Induced Field Theory

on the Brane World

(課題番号 13640297)

平成 13 年度～平成 15 年度科学研究費補助金（基盤研究（C）（2））

研究成果報告書

平成 17 年 4 月

研究代表者 赤 間 啓 一

（埼玉医科大学・医学部・助教授）

1

は し が き

この研究成果報告書は平成 13 年度から 15 年度までの 3 年間にわたって文部省科学研究

費補助金を受けて行われた基盤研究（Ｃ）（２）「Induced Field Theory on the Brane

World」(課題番号 13640297)の研究成果をまとめたものである。

研究組織

研究代表者 ： 赤間啓一 （埼玉医科大学医学部助教授）

研究分担者 ： 赤羽 明 （埼玉医科大学医学部助教授）

研究分担者 ： 勝浦一雄 （埼玉医科大学医学部助教授）

研究分担者 ： 向田寿光 （埼玉医科大学医学部講師）

研究分担者 ： 稲見武夫 （中央大学理工学部教授）

研究分担者 ： 服部 孝 （神奈川歯科大学歯学部講師）

交付決定額(配分額)

直接経費 間接経費 合 計

平成 13 年度 1,300 千円 0 1,300 千円

平成 14 年度 700 千円 0 700 千円

平成 15 年度 700 千円 0 700 千円

総 計 2,700 千円 0 2,700 千円

研究発表

１．学会誌等

1) Keiichi Akama, "Unified Field Theory Induced on the Brane World." in Proceedings

of the 30th International Conference on High Energy Physics (World Scientific) eds.

C. S. Lim and Taku Yamanaka, 10991101, 2001.

2) Ko Furuta, Takeo Inami, Hiroaki Nakajima and Muneto Nitta, "Supersymmetic

Extension of the Non-Abelian Scalar-Tensor Duality." Prog. Theor. Phys. 106,

851-862 (2001). e-print: hep-th/0106183

3) Takeo Inami, Yorinori Saito and Masayoshi Yamamoto, "Cancellation of UV

Divergences in the N=4 SUSY Nonlinear Sigma Model in Three Dimensions," Mod.

Phys. Lett. A16, 1643-1650 (2001), e-print: hep-th/0106204

4) Keiichi Akama, "Induced Field Theory on the Brane World." Bulletin of Saitama

Medical School Premedical Course 9, 1, 2002.

5) Keiichi Akama, Takashi Hattori, and Kazuo Katsuura "Naturalness Bounds on

Dipole Moments from New Physics". Physical Review Letters, 88:201601, 2002.

2

e-Print Archive: hep-ph/0111238.

6) Ko Furuta, Takeo Inami, Hiroaki Nakajim and Masayoshi Yamamoto,

"Low-Energy Dynamics of Noncommutative CP1 Solitons in 2+1 Dimensions." Phys.

Lett. B537, 165-172 (2002), e-print: hep-th/0203125.

7) Ko Furuta, Takeo Inami, Hiroaki Nakajima, Masayoshi Yamamoto, "Non-BPS

Solutions of the Noncommutative CP1 Model in 2+1 Dimensions." JHEP 0208, 009

(2002), e-print: hep-th/0207166.

8) Ko Furuta, Takeo Inami and Masayoshi Yamamoto, "Topics in Nonlinear Sigma

Models in D=3", e-print: hep-th/0211129.

9) Keiichi Akama, Takashi Hattori, and Kazuo Katsuura " Probabilistic Naturalness

Measure for Dipole Moments Due to New Physics ". SMC-PHYS-167, Jul 2003.

e-Print Archive: hep-ph/0307301

10) Keiichi Akama, "Brane Induced Gravity from its Dynamical Origin.

SMC-PHYS-168, Jul 2003. e-Print Archive: hep-th/0307240.

11) Keiichi Akama, “Renormalization group flow in the cutoff Yukawa model and a

scale invariance in the Nambu-Jona-Lasinio model.” Phys. Lett. B583, 207-211,

(2004). e-Print Archive: hep-th/0310183.

12) Keiichi Akama and Takashi Hattori "Complementarity between Gauge-Boson

Compositeness and Asymptotic Freedom with Scalar Matter." SMC-PHYS-170, Oct

2003. e-Print Archive: hep-th/0310236.

