Identification and adaptive tracking control for continuous chaotic system with unknown parameters

- 261 -

http://www.sj-ce.org/

Scientific Journal of Control Engineering August 2013, Volume 3, Issue 4, PP.261-270

Identification and Adaptive Tracking Control for

Continuous Chaotic System with Unknown

Parameters Fangfang Zhang †, Shutang Liu, Weiyong Yu

College of Control Science and Engineering, Shandong University, Jinan 250061, China

†Email: [email protected]

Abstract

In this paper, an adaptive tracking control scheme and parameter adaptive laws have been introduced for continuous chaotic

systems with unknown parameters using nonlinear feedback and speed-gradient algorithm, and further the controlled chaotic

system has the capability to track any arbitrary given smooth reference signal. The asymptotic stability is confirmed and the

condition of identifying unknown parameters is given. The schemes are characterized by simplicity, wide application and have the

extension to generalized projective synchronization and other nonlinear systems, as well as rapid convergence speed and desirable

anti-interference performance have been validated by means of the results of numerical simulation on Lorenz as an example.

Keywords: Chaotic System; Speed-gradient Algorithm; Tracking Control; Parameter Identification

参数未知的连续混沌系统的自适应追踪控制与参

数辨识*

张芳芳，刘树堂，余卫勇

山东大学控制科学与工程学院，山东济南 250061

摘要：针对参数未知的连续混沌系统，结合速度梯度法和非线性函数控制，设计了自适应追踪控制器和参数自适应控

制律，实现了将混沌系统控制到任意给定的光滑目标，证明了其渐近稳定性，并给出了参数辨识的条件。该方法原理简

单，适用范围宽，能推广到广义投影同步和其他非线性系统; 收敛速度快，通用性强，抗干扰性好。以 Lorenz 混沌系统

为例进行数值仿真，结果验证了该方法的有效性。

关键词：混沌系统；速度梯度法；追踪控制；参数辨识

引言

自从 Ott，Grebogi，and Yorke [1] 在 1990 年首次提出混沌控制，混沌控制一直受到人们关注，并产生了

许多方法[2-4]，如反馈控制[5-6]，脉冲控制[7]，back-stepping 方法[8]，自适应方法[9-13]，神经网络控制[14-15]和模糊

控制[16-18]等等。然而，由于混沌系统的复杂性，混沌控制尚没形成一种统一理论，大多数方法仅仅实现了混

沌系统的不动点控制和自同步控制，实现任意参考信号追踪控制的文献[19-26]相对较少。如李丽香等[19] 实现了

Hénon 混沌系统对参考信号的追踪控制与同步；文献[20]实现了 Rössler 系统对任意给定参考信号的追踪。文

献[21]实现了 Chen 混沌系统的自适应追踪控制；文献[22]实现了复杂 Dynamos 混沌系统的状态向量追踪给定

的不同参考信号；文献[23]实现了分数阶超混沌 Lü 系统的全部状态向量与任意参考信号的追踪控制；文献

*基金资助：受国家自然科学基金项目(批准号：61273088, 10971120, 61001099)和山东省自然科学基金项目(批准号：ZR 2010

FM010)支持资助。

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[24]实现了分数阶超混沌系统的异结构自适应同步；文献[25]实现了分数阶超混沌 Lorenz 系统同给定信号的

