Informe Final de Estadística Intervalos de Confianza

5/21/2018 Informe Final de Estad stica Intervalos de Confianza

Curso: Estadstica

Ciclo: III

Grupo: A

Prctica: 2

Tema: Intervalos de confianza

Docente: MBA. Luis Caldern

Estudiantes:

- Arvalo Oliva Mara

- Avalos Ludea Jenry

- Javier Villanueva Magda

- Ponte Ramrez Reynaldo

- Torres Villanueva Mitshell

- Valverde Lpez Edinson

Chimbote Per

2014

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTAFACULTAD DE INGENIERAINGENIERA AGROINDUSTRIAL


[UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA] 14 de julio de 2014

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ndice

Pginas

INTRODUCCIN. 3CAPITULO 1: DEFINICIONES. 5

CAPITULO 2: CASOS..... 10

CASOS PARA LA MEDIA.. 11

Primer caso 11

Segundo caso.. 14

Tercer caso.. 15

CASOS PARA LA PROPORCIN.. 17

Primer caso 17

Segundo caso.. 22

CAPITULO 3: ANEXOS .... 24

CAPITULO 4: BIBLIOGRAFA Y LINKOGRAFA . 26

CAPITULO 5: EJEMPLOS .... 28



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Introduccin

Actualmente se debe estar bien conscientede que las poblaciones son generalmente

muy grandes como para ser estudiadas en su

totalidad. Su tamao requiere que se

seleccione muestras las cuales se pueden

utilizar para hacer inferencias sobre

poblaciones. Por ejemplo si un gerente de

una tienda minorista desea saber sobre sus

ventas diarias promedios por cliente durante el ao anterior, podra encontrar difcil

calcular el promedio de las ventas a cientos o quizs miles de clientes que

pasaron por la tienda. Seria muchos ms fcil estimar la media poblacional con la

media de una muestra representativa.

Hay dos tipos de estimadores que se utilizan ms comnmente para este

propsito: un est imador puntua l y un est imador po r intervalo. Un estimador

puntual utiliza un estadstico para estimar el parmetro en un solo valor o punto. El

estimador puntual por ser un solo nmero, no proporciona por s mismo

informacin alguna sobre la precisin y confiabilidad de la estimacin.

El problema que presenta la estimacin puntual de un parmetro reside en que no

garantiza ni mide la precisin de la estimacin. Solo la bondad de ajuste y el

tamao de la muestra pueden proporcionar una mayor o menor confianza en la

estimacin obtenida. Por esta razn es necesario dar, junto a la estimacin una

medida del grado de confianza que nos merece

Debido a la variabilidad de la muestra, nunca se tendr que . El estimadopuntual nada dice sobre lo cercano que esta de . El gerente de la tienda puedeseleccionar una muestra de n=500 clientes y halla el gasto promedio de , este valor sirve como estimacin puntual para la media poblacional.



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Una alternativa para reportar un solo valor del parmetro que se est estimando

es calcular e informar todo un intervalo de valores factibles, un intervalo de

confianza. El gerente puede decidir que la media poblacional este entre $116 y

$124. Tal intervalo con frecuencia va acompaado de una afirmacin sobre el nivel

de confianza que se da con exactitud. Por lo tanto se llama intervalo de confianza.

En realidad hay tres niveles relacionados comnmente con los intervalos de

confianza: 99%, 95% y 90%. El gerente mencionado puede tener un 95% de

confianza en que la media poblacional esta entre $116 y $124.



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CAPITULO 1



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Definiciones

1. Intervalos de confianza:

Con el objetivo de estimar un parmetro poblacional, un intervalo de

confianza es un rango de valores (calculado a partir de una muestra) en elcual se encuentra el verdadero valor del parmetro con un probabilidad

determinada. A la semiamplitud de dicho intervalo se le llamar error de

est imacin.

La probabilidad de que el verdadero valor del parmetro se encuentre en el

intervalo construido se denomina nivel de con f ianzay se denota . Laprobabilidad de equivocarnos se llama nivel de signi f icacin y se

simboliza por .

Un intervalo de confianza nos proporciona unos lmites entre los cuales

confiamos que se encuentre el valor desconocido del parmetro. Esta

confianza de inclusin se mide mediante un porcentaje, de tal manera quesi este es el , entonces, si obtenemos un gran nmero de intervaloscomo el anterior, tenemos la confianza de que el de ellos se contendrel valor exacto del parmetro desconocido.

