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INSTITUTO FEDERAL
DE BRASILIA
3ª Lista
MATEMÁTICA
GEOMETRIA ANALÍTICA
GABARITO DATA: 14/09/2016
1) No plano cartesiano, 0xy, a circunferência C tem centro no ponto P (2, 1), e a reta t é tangente a C no
ponto Q ( 1, 5).
a) Determine o raio da circunferência C.
b) Encontre uma equação para a reta t.
c) Calcule a área do triângulo PQR, sendo R o ponto de interseção de t com o eixo 0x.
a) Como Q é tangente à circunferência C, então o segmento PQ é igual ao raio. Logo:
2 2
r 2 ( 1) 1 5 9 16 25 r 5
b) Como t é tangente à circunferência em Q, sabe-se então que t é perpendicular ao segmento PQ.
Assim, os coeficientes angulares da reta t e do segmento PQ tem a seguinte relação:
tPQ
PQ PQ t
1
5 1 4 3
1 2 3 4
αα
α α α
Assim, a reta t é dada pela equação
3
reta t y 5 x 1 3x 4y 23 04
c) Se o ponto R intercepta o eixo x, então suas coordenadas são do tipo (a, 0). Para encontrar o valor de
a, basta substituir na equação da reta:
23 233a 23 0 a R ,033
Assim, a área S do triângulo PQR pode ser escrita como:
2 1 11 1 23 115 1 125 125
S 1 5 1 10 1 S2 2 3 3 2 3 6
23 0 13
2
2) Uma empresa oferece frete gratuito para entregas do seu produto em um raio de até 25 km do depósito.
Para a distância que ultrapassar 25 km, medida em linha reta desde o depósito, a empresa cobra R$ 20,00
por quilômetro que ultrapasse os 25 km iniciais gratuitos. Essa cobrança também é feita de forma
proporcional em caso de frações de quilômetros.
Um consumidor do produto reside 20 km a leste do depósito e x km ao sul. Apresente uma figura
representando a situação descrita e determine o valor máximo de x para que esse consumidor tenha direito
ao frete gratuito na entrega do produto em sua residência. Em seguida, determine o custo do frete C (em
reais), em função de x, para o caso em que C(x) 0.
Considere a figura, em que N denota Norte e L denota Leste.
A região para a qual o consumidor tem direito ao frete gratuito corresponde a um disco de raio 25km
centrado na origem (depósito), isto é, 2 2 2 2 2X Y 25 X Y 625.
Em consequência, para X 20km, tem-se que 2 220 Y 625 Y 15km.
Assim, o valor máximo de x para que esse consumidor tenha direito ao frete gratuito na entrega do produto
em sua residência é igual a 15km.
Por outro lado, sabendo que o consumidor mora no ponto (20, x), e que a distância desse ponto ao
depósito é dada por 2400 x , segue que a resposta é
2C(x) 20 ( 400 x 25),
com x 15km.
3
3) Considere a circunferência que passa pelos pontos (0, 0), (0, 6) e (4, 0) em um sistema de coordenadas
cartesianas ortogonais. Sabendo que os pontos (0, 6) e (4, 0) pertencem a uma reta que passa pelo centro
dessa circunferência, qual a equação das retas tangentes a essa circunferência, que passam pelo ponto (3, 2),
Centro da circunferência (ponto médio do diâmetro).
0 4 6 0
C , C 2,32 2
Cálculo do raio da circunferência.
2 2(4 0) (6 0) 2 13r 13
2 2
Equação da reta tangente à circunferência.
y 2 m x 3 mx y 3m 2 0
Sabendo que a distância do centro à reta tangente é o raio, podemos escrever:
2 2 2 2
2
2m 3 3m 213 ( m 5) 13 m 1 12m 10m 12 0 6m 5m 6 0
m 1
Resolvendo a equação do segundo grau, obtemos:
5 169 3 2m m ou m
2 6 2 3
Se 3
m2
a equação da reta será dada por 3
y 2 (x 3) 3x 2y 13 02
Se 2
m3
a equação da reta será dada por 2
y 2 (x 3) 2x 3y 03
4
4) A circunferência definida pela equação 2 2x y 6x 2y 6 está inscrita em um quadrado. Calcule a
medida da diagonal desse quadrado.
2 2 2 2 2 2x y 6x 2y 6 x 6x 9 y 2y 1 6 1 9 (x 3) (y 1) 16
Portanto, o centro da circunferência será o ponto (3, 1) e o raio será 4.
Considerando o quadrado a seguir circunscrito nessa circunferência de raio 4cm.
Portanto, a 2 4 8cm
E a diagonal d do quadrado será dada por: d a 2 8 2
5) Se P e Q são pontos que pertencem à circunferência 2 2x y 4 e à reta y 2(1 x), então calcule o valor
do cosseno do ângulo POQ .
