INSTITUTO SUP. PART. INCORPORADO N° 9094 GRAL. … MATEMATICA TECNICATURA.pdfa Sistema quinario...

Gral. Manuel Obligado - Villa °campo -

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INSTITUTO SUP. PART. INCORPORADO N° 9094

"GRAL. MANUEL OBLIGADO"

CARRERA: TÉCNICO SUPERIOR EN INFRAESTRUCTURA DE TECNOLOGÍA DE LA INFORMÁTICA

ASIGNATURA: Matemática

PROFESORA: María, Morello

Curso: ler año

HISTÓRICA o o o'n

CAPÍTULO 9 SISTEMAS DE NUMERACIÓN

Sistema binario

George Boole fue un matemático inglés que en 1854 publicó Las leyes del pensamiento, las cuales

sustentan las teorías matemáticas de la lógica y la probabilidad. Boole llevó a la lógica en una nueva dirección al redu-cirla a una álgebra simple, las matemá-ticas, así incorporó la lógica. Estableció la analogía entre los símbolos algebraicos y aquellos que representan las formas lógi-

cas. Su álgebra consiste en un método para resolver problemas de lógica que recurre solamente a los valores binarios 1 yOya tres operadores: AND (y), OR (o) y NOT (no). Comenzó el álgebra de la lógica llamada álgebra booleana, la cual ahora encuentra aplicación en la construcción de computadoras, circuitos eléctricos, etcétera.

Los sistemas de cómputo modernos trabajan a partir de la bgica binaria. Las computadoras representan valores mediante dos niveles de voltaje (ge-neralmente OV y 5V), con estos niveles podemos representar exactamente dos valores diferentes, que por conveniencia son cero y uno, los cuales representan apagado y encendido.

Sistemas de numeración antiguos

El hombre para contar empezó por utilizar su propio cuerpo: los dedos de la mano, los de los pies, los brazos, las piernas, el torso y la cabeza, las falanges y las articulaciones.

Mucho tiempo después, hacia 3300 a.n.e., apareció la representación escrita de los números, en paralelo al nacimiento de la escrituro, en Sumeria (Mesopotamia). En las primeras tablillas de arcilla que han revelado la es-critura, aparecen signos específicos destinados a representar los números.

En cada cultura se empleó una forma particular de representar los números. Por ejemplo, los babilonios usaban tablillas con varias marcas en forma de cuña y los egipcios usaban jeroglíficos, que aún aparecen en las paredes y columnas de los templos. Las cifras que hoy utilizamos tienen su origen en las culturas hindú y árabe.

George Boole (1815-1864)

9 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMRIFICADAS

Definición

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos (números) que se relacionan para expresar cantidades. A través de la historia del hombre aparecen varios sistemas de numeración, que dependen de la época o la cultura. Los sistemas de

numeración se clasifican en posicionales y no posicionales.

Sistema posicional. Cada símbolo que se utiliza en este sistema se llama dígito, el número de dígitos corresponde al número de base, es fundamental la existencia del cera. Estos sistemas se basan en la posición que ocupa cada dígito (valor relativo) en el número, esto permite que se puedan representar números mayores a la base.

En los sistemas posicionales los números se representan con la siguiente fórmula:

N(B) = 4,-B" +...+A ,-B' +Ao •B° +A

Donde: /1„, A„_ ...,A,,A,,, A_ ,A A_,, son los dígitos. 8 es el número de base n posición

Para identificar el sistema se coloca la base El como subíndice N,,. Los sistemas más utilizados son: el decimal

(base 10), binario (base 2), octal (base 8) y hexadecimal (base 16), entre otros.

Sistema decimal (N00). Se utilizan los dígitos 0, 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9 los que, como ya se dijo, no representan sólo esos 10 números, sino que al acomodados en determinada posición representarán diferentes cantidades. La posición nos indica la magnitud de la cantidad representada, a cada posición se le asigna una potencia de 10 la cual se llama peso.

Ejemplo Representa el número 573,,1,, en potencia de 10 con la fórmula:

57300 =5 x102 +7 x1OLF3x10°

Ejemplo La representación en potencia de 10 del número 424.32(10) es:

424.320)=4x102 +2x101 +4a10° + 3x10-1 +2a10-2

El subíndice 10 se omite la mayoría de las veces, ya que al ser el sistema decimal que utilizamos, se sobrentiende

que la base es 10.