13) Akira Akabane and Keiichi Akama "A Scale Invariance Due to Compositeness

Condition in the Induced Gauge Theory." SMC-PHYS-171, Prog. Theor. Phys. 112:

757-762, (2004). e-Print Archive: hep-th/0312151.

14) Keiichi Akama "Formal Proof Of An Exact Scale Invariance in the

Nambu-Jona-Lasinio Model." SMC-PHYS-172, e-Print Archive: hep-th/0312152.

15) 赤間啓一：「膜世界上の重力と物質の場の理論の導出」、埼玉医科大学医学基礎部門紀要

第 10 号(2004), p. 29.

16) Keiichi Akama and Takashi Hattori, "Exact Scale Invariance of Composite-Field

Coupling Constants." SMC-PHYS-173, Phys. Rev. Lett. 93, 211602 (2004). e-Print

Archive: hep-th/0411027

17) D. V. Soa, T. Inami, and H. N. Long, "Bilepton production in electron-gamma

collisions," Eur. Phys. J. C34, 285-289 (2004), e-print: hep-ph/0304300.

18) Takeo Inami, Hiroaki Nakajima, "Supersymmetric CP^N Sigma Model on

Noncommutative Superspace." Prog. Theor. Phys. 111, 961-966 (2004), e-print:

hep-th/0402137.

19) H. Mukaida and Y. Sakamoto, “Renormalization Group for the Probability

3

Distribution of Magnetic Impurities in a Random-Field φ4 Model.” Int. J. Mod.

Phys. B, 18, 919 (2004).

20) H. Mukaida, “Deformation of a renormalization-group equation applied to

infinite-order phase transitions.” Phys. Rev. E 70, 017101 (2004).

21) H. Mukaida, “An Asymptotic Formula for Marginal Running Coupling Constants

and Universality of loglog Corrections.” J. Phys. A: Math. Gen. 37, 1085 (2004).

4

２．口頭発表

1) 赤間啓一，服部孝，勝浦一雄, 「Naturalness Bounds for New Physics」，日本物理学

会 2001 年秋季大会(沖縄国際大学) 2001 年 9 月.

2) 古田黄，中島宏明，稲見武夫，新田宗土, 「Supersymmetric Extension of Non-Abelian

Scalar-Tensor Duality」，日本物理学会 2001 年秋季大会(沖縄国際大学) 2001 年 9 月.

3) 赤間啓一，「Brane World 上の場の理論」，京都大学基礎物理学研究所研究会「場の量

子論の基礎的諸問題と応用」(京都大学), 2001 年 12 月.

4) 古田黄，中島宏明，山本雅義，稲見武夫,「(2+1)次元非可換 CP(n)ソリトンの低エネル

ギーでの振る舞い」，日本物理学会第 57 回年次大会, 2002 年 3 月.

5) 古田黄，稲見武夫，中島宏明，山本雅義,「(2+1)次元非可換 CP(1)模型の non-BPS 解」，

日本物理学会 2002 年秋季大会, 2002 年 9 月.

6) Hisamitsu Mukaida and Yoshinori Sakamoto, 「Renormalization group for a

probability distribution of magnetic impurities of the random-field 4 mode」，研究

会 Many-body problems and beyond, 日本大学理工学部, 2002 年 10 月.

7) Hisamitsu Mukaida and Yoshinori Sakamoto, 「Renormalization group for a

probability distribution of magnetic impurities of the random-field 4 model」，研究

会 場の量子論の基礎的諸問題と応用, 京都大学基礎物理学研究所, 2002 年 12 月.

8) 坂元啓紀, 糸井千岳, 向田寿光, 「4 次元近傍におけるランダム磁場 O(N)スピン模型の

相転移と dimensional reduction、レプリカ対称性の破れ」，日本物理学会第５８回年

次大会 2003 (東北大学), 2003 年 3 月.

9) 向田寿光, 「無限次相転移を導くくりこみ群方程式の変形」，日本物理学会 2003 年秋

期大会 岡山大学, 2003 年 9 月.

10) 向田寿光、「無限次相転移をにおける loglog 補正の普遍性について」、日本物理学会

2003 年秋期大会, 岡山大学, 2003 年 9 月.

11) 向田寿光，「無限次相転移を導くくりこみ群方程式の変形」，研究会 くりこみ群の数理

科学での応用, 京都大学数理解析研究所, 2003 年 9 月.

