Hyperfr Chap.1

Hyperfréquences chap 1 1

Hyperfréquences

Chapitre 1:

Guides d’ondes électromagnétiques

H. TOUIR

Académie Internationale Mohammed VI de l’Aviation Civile

Année 2008-

2009


Plan du chapitre Introduction Propagation guidée dans un tube métallique creux Propagation guidée dans un guide rectangulaire

Étude des modes Transverse Électrique (TE) Étude des modes Transverse Magnétique (TM )

Propagation guidée dans un guide cylindrique Étude des modes TE Étude des modes TM

Cavité résonante Fentes rayonnantes


Introduction

De la même manière que les lignes de transmission, les guides d ’ondes sontutiliser pour transférer de l’énergie électromagnétique d ’un point à un autre. Néanmoins, on peut noter les principaux caractéristiques:

Les lignes de transmission sont utilisées souvent pour transférer de l’énergieélectromagnétique en mode TEM (Transverse Électrique Magnétique) dans unelarge gamme d’ondes (du kilométrique au centimétrique (Hyperfréquence)).


Introduction

Pour des fréquences jusqu’à 3 GHz, on utilise principalement le câble coaxial. Audelà de cette fréquence les pertes sont considérables. Cependant de spécialcourt câble coaxial peuvent être utiliser jusqu’à 50 GHz. Quant à la ligne microruban, il sont utilisés dans les circuits intégrés miro-ondes .

Les guides d ’ondes rectangulaires ou cylindriques, sont utilisées souvent pourtransférer de l’énergie électromagnétique en modes TE (Transverse Électrique) ouTEM (Transverse Magnétique) pour des fréquences de l’ordre et supérieures à ladizaine de GHz (hyperfréquences), pour lesquelles on trouve essentiellement desapplications radar ou des télécommunications spatiales.

Les guides d ’ondes électromagnétiques peuvent en effet transporter de fortespuissances micro-ondes (propagation dans l’air), ce qui est particulièrementimportant pour les radars de puissance et des télécommunications spatiales.


Introduction

Supposant que le guide d'ondes est orienté avec son axe le long du z-axe(direction de la propagation d’onde), le régime de propagation le plus généralqui peut exister dans un guide d’onde est formé des 5 composantes des champs.On distingue deux types d ’ondes :

Guide cylindrique

(1) modes Transverse Électriques (TE) le champ électrique est transversalà la direction de la propagation (aucun composant longitudinal dechamp électrique) tandis que le champ magnétique a les composantstransversaux et longitudinaux [Ez = 0, Hz0] (2) modes Transversal Magnétiques (TM) - le champ magnétique esttransversal à la direction de la propagation (aucun composantlongitudinal de champ magnétique) tandis que le champ électrique ales composants transversaux et longitudinaux [Hz = 0, Ez 0]

z

x

y


Introduction

Avantages des guides d’ondes:

o La possibilité de transporter de fortes puissances micro-ondes (propagation dans l’air), ce qui est particulièrement important pour les radars de puissance et des télécommunications spatiales;

o L’absence de rayonnement due à sa structure complètement close;

o Les modes principaux ont une polarisation rectiligne et sont donc faciles à exciter et à détecter;

On peut classifier les modes de propagation dans le guide d'ondes selon lesquelsles composants de champ sont présents ou non dans l’onde. Les composants de champ dans la direction de la propagation de l’onde sontdéfinis en tant que composants longitudinaux tandis que les composantsperpendiculaires à la direction de la propagation sont définies en tant quecomposants transversaux.


Introduction

A l’opposition des lignes de transmission, où leurs analyses se fait par leséquations de courants et de tension induits par le champ électromagnétisme, lesguides d ’ondes sont analysés directement par le champ électromagnétique. Eneffet, l’analyse par le champ électromagnétisme est plus facile que celle par leséquations de courants et de tension car les expressions du champélectromagnétique sont assez complexe

Relation entre le champ E et la tension V:

VA(VB) est le potentiel du point A (B)dl est la distance élémentaire de la courbe ABdl= dl t, t est la tangente à dl On choisit le sens positif du parcours de C

ld )r(EVVVB

ABA

dlE

A

B


IntroductionRelation entre le champ H et le courant I: Théorème d’Ampère

est la somme algébrique des courants traversant le contour C

Le signe + est associé aux courants sud-nord et le signe - est associé aux courants nord-sud

Puissance transportée :