Sistema binario (No)). Sistema posicional que utiliza 2 dígitos (base 2), el O y el 1, los pesos de la posición son

potencias de 2.

Ejemplo Representa el número 11101.110) en potencia de 2 con la fórmula:

19,10,= 11101.11m =lx24 +1x23 +1a22 +0a21 +1a2°+lx2-1+1a2-2

Cada dígito del sistema se conoce como dígito binario o bit (binary digit). Este sistema que puede ser un poco

engorroso para nosotros, no lo es para una computadora, ya que ésta sólo admite 2 estados posibles, encendido o apagado. que equivale a decir pasa corriente o bien no pasa corriente. De tal forma que cuando pasa se asigna el 1 y

cuando no pasa se asigna el O.

Sistema octal (N(5)). Sistema posicional que utiliza 8 dígitos (base 8), el 0, 1, 2, 3, 4,5, 6, 7, así la posición de cada

dígito tendrá como peso una potencia de 8.

152

CAPITULO 9 A6TMÉTICA • Sistemas de numeración

Ejemplo Representa el número 23400 en potencia de 8 con la fórmula:

Now= 234(s) =2882 -1-3x 81 +488°

Una de las aplicaciones de este sistema es que la conversión de binario a octal es muy sencilla, como se verá más adelante, ya que por cada 3 dígitos en binario se utiliza un solo dígito en acial.

Sistema hexadecimal (No). Sistema posicional que utiliza 16 símbolos (base 16), el 0, 1,2, 3,4, 5, 6, 7, 8,9 y las letras A, 8, C, D, E, F, así la posición de cada dígito tendrá como peso una potencia de 16.

Ejemplos Representa los números 2405,,,, y 3AB.21),,6) en potencia de 16 con la fórmula

Nue, =24050,i =28161+ 48162 +0816i +5816°

fi( im = 3AB.2D($6) = 38162 +Ax161 +8816° +2816-1+Dx16-2

La utilidad de este sistema radica en que al igual que en el octal, la conversión de binario a hexadecimal es muy sencilla, ya que por cada 4 bits se utiliza solamente un dígito hexadecimal.

Un byte es la unidad de memoria usada por una computadora y equivale a 8 bits, de tal forma que 2 bytes ocupan

4 dígitos hexadecimales, 4 bytes (32 bits) 8 dígitos hexadecimales y así sucesivamente.

Sistemas en otra base. Hasta aquí sólo se nombraron algunos sistemas, sin embargo existen otros que aunque no son

comunes cumplen con las características de un sistema posicional

a Sistema ternario (N01) Sistema posicional que utiliza 3 dígitos (base 3): 0, 1, 2

Sistema cuaternario (M41) Sistema posicional que utiliza 4 dígitos (base 4): 0, 1, 2, 3

a Sistema quinario (N(g) Sistema posicional que utiliza 5 dígitos (base 5): 0, 1, 2, 3,4

EJERCICIO 89 Transforma los siguientes números en potencias de acuerdo con la base:

48(10)

153,10,

96.722a,„

1010142,

1001.101,2i

102.11(3)

423.0144)

1746.235

60007.51(R)

2AF,,,

18A.4E 6)

C.24A13,,6,

5 Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente

153

9 CAPITULO MATEMÁTICAS SIMMFICADAS

Conversiones

Dado un número en un sistema de numeración en base B. el número se puede representar en otro sistema. A continua-ción se explican diversos métodos.

Conversión de un número en base "8" a base 10 No • N o

Existen 2 métodos utilizando la fórmula y en el caso de números enteros el de "multiplicar por la base".

.0 Método por fórmala

Now = ét. • B" • /3"-I +...+A, • 131 + Ave + A _ i• +A_, •8-2 +...+A, •fr"

EJEMPLOS o

Transforma 12340 a base decimal.

Solución

No„ =1231(4) =1x43 +2 x 41 +3x4' +1x4°

=lx 64 +2 x16 +3x4+1x1 =64+32+12+1 =109m

Por tanto, 1231,„ equivale a 109, i„

2 s.-convierte 20144 a base 10.

