ANALYSIS 3 FER PHYSIKER
lnhalti
I. Riemann -
Integration in R
"
II. Integrals take der Vektoranalysis
# ' Funkkonentheorie
) ^ s .su .
Iv. Map - und Integrations theories Anfang 20.3ha .
I.
Fourier . AnalysisVI. Hilbertrinume & Opvatoren Antony 20.3ha
.
@
I. Riemann . Integration in IR"
Def . :. Q e R
"
heipt Quader,
wenu a. be R"
existiven,
so class
Q - [ an ,b , ] x.. .
× [ an ,bn ]
.
• Das Volumen cines Quadvs ist vol ( Q ) := Myla ; - b
; /.
° Sci Z := t Q, ,
...
,Qm } eine Zerlegungvou Q= §
,
Qx in kleinere Quader Qa,
fir die gilt atp ⇒ Int ( Q.
) nInt ( Qp )= ¢ .
For f : Q → R definieren
wir die Ober - / Uutersumme
§ ( f ) :-. §,
vol ( Qd ) suptflx .) | x. e Qx }
I ( f ) : = §
,
not ( Q× ) inffflxx )|
××eQ÷"
frnndflaiche × tlohe"
° 1st Q ein Quader und f : Q → R beschrankt,
dam heipt f auf Q
Riemann - integrierbar weun inf I5zlf ) . I ( f ) / Z wie oben ] = 0.
Das Riemann Integral ist dann /.
flx ) dx := inf 5TH )
Ben .
: . 1st f :Q→R Riemann - integrierbw ,
dann ist f field : sup § ( t ) und das
Integral Kann als"
Volumen"
uuter dem Grapheu interpreter werden.
Def .: Me R
"
hift Menge von Lcbesgue - Map Null in R"
weun es zu jedem e > 0
dbzoihlbar viele Quader ( Qae R"
]×eµ gibt , so class
M c- U Qx n [ vol ( Qx ) < E.
X.CN XEN
Ben . : a Durch Skalieren sieht man,
class die Q× 'sgeuanso often gewaihlt werden kinnen
.
• Oft spricht man einfach von " Nukmengc"
oder, , Menge von Map Null
"
.
• E in Predikat A : R"
?S → { waw, falsch } hcipt
" fast inberakwaw"
in S,
weuu
{ xes / race ) } Nullmeuye ist and ein Quadw QES existivt unit vol ( Q ) > 0.
�2�
Lemma : Sind M.se R"
, jew Meagen von Lebesgue - Map Nnk in R"
,damn gilt dies
and fair flats .
Beweis : Fir jedes e > 0 gibt es Quader Qsx E R"
, so class
Ms
E ¥ ,µQjx ^ In vol ( Qja ) < EZ 's'
.
Damit gilt
⇐ roll Qsx ) ' E. a
Korollw : Q" e R
"
ist Menge vom Lebesgue-
Map Null in 112"
.
Beweis : Q"
istabzahlbar and the Q" ist { x } ER
"
Nukmeuge .
Die Aussage folgt damit ans dem uorhergehenden Lemma.
D
korollar : 1st QER"
ein Quader and f : Q 's R beschroinht and
Riemann - integrivbar ,
dann ist der Graph G : . f ( x. fix , )eR"+ '
/ XEQ }eine Menge von Lebesgue . Map Nwk in R
" '
.
Beweis : Fur jedes e > 0 existiut line Zvlegung Z it Qa } von Q,
so class
oI2azu°llQ& ) [ sxypa.tk' - if.to
,.tk ' ] ' E
.
DieQuader
ntl
da :-. Qax [ int fix , sup fks ] E R erfilleudamitI E Q ,
× E Q&
Ge yea ^ Zauollctx ) e e. I
�3�
Satz : ( Lebesguelsches lntegrabilitatskritoium )
Eine beschrinnkte Funktion f : Q → R auf einem Quader
QER"
istgeuan daun
Riemann . iutegrierbar ,weunsie fast uiberakstetigist .
Beweis : ( nur
"
⇐" ) M :-. {
xc.cl/fuustekgbeix)istuachAunahmeNulLmenge
. D. h . He > 0
gibt es Quader { R ;] ,µhit Me
YR; und § vol ( Rs ) e E
.
Zn jedem xe QIM gibt es dagegen einen Quader Sx unit xe SI und
K i. x"
E
SINQ: Iflx ' ) - flx " ) I < E
.
Aus kompaktheit non Q folyt ,
classes Zu seder offenen ltberdeckungQe U R ;° u U SI eine endlich liberdeckuug
.se/N XEQVY
0 0
QE U R; u U S× gibt .
JEA×EB
Woihle nun eine Zvleguugtqa } von Q,
so class for jedes x gilt :
( FJEA : Qae Rs ) v ( FXEB : Q&eS× ).
Dann ist I roll Q . ) [ qq.pa.tk ) -
into.tk ) ]
= I... + [
. . .
"
x. e A"
"
XEB"
uustekger + stetiger Te :L
± ( 2 " THE.ro?..rYll0" ' ) -
"E. "
endian
E 2 Hfll.
E + Errol LQ ) = E ( 211 fH• + rol ( Q ) ).
It