UNIVERSIDAD COMPLUTENSEFACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICAS
CONSEJO SUPERIORDE INVESTIGACIONES CIENTIFICAS
INSTITUTO DE ASTRONOMIA y GEODESIA(Centro Mixto C.S.LC. - U.C.M.). MADRID
Publicación núm. 192
Generalized Inverse Matrices and the
Causs-Markov Theorem
por
J. Otero
MADRID
1998
Generalized Inverse Matrices and theGauss- Markov Theorem
J.Otero*Sección Departamental de Astronomía y Geodesia
Universidad Complutense de Madrid
1 Introduction
In the adjustments of indirect observations (or by parameters) and of con-ditioned observations (or by conditions) we meet, respectively, the followingmatrices (assuming the weight matrix equal to the identity) (see, for exarn-ple, [5]):
1. GA = (AT A)-1 AT where A E IRmxn and rg(A) = n (and then m ~ n).
2. GB = BT (BBT)-1 where B E IRrxm and rg(B) = r (and then m ~ r).
It is worthy of note that in both cases we have that AG AA = A and BG B B =B, and we choose this property as motivation for the following definition ingeneral.
Definition 1.1. Let A E IRmxn; a matrix G E IRnxm is a generalized in-verse of A if
AGA= A. (1)
Remark 1.1. If A is square and with non vanishing determinant then thematrix A-1 is the only solution of equation (1). In the next Section we willsee that for any A there is a matrix G solution of (1) and we also learn howto solve this equation. We also recall the following characterization of A -1:
a square matrix G of order m is the inverse matrix of A if, and only if, forall y E IRm, Gy gives the unique preimage of y.
"Partially supported by the DGES (Spain), Project PB96-0583. The author wishes tothank Professor M.J.Sevilla for kindly examining this paper.
1
The following theorem is the key to understand why a matrix solutionof (1) is called a generalized inverse of A.
Theorem 1.1. Let A E lRmxn; G E lRnxm is a generalized inverse 01 A i],and only iJ, [or all y E R(A) e lRm, Gy is a solution 01 the linear system01 equations Ax = y.
Proof. If AGA = A, then AGAx = Ax for all x E lRn. Let y E R(A).Then, for some x E lRn we have Ax = y. Hence, A(Gy) = y. For thesufficiency we first observe that if e, denotes the ith column vector of Athen by hypothesis we have A(Gci) = Ci. Since Aei = Ci, where e, is theith vector of the canonical basis of lRn, then AGAei = Ae, for all i, andthis completes the proof. o
We also observe that GAAGA = GA and GBBGB = GB. Therefore, GAis not only a generalized inverse of A but A is a generalized inverse of G A,
and the same for B and GB.
Definition 1.2. Let A E lRmxn; a generalized inverse matrix G 01 A issaid reflexive iJ, in addition, GAG = G.
It is also easy to check that GAA = In and BGB = Ir. Moreover thematrices AG A and GBB are symmetric. We soon will see that given a matrixA E lRmxn there exists a (unique) matrix A+ with the following properties:
(i) AA+ A = A,
(ii) A+ AA+ = A+ ,
(iii) AA + is symmetric , and
(iv) A+ A is symmetric .
The matrix A+ is called the pseudoinverse matrix of A and as we see is arefiexive generalized inverse of A such that both AA+ and A+ A are sym-metric. It is now clear that the matrices GA and GB are the pseudoinversesof A and B, respectively.
2 Singular Value Descomposition
An easy way of obtaining the solutions of Equation (1) and of proving theexistence and uniqueness of the pseudoinverse of a matrix is based in the
2
Singular Value Oescomposition (SVO) of a matrix. The SVO is the gener-alization for arbitrary matrices of the Eigenvalue Oescomposition (or EVO)of a symmetric matrix. Let A E IRmxm be symmetric: then there is anorthogonal matrix V and a diagonal matrix D such that A = VDVT. Thecolumns of the matrix V are eigenvectors of A and constitute an orthonor-mal basis of IRm; and the diagonal entries of D are the eigenvalues of A. Foran arbitrary matrix A E IRmxn we have instead the following result (see, forexample, [1]).
Theorem 2.1 (Singular Value Descomposition). I] A E IRmxn thenthere exist orthogonal matrices U E IRmxm and V E IRnxn sucli that
where E = diag(T1, ... ,(Tr) E IRmxn, r = rg(A) and (TI ~ (T2 ~ ... ~ a; >o.
A SVD of a matrix A can be obtained as follows. Let Al ~ A2 ~... ~ An ~ O be the eigenvalues of ATA (this matrix is symmetric andnonnegative, so it has real nonnegative eigenvalues; in addition, eigenvectorscorresponding to different eigenvalues are orthogonal). Since N(AT A) =N(A) then the number of non zero eigenvalues of AT A is n - dim N(A) = r.We define (Ti = A (i = 1, ... , n) where (TI ~ (T2 ~ ... ~ a; > O. Let Vi bean eigenvector corresponding to Ai (i = 1, ... ,n) such that {V1, ... ,Vn} isan orthonormal basis of IRn (if the multiplicity of some eigenvalue is greaterthan one we choose an orthonormal basis of the associated proper su bspace).It is then clear that {Vr+1, ... , v-J is a basis for N(A) and then {VI, ... , v,}is a basis of its orthogonal complement N(A).l. Now let V be the matrixwhose ith column vector is Vi. We observe that the matrix V is such thatVTV = In.
For the r first vectors Vi we define
1u, = IAvil AVi.
(Observe that IAvil = (Ti.) These vectors are mutually orthogonal. In fact,
(AVi,Avj) = (vi,AT AVj) = Aj(Vi,Vj} = O.
Since, on the other hand , they belong to R(A) then {U1, ... , u.} is an or-thonormal basis of R(A). If r < m, we extend this to an orthonormal basisof IRm. Necessarily the last m - r vectors are a basis of R(A).l, the orthogo-nal complement of R(A). Now let U be the matrix whose ith column vectoris ui. We also observe that UTU = 1m.
3
Sinceif i = 1, ... , rif i > r,
thenAV = UI:,
where the matrix I:, is by blocks
diag(al, ... ,ar) E lRrxr. Multiplication by VT gives A
3 Generalized inverse matrices
We may now to solve the equation AGA = A. We shall denote by A- anysolution of this equation.
PROPOSITION 3.1. Let A be an m X n matrix, and let A = UI:,VT a SVDof A. Then
A- = V (I:,~1 ~) UT E lRnxm
(where 0:, (3 and I are matrices of suitable dimensions) are the generalizedinverse matrices of A.
(2)
Knowing in advance the rank of A the following algorithm (described in [4,Chapter 1]) leads to a generalized inverse matrix of A.
