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INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE REAL.

Es una desigualdad que tiene la forma general. ax + b < 0 ; 𝑎𝑥 + 𝑏 > 0 ; 𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 0 ; 𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 0 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0 ; 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ

Conjunto Solución En el conjunto solución, esta dado por los valores reales de la variable 𝑥, que satisface la inecuación dada.

ax + b < 0 ⟹ 𝑥 < −b

a ∴ 𝐜𝐬 = ⟨−∞, −

b

a ⟩

ax + b > 0 ⟹ 𝑥 > −b

a ∴ 𝐜𝐬 = ⟨−

b

a, +∞ ⟩

ax + b ≤ 0 ⟹ x ≤ −b

a ∴ 𝐜𝐬 = ⟨−∞, −

b

a ]

ax + b ≥ 0 ⟹ x ≥ −b

a ∴ 𝐜𝐬 = [−

b

a , + ∞ ⟩

Ejemplo: Hallar el conjunto solución de la inecuación (x + 1)2 + 2x − 1 ≥ x2 + 8 Solución: x2 + 2x + 1 + 2x − 1 ≥ x2 + 8

4x ≥ 8 ⟹ x ≥ 2 ∴ 𝐂𝐒 = [2 , + ∞ ⟩

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE REAL La inecuación cuadrática o de segundo grado en una variable real "x"presenta la siguiente forma general. ax2 + bx + c < 0 ; 𝑎x2 + bx + c > 0 ; ax2 + bx + c ≤ 0 ; ax2 + bx + c ≥ 0 con a ≠ 0 ; a, b, c ∈ ℝ

SOLUCIÓN GENERAL Para resolver una inecuación de segundo grado es recomendable que a > 0, en caso contrario multiplicar por (−1) y la desigualdad se invierte. Luego teniendo en cuenta el discriminante b2 −4ac se presentan los casos.

1. Si 𝐛𝟐 − 𝟒𝐚𝐜 = 𝟎 ; (𝐚 > 0) se cumple:

- ax2 + bx + c ≥ 0 tiene cs = ℝ

- ax2 + bx + c ≤ 0 tiene cs = {−b

2a}

- ax2 + bx + c < 0 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑐𝑠 = 𝜙

- ax2 + bx + c > 0 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑐𝑠 = ℝ − {−b

2a}

2

2. Si 𝐛𝟐 − 𝟒𝐚𝐜 < 0 ; (𝐚 > 0) se cumple:

- ax2 + bx + c ≥ 0 tiene 𝐜𝐬 = ℝ

- ax2 + bx + c ≤ 0 tiene 𝐜𝐬 = ϕ

- ax2 + bx + c < 0 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝐜𝐬 = 𝜙

- ax2 + bx + c > 0 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝐜𝐬 = ℝ

3. Si 𝐛𝟐 − 𝟒𝐚𝐜 > 0 ; (𝐚 > 0)

La inecuación se resuelve por puntos críticos, pues el trinomio ax2 + bx + c siempre es factorizable (ya sea por factorización o utilizando la formula de baskara) en el campo de los números reales. El procedimiento es:

- Pasar todas expresiones a un solo miembro dejando cero en el otro.

- Se factoriza la expresión, luego se iguala cada factor a cero para obtener los puntos

críticos.

- Estos puntos críticos se ubican sobre la recta real. Luego se asignan los signos (+) y

(−) en forma alternada empezando de derecha a izquierda.

- La solución de la inecuación estará expresada por las zonas positivas si el sentido de

la desigualdad original es mayor que (>) o mayor o igual (≥)o por las zonas negativas

si es que el sentido de la desigualdad original es menor que (<) o menor o igual que

(≤)

Ejemplo: Resolver −x2 + 13x − 30 ≤ 0

Solución: multiplicando por (−1) se tiene x2 − 13x + 30 ≥ 0 (la desigualdad se invierte) Hallando los puntos críticos: (x − 10)(x − 3) = 0 ⟹ x = 10 ∨ x = 3 Ubicando los puntos críticos en la recta real y asignando los signos (+) y (−)