Solución

Nool = 2014301 = 2x 54 +0x53 +1x 52 +4x5I +3x 5°

=2x625+0x125+1x25+4x5+3x1 =1250+0+25+20+3 =1298oo

Por consiguiente, 201430, equivale a 1 29800)

3 o Cambia No) = 1011101.101m a Now

Solución

1011101.101(2) =1X26 +0X25 +1)(24 +1X23 ±1X22 -1-0X2H-1X213 -1-1X2-1+0X2-2 -1-1X2-3

=lx 64+0x 32 +lx 16+1 x 8+1 x4+0 x 2+1 xl+lx 0.5+0 x0.25 +1 x0.125 =64+0+16+8+4+0+1+0.5+0+0.125 =93.62500)

Por tanto, Nen = 1011101.101„) equivale a N„„=93.6250„

154

CAPITULO 9 AfirMtliCA • Sistemas de numeración

4 1. Convierte 34AC033 a base 10.

Solución

Las letras se utilizan para números mayores de 2 dígitos, es decir A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, ..., etc. Al aplicar la fórmula se tiene:

N0o) = 3x133 +4x132 +Ax13' +Cx13° =3x 2197+4 x169+10 x13+12 xl =6591+676 +130+12 = 740900

Por consiguiente, 34AC131 equivale a 7 409(10)

5 **Convierte 274,3200 a base 10.

Solución

274.32 =2x82 +7 x 8L-1-4x8° +3 x 8-1 +2 x8-2 = 2 x64+7 x8+4x1+3 x 0.125+2 x0.015625 =128+56+4+0.375+0.03125 =188.406250m

Por tanto, 274.3215) equivale a 188.4062510

6 •1 Transforma b11 ,51 = 5AF.8400 a Nom.

Solución

5AF.840m = 5 x162 +4x161 +Fx16° +8 x16-1 +4 x16-2 =5 x 256+10 x16+15 x1+8x0.0625+4x0.00390625 =1280+160+15+0.5+0.015625 =1455.515625(10)

Por consiguiente, Nom equivale a 1 455515625,10)

.P Método de la multiplicación por la base y suma del siguiente dígito. Este método sólo se utiliza para mí-meros enteros y consiste en multiplicar el primer dígito (de izquierda a derecha), por la base y sumar el dígito siguiente, el resultado de la suma se multiplica por la base y el resultado se suma con el dígito que le sigue, así hasta el último dígito. El resultado final será el número decimal equivalente.

EJEMPLOS

—1 1 •••;Transforma 11011(21 a base 10. E

Solución

Al seguir los pasos se obtiene:

1 x 2 +1 = 3 Producto del primer dígito por la base, más el segunda dígito.

3 x 2 + O = 6 Producto del resultado anterior por la base, más el tercer dígito, 6 x 2 +1 = 13 Producto del resultado anterior por la base, más el cuarto dígito.

13 x 2 + 1= 27 Producto del resultado anterior por la base, más el quinto dígito. 27 Valor equivalente.

Por tanto, 110110) equivale a 27(10)

155

9 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

2 ***Convierte 257130, a base 10.

Solución


2 x8+ 5= 21 Producto del primer dígito por la base, más el segundo dígito. 21 x8+7= 175 Producto del resultado anterior por la base, más el temer dígito.

175 x 8 + I = 1 401 Producto del resultado anterior por la base, más el cuarto dígito. 1401 x 8 + 3 = 11 211 Producto del resultado anterior por la base, más el quinto dígito.

11 211 Valor equivalente.

Por tanto, 25713m equivale a 11 211(10)

3 e•. Transforma 2A1F06, a base 10.

Solución


2 x 16 +A = 42 Producto del primer dígito por la base, más el segundo dígito.

2x 16+10= 42 x 16 + 1 = 673 Producto del resultado anterior por la base, más el tercer dígito.

673 x 16+F= 10 783 Producto del resultado anterior por la base, más el cuarto dígito. 673x 16+15=

10 783 Valor equivalente.