(i) In A, of rank r, pick a non-singular minor of order r. Call it M.
(ii) Invert M and transpose the inverse.
(iii) In A replace each element of M by the corresponding elementof (M-1)T. Replace all other elements of A by zero.
(iv) Transpose the resulting matrix, The result is a generalized in-verse of A.
If A is symmetric then there is at least one non-singular principal minor oforder r, so the algorithm just described can be simplified :
4
(i) In A, of rank r, pick a non-singular principal minor of order r.Call it M (M is symmetric).
(ii) Invert M.
(iii) In A replace each element of M by the corresponding elementof M-l. Replace all other elements of A by zero.
(iv) The resulting matrix is a generalized inverse of A.
Example 1. For the symmetric matrix (of rank 2).
(2 2 6)
A= 2 3 8 ,6 8 22
the following matrix is a generalized inverse of A:
(O O O )
G = O 11 -4 .O -4 ~
Observe that G has been computed using the algorithm starting from theprincipal minor
M = (~ 2~)' o
PROPOSITION 3.2. Let A be a matrix. Then,
(i) A- AA- = A- ij and only ij¡ = {3Era in (2).
(ii) AA - is symmetric ij and only ij a = O in (2).
(iii) A-A is symmetric ij and only ij {3= O in (2).
From Propositions 3.1 and 3.2 we have the following.
Theorem 3.3. Let A E IRmxn be given. Then there is a umque matrixA+ E IRnxm sucli that
(i) AA+ A = A ,
(ii) A+ AA+ = A+ ,
(iii) AA+ is symmetric , and
5
(iv) A+ A is symmetric .
This matrix is called the pseudoinverse matrix o/ A and is given by
Exercise 1. If r = min(m,n) show that:
a) If r = m (::; n) then
1. A - = V ( E~l ) UT;
2. A - is reflexive for all {3;
3. AA- = 1m;4. A-A is symmetric if and only if (3 = O;
5. A+ = AT(AAT)-l.
b} If r = n (::; m) then
1. A - = V ( E;1 a) UT ;
2. A - is reflexive for all a;
3. A-A=ln;
4. AA - is symmetric if and only if a = O;
5. A+ = (AT A)-l AT.
Exercise 2. If r < min(m,n) show that (AT A)- AT are the reflexive gener-alized inverse matrices G of A such that AG is symmetric.
Exercise 3. If r < min(m,n) show that AT(AAT)- are the reflexive gener-alized inversematrices G of A such that G A is symmetric.
Exercise 5. Show that A+ = AT(AAT AAT)- AAT.
Exercise 6. Show that A+ = (AT A)+ AT = AT(AAT)+.
The three following theorems are the geometrical characterizations of thespecific generalized inverses of Proposition 3.2 (including A+).
6
Theorem 3.4. Let A E IRmxn. Let G be a generalized inverse matrix of Asuch that AG is symmetric. Then, for all y E IRm we have
(3)
Converse/y, if G E IRnxm is such that for all y E IRm the identity (3) holds,then G is a generalized inverse matrix of A and AG is symmetric.
Remark 3.1. Following Rao and Mitra ([2]) we shall call these generalizedinverse matrices least-squares and we shall denote any of them by Al. In-deed, if G is a least-squares generalized inverse matrix of A we have (for anyy E IRm)
IA(Gy) - yl < IAx - yl Vx E IRn\ {Gy}.
Proof (of Theorem 3.4). If Y E R(A) there is nothing to prove since G is byhypothesis a generalized inverse matrix of A. Hence let y E IRm\R(A). ByPropositions 3.1 and (3.2, (ii)) we have
G = V (11
~) uT.
Then
AGy u (Ir O) UT = U ( IrO O Y O n(
r
=L: (Ui,Y) u, = PR(A) (y) .i=1
Conversely, since (3) holds if, in particular, y E R(A) then according toTheorem 1.1 G is a generalized inverse matrix of A. Hence, for some matrices0', f3 and 'Y we have
G = V (E~1 ~) UT.
The condition (3) can then be written
(U¡,y)
U (Er O) (E;1 a) UT = U00 f3 'Y Y
O
7
Multiplication by UT and some computations give
Era ( (Ur~l'Y) ) = O.
(um,y)
With y = u, (i = r + 1, ... , m), we finally get Era = O and then a = O. o
Theorem 3.5. Let A E lRmxn. Let G be a generalized inverse matrix of Asuch that GA is symmetric. Then, for all x E lRn we have
GAx = PN(A).l(X). (4)
Converse/y, if G E lRnxm is such that for all x E lRn the identity (4) holds,then G is a generalized inverse of A and G A is symmetric.
Proof. By Propositions 3.1 and (3.2, (iii)) we have
G = V (Ef ~) UT.
Then
GAx V (Ir O) VT = V (Ir O)O O x O O
r
= L (Vi,X) Vi = PN(A).l,(X) .i=l
Conversely, let y E R(A); then there is an x E lRn such that Ax = y. LetA = UEVT be a SVD of A. Then
r
y = Ax = L O'i(Vi,X) Ui;i=l
and hence
AGy A(GAx) = A (~(Vi'X) Vi)
r
=L (Vi,X) AVii=lr
=L O'i(Vi,X) u, = y.i=l
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Hence we have shown that G is a generalized inverse matrix of A. So forsome matrices a, f3 and I we have
The condition (4) can then be written
(Vl,X)
o
Multiplication by VT and some computations give
(
(Vl'X) )f3Er : = O.
(vr,x)
With x = Vi (i = 1, ... , r), we finally get f3Er = O and then f3 = O. o
Lernrna 1. Let A E IRmxn and let y E R(A). Then there is a uniquex E IRn such that
Ixl = min Ixl ,Sy
where Sy = {x E IRn : Ax = y}. In addition,
x = PN(A).l(X) ,
for all x E Sy. (We shall write x(y) in order to make clear that x dependson y.)
Proof. Let xp be a particular solution ofAx = y. Then
Sy = xp + N (A) ,
and this shows that
9
for all x E Sy. We then define
x(y) = PN(A)-L(X) (x E Sy).
It is clear that x(y) .E Sy. In addition, if x E Sy \x(y) then
and this completes the proof. o
Remark 3.2. Let y E R(A) and let x E Sy. Let, in addition, G be a gener-alized inverse matrix of A such that GA is symmetric. Then we have
Gy = GAx = PN(A).l(X) = x(y).
Therefore Gy is the minimum norm solution of the linear system Ax = y.By this reason, and in agreement with Rao and Mitra ([2]), we shall callthese generalized inverse matrices minimum-norm and we shall denote anyof them by A;;.
