdYLGB|\hf'e�]FDPe��si�f�i�qFLzL$Dl�'L$e!b:7$aPVFL$BrØ ö 7�dHLÝ ð¹ñ�òlóö � å6â � ÷ 6 g ÷ · ´¾/qFLµ�'L$eFLGd�7$aPDoqGL�]ZL$Do��L$eNvXVFeNJGi�DPf'eFB�J$f'dHdYLGB|\hf'e�]FDPe�� iYf.iYqFLµÒNd�7�eFJ8q À Ø ö Á ² ´ f:vFDPiYB�JGf'e&i�DPe;VNf'VFBB|\hL$J�i�dHVFÃÄ7�dYL Ý ð¹ñ�òcóö � îï Û é è àÈí �á Û ´ å � ÷ 6 g ÷$÷ ´vXf'dib:7�dHDKf'VFBzðëà ÷ 7�e�]

á è Á â�â�â Á á î g � ¾/qFLIJ$f'dHdYL$B`\2f�e�]FDKer�SB`\2LGJGi�dY7$a \hf'DKe&i�BZ7�dHLIØ ö �á ´ ÄØ ö Ôòñ îÛ é è ç � á Û ´ g ´ ¾/qFLZBYffaPVNi�DPf'eFB/f�v�i�qFLyiYDKÃIL�� ]NL�\hL$e�]FLGe&i~³�J8qFduÒf$]FDKe���L$drL$#{V47:iYDKf'e��ó ÝóFô Ä

ì ��· ´ Ý � ÷ 6 g ÷ �'´ÊrDPiYqwi�qFLzDKeNDPi�DK7$ahJ$f'e�]NDPi�DPf'eFB � ÷ 6 g ÷ · ´ 7�er] � ÷ 6 g ÷f÷ ´ 7�dHL��'Dlb�L$ekÒÈ_ú:õ Û"ö��c÷ � Ý ð¹ñ�òlóö � å ´7�e�] ú:õ Ûøö��8ù Ü�ú Õ Ý ð¹ñ�òlóö � îï Û é è àÈí �á Û ´ å Ö ÁdYLGB|\hL$J�i�Dlb�L�ac_fg ¾/qFL-nFdYBHi*f�vRiYqFL$BHLCBHi�7:i�LGB�]FLGBYJ$dHDoÒhL$B�i�qFL~\47�dHiYDKJeaKLrB`_;BHiYL$ÃÍDKeIi�qFL.BHi87ji�LCÝ ð¹ñ�òcóöÊrDPiYqQeNf�\FqFf:i�f'eFBE7�dHf'VFe�]RxµÊrqFDoaPL�iYqFLgBYL$JGf'e�]Tf�eFLSJGf'dYdHL$B`\2f'er]FBEiYf}iYqFLSB%_;BHi�LGà DPeOiYqFLBHi�7:i�LZÝ ð¹ñ�òlóö 7�er]WðU\FqFf�iYf'eFB�ÊrDPi�q�i�qNL�ÃIf'ÃIL$e&i87 á è Á â�â�â Á á î gË�*f�iYqWBHi�7:i�LGBC7:dYLZBHi87ji�DKf�e47�d`_DKe�iYDKÃIL$g�Ú�e£i�qNL�7$ÒFBYLGeFJ$Lgf�v.J$f'Vr\�aKDPe��²Ò2L�i Ê*LGL$eTÃE7:iHi�L$d 7�e�]Od�7$]FDK7:i�DPf'eAiYqFLwB`_;BHiYL$à f�vÃE7:iYiYL$dl7�e�]Id�7�]FD97:iYDKf'e�\ra97�JGL�]IDKe�f'eFLrf�v2i�qFLGBYL BHi87ji�L$B�dYLGÃ7:DKeFB�DPeIiYqFLrB�7�ÃILrBHi87ji�L/vXf'dYL�b'LGd�g� 7$]FD97ji�DKf�e~DKB/eFLGDPiYqFL$d 7$ÒFBHf'd|ÒhL�]geFf'd/LGÃED=iYiYL�]§Ò!_wi�qFDPB/B`_;BHiYL$Ãkg¾/qFDKB�\FDPJGi�VNdYLrDKBlL�ïu\hL$J�i�L�]~iYf�J8qF7�e��'L.7�Bli�qFLrDKe&iYL$d�7:JGi�DPf'ehÒ2L�i Ê*LGL$eiYqFL.ÃE7:iHi�L$d�7�er]EdY7j�]FDK7:i�DPf'e DKB�B%ÊrDPiYJ8qFL�]Ef'e�g�© e�]FL$dHBHi�7�e�]FDPe���qNfÑÊQi�qFDPB \FDKJ�i�VFdHL/J8q47�e���L$B�DKB¡i�qNL ÃE7�DPes\FdYf$Ò�aKLGÃf�v�i�qFLzÃE7:i�qNL$ÃE7:i�DPJ�7$a�i�qFLGf'd`_�f:v¦dY7$]FD97ji�DKf�e�g

¤�¥§¦8û üMª�À¡¾²®e¯�À¾/qFLgdYDl�'f'dYf�VFB�7�eFB%Ê*LGdIiYf}iYqFL�#;VNL$BHiYDKf'eû\hf'BYLe]T7$Òhf�b'LgDKB��'Dcb'L$eODKe�iYqFLgiYqFL$f�dYL$ÃFÒ2LeaKf�Ê�g¾/qFDPBgiYqFL$f'dHL$à dHLGvXL$dHBSiYfOiYqFLAeFf:i�DKf�eæf:vsdYLGBYf'e47:eFJ$L�]FL$BHJ$dYDlÒ2Le]®DPe À ��ä ³ ÷ à � À ��ä�³ � ÃE� BHL$L

Page 157: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Å$�&%"ý;%O� È �¡���¨É�� ÷ + !7$aPBYfWBHL$J�i�DKf�e ÷ ��g �'´ 7�e�]Rx�vXf'd�b�7:dYDKf�VFB�B�i87:iYL$ÃIL$e&i�BGx¡VFBHL$B BHV�ÒFBYL�i�Bsf�v*i�qFLIvXffaoaPfÑÊrDPe���BYL�i f�vJ$f�e�]FDPiYDKf'eNBvÊMLCeNfÑÊëvXf�dYà V�aK7:i�L�g�¯°L~ÒhL���DKepÊrD=i�q�i�qFL.J$f'er]FDPiYDKf'eIf'eEiYqFL J$f'V�\raKDKer�ZvXVFeNJGi�DPf'eãOÄ ãR� á ´ x$Ò2LGBYDo]NL$B�J$f'e�]NDPi�DPf'e � ÷ 6 g ,'´ ÊrqFDKJ8qIDKBl7�BHBYVFÃIL�]Ii�qFdHf'V��'qNf'VNi�i�qNL J8qF7$\Ni�LGd�ÊrD=i�qFf�VNivXVFd�i�qFLGd ÃIL$e&iYDKf'eR0� î ´ ã�þÿ� á ´ ä ú õ Ù þ é × ã�� ú õ þ á ´ xM7�B�7�e � × Õ ç õ è Ø Ù á Ö �^vXVFeFJGiYDKf'e£f�v á xM7�e�] ü � ú þ � ´ xM7�BI7à V�a=i�Dl\�aKDPJ�7:iYDKf'e�ff\hL$dY7:i�f'dMvXdYf'õº ��� ß ´ iYfsº ð¹ñ�òcó xFqF7�b�Lz7�e47$ac_{i�DKJCJ$f'e&i�DPe{V47:i�DPf'eFB�DPe���vXdYf�ÃÍçDPe{iYfI7IJGf'Ãp\raKL�ï~eFL$Dl�'qÈÒ2f�VFdYqFf;f�]wf�v�� Ä®· gä¦DKeF7$aoac_'xÈÊ*LzvXf'dYöV�a97:iYLy7sJ$f'er]FDPiYDKf'e�ÊML�VNBYLzDKewi�qNL \NdYf;f�v¦f:v¦f'eNLZf:v�iYqFLzdYL$BHV�aPiYB� � ´�� � Á ¤�� · B�g i�g ü � � ´ ೤ � × vXf'd� � {à³�sg�� ���������� Ç���� Ç�� ��y�� ] � � x y x^] � �"!$#&% ] �c��' w$� �Ð� ��y �)(ÄÜ·+* � ß [-,³_ x ���Éy �/.ß10 w �¿�3254 %É���� x # ì � � ´ %rw ß w|[u� x76 [É�Þ$� ] [u� �°ß y�w$y,� 284 % x ßwß y�w$y � � � ß _¹��� �jß:9 � ] 0 Ý ðÂñ�òlóÚ � å ' w$� � x ß�Há<; ] �t���Éy x w �¿�/.D� ] _|w � x3= � � x �Ky>%É�&;rw$�zy x _ � �}_ ]u] � � x �Åw$y,� ß?2 � x¿x # ì � � ´ %rw ß � ]Q] y"%É��� * ] [u� �ß y�w$y,� ß?2A@ �B;rw$�zy x _�[ � w$� ' y>%É�s�Há�_ x y,� � ß y�w$y � ß ] 9 ìsð¹ñ�òcó � x 2 � 2 Ý ð¹ñ�òlóö � å ' �Ià ÷ #pw$�Â�z[�� ß y�w * � � 2� ��y ' x �w �!� x y x^] � ' � ] � � x y x^] �5��C�#D% ] �c�E2F4 %É���+� x¿x¿x #dy"%É� �Há�_ x y � � ß y�w$y,� ß ] 9 ì�ðÂñ�òló ya[u�z� x �Éy ]�Â� ß ] �Åw$��_¹� ß ] 9 ì � � ´ ' �G(Ä®· � ß �¹�Î� x Þ 2>H�IJ2>HLK # 2³;i�7:i�LGÃELGe{i � DPD ´ 7�BYBHVFÃIL$By�*f�e�]FDPiYDKf'e � î ´ x27�e�]�B�i87:iYL$ÃIL$e&i � DKDKD ´ 7�BYBHVFÃIL$By�*f�e�]FDPiYDKf'eNB � î ´7�e�] � � ´ g

� ÷ 6 g ÷ ,&´�*D=vXVFdYJ$7:i�DPf'ewf�v�L$Do��L$e!b:7$aKVFLGBrf�v ì ��· ´ � i�qFLzBYLGJ$f'er]W�rDKLGÃ7�eNegBHqFL$L�i ´î J$f'Ãh\�aKL�i�Li\NdYf;f�v�f�v¦B�i87:iYL$ÃIL$e&i�B � D ´ � � DPDKD ´ J$7�e§Ò2LyvXf'VFer]gDPe À �*ä ³ � à � À ��ä ³u� à g¡¯°LÎÊrDoaoa]FLGBYJ$dHDoÒhLyi�qFL�\FdHf�f�v�f�v � D ´ DKeS�*q47$\�i�L$d ÷ !ug ¾/qNL \NdYf;f�vXB/f�v � DKD ´ 7�e�] � DPDKD ´ 7�dHLzBYDKÃIDoaK7�d�g¾/qFDKBsiYqFL$f'dHL$ÃH�'Dcb'LGBIÃE7:iYqFL$ÃE7:i�DPJ�7$aMJ$f'e&iYL$e&iEiYf�vXf'dYÃE7$a�J$7$aKJGV�a97:iYDKf'eNBs\2LGdHvXf'dHÃELe]£DKe\Fq!_;BYDPJ$B�ÊrDPiYq¶i�qNL�qFL�al\ f�v�\hL$d�i�VFd`Ò47:i�DPf'e¶iYqFL$f'd%_fg)¾/qFLË\FVFd`\2f'BHL�f�v4iYqFDKB�i�qFLGf'dYLGÃSx&7:B)ÊML�aoaN7�Bf�v�i�qFLZJ�7�aKJ$Vra97:iYDKf'eFB*ÃELGe{iYDKf'eNL�]RxFDPB/i�f�L�ïu\�aK7�DKewi�qNL$f'dHLGi�DPJ�7$alal_Ei�qFLyvXffalaKf�ÊrDKe���vXVFe�]47�ÃIL$e&i�7$a\Fq!_;BYDPJ�7$a�\NqFL$eFf�ÃELGe47N0y7~B%_�B�i�LGà f�v�Ã7:iHi�LGd$x�BY7�_\7�e\7:iYf'Ã�f'd�7~ÃEffaPL$JGV�aKL:x�DKe�D=i�BiaPf�Ê*LGBHiL$eNL$d|��_¶B�i87:iYL*DKB�BHi�7$Ò�aPL*7�er]mÊ*LeaoaÈaKf;J�7�aKDoqGL�]ZDKe�B|\47�JGL�x$ÊrqNDoaKLli�qNL*B�7:ÃEL�B`_;BHiYL$ÃA\�a97�JGL�]�DKe�iYqFLb:7�J$VNVFÃãDKe�i�qFLZL�ï�JGDPi�Le]�BHi�7:i�L:x�L$g���g�DKegÝ ð¹ñ�òlóö � å�x;�wà ÷ xhLGÃED=i�Brd�7�]FD97:iYDKf'e�7:e�] ]FLGBYJGL$e�]FBi�fSDPiYB aPf�Ê*LGBHi�L$eFLGd|�$_}BHi�7:i�L�gо/qFLÃE7:iYqFL$ÃE7:i�DPJ�7$a¦Ã7�eNDPvXL$B�i87:iYDKf'e\f�vMi�qFLOn4dHBHi B�i87:iYL$ÃIL$e&iDKB/iYq47:i ì � � ´ q47�B.7p�'dHf'VFe�]SBHi�7:i�L:xÅÊrqFDPJ8qWDPB�ÊML�ala�aPf�J$7$aKDlq$Le]wDKeSiYqFL \47�dHiYDKJeaKLzJ$f;f'd|]NDKe47:iYL$BGx

Page 158: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

÷ + � � �.(�� É È �ëÅ$�&%W��� ( ÌsÉC�¦ì È � È � É��y)/����Ì ( ìSË�� �E)ríw̶)/Ì ¡ � È � ( É�Ë�¢¦Ë%�¨É�Ë�� �h( � É�Ë���� È �t£NÉ �CÈ É �M B�i87:iYL$ÃIL$e&i � D ´ f�v.i�qFLgi�qFLGf'dYLGà M ÊrqFDlaKLgBHi87ji�L$ÃIL$e&i � DPD ´ x�dYLGe�]FLGdYL�]ëDPeQÃE7:iYqFL$ÃE7:i�DPJ�7$ai�LGdYÃIB$xhB�7�_;B.iYq47:i i�qFL�B`_;BHiYL$à DKeW#{VFLGBHiYDKf'eSq47�BCeNfBHi�7$Ò�aPL�B�i87:iYL$BCDPe�7�eFL$Dl�'qÈÒ2f�VFdYqFf;f�]Wf�vi�qNL~L�ï�J$D=i�Le]OB�i87:iYL$Bsf�vriYqFL�\47�d�i�DPJ�aKLEB`_;BHiYL$Ãkg+NSf'dYLGf�b'L$dGxMB�i87:iYL$ÃIL$e&i � DPDKD ´ BY7�_�B iYq47:i iYqFLL�ï�JGDPi�Le]\BHi87ji�L$BGx¨Ý ð¹ñ�òcóö � å�x���à ÷ xRf�vliYqFL�\47�d�i�DKJeaKLGBCDKe�iYqFLsb:7�J$VNVFÃ=aPL�7$]�iYfwÃEL�i87�B�i87$Ò�aPLBHi�7:i�LGB$x�D�g�L$g=xFBHffaKVNiYDKf'eNB/f�v�iYqFLzi�DKÃIL���]FL�\hL$er]FL$e&i-³�J8qFd�Òff]FDKer�'L$drL$#{V47ji�DKf�e � ÷ 6 g ÷ �'´ ÊrqFDPJ8qW7:dYLaKf;J�7�aKDoqGL�]wvXf'd�aKf�e���DKe&i�LGd`b:7$aKBrf�v¦i�DKÃIL�xrÒFVNi.Leb'LGe&i�V47$alal_k]FDPBYDKe&iYL��'dY7:i�L�g î ÃEL�i87�B�i87$Ò�aPLzBHi87ji�LDKB�7:eFf�i�qNL$dsi�LGdYà vXf�d�7}dHL$BYf�e47�eFJGL$g¶¾/qFL$BHLSÃILGi�7�BHi�7$Ò�aPLwBHi87ji�L$BI7�dHL�dYL$B`\2f�eFBYDlÒ�aKL~vXf'd iYqFL\FqFLGeFf'ÃIL$e47If�v�LGÃEDPBYBYDPf'eS7�e�]�7�ÒFBYf'd`\Ni�DPf'egf�v�d�7�]FD97:iYDKf'eg7�er]Si�qNL$DKd�aPDPvXL��^i�DPÃELGB*i�Leaoa¨VFBCqNfÑÊaKf�e���DPe~7�b'LGd�7$��L-Ê*L.q47�b'LCiYfmÊ*7�DPiMVFe&i�Dla27 \47�d�i�DKJeaKL B`_;BHiYL$ÃÍL$ÃIDPiYB � f'd*7�ÒFBYf'd`ÒFB ´ d�7$]ND97:iYDKf'e�gî \NdYf;f�v�f�v^¾/qFL$f�dYL$à ÷ 6 g ÷ DKBZf'VNi|aKDPeFL�]\DKeA�*q47$\�i�L$d ÷ !�xRÊrqFLGdYL�i�qFLhÒ47�BHDKJ�i�L$J8qNeFDK#{VFL�ri�qNLÐ�¹��� ] � 0 w � x3= w$y x^] ��Þ$� ] [O;S� DPByDKe&i�dHfu]FVNJ$L�]tg ¯ALsÊrDlaoa¦JeaKf'BHLsf'VNizi�qNL�\FdYLGBYL$e&i�J8q47$\NiYL$dÊrDPiYqg7OÒNdYDKL�v�]NDKBYJGVFBYBHDKf'egf�v�i�qFDPB 7$\�\FdHf&7�J8q�gä4f'dMBHDKÃh\�aKDPJ$D=i _'x&J$f�eFBYDl]FL$d ÌHVFBHiMi�qFL~�'dYf'VNe�]B�i87:iYL$g���VFd^��f&7$a�DKBli�f VNe�]FL$dHBHi�7�e�]~i�qNL-aKf�ÊL$eNL$d|��_~B|\hL$J�i�dHVFÃUf�v ì � � ´ vXf'd � BYVQPIJGDKL$e&i|al_~BHÃ7�aoa�g�}C7�ÃIL�ac_'xÈÊ*LZ7$]r]FdYLGBYB�i�qNLy#;VNL$BHiYDKf'eNB$0R S f;L$B ì � � ´ q47�b'L�7O��dYf'VFer]SB�i87:iYLOTR ¯³q47ji.DPB�i�qFLzB�i�dYVNJGi�VNdYLzf�v¦iYqFLzB|\hL$J�i�dYVNÃãf�v ì � � ´ eFL$7�drDPi�B/DPern4à VNÃGT{ªf�ff¸hn4dYB�i 7:i/i�qNLyB|\hL$JGiYdYVFà f�v ì � � Ä®· ´ xND�g�L$g=xuÊrqFLGegiYqFLzDKe&i�LGd�7�J�i�DKf�ewDKB*iYVFdYeFLe]SfVU¦0

xx

interestregion of

. . . E1E

0 � ÷ 6 g ÷ � ´�rL��'DPf'ewf�v�DKe&i�LGdYL$B�i�Ê�gÇdeg�i�g�B`\2LGJ ì �a· ´¾/qFDPBi\FDKJ�i�VFdHL¶BHV��f�'LGBHi�B�iYq47:iyf�e�al_�i�qNLs�'dYf�VFe�]�B�i87:iYL Ý ðÂñ�òlóÚ f�v ìsð¹ñ�òló 7�e�]�iYqFLsaKf�ÊÔLGeFL$d`�$_BHi�7:i�LGByf�v ì »I7:dYL LGBYBYLGe&i�D97�a�g�¾/qFL�¸�L�_�Dl]FL�7~qFLGdYLsDPB.i�f&;Å� ]XW �8_�y ] [�yËy"%É� x �t� ß8ß ���Éy x w � ;rw$�zy ßf�v�iYqFL B|\hL$J�i�dHVFÃMÊrD=i�qFf'V�ii]FDPBHi�f�dHi�DPe��EiYqFL¶LGBYBHL$e&i�DK7$a¡f'eFLGB�g��*V�iyqFf�ÊÔi�f�]FfEi�qFDPBYT {ªL�iyVFBi�d%_~i�qNL�nFdYBHi Dl]FL�7 i�qF7:irJ$f'ÃIL$B/iYfIÃIDKer]R0ì 1 Z\[ ì Z�[sÁ � ÷ 6 g ÷ +'´ÊrqFLGdYL Z\[ DKB¡iYqFL/B|\hL$J�i�d�7�aÉ\FdYf�ÌHLGJGiYDKf'esvXf'd ì ��· ´ 7:BYBYf;J$DK7:i�Le]�ÊrDPi�q iYqFLrDKe&i�LGd`b:7$a À ØrÚ Á ØrÚ Ô�] à g¯°LZJ$7�e§ÊrdYDPiYLyDPirf'V�i 7�BZ�[�Ä^Z ð¹ñ�òlóÚ � ØD_ Ú < [a` �

ì » ´ â � ÷ 6 g ÷ 6&´

Page 159: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Å$�&%"ý;%O� È �¡���¨É�� ÷ + ê�.LGdYL Z ð¹ñ�òlóÚ DKBiYqFL\f'dHiYqFff�'f�e47$a�\FdYf�ÌHLGJGiYDKf'e³f'e&i�f£Ý ð¹ñ�òlóÚ 7�e�]æØ:_ Ú < [X` � ì » ´ DKBEi�qFL�B`\2LGJGi�dY7$a\FdHf�ÌHL$J�i�DKf�e}vXf'd ì »IvXf�dziYqFL�DKe&i�LGd`b:7$a À ·rÁ ] à g ¾/qFLha97jiYi�LGdkêHJ$V�i�B���fJU ë�i�qFL�LGeFL$d`�$_}BHi87ji�L$BZf�vì » ÊrD=i�q�L$eFLGd|�$_g7�Ò2f�b'L ] g¾/qFLZff\2LGd�7:iYf'd Z\[ ì � � ´ Z�[ 7�J�i�Brf'e�BHi�7:i�LGB.f:v�iYqFLyvXf'dYÃÝ ðÂñ�òlóÚ �cb Á b « � 7�e4Ø _ Ú < [a` � ì » ´ â¾/qFDPB�DPBZLzïN7�JGi|al_ Êrq47:i Ê*LhÊ�7:e{i�g§�.f�ÊMLeb'LGd$x¡iYqFLpaPf�ÊÜL$eNL$d|��_°B`\2LGJGiYdYVFà f�v Z�[ ì � � ´ Z\[ DPB]FD3U�LGdYL$e&i.vXdYf'Ããi�qF7:i�f�v ì � � ´ gi³�f ÊML q47�b'L�aPf'BHi i�qFL¶B|\hL$JGiYd�7$a�DKeNvXf�dYÃE7:i�DPf'eÐÊ*Ls7:dYL 7jv i�L$degÚ�e ³�L$J�i�DKf�e ÷ !ug ÷ ÊMLdaPL�7�dHewqFf�Ê i�fO\FdHf�ÌHL$J�iri�qFLzff\hL$dY7:i�f'dHB�i�f�BYÃE7$alaKL$d*BYV�ÒFB`\47�JGL$B~ÊrD=i�qFf�VNiaKf�BYDKer��i�qFLrB|\hL$J�i�dY7$a4DKeNvXf�dYÃE7:i�DPf'e¶f�v2DKe&iYL$dYLGBHi�gv�*VNi�i�qNL$dYL DKBl7�iYd�7$]FL���fJU~DKe!b'ffacb'Le]7�B�VNBYV47$a g¯³qFDlaKLzi�qFL�Ã7$\ � ÷ 6 g ÷ +'´ f�eWff\hL$dY7:i�f'dHBì DKB�aKDKeNL�7�dGx�iYqFL¶eNLeÊÔÃE7$\SÊML DKe&iYdYf�]FVFJ$LZDKB eFf�i�g¾/qFDPB eNLeÊ ÃE7$\�DKB/J$7$aoaPL�]wi�qNL � �8_ x 0 w$y x^] � 0 w1; � f�d-�)� ß % * w;_Y% 0 w1; ´ gÚ�eV³;L$JGiYDKf'e ÷ !�g , xri�qNL²]FL$JGDKÃE7:i�DPf'eTÃE7$\³DKBw7$\r\�aKDPL�]Ti�f£f'VNd � BYqNDPv i�Le] ´ �C7:ÃEDlaPi�f�eFD97�e

ì � � ´ edrÇ iYfAffÒNi�7�DKeQ7AeFL�Êãva7�ÃIDoal_|f�vyff\hL$dY7:i�f'dHB$x ì Ú � � Áfd ´ x^ÊrqNDKJ8që7�J�i~f'eral_£f'eòiYqFLaKf�Ê���L$eFLGd|�$_�\47�dHi�f:v iYqFL�n4Leao]£B|\47:J$Lꧻ � 7�e�]£eFf:isf'e�i�qFLÐ\F7�dHiYDKJ�aPL~J$f�Ãp\hf'eFLGe{i�f:v iYqFLBHi�7:i�LzB`\47�J$L ´ gMä4VFdHiYqFL$dHÃEf'dHL�xNvXf�d d eFL$7�d/i�qFL�\47:dHi�DPJ�aPLi�'dYf�VFe�]���BHi87ji�LzL$eFLGd|�$_�xhØ Ú�x ì Ú � � ÁYd ´q47�Bri�qNL¶B�7:ÃELzB|\hL$J�i�dHVFà eNL�7�d · 7:B ì � � ´ ]Nf�LGBCeFL$7�dCØrÚ�g�¾/qFDPB~\NdYf;J$L$BHBCDPB.dHLGvXL$dHdYLe]Si�f7�B� � x 0 x �Åw$y x^] � ] 9 y>%É�g;rw$�zy x _ � �dw$� � % x Þ�%h;i% ] y ] �����t����Þ .p� �^Þ$�Â�¹� ß ] 9j9 �¹�¹� � ] 0 g�¾�f�BHiYV�]r_~iYqFLB|\hL$J�i�dHVFÃ?f�v ì � � ´ eFL�7:dMØrÚux&i�qFLGeRx;DPilBYVkPEJGL$B�i�fzBHiYV�]r_�i�qFLrB`\2LGJGi�dHVFÃ?f�v ì Ú � � ÁYd ´ 7�dHf'VFe�]· xNvXf�d d eFL$7�drØ Ú�gÚ�e�f'd|]FLGd¡i�fz7�eF7$al_�q$LMi�qFL/B`\2LGJGi�dHVFÃÜf�v ì Ú � � Áfd ´ xfÊMLrJ8q47�e��'L/f�VFd�b;DKL�Ê�\2f'DPe&i�x{7�e�] iYqFDKer¸f�vªiYqFL�ff\hL$dY7:i�f'dHB ì Ú � � Áfd ´ 7�B*BYDKer�faKL L�aPL$ÃIL$e&i�BMf�v�7dÊrqFffaPLCB`\47�J$Lyf:v¨ff\2LGd�7:iYf'dYB � 7s�*7�e47�J8qB|\F7�J$L:x4DKe~va7�J�i*�lBYLGLd³�L$J�i�DKf�e ÷ !ug 6'´ gl��ewi�qFDPB�B|\F7�J$L:x�Ê*L�]FL�n4eFL�i�qNL��¹��� ] � 0 w � x3= w$y x^] � 0 w1;l [�Ä^mn[po º [ÊrqFLGdYL�º [ DPBM7:eFf�i�qNL$dM7$\�\�aPDKJ�7ji�DKf�eIf:v�i�qNL-]FLGJ$DKÃE7:iYDKf'e�ÃE7$\Rx;7�e�] mn[ DKBM7�BHDKÃh\�aKL/dHL$BYJ$7$aKDPe��ÃE7$\ � BYL$LU³;L$JGiYDKf'eNB ÷ !ugâ!A7�er] ÷ !ugÇ� ´ g¹º [ Ã7$\NBff\hL$dY7:i�f'dHBpÊrqFDPJ8që7�J�i~f'eëB�i87:iYL$B ÊrD=i�q\FqFf:i�f'e�L$eNL$d|��DKL$BrÛ ÷ i�fzff\hL$dY7:i�f'dHB�ÊrqFDKJ8qE7�J�ilf'e�BHi87ji�L$BvÊrDPiYqO\FqFf�iYf'e�L$eFLGd|�'DPL$BrÛ ] g�¾/qFLdYLGBYJ$7$aKDPe�� mn[ dYLGBHiYf'dYLGB�i�qFL f$\2LGd�7:iYf'dYB i�f~f'eNL$B�i�qF7:iy7�J�i�f'e�B�i87:iYL$B-ÊrD=i�q\NqFf�i�f�e�L$eFLGd|�'DPL$BÛ ÷ 7$�&7�DPe�g��µ_]NL$BYDl�'eRxRiYqFLsdYLGeFf'dYÃE7$aPDoq�7ji�DKf�eSÃE7$\ql [ DKB x ß ] ß ;É�8_�y �`w � DKeWiYqFLsBYLGeFBYLsiYq47:ieFL$7�d · x � 7�e�]rl ['� � ´ qF7�b�L�iYqFL�BY7�ÃIL�B`\2LGJGi�dHVFÃkg�¾/qFL¶L1U�LGJGiCf�vsl [ ÊrqNL$e ÊML 7$\r\�al_wD=ii�f ì Ú � � ÁYd ´ x�DKByi�f�vXf�JGVFBZDKe\f'e|7�eFLGDo�'qÈÒhf'VFdYqNf�f�]\f�v*iYqFLEB`\2LGJGiYdYVFà f�v ì Ú � � ÁYd ´ eFL$7�d · g¾/qFLZBYÃE7$aoaPL$d ] DKBGxNi�qNLZBHÃ7�aoaKLGd*i�qNDKB/eFLGDo�'qÈÒhf'VFdYqNf�f�]wDKBeg¾/qFLIdYL$eNf'dYÃE7$aKDlq�7:iYDKf'eWÃ7$\�x�ÊrqFDKJ8q°ffÒ2L�_;B�7�BYLGÃED � �'dHf'V�\²aK7�Ê � l [Ytso l [ � Ä l [-t"[ � ´ xi�q{VFBv�'Dcb'LGB�dHDKBHL�i�f�7�e�DKBYf�B|\hL$JGiYd�7$aNBYL$ÃID=�vu4f�Êòf�eIf�VFd���7�e47�J8qIB|\F7�J$Lrf�v2ff\hL$d�7ji�f'dHB�g¦¯°LËÊrDoaoaBYLGLZiYq47:i.VFe�]FLGd iYqFDKBAu4f�Êzx ì Ú � � ÁYd ´ iYL$e�]NB.i�f�Ê*7�d|]gi�qFLzff\hL$dY7:i�f�d ç ì » � vXf'drBYf�ÃEL ç «)w ´7�B ] 1 · g~Ú�eWva7�JGi$x w ì »wDKBC7paKDPeFLZf�v nrï�L�]²\hf'DKe&iYB.f�v�iYqFLhuFfÑÊ � l [:� ç ì » ´ Ä ç ì » ´ gi��_

Page 160: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

÷ 6 · � �.(�� É È �ëÅ$�&%W��� ( ÌsÉC�¦ì È � È � É��y)/����Ì ( ìSË�� �E)ríw̶)/Ì ¡ � È � ( É�Ë�¢¦Ë%�¨É�Ë�� �h( � É�Ë���� È �t£NÉ �CÈ É �BHiYV�]r_;DKer�~i�qFL�ÒhL$q47�b;DKf�VFd�f�vli�qNL�u4f�Ê�eNL�7�dCiYqFDKB-aKDKeNL¶f�vvnrï�L�] \hf'DKe&iYB$xtÊMLsJ�7�e�dHL�aK7:i�L¶iYqFLB|\hL$J�i�dHVFà f�v ì Ú � � ÁYd ´ eNL�7�d ·}� 7:e�]\qFL$eFJGL�f�v ì � � ´ eFL$7�dzØ Ú ´ i�fwi�q47jizf�v ì »&x�ÊrqFDPJ8q²Ê*L¸{eFf�ÊKÊML�ala�g ¾/qFDPB/DKB�i�qNLÎÒ47�BYDPJyDo]FL$7�Ò2LGqFDKe�]wiYqFLÎ\FdYf;f�v�f�v)¾/qFL$f�dYL$à ÷ 6 g ÷ g�¾/qFDKB�\FdHff�'dY7�ÃSxÊrqFDPJ8qSDPBË]FL$BHJ$dYDlÒ2Le]WBHf'ÃEL�Êrq47:iËb:7$�'VNL�al_~qFL$dHL�x�ÊrDoalatÒhLzBHi�Vr]FDKLe]SDPek]NLGi87:DoaRDPeW�*qF7$\Ni�LGd ÷ !ug

Page 161: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

x y z|{ }+~�� ���

� ~�� ����� z8�p�j�ez�}��j��� ������� {

Ú�e\i�qFDPByJ8q47J�NiYL$dD�*LB�FL$BHJ$dHD��hL�iYqFL�fL�hL$d�7ji�f'd���L$dYBHDKf'e}f�vMi�qFLF�hf��ML$d�vXV���ÃILGi�qNfk�}f�v��Y 1¡ ] ��`0B¢J£/¤ = ¢J¥7¤ ] ¡IÞJ� ] [O;F�FVNL iYf§¦©¨�äpª ÷ « �1¦©¨�äpª�¬ «v­ ¯AL�FLGÃEf'eNBHi�dY7:i�L qFfO�ëi�qNDKBlÃEL�i�qFf��F�*f'd¯®{B$�E°7J���Q�±°;DKe�²�DPi�i�f¶iYqFL��FdHfL���PL$à f�vªdY7J�FD97ji�DKf�e � BYL$LZ�*qF7J�Ni�LGd ÷ 6&´ ­ Ú�eG�47:dHi�DPJ$V��K7�d$xE�MLyJ$f'e&iYDKe{VFLf'VFd.BHiYV��Q°Sf�v¡i�qNL�³C7:ÃED±�Pi�f�eFD97�e ì � � ´ � DKe&i�dHfk�NVFJ$L<��DKegi�qFLh�FdYL1��DPf'VFB.J8q47J�NiYL$d ´ �rqFDKJ8q´�NL��BYJGdYD±�2LGB*#{V47�e&i�VNõ�47:dHi�DPJ?�PL$B�J$f'V��Q�KL?�Ei�f 7Z#{V47�e&i�D±¶$L?��Õ·N�¸FL?��� ­ ¯AL��FdYfO��L�¹/qFL$f�dYL$à ÷ 6 ­ ÷� D ´ BHi�7:i�DPe�²�i�qFL�LzïNDPBHiYL$eFJGLWf�v i�qFL�²'dHf'VFe��OBHi�7:i�L�f�v i�qNLgfJ�2LGd�7:iYf'd ì � � ´ vXf�dIBHVQPIJ$DPL$e&if�3°BYÃE7J�±�F � ­ ¹/qFL´�FdHfL���PL$ÃIBEf�v�DKeFB�i87J�FD±�KD=ia°�f�v�iYqFL�L�ï�JGDPi�L<�TBHi�7:i�LGBw7�e��òL�ï�DKB�i�L$eNJ$L�f�vyiYqFLdYLGBYf'eF7�eFJ$LGB.�*BHi87ji�L$ÃIL$e&iYB � DPD ´ 7�e�� � DPDKD ´ f�vp¹/qFLGf'dYLGà ÷ 6 ­ ÷ �*J$7�e´�hLZiYdYL$7:i�L<��DKegi�qFLZB�7�ÃIL�*7O° ­ºh»G¼Oº ½¿¾:À�Á? ÃhÄpÁ<ÅÇÆ Â Ã ÂÈ�eEiYqFDKBlBHL$JGiYDKf'eF�MLCdYL$7J�KD±¶$L�iYqFL¸FdYBHiMBHiYL?�EDKeIf'VFd�7�e47J�3°;BYDKBlf�v2i�qFL³.7�ÃED±�PiYf'eFD97:e ì � � ´ ­ ��VFd²'f&7V�RDKB�iYfB�F7�BYBrvXdYf'ÃÍi�qFLyva7�ÃID��3° ì � � ´ ÉdDÊ�Ë iYf7 va7�ÃID��3° ì Ú � ��Ì d ´ f�v�fL�2LGd�7:iYf'dYBr7:JGi�DPe�²L<U2L$J�i�D3�'L?�3°If'ei�qNL.B¯�47�J$L��.7�e o\ÍnÎ<Ï [�ÐcÑ 7�e��&�rqNDKJ8q~q47:B*BÒ�hL$J�i�dHVFõf:vRi�qFL.B�7�ÃIL e47:i�VNdYL7:i · ­ ¹/qFLsva7�ÃID��3° ì Ú � ��Ì d ´ �rD��±�¦i�VNdYe\f'VNizi�f��hL�ÃEf'dHL�7�J$JGL$BHBYD��Q�KLsi�f�BÒ�hL$J�i�dY7J��7�e47J�3°�BHDKB ­Ó¦7:BYBYDPe�²�vXdHf'à ì � � ´ �d·Ê1Ë i�f ì Ú � ��Ì d ´ �rD��±���hL.dHLGvXL$dHdYL<�Ei�f�7�B�  £/¤>0Ô¤ ¡ ¢J¥7¤ ] ¡ ] 9�¥ %i Õ; ¢ � ¥�¤ _ £  ¢ ¡×ÖF% ¤ Þ�%Ô;i% ] ¥ ] ¡+ 1¡Ø 1��Þ . � 7:JGi�VF7J���3°'x�iYqFLD�FqFf�iYf'egL$eFLGdÒ²J°�à ] ´ Ö� ^ÞJ�f Y  ß ] 9p9 �f Y ÒÖ ] 0B2È�egiYqFDKB/BHL$J�i�DKf�e��MLzBHiYV��Q°wÃE7J�FBA�hLGia�ML$LGeWBYL�i�B f�v�fL�hL$d�7ji�f'dHBg�rqFDKJ8qS7�dYL ¤Kß ] ß ;i 8_ ¥ � ¢J£ DKei�qNLZBHL$eFBHL�B¯�2LGJ$D3¸4L?�r�2L<�KfO� ­ÙªLGi Z 7�e��ÛÚZ �hL��hf'VFe��NL?�\fL�hL$d�7ji�f'dHB�f'e\7~BYL<�47�dY7J���KL�¨�7�e47�J8q\B¯�47�J$L�Ü|xRB�7:iYDKB�v>°�DPe�²

ZÞÝ ÚZ�ß�Ë ­ S LGeFf�i�L��E°áàgâ}iYqFLZBYLGiCf�v�7V���ªJ?�Pf'BYL<�SfJ�2LGd�7:iYf'dYBGxnã°xhf�eáÜä�rqFf'BYLh�Ff'ÃE7�DKeNBq47å�'L��FLGeFBYL � DPeS� 7�e Z ´ DKe&i�LGdYBHL$JGiYDKf'eNB��rD=i�qg� 7�e Z 7�e����rqFDPJ8qSBY7:i�DPBHv>°æ �)çâ æ ±³² Ì � ÷ ! ­ ÷ ´÷ 6 ÷

Page 162: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

÷ 6Eè é�ê (�� É È � ÅQëu%ò� È Ì )/�.ì (�ì Ëîí ( É�Ë�)/Ì�ï �y)�� �æ Z ã��)çâ æ ±³² 7:e�� æ �)çâ ã Z æ ±ë² ð � ÷ ! ­ è'´³.LGdYL�ãÔâ ß^Z ã Z�ñ � 7�e Z xFLGiYJ ­ 7�e��S�)çâ ß ÚZ ã õiòçâ ÚZ ­ ¯°L��NL<¸4eFLzi�qNLZÃE7J�ºÔân0Çàgâ 1 � �$�Kf'BHL?�gfL�2LGd�7:iYf'dYB/f�eW� 7�e Z ´

�E° ºÔâ � ã ´ ß�ZE� ã ãW�)çâ ã ´ Z�ñôókõ Ð â ð � ÷ ! ­ ,&´¯°LZJ$7J���RºFâ�iYqFLÇÖ� 8_ ¤>0B¢J¥�¤ ] ¡ 0B¢ ; ­¹/qFLzvXfL���Pf��rDPe�² fL�hL$dY7:i�f�dYBA���K7O°~7�egDKÃB�2f'd�i87�e&i/dHfL�KLCDKe�f'VFd 7�e47V�±°;BYDPB$0

öø÷eö � ã ´ ÷ Z¹ �)çâ ã Z �Xù ! ­ ¬ ´7�e��ö�ú5÷eöhú � ã ´ ÷ ZæÉZ ã�� çâ �Xù ! ­ +'´¯°LZqF7O��L ö ú � ã ´ ß ö � ã´û ´ û$xi�FV�i�MLD�FfIeFf�irVFBHLZiYqFDKBA�FdHfL�hL$dHia° ­¹/qFLZfL�2LGd�7:iYf'dYB Z x ö x�7�e�� ö ú x4q47å�'Lzi�qFLyvXfL�±�KfO�rDKeQ²��FdHfL�2LGdHiYDKL$B

ü V���� öþý ü.V��±��ã - ßÔÓj· Ù 7�e�� ü.V��±� Z ý ü.V��±��ã ßçÓj· Ù �Xù ! ­ 6&´7�e��ã ö ß^Z ã - 7�e�� ö ú ã ß ã - Z Ì �Xù ! ­ ! ´

�rqFLGdYLhã -kß ºÔâ � ã ´ ­ ¹/qFLGBYL�dYL?�K7:i�DPf'eFB/7:dYL:�FdHf���L?�´�hL?�PfO� ­¹/qFLZÃ7�DPewdYLGBYV��=irf�v�iYqFDKBrBHL$JGiYDKf'e�DPB�i�qFLyvXfL�±�KfO�rDKe�²�� ���������� ËQÿn��Ë ! ß8ß [ 0  �� H���2>H #j`-� H���2�� #�% ] £ Ö '\¤72   2 ã ¤Kß�¤ ¡ ¥ %i �Ö ] 0B¢J¤ ¡ ] 9A¥ %i  0B¢ ;�ºÔâ 24 %i 1¡ ¥ %i  ] ;i 1� ¢J¥ ] � ß ã ¢ ¡×Ö�ºFâ � ã ´ ¢ �f  ¤Kß ] ß ;i 8_ ¥ � ¢J£�¢J¥ · 'Õ¤ ¡ ¥ %i  ß  1¡ ß   ¥ % ¢J¥��� ´ · «�� � ã ´� · «� � ºFâ � ã ´H´¢ ¡×Ö ��� ´ ãWÝ ß®· � ºÔâ � ã ´ b ß®· %i 1�f rÝ ¢ ¡×Ö b ¢ �f ��f  £3¢J¥  ÒÖ * . b ß�Z Ý ¢ ¡×Ö¶Ý ß ö b 2� ���Ø����� ¯ALD�hL?²'DPe§�rDPi�qg7F²'L$eNL$d�7V�ªBHi87ji�L$ÃIL$e&i$0� �����p���������"��� ËQÿØ��� ! ß8ß [ 0  C_ ] ¡×Ö ¤>¥�¤ ] ¡ ß � H���2>H # ¢ ¡×Ö&� H���2�� # ¢ �Y  ß?¢J¥�¤Kß �  ÒÖ 2�4 %i 1¡´� H���27I #j`� H���2!� # ¤>0 ; £/.§¥ % ¢J¥ · «"� � ã ´$# · «"� � ã - ´ � ¥ %i ~_1��[�_ ¤7¢J£ ; ¢ � ¥ 9 ] � [ ß ] 9 ;×� ] ;i 1� ¥7. ��� ´ # 2% ] �Y  ]'&  1� '  :% ¢ &   ¢J£ ¢J.ÿßD¥ % ¢J¥ ü V���� Z ý ü.V��±��ã ß�Ój· Ù 2

