1 INSTITUCIÓN EDUCATIVA DEPARTAMENTAL MONSEÑOR AGUSTÍN GUTIÉRREZ GUÍA DE TRABAJO ASIGNATURA Matemáticas CURSO Décimo DOCENTE Diego Felipe Rodríguez PERIODO Segundo FECHA DE INICIO abril 2020 FECHA DE TERMINACIÓN junio 2020 COMPETENCIA Competencia General: Determinar el valor de las funciones trigonométricas y las aplica para hallar medidas desconocidas en triángulos rectángulos. Competencia Específica: Resolver problemas relacionados con los triángulos rectángulos. DESEMPEÑOS PARA APRENDER Construye el triángulo rectángulo que satisface una condición dada. PARA HACER Halla el valor de todas las funciones trigonométricas de un ángulo, a partir de una de ellas. PARA SER Realiza las actividades propuestas de la guía, como una forma de demostrar su responsabilidad y compromiso. PARA CONVIVIR Reconoce la importancia de la aplicación de conceptos matemáticos al mejoramiento de su entorno. DBA Comprende y utiliza funciones para modelar fenómenos periódicos y justifica las soluciones. ESTANDAR Uso argumentos geométricos para resolver y formular problemas en contextos matemáticos y en otras ciencias 1. FASE ENTRADA: INTRODUCCIÓN Las funciones trigonométricas se pueden estudiar de dos formas: a partir de las relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo o a partir de la circunferencia unitaria como funciones de números reales. ÁNGULOS Un ángulo es un giro o rotación que se genera a partir de dos rayos que concurren en un punto fijo llamado vértice.
FECHA DE INICIO abril 2020 FECHA DE TERMINACIÓN junio 2020
COMPETENCIA Competencia General: Determinar el valor de las funciones trigonométricas y las aplica para hallar medidas desconocidas en triángulos rectángulos.
Competencia Específica: Resolver problemas relacionados con los triángulos rectángulos.
DESEMPEÑOS
PARA APRENDER Construye el triángulo rectángulo que satisface una condición dada.
PARA HACER Halla el valor de todas las funciones trigonométricas de un ángulo, a partir de una de ellas.
PARA SER Realiza las actividades propuestas de la guía, como una forma de demostrar su responsabilidad y compromiso.
PARA CONVIVIR Reconoce la importancia de la aplicación de conceptos matemáticos al mejoramiento de su entorno.
DBA Comprende y utiliza funciones para modelar fenómenos periódicos y justifica las soluciones.
ESTANDAR Uso argumentos geométricos para resolver y formular problemas en contextos matemáticos y en otras ciencias
1. FASE ENTRADA:
INTRODUCCIÓN
Las funciones trigonométricas se pueden estudiar de dos formas: a partir de las
relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo o a partir de la
circunferencia unitaria como funciones de números reales.
ÁNGULOS
Un ángulo es un giro o rotación que se genera a partir de dos rayos que concurren
en un punto fijo llamado vértice.
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Al rayo que permanece fijo se le llama Lado Inicial y al rayo que gira se le llama Lado
Final. El ángulo ∢𝐷𝐴𝐸 también puede nombrarse con la letra mayúscula de su
vértice ∢𝐴 o con las letras minúsculas del alfabeto griego ejemplo (𝛼), como se
muestra en la figura anterior.
Posición Normal de un Ángulo
Un ángulo 𝛼 está ubicado en posición normal, si está representado en el plano
cartesiano, su vértice coincide con el origen y el lado inicial coincide con el semieje
positivo 𝑥. Además si un ángulo está en posición normal y el lado final coincide con
alguno de los ejes coordenados, entonces se le llama Ángulo Cuadrantal.
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Medición de ángulos en el sistema sexagesimal
Un ángulo de giro completo o perigonal es aquel que se genera por una rotación
completa del lado final. La medida de este ángulo es de 360 grados y se escribe 360°
donde el símbolo ° se lee grados.
Con respecto a un ángulo de giro completo es necesario tener en cuenta que:
Si un giro completo se divide en 360 partes iguales entonces, cada parte
es un grado sexagesimal, es decir, 1
360 parte de la rotación completa es
igual a 1°.
Si un grado igual se divide en 60 partes iguales entonces, cada parte es un
minuto es decir 1
60 de grado es igual a 1´, donde el símbolo ´se lee minutos.
Si un minuto se divide en 60 partes iguales entonces, cada parte es un
segundo es decir 1
60 de minuto igual a 1”, donde el símbolo “se lee
segundos.
Por tanto, se concluye que 1° = 60´ = 3600”
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Ángulos Coterminales
En un ángulo, el lado final puede realizar giros cualquier número de veces y en
cualquier dirección. Si el lado final gira en sentido contrario a las manecillas del reloj,
entonces es un ángulo positivo. Si el lado final gira en el sentido de las manecillas
del reloj, entonces es un ángulo negativo.
Dos ángulos son Coterminales si tienen los mismos lados iniciales y finales, sin
importar su magnitud o sentido.