Theorem 3.6. Let A E IRmxn and let A+ be the pseudoinverse of A. Then,if y E IRm we have
(5)
where s- = PR(A)(y).Conversely, if a matrix G E IRnxm is sucli that
(6)
for all y E IRm, then G = A+. .
Proof. If A = UEVT is a SVD of A, then
Let x E IRn be such that Ax = Yr' Then
Conversely, since (6) implies
AGy = Ai(Yr) = Yr
10
then G is a least-squares generalized inverse matrix of A. In addition , ifx E IRn we have
GAx = x(Ax) = PN(A).L(X),
so GA is symmetric (according to Theorem 3.5). Finally, since
GAGy = GYr = Gy
for all y E IRm, we conclude that G = A+. o
Remark 3.3. We notice that for any y E IRm, A+y is the unique least squaressolution of the linear system of equations Ax = y of minimal norm. Thisgeometrical property characterizes, in addition , to A+.
4 Gauss-Markov theorem
In this section we are interested in the adjustrnent model of indirect obser-vations:
Ax+Lo = L, (7)where A E IRmxn, x is the vector of parameters whose components are theunknown true values of n magnitudes that we want to estímate, L is thevector ofthe (unknown) true values of some observable magnitudes and Lo isa (known) constant vector. Let 1 be the (random) vector of observations: weshall assume there are no systematic error in the measurements, so E(I) = L.We define t = 1- Lo and v = L -1, hence the model (7) can also be written
Ax-t=v,
where t and v are random vectors such that E[v] = O and E[t] = Ax.In this Section we shall also assume that:
• E/l = 0-2 1m , where the variance of the observations 0-2 may not beknown .
• rk(A) = r < n « m), that is to say the number of observations isgreater than the number of pararneters and the matrix A is not of fullrank. The number d = n - r is the rank deficiency of the matrix A.
By a parametric function we mean a linear combination of the parame-ters, that is to say
n
7/J = L aixi = aTxi=l
where a is the (column) vector of which ai are its components.
11
Definition 4.1. A parametric function "p is said to be estimable if there isa linear combination of the observations which is an unbiosed estimator of"p. Explicitly, "p is estimable if there is a vector b E IRm sucli that,
(8)
holds for all x E IRn .
If "p = aT x, we notice that a vector b E IRm satisfies (8) if, and only if,
(9)
Therefore we have the folIowing characterization of estimable parametricfunctions.
PROPOSITION 4.1. "pN(A).L.
aT x tS estimable iJ, and only if, a E R(AT)
Remark 4.1. If rk(A) = r < n, as we are here assuming, since R(AT) =1=- IRnthere are non-estimable parametric functions.
Remark 4.2. If"p is estimable it admits infinitely many linear unbiased es-timators. Indeed, since dim N(AT) = m - r > O then the system of equa-tions (9) has infinitely many solutions. It is then very natural the folIowingquestion, among the linear unbiased estimators of"p is there any of minimumvariance? The answer to this question is the Gauss-Markov theorem.
Remark 4.3. Not all of the parameters are estimable. If this should not beso then we would have ei E R(AT) for all i = 1, ... , n, so R(AT) = IRn andthis is not true.
Remark 4.4. Now the (generally inconsistent) system of equations
Ax=t
has infinitely many least-squares solutions. Indeed, the (always consistent)normal equations system
AT Ax = ATt
has infinitely many solutions, since N(AT A) = N(A) =1=- {O}.
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1
lj
Fig. 1: Levelling network
Example 2. In the levelling network that we show in the Figure 1 the com-ponents of the vector x are the heights of the four points whereas the com-ponents of the vector L are the (observable) height differences, so the matrixAis given by
-1 1 O OO -1 1 O
A=-1 O 1 O
O -1 O 1O O -1 11 O O -1
The rank of A is 3, less than the number of pararneters. The nullspace of Ais given by
N(A) = P(l, 1, 1, 1) : x E IR}
and then the orthogonal complement of N(A) is
N(A).L = {(x,y,z,t) E IR4: x+y+z+t = O}.
We may then conclude that in this example a parametric function 'IjJ
tz: aixi is estimable if, and only if,
Let 'IjJ = aT x be an estimable parametric function. Let G be a least-squares generalized inverse of A. We are going to prove that
is the best (minimum variance) linear unbiased estimator (or BLUE) of 'IjJ.
Since GT is a generalized inverse of AT, then
(10)
13
and this proves (according to (9)) that~~ is an unbiased estimator of 'I/J. Inaddition, it is as well to notice that 'I/J does not depend on the choice ofG: indeed, since GT is a minimum-norrn generalized inverse of AT then thevector GTa is the minimum norm solution of the system (9), independentlyof the particular choice of G.
Finally, we have
for all b solution of (9), and this concludes the proof of the following theorerr r ,
Theorem 4.2 (Gauss-Markov). Under the assumptions: E(t) = Ax andEtt = (121, every estimabJe parametric function 'I/J = aT x has a unique un-biased linear estimator 'I/J which has minimum 1}..ariancein the class of allunbiased linear estimators of 'I/J. The estimator 'I/J is given by
where G is any least-squares generalized inverse of A.
According to [3, Section 1.4], for any estimable parametric function 'I/J itsunique minimum-variance unbiased linear estimat~r will be called the least-squares estimator of j and it will be denoted by 'I/J/.
The variance of 'I/J/ can be computed as follows. Let b be any solutionof (9), then
Var(~/) (12IGT al2 = (12bTAGGT ATb= (12bTAG(AG)Tb = (12bTAGb
and if, in particular, G = (AT A)- AT we have
(11)
For the estimation of (12 we have the following resulto
Theorem 4.3. The random variable
&2 = _l_[A(Gt) _ t]T[A(Gt) - t],m-r
(12)
where r = rk(A) and G is any least-squares generalized inverse of A, is anunbiased estimator of (12.
14
E(Tr[(I - AG)ttT]) = Tr[(I - AG)E(ttT)]
Tr[(I - AG)(u2Im + AxxtAT)]
u2(m - rk(AG)) = u2(m - r) ,
Proof. We firstly observe that &2 does not depend on G since AGt is theorthogonal projection of tonto R(A). On the other hand, since 1- AG isidempotent we can write
For the random quadratic form of the right hand member we have
and this concludes the proof. o
5 Weighted least squares
Let N and M be positive definite matrices of order n and m, respectively.In IRn and IRm we then define, respectively, the following inner products:
(Xl,X2)N := xiNX2
and(Yl,y2)M := yiMY2'
The corresponding norms will be denoted, respectively, by IxlN and lylM.Let A E IRmxn; we shall denote by A* the adjoint matrix of A; that is
to sayA* = N-1A™ E IRnxm.
This matrix can also be defined by the relation
(AX,Y)M = (X,A*Y)N
for all x E IRn and y E IRm. The following two propositions are left asexercises to the reader.
