Inkrementelle Stabilit at und Konvergente Systeme · PDF fileBj orn S. R u er ™2013 p.6...

Bjorn S. Ruffer Š 2013 Š p.1

Inkrementelle Stabilitat

und

Konvergente Systeme

Bjorn S. RufferU Paderborn

[email protected]

Nathan van de WouwTU Eindhoven

[email protected]

Markus MuellerU Exeter

[email protected]

Elgersburg Workshop

14. Februar 2013

zugehoriger Artikel:

Ruffer, van de Wouw, Mueller: Convergent systems vs. incremental stability.

Systems & Control Letters 62:277–285, 2013.


x(t, t0, ξ1)

x(t)

x(t, t0, ξ2)

Zeit

Zustand


Definitionen Beispiele Konverse Lyapunov-Resultate KS nach IS IS nach KS

Wir betrachten zeitvariante Systeme

x(t) = f (t, x) (1)

wobei f ∶Rn+1 → Rn so gewahlt ist, dass lokal Existenz und Eindeutigkeit

von Losungen gesichert ist. Insbesondere soll f lokal Lipschitz-stetig in

x sein.

Eine Menge A ⊂ Rn heißt positiv invariant unter (1), wenn x0 ∈ A

impliziert, dass fur alle t0 ∈ R auch x(t, t0, x0) ∈ A fur alle t ≥ t0.



Definition (cf. Pavlov et al. 2006, 2004)

System (1) heißt gleichmaßig konvergent in einer positiv invarianten

Menge X , falls

1. alle Losungen x(t, t0, x0) fur alle Zeiten t ≥ t0 und fur alle

Anfangsbedingungen (t0, x0) ∈ R ×X existieren;

2. es eine eindeutige Losung x(t) in X gibt, die fur alle Zeiten

existiert und beschrankt ist;

3. die Losung x(t) gleichmaßig asymptotisch stabil ist mit

Einzugsgebiet X , d.h., es gibt eine Funktion β ∈ KL, so dass fur

alle (t0, x0) ∈ R ×X und t ≥ t0,

∥x(t, t0, x0) − x(t)∥ ≤ β(∥x0 − x(t0)∥, t − t0).

System (1) heißt global gleichmaßig konvergent, falls es gleichmaßig

konvergent auf Rn ist.

Die eindeutige Losung x(t) wird gemeinhin als stationare Losung

bezeichnet.



Definition (cf. Angeli 2002)

System (1) ist inkrementell stabil (IS) in einer positiv invarianten Menge

X ⊂ Rn, falls es eine Funktion β ∈ KL gibt, so dass fur alle ξ1, ξ2 ∈ Xund t ≥ t0,

∥x(t, t0, ξ1) − x(t, t0, ξ2)∥ ≤ β(∥ξ1 − ξ2∥, t − t0) . (2)

Falls X = Rn gilt, heißt das System (1) global inkrementell stabil (GIS)

(oder oft auch einfach nur inkrementell stabil).



Die Bedingung von Demidovich

originale, russische Version in [Demidovich 1967], aktuelle englische

Ubersetzung in Pavlov et al. 2004

f (x , t) muss stetig differenzierbar sein im x-Argument

Wenn es eine positiv definite Matrix P = P⊺ gibt, so dass

J(x , t) = 1

2[P∂f

∂x(t, x) + (∂f

∂x(t, x))

⊺P] (3)

gleichmaßig negativ definit ist in (x , t) ∈ Rn+1, dann ist (1) GIS.

Falls zusatzlich

∥f (t,0)∥ ≤ c <∞ (4)

gilt, dann garantieren (3) und (4) die Existenz einer positiv

invarianten, global asymptotisch stabilen, sowie kompakten Menge

Ω ∶= x ∈ Rn ∶ x⊺Px ≤ C, wobei die Konstante C von P und c

abhangt; diese Menge enthalt die eindeutige, beschrankte und fur

alle Zeiten definierte Losung x(t).



Ein einfaches konvergentes System, das fast

inkrementell stabil ist

Betrachten wir das skalare System

x = − sat x =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

−1 falls x ≤ −1,

−x falls ∣x ∣ < 1,

−1 falls x ≥ 1.

Die Losung x(t) ≡ 0 ist beschrankt und existiert fur alle Zeiten.

