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l~c / 6 r I < ~1 Besch reib ung von ein stu fig en P ro zessen durch Matrizen

CASUmgang mit Matr izen

Die erste Spalte derMatrix gibt den Bcdarfan Kaffeepulver, Wasserund Milch je Espresso an.

Die Anzahl der Spaltender Matrix muss.mit derZeilenanzahl des VektorsUbereinstimmen.

Helena will backen. 1m Kuhlschrank waren 15 Eier und % Liter Milch, imVorratsschrank 1kg Mehl. FOr10Omelettes ben6tigt sie 3 Eier,} LiterMilch und 250g Mehl, fur einen ROhrkuchen 6 Eier,iiter Milch und375g Meh]. Aile weiteren Zutaten sind in ausreichender Menge vorhanden. Helena rnochte die Eier;die Milch und das Mehl vollstandig auf-brauchen. Stellen Sie ihre MCigliehkeiten Obersichtlich dar.

In vielen Bereichen des tagllchen Lebens werden bestimmte Ausgangsstoffe gemischt und dar-aus neue Produkte gewonnen. Die Entstehung der neuen Produkte aus den Ausgangsstoffenwird als e in st uf ig er P ro ze ss aufgefasst:Ausgangsprodukt Prozess ~ EndproduktAusgangsprodukte Endprodukte( Kaffeepulver )~( Espresso)

( WOOS" )~~atte Ma"hiat~

( Milch y,./1. ~(capPuccino)Fig. 1

So konnen aus Kaffeepulver, Wasser und Milerje naeh Misehungsverhaltnis z.B. Espresso,Latte Macchiato und Cappuccino hergestelltwerden. Das Diagramm in Hg. 1zeigtden je-weiligen Bedarf in Einheiten an Kaffeepulver;Wasser und Milch pro Iasse. Neben dem Pfeil-diagramm kann man die Mischungsverhaltnis-se aueh als TabeJle oder verkurzt als Matrixdarstellen.

Endprodukte--E~~ress~-T -L-~tt;M;~~h;~~~-ic~~~ucci~~---. - . - ~~ . - . -. ~ ~ ~ f f e i ~ ~ ~ ~ _= = 7 ~ = = r - - - ~ = ~ _ ~ = = ~ ~ ~ ~ - - 7 ~ : = - =

g iJ - a i Wasser : 2 i 2 i 4'g e 1-- -- -.-- ---- ..".....-.---- -----r-----------< I : : D. ! Milch ! 0 r 1 I 1_ . . . . c . . _ . L__.",.. J__ J_.__ __ ".

( 7 9 7 )A = 2 2 4011Das Element in der 2. Zeile und der 3. Spalte der Matrix ist an ~4. Die Matrix hat drei Zeilenund drei Spalten, sie ist elne 3 x 3-Matrix (Sprich .Drei kreuz Drei Matrix"). Da die Zeilenanzahlmit der Spaltenanzahl Ubereinstimmt, ist A eine quad ra ti sche Ma tr ix .In der Praxis soil eine bestimmte Anzahl an Endprodukten hergestellt werden und die Anzahlder notwendigen Ausgangsprodukte wird gesucht Sollen beispielsweise Xi Tassen Espresso,X2 lassen Latte Macchiato und X3 lassen Cappuccino gebruht werden, so gilt fUr den

Y1~ 7x1 + 9X 2 + 7x 3Gesamtbedarf an Kaffeepulver Y1,Wasser Y2und Milch Y3: Y2" 2X 1 + 2X2 + 4x3 .Y3'-'0 Xl + 1x2 + 1x3Mit diesem LGSkann zu jeder gewUnschten Anzahl der Endprodukte X1, X2und X3die notwendi-ge Anzahl der Ausgangsprodukte Y1,Y2und Y 3 berechnet werden. Um diese Reehnung mithilfeder Matrix A darzustellen, schreibt man die Anzahlen der Ausgangsprodukte als Vektor y = (~; ),die Anzahl der Endprodukte als Vektor x = (;X~3)und definiert eine Mu lt ip lik at io n e in er Matr~;mit e in em Vek to r.

206 VII (.Jbergangsmatrizen

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~ GTR-Hinweise ~~735405-2071

Man nennt A Prozessrnatrlx,Der Bedarf fur 20 lassen Espresso, 30 lassen Latte Macchiato und 15 lassen Cappuccino kann so

bestimmt werden: (~;) '" (; ~ r ) - ( ~ ~ ) .= ( i : ~ ~ : ~ : ~ ~ : : ~ ~ )~ ( ; ~ 5 ) .Y 3 011 15 0-20+130+1-15 45Es werden sornit 515 Einheiten Kaffeepulver, 160 Einheiten Wasser und 45 Einheiten Milchbenbtigt.

Defin ition 1: Ein e Matrix A mit m Zeilen und n Spa Iten he iB t m x n-Matrix:

Bei Produ ktionspmzessennennt man die Pmzess-matrix auchBedarfsmatrix.

a11 a12 a11l EinenVektor kann manA = a21 a22 a2n als n x 1-Matrix auffassen,

am1 am2 amnDefinition 2: Eine n-spaltige Matrix A multipliziert man von rechts mit einem Spaltenvektorrnit.n Elementen nach der Regel:

a11 a12 aln x1 al1x1 + a12x2 + + a1nxnA '" a21 a22 a2n X2 a21Xl + a22x 2 + + a2nxn

aml am2 arnn Xn am1 X1 + Bm2X2 + ... + aml1Xn

Beispiel 1 Multiplikation eines Vektors mit einer MatrixGegeben ist die Matrix A = ( J - ~ _~ ) und die Vektoren X _ ' = ( 1 ) und - z '= (-~).Berechnen Sie. a) A x b) A Zl.osung:a) A x : = ( J

-1- 2 0 ) ( 1 ) 1 -1 + (- 2)'1 + 0 1 ( - 1 )1 11 = 01+ 11+ 11 = 2.3 - 2 1 -1,1 + 31+ (-2)1 0

b ) A . - Z = ( J - ~ ~ ) - ( - J ) = ( ~ : ~ = ~ ~ : ( - 2 ~ : ~ :: ~ ) = ( - i )-1 3 -2 2 -1-(-1) + 3 -0 + (-2)-2 -3

Be ispie l 2 Prozessmatrix, Bestimmung von AusgangswertenEin Betrieb stellt aus den Materialien M11M2 die Ballsorten B11B2 und B3 her; FUr die Herstellungeines Balles B1 benotigt der Betrieb vier Einheiten von M 1 und eine Einheit von M2, fur dieHerstellung eines Balles B2 benbtigt er eine Einheit von Ml und drei Einheiten von M2 und f U rdie Herstellung eines Balles B3 bentitigt der Betrieb zwei Einheiten von M 1 und tunf Einheitenvon M2.a) Erstellen Sie eine labelle und eine Matrix, die den Bedarf an Material fur eine Einheit einerBallsorte angibt.b) Es sollen 200 BEilie B1, 800 Ba.lle B2 und 500 Balle B3 hergestellt werden.Wie viele Einheiten der Materialien M 1 und M2 werden bentitigt?

Ltisung:a) . 1 \ - - -i B 1 r B 2 ! B 3Ml ! 4 ' T - - 1 - : - - i - A = (41 13 25-,-_ ...._"[__._J_____M o i 1 r 3 I 5_L__I_~ & _ . _ _ . . _ L . ~ _ . _ _

Merke:"Jede Zeilemal der Spalte"

[ 1 - z[ 0 1[ -1 3M A l R I X [ A 1 3 x3

M A T R I X [ B l[ 1~-.[ A 1 * [ B 1

o 11 1- z 1F ig . 13 xl

Fig. 2

[ [ -11[2 1[ 0 1 1F ig . 3

V II Obergangsrnatrizen 207

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[Al*[B1 [ [2600J[51001]

,~ GTR-Hinweise,'735405-2081

b) 1stY1bzw. Y2der Materialbedarf an M1 bzw. M2 fur X1,X2und x3 Einheiten Balle B1, 82 und 83,so gilt:

Matrixd arstellung:ig. 1 Gleichungsdarstellung:Y1 = 4X1 + x2 + 2 x3Y2= X1 + 3 x2 + 5 x3 (Y1)=(4 1 2 ) . ( ~ ; )Y2 1 3 5 X 3Rechnung;(Y1) = (4 1 2). ( ~~~) '" (4. 200 + 1. 800 + 2 500 ) = (2600)Y2 1 3 5 500 1200 + 3800 + 5500 5100Es werden 2600 Einheiten vorn Material M1 und 5100 Einheiten vern Material M2 benbtigt.

Beispiel 3 Bedarfsmatrix interpretieren und Werte fOr die Endprodukte bestimmenGegeben ist die Bedarfsmatrix A eines Tefefon-anlagenbauers, die den Sedarf an Kabel (K inm) und Endgeraten (E) fUr die Installation vondrei Standardanlagen A1, A2und A3beschreibt.a) Beschreiben Sie detailliert, welche Informa-

.--.--i----~--i __H_. ~ ----- .-----! A1! A2 A3--i------r-"---- --.--~----.-K f 30 , 40 ' 50-- ...----i-----..-.-- ...--------I--------1--- ------ = AE 1 5 1 8 ! 10- ---------.-1. __ __,.__ . _

tionen man der Bedarfsrnatrix entnehmen karin.b) 1m Lager des Unternehmens befinden sich 610m Kabel und 112 Endgerate, Untersuehen Sie,wie viele Anlagen der Typen A1und A2 man mit diesen Ausgangsstoffen installieren kann, wenndrei Anlagen des Typs A3 installiert werden sollen.

Lbsung:a) Der Telefonanlagenbauer benotigt fur die Installation der Standardanlage A1 insgesamt 30 mKabel und 5 Endgerate, fur die Anlage A2s ind es 40m Kabel und 8 Endgerate, fur die Anlage A3braucht er 50 m Kabel und 10 Endgerate.b) Die Mengen der vorhandenen Ausgangsprodukte sind bekannt: Y1'" 610 und Y2= 112.Bei den Endprodukten kennt man nur die Anzahl der Anlage des Typs A3; es Ist X3 = 3. Die An-zahlen X1und x2 sind unbekannt Man erhalt aus der Matrixdarstellung das folgende LGS:

(30 40 50) . ( ; 1 ) = (610) -5 8 10 ~ 112 30X1 + 40x2 + 503 = 6105X1+ 8X2 + 103 = 112Also: Xl =10 und x2 = 4.Der Telefonanlagenbauer kann mit den Lagervorraten neben den 3 Anlagen des Typs A] noch 10Anlagen des Typs A1und 4 Anlagen des Typs A2 installieren. Die vorrate werden dabei vollstandigverbraueht.

Aufgaben1 Berechnen Sie.a) ( l ~ ) . ( ~ ) (10 1 3 ) ( 2 )e) Z ~ ~ . ;) (~ ~). (~) ( 1 0 - 7 ) ( - 1 )d) -~ ~ J ' ~2 a) Ein Unternehmen stellt aus den Grundsubstanzen 51 und 52 die Cremes C1und (2 her(Fig. 2). Stellen Sie die Tabelle als Matrix dar und bestimmen Sie an.b) Das Unternehmen rnochte je eine Einheit der Cremes herstellen. Wie viele Einheiten mUssenvon Sl bzw. von S2bereitgestellt werden? Stellen Sie das Ergebnis mithilfe eines Vektors dar.e) Das Unternehmen hat noch 33 Einheiten der Grundsubstanz Sl und 48 Einheiten von S2.Wieviele Einheiten der Cremes (1 und (2 ki::innen hergestellt werden, wenn die Grundsubstanzenvollstandig verbraucht werden sollen?