PROPOSITION 5.1. Let A E IRmxn. The matrices G sucb that
(i) AGA = A ,
(ii) (AG)* = AG <==> M-l (AG)T M = AG ,
are given by
15
PROPOSITION 5.2. Let A E Rmxn. The matrices G such that
(i) AGA = A ,
(ii) (GA)· = GA {:::::> N-l(GA)TN = GA ,
are given by
For these generalized inverses we have the following geometrical characteri-zations.
Theorem 5.3. Let A E Rmxn. Then,
(i) AGA = A and (AG)· = AG if and only if
AGy = PR(A) (y) , (13)
for all y E Rm •
(ii) AGA = A and (GA)* = GA if and only if
GAx = PN(A)J.(X) , (14)
for all X E Rn•
Proof. (i) Let s, = PR(A)(Y). This vector is characterized by: s- E R(A)and
(y - Yr,AX)M = O,
for all X E Rn. Since AGy E R(A) we only have to show that if AGA = Aand (AG)· = AG then
(y - AGy,Ax)M = O, (15)
for all X E Rn, y E Rm. Since
(1 - AGfMA = MA - (AGfMA = MA - M(AG)A = O
we have (15). Conversely, if for all y E Rm we ha.ve (13) then AGy = y ify E R(A), so G is a generalized inverse ma.trix of A. In a.ddition we have
and thenM (AG) = (AG) TM (AG).
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This shows that M(AG) is symmetric, and this concludes the proof of (i).(ii) The relation (14) holds if and only if: GAx E N(A).L = R(A*) andx - GAx E N(A). The second is clear since G is a generalized inverse of A.As for the first we have
GAx = A*(M-1GT Nx) E R(A*) .
Conversely, if (14) holds then x - GAx = PN(A)(X), so
AGAx= Ax
for all x E rn.n, and hence G is ageneralized inverse of A. In addition, (14)implies GAx E N(A).L, and then
(GAx,x - GAX)N = O
must hold for all x E rn.n• This is equivalent to say
(GAfN(I - GA) = O {:=} (GAfN = (GAfN(GA),
so the matrix (G A) TN is symmetric, and this completes the proof of thistheorem. o
Remark 5.1. Following Rao and Mitra ([2]) we shall call M-least squaresgeneralized inverse matrices of a given matrix A to the matrices G such thatAGA = A and (AG)* = AG. We shall denote any of them by Ai(M)'
Remark 5.2. Following Rao and Mitra ([2]) we shall call minimum N-normgeneralized inverse matrices of a given matrix A to the matrices G such thatAGA = A and (GA)* = GA. We shall denote any of them by A~(N)"
The following important theorem (see [2, Theorem 3.2.4]) provides a dualityrelationship between minimum norm and least-squares generalized inverses.
Theorem 5.4. Let A be a matrix. Then
(A- )T _ (AT)-I(M) - m(M-l)
Remark 5.3. In words of C.R.Rao and S.K.Mitra (see [2, p.50]), this theo-rem "... is significant in two ways. First, it shows that the computation 01a least-squares inverse can be made to depend on that 01 a minimum norminverse and vice versa. Second, it provides a direct demonstration 01 theminimum variance property 01 estimators obtained by least-squares theoryand shows how the method 01 leost-squares comes in a natural way in com-puting mínimum variance estimators ... ",
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Theorem 5.5. The matrix
is the unique G matrix such that
(i) AGA = A ,
(ii) GAG = G ,
(iii) (AG)* = AG, and
(iv) (GA)* = GA.
Proof. It is straightforward to prove that AtM satisfies these four condi-tions. Conversely, Jet G be a matrix satisfying (0-(iv). We define G =N1/2G M-1/2 and A = M1/2 AN-1/2• The matrix G is the pseudoinverse of- +A and then G = ANM. o
6 Gauss-Markov theorem: general case
In the model (7) now we shall assume that
~l/ = G5P-1
where P (the weight matrix) is positive definite and G5 (the variance of unitweight) is unknown.
Let 1/J = aTx be an estimable parametric function, and let bT t be anyunbiased estimator of 1/J (so b is any solution of the system (9)). We have
Var(bTt) = G5bTp-lb = Ibl~_l.
We then see that in order to find the BLUE of 1/J we must find the solutionof (9) with minimum p-l-norm. According to Theorem 5.4 this can beachived by means of any P-least squares inverse of A: indeed, the minimump-1-norm solution of (9) is given by
( )- ()TAT a = A- am(P-l) /(P)
and then~ T-
1/J := a A/(p) t
is the best (minimum variance) linear unbiased estimator of 1/J. We havejust proved the following theorem.
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Theorem 6.1 (Gauss-Markov:general case). Under the assumptions:
• E(t) = Ax,
" 2p-l• L.Jtt = 0'0 ,
every estimable parametric function 'IjJ= aT x has a unique unbiased linearestimator;¡; which has minimu'm~variance in the class of all unbiased linearestimators of 'IjJ. The estimator 'IjJis given by
where G is any P-least squares inverse of A.
For any estimable parametric function 'IjJits unique minimum-varianceunbiased linear estimator ~ill be called the P-least squares estimator of 'IjJand it will be denot:d by 'IjJ¡(P).
The variance of 'IjJ¡(P) can be computed as follows. Let b be any solutionof (9), then
0'51GTal~-l = 0'5bT AGP-1GT ATb
0'5bT AGP-l(AGfb = 0'5bT AGP-1b
and if, in particular, G = (ATpA)- ATp we have
~ 2 T TVar('IjJ¡(p)) = O'oa (A PA)-a.
For the estimation of 0'5 we have the following resulto
Theorem 6.2. The random variable
(16)
175 = _l_[A(Gt) - tfP[A(Gt) - t],m-r
(17)
uihere r = rk(A) and G is any P-least squares inverse of A, is an unbiasedestimator of 0'6.Proo]. We firstly observe that 176 does not depend on G since AGt is theorthogonal projection (under the P-norm) of tonto R(A). We define thefollowing random variable:
V := (AG - I)t .
We notice that E(v) = O. In addition, after some computations we get
19
Then we have
E(Tr[PvvT)) = Tr[PI:",,]
0'5(m - rk(AG)) = a5(m - r) ,
and this concludes the proof. o
References
[1] D.Kalman, A singularly oaluable descomposition: the SVD o/ a matrix,The College Mathematics Journal, 27, 1996, 2-23.
[2] C.R.Rao and S.K.Mitra, Generalized inverse o/ matrices and its appli-cations, John Wiley and Sons, New York 1971.
[3] H.Scheffé, The analysis o/ variance, John Wiley and Sons, New York1959.
[4] S.R.Searle, Linear models, John Wiley and Sons, New York 1971.
