HSC  Exam  Questions  (Trigonometric  Ratios)  Note  to  students:  For  those  who  have  yet  to  study  radians,  2𝜋 = 360°.    1995  HSC  Q3(b)  

A  horizontal  bridge  is  built  between  points  𝐴  and  𝐵.  The  bridge  is  supported  by  cables  

𝑆𝑃  and  𝑆𝑅,  which  are  attached  to  the  top  of  a  vertical  pylon  𝑆𝑇.         4  

 The  section  of  the  pylon,  𝑆𝑄,  above  the  bridge  is  8  metres  long  and  ∠𝑆𝑅𝑄 = 52°.  

(i) Find  the  length  of  the  cable  𝑆𝑅.  

(ii) Find  the  size  of  ∠𝑆𝑃𝑄  to  the  nearest  degree.  

 

1997  HSC  Q7(a)  

By  expressing  sec𝜃  and  tan𝜃  in  terms  of  sin𝜃  and  cos𝜃,  show  that       2  

sec! 𝜃 − tan! 𝜃 = 1  

 

1998  HSC  Q1(e)  

Find  the  exact  value  of  sin !!+ sin !!

!.               2  

 

1999  HSC  Q3(c)  

In  the  diagram,  𝐴𝐶  is  parallel  to  𝐷𝐵,  𝐴𝐵  is  6  cm,  𝐵𝐶  is  3  cm  and  𝐴𝐶  is  7  cm.     4  

 (i) Use  the  cosine  rule  to  find  the  size  of  ∠𝐴𝐶𝐵,  to  the  nearest  degree.  

(ii) Hence  find  the  size  of  ∠𝐷𝐵𝐶,  giving  reasons  for  your  answer.    

2000  HSC  Q1(c)  

What  is  the  exact  value  of  cos !!?                 1  

 

2000  HSC  Q5(a)  

Solve  tan 𝑥 = 2  for  0 < 𝑥 < 2𝜋.                 2  

Express  your  answer  in  radian  measure  correct  to  two  decimal  places.  

 

2000  HSC  Q9(c)  

The  diagram  shows  a  square  𝐴𝐵𝐶𝐷  of  side  𝑥  cm,  with  a  point  𝑃  within  the  square,  such  

that  𝑃𝐶 = 6  cm,  𝑃𝐵 = 2  cm  and  𝐴𝑃 = 2 5  cm.             7  

 Let  ∠𝑃𝐵𝐶 = 𝛼.  

(i) Using  the  cosine  rule  in  triangle  𝑃𝐵𝐶,  show  that  cos𝛼 = !!!!"!!

.  

(ii) By  considering  triangle  𝑃𝐵𝐴,  show  that  sin𝛼 = !!!!"!!

.  

(iii) Hence,  or  otherwise,  show  that  the  value  of  𝑥  is  a  solution  of  

𝑥! − 56𝑥! + 640 = 0  

(iv) Find  𝑥.  Give  reasons  for  your  answer.  

 

 

   

2001  HSC  Q3(d)  

The  diagram  shows  a  triangle  with  sides  7  cm,  13  cm  and  𝑥  cm,  and  an  angle  of  60°  as  

marked.  

 Use  the  cosine  rule  to  show  that  𝑥! − 7𝑥 = 120,  and  hence  state  the  exact  value  of  𝑥.  4  

 

 

2002  HSC  Q2(c)  

In  the  diagram,  𝑋𝑌𝑍  is  a  triangle  where  ∠𝑍𝑌𝑋 = 45°  and  ∠𝑍𝑋𝑌 = 60°.  

Find  the  exact  value  of  the  ratio  !!.                 3  

   

2002  HSC  Q4(b)  

Find  all  values  of  𝜃,  where  0° ≤ 𝜃 ≤ 360°,  that  satisfy  the  equation:       2  

cos𝜃 −25 = 0  

Give  your  answer(s)  to  the  nearest  degree.  

 

 

 

 

 

 

2002  HSC  Q4(c)  

In  the  diagram,  𝐿𝑀𝑁  is  a  triangle  where  𝐿𝑀 = 5.2  metres,  𝐿𝑁 = 8.9  metres  and  angle  

𝑀𝐿𝑁 = 110°.  

 (i) Find  the  length  of  𝑀𝑁.                 2  

(ii) Calculate  the  area  of  triangle  𝐿𝑀𝑁.               2  

 

 

2003  HSC  Q4(a)  

In  the  diagram,  the  point  𝑄  is  due  east  of  𝑃.  The  point  𝑅  is  38  km  from  𝑃  and  20  km  from  

𝑄.  The  bearing  of  𝑅  from  𝑄  is  325°.  

 (i) What  is  the  size  of  ∠𝑃𝑄𝑅?                 1  

(ii) What  is  the  bearing  of  𝑅  from  𝑃?               3  

 

2004  HSC  Q9(a)  

Solve  2 sin! 𝑥 − 3 sin 𝑥 − 2 = 0  for  0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋.             2  

 

 

 

 

 

 

 

 

2004  HSC  Q3(c)  

The  diagram  shows  a  point  𝑃  which  is  30  km  due  west  of  the  point  𝑄.    

