III.1 Variabile aleatoare continuematiciuc/didactic/Probability...Capitolul III. Variabile aleatoare...

Capitolul III. Variabile aleatoare continue Conf. dr. Lucian Maticiuc

Facultatea de MatematicaTeoria Probabilitat,ilor, Semestrul IVConf. dr. Lucian MATICIUC

Cursurile 7 – 10

Capitolul III. Variabile aleatoare continue

III.1 Variabile aleatoare continue

Fie (Ω,F,P) un spat,iu de probabilitate. Vorbind neriguros, spunem ca v.a. X : Ω → R este de tip

continuu daca poate lua orice valoare dintr-un interval, posibil nemarginit, (a, b) ⊂ R.

În cazul v.a. continue nu ne intereseaza probabilitatea caX sa ia o singura valoare ci doar probabilitat,i

de forma P (a < X < b), deoarece vom vedea ca probabilitatea P (X = a) = 0, pentru orice a ∈ R.

O v.a. continua este bine determinata daca se cunoas, te cel put,in una dintre funct,iile legate de ea:

funct,ia de repartit,ie F (vezi cursurile precedente) sau densitatea de repartit,ie f . Densitatea de repartit,ie

este mai importanta pentru o v.a. continua, deoarece ea suplines, te tabloul de repartit,ie din cazul v.a.

discrete.

Remarca III.1.1 Daca X este o v.a. continua atunci vom vedea ca funct,ia ei de repartit,ie FX este funct,ie

continua (ceea ce justifica s, i numele v.a.) spre deosebire de v.a. discrete când FX este o funct,ie în scara:

constanta pe port,iuni, nedescrescatoare s, i cu un numar cel mult numarabil de salturi.

III.1.1 Densitatea de repartit,ie

Definitia III.1.2 Funct,ia f : R→ R este o densitate de repartit,ie (sau densitate de probabilitate) daca:

(i) f (x) ≥ 0, pentru orice x ∈ R;

(ii) f este integrabila pe R cu∫Rf (t) dt = 1.

1


Definitia III.1.3 Sa consideram o v.a. X pentru care exista o densitate de repartit,ie fX : R→ [0,∞) astfel încât

FX (x) =

∫ x

−∞fX (t) dt, pentru orice x ∈ R, (III.1.1)

unde FX este funct,ia de repartit,ie asociata v.a. X .

Atunci funct,ia fX se numes, te densitatea de repartit,ie (sau densitate de probabilitate) asociata v.a. X .

Putem considera drept definit,ie a unei v.a. continue urmatoarea formulare (vezi s, i Remarca III.1.10):

Definitia III.1.4 V.a. X este v.a. de tip continuu daca admite o densitate de repartit,ie (în sensul Definit,iei

III.1.3).

Daca f : R → R este o densitate de repartit,ie, atunci se poate demonstra ca exista un spat,iu de

probabilitate (Ω,F,P) s, i o v.a. definita pe acesta astfel încât f este densitatea de repartit,ie asociata lui X.

Prin urmare, are loc urmatoarea caracterizare:

Propozitia III.1.5 Funct,ia f : R → R este densitatea de repartit,ie a unei v.a. daca s, i numai daca f satisface cele

doua condit,ii din Definit,ia III.1.2.

Remarca III.1.6 Densitatea asociata unei v.a. nu este unica (în sensul egalitat,ii peste tot) dar densitatea

asociata unei v.a. este unica în sensul egalitat,ii aproape peste tot, în sensul ca daca f, g : R → [0,∞)

sunt doua funct,ii integrabile Riemann pe R, atunci:

f, g sunt doua densitat,i pentru aceeas, i v.a. X daca s, i numai daca

f = g a.p.t.1 (în raport cu masura Lebesgue).

Prin urmare,

este suficient sa cunoas, tem o densitate în orice punct din R

exceptând, eventual, o mult,ime cel mult numarabila de puncte.

De exemplu, daca f (x) = 1[0,1] (x) s, i g (x) = 1(0,1) (x) , atunci ambele funct,ii sunt densitat,i, f = g a.p.t.

(în raport cu masura Lebesgue) s, i ambele sunt densitat,i asociate v.a. X s, i respectiv Y cu funct,iile de

repartit,ie

FX (x) =

∫ x

−∞fX (t) dt =

∫ x

−∞fY (t) dt = FY (x) ,

1 Fie spat,iul masurabil (R,B (R)) înzestrat cu o masura µ. Spunem ca o proprietate A are loc µ−aproape pentru tot,i x sau

µ−aproape peste tot (notat µ−a.p.t.) daca exista mult,imea masurabila N ∈ B (R) cu µ(N) = 0 astfel încât proprietatea A are loc

pentru orice x ∈ N.

2


deci

FX (x) = FY (x) =

0, x < 0,

x , 0 ≤ x < 1,

1, x ≥ 1,

adica X s, i Y sunt identic distribuite. Sa observam ca X,Y ∼ U [0, 1].

Deci, daca v.a. X ∼ U [0, 1] , atunci putem sa consideram ca X are densitatea f = 1[0,1] (x) sau

g = 1(0,1) (x) .

Remarca III.1.7 Folosind teorema lui Lebesgue de caracterizare a funct,iilor integrabile Riemann s, tim ca

(vezi Nota 1)

daca f este marginita pe [a, b], atunci:

f este integrabila Riemann pe [a, b] daca s, i numai daca

f este continua a.p.t. pe [a, b], în raport cu masura Lebesgue.

Remarca III.1.8 Daca f este o funct,ie de densitate, atunci∫ +∞−∞ f (x) dx este convergenta, deci ne putem

as, tepta ca limx→±∞ f (x) = 0, dar nu este obligatoriu (exista exemple2 în acest sens).

Remarca III.1.9 O funct,ie de densitate nu trebuie neaparat sa fie marginita. De exemplu, daca X este

o v.a. cu funct,ia de repartit,ie

FX (x) =

0, x < 0,

√x , 0 ≤ x < 1,

1, x ≥ 1,

atunci densitatea asociata este

fX (x) =1

2√x1(0,1) (x)

care nu este marginita în 0. Cu toate acestea, fX ≥ 0 pe R iar∫R fX (x) dx =

∫ 1

0+

12√xdx = 1.

Remarca III.1.10 În probleme concrete cel mai adesea folosim v.a. discrete (caz în care funct,ia de repartit,ie

este nedescrescatoare s, i constanta pe port,iuni) s, i v.a. continue (caz în care funct,ia de repartit,ie este con-

tinua, nedescrescatoare, data de integrala (III.1.1)).

Dar se poate da s, i o clasificare riguroasa a v.a. X :

2 Se poate arata ca daca integrala∫∞a f (x) dx este convergenta, atunci:

(a) daca exista limita limx→∞ f (x) , atunci aceasta trebuie sa fie 0;

(b) daca exista limita limx→∞ xf (x) , atunci aceasta trebuie sa fie 0.

3


• spunem ca X este v.a. discreta daca exista B ∈ B (R) cel mult numarabila astfel încât P (X ∈ B) =

1; s-a aratat deja ca X este v.a. discreta daca s, i numai daca funct,ia ei de repartit,ie este constanta pe

port,iuni;

• spunem ca X este v.a. continua daca P (X ∈ B) = 0, pentru orice B ∈ B (R) cel mult numarabila;

în aceasta definit,ie se obtine (folosind legatura dintre P(X = a) s, i funct,ia de repartit,ie) ca X este

v.a. continua daca s, i numai daca funct,ia ei de repartit,ie este continua.

Evident, se pot construi us, or exemple de v.a. care sa fie de tip mixt, adica v.a. X sa ia anumite valori

cu probabilitate strict pozitiva s, i, de asemenea, valorile v.a. X sa fie un interval.

Exemplul III.1.11 O v.a. de tip mixt poate sa apara în felul urmator: X reprezinta timpul de as, teptare

al unei persoane la un semafor. Prin urmare, valorile lui X sunt în [0,∞). Este posibil ca atunci când

persoana ajunge la acel semafor sa nu as, tepte deloc, adica exista p > 0 astfel încât P (X = 0) = p; în cazul

în care persoana trebuie sa as, tepte, timpul de as, teptare defines, te o v.a. de tip continuu. Prin urmare,

exista f astfel încât P (X > 0) =∫∞

0f (x) dx = 1− p.

Exemplul III.1.12 Un alt exemplu concret de v.a. de tip mixt este dat de v.a. X definita de urmatoarea

funct,ia de repartit,ie:

FX (x) =

0, x < 0,

0.1 + 0.8x, 0 ≤ x < 1,

1, x ≥ 1.

Aceasta funct,ie este o funct,ie de repartit,ie deoarece este nedescrescatoare, continua la dreapta pe R iar

FX (−∞) = 0 s, i FX (+∞) = 1.

Dar aceasta funct,ie nu este nici constanta pe port,iuni (cazul v.a. discrete) s, i nici continua pe R (cazul

v.a. continue).

Propozitia III.1.13 Fie X o v.a. continua s, i FX funct,ia ei de repartit,ie. Atunci:

(i) FX este funct,ie continua (ceea ce justifica denumirea de v.a. continua).

Astfel cuvântul „continuu” din denumirea „v.a. continue” se refera mai degraba la o proprietate a funct,iei

de repartit,ie FX decât la o proprietate a funct,iei masurabile X.

(ii) FX este derivabila în orice punct x ∈ R în care f este continua s, i

F ′X (x) = fX (x) , oricare ar fi x punct de continuitate pentru f.