[5] M.J .Sevilla, Formulación de modelos matemáticos en la compensaciónde redes geodésicas, Publicaciones del Instituto de Astronomía y Geode-sia (UCM-CSIC), #148, Madrid 1987.
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PUBLICACIONES DEL INSTITUTO DE ASTRONOMIA y GEODESIADE LA UNIVERSIDAD COMPLUTENSE - MADRID
(Antes Seminario de Astronomía y Geodesia)
l.-Efemérides de 63 Asteroides para la oposición de 1950 (1949).2.-E. PAJARES:Sobre el cálculo gráfico de valores medios (1949).3.-J. PENSADO:Órbita del sistema visual a' U Maj (1950).4.-Efemérides de 79 Asteroides para la oposición de 1951 (1950).5.-J. M. TORROJA:Corrección de la órbita del Asteroide 1395 "Aribeda" (1950).6.-R. CARRASCOy J. M. TORROJA:Rectificación de la órbita del Asteroide 1371 "Resi"
(1971).7.-J. M. TORROJAy R. CARRASCO:Rectificación de la órbita del Asteroide 1560 (1942 XB)
y efemérides para la oposición de 1951 (1951).8.-M. L. SlEGRIST:Orbita provisional del sistema visual 2728-32 Orionis (1951).9.-Efemérides de 79 Asteroides para la oposición de 1952 (1951).
10.-J. PENSADO:Órbita provisional de 21883 (1951).11.-M. L. SlEGRIST:Orbita provisional del sistema visual 22052 (1952).12.-Efemérides de 88 Asteroides para la oposición de 1953 (1952).13.-J. PENSADO:Orbita de ADS. 9380 = 2 1879 (1952).14.-F. ALCÁZAR:Aplicaciones del Radar a la Geodesia (1952).15.-J. PENSADO:Orbita de ADS 11897 = 22438 (1952).16.-B. RODRÍGUEZ-SALlNAS:Sobre varias formas de proceder en la determinación de perío-
dos de las marcas y predicción de las mismas en un cierto lugar (1952).l7.-R. CARRASCOy M. PASCUAL:Rectificación de la órbita del Asteroide 1528 "Conrada"
(1953).18.-J. M. GONZÁLEz-ABOIN:Orbita de ADS 1709 = 2228 (1953).19.-J. BALTÁ: Recientes progresos en Radioastronomía. Radiación solar hiperfrecuente
(1953).20.-J. M. TORROJAy A. VÉLEZ: Corrección de la órbita del Asteroide 1452 (1938 DZ,)
(1953).21.-J. M. TORROJA:Cálculo con Cracovianos (1953).22.-S. AREND:Los polinomios ortogonales y su aplicación en la representación matemática
de fenómenos experimentales (1953).23.-J. M. TORROJAy V. BONGERA:Determinación de los instantes de los contactos en el
eclipse total de Sol de 25 de febrero de 1952 en Cogo (Guinea Española) (1954).24.-J. PENSADO:Orbita de la estrella doble 2 2 (1954).25.-J. M. TORROJA:Nueva órbita del Asteroide 1420 "Radclíffe" (1954).26.-1. M. TORROJA:Nueva órbita del Asteroide 1557 (1942 AD) (1954).27.-R. CARRASCOy M. L. SIEGRIST:Rectificación de la órbita del Asteroide 1290 "Alber-
tine" (1954).28.-J. PENSADO:Distribución de los periodos y excentricidades y relación periodo-excen-
tricidad en las binarias visuales (1955).29.-J. M. GONZÁLEZ-ABOIN:Nueva órbita del Asteroide 1372 "Harernari" (1955).30.-M. DE PASCUAL:Rectificación de la órbita del Asteroide 1547 (1929 CZ) (1955).31.-J. ~. TORROJA:Orbita del Asteroide 1554 "Yugoslavia" (1955).32.-J. PENSADO:Nueva órbita del Asteroide 1401 "Lavonne" (1956).33.-J. M. TORROJA:Nuevos métodos astronómicos en el estudio de la figura de la Tierra
(1956).34.-D. CALVO:Rectificación de la órbita del Asteroide 1466 "Mündleira" (195{í).35.-M. L. SIEGRIST:Rectificación de la órbita del Asteroide 1238 "Predappia" (1956).
36.-J. PENSADO:Distribución de las inclinaciones y de los polos de las órbitas de las es-trellas dobles visuales (1956).
37.-1. M. TORROJAy V. BONGERA:Resultados de la observación del eclipse total de Solde 30 de junio de 1954 en Sydkoster (Suecia) (1957).
38.--ST. WIERZBINSKI: Solution des équations normales par I'algorithrne des cracoviens(1958).
39.-J. M. GONZÁLEZ-ABOIN:Rectificación de la órbita del Asteroide 1192 "Prisma" (1958).40.-M. LóPEZ ARROYO: Sobre la distribución en longitud heliográfica de las manchas so-
lares (1958).4 l.-F. MÚGlCA: Sobre la ecuación de Laplace (1958).42.-F. MARTÍN ASÍN: Un estudio estadístico sobre las coordenadas de los vértices de la
triangulación de primer orden española (1958).43.--ST. WIERZBINSKI: Orbite améliorée de h 4530 = Y Cen = Cpd -48', 4965 (1958).44.-D. CALVOBARRENA:Rectificación de la órbita del Asteroide 1164 "Kobolda" (1958).45.-M. LóPEZ ARROYo: El ciclo largo de la actividad solar (1959).46.-F. MÚGlCA: Un nuevo método para la determinación de la latitud (1959).47.-J. M. TORROJA: La observación del eclipse de 2 de octubre de 1959 desde El Aaiun
(Sanara) (1960).48.-J. M. TORROJA,P. JIMÉNEZ-LANDly M. SaLÍs: Estudio de la polarización de la luz de
la corona solar durante el eclipse total de Sol del día 2 de octubre de 1959 (1960).49.-E. PAJARES: Sobre el mecanismo diferencial de un celóstato (1960).50.-J. M. GONZÁLEZ-ABOIN:Sobre la diferencia entre los radios vectores del elipsoide in-
ternacional y el esferoide de nivel (1960).51.-J. M. TORROJA: Resultado de las observaciones del paso de Mercurio por delante del
disco solar del 7 de noviembre de 1960 efectuadas en los observatorios españoles (1961).52.-F. MÚGICA:Determinación de la latitud por el método de los verticales simétricos (1961).53.-M. LÓPEZ ARROYO: La evolución del área de las manchas solares (1962).54.-F. MÚGICA: Determinación simultánea e independiente de la latitud y longitud me-
diante verticales simétricos (1962).55.-P. DÍEZ-PICAZO: Elementos de la órbita de la variable eclipsante V 499 Scorpionis
(1964).56.-J. M. TORROJA: Los Observatorios Astronómicos en la era espacial (1965).57.-F. MARTÍN ASÍN: Nueva aportación al estudio de la red geodésica de primer orden
española y su comparación con la red compensada del sistema europeo (1966).51l.-F. SÁNCHEZMARTÍNEZ: La Luz Zodiacal. Luz del espacio interplanetario (1966).59.-J. M. GONZÁLEZ-ABOíN:Variaciones de las coordenadas geodésicas de los vértices de
una red, por cambio de elipsoide de referencia (1966).60.-F. SÁNCHEZMARTÍNEZy R. DUMoNT: Fotometría absoluta de la raya verde y del con-
tinuo atmosférico en el Observatorio Astronómico del Teide (Tenerife), de enero de1964 a julio de 1965 (1967).