208 V II Obergangsmatrizen

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3 Ein Sarnenhandler mischt Bartnelken (B), 5chleierkraut (5ch), Sonnenblumen (5) und Phlox(Ph) zu drei Sornmerblumenmischungen 501, 502 und 503. FUr eine Einheit von 501 benotigt erdrei Einheiten B, zwei Einheiten 5ch, eine Einheit 5 und zwei Einheiten Ph, fureine Einheit von502 mischt er zwei Einheiten B, zwei Einheiten Sch, eine Einheit S und fur eine Einheit 503 je-weils eine Einheit B , 5ch, 5 und Ph.a) Stellen Sie die Bedarfsmatrix an Blumensamen je Sommerblurnenrnlschung auf.b) Oer Handler hat noch 600 Einheiten B, 500 Einheiten Sch sowie je 300 Einheiten S und Ph aufLager. Wie viele Einheiten von S01, S02 und 503 kann er rnischen, wenn der ganze Varrat an Blu-mensamen eingesetzt werden soli?

Zeit zu uberprufen4 Zur Herstellung dreier verschiedener Seifen 51, 52 und 53 werden Fette (F ) mit Natronlauge(N) zur Reaktion gebracht, FUr eine Einheit der Sorte 51 werden drei Einheiten Fund zwei Einhei-ten N, fur eine Einheit 52 werden eine Einheit Fund drei Eiriheiten N und fur eine Einheit 53 vierEinheiten Fund drei Einheiten N benotlgt,a) Erstellen Sie eine Matrix, die den Bedarf an Fett und Natronlauge fu r je eine Eiriheit einerSeifensorte angibt.b) Es soil von jeder Sorte eine Einheit hergestellt werden. Wie viele Einheiten an Ausgangspro-dukten werden benbtigt?c) Oer Hersteller besitzt zur Zeit noch 58 Einheiten Fette und 45 Einheiten Natronlauge. Wie vie-le Einheiten der 5eifen 51, 52 und 5] kann er herstellen, wenn aile Vorrate verbraucht werdensollen?

5 Oie Tabelle zeigt die Herstellkosten fu rdre i untersch ied Ii che Corn puterm ode lie PC1,pe2 und PC3 je Gerat,a) Geben Sie eine Matrix A an, mit der sichaus dem Vektor x bestellter StOckzahlen dieGesamtherstellungskosten fur Gehause G, Kom-ponenten K und Montage M berechnen lassen.b) Berechnen Sie damit die Kosten fur 100 PC1, 150 PC2 und 80 PC3.

.--------------.-------.---~----.-:- ..--~...---.-------i PC1 . PC2 ; PC3- - - - - - G - - - - - - j - - - - - - 9 2 - - j - 9 2 - 1 - 99

- ~ _ ~ - . - ~ _ - _ - - .- - - r - - - . - . 4 . ~ 3 ~ - j - - - - . - - ~ ~ - ~ : 1 - . - . - - ~ ~ ? ~. . ._ _ . _ . . . . _ ~ . _ _ . . __ . . r , ~_O_~__ _ 32_ I 50 .

6 Ein Nahrungsmittelkonzern stellt aus vier Grundstoffen G1, G2, G3 und G 4 die Babymilchsor-ten M1 und M2 her. FUr 1 kg M1 benbtigt der Konzern 0,8 kg G1, 0,1 kg G2 und je 0,05 kg von G3 undG4 FUr 1 kg M2 werden 0,9 kg G1, 0,06 kg G2 und 30 g von G3 bzw.10g von G4 benbtigt.a) Erstellen S ie eine Matrix, die den Bedarf an den Grundstoffen G1, G2, G3 und G4 fu r je 1 kg derBabymilchsorten M1 und M2 angibt. Woran erkennt man in der Matrix, dass die Angaben fur dieHerstellung von jeweils 1kgder Babymilchsorten stehen?b) Es sollen 200 kg Milchpulver der Sorte M1 und O,3t der Sorte M2 hergestellt werden. Wie vietkg der Grundstoffe werden benotigt?c) 1m Lager befinden sich noch 905 kg G1, 79 kg G2, 39,5 kg G3 und 26,5 kg G4. Wie viet kg derbeiden Babymilchsorten kann man mit diesen Grundstoffen herstellen?

7 Gegeben ist ein Prozess, der durch eineMatrix beschrieben werden kann. Um X1, x2und x] Einheiten der Endprodukte herzustel-len, benotigt man Y1und Y2 Einheiten der Aus-ga ngsprod ukte. Die ne bensteh ende Tabe IIezeigt ermittelte Wertepaare in Vektorschreib-weise. Bestimmen Sie die Prozessmatrix.

- - - - - - r ~i ( ~ ) I (;)- - - - - - - -- - - - - - - - . - . ~ . . . ~ - - -. - ~ ~ .." ~ - - - - - - - r - - - - - - - + - - - - - -Einheiten an t ' I

Ausgangs- (~~) i , ( ~ ) i ( ~ ) i , ( ~ ~ )produkten___. .~__~~~__ ..___... ~_n...~~.~) . .. ~ .__ _j .__._

321Einheiten anEndproduk-ten

.IJ

@ CASBcstirnme:l einerProzessmatrix

VII Ubergangsmatrizen 209

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2 Prozesse analysieren - Rechnen m it M atrizen

1. Quartal:-;KFZ !L~b; '~laus--~---;-~--+---I----"Vi I 150 I 325 I 773------,)___- - - - ' -V2 1 118 I 274 I 653. _j__ .L _

2, Quartal:-- i"KFZ-1L;b~~i-H~~---T~~----i----Vi j 2~~447 I 971v2l107 1 2 5 6 - ! - 503 -_ . . . . . . J . . , ~,_.__j__ .~.,

F ig, 1

Auch mit Excel kann manmit Matrizen rechnen,

Die s-MultiplikationheiiSt auchSkalarmultlplikatlon.Dabei ist ein Skalar einernatnernatische Grb~e,die durch einen Zahlen ..wert bestirnmt ist.(hier: Skalar ;:, reelleZahl),

Eine Backerei beliefert ihre drei Filialen A, Bund emit Brot, 8rbtchen und Brezeln. Hliale Aerhalt taglich 200 Laib Brat, 400 Brbtchen und350 Brezeln. Filiale B erhalt 180 Laib Brot, 250Brbtchen und 150 Brezeln und Filiale C erhalt180 Laib Brot, 350 Brotchen und 200 Brezeln.Wie muss die Backerei die Stuckzahlenfureine Woche planen?

Unser Alltag besteht aus einer Vielzahl von vorgangen, fur die Matrizen zur Beschreibungherangezogen werden kbnnen.Die Geschaftsleitung einer Versicherung ermittelt die Gesamtanzahl der VertragsabschlUsse in-nerhalb des ersten Halbjahres. Matrix A enthalt die Anzahl der VertragsabschlUsse von zwei Ver-sicherungsvertretern fUr drei verschiedene Versicherungstypen des ersten Quartals, Matrix B diedes zweiten Quartals (vgl. Fig. 1):

(150 325 773) (242 447 971)A = 118 274 653 ; B = 107 256 503Die Gesamtanzahl der Vertragsabsch!Usse jedes Versicherungsvertreters erhalt man durchMa tr iz en ad d iti on :A + B = (150 + 242 325 + 447 773 + 971) (392 772 1744)

118 + 107 274 + 256 653 + 503 .= 225 530 1156Es konnen nur Matrizen mit derselben Zeilen- und Spaltenanzahl addiert werden. F u r die Ele-mente der Matrizen ist die Addition kommutativ. Foiglich gilt auch fUr die Matrizenaddition dasKommutativgesetz: A + B = B + A .Analog iasst sich das Assoziativgesetz der Matrizenaddition (A + B) + C = A + (B + C) begrUn-den (vgl. Aufgabe 5, Seite 212),Die Stornierung von Auftragen fuhrt zu einer Matrizensubtraktion.Die Matrix C enthalt die Starn ierungen des 1. Quartals: C = ( 6 ~ ~ 2 ) 'Der Bestand an NeuabschlUssen errechnet sich mitA - C = (150 325 773) _ (2 5 12) = (148 320 761)118 274 653 0 314 118 271 639'Moo kei V rt .. . d . C (0 0 0)ussen erne e rage storruert wer en, rst = 0 0 0 .Die Matrix, die aus iauter Nullen besteht, nennt man Nullmatrix. Man schreibt dafur auch O.Werden irn dritten Quartal genauso viele Vertrage wie im zweiten Quartal abgeschlossen, dannbetragt der Bestand des zweiten und dritten Quartals das Doppelte des zweiten Quartals, also

(242 447 971) (2'242 2447 2.971) (484 894 1942)28 = 2 107 256 503 = 2107 2256 2503 '= 214 512 1006'Durch die sogenannte s-Multipl ikation mit der Zahl 2 andert sich die Zeilen- und Spaltenanzahlder Matrix nicht.

21 0 VII Ubergangsmatrizen

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Definition 1: FUr die Addition zweier Matrizen A und B mit derselben Zeilen- und Spalten-anzahl gilt: jedes Element der Matrix C ist die Summe der entsprechenden Elemente de rMatrizen A und B.

a11 a12 a1n b11 b1? b1nC=A+B= a21 an a2n + b21 b22 b211

am~. am2 amn bm1 ben:! bmna11 + b11 a12 + b12 a1n + b1na21 + b21 a22 + bn a211 + b2nam1 + benl am 2 + bm2 amn + bmn

Definition 2 : Bei der s-Multiplikation der Matrix A mit einer reellen Zahl wird jedes Elementder Matrix mit dieser reellen Zahl r multipliziert.

all a12 aln r -all r'a12r-A = r- a21 a22 a2n r - a21 r - - a 22

aml alll2 amn r -aml r' am2. . . . . _,_.--~-.:.~-~ .~. -'-".,~"",-"~'- -~--,~-- ... __ . . . . - ..--~~.,.~~

r - alnr-a2nr 'amn I~_. __ __. .__. .__._. ._. ..__ _.1

FUr die s-Multiplikation gelten folgende Gesetze:1'A=A O'A=Q r'A=A'r(r + 5)' A " ' " r -A + 5 -A r -(A + B ) = r A + r -BBeispiel 1 Matrizenaddition, Kommutativgesetz der Addition, s-MultiplikationGegeben sind die Matrizen A = (i ~~),B = ( - c i ~ ~ ) , C = ( 2 ~ ~ ) und789a) Berechnen Sie A + B, B + A und A - B _b) Berechnen Sie 3-A und O-A und 3A + 3B.c) Berechnen Sie C + 0 _

U:isung:(1 - 1a) A + B = 2 . + 0

(1-(-1)A-B= 2-0

3'A+3'B=3'(A+B}=3'(O 5 8)=(0 15 24)2 . 5 8 6 15 24( 1 2 3 ) ( - 1 - 2 - 3 ) ( 0 0 0 )c) C + 0 = 4 5 6 + 1 -1 5 '" 5 4 11 .7 8 9 1 0 -1 8 8 8

Bei der Subtraktion zwei-er Matrizen A und B mitderselben Zei len- undSpaltenzahl werden dieentsprechenden Elemen-te der Matrizen A und Bsubtrahiert.

MATRIX[A1 2 x3[ 1 ~ - - ~~( - 1 - 2 - 3 )0= 1 -1 5.1 0-1 ::;,~=6

F ig . 13*[A1 [[3 9 151[ 6 12 1811[Al*3 [[3 9 151[ 6 12 1811

Fig.2[el + [OJ[ [(1 ~1 (1 I[ 5 4 111[8 8 8 1 1

F ig . 3Beispiel 2 l .osen von Matrizengleichungentosen Sie die folgende Matrizengleichung, bzw. bestimmen Sie eine Matrix X 50, dass dieMatrizengleichung erfullt ist.2 ( ~ ;) + 3 X - (~ ~) = X

L6sung: 2 . ' ( ~ ~ ) + 3 -X - (~ ~) = X Umformen fuhrt zu: 2 (~ ~) - ( g ; ) = - 2 XZusa mm enfassen der M atrizen ergi b t: ( 6 ; ) = - 2 . X , dan n fo Ig t: - H 6 ; ) = Xund schliefslich: X = ( - 1 - ~ ) _o - " 2

VII Ubergangsrnatrizen 211

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-- ---------------

Aufgaben1 Gegeben sind die Matrizen A, S, C,0 und F mit( 1 2 ) ( - 1 - 2 ) ( 0 - 3 ) _ ( 4 8A>=_1_2'S= 1 2,C=4 1,0= 1~ ~~a) Berechnen Sie A + S, A - S, A - A, C7, A - 4C,

12) ( a 2 b - 22 und F = c 1220 12 e2SB-2-A+3C.