追踪控制与同步。但上述控制器仅针对具体的混沌系统，不具有普适性。文献[26]实现了一类无干扰的连续

混沌系统的追踪控制与参数辨识，但是它没有给出误差反馈项系数的选择方法，无法达到最优收敛效果，鲁

棒性差。

最近，Huang 在他的文章[9,13,27-29]提出了一个简单的自适应反馈控制，能实现混沌系统的自同步和不

动点控制，但该方法需要满足全局 Lipchitz 条件[11]。Wei Lin[11]将其推广到仅满足局部 Lipchitz 条件的系统。

该方法实质是速度梯度法。速度梯度法与最速下降法（梯度法）类似，不同之处在于其相关参数变化与误差

准函数的导数的负梯度方向一致，适用于微分方程描述的连续系统的自适应控制。早在 1996年，Alexander L

Fradkov 在文献[30]中就提出将速度梯度法用于连续混沌系统的自同步控制和参数辨识，但是并没有将其推广

到追踪控制，而且没有给出控制器的具体形式。

基于上述讨论，本文将速度梯度法和非线性函数控制结合起来，针对连续混沌系统给出了具体的参考信

号跟踪自适应控制器，验证了该控制器的渐近稳定性，并给出了参数收敛到真值的条件。

1 控制方案及稳定性分析

1.1 问题描述

考虑 n 维连续混沌系统

1

( , , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ), 1,2, ,im

i i i i i i ij ij i i

j

x f x t u d x t h x t p x t u d x t i n

(1)

其中，系统状态 T

1 2 ( , , , ) n

nx x x x R ，控制器输出 T

1 2( ) n

nu u , u , , u R ， ( )if ， ( )ih 和 ( )ip 是光滑

函数。未知参数 1 2( , , , ) i

i

m

i i i im R ，im 是第 i 个方程中未知参数的个数。 ( )id 是系统可被测量或用

其他方法推导的系统补偿如模型补偿或控制补偿，或粗略估计的系统干扰，以更好地满足实际需要。

定义 1：向量函数 : n nR R R ， 1 2( , ) ( ( , ), ( , ), , ( , ))nx t x t x t x t ，若每个点 nx S R 都有一个邻

域 0S ，具有相同的 Lipchitz 常数 0l ，使得 ( , )x t 在 0 [ , ]S a b 内满足

0( , ) ( , )x t y t l x y ， 0,x y S ， (2)

则称函数 ( , )x t 在 [ , ] nS a b R R 内对于 x是局部 Lipchitz 的；如果对每个紧区间 0[ , ] [ , ]a b t ， ( , )x t

在 [ , ]S a b 内对于 x是局部 Lipchitz 的，则称向量函数 ( , )x t 在 0[ , ]S t 内对于 x是局部 Lipchitz 的。

假设向量函数 1 2( , ) ( ( , ), ( , ), , ( , ))nf x t f x t f x t f x t 和向量函数 1 2( , ) ( ( , ), ( , ), , ( , ))nd x t d x t d x t d x t 在其定

义域 [0, ] nW R R 上对 x是局部 Lipchitz的。大多数常见混沌系统和超混沌系统都满足该条件。

设 T

1 2( , , , ) n

nr r r r R 是任意给定的 n 维光滑有界的参考信号或驱动信号，且满足

( , )r g r t (3)

其中， 1 2( , ) ( ( , ), ( , ), , ( , ))ng r t g r t g r t g r t 是 n 维连续可微非线性向量函数，在其定义域 [0, ]gW

nR R 对于 r 是局部 Lipchitz 的。

本文旨在设计自适应追踪控制器和参数自适应律，使带有未知参数的连续混沌系统(1)能够渐近稳定地

跟踪任意给定的有界参考信号(3)。严格来说，即将系统(3)作为驱动系统，系统(1)作为响应系统，实现系统

(1)和系统(3)的完全同步，即 lim ( ) ( ) 0t

x t r t

。

1.2 控制器设计过程

自适应追踪控制器的设计分为三步。首先，主控制律是含有未知参数的非线性反馈，但它不能保证控

制器的收敛性；第二步利用估计参数取代未知参数，并根据速度梯度法得到的自适应律更新估计参数；第

三步增加自适应误差反馈来保证整个控制器的收敛性和鲁棒性。具体设计过程如下：

第一步：设计非线性反馈为

- 263 -


( ) ( , ) ( , , ) ( , )if i i i iu t g x t f r t d r t ， (4)

第二步：将估计参数取代未知参数，可得

ˆ( ) ( , ) ( , , ) ( , )if i i i iu t g x t f r t d r t ， (5)

其中 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ( , , , )

ii i i im 是真值i 的估计值。

为了输出参考信号，定义误差准则函数为

2

1 1

1( , ) ( )

2

n n

i i i

i i

Q x t Q x r

. (6)

它的导数为

1

1 1

( )( )

ˆ( )( ( , , ) ( , ) ( ( , ) ( , )) ( , ) ( , ) ( , )).