ól.-M. REGO: Estudio del espectro de la estrella 31 Aql. en la región U 4000-6600 A (1969).62.-C. MACHÍN: Mareas terrestres (1969).63.-J. M. TORROJA: La estación para la observación de satélites geodésicos de la facultad
de Ciencias de la Universidad de Madrid (1969).64.-M. J. SEVILLA: Reducción automática de posiciones de estrellas (1970).65.-J. M. TORROJA: Memoria de las actividades del Seminario de Astronomía v Geodesia
de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Madrid en 1969 (1970).66.-M. 1. SEVILLA: Los cálculos de estación en triangulación espacial (1970).67.-MANUEL E. REGo: Determinación de las abundancias de los elementos en id atrnós-
fera de la estrella de alta velocidad 31 AqI. (1970).68.-M. J. FERNÁNDEZ-FIGUEROA:Análisis cualitativo del espectro de la estrella peculiar
HD 18474 (1971).69.-1. M. TORROJA: Memoria de las actividades del Seminario de Astronomía y Geodesia
de la Universidad Complutense de Madrid en 1970 (1971).
70.-R. VIEIRA Y R. ORTIZ: Descripción de un aparato para medida de coordenadas (1971).71.-1. M. TORR01A: Memoria de las actividades del Seminario de Astronomía y Geodesia
de la Universidad Complutense de Madrid en 1971 (1972).72.-M. J. FERNÁNDEZ-FIGUEROA:Observación y estudio te6rico del espectro de la estrella
peculiar HD 18474 (1972).73.-M. J. SEVILLA: Cálculo de las constantes de distorsión y parámetros del disco obtu-
rador para cámaras balísticas (1973).74.-R. PARRA Y M. 1. SEVILLA: Cálculo de efemérides y previsiones de pasos de satélites
geodésicos (1973).75.-M. REGO y M. J. FERNÁNDEZ-FIGUEROA:Resultado de las observaciones de IX Peg
efectuadas desde el satélite europeo TDI (1973).76.-E. SIMONNEAU:Problemas en la determinación de abundancias de elementos en las
estrellas en condiciones de equilibrio termodinámico local y alejadas del equilibriotermodinámico local (1974).
77.-1. ARANDA:Construcción de modelos de estructura interna para estrellas en la secuen-cia principal inicial (1974).
78.-R. ORTIZ, M. J. SEVILLAy R. VIEIRA: Estudio de la calibración, técnica de medida yautomatízación de datos en un comparador para medidas de placas estelares (974).
79.-M. J. SEVILLA: Método autocorrector para el cálculo de direcciones de satélites geo-désicos y análisis de los errores en la restitución de un arco de órbita (1974).
80.-M. A. Acosrx, R. ORTIZ y R. VIEIRA: Diseño y construcción de un fotómetro foto-eléctrico para la observación de ocultaciones de estrellas por la Luna (1974).
8 l.-T. J. VIVES, C. MORALES, J. GARciA-PELAYOy J. BARBERO: Fotometría fotográficaUBV del cúmulo galáctico King 19 (1974).
82.-R. ORTIZ Y R. VIEIRA: Control automático en posición y tiempo de los sistemas deobturación de las cámaras de observación de satélites geodésicos (1974).
83.-1. M. TORROIA: Memoria de las actividades del Seminario de Astronomía y Geode-sia de la Universidad Complutense de Madrid en 1972 y 1973 (1974).
84.-M. J. FERNÁNDEZ-FIGUEROAy M. REGO: a CrB en el ultravioleta lejano (1975).85.-J. M. TORR01A, R. VIEIRA, R. ORTIZ Y M. J. SEVILLA: Estudio de mareas terrestres
en España (1975).86.-M. J. SEVILLAY R. PARRA: Levantamiento gravimétrico de Lanzarote (1975).87.-P. KUNDANMALSUKHWANI:Modelos teóricos de curvas de luz. Su aplicación al siste-
ma {J Lyrae (1975).88.-M. J. SEVILLA: Coordenadas astronómicas y geodésicas. Desviación relativa de la ver-
tical (1975).89.-C. TEJEDOR: Fotometría fotoeléctrica R. G. U. del cúmulo galáctico IC 2581 (1976).90.-M. J. SEVILLA: Nuevos coeficientes para la reducción automática de posiciones de
estrellas (1976).91.-M. REGO: Técnicas observacionales en espectroscopía astrofísica (1976).92.-M. J. SEVILLA: Determinación de la latitud por distancias cenitales de la polar, mé-
todo de Littrow (1976).93.-T. J. VIVES: Determinación fotométrica del tipo espectral de la componente desco-
nocida de una estrella binaria eclipsante (1976).94.-M. REGO y M. J. FERNÁNDEZ-FIGUEROA:Contraste y determinación por métodos astro-
físicos de fuerzas de oscilador (1977).95.-M. J. SEVILLAY R. CHUECA: Determinación de acimutes por observación de la Polar.
Método micrométrico (1977).96.-JosÉ M. GARciA-PELAYO: Fotometría R G U en un campo del anticentro galáctico,
cerca del NGC 581 (1977).97.-JosÉ M. GARCÍA-PELAYo:Datos fotométricos de 2.445 estrellas estudiadas en la región
de Casiopea, entre los cúmulos abiertos Trumpler 1 y NGC 581 (1977).98.-PREM K. SUKHWANIy RICARDOVIEIRA: Spectral Analysis of Earth Tides (1977).99.-JosÉ M. TORROIAy RICARDOVIEIRA: Earth Tides in Spain. Preliminary results (1977).
lOO.-PREM K. SmrnWANI y RICARDOVIEIRA: Three different methods for taking in accountthe gaps in spectral analysis of Earth Tides records (1978).
10l.-R. VIEIRA: Mareas terrestres (1978).102.-M. J. SEVILLAY A. NÚÑEZ: Determinación de la longitud por el método de Mayer.