* désigne le conjuguée

II ld H n

nC

n

nI

Cdl

In

S

** HERe2

1V.IRe

2

1

H


Guide rectangulaireÉtudions une structure représentée sur la figure ci-dessousLes parois sont considérées comme étant des conducteurs parfaits,l’intérieur est rempli d’un isolant de permittivité et de perméabilité (le coté a est supposé plus grand que le coté b -convention-)

o Modes TE (Transverse Electrique) : pour ces modes Ez = 0 et Hz 0. Il n’existe que descomposantes Ex=Ex(x,y) et Ey=Ey(x,y)

o Modes TM (Transverse Magnétique) : pour ces modes Hz = 0 et Ez 0le champ magnétique ne possède que des composantes transverses à la direction depropagation (Hx=Hx (x,y) et Hy=Hy (x,y) )


Guide rectangulaireÉtude des modes TE

Pour ces modes on a : Ez = 0, Hz 0

L’équation d’onde dans un milieu pour une onde de variation temporelle de

type s’écrit:

(1)

Posons:

Ou encore le nombre d’onde dans unmilieu illimité

Projections la composante transversale sur les directions x et y:

Utilisons la méthode des séparations des variables:

Hεμt

Hεμ H 2

0

2

02

2

z)k-t-j( ze

z2

0z2 Hεμ H

(y)(x).ffy)(x,H yxz

z2

02z

2

2z

2

2z

2

Hωεμz

H

y

H

x

H

2z

20

2 kωεμk

2y

2x

2 kkk

2z

2y

2x

2z

20

220 kkkkkεμωk

0Hkωεμy

H

x

Hz

2z

202

z2

2z

2



L’équation (1) devient donc:

Les équations entre parenthèses étant indépendantes, elles doivent être vérifiées

séparément, ce qui donne la solution générale suivante:

où A, B, C et D sont des constantes à déterminer par les conditions aux limites.

On peut montrer que:

0ky

f

f

1k

x

f

f

1 2y2

y2

y

2x2

x2

x

x)B.cos(kx)A.sin(kf xxx y)D.cos(ky)C.sin(kf yyy

0b)(x,E(x,0)E xx 0y)(a,Ey)(0,E yy

y

H

kE z

20

x

-jω

x

H

kE z

20

y

jω



Ce qui conduit à:

Les conditions aux limites conduisent donc à:

y)D.sin(ky)C.cos(k.x)B.cos(kx)Asin(kkk

E yyxxy20

x -jω

y)D.cos(ky)C.sin(k.x)B.sin(kx)A.cos(kkk

E yyxxx20

y jω

0A 0y)(0,Ey

)0,1,2,....(m mΠak 0y)(a,E xy

0C 0(x,0)Ex

)0,1,2,....(n nΠbk 0b)(x,E yx



La composante Hz s’écrit donc

avec B.D = H0

Remarque: pour m=n=0, Hz est constant et par conséquent les champstransverses (Ex, Ey) sont nuls, ce qui exclut ce mode.

Les expressions complètes des composantes transverses des champs sont:

Kc étant le vecteur d ’onde de coupure.

)b

yn)sin(

a

xmcos(H

k

kjωE 02

c

y0x

)b

yn)cos(

a

xmsin(H

k

kjkH 02

c

xzx

)b

yn)cos(

a

xmsin(H

k

kjωE 02

c

x0y

)b

yn)sin(

a

xmcos(H

k

kjkH 02

c

yzy

)b

yn)cos(

a

xmcos(HH 0z

)zk-tj(-0z

z)eb

yn)cos(

a

xmcos(HH



Ces relations permettent de se faire une représentation schématique deslignes de champ électrique pour les premiers modes TE;

Modes de propagation:Pour chaque couple (m, n) on associé un mode de propagation TEmn

Relation de dispersion:

Pulsation de coupure:La pulsation de coupure c correspond à kz=0, soit:

22

0

c b

n

a

m

εμ

1ω

2z

222

0 kb

n

a

mωεμ



De la relation de dispersion on déduit le vecteur d’onde kz de propagation:

Pour <c, kz est imaginaire pure. Le mode est atténué (pas de propagation).

L ’onde est dans ce cas est évanescente.Pour c, kz est purement réel. Le mode se propage.

