UNIVERSIDAD NACIONAL

“SANTIAGO ANTUNEZ DE NAYOLO”

FACULTAD DE CIENCIAS DEL AMBIENTE

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA SANITARIA

ASIGNATURA : FISICA I

TITULO : MEDICIONES Y TEORIA DE ERRORES

FECHA : 31 – 05 - 2012

ALUMNOS : JEAN PAUL LOPEZ JESUS 082.0704.0336

DOCENTE : LIC. RUBEN GUZMAN ALOR

HUARAZ - PERU

I. OBJETIVOS

1.1 Utilizar instrumentos de precision tales como el vernier, micrometro y cronometro, etc. En mediciones directas e indirectas.

1.2 Aplicar la teoria de errores en las mediciones de diversas magnitudes fisicas realizadas en el laboratorio

1.3 Corregir estos errores de manera que se den como insignificantes en el cálculo.

II. MATERIALES

2.1 Una regla graduada en mm. 2.2 Un vernier (pie de Rey) de sensibilidad 0,05 mm2.3 Un micrometro de sensibilidad 0.01 mm2.4 Un cronometro.2.5 Una mesa de madera.2.6 Un cilindro solido.2.7 Un paralelepípedo2.8 Un equipo de péndulo simple.2.9 Una balanza.

III. MARCO TEORICO O CONCEPTUAL

Cuando un observador desea medir una magnitud con presicion , comienza a enfrentarse con la posibilidad de cometer una serie de errores debido a la observacion y a la experimentacion, errores que no permitiran determinar el valor exacto de la magnitud medida. Ello se debe:

i) A que la agudeza de los sentidos humanos tiene un limite.ii) A que toda medida esta sujeta a influencias involuntarias no controlables y que varian con el tiempo.

Por tanto, es tarea fundamental del observador seleccionar una tecnica apropiada para realizar una medicion, reduciendo al minimo las incertidumbres (errores).

3.1 Medicion

Es el proceso de cuantificar nuestra experiencia del mundo exterior. El proceso de cuantificacion trae como consigo la comparacion con alguna cantidad de referencia.

3.2 Clases de Medidas

3.2.1 Medidas Directas.- son el resultado de la comparacion directa de una magnitud desconocida con otra considerada como patron, que generalmente se realiza con la ayuda de instrumentos.

3.2.2 Medidas Indirectas .- son el resultado de calculo de una magnitud como una funcion de o mas medidad directas.

3.3 Error en una Medicion

Llamese error a :

a) La diferencia que se obtiene de una medicion y el “valor verdadero”.b) La incertidumbre estimada de un valor medido o calculado, la que puede ser expresada mediante la desviacion estandar.

3.4 Clases de Errores

3.4.1 Errores Casuales o Accidentales.- Son aquellos que se presentan a cada instante en la medicion de cualquier magnitud fisica, siendo imposible determinar la causa de estos errores, pueden ser:

a) de apreciacion o juiciob) de condiciones de trabajoc) de factor de definicion

3.4.2 Errores sistematicos .- Son aquellos que se repiten constatemente en el transcurso del tiempo, o bien durante una serie particular de medidas; pueden ser:

a) debido a la mala calibracion de los instrumentosb) debido a las condiciones experimentales no adecuadasc) debido la uso de tecnicas imperfectas

d) debido al uso de formulas incorrectase) debido al uso de teorias incorrectas3.5 Calculo de errores para Medidas Directas

1.1.1. Tratamiento Estadístico.- En la medición de una magnitud física “a”, supongamos lo siguiente:

a) Se ha tenido cuidado en eliminar los errores sistemáticos, es decir, las medidas son exactas.

b) Sólo existen errores aleatorios o casuales de modo que las medidas son precisas.

c) Las mediciones se repiten n≥10 veces, siguiendo el mismo proceso, con los mismos instrumentos, obteniéndose distintas lecturas.