4


(iii) Folosind legatura dintre probabilitat,ile de tipul P(X = a) s, i funct,ia de repartit,ie deducem ca

P (X = a) = 0, pentru orice a ∈ R. (III.1.2)

(iv) Folosind legatura dintre probabilitat,ile de tipul P(a < X ≤ b) s, i funct,ia de repartit,ie deducem ca, pentru

orice −∞ ≤ a < b ≤ +∞,

FX (b)− FX (a) =

∫ b

a

fX (t) dt = P (a < X ≤ b)

= P (a < X < b)

= P (a ≤ X < b)

= P (a ≤ X ≤ b)

(III.1.3)

Remarca III.1.14 Mai general, daca v.a. X admite densitatea fX , atunci (vezi s, i formula de legatura

(III.1.26), din cazul bidimensional)

P (X ∈ D) =

∫D

fX (x) dx , (III.1.4)

pentru orice D ∈B (R) .

Remarca III.1.15 Semnificat,ia geometrica a densitat,ii de repartit,ie este urmatoarea: fX este acea funct,ie

nenegativa s, i integrabila cu proprietatea ca aria domeniului D din plan cuprins între dreptele x = a,

x = b, axa Ox s, i curba y = f (x) este egala, pe de o parte, cu integrala∫ bafX (t) dt iar, pe de alta parte, este

egala cu probabilitatea ca X sa ia valori între a s, i b, i.e.

A (D) =

∫ b

a

fX (t) dt = P (a ≤ X ≤ b) .

Exemplul III.1.16 Funct,ia f : R→ R, f (x) =1

x21[1,∞) (x) este o densitate de repartit,ie.

Într-adevar, f ≥ 0 pe R s, i ∫ +∞

−∞f (x) dx =

∫ ∞1

1

x2dx =

−1

x

∣∣∣x=∞

x=1= 1.

Definitia III.1.17 În cazul unei v.a. X oarecare (nu neaparat continua) cuantila corespunzatoare pragului de

probabilitate p ∈ (0, 1) (sau cuantila de ordin p) este valoarea xp ∈ R data de

P (X < xp) ≤ p ≤ P (X ≤ xp) (III.1.5)

sau, echivalent,

P (X ≤ xp) ≥ p s, i P (X ≥ xp) ≥ 1− p. (III.1.6)

5


Remarca III.1.18 În particular, daca X este o v.a. continua, obt,inem ca, daca xp este cuantila, atunci cele

doua condit,ii din definit,ia (III.1.5) a cuantilei se reduc la

P (X ≤ xp) = p.

Apoi obt,inem ca

P (xp ≤ X ≤ x2p) = FX (x2p)− FX (xp) = 2p− p = p

s, .a.m.d..

Deci, în cazul unei v.a. continue, putem vedea cuantilele s, i ca pe acele puncte care împart valorile v.a.

X în intervale de probabilitat,i egale.

În practica vom lua p = kq , unde q ∈ N∗ se va numi ordinul cuantilei iar valorile k = 1, q − 1 vor defini

cuantilele de ordin q.

Avem o singura cuantila de ordin 2 (luam p = k2 , unde k = 1 ), numita mediana, care este valoarea

x1/2 astfel încât

P(X ≤ x1/2

)= P

(X ≥ x1/2

)= 1/2

sau, echivalent,

FX(x1/2

)= 1/2,

adica mediana x1/2 împarte volumul valorilor lui X în doua part,i egale.

Avem trei cuantilele de ordin 4 (luam p = k4 , unde k = 1, 3 ), numite cuartilele, care sunt valorile

x1/4, x2/4, x3/4 astfel încât

P(X ≤ x1/4

)= P

(x1/4 ≤ X ≤ x1/2

)= P

(x1/2 ≤ X ≤ x3/4

)= P

(X ≥ x3/4

)= 1/4

sau, echivalent,

FX(x1/4

)= 1/4, FX

(x1/2

)= 1/2, FX

(x3/4

)= 3/4,

adica cuartilele x1/4, x2/4, x3/4 împart volumul valorilor lui X în patru part,i egale.

Avem 99 cuantile de ordin 100 (luam p = k100 , unde k = 1, 99 ) numite percentile (sau centile). De

exemplu, x20/100 este valoarea sub care sunt gasite 20% din valorile v.a. X.

Urmatorul rezultat ne arata cum se schimba densitatea de repartit,ie la schimbarea v.a.

6


Teorema III.1.19 Fie X o .v.a. continua cu densitatea de repartit,ie fX . Fie h : D ⊂ R→ R o funct,ie astfel încât:

(i) h este derivabila pe D,

(ii) h este bijectiva,

(iii) Supp(fX)def== x : fX (x) 6= 0 ⊆ D.

Atunci densitatea noii v.a. Y = h (X) este data de

fY (y) = fX(h−1 (y)

)|(h−1)′(y)|1h(D) (y) , (III.1.7)

în orice punct y astfel încât fX este continua în h−1 (y) .

Remarca III.1.20 Demonstrat,ia se bazeaza pe schimbarea de variabila în integrala. Deoarece h este in-

jectiva s, i continua obt,inem ca h este monotona. În cazul în care h−1 este crescatoare (deci(h−1

)′(z) > 0,

pentru orice z ) avem

FY (y) = P (Y ≤ y) = P (h (X) ≤ y) = P(X ≤ h−1 (y)

)=

∫ h−1(y)

−∞fX (x) dx =

∫ y

h(−∞)

fX(h−1 (z)

)d(h−1 (z)

)=

∫ y

−∞fX(h−1 (z)

)(h−1)′ (z) dz =

∫ y

−∞fX(h−1 (z)

)|(h−1)′ (z) |dz.

Pe de alta parte,

FY (y) =

∫ y

−∞fY (z) dz,

deci obt,inem concluzia (III.1.7).

Cazul h−1 descrescatoare se trateaza similar.

Evident, în cazul în care h−1 este crescatoare, putem scrie s, i direct:

FY (y) = P (Y ≤ y) = P (h (X) ≤ y) = P(X ≤ h−1 (y)

)= FX

(h−1 (y)

),

deci

fY (y) = F ′Y (y) =[FX(h−1 (y)

)]′= F ′X

(h−1 (y)

)·(h−1

)′(y) = fX

(h−1 (y)

)·(h−1

)′(y) .

Corolarul III.1.21 Fie X o .v.a. continua cu densitatea de repartit,ie fX . Fie a 6= 0 s, i

Y = aX + b sau, echivalent, X =Y − ba

.

Atunci densitatea v.a. Y este

fY (y) =1

|a|fX

(y − ba

), pentru orice y ∈ R.

7


III.1.2 Caracteristici numerice

În cazul discret media unei v.a. este suma unei serii numerice, dar în cazul continuu media este data

de o integrala.

Definitia III.1.22 În caz ca urmatoarea integrala este absolut convergenta, aceasta se va numi media v.a. con-

tinue X cu densitatea de repartit,ie fX :

E (X) =

∫RxfX (x) dx (III.1.8)

(în caz ca integrala este absolut convergenta vom spune ca v.a. admite medie sau ca este integrabila).

Remarca III.1.23 De fapt, daca (Ω,F,P) este un spat,iu de probabilitate s, i X este o v.a. definita pe acest

spat,iu, atunci

media unei v.a. (indiferent de tipul ei) este definita de urmatoarea

integrala Lebesgue (în caz ca aceasta exista) pe Ω în raport cu masura P :

E (X)def==

∫Ω

X (ω) P (dω) . (III.1.9)

Conform definit,iei integralei Lebesgue, se deduce ca X este integrabila Lebesgue (adica integrala exista

s, i este finita) daca s, i numai daca |X| este integrabila Lebesgue.

Aplicând o teorema de schimbare de variabila în integrala Lebesgue anterioara obt,inem ca media se

poate exprima cu ajutorul integralei Lebesgue pe R în raport cu masura PX (legea asociata v.a. X ):

E (X) =

∫RxPX (dx) (III.1.10)

Având în vedere ca legea unei v.a. este unic determinata de funct,ia de repartit,ie FX , integrala prece-

denta se poate exprima s, i cu ajutorul integralei Riemann-Stieltjes pe R în raport cu funct,ia crescatoare

FX (care este, prin urmare, cu variat,ie marginita) asociata v.a. X :

E (X) =

∫Rx dFX (x) . (III.1.11)

Ment,ionam ca cele trei exprimari ale mediei, de mai sus, sunt valabile pentru orice tip de v.a..

În cazul în care v.a. X admite densitatea f, integralele de mai sus coincid cu integrala Riemann data

de (III.1.8) deoarece avem egalitat,ile, scrise formal,

PX(dx) = fX(x) dx = dFX(x).

8


Media unei funct,ii aplicata unei v.a. poate fi calculata folosind urmatorul rezultat.

Teorema III.1.24 (Formula de transfer) Fie X o .v.a. continua cu densitatea de repartit,ie fX . Fie h : R→ R o

funct,ie masurabila. Atunci h (X) : Ω→ R este s, i ea o v.a. s, i aceasta v.a. admite medie daca s, i numai daca∫R|h (x)| fX (x) dx <∞.

În cazul în care h (X) admite medie, aceasta este data de:

E (h (X)) =

∫Rh (x) fX (x) dx . (III.1.12)

Remarca III.1.25 În cazul particular în care luam h (x) = 1B (x) , unde B ∈ B (R) este arbitrar fixata,

formula (III.1.12) devine

E (1B (X)) =

∫R1B (x) fX (x) dx =

∫B

fX (x) dx.

Pe de alta parte, folosind definit,ia mediei, obt,inem

E (1B (X)) =

∫Ω

1B (X) dP =

∫Ω

1X∈B dP =

∫X∈B

dP = P (X ∈ B) .

Astfel obt,inem din nou formula (III.1.4) din cazul v.a. de tip continuu:

P (X ∈ B) =

∫B

fX (x) dx.