i

n

i i i i

i

mn

i i i i i i ij ij i i i

i j

Q x r x r

x r f x t g x t h r t p r t d r t d x t g r t

(7)

根据速度梯度法， îj 沿着Q 下降的方向迭代，因此可得到自适应律

ˆˆ ( ) ( , )

ijij ij ij i i ijQ x r p r t

， 1, 2, ,i n ， 1, 2, , ij m ， (8)

其中 ij 是正常数。

第三步：令同步误差i i ie x r ，增加自适应误差反馈

( )ie i iu t e ， (9)

其中1 2( ) diag( ( ), ( ), , ( ))nt t t t ε 是控制强度矩阵。同样利用速度梯度法，可知

2

ii i i iQ e ， (10)

其中 i 是正常数。

1.3 控制器稳定性分析

定理 1：对系统(1)，施加如下控制

ˆ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , , ) ( , )i ie if i i i i i iu t u t u t ε e g x t f r t d r t . (11)

自适应律为(8)和(10)，那么

lim ( ) 0t

e t

， (12)

则系统(1)渐近稳定地跟踪参考信号(3)。

证明：根据(1)，(3)和(10)，可得

1 1

ˆ( , , ) ( , ) ( , , ) ( , ) ( , ) ( , )

ˆ ( ( , ) ( , ) ( , ) ( , )) ( ( , ) ( , )) ( ( , ) ( , ))

( ( , ) ( , )

i i

i i i i i i i i i i i i i

m m

i ij ij i ij ij i i i i i i

j j

i ij ij

j

e x r f x t ε e g x t f r t d r t d x t g r t

h x t p x t h r t p r t ε e g x t g r t d x t d r t

h x t p x t

1 1 1

1

ˆ( , ) ( , ) ( ) ( , )) ( ( , ) ( , ))

( ( , ) ( , ))

( ( , , ) ( , , )) ( , ) ( ( , ) ( , )) ( ( , ) ( , )),

i i i

i

m m m

i ij ij ij ij ij i i i i

j j

i i

m

i i i i ij ij i i i i i i

j

h r t p r t p r t ε e g x t g r t

d x t d r t

f x t f r t p r t ε e g x t g r t d x t d r t

(13)

其中 îj ij ij 是参数真值和估计值之间的误差。

取李雅普诺夫函数为

2 2

1 1 1

1 1 1 1ˆ( , , ) ( )2 2

imn n

i ij

i i ji ij

V e t Q L

， (14)

- 264 -


其中， L为一足够大或者待定的正数。则

2

1 1 1 1

2

1 1 1

ˆ( , , ) ( )( ) ( ( ))

( ( , , ) ( , , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ) ( , )) ( )

i

i

mn n n

i i i i ij i ij

i i i j

mn n

i i i i i i i i i i i ij ij i i

i j i

i

V e t e e L e e p r

e f x t f r t g x t g r t d x t d r t e p r t e

L

2

1 1 1

2

1 1

( ) ( , )

( ( , , ) ( , , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )) .

imn n

i ij i ij

i j

n n

i i i i i i i i i i

i i

e e p r t

e f x t f r t g x t g r t d x t d r t L e

(15)

因为函数 ( )f ， ( )g 和 ( )d 都满足局部 Lipschitz 条件，则存在正数 fl ， gl 和dl 满足

2

1

( ) ( , , ) ( , , )n

i i i i i i f

i

x r f x t f r t l x r

， (16)

2

1

( ) ( , ) ( , )n

i i i i g

i

x r g x t g r t l x r

， (17)

2

1

( ) ( , ) ( , )n

i i i i d

i

x r d x t d r t l x r

. (18)

将(16-18)代入(15)式可得，

2

1

ˆ( , , ) ( ) 0n

f g d i

i

V e t L l l l e

， (19)

其中 ( )f g dL l l l 。则

2

1

ˆ ( , , ) /( )n

i f g d

i

e V e t L l l l

. (20)