2c11d + 2Se

b) BegrUnden Sie, weshalb die Rechenoperation A + D nicht durchfUhrbar ist,c) OberprUfen Sie, ob es jeweils ein rEIR gibt, sodass gilt: r 0 A = S, r -A = C, r 0 A ," 0_d) Bestimmen Sie a, b , c und dE I R so, d a s s gilt: D = F _2 Gegeben sind die Vektoren a = ( ~ ) , b = ( - ~) und F = ( 2 ) . Berechnen Siea)2a+2-i) und 2o(-a'+i)), 1-'" 3-> -->b) lob +2-b und 2b,

--)0 ----7 .. ~) ---7 ~ .._)d) 2a - b - 3a + 4b und -a + 3-b_---+ ----7 ___,. .......,.. ~ ~c) a + b + c und c + a + b.

3 Eine Grof skuche beliefert die Unterneh-men S, K und R taglich mit den MenUs I, IIund III gema15nebenstehender Tabelle.

-- ------~-- ..--.-----.--~----.---------.--~--.--.i Menu I Menu II Menu III- f- --- ---- ----------------T------------------------:'---------------S i 260 320 - 110- - - i - . . . - _ . . . - - . . - - - - - - - - - - . .. . - - . . - . . - - - - - - - - - - - - - - . . -- -K 65 80 45a) Wie viele MenUs werden in einer Arbeits- '- -------------R 85 i 70 55woche an B, an K bzw. anR,ausgeliefert?----.i---"-- - ------------

b) [eden Freitag lasst die GroBkUche die ausgelieferten MenUs in den Unternehmen gegenzeich-nen, MenU II kann kurzfristig fur Caste nachbestellt werden. Die Grofskuche legt folgende Ab-

(1300 1650 550)rechnung vor: 325 410 225 _ Wie viele Essen wurden jeweils nachbestellt?425 375 275

c) Die GroBkUche gewinnt das Unternehmen L als neuen Kunden, der taglich 30 MenUs I, 35 Me-nus II und 25 MenUs III abnirnmt. Wie viele MenUs sind dann in einem Monat herzustellen?

4 ) 1 0 --21)__ 22 31 __4~)l.osen Sie die Gleichung: a) 4 - ( - 1 0 ) + X - ( 3 2 '" 2 -X b) X - 20 3 42 1 1 -24 -2 1 0 5Zeitzu uberprufen5 Gegebensind die MatrizenA, B,Cmit A=(1 ~ _~), B=(_1 ~ ~) und C",(~ g 6 ) Bestatigen Sie: (A + B) + C = A + (B + C).6 Zwei Unternehmen A und B produzieren die Produkte P1, P2 P3 und P4_Die Produktionszah-len in drei aufeinanderfolgenden Monaten sind den folgenden Tabellen zu entnehmen,April: P 1 ! P2 -- P , i P 4. ." . - . .- - . ._ - - , -- - - - - -- - -+ - - - - - -- - - - : - - - - - - - - - - 1 - - . . - - . .A ; 304 : 207 ' 408 _ 505- - -- - - -- - - - r' - - - -- - - - -- , - -- -t - - - -- - - -B : 630 , 412 ! 508 I 660..... ._.: . L ~ __ J ._._

, ,Mai ' P 1 i P 2 : P 3 P 4 .~ ; : :1 : ~ : 1 ~ 1 ': ; 508 ; 660[uni . P _ 1 : _ _P ~A ! I.f54 i 329- - _ _ ~ :T - 7 j ~ ~ :- 4 8 0 - 469 -' 595a) Ermitteln Sie die Produktionszahlen fur das zweite Quartal,b) Wie viele Produkte hat Unternehmen A im [unl mehr produziert als irn Mai?c) Welche Zahlen werden im Juli erwartet, wenn die Produktionszahlen urn 5% gegenuber Junisteigen?

7 Gegeben sind die Matrizen A und B mit A = (_~ 6 ) und B = (~ 1 ; ) mit a, b, c E I R .Bestimmen Sie a, b, c und sEIR so, dass gi It: 60 A - s B ~ 0_

21 2 VII Ubergangsmatrizen

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3 Zweistufige Prozesse - Matrizenmultiplikation

Eine Gartnerei bindet aus Rosen und Gerberas die BlumenstrauBe Iund II. St raufs f enthalt eine Rose und zwei Gerberas, St raufs II dreiRosen und vier Gerber-as.Ein Gebinde enthalt drei Straufse lund einenStrauB II. Ein Handler bestellt 100 Gebinde.Auf welchen Wegen kann man herausfinden, wie viele Rosen und Ger-beras insgesamt ben6tigt werden?

Produktionspmzesse beschreiben den Werdegang von den Rohstoffen uber Zwischenproduktebis zu den Endprodukten:Ausgangsprodukte Prozess ~. Zwischenprodukte Prozess B EndprodukteSpeiseeis wird aus den Milcherzeugnissen M,flussigern Zucker Z und Fruchten F zubereitetEin Hsca fe stellt die Eissorten S 1 und 52 herund verkauft sie als Eisbecher E1oder Eisbe-cher E2. Die mengenmetstge Verflechtung anEinheiten kann dem nebenstehenden Diagramm entnommen werden. So werden zumBeispiel drei Einheiten von M und eine Einheitvon Z fu r eine Einheit 51 beni:itigt. Ein Prozess mit einer Zwischenstufe wird zweistufigerProzess,mit mehreren Zwischenstufen mehrstufiger Prozessgenannt. Die Verhsltnlsse lassensich auch als Tabellen und Matrizen darstellen:

Dieses Diagramm heifstObergangsgraph bzw.auch Gozintograph.Es steht fOr" the part thatgoes into",

I , Zwischenprodukte--._--,------- .~-----~-i ! 51 i 52Vl 4 J ~ -. . .---.-~------+---'.-~____l--~--g ; o ~ I Milch t i 3 I 2~ -c 1------- .---:---.--_.

'g e I Zucker _2_j 1 Q,- ....------f- ,-------I Fruchte I 0 I 3_--......___L__~. ._~~~_ ...~~F u r den Produktionsprozess ist es wichtig zu wissen, wie viele Einheiten eines Ausgangsproduk-tes benotigt werden, um je eine Einheit eines Endproduktes herstellen zu konnen.Mochte man 1 Eisbecher E 1 und 0 Eisbecher E 2 herstellen, so be-stimmt man zuerst den Bedarf an Zwischcnprodukten 51 und 52:Der Vektor (~) gibt den Bedarf an Zwischenprodukten an.jetztkann der Bedarf an Ausgangsprodukten bestimmt werden:

B - ( ~ ) = (~ ~ ) ' ( 6 ) = ( ~ ) .A . ( ~ ) = ( J ~ ) . ( 1 )= ( 1 ~ ) .Es sind somit 14 Einheiten Milch, 5 Einheiten Zucker und 3 Einheiten Fruchte notwendig.

Diesen zweistufigen Prozess kann man auch mit einer Matrix C darstellen,die den Gesamtpro-zess beschreibt. Zu diesem Zweck wird die Multiplikation zweier Matrizen definiert:A.B=(~ ~).(~ ~ ) = ( ~ ~ 1 : ~ : ~ ~ : ~ : ~ : ~ ) = ( 1 ~~ ) = c .o 3 0-4+3'1 05+32 3 6

(1419) (14)Es ist C- ( 6 ) = ~ ~. ( 6 ) = ~.Die Matrix C fasst die bei-den Stufen des Prozesseszusammen. Wenn B dieerste Stufe und A diezweite Stufe beschreibt,beschrei bt C =A B denGesamtprozess.ie erste 5palte von C gibt also an, wie viele der Ausgangsprodukte zur Herstellung einer EinheitE1und null Einheiten E 2 notwendig sind.

V II Ubergangsrnatrizen 213

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Auch hier:Z ElLE S PALTEDie Matrizenmultiplika-tion ist assoziativ, nichtaber kommutativ. Esgiltalso stets:A (B .C) ~ (A , B) C ,Selbst wenn beide Pro-dukte A B und B Adefiniert sind, gilt jedochim Allgemeinen:AB*BA.

8 2 ~ B B

[Al*[BJ [ [ -1 2 01( 11 7 211Fig. 2

[BF [ [ 1 0 2][ 2 1 31[0 0 11]Fig. 3

[AJ :HBlHCl[[17917J[20 8 231[6 3 1711,,- [ er bedeutet: Fig_ 4Das Ergebnis von A Bwird als neue Matrix Cgespeichert.

[Cl * ' [01 [ [10751[12901[705 IIF ig _ 5

21 4 VII Obergangsmatrizen

~ GTR-Hinweise / /735405-2141

Die Multiplikation zweier Matrizen ist nur dann rnoglich, wenn die Spaltenanzahl der erstenMatrix mit der Zeilenanzahl der zweiten Matrix ubereinstimrnt, So wird beispielsweise aus demProdukt einer 3 x 2- mit einer 2 x 4-Matrix eine 3 x 4-Matrix.~ U~~~~~ " ~ . _.-_~~ .~__....~_-= -~~ , .~, ..~~ __ .~ , ,,....._.,........_......~...:.~~.~';"""'"~",,~'.~~~ ~.,_._,.~~~ _~_...,:_~ ,. '_.. . . .,. .~ .~'"~._.~~ ~..~. _ y ~_~_ . . . .: . . . . : . . . . . . . . . . .! Definition: Man multiptlziert eine r-zeilige Cik ~ ail' blk + ai2'b2k + ... + airbrkMatrix B von links mit einer r-spaltigen

Matrix A, indern man jeden ihrer Spalten-vektoren von links mit A multipliziert.Man nennt die resultierende Matrix C dasMatrizenprodukt von A und B undschreibt C =A B. [eder Koeffizient Cik

bll . - . b~~ .. bisb2'1 ... ib2k : ... b2s... I . . . ' ...bn .. . 1 brk ... b.,C1i " ~~/ .. . Cis>/~. . . . Cik~~von C ist das Skalarprodukt des i-ten Zei-

lenvektors von A und des k-ten 5palten-vektors von B (Fig. 1). ensFig_1 i---I ._ Cn1 ...--_ ..._ - - _ . _ .._--_._._---_ .._---------- .._--

Beispiel 1 MatrlzenmultipllkationGegeben sind die Matrizen A und B mit A '" (- ~ ~ _ ~), B = ( i ~ ~ ) und C ~ (-~ - d ~ ) .a) Berechnen Sie A B und 82.b) Berechnen 5ie BC und C' B.c) Warum lasst sich weder 8 A noch A2 bilden?

l.osung: a) A'B=('1~ ~ ~) und 82- ( 1 ~ ~),sieheFig.2undFig.3.o 0 1b) B'C=(~ ~ ~ ) . ( - 6 - ~ ~ ) = ( g ~ j ) und C'B=(-~ -~ ~),sleheFig.2undFIg.3.001123123 326c) B 1Steine 3x3-Matrix, A eine 2x3-Matrix. FUreine Multlplikation mit A von rechts an B bzw.von rechts an A musste A drei Zeilen haben, was nieht der Fall ist.