a i=a1 ;a2 ;…;an

d) Para determinar el valor verdadero de la magnitud “a” a partir de las lecturas, se toma como el mejor valor de la magnitud a su valor promedio “a”, dado por:

a=a1+a2+…+an

n=∑ ai

n

e) El error cuadrático medio, de una serie de medidas de la magnitud “a” se obtiene mediante la ecuación:

μ=±√∑ (a−ã ) ²

n−1=±√∑ ek

2

n−1 (2)

Donde “n” es el número de medidas y Ck = (ai - a), es el error aparente de la cantidad “a”.

f) Si luego de calculado μ, se tiene que alguna de las letras, está fuera del intervalo: a−3 μ ≤a i≤ a+3 μ, esa lectura no es confiable y debe ser eliminada. En esta situación se procede nuevamente a hacer los cálculos utilizando el número de valores de medidas confiables.

g) El error estándar, de una serie de medidas de la magnitud “a” se obtiene mediante la ecuación:

σ=±μ

√n=±√∑ (a i−a) ²

n (n−1) (3)

h) El error estándar calculado por la ecuación (3), indica que si las lecturas corresponden a una distribución gaussiana, entonces en el intervalo (a−3σ<a<a+3 σ )se encuentra con casi absoluta certeza el valor “verdadero” de la magnitud “a”.

i) La magnitud física debe ser escrita finalmente en la forma siguiente:

a=a ± 3σ (4)

3.5.2 Tratamiento No Estadístico.

Llámese proceso no estadístico a aquel en que el número de mediciones (n) es menor que 10. Existe dos posibilidades:

a) Si el número de medidas de la magnitud física es menor que 10, entonces el error está dado por:

Δ a=amax−amin

2 (5)

Donde:

amax=max . ( a1 , a2 ,…, an ) ;n<10 amin=min . ( a1 , a2 ,…,an ); n<10

La magnitud se escribe finalmente mediante:

a=a ± Δa (6)

b) Si solo se ha efectuado una medida, el error Δ ao, se estima como la sensibilidad del instrumento, luego el valor considerado verdadero se obtiene mediante:

a=a1± Δa0 (7)

3.5.3 Error Absoluto.- Llámese error absoluto a las cantidades (3σ , Δa y Δ a0) de las ecuaciones (4), (6) y (7).

3.5.4 Error Relativo.- Está dado por el cociente del error absoluto y el valor promedio de la magnitud física medida.

er=error absoluto

a (8)

3.5.5 Error Porcentual.- Definido por el producto del error relativo por 100, expresado en porcentaje.

e p=er x100 % (9)

3.6 Cálculo de Errores para Medidas Indirectas.

Si F es una magnitud física que depende de varias magnitudes distintas x,y,z…, es decir:

F=f (x , y , z , …) (10)

Y al medir experimentalmente las magnitudes x,y,z,…, se considera a F como resultado de una magnitud indirecta.

Para determinar la magnitud F con su respectivo error, hay que distinguir las siguientes situaciones:

i) Todas las magnitudes x,y,z,…, son estadísticas.ii) Ninguna de las magnitudes x,y,z,…, son estadísticas.iii)Alguna de las magnitudes x,y,z,…,son estadísticas y las restantes no lo son.

3.6.1 Tratamiento Estadístico.- En la medida de cierta magnitud física F, supongamos lo siguiente:

a) Se ha tenido cuidado en eliminar los errores sistemáticos y sólo existen errores casuales.

b) Las lecturas de las mediciones de cada una de las magnitudes e repiten para n ≥ 10, siguiendo el mismo proceso.

x i=x1; x2 ;…;xn

y i= y1 ; y2; …; y n

z i=z1; z2 ;…; zn

c) Se obtiene los valores promedios de cada una de las magnitudes.

x=∑ x i

n; y=

∑ y i

n; z=

∑ zi

n (11)

d) El valor promedio de la magnitud física F, está dado por:

F=F (x , y , z , …) (12)

e) El error cuadrático medio de la magnitud F, está dado por:

μF=±√( ∂ F∂ x )