Definitia III.1.26 Se numes, te moment de ordin r > 0 al v.a. X , media v.a. Xr (daca este bine definita). Vom

nota

µrnot== E(Xr) =

∫Rxrf (x) dx .

Deci momentul µ1 este chiar media v.a. X.

Definitia III.1.27 Se numes, te moment central de ordin r > 0 al v.a. X , media v.a. (X − µ1)r (daca este bine

definita). Vom nota

νrnot== E

[(X − µ1)

r ]=

∫R

(x− µ1)rf (x) dx .

Definitia III.1.28 Se numes, te moment absolut de ordin r > 0 al v.a. X , media v.a. |X|r, deci

E(|X|r) =

∫R|x|rf (x) dx .

Definitia III.1.29 Se numes, te dispersia (sau variant,a) v.a. X , notata cu D2 (X) (sau cu Var(X) ), momentul

central de ordin 2 al v.a. X , i.e.

D2 (X) = Var(X)def== E (X − µ1)

2.

Deci, în cazul unei v.a. continue X care admite densitatea fX ,

D2 (X) =

∫R

(x− E (X))2f (x) dx .

9


Remarca III.1.30 Având în vedere formula de transfer (III.1.12) obt,inem formula de calcul a dispersiei:

D2 (X) = E(X2)− (E (X))

2.

Definitia III.1.31 Cantitatea definita de

D (X)def==√

D2 (X)

se numes, te deviat,ia standard (sau abaterea standard).

Remarca III.1.32 Evident, ν1 = E (X − µ1) = E (X) − E (µ1) = 0, iar momentul central ν2 este chiar

dispersia v.a. X .

Definitia III.1.33 Se numes, te covariant,a v.a. X s, i Y , notata Cov (X,Y ), media3

Cov (X,Y )def== E [(X − E (X)) · (Y − E (Y ))] . (III.1.13)

Remarca III.1.34 Daca facem calculele, obt,inem formula de calcul a covariant,ei:

Cov (X,Y ) = E (XY )− E (X)E (Y ) . (III.1.14)

Remarca III.1.35 Evident, covariant,a dintre v.a. X cu ea însas, i este chiar dispersia, i.e.

D2 (X) = Cov (X,X) .

Definitia III.1.36 Daca D2 (X) > 0 s, i D2 (Y ) > 0, atunci

ρ (X,Y )def==

Cov (X,Y )√D2 (X) ·D2 (Y )

(III.1.15)

se numes, te corelat,ia (sau coeficientul de corelat,ie al) v.a. X s, i Y.

Remarca III.1.37 Au loc s, i în cazul v.a. continue rezultatele stabilite in cazul v.a. discrete precum s, i

inegalitat,ile lui Markov s, i Cebâs, ev.

Exemplul III.1.38 Fie X o v.a. cu densitatea de repartit,ie f : R → R, f (x) =(x+ 1

2

)1[0,1] (x) . Media ei

este data de

E (X) =

∫ +∞

−∞xf (x) dx =

∫ 1

0

x(x+

1

2

)dx =

(x3

3+x2

4

)∣∣∣x=1

x=0=

7

12.

3 Pentru calculul concret, vezi formula (III.1.25).

10


Exercitiul III.1.39 Fie X o v.a. (discreta sau continua). Sa se arate ca

E[

(X − a)2 ]

= D2 (X) + (E (X)− a)2, pentru orice a ∈ R.

Apoi sa se determine minimul funct,iei R 3 a 7→ E[|X − a|

].

Identitatea este us, or de obt,inut:

E[

(X − a)2 ]

= E(X2)− 2aE (X) + a2

= D2 (X) + (E (X))2 − 2aE (X) + a2.

În plus, infa∈R E[

(X − a)2 ]

= D2 (X) + infa∈R (E (X)− a)2

= D2 (X) iar minimul se realizeaza pentru

a = E (X) .

Prin urmare,

dispersia D2 (X) este valoarea minima a funct, iei f (a) = E[

(X − a)2 ]

s, i aceasta se realizeaza pentru a = E (X) .

Astfel am demonstrat ca

E[

(X − a)2 ] ≥ E

[(X − E (X))

2 ] def== D2 (X) , pentru orice a ∈ R.

Prin urmare media E (X) este constanta care aproximeaza cel mai bine v.a. X în spat, iul L2 (Ω,F,P)

care este spat,iul funct,iilor masurabile X : Ω→ R, astfel încât

E(X2)

=

∫Ω

|X (ω)|2 P (dω) <∞.

III.1.3 Exemple de v.a. continue

III.1.4 Distribut,ia uniforma

O v.a. X spunem ca urmeaza distribut,ia uniforma pe intervalul [a, b], s, i scriem X ∼ U [a, b], daca are

densitatea de repartit,ie data de

f (x) =1

b− a1[a,b] (x) , x ∈ R .

Se verifica imediat ca f ≥ 0 s, i ca∫ +∞

−∞f (x) dx =

∫ b

a

f (x) dx =1

b− a

∫ b

a

dx =1

b− ax∣∣∣x=b

x=a= 1.

Funct,ia de repartit,ie corespunzatoare este F (x) =∫ x−∞ f (t) dt = 0, daca x ≤ a.

11


Daca a < x ≤ b, atunci

F (x) =

∫ x

−∞f (t) dt =

∫ a

−∞f (t) dt+

∫ x

a

f (t) dt =

∫ x

a

1

b− adt =

x− ab− a

iar daca x > b, atunci

F (x) =

∫ x

−∞f (t) dt =

∫ a

−∞f (t) dt+

∫ b

a

f (t) dt+

∫ x

b

f (t) dt =

∫ b

a

f (t) dt =1

b− a(b− a) = 1.

Deci

F (x) =

0, daca x ≤ a,

x− ab− a

, daca a < x ≤ b,

1, daca x > b.

(III.1.16)

Graficele funct,iilor f s, i F se pot desena cu us, urint, a.

Propozitia III.1.40 Media s, i dispersia v.a. distribuite uniform X ∼ U [a, b] sunt date de

E (X) =a+ b

2s, i D2 (X) =

(b− a)2

12.

Demonstratie. Într-adevar, conform definit,iei

E (X) =

∫Rxf (x) dx,

deci

E (X) =

∫ b

a

x1

b− adx =

1

b− a

∫ b

a

xdx =1

b− ax2

2

∣∣∣x=b

x=a=a+ b

2.

Pe de alta parte,

E(X2)

=

∫Rx2f (x) dx =

∫ b

a

x2 1

b− adx =

1

b− ax3

3

∣∣∣x=b

x=a=a2 + ab+ b2

3,

deci D2 (X) = a2+ab+b2

3 −(a+b

2

)2= (b−a)2

12 .

Exemplul III.1.41 Fie X ∼ U [0, 1]. Atunci

F (x) =

0, daca x ≤ 0,

x daca 0 < x ≤ 1,

1, daca x > 1.

(III.1.17)

Deci probabilitatea P (1/4 ≤ X ≤ 3/4) = F (3/4)− F (1/4) = 1/2.

Exercitiul III.1.42 Fie o v.a. X ∼ U (0, 1) s, i n ∈ N∗. Sa se arate ca

Udef== bnXc+ 1 ∼ DU (n) ,

unde bnXc este partea întreaga a v.a. nX, i.e. cel mai mare întreg aleator mai mic sau egal decât v.a. nX.

12


Deoarece X ∈ (0, 1) obt,inem ca nX ∈ (0, n) , deci bnXc ∈ 0, 1, . . . , n− 1 adica mult,imea valorilor v.a. U

este 1, 2, . . . , n .

Pentru orice k ∈ 1, 2, . . . , n ,

P (U = k) = P (bnXc = k − 1) = P (k − 1 ≤ nX < k)

= P(k − 1

n≤ X <

k

n

)=

∫ kn

k−1n

dx =1

n,

prin urmare U :

1 2 . . . n

1/n 1/n . . . 1/n

, adica U ∼ DU (n) .

Propozitia III.1.43 V.a. X ∼ U [a, b] daca s, i numai daca4 v.a.

Y =X − ab− a

∼ U [0, 1] .

Demonstratie. Avem

FY (y) = P (Y ≤ y) = P(X − ab− a

≤ y)

= P (X ≤ (b− a) y + a) = FX ((b− a) y + a) ,

deci

fY (y) = (FY (y))′

= (FX ((b− a) y + a))′

= (b− a) fX ((b− a) y + a)

= (b− a) · 1

b− a1[a,b] ((b− a) y + a) = 1[0,1] (y) ,

deoarece

a ≤ (b− a) y + a ≤ b ⇔ 0 ≤ y ≤ 1,

adica

1[a,b] ((b− a) y + a) = 1[0,1] (y) .

Prin urmare, Y corespunde unei v.a. distribuite uniform pe [0, 1] .

Remarca III.1.44 Similar se arata ca v.a. X ∼ U [0, 1] daca s, i numai daca v.a.

Y = (b− a)X + a ∼ U [a, b] .

Propozitia III.1.45 FieX o v.a. continua cu funct,ia de repartit,ie FX , astfel încât FX este strict crescatoare, s, i v.a.

Ydef== FX (X) .

Atunci v.a. Y este distribuita uniform pe [0, 1] .

4 Vezi s, i demonstrat,ia alternativa data de formula (III.1.30), aplicata în Exemplul III.1.102.

13


Demonstratie. Sa observam, mai întâi, ca FX : R→ [0, 1] , deci

FY (y) = P (Y ≤ y) = P (FX (X) ≤ y) = 0, daca y < 0

s, i

FY (y) = P (Y ≤ y) = P (FX (X) ≤ y) = 1, daca y > 1.

Avem urmatorul calculul elementar:

FY (y) = P (Y ≤ y) = P (FX (X) ≤ y) = P(X ≤ F−1

X (y))

= FX(F−1X (y)

)= y.

