19th Telecommunications forum TELFOR 2011 Serbia, Belgrade, November 22-24, 2011.

978-1-4577-1500-6/11/$26.00 ©2011 IEEE

Sadržaj — U radu je opisana jedna efikasna serijska

hardverska realizacija vremensko-frekvencijskog predstavljanja signala. Ovaj pristup je zasnovan na koriš enju funkcije neodre enosti i obezbje uje eliminisanje unakrsnih lanova koji se javljaju kod Wigner-ove distribucije. Predloženo hardversko rješenje je realizovano u FPGA tehnologiji i omogu ava analizu višekomponentnih nestacionarnih signala u realnom vremenu, što je zna ajno za mnoge prakti ne aplikacije.

Klju ne rije i — Cohen-ova klasa, funkcija neodre enosti, hardverske realizacije, vremensko-frekvencijska analiza.

I. UVOD

remensko-frekvencijska analiza je uvedena za nestacionarne signale sa vremenski promjenljivim

spektralnim sadržajem [1]-[3]. U tu svrhu uvedene su brojne vremensko-frekvencijske raspodjele energije, ili kako je uobi ajeno re i, vremensko-frekvencijske distribucije. Jedna od naj eš e koriš enih vremensko-frekvencijskih distribucija je Wigner-ova distribucija (WD) koja obezbje uje dobru koncentraciju u vremensko-frekvencijskom domenu, ali pokazuje zna ajan nedostatak u slu aju primjene na višekomponentne signale. Naime, Wigner-ova distribucija zbog svoje kvadratne prirode proizvodi unakrsne lanove kod višekomponentnih signala. U cilju smanjenja broja unakrsnih lanova ili njihovog potpunog eliminisanja, predložene su brojne forme distribucija me u kojima su i distribucije koje pripadaju Cohen-ovoj klasi [4]. Distribucije iz Cohen-ove klase mogu se definisati koriš enjem funkcije neodre enosti [5], [6].

Za signal x(t) funkcija neodre enosti se definiše kao dvodimenziona Fourier-ova transformacija Wigner-ove distribucije:

*( , ) { ( , )} ( ) ( ) ., 2 2j tA FT WD t x t x t e dtt

τ τ θθ τ ωω∞

−= = + −−∞

(1)

U domenu funkcije neodre enosti raspored auto lanova i unakrsnih lanova je druga iji u odnosu na vremensko-frekvencijski domen. U slu aju signala ije su glavne

Ovaj rad je nastao kao rezultat istraživanja u sklopu projekta finansiranim od strane Ministarstva nauke Crne Gore.

Autori su sa Elektrotehni kog fakulteta Podgorica, Univerzitet Crne Gore, Džordža Vašingtona bb. 20000 Podgorica. Autor za kontakte je Branka Jokanovi (telefon: +382 67 81 00 86 , e-mail: brankaj@ac.me).

komponente na nižim frekvencijama, auto lanovi e biti locirani oko koordinatnog po etka i osa θ i , za razliku od unakrsnih lanova koji e biti udaljeni od osa. Ovakav raspored pruža mogu nost filtriranja auto lanova ( lanova signala) upotrebom odgovaraju eg jezgra ( , )c θ τ . Osobine vremensko-frekvencijske distribucije zavise od osobina izabranog jezgra. Generalno govore i, auto lanovi i unakrsni lanovi u okviru funkcije neodre enosti nisu uvijek u potpunosti odvojeni. Stoga, usljed ukljanjanja unakrsnih lanova može do i do ošte enja auto lanova. Optimalnim izborom jezgra nastoji se obezbijediti kompromis izme u uklanjanja unakrsnih lanova i o uvanja koncentracije auto lanova.