2

μx2+( ∂ F

∂ y )2

μy2 +( ∂ F

∂ z )2

μz2+… (13)

f) El error estándar está dado por :

σ F=±√( ∂ F∂ x )

2

σ x2+( ∂ F

∂ y )2

σ y2 +( ∂ F

∂ z )2

σ z2+… (14)

g) La magnitud física F, finalmente debe ser escrita de la siguiente forma:

F=F ± 3 σ F (15)

h) La cantidad 3 σ constituye el error absoluto, y el error relativo está expresado por:

er=3 σ F

F (16)

i) El error porcentual estará expresado por :

e %=3 σ F

Fx100 %

(17)

3.6.2 Tratamiento No Estadístico.- El problema que a continuación se plantea es un caso general.

Sea F=f (x , y , z , …), se plantea las siguientes situaciones:

a) Todas las magnitudes físicas x, y, z, …, se miden un número de veces no mayor que 9 (n<10), el error absoluto de la magnitud F se determina por la ecuación:

Δ F=|∂ F∂ x |Δ x+|∂ F

∂ y |Δ y+|∂ F∂ z |Δ z (18)

b) Todas las magnitudes físicas x, y, z, …, se miden una sola vez, entonces el error absoluto de F está dado por:

Δ F=|∂ F∂ x |Δ x0+|∂ F

∂ y |Δ y0+|∂ F∂ z |Δ z0 (19)

c) Un grupo de cantidades se mide una sola vez, otro grupo un número de veces menor que 10 y lo que resta un número de veces mayor que 10, entonces el error absoluto de F, se determina por:

Δ F=|∂ F∂ x |Δ x0+|∂ F

∂ y |Δ y+|∂ F∂ z |(3 σ z) (20)

V.- CUESTIONARIO

5.1 Con los datos de la tabla I, determine la dimensión de la mesa con su respectivo valor absoluto y porcentual.

Con los datos de la tabla I, realizamos los calculos requeridos;

1. La dimension de la mesa se halla mediante :

L=∑ Li

n=

L1+L2+L3+…+L11+L12

12

L=∑ Li

n=725,7

12=60,475 ; es la dimencion de la mesa

2. Valor absoluto es: 60.50 cm

3. Valor porcentual: 55

x100=100 %

5.2 Con los datos de la Tabla II, determine el volumen del cilindro con su respectivo valor absoluto y porcentual.

Con los datos de la tabla II, realizamos los calculos requeridos;

1. El volumen del cilindro se halla de la siguiente manera

V= π4

D2 h

Luego de hallar los promedios de D, h , reeplazamos datos y hallamos:

V= π4

¿ es el volumen del cilindro

2. a) valor absoluto del V sera :

Ea=± 3σV

Ea=± 3(505,9580)

Ea=± 1517,874

3. a) valor porcentual V :55

x100=100.00 %

5.3 Con los datos de la tabla III, determine el periodo del péndulo simple con su respectivo error absoluto y porcentual.

Con los datos de la tabla III, realizamos los calculos requeridos;

1. Hallamos de la siguiente manera: T=∑ T i

n=

T1+T 2+T3+…+T8+T 9

9

T=19,5729

=2,175 seg

2. Error absoluto : ∆ T=T max−T min

2

∆ T=2,19−2,1612

=0,0145

3. Error porcentual: E%=Er x 100=0.667 %

E%=0,00667 x100 %=0.667 %

5.4 Con los datos de la Tabla IV, determine la densidad de la esfera pendular con su respectivo error absoluto y porcentual.