Un intervalo de confianza para el parmetro de una poblacin es de laforma donde es el valor d el parmetro d esco no cid o, y son func iones de los valores muestrales, que nicamente sern nmeros

cuando hayamos obtenido una muestra y sustituido sus valores en las

funciones

.

En el proceso de construccin de un intervalo de confianza se pueden

distinguir dos etapas, que, para una mejor comprensin, podran

determinarse terica y prctica.

En la primera (etapa terica), establecemos formalmente el intervalo

aleatorio , de tal manera que . En esta etapa



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podemos hablar de la probabilidad de que el intervalo contenga el valor del

parmetro .En la segunda etapa, tomamos una muestra de la poblacin a la que

pertenece el parmetro, y sustituida en , obtenemos dos nmeros.Una vez realizada la sustitucin, no es posible hablar de la probabilidad de

que el valor desconocido del parmetro se encuentre comprendido entre

ambos nmeros, ya que, evidentemente, el parmetro lo estar o no. Sin

embargo, como nosotros no sabemos si lo est, tenemos un coeficiente de

confianza del de lo que est. Tambin se dice que el nivel deconf ianzaes Expuesto el fundamento de la estimacin por intervalos, para determinar un

intervalo de confianza suele utilizarse el mtodo general de Neyman, o el

mtodo de la cantidad pivotal. Sin embargo, cuando la poblacin es normalo sigue cualquier distribucin aproximable por lo normal, existen mtodos

puntuales de clculo de intervalos de confianza para los parmetros

poblacionales.

Dato:

2. Estimacin por intervalos:

La idea es construir un intervalo numrico (conjunto de nmeros

comprendidos entre dos nmeros) de acuerdo a una probabilidad dada para

establecer que dentro de l, se halla el parmetro poblacional que nos

interesa.

En otras palabras, no decimos cunto vale exactamente el parmetro, sinoque l est dentro de un intervalo dado.

En el grfico adjunto, tenemos la media poblacional , dentro del intervalocuyos extremos son los nmeros a y b.

a b



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3. Nivel de confianza:

Es la probabilidad de que el parmetro se encuentre dentro del intervalo dado.

Los niveles de confianza usuales son del 90% , 95% y del 99%

1. Nivel de confianza de 95 %Significa que de 100 casos, cabe esperar que en 95 de ellos, el parmetro

se halle dentro del intervalo construido. Tambin se espera que en 5 de

ellos, el parmetro se halle fuera del intervalo, ya sea a la derecha,

O hacia la izquierda.

2. Nivel de confianza de 99 %En forma anloga se interpreta el nivel de confianza de 99%. De 100 casos,

se espera que en 99 de ellos, el parmetro se halle dentro del intervalo y en

1 de ellos se halle fuera del intervalo ya sea a la derecha o a la izquierda.

Del mismo modo tambin hay un nivel de confianza del 90%

4. Conjuntos de intervalos de confianza:

Una mejor comprensin de la incertidumbre asociada con una estimacin

nos la proporciona un conjunto de intervalos de confianza.

La distribucin de confianza:Un resumen completo de todos los intervalos de confianza se puede

proporcionar mediante la distribucin de confianza . esta es una curva que

posse la propiedad de que el rea bajo ella entre dos puntos es igual al

nivel de confianza para ese par de lmites de confianza .

Los intervalos de confianza son ms tiles que los simples contrastes designificacin

Un conjunto de intervalos de confianza proporciona toda la informacin que

se puede obtener con un contraste de significacin y an ms

a b

ba



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5. Mtodos de construccin de intervalos de confianza:

Expuesto el fundamento de la estimacin de intervalos, para obtener un intervalo

de confianza bsicamente daremos dos mtodos. El primero, el mtodo pivotal o

mtodo del pivote basado en la posibilidad de obtener una funcin del parmetro

desconocido y cuya distribucin muestral no dependa del parmetro. El segundo,el mtodo general de Neyman, basado en la distribucin de un estimador puntual

del parmetro

Mtodo pivotal:

Sea una poblacin representada por la variable aleatoria X con una funcin de

densidad en donde es un parmetro desconocido, que toma valores en elespacio paramtrico.