12) 赤間啓一，服部孝, 「Path Integral Formulae for Extended Gauge Fields and de

Rham Cohomology.」、日本物理学会 2003 年秋期大会, 宮崎, 2003 年 10 月.

13) 服部孝，赤間啓一，勝浦一雄, 「Naturalness Level for Hierarchies in Mass Matrix

Eigenvalues」、日本物理学会 2003 年秋期大会, 宮崎, 2003 年 10 月.

14) Keiichi Akama, "Induced Gravity and Induced Field Theory on the Braneworld."

Seminar, New York University (New York, U. S. A.), 2003 年 11 月.

15) 向田寿光，「無限次相転移を記述するくりこみ群方程式の漸近解析」、研究会「語ろう」

数理解析, 名古屋大学理学部数学教室、2004 年 1 月.

16) Keiichi Akama, "Induced Gravity and Gauge Theory on the Braneworld." Seminar,

Lausanne University (Lausanne, Switzerland), 2004 年 2 月.

5

17) Keiichi Akama, "Induced Gravity and Gauge Theory on the Braneworld." Seminar,

International Center for Theoretical Physics, (Trieste, Italy), 2004 年 2 月.

18) 赤間啓一、「Brane Induced Gravity の場の理論的基礎」、日本物理学会第 59 回年次大

会、九州大学、2004 年 3 月.

19) 中島宏明，稲見武夫,「Supersymmetric CP(N) Sigma Model on Noncommutative

Superspace」、日本物理学会第 59 回年次大会、九州大学、2004 年 3 月.

20) 荒木和寿，稲見武夫，中島宏明，斉藤頼准,「非可換超空間上の 3 次元非線型シグマ模

型の紫外発散の性質」，日本物理学会 2004 年秋期大会, 高知, 2004 年 9 月.

21) 荒木和寿，稲見武夫，中島宏明，斉藤頼准、「Quantum Corrections in 2D SUSY CPn

Sigma Model on Noncommutative Superspace」，日本物理学会 2004 年秋期大会, 高

知, 2004 年 9 月.

22) 赤間啓一、服部孝、「Exact Scale Invariance of the Composite-Field Coupling

Constants」, 日本物理学会 2004 年秋期大会, 高知, 2004 年 9 月.