III.1.5 Distribut,ia exponent,iala

O v.a. X spunem ca urmeaza distribut,ia exponent,iala de parametru λ > 0, s, i scriem X ∼ Exp(λ),

daca are densitatea de repartit,ie data de

f (x) = λe−λx1[0,∞) (x) , x ∈ R .

Evident, f (x) ≥ 0, pentru orice x ∈ R s, i∫ +∞

−∞f (x) dx =

∫ +∞

0

λe−λxdx = λe−λx

−λ

∣∣∣x=+∞

x=0= 1− e−∞ = 1.

Funct,ia de repartit,ie corespunzatoare este F (x) =∫ x−∞ f (t) dt = 0, daca x ≤ 0 s, i, daca x > 0, atunci

F (x) =

∫ x

−∞f (t) dt =

∫ x

0

λe−λtdt = λe−λt

−λ

∣∣∣t=xx=0

,

deci (vezi s, i relat,iile din cazul distribut,iei geometrice), pentru orice x > 0 avem

F (x) = 1− e−λx sau, echivalent, P (X ≥ x) = e−λx. (III.1.18)

Sa ment,ionam ca funct,ia definita de

rX (x)def== 1− FX (x) = P (X > x)

este numita funct,ia de supraviet,uire sau funct,ia de fiabilitate s, i, datorita formei simple din cazul distribut,iei

exponent,iale, este preferabil sa lucram cu ea.

Remarca III.1.46 Ca s, i distribut,ia geometrica, din cazul discret, s, i distribut,ia exponent,iala este „fara

memorie”. Mai mult chiar, distribut,ia exponent,iala este singura distribut,ie continua „fara memorie”.

Astfel are loc

P (X ≥ s+ t|X ≥ s) = P (X ≥ t) , pentru orice s, t > 0

14


Propozitia III.1.47 Media s, i dispersia v.a. distribuite exponent,ial X ∼ Exp (λ) sunt date de

E (X) =1

λs, i D2 (X) =

1

λ2. (III.1.19)

Remarca III.1.48 Deci, în cazul unei v.a. de tip Exp (λ) , parametrul ei este chiar inversul mediei v.a..

Demonstratie. Conform definit,iei, integrând prin part,i, obt,inem

E (X) =

∫ ∞0

λxe−λxdx = λxe−λx

−λ

∣∣∣x=∞

x=0− λ

∫ ∞0

e−λx

−λdx = − x

eλx

∣∣∣x=∞

x=0+e−λx

−λ

∣∣∣x=∞

x=0=

1

λ.

Pe de alta parte,

E(X2)

=

∫ ∞0

λx2e−λxdx = λx2 e−λx

−λ

∣∣∣x=∞

x=0− λ

∫ ∞0

2xe−λx

−λdx

= − x2

eλx

∣∣∣x=∞

x=0+ 2

∫ ∞0

xe−λxdx = 2E (X)

λ=

2

λ2.

Deci D2 (X) = 2λ2 −

(1λ

)2= 1

λ2 .

Avem urmatorul rezultat de legatura dintre distribut,ia exponent,iala s, i distribut,ia geometrica.

Exercitiul III.1.49 Fie o v.a. X ∼ Exp (λ), λ > 0. Sa se calculeze funct,ia de repartit,ie FU , unde U = bXc ,

adica partea întreaga a v.a. X, i.e. cel mai mare întreg aleator mai mic sau egal decât v.a. X.

Sa notam q = e−λ s, i p = 1− q.

Se obt,ine ca

P (U > n) = P (bXc > n) = P (bXc ≥ n+ 1)

= P (X ≥ n+ 1) = e−λ(n+1) = qn+1,

deci

FU (u) = 1− qn+1.

Astfel, pentru orice n ∈ N,

P (U = n) = P (U > n− 1)− P (U > n)

= qn − qn+1 = qn (1− q) = pqn,

adica5 U ∼ G (p) (varianta care numara es, ecurile).

5 Aceasta este o metoda de a genera v.a. distribuite geometric folosind v.a. distribuite exponent,ial.

15


Putem rat,iona s, i astfel:

P (U = n) = P (bXc = n) = P (n ≤ X < n+ 1) =

∫ n+1

n

λe−λx dx

=e−λx

−1

∣∣∣x=n+1

x=n= e−λn − e−λ(n+1) =

(1− e−λ

)(e−λ

)n= p qn.

Astfel putem spune ca distribut, ia geometrica este versiunea discreta a distribut, iei exponent, iale.

III.1.6 Distribut,ia normala

O v.a. X spunem ca urmeaza distribut,ia normala (sau distribut,ia Gaussiana) de parametri µ ∈ R s, i

σ2 > 0, s, i scriem X ∼N(µ,σ2

), daca are densitatea de repartit,ie data de

f (x) =1√

2πσ2e−

(x−µ)2

2σ2 , x ∈ R .

Uneori se scrie sub forma N(µ,σ) , adica se considera ca parametrii sunt µ ∈ R s, i σ > 0.

III.1.6.1 Densitatea de repartit,ie

Propozitia III.1.50 Funct,ia f este o densitate de repartit,ie.

Demonstratie. Evident, f (x) ≥ 0, pentru orice x ∈ R.

Daca facem schimbarea de variabilax− µ√

2σ2= t sau echivalent x =

√2σ t+ µ, atunci dx =

√2σ dt s, i∫ +∞

−∞f (x) dx =

∫ +∞

−∞

1√2πσ2

e−(x−µ)2

2σ2 dx =1√

2πσ2

∫ +∞

−∞e−t

2√2σ dt

=1√π

∫ +∞

−∞e−t

2

dt = 1,

deoarece avem urmatoarea valoare a integralei Gauss (sau Euler-Poisson)∫ +∞

−∞e−t

2

dt =√π . (III.1.20)

Sa demonstram (III.1.20).

Are loc ey > 1 + y, pentru orice y > 0, deci

e−x2

<1

1 + x2, pentru orice x ∈ R,

dar∫∞

01

1+x2 dx = arctan (∞) − arctan (0) = π/2 adica este convergenta. Deci integrala improprie I1def==∫∞

0e−x

2

dx este s, i ea convergenta.

16


Pe de alta parte,

(I1)2

=

∫ ∞0

e−x2

dx ·∫ ∞

0

e−y2

dy =

∫∫x,y≥0

e−x2−y2dxdy.

Pentru calculul acestei integrale duble se va folosi trecerea la coordonate polare x = ρ cos θ, y = ρ sin θ cu

determinantul Jacobian J = ρ. Obt,inem

(I1)2

=

∫ π/2

0

(∫ ∞0

e−ρ2

ρ dρ

)dθ =

∫ π/2

0

e−ρ2

−2

∣∣∣ρ=∞ρ=0

dθ =π

4.

Deci∫ +∞

−∞e−t

2

dt = 2I1 =√π.

Remarca III.1.51 Referitor la graficul densitat,ii de repartit,ie f :

(i) Graficul este cunoscut sub numele de clopotul lui Gauss s, i este simetric în raport cu dreapta x = µ

(adica X este v.a. simetrica în raport cu µ)

(ii) Parametrul σ2 da gradul de turtire al graficului (sau gradul de împras, tiere al valorilor lui X fat, a de

valoarea medie µ).

(iii) Graficul are axa Ox drept asimptota orizontala la ±∞ deoarece avem limx→±∞ f (x) = 0.

(iv) Graficul admite un maxim în punctul M(m, 1√

2πσ2

)s, i doua puncte de inflexiune date de µ − σ s, i

µ + σ.

Într-adevar, derivata

f ′ (x) =1√

2πσ2e−

(x−µ)2

2σ2x− µ

−σ2= −x− µ

σ2f (x) .

Punctele de extrem sunt date de

f ′ (x) = 0 ⇔ x = µ.

Pe de alta parte,

f ′′ (x) =−1√2π σ3

(e−

(x−µ)2

2σ2 + (x− µ) e−(x−µ)2

2σ2x− µ

−σ2

)=

−1√2π σ3

e−(x−µ)2

2σ2σ2 − (x− µ)

2

σ2= −σ2 − (x− µ)

2

σ4f (x) .

Deci punctele de inflexiune sunt date de

f ′′ (x) = 0 ⇔ x = µ± σ.

Remarca III.1.52 Luând µ = 0 s, i σ2 = 1 se obt,in v.a. distribuite de tip N(0, 1) , numite s, i v.a. distribuite

normal standard, cu densitatea

f (x) =1√2π

e−x2

2 , x ∈ R .

17


Graficul densitat,ii de repartit,ie este simetric în raport cu axa Oy (adica densitatea f este funct,ie para s, i,

prin urmare, X este v.a. simetrica în raport cu 0) s, i admite un maxim în punctul M(

0, 1√2π

).

De asemenea, f (0) = 1√2π' 0.3989 s, i f (3.99) = f (−3.99) ' 10−4 ' 0. Deci valorile f (x) pentru

|x| > 4 sunt neglijabile, adica curba se apropie foarte repede de axa absciselor Ox când x cres, te.

Propozitia III.1.53 Media s, i dispersia v.a. distribuite normal X ∼N(µ,σ2

)sunt date de

E (X) = µ s, i D2 (X) = σ2 .

Remarca III.1.54 Deci, în cazul unei v.a. de tip N(µ,σ2

), parametrii ei reprezinta chiar media s, i dispersia

v.a..