Longueur d ’onde guidéeLors de la propagation d’une onde dans un guide, on doit alors retrouver lamême phase tous les g . C’est à dire que kz g = 2 et donc :

; le vecteur

d ’onde dans un milieu illimité

220z ω..k c

2

20

0

2

20z

g

11

1

εμ

2

k

2

c

c

00 εμ

2



Vitesse de propagation:

Où v0 est la vitesse de propagation dans un milieu illimité.

Impédance de l ’onde TE:

Où Z0 est l’impédance dans un milieu illimité.

ZTE est appelé aussi l’impédance caractéristique de l ’onde TEmn.

2

2

02

2

0

1

ω1v

ω1

.

1v ccz

z

k

k

0

2/122

20

0

2/1

2

2

00

x

y

y

x

T

T

TE Zb

n

a

m

εμ

11Z1Z

H

E

H

E

H

E Z

c

zk



Interprétation géométriqueDans le mode mode TE10 le champ Hz ( )

se met sous la forme de deux termes:

On voit que le champ peut être considéré comme la somme de deux champsqui se propagent dans des directions symétriques par rapport à la direction oz et obliquement dans le plan -x, z et x, z.

Introduisons les vecteurs d ’onde:

zk-tj-0z

z)ea

xcos(HH

zk

ax

tzkax

-t0zk-tj-a

x-

ax

0z

zzz ee

2

Heee

2

HH

jjjj

zx ee

z1 ka

k

zx ee

z2 ka

k



de même norme: (relation de dispersion)

Regardant maintenant ce qui se passe à l ’interface diélectrique paroimétallique pour une fréquence inférieure à la fréquence de coupure. L’onderéfléchie est une onde évanescente. En effet, le champ électrique E estatténuée en exp(-z) avec (c

2 - 2))1/2 en absence du phénomène

dissipatif.

2/1

2z

2

0 kk

a

z

x

k1

k2

a

zz

y

Ey(x)y

z

x

Ey(x,z)



Interprétation géométrique de la propagation du guide des modes TEm0 et TE0n

Interprétation géométrique de la propagation du guide des modes TEmn

x

y

z

x

y

z


Guide rectangulaireÉtude des modes TM

Le champ magnétique est purement transverse (Hz = 0). En suivant exactement

la même démarche que celle des modes TE, on trouve les expressionscomplètes des composantes des champs:

Ces relations permettent de se faire une représentation schématique des lignesde champ électrique pour les premiers modes TM.

y)b

nx)sin(

a

msin(EE 0z

)b

yn)sin(

a

xmcos(E

k

kjkE 02

c

zxx

)b

yn)cos(

a

xmsin(E

k

kjkE 02

c

zyy

)b

yn)cos(

a

xmsin(E

k

kjH 02

c

yx

)b

yn)sin(

a

xmcos(E

k

kj-H 02

c

xy


Guide rectangulaireÉtude des modes TM

Remarques:

o pour m=0 ou n=0, Ez =0 ce qui exclut ce mode

o pour les modes TM, la relation de dispersion, la pulsation de coupure,La longueur d ’onde guidée et la vitesse de propagation sont identiquesque celles des modes TE.

Impédance de l’onde

ZTM est appelé l’impédance de l ’onde TMmn.

Remarque :

Plus a augmente plus ZTM augmente et plus ZTE diminue. Dans le cas

limite (a-->) ZTM et ZTE tendent vers Z0

0

2/122

20

02

2

0

x

y

y

x

T

T

TM Zb

n

a

m

εμ

11Z1Z

H

E

H

E

H

E Z

czk

20TETM ZZ Z impédance

Z0ZTM ZTE


Guide rectangulaireExemple

Cherchons les fréquences de coupure des premiers modes d’un guide standard

(désignation WR90) et traçons le diagramme de dispersion k = f (ω). Lesdimensions sont a = 22,9 mm et b = 10,2 mm . La relation de dispersion

donnepour les cinq premiers modes, par ordre de fréquence croissante les valeursindiquées dans le tableau suivant :

Mode Fréquence de coupure (GHz)TE10 6,56TE20 13,10TE01 14,76TE11 16,16TM11 16,16

Exprimons la relation de dispersion en fonction de ω (avec εr = 1 dans l’air):

22

2z

ωk

ccc

2

z 1ω

k

c

c


Guide rectangulaireLe mode dominant TE10

Le diagramme de dispersion kz = f(ω) est représenté ci-dessous :

Fonctionnement mono mode

Fonctionnement multi mode

kz

o Dans la bande fréquences comprise entre 6,56 GHz et 13,10 GHz, seul le mode TE10 peut se propager : le guide est monomode. C’est l’utilisation habituelle d’un guide d’onde

o Par contre, en utilisant la bande de fréquences comprises entre 14,76 GHZ et 16,16 GHz , les trois modes TE10, TE20 et TE01 peuvent se propager simultanément. Le guide est multi mode.