Kona na forma vremensko-frekvencijske distribucije se dobija primjenom dvodimenzione inverzne Fourier-ove transformacije (2D IFFT):

1( , ) ( , ) ( , ) .2

j t jCD t c A e d dθ ωτω θ τ θ τ τ θπ

∞ ∞− −

−∞ −∞

= (2)

Vremensko-frekvencijske distribucije ovog oblika su zahtjevne za prora un, pa je za aplikacije u realnom vremenu potrebno obezbjediti njihove hardverske realizacije u pojednostavljenoj formi. Primjeri nestacionarnih signala koji zahtijevaju analizu u realnom vremenu su seizmi ki, biomedicinski i govorni signali. Parametri seizmi kih signala u vremensko-frekvencijskom domenu mogu da imaju važnu ulogu u predvi anju vulkanskih aktivnosti [7]. Prioritet modernih sistema za analizu biomedicinskih signala kao što su EEG ili EKG je pružanje informacije u što kra em vremenu u cilju pravovremenog ukazivanja pomo i pacijentu [8]. Prepoznavanje govora u realnom vremenu se koristi kod automatskog upravljanja i kontrole glasovnim naredbama [9]. Pri implementaciji hardverskih realizacija se mora voditi ra una o optimizaciji resursa, odnosno o broju raspoloživih pinova i brzini rada same aplikacije. Postoje razna hardverska rješenja za odre ene vremensko-frekvencijske distribucije koja pružaju mogu nost izbora implementacije zavisno od raspoloživih resursa i željenih perfomansi [10] - [12].

U ovom radu predložena je arhitektura sistema za ra unanje vremensko-frekvencijske distribucije koja koriš enjem funkcije neodre enosti i funkcije jezgra redukuje uticaj unakrsnih lanova. Implementacija arhitekture je realizovana u FPGA tehnologiji.

Hardverska realizacija vremensko-frekvencijskog predstavljanja signala koje

eliminiše uticaj unakrsnih lanova Irena Orovi , Member, IEEE, Branka Jokanovi , and Srdjan Stankovi , Senior Member, IEEE

V

731

Sl. 1. Šema realizacije sistema

Rad je struktuiran na sljede i na in. U drugom poglavlju je analizirana diskretna forma distribucija iz Cohen-ove klase. Hardverska realizacija funkcije neodre enosti, funkcije jezgra, kao i same distribucije predložena je u tre em poglavlju. Simulacioni rezultati dobijeni su prikazani i diskutovani u etvrtom poglavlju. Zaklju ak je dat u petom poglavlju.

II. DISKRETNA FORMA DISTRIBUCIJE IZ COHEN-OVE KLASE

Hardverska implementacija neke funkcije na FPGA plo i zahtijeva koriš enje njene diskretne forme. Diskretna forma distribucije iz Cohen-ove klase se može dobiti polaze i od kontinualnog oblika definisanog relacijom (2). Naime, uvo enjem smjene / 2τ ρ= i diskretizacijom po vremenu i po frekvenciji dobijamo sljede i diskretni izraz:

2 212 2

2 2

( , ) ( , ) ( , ) ,

Np Nj pl j km

N N p

Np Nm p

CD l k c p m A p m eπ π− − −

=− =−

= (3)

gdje je 1 22

*

2

( , ) ( ) ( ) .

Nj pn

N

Nn

A p m x n m x n m eπ−

−

=−

= + − (4)

Ukupan broj odbiraka signala je N, dok je Np+1 broj odbiraka unutar pravougaonog prozora koji se koristi za ra unanje funkcije momenta signala M(n,m)= x(n+m)x*(n-m) za jedan vremenski trenutak. U okviru Cohen-ove klase koriste se razli ite forme jezgara kao što su Gauss-ovo jezgro, Choi-Williams-ovo jezgro, Born-Jordan i Sinc jezgro. U cilju pojednostavljenja realizacije koristi emo modifikovanu i pojednostavljenu verziju jezgra.

III. HARDVERSKA REALIZACIJA KVADRATNE VREMENSKO-FREKVENCIJSKE DISTRIBUCIJE

Šema realizacije predloženog sistema je data na Sl.1. U bloku FFT se ra una brza Fourier-ova transformacija funkcije momenta signala M(n,m). Na izlazu bloka dobijamo funkciju neodre enosti A(p,m) koju oblikujemo funkcijom jezgra. Nakon ovog koraka vrši se dvodimenziona inverzna Fourier-ova transformacija u bloku 2DIFFT. Na izlazu se dobija realizovana vremensko-frekvencijska distribucija.

