Homework  6,  due  12/1      Section  14.4:  2,4,6,8,14,22  Section  14.5:  3,6,14,26,28,36  Section  14.6:  2,7,17,20,38,40  Section  14.7:  5,10,14,16,18,25  Section  14.8:  3,7,15,20,38,39  Section  15.1:  19,20,25,44,59,62    Part  I    Section  14.4    2)  𝑚 = !"#

!  

 4)  𝑚 = !"#

!  

 6)  (a)  

         𝑚 =𝑘𝑎!𝑏!

4  

         𝑀! =!!!!!

!  

         𝑀! =!!!!!

!  

          𝑥,𝑦 = !!!, !!!  

                   (b)            𝑚 = !"#

!(𝑎! + 𝑏!)            

         𝑀! =!"!!

!"(2𝑎! + 3𝑏!)  

         𝑀! =!!!!  

!"(3𝑎! + 2𝑏!)  

          𝑥,𝑦 = ! !!!!!!!

! !!!!!, ! !!!!!!!

! !!!!!  

 8)  (a)              𝑚 = !!!

!  

         𝑀! =!!!

!  

         𝑀! =!!!

!  

          𝑥,𝑦 = !!, !!  

         

       (b)          𝑚 = !!!

!"  

         𝑀! =!!!

!"  

         𝑀! =!!!"#

𝑘𝑎!  

          𝑥,𝑦 = !!!!", !!  

 14)  𝑚 = !"

!  

                𝑥,𝑦 = 0, !!!!!

   22)  𝑚 = !!!!

!  

              𝑥,𝑦 =8𝑎5𝜋 ,

8𝑎5𝜋  

   Part  II    Section  14.5    3)  𝑓! = 𝑓! = 2            𝑆 = 12𝜋    6)  𝑓! = 0, 𝑓! = 2𝑦            𝑆 = !

!6 37+ ln 6+ 37  

 14)  𝑆 = 2𝜋𝑎!    26)  𝑓! = 2𝑥 − 3𝑦, 𝑓! = −3𝑥 − 2𝑦                  𝑆 = 1+ 13(𝑥! + 𝑦!)!

!!! 𝑑𝑦  𝑑𝑥  

 28)  𝑓! = −2𝑥  𝑠𝑖𝑛 𝑥! + 𝑦! , 𝑓! = −2𝑦 sin 𝑥! + 𝑦!  

               𝑆 = 1+ 4 𝑥! + 𝑦! sin!(𝑥! + 𝑦!)𝑑𝑦  𝑑𝑥!!!!

!

! !!!!

!

!!

! !!

 

 36)  𝑓 𝑥,𝑦 = 𝑘 𝑥! + 𝑦!  

              1+ 𝑓! ! + 𝑓!! = 1+ !!!!

!!!!!+ !!!!

!!!!!= 𝑘! + 1  

             𝑆 = 1+ 𝑓! ! + 𝑓!!  

! 𝑑𝐴 = 𝑘! + 1  ! 𝑑𝐴 = 𝑘! + 1 𝑑𝐴 = 𝐴 𝑘! + 1  =  

!

                             𝜋𝑟! 𝑘! + 1      Part  III    Section  14.6    2)   !

!"  

 7)  − !"

!  

 17)  𝑉 = 𝑑𝑧  𝑑𝑥  𝑑𝑦!

!!!!!

!!!! = !"#

!"  

 

20)  𝑉 = 𝑑𝑧  𝑑𝑦  𝑑𝑥!"!!!!!!

!!"!!!

!!! = 648𝜋  

 

38)  𝑚 = 𝑘 𝑦  𝑑𝑧  𝑑𝑦  𝑑𝑥!! !"!!!!!"!

!!!!

!! = !"#

!𝑘  

             

               𝑀!" = 𝑘 𝑦!  𝑑𝑧  𝑑𝑦  𝑑𝑥!! !"!!!!!"

!

!!!

!

!

!=1254 𝑘  

               𝑦 = !!"!= 2  

 

40)  𝑚 = 𝑘 𝑑𝑧  𝑑𝑥  𝑑𝑦! !!!!!!!