Demonstratie. Utilizam (III.1.20) s, i obt,inem, luând x =√

2σ t+ µ,

E (X) =

∫ +∞

−∞

x√2πσ2

e−(x−µ)2

2σ2 dx =1√

2πσ2

∫ +∞

−∞(√

2σ t+ µ)e−t2√

2σ dt

=

√2σ√π

∫ +∞

−∞te−t

2

dt+µ√π

∫ +∞

−∞e−t

2

dt

=

√2σ√π

e−t2

−2

∣∣∣x=+∞

x=−∞+

µ√π

√π = 0 + µ

s, i

E(X2)

=

∫ +∞

−∞

x2

√2πσ2

e−(x−µ)2

2σ2 dx =1√

2πσ2

∫ +∞

−∞(√

2σ t+ µ)2e−t2√

2σ dt

=2σ2

√π

∫ +∞

−∞t2e−t

2

dt+2√

2µσ√π

∫ +∞

−∞te−t

2

dt+µ2

√π

∫ +∞

−∞e−t

2

dt

=2σ2

√πte−t

2

−2

∣∣∣x=+∞

x=−∞− 2σ2

√π

∫ +∞

−∞

e−t2

−2dt+ 0 +

µ2

√π

√π

= − σ2

√π

t

et2

∣∣∣x=+∞

x=−∞+

σ2

√π

∫ +∞

−∞e−t

2

dt+ µ2 = σ2 + µ2.

Deci D2 (X) = σ2 + µ2 − µ2 = σ2 .

III.1.6.2 Funct,ia de repartit,ie

Funct,ia de repartit,ieFunct,ia de repartit,ie asociata v.a. X ∼N(0, 1) se noteaza cu Φ, i.e.

Φ (x)not== FN(0,1) (x) =

1√2π

∫ x

−∞e−

t2

2 dt , pentru x ∈ R,

pentru care exista tabele cu valori ale ei.

Pe de alta parte, funct,ia de repartit,ie Φ (z) =∫ z−∞ fX (t) dt reprezinta aria domeniului din plan cuprins

între x = z, axa Ox s, i curba y = fX (x).

18


Remarca III.1.55 Evident, daca folosim interpretarea cu ajutorul ariei funct,iei Φ, observam ca

Φ (0) =1

2

s, i, folosind simetria graficului funct,iei de densitate fX , obt,inem ca

Φ (−x) = 1− Φ (x) , pentru orice x > 0,

prin urmare este suficient sa cunoas, tem doar valorile funct,iei Φ în argumente strict pozitive.

Remarca III.1.56 Avem ca limx→∞ Φ (x) = 1. Daca folosim tabelele, citim urmatoarele valori:

Φ (1.00) ' 0.841345, Φ (2.00) ' 0.977250, Φ (3.00) ' 0.998650,

Φ (3.80) ' 0.999928, Φ (3.90) ' 0.999952, Φ (3.98) ' 0.999966.

Exemplul III.1.57 Fie v.a. X ∼N(0, 1). Citim din tabele valoarea Φ (1.68) ' 0.954, deci probabilitatea ca

X sa ia valori mai mici decât 1.68 reprezinta aproximativ 95% din întreaga arie marginita de densitatea

de repartit,ie s, i de axa Ox.

Propozitia III.1.58 Fie X ∼ N(µ,σ2

). Are loc urmatoarea legatura între funct,ia de repartit,ie FX s, i funct,ia de

repartit,ie Φ pentru care exista tabele de valori:

F (x) = Φ(x− µ

σ

), pentru orice x ∈ R. (III.1.21)

Demonstratie. Într-adevar,

F (x) =

∫ x

−∞

1√2πσ2

e−(t−µ)2

2σ2 dt.

Acum se va face schimbarea de variabila

t− µ

σ= s ⇔ t = σs+ µ ⇒ dt = σ ds

deci

F (x) =1√

2πσ2

∫ x−µσ

−∞e−

s2

2 σ ds =1√2π

∫ x−µσ

−∞e−

s2

2 ds = Φ(x− µ

σ

).

Remarca III.1.59 Deoarece Φ (0) = 1/2 obt,inem ca

F (µ) =1

2,

deci µ = x1/2 este mediana distribut,iei, deoarece împarte mult,imea valorilor în doua part,i egale, i.e.

P (X ≤ µ) = P(X ≤ x1/2

)= 1/2

iar

P (X > µ) = 1− P(X ≤ x1/2

)= 1/2.

19


Propozitia III.1.60 Fie X ∼N(µ,σ2

). Atunci, pentru orice −∞ ≤ a ≤ b ≤ +∞, ε > 0 s, i k > 0,

(i) P (a ≤ X ≤ b) = F (b)− F (a) = Φ(b− µ

σ

)− Φ

(a− µ

σ

),

(ii) P (|X − µ| ≤ ε) = F (µ + ε)− F (µ− ε)

= Φ( εσ

)− Φ

(− ε

σ

)= 2Φ

( εσ

)− 1,

(iii) P (|X − µ| ≤ kσ) = 2Φ (k)− 1,

(iv) P (|X − µ| > kσ) = 2 (1− Φ (k)) .

(III.1.22)

Exemplul III.1.61 Fie v.a. X ∼N(0,σ2

). Sa calculam P (|X| ≤ σ).

Luând k = 1 în (III.1.22) obt,inem (vezi s, i Remarca III.1.56):

P (|X| ≤ σ) = 2Φ (1)− 1 = 2 · 0.841345− 1 = 0.6826.

Deci probabilitatea ca X sa ia valori în intervalul (−σ,σ) reprezinta aproximativ 68% din aria marginita

de densitatea de repartit,ie s, i de axa Ox.

Remarca III.1.62 Fie X ∼N(µ,σ2

). Sa calculam

P (|X − µ| ≤ σ) , P (|X − µ| ≤ 2σ) , P (|X − µ| ≤ 2σ) .

Luând k = 3 în (III.1.22) obt,inem (vezi s, i Remarca III.1.56):

P (|X − µ| > 3σ) = 2 (1− Φ (3)) ' 2 · 0.00135 = 0.0027.

Având în vedere ca valoarea 0.0027 poate fi neglijata, obt,inem ca o v.a. repartizata normal X ∼N(µ,σ2

)ia valori semnificative în intervalul (µ− 3σ,µ + 3σ) (numita s, i „regula celor 3σ”), i.e.

P (|X − µ| ≤ 3σ) = P (µ− 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ) ' 99.73%.

Similar se va obt,ine

P (|X − µ| ≤ σ) = P (µ− σ ≤ X ≤ µ + σ) ' 68.26%,

P (|X − µ| ≤ 2σ) = P (µ− 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ) ' 95.45% .

Remarca III.1.63 Fie X o v.a oarecare (discreta sau continua) cu media µ s, i dispersia σ2. Putem obt,ine o

estimare a probabilitat,ii P (|X − µ| < 3σ) s, i cu ajutorul inegalitat,ii lui Cebâs, ev:

P (|X − µ| ≥ 3σ) ≤ 1

32' 0.1111

sau, echivalent,

P (|X −m| < 3σ) ≥ 8

9' 0.8889.

20


Observam ca, în cazul particular al unei v.a. X ∼ N(µ,σ2

), marginea superioara obt,inuta este mult mai

mare decât valoarea exacta a probabilitat,ii.

Propozitia III.1.64 Fie X ∼N(0, 1). Atunci, pentru orice −∞ ≤ a ≤ b ≤ +∞,

(i) aria regiunii cuprinsa între x = −a s, i x = a, unde a > 0, este

A =

∫ a

−af (t) dt = 2

∫ a

0

f (t) dt = 2Φ (a)− 1,

iar, pe de alta parte,∫ a−a f (t) dt = P (−a ≤ X ≤ a), deci

A = P (|X| ≤ a) = 2Φ (a)− 1, pentru orice a > 0;

(ii) aria regiunii cuprinsa între x = −∞, x = −a s, i, respectiv, x = a, x = +∞, unde a > 0, este

A =

∫ −a−∞

f (t) dt+

∫ +∞

a

f (t) dt =

∫ +∞

−∞f (t) dt−

∫ a

−af (t) dt

= 2 (1− Φ (a)) ,

iar, pe de alta parte,∫ −a−∞

f (t) dt+

∫ +∞

a

f (t) dt = P (X ≤ −a ∪ X ≥ a) = P (|X| ≥ a) ,

deci

A = P (|X| ≥ a) = 2 (1− Φ (a)) , pentru orice a > 0;

(iii) aria regiunii cuprinsa între x = a s, i x = b este

A =

∫ b

a

f (t) dt = P (a ≤ X ≤ b) = Φ (b)− Φ (a) .

Pentru demonstrarea urmatoarelor rezultate vezi s, i Corolarul III.1.21.

Propozitia III.1.65 Are loc6

X ∼N(µ,σ2

)⇔ X − µ

σ∼N(0, 1) .

Remarca III.1.66 Daca X este o v.a., atunci spunem ca noua v.a.

X − E (X)√D2 (X)

se numes, te standardizarea v.a. X.

De exemplu, daca X ∼N(µ,σ2

), atunci v.a. X−µ

σ= X−E(X)√

D2(X)este chiar standardizarea v.a. X.

6 Vezi s, i demonstrat,ia alternativa data de formula (III.1.30).

21


Demonstratie. Sa notam cu Y =X − µ

σ. Avem

FY (y) = P (Y ≤ y) = P(X − µ

σ≤ y)

= P (X ≤ σy + µ) = FX (σy + µ) .

Deci

fY (y) = (FY (y))′

= (FX (σy + µ))′

= σ fX (σy + µ) = σ1√

2πσ2e−

(σy)2

2σ2 =1√2π

e−y2

2 ,

adica Y corespunde unei v.a. distribuite normal standard.

Remarca III.1.67 Similar se arata ca

X ∼N(0, 1) ⇔ σX + µ ∼N(µ,σ2

).

Propozitia III.1.68 Are loc:

X ∼N(µ,σ2

)⇔ aX + b ∼N

(aµ + b, a2σ2

).