Considerando que O é o centro da circunferência, iremos determinar os pontos P e Q através da
resolução do seguinte sistema: 2 2x y 4
y 2 (1 x)
Substituindo a segunda equação na primeira temos:
22 2 2 2 8
x 2 (1 x) 4 x 4 (1 2x x ) 4 5x 8x 0 x 0 ou x 5
Se x 0, então y 2 Se 8
x ,5
então 6
y5
Portanto, os pontos pedidos são P(0, 2) e 8 6
Q , .5 5
Temos, então, a seguinte figura:
No triângulo OQM, temos:
635cos
2 5α . Portanto,
3cos 180 .
5α
5
6) Uma reta r de equação ax by c 0 tangencia a circunferência β de equação 2 2x y 2x 6y 8 0 no
ponto P ( 2, 0). Qual é o valor de a b c?
Sendo as coordenadas do centro da circunferência C( , ),α β pode-se escrever:
2 2
2 2
x y 2x 6y 8 0
Ax By Cxy Dx Ey F 0
D 21
2 2C( , ) C(1,3)
E 63
2 2
α α
α β
β β
Assim, pode-se desenhar os gráficos das funções:
Pode-se escrever: 2 2h m n 2 2 n n 2 Q(0, 2)
Logo, a reta r será do tipo: y x 2 x y 2 0
Portanto, a b c 4.
6
7) Na figura tem-se a representação de ,λ circunferência de centro C e tangente aos eixos coordenados nos
pontos A e B.
Se a equação de λ é 2 2x y 8x 8y 16 0, então qual a área da região hachurada, em unidades de
superfície?
Determinando o centro e o raio da circunferência. 2 2 2 2 2 2 2x y 8x 8y 16 0 x 8x 16 y 8y 16 16 (x 4) (y 4) 4
O centro é o ponto (4, 4) e o raio mede 4.
Calculando a área do setor de 90 do círculo determinado por esta circunferência, temos: 2
S4
A 44
ππ
Calculando, agora, a área do triângulo ABC.
ABC4 4
A 82
Δ
Portanto, a área do segmento circular pedida é:
S ABCA A A A 4 8 A 4 2Δ π π
7
8) A circunferência de centro (8, 4) que tangencia externamente a circunferência 2 2x y 4x 8y 16 possui
qual medida de raio?
Desenvolvendo a equação: 2 2 2 2 2 2x y 4x 8y 16 0 x 4x 4 y 8y 16 16 16 4 (x 2) (x 4) 36, temos então
uma circunferência de centro C(2, 4) e raio R 6.
O raio r será a diferença entre a distância entre os centros P(8, 4) e C(2, 4) e o raio R 6.
Portanto,
(PC)
2 2
r d R
r (8 2) (4 ( 4)) 6
r 4
9) Uma arruela, que é um disco fino com furo circular interno, tem suas dimensões projetadas sobre um
sistema de coordenadas cartesianas. A equação da circunferência externa é obtida e tem a forma 2 2x y 8x 8y 7 0. A distância da circunferência interna para a externa é de 2,5 cm. O furo interno,
que está no meio da arruela, tem qual área?
Determinando o raio de medida R da circunferência externa, temos: 2 2 2 2 2 2x y 8x 8y 7 0 x 8x 16 y 8y 16 7 16 16 (x 4) (y 4) 25
Portanto, o raio da circunferência externa é R 25 5.
Logo, o raio da circunferência interna é 5
5 2,5 2,5 .2
A área do furo interno será dada por: 2
25 25A cm
2 4
ππ
8
10) A circunferência C tem equação 2 2x y 16. Seja C' uma circunferência de raio 1 que se desloca
tangenciando internamente a circunferência C, sem escorregamento entre os pontos de contato, ou seja, C'
rola internamente sobre C.
Define-se o ponto P sobre C' de forma que no início do movimento de C' o ponto P coincide com o ponto de
tangência (4,0), conforme figura a. Após certo deslocamento, o ângulo de entre o eixo x e a reta que une o
centro das circunferências é ,α conforme figura b.
a) Determine as coordenadas do ponto P marcado sobre C' em função do ângulo .α
b) Determine a equação em coordenadas cartesianas do lugar geométrico do ponto P quando α varia no
intervalo [0, 2 ).π
a) Se a circunferência C’ deslocou-se ,α então ela percorreu uma distância d igual a:
α d
2π 2 R
2 4d d 4
2
π
α πα
π
Pode-se escrever:
3 3
OP OO' O'P 3cos ,3sen 3cos , 3sen
3cos 4cos 3cos ,3sen 3sen 4sen
α α α α
α α α α α α
Assim, 3 3P x,y 4cos , 4senα α
b) Da relação fundamental da trigonometria, tem-se: 2 2
2 22 2
33 33 3
sen cos 1
x y1 x y 16
4 4
α α
9
11) Considere a circunferência 2 2C: (x 1) (y 3) 9
a) Determine se o ponto A (4, 3) é interior, exterior ou pertencente à circunferência C.