Der Ursprung ist global asymptotisch stabil. Also ist dieses System

global gleichmaßig konvergent.

Aber: Die Differenz zweier Trajektorien, die beliebig dicht

zueinander starten, bleibt konstant, bis die erste der beiden das

Intervall [-1,1] erreicht. Es kann daher keine KL-Funktion wie in

der Definition von (G)IS geben.



Ein glm. konvergentes System muss nicht GIS sein

Als nachstes behandeln wir fur z ∈ R2 ∖ 0 das System

z(t) = (− sin t

cos t) + ∥z(t) − z(t)∥2 (−z2(t) + sin(t)

z1(t) − cos(t) )

− sat (∥z(t) − z(t)∥2)(z1(t) − cos(t)z2(t) − sin(t)) ,

wobei z(t) = (cos t, sin t)⊺.

Es lasst sich zeigen, dass z(t) eine

auf ganz R definierte und beschrankte

Losung dieses Systems ist.



Ein glm. konvergentes System muss nicht GIS sein, ctd.

Betrachten wir dazu nun die zeitvariante, quadratische

Lyapunovfunktion

V (t, z) = 1

2∥z − z(t)∥2

2.

Dann kann uberpruft werden, dass

V = d

dtV (t, z(t))

= − sat (∥z(t) − z(t)∥22)∥z(t) − z(t)∥2

2

< 0

solange z(t) ≠ z(t). Das beweist globale glm. asymptotische Stabilitat

der Losung z(t).

Also ist das System global glm. konvergent.



Ein glm. konvergentes System muss nicht GIS sein, ctd.

Jedoch konnen wir eine Konstan-

te M > 0 angeben, so dass fur

jedes hinreichend große R > 1

Startwerte ξ1, ξ2 existieren mit

∥ξ1 − ξ2∥ ≤ M und

∥z(1/2,0, ξ1) − z(1/2,0, ξ2)∥

=√

R +M +√

R√e

∼√

R .

Also kann es keine KL-Funktion

β geben, so dass Bedingung (2)

gilt, d.h.,

∥z(t, t0, ξ1)−z(t, t0, ξ2)∥ ≤ β(∥ξ1−ξ2∥, t−t0) .

Damit ist das System nicht GIS.



Und ein GIS System muss nicht konvergent sein

Als nachstes untersuchen wir

x(t) = t − x , x ∈ R . (5)

Die Losungen sind explizit gegeben durch

x(t, t0, x0) = x0e−t+t0

+ (t − 1) − (t0 − 1)et0−t .

Die Losung, die zur Zeit t0 = 0 durch x0 = 0 geht ist unbeschrankt.

Folglich kann das System nicht konvergent sein, denn sonst musste sich

diese unbeschrankte Losung einer beschrankten annahern. Und das geht

nicht.



Und ein GIS System muss nicht konvergent sein, ctd.

Das das System GIS ist, sieht man so: Betrachte ξ1, ξ2 ∈ R, dann

d

dt[x(t, t0, ξ1) − x(t, t0, ξ2)] = −(x(t, t0, ξ1) − x(t, t0, ξ2)) ,

was wiederum impliziert, dass

∥x(t, t0, ξ1) − x(t, t0, ξ2)∥ ≤ ∥ξ1 − ξ2∥e−t .

Das ist eine KL-Abschatzung der Differenz zweier Losungen.

Damit ist System (5) GIS.

Die Abschatzung impliziert auch, dass die unbeschrankte Losung

auf der letzten Folie global attraktiv ist. Also mussen alle Losungen

unbeschrankt sein.

Damit kann es insbesondere auch keine beschrankte Losung geben

— und das System kann damit auch nicht konvergent auf einer

Teilmenge von R sein.



eine kleine Zusammenfassung

inkrementelle Stabilitat impliziert nicht, dass ein System

konvergent ist

umgekehrt auch nicht

jedoch legt die Bedingung von Demidovich nahe, dass

die beiden Eigenschaften sehr verwandt sind



Konverse Lyapunov-Theoreme

Wir mochten nun Lyapunov-Techniken benutzen um Bedingungen

zu finden, die angeben wann unsere beiden Stabilitatseigenschaften

sich gegenseitig implizieren.

