I gir : 4/4
Inversion en i C = CCO ,r ),Iar
,er
s.a.
P' = Ior ( P ) er punhtetpaopS -
Ce.
Op . Op'
= r2-
o
Kryssforholdet yfire alike punht .
Gilt A ,B ,P og Q ,
sie et kryssforholdet
[ AB ,PQ ] =
ftp.BQAQ. BP Q p
O0
IT•
A BTeoreem 10.7.19Person OF A ,B ,
Peller Q,sci
bearer Io ,r kryssforhoklet I
[ AB, PQ ] = [ A' B '
,P' Q' J
Bevis : hes pie eager hand.
Kap .
11 Modeller- En modell i Euklidsh geometrid( kartesishe planet )
- l hyper bolster geo .:
° Poincare disk eno - l l - halo planet° Beltrami - Klein modeller
Modellene wiser at EPPog MPP
er uaerhengig ceo aksiomene E
noytral geo metre.
↳ehsistensen ao
En modell sier at system et er
uonsistent ( ingen logistic motsigelserKan utledes free det aksiomatishe
system et ) .
Desson Iet eksi steerer modeller
for mengdelcere ,SE eksisterer det
modeller for Euklidsk geometric , Ogfcdgelig for hyperbola geo .
Geidel : Mengele here lean ihke brakes tilavise at mengdekeoe er consistent
.
I '.I Den Uartesishe modellers
Tolkning-
Punkt - et ordnet par aoreelle tall ( x. y )
hinge - la a,b
,c EIR
, og ihkebcide
a -
- O,b - O
,da er
l = { ( x , y ) I axtbyt c. = O }Austand - A = ( x , , bi ) ,
B = ( Xz , ye ) ,
AB = ( ( x ,- xz5t ( y ,
- yay ) " 2
Halo plan - H,
= { ( x , g) I axtbytc > o }Hz = { ( x
, y ) I axtbytc so }H
,O Hz U l = Rx IR ( =p )
vinkelmal - Vi broker calculus
arctan x=foE at
y = Mix t bi Huis m, .mz= - l er
y = mzxtbz lingerie nor malt piehoerandre
.
Ellers,Sao her den mins 're uinkelep
mellon liniene mail
x -
- 18¥ tartan CTtm?mT ) )T
l, m
,= tan 2
,
Mz = - tan Xz
a = a, taz
lz
Her holder EPP :
Har x - c,
eller - Parcell elle huis
y =m× + bbesse er certitude
- paralleled huis lingeriehas Sammi strgningstall
11.2 Poincare disk en
Anta eksistensen ao en Euklidskmodell
.V8 bygger Poincare disher
" innit '
den Euklidske modeller.
-
-
--
-
,
iink: Feet :*:asE8inuiinni 8
.
| €. -
--
linie - open diameters; Hrsirkelbuen
som er normal til H.
Halo plan : snitt ow det Euklidshe halo planeti tilfelle listen er en diameter
,Tellersnihtet our det indrelytre med insideau p med det indue ao w sese
.
Vinkelmal : som for Sirk ler i delkap 10.7med tangent Strater
.
p se
¥÷!÷ oaa.
."
Rostand ; •
Q
c
d ( A. B) =/ In ( CAB , PQT) /
a- B. Pas -
-
aa¥?
' TO
i
11. 3
Beltrami - Klein
④'einnieeuainasuddnioesaoomer inn i 8
.
Aust and folkes indi relate
oed E nappe toolPoincare - disk en
.
Mapping freeH ( Beltrami -
Klein diskea)til Rz ( Poincare -
disk en )Figler fraVenema 2011
S.297