Page 163: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

ÅQëu%=Å'%O� È é¦Ë�ì ( É�Ë�)/Ì�ì (C� ù 6',� ������� � ÙªLGi · « ] � ã - ´ ­ ¹/qFL$e)�*LsJ$7�e\BYfL�3�'L iYqFLsL$#{V47:iYDKf'e)ã -/Z ß ö ú ã vXf'd Z i�ffL�Ni�7�DKeZ ß ã - õiò ö ú ã ð �Xù ! ­ � ´

¹/qFLZL$#{V47:iYDKf'e Z Ý ÚZøß Ë 7�e��wi�qFLD�FL1¸4eFD=i�DKf�erã çâ ß ÚZ ã8ÚZ DKÃB���KDPL$BÚZ ß ÚZ ã õiòçâ ÚZ ã|ÚZ Ê ÚZ ß ÚZ ã õiòçâ � ÚZ ã ÚZ ã Z ´ ð �Xù ! ­ ê ´

ª�V��NBHi�D=i�VNiYDKe�²�L)(Q�NdYL$BHBYDPf'e �Xù ! ­ � ´ vXf'd Z DPe&i�fsi�qFLzd ­ q ­ B ­ xi�*L:¸4eQ�ÚZeß ÚZ ã õiòçâ � ÚZ¹ ÚZ ã Z ã - õiò ö ú ´ ã ð* �Q�FDKe�²siYqFDKB�iYfÕ�#{e �Xù ! ­ � ´ à V��=i�D±���KDPL?�EvXdHf'à iYqFLD�KLGv ig��° Z °�DPL?�±�FB

Ë�ß,+ ÚZ ã õiòçâ ÚZ¹ ÚZ ã õiòçâ ÚZ ã Z ã - õiò ö�ú Ý Z ã - õiò öhú.- ãª�DPeFJ$LÕ�E°yf'VFdªJGf'e��FD=i�DPf'eFB§ÚZ ã õiòçâ ÚZ ã Z DKB �hf'VFe��FL<�Rx:iYqFLlL/(k�FdHL$BYBHDKf'eZDKeyiYqFLlBY#{V47�dHL·�Nd�7�JY®:LGi�BdYL<�FdYLGBYLGe{iYB�7Ô�hf'VFe��FL<�WfL�hL$dY7:i�f�d ­ ³ L$eFJGL�ã q47�B 7F�2f�VFe��FL<�SDPe���L$dHBYL ­ ª�f · « ] � ã ´ ­¹/qFLZBYL$JGf'e��SBHi87ji�L$ÃIL$e&irvXfL�±�KfO�rB*vXdYf�õi�qNLZdHL?�K7:i�DPf'e

Ë�ß ö ZÞÝ10 çâ ã Ì �îù ! ­ ù�· ´�rqFDPJ8qRx4DKewi�VNdYeRx4DPB/DKÃB���KDPL?�G�E°�Õ�#{e �Xù ! ­ ê ´ 7�e��wi�qNLZdHL?�K7:i�DPf'e ZÞÝ ÚZeß Ë ­ 2ü.L)(�i�ML��FdHf���L�dHL?�K7:i�DPf'eFB �îù ! ­ 6'´ � �Xù ! ­ ! ´ ­ ¹/qFLZBYLGJ$f'eQ��dYL<�97:iYDKf'ewDPe �Xù ! ­ 6&´ DKB/BYqNf��reWDKeÓ�dYfL�hf'BHDPi�DPf'e ù ! ­ è x×�rqFD±�KLZi�qFL�¸4dYB�iyf'eFL¶vXfJ���KfO�rBrvXdYf'ÃãiYqFL DKeNL$#{V47J�PDPia° æ ö43 æ)5 ß æ Z 3 æ)5 Ýæ Ú0 ã Z 3 æ)5 à æ Z 3 æ)5?­ü.fO�^�ML��FdYfO�'LZdYL<�97:iYDKf'eNB �îù ! ­ ! ´ ­ ©.BHDKe�²si�qNL��NL<¸4eFD=i�DPf'e�f�v ö � ã ´ xQ�MLZiYd�7�eNBHvXf'dHÃ

ã öø÷ ã Z¹ ã ÚZ ã õiòçâ ÚZ ã Z �îù ! ­ ùJù ´ß�Z ã Z Ý ÚZ ã Z¹ÉZ ã ÚZ ã õiòçâ ÚZ ã Z ÚZ ã|ÚZ ã õiòçâ ÚZ ã Z

ß^Z ã Z³ÉZ ã|ÚZ ã õiòçâ ÚZ ã Z ÷ Z^Ê ºÔâ � ã ´ ðü.L)(;i�xi�*Lzq47å��Lö ú ã ÷ Z ã �Z ã ÚZ ã õiòçâ ÚZ ã

ß^Z ã Z Ý Z ã|ÚZ¹�Z ã|ÚZ ã õiòçâ ÚZ ã Z¹ÉZ ã|ÚZ ã õiòçâ ã8ÚZß�Z ã Z¹�Z ã|ÚZ ã õiòçâ ÚZ ã Z ÷ ºÔâ � ã ´ Z ð

Page 164: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

ù 6 ¬ é�ê (�� É È � ÅQëu%ò� È Ì )/�.ì (�ì Ëîí ( É�Ë�)/Ì�ï �y)�� �ª;i�7:i�LGÃELGe{i � � ´ f�v ¹/qFLGf'dYLGà ù ! ­ ù vXfL���PfO�rBlvXdHf'à dYL<�97:iYDKf'eFB �Xù ! ­ 6&´ � �îù ! ­ ! ´ ­ * �F7�dHiMf�vªB�i87:iYL��ÃIL$e&i � 7 ´ ��7�BMBYqFfO�rewDPe&Ó�dYfJ�2f'BHDPiYDKf'e ù ! ­ è ­ ¯°LCeNf��þ�NdYfO�'L i�qFL.dYL$ÃE7�DPeFDKe�²D�47:dHiMf�vRB�i87:iYL��ÃIL$e&i � 7 ´ ­ Ó�dYfL�hf'BYD=i�DPf'e ù ! ­ è DKÃB���KDPL$Bli�q47ji · « ] � ã ´ DPv · « ] � ã - ´ xQ�rqFL$dHL�ã - ÷ ºFâ � ã ´ ­ü.fO�þ�KL�i�x;J$f'eE��L$dYBHL?�3°'x · « ] � ã ´ 7:e��~BYqNf��ëiYq47:i · « ] � ã - ´ ­ ¹�f¶BHDKÃB���KD=v>° eFf�i�7:i�DPf'eF�*L�FfsD=i�f'e��3°DPe~i�qFLCJ�7�BHL��rqFL$e Z DPB/7��FdHf'6HL$J�i�DKf�e ­ ¹/qFL$ewiYqFDKB�B�i87:iYL$ÃIL$e&i/vXfL�±�KfO�rBMvXdHf'ÃÍiYqFLdYL<�97:iYDKf'e

ã - õiò ß Z ã õiò Z �îù ! ­ ù è'´�rqFDPJ8qá�ML�BHLGi f'VNi/iYfÇ�NdYfO�'LzeFfO� ­ ¯ALzq47å�'L��E°~i�qNL��NL<¸4eFD=i�DPf'e

ã - Z ã õiò Zeß^Z ã Z ã õiò ÉZ ã ÚZ ã õiòçâ ÚZ ã Z ã õiò Zß�Z®�Z ã|ÚZ ã õiò ZæÉZ ã|ÚZ ã õiòçâ ÚZ ã �¯ËZ ÚZ ´ ã õiò Zeß^Z ð

ª�DPÃED±�97�d¯�±°Qf'eFLABHqFfO�rB�i�q47ji Z ã õiò Z ã - ß Z ­ ³.LGeFJ$LÉã - q47�BSi�qFL+�2f'VNe��FL?�çDPeE�'L$dHBYLZ ã õiò Z ­¹/q{VFB��*Lq47å�'LwBYqNf��re|iYq47:i · « ] � ã ´7� · « ] � ºFâ � ã ´H´ xs�rqFDPJ8q|DKB�L$#{VFD3��7V�KL$e&i�i�f· «�� � ã ´� · «� � ºÔâ � ã ´H´ ­82¹/qFLÔÖ� 8_ ¤>0B¢J¥7¤ ] ¡ � f'd:9\  ß % * ¢ _Y% ´ 0B¢ ;hx�ºÔâ � ã ´ x;ÃE7J�FBlfL�hL$dY7:i�f�dYB�f'eBÜ�DKe&i�fzfL�hL$dY7:i�f�dYBf'ew� 7�e Z DKeEBYVFJ8qg7��*7å°iYq47:iAã )d�ÊOË 7�e���ºÔâ � ã d�Ê�Ë ´ 7�dYL.DKBHf'BÒ�hL$J�i�d�7V��7:i · f'eiYqFLBYL�i ] � ã çâ ´ ­� �����p���������"��� ËQÿØ��; � ß   0Ô¤ ÞJ� ] [O;�;×� ] ;i 1� ¥7. #�ºÔâ t o ºÔâ � ß ºÔâ t â � ;×� ]'& ¤ Ö� ÒÖ Z ò ¢ ¡×Ö Z 5 ¢ �f _ ] 0Ô0 [ ¥�¤ ¡;ÞD;×� ]XW  8_ ¥7¤ ] ¡ ß?2

� ���Ø��� � * BYBHVFÃELsvXf'dCBYDKÃB���PDKJ$D=ia°wi�q47ji�ã 7�e��\ºÔâ t � ã ´ 7�dYL¶DKeE�'LGdHi�D±���KL ­ ¹/qNL$e\i�qFLsB�i87:iYL��ÃIL$e&irvXfL���Pf��rB$��°w7J�����3°�DPe�²IÕ�#;e �îù ! ­ ù è'´ ia�rDKJGL ­ 2ºh»G¼�» ü ¾=<?ÃhÄ�Á?>B¾ @µÅI¾ Æ�A�À¨*L�vXf'dYL5�FdYf;J$LGL?�FDPe�² �rD=i�qæi�qFL)¸4dYB�i�7J�Q���KDPJ�7:iYDKf'eëf�v¶i�qFL5�FL$JGDKÃE7:i�DPf'e³Ã7V�®J$f�eFBHiYdYVFJ�i�L?�7J�hfO�'L�x��MLÔ�FdHf���LI7G®�L<°�dYL?�K7:i�D3�'Lh�2f'VNe��\f'e�i�qFLs#{V47:e{iYD�¶GL?� �'LGJGi�f�d:�2f�iYL$e&i�DK7J�CB � D ´ VNBYL?�DKewiYqFDKBr7J�Q���KDPJ�7:iYDKf'e ­ È�egiYqFDKB/BHL$J�i�DKf�e æ Ê æFE B�i87�e��NB vXf'd�iYqFLzeFf'dHà DKewiYqFLZä�f;JY®~B¯�47�J$L Ñ ­�� ���������� ËQÿn�HGJI  :% ¢ &  

æ B ��D ´ Ý æFE Û èLK�M N� 5OQP ò�R 5 æ ã ò�R 5SUT æFE Ý K�M N� 5 P ò�R 5 æ T æFE ð �îùWV ­ ù�X ´

Page 165: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

ÅQëWYÇÆZY1[ ÈÕì]\ É�ËW^ È Ê=_a`�Ìcb4d ùWegf* ��h�ijilkmilkmn�o�p�q:n�o�rsilh�r$Ãtk iL����i��$quhvr�wJ�Zp��±°ak h�i�Ã8Ù]r$ÃIÃxw ù�V ­ f ��r?��iO� ­y ����zg{C�����"��� � ¹uo�r|rsq}nFpPÃxw~n�r=wJ��iO��r��Zr?��rs����qu�?h����?p�wJ�±�±°�i���n�o�r=���HnFh�wO�jp�iL��r/n��?�Znv�!iJUá��rp��ZqvnFpHnF�Zn�r?��p���B�� D�� ­ ¹miF²�r/n$w�k rsr?��p���²�wJ��il�ZnunFo�p�q:rsq}nFpPÃxw~n�r=p�n:p�q:��qvr?k ����n�i��$h�pHnFr|B�� D�� wlqB�� D��Õß����� B���� D���$o�r?h�rl��h�rs�swJ�����.B � � D�� p�q�n�o�rxilh�p�²lp���wJ�m����wl�gnFp±¶sr?�+��rs�/nFi�hh��i~nFrs�gn�p�wJ���j²�p3��r?� �E°�nFo�raqFw�Ãarrs����w'nFp�il��w~q��r?k ilh�r B � � D��Õß M ���s�¡ ?¢ £ � ��¤ � ݦ¥ ð¨§�ð � N � �©¤ �}ª�« ¤�$p�n�o¦N � ��¤ �qß � è�¬ � õ « � è O �©¤ ��� õiò�R 5 �­w~��� � �©¤ �qß N®��¤ � N � �©¤ � õiò �unFo�r�Q��nFh�wå�¯p�iL��r/nx�?�Znv�!iJU ­¹uo�r?�

��°� B � � D�� ;Û æ �}± �L� õiò�R 5 �� æEæ �}± �L� ò�R 5 B � æß K M � 5O 5 P ò�R 5 K M �s��h¯��B��Õ 5 P ò�R 5 ð² k³�si��Zh�q�r~����rs��w~��q�r�i~knFo�r�´µp��Y®°i�hÒ��r?h�p���²xp��¶nFo�rh��r<¸���p�n�p�i���ilk·ã S ��©· �?��hÒ�HB � 5 � ò�R 5 p�q��iln ��i�������r<�&�E°Çã ò�R 5S ­ ª¯i�nFo�r­¸lh¯²���¹ars�gn:¸V��iO��r���ijrsq8��iln ��r�¸V�an�i�¸4h�p�²li�h�i��Zq·�Zh�ijilkº�����Znp�n�²lp±��r?q$��q�¸l��p���rs¸a¸V��i��¯nA�$o�¸~n�p�qA²�ilp���²�i��°o�r?h�r ­» �k� �½¼ Ë�ÿn��¾ � �f  £3¢J¥�¤ &   */¿'À ¡×Ö'Á ¿ ¡ � ú #æ � �©Â � T æ 5EÄÃÅM Æ· 5O æ ã ò�R 5S T æ 5E � ùWV ­ ù ¬ �

¢ ¡×Öæ � û �� � T æ 5E à M ÇÂÕ 5O æ ã ò�R 5S T æ 5E Ý M Ç· 5 æ T æ 5E ð � ùWV ­ ùWf��� ������� � � S h�iL��n�o�r4q����Zq��shvp��Zn Ñ ­ � ¨ °�n�o�rhª¯�ÈoE�:¸~hÒ¶�p���r?�j��¸J��pHna°

æ � �©Â � T æ ÃÅM Ç· æ � T æà K�M Æ· 5O,P ò�R 5 K�M O æ � T æ 5 P ò�R 5 ðª¯p����sr M O æ � T æ 5 ßÊÉ T Ì ã S T�Ë ÌnFoZrD¸�h�qvn�p���rs����¸J��p�na°Lk iL����i��$q ­

¹uo�r�q�rs�?i�����p���r?�j��¸J��pHna°Lk iL�±��iO�$q:k h�il¹tnFoZrD¸�h�qvn­¸l�Q�°n�o�r4h�r?��¸~nFp�i��æ � �©Â � û T æ 5 ßÌÉ T Ì � �� �v� �©Â � û T�Ë ß æ � �©Â � T æ 5 Ý M Æ· 5 æ T æ 5 ð 2

Page 166: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

ùWe�e é�ê \=ÍcÎmÏ [ÑÐQëWY¦[ Ï³Ò _u[­Ó \�ì]Ô í \cÎCÔ _ Ò ï�[|_�` ͺh»G¼ÈÕ Ö×<åÁ? ÁåÆ´ÃhÄ�Á?ÅBÆ Å�ØÚÙ´Ã�Û�ÄpÁåÀ�<?¾ Ã�Æ�A Ü ÁsÝaÜ Ù�Ü´ÅFÄsÅBÆ ¾:Æ�Þ

¾=Û³Ý�ß A´¾cÝLÛp¾�¾=à8ÅaØáØgÛp¾�¾|A´ÅB¹uo�p�q�p�qcnFoZrF¸�h�qvnâ¸J�Q����p���¸~n�p�i��i~k�n�o�rF��rs�?p�¹L¸~nFp�i��¹L¸J� ­ ² ��h|nȸ~qÒ®p�q=nFi�¹x¸V�1�7��¸lh}nFp��?��r?qÝ ¸�r<����q � p���n�iB¸�r?���Zq ­ ´ãr7�sil��q�p±��rsh�i����3°�nFo�r�²�h�il�����¶q}nȸ~n�r ­$ä (¯�spHnFr?�¶qvnȸ'nFrsqc¸lh�r4nFhvr�¸~n�r?�q�p�¹Lp±��¸lh¯�±°�i��Z�sr�ãÄ� å � p�quq���pHnȸJ���3°&�Zh�r?��¸lh�r<� ­ª¯p��Z�srA��r­¸lhvrA��ijiL®�p���²4¸~n8¸��jp��?p���pHna°�ilk�nFoZr²lh�i����Q�aq}nȸ~n�r$rs��r?hÒ²J°�ilkØãÄ��å � ��nFo�r���r<²�h�r?rsqilk4k h�r?r?��il¹ �?i�����r?�?nFr<�Ån�iænFo�r�r)(¯�sp�n�r?�Þ��¸~hvnFp��?��r¶qvnF¸~nFr?q�¸l���çnFi½o�p�²�oÞ�Zo�ilnFil�çrs��r?hÒ²�p�rsqq�oZi������ ¡ ¿ ¥7è  á�Y  £   & ¢ ¡ ¥ ­ ª¯i+��r�r<��p�¹Lp���¸~nFrLnFo�r?¹ép�q�ilqÒ��rs�?n�hF¸J�±�±°½��q�p���²ên�o�rá��rs�?p�¹L¸~nFp�i��¹L¸J� ­ë�r?��¸J�±� �\Í Î Ï�ì ßîí=ï�ð¯ñcò ìvó ��ã S � ��r?��iln�rsq:nFoZr=qÒ��rs�/nFhF¸V����h�i�6vrs�?n�p�i��Lk i�h�nFoZr=iL��rshF¸'nFi�h$ã Si��gnFi�r?��rsh¯²�p�r?q Ãõô ��¸l����q�p�¹Lp±��¸lh¯�±°�k i�h �jÍnÎ?ö�ì �.r?nF� ­ � ­ Ù]r?nâ÷ ì ß ÷|ø õ!ù�úû ü �\ÍnÎ1Ï�ì ���$o�rshvrl�h�r?��¸J�±�©� ÷ ø õ!ù�úû ß ÷.ý�þ!ÿ�� �� ß ��h�i�6vrs�?n�p�i���i��gn�ian�o�rD²�h�i��Z����qvnȸ'nFr T ø õ!ù�úû ilksã ø õ!ù�ú ð´ãr$�:¸~��nn�i4¸J�����3°4nFo�r:¹L¸J���Ôâ�� nFi=n�o�r:iL��rsh�¸~nFilh�qpãÄ��å � ±�� ÊîË k i�h�4p���¸c��r?p�²�o���i���hvo�i¯i��ilkCnFo�rD²�hvi������°qvnF¸~nFr4r?��rsh¯²J° í û ­ë�r?��¸J�±�¯n�o�¸~n n�o�rA��rs�?p�¹L¸~nFp�i��7¹L¸J��Ôâ�p�q���r<¸���r?��i���iL��rsh�¸~nFilh�qpã½�gq ­ n ­ ���7ã � ý ë­¸l��÷p�qA�Zrs��qvrâp������ã � ����h�iO�jp��Zr?���� ô ��ã çâ � ¸l���

æ ÷�ã 0 çâ æ���� ¸~��� æ 0 çâ ã¶÷ æ���� Ì�$o�r?h�r 0 çâ ß Ú÷L�7ã çâ � ð ò Ú÷ ­ È � �$o�¸'n7k iL�±��iO�$q í û ¸~��� í ò ¸lh�ranFo�rDz�h�il�����½q}nȸ~n�rxr?��rsh¯²J°¸l����nFoZrD¸�h�qvn�r)(Z�?p�n�r?�°qvnȸ'nFr4ilksã ø õ!ù�ú ��¸l����� í ßÅí ò ± í û ­¹uo�rsilh�rs¹ ùWV ­ ù ¸l�Q�qÓh�iJ��i�qvp�n�p�i�� ù�V ­ ùWX i~kmn�o�r * ����rs���ZpH(½�vªjrs�?n�p�i�� ù�V ­ ùLùW� p�¹B���±°������������� ËQÿ! #"%$   ¥'& å &)( � í+* ,.-  1¡��Ôâ�� ¤ Á+Ö�  � ¡Ø ÒÖ ¿ ¡ ¿0/  1� ¢J¥ ¿ �FÁ ¿21 ¥ -   1�¿ �43ãÄ��å � ±65 Ê�Ë87 -  1�Y 95: <;�� & ë$r�� à í û Ý ò5 � í>=?7 ¢ ¡×Ö ¤ Á ¤ Á ¿ Á /  0@ ¥ � ¢J£ *ª¯p��Z�srD��r7¸lh�r�p��gnFr?h�r?qvnFr<�p���nFoZr���¸lh}nA;�� & ë$r�� à í û Ý ò5 � í�= ilk�n�o�r�qÒ��rs�?n�h���¹°����r��¸~��q}nF���Q°B�Ôâ � �7ãÄ� å � ±6� � p���qvn�r�¸J�°ilksãÄ� å � ­² ��q�r?h¯��r­nFo�¸~n8pHk�n�o�r��Zh�i'6vr?�?nFp�i��L÷4ø õ!ùHúû o�¸lq³hF¸~��® ù �gnFo�r?�Ln�o�r­iJ��r?hF¸~n�i�hC�Fâ��'�7ãÄ� å � ±B� �p�qui~kmn�o�r|k i�h�¹ �Fâ � �7ãÄ� å � ±D� �·ß ÷ ø õ!ùHúû ü �\Í Î Ï�ì ã û ��å Ì � � �\Í Î Ï�ì Ì