In der Literatur findet sich:

Bacciotti und Rosier 1998: schwache Lyapunovfunktionen fur

x = f (t, x)Teel und Praly 2000: Konstruktion glatter Lyapunovfunktionen

aus KL-Abschatzungen fur x = f (x)Angeli 2002: stetige Lyapunovfunktionen fur eine Form von

inkrementeller Stabilitat fur nicht wirklich zeitvariante Systeme der

Form x = f (x ,d), wobei d zeitabhangig ist

Grune, Kloeden, Siegmund, und Wirth 2007: lokal

Lipschitz-stetige Lyapunovfunktionen fur nichtautonome

(=zeitvariante) Differentialgleichungen unter Benutzung der

Theorie der Schiefproduktflusse (skew-product flows)



ein konverses GIS Lyapunov-Theorem

Theorem

System (1) ist GIS genau dann, wenn es eine stetige Funktion

W ∶R ×Rn ×Rn → R sowie K∞-Funktionen α1, α2, α3 gibt, so dass

1. fur alle x1, x2 ∈ Rn und t ∈ R,

α1(∥x1 − x2∥) ≤ W (t, x1, x2) ≤ α2(∥x1 − x2∥) (6)

2. entlang Trajektorien von (1) fur ξ1, ξ2 ∈ Rn und jedes t ≥ t0 gilt,

dassW (t, x(t, t0, ξ1), x(t, t0, ξ2)) −W (t0, ξ1, ξ2)

≤ −∫t

t0α3(∥x(τ, t0, ξ1) − x(τ, t0, ξ2)∥)dτ.

(7)



Mehr Regularitat

Die Unbeschranktheit von α3 kann gegen mehr Regularitat von W

eingetauscht werden:

Corollary

Wenn System (1) GIS ist, dann gibt es eine stetige Funktion

W ∶R ×Rn ×Rn → R, Funktionen α1, α2 ∈ K∞, sowie eine positiv

definite Funktion α3, so dass die Ungleichungen (6) und (7) gelten.

Zudem gibt es dann eine Funktion γ ∈ K∞, so dass fur alle

z 1, z 2 ∈ Rn ×Rn und alle t0 gilt,

∣W (t0, z 1) −W (t0, z 2)∣ ≤ γ(∥z 1 − z 2∥). (8)

Ungleichung (8) sieht ein bisschen aus wie ‘nichtlineare’ globale

Lipschitz-Stetigkeit, ist tatsachlich aber eine Charakterisierung von

gleichmaßiger Stetigkeit.



Beweis GIS-konverses Theorem

Der Beweis des Satzes ist dem Beweis in Angeli (2002) sehr

ahnlich. Aber es gibt ein paar signifikante, nicht offensichtliche

Unterschiede:

Der Hauptunterschied liegt darin, dass die hier betrachteten

Systeme explizit von t abhangen, die Systeme in der Arbeit von

Angeli hingegen nicht. Dies wirkt sich auf die Gleichmaßigkeit der

Abfallrate der Lyapunovfunktion aus.

Der ‘wenn es eine Lyapunovfunktion gibt. . . ’-Teil des Beweises

folgt mit Standardargumenten, siehe z.B. Hinrichsen und Pritchard

(2005, Theorem 3.2.7)).

Wir betrachten im Folgenden nur den ‘es muss eine

Lyapunovfunktion geben’-Teil.



Beweis GIS-konverses Theorem, ctd.

Betrachten wir

z = d

dt(x1

x2) = (f (t, x1)

f (t, x2)) , (9)

dann ist die Diagonale ∆ ∶= (x⊺, x⊺)⊺∶ x ∈ Rn ⊂ R2n GAS

bezuglich System (9) genau dann, wenn System (1) GIS ist. Das

lasst sich zeigen wie in Lemma 2.3 in Angeli (2002).

Der Abstand eines Punktes z = (x1

x2) zur Diagonalen ∆ ist gegeben

durch

∥z∥∆ ∶= infw∈∆

∥w − z∥ = 1√2∥x1 − x2∥.




zunachst definieren wir

g(t0, z 0) ∶= supt≥t0

∥z(t, t0, z 0)∥∆

fur s > 0 hat man

g(t0, z 0) ≥ g(t0 + s, z(t0 + s, t0, z 0))

sowie die Stetigkeitseigenschaft

∣g(t, z 1) − g(t, z 2)∣ ≤√

2β(2∥z 1 − z 2∥∆,0)=∶ γ(∥z 1 − z 2∥∆),

fur alle z 1, z 2 ∈ R2n sowie t ∈ R.