The  point  𝑅  is  12  km  from  𝑃  and  has  a  bearing  from  𝑃  of  070°.  

 (i) Find  the  distance  of  𝑅  from  𝑄.               2  

(ii) Find  the  bearing  of  𝑅  from  𝑄.               2  

 

2004  HSC  Q8(a)  

(i) Show  that  cos𝜃 tan𝜃 = sin𝜃.               1  

(ii) Hence  solve  8 sin𝜃 cos𝜃 tan𝜃 = cosec𝜃  for  0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋.         2  

 

2005  HSC  Q2(a)  

Solve  cos𝜃 = !!  for  0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋.                 2  

 

2005  HSC  Q3(b)  

The  lengths  of  the  sides  of  a  triangle  are  7  cm,  8  cm  and  13  cm.  

(iii) Find  the  size  of  the  angle  opposite  the  longest  side.         2  

(iv) Find  the  area  of  the  triangle.               1  

 

2006  HSC  Q1(d)  

Find  the  value  of  𝜃  in  the  diagram.  Give  your  answer  to  the  nearest  degree.     2  

   

 

2007  HSC  Q4(a)  

Solve   2 sin 𝑥 = 1  for  0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋.                   2  

 

2008  HSC  Q6(a)  

Solve  2 sin! !!= 1  for  –𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋.                 3  

 

2009  HSC  Q1(d)  

Find  the  exact  value  of  𝜃  such  that  2 cos𝜃 = 1,  where  0 ≤ 𝜃 ≤ !!.       2  

 

2010  HSC  Q5(b)  

(i) Prove  that  sec! 𝑥 + sec 𝑥 tan 𝑥 = !!!"#!!"#! !

.             1  

(ii) Hence  prove  that                   1  

sec! 𝑥 + sec 𝑥 tan 𝑥 =1

1− sin 𝑥  

(iii) Hence  use  the  table  of  standard  integrals  to  find  the  exact  value  of     2  

11− sin 𝑥

!!

!𝑑𝑥  

 

2011  HSC  Q2(b)  

Find  the  exact  values  of  𝑥  such  that  2 sin 𝑥 = − 3,  where  0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋.       2  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2011  HSC  Q8(a)  

In  the  diagram,  the  shop  at  𝑆  is  20  kilometres  across  the  bay  from  the  post  office  at  𝑃.  

The  distance  from  the  shop  to  the  lighthouse  at  𝐿  is  22  kilometres  and  ∠𝑆𝑃𝐿  is  60°.  

Let  the  distance  𝑃𝐿  be  𝑥  kilometres.  

 

(i) Use  the  cosine  rule  to  show  that  𝑥! − 20𝑥 − 84 = 0.         1  

(ii) Hence,  find  the  distance  from  the  post  office  to  the  lighthouse.  Give  your  answer  

to  the  nearest  kilometre.                 2    

 

2012  HSC  Q6  

What  are  the  solutions  of   3 tan 𝑥 = −1  for  0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋?  

(A)   !!!  and  !!

!  

(B)   !!!  and  !!

!  

(C)   !!!  and  !!

!    

(D)   !!!  and  !!!

!  

 

 

 

 

 

 

 

2013  HSC  Q14(c)  

The  right-­‐angled  triangle  𝐴𝐵𝐶  has  hypotenuse  𝐴𝐵 = 13.  The  point  𝐷  is  on  𝐴𝐶  such  that  

𝐷𝐶 = 4,  ∠𝐷𝐵𝐶 = !!  and  ∠𝐴𝐵𝐷 = 𝑥.      

 Use  the  sine  rule,  or  otherwise,  find  the  exact  value  of  sin 𝑥.         3  

 

2014  HSC  Q7  

How  many  solutions  of  the  equation   sin 𝑥 − 1 tan 𝑥 + 2 = 0  lie  between  0  and  2𝜋?    

(A)   1  

(B)   2  

(C)   3  

(D)   4  

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2014  HSC  Q13(d)  

Chris  leaves  island  𝐴  in  a  boat  and  sails  142  km  on  a  bearing  of  078°  to  island  𝐵.  Chris  

then  sails  on  a  bearing  of  191°  for  220  km  to  island  𝐶,  as  shown  in  the  diagram.  

 

(i) Show  that  the  distance  from  island  𝐶  to  island  𝐴  is  approximately  210  km.   2  

(ii) Chris  wants  to  sail  from  island  𝐶  directly  to  island  𝐴.  On  what  bearing  should  

Chris  sail?  Give  your  answer  correct  to  the  nearest  degree.       3    

 

2014  HSC  Q15(a)  

Find  all  solutions  of  2 sin! 𝑥 + cos 𝑥 − 2 = 0,  where  0 ≤ 𝑥 ≤ 2𝜋.       3