Este mtodo bsicamente consiste en la obtencin de una cantidad pivotal o

simplemente pivote que verifique las condiciones siguientes:

a. El pivote ; es una funcin de las observacionesmuestrales y del parmetro , de tal manera que para cada muestra solodepender del

b. La distribucin muestral del pivote ; no depende de Dicho en otras palabras:

Una funcin cuya distribucin es conocida (y, por tanto, nodepender de ) se dice que es un pivote para Entonces, dado un pivote , una afirmacin pirobalstica de la forma da lugar a un intervalo de confianza para de

En resumen:



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CAPITULO 2



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CASOS PARA LA MEDIA

Primer caso:

INTERVALO DE CONFIANZA PARA L A MEDIA CON VARIANZA CONOCIDA

Si x es la media muestral de una muestra aleatoria de tamao n de una poblacin

con varianza conocida 2 , un intervalo de confianza para del

100(1 ) por ciento est dado por

Donde z/ 2 es el punto de la distribucin normal estndar que corresponde alporcentaje / 2.

ERROR EN LA ESTIMACION

El intervalo de confianza de (1-) 100% proporciona una precisin de la exactitudde la estimacin puntual. Si es realmente el valor central del intervalo, entonces estima a sin error.

La mayor parte de las veces, sin embargo, X no ser exactamente igual a y laestimacin puntual no es exacta.

El tamao de este error ser: I - XI y se puede tener una confianza del (1- )100% de que esta diferencia no exceder el valor

. Esto se puede ver con facilidad si se dibuja el diagrama de un intervalo de

confianza hipottico como el de la figura siguiente:



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Teniendo en cuenta lo dicho podemos enunciar el siguiente teorema, Teorema SiX es un estimador de , entonces se puede tener una confianza del (1- ) 100%de que el error no exceder una cantidad especfica

DETERMINACION DEL TAMAO MUESTRAL

Una cuestin interesante a la que nos referimos implcitamente al tratar la eleccinde , es cul debe ser el tamao muestral necesario para que, fijado un nivel deconfianza, se alcance una precisin (o longitud) deseada en el intervalo?La longitud del intervalo es:

Despejando n de la ecuacin anterior se obtiene:

Tambin podemos despejar n de (1), de manera que nos quede expresada enfuncin del error, as,

Debemos hacer aqu dos observaciones, a saber,

a) Si para n se obtiene un valor fraccionario, se redondea al nmero enterosiguiente.

b) En sentido estricto podemos determinar n, solo si se conoce la varianzapoblacional 2, de la cual se est seleccionando la muestra. Si nos falta

esta informacin se puede tomar una muestra preliminar de tamao n 30para obtener una estimacin de . En este caso al usar S comoaproximacin de , se puede determinar aproximadamente cuantasobservaciones se necesitan para el grado deseado de exactitud.



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OBSERVACIONES

a) Para muestras tomadas de una poblacin normal, o para muestras detamao n 30, sin importar la forma que tenga la poblacin, el intervalo deconfianza dado por (1) proporciona buenos resultados.

b) Sin embargo, para muestras pequeas tomadas de poblaciones que no sonnormales, no es posible esperar que el nivel de confianza 1 sea exacto .



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Segundo caso:

INTERVALO DE CONFIANZA PARA L A MEDIA DE UNA DISTRIBUCINNORMAL SIENDO DESCONOCIDA

Dado el desconocimiento de en la distribucin poblacional N( ) lacantidad pivotal a la que se recurre es

T( ) =

=

,

Con distribucin de una variable aleatoria t de Student con n 1 grados delibertad, siendo el estadstico la varianza muestral.Por la simetra de esta distribucin respecto al origen de coordenadas, se llega, al

igual que en el caso anterior de la N(0; 1), a que intervalo de longitud mnima es

el formato por los valores opuestos [-t, t]. Por tanto, siguiendo el mtodo del pivote,

para un intervalo de nivel de confianza 1- se determinar, en primer lugar, el

valor t tal que

P [-t t(n - 1) t] = 1 -

Y, posteriormente,

P [-t

t] = 1 -

Donde, despus de transponer trminos, queda

P [ -t + t

]= 1 -

Siendo, por consiguiente, el intervalo de confianza de longitud mnima para lamedia el definido por los lmites.

[ -t ; + t

]



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Tercer caso :

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA SI SE SELECCIONA UNA

MUESTRA ALEATORIA DE TAMAO N 30):

Donde:

es el valor crtico de la normal tipificada que deja a su derecha unrea de / 2, siendo el nivel de significacin del intervalo y s es lacuasi-desviacin tpica muestral.

