ILMU KOM PUTER FAK MIPA UGM

ILMUKOM

PUTER

FAKMIPAUGM

Logika Informasi

Materi.

1). Logika Proposisi. a). Pengenalan Informal b). Penghubung Logis (Operator, Functor) c). Tabel Kebenaran dp Formula. d). Penghubung Logis yang lain. e). Memanipulasi Formula Proposisinal. f). Negasi dp Formula Proposisional. g). Argumen.

Logika InformasiBuku Teks.

Edmund Burke and Eric Foxley , 1996 ; “Logic and Its Applications” , Prentice Hall .

Buku Referensi .

1). Arindama Singh , 2004 ; “Logics For Computer Science ”, Prentice Hall of India.2). Manna, Z and Waldinger, R., 1985 , “ The Logical Basis for Computer Programming” , Addison-Wesley Publishing Company. Inc.3). Suprapto, Logika Informatika, 2003, “Logika Informatika (Dasar-dasar Logika untuk Pemrograman Komputer & Perancangan Komputer) ”, Penerbit Gava Media Yogyakarta.4). Setiadi Rachmat, 2004 , “ Pengantar Logika Matematika”, Penerbit Informatika Bandung.

Logika Proposisional Pengenalan Informal

Andaikan p dan q variabel yang menyajikan proposisi logis. Merekamenyajikan pernyataan seperti misalnya :

1. Saya mempunyai uang 2. Benda ini tenggelam dalam air 3. Kotak ini berisi cabe 4. Bangkok adalah ibukota negara Vietnam 5. Ir.Sukarno adalah presiden pertama RI6. “Kotagede” mempunyai 9 huruf.7. Saya lapar8. Benda ini padat9. India merupakan suatu negara10. 1 + 101 = 110 Masing-masing dapat bernilai satu dari nilai kebenaran yang tetap yaitu T(rue) atau F(alse)


• Logika adalah suatu system berbasis proposisi.

• Suatu proposisi adalah suatu pernyataan (statement) yang dapat ber”nilai” Benar (true) atau Salah (false) dan tidak keduanya.

• Dikatakan bahwa nilai kebenaran daripada suatu proposisi adl salah satu dari benar (true disajikan dng T) atau salah (false disajikan dengan F).

• Dalam untaian digital (digital circuits) disajikan dng 0 dan 1


Variabel-variabel tersebut diatas dihubungkan dengan menggunakan penghubung logis yang disebut operator atau functor.

Sebagai contoh :

1) Saya mempunyai uang dan saya lapar 2) Jika balok mempunyai berat jenis lebih besar dari 1 maka ia (ba lok) akan tenggelam diair. 3) Ir. Sukarno presiden pertama RI dan ia proklamator negara RI 4) Saya berangkat kantor naik becak atau naik angkot. 5) Lampu mobil mati karena plentongnya mati atau kabelnya pu tus.


Perhatikan kalimat-kalimat sebagai berikut :

1) Tutuplah pintu itu 2) Dilarang merokok 3) Nilai daripada x terletak diantara nol dan satu

Kalimat-kalimat tersebut tidak dimasukkan dalam pembicaraankita karena mereka tidak dapat ber “nilai” benar ataupun salah sedang yang terakhir tidak dimasukkan disini tetapi masuk dalam logika predikat karena ada variabel x yang nilainya belum ditentukan.

The Statement/Proposition Game

• “Gajah lebih besar daripada tikus.”

Apakah ini suatu Apakah ini suatu pernyataan?pernyataan?

yesyes

Apakah ini suatu proposisi?Apakah ini suatu proposisi? yesyes

Apa nilai kebenaran daripada Apa nilai kebenaran daripada proposisi tersebut?proposisi tersebut? truetrue

Permainan.


• “520 < 111”

Apakah ini suatu pernyataan ?Apakah ini suatu pernyataan ? yesyes


Apa nilai kebenaran daripada Apa nilai kebenaran daripada proposisi tersebut?proposisi tersebut? falsfals

ee

Permainan.