CS = ⟨−∞, 3 ] ∪ [10 , + ∞ ⟩

Teorema: Si el trinomio ax2 + bx + c ; a, b, c ∈ ℝ tiene discriminante

b2 − 4ac < 0 ; (a > 0), entonces ax2 + bx + c > 0 ; ∀ 𝑥 ∈ ℝ

Ejemplo: Resolver x2 − x − 20

2x2 + 3x + 4≤ 0

Solución: El trinomio 2x2 + 3x + 4 tiene discriminante b2 − 4ac = 9 − 4(2)(4) = −23 < 0 Entonces 2x2 + 3x + 4 > 0 ; ∀ 𝑥 ∈ ℝ luego la ecuación original es equivalente e resolver

x2 − x − 20 ≤ 0 (x − 5)(x + 4) ≤ 0 ⟹ x = 5 ∨ x = −4

∴ CS = [−4 , 5 ]

- + 3 10

+ - +

- + -4 5

+ + -

3

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VALOR ABSOLUTO DEFINICIÓN: El valor absoluto de un número real “a” esta definido por:

|a| = { a si a ≥ 0−a si a < 0

Propiedades: 1. |a| ≥ 0 ; ∀ a ∈ ℝ

2. |a| = 0 ⟺ a = 0

3. |a| = |−a|

4. |a|2 = a2 ; ∀ a ∈ ℝ

5. |a| = √a2 ; ∀ a ∈ ℝ

6. |a. b| = |a|. |b| ; ∀ a, b ∈ ℝ

7. |a

b| =

|a|

|b| ; ∀ a, b ∈ ℝ ; b ≠ 0

8. |x − a| = |a − x|

9. |a + b| ≤ |a| + |b| ; ∀ a, b ∈ ℝ (Desigualdad triangular)

ECUACIÓNES CON VALOR ABSOLUTO Para resolver ecuaciones con valor absoluto se utiliza las siguientes propiedades.

1. |a| = b ⟺ b ≥ 0 ∧ ( a = b ∨ a = −b )

2. |a| = |b| ⟺ a = b ∨ a = −b

Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de |x − 2| = 5

Solución: |x − 2| = 5 ⟺ 5 ≥ 0 ∧ ( x − 2 = 5 ∨ x − 2 = −5 )

x = 7 ∨ x = −3

∴ CS = { −3 , 7 }

Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de |2x + 5| = |x − 1|

Solución: |2x + 5| = |x − 1| ⟺ 2x + 5 = x − 1 ∨ 2x + 5 = −x + 1

x = −6 ∨ x = −4/3

∴ CS = { −6 , −4/3 }

INECUACIÓNES CON VALOR ABSOLUTO Para resolver inecuaciones con valor absoluto se utiliza las siguientes propiedades.

1. |a| < 𝑏 ⟺ b > 0 ∧ ( −b < 𝑎 < 𝑏 )

2. |a| ≤ b ⟺ b ≥ 0 ∧ ( −b ≤ a ≤ b )

3. |a| > 𝑏 ⟺ a > 𝑏 ∨ a < −b

4. |a| ≥ b ⟺ a ≥ b ∨ a ≤ −b

5. |a| < |b| ⟺ a2 < b2 ⟺ (a + b)(a − b) < 0

6. |a| ≤ |b| ⟺ a2 ≤ b2 ⟺ (a + b)(a − b) ≤ 0

Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de |x − 1| ≤ 3 Solución: |x − 1| < 3 ⟺ 3 > 0 ∧ ( −3 < 𝑥 − 1 < 3 )….. Propiedad 1

−2 < x < 4

4

Interceptando

∴ CS = ⟨−2 , 4 ⟩ Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de |x + 2| ≤ 3x − 1 …. Propiedad 2

Solución: |x + 2| ≤ 3x − 1 ⟺ 3x − 1 ≥ 0 ∧ ( −3x + 1 ≤ 𝑥 + 2 ≤ 3𝑥 − 1 )

x ≥ 1/3 ∧ (−3x + 1 ≤ 𝑥 + 2 ∧ 𝑥 + 2 ≤ 3𝑥 − 1)

( x ≥ −1/4 ∧ 𝑥 ≥ 3/2 )

( 𝑥 ≥ 3/2 )

∴ CS = [ 3/2, +∞⟩

Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de |x + 4| > 5 Solución: |x + 4| > 5 ⟺ x + 4 > 5 ∨ x + 4 < −5 …………….. Propiedad 3

x > 1 ∨ x < −9 ∴ CS = ⟨−∞ , −9 ⟩ ∪ ⟨1 , +∞ ⟩

Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de |x + 3| ≤ |x − 7| Solución: |x + 3| ≤ |x − 7| ⟺ ( x + 3 + x − 7)(x + 3 − x + 7) ≤ 0 ….. Propiedad 6

( 2x − 4)(10) ≤ 0 x ≤ 2

∴ CS = ⟨−∞, 2 ]

1. El conjunto solución de:

(𝑥 − 3)2 + (𝑥 − 5)2

𝑥2 + 1≤ 2

Rpta.: [2, +∞⟩.