Definiere nun

U(t0, z 0) ∶= sups≥0

g(t0 + s, z(t0 + s, t0, z 0))k(s),

wobei k irgendeine stetig differenzierbare, positive, wachsende

Funktion ist, fur die k(t) ∈ [c1, c2], fur alle t ≥ 0 und passende 1 ≤ c1 < c2

ddtk(t) ≥ d(t), t > 0, fur eine positive und fallende Funktion d

notwendigerweise muss gelten d(t)→ 0, wenn t →∞, weil sonst

(und weil d(t) ≥ 0) k uber jede obere Schranke wachsen wurde

wieder konnen wir zeigen, dass

∣U(t0, z 1) −U(t0, z 2)∣ ≤ γ(∥z 1 − z 2∥)

fur ein passendes γ ∈ K∞




U ist nicht-wachsend entlang von Losungen; fur jedes r > 0,

z 0 ∈ R2n mit ∥z 0∥∆ = r , alle t0 ∈ R, alle h > 0 und alle ε > 0, existiert

ein s = sε,h,t0,z0 ≥ 0, so dass

U(t0 + h, z(t0 + h, t0, z 0)) ≤ U(t0, z 0) [1 − k(h + s) − k(s)c2

] + ε.

im nachsten Schritt mochten wir h 0 und ε→ 0 gehen lassen und

gleichzeitig soll s = s(h, ε) beschrankt bleiben

diese Beschranktheit konnen wir mit Sontag’s Lemma uber

KL-Funktionen garantieren




es gibt eine positiv definite Funktion α3,

U(t0, z 0) ∶= lim suph0

U(t0 + h, z(t0 + h, t0, z 0)) −U(t0, z 0)h

≤ −α3(∥z 0∥∆).

nun modifizieren wir U so, dass α3 ∈ K∞ (cf. Sontag und Teel

1995):W ∶= ρ(U), wobei

µ, ρ ∈ K∞, so dass ρ′ = µ s ↦ (µ α−1

1 )(s)α3(s) ist von unten beschrankt durch eine

K∞-Funktion α3; das geht immer

damit, fur t ≥ t0,

W (t, z(t, t0, z 0)) −W (t0, z 0) ≤ − ∫t

t0 α3(∥z(s, t0, z 0)∥∆)ds ◻



Konverses Lyapunov-Resultat fur konvergente Systeme

Theorem (im Wesentlichen Theorem 23 in Massera 1956)

Die Funktion f sei stetig in (t, x) und C1 bezuglich des x-Arguments.

Wir nehmen an, dass die Jacobi-Matrix ∂∂x

f (t, x) beschrankt ist, und

zwar gleichmaßig in t.

Dann ist das System (1) global glm. konvergent genau dann, wenn es

eine C1 Funktion V ∶R ×Rn → R+, eine Trajektorie x ∶R→ Rn,Funktionen α1, α2 und α3 ∈ K∞ und eine Konstante c ≥ 0 gibt, so dass

α1(∥x − x(t)∥) ≤ V (t, x) ≤ α2(∥x − x(t)∥)

und∂V

∂t+ ∂V

∂xf (t, x) ≤ −α3(∥x − x(t)∥)

und

V (t,0) ≤ c , t ∈ R.



Zusammenfassung: Was wissen wir bis jetzt?

Konvergente Systeme sind nicht automatisch GIS und umgekehrt

Beide Stabilitatskonzepte konnen mittels Lyapunovfunktionen

beschrieben werden, und die sehen unterschiedlich aus

Angeli hat ein Beispiel fur ein inkrementell Stabiles System, fur das

es keine glatte zeitinvariante Lyapunovfunktion gibt



Theorem

Sein nun System (1) glm. konvergent auf einer kompakten Menge X .

Dann ist das System auch inkrementell stabil auf dieser Menge.

Beweis. Bezeichne mit dX ∶= maxx ,y∈X ∥x − y∥ den Durchmesser von

X .

Fur jedes ε > 0 gibt es ein T > 0, so dass fur jedes ξ ∈ X ,

∥x(t, t0, ξ) − x(t)∥ ≤ β(dX , t − t0) ≤ ε/2

falls t − t0 ≥ T ; das impliziert, dass alle Losungen, die in X starten

gegenseitig glm. attraktiv sind.