由(19)知， ˆ( , , )V e t 是递减的，而 ˆ( , , ) 0V e t ，则对(20)两边同时积分可得，

2

0 01

ˆ ˆ ( , , ) /( ) ( (0), (0),0)/( ),nt t

i f g d f g d

i

e dt V e t dt L l l l V e L l l l

(21)

则 ( )e t 是平方可积的。因为 ( )e t 存在且有界，则根据 Barbalat 引理可知， lim ( ) 0t

e t

，定理 1 证毕。

由(8)可知，若 lim ( ) 0t

e t

，则 ˆlim 0t

ij

，则未知参数 îj 趋于一个常数 *ˆ

ij 。因为

1

1

ˆ ( ( , ) ( , )) ( ( ( , ) ( , )) ( ( , ) ( , )) ( ( , ) ( , ))

ˆ ( ( , ) ( , ) ( ( ( , ) ( , )) ( - ) ( , )) ( ( , ) ( ,

i

i

i i i

m

i i ij ij ij ij i i i i i i

j

m

i i ij ij ij ij ij ij i i i i

j

e x r

h x t h r t p x t p r t ε e g x t g r t d x t d r t

h x t h r t p x t p r t p r t ε e g x t g r

)) ( ( , ) ( , )).i it d x t d r t

(22)

根据 i ix r ， 0ie ，可得

*

1

ˆ( - ) ( , ) 0im

ij ij ij

j

p r t

. (23)

定义 2: 一族实值函数{ ( , ), 1, 2, , }i x t i k 被称为在集合 S 上线性独立，当且仅当对所有 0t ，由

1

( , ) 0, k

i i

i

c x t x S

可以推导出每个常数 0ic 。进一步的，如果集合 S 为系统的同步流形，则称这族

函数在同步流形上是线性独立的。

因为 *ˆ-ij ij 是常数，故可得参数实现辨识的充分条件为

定理 2: 如果在式(23)中的同步流形 r S 上，{ ( , ), 1,2, , }ij ip r t j m 是线性独立的，则必然有 *îj ij 。

注 1: 文献[11,13,27-29]其实质是速度梯度法，不含有非线性反馈控制项(4)，故仅能实现不动点的控制和

- 265 -


自同步控制，是本文的一种特殊情况。

注 2: 当 x r 时， e eε 。结合文献 [11]的结论，可知在系统实现跟踪的过程中，1( ) diag( ( ), t tε

2 ( ), , ( ))nt t 趋于一个元素为负的常数对角阵 *ε 或 L 。

注 3: 当参考信号中含有未知参数时，该方法同样适用。

注 4: 文献[26]是系统(1)在 0i 和 ( , ) 0id x t 的情况，不具有最优的收敛效果；文献[30]是系统(1)在 0i

和 ( , ) 0id x t 时采用不完整非线性反馈，参考信号有未知参数的特殊情况。

注 5: 该方法能推广到如系统(1)所示的一类具有未知参数的非线性系统的跟踪自适应控制和参数辨识。

注 6: 该方法可以推广到投影同步。对于响应系统(1)和参考信号(3)，若使 lim ( ) ( ) 0t

x t r t

（是可逆 n

n 维对角常数矩阵）成立，则称系统(1)和(3)获得广义投影同步。令 1'( ) ( )r t r t ，则两系统的广义投影同

步就转化为 ( )x t 和 '( )r t 之间的完全同步问题，即 lim ( ) '( ) 0t

x t r t

。

2 数值模拟

Lorenz 系统数学描述如下：

1 1 1 2 1 1

2 2 1 2 1 3 2 2

3 1 2 3 3 3 3

( ) ,

,

,

x x x d u

x x x x x d u

x x x x d u

其中，1 2 3, , ,

1 2 3, ,x x x R ，未知参数1 2 3, , 的真值分别为 10,28,8/3，此时系统是混沌的。系统补偿或

系统干扰近似为 2

1 1( , ) 0.7 cos( )d t x x t ,2 2 3

2 1 2( , ) 0.5( )sin ( )d t x x x t ,2 2 3

3 2 3( , ) 0.5( )cos ( )d t x x x t 。

采用时间常数为 310t s 的四阶龙格库塔法进行数值仿真，系统初始点为 (1,-2,-1)，估计参数

1 2 3ˆ ˆ ˆ, , 的初始值为(-20,-20,20)。

2.1 不动点控制

以控制到平衡点(0,0,0)为例，即 ( ) 0g ，则 1 1 1u x , 2 2 2u x , 3 3 3u x ，代入上述系统，可得受控系

统被稳定到(0,0,0)的状态变化和估计参数变化如图 1 所示。此时， * diag( 24 8531 75 6566 43 9663)- . ,- . ,- .ε