Programas de cálculo automático (1979).103.-M. 1. SEVILLAY A. NÚÑEZ: Determinación de la latitud por el método de Sterneck.
Programas de cálculo automático (1979).104.-M. J. SEVILLA:Determinación de la latitud y la longitud por el método de alturas
iguales. Programas de cálculo automático (1979).105.-P. K. SmrnWANI y A. GIMÉNEZ: Corrección de efectos atmosféricos para imágenes
tomadas desde satélites Landsat (1979).106.-M. T. SEVILLA:Inversión de Matrices Simétricas en el método de mínimos cuadrados
(1979).107.-A. GIMÉNEZ:Análisis de la curva de luz del sistema binario eclipsan te S Velorum (979).108.-M. J. SEVILLA:Determinación del acimut de una referencia por observación de la es-
trella polar. Programa de cálculo automático (1979).109.-M. J. SEVILLA:El sistema IAV (1976) de constantes astronómicas y su repercusión
en la reducción de posiciones de estrellas (Primera parte) (1980).110.-M. J. SEVILLAY R. PARRA:Determinación de la latitud por el método de Horrebow-
Talcott. Programas de Cálculo Automático (1980).11l.-M . J. SEVILLA: Determinación de la latitud y la longitud por fotografías cenitales
de estrellas (1980).112.-R. VIEIRA Y M. OREJANA:Comunicaciones presentadas en las XLI y XLII Jornadas
del Grupo de Trabajo de Geodinámica del Consejo de Europa. Luxemburgo (1979-80).113.-M. J. SEVILLA:Sobre un método de cálculo para la resolución de los problemas geo-
désicos directo e inverso (1981).114.-R. VIEIRA, 1. M. TORROJA,C. TORO, F. LAMBAS,M. OREJANAV P. K. SUKHWANI:
Comunicaciones presentadas en el IX Symposium Internacional de Mareas Terrestres.Nueva York (1981).
lI5.-M. A. MONTULL,M. J. SEVILLAV A. GONZÁLEZ-CAMACHO:Aplicación de la V. L. B. 1.al estudio del movimiento del Polo (1981).
lI6.-A. GONZÁLEz-CAMACHOy M. J. SEVILLA:Algunas relaciones entre diferentes ejes quese consideran en la rotación de la Tierra (1981).
117.-R. VIEIRA,.F. LAMBASy E. GIMÉNEZ:Modificaciones realizadas en un gravímetroLaCoste Romberg modo G para su utilización en registro continuo de la gravedad (1981).
lI8.-R. VIEIRA: La microrred de mareas gravimétricas del Sistema Central (1981).119.-J. M. TORROJAy R. VIEIRA: Informe sobre el desarrollo del programa de investiga-
ción sobre mareas terrestres en el último bienio (1981).120.-F. LAMBASy R. VIEIRA: Descripción, estudio de la precisión y aplicaciones geodésicas
y geofísicas de los nuevos niveles de lectura electrónica (1981).12l.-M. J. SEVILLA:Programación del método de la cuerda (1981).122.-J. M. TORROJA:Historia de la Ciencia Arabe. Los Sistemas Astronómicos (1981).123.-M. J. SEVILLAY R. VIEIRA: Comunicaciones presentadas en la Sesión Científica de
la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, celebrada el día 13 deenero de 1982 (1982).
124.-M. J. SEVILLAY P. ROMERO:Aplicación del método de colocación a la reducción deplacas fotográficas de estrellas (1982).
125.-M. J. SEVILLAY A. G. CAMACHO:Deformación rotacional de una tierra elástica (1982).126.-M. J. SEVILLAY P. ROMERO:Obtención de las medidas de la precisión en la determi-
nación de la latitud y la longitud por fotografías cenitales de estrellas (1982).127.-M. J. SEVILLA,A. G. CAMACHOy P, ROMERO:Comunicaciones presentadas en la
IV Asamblea Nacional de Astronomía y Astrofísica. Santiago de Compostela (1983).128.-M. J. SEVILLA:El sistema IAV (1976) de constantes astronómicas y su repercusión
en la reducción de posiciones de estrellas (Segunda parte) (1983).129.--M. J. SEVILLA:Geodesia por .satélites y navegación (1983).l30.-L. GARCÍAASENSIO,A. G. CAMACHO,P. ROMEROY M. J. SEVILLA:Comunicaciones
presentadas en la V Asamblea Nacional de Geodesia y Geofísica (1983).
13l.-M. J. SEVILLA: Anomalías de la gravedad basadas en el sistema geodésico de refe-rencia 1980 (1983).
132.-J. M. TORROJA: Historia de la Física hasta el siglo XIX. La Mecánica Celeste (1983).133.-A. G. CAMACHOy M. J. SEVILLA:The Molodensky Problem for an homogeneous liquid
core (1984).134.-J. M. TORROJA: La obra astronómica de Alfonso X El Sabio (1984).135.-H. MORITZ: Sistemas de referencia en Geodesia (1984).136.-H. MORITZ: Rotación de la Tierra (1984).137.-A. G. CAMACHOy M. 1. SEVILLA: Autofrecuencias del movimiento del Polo para un
modelo de Tierra de tipo Jeffreys Molodensky (1984).138.-1. M. TORROJA: Nuevas definiciones en el problema de la medida del tiempo (1984).139.-M. J. SEVILLA: Astronomía Geodésica (1984).140.-M. J. SEVILLAy M. D. MARTÍN: Diseño de una Microrred en la Caldera del Teide
para el estudio de deformaciones de la corteza en la zona (1986).14l.-R. VIEIRA, C. DE TORO Y V. ARAÑA: Estudio Microgravimétrico en la Caldera del
Teide (1986).142.-M. J. SEVILLA,M. D. MARTINY A. G. CAMACHO:Análisis de Datos y Compensación
de la primera campaña de observaciones en la Caldera del Teide (1986).143.-M. J. SEVILLAY P. ROMERO: Hamiltonian Formulation of the polar motion for an
elastic earth's model (1986).144.-P. ROMEROY M. 1. SEVILLA: The Sasao-Okubo-Saito equations by Hamilton Theory.
First Results (1986).145.-R. VIEIRA, M. J. SEVILLA,A. G. CAMACHOy M. D. MARTÍN: Geodesia de precisión
aplicada al control de movimientos y deformaciones en la Caldera del Teide (1986).146.-R. VIEIRA, J. M. TORROJA, C. DE TORO, B. DUCARME,J. KAARIAINEN,E. MEGÍAS y
1. FERNÁNDEZ:Comunicaciones presentadas en el X Symposium Internacional de Ma-reas Terrestres. Madrid, 1985 (1986).
147.-M. J. SEVILLA,A. G. CAMACHOy P. ROMERO: Comunicaciones presentadas en el XSymposium Internacional de Mareas Terrestres. Madrid, 1985 (1986).