Expressions et répartition des champs : Les composantes des champs du mode TE10 dans l’air (εr = 1), sont données

pourm = 1 et n= 0. En exprimant tous les champs par rapport à l’amplitude Eo de

lacomposante Ey, et en revenant aux expressions physiques, on trouve:

Noter le déphasage de /2 de la composante Hz par rapport aux autres

champs.

)zkωt(02

c

x0y

z)a

xsin(H

k

kE

jej

z)k-tj(-0z

z)ea

xcos(HH

0EHE xyz

z)k-tj(-02

c

xzx

z)ea

xsin(H

k

kjkH



La figure suivante indique l’allure des variations des composantes des champs

au temps t = 0

o La figure de gauche montre la variation sinusoïdale du champ électrique en fonction de x (le champs est nul sur les parois verticales en x=0 et x=a)

o La figure de droite montre les variations du champ magnétique dans un plan y quelconque (ses composantes ne dépendent pas de y) : On retrouve les boucles caractéristiques du champ magnétique

λG = 2π/k est la longueur d’onde de guide



Champ électrique et courant de déplacement

La répartition du champ Ey dans le guide, toujours au temps t = 0. La propagation de ce champ vers les z croissants (terme cos( ωt – kzz)), induit un courant de déplacement proportionnel au taux de variation du champ électrique ( Jd=dE/dt ).

o En z = 0 et z = λG/2, le champ Ey passe par un extremum ainsi que Jdo En z = λG/4, dEy/dt > 0 : le courant est positif de valeur maximum Jdmax

o En z = 3/4λG, dEy/dt < 0 : le courant est négatif, de valeur Jdmin



Champ magnétique et courant de conduction

o Les lignes de champ magnétique tournent autour des lignes de courant de déplacement Jd. Elles forment des boucles fermées, centrées en x = a/2 et z = λg/4, z = 3/4λg, … etc (au temps t = 0).

o Le courant superficiel Is, (Is = n×Hs), n étant la normale sortante de la surface) induit par la composante tangentielle du champ magnétique en surface Hs, s’écoule sur la face interne des parois du guide



La voleur moyenne dans le temps de la densité de puissance est donné par levecteur de Poynting:

La composante transverse est nulle parce qu ’elle est purement imaginaire.

)H~

E~

Re(2

1)r( *

zxyj eeeej

z)k-tj(*0

z)k-tj(*02

c

xz

)zkωt(02

c

x0

zzz )ea

xcos(H)e

a

xsin(H

k

kjk)

a

xsin(H

k

kRe

2

1

)a

x(sinH

k

k0

0

2

1

)a

x(sinH

k

k0

)a

xcos()

a

xsin(H

k

k

Re2

1

2202

x

z0

2202

x

z0

202

c

x0

j



Le flux de ce vecteur à travers à une section droite du guide donne la puissance

moyenne véhiculée par l’OEM du guide.

Cette puissance est souvent exprimée en fonction de l ’amplitude maximum de

E0 du champ électrique. La relation entre E0 et H0 est donnée par:

Pour a=2,29 cm, b=1,02 cm, E0=3 MV/m, r=1(air) , f=10 GHz, on trouve P1MW

a.bHk

k

4)dx

a

Πx(sindyH

k

k

2dxdy)r( P 2

02x

z0b

0

a

0

2202

x

z0

0x

00 H

kE


Guide cylindriqueLes propriétés du guide cylindrique sont très voisines de celles du guide rectangulaire.

Étudions une structure représentée sur la figure ci-dessous. Les parois sont considérées comme étant des conducteurs parfaits, l’intérieur est rempli d’un isolant de permittivité et de perméabilité

Modes TE (Transverse Electrique) : pour ces modes Ez = 0 et Hz 0 . Il n’existe que descomposantes Er=Er(r,) et E=E(r,)

Modes TM (Transverse Magnétique) : pour ces modes Hz = 0 et Ez 0 . Il n’existe que descomposantes Hr=Hr(r,) et H=H(r,)

