HK152 Lecture 05

8/19/2019 HK152 Lecture 05

1/14

1

Tran Quang Viet – FEEE – HCMUTSignals and Systems

Biểu diễn tín hiệu dùng biế n đổi Fourier

Lecture 5

Tín hiệu v à hệ thống



Chuỗi Fourier

8/19/2019 HK152 Lecture 05

2/14

2

EE 2015 : Signals & Systems Tran Quang Viet – FEEE - HCMUT Tran Quang Viet – FEEE – HCMUTSignals and Systems

Hàm mũ phức & chuỗi Fourier

Xét hàm:

Tổng các hàm n(t) sẽ là hàm tuần hoàn chu kỳ T0=2/0

0 jnω tn (t)=e , n 0, 1, 2,....

Tín hiệu tuần hoàn f(t) chu kỳ T0 có thể được biểu diễn:

0 jnω tn

n=

f(t)= D e

(Chuỗi Fourier hàm mũ phức)



f(t) là tín hiệu thực Chuỗi Fourier lượng giác

*f(t)=f (t) 0 jnω tn

n=

f(t)= D e

0 jnω t*n

n=

D e

0 jnω t* nn=

D e

n nD D

*n nD D

chuỗi Fourier được viết lại như sau:0 0 jnω t jnω t

0 n nn=1

f(t)=D (D e D e )

0 0 jnω t jnω t*0 n n

n=1

=D (D e D e )

0 n 0 nn=1

f(t)=C C cos(nω t+θ )

0 0 n n n nC =D ; C =2|D |; θ D

8/19/2019 HK152 Lecture 05

3/14

3



Ví dụ :3

jn2πtn

n= 3

f(t)= D e

0 1 1 2 2 3 3D 1, D D 1/ 4, D D 1/ 2, D D 1/ 3

1 2f(t)=1 cos(2π t) cos(4π t) cos(6π t)

2 3

0 1 2 3f(t)=f (t) f (t) f (t) f (t)

0 1 2 31 2f (t)=1, f (t) cos(2π t), f (t) cos(4π t), f (t) cos(6π t)2 3



8/19/2019 HK152 Lecture 05

4/14

4



Để thuận tiện trong việc phân tích & xử lý tín hiệu ta dùngkhái niệm đồ thị “phổ ”tínhiệu tuần hoàn:

Xem e jn0t là 1 thành phần tần số n0 thì Dn là giá trị củathành phần tần số này |Dn|: phổ biên độ, Dn phổ pha.Do n có thể âm hoặc dương nên đây là phổ 2 bên: tần sốâ m & dương

Xem cos(n0t) là 1 thành phần tần số n0 thì Cn là giá trịcủa thành phần tần số này |Cn|: phổ biên độ, Cn phổ

pha. Do n dương nên đây là phổ 1 bên: tần số dương



Xétvídụ trước, ta có phổ 2bê n&1bê nnhư sau:

8/19/2019 HK152 Lecture 05

5/14

5


Xác định hệ số khai triển chuỗi Fourier

0 jnω tn

n=

f(t)= D e

0 0 jkω t j(n k)ω tn

n=

f(t)e = D e

1 0 1 00 0

1 1

t +T t +T jkω t j(n k)ω tn 0 k t t

n=

f(t)e dt= D e dt T D

1 00

1

t +T jkω tk t

0

1D = f(t)e dt

T

Vậy:1 0

0

1

t +T jnω tn t

0

1D = f(t)e dtT

0 jnω tnn=

f(t)= D e

Với:

Chuỗi Fourier Hệ số khai triển Fourier



Ví dụ:

1

1

T1

0 -T

2T1 1D = dt

T T 3

1

1 10 0

11

T T jnω t jnω tn T-T

0

1 1D = e dt e

T jnω T

0 1 0 1 jnω T jnω T1 (e e )

j2n

0 1

1sin(nω T )

n

1 nsin

n 3

1 nsinc

3 3

0 jnω t

n=

1 nf(t)= sinc e

3 3

8/19/2019 HK152 Lecture 05

6/14

6



Phổ củatínhiệu



Biế n đổi Fourier

8/19/2019 HK152 Lecture 05

7/14

7



Xét f(t) là tín hiệu không tuần hoàn:

Ta có quan hệ giữa f(t) và fT0(t) như sau:0

0TT

f(t)= lim f (t)

Và fT0(t) là tín hiệu tuần hoàn được tạo thành do sự lặp lạif(t) với chuk ỳ T0:

-1 1

1 1



Phổ của f(t) được xác định dựa vào phổ của fT0(t) với T0tiến tới vô cùng

00 0

00

T /2 +-jnω t -jnω tn T-T /2 -

0 0

1 1D = f (t)e dt= f(t)e dt

T T

Ta sẽ khảo sát quy luật của Dn khi T0 tiến về vô cùng

01 -jnω t 0

0 0-10

sinnωF(nω ) e dt=2 2sin (nω )

nω c

0n

0

F(nω )D =

T

Xét ví dụ tín hiệu xung vuông:

F(ω) 2sin (ω)c

8/19/2019 HK152 Lecture 05

8/14

8



Phân tích kết quả bằng hình ảnh: 0n0

F(nω )D =

T

0F(ω)/T

0F(ω)/T

0F(ω)/T



Kết luận: khi T0 thì Dn tiến tới hàm liên tục D() có giátrị bằng 0

Phổ của tín hiệu f(t) chính là D()=0 vậy không thểdùng D() để phân tích phổ tín hiệu f(t)

Phân tích hàm T0.Dn của fT0(t): 0 n 0T D =F(nω )

8/19/2019 HK152 Lecture 05

9/14

9



Phân tích kết quả bằng hình ảnh: 0 n 0T D =F(nω )

F(ω)

F(ω)

F(ω)



Kết luận: Khi T0, T0Dn hàm liên tục là F()

Tổng hợp f(t) từ F():

00

TTf(t) lim f (t)

jn ωt

0n

1lim F(n ω)e ω

2

00

jnω tnT

n

lim D e

jωt1f(t) F(ω)e dω2π

Ý nghĩa của F()

F(ω)dωF(ω)df

2π F(): mật độ phổ tín hiệu

8/19/2019 HK152 Lecture 05

10/14

10



Tóm lại ta có cặp biến đổi Fourier như sau:

-jωt

-F(ω)= f(t)e dt

jωt1f(t) F(ω)e dω

2π

(Biến đổi Fourier ngược)

f(t)

(Biến đổi Fourier thuận)

F()

Điều kiện tồn tại F(): |f(t)|dt : hh


Biế n đổi Fourier của một số tín hiệu thông dụng

(t) 1

at 1e u(t),a>0a+jω

1u(t) πδ(ω)+ jω

t ωTrect Tsinc

T 2

2t T ωTsincT 2 4

8/19/2019 HK152 Lecture 05

11/14

11


Các tính chất của biế n đổi Fourier

1 1 2 2 1 1 2 2a f (t)+a f (t) a F (ω)+a F (ω)

00( ) ( )

j t f t t F e

0 jω t0f(t)e F(ω ω )

F(t) 2πf( ω)

1 ωf(at) F|a| a

1 2 1 2f (t) f (t) F (ω)F (ω)

1 2 1 22πf (t)f (t) F (ω) F (ω)

nn

n

d f(t)(jω) F(ω)

dt

n

nn

d F(ω)t f(t) j

dωn

f(τ)dτ πF(0)δ(ω)+F(ω)/jωt

* *f (t) F ( ω) f( t) F( ω)


Phân tích phổ tín hiệu thực

Phổ biên độ là hàm chẵn

f(t) F(ω)

* *f(t)=f (t) F ( ω) *F(ω)=F ( ω)

*|F(ω)|= | F ( ω)|= | F( ω)|

*

F(ω)= F ( ω)= F( ω)

Phổ pha là hàm lẻ

Phần thực của phổ là hàm chẵn

Phần ảo của phổ là hàm lẻ

8/19/2019 HK152 Lecture 05

12/14

12



Tín hiệu thực chẵn có phổ là thực chẵn

f(t) F(ω)

* *f(t)=f (t) F ( ω)

F(ω)=F( ω)

*F(ω)=F (ω)

f(t)=f( t) F( ω) *F(ω)=F ( ω)

F(ω)=F( ω)



Tín hiệu thực lẻ có phổ là thuần ảo lẻ

f(t) F(ω)

* *f(t)=f (t) F ( ω)

F(ω)= F( ω)

*F(ω)= F (ω)

f(t)= f( t) F( ω) *F(ω)=F ( ω)

F(ω)= F( ω)

8/19/2019 HK152 Lecture 05

13/14

13


Năng lượng & băng thông tín hiệu

Năng lượng tín hiệu:

Miền thời gian: 2f E |f(t)| dt

Miền tần số (định lý Parseval):

21f 2πE |F(ω)| dω

2

|F(ω)|Mật độ phổ năng lượng

Tín hiệu vật lý là tín hiệu thực và có phổ trãi dài vô hạn trên thangtần số tuy nhiên chỉ có một khoảng tần số là chứa phần năng lượngquan trọng của tín hiệu khái niệm về băng thông tín hiệu.


Năng lượng & băng thông tín hiệu

M khi đó được gọi là băng thông tín hiệu

Ví dụ: Xác định băng thông của tín hiệu: e-atu(t); a>0

atf(t)=e u(t) F(ω)=1/(a+jω) f 2 21 1 1

E dω2π a ω 2a

M

M

ω 1 Mf 2 2ω

ω0.95 1 1 10.95E dω tan

2a 2π a ω πa a

Mω =12.706a (rad/s)

8/19/2019 HK152 Lecture 05

14/14

Date post:	08-Jul-2018
Category:	Documents
Upload:	kho-a-kha
View:	216 times
Download:	0 times

HK152 Lecture 05

Documents