Beispiel 2 Bedarf an RohstoffenEin Unternehmen fertigt aus den RohstoffenRl, R2und R3die Zwischenprodukte Z1, Z2,Z3und aus diesen die Endprodukte Ei,E2und E3.Der Materialfluss je Einheit ist den Stucklistenzu entnehrnen (siehe Tabellen).a) Bestimmen Sie die Matrix C des obigenzweistufigen Prozesses mithilfe der MatrizenA und B der einstufigen Prozesse und interpretieren Sie die zweite Spalte der Matrix C .b) Es werden 20 Einheiten von Ell 25 Einheiten von E2und 30 Einheiten von E3bestellt.Welche Rohstoffmengen sind fUr diesen Auftrag erforderlich?

und

..--. _ _--,---E - J : E 2 : E j.-'r---:-,-; --.

_ ~ ~ 1 _ 1 1 1 .;._ .5 _1 - , IZ2 I 3 t 0 j 2-.- . .~~-~--- -------. _ _ 3 ~ L _ ~ . _ ~ _

( 1 0 4 )l.osung: a) A = 2 2 33 1 0 ( 1 1 5 )B = 3 0 2423 (17 9 17)C = A B '" 2.0 8 236 3 17Die zweite Spalte von C gibt an, dass zur Herstellung einer Einheit von E29 Einheiten von Ri,8 Einheiten von R2und 3 Einheiten von R3benotigt werden (Fig. 4).b) r "C (~~) ~ ( ~ ~ ~ 6 )30 705FUrden vorliegenden Auftrag sind 1075 Einheiten von Rll 1290 Einheiten von R2und 705 Einhei-ten von R3erforderl ich (Fig. 5).

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Aufgaben1 Berechnen Sie das Matrizenprodukt.a) (~ ~ ) . ( 2 1 3)o 5 0 3 2 c) (1 ,5 0 , 8 ) . ( 1 0 )2 0,5 12 21 5 )) (2 ~ 3 ) . 3o ;J 2 02 Zeigen Sic, dass fur A = (~ ~) und B = (~ 1 6 1~ ) gilt: A B * B A .9 1 13 Berechnen Sie A L , A 3 , 82, [2 und E2.A ~ ( 6 6 ) B = ( ~ ~ )4 Ein Klebstoffhersteller mischt aus 3Grundstoffen G1, G2 und G3 zwei Zwischen-produkte Z l und Z2 und stellt aus diesen dreiKlebstoffsorten K1,K2 und K3her. Fig.1zeigtden jeweiligen Materialbedarf in kg an Vor-produkten fur ein kg jedes Foigeproduktes.a) 8estimmen Sie die Bedarfsmatrizen fur diebelden Produktionsstufen und daraus die

@~~0,1 -------....@0,2@___o~/_::~@@~2

@ CASKaufcrvernalten

@Fig. 1Bedarfsmatrix fur den Gesamtprozess.

b) Bestimmen Sie den Grundstoffbedarf, wenn je 1kg K1, K 2 bzw. K 3 hergestellt werden.5 Gegeben sind die Matrizen A(5 x 3), B(2 x 5) und C(1 x 5).Welche konnen paarweise multipli-ziert werden? Geben Sie die Form der entstehenden Matrizen an.Zeit zu liberprlifen

6 Gegeben sind die Matrizen A = ( 6 _ ; ) , B = ( - 1 - i ) und C = (i ~ ~).Welche Matrizenprodukte sind rnoglich? Geben Sie jeweils das Ergebnis an.7 Ein Elektronikhersteller stellt aus zwei Bauteilen B1 und B2 zwei Zwischenprodukte Z1 und Z2und aus diesen zwei verschiedene LEOs L1 und L2her. Die Tabellen in Fig. 2 zeigen den jeweiligenMaterialbedarf an Einheiten Vorprodukten fur eine Einheit jedes Foigeproduktes.a) Bestimmen Sie die Bedarfsmatrizen fu r die beiden Produktionsstufen und daraus die Bedarfs-matrix fur den Gesamtprozess.b) Es sollen 5000 L1und 7000 L2produziert werden. Bestimmen Sie den Bedarf an B1 und B2.

8 Gegeben sind die Matrizen A = (j ~),B = (~ ~) und (0= [, ~ -~).a) Zeigen Sie: (A'I:I)'C =A(B[). b) Oberprufen Sie: A'(B + C) =A- B + CA.9 Eine Fabrik stellt aus drei Rohstoffen R drei Baugruppen B her, die zu zwei Endprodukten Eweiterverarbeitet werden (Fig. 3). Eine Einheit von R 1 kostet O,30, von R23 und von R 3 2,10.a) Wie hoch sind die Materialkosten fu r je eine Einheit eines Endproduktes?b) Wie Viele Einheiten der einzelnen Rohstoffe sind notig, wenn zwei Einheiten von B1, eine von82 und drei von B3direkt als Ersatzteile an die Verbraucher gehen und zusatzlich funf Einheitenvon E1und eine von E 2 hergestellt werden sollen?c) Wie viele Einheiten an E1und E2konnen produziert werden, wenn im Lager 168 Einheiten R1,110 Einheiten R2und 68 Einheiten R 3 vorratig sind?

-~T-E;--- - " 81

i. 1 .-1-.- 3 . . . . .., i '-t"._-

B2 i 0, 5 2B3 2,5Fig. 3

VII Ubergangsmatrizen 215

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4 Austau schp ro zes se und stab ile V erte ilu ng en

Bei einem Brettspiel beginnt man auf Platz 1und ruckt je nach gewUrfelter Zahl nachrechts, bleibt stehen bzw, muss zurUck. DasSpiel endet, wenn man Platz 3 erreicht hat.Erfinden Sie selbst Regeln, bei welcher Zahlwie gezogen werden dati und beschriften Siedie Pfeile mit den Obergangswahrscheinlich-keiten.Spielen Sie das Spiel ein paar Mal. Mit wel-cher Wahrscheinlichkeit haben Sie nach maxi-mal10 Schritten das Ziel erreicht?

Bisher wurden Prozesse betrachtet, bei denen neue Produkte hergestellt wurden. 1m Foigendensolien Prozesse betrachtet werden, bei denen nicht etwas Neues entsteht, sondern slch nur einbestehender Zustand andert, Der Obergang zweier aufeinanderfolgender Zustande wird durchdie Matrix P beschrieben:

P p PZ 1 - . . . Z2 ~ Z 3 --> Z 4 . . . ZnIn einem Wildreservat leben Tiere, von denenjedes taglich eine der drei Franken A, B oder Caufsucht. Das Diagramm in Fig. 1zeigt, wel-cher Anteil der Tiere einer Franke am nachstenTag zu einer anderen Franke wechselt oderwiederkommt. Betragt an einem Tag die Ver-teilung von 2400 Tieren X1 = 1000 bei A,x2 = 1000 bei B und X 3 = 400 bei C,ergibtsich mit Fig. 1 fur die Verteilung am Folgetag:Tiere bei A: 0,5'1000 + 0,21000 + 0,8' 400 ~ 1020Tiere bei B: 0,2'1000 + 0,5'1000 + 0,1 .400 = 740Tiere bei C : 0,3'1000 + 0,3 1000 + 0,1 400 = 640.

Fig. 1

Die Gesamtzahl der Tiere ist unverandert 1020 + 740 + 640 = 2400.

10,5 0,2 0 , 8 )Dieser Prozess kann auch mit der Matrix P = 0,2 0,5 0,1 beschrieben werden:0,3 0,3 0,1

(0,5 0,2 0,8).(1000) _ (1020)0,2 0,5 0,1 1000 - 740.~3 ~3 ~1 400 640Da bei diesem Prozess die Tiere lediglich die Tranken wechseln, die Gesamtzahl der Tiere abergleich bleibt, spricht man von einem Austauschprozess und bei der zugeh6rigen Matrix Pvoneiner Obergangsmatrix.Man kann zeigen: Die Gesamtzahl der Tiere blelbt gleich, wenn im Diagramm in Fig. 1 die Sum-me der abgehenden Anteile jeweils 1 (bei A: 0,5 + 0,2 + 0,3) bzw. in der Ubergangsrnatrlx PjedeSpaltensumme 1 betragt,Das Element 0,8 der Obergangsmatrix gibt den Antell der Tiere an, die von Tranke Czur Tranke Awechseln. Man kann diesen Anteil auch als die Wahrscheinlichkeit interpretieren, mit der ein Tiervon der Tranke C zur Tranke A wechselt, weshalb man auch von einer s tochas ti schen Ma tr ixspricht.

21 6 VII Obergangsmatrizen

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~ b II

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:Al '" [01 ~ [El[ [3101[2751[4151 ]Fig. 1

[ [1 a -. 5333333 .[9 1 -.2666666 .[9 9 13=ins~Frac[[19 -8/15131[9 1 -4/15 61[0 a 01311IFig. 2

pp zu b):ie konnen die einzelnenchritte auch zunachstinmal schrittweise be-:immen und dabei ge-nge (real istische)chwankungen einbauen.2rgleichen Sie dann miter rech nerischen l.o-mg.

~ GTR-Hinweise,'735405-2181

Beispiel Obergangsmatrix, Verteilung, stabile VerteilungFUrdrei Tankstellen A, B und C sollen die folgenden Annahmen gelten:Die Kunden von A verteilen sich beim nachsten Tanken auf die Tankste Ilen A, B und C im Verhalt-ni 2:1:1. Die Kunden von B wechsel n das nachste Ma I je 25% zu A und C. 80% der Kunden vonC wahlen diese Tankstelle auch das nachste Mal, der Rest tahrt zu A. [eder Kunde tankt pro Wo-che genau ein Mal.a) Stellen Sie das Wechselverhalten in einer Obergangsmatrix P dar.b) In einer bestimmten Woche tanken von insgesamt 1000 Autofahrern 400 bei B und je 300 beiA und C. Berechnen Sie fUr die nachsten beiden Wochen die Verteilung der Autofahrer auf diedrei Tankstellen. Welche Verteilung stellt sich nach 10Wochen ein?c) Untersuchen Sie, ob es eine stabile Verteilung gibt,

L6sung:

(0,5 0,25 02)a) P = 0,25 0,5 0'0,25 0,25 0,8

b) p. (% g g ) = .(~j~). Nach einer Woche tanken 310 Autofahrer bei A, 275 bei B und 415 bei C .300 415p. (~ j ~ )= (~~~' 75). Nach 2 Wochen ta nken ca. 307 Autofa hrer bei A, 275 bei B u nd 478 bei C415 .478,25

(300) 296,4

pi0. 400 ", 148,7 . Nach 10 Wochen tanken ca. 296 Autofahrer bei A, 149 bei B und 555 bei C .300 554,9-0 ,5X1 + 0,25x2 + 0,2x3 = 0O,25xi - 0,5x2 + OX3 ~ 00,25 Xi + 0,25 x2 - 0,2 x3 = 0

Das LGS(siehe Fig. 2) ergibt X3'" t, x2 = 1~t und Xi '" 18s. Da die Gesamtanzahl der Fahrer1000 lst, folgt: Xi + x2 + x3 = f5"t + 1~t + t = 1000 und sornit t = 555*.Somit ist Xi '" 296 ;7; X2= 148 ~ und x3= 555 ~ eine stabile Vertei lung, also wenn ca. 296 Auto-fahrer bei A, ca. 148 bel B und ca. 556 bei C tanken,

Aufgaben1 Die Kunden zweier Kinos A und B wechseln wie folgt von Besuch zu Besuch:70% der Besucher von A kommen beim nachsten Mal wieder, die Obrigen gehen ins Kino B.60% der Besucher von B kommen beim nachsten Mal wieder; die Ubrigen gehen ins Kino A .a) Stellen Sie die Obergangsmatrix fu r diesen Prozess auf.b) lrn Kino A sind gerade 50 Besucher, in B 60 Besucher. Wie verteilen sich diese Besucher beimnachsten Mal bzw. nach fUnfmaligem Wechsel auf beide Kinos?c) Bestimmen Sie eine Gleichgewichtsverteilung von 350 Besuchern.2 In einer Kleinstadt gehen 360 Jugendliche an jedem Wochenende in eineder beiden Disko-theken STARPLUSund TOPDANCE.Von den STARPLUS-Besuchern wechseln das nachste Mal 50% zu TOPDANCEund 50% kommenwieder. Bei den TOPDANCE-Besuchern wechseln das nachste Mal 40%, der Rest kommt wieder.Wie rnussen sich die Jugendlichen verteilen, damit sich jede Woche dieselben Besucherzahlen er-geben?

