日常の中の数学（１）

A4用紙は何回折っても縦横比が変わらない

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日常の中の数学（１）： 用紙は何回折っても縦横比が変わらないA4 1

日常の中の数学（１）A4用紙は何回折っても縦横比が変わらない

17．コンピュータは2進数18．時間は60進法？19. 古代バビロニアでは60進法を使っていた20．ローマ数字は知っていますか？21．Ａ４用紙やＢ４用紙のサイズ義22．Ａ４用紙やＢ４用紙の縦横比23．Ａ版用紙のサイズ24．B版用紙のサイズ25. 白銀比26．黄金比27～28．黄金比とフィボナッチ数列（１）～(2)29．黄金比、白銀比、青銅比

日常の中の数学（１）： 用紙は何回折っても縦横比が変わらないA4 2

1．学校で学んだ数学を日常生活の中で使ったことがありますか？2．日常の中の数学（中学～高校で学ぶこと)3．ネズミ講4．等比数列5．等比数列の一般項と和6～11．集合を使う（１）～(6)

12．地震の強さ マグニチュードって？13．対数14～15．対数はあちこちで使われている（１）～(2)16．アラビア数字は10進数、コンピュータは2進数、

時間は60進法？ ローマ数字は？

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学校で学んだ数学を日常生活の中で使ったことがありますか？

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もしかしたら、

「微分積分や対数や数列や三角関数や数学的帰納法

といった数学を日常生活の中で使うことなんてない」

と思っていませんでしたか？

いいえ、そんなことはありません！

どんなところでどんな数学を

使っているか考えてみましょう。

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日常の中の数学（中学～高校で学ぶこと）

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ネズミ講、幸福の手紙、複利計算 → 等比数列、等比級数 名刺やＡ４用紙の縦横比（Ａ４用紙は折っても折っても縦横比が変わらない）

→ √2，黄金比、フィボナッチ数列 音の高低を表すデシベル、地震の強さを表すマグニチュード → 対数

気温と桜の開花日、距離と速度とかかった時間、投げ上げたボールの描く軌跡、人工衛星の軌道 → 関数

時計、コンピュータ → 12進数、60進数、2進数 (8進数、16進数) 木の高さを測る → 三角関数 宝くじ、賭け → 確率 1+3=4, 1+3+5=9, 1+3+5+7=16，・・・，1+3+･･･(2n-1)=? → 数学的帰納法 円の面積、球の体積 → 積分

男生徒と女生徒の人数・メガネを掛けている生徒の数・メガネを掛けていない男生徒の数からメガネをしている女生徒の人数を知る → 集合

「ＡならばＢである」ことと「ＢでないならばＡでもない」こととは同じこと → 命題と論理

ネズミ講

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ねずみ講（ネズミ講：ネズミこう）「ある人が何人かの人を誘い、それらの人たちがまた何人かの人たちを誘う」ということが連鎖式に繰り返される組織のこと金儲けが目的のことがほとんどなので連鎖配当組織ともいう

ネズミ講の「ネズミ」はねずみ算式に増幅することの例えねずみ算とは、和算の計算問題の一つ正月に雌雄2匹のネズミが12匹の子を産み、2月にはその親子のネズミ７番(つがい)がそれぞれ12匹の子を産み、毎月このようにネズミが増えていくと12ケ月後には何匹になるかという問題で、2×712 すなわち 276億8257万4402匹になる。急激に増えていくことの例えに使われる

講は、本来は仏教の講話を聞くために集る人々の集会を意味したが，やがて信仰とは無関係の同志的結社をも意味するようになった。悪い意味はない

等比数列

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正月に雌雄2匹のネズミが12匹の子を産み、2月にはその親子のネズミ７番(つがい)がそれぞれ12匹の子を産み、毎月このようにネズミが増えていくと12ケ月後には何匹になるかという問題で、2×712 すなわち 276億8257万4402匹になる。

このねずみ算は初項が 2、公比が7の等比数列になっている12月のネズミの数は、この等比数列の第13項（初項は最初のつがいの2匹のみ）

数列とは、数を並べた

𝑎𝑎1,𝑎𝑎2, … ,𝑎𝑎𝑎𝑎

のことで、𝑎𝑎1 を初項といい、𝑎𝑎2,𝑎𝑎3, . . をそれぞれ第2項、第3項、・・・という第 𝑘𝑘項 𝑎𝑎𝑘𝑘 （𝑘𝑘 = 2, … ,𝑎𝑎）のどれもが直前の項 𝑎𝑎𝑘𝑘 − 1 の𝑟𝑟倍になっているとき、