Con los datos de la tabla IV, realizamos los calculos requeridos;

1. para determinar la densidad de la esfera pendular, hallamos los promedios y reemplazamos en la formula:

M=m0=6.7 g

D=D1+D2+…+D5 +D6

6

D=84,356

=14,058 mm

→ ρ=6m0

π D3 =6 (6,7)

3,1416¿¿

Como las mediciones son menores de n=10 entonces se desarrolla el tratamiento no estadístico:

i) D=∑ Di

n=115.7

6=19.2833

∆ D=Dmax−Dmin

2=19.29−19.27

2=0.01

D=D ± ∆ D=19.2833± 0.01

2. El error absoluto es: Ea=∆ ρ=| ∂ ρ∂ m0

|∆ m0+| ∂ ρ∂ D|∆ D

Ea=∆ ρ=| 6

π D3|∆ m0+|−18m

π D4 |∆ D

Ea=∆ ρ=| 6π (14,058)3|(± 0.01)+| −18 (6,7)

π (14,058)4|(0,03)

Ea=± 3.6361 ±× 10−5

. El error porcentual es: E %=( Er ×100 ) %

E %=± ((3.6544 ×10−5)×100 )%

E %=± 3.6544 ×10−3 %5.5 Con los datos de la tabla V, determine el volumen del paralelepípedo ahuecado, con su respectivo error absoluto y porcentual.

Con los datos de la tabla V, realizamos los calculos requeridos;

El volumen del paralelepípedo ahuecado es:

V=V 1−V 2−V 3

V 1=a x b x c=7.4755 x1.52 x8.26=93.856 cm3

V 2=π d1

2

4xh1=0.453 cm3

V 3=π d2

2

4xh2=1.382 cm3

V=94.4354−0.609−1.385=92.4414 cm3

1. El error absoluto es: Ea=± 3σV

Ea=± 3(0,23901)❑

Ea=± 0,71703

2. El error porcentual es: Ep %=±(E ¿¿ r x 100)%¿

Ep %=±(0.00776 x100)%

5.6 Describa Ud. cada uno de los instrumento utilizados en la experiencia de laboratorio

1. VERNIER .- El calibre, también denominado cartabón de corredera, pie de rey, pie de metro, pie a coliza o Vernier, es un instrumento para medir dimensiones de objetos relativamente pequeños, desde centímetros hasta fracciones de milímetros (1/10 de milímetro, 1/20 de milímetro, 1/50 de milímetro). En la escala de las pulgadas tiene divisiones equivalentes a 1/16 de pulgada, y, en su nonio, de 1/128 de pulgadas.

Es un instrumento sumamente delicado y debe maniobrarse con habilidad, cuidado y delicadeza, con precaución de no rayarlo ni doblarlo (en especial, la coliza de profundidad).

Consta de una "regla" con una escuadra en un extremo, sobre la cual se desliza otra destinada a indicar la medida en una escala. Permite apreciar longitudes de 1/10, 1/20 y 1/50 de milímetro utilizando el nonio. Mediante piezas especiales en la parte superior y en su extremo, permite medir dimensiones internas y profundidades. Posee dos escalas: la inferior milimétrica y la superior en pulgadas.

1. Mordazas para medidas externas. 2. Mordazas para medidas internas. 3. Coliza para medida de profundidades. 4. Escala con divisiones en centímetros y milímetros. 5. Escala con divisiones en pulgadas y fracciones de pulgada. 6. Nonio para la lectura de las fracciones de milímetros en que esté dividido. 7. Nonio para la lectura de las fracciones de pulgada en que esté dividido. 8. Botón de deslizamiento y freno.

El primer instrumento de características similares fue encontrado en un naufragio en la isla de Giglio, cerca de la costa italiana, datado en el siglo VI a. C. Aunque considerado raro, fue usado por griegos y romanos. Durante la Dinastía Han (202 a. C. - 220 d. C.), también se utilizó un instrumento similar en China, hecho de bronce, hallado con una inscripción del día, mes y año en que se realizó.

Se atribuye al cosmógrafo y matemático portugués Pedro Núñez (1492-1577) —que inventó el nonio o nonius—, el origen del pie de rey. También se ha llamado pie de rey al vernier, porque hay quien atribuye su invento al geómetra Pierre Vernier (1580-1637), aunque lo que verdaderamente inventó fue la regla de cálculo vernier, que ha

sido confundida con el nonio inventado por Pedro Núñez. En castellano, se utiliza con frecuencia la voz nonio para definir esa escala.