En désignant par g l’une des composantes longitudinales Ez ou Hz, l’équation de propagation pour une onde de variation temporelle de type s’écrit:

gεμεμ g 202

2

02

t

g

z)k-t-j( ze


Guide cylindriqueExprimons le Laplacien en coordonnées cylindriques:

L’équation d’onde s’écrit, compte tenu du terme de propagation en exp(jkzz)

Posons:

Ou encore k0 étant le nombre d’onde dans un milieu illimité

Utilisons la méthode des séparations des variables:

L’équation devient donc:

2

2

2

2

22 ),(g),(g1

r

)r,(gr

rr

1 g

z

rr

r

0),(gkω εμ),(g1

r

)r,(gr

rr

1 2z

202

2

2

rr

r

2z

20

2z

20

2 kkkε.ωμk

)R(r)F()g(r, Φ

0F1

krr

Rr

R

r2

222

r

2z

220

20 kkωεμk


Guide cylindriqueLe premier terme n’est fonction que de r, alors que le second n’est fonction

quede . La somme ne peut être identiquement nulle que si chaque fonction estégale à une constante.

Fonction angulaireLa fonction F doit être périodique, car les champs doivent retrouver la mêmevaleur pour F et pour F+ 2. Nous obtiendrons une solution périodique enposant :

La solution générale de cette équation s’écrit :

et doit satisfaire à la condition :

Cette condition est satisfaite si est un entier de valeur = m = 0, 1, 2, 3..

22

2

-F1

νsin Dνcos CΦF

2sin D2cos CC2F0F


Guide cylindriqueFonction radialePar conséquent l’équation de propagation devient (équation de Bessel):

La solution générale de cette équation, pour n entier, s’écrit :

Où Jm(kr) est la fonction de Bessel de première espèce d’ordre m (m = 0, 1, 2, …)

Nm(kr) est la fonction de Bessel de deuxième espèce d’ordre m (ou fonction deNeuman)

La figure ci-dessous montre les variations de Jm(x) (m = 0 à 3) en fonction de x

(x=kr) au voisinage de l’origine et le xmn le nième zéro de la fonction de Bessel depremière espèce d’ordre m

0Rmkrr

Rrr 222

r

(kr)N B (kr)JA R(kr) mm


Guide cylindrique

Ces fonctions sont oscillatoires et gardent une valeur finie au voisinage de x = 0(c’est-à-dire au centre du guide) pour toutes les valeurs de n

Par contre les fonctions Nm(x) (figure ci-dessous) tendent vers l’infini au voisinage

de l’origine, comme le montre la figure ci-dessous.

x02x01 x03x13x12

x22x23


Guide cylindrique

Le champ ne pouvant pas diverger au centre du guide, nous poserons donc B = 0. La composante longitudinale du champ s’écrit finalement :

msin Dmcos C(kr)JA )g(r, m


Guide cylindriqueRemarque 1: Si un autre conducteur métallique est placé proche de l’axe, il

fautalors tenir compte des fonctions du deuxième ordre. Dans ce cas il s’agit d’uncâble coaxial. Le câble coaxial autorise la propagation des modes TE, TM et

TEM.Cependant il est souvent utilisé seulement en modes TEM.

Remarque 2: Les solutions angulaires en cos (m ) et en sin (m ) représentent en

fait une même configuration des champs, mais décalée angulairement de π/2m.

Cette indétermination provient du choix arbitraire de l’orientation de l’axe Ox.Nous ne retiendrons que la solution en cosinus qui ne s’annule pas pour m =

0.

x

yr


Guide cylindriqueLa solution générale de la composante longitudinale du champ est donc :

o La variation radiale est une fonction de Bessel de première espèce.o La variation angulaire est une fonction trigonométrique.

Pour terminer l’étude de l’équation de propagation nous devons maintenantprendre en compte les conditions aux limites sur les parois du guide. Il faut

alorsmaintenant décomposer notre étude en deux parties (mode TE et mode TM)

carles conditions aux limites sont différentes pour ces deux modes

mcos (kr)J CA )g(r, m


Guide cylindrique Étude des modes TM

Pour ces modes on a: Hz = 0 et Ez 0 La composante axiale du champ électrique Ez est donnée par:

avec E0=AC

Sur la surface du guide on a :

Les solutions pour les modes TM correspondent alors aux zéros de lafonction de Bessel de première espèce Jm(kr ) en r= a En r= a on a alors Jm (ka) = 0 et donc on trouve que :

avec xmn qui est le nième zéro de la fonction de Bessel de première espèced’ordre m

zzk-tj-m0z e mcos (kr)J E)(r,E

0)(a,Ez

a

xkk mn

TM



La composante Ez du mode TMmn s’écrit donc :


Pulsation de coupure, qui correspond à kz = 0, vaut :


a

x

εμ

1ω mn

0

c

2z

2

mn0

2 ka

xεμω

zzk-tj-mnm0z e mcos r)

a

x(J E)(r,E

220z ω..k c




Pour c, kz est purement réel. Le mode se propage.