ｒ を公比といい、この数列を等比数列という

等比数列の一般項と和

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等比数列の初項 𝑎𝑎1 から第𝑎𝑎項までの和は

𝑆𝑆 = 𝑎𝑎1 + ・・・ + 𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑎𝑎1(1−𝑟𝑟𝑟𝑟)1−𝑟𝑟

である。その理由は、𝑆𝑆 = 𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + ・・・ + 𝑎𝑎𝑎𝑎 ①𝑟𝑟𝑆𝑆 = 𝑟𝑟𝑎𝑎1 + 𝑟𝑟𝑎𝑎2 + ・・・ + 𝑟𝑟𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎3 + ・・・ + 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 1 ②

なので、①−②は(1 − 𝑟𝑟)𝑆𝑆 = 𝑎𝑎1 − 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 1

であるが、𝑎𝑎𝑎𝑎 + 1 = 𝑎𝑎1𝑟𝑟𝑎𝑎 なので𝑆𝑆 = 𝑎𝑎1(1 − 𝑟𝑟𝑎𝑎)/(1 − 𝑟𝑟)

である。

ねずみ算の答は 𝑎𝑎1 = 2, 𝑟𝑟 = 7 の場合の第13項 𝑎𝑎13 なので、𝑎𝑎13 = 2 × 712 = 27 682 574 402

集合を使う（１）

2で割り切れるもの2, 4, 6, …, 10000

10000÷2=5000 個

3で割り切れるもの3, 6, 9, …, 9999

10000÷3=3333 個

１～10000 の中で、2, 3, 5 のどれかで割り切れるものは何個あるか？

2でも3でも割り切れるもの6, 12, 18, …, 9996

10000÷6=1666 個

2×3

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集合を使う（２）

2で割り切れるもの2, 4, 6, …, 10000

5000 個

3で割り切れるもの3, 6, 9, …, 9999

3333 個

5で割り切れるもの5, 10, 15, …, 10000

10000÷5=2000 個

１～10000 の中で、2, 3, 5 のどれかで割り切れるものは何個あるか？

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集合を使う（３）

2で割り切れるもの2, 4, 6, …, 10000

5000 個

3で割り切れるもの3, 6, 9, …, 9999

3333 個

5で割り切れるもの5, 10, 15, …, 10000

2000 個

１～10000 の中で、2, 3, 5 のどれかで割り切れるものは何個あるか？

2でも5でも割り切れるもの10, 20, 30, …, 10000

10000÷10=1000 個

2×5

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集合を使う（４）

2で割り切れるもの2, 4, 6, …, 10000

5000 個

3で割り切れるもの3, 6, 9, …, 9999

3333 個

5で割り切れるもの5, 10, 15, …, 10000

2000 個

１～10000 の中で、2, 3, 5 のどれかで割り切れるものは何個あるか？

3でも5でも割り切れるもの15, 30, 45, …, 9990

10000/15=666 個

3×5

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集合を使う（５）

2で割り切れるもの2, 4, 6, …, 10000

5000 個

3で割り切れるもの3, 6, 9, …, 9999

3333 個

5で割り切れるもの5, 10, 15, …, 10000

2000 個

１～10000 の中で、2, 3, 5 のどれかで割り切れるものは何個あるか？

2でも3でも5でも割り切れるもの30, 60, 90, …, 9990

10000/30=333 個

2×3×5

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集合を使う（６）

5000

2000

１～10000 の中で、2, 3, 5 のどれかで割り切れるものは何個あるか？

333

3333

666

1666

1000

5000 + 3333 + 2000 – 1666 – 1000 – 666 + 333 = 7334

重複して数えている部分を引く

333は2回余分に数えているので2回引けば十分なのにここで3回も引いているので、引きすぎた1回分を戻す

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地震の強さ マグニチュードって？

地震のマグニチュード (magnitude) 地震が発するエネルギーの大きさを対数で表したもの揺れの大きさを表す震度とは異なる

マグニチュード 𝑀𝑀 と地震のエネルギーの大きさ 𝐸𝐸 の関係log10𝐸𝐸 = 4.8 + 1.5𝑀𝑀 （𝐸𝐸 の単位はジュール）

𝑀𝑀 が 1 大きくなると log10 𝐸𝐸 が 1.5 増加する

→ エネルギーは約32倍になるM が 2 大きくなるとエネルギーは1000倍になる・・・

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対数とは𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑎𝑎であることを