Por consiguiente, 2A1P,1, equivale a 10 78300)

EJERCICIO 90 Transforma os siguientes números a forma decimal:

1100m

10111m

11011011„

111001.1101„

10011.1011„,

21020,

11120m

10010101

21101.2010)

2110112.2120,

3220(4)

12003.223„

3201. 231,

343,

10134,5,

234„,

.01 Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente

432101,,

3210.3410)

20014.4431(5)

314.1003(5)

45,,

4531(6)

55.3420,

7612„

5671„,

753.1041„

820„,

765,„

2AD4,6,

A82C06)

B3kie F2A.1DC06

156

CAPITULO 9 MINIEICA • Sistemas de numeración

Conversión de un número en base 10 o otra base Niol —. 1'4

zi Método de los residuos. Se divide el número decimal entre la base a la que se quiere convertir, el cociente se vuelve a dividir entre la base y así sucesivamente, hasta obtener un cociente menor a la base. Se toma el último cociente y cada uno de los residuos pan formar el número.

EJEMPLOS • O " =Cambia 2 346„ a base 5.

Solución Lia.

Se divide 2 346 por 5 y con cada cociente se realiza lo mismo.

469 93 18 3 —DI 3 3 3 4 1

512346 51469— Si --- sus 34 19 43 3

46 4 3 I

1 l

1

I

111

Portante, 2346(10) equivale a 33341,5,

2 ••-Cambia 34" a base 3.

Solución

Se divide 34 entre 3 y con cada cociente se realiza lo mismo.

3

3111 313

2 O

o4 1

Entonces, 34„ equivale a 1021,3,

3 •• Transforma 4427500) a base 16.

Solución

Se divide 44275(10) entre 16 y con cada cociente se realiza lo mismo.

2 767 _111 I --->AC F.

Por tanto, 44 275,10, equivale a ACF31 ,,,

1614475 1612767 16[i 122 116 11 107 047

115 15 I

3 I

157

9 CAPITULO

MATEMÁTICAS SINTUEICADAS

Cuando un número en base 10 tiene decimales, se procede de la misma manera con la parte entera, la parte fraccionaria se multiplica por la base hasta obtener cero en la parte fraccionaria o un suficiente número de decimales.

EJEMPLOS

1 •e-Convierte 22.75(9) a binario.

Solución Se divide 2200, por 2 y con cada cociente se realiza lo mismo.

„II 5 2 1 --110> 10 1 I O Parte entera

2122 211-1— 215 212 02 O

'

La parte decimal (0.75) se multiplica por 2, la parte fraccionaria se mu tipfica también por 2, así sucesivamente, hasta obtener O en la parte decimal, con los enteros en el orden de aparición se obtiene la parte decimal.

ler. entero

2do. entero

Resultado

0.75 x 2= 1.5

1

0.5 x2=1.0

Por consiguiente, 22.75 equivale a 10110.11,z

2 -Transforma 235.45„,» a base 6.

Solución

39 6 1

61235 6139— 616

55 3 o

1 0 3 1 Parte entera

tu

ler. entero 2do. entero 3er. entero 4to. entero Resultado

0.45 x 6= 2.7 2 0.2X6=4.2 4 0.2 x6=1.2 1

02x6=1.2 1 .2411...

Por tanto, 235 45m, equivale a 1031.241(ñ,

E o

z' Método de extracción de potencias. Se elabora una tabla de potencias según la base y después se busca el número de veces que cabe alguna de las potencias ene! número, se resta de dicho número, y así sucesivamente

hasta que la diferencia sea O.

158

CAPITULO 9 AtitMÉICA • Sistemas de numeración

EJEMPLOS

{

o 1

;lo •• Cambia 9251,0) a base 4.

Solución Se construye la tabla de potencias de 4

4-2 = 0.0625 4-1= 0.25 40 = 1 41 =4 42 =16

43 = 64 44 = 256 42 = 1024

Por consiguiente, 92560, equivale a 321310,

3 veces 4° 768 925 — 768 = 157

2 veces 42 128 157 — 128 = 29

1 vez 42 16 29 — 16 = 13

3 veces 41 12 13 — 12 = 1

1 vez 4° 1 1 — 1 = 0

EJERCICIO 91 Convierte los siguientes números en forma decimal a la base indicada,

I. a base 2

31500, a base 2

13.75,10, a base 2

19.5(10) a base 2

0.62500, a base 2

121.875,,0, a base 2

1003 a base 3

72100, a base 3

53, ,„ a base 4

427, a base 5

37.84, a base 5

386.434, a base 5

21300, a base 6

411„0) a base 6

97 a base 7

71500) a base 7

63,) a base 8

10400, a base 8

S. 350.1875,,,, a base 8

28 779.75 a base 8

140003 a base 9

1 07500 a base 9

9702100, a base 9

24) 19600, a base 16

358.06250, a base 16

21 468.500, a base 16

1 Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente

Relación entre el sistema binario, octal y hexadecimal. La relación entre los sistemas, binario y octal es de 3, ya que

8 = 23, esto quiere decir que a cada tres dígitos ene! binario le corresponde un dígito del octal.