A. Implementacija funkcije neodre enosti Funkcija neodre enosti se može posmatrati kao Fourier-

ova transformacija funkcije momenta signala M(n,m)=

x(n+m) x*(n-m) po promjenljivoj n.Neka su na ulazu sistema dovedeni odbirci signala. Da

bi dobili vrijednost funkcije neodre enosti u ta ki (p,m)potrebno je pomnožiti komponente x(n-m) i x*(n+m), a zatim izvršiti Fourier-ovu transformaciju dobijenog proizvoda po promjenljivoj n.

Za trenutak n=n1 lanovi vektora M(n,m) su:

*( , ) ( ) ( ),1 1 12 2 2

*( , 1) ( 1) ( 1),1 1 12 2 2

*( , 1) ( 1) ( 1),1 1 12 2 2

*( , ) ( ) ( ).1 1 12 2 2

N N Np p pM n x n x n

N N Np p pM n x n x n

N N Np p pM n x n x n

N N Np p pM n x n x n

− = − +

− + = − + + −

− = + − − +

= + −

(5)

Ova analiza važi i za ostale vektore koji odgovaraju trenucima n2, n3, ... Prvi trenutak koji posmatramo je n1=Np/2+1, a zadnji trenutak je nN-Np=N-Np/2. Odgovaraju a matrica u kojoj su smješteni elementi vektora M(n,m) se može zapisati kao:

* * *(1) ( 1) ( ) (2) ( 1) (1)* * *(2) ( 2) ( 1) (3) ( 2) (2)

* * *( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( )

x x Np x Np x x Np x

x x Np x Np x x Np x

x N Np x N x N x N Np x N x N Np

+ ... +

+ ... + +=... ... ...

− ... − − + −

M .

(6) Svaka vrsta odgovara jednom vremenskom trenutku ni,

i∈ [1, N-Np]. Za dobijanje funkcije neodre enosti potrebno je izvršiti Fourier-ovu transformaciju nad kolonama matrice. Napomenimo da na ulazu sistema imamo analiti ki signal ( ) ( ) ( )x n R n jI ni i i= + , gdje je

( )R ni realni dio signala u trenutku n, a ( )I ni imaginarni dio. U blokovima moment_func_real i moment_func_imag (Sl. 2.) ra unaju se realni i imaginarni djelovi lanova matrice M, respektivno. Na njihovim izlazima dobijamo kolone matrice M, nad kojima je potrebno izvršiti brzu Fourier-ovu transformaciju (FFT).

Za realizaciju FFT operacije koristi se ugra ena komponenta u Quartus-u. Ovaj FFT blok pruža niz opcija kojima definišemo rad sklopa, kao na primjer odabir broja ta aka u kojima se vrši FFT, broj bita kojima su predstavljeni odbirci, zatim mogu nost prikaza sa pomi nim i nepomi nim zarezom. Na Sl. 3. je prikazan FFT blok koji koristi promjenljivu dužinu niza (variable streaming data flow) i omogu ava da u toku rada FFT

732

bloka mijenjamo broj ta aka za koje se obavlja Fourier-ova transformacija.

Sl. 2. Blok koji ra una funkciju momenta signala

Sl. 3. Blok koji ra una FFT

B. Realizacija jezgra i funkcije Ag( , )Nakon funkcije neodre enosti, potrebno je realizovati funkciju Ag(p,m)=A(p,m)c(p,m). Jezgro je predstavljeno kao dvodimenziona binarna funkcija. U ta kama gdje jezgro c(p,m) ima vrijednost “1” važi da je Ag(p,m)=A(p,m), dok je u ta kama gdje jezgro ima vrijednost “0”, izlaz postavljen na nulu (Ag(p,m)=0). Za dobijanje distribucije potrebno je izvršiti transformaciju u vremensko-frekvencijski domen, što se postiže koriš enjem dvodimenzione inverzne Fourier-ove transformacije. U Quartus-u ne postoji ugra ena 2D inverzna Fourier-ova transformacija, pa je realizacija izvršena kao kompozicija jednodimenzionih IFFT:

1 1( ) ( ( ) ) ,− −=B BIFFT IFFT IFFT2 (7)gdje B predstavlja proizvoljnu matricu.