是特征值均为负数的对角阵， 1 1 2( ) 0p r r r ， 2 1( ) 0p r r ， 3 3( , ) 0p r t r ，显然不是线性独立

的，估计参数不发生变化，无法辨识出未知参数的真值。

受控系统被稳定到(8.49,8.49,27)和(-8.49,-8.49,27)的状态变化和估计参数变化分别如图 2 和图 3 所

示。 ( )tε 收敛到负的常数矩阵，且其绝对值随 i 的增加而增加，但是 i 太大时，系统将发散。当

1 2 3 1000 ， i 的临界值在 1703 左右； 1 2 3 100 时，其临界值在 2655 左右，这与响应系

统的初值和跟踪的驱动信号有关。在实践中，考虑控制成本，通常都选较小的正数，逐渐增加 i 以获得最

佳控制状态和经济效益。此时 ( )p r 仍是常数，不是线性独立的，估计参数稳定在某个固定值上。

2.2 自同步控制

以如下的 Lorenz 系统作为驱动系统，

1 1 2

2 1 2 1 3

3 1 2 3

10( ),

28 ,

8/3 ,

r r r

r r r r r

r r r r

令 ( 1, 2, 3)i i ie x r i ，根据(8-10)，则 2

1 1 1 1 2 1 1 2 1ˆ10( ) ( ) 0.7 cos( ) u e x x r r r t ，

2 2 3

2 2 2 1 2 1 3 2 1 2 1 3 1 2ˆ(28 ) ( ) 0.5( )sin ( )u e x x x x r r r r r r t ，

2 2 3

3 3 3 1 2 3 1 2 3 3 2 3ˆ( 8/3 ) ( ) 0.5( )cos ( )u e x x x rr r r r t ， 2

i i ie ( 1, 2, 3i )，

- 266 -


1 11 1 1 1 1 1 2

1

ˆ( , )ˆ ( )ˆ

f re e r r

，

2 2 2 1ˆ e r ，

3 3 3 3ˆ e r 。

可得其自同步误差信号1 2 3, ,e e e 如图 4 所示，此时 ( )p r 线性独立，估计参数

1 2 3ˆ ˆ ˆ, , 稳定于真值

(10,28,8/3)。

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

时间 t/s

估计

参数

——θ1(t)

……θ2(t)

— —θ3(t)

(a)状态输出图 (b)估计参数变化图

图 1 Lorenz 系统稳定到平衡点(0,0,0)的状态输出图和估计参数变化图(1 2 3 2000 ，

1 2 3 2000 )


图 2 Lorenz 系统稳定到平衡点(8.49,8.49,27)的状态输出图和估计参数变化图( 1 2 3 1000 ,

1 2 3 1000 )


图 3 Lorenz 系统稳定到平衡点(-8.49,-8.49,27)的状态输出图和估计参数变化图( 1 2 3 1000 ,

1 2 3 1000 )

2.3 任意有界参考信号追踪控制

以 (60sin ,60cos ,60sin 60cos )t t t t 为参考信号，即相当于驱动系统为

- 267 -


1 2

2 1

3 2 1

,

,

,

r r

r r

r r r

令 ( 1, 2, 3)i i ie x r i ，根据(8-10)，则 2

1 1 1 2 1 1 2 1ˆ ( ) 0.7 cos( )u e x r r r t ，

2 2 3

2 2 2 1 2 1 2 1 3 1 2ˆ( ) 0.5( )sin ( )u e x r r r r r r t ， 2 2 3

3 3 3 2 1 1 2 3 3 2 3ˆ( ) 0.5( )cos ( )u e x x rr r r r t ，

2

i i ie ( 1, 2, 3i )， 1 11 1 1 1 1 1 2

1

ˆ( , )ˆ ( )ˆ

f re e r r

，

2 2 2 1ˆ e r ，

3 3 3 3ˆ e r 。

参考信号初值 (0) (0,60,60)r ，可得 ( )x t 跟踪参考信号的状态变化和估计参数变化如图 5所示。此时 ( )p r

线性独立， * diag( 84.9349, 679.6114, 679.6658) ε 为负值，1 2 3ˆ ˆ ˆ, , 稳定在(9.95,28.02,2.68)，接近