Demonstratie. Sa notam cu Y = aX + b. Avem

FY (y) = P (Y ≤ y) = P (aX + b ≤ y) = P(X ≤ y − b

a

)= FX

(y − ba

).

Deci

fY (y) = (FY (y))′

=

(FX

(y − ba

))′=

1

|a|fX

(y − ba

)=

1

|a|1√

2πσ2e−

( y−ba−µ)

2

2σ2 =1√

2π a2σ2e−

(y−(aµ+b))2

2a2σ2 ,

adica Y corespunde unei v.a. distribuite normal N(aµ + b, a2σ2

).

Demonstrarea urmatorului rezultat se poate face folosind formula (III.1.31) de calcul a densitatii sumei

a doua v.a. sau cu ajutorul funct,iei caracteristice.

Propozitia III.1.69 Suma a doua v.a. independente care urmeaza o distribuit,ie de tip normal este o v.a care

urmeaza o distribuit,ie tot de tip normal. Mai precis,

Xi ∼N(µi,σ

2i

), i = 1, 2 , indep. ⇒ X1 +X2 ∼N

(µ1 + µ2,σ

21 + σ2

2

).

Remarca III.1.70 Distribut,ia normala este cazul limita al multor distribut,ii (în acest sens vezi Teorema

Limita Centrala s, i Teorema lui Moivre-Laplace). Deci pentru valori mari ale lui n putem folosi doar tabele

de valori ale distribut,iei normale.

22


III.1.7 Vectori aleatori

Definitia III.1.71 Fie spat,iul de probabilitate (Ω,F,P) . Funct,ia

X : (Ω,F)→ (Rn,B (Rn))

se numes, te variabila aleatoare n−dimensionala sau vector aleator n−dimensional daca este o funct,ie ma-

surabila.

Remarca III.1.72 Daca n = 1, vom spune ca X este variabila aleatoare reala sau, mai simplu, variabila

aleatoare. Daca n ≥ 2, vom spune ca X este vector aleator n−dimensional sau, mai simplu, vector

aleator.

Remarca III.1.73 Funct,ia

X : (Ω,F)→ (Rn,B (Rn)) , cu X = (X1, . . . , Xn),

este vector aleator daca s, i numai daca fiecare componenta Xi : (Ω,F) → (R,B (R)) este v.a. reala, cu

i = 1, n .

Definitia III.1.74 Fie X : (Ω,F)→ (Rn,B (Rn)) un vector aleator dat de X = (X1, . . . , Xn) . Funct,ia

FX : Rn → [0, 1] ,

definita prin

FX (x1, . . . , xn) = F(X1,...,Xn) (x1, . . . , xn)

def== P (X1 ≤ x1, . . . , Xn ≤ xn) , pentru (x1, . . . , xn) ∈ Rn,

se numes, te funct,ia de repartit,ie comuna (sau funct,ia de distribut,ie comuna sau funct,ia comuna de

distribut,ie cumulativa) asociata vectorului aleator X.

Remarca III.1.75 Putem scrie s, i sub forma

FX (x) = P (X ∈ B) = P(X−1 (B)

)= PX (B) ,

unde B = (−∞, x1]× . . .× (−∞, xn] ∈B(Rn) iar PX este legea asociata vectorului aleator X.

Propozitia III.1.76 Au loc urmatoarele proprietat,i ale funct,iei de repartit,ie FX :

(i) Funct,ia FX este monoton nedescrescatoare (i.e. crescatoare dar nu neaparat strict crescatoare) în fiecare

argument al ei.

(ii) Funct,ia FX este continua la dreapta în fiecare argument al ei.

23


(iii) Daca i = 1, n , atunci

limxi→−∞ FX (x1, . . . , xi, . . . , xn) = 0, pentru orice

x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn ∈ R,

limx1→+∞,...,xn→+∞ FX (x1, . . . , xn) = 1.

(iv) Pentru orice ai, bi ∈ R cu i = 1, n ,

P (a1 < X1 ≤ b1, . . . , an < Xn ≤ bn)

= FX (b1, . . . , bn)−∑n

i=1FX (b1, . . . , bi−1, ai, bi+1, . . . , bn)

+∑n

i,j=1i<j

FX (b1, . . . , ai, . . . , aj , . . . , bn)− . . .+ (−1)nFX (a1, . . . , an) .

(v) În cazul particular n = 2 punctul (iv) devine: pentru orice a, b, c, d ∈ R avem

P (a < X1 ≤ b,X2 ≤ c) = FX (b, c)− FX (a, c) ,

P (X1 ≤ a, b < X2 ≤ c) = FX (a, c)− FX (a, b) ,

P (a < X1 ≤ b, c < X2 ≤ d) = FX (b, d)− FX (a, d)

− FX (b, c) + FX (a, c) .

Definitia III.1.77 Daca (X,Y ) : Ω→ R2 este un vector aleator bidimensional iar F(X,Y ) este funct,ia de repartit,ie

asociata, atunci funct, iile marginale de repartit, ie sunt date de

FX (x) = limy→+∞ F(X,Y ) (x, y) = F(X,Y ) (x,+∞) ,

FY (y) = limx→+∞ F(X,Y ) (x, y) = F(X,Y ) (+∞, y) .

Remarca III.1.78 Daca s, tim funct,ia de repartit,ie a vectorului aleator atunci putem determina s, i funct,ia

marginala de repartit,ie a fiecarei componente. Reciproca nu este adevarata: daca s, tim funct,ia marginala

de repartit,ie a fiecarui v.a. componente atunci nu putem obt,ine funct,ia de repartit,ie a vectorului aleator

în întregime.

Avem urmatoarea caracterizare a independent,ei unor v.a..

Propozitia III.1.79 Daca (X,Y ) : Ω→ R2 este un vector aleator, atunci

X,Y independente ⇔ F(X,Y ) (x, y) = FX (x)FY (y) ,

pentru orice x, y ∈ R.

Propozitia III.1.80 Daca (X,Y ) : Ω→ R2 este un vector aleator discret, atunci

X,Y independente ⇔ P (X = x, Y = y) = P (X = x)P (Y = y) ,

pentru orice x ∈ X (Ω) , y ∈ Y (Ω) .

24


Exemplul III.1.81 Se arunca doua zaruri simultan. Fie vectorul aleator bidimensional (X,Y ) unde X,Y

iau drept valori numarul de puncte aparute la aruncarea primului s, i respectiv celui de al doilea zar.

Atunci

F(X,Y ) (x, y) =∑

xi∈X(Ω)xi≤x

∑yi∈Y (Ω)yi≤y

P (X = xi, Y = yi)

De exemplu,

F(X,Y ) (3, 2) = P (X1 = 1, X2 = 1) + P (X1 = 1, X2 = 2)

+ P (X1 = 2, X2 = 1) + P (X1 = 2, X2 = 2)

+ P (X1 = 3, X2 = 1) + P (X1 = 3, X2 = 2)

=1

36+

1

36+

1

36+

1

36+

1

36+

1

36=

1

6.

În cazul unui vector aleator X = (X1, . . . , Xn) , în caz ca exista media componentelor, definim media

vectorului aleator X ca fiind

E (X) = E(

(X1, . . . , Xn)) def

==(E (X1) , . . . ,E (Xn)

).

De asemenea, se poate defini covariant,a Cov (Xi, Xj) a v.a. componente Xi s, i Xj . Prin urmare intro-

ducem urmatoarea notat,ie.

Remarca III.1.82 Daca (X,Y ) : Ω → R2 este un vector aleator discret, atunci probabilitat,ile din tabloul

lui trebuie sa satisfaca restrict,iile:

P (X = x, Y = y) ≥ 0 s, i∑

x∈X(Ω)y∈Y (Ω)

P (X = x, Y = y) = 1.

Remarca III.1.83 Daca (X,Y ) : Ω→ R2 este un vector aleator discret, atunci tablourile (sau distribut,iile)

marginale sunt date de:

P (X = x) =∑

y∈Y (Ω)P (X = x, Y = y)

s, i de

P (Y = y) =∑

x∈X(Ω)P (X = x, Y = y) .

Media unei funct,ii aplicata unui vector aleator discret poate fi calculata folosind urmatorul rezultat.

25


Teorema III.1.84 (Formula de transfer) Fie (X,Y ) un vector aleator discret. Fie h : R × R → R o funct,ie

masurabila. Atunci h (X,Y ) : Ω→ R este o v.a. s, i aceasta v.a. admite medie daca s, i numai daca

∑x∈X(Ω)y∈Y (Ω)

|h (x, y)| P (X = x, Y = y) < +∞.

În cazul în care h (X,Y ) admite medie, aceasta este data de:

E(h(X,Y )) =∑

x∈X(Ω)y∈Y (Ω)

h (x, y) P (X = x, Y = y) .

Remarca III.1.85 Prin urmare, daca (X,Y ) : Ω → R2 este un vector aleator discret, atunci covariant,a

dintre X s, i Y se calculeaza folosind formula:

Cov (X,Y ) = E [(X − E (X)) (Y − E (Y ))]

=∑

x∈X(Ω)y∈Y (Ω)

(x− E (X)) (y − E (Y ))P (X = x, Y = y) .(III.1.23)

Definitia III.1.86 Funct,ia f : Rn → R este o densitate de repartit,ie daca:

(i) f (x) ≥ 0, pentru orice x ∈ Rn.

(ii) f este integrabila cu∫· · ·∫Rn

f (x1, . . . , xn) dx1 · · · dxn = 1.

Definitia III.1.87 Sa consideram un vector aleator X = (X1, . . . , Xn) pentru care exista o densitate de repartit,ie

fX : Rn → [0,∞) astfel încât, pentru orice x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn,

FX (x) =

∫ x1

−∞· · ·∫ xn

−∞fX (t1, . . . , tn) dt1 . . . dtn , (III.1.24)

unde FX este funct,ia de repartit,ie asociata lui X.