�$o�r?h�r�nFo�r�iL��rsh�¸~nFilh:ã û � å Ì � � ����r<¸��Zr?�5��°¶nFo�p�q|h�r?��¸~nFp�i����®¸l�?n�q�il�ãë�¸l� �\ÍnÎ1Ï�ì ­ ¹uo���q:��r��¸lqvq�r<�¶k h�i�¹tnFo�r�iL��rshF¸'nFi�h�ãÄ��å � ¸l�?n�p���²ai��'E ø õ!ù�ú ü Ñ nFi�nFo�r�iL��rshF¸'nFi�hã û � å Ì � � ¸~�?nFp���²i���n�o�r|¹����Èo�q�¹L¸J�±��rsh8qÒ��¸l�sr4ë�¸l� �\ÍØÎ<Ï�ì �k�$o�p��Èo�p�q�p�q�ilqÒ��rs�?n�hF¸J��nFiFãÄ��å � ±F� ÊVË p���nFo�r|qvr?n

;�� & ë�r�� à í û Ý ùè � í>=

Page 167: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

ÐQëWYHGjY�ï Ï³Ò­Ï [ \�ì]Ô í Ï bJI Ô éLKÊ[ Ï³Í [ Ï d ϳÒ�Î�\cÎCÔ _ Ò ùWegVp��æn�o�r�q�r?��q�r°ilk¹uo�rsilh�rs¹ ùWV ­ ù ­ ´ãr°r<��p�¹Lp���¸~nFr<��� p��"¸l�"p�q�ilqÒ��rs�?n�hF¸J�g��¸å°��³nFo�r���r<²�h�r?rsqilk8k h�r?r?��i�¹ �si�hvh�rsq¯��il����p��Q²°n�i�n�o�rF��¸lh}nFp��<��r?q4¸l����nFi�nFo�rF��oZilnFi��êrs�ZrshÒ²lp�rsq�M ô �.p ­ r ­ ��r��hvi'6vrs�/nFr?�Åi��Zn�n�o�r)��¸lh}n�ë­¸~�7� Ë ± ÷|ø õ!ùHúû � i~kân�o�r ��¸lh}nFp��<��rq¯��¸l�?rNE ø õ!ù�ú ¸~���çnFo�r ��¸~hvnë�¸l� �\ÍØÎ?ö�ì i~kmn�o�rPO�ij�Y®�q¯��¸l�sr Ñ ­ ô p�qu��¸J�±��r?��n�o�r /Q-�¿ ¥ ¿ ¡+ 1¡Ø 1�SRUT�Á�@ ¢J£   ­¹uo�i���²lo�n�o�r=iL��rsh�¸~nFilhAã û � å Ì � � ��ijiL®�q:hF¸~n�o�rsh��si�¹B����p���¸~n�r?�B��r��$p±����q�o�iO�áp���nFoZr=��r/(jnq�r?�?n�p�i��anFo�¸~n8nFoZr­�?i�¹Ç�Q��p��s¸~nFr<�F��¸lhvn�ilk®p�n·²�p±�lrsq�¸D�lrsh¯°Lq�¹L¸J�±���si��gn�h�p��Z�ZnFp�i�����q�iâp�n8p�q³ilk�n�o�rk i�hv¹

ã û � å Ì � �pß � û íþÝ ã S Ý q�¹L¸J����nFr?h�¹aq Ì�$o�r?h�rA� û í p�q$¸��si�¹B���ZnF¸J����r|r?��rsh¯²J°�q�oZp�k�n$ilkCnFo�r4i�h¯��rshWVx� å 5 � ­È!ks��r4p�²���ilh�r=nFoZr�qv¹x¸V����n�rshv¹Lq?��nFo�r?�q¯��r?��ãÄ� å � p��½�º± � Ì í û Ý � û í7�CX q¯��r?�\ã S Ý í û Ý � û í ðü­iO�µ��i~nFr$nFo�¸~ngã S Ýêí û Ý � û í o�¸lq8nFo�r­rsp±²�rs�E�~¸J���Zr í û Ý � û í ���$pHnFoanFo�r­rsp�²lrs�Zk ���Z�?nFp�i��Y � ¸~���ãn�o�rL�?i��gnFp��j�Z��¹ ¦ í û Ý � û í Ì � � �$pHnFo�nFo�rB²�r?��rsh�¸J��p±¶sr?�êrsp±²�rs�¯k �����?n�p�i��Zq T ø õ!ù�úû üZ � û ��¤\[ � Y ­ ³­rs�Z�sr ö çâ^] �7ãÄ� å � ±F� � Y ²�p±�lrsq$¸l��¸V����h�i�(¯p�¹L¸~n�rcrsp±²�rs�¯k �����?n�p�i���i~k\ãÄ� å � �$pHnFo¸l�µ¸J�Q��h�i�(¯p�¹L¸~nFr�rsp±²�rs�E�~¸J���Zr í û Ý � û í ¸l���çqvp�¹ap���¸~hÒ�±°ãk i�hxn�o�r�sil��n�p�������¹ ­ È � k�¸l�?ns���rá�$p±���$¸��Q�¦rs�ZrshÒ²lp�rsq í ï`_ ó ß,í û Ý Vx� å 5 � ¸l���1����¹���rshvqa5 ïb_ ó ß ù:Ý Vx� å 5 � q ­ n ­ k i�hô ß ����å � ( ù ¸l���ã¸l�E°dc�M ù ãÄ� å � p�q|p�q�ilqÒ��rs�?n�hF¸J�mnFi í ï`_ ó Ý 5 ïb_ ó ã S Ý V�� ô _ � p���n�o�r��p�qÒ®e��� í ï`_ ó Ì ô _ � ­ ¹uo�p�qup�q$��¸J�±��r<� ¤ ¡ 1 � ¢ �f ÒÖ ¢ ÁfT�3 / ¥ ¿ ¥�¤ @ 1 �f Y ÒÖ ¿ 3 ­ºh»G¼hg i ¾:Æ´¾|ÛpÃ7<åÁkj¾|A l ÁåÀnm o ¾=Ù�ÛÕ¾=às¾:ÆGÄ�Ã�ÄpÁ?ÅBƹuo�i��Q²�o�n�o�r7iL��rsh�¸~nFilh�ã û ��å Ì � � ��ijiL®�q�¹7���Èo¹ai�h�r4�sil¹Ç����p��s¸~nFr<�°n�o�¸l�´ãæ� å � ��p��°k�¸l�/n­n�o�r�sil¹Ç����p��s¸~nFr<�¦nFr?h�¹aq���¸l�þ��r�r�¸lqvp��±° rsq}nFp�¹x¸~n�r?�µ¸l�Q�çq�o�iO�$�án�i�²�p±�lr�¸æh�r<��¸~n�p±��r<�±° q�¹L¸J����sil��n�h�p±���ZnFp�i�� ­ ¹uo�r?q�r�r?qvn�p�¹L¸~nFr?qc¸lhvr���¸~q�r?�¶i��¸&�Zh�rsqvrs�gnȸ'nFp�il�¶ilk n�o�r7iJ��r?hF¸~n�i�h ã û ��å Ì � �p���n�o�rAR� 1¡Ø 1� ¢J£/¤qp  ÒÖ I ¤ @0r�s ¿ �D¡ ¿ �43 ¢J£ t 1�¿ �43 ­¹uo�r$iL��rshF¸'nFi�hÕã û ��å Ì � � ��r�¸lhvr$p��gnFr?h�rsq}nFr<�Lp���o�¸lq³��i|´µp��Y®âh�r?�Zh�rsqvrs�gnȸ'nFp�il� ­ ³­iO��r<��r?hs�p�n���¸l� ��r�r)(k��h�r?q�q�r<�×p��ŸÄ�?��i�q�r<�±°¦h�r?��¸~nFr<�çk i�h�¹ �$o�p��ÈoÅq�r?h¯��r?q°n�o�r�qF¸l¹ar ����h¯��ilq�rê¸lqnFoZra´µp��Y®�i���rl�\���Znâ�siO�lrsh�q7¸°¹7���Èo+�$p±��rsh4�?��¸lq�q�ilk�iL��r?hF¸~n�i�h�q ­ ´ãr���¸J�±� nFo�p�q4k ilh�¹°�.n�o�rR� 1¡Ø 1� ¢J£/¤qp  ÒÖ I ¤ @0r)�f  / �Y ÈÁO 1¡ ¥v¢J¥7¤ ¿ ¡ ­ ¹Ci ��r?q��shvp���r°n�o�p�qah�r<��h�r?q�r?��nF¸~nFp�i�� ��r¶p��gnFh�i������/nFp�i��¸�hvqvn�q�i�¹ar4¸J���Zh�r<�jp�¸~nFp�i���q$0� � ú � _ ß _u[wv ò � ú �©¤�[ � ¸l��� ª _ ¤ ßîª « ¤ ò ðåð?ð ª « ¤ _ Ì�$o�r?h�r � ú q}nȸl�Q��q:rspHnFo�r?h�k i�h � û i�h�k ilh � ¸l���xp�q�n�o�rcq�¸l¹ar­nFoZh�i���²lo�i��Zn�nFo�r���h�i������/n ­ ¹uo�rq�oZi�hvn}� o�¸l�Q� M � � û �yx)¥ x2z ��ã S �v��z ilh�qvi�¹ar?nFp�¹Lr?q M � � û �yx)¥ x2z ��z � ùWV ­ ù�eg�

Page 168: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

ùWe?{ é�ê \=ÍcÎmÏ [ÑÐQëWY¦[ Ï³Ò _u[­Ó \�ì]Ô í \cÎCÔ _ Ò ï�[|_�` ÍqvnF¸l����q$k i�h:n�o�r4iL��r?hF¸~n�i�hM xu[|v ò � û �©¤�[ ��¥ x2z ��ã S Ì ¤ ò ðåðåð ¤ xy}Qz � xy}Qzu� v x2} ò � ��¤ � �vª x2}Qz ¤ ð

³­r?h�r ¥ x2z ��~ Ì ¤ � �¤ ß �©¤ ò ðåðåð ¤ x2}Qz � �¸lhvrx¹ar�¸lqv��hF¸V����r�k �����/nFp�il��q7i��Þ¦�� Ì ù «��6� « ï xy}Qz ó ������p �k i�hv¹Ç�3° Ù]p���qv�Èo�p�nÒ¶Lp��<~ �C��¸V����r<�ên�o�rd@ ¿'À\/ £/¤ ¡�R 1)À ¡�@ ¥�¤ ¿ ¡ZÁ ­ ¹uoZrsp�h���rso�¸å�jp�i��Zhâp��æ¤ �$p����p��rqÒ��rs�?p±¸�r<�r��¸~nFr?h ­´½r�q�¸O°�n�o�¸~n�¸l��iL��rsh�¸~nFilhDã il�ãë�¸l� �\ÍØÎ<Ï�ì p�q|p���n�o�raR� 1¡Ø 1� ¢J£/¤qp  ÒÖ I ¤ @0r 1�¿ �43tpHk�pHn��¸~�r��r:�$h�p�nvnFr?��¸~qã ßJ�

x ò z ö û M � � û � x ¥ x2z ��ã S �v� z ð² ��r?hF¸~n�i�h�q�ilk�n�o�r­k i�hv¹U� ù�V ­ ùWe�� �$p±���i��rc��¸V����r<�� h�q � � ¹ai���il¹Lp�¸J��q ­ ªji7k�¸lh³nFo�r?q�r���r1¸���pHnFp�il��q¸lhvrA����h�r<�±°âk i�h�¹L¸J�Zqvp����?rA��r���i4��ilnÕ�Zrsq��?h�p±��r�¸|�?��¸lq�qilk��?i�������p���²=k ���Z�?nFp�i���q ¥ x2z k ilh��$o�p��ÈonFoZrc�silh�h�r?qÒ��i�����p���²7iJ��r?hF¸~n�i�h�q�¸lh�r~�¯q�¸å°��Q�Zrs��qvr?�±°B��r1¸���r<��i�h ��i����Q��r?� ­ ¹uoZp�qÕ�$p����i��r �Zi���r��¸'nFrsh ­ O�ilhc��iO����r�¹ars�gnFp�i���i����3°�n�o�¸~n=n�o�i���²lo)ã S �s¸l�)��r�r)(Q�Zh�rsqvq�r<�½p���nFo�r�q}nȸl����¸lhÒ�´µp��Y®Lk i�h�¹

ã S ß M O � û � ÌnFoZr:�si�hvh�r?qÒ��i�����p���²|�si��Q����p���²­k ���Z�?nFp�i���� O ��¤ ò �|� �©¤ ò ±a¤ 5 � ��p�q�¹ai�h�r�q�p��Q²�����¸~hCn�o�¸l����r$¸J����i�� ­¨��Zn=r<��r?��p�k n�o�p�q­�si����Q��p��Q²Lk �����/nFp�i��q��¸lq|q�¹ai¯i~nFo���nFi&¸����nFo�râ´µp��Y®�k i�h�¹ ilk³iL��rsh�¸~nFilh�q��p±®lr �\Í Î Ï�ì �Zilks�$o�p��Èo ¥ x2z ¸lh�r4�sil¹Ç��i�q�r<��p���i���hu�s¸lq�r~��p�qu��iln­¸l��r�¸~q¯°�¹L¸~n�n�rsh ­È �á�$o�¸~nuk iL����iO�$q$��r�¹L¸l��p��Z����¸~n�r­n�o�r|iL��rshF¸'nFi�hvq � û ��¤ � � � ��¤ � ¸l���áã S ¸~q�pHk.nFo�r1°G��r?h�rp��Q��r?��rs���Zrs�gn ­ ´½r4��qvr4i����±°LnFo�r4�?i�¹L¹7�Znȸ~n�p�i���hvr?��¸~nFp�i���qg��r?na��rsr?�¶nFo�r?q�r4iL��rsh�¸~nFi�hvq$0

¦ � �©¤ � Ì ã S « ß O ��¤ �v� ��¤ � Ì r?n�� ­¹uo�rB��i�p��gn4o�rshvrap�q=nFo�¸'n�n�o�i���²lo)��rB��i���iln4nȸJ®~r�r/(k��r?�?nF¸~nFp�i���q4ilk:iJ��r?hF¸~n�i�h�q|p���n�o�r

�~¸l�s�Z��¹ q}nȸ~n�r=i�hs���$o�¸~nup�q�r?�j�Zp±�~¸J��r?�gn��Q�Zi���ilnuq�¸l���Q�$p��Èo°iJ��r?hF¸~n�i�h�q ��°&��h�i�6vrs�?n�p�i��Zq:i��gnFinFoZr��~¸l�s���Z¹��×��rÔ��ixqF¸l���k�$p��Èo�nFo�r?¹ �E°q��h�i'6vr?�?n�p�i���q?� �\ÍØÎ<Ï�ì �®i��gnFixn�o�r���iO���±°jp���²xq¯��r?�/�nFhv��¹ÑqvnF¸~nFr?q:ilk�n�o�rck h�r?r�³­¸l¹Lp±��n�i���p�¸~���Eã S ­ * q:¸âh�r?q����Hn$��r=q�oZi��µn�o�¸~n�n�rshv¹Lq��si��gnȸ~p���p���²¸~nF��r�¸lq}n�i���r��?h�r�¸'nFp�il�1ilh�¸l����p�o�p���¸~nFp�i��½iJ��r?hF¸~n�i�h�²�p3��r�¸�h�r<��¸~n�p±��r<�±°ãq�¹L¸J���8�sil��n�h�p±���ZnFp�i��¸l���LnFo�r��si��gn�h�p��Z�ZnFp�i��xp�q�qv¹x¸J�±��r?hs��nFoZr ²�hvr�¸~n�rsh³nFo�r­�j�Z¹���r?h�ilk��sh�rs¸~nFp�i��L¸l����¸l�Z��p�o�p±��¸~n�p�i��iL��rsh�¸~nFi�hvq:nFo�r?q�r4nFr?h�¹aq��?i��gnȸlp�� ­ºh»G¼4� � Ã� Á�<<Ä�ÅBÆ Á?Ã�Æ � ���f�������² ��h���ig¸U����i�� p�q:n�i�q�o�i��×n�o�¸~nunFoZr�iU��r?hF¸~n�i�h�ã û � å Ì � � �Q��r^����rk�����xnFo�r4h�r^��¸~n�p�i��

ã û � å Ì � � ÷ É T ø õ!ù�úû Ì � ï û óì�� ãÄ��å � ±D� Ê�Ë�� T ø õ!ù�úû Ëh� þ!ÿ�� � � ùWV �±ùWV��

Page 169: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

ÐQëWY¢¡gY¤£ \=Ò�\ é�êÊd Í�\ é Ï _9¥Å_ Í³Ï [ \cÎ _$[­d ùWe?¦k i�h��� Y ����¸l�'��r4h�rk�Zh�rsqvrs�gnFr^�p���n�o�r§��rs��r?hF¸U��p#¨?rk��´µp��0©xk ilh�¹ã û � å�ª0� �ÕßJ�

x ò z ö û M � � û � x ¥ û ò x2z ��ã S �v� z � ùWV �±ù«{g�¸l�¬�LnFi7r?qvn�p�¹L¸~nFr�p�n�q��?i��¬�¬��p��¬�4k �����/nFp�il��q ¥ û ò x2z �­~ª)¤ �f� ² �Zh�h�r?q��¬�HnFq�¸lh�r­q���¹a¹Lr^�x�¬�xp��Ln�o�rk i?�®��i��$p��¬�������������� ¯ ÿ! >ÿ±° ÁÈÁ À 3+²�³ ¿�´�µU¶�·S¶©¿�´ s ° t -�¿�¸qµ Á *B$ ² · å ( � ÷ ¹ap����S� í ªº¹ � s»¹ ¶ Á ·�- ²Á�@w¼ ¸ ² / ¼U½|¼U3+² · ²f½¾² ´Q· ²f½ ¶�´ R ·�- ² µ ² � ´Q¶�·S¶©¿�´Å¿21 ã û � å�ª0� � t *¿,.- ² ¿0/ ²f½|¼ ·º¿ ½Fã û ��å ªº� �e- ¼'Á�¼R�² ´ ²f½|¼ ¸À¶ p ² µ�I'¶ @0r�½º² / ½º²ÈÁ�² ´Q· ¼ ·­¶©¿�´87�ÁÃÂk´ s2Ä � * Ä?Å t 7 ¶�·�- @ ¿'À�/�¸À¶�´ R 1)À�´ @ ·­¶©¿�´ Á 7�¥ û ò x2z 7 ¼ ´ ¼ ¸ T ·S¶ @¶�´ �� Y ¼ ´�µ Ák¼ ·S¶ Á 1 T ¶�´ R ·�- ²²ÈÁ ·S¶ 3>¼ · ²ÈÁ& ¥ û ò x2z ��~Lª)¤ � &^ÆÇ& È?É ¥ û ò x2z �­~ª)¤ � &à �?i���q}n x2}Qzu[wv ò ���?i���q}nËÊ?å)Ê � ð ò Ê O ��¤�[ � ð ò�R 5 � ª � ùWV �±ù«¦g� - ²f½º² ·�- ² / ½ ¿kµlÀ @ ·C¶ Á�¼ è Á�² ´Q·C¶�´d·�- ²@w¼'Á�²�̧ͱÎÏͱ� 7 ¼ ´�µ&ÐÈ?É ¥ û ò û û �­~ � ± ù & à �si���q}nCÊså 5fÑ � 5�Ò � ùWV �HÓ � �Ôuo�rP��h�ijilkmilkmn�o�p�q:n�o�rsilh�rs¹ p�quq�p�¹a�8��r)���¯n���rs�¬�~nFoÕ� � ´ãr�il¹LpHn:p�n �ÖA×ÙØ0Ú ÛÝÜ�ÞßÜáà�Ü à ÙßÜ�àWâ ã�رãaÙ<â|Û�ÜAäãaÛ8àå ��q}nFr�¸æ�1i~k���iji?©�p��¬��¸~n�n�o�r�q�p��¬�?��r+ç­¸l¹Lp®��n�i���p�¸~���è û ��å�ª0� � �L��r���i��t�si��Zq�p#�Zrsh�¸l�½rs�gnFp�h�rqw��¸l�sr­ilkéç­¸l¹Lp®��n�i���p�¸~��q ilk!�$o�p��Èoeè û ��å�ª0� � p�q�êv��qvn�i���rW��i�p��gnc��i�h8�sil¹a�¬��rfë��?��h|ìlr)��r^��r?�¬�¯�p��8��i��ên�o�r���¸lh�¸l¹Lr/nFr?h§� �f� ² ��h�¸lp�¹Qp�q=nFi�rsq}nȸU�¬��p�qvoã¸~�ãp�q�i�q|��r?�?nFh�¸U�í�i��Êi�� ·�-�¶ Á�Á / ¼�@0²�$o�p��Èo°nF¸U©lr?qÏè û ��å ªº� � nFia¸�q�p�¹>�¬��r=i?��rshF¸'nFi�h �O�h�i�¹ ��i��Ui��î��r��q�rn�o�rqvo�i�hvn�o�¸l�¬� �Lï�ìFðé��ñ�ò^ï�ì ¸l�¬� �Ló�ìFðé��ñ�ò^ó�ì k i�hLi���hq�¹aijilnFo�r^��i��Zn��Èo�¸lh�¸l�?n�rsh�p�qvn�p��=k �����/nFp�i���q �ô i���qvp#��r?h­¸���i�q�pHnFp®ìlr=k �����/nFp�il�Nõ�il�Bö « q�¸~nFp�qvk��jp��8�

÷ø ïQù

õ.ú Æ ÷ø ïQù

õ úû ��� Ò

ü=r^����r�nFoZr9ý:¸l��¸~�Èo�qw��¸l�?rl�ÕþCÿZ��i~k�k i�h�¹L¸U��rfë ��hvrsq�qvp�i��Zqilk�nFo�r�k i�h�¹ è Í �x2}Qz ö û è x2z �U�$o�r?h�r