Ángulos Especiales
En algunos problemas de trigonometría es importante tener en cuenta los diferentes
tipos de ángulos. Los ángulos se clasifican según sus medidas y según la suma de sus
medidas, así:
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MEDICIÓN DE ÁNGULOS EN EL SISTEMA CÍCLICO O RADIANES
Un ángulo central 𝜃 en una circunferencia con ángulo central en el origen 𝑂 y radio
𝑟, es aquel formado por dos radios. El ángulo tiene como vértice el origen y
subtiende un arco 𝑠 de la circunferencia.
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Cuando la medida del arco 𝑠 y la medida del radio 𝑟 de la circunferencia son iguales,
entonces, la medida del ángulo 𝜃 es un radián.
Un radián (rad) es la medida de un ángulo central de una circunferencia cuya
longitud del arco subtendido es igual a su radio.
El giro de la rueda de una bicicleta describe ángulos en radianes. Así, si el radio de la
rueda es de una unidad entonces, un giro completo describe un angulo de 2𝜋 𝑟𝑎𝑑.
En las siguientes figuras se muestran los principales ángulos en radianes que
describe una rueda al girar.
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Relación entre grados y radianes
Como el perímetro de toda circunferencia es 2𝜋, donde 𝜋 = 3,141592653 … y 𝑟 es
el radio de la circunferencia, la cantidad de veces que está el radio 𝑟 de una
circunferencia en su perímetro está dado por el cociente 2𝜋𝑟
𝑟= 2𝜋. Esto quiere decir
que un ángulo completo cuya medida es de 360° equivale a 2𝜋 radianes.
Para determinar la equivalencia de una grado en radianes se realizan los siguientes
pasos:
Para determinar la equivalencia de un radián en grados se tiene que:
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TRIÁNGULOS
En trigonometría es importante tener en cuenta cómo se clasifican los triángulos y
cuáles son sus propiedades:
Clasificación de los Triángulos
La clasificación de los triángulos se hace dependiendo de las medidas de sus lados y
según la medida de sus ángulos:
Propiedades de los triángulos:
Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces, los ángulos
opuestos a estos lados son congruentes.
Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces, los lados
opuestos a estos ángulos son congruentes.
La suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es 180°.
Si un triángulo es equilátero también es equiángulo.
Cada ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los ángulos
alternos no adyacentes.
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TEOREMA DE PITÁGORAS
En todo triángulo rectángulo el lado opuesto al ángulo recto se denomina
hipotenusa y los otros dos lados catetos.
El teorema de Pitágoras establece que la suma de los cuadrados de los catetos es
igual a la hipotenusa al cuadrado. Así, si en un triángulo rectángulo las medidas de
los catetos son 𝑎, 𝑏 y la medida de la hipotenusa es 𝑐, entonces se cumple que:
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
El teorema relaciona las áreas de los cuadrados que se forman a partir de los lados
de un triángulo rectángulo, como se muestra en la siguiente figura
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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Las funciones trigonométricas se pueden estudiar de dos formas: a partir de las
relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo o a partir de la
circunferencia unitaria como funciones de números reales.
A continuación se presenta la circunferencia unitaria y cómo se establecen las
funciones trigonométricas a partir de esta.
Circunferencia Unitaria
La circunferencia unitaria es aquella cuyo centro está en el origen y su radio mide una
unidad.
En la figura, se muestra una circunferencia unitaria. El punto 𝑃 pertenece a la
circunferencia y las coordenadas 𝑥, 𝑦 corresponden a las medidas de los catetos del
triángulo rectángulo formado por los vértices 𝑂𝑅𝑃. Si se le aplica el teorema de
Pitágoras en el triángulo se tiene 𝑥2 + 𝑦2 = 1 y todos los puntos 𝑃 cumplen esta
igualdad pertenecen a la circunferencia.
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Puntos de la circunferencia unitaria
Dada la circunferencia unitaria y un ángulo 𝜃 en posición normal, el lado final del
ángulo interseca a la circunferencia en un punto 𝑃. Como el ángulo 𝜃 está en radianes
y el radio de la circunferencia es igual a 1. Entonces se tiene que:
𝑠 = 𝑟𝜃
𝑠 = 1 ∗ 𝜃
𝑠 = 𝜃
Por tanto, en la circunferencia unitaria la medida del ángulo 𝜃 en radianes es igual a
la longitud del arco 𝑠 que subtiende (está sobre la circunferencia). Además cumple
que:
Si el ángulo 𝜃 en radianes es positivo, entonces, el arco que subtiende se
define en el sentido contrario a las manecillas del reloj.
Si el ángulo 𝜃 en radianes es negativo, entonces, el arco que subtiende se
define en el sentido de las manecillas del reloj.
Los puntos 𝑃 determinados por los ángulos 𝜃 =𝜋
2 y 𝜃 = 𝜋 son:
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Definición de las Funciones Trigonométricas
Las funciones trigonométricas pueden definirse a partir de la circunferencia unitaria.
Para esto se construye un ángulo 𝜃 en posición normal cuyo lado final interseque a la
circunferencia unitaria en el punto 𝑃. Como cada ángulo 𝜃 define un único punto
𝑃(𝑥, 𝑦) en la circunferencia unitaria, a partir de sus coordenadas se pueden definir las