2. El conjunto solución de:

(𝑥2 + 3𝑥 + 2)(𝑥2 − 5𝑥 + 6) ≥ 0 Rpta.: ⟨−∞, −2] ∪ [−1,2] ∪ [3, +∞⟩.

3. El conjunto solución de:

2(𝑥 − 5) + 𝑥 > 4𝑥 + 2 Rpta.: ⟨−∞, −12⟩.

4. El conjunto solución de: 5𝑥 − 1

4−

3𝑥 − 13

10<

5𝑥 + 1

3

Rpta.: ⟨−∞, 1⟩.

5. El mayor valor entero que satisface al

sistema: 𝑥

4+ 1 <

𝑥−5

2<

𝑥

3+ 2; es:

Rpta.: 26.

6. Para que valores de “x” se verifica la

siguiente inecuación:

1 <3𝑥 + 10

𝑥 + 7< 2

Rpta.: ⟨−3

2, 4⟩.

7. Resolver: 2𝑥 − 8 +6

𝑥−3≤ 7 − 𝑥 +

6

𝑥−3

Rpta.: ⟨−∞, 5].

8. Resolver:

𝑎(𝑥 − 𝑏) − 𝑏(𝑥 − 𝑎) ≤ 𝑎2 − 𝑏2; 𝑎 < 𝑏. Señalando el menor valor que puede tener “x”. Rpta.: 𝑎 + 𝑏.

9. Hallar el conjunto solución de: 2

𝑥 − 1≥

1

𝑥 − 2

Rpta.: ⟨1,2⟩ ∪ [3, +∞⟩.

10. Hallar el conjunto solución de:

(𝑥 + 3)(𝑥 − 1) < (𝑥 − 2)2 + 3𝑥 Rpta.: ⟨−∞, 4⟩.

5

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11. El conjunto solución de la inecuación:

𝑥2 − 4𝑥 + 3 < 0, es:

Rpta.: ⟨1,3⟩.

12. Hallar el conjunto solución de:

(𝑥2 + 6𝑥 + 9)(𝑥2 − 2𝑥 + 4)(𝑥 − 5) ≤ 0 Rpta.: ⟨−∞, 5].

13. Hallar el conjunto solución de:

𝑥2 + 2𝑥 − 15 > 0 Rpta.: ⟨−∞, −5⟩ ∪ ⟨3, +∞⟩.

14. Hallar el conjunto solución de:

𝑥

𝑥 − 3−

6

𝑥 + 3>

72

𝑥2 − 9

Rpta.: ⟨−∞, −6⟩ ∪ ⟨−3,3⟩ ∪ ⟨9, +∞⟩.

15. Hallar el conjunto solución de:

3𝑥2 − 10𝑥 + 9

𝑥2 − 4𝑥 + 3> 0

Rpta.: ⟨−∞, 1⟩ ∪ ⟨3, +∞⟩.

16. Resolver: √𝑥2 − 𝑥 − 2 > 2 y hallar su

conjunto solución:

Rpta.: ⟨−∞, −2⟩ ∪ ⟨3, +∞⟩. 17. Hallar el conjunto solución de:

𝑥2 + 𝑥 + 3 ≥ 2𝑥2 + 1 + 2𝑥 Rpta.: [−2,1].

18. Para que valores de “𝑎” en la inecuación

cuadrática siguiente se cumple que para

todo 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥2 + 𝑎𝑥 − 2 < 2𝑥2 − 2𝑥 +

2.

Rpta.: ⟨−6,2⟩.

19. Determinar el valor de “a” tal que la

inecuación: (𝑎 + 1)𝑥2 + (𝑎 + 2)𝑥 + 1 ≥

0; se verifique ∀𝑥 ∈ ℝ.

Rpta.: 0.

20. Hallar el conjunto solución de:

(𝑥2 + 2𝑥 − 15)(3𝑥 − 2)

𝑥2 + 𝑥 − 6< 0

Rpta.: ⟨−∞, −5⟩ ∪ ⟨−3,2

3⟩ ∪ ⟨2,3⟩.

21. Al resolver:

2 8 20 0x x+ + . El conjunto solución; es.

Rpta.:

22. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones

son verdaderas?