Tabla de valores equivalentes

Decimal Binario Octal

o 000 0

1 001 1 2 010 2 3 011 , 3 4 100 4 s 101 5 6 110 6 7 111 7 8 1000 10

159

9 CAPITULO ~mas simpuncADAs

Conversión de un número binario a octal N/21 Ncsi

Para hacer la conversión se separan los dígitos en grupos de 3 a partir del punto decimal (hacia la izquierda en la parte entera y a la derecha en la parte decimal), y se sustituye cada grupo por su equivalente en octal.

Convierte 11110014„ a base 8.

Solución

Se separan grupos de 3 dígitos de derecha a izquierda y se busca en la tabla su equivalencia en octal.

011 110 011 j Binario

4 3 6 3 Octal

Por tanto, 1111004„ = 363„,

2 •••Cambia 1101111.1101000) a base 8.

Solución Se separan grupos de 3 dígitos de derecha a izquierda y se busca en la tabla su equivalencia en octal.

001 101 111 110 100 Binario

1 4 4 1 5 6 4 Octal

Entonces, 1101111.11010%) = 157.64,„

Conversión de un número octal a binario Niel M21

Para convertir se sustituye cada dígito octal por sus 3 dígitos binarios equivalentes.

Transforma 235,8) a base 2.

Solución

Se busca la equivalencia de cada dígito en base 2

2

3

5

Octal

010 011 101 Binario

Por consiguiente, 235„) = 100111041,

4

4

160

CAPITULO 9 AIMMÉTiCA • Sistemas de numeración

2 in •Transfomia 1206.135m a base 2.

Solución

1 2 0 1 6 1 3 5 Octal

4 1 4 4 4 4 4 ool I 010 I ocro I no I 001 011 101 Binario

Por tanto, 1206.135m = 1010000110.001011101m

e

La relación entre el sistema binario y el hexadecitnal es de 4, ya que 16 = r esto quiere decir que a cada 4 dígitos en

el binario le corresponde un dígito ene! hexadecimal.

Tabla de valores equivalentes

Decimal Binario Hexadecimal

0 0000 0

1 0001 1

2 0010 2

3 0011 3

4 0100 4

5 0101 5

6 0110 6

7 0111 7

8 1000 8

Decimal Binario Hexadecimal

9 1001 9

10 1010 A

11 1011 8

12 1100 C

13 1101 D

14 1110 E

15 1111 F

16 10000 10

17 10001 11

Conversión de un número binario a hexadecimal NI121 N11,1

Pan convertir se separan los dígitos en grupos de 4 a partir del punto decimal (hacia la izquierda en la parte entera y a la derecha en la parte fraccionaria), y se sustituyen por su equivalente en hexadecimal.

Ej,IEMPLOS

4, I lbs-Convierte 110111110a) a hexadecimal.

T Solución

iL Se separan grupos de 4 dígitos de derecha a izquierda, si para el último grupo hacen falta dígitos se colocan ceros a la

izquierda y se busca en la tabla su equivalencia en hexadecimal.

0001 1011 1110 Binario

4 4 4 1 E I Hexadecimal

Por tanto, 110111110,2, = 10E06)

161

9 CAPITULO MATEMÁTICAS SIWIIFICADAS

2 oo•Cambia 11110011.0111101012, a base 16.

Solución

Se separan grupos de 4 dígitos de derecha a izquierda en la parte entera yen la parte decimal de izquierda a derecha, si faltan dígitos se colocan ceros a la derecha y se busca en la tabla su equivalencia en hexadecimal.

1111 0011 . I 0111 1010 1000 I Binario

4 4 1 4 3 7 A 8 Hexadecimal

Entonces, 11110011.011110101m = F3.7A806,

Conversión de un número hexadecimal a binario N1151 Ni2)

Para convertir se sustituye cada dígito hexadecimal por sus respectivos 4 dígitos binarios.