b) Encontre o(s) valor(es) de a para que a circunferência C e a reta y ax possuam dois pontos em comum.
a) Considere 2 2f(x, y) (x 1) (y 3) 9. Logo, como 2 2f(4, 3) (4 1) ( 3 3) 9 0, segue que o
ponto A pertence a C.
b) Para que a circunferência C e a reta y ax sejam secantes, a equação
2 2 2 2(x 1) (ax 3) 9 (a 1)x (6a 2)x 1 0
deve possuir duas raízes reais e distintas, isto é, seu discriminante deve ser positivo. Logo, temos
2 2 3(6a 2) 4 (a 1) 1 0 a a 0
4
3a 0 ou a .
4
10
12) Considere as circunferências 2 2
1
2 22
: x u 8x 4y 20
e
: x y 2x 8y 8.
O triângulo ABC satisfaz as seguintes propriedades:
a) o lado AB coincide com a corda comum a 1 e 2;
b) o vértice B pertence ao primeiro quadrante;
c) o vértice C pertence a 1 e a reta que contém AC é tangente a 2.
Determine as coordenadas do vértice C.
A circunferência de equação 2 2x y 8x 4y 20 possui centro no ponto 1C (4, 2) e a circunferência de
equação 2 2x y 2x 8y 8 possui centro no ponto 2C (1, 4).
Determinando os pontos A e B (pertencente ao primeiro quadrante) onde as circunferências se
intersectam, temos o seguinte sistema. 2 2
2 2
x y 8x 4y 20
x y 2x 8y 8
Subtraindo as equações obtemos que: x 2y 2.
Substituindo o resultado acima na segunda equação
do sistema, obtemos: 25y 20y 0.
Resolvendo a equação, temos: y 0 x 2 A( 2, 0)
y 4 x 6 B(6, 4) (pertencente ao primeiro quadrante)
Temos então a seguinte figura:
Calculando o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A e 1C ,
temos:
2AC4 0 4
m ,1 ( 2) 3
portanto, o coeficiente angular da reta que passa
pelos pontos A e C será:
AC3
m ;4
Determinando agora, a equação da reta AC, temos:
3y 0 (x 2)
4
Finalmente, resolvendo um sistema com as equações da reta que passa pelos pontos A e C da
circunferência de equação 2 2x y 8x 4y 20, encontraremos as coordenadas do ponto C.
2 2
3y (x 2)
4
x y 8x 4y 20
Resolvendo o sistema temos os seguintes pontos:
( 2, 0) e 38 36
,5 5
Como o ponto ( 2, 0) já é o ponto A, concluímos que o ponto C é 38 36
, .5 5
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13) Suponha que os pontos A(0, 0), B(3, 3 3) e C(9, 3 3) representam três torres de observação ao longo de
um anel viário circular, representado pelo círculo λ centrado no ponto P(6, 0).
Uma nova torre será construída nesse anel, localizada num ponto D de modo que CD é um diâmetro do círculo
.λ .
Essas torres determinam um quadrilátero ABCD inscrito no circulo λ e, de cada torre, é possível enxergar as
outras três torres segundo um ângulo de visão (ângulo interno do quadrilátero).
Elabore e execute um plano de resolução de maneira a determinar:
a) As coordenadas cartesianas do ponto que representa a torre D.
b) Os valores, em graus, dos ângulos de visão DAB, ABC, BCD e CDA.
a) Teremos:
33y02
33y
3x62
9x
DD
DD
Portanto, o ponto D será dado por D(3, 3 3).
b) Teremos:
3 3tg 60 120 e 30
2 3 2
α αα β
Observando que as retas AB e CD são paralelas, pois possuem o mesmo coeficiente angular:
339
3333m
303
033m
CD
AB
DAB 120
ABC 90 30 120
BCD 180 120 60
CDA 180 120 60
12
14) Alice comprou um terreno de forma triangular e solicitou a um engenheiro civil que fizesse a planta da casa
a ser construída, incluindo um gazebo e uma piscina na área de lazer. A proposta do engenheiro foi construir
a casa em formato de L, um gazebo de forma trapezoidal e uma piscina com formato circular.