I. x2 − 6x + 9 > 0 tiene cs = ℝ

II. (x2 − 6x + 9)(x2 + x + 1) ≥ 0 tiene

cs = ℝ

III. x2−4x+4

x2+3< 0 tiene cs = ϕ

IV. 9x2 − 12x + 4 > 0 tiene cs = ℝ −

{2

3}

Rpta: 3

23. Hallar el valor de k, si la ecuación

(k + 1)x2 + 2(k − 1)x + k ≤ 0 Tiene solución única. Rpta: 1/3

24. Resolver

(x − 5)(x − 3) ≤ (x − 4)(x − 3)

Rpta: [3 , + ∞ ⟩

25. Resolver 3[(x − 1)2 + 2]−1 < 1

Rpta: ⟨−∞, 0 ⟩ ∪ ⟨2, +∞ ⟩

26. Al resolver: |3𝑥+1

𝑥−1| = 4, el conjunto

solución, es:

Rpta.: {3

7, 5}.

27. Al resolver: |4𝑥 + 5| = |𝑥 + 23|, indicar la

solución negativa.

Rpta.: {−28

5}.

28. El conjunto solución de:

|4𝑥 + 3| + 5 = 𝑥 + 7, es.

Rpta.: {−1

3, −1}.

29. Al resolver: |4𝑥−3

3| = |𝑥 + 1|, el conjunto

solución, es:

Rpta.: {0,6}.

6

30. Resolver: |𝑥 − 3| = 5; siendo el conjunto

solución 𝑥 ∈ {−𝑎, 𝑏}, indicar “𝑎 + 𝑏”.

Rpta.: 6.

31. Resolver: |3𝑥 − 1| = |5𝑥 − 15|; siendo el

conjunto solución 𝑥 ∈ {𝑎, 𝑏}, indicar

“(𝑎 + 𝑏)2”.

Rpta.: 81. 32. La suma de las soluciones de la ecuación:

|3𝑥 − 5| + |5𝑥 − 2| = |𝑥 + 7| + |2 − 5𝑥|, es:

Rpta.: 11

2.

33. La suma de las soluciones de la ecuación:

|3(𝑥 + 1) − 1| = 𝑥 + 6, es: Rpta.: 0.

34. El producto de las raíces de la ecuación:

|2𝑥+1

𝑥−1| = 3, es:

Rpta.: 8

5.

35. El producto de las raíces de la ecuación:

|3𝑥 + 2| = |12 − 2𝑥|, es:

Rpta.: −28.

36. Señalar el menor valor entero positivo

que verifique la inecuación: |𝑥 + 1| ≥ 2.

Rpta.: 1.

37. Al resolver: |𝑥 − 1| ≤ |𝑥 + 2|, el conjunto

solución, es:

Rpta.: ⟨−∞, −1

2].

38. El conjunto solución de: |4𝑥 − 9| ≤ 10 −

𝑥, es:

Rpta.:[−1

3,

19

5].

39. Determinar la suma de las soluciones de

la inecuación: |4𝑥 − 3| ≤ 𝑥 + 1.

Rpta.: 26

15.

40. Hallar el conjunto solución de:

1

|𝑥 + 1|≤

1

|𝑥 − 1|

Rpta.: [0, 1⟩ ∪ ⟨1, +∞⟩.

41. Determinar el conjunto solución de: |𝑥 − 2| − 3|𝑥 + 2| < 0

Rpta.: ⟨−∞, −65

2⟩ ∪ ⟨−

61

4, +∞⟩.

42. Señalar la suma de las soluciones enteras:

|2𝑥 + 5| ≤ 3

Rpta.: −10.

43. El conjunto solución de la inecuación: |𝑥 − 4| + |3 − 𝑥| ≤ |𝑥 − 3| + |𝑥 + 7|

Rpta.: ⟨−∞, −3

2].

44. El conjunto solución de la inecuación:

|2𝑥 − 6| + 5|𝑥 − 3| + |12 − 4𝑥| ≤ 99 Rpta.: [6,12].

45. El conjunto solución de la inecuación:

|4𝑥 − 3| − 𝑥 < 4

Rpta.: ⟨−1

5,

7

3⟩.

46. Calcular:

3 2 2 8 2 4

6 11 3 9

x x xE

x x

+ − − + −=

+ − +; si x

0,4 .

Rpta.: 1.

47. La solución de: 3 4 5x x x− + − = − ;

es.

Rpta.: 0. 48. El valor de la expresión:

4 1 1x x

Ex

+ − −= Si 0,1x ; es.