El calibre moderno con nonio y lectura de milésimas de pulgada, fue inventado por el americano Joseph R. Brown en 1851. Fue el primer instrumento práctico para efectuar mediciones de precisión que pudo ser vendido a un precio asequible.

2. REGLA GRADUADA.

La regla graduada es un instrumento de medición con forma de plancha delgada y rectangular que incluye una escala graduada dividida en centímetros o en pulgadas (unidades de medida); es un instrumento útil para trazar segmentos rectilíneos con la ayuda de un bolígrafo o lápiz, y puede ser rígido, semirígido o flexible, construido de madera, metal, material plástico, etc. Su longitud total rara vez supera el metro de longitud. Suelen venir con graduaciones de diversas unidades de medida, como milímetros, centímetros, y decímetros, aunque también las hay con graduación en pulgadas o en ambas unidades. Es muy utilizada en los estudios técnicos y materias que tengan que ver con uso de medidas, como arquitectura, ingeniería, etc. Las reglas tienen muchas aplicaciones ya que tanto sirve para medir como para ayudar en el dibujo técnico; las que hay en las oficinas suelen ser de plástico pero las de los talleres y carpinterías suelen ser metálicas, de acero flexible e inoxidable.

3. MICRÓMETRO .- El micrómetro (del griego micros, pequeño, y metron, medición), también llamado Tornillo de Palmer, es un instrumento de medición cuyo funcionamiento está basado en el tornillo micrométrico y que sirve para medir las dimensiones de un objeto con alta precisión, del orden de centésimas de milímetros (0,01 mm) y de milésimas de milímetros (0,001 mm) (micra).

Para ello cuenta con 2 puntas que se aproximan entre sí mediante un tornillo de rosca fina, el cual tiene grabado en su contorno una escala. La escala puede incluir un nonio. La máxima longitud de medida del micrómetro de exteriores normalmente es de 25 mm aunque existen también los de 0 a 30, por lo que es necesario disponer de un micrómetro para cada campo de medidas que se quieran tomar (0-25 mm), (25-50 mm), (50-75 mm), etc.

Frecuentemente el micrómetro también incluye una manera de limitar la torsión máxima del tornillo, dado que la rosca muy fina hace difícil notar fuerzas capaces de causar deterioro de la precisión del instrumento.

El principio de funcionamiento o de operación de un micrómetro se basa en que, si un tornillo montado en una tuerca fija se hace girar, el desplazamiento de éste en el sentido longitudinal, es proporcional al giro dado

Todos los tornillos micrométricos empleados en el sistema métrico decimal tienen una longitud de 25 mm, con un paso de rosca de 0,5 mm, de modo que girando el tambor una vuelta completa el palpador avanza o retrocede 0,5 mm.

El micrómetro tiene una escala longitudinal, línea longitudinal que sirve de fiel, que en su parte superior presenta las divisiones de milímetros enteros y en la inferior las de los medios milímetros, cuando el tambor gira deja ver estas divisiones.

En la superficie del tambor tiene grabado en toda su circunferencia 50 divisiones iguales, indicando la fracción de vuelta que ha realizado, una división equivale a 0,01 mm.

Para realizar una lectura, nos fijamos en la escala longitudinal, sabiendo así la medida con una apreciación de 0,5 mm, el exceso sobre esta medida se ve en la escala del tambor con una precisión de 0,01 mm.

En la fotografía se ve un micrómetro donde en la parte superior de la escala longitudinal se ve la división de 5 mm, en la parte inferior de esta escala se aprecia la división del medio milímetro. En la escala del tambor la división 28 coincide con la línea central de la escala longitudinal, luego la medida realizada por el micrómetro es: 5 + 0,5 + 0,28 = 5,78.

Los micrómetros tienen varias ventajas respecto a otros instrumentos de medida como el vernier y el calibrador: son fáciles de usar y sus lecturas son consistentes. Existen tres clases de micrómetros basados en su aplicación.