!! !!!!!

!! = !"#$

!  

             

               𝑀!" = 𝑘 𝑦  𝑑𝑧  𝑑𝑥  𝑑𝑦! !!!!!

!!

!

! !!!!

!

!

!=𝑘𝑎𝑏!𝑐24  

               𝑦 = !!"!= !

!  

     Part  IV    Section  14.7    5)  !

!  

 10)  !"!

!  

   

     

14)  cylindrical:   𝑟!𝑑𝑧  𝑑𝑟  𝑑𝜃!"!!!

!!!

!!! = !!!

!− 2𝜋 3  

               spherical:   𝜌! sin! 𝜙  𝑑𝜌  𝑑𝜙  𝑑𝜃!!

!!!

!!! +   𝜌! sin! 𝜙  𝑑𝜌  𝑑𝜙  𝑑𝜃! !"!!

!

!!!!

!!! =

                                                                             !!!

!− 2𝜋 3  

 

16)  cylindrical:   𝑟! + 𝑧!  𝑟  𝑑𝑧  𝑑𝑟  𝑑𝜃!!!!

!!!

!!! = !"!  

!  

               spherical:   𝜌! sin! 𝜙  𝑑𝜌  𝑑𝜙  𝑑𝜃!!

!!!

!!! = !"!  

!  

 

18)  𝑉 = !!𝜋 4 ! + 4 𝑟  𝑑𝑧  𝑑𝑟  𝑑𝜃!

!! !!

!!! + 𝑟  𝑑𝑧  𝑑𝑟  𝑑𝜃!"!!!

!!! !

!!!  

                       = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒  𝑜𝑓  𝑙𝑜𝑤𝑒𝑟  ℎ𝑒𝑚𝑖𝑠𝑝ℎ𝑒𝑟𝑒 + 4 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒  𝑖𝑛  𝑡ℎ𝑒  𝑓𝑖𝑟𝑠𝑡  𝑜𝑐𝑡𝑎𝑛𝑡                          = !"!

!(2+ 2)  

 25)  𝑧 = !

!!𝑟! − 𝑟  

               𝑉 = 4  𝑟  𝑑𝑧  𝑑𝑟  𝑑𝜃! !!!!

!!!

!!!

!!! = !

!𝜋𝑟!!ℎ                  

   Part  V    Section  14.8    3)  1+ 2𝑣    

7)  – 𝑒!!    15)  𝐽 = − !

!  

              4 𝑥! + 𝑦! 𝑑𝐴  ! = 𝑢! + 𝑣! 𝑑𝑣  𝑑𝑢!

!!!!! = !

!  

 20)  𝐽 = − !

!  

              𝑦 sin 𝑥𝑦 𝑑𝐴  ! = 𝑣(sin𝑢) !

!  𝑑𝑣  𝑑𝑢!

!!! = 3 (cos 1− cos 4) ≈ 3.5818  

 38)  𝐽 = 4𝑣    39)  𝐽 = −𝜌! sin𝜙      Part  VI    Section  15.1    19)  𝑭 𝑥,𝑦, 𝑧 = 6𝑦𝑧𝐢+ 6𝑥𝑧𝐣+ 6𝑥𝑦𝐤    20)  𝑭 𝑥,𝑦, 𝑧 = !

!!!!!!!!!𝑥𝐢+ 4𝑦𝐣+ 𝑧𝐤  

 25)  𝑀 = 𝑥𝑦!𝑎𝑛𝑑  𝑁 = 𝑥!𝑦  ℎ𝑎𝑣𝑒  𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑜𝑢𝑠  𝑓𝑖𝑟𝑠𝑡  𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑎𝑙  𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒𝑠                  !!

!!= 2𝑥𝑦 = !!

!!  ⇒ 𝐅  𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒  

 44)  𝐜𝐮𝐫𝐥  𝐅 2,−1,3 = 7𝐢+ 4𝐣− 6𝐤    59)  𝑑𝑖𝑣  𝑭 𝑥,𝑦, 𝑧 = cos 𝑥 − sin𝑦 + 2𝑧    62)  𝑑𝑖𝑣  𝑭 2,−1,3 = 11