è x2z Í÷ ����� �2x)¥ x2z �Sè S � � z Ò

Page 170: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

� V � �� \=ÍcÎmÏ [ÑÐ�WY¦[ Ï³Ò _u[­Ó \ �]Ô��®\cÎCÔ _ Ò�� [|_�` Í� q���r?k i�hvrl��n�o�r4h � o � q � o�rshvr�p�q�¸�qvo�i�h}nFo�¸l�8�°k i�h:n�o�r4rfë ��hvrsq�qvp�i��÷ xu[wv ù � � ��¤\[ �v¥ xyz �­è S ªÈ¤ ù Ò«ÒkÒ ¤ x2}Qz � x2}Qzu[wv x2} ù

����¤\[ �vª x2}Qz ¤ ÒÔuo�r��si��¬�8��p��8��k �����?n�p�i��Zqs� ¥ x2z �­~LªÈ¤ � ��¸~h�r�¸lq�qv��¹ark��nFi�qF¸~n�p�q}k���nFo�r4r?qvnFp�¹x¸'nFrsq� ¥ xyz � ÿ ð ù

� _ v û � ¥ x2z � ÿ ò _ ��� ª � � V �HÓ � ��$o�r?h�r � ¥ xyz � ÿ ò _ ð q��8�É ò   � õ ð ù�� ï x2}Qz ó & È _É ¥ x2z & � ��� Ò � � V �HÓUÓ��ç­r?h�r���râ��qvrk�°nFo�r4��ilnF¸~nFp�i��

õ � _ Í _u[wv ù õ�©¤�[ � Ò � � V �HÓ~Xg�´ãr�qvr?n � è x2z � ÿ ò _ ð � ¥ x2z � ÿ ò _ � � è xyz � ÿ ð � ¥ x2z � ÿ�¸~�¬�� è � ÿ�ÍŹx¸�ëx2z

� è x2z � ÿ Ò � � V �HÓ����´ãr=p#��r?�gnFp�k��ar4ë8�Zh�rsqvq�p�i���qWèJ�$p�n�o�i?��rsh�¸~nFi�hvq �LïQù è �LïQù ��ìjp�¸�¸l��i?�Õìjp�i��Zq:i���r)�!nFi'� i���r­�si�hº�h�r?qw��i��¬��r?���sr �f� Ôuo�rP��¸~nvnFrsh$¸~h�r���i����¬��r^��iU��r?hF¸~n�i�h�q$i���� ¸lquk i?�®��i��$q�k hvi�¹� ������� �"!$#%!��'& ¯�( *) s2¼�rÕ²fT è ¿'À�´�µ t� �LïQù è x2z �LïQù � à +,,- ÷. ø ï  �/ ó»ïQù & ¥ x2z & úx2}Qz0 ù û21�3 [54�6 xy}Qz 3�7988:

ù�; úÃ=< 1 õ ª � 4 x2}Qz � è x2z � ÿ ò û ª 1 �?> �HÓA@ 4B - ²f½º² < 1 õ ª � 4�ÍDC ÷ ø ïQù õ úûFE ù�; ú Ò

,.-jÀ ÁHG ïQù èIG ïQù ÍKJLG ïQù è x2z G ïQù @ ¿�´NM ²f½SR�²ÈÁ ¶�´d´®¿ ½43 7./ ½ ¿�M�¶­µ ² µ÷ø ïQù

õ úû � � Ò

Page 171: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Ð�?OP?ORQ ÏTS �VU �]ÔºÒW� �%>X�� �\�.��Y ´[Z]\N^«ì_Z§�Õ�`^Aacb?� Z9de^�feb_dgahbAd�¹ji*ahZ9kmlN^U�*i*fy�� G ïQù è xyz G ïQù � à ÷ ÷ � � x G ïQù �n�po x2z �n� � z G ïQù � Ò 1 �?> �HÓrq 4� feZpst\hahi*s"^U�nZpuvfei�¹w^�feZ 1 �x\hiyst\]s"^raP� Z{zPb_lha¬�]i*a � ýÃO| � ��} s5zh^æ�yu~b�f~\hZ cBÍ � s"^AuvZ��xi*fe\ �?> � � � 4i�¹>�¬�*iyZ9uTfe\N^�fgfe\hZ�zPb?�®�yb��xiya¬��Z9uvf~i�¹�^rfeZ�\�b?�#�hu÷ oV� � _ G ïQù � à +,,- ÷. ø / ïQù & o & ú_0 ù û [ 7988:

ù�; úª

�x\hZpd~Z û [ÃÍ û21�3 [54 } �x\hiyst\`s9b�¹>�¬�*ZpfeZpugfe\hZ§�hdvbXbAz�bAz�fe\hZ��NdvuvfW�N^Ad�fxbAz 1 �%> �bÓ_@ 4 � Ôg\hZ§�hd~b�bAzbAz fe\hZHu~Zps9b_a8�wiya�Z9kmlN^U�*i*fy��iya 1 �%> �HÓ_@ 4�zPb?�#�*b\�xuzPdvb�¹�f~\hZHd~Zk�y^rfei*b_ahu �po x2z � à �po xyz � ÿLʺõ � ï x2}Qz ó^Aa¬� ÷�.�� ø / ïQù C õ úûFE � _ Ã=< 1 õ8ª � 4 _ Ò �å�aî�x\N^rf�zPbU�#�yb��xu��LZ�fe\hi*a¬©R^U�'bAl�feè ^ru�^Aa�bU�'Zpde^rf~b_dwdvZ9uvf~d~i*spfeZ^��feb�f~\hZIuvl¬�hu|�N^As9ZëH^AahG ïQù �T� b_dvZ9b�ì_Zpd } ��Z2ft^æ©AZáõIf~bá� Z bAz�fe\�Z2zPb_d�¹ õ¾Í��WÊ û ð�� �x\�Z9d~Z ���î�W^Aa¬�`� à ùú �Ôg\hZ�s9^Au~Zpugi�¹>�'b_d�ft^Aanf�zPb_dLlhux^rd~Z]�>Í ùú } i�z ô b_a¬�hi�fei*b_a 1 ý�4�iyu�a�bAfx^Auvu~l�¹�Zk� } ^Aa¬�`�>Í�� ùúbAf~\hZ9dh�xiyu~Z �þCÿ�i*u�b_lhd��N^AuviysBý�^AaN^rst\�u|�N^As9Z`bAz2b?�'Zpde^rf~b_d~u � O�bAd�� � ùú i*f�i*u�uvl� �s9i*Z9anf�zPbAd�b_lhd�hlhd|�'bAu~Z9u � ONb_d��>Í ùú i*f¡i*u¡ahbAf � Ô�b¢fedvZ"^rf¡f~\hZË�y^rf~f~Z9d�s9^Au~Z �LZ�iyanfedvb ��lhs9Z } i*a�^Aa�^U�¬��d~b?�hdvi£^rf~Z�¬�y^As9Z } ^a¹�b_dvZ�d~Z^�hahZk��ý�^AaN^rst\�u|�N^As9Z �

ÖA×ÙØf× oJâ=àLàWÜ�¤"¥«Þݦ[Zá��^Aanf�f~b�§w^U�Ib_lhd b?� Z9d~^rfebAd~u�iyanf~b�b?� Z9de^�feb_dvu b_a¨^+�8ëXZk� } ¹A© ¶�´�µ ² / ² ´�µ ² ´Q· uw�N^AspZ � Ô�bfe\�iyugZ9a8�B��Z�dvZ9uvs"^U�*Z]f~\hZ9§j^AugzPb?�#�*b\�xu � ü Z^�hahZª^�lha�i*ft^rd|�Ù�Ad~b_l¬� }'« 1�¬ 4 } ���« 1�¬ 4 u � � 1 Âf[94 Y Í u � � 1 «�­ Â^[p4 Y 1 �?> �HÓ > 4�x\hZpd~Z «V­ iyu�f~\hZ]d~Zpu~s"^æ�yiya8�Wfede^rahuvzPb_dv§w^�feiybAac^Aspf~iya¬��b_a�® ú 1 öT¯�4 } �Ai®ì_Zpa'���1 «�­ °4 1�3 4 Í=± ð ¯ ­ ; ú/ 1 ± ð ­ 3 4 Ò 1 �?> �HÓæ{ 4

Page 172: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

�%> Ó ��HU ÍcÎmÏ QÑÐ�?O²Q ϳÒW³ Q­Ó U �]Ô�� U ÎCÔ5³uÒ�� Q ³�´CÍå�aB�N^Advf~iyspl¬�£^Ad } « 1�¬ 4 Y Í Y ��� b_d~Zpb�ì_Z9d } �LZª\N^«ì_Z]fe\hZ�zPb?�®�yb��xiya8�Wd~Z^�£^rf~iyb_ahu« 1�¬ 4���µ 1�3 4 « 1�¬ 4 ð ù Ͷ± ¯ ­ ; ú·�mµ 1 ± ­ 3 4 1 �?> �HÓæ¦ 4« 1�¬ 4|è�¸ « 1�¬ 4 ð ù ÍK± ð ­ è�¸ Ò 1 �?> �º¹ �n4Ôg\hZP�£^Au�fgZ9kmlN^�feiybAa�i*§a�¬�*iyZpu« 1 �ß�*a 1 ¹�4v4g»LëH^AaxG ñ!òfï�ìx¼ ë¢^ragG ñ!ò^ïQù Ò 1 �?> �º¹ � 4½¢b��±��ZP�hZ^�Na�Zªf~\hZ]d~Z9uvs"^U�*iya¬�Wf~de^Aa�uvzPb_dv§w^rf~iyb_a�bAa`bU�'Zpde^rf~b_d~uH^Au¾ ì_1 è¿4�ÍK± ­ « 1�¬ 4|è « 1�¬ 4 ð ù ª ¬ Í��ß�*a�¹ Ò 1 �?> �º¹?Ó 4½¢brfeZ ¾ ìA1 è�¸%4�ͱè�¸ � ýË� 1 �%> �À¹ � 4 } i*z�^Aacb?� Z9d~^rfeb_dÃèÁ^rspfeuxb_a°ëH^AagG ï�ì } fe\hZpa ¾ ìr1 è¿4�^As5feub_a°ëH^AaxG ïQù } ^�¹A©Âiya¬��Zk� Z9a¬�hZpanf2u|�N^As9Z �à �hu~Zpd|ì_Zªfe\N^�f9�LZ]s"^ra��hZf�NahZ ¾ ì ��iyd~Zpspfw�®��^ru ¾ ì Í ùì ¾ 1 ¹�4 } �x\hZ9dvZªf~\hZ]b_ahZ·©y�N^Ad~^A§�ZpfeZpd�_dvb_l¬� ¾ 1 ¹�4�iyu9�hZf�NahZ^�¾�Õ��fe\�ZP��d~b?� Z9d�feiyZpu� � ¾ 1 ¹�4 1�Ä Ê%Å�4 Í ¾ 1 ¹�4 1PÄ 4Ê ¾ 1 ¹�4 1 Å�4 }Ó � ¾ 1 ¹�4�� µ 1�Æ 4�Ͷ� µ 1 «�­ Æ 4 } ¬ Í��ß�*a9¹ �Ç @w¼ ¸À¶�´ R µU¶ 3+² ´�Èf¶�É�´�* åÂz ��Z�dvZ9uvs"^U�*ZAè x2z Í¶Ê 1 � � 4 x o x2z � z } �LZ]b?�Xft^Ai*a¾ ìr1 è x2z 4�Í ÷ 1 � � 4 x o ï ìvóx2z � z ª 1 �?> �º¹A¹ 4

�x\hZpd~Z o ï ì�óx2z 1 è�¸?ª 3 4CÍ�¹ ¯ ; ú ï x2}Qz ó ð ù o x2z 1 ¹�è�¸?ªº¹ 3 4 Ò 1 �?> �º¹r� 4¦[Z�ft^æ©AZ+õ ÍË� û ð�� � åÂz è x2z FþCÿ } f~\hZ9a o x2z � Z9\N^«ìAZ9u zPb_dHu~§�^U�#� & 3 [ &ºÌ u¢^Au 0 x2}Qz[wv ù û21�3 [·4 ð�� �|Xb ¾ ìr1 è x2z 4{Í ¹ ï ¯ ; ú ð�� ó ï x2}Qz ó ð ù è x2z ÒÔg\hZ�iy§>� b_dvfe^Aanf�f~Z9d~§Á\hZpd~Z�i*uáÌ Æ Î¢� � � åÂzWÌ Æ Î M Ó } fe\hZpa � ¾ ìr1 è x2z 4 � ÿ ¼ �Î^Au¹ ¼ ��zPb_dH� � �_ÏÔg\hZP�h\Õ�XuviyspuHf~Z9d~§�iya�b?�yb?�æ� 1 zPb_dH�>Í ùú 4�iyux^Au�zPb?�®�yb��xu9»Ì Æ Î)Í �ÑÐ §�^Adw�_i*aN^U� feZ9dv§�uÌ Æ ÎAM Ó Ð i*d~d~Z^�yZfìA^ramfgf~Z9dv§�u �

Page 173: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Ò�?OÔÓ�ORQ¢Õ×Ö ³ Q­Ó U �.Ô�� U2Ø Ô5³ ÖõÓ U Ù �%> ¹¦[ZªdvZ9spb_dw��^U�yuvb�fe\hZª^As5feiybAa`brz�f~\hZ§�_d~b_l8� ¾ ì b_acfe\hZPý�^Aah^Ast\�u|�N^AspZAþCÿ 1 dvZ9§�Z9§á� Z9d�f~\N^rfõ¾Í�� û ð�� 4 � Ôg\�Z]zPbU�#�yb��xi*a¬�WZ9kmlN^�feiybAaczPbU�#�yb��xu�zPdvb_§ ä kmahu 1 �%> �À¹_¹ 4© 1 �%> �À¹A� 45»� ¾ ìr1 è x2z 4 � ÿAÍ�¹ ï ¯ ; ú ð�� ó ï x2}Qz ó ð ù � è x2z � ÿ§Í ¹ ð ù � è x2z � ìvÚ�Û?ÜPÝ�Þ ÿ Ò 1 �?> �º¹_@ 4� �8�¬�®��iya8�xf~\hZ9uvZ×Z9kmlN^U�*i*fei*Z9u°f~bHbU�'Zpde^rf~b_d~u�bAzXfe\hZzPbAd~§:è Í �x2}Qz ö û è xyz ^Aa¬�Pè ù Í �

x2}Qz öQù è x2z }��ZP�Na8� � ¾ ìr1 è¿4 � ÿ§Í ¹ ð ù � è � ìvÚ�Û"ÜPÝ�Þ ÿ ª� ¾ ìr1 è ù 4 � ÿWß � è ù � ì Ú�Û �Þ ÿ ß�¹ ù�; ú ð�� � è ù � ÿ zPb_dH�cß �Ó Ò 1 �?> �º¹Aq 4

ÖA×ÙØtà oJâ)ÞßãLÛ×á Ü�¤"¥kjWÜAä{¥^ãaÞ á Ü7Ùâ�Zpf�� ì »bÍ ��ã � } �x\�Z9d~Zâ÷ ì ÍKG ñ ò ï�ì } ^Aa¬����ã[i*ugfe\hZ§�hZps9iy§�^rf~iyb_a�§�^U�'�x\hiyst\`iyu��hZf�NahZk�iya 1 �%> �À¹ 4 � ¦[Z§�hZ^�Na�Z]f~\hZ]d~Zpahb_d~§�^U�*i#¨"^�feiybAaw§�^U�'���ä ì Í ¾ ì{å � ì Ò 1 �?> �º¹ > 4åÂf�iyu�uv\hb��xa�i*a � ýnO{| � � f~\N^rf�ä ì iyu��Z^�NahZ^��bAa�^¿uv§w^U�®��a�Z9i#�A\�� b_lhdv\hb�b �æi*aFÅ�ÿÎbAz¢f~\hZu~Z5f � ÊUè�¸ �ªç i®ìAZ9aIf~\N^rf } �LZ��iyu~splhu~u���d~iyZfí¬�B�hd~bU�'Zpdvfei*Z9u brz{ä ì � Ôg\hZWu�ft^rf~Z9§�Z9anfeu�bAz{f~\hZfe\�Z9b_dvZ9§ � Zk�*b\�Ë^Ad~Z�Zpi*f~\hZ9dxb?�Õì�iyb_l�uHbAd�zPb?�#�*b\��zPdvb_§èdvZ9u~l8�*feuH^U� b�ì_Z �������������� ¯�( yéJ,.- ²�½0² ´êÉ ½43>¼ ¸À¶ p ¼ ·­¶�É�´ 3>¼ / ä ì - ¼ ȧ·�- ² 1"É�¸�¸yÉ B ¶�´ R / ½ É0/ ²f½ ·­¶ ² È9ëÄ * ä ì ¶yÈP¶yÈ?É?Èy/ ²0@ · ½|¼ ¸.¶�´d·�- ² È ² ´�È ² ·�- ¼ · ¹PÊ"ä ìA1 è¿4P¼ ´�µ è ¼U½º² ¶yÈ?É?Èy/ ²0@ · ½|¼ ¸ ¼ · � 7ì * ä ì ¶yÈ ¼ È ²f3 ¶ RU½ É�í\/êë ä ì Þ å ä ì � Íîä ì Þ ì � ¼ ´�µ ä ù Í ¯ 7Ë/ ½ É�M�¶­µ ² µ G¡ï ï�ì Þ G¡ï ï�ì � ÍG¡ï ï�ì Þ 7ð * ä ìA1 5)è�¸ Æ � ¯ 4ËÍ�5)è�¸ Æ ùì � ¯�ñ 5Aª0�> � *]ò4´>/ ¼U½ ·S¶ @ í�¸ ¼U½ 7 � è�¸ ¶yÈ ¼'@ É 3 /�¸ ²vó ¸À¶�´ ²É21Tô ó ² µá/NÉ�¶�´Q·$È�É21 ä ì ë ä ìA1 5)è�¸?4�Í 5)è�¸ ñ 5� � 7 ¼ ´�µ � Ê ¯ ¶yÈ s2¼ / ¼U½ ·2É21 t ·�- ²í�´�Èf· ¼ è ¸ ²�3>¼ ´Q¶ 1"É�¸qµÕ*ü Z9ahbrfeZ]õö¸�÷ ð � Ê«è�¸ � ¦[Z���^Aanfxfeb�lha8�hZ9dvuvft^ra¬��f~\hZ§�8��aN^A§�iys9ugbrz�ä ì ^Au�¹ ¼ ��iya^�ì�iyspiyahi�fy��brz�fe\hZ)�8ëXZ^�B� b_i*amfL§w^rahi*zPb?�®��õö¸�÷ � ¦[ZÏ�xi#�®�'l�u~Z fe\�Z2zPb?�#�*b��xiya¬�P�hZ^�hahi*f~iyb_ahu�zPb_d�yb�s"^æ�êuvfe^U�¬�*Z�^ra¬�clhahuvfe^U�¬�*Zª§�^Aahi�zPb?�#��u9»õ z Í%;�è «wøø ä ìA1 è¿4 ¼ õö¸�÷�^Au±¹ ¼ � =^Aa¬� õúù�Í%;�è « øø ä ìr1 è¿4 ¼ õö¸û÷�^Au ¹ ¼ � = ª 1 �?> �º¹U{ 4

Page 174: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

�%> � ��HU Ù2Ø Õ×QüÒ�?O²QHÕ×Ö ³ Q¢ý U �]Ô�� U2Ø Ô5³ Ö � Q ³�´ Ù�x\hZpd~Z « iyuH^Aa�^U�¬�hdvb?�hd~iy^rfeZ�a�Z9i#�A\�� b_lhdv\hb�b �`bAz�õö¸û÷�iyaBþCÿ � |�ft^rf~Z9§�Z9anf ¹ ^U� b�ì_Zªu~\hb��xufe\h^rfgfe\hZ]uvl¬�huw�h^As9Z � Ê\è�¸ Æ � Ê ¯ iyux^�N^rdvfxbAz�fe\hZ§�*bXs9^U�°lhahu�ft^U�8�yZ]§w^rahi*zPb?�®�wõúù �¦�ZÃ�xi®�#��u~\hb�� �£^rf~Z9dVf~\N^rff~\hZ9�yb�s"^æ�Xu�ft^U�¬�*Z�§�^Aahi*zPbU�#� } õ z } \N^Auspb_§a�8�yZfë�s9b�©y�hi*§�Zpahu~i*b_a� ��� bAd~ZN�hd~Zps9i*u~Zk�q�î��Z[uv\hb��þfe\h^rfczPb_d�Z^ìAZ9d|��bU�'Zpde^rf~b_d'è iya « fe\�Z9d~Z¨i*uc^FzPlha�spfei*b_aí »8;�è «>& ÿ è ��� Í � = ¼ ö } u~lhst\`fe\N^rfõ z ÍÇ;�è «>& ÿ è ��� Í í 1 è��ê4 = 1 �?> �º¹U¦ 4�x\hZpd~Z§�LZ]\N^«ì_ZªlhuvZk�cfe\hZ]ahbAfe^rfei*b_a'è � ð èj� ÿ è ��� Ê ¯ 1 u~b�f~\N^rf ÿ è � ��� ͱ�_4 } i � Z � õ ziyu�f~\hZ§�_de^æ�h\cbAz í>�

�= �

sCfp .

�u Hf

.H-z 1

Hf

=

C .1

1C . +C .