- Micrómetro interno - Micrómetro externo - Micrómetro de profundidad

Un micrómetro externo es usado típicamente para medir alambres esferas ejes y bloques. Un micrómetro interno se usa para medir huecos abiertos, y el micrómetro de profundidad típicamente como su nombre indica. La precisión del micrómetro es lograda por un mecanismo de tornillo con un hilo de paso muy fino. El primer tornillo micrométrico fue inventado por Wiliam Gascoigne en el siglo 17, como una mejora del vernier, fue entonces usado en un telescopio para medir las distancias angulares entre las estrellas. Su adaptación para las medidas pequeñas, fue hecha por Jean Louis Palmer, este dispositivo es desde entonces llamado palmer en Francia.

El micrómetro es muy exacto y tiene tolerancias del orden de 0.001mm. Existen también otros con tolerancias de 0.01mm. La mayoría de micrómetros pueden leer una diferencia de 25mm. El micrómetro debe leerse de la misma forma que el calibrador.

5.7 Defina: precisión, exactitud y sensibilidad de un instrumento.

Exactitud: es una medida de la calidad de la calibración de nuestro instrumento respecto de patrones de medida aceptados internacionalmente. Es la cercanía del valor obtenido con el denominado valor “real”, para hacer referencia a la exactitud se tienen que tener en cuenta dos

conceptos fundamentales patrones de medida y trazabilidad en las mediciones. Es decir una medida es exacta entre menor sea la discrepancia o separación entre lo obtenido con el instrumento de trabajo y el valor leído con el etalón

Precisión del instrumento: Está relacionada con la repetibilidad que él proporciona en sus medidas, es decir que diferentes medidas de una misma cantidad bajo condiciones aproximadamente iguales conducen a resultados muy parecidos. A más parecidas las medidas, más preciso el instrumento. No se debe confundir exactitud con precisión.

Sensibilidad: Todo instrumento siempre tiene un mínimo del valor de la cantidad a medir. Esta mínima cantidad se denomina la apreciación nominal del instrumento

5.8 Describa Ud. las distintas clases de errores sistemáticos y casuales, señalando ejemplos.

1 Errores sistemáticos:

a) debido a la mala calibracion de los instrumentos .- Si un amperímetro, por ejemplo, tiene su aguja corrida con respecto al cero de la escala, todas las mediciones que con él se hagan estarán afectadas de un error sistemático igual a la diferencia entre el cero de la escala y la posición de la aguja cuando el aparato está desconectado. Es el llamado "error de cero". Otro ejemplo es el de un cronómetro que atrasa, en cuyo caso los tiempos leídos son menores que los reales.

b) debido a las condiciones esperimentales no adecuadas .- Se originan cuando las condiciones en que se utiliza el instrumento de medida difieren de aquéllas en las que fue calibrado. Por ejemplo, si una regla ha sido graduada a 15°C, las longitudes que se midan con ella a 20 °C estarán afectadas de un error sistemático por defecto debido a la dilatación.

c) debido al uso de tecnicas imperfectas .- Por ejemplo, la demora en pesar líquidos en recipientes abiertos trae aparejado la comisión de errores debido a la evaporación.

Aunque se deben tratar de minimizar siempre van a existir y deben ser cuantificados y reportados. En algunos casos se pueden determinar factores de corrección y en otros se pueden diseñar procesos que minimicen la perturbación o escoger modelos físicos más apropiados

2 Errores casuales o accidentales:

a) de apreciacion o juicio.- La apreciación a ojo de la fracción de división en una escala es sólo aproximada y, por razones difíciles de conocer, dos fracciones iguales pueden ser leídas como distintas por un mismo observador

b) de condiciones de trabajo .- Si se mide la intensidad luminosa de una fuente por comparación con una fuente patrón, los resultados estarán afectados por variaciones en la tensión de alimentación del patrón.

c) de factor de definicion .- Cuando se mide la distancia desde una lente hasta la imagen dada por ella sobre una pantalla, la falta de precisión en la ubicación de la imagen produce error, lo mismo que el medir la temperatura de un líquido sin haber homogeneizado la mezcla.