• “y > 5”

Apakah ini suatu statement?Apakah ini suatu statement? yesyes

Apakah ini suatu proposisi?Apakah ini suatu proposisi? nono

Nilai kebenarannya tergantung pada nilai Nilai kebenarannya tergantung pada nilai daripada y , tetapi nilai ini tidak diberikan (not daripada y , tetapi nilai ini tidak diberikan (not specified).specified).

Kita sebut tipe pernyataan ini suatu Kita sebut tipe pernyataan ini suatu fungsi fungsi proposisionalproposisional atau atau kalimat terbukakalimat terbuka..

Permainan.


• “Hari ini Jan. 28 and 99 < 5.”

Apakah suatu Apakah suatu statementstatement?? yesyes

Apakah ini suatu Apakah ini suatu propositionproposition?? yesyes

What is the truth value What is the truth value

of the proposition?of the proposition? falsefalse

Permainan.


• “Please do not fall asleep.”

Apakah ini suatu pernyataan?Apakah ini suatu pernyataan? nono

Apakah ini merupakan Apakah ini merupakan proposisi?proposisi?

nono

Only statements can be propositions.Only statements can be propositions.

Ia adalah suatu permintaan.Ia adalah suatu permintaan.

Permainan.


• “Jika gajah berwarna merah,

Mereka dapat sembunyi dibawah pohon perdu.”

Apakah ini suatu pernyataan?Apakah ini suatu pernyataan? yesyes


Apa nilai kebenaran daripada Apa nilai kebenaran daripada proposisi tersebut?proposisi tersebut?

ProbablProbablyy

falsefalse

Permainan.


• “x < y if and only if y > x.”

Apakah ini suatu pernyataan?Apakah ini suatu pernyataan? yesyes

Apakah ini suatu proposisi?Apakah ini suatu proposisi?yesyes

Apa nilai kebenaran dp proposisi Apa nilai kebenaran dp proposisi tsb?tsb?

truetrue

……karena nilai kebenarannya tidak karena nilai kebenarannya tidak tergantung pada nilai yang diberikan tergantung pada nilai yang diberikan untuk x dan yuntuk x dan y

Permainan.


Definisi .

Proposisi adalah kalimat deklaratif (atau pernyata an) yang memiliki hanya satu nilai kebenaran yaitu banar saja atau salah saja, akan tetapi tidak keduanya.

Proposisi yang bukan hasil kombinasi dari proposisi-proposisi disebut atom.


Jika atom-atom akan dikombinasikan untuk memperoleh proposisi baru maka diperlukan operator logika atau operator sambung yang dilambangkan dng simbol :

1). : “not”, atau “negasi” ( simbol lain adl ~ )2). : “and”, atau “konjungsi” ( simbol lain adl &)3). : “or” , atau “disjungsi” atau “inclusive or” 4). : “xor”, atau “exclusive or”5). : “implies”, atau “Jika … maka…”, atau “implikasi kondisional”6). : “jika dan hanya jika”, atau “bikondisional”

Logika Proposisional Penggandeng Logis (Logical Connectives)

1) Negasi (not)

Jika p sebarang proposisi, pernyataan “not p” atau “negasi dp p” akan bernilai F jika p bernilai T dan sebaliknya. Dan ditulis dengan

p ( “” disebut operator unary/monadika) dan akan digambarkan dng tabel kebenaran sebagai berikut : p p

T F F T


2) Konjungsi/conjunction (and)

Konjungsi adalah suatu operator binary atau diadika (diadic). Jikap dan q suatu proposisi, pernyataan p and q akan bernilai kebenaranT jika dan hanya jika kedua p dan q mempunyai nilai kebenaran T, dan ditulis dengan p q dimana operatornya terletak diantara kedua variabel (operand) tsb dan mempunyai tabel kebenaran seperti terlihat pada slide berikut :


Tabel kebenaran juga dapat disajikan dng suatu bentuk dua dimensi sebagai berikut :

p q p q

T T T T F F F T F F F F

p q T F q T T F F F F p


• Bentuk terakhir ini hanya dapat digunakan hanya untuk fungsi dua variabel

• Perhatikan bahwa untuk kalimat “Benda ini berwarna merah” dan “Benda ini berwarna putih” jika digandeng dengan “and” maka berbunyi “Benda ini berwarna merah “and” putih” yang artinya lain dengan “Benda ini berwarna merah and Benda ini berwarna putih”, jelaskan !!