Dakle, postupak dobijanja 2D IFFT obuhvata sljede ekorake:

1. vrste matrice B se dovode serijski na ulaz jednog IFFT bloka,

2. izvrši se IFFT i rezultuju e vrste se smještaju u matricu koja se transponuje,

3. vrste transponovane matrice se dovode na ulaz novog IFFT bloka.

Matrica B u našem slu aju predstavlja funkciju Ag(p,m).Izlazi IFFT bloka se redom smještaju u RAM. Oni zapravo predstavljaju matricu dimenzija (Np+1)xN koju treba transponovati. Sljede i korak je realizacija kola koje bi iš itavalo sadržaj RAM-a i to na na in da redosljed iš itavanja obezbjedi operaciju transponovanja. Dakle, prvo se iš itavaju lanovi 1, N+1, 2N+1..., zatim lanovi 2, N+2, 2N+2... i postupak se ponavlja dok se ne do e do zadnje kolone.

IV. SIMULACIONI REZULTATI

Posmatrajmo signal x(t) koji je sastavljen od dva linearno frekvencijski modulisana signala sa amplitudama koje se mijenjaju po Gauss-ovoj funkciji. Na Sl. 4.d je ilustracija rezultata dobijenih na izlazu hardverske implementacije. Vizuelizacija rezultata je izvršena u Matlab-u. Na Sl. 4.a prikazana je funkcija neodre enosti signala, dok je na Sl. 4.c data Wigner-ova distribucija signala kod koje uo avamo unakrsne lanove. Kod funkcije neodre enosti auto lanovi su locirani u blizini koordinatnog po etka, dok su unakrsni lanovi udaljeni od osa. Koriš enjem jezgra koji je prikazan na Sl. 4.b možemo izdvojiti auto lanove signala. Rezultuju avremensko-frekvencijska distribucija je data na Sl. 4. d, i ne sadrži unakrsne lanove.

Na Sl. 5. dat je simulacioni dijagram za realizovani sistem. U realizaciji, vrijednosti parametara N i Np su: N=32, Np=16. Na izlazu sistema dobijamo posebno realne i imaginarne djelove, pri emu se prvi odbirak dobija nakon 19,62 μs. S obzirom da ve ina današnjih aplikacija u realnom vremenu zahtjeva kašnjenje reda ms, zaklju ujemo da predložena realizacija ima više nego dovoljnu brzinu izvršavanja. Takt sistema je 50 MHz.

Za predloženu implementaciju je koriš en ip EP3SL340F1760C3 iz familije Stratix III. Simulacija je izvršena pomo u Quartus II v8.0 softvera na ra unaru sa 2GB RAM-a i procesorom Pentium 4 frekvencije 3,2GHz. U tabeli 1 date su neke od karakteristika koriš enog ipa. Primjetimo da je još jedna od prednosti realizovanog sistema mala iskoriš enost komponenti i pinova.

TABELA 1: ISKORIŠ ENOST IPA EP3SL340F1760C3 EP3SL340F1760C3 Iskoriš enost Broj pinova 378(34%) Kombinaciona ALUTs 36,292(34%) Dedicated logic registers 45,472(17%) Memory ALUTs 3,258(2%)

V. ZAKLJU AK

Cohen-ova klasa distribucija kao jedan od alata vremensko-frekvencijske analize zauzima važno mjesto u obradi signala. U cilju hardverske implementacije, u radu je predložena realizacija distribucije koja je, kao i distribucije iz Cohen-ove klase, zasnovana na koriš enju funkcije neodre enosti i jezgra. Predloženi pristup

733

a) b) c) d) Sl. 4. a) Funkcija neodre enosti signala x(t), b) Ilustracija jezgra koje se koristi u predloženoj realizaciji c) WD signala

x(t), d) Rezultuju a vremensko-frekvencijska distribucija signala x(t)

Sl. 5. Simulacioni dijagram rada cjelokupnog sistema

obezbje uje zna ajno smanjenje uticaja unakrsnih lanova. Brzina izvršavanja posmatrane realizacije je oko 20 μs, što je u pore enju sa današnjim aplikacijama u realnom vremenu svrstava u brze realizacije.