Da fur alle t ≥ t0 gilt, dass

x1(t) − x2(t) ∶= x(t, t0, ξ1) − x(t, t0, ξ2) =

ξ1 − ξ2 + ∫t

t0[f (s, x1(s)) − f (s, x2(s))]ds,

haben wir aufgrund der lokalen Lipschitz-Bedingung an f und der

Kompaktheit von X , dass es eine lokal integrierbare Funktion

α∶R→ R≥0 geben muss, so dass fur alle t ≥ t0 gilt

∥x1(t) − x2(t)∥ ≤ ∥ξ1 − ξ2∥ + ∫t

t0α(s)∥x1(s) − x2(s)∥ds.

Mithilfe des Gronwall-Lemmas fuhrt dies zu einer KL-Funktion β,

so dass

∥x(t, t0, ξ1) − x(t, t0, ξ2)∥ ≤ β(∥ξ1 − ξ2∥, t − t0)

fur alle ξ1, ξ2 ∈ X , t0 ∈ R und t ≥ t0. ◻



Theorem

Wir nehmen an, dass

System (1) global glm. konvergent ist

f stetig in (t, x) und C1 in x ist; sowie die Jacobi-Matrix ∂∂x

f (t, x)gleichmaßig in t beschrankt ist

es eine Matrix P = P⊺ > 0, eine Konstante C > 0, sowie eine

stetige, positive Funktion α4∶R→ (0,∞) gibt, so dass fur alle

Zeiten t ∈ R und alle x1, x2 ∈ Rn gilt

(x1 − x2)⊺P (f (t, x1) − f (t, x2))

≤⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

−α4(∥x1 − x2∥) falls max∥x1∥, ∥x2∥ ≥ C ,

0 sonst.

Dann ist System (1) GIS.



Beweisskizze.

fur das konvergente System gibt es eine Lyapunovfunktion V

es existieren Konstanten C2 ≥ 0, s.d. ∥x(t)∥ ≤ C2 und C −C2 > 0 cP ,CP > 0 s.d. cP∥x1 − x2∥2 ≤ (x1 − x2)⊺P(x1 − x2) ≤ CP∥x1 − x2∥2

wenn max∥x1∥, ∥x2∥ ≤ C dann V (t, x1) +V (t, x2) ≤ 2α2(C +C2) definiere nun eine Kandidaten-GIS-Lyapunovfunktion

W (t, x1, x2) ∶= 1

2b(V (t, x1) +V (t, x2))(x1 − x2)⊺P(x1 − x2)

wobei b(s) = s/(1 + s) ∈ K ∖K∞ dann uberprufen wir nur noch:

α1(∥x1 − x2∥) ≤W (t, x1, x2) ≤ α2(∥x1 − x2∥) W ≤ −α4(∥x1 − x2∥)b(2α2(C −C2)) ◻



Theorem

System (1) sei inkrementell stabil auf einer kompakten Menge X . Dann

ist es auch glm. konvergent auf dieser Menge.

Beweis. Nach Standardresultaten (z.B. Yakubovich (1965)) muss die

kompakte (u. insbes. positiv invariante) Menge eine beschrankte Losung

x(t) enthalten, die fur alle Zeiten existiert.

Alle Losungen sind glm. asymptotisch stabil, also auch x(t).

Die Eindeutigkeit folgt mit den gleichen Argumenten wie in dem Beweis

von Property 2.4 in Pavlov et al. (2006). ◻



Theorem

Sei System (1) GIS, wobei f ∶Rn+1 → Rn lokal Lipschitz-stetig in x ∈ Rnsei. Dann gilt:

1. Wenn ∥f (t,0)∥ ≤ c, ∀t, und c ≥ 0 klein genug ist, dann ist

System (1) global glm. konvergent;

2. Wenn es eine kompakte Menge Ω ⊂ Rn gibt, die positiv invariant ist

bzgl. System (1), dann ist System (1) global glm. konvergent.



Corollary

Es gebe Funktionen W , α3 und γ wie in dem Korollar uber konverse

GIS-Lyapunovfunktionen. Sei c ≥ 0 so, dass fur alle kleinen h > 0,

∥f (t,0)∥h ≤ ch < γ−1(hα3(r))

fur ein r > 0. Dann ist System (1) global gleichmaßig konvergent.