• Sifatnya : 1) Komutatif ( p q = q p) 2) Asosiatif ( (pq)r = p(qr) )

• Operand daripada suatu kunjungsi juga disebut dng conjunct.


3) Disjungsi (or)

Disjungsi yang juga ada yang menyebut dengan alternatif yang bersesuaian dengan bentuk “ Salah satu dari … atau ….” (“Either.. Or..) . Pernyataan “p or q” bernilai T jika dan hanya jika salah satu p atau q(atau keduanya) bernilai T, dan ditulis :

p q

dan mempunyai tabel kebenaran seperti pada slide berikut.


Sifat : 1) Komutatif ( p q = q p ) 2) Asosiatif ( (p q) r = p (q r) )

p q p q T T T T F T F T T F F F

• Perhatikan bahwa terdapat dua pengertian or yaitu “inclusif or” dan “exclusive or”.

Sebagai contoh :

• “Pintu rumah terbuka” or “jendela rumah terbuka”. Hal tersebut dapat keduanya

• “Suta pergi kekantor naik becak” or “Suta pergi kekantor naik angkot”. Hal tersebut tidak mungkin keduanya.

• Contoh pertama “or inclusive” dan disimbolkan dengan

• Contoh kedua “or exclusive” atau “non-equivalen” dan disimbol kan dengan ( atau XOR atau )



4) Implikasi (Implication)

Arti dp pernyataan “If p then q” atau “p implies q” atau “q if p” atau “p hanya jika q” atau “q sarat perlu untuk p” atau “p saratcukup untuk q” adalah T jika salah satu dari p bernilai T dan q bernilai T atau jika p bernilai F. Jika tidak demikian, yaitu p bernilai Tdan q bernilai F, maka nilai F. Ditulis : p q dan tabel kebenarannya seperti pada slide berikut (ada yang menggunakan simbol )


p q p q

T T T T F F F T T F F T

Pernyataan berikut adalah sama :

1). “If p then q” 2). “p implies q”3). “q if p” 4). “p hanya jika q” 5). “q sarat perlu untuk p” 6). “p sarat cukup untuk q”


Penjelasannya adalah sebagai berikut :

1) Jika Anita keluar negeri ( T ) dan Ia mempunyai passport (T), maka legal (T)

2) Jika Anita keluar negeri (T) dan Ia tidak mempu nyai passport (F), maka illegal (F)

3) Jika Anita tidak keluar negeri (F) dan ia mempu nyai passport (T), maka legal (T)

4) Jika Anita tidak keluar negeri (F) dan ia tidak mempunyai passport (F), maka legal (T)

Untuk penjelasan ini maka perhatikan kalimat : “Jika Anita pergi keluar negeri maka ia mempunyai passport”


kondisional konversi inversi kontrapositif p q p q q p p q q p

T T T T T T T F F T T F F T T F F T F F T T T T


• Perhatikan bahwa : pernyataan p q selalu mempunyai tabel kebenaran dng (p) q dan juga dengan (pq), (buat tabel kebe narannya)

• Contoh penggunaannya :

Buktikan bahwa jika x bilangan real maka jika x^2 bilangan gasal maka x bilangan gasal.

Bukti andaikan x genap maka x = 2n dimana n sebarang bilangan real. X^2 = (2n)^2= 4n^2 = 2(2n^2) yang juga bilangan genap. Sehingga didapat, dengan kontraposistif, terbukti.

Resume

p q

r

s

. .

.

, , , →

p p

T F F T

p q p q

T T T T F F F T F F F F

p q p q T T T T F T F T T F F F

p q p q

T T T T F F F T T F F T

Negasi

Disjungsi

Konjungsi

Implikasi (berarti : If p then q atau p implai q atauq if p atau p hanya jika q, atau q sarat perlu p)