On donne dans le tableau suivant les valeurs précises des n = 4, premières racines

xmn, de Jm, pour m≤0: 3

n 1 2 3 4m 0 2,405 5,520 8,654 11,7921 3,832 7,016 10,173 13,3242 5,136 8,417 11,620 14,7963 6,380 9,761 13,015 16,223

On notera que la plus faible racine vaut x01 = 2,405, ce qui fait que le mode TM01

possède la plus faible fréquence de coupure de tous les modes TM.


Guide cylindriqueÉtude des modes TM


; le vecteur



Où v0 est la vitesse de propagation dans un milieu illimité

2

20

0

2

20z

g

11

1

εμ

2

k

2

c

c

00 εμ

2

2

2

02

2

0

1

ω1v

ω1

.

1v ccz

z

k

k



En suivant la même démarche du guide rectangulaire, on trouve les expressionscomplètes des composantes des champs sont :

Jm’ désigne la dérivée

Remarquons que ces composantes ont : une variation radiale de type Bessel depremière espèce et une variation angulaire de type trigonométrique.

)sin()rk(JEr

m

k

jkE mnc,m02

mnc,

zΦ m

)cos(rkJ'Ek

jkE mnc,m0

mnc,

zr

m

)cos()rk('JEk

j-H mnc,m0

mnc,

m

)sin(rkJEr

m

k

j-H mnc,m02

mnc,r m

)cos(rkJEE mnc,m0z m


Guide cylindriqueÉtude des modes TM

Ces relations permettent de se faire une représentation schématique des lignes

de champ électrique pour les premiers modes TM.

Impédance de l ’onde TM:


0

2/12

20

02

2

0r

r

T

TTM Z

aεμ

11Z1Z

H

E

H

E

H

E Z

mncz xk


Guide cylindrique Étude des modes TE

Pour ces modes on a: Ez = 0 et Hz 0

La composante axiale du champ électrique Hz est donnée par:

avec H0=AC

Sur la surface du guide on a :

On peut montrer que:

Ce qui conduit à:

En r = a on a alors Jn’(ka)=0 et donc on trouve que :

zzk-tj-m0z e mcos (kr)J H)(r,H

0)(a,EΦ

r

H

k

jωE

20

Φ

zμ

a

xkk

'mn

TE

).cos(mkr)(Jr

Hk

jωE m02

0Φ

μ



avec x’m,n qui est le nième racine de la fonction de Bessel de première espècedérivée d’ordre m

La composante Hz du mode TEmn s’écrit donc :


Pulsation de coupure, qui correspond à kz = 0, vaut :


a

x

εμ

1ω

'nm

0

c

zzk-tj-'mn

m0z e mcos r)a

x(J H)(r,H

2z

2'mn

02 k

a

xεμω

220z ω..k c




Pour c, kz est purement réel. Le mode se propage.

On trouve dans le tableau suivant les premières valeurs de x′ mn

n 1 2 3 4m0 3,832 7,016 10,173 13,3241 1,841 5,331 8,536 11,706 2 3,054 6,076 9,969 13,1703 4,201 8,015 11,346 14,585

On note que le mode TE11, qui présente la plus basse fréquence de coupure (x’11

=1,841) de tous les modes TE ou TM, est le mode dominant. Pour les modes TM la

fréquence la plus basse est celle du mode TM01 ( x01 = 2,405)

Les valeurs de cette ligne (m=0) sont identiques à celle de la ligne m=1 des modes TM


Guide cylindriqueÉtude des modes TE


; le vecteur



Où v0 est la vitesse de propagation dans un milieu illimité

2

20

0

2

20z

g

11

1

εμ

2

k

2

c

c

00 εμ

2

2

2

02

2

0

1

ω1v

ω1

.

1v ccz

z

k

k



Impédance de l ’onde TE:


ZTE est appelé aussi l’impédance caractéristique de l ’onde TEmn.