148.-M. J. SEVILLA: Formulación de modelos matemáticos en la compensación de redesGeodésicas: III Curso de Geodesia Superior (1986).
149.-H. LINKWITz: Compensación de grandes redes geodésicas: lIT Curso de Geodesia Su-perior (1986).
150.-H. HENNEBERG:Redes geodésicas de alta precisión: 1lI Curso de Geodesia Superior(1986).
15l.-M. 1. SEVILLA: Cartografía Matemática (1986).152.-P. ROMERO Y M. J. SEVILLA:Tratamiento Canónico del problema de Poincare. Mo-
vimiento del Polo. (1986)153.-A. G. CAMACHOy M. D. MARTIN: Constreñimientos internos en la compensación de
Estaciones. (1986)154.-J. OTERO: An Approach to the Scalar Boundary Value Problem of Physical Geodesy
by Means of Nash-Horrnander Theorem. (1987)155.-M. J. SEVILLA:Introducción al Problema Clásico de Molodensky. (1987)156.-F. SANSÓ:Problemas de Contorno de la Geodesía Física. (1987)157.-M. J. SEVILLA:Colocación mínimos cuadrados. (1987)158.-L. MUSSIO: Estrategias del Método de colocación. Ejemplos de aplicación. (1987)159.-M. J. SEVILLA,P. Muñoz, J. VELASCOy P. ROMERO: Calibración de un Distanciómetro
de infrarrojos en una Base Interferométrica (1987).160.-A. RIUS, J. RODRÍGUEZ,M. J. SEVILLA,R. VIEIRA, J. FERNÁNDEZ,C. DE TORO,A. G. CA-
MACHOy V. ARAÑA: Comunicaciones presentadas en la Sesión Científica de la RealAcademia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, celebrada el día 4 de mayo de 1988(1988).
161.-R. VIEIRA, A. G. CAMACHOY C. DE TORO: Cálculo de la Corrección de Marea en laPenínsula Ibérica (1988).
(continúa en la cuarta de cubierta)
162.-A. G. CAMACHO, R. VIEIRA, C. DE TORO Y J. FERNÁNDEZ: Estudio Gravimétrico dela Caldera del Teide (1988).
163.-A. J. GIL, M. J. SEVILLA, G. RODRfGUEZ y J. OTERO: Aplicaciones de la colocacióny Estudios del Geoide (1988).
IM.-R. VIEIRA, J. FERNÁNDEZ, C. DE TORO, A. G. CAMACHO y M. V. RUYMBEKE: Investí-gaciones Geodinámicas en la Isla de Lanzarote (1988).
16s.-M. J. SEVILLA, P. ROMERO, A. NÚÑEZ y B. BADA: Compensaciones y resultados (1988).l66.-R. VIEIRA, C. DE TORO Y A. G. CAMACHO: Investigaciones en mareas (1988).167.-A. NÚÑEZ, M. J. SEVILLA Y J. M. AGRIA: Determinación Astrogeodésica del Geoide
en Portugal (1988).168.-M. J. SEVILLA Y P. ROMERO: Pre-Processing Geodetic Data of the Volcanic area of
Teide to monitoring deformations (1988).169.-M. J. SEVILLA Y A. J. GIL: Fórmulas diferenciales para los problemas Geodésicos
directo e inverso en el método de la cuerda (1988).170.-Zd. SIMÓN, V. STANCHEV, C. DE TORO, A. P. VENEDIKOV y R. VIEIRA: Relation between
earth tide observations and some other data (1988).171.-1. OTERO: On the Global Solvability of the fixed gravimetric boundary value problem
(1989).172.-R. VIEIRA, J. FERNÁNDEZ, C. DE TORO Y A. G. CAMACHO: Comunicaciones presentadas
en el XI Intemational Symposium on earth tides. Helsinki (1989).173.-A. Rrus y C. JACOBS: Precise V.L.B.I. surveying at the Madrid DSCC (1989).174. J. OTERO Y M. J. SEVILLA: Modelo matemático para el ajuste simultáneo mínimos cua-
drados de un bloque fotogramétrico (1989).17s.-F. SACERDOTE: I Problemi sopradeterminati in Geodesia Fisica e Il Problema dell'AI-
timetria-Gravimetria (1989).176.-M. J. SEVILLA: Soluciones progresivas en el método de Mínimos Cuadrados (1989).177.-M. J. SEVILLA Y P. ROMERO: Compensación de Redes de Nivelación Trigonométrica
(1989).178.-J. OTERO Y M. J. SEVILLA: On the optimal choice of the standard parallels for a con-
formal conical projection (1990).179.-R. VIEIRA, J. FERNÁNDEZ, M. VAN RUYMBEKE, A. G. CAMACHO, J. ARNOSO y C. TORO:
Geodynamic Research in Lanzarote (Canary Islands) (1990).180.-M. J. SEVILLA, A. GIL Y P. ROMERO: Adjustment of the first order gravity net in rhe
Iberian Peninsula (1990).181.-R. VIEIRA, J. MAKINEN, A. G. CAMACHO y M. J. SEVILLA: Observaciones absolutas de
la gravedad en España (1991).182.-M. J. SEVILLA: Criterios de precisión cartográfica (1991).183.-A. P. VENEDIKOV, R. VIEIRA Y C. DE TORO: A new method for earth ti de analysis (1992).184.-M. J. SEVILLA: Mare Nostrum. Geomed Report-2 (1992).18s.-E. SARDON, A. Rrus y N. ZARRADA: GPS Inospheric Delays (1993).186.-M. J. SEVILLA: Teoría de Errores de observación (1993).187. - C. DE TORO, A. P. VENEDlKOVy R. VIEIRA: A New Method for Earth Tide Data Analysis
(1993).188. - M. J. S.VILLA: Análisis de Observaciones Gravimétricas y Calculo de Anomalías (1994)189. - A. P. VENEDlKOV,R. VIEIRA, C. DI! TORO Y J. Arnoso: A New Program Developed in Ma-
drid Cor Tidal Data Processing (1995).190. - J. L. VALBUENA,M." DOLoKEs VARA, M." LUISASORIANO,GUADALUPERODRIGUBZy M. J. SIIVILLA:
Instrumentación y Metodulogía empleadas en las Técnicas A1timétricas Clásicas (1996).
191. - JOS8 FERNINDRz, TING-To Yu, AND JOUN B. RUNDLR: Displacement and Gravity Changesdue to Different Sources in Layered Media (1997).
Deposito Legal: M. Sep. 894·1958ISSN: 0213 . 6198 Realigra], S. A. Pedro Tezano, 26. 28039 Madrid