Resume

p q p q p q q p p q q p

T T F F T T T T T F F T F T T F F T T F T F F T F F T T T T T T

Kondisional

Konversi

Inversi

KontraPosisi


5) Ekuivalensi

Pernyataan “ p ekuivalen dengan q” mempunyai nilai kebenaran T jika dan hanya jika p dan q mempunyai nilai kebenaran ygsama ditulis dengan simbol :

p q

dan tabel kebenarannya seperti pada slide berikut ( ada yangmenggunakan simbol )


p q p q

T T T T F F F T F F F T

Sifat :1) Komutatif ; ( p q = q p)2) Asosiatif ; ( (p q) r = p (q r) )3) Pernyataan (p q) mempunyai tabel kebenaran yang sama dengan pernyataan p q (Tunjukan)


• Perhatikan bahwa ia juga dapat dipikirkan sebagai pernyataan “ p jika dan hanya jika q”

• Pernyataan p q disebut juga dengan bikondisional daripada p dan q, sebab ia selalu mempunyai tabel kebenaran sama-dng

p q =T (p q ) (q p) atau (p q) (p q)

• Ditulis dengan p q =T (p q) (q p)


• Notasi jumlahan dan produk seperti pada aljabar maka didapat :

n n

• pi ; v pi ;

i = 1 i = 1

n

• pi

i = 1


• Prioritas Operator

• Terkuat monadika ()

• Untuk diadika terkuat (), kemudian () dan berikutnya () dan yang lainnya berikutnya lagi seperti misalnya ()

• Contoh :

“Saya lapar saya sedih saya bahagia saya telah kenyang ”

berarti

“(Saya lapar saya sedih) (saya bahagia saya telah kenyang)”

Soal-Soal

Mana yang pernyataan dan mana yang bukan

1. Ngawi adalah ibukota propinsi Jawa Timur.2. Dilarang merokok3. 119 adalah bilangan bulat4. Buka pintu5. Logika informatika adalah mudah6. Yogya kota pelajar7. Makanlah yang banyak8. Sesama cabup tak boleh saling mendahului9. Buatlah daftar pernyataan sebanyak 50 buah

Soal-soal1. Tuliskan kalimat dibawah ini dengan simbol logikaa. Saya akan berlibur ke Bali hanya jika saya lulus ujianb. Sarat perlu agar 273 habis dibagi 3 adalah 273 merupakan bilangan primaa. Saya akan memberi anda uang apabila saya lulus ujian atau saya mendapat hadiah TTS

Jawaba. P = saya berlibur ke Bali, Q = Saya lulus ujian Kalimatnya menjadi : P Q a. P = 273 habis dibagi 3, Q = 273 merupakan bilangan prima Kalimatnya menjadi : P Qa. P = Saya memberi Anda uang, Q = Saya lulus ujian, dan R = saya mendapat hadiah TTS Kalimatnya menjadi : (Q R) P

Soal-soal

2. Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan dibawah ini : a. Jika Jakarta bukan ibukota RI, maka 9 juga bukan bilangan prima b. 2+2 = 2x2 hanya bila 2 =0 c. 2<3 merupakan syarat cukup untuk 2x2 < 3x3

Jawab :

a. Benar, karena anteseden salah (Jakarta bukan ibu kota RI) b. Salah, karena anteseden (2+2 = 2x2) benar sedangkan konsekuen nya (2 = 0 ) salah c. Benar, karena konsekuennya (2x2 <3x3) benar

Soal-soal

3. Tentukan nilai kebenaran daripada : a. Syarat perlu dan cukup agar 7 merupakan bilangan prima adalahKebumen berada di Jawa Timur. b. Apabila 12 habis dibagi 4 ekuivalen dengan 12 bilangan bilangangenap maka (a+b)^2 = a^2 + 2ab +b^2

4. Tuliskan dengan simbol logika kalimat-kalimat dibawah ini : a. Matahari sangat verah dan kelembabannya tidak tinggi b. Jika saya dapat menyelesaikan koreksi saya sebelum makan malam dan tidak hujan, maka saya akan pergi nonton tonil c. Jika Anda tidak menjumpai saya besok, berarti saya sudah pergike Bandung. d. Syarat perlu dan cukup agar bilangan a merupakan bilangan primaadalah a merupakan bilangan gasal atau sama dng 2

Date post:	27-Jan-2016
Category:	Documents
Upload:	loc
View:	74 times
Download:	2 times

ILMU KOM PUTER FAK MIPA UGM

Documents