6

研 究 成 果

１．研究の目的

最近、「我々の 3+1 次元時空が高次元の時空に埋め込まれた低次元部分時空 (brane )で

ある」とする brane world の考えが注目を集めている。このような brane world 上の場の

理論は、brane 自身を生成する物理学的、力学的機構によって誘起される induced field

theory であるべきである。この研究の目的は、brane world 上の induced field theory を定

式化し、様々な帰結を詳しく検討し、時空、宇宙、ないしは素粒子論の模型としての適否を

見極めることにある。

superstring theory, supergravity などの多くの有力な理論体系は、高次元時空の存在を

必要とし、その理論的性質や帰結が広く研究されている。また、対称性や内部自由度の由来

を説明するため高次元時空を想定することもある。我々の時空は 3+1 次元であるから、余

分な次元（余次元）を隠す必要がある。その方法として、多くの場合、「余次元は、全体が

観測にかからない程度の小さな多様体になっている」とする Kaluza-Klein の

compactification が採用され、詳しく研究されてきた。これに対し、「物質が、物理学的・

力学的機構によって余次元の中で局在し、低次元時空に閉じこめられる」とする brane

world の考えは、ごく自然であり、compactification と対置される重要なものであるが、近

年来の爆発的な流行以前は、筆者らを含むごく一部でしか研究されていなかった。

筆者らは、長年、量子論的効果によって誘起される複合場の機構や性質を論ずる induced

field theory の研究を行ってきたが、その一環として、1980 年代はじめ、場の理論的な局

所化による brane world の模型を提唱し、その後、簡単な模型について、brane world 上に

誘起される実効理論の導出などの研究を行った。1980 年代から 1990 年代にかけて、必ず

しも多くはないが、一部の研究者らによって、brane と場のいろいろな閉じこめの機構、幾

何学的埋め込み条件にともなう対称性、brane から余次元への chiral anomly の流れ、超

対称 brane、superstring の境界条件から生じる D-brane､宇宙の模型への適用など重要な

研究が行われた。数年前、Antoniadis, Arkani-Hamed, Dimopoulos, Dvali らによって、余

次元のスケールがかなり大きくてもよい可能性が指摘され、多くの現象論的研究がなされ、

また、Randall, Sundrum によって、余次元座標に依存するワープ因子による質量階層性解

決の試みと、ワープ因子による重力子閉じこめの機構が提唱され、これをきっかけとして、

brane world 上の Einstein 方程式の導出、宇宙項問題、brane への粒子の閉じこめ、宇宙

模型や inflation 宇宙へ適用、superstring 理論の D-brane、非可換 brane 等、多くの問題

が提起され理論的研究が行われた。

しかし、最近の研究でも、brane world生成の機構に基づくbrane world上の実効重力場、

実効ゲージ場、実効物質場の理論の定式化は、簡単な例を除いてはなされておらず、それに

基づく様々な帰結の導出は未解決の課題であった。近年の発展は、我々の目的と密接に関係

7

し、新たな展開を可能にするものである。実効場の理論の導出にあたって、ワープ因子の効

果、粒子の閉じこめの成否、D-brane、非可換 brane 等との関連などを十分吟味検討し、現

実的な素粒子の統一模型の構築、宇宙項問題、宇宙模型への応用などを試みる必要がある。

我々が長年指摘してきたように、3+1 次元だけの模型や、compactification の模型に比べて、

埋め込まれた時空の模型は、埋め込みの条件、外部曲率、法接続ゲージ場の存在など、幾何

学的に明確な違いがある。しかし、それが、観測上どのような違い・得失を生じるのか、未

だ十分理解されていない。これはまだ幅広い研究の対象になっていないがきわめて重要な問

題である。これらの諸問題の解明を目指して研究を進めた。

２．研究の結果

(1) brane geometro-dynamics の量子論的導出の研究(赤間、服部)

高次元時空の soliton によって局所化した brane world 上には、幾何学的な場(計量の

場、外部曲率の場、法接続のゲージ場)、soliton のゆらぎの場、soliton に閉じ込められた

物質の場などに対する場の理論が誘起される。これらの場の理論を経路積分の手法に基づ

いて量子論的に導いた。導出された場の理論のひとつの重要な特徴は、幾何学的な場とし

て、通常の geometro-dynamics の計量の場のほかに、外部曲率の場、法接続のゲージ場

が決った力学的な意味を持ち、Gauss-Codazzi-Ricciの方程式の拘束に従うことであるが、

これが量子論的に導出された。brane induced gravity と field theory の量子論的導出で

使用する経路積分に関する公式の証明、一般の場合への拡張、数学的意味、様々な系への

応用などを考えた。brane induced gravity と field theory の量子論的導出を 5 次元時空

の domain wall に適用した。

(2) Induced gauge theory、Induced field theory の研究(赤間、赤羽、服部)

Non-abelian gauge theoryにおいて、漸近自由の場合は理論的にinduced gauge theory

とは解釈できず、漸近自由性が破れる場合はinduced gauge theory と解釈できるという

相補性を導いた。繰り込み可能な理論では、結合定数はスケールとともに変化するが、繰

り込み可能な理論に複合性条件を課して得られるInduced field theoryの複合粒子の結合

定数はスケールとともに変化せず厳密に一定であることを示した。

(3) new physicsに由来するdipole moment の naturalness bound の研究

(赤間、勝浦、服部)

brane world や他の多くの new physics (beyond the standard model) の模型で基本

fermion (quarkやlepton) のanomalous magnetic moment や electric dipole moment

などのdipole momentが standard modelの予測からずれることが予想される。我々は、

naturalnessの仮定に基づいて、基本fermionのnew physics由来のdipole momentに対す

る一般的boundを導き、実際の観測結果に適用した。これらはbrane world を含む new

physics の模型構築に当って有力な手がかりとなる。naturalness boundの確率的な尺度

を導入して定量化した。

8

(4) 非可換場の理論の研究 (稲見)

最近になって，弦理論から出発して，空間の座標 x は単なる数でなく，互いに非可換な

量になるという考え方に行き着く事が分かった．素粒子を記述する場の理論も”非可換空間”