.1 8 VII Obergangsmatrizen

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3 Von einem Prozess ist das nebenstehendeZustandsdiagramm bekannt.a) Bestimmen 5ie die Ubergangsmatrix,b) Bestimmen 5ie einen Fixvektor.c) Gegeben ist eine Anfangsverteilung von 10Individuen bei A , SO bei B und 40 bei C . Beur-teilen 5ie die langfristige Entwicklung, indem5ie die Vertei lung nach 2, L I und 6 Zeitsehrittenbetraehten. Vergleiehen Sie mit Ihrem Ergebnis aus Teilaufgabe b).

F ig . 1

Zeit zu uberprufen4 Die Zahnpastamarken ADent, BDent und - 'Nach i v ~ ~ - A - ~ i v o n ' 6-'1 V o nC- _ - - _ _ '- ~ + - - _ ._----,-------_._._-+-----. __.

~, __ , , I.---O% I 30% ! 50%B I 60% i 0% i 50%------.-.,..-,,~l-v~----:-.--~~-.~.-.-----j' [_ C : . _ . _ , ~ ! ~ _ 70 %_ > _ _. . 1 _ _ O _ o / c _ o _ _

(Dent haben den Markt erobert. Die Kundenweehseln jedoch bei jedem Kauf die Marke,wie in der Tabel le angegeben.a) Geben 5ie die Ubergangsmatrix P und einestabile Verteilung fur die Kauferanteile an.b) Anfangs benutzen die Kunden zu je ein Drittel die drei Marken. Wie ist die Verteilung nachzehnmaligem Wechseln? Was andert sieh, wenn anfangs aile Kunden die Marke ADent verwenden?5 Zwei luftgefullte Kammern (1) und (2) sind dureh eine Wand getrennt, die LuftmolekUle inbeide Richtungen frei durchlasst, In Kammer (1) befinden sich am Anfang 1 Million Molekule el-nes Geruchsstoffes 5 (Fig. 2). Fur jedes MolekUl von S andern sieh die Aufenthaltswahrscheinlich-keiten q1 und q2 in den Kammern (1) und (2) von einer Minute zur nachsten, wie angegeben.a) Geben Sie die Obergangsmatrix P an und bestimmen 5ie die Aufenthaltswahrseheinlichkei-ten eines Molekuls von 5 nach 1, 2 und 3 Minuten.b) Bestimmen Sie eine stabile Verteilung fUr die Aufenthaltswahrscheinliehkeiten eines MolekUlsvon 5.c) Wie viele Molekule von S sind naeh langer Zeit in Kammer (1) bzw, (2) zu erwarten?

6 Gegeben ist das nebenstehende Zustandsdiagramm I.a) Bestimmen 5ie die Obergangsmatrix P.b) Nennen 5ie Besonderheiten des dargestell-ten Prozesses.c) Bestimmen 5ie eine stabile Verteilung.Das nebenstehende zweite ZustanddiagrammII zeigt genau zwei Veranderungen auf.d) Beschreiben 5ie ohne Reehnung, wie sichdie Verteilung im Vergleich zum Zustandsdia-gramm I auf lange 5icht andert,e) Gegeben ist eine Anfangsverteilung von 20 Einheiten bei A, 30 bei B und 50 bei C . BeurteilenSie die langfristige Entwicklung, indern 5ie die Verteilung nach 2,4 und 6 5chritten betrachten.

1 1

F ig . 3

Vergleichen Sie mit der langfristigen Entwieklung des Prozesses aus I.Popu la tio ns en twk klu ngen7 Gegeben ist fur eine Populationsentwicklung die Ilbergangsrnatrix U = 1 K 2 g 1 9 ) .o 0,6 0Zeichrien5ie ein Ubergangsdiagramm und stellen Sie fur die 5tartpopulation (50, 30, 60) diezeitliche Entwicklung bis zum 5. Entwicklungsschritt tabellarisch dar.

nO,5_I~:;'.:--;.;.n;.:i;_'~-=:"ii . " " \[ \

\ [ ( D b \ / . i ? ( f l /L ~ > ~ . ~ . ~ ~~ ~ ~ ;~ . ~ ~ ~ L '> ' , ~ ~, : ., ,' _ 4 !\. " '._ / Fig. 2

VII Ubergangsmatrizen 21 9

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Die Population wird inAltersklassen eingeteilt.(40, 20, 25) bedeutet,dass 40 jungtiere, 20 aus-gewachsene Tiere und 25Alttiere den Natlonalparkbevolkern.

Die Larven der Feldmai-kater verbleiben zweiJahre im Larvenstadiurn,

8 Die Entwicklung einer Saugetlerart wird(0 0 2durch die Matrix a 0 0 beschrieben.o 0,8 0

Zu Beginn wird in einem Nationalpark diePopulation (40,20,25) gezahlt,a) Bestimmen Sie fu r a =0 0,625 die Popula-tionsentwicklung fur die ersten sechs Zeit-schritte. Beschreiben Sie die Entwicklung.b) Durch Anderungen der Umweltbedingungen wird a '" 0,7. Wie entwiCkelt sich die Populationjetzt langfristig? Welche Population beobachtet man nach sechs Zeitschritten?c) Der Nationalpark kann maximal 110 Tiere dieser Art aufnehmen. Nach welcher Zeit mUssenMaBnahmen zur Eindamrnung ergriffen werden (mit a = O,7)?Zeit zu uberprufen9 Eine Insektenpopulation entwickelt sich nach dem folgenden Modell. Ein Insekt legt kurzvor seinem Tod so viele Eier;dass sich hieraus im nachsten [ahr 20 Larven entwickeln. 10% die-ser Larven Uberleben das erste Jahr, im zweiten [ahr verpuppen sich 50% der Larven und werdenschliefslich zum Insekt.a) Zeichnen Sie ein Dbergangsdiagramm und geben Sie die Dbergangsmatrix U an. BerechnenSie U2 und U3. Wie entwickelt sich die Population langfristig?b) Die Population besteht anfangs aus 400 Larven und je 200 verpuppten Larven und Insekten.Geben Sie an, in welchem Bereich die Anzahl der Insekten schwankt.c) Andern Sie Matrix Usa ab, dass sich aus den Eiern im nschsten Jahr 40 Larven entwickeln.Wie verandert sich die Population nun langfristig?

10 Eine Population vom Aussterben bedroh-ter Kafer entwickelt sich nach dem Ober-gangsdiagramm (rechts).a) Geben Sie die Obergangsmatrix an.b) Ein Zoo kauft als Startpopulation jeweils40 Eier; Larven und Kafer. Fur die Unterbrin-gung steht ein Terrarium, das fUr maximal 60Kafer Platz bietet, zur VerfUgung. Reicht diesesfUr die nachsten zehn Zeitschritte aus?c) Gibt es eine Startpopulation, bei der sichdie Anzahl der Individuen innerhalb der ein-

}_~2_:>{Larven ) (. Kafer)' - ---------/6

( Eier

zelnen Entwicklungsstufen nicht verandert?d) Die Kaferpopulation entwickelt sich besser als erwartet, die Kafer legen 7 statt 6 Eier. Beant-worten Sie b) und c) unter diesen veranderten Bedingungen.

(0 05011 Eine Obergangsmatrix lautet 0,4 0 O . Nach dem 2. Zcitschritt ist die Populations-o 0,9 0

verteilung (70, 50, 20). Berechnen Siedie Verteilung nach dem 1. Zeitschritt.Zeit zu wiederholen 112 Berechnen Sie die Integrale. a) J (2x 3 + x2)dx

1 013 Bestimmen Sie k so, dass gilt: J k(x - x3)dx = 1.

o

220 VII Ubergangsmatrizen

ob) J e-4xdx-0,25

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W iederholen - Vertiefen - Vernetzen

Ein- u nd zwe is tu fig e P ro ze ss e1 Die Tabelle gibt an, wie viele JeanshosenA, B, C und D ein Laden monatlich verkauft.Der Stiickpreis betragt fur A 120, fur B 80E,fUr C 160 und fUr D 110 E. Ermittel n Sie denmonatlichen und den Gesamtumsatz in Euro.

o r' - - - - . - - - - . . ~ -.-

MaiJuniJuli

A 8

2 "----~"--"Y--"-;'""--- ~E 1 i E 2 : E 3. ' .T ~ I ~ ~ . . ~ ~ ~ _ .M2 2 ; '3 ! 3- M - 3'" O - t - ~ ' - ' 1 ' - '

In einer Fabrik werden aus den Grundstof- M 1 M 2 M 3fen G1, G2, G3 und Gil die Mischfarben M1, M2 ..~1~~C~~]-', 0und M3 hergestellt und zu den Farbgemischen ._~2 l . L _ 9 _ : . : : " 1E1, E2und E3verarbeitet (s. Tabellen). G 3 . 1 J .i 2 i 0a) Wie hoch ist der Grundstoffbedarf? ... _" .... _.___+b) E d "0 E' h it E 40 E G4 i 1 I 1 ! 25 wer en ;) In e r en von 1, von 2 _ _....... ._._-'-- 1. -und 20 von E3bestellt. Wie viele Einheiten der Mischfarben und wie viele Einheiten der Grund-stoffe mUssen dafur bereitgestellt werden?c) Eine Einheit des Grundstoffs G1kostet 2E, von G2 O,50, von G3 1 und von G4 O,10.Wie hoch sind die Rohstoffkosten je Einheit eines Farbgemisches.d) Eine Einheit der Mischfarben M1 und M2 verursacht Kosten von je O/50E, eine Einheit von M3kostet 1. Die Kosten fur die Farbgemische betragen jeweils O,40 je Einheit.Bestimmen Sie die Kosten fur den Auftrag aus Teilaufgabe b).3 Ein zweistufiger Produktionsprozess wird durch die folgenden Tabellen beschrieben:.-_"'---"'_--'_----'.--

Z2 : Z 3 R1 ! . _ ~ ~ _ . .! . .~3.E1 25 i 30 i 35! j..__-;-------.-;-.--.r---E2 10 i 37 : 18. _ . _ - - - - - - L - - - J -- -- - -- -- ;- -- -. ~ ., ~ ,E3 : 1 1 i 1 9 i 1 8. . _. __ ._ c ._ .. .. _ .. . ' . 1 . . .

5 : 3..----.-.'"t _-I---------!'Z 1 ! a f 8 ! 2

....... ~_____ I

: j iE 2,2,Q,7_ . _. ,. .. . .J . ~ . .. l ! . _ __ . E = _ l _ . ~ J _ ~ _ . J . 3 b i 1 I 5. . _ - - - ; . 1 . _ .. . . , . _Z 3 i c i 3 : 2_ ' ! _ . ._ ._ _ . ._.!_---_- jFig.1 Fig. 2 Fig. 3

In Z1sind a Mengeneinheiten von R1, in Z2 sind b Mengeneinheiten von R1 und in Z3s ind c Mengeneinheiten von R1. Bestimmen Sie a, b und c.