𝑎𝑎 = log𝑎𝑎𝑦𝑦と書き、log のことを対数という（log は logarithm を記号化したもの）

例：𝑎𝑎 = 2 のとき

𝑎𝑎 1 2 3 4 ・・・ 10 ・・・𝑦𝑦 2 4 8 16 ・・・ 1024 ・・・

つまり、𝑦𝑦 は倍々に増える（一般に、𝑎𝑎倍𝑎𝑎倍と増える）

対数の基本的性質の1つlog𝑎𝑎𝑀𝑀𝑀𝑀 = log𝑎𝑎𝑀𝑀 + log𝑎𝑎𝑀𝑀→ 積が和に変わる→ 大きい変化を小さい変化で表すことができる

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対数はあちこちで使われている（１）

人間の感覚は対数的であるらしい・・・つねるのを2倍、4倍、8倍、・・・にしても感じる痛さは倍、2倍、3倍、・・・？

対数が使われている例：

音の大きさを表す db（デジベル）星の明るさを表す 等星酸性・アルカリ性の度合いを表す pH（ペーハー）音を音高により昇順に並べた 音階（ドレミ・・・）

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対数はあちこちで使われている（２）

星の明るさを表す 〇等星

以前は肉眼で見える星を6つのランクに分けていたそれが1等星から6等星

今でもその慣例に従っている1等星は6等星の100倍明るいということを基準に等級が決められている1等級違うと明るさは約2.5倍違う

1等星以上に明るい星は0等星、－1等星、－2等星… という

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アラビア数字は10進数、コンピュータは2進数、時間は60進法？ ローマ数字は？

𝑎𝑎 進数とは数の表現方法の一種予め定められた 𝑎𝑎 種類の記号（数字）を並べることによって数を表す方法

位取り記数法ともいう（位取りとは桁のこと）𝑎𝑎 進法で表した数のことを 𝑎𝑎 進数という

現在、最も広く使われているのは10進法記号(数字)として 0, 1, 2, … , 9 （アラビア数字）を使う0～9 が 𝑎𝑎𝑎𝑎・・・𝑎𝑎2𝑎𝑎1𝑎𝑎0 と並べられていると

数 𝑎𝑎0 + 𝑎𝑎1 × 10 + 𝑎𝑎2 × 100 + ・・・ + 𝑎𝑎𝑎𝑎 × 10𝑎𝑎 を表す

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コンピュータは２進数２進数

記号(数字)として 0 と 1 だけを使う例： 10110 は

0 × 20 + 1 × 21 + 1 × 22 + 0 × 23 + 1 × 24 を表す

コンピュータの内部（メモリや演算装置など）は2進数を基本にして作られている2進数の1桁をビットという

3ビットをひとまとめにすると0～7で表すことができる → 8進数

2進数 110010011000111 → 8進数 62307

4ビットをひとまとめにすると0～15で表すことができる → 16進数

2進数 1100100110001111 → 16進数 c94f

記号 0～9 以外に a(=10), b(=11), c(=12), d(=13), e(=14), f(=15) を使う

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時間は60進法？

60？＝１秒 ？に相当する単位はない60秒＝１分60分＝1時間60時間＝１?? ?? に相当する単位はない

また、1時間2分3秒を 1.23時間 とは書かない（書くと違う意味になる）1h 2m 3s (h=hour, m=minute, s=second) とか 1°2’3’’ とは書く

角度も1°2’3’’ （1度2分3秒と読む）

のように表す

これらは、厳密に言うと60進法とは言えないが、60進法と言えなくもない

厳密にには60進法とはいえない理由

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古代バビロニアでは60進法を使っていた

B.C.3000年～2000年頃、シュメールやその後を継いだバビロニアでは、60進法が使われていた。60進法では60種類の数字(記号）を必要とするが、実際には各桁を２つに分けて表した。ただし、0 を表す記号はなかった（右図はウィキペディアから引用：

https://ja.wikipedia.org/wiki/六十進法）

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ローマ数字は知っていますか？

i, ii, iii, iv, v, vi, vii, viii （または iix）, ix, x, xi, xii, xiii, xiv, xv, xvi ,…

と表す記数法

意外に新しく、成立したのはヴィクトリア朝（1837～1901年）

基本の数はローマ数字 I V X L C D Mアラビア数字 1 5 10 50 100 500 1000

これらの数を、できるだけ使う文字数が少なくなるように選び、左から大きい順に並べて書くそれらの数の和が表す値であるただし、小さい数を大きい数の左に書くこともあり、この場合、右から左を減ずることを意味する