の上で定義され，非可換場の理論が導かれる．非可換場の理論の非摂動的な性質に焦点を当

てて研究を先に進め，低次元（d=2+1）の非可換スカラー場の理論におけるソリトンの性質

を調べた．3 次元の非線形シグマ模型を非可換場の理論へ拡張し，ソリトン解の構成，モジ

ュライの性質，ソリトンの低エネルギー散乱に関して，幾つか新しい結果を導いた．場の理

論における duality ではソリトンが鍵となるので，いろいろな場の理論におけるソリトンの

性質を研究することは大事である。

(5) 反可換でない超空間上の超対称なCP(n)非線形シグマ模型の研究 (稲見)

最近，超弦理論との関連から，反可換でない超空間上の場の理論が提唱された．４次元お

よび２次元の反可換でない超空間上の超対称な CP(n)非線形シグマ模型を構成することに

成功した．さらに，反可換でない超空間上へ拡張したとき，普通の超対称な CP(n)非線形シ

グマ模型が持つ良い性質が保たれるか，あるいはどう変わるかという研究を進めた。

(6) 現象論的模型の研究 (稲見)

高次元ゲージ理論から出発し，コンパクト化により４次元のヒグス場を導くという考え

方，それに伴い，"large extra dimensions"の物理を回って研究が進んでいる．標準模型

のヒグス場が導かれるためには，高次元ゲージ理論はSU(3) x SU(3) x U(1)（3-3-1模型）

まで拡張する必要が有る．この論文で，3-3-1模型の現象論的な性質を調べた．具体的には

高エネルギー実験におけるbileptonの生成断面積を計算した．

(7) ランダムな磁場の強磁性体の相転移についての研究 (向田)

ランダムな磁場が分布している強磁性体の相転移について、理論的な模型に基づいて研究

した。対応する模型の上臨界次元近辺の相転移現象には、まだ不明な点が多い。この模型に

ランダム確率密度に対する繰り込み群を適用することによって、この相転移について研究し

た。ランダム磁場イジング模型に対するレプリカ法による解析結果は、レプリカ法の極限操

作が一意でないことから、複数の結果が得られていた。そこでレプリカ法を使わない解析に

より、レプリカ法の結果を吟味した。

(8) くりこみ群方程式についての研究 (向田)

マージナルな結合定数がつくるくりこみ群方程式を、次元を ε ずらしたくりこみ群方程式

と関連づけ、両者を同時に解析できる場合があることを見いだし、いくつかの例を示した。

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添付資料１ 論文

1) Keiichi Akama, "Unified Field Theory Induced on the Brane World." in Proceedings

of the 30th International Conference on High Energy Physics (World Scientific) eds.

C. S. Lim and Taku Yamanaka, 10991101, 2001.

2) Ko Furuta, Takeo Inami, Hiroaki Nakajima and Muneto Nitta, "Supersymmetic

Extension of the Non-Abelian Scalar-Tensor Duality." Prog. Theor. Phys. 106,

851-862 (2001). e-print: hep-th/0106183

3) Takeo Inami, Yorinori Saito and Masayoshi Yamamoto, "Cancellation of UV

Divergences in the N=4 SUSY Nonlinear Sigma Model in Three Dimensions," Mod.

Phys. Lett. A16, 1643-1650 (2001), e-print: hep-th/0106204

4) Keiichi Akama, " Induced Field Theory on the Brane World." Bulletin of Keiichi

Akama, "Unified Field Theory Induced on the Brane World." in f Saitama Medical

School Premedical Course 9, 1, 2002.

5) Keiichi Akama, Takashi Hattori, and Kazuo Katsuura "Naturalness Bounds on

Dipole Moments from New Physics". Physical Review Letters, 88:201601, 2002.

e-Print Archive: hep-ph/0111238.

6) Ko Furuta, Takeo Inami, Hiroaki Nakajim and Masayoshi Yamamoto,

"Low-Energy Dynamics of Noncommutative CP1 Solitons in 2+1 Dimensions." Phys.

Lett. B537, 165-172 (2002), e-print: hep-th/0203125.

7) Ko Furuta, Takeo Inami, Hiroaki Nakajima, Masayoshi Yamamoto, "Non-BPS

Solutions of the Noncommutative CP1 Model in 2+1 Dimensions." JHEP 0208, 009

(2002), e-print: hep-th/0207166.

8) Ko Furuta, Takeo Inami and Masayoshi Yamamoto, "Topics in Nonlinear Sigma

Models in D=3", e-print: hep-th/0211129.