Nadogradnja predloženog sistema je mogu arealizacijom jezgara koja se koriste u Cohen-ovoj klasi. Proširivanje sistema na ovaj na in omogu ilo bi realizaciju Cohen-ove klase, ime bi se poboljšale perfomanse za razli ite signale.

LITERATURA[1] B. Boashash, “Time-Frequency Signal Analysis,” in S. Haykin,

editor, Advances in Spectral Estimation and Array Processing,Prentice Hall, pp. 418-517, 1991.

[2] LJ. Stankovi , Time Frequency Signal Analysis, Research monograph 1993-2003.

[3] B. Bondžuli , B. Zrni , “Procena parametara irp signala primenom T-F distribucija i Radon transformacije,” TELFOR 2003, Novembar, Beograd.

[4] L. Cohen, “Time-Frequency Distributions – A Review,” Proc. of the IEEE, vol. 77, No. 7, pp. 941-981, 1989.

[5] A. Zejak, S. Simi , I. Simi , “Analiza funkcije neodre enosti delimi no komplementarnih Barkerovih radarskih signala promenljive dužine,” TELFOR 2010, Novembar, Beograd.

[6] A.Pelinkovi , . Stojanovi , I. Djurovi , “Sistem višestrukih podnosilaca baziran na Affine Fourierovoj transformaciji u mobilnim satelitskim kanalima,” TELFOR 2010, Novembar, Beograd.

[7] L. Gutiérrez, J.,Ramírez, J. Ibañez, C. Benítez, “Volcano-Seismic Signal Detection and Classification Processing Using Hidden Markov Models - Application to San Cristóbal and Telica Volcanoes, Nicaragua,” InTech, April 2011.

[8] J. Hori, Y. Saitoh, T. Kiryu, “Real-Time Restoration of Nonstationary Biomedical Signals under Addutive Noises,” IEICE Trans. Inf. & Syst., vol. E82-D, No.10 , October 1999.

[9] J. Manikandan, B. Venkataramani, K. Girish, H. Karthic, V. Siddharth, “Hardware Implementation of Real-Time Speech Recognition System Using TMS320C6713 DSP,” in VLSI Design

(VLSI Design), 2011 24th International Conference on, Chennai, India, Jan. 2011, pp.250-255.

[10] S. Stankovic, LJ. Stankovic, “An Architecture for the Realization of a System for Time-Frequency Signal Analysis,” IEEE Transaction on Circuits and Systems, Part II, No.7, July 1997.

[11] B. Boashash, P .J. Black, “An Efficient Real-Time Implementation of the Wigner-Ville Distribution,” IEEE Transaction on Acoustics, Speech, and Signal Processing, vol. ASSP-35, No. 11, Nov. 1987.

[12] M. Sun, C. C. Li, L. N. Sekhar, R. J. Sclabassi, “Efficient Computation of the Discrete Pseudo-Wigner Distribution,” IEEE Transaction on Acoustics, Speech, and Signal Processing, vol. 37, No. 11, Nov. 1989.

ABSTRACT

A hardware realization of the ambiguity domain based time-frequency distribution is proposed in this paper. It represents a simplified version of the Cohen class distributions, which can be used in real-time practical applications with multicomponent signals. The reduction of cross terms is achieved using a suitable kernel function. The proposed hardware solution is realized in FPGA technology.

HARDWARE REALIZATION OF THE REDUCED CROSS TERMS DISTRIBUTION

Irena Orovi , Branka Jokanovi , Srdjan Stankovi

734