1 �?> �À� �n4� íNb��Ôg\hZxu~Z5f « i*uu~lhst\�fe\h^rf�Ôg\hZpb_d~Zp§ �%> � > } �hdvb�ì_Z9a�^U� b�ì_Z } i*§a�8�yiyZpu�f~\N^rfzPbAd�å2uvl� �s9i*Z9anfº�q�u~§�^U�®� è ï û ó 1 å�ª0�n4 ð ¾ ì � 1 è û 1 å�ª0�n4~4à « Ò 1 �?> �À� � 4ëxZ9s"^æ�#�êf~\N^rfgfe\�ZªbU�'Zpde^rf~b_d9¹ û Ê\è ï û ó 1 å�ª0�n4Li*ugiyuvb_uw� Z9s5fede^æ�°feb>è 1 åA4V�6�§Ê ¯ i*a�fe\hZ]u~Z5f

Y ð ;��> � & ëHZC��ß í û Æ �Ó � í�= Ò 1 �?> �À�ÕÓ 4� b_dvZ9b�ì_Zpd } ¹�Êpä ìA1 è ï û ó 1 å�ª0�n4~4Li*ugiyuvb_uw� Z9s5fede^æ�°feb�¹ û Ê\è ï û ó 1 å�ª0�n4Li*a�fe\hZ]u~Z5f Y ì �hZ^�hahZk�����

Y ìWð ;��� Y�&#&�ÿ ä ìr1 è ï û ó 1 å�ª0�n4v4 ��� & ß �Ó ¹ = Ò¦[ZP�xi®�#�°uv\hb��Ëfe\N^�fHf~\hiyuxuvZpf¢s9b_anft^riyahu¢^Aa`iyanfeZpd|ìr^U��bAzVu~i#¨pZ ùú ¹ � è ù � ÿ�^Aa¬��iyuxs9bAamfe^Aiya�Zk�`iya^Aa¿i*amf~Z9dhìA^æ��bAzTuvi#¨9Z Ó ¹ � è ù � ÿ } � bAfe\Is9Z9anf~Z9d~Z^��^�f�u~b_§�Z í ì � � u]^wdvZ9uvl¬�*f§è 1 åA4×� ��Ê ¯ i*uiyuvb_uw� Z9s5fed~^U�êfeb�¹_ä ìA1 è ï û ó 1 å�ª0�_4~4Liya Y ì � à a�fe\hZ�brfe\hZpdH\h^Aa¬� } zPbAd9¹�uv§w^U�®� } ä ìA1 è ï û ó 1 åA4~4Li*usk�*b_u~Z�f~b�^á�8ëXZ^�¾� b_iyanf"» ä ìr1 è ï û ó 1 å_4v4 X 5 ì Ê�è�¸zPb_dLf~\hZ�ue^r§�Z�5 ì � � Ôg\mlhuxi*a Y ì } è 1 åA4�\h^Au�fe\hZ�u~^A§�Z�uw� Z9spf~de^U�êst\N^Ade^rspfeZpd~i*uvfei*s9ux^Au�f~\hZb?� Z9d~^rfeb_d í ì Æ 5 ì Ê\è�¸ � Ôg\hi*uxiyu�fe\�Zªspb_d~Z]i®�hZ"^�bAz�b_lhdx^Aah^U�®��u~i*u �

Page 175: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Ò�?O��mO �� Ö2Õ U Q �� Õ�� ¥ �T³ I �%> @ÖA×ÙØ�� �楫Þßâ)Ü��×¥kj�â�� �Nã��ô b_ahuvi#�hZpdTf~\hZ��yi*ahZ"^Advi#¨pZk��§w^æ�hu }�È ä�� 1�� Êhè�¸%4 } zPb_dä��x^�fTf~\hZ9�8ëXZk�Ù� b_i*amf~u � Êhè�¸ } � � � �� uvf~de^Ai®�_\nf~zPb_dh��^Ad|�cs9b_§>�hl�fe^rfei*b_ae�_i®ìAZ9u

È ä!� 1"� Ê\è�¸%4û�AÍ ¾ � 1 �m4 ÒÔg\mlhu È ä�� 1"� Ê�è�¸%4Li*u�iya¬��Zk� Z9a¬�hZpanf¢brz �#� � ^Aa¬�cs"^ra�� Z�i#�hZpanfei®�hZk�Ù�xi*f~\�fe\hZ�dvZ9u~s9^U�yi*a¬�§�^U� ¾ � �|Xiya�s9Z¢f~\hZW�yiya�Z"^Advi#¨9Z^��bU�'Zpde^rf~b_d�$ ð È ä�� 1"� ʺè�¸%4{iyu×iya8�hZk� Z9a¬��Z9anf�bAz � ʺè�¸ � � ʺè�¸ }fe\�Z9a u~bF^rd~ZÎi�feu�lha�uvft^æ�¬�yZ } spZ9anfed~^U��^Aa8� uvft^æ�¬�yZ�u~l¬�hu|�N^AspZ9u }% ù }&%(' ^Aa¬� % z } �x\hi*st\î�LZi#��Z9anfei�z���ahb�� �Ôg\hZwuvl¬�hu|�N^As9Zpu % ù })%(' ^Aa8� % z ^Ad~Z>�hZ^�hahZk� �Õ�¿f~\hZ�spb_a¬�hi�fei*b_ahu�fe\N^�fªf~\hZ^��u|�N^Aa[f~\hZZ9anf~iyd~Z]u|�N^As9Z§þCÿ } f~\N^rfxfe\�Z^��b�ì_Zpdw�y^U��bAa¬�®��^rf*,+.-�^Aa¬�cfe\N^rfgf~\hZ^�eìAZ9dvi*z��� $0/ % z �&1 � ª � $32 ù / % ù �&1 �^Aa¬�

$0/ %4' Í ¯6587 ª�x\hZpd~Z�$ ð È ä!� 1"� è�¸%4�Í ¾ � �ô b_ahuvi#�hZpd]^+�_Z9a�Z9de^æ�yi#¨pZk�Φ�i*s0©�§�b_ahb_§�i£^æ��è xyz �xi*f~\¿^�s9bAl¬�¬�yi*a¬�wzPlha�spfei*b_a o x2z �x\hiyst\iyuT\hb_§�b?�_ZpahZ9bAlhuLbAz��hZk�Ad~Z9Z:9<;¨iyawZ9^Ast\+ìr^Advi£^U�¬�*Z 3>= ^ra¬��\hb_§�b?�_ZpahZ9bAlhuLbAz��hZk�Ad~Z9Z@?¿iya+~ �Ôg\hZpa } �hlhZ�feb 1 �?> �º¹r� 4�^Aa¬� 1 �%> �º¹_q 4 } ��Zª\N^«ì_Z]fe\N^rf¾ � 1 è x2z 4�Í ¹BA ¯ ; úC2EDGFHA x2}Qz F }BI 2 ù è x2z ªi � Z � è x2z iyu¢^Aa�Z9i#�AZ9aÕì_ZpspfebAd bAz ¾ ���xi�fe\�f~\hZ�Zpi#�_ZpaÕìA^æ�ylhZP¹ A ¯ ; úC2EDGFHA x2}Qz F }BI 2 ù �3J bAdÏè x2z � þCÿ�xi*f~\�õ¾Í=� û 2 � f~\hZÏ��b_d~u�f�s9^Au~Z uvs9ZpaN^Ad~i*bWiyuK; Ͷ�w^ra¬��?NÍL+�zPb_dCÌ Æ ÎNM � � å�awf~\hZ2s9^Au~ZÌ�Í%Î�ÍO+ } f~\hZ�spb_l¬�¬�*iya¬��zPlhahspf~iyb_a o(PQP i*u¢i*a¬�hZ^�'Zpa¬�hZ9anf�brz{fe\hZ 3SR Ì u�^Aa¬�Îs9^Aaß� ZA�xdvi*f~f~Z9a^Au oTPQP 1"U 4 ÍWV Æ � Ê U Æ o ùp1�U 4 1 �?> �À�_¹ 4�xi*f~\�V Í o(PQP 1 +n4 } � Í oBXPQP 1 +n4g^Aa¬� o ù91�U 4�Í oTPQP 1�U 4V� oTPQP 1 +n4V� oBXPQP 1 +n4 U � Ôg\hZ§�Nd~u�fHf~Z9dv§b_a¿fe\�Z�d � \ � u]iyu2bAz�f~\hZ�fy���'Z 1 ; ÍY+8ª8? ÍY+n4 } f~\hZ�u~Z9spb_a¬� } bAz×fe\�Z�fy��� Z 1 ;îÍ0+8ª8?¤Í � 4 }�x\hi®�yZ2f~\hZ�fe\hi*dw��iyuLbAz�f~\hZ fy���'Z 1 ;FÍL+8ª8?ßÍ Ó 4 � Ôg\mlhugf~\hZ]uw� Z9spf~d~lh§èbAz È ä�� 1"� Ê«è�¸%4Lb_aþCÿ�iyu�fe\�Zªl�ahiyb_acbAz�fe\�ZªuvZpf~u

*\¹B2 ù -aª *\¹[Z\2 ù -�ª:]^M � ^Aa8� *\¹BA ¯ ; úC2EDGF�_`2 ù øøba Zc; ß=�d-Ùª8efM � ª 1 �?> �À�A� 4

Page 176: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

�%> q ��HU Ù2Ø Õ×QüÒ�?O²QHÕ×Ö ³ Q¢ý U �� �� U2Ø 5³ Ö � Q ³�´ Ù�xi*f~\�fe\hZ]uw� Z9s5fed~^U�¡u~l¬�hu|�N^AspZ9u

g Ê ¯ ª g Ê\èhZ¸ ª3]^M � ^Aa¬�i*�jkml(npo _

è kmn øø è kmn � þCÿ.-aª8eiM � Ò 1 �?> �À�n@ 41 çHZ9dvZC��Z�i®�_ahb_dvZk�]fe\hZ{z�^As5f�f~\N^rf¡zPb_d�è kmn � þCÿ�fe\�Z�spb_l¬�¬�*iya¬�gzPlhahs5fei*b_ahu o kmn ^Ad~Z } i*aA�AZ9ahZpde^U� }ahbAfx\�b_§�bU�_Z9ahZpb_lhuxiya U � çHb��LZfì_Z9d } i�fxiyugZ9^Au|��f~bw^rs9s9bAlhanfHzPbAd�fe\hi*u9�hiyuvs9d~Z^�N^Aahsf� � 4ü Z9spb_§a� b_uvi*fei*b_a 1 �%> � �n¹ 4Lu~l8�?�_Z9u�feuxfe\N^�f9�LZªu~\hbAl¬�#�ciyanf~d~b��hlhs9Z�f~\hZ]u~l¬�hu|�N^AspZq ÍO*Sr�ÍLr 1 è�¸%4Gs r 1 Ê�4T»dtu+8ª � � ¼ g iyu:v§úW�xi�fe\^r 1 +n4�ÍLr X 1 +n4�Íw+.- Ò 1 �?> �À�_q 4

Ôg\hZ�d~Z9uvl¬�*fª^æ�'b�ì_Z��*Z"^U�hu f~b`^Aa[i®�hZ9anf~i®�Ns9^rfei*b_aÎbAz�uvfe^U�¬�yZ } s9Z9anf~de^U�×^Aa8��l�ahuvfe^U�¬�yZ�uvl¬�X©uw�h^As9Zpu }>% n }d%(' ^Aa8� % ù } bAz�fe\hZ§�*iyahZ9^Ad~i®¨9Zk��dvZ9ahbAd~§�^U�yi®¨"^rf~iyb_aa�_d~b_l8�`§�^U�`^rfxõö¸�÷ �Ôg\hZ9uvZ¢uvl¬�hu|�N^As9Zpu % n }E%4' ^Aa¬� % ùÏ��Zk� Z9a¬��b_aWfe\�ZW�h^Ade^A§�Zpf~Z9d×�WZpamf~Z9dviya¬��fe\�Z9�hZ^�Na�i*fei*b_abAz�fe\hZPý�^raN^Ast\`uw�N^AspZAþCÿ } õßÍ � � 2 � � ¦[Zªspb_ahuvi#�hZpdHuvZ^ìAZ9de^æ��d~^Aa¬�_ZpuxbAz�f~\hiyu9�h^Ade^A§�Zpf~Z9d �� 1 ùú » % ù§Í g Ê ¯ ª %4' Í g Ê\è�¸ 1 �?> �À� > 4^Aa¬�% n Í#* jkml(nmx ù

è kmn sÐè kmn � þCÿ.- Æ q 1 �?> �À�[y 4�>Í ùú Ò % ù�Í g Ê ¯ ª %(' Í g Ê\è�¸ Æ * jkml(nzo ù

è kmn sÐè kmn � þCÿE-^Aa¬�% n Í#* jkml(nmx ú

è kmn sÐè kmn � þCÿ.- Æ qùú 1 � 1 � Ò

% ù§Í g Ê ¯ Æ * jkQl(nzo ù

è kmn sÐè kmn � þCÿ6-�ª%(' Í g Ê\è�¸^Aa¬�

% n Í#* jkml(nmx úè kmn sÐè kmn � þCÿ.- Æ q^Aa¬�FuvbÎzPb_dvf~\ � ¦�\hZpaD�hd~b�s9ZpZk�hi*a¬�Îfeb[�{M � bAahZ�\N^AuWf~b¿d~Z9§�Z9§��'Zpd�fe\N^�f�fe\hZ�b_dvi#�_i*aN^U�b?� Z9d~^rfeb_d�è 1"| 4�iyuxahbrf��'b_l�a¬�hZk�B� Zk�yb��¶i*zc}Ù� Z9\N^«ìAZ9u ^ru û 2 � �xi*fe\��~M � } ^Au�s 3 s ¼ + �

Page 177: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Ò�?O��mO �� Ö2Õ U Q �� Õ�� ¥ �T³�� �%>_>Ôg\hZ9�hZps9b_§>�'bAu~i*f~iyb_a�uViyanf~b uvfe^U�¬�yZ } s9Zpanfede^æ�N^Aa¬��lha�uvft^æ�¬�yZ�uvl¬�hu|�N^As9Zpuק�Zpamf~iyb_a�Zk��^U� b�ì_Zs"^raß�'Zª§�b �hiq�NZk��i*zVb_ahZ�a�bAfei*s9Z9uxfe\h^rf2f~\hZ�uvl¬�hu|�N^As9Z q iyuHiyaÕìr^Ad~iy^Aanf¢l�a¬�hZ9dHfe\hZªzPl¬�#�¡ahbAaX©�yi*ahZ"^rdníNb�� } ä�� } ^AuÃ��Zk�#�¡^ruxf~\hZ§�yi*ahZ"^Advi#¨pZk��b_ahZ }�È ä�� 1"� è�¸?4·»ä!� 1 r24�Í È ä�� 1�� Ê\è�¸%4mr�Í ¾ � 1 r24�Í�rd�áª

�x\hZpd~Z�rd��ÍYr>� 1 è�¸r4Ï�xi�fe\ir>� 1"U 4�Íݹ 2 ù r 1 ¹ U 4 � Ôg\mlhuP�LZ�s9bAl¬�#��\N^«ì_Zw^U�¬�hZ^� q f~b`f~\hZs9Zpanfede^æ��u~l¬�hu|�N^AspZ %(' 1 spz � t�ý J | Ó � 4 � ¦[Z§�hb�ahbAfW�hb�fe\hi*ux\hZ9dvZ �¦�Z�^AdvZ�iyanfeZpd~ZpuvfeZ^�[i*a¿fe\hZ�s"^ru~Z9u�� 1 ùú 1 §�bAd~Z�hdvZ9s9i*u~Z^�®�¨�dÍ � ùú 4 ^Aa¬���dÍ ùú � ¦[Z^Advd~i®ìAZª^rfgfe\hZ��Ndvuvf¢s"^AuvZ } i�z ô b_a8�hi*f~iyb_a 1 ý�4 1 fe\�Zªspb_a8�Na�Z9§�Z9anf2spb_a¬�hi�fei*b_a�4Liyugu~^rfei*u|�NZ^� } �Õ�� Z9dvzPbAd~§�iya¬�ª^��ü í�¸À¶��z� ¶ ²f½�� · ½|¼ ´�È"�"É ½�� 1 u~Z9Z�t�ý J | Ó } ý J | � � 4 � å�a�f~\hZ2^æ�hu~Zpahs9Z brz ô b_a¬�hi�fei*b_a1 ý�4)��Zwu�fei*s0©ß�xi*fe\¨fe\�Z�bAd~i#�AiyaN^U��uvfe^Aa¬�N^Ad|� ç¢^A§�i®�*f~b_ahi£^ra 1 � q �HÓ 4��x\�iyst\<�*Z"^U��u§ì�iy^BÔg\hZpbr©d~Zp§ �%> � > f~bÎfe\hZ�uvZ9spb_a¬�Fs"^AuvZ } � Í ùú � ½¢bAf~Z�fe\N^rfWiya � bAfe\æs9^Au~Zpu % ùßÍ g Ê ¯ ^Aa¬�Fiyu }iya¨z�^As5f } f~\hZ�lhahuvfe^U�¬�*Z�§�^Aahi�zPb?�#� } õúù } zPb_d]fe\hZ�Z9anf~iyd~Z�íNb�� � ½¢b�� ��Zwspb_§�§�Z9anf�b_a[f~\hZ� Z9s9l8�yi£^rd~i*f~iyZpuLbAz�fe\hZ]s9^Au~Zpu � 1 ùú ^ra¬���+Í ùú �å�a�f~\hZ¢s9^Au~Z � 1 ùú } f~\hZ2spZ9anfed~^U��u~l¬��uw�N^AspZ }4%(' Í g Êwè�¸ } iyu�^U�yuvb�fe\hZHs9Zpamf~de^U� §�^Aahi*zPbU�#� }õ 'e} zPb_dä�� � åÂfTspb_ahu~i*uvf~uTbrz��8ëXZk�a�'bAiyanfeu{bAz ä��x^ra¬��i*u��hZ9a�bAfeZ^��^U�*u~b§�Õ��õö¸�÷ �×� b_dvZ9b�ì_Zpd }fe\�ZWuvfe^U�¬�yZW^r �ahZ�u~l¬��uw�N^AspZ9u % n 1"� è�¸?4 ð�� Êæè�¸ Æ{% n zPb_d��8ëXZ^� � b_i*amf~u � ÊUè�¸ } �Y� gg}zPb?�*i£^rf~Z¢fe\�Zªuvl¬�hu|�N^As9Z %��ù 1 uvZ9Z J i#� � �%> � �Õ¦ 4 �.w

sV

sV

H(wH f )

f

fp

uV

1 �?> �À�?¦ 4|�ft^æ�¬�yZ } s9Zpamf~de^U��^Aa8�`l�ahuvfe^U�¬�yZ]uvl¬�huw�h^As9Zpu

Ôg\hZpu~Zgs9i*d~splh§�u�ft^Aa�s9Z9uV^U�#�*b�� zPb_d�^2s9b_§>�¬�*ZpfeZ�^AaN^æ�®��u~i*u�bAzNf~\hZËíhb\�Fä��×a�Z"^AdVf~\hZË� ë�Z^��'bAiyanf§�^Aahi*zPbU�#��õö¸�÷ 1 u~ZpZ�|XZ9s5feiybAa �%> � � +_4 �½¢bAf~Zª^U�yuvb�f~\N^rfxi*acf~\hZ]s"^AuvZ�� 1 ùú� $�ù � Í � $:2 ùù � 2 ù Í�¹B2 ù ^ra¬� � $ n � Í�¹ ù�; ú82 � 1�� $32 ùù � ª�x\hZpd~ZN$�ù)ÍW$0/ % ùW^ra¬��$ n ÍL$0/ % n � ¦[Z�\N^«ì_Z]lhu~Z^��\�Z9d~Z f~\N^rf � M ùú ����zPbAdx�~M � ùú �Ôg\hZ¿s"^ru~Z��:Í ùú iyu�§�b_d~Z�u~l¬�Xfº�yZ � Ôg\hZ¿§w^riya ��d~b?�¬�*Z9§ \hZ9dvZ¿iyu�fe\N^rfwfe\hZÎspZ9anfed~^U�§�^Aahi*zPbU�#�`iyu)�y^Adw�_Zpd¢f~\N^AaÎfe\�Z�§w^Aa�i*zPb?�®��bAz �8ëXZ^� � b_i*amf~u � à lhd2fe^Auw©�iyaIf~\hZ�d~Zp§w^Ai*a¬�hZpd2bAz

Page 178: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

�%> y ��HU Ù2Ø Õ×QüÒ�?O²QHÕ×Ö ³ Q¢ý U �� �� U2Ø 5³ Ö � Q ³�´ Ùfe\�iyuuvZ9spf~iyb_a�i*u�feb�i*u~b?�y^rfeZTfe\hZguv§w^æ�#�yZpuvf�'b_uvu~i®�¬�yZ�spZ9anfed~^U�huvl¬�huw�h^As9Z�9ªfe\�Zgs9Z9anf~de^U�huvl¬�hu|�N^As9ZzPb_dL�aÍ ùú s9b_ahuvi#�hZpd~Z^��^U� b\ìAZ iyu×feb�b��y^Adw�AZ } ^A�hi®���hi*Z9spZ2bAz�i�fLspb_l¬�®� } iya�z�^rspf } �'Zxft^æ©AZ9a�i*anfebfe\�Z2uvfe^U�¬�*Z2u~l8�huw�N^rs9Z � Ô�bá�hb�f~\hiyuC�LZ \h^�ìAZ2feb�lhu~Z�^�§�b_dvZ¢dvZ^�Na�Zk�'ý�^Aah^Ast\�uw�N^rs9Z i*ahuvf~Z"^U�bAzþCÿ � ¦�ZA�hbwa�bAfW�hlhd~uvlhZ�f~\hiyuxs"^ru~ZW^ra��czPlhd�fe\hZpd¢\�Z9d~Z } ��l�f2dvZpzPZpdHf~\hZ�i*amf~Z9dvZ9uvf~Zk�ÎdvZ"^U��Z9dfebht ý J | � � �ÖA×ÙØ�ÖN� �¿â�ÞÙä���ÜW¤��d� äLÜ��¿¤kâjá Ü�Þ¿¥��?ã�¤�� �?ã<����� ÜáÞf� �¡ <â�à9ä���Ü