De la même manière que le guide rectangulaire on a la propriété:

Plus a augmente plus ZTM augmente et plus ZTE diminue. Dans le cas

limite (a-->) ZTM et ZTE tendent vers Z0

0

2/12

mn2

00

2/1

2

2

00

r

r

T

T

TE Za

x'

εμ

11Z1Z

H

E

H

E

H

E Z

c

zk

20TETM ZZ Z impédance

Z0ZTM ZTE



Remarques :

o Les valeurs des constantes de propagation sont différentes pour les modes TEmn et TMmn et donc leurs fréquences de coupures sont différentes ainsi que leurs caractéristiques de dispersion. Les modes TEm,n sont en général non dégénérés sauf dans le cas où x’0n = x 1n (les modes TE0n et TM1n sont dégénérés)

o Si m 0 alors x’mn < x mn Les modes TE apparaissent alors plus tôt (fréquence plus basse) que les modes TM et ils ont des caractéristiques de propagation différentes.



Les expressions complètes des composantes des champs sont :

Remarquons que ces composantes ont : une variation radiale de type Bessel de première espèce et une variation angulaire de type trigonométrique.

Jm’ désigne la dérivée

Ces relations permettent de se faire une représentation schématique des lignesde champ électrique pour les premiers modes TE

)cos(rkJHH 'mnc,m0z m

)sin()rk(JHr

m

k

jk-H '

mnc,m02mnc,

'

zΦ m

)cos(rkJ'Hk

jkH '

mnc,m0'mnc,

zr

m

)cos()rk('JHk

jE '

mnc,m0'mnc,

0 m

)sin(rkJHr

m

k

jE '

mnc,m02mnc,

'

0r m



La répartition des lignes du champ électrique transverse des modes TE11, TE01 etTE21 est indiquée sur les figures suivantes :

Le mode dominant TE11 présente une répartition des lignes de champ électrique qui rappelle celle du mode TE10 du guide rectangulaire. Pour cette raison, il est courant d’exciter ce mode du guide cylindrique à partir d’un guiderectangulairePour le TE01 (m = 0), le champ est indépendant de . Pour les autres modes, lapériodicité est égale à π/m.


Guide cylindriqueMode dominant TE11

Expressions et répartition des champs : Les composantes des champs du mode TE11 dans l’air (εr = 1), sont données

pourm = 1, n = 1 et x'11 =1,841:

)cos(ra

1,841JHH 10z

e)cos()r

a

1,841('J

a

1,842e)sin(r

a

1,841J

r

1H

1,841

ak j-E 1r102

2z0

TE

Φ1r102

2z

TE e)sin()ra

1,841(J

r

1)cos(r

a

1,841J'

a

1,841H

1,841

ajkH

e


Guide cylindriqueMode dominant TE11

Lignes de champ du mode TE11


Guides d’ondePertes dans un guide

Jusqu’as présent, nous avons supposés des guide sans pertes. En effet un guide

réel présente des pertes qui ont deux origines:

o Pertes électriques au niveau des parois qui ne sont pas parfaitement conductrices

o Pertes diélectriques au niveau du milieu remplissant le guide. Il en résulte une atténuation supposée exponentielles des ondes qui sepropagent:

Où P(0) étant la puissance transmise par la source à l’entrée du guide et est le

cœfficient d’amortissement linéique.

))(2exp().0(P)(P zz


Guides d’ondePertes dans un guide

Le plus souvent, on évalue l’atténuation par: en dB/m

Dans le cas typique où =5.10-3, à 100 MHz, l’atténuation vaut 0,043 dB/m

))(P

)0(Plg(

10A

zz

)( 696,8).(.2.3,2

10)

)(P

)0(Pln(

.3,2

10A z

zzz


Cavité résonanteCas du guide rectangulaire

En hyperfréquence, la cavité résonante peut être utilisée dans de nombreusesapplications: filtrage, mesure des fréquences des OEM, stabilisation desoscillateurs, chauffage (fours micro-onde)Une cavité résonance rectangulaire ou cylindrique est obtenue à partir d’unguide d’ondes délimité par des parois parfaitement conductrices (cas du guiderectangulaire figure ci-dessous). L’addition des parois aux extrémités (en z=0 etz=d introduit) la réflexion de l’OEM dans la direction z.