真值。

在实际工程中，噪声是始终存在的，但传统混沌同步对噪声非常敏感，当噪声大小达到信号的 10%

时即信噪比为 20dB，同步性能完全破坏。在上述跟踪过程中，加入幅值为[ 6,6]的随机扰动信号（扰动

信号幅值是参考信号幅值的 10%），可得 ( )x t 跟踪参考信号的状态变化如图 6(a)所示，仍然保持同步性

能。采用文献[26]的算法，令反馈误差系数为 200，可得其跟踪参考信号的状态变化如图 6(b)所示，同

步性能完全被破坏，因此本文算法具有一定的抗强噪声能力，而且具有最优的收敛效果，优于文献[26]。

(a)同步误差输出图 (b)估计参数变化图

图 4 Lorenz 混沌系统自同步误差输出图和估计参数变化图(x(0),r(0))=(1,-2,-1; -1,2,5), 1 2 3 1000 ,

1 2 3 1000 )


图 5 Lorenz 混沌系统追踪 (60sin ,60cos ,60sin 60cos )t t t t 的状态输出图和估计参数变化图( 1 2 3 100 ,

1 2 3 100 )

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(a)自适应误差反馈 (b)无自适应误差反馈

图 6 随机噪声下 Lorenz 混沌系统追踪参考信号的状态输出图(1 2 3 100 ,

1 2 3 100 )

2.4 异结构同步控制

令驱动系统为 Rössler 系统

1 2 3

2 1 2

3 3 1

( ),

,

( ),

r r r

r r r

r r r

其中， 0.2, 0.2, 5.7 ，此时系统是混沌的。令 ( 1, 2, 3)i i ie x r i ，同理可得 Lorenz 系统与

Rössler 系统的异结构同步误差信号1 2 3, ,e e e 如图 7 所示，估计参数

1 2 3ˆ ˆ ˆ, , 稳定在(9.93,27.96,2.68)，接近

真值。因此该方法能够实现异结构同步，同步速度快(0.05s 左右)，收敛效果优于文献[26]（文中收敛时间

大于 2s）。

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-5

0

5

时间 t/s

e1(t

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-5

0

5

时间 t/s

e2(t

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-10

-5

0

5

时间 t/s

e3(t

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-50

0

50

100

150

200

250

300

350

时间 t/s

估计

参数

——θ1(t)

……θ2(t)

— —θ3(t)

(a)同步误差输出图 (b)估计参数变化图

图 7 Lorenz 系统和 Rössler 系统的异结构同步误差 1,e 2 ,e 3e 的图形和估计参数变化图，(x(0),r(0))=(1,-2,-1;-1,2,5)，

1 2 3 5000 , 1 2 3 5000 )

3 结论

本文结合速度梯度法和非线性函数控制，实现了连续混沌系统跟踪任意光滑有界参考信号。该方法原

理简单，收敛速度可调，通用性强，控制范围宽，抗干扰性好，具有重要的实际意义。该方法也能推广到

广义投影同步和具有未知参数的一类非线性系统的自适应跟踪和参数辨识。

REFERENCES

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【作者简介】

1 张芳芳（1982-），女，汉族，博士研究生，讲师，研究方

向为混沌控制，非线性控制。Email: [email protected]

2 刘树堂（1958-），男，汉族，博士，教授，研究方向为非

线性动力学，分形和混沌。Email: [email protected]

3 余卫勇（1986-），男，汉族，博士研究生，研究方向为自

适应控制，非线性控制。Email: [email protected]

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Identification and adaptive tracking control for continuous chaotic system with unknown parameters

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