Considere a seguir, no plano cartesiano, a planta feita pelo engenheiro, na qual constam o esboço do terreno, da
localização da casa, do gazebo e da piscina.
a) Determine a área representada pela região triangular ABC, em 2m , ocupada pelo terreno.
b) Considerando que o ponto L pertence à circunferência do círculo de centro K e que é o ponto de interseção
das retas t e s, em que t é a reta determinada pelos pontos P e O e s é a reta determinada pelos pontos E e
K, determine a equação reduzida da circunferência de centro K, que representa a piscina no plano cartesiano.
a) A área do triângulo ABC é igual a
2
0 1 32 01(ABC)
2 24 20 22
1| 20 64 2 768 |
2
1686
2
343 m .
b) A equação da reta t é dada por
14 12y 12 (x 14) y x 2.
16 14
A equação da reta s é
20 12y 12 (x 10) y x 22.
2 10
Assim, como L é o ponto de interseção de t e s, tem-se que L é a solução do sistema formado pelas
equações dessas retas. Resolvendo o sistema, encontramos L (12, 10).
Portanto, a equação pedida é dada por
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
(x 10) (y 12) d (K, L) (x 10) (y 12) ( (12 10) (10 12) )
(x 10) (y 12) 8.
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15) Considere que os quarteirões de um bairro tenham sido desenhados no sistema cartesiano, sendo a origem o
cruzamento das duas ruas mais movimentadas desse bairro. Nesse desenho, as ruas têm suas larguras
desconsideradas e todos os quarteirões são quadrados de mesma área e a medida de seu lado é a unidade do
sistema. A seguir há uma representação dessa situação, em que os pontos A, B, C e D representam
estabelecimentos comerciais desse bairro.
Suponha que uma rádio comunitária, de fraco sinal, garante área de cobertura para todo estabelecimento que se
encontre num ponto cujas coordenadas satisfaçam à inequação: 2 2x y 2x 4y 31 0.
A fim de avaliar a qualidade do sinal, e proporcionar uma futura melhora, a assistência técnica da rádio realizou
uma inspeção para saber quais estabelecimentos estavam dentro da área de cobertura, pois estes conseguem
ouvir a rádio enquanto os outros não.
Quais estabelecimentos que conseguem ouvir a rádio?
Analisando o gráfico, tem-se que as coordenadas dos estabelecimentos são: A(5,4)
B( 3,1)
C(4,2)
D( 4, 3)
Assim, para avaliar se o estabelecimento está dentro da área de cobertura do sinal basta substituir suas
coordenadas na equação: 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
x y 2x 4y 31 0
A 5 4 2 5 4 4 31 0 16 0 OK!
B ( 3) 1 2 ( 3) 4 1 31 0 19 0 OK!
C 4 2 2 4 4 2 31 0 27 0 OK!
D ( 4) ( 3) 2 ( 4) 4 ( 3) 31 0 14 0 FALSO!
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16) No referencial cartesiano ortogonal usual, qual a medida da área do quadrilátero convexo cujos vértices são
as interseções de cada uma das retas x y 1 0 e x y 1 0 com a circunferência 2 2x y 25,
calculada com base na unidade de comprimento (u.c) adotada no referencial cartesiano considerado?
Do enunciado deduz-se:
1r y x 1 (reta 1)
2r y x 1 (reta 2)
2 2x y 25 R 5 onde R é o raio da circunferência
Percebe-se que as retas são paralelas e distam 2 entre si, o que representa a largura do quadrilátero (ver
figura a seguir).
Para encontrar a área do quadrilátero formado pelos pontos de intersecção, é preciso determinar tais pontos.
Para isso basta substituir o valor de y na equação da circunferência. Nesse caso, como as retas são
paralelas e distanciam-se igualmente do centro da circunferência, utilizou-se o valor de y dado na reta 1,
porém poderia ter sido utilizado o valor da reta 2 obtendo-se os mesmos resultados.
2 2
2 2
2
2
1
2
x ( x 1) 25 0
x x 2x 1 25 0
2x 2x 24 0
x x 12 0
x 4 y 3 4, 3
x 3 y 4 3,4
A representação gráfica pode ser vista na figura a seguir.
O comprimento do quadrilátero se dá pela distância entre as duas intersecções da reta 1. Assim, utilizando-
se a fórmula da distância entre dois pontos, têm-se:
15
2 22 1 2 1
2 2
2 2
d x x y y
d ( 3) 4 4 ( 3)
d ( 7) (7)
d 98
A área S do quadrilátero, se dá pelo comprimento d multiplicado pela distância entre as retas. Ou seja:
S 98 2
S 196
S 14
Quanto à unidade de comprimento, esta pode ser qualquer uma (metro, centímetro, etc.). Como o
enunciado especifica como u.c ., logo a unidade de área será 2(u.c) .