ã��#¢ Ü�á ¥"¤^äLã>Þ¿¥kÜ�Þf�å�acfe\hi*ugu~Z9s5fei*b_a�£�ZN¤_i®ìAZª^�spb_ahu�fed~l�spfei*b_a`bAz�f~\hZ]uvfe^¦¥T§yZ�§�^Aahi�zPb[§©¨wõ n iya�fe\�Z�s"^AuvZ9u2� 1 ùú^AaT¨`�>Í ùú«ª ¦[Z lhuvZ]^Aac^¦¥hu�fede^rspfgspZ9anfed~^¦§�©Âuvft^`¥T§yZ¢§w^Aa�i*zPb[§¬¨�f~\hZ9b_dvZ9§­£x\hb_u~Z®�d~b�bAz¡s"^Aa�¥ ZzPb_lhaB¨�i*a°¯�ý J | � � ª¦�Z�¥'Z±¤_iya�£xi*f~\Ife\hZ�s"^AuvZ�� 1 ùú«ª â�Zpf «³²:´ *�è � þCÿ øø � è � ��µ è�¸ � ÿwß­s � s µS| } zPb_du~bA§�Z �0¶´ +.- ª åÂf�zPb[§©§*bG£xu{zPdvb_§ feZ9st\�ahiys9^¦§êZpuvfei*§w^�feZ9u�£x\hi*st\�s"^Aa�¥ Z¢zPbAlhaT¨�i*af¯ ý J | � � 1 uvZ9Z^¦§*u~b·¯�ý J |T¸ � 4 } fe\N^�fªä!��§w^`®hu «¹² i*anfebBþCÿ } ®�d~b�ì�i©¨hZ±¨ | ß ùº } Êø ïQù ÿ Þø ß ùù�» ^AaB¨ � | ßY¼ ª¦[Z�¨�Z±½NahZ « �² ð *�è � «³² s ÿ è ��� ´ +.- } fe\hZ�f~d~lhahs9^rfeZ±¨h¨�iyu~s ª à l�d¾½Nd~u�f¢dvZ9uvlT§*fHiyu¿�ÀcÁ6Â4Ã,ÁEÄ Å�(>ÆpÅ6Ç�ÈcÉËÊ � 1 ùú.Ì�ÍÏÎ ÉËÐ8ÉNÑ È�Ò&�·íEÓÕÔ ÊpÑ É,Ó Æ » « �² ¼ g È Ì Ê Ì õ n ð ¤_d~^¦®h\ Æ Ñ ÈÑ ÓNM,Ò Ð�Ñ Ò¦Ó Ê í.ÓdÖ ÉËÐ ä�� Ò¦ÓdÖñ è � õ n3× �ص è�¸ � õö¸�÷�»_ä!_� 1 è¿4 ¼ �Ùµ è�¸Ò�È e ¼ Ú Ñ Ó Ê Î É�Ê É�ÛNÉ,ÜyÉCݦ޿Ém� þCÿ Ò¦ÓdÖ Ê Î ÉËÐ8É �"É Ð8É�Ñ Ó Ê Î É ÓêÉ Ð � Ê É�ÛNÉ,ÜyÉCÝ¦Þ Ì<ß ÉËÐ8É ¤_de^`®h\ ÆÑ È Ñ Ö É Ó Ê�Ñ ô É Ö B Ñ�Ê Î Ê Î É È ÉËÊ *�è ��à Æ1 è � 4Gs è � � « �² - ̦�Z�d~ZpiyanfeZpdC®hdvZpf�ág\�Z9b_dvZ9§ �%> ª � + } £x\hiyst\â§yb�b[ãmu&§*i©ãAZ�^�u�ft^¦¥B§yZª§w^Aa�i*zPb[§¬¨cf~\hZ9bAd~Z9§ } ¥hl�fs9bAlT§©¨�^`§yu~b�¥'Z¢s"^¦§¬§yZ±¨�spZ9anfed~^¦§�©Âuvft^`¥T§yZ¢b_ahZ ª å�aT¨hZ9Z±¨ } õ n iyu�^�uvfe^¦¥T§*Z2§�^Aahi*zPb¦§©¨ } õ n 1 õö¸�÷%4 }zPb_d�f~\hZ]iyaÕìr^Ad~iy^Aanfg§w^rahi*zPb[§¬¨ õö¸�÷ ´wg µ è�¸�ä 1 �?> ª @ +n4ç¢bS£�Z^ìAZ9d } õö¸�÷�i*u�^�§�^Aahi�zPb[§©¨�bAz�½8ëXZ�¨~® b_iyanf~uK£x\hi*st\�s"^Aa�¥ Z i¬¨hZ9anfeiå½NZ�¨�£xi*fe\�fe\hZ spZ9anfed~^¦§§�^Aahi*zPb¦§©¨ 1 £x\hiyst\�iyuVZ9kmlN^¦§hf~b]f~\hZgs9Zpanfede^`§Nu~lT¥hu�®N^AspZ?4zPb_d{Z"^Ast\�bAz i*f~u)½8ëXZ�¨<®'bAiyanfeup»�õö¸�÷ ´õ ' 1"�Ùµ è�¸%4 ´w%(' ñ �Ùµ è�¸ �fæ ¸�÷ ª ág\�Z]fe^AaT¤_ZpanfxuC®N^AspZ�brz�õ n ^rfH^Aa«ç �ص è�¸ �iæ ¸�÷�i*u

%(' à % n ´ » %4' n ä 1 �?> ª @ � 4ô b_ahuvZ9kmlhZpamfC§¬ç } õ n iyu�^¦§*u~bIf~\hZ�spZ9anfed~^¦§�©Âuvft^`¥T§yZ�§�^Aahi�zPb[§©¨ } õ ' n 1��#µ è�¸%4 } zPb_d�^Aa«çè½8ëXZ�¨® b_iyanf ��µ è�¸ � õö¸�÷ ª J lhdvf~\hZ9dv§�bAd~Z }�« �² iyu�a�bAfe\hi*aT¤é¥hl�f «³²&êØ%(' n ^AaT¨ g s9^AaW¥ Z

Page 179: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

Ò�?O�Ò¦ënO � Õ×Ö Ø Q U �cìÂS Ø�U�í � ÕÎý U Ö mî�³g� � î�³ Q[Q � U Ö&� S Ù Õ �HØ Q U ³ïî �HU ý û� Ø ³ Ö U Ö S �%>¦ði©¨�Z9anfeiå½NZ�¨�£xi*f~\`f~\hZ]lhahu�ft^¦¥T§*Z�u~lT¥�uC®N^AspZ % ù ´Wg µ Å } u~b�fe\N^�fÆ » «³²³êñ% n ' ¼ % ù 1 �?> ª @ ¸_4zPb_d�^Aa«ç·½ ë�Z±¨é®'bAiyanf � µ è�¸ � õö¸�÷ ª a Z9s9^¦§©§×fe\h^rf�f~\hZwi¬¨hZ9anfeiå½Ns"^�feiybAa[bAzgf~\hZwl�ahuvfe^¦¥T§yZ }s9Zpanfede^`§¡^AaT¨`uvft^`¥T§yZ�uvlT¥huC®h^As9Zpu iyuï¥N^ru~Z�¨`b_acfe\hZ�zPb_dv§WlT§y^ò ä!� 1"�Ùµ è�¸%4 ´K¾ ��ó 1 �?> ª @r¹ 4

£x\hZpd~Z ¾ � iyu�f~\hZ]d~Zpu~s"^`§yiyaB¤�§w^¦® } ìr^¦§yi¬¨�zPb_dx^Aa«ç �{µ è�¸ � õö¸�÷ ªá�b�®hdvb�ì_ZNág\hZ9bAd~Z9§ �?> ª � +�£LZ]^¦®B®T§¬ç�^Aa`^¦¥huvf~de^As5fxuvfe^¦¥T§yZ�§�^Aahi�zPb[§©¨�fe\hZpb_d~Zp§ ª á�b�fe\hi*uZ9aB¨�£�Z¢uv\hb_lT§¬¨w^Auvs9Zpdvft^riya�fe\N^rf{ä!�giyu J d~Zpst\�ôZpfK¨hi¬õ'Z9dvZ9anfeiy^¦¥T§*Zx^rf�§yZ9^Auvf � à | f~iy§�Z9u ª å�a�z�^rspf£�Z�\N^«ìAZ¿�ÀcÁ6Â4Ã,ÁEÄ Å�(>ÆpÅ4Å ÍÏÎ É � ÒËÛ ä!� Ñ È�Ò¦ÓdÒ¦Ü�Þ Ê�Ñ ÔWÉ,Ó «³² Ì� Ã,ÂÕ YCö â�Zpf�÷ ð G ñ ò ï � ª ý\çÎfe\hZ�¨hZ˽Nahi�feiybAa¿bAzLä�� } ^AaB¨[Zpk�lh^rfei*b_a 1 �%> ª ¹_q 4 } i*f�uvl� �s9Z9ufeb�uv\hbS£�f~\N^rf{ø� 1 è¿4 ð è�¸ïø÷ 1 ø÷Aèùø÷ª4 2 ù ø÷§è�¸ } £x\hZ9dvZ�ø÷ ´ Å �ú÷ } iyu2^AaN^¦§åçmfeiys�^Au�^�§�^¦®zPd~bA§ «³² feb�fe\�Z�ý�^AaN^Ast\�uC®h^As9Z�Å&û � Û � Ý�Þ ÿ ª â�ZpfAè � «¹² ^AaT¨�^Au~uvlh§�Z �Ëü è � ß | } £x\hZpd~Zü è ´ èj�Dè�¸ } i ª Z ª £LZ�fe^¦ãAZ�ý ´ � \hZpd~Z ª ¦[Z]d~Z±£xdvi*f~Z ø� 1 è¿4�^Au

ø� ´ è ù�; ú¸ ø÷!¯ Å àÿþ � 2 ù ø÷Aè ù�; ú¸ ó

£x\hZpd~Z þ ´ è 2 ù�; ú¸ 1 ü èÎ4��ã è 2 ù�; ú¸ ª |XiyahspZ < 1 õBó � 4 ð � Êø ïQù ÿ Þø�� ù�; ú ß ùû } ZpkmlN^rfei*b_a 1 �?> ª ¸ @ 4iy§<®T§*iyZ9uTfe\N^�f � þ � ß � �Ëü è � ÿ!äág\mlhu�zPb_d �Ëü è � ÿ 1 ùû } ¯ Å à·þ � 2 ù s9^Aa�¥'Z2Zfë.®N^AaT¨�Z�¨`iya�^W½HZ9lh§�^Aaha�uvZ9dviyZ9u ª ½¢bS£��×dvb[® br©u~i�fei*b_a � @ ª � bAzï¯ ý J | � � iy§<®T§yi*Z9uTfe\N^rf� è ù�; ú¸ þ _Uè ù�; ú¸ � û � Û � Ý�Þ ÿ ßL¸,¼ 1 ¸`¼B2 ù�; ú �Ëü è � ÿA4Q_�äág\mlhu¢f~\hZªu~Z9dviyZpu)è ù�; ú¸ ��_ o ù 1 � þ 4 _ è ù�; ú¸ spb_aÕì_Z9d�¤_Z9u2iyacfe\hZAý�^AaN^rst\IuC®h^As9ZAþ)û � Û � Ý�Þ ÿ ª |Xiya�s9Zþ ´ è 2 ù�; ú¸ ø÷ ü è ø÷Pè 2 ù�; ú¸ f~\hZ]s�§£^riy§üzPb[§©§*bG£xu ª �½¢bS£w£�Zªd~Z�®�\hde^AuvZ�i*acb_lhdgahbAfe^rfei*b_ac^Aa�^¦¥hu�fede^rspfHd~Zpu~lT§�f:®hd~b�ì_ZpaIi*aè¯ ý J | � � ª¿�ÀcÁ6Â4Ã,ÁEÄ Å�(>ÆpÅ�OÈcÉËÊ � 1 ùú Ì ��É Ð Ò¦Ó(Þ �Wµ è�¸ � õö¸�÷ B Ñ�Ê Î � M ü �#+ Ê Î ÉËÐ8É Ò � ÒËÛÆ n » % n ¼ %(' ù ð %4' à % ù� È Ì Ê Ì Ê Î É � Ò¦Ó Ñ �"É,ÜåÖ õ n 1"� è¿4 ð ¤_d~^¦®h\ Æ n Ñ È Ñ ÓNM,Ò Ð�Ñ Ò¦Ó Ê íEÓdÖ ÉËÐä�� Ò¦ÓdÖ

Page 180: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

� y + ��HU Ù2Ø Õ×QüÒ�?O²QHÕ×Ö ³ Q¢ý U �� �� U2Ø 5³ Ö � Q ³�´ Ù� Ñ� ñ è � õ n 1"�Ùµ è�¸%4�� ä�� 1 è¿4 ¼ �{µ è�¸ Ò�È ¼ ¼ +� Ñ�Ñ� Ê Î É � Ò¦Ó Ñ �"É,ÜåÖ õ n ð ���� �������������! �� x" õ n 1��wµ$# ¸%4 Î Ò�È�Ò¦Ü�Ü Ê Î É Û Ð É�Û ÉËÐ�Ê�ÑzÉ È�È Ê Ò ÊmÉ Ö Ñ ÓÍÏÎ É É Ð8É �&%�' Ì %( Ì) §yZ9^AdC§åç } ág\hZpb_d~Zp§+* > ª *S+WzPb[§©§*bS£xuLzPd~b_§ ág\hZ9bAd~Z9§+* > ª *S¸ ª,.-0/1,2, 3  f 54�6f�¿¥879 Ã,Â;:�Â=<?>A@B>"Â�CWÅEDÕÆ�ÅFOÈcÉËÊHG V ´ §�iya 1 VJI� V P óLK�4 ÌNM ÈtÈ5í � É s | sPO G V Ò¦ÓdÖ�Ü ÉËÊQSR *UT � g s a ZVT�ß�V P à *

¸ G V�- 1 * > ª @UW 4ÍÏÎ É Ó � Ñ� QYX K 1�# �ã 1"| 4v4 Ò¦ÓdÖ � Ñ�Ñ� �"É Ð T � Q Z ÷c� #æ1"| 4³ø÷³� 1[# �ã1\ 1�| 4��]Tn4�2 I Z ßLv~s | s_^ G V^ä 1 * > ª @A@ 49 ÃGÂÏÂ�Y8Æa` a�b_dC¨hZpdVfeb]uviy§<®T§yi�z�ç�fe\hZgZ�bB® b_uvi*fei*b_a�u~bA§�ZË£x\N^rf{i*a�^]spb_lT®T§*Z�bAzd®T§y^As9Zpu�¥'Z±§ybS£ }£�Z�lhuvZ�^`§yu~bWf~\hZªs9b_aT¨�i*fei*b_a Ê s } 1�3 4Ss c 6 ¯ 3 1 Ú ªed bS£�Z�fAZ9d } lhuviyaT¤�§�b_d~Z�s9^Ad~Z5zPlT§¡Z9uvf~iy§�^rfeZpufe\�iyugs9bAaT¨hi*f~iyb_a�s9^Aa�¥'Zª^?f_b_i¬¨hZ�¨ ª|Xiya�s9ZN¨higf Ä�1ih 4 ´ + } £LZ]b[¥Xft^Ai*a�¥«ç�Z�b.®N^AaT¨hi*aT¤5jlk�� |�Ä�1Ah 4nm c »#æ1"| 4 ´ #æ1 +n4 à |�µ1o'1�| 4�ó£x\hZpd~Z oê1�| 4Liyu�fe\�Zªi*anfeZ9d~^Aspf~iyb_a�ZpahZ9d�¤¦ço'1"| 4 ´ ��k µ?ÄW1ih 4 à *

¸ |�Ä�1ih 4 c ä¦[d~i*f~Z zPb_d:÷ ´ ÷c� ^raT¨ o ´ o'1"| 4# �ã 1"| 4 ´ # �ã 1 +n4 à |Uo �ã óï£x\hZ9dvZ# �ã 1 +n4 ´ #qpsrutgv ø÷ psrutgvP w Å ¸ à Å psrutxv w # ¸"G ���±x ��äág\hZpa 1[# �ã 1"| 4V�yTn4 ´ 1[# �ã 1 +n4V�zTn4 I ; c ¯ Å à | þ|{ 1�# �ã 1 +n4V�]Tn4 I ; c ó 1 * > ª @rq 4þ ´ 1�# �ã 1 +n4V�yTn482 I ; c o �ã 1�# �ã 1 +n4V�]Tn482 I ; c ä

Page 181: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

ÒE}?O�Ò_Ò_O U Ù×Ù Õ×Ö@� u~ * y *�¢uviyaT¤�f~\hZN¨hZ±½Na�i*fei*b_acbAz o } £LZN½NaT¨Z þ Z ß Z k 1�# �ã 1 +n4V�]Tn482 I ; c ZVZ Ä�1ih 4¹ø÷ 1[# �ã 1 +_4V�]Tn4�2 I ; c Zà | ¸ Z 1�# �ã 1 +_4V�yTn4 2 I ø÷ Ä�1Ah 4 ZVZ ÄW1ih 4 ø÷ 1�# �ã 1 +n4V�yT_4 2 I ; c Z ä

ág\hZªd~Z±§£^rf~igf_Z@¥'b_l�aT¨�bAa ÄW1ih 4¾®hd~b1fAZ9aÎ^`¥'b1f_Z]i*§�®T§*iyZpu�fe\h^rfZ Ä�1Ah 4)ø÷ 1�# �ã 1 +n4V�]Tn4�2 I ; c Z ßL¸ C=� s }cs c� E I ; c Z # I ; c¸ 1[# �ã 1 +n4V�yT_4�2 I ; c ø÷ Z

à C � s }³s c E I ; c Z 1[# �ã 1 +n4V�]T_4�2 I ; c ø÷ Z ä 1 * > ª @ > 4½¢bS£Ë^Au~uvlh§�Z�zPb_d�f~\hZ]§�bA§�Zpamfgf~\N^rfxu�®'Zps #qpsrutxv iyuï¨�iyu~spd~Z5feZ ª ág\hZpa# I ; c¸ 1[# �ã 1 +n4V�zTn4�2 I ; c ø÷ ´ j R x I ÷ psrutxvR w # I ; c¸ j # ¸x� 1 T]�éV R 4nm 2 I ; cà ÷ psrutgvP w # I ; c¸ 1[# ¸H� 1 T]� V P 4~482 I G ���Ëx ��ó

£x\hZpd~Z�÷ psrutxvR iyugfe\�Z�b_d�fe\hb¦¤_b_aN^¦§Õ®hd~bU�vZpspf~iyb_a`b_anfeb�fe\hZ]uvfe^rfeZ�� psrutgvR ª�d Z9ahspZªzPb_d a Z�T 1 VJI }V P à Kc^AaT¨¿J R * 1 V�ó��%4Ss�Zpi*fe\�Z9d�V �5�×1[#�pLrutgv 4��.*,V P -�^AaT¨���M +wbAd@V ���×1�#qpsrutxv 4H^AaT¨��M�KT-�£LZª\N^?f_Z Z # I ; c¸ 1�# �ã 1 +n4V�yTn482 I ; c ø÷ Z ß u~lT®� � I ; cs_�x� 1 T]�éVW4Ss I ; c ß�*<ä 1 * > ª @`y 4` aFz�^Aspf } f~\hiyu�Zpuvf~iy§�^rfeZ�\hb¦§©¨huWzPb_d�^f¤_ZpahZ9d~^¦§ #qpsrutgv ª ¦[Z`^As9spZ�®�f�fe\�iyu�£xi*f~\hb_l�f�^f®hdvbXbrz ª|Xi*§�i¬§£^Ad�§¬ç } Z 1�# �ã 1 +n4��]Tn482 I ; c ø÷ Z ß�u~lT®� s��H� 1 Tª� V�4Gs 2 I ; c ß 1 G V�4�2 I ; c ä 1 * > ª @ ð 4

ág\hZpu~ZªZ9uvf~iy§�^rfeZpu } f~b[¤_Zpf~\hZ9d¾£xi�fe\ 1 * > ª @ > 4�iy§<®T§¬ç�fe\h^rfZ ÄW1ih 4¹ø÷ 1[# �ã 1 +n4��]Tn4 2 I ; c Z ßL¸ C � s }cs c� E I ; c à C � s }cs c E I ; c��H� G Vq� I ; c ä � * > ª q +V�|Xiya�s9Z � � # �ã � +V�n� ´ ¯`øV<ó Ú � } £x\�Z9d~Z } øV ´ §�i*a � V�IËó�V P à K� } £�Z¢\N^?fAZxf~\N^rf Z k � # �ã � +��X�TV� 2 I ; c Z ß�vN¨hiyu�f � T.óG¯`øV<ó Ú ��� 2 I ; c ª ág\mlhu Z þ Z ß�v~s T��#øVhs 2 I zPbAd a Z�T 1 V�I�^AaB¨Wfe\hZpd~ZpzPbAd~ZZ þ Z ß�v � G Vq�82 I ó � * > ª q *B�

Page 182: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

* y ¸ ���HU Ù2Ø Õ×QüÒE}?O²QHÕ×Ö ³ Q¢ý UJ� �� U2Ø 5³ Ö���� ³�´ Ù g¡ T � Q ª �  £¢ 㥤�¦S£ s | s�ß v G Vq§¦¸ ª áN¨�©ª¤ Z | þ Z ß«*1§[¸�¬P¤T¨�­�¨�©ª®n© ¡ ¦�®n©¯­L¨E©°® ª ¨ ª!±�ª ¦ ¡� *1² ª´³Pµ �   ±   ¤¶f$©ª®�­   ¥B§£© ª�d ©ª¤ ¢ ©*UT~s a ©�T�ß�V P à *B§[¸ G V<- X K � # �ã � | ���Ëó

®�®n¦Bf   ¨�©�¨ s | sPO G V ª·¸¦�®n©ª¦1f�©�®ª¹ ±   ¤ ¢ ©�÷ # � | � � # �ã � | �Hº]T�� 2 I ´ | ÷ o � # �ã � | �Hº]TV� 2 I ¹B£»©�© ± ­  g¼ ¬P­�©Z ÷ # � | � � # �ã � | �½º]TV�82 I ø÷ Z ß�j | Z ÷ µ k Z à | c¸ Z ÷ Ä � h � Z m