B. Como la muestra es pequea, se utiliza la expresin (1) para despejarel intervalo de confianza para , obtenindose:

. (3) En donde Z pertenece a una distribucin t con (n-1) grado de

libertad.

EXPRESION (1)Se selecciona una muestra aleatoria de tamao n30. La distribucin t es adecuadapara trabajar con muestras pequeas, y se obtiene del cociente entre una distribucin

normal estndar y la raz cuadrada de una chi-cuadrado dividida por sus grados de

libertad, por lo tanto:



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a. Si se trabaja con la desviacin estndar corregida, se utiliza la expresin(2),obtenindose:

. (4)

En donde Z pertenece a una distribucin t con (n-1) grado delibertad.

EXPRESION (2)

Si se utiliza la varianza corregida:



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CASOS PARA LA PROPORCIN

Primer caso:

INTERVALO DE CONFIANZA PARA UNA PROPORC IN.

Vamos a empezar este apartado planteando un ejemplo.

Ejemplo 7: Si de 100 personas encuestadas, 30 se manifiestan a favor de undeterminado partido poltico, qu porcentaje de votos obtendra dicho partido decelebrarse en ese momento las elecciones? (confianza del 95%)

Obsrvese que x="n de individuos, entre los 100 encuestados, que votarn alcandidato" es una Binomial de parmetro n = 100 y p desconocido. El objetivo es

determinar p teniendo en cuenta que x sigue una B(n,p), con n = 100 y x = 30 elvalor obtenido experimentalmente de esa Binomial. Conviene expresar que todo loque sigue contiene las frmulas para p expresadas en tantos por uno, no en %.

INTERVALO.

La distribucin Binomial, bajo ciertas circunstancias, se aproxima a una Normal.Los resultados siguientes se basan en esta aproximacin. La expresin mstradicional del intervalo de confianza para una proporcin p es la siguiente:

Esta expresin es vlida si x > 20 y n-x >20.Tiene la ventaja de ser cmoda, peroa cambio es ms imprecisa y tiene unas condiciones de validez ms exigentes. Lasiguiente expresin es ms exacta (pero ms incmoda) y para su validez bastacon que sean x > 5 y n - x > 5:



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Ejemplo:

Aqu n = 100 y x = 30. Como x > 20 y n - x = 70 > 20, se puede utilizar:

, es decir que piensan votar al partido entre un 20,52% y un 39,48% de lapoblacin. Si usamos la (4.9) que es ms exacta:

= (0,2145;0,4011) para obtener este intervalo, se han considerado en primer lugartodos los signos (-) y despus todos los signos (+).

TAMAO DE LA MUESTRA

Ejemplo: En relacin con el ejemplo anterior, el partido poltico desea realizar una

encuesta con el fin de determinar el porcentaje de votantes con una precisin del

3% A cuntos individuos hay que encuestar (confianza del 95%).

El objetivo es decidir a qu nmero n de individuos hay que preguntar para que el

porcentaje de votos favorables entre ellos difiera del porcentaje nacional en menos

de d = 3%.

Esto garantiza que, tomada la muestra, si el porcentaje en ella es de 30% el

porcentaje nacional ser 27% < p < 33%, es decir que p est en 30% 3% con

una confianza del 95%

De un modo general, si d es la precisin (mxima diferencia a admitir entre la

estimacin y p), hay una frmula paralela a la (4.4):

(4.10)

La idea es tener garantas de que tomando una muestra de tamao n, la

proporcin poblacional p de individuos que verifican la caracterstica es, con una

confianza de (1 - ), alguno de los valores entre p1 d, con p1la proporcin en la

muestra y d un nmero dado de antemano.



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El problema, una vez ms, es que la expresin anterior depende de p ( que es

desconocido). Puede demostrarse que pq es tanto mayor cuanto ms se aproxime

p a 0,5 alcanzando el mximo cuando p = 0,5, o sea,

Como sucede en todas las frmulas de tamao de muestra, n es tanto ms grande

cuanto mayor sea la confianza del intervalo y cuanto menor sea d (cuanta mayor

precisin se desee). La (4.11) aporta una novedad: el tamao de la muestra es

ms grande cuanto ms se aproxime p al valor 0,5, disminuyendo cuando nos

enfrentemos a caracteres raros (p pequeo) o muy frecuentes (p grande). Igual

sucede con la anchura de los intervalos de confianza para p: son ms anchos

cuanto ms se acerque p a 0,5. Volviendo al problema del desconocimiento de p,

la aplicacin de (4.10) puede hacerse de dos modos:

1) Si no se tiene idea alguna acerca de su posible valor, sustituir pq por 1/4,

quedando:

2) Si se tiene alguna informacin, sustituir p por el valor ms cercano posible (y

compatible con la informacin) a 0,5.