Cas des modes TM pour un guide rectangulaire La composante Ex est donnée par:

Où le terme en -kzz (resp. kzz ) est l’onde incidente

(resp. réfléchit) d’amplitude complexe A+

(resp. d’amplitude complexe A-)

zjk-

zjk-02

y2x

zxx

zz eAeA)b

yn)sin(

a

xmcos(E

kk

k.jkE



La condition aux limites Ex(z=0)=0 impose A+=-A-, soit:

La condition aux limites Ex(z=d)= 0 conduit à:

Ce qui conduit à:

Dans la cavité résonante les modes TM sont donc caractérisés par les entiers m, n et p (TM mnp)

Remarque: p peut prendre la valeur 0 (Ez 0); le mode TM nm0 est autoriséLa relation de dispersion pour une cavité résonante devient:

0d)ksin()b

yn)sin(

a

xmcos(EA2

kk

k.k-E z02

y2x

zxx

)0,1,2,....(p d

pΠk pΠdk zz

z)ksin()b

yn)sin(

a

xmcos(EA2

kk

k.k-E z02

y2x

zxx

2222

0 d

p

b

n

a

mωεμ



Remarque: dans le cas des modes TE on obtient la même équation dedispersion que celle des modes TM

Pour un choix donnée de n, m et p on a une seule valeur de qui satisfait larelation de dispersion ci-dessus. C’est la pulsation de résonance de la cavité et

àcette pulsation seulement qu’on a des oscillations libres des champs E et B(interférences constructifs). Pour une pulsation différente à la pulsation derésonance les champs E et B interfèrent destructivement. La pulsation derésonance est donnée par:

Remarque: Le même résultats peut être obtenu par l’analyse des modes TE.

Maisle mode le mode TE nm0 n’est pas autorisé

222

0mnp d

p

b

n

a

m

εμ

1ω



Exemple 1:Pour a>b>d, la pulsation la plus faible des modes TE est celle du mode TE101. Elleest donnée par :

La représentation schématique des champs est donnée ci-dessous:

On remarque que:Ey0,Hz 0, Hx 0,

Ez=Hy=0

Configuration des champs dans une cavité, attaquée par une onde TE10

22

0101 daεμ

1ω

yx

z



Exemple 2:Pour a>b>d, la pulsation la plus faible est celle du mode TM110. Dans ce cas on a:

et Ez 0,Hx 0, Hy 0, Ex=Ey=0

La représentation schématique des champs est donnée ci-dessous:

22

0110 baεμ

1ω



La décomposition de ces champs est montrée ci-dessous.

Pour a = 2 cm, b=1 cm et d=0,5 cm , le mode résonnant TM110 est égale:

Hz 5210

10.3

)10(4

510.32

2

8

22

28

110

f

GHz 8,16110 f



L’antenne patch peut être assimilée à une cavité résonnante rectangulaire. Cescavités fonctionnent sur des modes TMmnp (p=0 pour une hauteur de substrat

diélectrique négligeable devant la longueur d’onde λ). Pour le mode TM110 on a:

et Ez 0,Hx 0, Hy 0, Ex=Ey=0

Avec c la célérité de la lumière dans le vide et r le permittivité relative du

substrat diélectrique

h

substrat diélectrique

plan métallique

couche rayonnante

Figure schématique

d’une antenne imprimée

avec couche rayonnante

rectangulaire

22

r110 baε

ω

c

yx

z


Cavité résonanteCas du guide cylindrique

On peut montrer que la pulsation de résonance est donnée par:

Pour les modes TM

Pour les modes TE

Le mode dominant pour les modes TM est TM110

Le mode dominant pour les modes TE est TE111

22mn

0mnp d

p

a

x

εμ

1ω

a

z

d22

mn

0mnp d

p

a

x'

εμ

1ω


Fentes rayonnantesLe prélèvement d ’une partie du signal des guides d’ondes présentent despetites ouvertures sur les parois

Illustration du champs électrique équivalentau niveau de l ’ouverture d ’un guide d ’ondespour un champ électrique normale à la paroi

Le champ électrique envoyé par l ’ouverture est équivalent à celui d ’un dipôle

électrique Pe normale à la paroi (sans ouverture).

E


Fentes rayonnantes

Illustration du champs magnétique équivalentau niveau de l ’ouverture d ’un guide d ’ondespour un champ magnétique tangentiel à la paroi

Le champ magnétique envoyé par l ’ouverture est équivalent à celui d ’undipôle magnétique Pm tangentiel à la paroi (sans ouverture).

B

Date post:	14-Jun-2015
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Hyperfr Chap.1

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