Beweisskizze.

Bedingung 1. und GIS implizieren die Existenz einer kompakten

pos. invarianten Menge Ω ⊂ Rn unser konverses Theorem gibt uns eine GIS-Lyapunovfunktion

W (t, x1, x2), die die Regularitatseigenschaft aus dem Korollar (glm.

Stetigkeit) erfullt

sei nun V (t, x) ∶= W (t, x ,0), dann ist fur h > 0 hinreichend klein,

V (t0 + h,x(t0 + h, t0, ξ)) −V (t0, ξ) ≤

− ∫t0+h

t0α3(∥x(τ, t0, ξ) − x(τ, t0,0)∥)dτ

+W (t0 + h, x(t0 + h, t0, ξ),0)−W (t0 + h, x(t0 + h, t0, ξ), x(t0 + h, t0,0))

roter Ausdruck ≤ γ(∥x(t0 + h, t0,0)∥) ≤ γ(∥f (t0,0)∥h +O(h2)) ≤γ(ch +O(h2))

Ô⇒ Existenz einer kompakten invarianten Menge Ô⇒ Existenz

eindeutiger beschrankter Losung x(t) ◻


Literatur

D. Angeli. A Lyapunov approach to the incremental stability properties.

IEEE Trans. Autom. Control, 47(3):410–421, 2002.

A. Bacciotti and L. Rosier. Liapunov and Lagrange stability: inverse

theorems for discontinuous systems. Math. Control Signals Syst.,

11(2):101–128, 1998.

B. P. Demidovich. Lectures on mathematical stability theory (russisch).

Nauka, Moscow, 1967.

L. Grune, P. E. Kloeden, S. Siegmund, und F. R. Wirth. Lyapunov’s

second method for nonautonomous differential equations. Discrete

Contin. Dyn. Syst., 18(2-3):375–403, 2007.

D. Hinrichsen und A. J. Pritchard. Mathematical Systems Theory I —

Modelling, State Space Analysis, Stability and Robustness. Springer,

Berlin, 2005.

J. L. Massera. Contributions to stability theory. Annals of Math. (2),

64:182–206, 1956.


Literatur

A. Pavlov, A. Pogromsky, N. van de Wouw, und H. Nijmeijer.

Convergent dynamics, a tribute to Boris Pavlovich Demidovich.

Systems Control Lett., 52(3-4):257–261, 2004.

A. Pavlov, N. van de Wouw, und H. Nijmeijer. Uniform output

regulation of nonlinear systems. A convergent dynamics approach.

Birkhauser, Boston, 2006.

E. Sontag und A. Teel. Changing supply functions in input/state stable

systems. IEEE Trans. Autom. Control, 40(8):1476–1478, 1995.

A. R. Teel und L. Praly. A smooth Lyapunov function from a class-KLestimate involving two positive semidefinite functions. ESAIM Control

Optim. Calc. Var., 5:313–367, 2000.

V. A. Yakubovich. The matrix-inequality method in the theory of the

stability of nonlinear control systems. I: The absolute stability of

forced vibrations. Autom. Rem. Control, 25:905–917, 1965.

Ubersetzung aus Avtom. Telemekh. 25, 1017–1029 (1964).

T. Yoshizawa. Stability theory by Liapunov’s second method.

Publications of the Mathematical Society of Japan, No. 9, Tokyo,

1966.


Zusammenfassung

Globale gleichmaßig konvergente Systeme und globale

inkrementelle Stabilitat sind verwandt, aber keine von beiden

Eigenschaften impliziert die jeweils andere

jedoch sind beide Eigenschaften auf kompakten Zustandsraumen

identisch

beide Eigenschaften konnen durch Lyapunovfunktionen

charakterisiert werden

Bedingungen, die zusatzlich zu einer Eigenschaft noch benotigt

werden um die jeweils andere zu erhalten, wurden gezeigt (wie z.B.

die Bedingung von Demidovich)


Ausblick

”

Netzwerk“-Stabilitatsresultate

Anwendungen auf z.B. Synchronisationsphanomene

Relation zu verwandten Konzepten wie Contraction Analysis

(Lohmiller/Slotine)

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