Ejemplo

Si el partido es nuevo y no se tiene idea acerca del porcentaje posible de

votos favorables, sera

.

Si el partido sabe que nunca en elecciones anteriores ha obtenido ms del

30% de los votos y le sorprendera que esto no siguiera siendo as, sera:



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Ejemplos:

1. En cierta cadena de centros comerciales trabajan 150 personas en eldepartamento de personal, 450 en el departamento de ventas, 200 en eldepartamento de contabilidad y 100 en el departamento de atencin al

cliente. Con objeto de realizar una encuesta laboral, se quiere seleccionaruna muestra de 180 trabajadores.

a) Qu tipo de muestreo deberamos utilizar para la seleccin de lamuestra si queremos que incluya a trabajadores de los cuatrodepartamentos mencionados?

b) Qu nmero de trabajadores tendramos que seleccionar en cadadepartamento atendiendo a un criterio de proporcionalidad?

Solucin:

a) Podra hacerse un muestreo aleatorio estratificado, eligiendo de cada grupo de

trabajadores un nmero proporcional a su tamao.

b) Hay que repartir proporcionalmente 180 entre 150, 450, 200 y 100, que son el

nmero de trabajadores de los departamentos de personal, ventas, contabilidad y

atencin al cliente, respectivamente.

El total, el nmero de trabajadores de la empresa es 900; como el tamao

muestral es 180 habr que elegir 1 trabajador de cada 5. Por tanto, se elegirn:

30 del departamento de personal

90 del departamento de ventas

40 del departamento de contabilidad y

20 del departamento de atencin al cliente.

2. Se hizo una encuesta a 325 personas mayores de 16 aos y seencontr que 120 iban al teatro regularmente:

a) Halla, con un nivel de confianza del 94 %, un intervalo para estudiar laproporcin de los ciudadanos que van al teatro regularmente.



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b) En las mismas condiciones del apartado anterior, se realiza laexperiencia para conseguir una cota de error del 0,01. Cul sera eltamao de la muestra?



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Segundo caso :

INTERVALO DE CONFIANZA SOBRE LA PROPORCIN POBLACIONAL

A partir del estadstico

Se construye el intervalo

Siendo el valor que en una distribucin normal estndar deja a su derecha una probabilidad

de .

Cuando se va a realizar una encuesta para estimar una proporcin, lo habitual es plantearse a

priori obtener una cierta fiabilidad y precisin en la estimacin, buscando el tamao muestral

necesario para conseguirlas. La longitud del intervalo de confianza parapresulta:

De aqu podremos calcular el valor de nen funcin de la longitud del intervalo, L, y de su fiabilidad,

1- :

Advirtase que llegamos a un resultado en principio incongruente: queremos saber cuntas

observaciones tenemos que realizar para estimarpy para ello necesitaremos conocer su

estimacin, valor que conoceremos una vez hayamos realizado las observaciones. Cmo

solucionar este problema? Existen tres posibles vas:

a) Si tuvisemos informacin (encuestas anteriores, opiniones de experto,...) sobre el posible valor

de la proporcin a estimar, sustituiramos este valor en la anterior expresin.



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b) Podramos realizar una pequea encuesta (encuesta piloto) que nos proporcionase una primera

evaluacin de la proporcin muestral. Adems, esta encuesta puede servir para probar y reformar

el cuestionario, organizar el trabajo de campo, etc.

c) Si no contsemos con informacin alguna ni tuvisemos la posibilidad de realizar la encuesta

piloto, nos pondramos en la situacin ms desfavorable, esto es, la que da lugar al tamao

muestral ms grande para la fiabilidad y precisin deseadas. Esa situacin se producecuando nalcanza su mximo, lo cual ocurre cuandop=q=0.5.

En este caso, por otro lado el ms habitual, resulta:



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CAPITULO 3



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ANEXOS:

Resumen de frmulas para estimar los intervalos de confianza:

Descripcin Intervalo de confianza

Estimacin de con sigma conocida,

muestra grande n>30

nZX /2/

Estimacin de con sigma desconocida,

muestra grande n>30, se toma la desv. Est. de

la muestra S

nsZX /2/

Estimacin de con muestras pequeas, n

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