Rpta.: 5. 49. El conjunto solución de la Inecuación:

2 22 5 5 6x x x x+ + − + ; es.

Rpta.: 1,7

−

50. Determinar el conjunto solución de la

ecuación:

1 5 11x x x− + = − − .

Rpta.: 7−

7

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51. Al resolver la inecuación: 05

x

x

− Se

obtiene por conjunto solución

,0 ,m m − + . Hallar el valor

de: “22m ”.

Rpta.: 50.

52. Conjunto solución de:

2 5 2 4x− + ; es.

Rpta.: 3 7

,2 2

53. La solución de:

3 4 4 8x x x− + − = − − ; es.

Rpta.: 15

2x

−=

54. Si 2 3 4 2x x− − ; determinar su

conjunto solución.

Rpta.: 5

,2

+

55. Al resolver 4 3 5 2x X− + , el conjunto

solución, es:

Rpta:1

;4

−

56. El conjunto solución de la inecuación

2 3 3 8x x− − , es:

Rpta:[5,+

57. El conjunto solución de la inecuación

( )2 3 3 2x x− − , es:

Rpta: –,3]

58. El conjunto solución de

2 5 1 2 15 4

3 3 3

x x x− − + + + , es:

Rpta:–,1

59. El conjunto solución de la inecuación

2 3 4 5x x+ − , es:

Rpta:4,+

60. Resolver la inecuación 5 2 4x x+ +

Rpta. [1,+

61. Resolver 2 1 10 5x x x− + +

Rpta.

62. Resolver la inecuación 4 3 22 15 0x x x− −

Rpta: 3, 5−

63. Cuántos valores enteros cumplen con la

inecuación 2 4 4 2x x− −

Rpta:6

64. Resolver 3 2 4 1x x− −

Rpta:2

1,3

−

65. ¿Cuántos valores enteros satisfacen la

inecuación 2 5 4 3x x+ − ?

Rpta:4

66. La suma de los valores enteros que

cumplen con la desigualdad 2

21

x

x

+

−,

es:

Rpta:9

67. El conjunto solución de la inecuación

2 33

2

x

x

−

−, es:

Rpta: 2,3

68. El conjunto solución de la inecuación

3 6 5 2 4 2 60x x x− + − + − , es:

Rpta: 4,8−

69. Si 1 3

4 2x . Hallar m tal que

2

4

xm

x

−

−.

8

Rpta:1/5

70. El conjunto solución de la inecuación 2 10 25 0x x− + , es

Rpta: 5−

71. Entre que límites debe variar m para que

la inecuación 2 2 2x mx m+ + − se

verifique para todo valor real de x .

Rpta: 1,2−

72. El conjunto solución de la inecuación

3 5 2x x+ − , es:

Rpta:7 3

,2 4

− −

73. Determinar el mayor valor de k en: 212 4 5 0;x x k x R− + −

Rpta: 4

74. Resolver: 2(2 1) ( 1) 3 5 ( 3) 2( 5)x x x x x x− + + + − + −

Rpta: -7/5,+∞

75. Al resolver: 18315 2 − x , se

obtiene:

Rpta: x [-7,-6]U[6,7]

76. Resolver la ecuación: 2x 2 x 3 0− − =

Rpta: {-3,3}

77. Hallar el menor valor entero positivo que

verifica la desigualdad:

11

2

−x

Rpta: 4

78. El conjunto solución de la inecuación:

2 x 1 x x− − , es:

Rpta: Φ

79. Si x es un número real que verifica:

3

92

3

14

+−

+

−

xx

x, este número. ¿A

que conjunto pertenece?

Rpta: -∞,-3U[8,+∞

80. El número real que satisface a la

ecuación: 2 210 3x x x x 6− + = + − , es:

Rpta: 4

81. ¿Cuál es el mayor número entero x que

verifia: 5x 1 3x 13 5x 1

4 10 3

− − +− ?

Rpta: 0

82. El conjunto solución de:

212 −− xx ,

Rpta: -1/3, 3

83. El conjunto solución de la inecuación,

32 +− xx , es:

Rpta: -∞,-1/2]

84. Resolver:

034

811

2

++

−+

xx

x

Rpta: -3,-1U{2}

85. Determinar el menor de los números

enteros M que satisface la inecuación: 24 6 3 ,x x M x+ − .

Rpta: 7

86. Determinar el conjunto solución de la

desigualdad:

435)23( 2 +−+− xx .

Rpta: 2,4-{3}