9) Keiichi Akama, Takashi Hattori, and Kazuo Katsuura " Probabilistic Naturalness

Measure for Dipole Moments Due to New Physics ". SMC-PHYS-167, Jul 2003.

e-Print Archive: hep-ph/0307301

10) Keiichi Akama, "Brane Induced Gravity from its Dynamical Origin.

SMC-PHYS-168, Jul 2003. e-Print Archive: hep-th/0307240.

11) Keiichi Akama, “Renormalization group flow in the cutoff Yukawa model and a

scale invariance in the Nambu-Jona-Lasinio model.” Phys. Lett. B583, 207-211,

(2004). e-Print Archive: hep-th/0310183.

12) Keiichi Akama and Takashi Hattori "Complementarity between Gauge-Boson

Compositeness and Asymptotic Freedom with Scalar Matter." SMC-PHYS-170, Oct

2003. e-Print Archive: hep-th/0310236.

13) Akira Akabane and Keiichi Akama "A Scale Invariance Due to Compositeness

10

Condition in the Induced Gauge Theory." SMC-PHYS-171, Prog. Theor. Phys. 112:

757-762, (2004). e-Print Archive: hep-th/0312151.

14) Keiichi Akama "Formal Proof Of An Exact Scale Invariance in the

Nambu-Jona-Lasinio Model." SMC-PHYS-172, e-Print Archive: hep-th/0312152.

15) 赤間啓一：「膜世界上の重力と物質の場の理論の導出」、埼玉医科大学医学基礎部門紀要

第 10 号(2004), p. 29.

16) Keiichi Akama and Takashi Hattori, "Exact Scale Invariance of Composite-Field

Coupling Constants." SMC-PHYS-173, Phys. Rev. Lett. 93, 211602 (2004). e-Print

Archive: hep-th/0411027

17) D. V. Soa, T. Inami, and H. N. Long, "Bilepton production in electron-gamma

collisions," Eur. Phys. J. C34, 285-289 (2004), e-print: hep-ph/0304300.

18) Takeo Inami, Hiroaki Nakajima, "Supersymmetric CP^N Sigma Model on

Noncommutative Superspace." Prog. Theor. Phys. 111, 961-966 (2004), e-print:

hep-th/0402137.

19) H. Mukaida and Y. Sakamoto, “Renormalization Group for the Probability

Distribution of Magnetic Impurities in a Random-Field φ4 Model.” Int. J. Mod.

Phys. B, 18, 919 (2004).

20) H. Mukaida, “Deformation of a renormalization-group equation applied to

infinite-order phase transitions.” Phys. Rev. E 70, 017101 (2004).

21) H. Mukaida, “An Asymptotic Formula for Marginal Running Coupling Constants

and Universality of loglog Corrections.” J. Phys. A: Math. Gen. 37, 1085 (2004).

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添付資料２ 口頭発表資料

1) 赤間啓一，服部孝，勝浦一雄, 「Naturalness Bounds for New Physics」，日本物理学

会 2001 年秋季大会(沖縄国際大学) 2001 年 9 月.

2) 赤間啓一，「Brane World 上の場の理論」，京都大学基礎物理学研究所研究会「場の量

子論の基礎的諸問題と応用」(京都大学), 2001 年 12 月.

3) 赤間啓一，服部孝, 「Path Integral Formulae for Extended Gauge Fields and de

Rham Cohomology.」、日本物理学会 2003 年秋期大会, 宮崎, 2003 年 10 月.

4) Keiichi Akama, "Induced Gravity and Induced Field Theory on the Braneworld."

Seminar, New York University (New York, U. S. A.), 2003 年 11 月.

5) Keiichi Akama, "Induced Gravity and Gauge Theory on the Braneworld." Seminar,

Lausanne University (Lausanne, Switzerland), 2004 年 2 月.

6) Keiichi Akama, "Induced Gravity and Gauge Theory on the Braneworld." Seminar,

International Center for Theoretical Physics, (Trieste, Italy), 2004 年 2 月.

7) 赤間啓一、「Brane Induced Gravity の場の理論的基礎」、日本物理学会第 59 回年次大

会、九州大学、2004 年 3 月.

8) 赤間啓一、服部孝、「Exact Scale Invariance of the Composite-Field Coupling

Constants」, 日本物理学会 2004 年秋期大会, 高知, 2004 年 9 月.