Atunci funct,ia fX se numes, te densitatea comuna de repartit,ie asociata vectorului aleator X iar vectorul

aleator X se numes, te vectorul aleator de tip continuu.

Media unei funct,ii aplicata unui vector aleator discret poate fi calculata folosind urmatorul rezultat.

Teorema III.1.88 (Formula de transfer) Fie (X,Y ) un vector aleator care admite densitatea f(X,Y ) . Fie h :

R× R→ R o funct,ie masurabila. Atunci h (X,Y ) : Ω→ R este o v.a. s, i aceasta v.a. admite medie daca s, i numai

daca ∫∫R2

|h (x, y)| f(X,Y ) (x, y) dxdy < +∞.

În cazul în care h (X,Y ) admite medie, aceasta este data de:

E (h (X,Y )) =

∫∫R2

h (x, y) f(X,Y ) (x, y) dxdy .

26


Remarca III.1.89 Prin urmare, daca (X,Y ) : Ω → R2 este un vector aleator continuu, atunci covariant,a

dintre X s, i Y definita de (III.1.13) se calculeaza folosind formula:

Cov (X,Y ) = E [(X − E (X)) (Y − E (Y ))]

=

∫∫R2

(x− E (X)) (y − E (Y )) f(X,Y ) (x, y) dxdy .(III.1.25)

Propozitia III.1.90 Daca X = (X,Y ) : Ω→ R2 un vector aleator care admite densitatea de repartit,ie fX , atunci

FX admite derivata part,iala mixta de ordinul doi în orice punct (x, y) ∈ R2 în care fX este continua s, i

fX (x, y) =∂2FX

∂x∂y(x, y) .

Remarca III.1.91 Daca vectorul aleator X admite densitatea fX , atunci

P ((X1, . . . , Xn) ∈ B) =

∫· · ·∫B

fX (x1, . . . , xn) dx1 · · · dxn ,

pentru orice mult,ime B ∈B (Rn) .

Remarca III.1.92 De exemplu, daca vectorul aleator (X,Y ) admite densitatea f(X,Y ) , atunci (vezi s, i

(III.1.4))

P ((X,Y ) ∈ D) =

∫∫D

f(X,Y ) (x, y) dx dy , (III.1.26)

pentru orice domeniu D ∈B(R2).

Exemplul III.1.93 (a) Fie vectorul aleator continuu (X,Y ) cu densitatea f(X,Y ) . Sa se arate ca

P (X = Y ) = 0.

Într-adevar, folosind formula (III.1.26) obt,inem

P (X = Y ) = P ((X,Y ) ∈ D) =

∫∫D

f(X,Y ) (x, y) dx dy = 0,

unde D =

(x, y) ∈ R2 : x = y

, deoarece integrala dubla se calculeaza pe o mult,ime D de masura

Lebesgue 0.

Putem rat,iona s, i astfel: v.a. X − Y este s, i ea de tip continuu, cu densitatea data de (III.1.34), deci

P (X − Y = 0) = 0.

(b) Fie v.a. independente X,Y astfel încât X e de tip continuu iar Y e de tip discret. Sa se arate ca

P (X = Y ) = 0.

27


Într-adevar, folosind independent,a obt,inem:

P (X = Y ) = P(⋃

i∈IX = xi, Y = xi

)=∑

i∈IP (X = xi, Y = xi)

=∑

i∈IP (X = xi) · P (Y = xi) =

∑i∈I

0pi = 0.

Definitia III.1.94 Daca (X,Y ) : Ω→ R2 este un vector aleator bidimensional iar f(X,Y ) este densitatea asociata,

atunci densitat, ile marginale sunt date de

fX (x) =

∫Rf(X,Y ) (x, y) dy s, i fY (y) =

∫Rf(X,Y ) (x, y) dx. (III.1.27)

Exemplul III.1.95 Funct,ia

f (x, y) =1

(b− a) (d− c)1[a,b]×[c,d] (x, y)

este o densitate de repartit,ie. Într-adevar∫∫R2

f (x, y) dxdy =

∫∫[a,b]×[c,d]

1

(b− a) (d− c)dxdy = 1.

Funct,ia de repartit,ie unui vector aleator (X,Y ) cu densitatea f este

F(X,Y ) (x, y) =

∫ x

−∞

∫ y

−∞

1

(b− a) (d− c)1[a,b]×[c,d] (t, s) dtds

=1

(b− a) (d− c)(x− a) (y − c) , pentru (x, y) ∈ [a, b]× [c, d] .

Apoi F(X,Y ) (x, y) = 0, pentru x < a sau y < c, s, i F(X,Y ) (x, y) = 1, pentru x > b sau y > d.

Vectorul (X,Y ) reprezinta coordonatele unui punct distribuit uniform în dreptunghiul [a, b]× [c, d] iar

F(X,Y ) este distribut,ia rectangulara pe [a, b]× [c, d] .

Densitat,ile marginale sunt date de formulele (III.1.27), deci obt,inem, pentru orice (x, y) ∈ [a, b]× [c, d] ,

fX (x) =

∫ +∞

−∞

1

(b− a) (d− c)1[a,b]×[c,d] (x, y) dy =

1

(b− a) (d− c)

∫ d

c

dy ,

fY (y) =

∫ +∞

−∞

1

(b− a) (d− c)1[a,b]×[c,d] (x, y) dx =

1

(b− a) (d− c)

∫ b

a

dx .

Deci se obt,ine

fX (x) =1

b− as, i fY (y) =

1

d− c.

Exemplul III.1.96 În cazul particular f(X,Y ) (x, y) =1

61[0,2]×[0,3] (x, y) sa calculam probabilitatea P(1 ≤

X ≤ 3,−1 ≤ Y ≤ 2).

28


Utilizând Remarca III.1.91 obt,inem

P (1 ≤ X ≤ 3,−1 ≤ Y ≤ 2) =

∫ 3

1

∫ 2

−1

1

61[0,2]×[0,3] (x, y) dxdy

=

∫ 2

1

∫ 2

0

1

6dxdy =

1

6· x∣∣∣x=2

x=1· y∣∣∣y=2

y=0=

1

3.

Exemplul III.1.97 Daca D este discul cu centrul în origine s, i de raza 1, atunci funct,ia

f (x, y) =1

π1D (x, y)

este o densitate de repartit,ie.

Vectorul (X,Y ) reprezinta coordonatele unui punct distribuit uniform în discul D.

Propozitia III.1.98 Daca (X,Y ) : Ω → R2 este un vector aleator care admite densitatea de repartit,ie f(X,Y ) ,

atunci

X,Y independente ⇔ f(X,Y ) (x, y) = fX (x) · fY (y) ,

pentru orice x, y ∈ R.

Demonstratie. S, tim ca v.a. X,Y sunt independente daca s, i numai daca

P (X ≤ x, Y ≤ y) = P (X ≤ x)P (Y ≤ y) , pentru orice x, y ∈ R.

Daca v.a. X,Y sunt independente, atunci, pentru orice x, y ∈ R,∫ x

−∞

∫ y

−∞f(X,Y ) (u, v) dudv = P (X ≤ x, Y ≤ y) = P (X ≤ x)P (Y ≤ y)

=

∫ x

−∞fX (u) du ·

∫ y

−∞fY (v) dv

=

∫ x

−∞

∫ y

−∞fX (u) fY (v) dudv.

Reciproc, daca f(X,Y ) (x, y) = fX (x) fY (y) , atunci, pentru orice x, y ∈ R,

P (X ≤ x, Y ≤ y) =

∫ x

−∞

∫ y

−∞f(X,Y ) (u, v) dudv

=

∫ x

−∞fX (u) du ·

∫ y

−∞fY (v) dv = P (X ≤ x)P (Y ≤ y) .

Remarca III.1.99 De fapt, are loc urmatorul rezultat: daca (X,Y ) : Ω → R2 este un vector aleator care

admite densitatea de repartit,ie f(X,Y ) s, i daca exista doua funct,ii g, h : R→ R astfel încât are loc scrierea

f(X,Y ) (x, y) = g (x) · h (y) , pentru orice x, y ∈ R,

atunci v.a. X,Y sunt independente s, i densitat,ile marginale sunt date de fX = g s, i fY = h.

29


III.1.7.1 Transformari ale vectorilor aleatori

Fie (X,Y ) : Ω→ D un vector aleator care admite densitatea de repartit,ie f(X,Y ) astfel încât Supp (f) ⊂

D. Sa consideram transformarea

Φ = (Φ1,Φ2) : ∆ ⊂ R2 → D ⊂ R2,

data de x = Φ1 (u, v) ,

y = Φ2 (u, v) , (u, v) ∈ ∆,

astfel încât

(i) Φ este biject,ie,

(ii) Φ s, i Φ−1 admit derivate part,iale de ordinul întâi pe ∆ s, i respectiv D,

(iii) JΦ (u, v)def==

D (Φ1,Φ2)

D (u, v)=

∣∣∣∣∣∣∣∣∂Φ1

∂u

∂Φ1

∂v

∂Φ2

∂u

∂Φ2

∂v

∣∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0, pentru (u, v) ∈ ∆

(JΦ se numes, te determinantul Jacobian al transformarii Φ ).

Atunci Φ−1 (X,Y ) este tot un vector aleator notat cu (U, V ) , i.e.

(U, V ) = Φ−1 (X,Y ) ⇔ (X,Y ) = Φ (U, V ) .

Sa notam cu f(X,Y ) s, i f(U,V ) densitat,ile de repartit,ie corespunzatoare vectorilor aleatori (X,Y ) s, i respectiv

(U, V ) .