; P U ~ : O ; : : : : : ; : : C k I U n g w ird d u rch U .( ~ ! 2 5 ~ 2 ~ ] m i t 0 < b 51 beschrieben.o b 0a) Bestimmen Sie b so, dass die Population sich nach drei Zeitschritten wiederholt. BegrundenSie dies anhand einer Potenz von U.b) Bestimmen Sie b so, dass sich die Population nach jeweils drei Zeitschritten verdoppelt.Zeichnen Sie fur die Startpopulation E ~ 90 Eier, L = 45 Larven und K = 10 Kafer den Graphenf u r die zeitliche Entwicklung von E. Die Punkte zum 3. , 6.,9. Zeitschritt usw. von E liegen auf demGraphen einer Funktion f. Geben Sie die Gleichung von fan.5 Eine Populationsentwicklung wird durch U = I K s ~ ~ ) mit v> 0 beschrieben.o 0,5 0a) Deuten Sie die Matrix biologisch und zeichnen Sie ein zugehoriges Ubergangsdiagramm.b) Erstellen Sie fur v = 10 eine Tabelle fur die Startpopulation (500,250, 50) fur die ersten achtZeitschritte. Konnen Sie dieses Verhalten erklaren?c) Bestimmen Sie v so, dass sich jede Startpopulation nach drei Generationen wiederholt.

gilt U3 ~

(a'b'( 0 0 )o abc 0o 0 a-b-c

22'VII Obergangsmatrizen

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W iederholen - Vertiefen - Vernetzen

Mehrstufige Prozesse im Sachzusammenhang6 Ein bestimmtes Erscheinungsbild einer Pflanzenart wird durch ein Genpaar bestimmt. EineGartnerei hat eine Rosenzucht mit drei Typen von Rosenstocken: RotblUhende Rosen (RR), rosa-blilhende (Rw) Rosen und weifsbluhende (ww) Rosen. Der momentane Rosenbestand bestehtaus 100 Rosen RRund 100 Rosen ww. Eswerden aile 100 Rosen vom Typ RR mit dem Typ ww ge-kreuzt und aile 100 Rosen vom Typ ww mit dem Typ RR.a) Stellen Sie die Obergangsmatrix auf. Wie ist der Rosenbestand ein jahr nach der Kreuzung?b) Aile in a) entstandenen Rosen werden mit dem Rosentyp Rw gekreuzt. Bestimmen Sie dieneue Verteilung ein jahr sparer;c) Die Gartnerei hat Ihren Rosenbestand aufgestockt. Er betragt nun 200 rotblUhende Rosen,100 rosabluhende Rosen und 100 weii3e Rosen. Die nachsten jahre werden aile 400 Rosen unab-hangig von ihrer Farbe immer mit dem Rosentyp Rw gekreuzt.Stellen Sie die neue Obergangsmatrix auf und berechnen Sie den Rosenbestand nach 1, 2, 4, 8und 10 jahren. 1stdie Ubergangsmatrix eine stochastische Matrix? Wie entwickelt sich der Rosen-bestand auf lange Sicht?d) 1mzehnten jahr nach der Aufstockung stellt sich ein dauerhafter Schadlingsbefall ein. Betrof-fen sind allerdings nur die weii3en Rosen und nur insofern, dass sie nur noch 20% fruchtbareNachkommen haben. Der Gartner geht davon aus, dass die weii3en Rosen aussterben.Handelt es sich bei der zugehorigen Obergangsmatrix immer noch eine stochastische Matrix?e) Berechnen Sieden Rosenbestand nach 1,2,5,10 und 20 jahre nach dem Schadlingsbefall.Erklaren Sie das Ergebnis.7 Zu Beginn der Liberalisierung des Strom-marktes haben sich vier Energieversorgeretabliert: Nordstrom (N), Ost-Power (0), Sud-strom (5) und Westenergie (W).Zu Beginn verteilen sich die Kunden gleichma-Big auf die vier Versorger. Am Ende eines jah-res wechseln die Kunden den Anbieter nachfolgendem Prozessdiagramm (Fig. 1):a) Erstellen S ie die Ubergangsmatrix A undberechnen Sie die Kundenanteile nach 1, 2und 10 jahren.b) Fallt der Marktanteil unter 15%, so ist das

.r.'.R 5(_ f)'~..__~----. D ,S

0'2~~/ 0,05 Jv ' _ 0 0,05U,5 Fig.1fur einen Stromkonzern zu wenig. Aus diesem Grund schlieBen sich zwei Anbieter zusamrnen.Wann passiert dies? Das Wechselverhalten der Kunden andert sich nicht mehr. Stellen Sie dieneue Ubergangsmatrix B auf.c) Gelingt es dem neuen Konzern langfristig einen Marktanteil uoer 15% zu erreichen? Ware esim Hinblick auf die Marktanteile f u r den neuen Konzern sinnvoll gewesen, wenn der Zusammen-schluss zwei Jahre fruher erfolgt ware?d) Durch eine Werbekampagne gelingt es dem neuen Konzern den Kundenabgang am Jahresen-de jeweils zu halbieren. Kann der Konzern seinen Marktanteillangfristig auf 33% erh6hen?e) Halten Sie die Annahmen in diesem Modell fur realistisch?Zeit zu wiederholen8 Berechnen Sie den lnhalt der Hache . die der Graph der Funktion f mit der x-Achse ein-schliefst, mithilfe von Stammfunktionen. Skizzieren Sie auch den Graphen von f.a) f(x) = 2 + x - x2 b) f(x) = x3 - 7x/ + 10x

222 V II Obergangsmatrizen

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Ruckblick

MatrizenEin Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten wird als m x n-Matrixbezeichnet. 1stm = n, dann ist die Matrix quadratisch. Die Eintrage inder Matrix A heifsen Elemente aij 0 : leilennummer, j: Spaltennummer)Rechenregeln fUr Matrizenlwei Matrizen desselben Typs werden addiert, indem man die jeweili-gen Elemente addiert.Die Multipl ikation C = A B ist nur fur den FaII definiert, dass A so vieleSpalten wie B Zeilen besitzt.Die Matrizenmultiplikation ist im Allgemeinen nicht kommutativ.

Wird ein Prozess durch eine Obergangsmatrix A beschrieben, so erhaltman aus dem Vektor x der Eingangsprodukte durch die MultiplikationA x den Vektor '1 der Ausgangsprodukte.Ein Prozess mit einer Zwischenstufe heiBt zweistufiger Prozess, mitmehreren Zwischenstufen mehrstufiger Prozess. Sind die Ausgangswer-te eines Prozesses mit der Matrix B die Eingangswerte eines Prozessesmit der Matrix A , so hat de r Gesamtprozess A B als Prozessmatrix.Umkehrung von ProzessenSind die Ausgangsprodukte ( ' 1 ) bekannt, so kann mithilfe der Uber -gangsmatrix A die Eingangsprodukte durch l.osen des entsprechendenLGSbestimmen: A x = '1Bei einem Austauschprozess gibt das Element aij der zugehorigenstochastischen Matrix an, welcher Anteil der Objekte im Zustand j sichbei der nachsten Beobachtung im Zustand i befindet.Eine stochastische Matrix P ist quadratisch, fur jedes Element ajj gilto s aij s 1 und die Summe der Elemente in jeder Spalte betragt 1.Wenn sich die Verteilung langfristig nicht mehr andert, strebt sie gegeneine stabile (Grenz-) Verteilung g. Esgilt dann p. g = g.Bestimmung von g :Mit p. g =g berechnet man die stabile Verteilung g, indem man dasentsprechende LGSlost.

l.asst sich eine Populationsentwicklung durch eine UbergangsmatrixU '" (~ ~ ~), mit v > 0 und 0 < a, b s 1 beschreiben, so gilt:o b 0fur a b v < 1: die Population stirbt aus, f u r a b -v = 1: die Populationentwickelt sich zykl isch und filr a b .v > 1: die PopuIatlon nimmt zu.

(131) (-15)B = 2 1 1 i D= -5 2

( 1+ (-1) 3 + 5 ) ( 0 8 )A + D = 5 + ( - 5 ) 2 + 2 = 0 4C '" AB

= (.1'1 + 32 13 + 31 11 + 3.1)51 + 22 53 + 21 51 + 21= (~ 1~ j)

Einheitsmatrix E = ( 6 ~ )Schema fu r zweistufige Prozesse:

~ ~ ( ~)X ~ Bx ~ A B'x~~

A S = C

1X1+2X2=13 -4X1+1X2=17also X1 = 3 und x2 = 5Die stochastische Matrix P _ (0 ,3 0,6) gibt0,7 0,4das Wechselverhalten der Gaste von zweiSzenecafes an: 30% der Caste von A gehendas nachste Mal wieder zu A, 70% zu B...Zu Beginn gehen 800 Gaste zu A, 500 zu B.Aus p. g = g folgt ( 0 , 3 0,6). (X1 ) '" (X1 )0,7 0,4 Xl X2und X1 = 6t; X2 = 7t.Die Gesamtzahl der Gaste ist 1300:X1 + Xl = 13t = 1300, also t = 100und g = ( ~ g g ) :stabile Verteilung, unabhangig von derAnfa ngsvertei 1 ung.

u = I K 2 5 g 4 g ) 40-0,250,1'" 1,o 0,1 0die Population entwickelt sich zyklisch.U3 = E, die Zyklusdauer betragt 3 Prozess-schritte.

VII Obergangsmatrizen 223

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Prufungsvorbereitung

A~OA// i03

( / f'0,3, :;~>O

Fig. 2

1 Gegeben sind die Matrizen A, 8 und C : A = ( i - i ) , s = (_~ - i ) und derVektor x ' mit x = ( - i ) . Serechnen Siea) A - S , c) A '- X , d) BA.

2 Bestimmen Sie mit den Matrizen ( 1 - 1 1 )A = 2 1 0 und-1 0 1c) AB, (2 0 -1)

B = - 6 ~ ~ d) (B + E)A.) A + B , b) (010)'A,3 Zeigen Sie, dass fOr die Matrix S = ( 6 ~ ~ ) mit a, bE IR gilt:001a) 82 = 2B - E b) 83 = 38 - 2E.

X - _ ( c a db)Die Matrix X mit erfUllt die Matrizengleichung X2 = E.a) 8estimmen Sie a und d fur b = 0 und c = o . Welche Beziehung besteht zwischen a und d,wenn gilt: b '* ' 0 oder c * a ?b) Geben Sie eine l.osung der Gleichung X2 = E an, bei der genau ein Matrixelement null ist.c) Gibt es beliebige reelle Zahlen a, b, c und d so, dass gilt: X 2 = (~ ~ ) ?5 Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? BegrUnden Sie.a) Die durch Multiplikation von A mit B entstehende Matrix ( hat immer gleich viele oderweniger Zeilen als A.b) Kennt man die Matrix A eines Produktionsprozesses und die Menge an vorhandenenAusgangsprodukten, so kann man immer die Menge an Endprodukten bestimmen.6 Zur Dekoration von zwei verschiedenenKuchen K1und K2werden drei verschiedeneMarzipanfiguren M1, M2 und M3 benbtigt(siehe Fig. 1).a) Ermitteln Sie die Bedarfsmatrix A an Marzi-panfiguren je Kuchen.b) Es sallen 20 Kuchen K1 und 10 Kuchen K2hergestellt werden. Bestimmen Sie den Bedarfan Marzipanfiguren.7 In TRIDISTANgibt es die Parteien A, S und C . Die Wahlberechtigten andern von Wahl zuWahl ihr Abstimmungsverhalten wie in Fig. 2 angegeben.a) Geben Sie die Ubergangsmatrix fi.ir diesen Prozess an und prUfen Sie nach, dass es sich umeinen Austauschprozess handelt.b) Anfangs wahlen 100 000 Wahler die Partei A, 50 000 die Partei B und 150 000 die Partei C .Wie viele Wahler haben die drei Parteien bei der zweiten bzw. dritten Wahl?c) Untersuchen Sie, ob 70 000 Wahler fur Partei A, 80 000 Wahler fur Partei B und 90 000 Wahlerfur Partei ( eine Gleichgewichtsverteilung sind.d) Bestimmen Sie eine Gleichgewichtsverteilung fur die Wahlerstimmen.8 Ein (hip ist auf einer Seite mit 0 und auf der anderen mit 1beschriftet. Er wird so lange ge-warfen, bis die Summe der Einzelergebnisse den Wert 2 Uberschreitet.a) Zeichnen Sie eln Prozessdiagramm zu dem Spiel.b) Geben Sie dieWahrscheinlichkeitsverteilung der Zustande nach zwei Wurf~n an.c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit braucht man hochstens vier WQrfe bis zum Spielende?