¾ Z Ä � h � � # �ã � | �½º]TV�82 I ø÷ Z ä¿À¦S£ÂÁ�ö¤ ± � *1² ª´³Pµ �8¹ � *B² ª�³ ð �»¬P¤T¨ � *B² ªÄµ +V�  g¼ ®T§åçÅ­L¨�©�¤Z Ä � h � � # �ã � | �Hº]TV��2 I ø÷ Z ß�v~s Tƺ øV~s 2 I ä¿À©�b­ ±   ¤ ¢ ©Nk   ± ¥�¦�ÇE¤T¨�©�¨�®�©±§l¬P­   f$©J­L¦ #qpsrutgv £a©�¨È¬?f�©Æ­L¨È¬P­Z ÷ µ k Z ß�v äJ   ¤È¬¦§©§åç�¹E¥�¦$Ç�¤T¨ � *B² ª *1ÉV�  £¼ ®T§   © ± ­�¨È¬P­Z ÷ Ä � h � Z ß�v � KB2 I�Ê c à *B�@ä) ¦[§¬§£© ¢ ­   ¤T¤�¹H­�¨�©�§l¬ ± ­ ¡ ¦�ÇE®q© ± ­  £¼ ¬P­�© ± ¬$¤B¨yÇ ±   ¤T¤Ë­L¨È¬U­ a ©�TFß V P à G V¯¹�£a©Ì¬$®�®   f$©Ì¬P­� *1² ª´³$³ � ªeÍ

Page 183: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

ÒE}1Î�Ò_Ò�Î]Ï Ù×Ù Õ×Ö@� u~ * y ÉÐ�Ñ�Ò8Ñ�ÓÈÑÕÔJÖ�Ñ�×áN¨�©ª®n©   ± ¬$¤�©�b­L©ª¤ ±   f$©è§   ­L©�®L¬P­�Ç�®�©¥¦$¤�öÇȬ$¤V­�Ç ¼ ¼ © ¢ ¨È¬$¤  g¢ ±±ª�Ø ©·§   ± ­Ù¨�©ª®n©5¬ ¡ ©±£± ­L¬$¤T¨È¬P®C¨�¥�¦¦[ã ±ªÚ¯_Û { Û»¦Sç�©�® ª¯_ÜÕÜ { Ü ªÄÝ�ª Ü�¬$¤B¨È¬$ÇÞ¹�Á ª · ª Ü  g¡ ± ¨   ­LßP¹Åà�á Ò¦Ó Ê áE� â É Ô Î Ò¦Ó Ñ Ôsãªä]å�æ,Ó(�èç É ÜåÒ Ê�ÑAéSÑ ã Ê�Ñ Ô ÍÏÎ É æ Ð Þ ª�½©�®C¤V¬ ¼ ¦�¤ � * ð ²�²�� ª¯!· {�ê ª ·¸© ±�±   ¬$¨Þ¹�à�á Ò¦Ó Ê á.�ëâ É Ô Î Ò¦Ó Ñ Ôsã ª ` ¤V­L©ª® ± ¢�  ©ª¤ ¢ © � * ð µ *B� ª¯!ìí¨ { Ü ª ` ª ì¨   õ½¹îà�á Ò¦Ó Ê áE�ëâ É Ô Î Ò¦Ó Ñ Ôsã ª · ¢1ï ®L¬�£�ð d   §¬§ � * ð ³�³ � ªJ ¦�®ñ¬�®   ¤$¦�®�¦�Ç ± ­L®�©ª¬P­ ¼ ©ª¤V­ñ¦ ¡ öÇȬ$¤V­LÇ ¼ò¼ © ¢ ¨È¬$¤  g¢ ±ñ± ©�©¯ áñÉ { Ø#ª áN¨   ®n®   ¤T¤�¹ M&ó æ á Ð ã É�Ñ Ó â Ò Ê Î É � Ò ÊpÑ ÔCÒ¦Ü � Î Þ1ã Ñ Ôsã õô æ,Ü Ì÷ö ä à�á Ò¦Ó Ê áE�ëâ É Ô Î Ò¦Ó Ñ Ôsãæm� M Ê æ � ã�Ò¦ÓdÖ â æ,Ü É Ô á Ü É ã ì.®�®   ¤T¤�©�®ª¹Þ* ð y + ª·|¬P­�¨�© ¼ ¬P­  g¢ ¬¦§Õ¥È¬ ¢ ã6¤�®�¦$Ç�¤T¨   ± ¨�©�f$©�§g¦[®�©±¨   ¤Ù­L¨�© ¡ ¦[§¬§£¦S£   ¤T¤.­L©8b­ ±ªÚ¯ êÀ{�ø ª ` ª ê ®n¤�¦[§¬¨Þ¹�â Ò Ê Î É � Ò Ê�Ñ ÔCÒ¦Ü â ÉËÊ Î æ�ÖUã�æm� ó ÜåÒUãsã Ñ ÔCÒ¦Ü â É Ô Î Ò¦Ó Ñ Ôsã ª ì.®E®   ¤B¤�©ª®�¹Þ* ð y 𠪯 ) J�ù ì { d�ª ) ç ¢ ¦$¤Þ¹ a ª J ®�¦© ± ©$¹ Ø#ª ù   ® ± ¢ ¨Þ¹�Û ª ì  g¼ ¦�¤�¹;ú Ô Î ÐÞûæ¦Ö Ñ ÓEÝ ÉËÐõü Û ÉËÐ Ò Ê æ Ð ã ì.®�®   ¤T¤�©�®� Ûa©ª®C§   ¤;��* ð y ² ª¯ J ¦ { ï ª J ¦¦§©§l¬P¤T¨Þ¹ ç É Ò¦Ü M ÓdÒ¦Ü�Þ1ã Ñ ã ª�Ø   §g©±ç$¹Þ* ð y$W ª¯ d ì { � ª�d   ± §g¦[®Þ¹ ` ª · ª ì   ¤V¬¦§�¹Èý Ó Ê�Ð æ�Ö á Ô Ê�Ñ æ,Ó Ê æ ú Û É Ô ÊpÐ Ò¦Ü ÍÏÎ É æ Ð Þ ª ì.®�®   ¤T¤�©�®ª¹Þ* ð¦ð µBª¯ a ì ` { · ª a ©�©�¨Þ¹ÕÛ ª ì  £¼ ¦�¤Þ¹½â ÉËÊ Î æ�ÖUã°æm� â æ�Ö ÉËÐ Ó â Ò Ê Î É � Ò ÊpÑ ÔCÒ¦Ü � Î Þ1ã Ñ Ôsã °ô æ,Ü ý ä�� á ÓÕÔË�Ê�Ñ æ,ÓdÒ¦Ü M ÓdÒ¦Ü�ÞBã Ñ ã Ì ê ¢ ¬¦¨�© ¼2 £¢ �î®n© ±�± ¹�* ð ²[¸ ª¯ a ì `n` { · ª a ©ª©±¨Þ¹.Û ª ì  £¼ ¦�¤Þ¹.â ÉËÊ Î æ�ÖUãyæm� â æ�Ö ÉËÐ Ó â Ò Ê Î É � Ò Ê�Ñ ÔCÒ¦Ü � Î ÞBã Ñ Ôsã þô æ,Ü Ì ýný ä

�Õæ á Ð�ÑzÉËÐ M ÓdÒ¦Ü�Þ1ã Ñ ã�Ò¦ÓdÖ ú É Ü ��� M Önÿ?æ Ñ Ó Ê Ó É ãsã Ì ê ¢ ¬¦¨�© ¼2 £¢ �î®n© ±�± ¹½* ð ²[¸ ªì­s¬P¤T¨È¬$®�¨¸®n© ¡ ©ª®n©ª¤ ¢ © ± ¦�¤~®È¬P­L¨   ¤V­�©�¤�®�¬¦§ ± ¬P®�©¯ ù { d�ª ù §g©   ¤E©ª®n­ª¹�� Ò Ê Î ý Ó ÊQÉ Ý Ð Ò¦Ü�ã Ñ Ó à�á Ò¦Ó Ê áE� â É Ô Î Ò¦Ó Ñ Ôsã ¯ú Ê Ò Ê�Ñ ã Ê�Ñ Ôsã Ò¦ÓdÖ � æ,Ü�Þ � ÉËÐ� Î ÞBã Ñ Ôsã ª�Ø ¦�®�§©¨¸ì ¢ª  ©ª¤V­   ½ ¢ � * ð[ð ³ � ª¯!ì { ì ¢ ¨¶ÇT§©§ ¼ ¬P¤ ªê ®T®E®�¦[®�®   ¬P­�©J­L©�bí­ ± ¡ ¦$® ¡ Ç�®n­�¨�©ª®ñ®�©ª¬¦¨   ¤T¤   ¤ÌöÇȬ$¤V­LÇ ¼ ½�©�§©¨Ù­�¨�©ª¦�®�ç̬$®n©¯ ) Ý ï { ) ª ) ¦�¨E©ª¤íð áH¬$¤E¤�¦�ÇT¨U�   ¹�� ªñÝ ÇT®=¦�¤V­nð a ¦ ¢ ¹ ï ª ï ®�ç¤6¥=©ª®C¤E¹�� Î æ Ê æ,ÓEã°Ò¦ÓdÖ M Ê æ � ãªäý Ó Ê�Ð æ�Ö á Ô Ê�Ñ æ,Ó Ê æ à�á Ò¦Ó Ê áE��� Ü É Ô Ê�Ð æ�Ö¦Þ`ÓdÒ � Ñ Ôsã Ø   §g©±ç � ¿À©Ë£��e¦�®�ãí��* ð[ð * ª¯ J ® { � ª J ®��¦$¨T§  g¢ ¨Þ¹ ÍÏÎ É� á Ò¦Ó Ê á.� Ê Î É æ Ð Þ æm��Ó�æ,Ó(Ü Ñ Ó É Ò Ð�Ñ Ó é Ò Ð�Ñ Ò¦Ó Ê� Ò é¦É�É�� á Ò Ê�Ñ æ,ÓEã   ¤ ` ¤íðfP¬$®   ¬$¤V­ Ø ¬?f�©0Á�öÇȬU­   ¦$¤ ± ¹ ï ª ø ©�§g¦�¹ ê ª ì ªÕØ   ¤�¨V­ ¼ ¬$¤Þ¹Õ©�¨ ±±ª Ü�© ¢ ­LÇ�®n©Ù¿À¦P­L© ±   ¤5��¨«ç ±  g¢ ±D�F ¹=ì.®�®   ¤T¤�©�®ª¹Þ* ð ² y ª

Page 184: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

* y$W ��� Ï� ��������E}1Î �������N���¸Ï ��� � Ï�� � ��������� �! ¯ ï { ï ©�®nfP¬   ± ¹ ç É Ü É8é Ò¦ÓÕÔ É æm�~ÔCÒ¦Ü�ãsã Ñ ÔCÒ¦Üîã1æ,Ü á Ê�Ñ æ,ÓEã Ê æ � á Ò¦Ó Ê á.� Ê Î É æ Ð Þ   ¤ ` ¤VfP¬$®   ¬$¤V­ Ø ¬?f�©ÁîöÇȬP­   ¦�¤ ± ¹ ï ª ø ©±§£¦�¹ ê ª ì ªÕØ   ¤�¨V­ ¼ ¬$¤Þ¹Õ©�¨ ±±ª Ü�© ¢ ­LÇ�®n©0¿�¦$­L© ±   ¤5��¨«ç ±  g¢ ± D�F ¹�ì.®E®   ¤B¤�©ª®�¹* ð ² y ª¯ ï � { � ª ï §  £¼2¼ ¹ ê ª ��¬`õ�©$¹Æà�á Ò¦Ó Ê á.� � Î Þ1ã Ñ ÔsãªäñÒñ� á ÓÕÔ ÊpÑ æ,ÓdÒ¦Ü ý Ó ÊmÉ Ý Ð Ò¦Ü � æ Ñ Ó Ê æm� ô ÑzÉ" ªì.®�®   ¤T¤$©ª® � * ð y *B� ª¯#� { a ª ��¬ ¢ ã   £Æ¹½à�á Ò¦Ó Ê á.�­� É Ò¦Ó Ñ ÓEÝ2æm�NÔËÜåÒUãsã Ñ ÔCÒ¦Ü%$ É ÜåÖ Ê Î É æ Ð Þ ¹ a ©8f¯·¸¦E¨ ª �)ç ±±ª'&)( � * ð ²�²���¹µ y *8ð�²¦+ µ.ª¯_Ü { · ª Ü�©ÆÛa©�§©§£¬ ¢ ¹�à�á Ò¦Ó Ê á.� Ò¦ÓdÖ ú Ê Ò Ê�Ñ ã ÊpÑ ÔCÒ¦ÜÕ� ÑzÉ ÜåÖ ÍÏÎ É æ Ð Þ Ì+* b ¡ ¦�®�¨Þ¹Þ* ð¦ð * ª¯ a ¬ { a ª a ¬B��¬$®�¬ ¼ ¬P¤Þ¹�ú æ,Ü Ñ�Ê æ,ÓEã�Ò¦ÓdÖ ý ÓEã Ê Ò¦Ó Ê æ,ÓEã Ì ¿�¦�®n­�¨ d ¦[§©§£¬$¤T¨Þ¹�* ð y ¸ ª¯ a ç { Ü ª�d�ª a çE¨�©�® ª à�á Ò¦Ó Ê áE� � ÑzÉ ÜåÖ ÍÏÎ É æ Ð Þ ª ) ¬ ¼ ¥�®   ¨T¤�©P¹Þ* ð[ð µBª¯!ì ¢ {�ê ª ì ¢ ¨«£�¬$®nß$¹aà�á Ò¦Ó Ê áE� � ÑzÉ ÜåÖ ÍÏÎ É æ Ð Þ�Ò¦ÓdÖ Í æ�ÛÈæ,Ü£æCÝ¦Þ ª ì.®�®   ¤T¤$©ª®ª¹�* ð[ð É ª¯!ì   { Û ª ì  g¼ ¦�¤�¹ ÍÏÎ É ÷ �-, � c �»á ÔËÜ Ñ Ö É Ò¦Ó � à�á Ò¦Ó Ê á.� � ÑzÉ ÜåÖ ÍÏÎ É æ Ð Þ ¹���®   ¤ ¢ ©�­�¦�¤/.À¤   f�©ª® ±   ­Qç�î®�© ±�± * ð¯#0 { � ª 0   ¤E¤íð1�$Ç ± ­   ¤Þ¹�à�á Ò¦Ó Ê áE� � ÑzÉ ÜåÖ ÍÏÎ É æ Ð Þ!Ò¦ÓdÖ ó Ð�Ñ�Ê�Ñ ÔCÒ¦Ü � Î É Ó�æ � É ÓdÒ ª * b ¡ ¦�®C¨Þ¹�* ð[ð µBªJ ¦�®ñ¬�¨   ± ¢ Ç ±n±   ¦$¤¸¦ ¡ ­L¨E©�®�©�§£¬P­   ¦�¤�¥=©�­Q£a©ª©ª¤¸Ã¶ÇȬ$¤V­   ß?¬P­   ¦�¤�¬$¤T¨~® ± ©ªÇT¨E¦.¨   õ�©�®�©�¤¶­   ¬¦§�¦¦®í𩪮�¬P­L¦$® ± ¹ ± ©ª©¯ J { ) ª J ©±õ�©ª® ¼ ¬$¤�¹�2 ÓÕÔ ÉËÐ�Ê Ò Ñ Ó Ê ÞNÛ Ð�Ñ ÓÕÔ Ñ ÛdÜ É ¹�Û»ÇT§¬§ ª ê ·Ëì/3 � * ð y ÉV�»¤�¦ ª ¸¹Þ*G¸ ð ðm¸¦+ µBªJ ¦�® ¡ Ç�®n­�¨�©ª®   ¤ ¡ ¦�® ¼ ¬P­   ¦�¤¯¦�¤ ¼ ¬$¤«çVðQ¥=¦.¨.ç°­L¨E©ª¦�®�ç�¹ ± ©�©�¯ ) J�ù ì { ¬$¤B¨¯ d Ç;ì { Ø#ª�d Ç�¤�ß   ã$©�®ª¹ ` ª · ª ì   ¤V¬`§è¹ ÍÏÎ É� á Ò¦Ó Ê á.� å��148æ�Ö¦Þ<Û Ð æ54�Ü É ��¹6� ª ·¸¬P­L¨ ª �î¨6ç ±±ª87 Å� ¸`+[+[+V��¹ÈÉ W�W«y ð É ³ *�+ ª) ©ª®�­s¬   ¤0¬ ± ®�© ¢ ­ ± ¦ ¡ ­�¨�©�­�¨�©ª¦$®�ç2¦ ¡ ) ¦�ÇB§£¦ ¼ ¥ ± ç ± ­L© ¼ ± � ¬P­L¦ ¼ ± ¹ ¼ ¦[§g© ¢ ÇB§£© ± ¹¬$¤T¨0¬`¤[¤�®�©�ð¤V¬P­�© ± ­L¨E©ª®�©�¦ ¡ �ñ¬P®�©�®�©8f   ©±£a©�¨ � ¬ ± £a©�§¬§�¬ ±   ¤°¯ á { �   ¤¯_Ü�* { Á ª�d�ª Ü   ©�¥Þ¹�ú Ê Ò94 Ñ Ü Ñ�Ê ÞÌæm� â Ò ÊpÊQÉËÐ ä3� Ð æ � M Ê æ � ã Ê æ ú Ê Ò Ð ã ¹;Û»ÇB§©§ ª ê ·Ëì ª¯_ܹ¸ { ú É Ü É Ô Ê Ò � Ü�Ü Ñ æ Ê ßNÌ È¹ÑzÉ 4 ¹ Ø#ª áN¨   ®�®   ¤T¤E¹E©�¨ ª ìE®�®   ¤T¤�©ª® ð ø ©�®C§l¬`¤ Ú ¿À©Ë£��e¦�®�ã;¹�* ð[ð * ª¯!ì   ¤ { ` ª · ª ì   ¤V¬`§è¹ ÈcÉ Ô Ê á Ð8É ã�æ,Ó È Ò Ð Ý É ó æ á Ü£æ � 4 ú Þ1ã ÊmÉ � ã ¹ ) a · �î®n¦ ¢ ©ª©�¨   ¤T¤ ± ¬P¤T¨2Ü�© ¢ ­�Ç�®�©¿À¦P­L© ± ø ¦[§ ª y ¹Þ* ð¦ð ³ ²$ÉUðs*�+V² ª* Ç�®�¬¦®T®�®n¦V¬ ¢ ¨Ì­L¦�­L¨�©�­�¨�©ª¦�®�çÙ¦ ¡ ®�© ± ¦�¤È¬P¤ ¢ © ±   ± ¢ §£¦ ± ©J­L¦¯!ì ø÷{ ` ª · ì   ¤V¬¦§�¹�Û ª ø ¬ ±   §   �n©�f  £¢ ¹   ¤~®�®�©±®È¬$®L¬U­   ¦$¤ ª£   ­�¨ ± ¦ ¼ © ¼ ¬P­�©ª®   ¬¦§�­L¬¦ã$©�¤ ¡ ®n¦ ¼¯_Û ï ì {�ø ª Û»Ç ± §l¬P©�f=¹=ì ª ï Ç ± ­L¬ ¡ ± ¦�¤�¹ ` ª · ª ì   ¤V¬¦§�¹   ¤�®E®�©�®�¬$®L¬P­   ¦�¤ ª

Page 185: HJILKNM4O%P4Q9QRM - » Department of Mathematicssigal/semlectnotes/1.pdf · Ñ ÒÔÓ»Õ«Ö×Ó»Õ Ø Ù Ú#Û ÜFݦÞEßzàXá%âZàXß7ã9ä¶å>æ çZèCé ê pz ©p ^ _a`¢

�E}1Î:�;��Î]Ï� � �����< � ~ * y ³áN¨�©�®�© ± ÇT§x­ ± ¦�¤�­L¨E©Ë­L¨�©�¦�®�ç ¦ ¡ ®L¬¦¨   ¬P­   ¦�¤Þ¹ñ¬ ± £a©�§¬§�¬ ± ­�¨�©¥®�©�¤�¦�® ¼ ¬¦§   ß?¬U­   ¦$¤ú¤�®n¦�ÇT®¬¦®T®E®�¦V¬ ¢ ¨�¹;¬$®�©�­s¬`ã$©ª¤ ¡ ®�¦ ¼

¯_Û J ì�* {;ø ª Û�¬ ¢ ¨Þ¹=� ª J ®�¦©ª¨T§  £¢ ¨Þ¹ ` ª · ª ì   ¤�¬¦§è¹ J ¦�Ç�¤B¨È¬P­   ¦�¤ ± ¦ ¡ �î¨«ç ±  g¢ ± ��D � * ð¦ð ²���¸[¸�²Bðm¸$ÉV² ª¯_Û J ìT¸ {÷ø ª Û�¬ ¢ ¨�¹�� ª J ®�¦©ª¨T§  £¢ ¨Þ¹ ` ª · ª ì   ¤V¬`§è¹ ê ¨EfP¬$¤ ¢ © ±   ¤�·|¬U­L¨�© ¼ ¬P­  £¢ ± ÅíF�D � * ð[ð y �¸¦+ ³ ð�¸ ð y ¹�¬$¤T¨ ÅF�D � * ð[ð y �ï¸ ð¦ð ð É ð ³.ª¯_Û J ìEÉ {;ø ª Û�¬ ¢ ¨Þ¹=� ª J ®�¦©ª¨T§  £¢ ¨Þ¹ ` ª · ª ì   ¤�¬¦§ Ú ) ¦ ¼2¼ Ç�¤  g¢ ¬P­   ¦�¤ ±   ¤0·|¬U­L¨�© ¼ ¬P­  £¢ ¬¦§=��¨«ç ±  g¢ ±�(Ç�D � * ð¦ð[ð �¾¸ W ð ð�¸ ð + ª¯_Û J ì W {�ø ª Û�¬ ¢ ¨�¹)� ª J ®n¦í©�¨T§  g¢ ¨Þ¹ ` ª · ª ì   ¤V¬¦§ Ú   ¤~®�®n©�®È¬$®�¬P­   ¦�¤ ª


Recommended