例：I III V VIII IX XXXVII XL LXXII XXC CCCLI DC DCCCXXCVIII CM MMDC MMMIII1 3 5 8 9 37 40 72 80 351 600 888 900 2400 3003

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Ａ４用紙やＢ４用紙のサイズ

何度折っても縦横の比が変わらない

ここ（真ん中）で折る

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Ａ４用紙やＢ４用紙の縦横比

2 （２の平方根）

a

𝑏𝑏

𝑎𝑎 ∶ 2𝑏𝑏

𝑏𝑏 ∶ 𝑎𝑎

𝑎𝑎 ∶ 2𝑏𝑏 = 𝑏𝑏 ∶ 𝑎𝑎

比 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎/𝑏𝑏は𝑎𝑎2 = 2

を満たす

∴ 𝑎𝑎2 = 2𝑏𝑏2

∴ 𝑎𝑎 = 2

つまり、縦と横の比は 1 : 1.414213・・・

𝑏𝑏

真ん中で折る

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Ａ版用紙のサイズ

• 19世紀末、ドイツの物理学者オズワルドによって提案された

• 面積が1m2の「縦横比が 1 ： 2の長方形」を A0 とする

• A0 841mm ×1189mm• A0 を半分に折ると A1 594mm × 841mm• A1 を半分に折ると A2 420mm × 594mm• A2 を半分に折ると A3 297mm × 420mm• A3 を半分に折ると A4 210mm × 297mm• A4 を半分に折ると A5 148mm × 210mm

𝒂𝒂

𝒂𝒂

𝟐𝟐𝒂𝒂

2𝒂𝒂A0 の縦横の長さ

𝒂𝒂 × 2 𝒂𝒂 = 100 × 100 (cm2)

∴𝑎𝑎 = 100/ 2 = 84.089649・・・ (cm)

2𝑎𝑎 = 118.9207・・・ (cm)

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Ｂ版用紙のサイズ

• 日本独自の規格

• 面積が1.5m2の「縦横比が 1 ： 2の長方形」を B0 とする。

• B0 1030mm ×1456mm• B0 を半分に折ると B1 728mm ×1030mm• B1 を半分に折ると B2 515mm ×728mm• B2 を半分に折ると B3 364mm ×515mm• B3 を半分に折ると B4 257mm ×364mm• B4 を半分に折ると B5 182mm ×257mm

𝒃𝒃

𝒃𝒃

𝟐𝟐 𝒃𝒃

𝟐𝟐𝒃𝒃

B0 の縦横の長さ

𝒃𝒃 × 𝟐𝟐 𝒃𝒃 = 1.5 × 100 × 100 (cm2)

∴ 𝑏𝑏≒ 103.0 (cm)

𝟐𝟐𝑏𝑏 ≒ 145.7 (cm)

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白銀比

「縦横比が 1 ： 2の長方形」この比を白銀比といい、古来より美しい比の形として好まれてきた

𝟏𝟏

𝟏𝟏

𝟐𝟐

𝟐𝟐

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日本古来の建築物（法隆寺など）、風呂敷、

浮世絵などにも白銀比が見られ、「大和比」とも呼ばれている

人気キャラクターには白銀比キャラが多いといわれている

黄金比縦横の均整がとれた長方形の縦と横の比は？

55mm

91mm

横 ： 縦 ＝ 55 ： 91＝ 1 ： 1.6545・・・≒ 1 ： 1.618・・・＝ 1 ： 1+√5

黄金比黄金のように美しい比率！？

名刺のサイズ

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黄金比とフィボナッチ数列（１）

a

a

b

(a+b) : a

a : b

(a+b) : a = a : b

比 x = a/b はx2 - x - 1 = 0

を満たす

∴ a2 = b(a+b)

∴ x = (1+√5) / 2 = 1.618・・・∴ a = (1.681・・・)×b

つまり、縦と横の比はa : b = (1.618・・・) : 1

a

と が相似になるには？

ここで折る

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このfn+1＝fn-1 + fn

がフィボナッチ数列で、f1=f2=1とすると

1 1+√5 n√5 2

黄金比とフィボナッチ数列（２）

a

a

b

(a+b) : a

a : b

(a+b) : a = a : bは横→縦 = 横 → 縦b → a = a → a+bと順に変わる。

b → a = a → a+bはb=fn-1 → a=fn → a+b=fn+1＝fn-1+fnと見ることができる。

fn =

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黄金比、白銀比、青銅比

𝑏𝑏

𝑎𝑎

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青銅比とは、長方形の縦横の比が

𝑎𝑎: 𝑏𝑏 = 1: (3 + √13)/2 = 3.303 …であるような比率のこと

白銀比は 𝑎𝑎: 𝑏𝑏 = 1:√2 = 1.414 … で、日本に多い：A判やB版の用紙、風呂敷、法隆寺、スカイツリー、ドラえもんなどのキャラクター

黄金比は 𝑎𝑎: 𝑏𝑏 = 1: (1 + √5)/2 = 1.618 … で、西洋に多い：ピラミッド、ミロのヴィーナス、パルテノン神殿、パスポートなど