224 VII Ubergangsmatrizen Ujsungen auf Seite 340- 341.

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10 Fig. 1 zeigt die Rohstoff-Zwischenprodukt-Matrix A und die Rohstoff-Endprodukt-Matnx C.a) Bestimmen Sie die Zwischenprodukt-Endprodukt-Matrix B. I nterpretieren Sie das Element b12.b) 1m Lager befinden sich 12 Einheiten von Z 1 , 24 Einheiten von Z; und 40 Einheiten von Z 3 .Reicht der Vorrat aus, um einen Auf t rag uber sechs Einheiten von E1und vier Einheiten von E2erfullen zu k6nnen? Wie viele Einheiten der Zwischenprodukte bleiben gegebenenfalls Ubrig?c) Eine Einheit des Rohstoffs R , kostet 2, eine Einheit von R 2 und R 3 kosten jeweils 3 .Die Herstellkosten der Stufe 1betragen fur Z11,50, fur Z23,50 und fur Z32.Die Herstellkosten der Stufe 2 betragen fur E, 5E und fUr E27,50. Es liegt ein Auftrag uber30 Einheiten von El und 40 Einheiten von E2vor. Berechnen Sie die Kosten fur diesen Auftrag.11 Ein Schnellrestaurant hat 300 treue Kun-den, die dart jeden Tag Z L I Mittag essen undetwas trinken. jeder Kunde kann zwischen 3Getrankesorten A, B, Cwahlen, Die Kundenentscheiden sich jeden Tag so urn, wie dasDiagramm in Fig. 2 zeigt (die Pfeilspitze zeigtauf das Getrank am nachsten Tag).a) Beschreiben S ie eine Stufe des Prozessesdurch eine Ubergangsmatrix A. Bestimmen Sieeine stabile Verteilung fur die Getrankewahl.b) Bestimmen Sie die Obergangsmatrizen fu r2; 3 und 4 Tage.Wie entwickelt sich die Vertei-lung auf lange Sicht?

Fig. 2

12 Die Kunden der Superrnarkte LADI, LUPS und POPkaufen zwar immer in einem der dreiMarkte ein, wechseln jedoch von Woche zu Woche nach folgenden Regeln:(1)40% der LADI-Kunden bleiben bei LADI, 30% wechseln zu LUPS,30% zu POP.(2) 50% der LUPS-Kunden bleiben bei LUPS,20% wechseln zu LADI, 30% zu POP.(3)30% der POP-Kunden bleiben bei POP,50% wechseln zu LADI, 20% zu LUPS.a) Bestimmen Sie die Ubergangsrnatrix A und berechnen Sie damit fu r eine Startverteilung von60% LADI-Kunden, 30% LUPS-Kunden und 10% POP-Kunden die Kundenverteilung nach einerWoche und nach flint Wochen.b) Bestimmen Sie eine Gleichgewichtsverteilung fur die Kundenzahlen, wenn die Superrnarkteinsgesamt 16000 Kunden haben.13 Die Entwicklung der Altersverteilungeiner Fischpopulation wird durch folgendes Modell be-schrieben: Die Halfte aller neugeborenen Fische uberlebt das erste Lebensjahr, ein Drittel allereinjahrigen Fische Uberlebt das zweite jahr und kein Fisch wird alter als drei Jahre, bringt aberkurz vor dem Tad funf Nachkommen zur Welt.a) Zeichnen Sie das Obergangsdiagramm und geben Sie die Obergangsmatrix an.b) BegrLlnden $ie, dass es keine Startpopulation geben kann, be; der sich die Anzahl der lndivi-duen innerhalb der einzelnen Altersgruppen nicht verandert,c) Zu einem bestimmten Zeitpunkt werden 110 neugeborene, 250einjahrige und 50 zweijahrlgeFische gezahlt. Wie viele waren es jeweils einen Zeitschritt davor?

'1 5 4)A - ( 2 3 3:3 0 2(32 9'C - 2 3 8 ); 11 7

F ig . 1

Losungen auf Seite 340 - 341. VII Obergangsmatrizen 22~

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c) Berechnen der Projektionsmatrix:Die Bilder der Punkte E1(11010) und E2(01110) bleiben fest. DasBild von E3(01011) berechnet man als 5chnittpunkt der Geradeh: - x : ~ - e : ; + t- 5 mit der x1x[ Ebene.Aus ( ~ ) + t ' L ~ ) ~ ( ~ ; )folgtt~1 und x1~1, x2~-1Sorniterhalt man: A = ( J ~ - ~ \o 0 o jSilder der Eckpunkte der Pyramide unter dieser Projektion:A' ~ A; 0' ~ 0; E' ~ E; I' = I; C(21-210), 8'(81-810);G'(81-210); ),(21-810); H'(111-1110)(in der Zeichnung unten ist die positive xrAchse anders als ublichnach unten gezeichnet, damit der 5ehatten ansehaulieh bessernachvollzogen werden kann.)

---{, '-i ' 1 _ : _

T" : ._.....! ---

; - - x K ' - - -.)---

d) Koptspitze des Besuchers: K(71712)K'(91510)Der Kopf des Besuchers befindet sich aufserhalb des 5chattensdes Eiskellers (vgl. Zeiehnung oben).

( 1 0 1) ( X 'I ) ( 0 }e) Aus ~ 6 - 6 ~ ~ ~ ~ folgt X1 = - X 3 und x} = x]Menge der Punkte, die auf den Nullvektor abgebildet werden:1 (- k 1 k ,k ) 1 k E IR I

10a) A = (cos (60) -sin (600 ) _ ( ( besehreibt eine Drehung um den5In(600) cos (60) ,Nullpunkt um 60.B = (C?S(600) sin (60). B beschreibt erne 5piegelung an einersin (600) -cos(600) sUrsprungsgeraden, die mit der x1-Achse einen Winkel von30 einschliefst.b ) Bilddreieck A'B'(' unter d er Abbildung ccA' (-'3,3314,23); B'(0,371'-1,37); C ' (1,8711,23)Bilddreieck A"B"(" unter der Abbildung ~:A"(5,331- 0,77); B"(--1,371- 0,37); ("(0,1312,23)Die Bilddreiecke A'B'(' und A"B"C" haben den gleichen Fiachenin-halt wie das Dreieck ABC, denn sowohi bei einer Drehung wie beieiner 5piegelung bteiben die Seitenlangen und die Form des Drei-ecks erhalten.

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c) A' B = - - ~ q - j - (cos (120) sin (1200)i f ~ - sin (120) - cos(120)B.A = (01 0 ) = (C?S(OO) Sin(OO)-1 S I n (0) - cos (0)Die Verkettung ao~,"erst B dann a", beschreibt also eine 5piege-lung an einer Ursprungsgeraden, die mit der x,-Achse einen Win-kel von ~'120 = 60 einschliefst.Die Verkettung ~O(( , ,,erst a dann W ' beschreibt eine 5piegelung ander Kr Achse,11a . ~ x : = (2COS(450) -2sin(45) ) . ~ x bzw.: -:- ( f I - r i ) _ ,. 2sin (45) 2eos (45) x - ,fi if' xKapitel VII, Zeit zu uberprtifen, Seite 209,~.

, ,f

4a) A = (~ ~ ~)

b) (~ ~ ~).(~) ~ (~).Es werden 8 Einheiten Fette bzw. Natronlauge benotigt,e) Ansatz: 35, + 52 + 453 = 58

2S1+ 3 S~+ 353 ~ 45Eskommen nur ganzzahlige Li: isungen in Betracht, Durch Umfor-mungen erha l t man: 7S1 + 9 S3 ~ 129. Dureh Ausprobieren ergib tsieh 5'1~ 1 2, S 2 = 2 und 5 3 = 5 oder 5 '1 ~ 3, 52 ~ 1 und S3 ~ 12.Es kon nen entweder 12 5eifen der Sorte 51,2 der Sorte 52 und 5der Sorte 53 hergestellt werden, damit aile vorrate verbrauchtsind, oder 3 5eifen der Sorte 51,1 Seife der Sorte 52 und 12 5eifender Sorte 53 'Kapitel VII, Zeit zu uberprufen, Seite 212

6(1202 823 1315 1595)a) M1 + M 2 + M3 ~ 2015 1300 1524 2015

(10 42 31 100)b) M3 - M 2 = 75 72 0 --35A hat im juni 10 Einheiten von P1,42 von P2, 31 von P 3 und 100von P 4 mehr produziert. Insgesamt werden 183 Produkte mehrproduziert.

_ . _ (477 345 49 2 625)c) M i l - - 1,05 M 3 - 767 504 533 693Juli ...~1 P7A 477 345 625B 767 69304 533

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Kapitel VII, Zeit zu iiberprufen, Seite 2156Essind moglich:A-B ~ ( _~ - 2 ) ; B-A ~ ( - j - ~ 6 ) ; A'( = (_~ ~~. ~~) undB-( ~ (_~ - . 5 _ ~ )7a) Bedarfsmatrix A = ( 6 ~ ) und Bedarfsmatrix B ~ (~ 2 )Bedarfsmatrix fU r den Gesamtprozess C ~ A- B ~ (~ 1 92)b) c - ( j~~~)(1 ~ ~ ~ ~ g ) .Eswerden 9 3000 Einheiten 8 1 und114000 Ein heiten B2 bendtigt.Kapite! VII, Zeit zu uberprtlfen, Seite 2194

(0 0,3 0,5)a) Obergangsmatrix P = 0,6 0 0,5.0,4 0,7 0

(0,286 0,286 0,286 IFUr k _.) 00 scheint P gegen G '" 0,352 0,352 0,3520,361 0,361 0,361

zu konvergieren. Die stabile Verteilung betragt somit28,6% beiADent, 35,2% bei BDent und 36,1% bei CDent.

1

( )10 3 . )o Q3Q5 1 (~286b) 0,6 0,5 "3 '" 0,352,0,4 0,7 1 0,361

3.os wird also nahezu die stabile Verteilung erreicht, Verwenden an-

(0 0,30,5)10 ( 1 ) (0,285)fangs aile Kunden ADent, 50 gilt: 0,6 0,5 . 0 '" 0,353.0,4 0,7 0 0,362Auch hier wird fast die stabile Vertei lung erreicht.

5) p = (0,7 0,5).a 0,3 0 ,5 rnach 1 Minute: q ~ p. ( 6 ) = ( 6 : ~ ) ,

h 2 M ---> p (0,7) (0,64)nac inuten: q = . 0,3 ~ 0,36'h 3 M - - - > p (0 ,64 ) (0 ,628 ) h M b etranac inuten: q = . 0,36 ~ 0,372 . Nae 3 inuten etragt

die Aufenthaltswahrscheinl ichkeit von S in Kammer 1 ca. 63% undin Kammer 2 ca. 37%b) Gleiehgewichtsverteilung: g = ic) ~1000000 = 625000 in (1) und ~'1000000= 375000 in (2).

Kapitel VII, Zeit zu ubarprufen, Seite 2209a) Ubergangsdiagramm

20 ----. . ._(~I-ns-e-kt--)

Obergangsmatrix: U = ( ~ ' 1 g 2 g )o 0,5 U2 = ( g 1~ ~); U" = ( 6 ~ ~ )0,05 0 0 0 1Die Population entvvickelt sich zyklisch.b) Die Anzahl der Insekten schwankt zwischen 200,100 und 20.c) Mit U = (0~1 g 6 ) ist uL(~~) -o 0,5 0, 2Aile drei Zeitabschnitte verdoppelt sich der BestandKapite! VII, Zeit zu wiederho!en, Seite 220121a) f (2x3 + x2)dx ~ [0,5x4 + ( ~ ) x 3 1 ~ = 0,5 + ~ - Z

oob) f e - 4xdx ~ [ - ~ . e - I ' x l O = -025 --(-025e) = 0 25(e ,,1)II -0)25 1 , t '

-O,?~

13k=4Kapitel VH, Zeit zu wiederholen, Seite 2228a)

.. r---r-----~-

- - . ; . . . . .. -~--_.