Fie acum ∆′ ⊂ ∆ arbitrar ales s, i Φ (∆) = D′ ⊂ D. Folosind schimbarea de variabila în integrala dubla

obt,inem ∫∫D′f(X,Y ) (x, y) dxdy =

∫∫∆′f(X,Y ) (Φ1 (u, v) ,Φ2 (u, v)) |J (u, v)| dudv. (III.1.28)

Dar probabilitatea ca (X,Y ) sa ia valori în D′ coincide cu probabilitatea ca (U, V ) sa ia valori în ∆′, i.e.

P ((X,Y ) ∈ D′) = P ((U, V ) ∈ ∆′) ,

deci ∫∫∆′f(U,V ) (u, v) dudv = P ((U, V ) ∈ ∆′) = P ((X,Y ) ∈ D′)

=

∫∫D′f(X,Y ) (x, y) dxdy

=

∫∫∆′f(X,Y ) (Φ1 (u, v) ,Φ2 (u, v)) |J (u, v)| dudv.

30


Având în vedere ca ∆′ ⊂ ∆ este ales arbitrar, din egalitatea celor doua integrale calculate pe ∆′, de-

ducem egalitatea integranzilor, adica urmatoarea formula care exprima densitatea vectorului aleator

(U, V ) folosind densitatea vectorului aleator (X,Y ) :

f(U,V ) (u, v) = f(X,Y ) (Φ1 (u, v) ,Φ2 (u, v)) |J (u, v)| a.p.t. (u, v) ∈ ∆. (III.1.29)

Remarca III.1.100 Sa ment,ionam ca egalitatea precedenta nu are loc pentru tot,i (u, v) ∈ ∆, ci are loc

aproape pentru tot,i (u, v) ∈ ∆, în raport cu masura Lebesgue pe R2.

Remarca III.1.101 Teorema III.1.19 reprezinta un caz particular al acestei formule. Astfel, daca luam

Φ : ∆ ⊂ R→ D ⊂ R

astfel încât Φ ∈ C1 (∆), inversabila, atunci Φ−1 (X) este tot o v.a. notata cu U, i.e.

U = Φ−1 (X) ⇔ X = Φ (U) ,

s, i are loc urmatoarea formula care exprima densitatea v.a. U folosind densitatea v.a. X :

fU (u) = fX (Φ (u)) |Φ′ (u)| , a.p.t. u ∈ ∆. (III.1.30)

Exemplul III.1.102 Daca X ∼ U [0, 1], atunci v.a. Y = a + (b− a)X ∼ U [a, b], deoarece X =Y − ab− a

s, i

legatura dintre densitat,i este data de relat,ia (vezi s, i Corolarul III.1.21)

fY (y) =1

b− afX

(y − ab− a

)=

1

b− a1[0,1]

(y − ab− a

)=

1

b− a1[a,b] (y) ,

deoarece 0 ≤ y − ab− a

≤ 1 daca s, i numai daca a ≤ y ≤ b.

Remarca III.1.103 Similar putem demonstra (vezi s, i Propozit,ia III.1.43 s, i Propozit,ia III.1.68 unde demon-

strat,ia se face cu ajutorul funct,iei de repartit,ie):

(a) X ∼ U [0, 1] daca s, i numai daca (b− a)X + a ∼ U [a, b] ;

(b) X ∼ U [a, b] daca s, i numai dacaX − ab− a

∼ U [0, 1] ;

(c) X ∼N(µ,σ2

)daca s, i numai daca

X − µ

σ∼N(0, 1) ;

(d) X ∼N(0, 1) daca s, i numai daca σX + µ ∼N(µ,σ2

);

(e) X ∼N(µ,σ2

)daca s, i numai daca aX + b ∼N

(aµ + b, a2σ2

).

31


Propozitia III.1.104 (Densitatea sumei a doua v.a.) Fie X,Y doua v.a. independente ale caror densitat,i de

repartit,ie sunt fX s, i respectiv fY .

Atunci7

fX+Y (u) =

∫ +∞

−∞fX (u− v) fY (v) dv

=

∫ +∞

−∞fX (v) fY (u− v) dv, a.p.t. u ∈ R

(III.1.31)

s, i

fX−Y (v) =

∫ +∞

−∞fX (u+ v) fY (u) du

=

∫ +∞

−∞fX (u) fY (u− v) du, a.p.t. v ∈ R.

(III.1.32)

Remarca III.1.105 A doua egalitate din (III.1.31) se obt,ine us, or facând schimbarea de variabila u−v = v′,

deci v = u− v′ s, i dv = −dv′.

Similar s, i pentru a doua egalitate din (III.1.32): se noteaza u+ v = u′, deci u = u′ − v s, i du = du′.

Demonstratie. Alegem transformareau = x+ y,

v = x− y,⇔

x = Φ1 (u, v) = 1

2 (u+ v) ,

y = Φ2 (u, v) = 12 (u− v) .

Sa calculam determinantul Jacobian J (u, v) =

∣∣∣∣∣∣∣1/2 1/2

1/2 −1/2

∣∣∣∣∣∣∣ = −1/2.

Deci, a.p.t. (u, v) ∈ R2, are loc relat,ia

f(U,V ) (u, v) = f(X,Y )

(u+ v

2,u− v

2

)∣∣∣−1

2

∣∣∣.Densitatat,ile marginale pentru U, V sunt date de formulele (III.1.27):

fU (u) =

∫ +∞

−∞f(U,V ) (u, v) dv, fV (v) =

∫ +∞

−∞f(U,V ) (u, v) du, (III.1.33)

deci obt,inem

fU (u) =1

2

∫ +∞

−∞f(X,Y )

(u+ v

2,u− v

2

)∣∣∣−1

2

∣∣∣dv.Daca notam u−v

2 = v′ sau echivalent v = u− 2v′, integrala devine

fU (u) =1

2

∫ −∞+∞

f(X,Y ) (u− v′, v′) (−2) dv′,

7 Reamintim definit,ia convolut,iei dintre doua funct,ii g s, i h: (g ∗ h) (u) =∫R g (u− v) h (v) dv. Astfel deducem ca densitatea

sumei a doua v.a. este chiar convolut,ia dintre funct,iile densitate a celor doua v.a., i.e. fX+Y = fX ∗ fY .

32


deci obt,inem relat,ia

fX+Y (u) =

∫ +∞

−∞f(X,Y ) (u− v, v) dv, a.p.t. u ∈ R.

Deci, în cazul în care v.a. sunt independente, se obt,ine formula

fX+Y (u) =

∫ +∞

−∞fX (u− v) fY (v) dv, a.p.t. u ∈ R.

Apoi

fX−Y (v) = fV (v) =1

2

∫ +∞

−∞f(X,Y )

(u+ v

2,u− v

2

)du.

Daca notam u−v2 = u′ sau echivalent u = 2u′ + v, integrala devine

fX−Y (v) =1

2

∫ +∞

−∞f(X,Y ) (u′ + v, u′) 2du′ =

∫ +∞

−∞f(X,Y ) (u+ v, u) du. (III.1.34)

Deci, în cazul în care v.a. sunt independente, se obt,ine formula

fX−Y (u) =

∫ +∞

−∞fX (u+ v) fY (u) du, a.p.t. v ∈ R.

Remarca III.1.106 Alegând transformarea

u = x+ y,

v = y,

se obt,ine, de asemenea, ca densitatea marginala

a v.a. U = X + Y este data de prima egalitate din (III.1.31).

Alegând transformarea

u = x+ y,

v = x,

se obt,ine, de asemenea, ca densitatea marginala a v.a. U = X + Y

este data de a doua egalitate din (III.1.31).

Remarca III.1.107 Alegând transformarea

u = x− y,

v = y,

se obt,ine, de asemenea, ca densitatea marginala

a v.a. U = X − Y este data de prima egalitate din (III.1.32).

Alegând transformarea

u = x− y,

v = x,

se obt,ine, de asemenea, ca densitatea marginala a v.a. U = X − Y

este data de a doua egalitate din (III.1.32).

Propozitia III.1.108 Fie X,Y doua v.a. independente ale caror densitat,i de repartit,ie sunt fX s, i respectiv fY .

Atunci

fX·Y (u) =

∫ +∞

−∞

1

|v|fX

(uv

)fY (v) dv, a.p.t. u ∈ R (III.1.35)

s, i

fXY

(v) =

∫ +∞

−∞|u| fX (uv) fY (u) du, a.p.t. v ∈ R. (III.1.36)

33


Demonstratie. Alegem o transformare bijectiva Φ = (Φ1,Φ2) : ∆→ D data deu = x · y,

v = y,

⇔

x =

u

v,

y = v.

Sa calculam determinantul Jacobian J (u, v) =

∣∣∣∣∣∣∣1/v −u/v2

0 1

∣∣∣∣∣∣∣ = 1/v.

Deci, a.p.t. (u, v) ∈ R2, are loc relat,ia

f(U,V ) (u, v) = f(X,Y ) (u/v, v)∣∣∣1v

∣∣∣ =∣∣∣1v

∣∣∣fX (u/v) fY (v) ,

deoarece X,Y sunt independente.

Densitatat,ile marginale pentru U, V sunt date de (III.1.27), deci obt,inem

fU (u) =

∫ +∞

−∞

1

|v|fX

(uv

)fY (v) dv, a.p.t. u ∈ R.

Similar, alegând o transformare bijectiva Φ = (Φ1,Φ2) : ∆→ D data deu =

x

y,

v = y,

⇔

x = uv ,

y = v.

se va obt,ine densitatea marginala a v.a. U =X

Y.

34

Date post:	27-Mar-2021
Category:	Documents
Upload:	others
View:	2 times
Download:	0 times

III.1 Variabile aleatoare continuematiciuc/didactic/Probability...Capitolul III. Variabile aleatoare...

Documents