6- , i - , - - f -- - - - + _ . - : - ! _ . . .: : - - t - - : -

2ff(x)dx = [2X + ~x2 - ~ x 3 E 1 = 4,5-1f(x) ~ 2 + x - X L

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2 5ff(X)dx - J f(X)dx = [~X4 - ~X3 + SXL1~ - ! i X 4 - ~X 3 + sXLg) L

1 ( 3) 1= 5- - -15- = 21-3 4 12Kapitel VII, Prufungsvorbereltung, Seite 2241a) A - B = (~ ~)c) A x ' = (- ~ )

b) AB = (~ -~)d) BA = (-~ -~)

2 ( 3 - 1 0 )a) A + B = 0 2 0-1 3 2

b) (0 1 0)' A ~ (2 , 0)

( 4 2 0 )c)AB= 21-2-2 3 2( 4 - 3 2 )d)(B+E)'A= 2 4-2432

3(1 2a 2 b ) ( 2 20 1 2 b )a) 82 = 0' 0 = 2 0 - E ~ 2 B - E001 002(' 33 3 b )b) 8' = 0 1 0 = 3 B-2 Ea a 1

4x2 = ( 0 1 2 + be ab + b d )ac+ cd bc r d?a) b = a und e = 0: (a = 1 oder a ~ -1) und (d = 1 oder d = -1)bzw. b" 0 oder e 'f 0: (ab + bd =0 und ae + cd = 0), also gil t:a =-db) z.B. ( - 6 ~ ) ; ( 6 _ ~ )c) Es gibt keine beliebigen Zahlen mit dieser Eigenschaft, dennb(a+d)=1und c(a+d)=1 und a2-tbe=0 und bc+d2.=Ofur c - * 0 und a + d - * 0: b = c und 0 1 2 + b2 ~ 0 falsche Aussagebzw. fUr c = 0 und a + d '" 0: O(a + d) = 1 falsehe Aussage.

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5a) Richtig. Die entstehende Matrix Chat genau so viele Zei len wieA: DOlbel der Multiplikation immer .Zelle mal Spalte" gerechnetwird, hat die Matrix C immer so viele Zeilen wie A .b) Falsch. Dasfunktioniert nur,wenn das entsprechende LGS,wel-ches man aus dem Ansatz A x = - ; l ( y ~ vorhandene Ausgangs-produkte) erhalt, losbar ist,

~ A ( H )b) (~ ~).(~~) = ( 1 ~ g )und 90M3 benbtigt.

Es werden 100 Marzipanfiguren M1,70M2

7 ( O A 0,2 0,3)a) A ~ 0,3 0,5 0,2 . Die Koeffizientensumme ist in jeder Spalte 1.0,3 0,3 0,5b) Partei A hat bei der zweiten Wahl 95000 Wahler, B 85000 undC120000.Partei A hat bei der d rltten Wahi 91000 Wah Ier, 8 95000 undC114000.

(70000 ) ( 71000 )c) A 80000 = 79000 r also liegt keine Gleichverteilung vor90000 90000(aber fast).d) Weg 1: Man berechnet wiederholt die Wahlerzahlen fur folgen-de Wahlen, bis sich die Zahlen nicht mehr andern,Weg 2: Man berechnet die Lbsung der Gleichung A x = x ,wobei x ~ ( ~ ~ ) und X1 + X2 + X3 ~ 300000, weil die Summe allerWCihlerstimmen konstant ist.Eine Gleichgewichtsverteilung tritt ein bei A'" 8900, B '" 9800und C ~ 112SODStimmen.8a)

'i 1 - - _ ~ _ _ 2 _ _ _ - - ----;,-,-CD---------~ _( e r ( ~

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Kapitel VII, Priifungsvorbereitung, Seite 2259( ~,25 g 6 ) .(~gg) = (3g~), also (300, 25, 75). 0,75 0 100 7510a) Ansatz A B = C

( 1 5 4 ) b 11 b 1/, .(32 9 )2 3 3 . b21 b22 ~ 2131 873 2 b31 b32Durch Ltisen des LGS erhaltrnan B = ( ! ~ ) .b12 = 1.b12: Zur Produktion einer Einheit von E2 b enbtigt man eine Einheitvon Z1'b) Bedarf: (~ ~H ~ ) ~ U ~ )vorrstlg: (~~)Es bleiben 2 Einheiten von Z1, 6 von Z2 und 8 von Z3 ubrig.c) (233) C + (1,5 3,5 2)' B + (5 7,5)' (~~) = (191 76)' ( ~ g ) ~ 8770Die Kosten betragen 8770 _

11 (0,6 0,1 0,1)a) q' = 0,2 0,7 0,1 .q0,2 0,2 0,8

LGS furs' (stabile Verteilung):0,651 + O,1s? + 0,153 = S10(251 + 0,752 + 0,1s3 = 520,2 s1 + 0,252 + 0,8 53 ~ S3

51 + S2 + S3 ~ 1 ( 0,2 )Losung in Vektorschreibweise: 5' = 0,30 ,5b) Zu bestlrnrnen sind A2 = AA,

A3 = A2'A und N ' = Ao,A.10 /10 0,15 0,15)A2 = I 0,28 0,53 0,17 .\ 0,32 0,32 0,68

(0,2500 0,1875 0,1875)

A I , = 0,3148 0,3773 0,2477 ;0,4352 0,4352 0,5648

(0,300 0,175 0,175)A3 = 0.308 0,433 0,2170,392 0,392 0,608

(0,2 0,2 0,2)auf Lange Sicht strebt dies gegen G = 0,3 0,3 0,30,5 0,5 0,5

12(0,4 0,2 0,5)a) Ubergangsmatrix: A = 0,3 0,5 0,20,3 0,3 0,3

nach elner Woche: LADI 35%, LUPS 35%, POP 30%naeh funf Woehen: LADI 36,25%, LUPS 33,75%, POP 30%b) LADI: 5800 Kunden, LUPS: 5400 Kunden, POP: 4800 Kunden

13 0 5a) Ubergangsmatrix: U = 0,5 _ 1 Ubergangsd iagram m:5~ -_ _ _ _

C-Ne-u-g-:eb-o-re-n--e-~~-+-,{Einjahrige ) C-Z-w-e-ija-'h-rig-e--)- ',J,:;)

b) Aus U' x = x ' erhalt man das LGS-1 5 00, 5 -1 0 J -1 ( 1 a 0 )und autgelost 0 1 0 . a 1 0

Dieses LGShat keine vom Nullvektor verschiedene tosung. alsoexist iert kein Fixvektor.

c) Ansatz: U' x ~ (i ~ nDas LGS lietert X 1 = 500; Xl = 150; x3 ~ 22 .Kapitel VIII, Zeit zu Oberprfifen, Seite 2326a) S = rrrr TIN, TNT, NIT, TNN, NTN, NNT, NNNJ' ~ - _ - - - : - - r n ' , ] ~ _ ~_ _ . . f B _ i . L . . 8 n ~ . _ L ! N N . . . : . .~!_~._ .~ NT _:_.~ __pee) : 0,729 : 0,081 ' 0,081 , 0,081 : 0,009 ; 0,009 , 0,009 , 0,001

h ;~ _ __ " __ ._ _ ~__ ._ __ , __ __ _ _ __ __ _ ._

pee)0,8 .. ---.. _- ..-.. -----.. ---------.- _.-- -0,60,40 ,2O_[__---,,----.--.,----.---,---.--r--.-------- ..... errr TIN TNT NTT TNN NTN NNT NNNb) E = 1m, TTN, TNT, NTT}P(E) = 0,93 + 0,9' 0,9' 0,1 T 0,9' 0,1' 0,9 T 0,1' 0,9' 0,9 = 0,972E : Novitzki t ri ff t hochstens einmal,ptE) = 1 - 0,972 = 0,Q28.e) PCNovitzki trifft hochstens zweimal")

= 1 - PG,Novitzki trifft drelrnal")= 1 - 0,93 = 0,271

d) Z.B. durch eine Simulation.

Kapitel VIII, Zeit zu Oberpri ifen, Seite 2356a) P ( < ( nA) ~ 0,1; P(1() peA) = 0,15 0,6 ~ 0,09; alsoP(1( nA) * P(1() peA)

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6a) A'(612); 8'(281 (I); (,(2122)b) Das Dreicck ABC ist nicht gleichschenklig: AB ~ 1/20,AC ~ P i a - ," E 3 C ~ , f S j _ .Oas Dreieck A'8'C ist ebenfalls nicht gleichschenklig, aber anna-hernd gleichschenklig (A'B; '" A'C): A'B'~ 1/488" 22,1;A'C ~ \ 14 16 '" 20.4;B'C = \ f W O o ,

d) Geradengleich ung der Geraden h durch P (314) und Q ( - 215):h:x' ~ (~) + t ( - ; )Bild von hunter der Abbildung 0::

e) Die Fixpunkte von 0: sind die L6sungen des Gleichungssystems:(I): X1 + 5X2" X1(I I): 3 Xl - X2 = X 2Einzige l.osung: X 1 = 0; x2 = 0Einziger Fixpunkt der Abbildung (( ist sornit der Nullvektar.f) Es gilt:g': X'=-/H(-~)=t(-~) und h': }t=4S(~)=k(~)Samit sind g und h Fixgeraden von e x .7a) Gesucht sind die Losungen des homogenen LGS(I); 2X1 + 4X 2 = 0(I I): 3 Xl + X2 ~ 0.Fur die Oeterminante der dazugehorigen Matrix gilt:0=2'1-3-4=-10+0_Das homogene LGShat samit nur die triviale tosung, d.h. nur derPunkt 0(010) wird auf den Nullvektor abgebildet.b) Die Koordinaten des Punktes P (P11P2) erfUlien das LGS:(I): 2P1+ 4P2 = 3(II); 3Pl + P2 = 5.Oaraus folgt: P (1,71- 0,1).c) p ( P ' = c w - O P = ( i , ; )1 , 3 ) ( 1 ) . - ;Da 5,1 - 17 = 88 '" 0, ist pp _nicht orthogonal ZUI- Geraden g.Kapi tel VI, Prufungsvorbereitung, Sei te 201

8a) P ' (-1111 0)b) g': ~ = ( - l ) + ~ r - ( - ~ ) = ( - J ) + s - r - ~ )c) E: Xl + X2 + x3 ~ 0 (Ansatz uber die Bestimmung der Fixpunkte)d) h: x = a + t(~); h': ~ ~ A ( a + t(~)) = Aa+ t-A(~) ~ AaEine senkrechte Gerade wird als Punkt abgebildet.

9a)

0(61010); E(61-610); 1(01-610); G(61012); ](01-612);H(3I- 318)b) Berechnen der Projektionsrnatrix:Die Bi ld er d er Punkte E z (0 111 0 ) und E 3 (0 I 011) bleiben festBild von E l (11010) berechnet man als Schnittpunkt der Geracg: X ~ e : ; ' + t v~ mit der xJx3-Ebene.

1Aus (~) + t ' f { = ( ~ d tolgt: t = -1,

\ 1 ' 24

000Man erhalt: P ~ - >IT 1 04

- v'I 14Bilder der Eckpunkte der Pyrarnide unter der Projekt ion:A'=A, C=C, 1 '= 1 , J '= J , 0 ' ( 0 1 _ 3 7 ! J i )E'(01-1,5v'2 - 6j-1,SV'2} B'(01-1,5)1'2 - 61-1,5Y2 + 2)G'(O 1-1,5J21-1,5\lT + 2) ; H'(O1-0,75';2- 31-0,751/2 + 8)'--T' . ;

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