Transforma 821.5706) a binario.

Solución

Se busca la equivalencia en base 2 de cada dígito.

8 2 1 1 5 7 Hexadecimal

4 1000 0010 0001 0101 1 0111 Binario

Por consiguiente, 821.5700 = 100000100001.01010111,21

2 •.-Transforma A5C.D4,,, a binario.

Solución Se busca la equivalencia en base 2 de cada dígito.

A I 5 4 Hexadecimal

1 1 1 1 4 1010 0101 I 1100 I 1101 0100 Binario

Por consiguiente, A5C.0406) = 101001011100.11010100

Método del múltiplo. Para explicar este método, analicemos el siguiente ejemplo:

Ejemplo

Transforma 11110101r, a base 8.

Solución

Se separan en grupos de 3 en 3 de derecha a izquierda. 011 110 101

Se dan los dígitos 1, 2,4, de derecha a izquierda a cada grupo. 21 421 421

(continúa

162

CAPITULO 9 ARITME11CA • Sistemas de numeración

Se suman los dígitos que se encuentran en las posiciones de los unos. 2 + 1 = 3 4 + 2 =6 4 + 1 .+. 5

Los resultados forman el número equivalente en base 8. 3 6 5

Por tanto, 11110101as = 3650,

EJEMPLOS

Cambia 534„ a binario.

1§' Solución

Se colocan los dígitos que forman el número octal. 5 3 4

Se dan los dígitos 1,2,4. de derecha a izquierda a cada grupo, se busca 421 421 421 que los dígitos al sumarlos den el dígito de la columna- 4+15 2+1=3 4+0=4

Se asigna 1 a los valores utilizados en la suma y ceros a los que no se 421 421 421

utilizaron, y se forman grupos de 3 dígitos. 101 011 I00

La unión de los grupos forman el equivalente a binario. 101 011 100

Por consiguiente, 534,,,= 101011100a,

2 0v.Cambia 1101101010,, a base 16.

Solución

Se separan en grupos de 4 en 4 de derecha a izquierda. 0011 0110 1010

Se dan los dígitos 1, 2,4, 8, de derecha a izquierda, a cada grupo. 8421 8421 8421

Se suman los dígitos que se encuentran en las posiciones de los unos. 2 + I = 3 4 + 2 = 6 8 + 2 = 10 = A

Los resultados forman el número equivalente en base 16 3 6 A

Entonces, 1101101010as = 364a,

3 Se Convierte 485,,5) a binario.

Solución

Se colocan los dígitos que forman el número octal. A B 5

Se dan los dígitos 1, 2,4, 8, de derecha a izquierda a cada grupo, se 8421 8421 8421

busca que los dígitos al sumarlos den el dígito de la colurrum. 8+2=10 8+2+1=11 4 + 1=5

Se asigna 1 a los valores utilizados en la suma y ceros a los que no se 8421 8421 8421

utilizaroi2, y se forman grupos de 4 dígitos. 1010 1011 0101

La unión de los grupos forman el equivalente a binario. 1010 1011 0101

Por tanto, AB500 = 10101011010Ias

163

9 CAPITULO M8JEMAI1CAS SIMFtIFICADAS

EJERCICIO 92 Ca mbia los siguientes números a la base indicada.

1110001111,„ a base 8

11011103011,„ a base 8

111001111.110101m a base 8

735,a base 2

1463„, a base 2

45213„, a base 2

56.43„ a base 2

72.16,8, a base 2

Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente

412.67 a base 2

6017.2034, a base 2

10001101000„ a base 16

100110110001.111010100011(21 a bas e 16

111110111000.01100010,„ a base 16

13AC,,, a base 2

D2F AB,„ a base 2

7E8F.C500 a base 2

Suma con números en base distinta de 10

En la siguiente tabla los números remarcados indican el cambio de orden.

Decimal Binario Base 3 Base 4 Base 5 Octal Hexadecimal

0 0000 0 0 0 0 0

1 0001 1 I I I 1

2 0010 2 2 2 2 2

3 0011 10 3 3 3 3

4 0100 11 10 4 4 4

5 0101 12 11 10 5 5

6 0110 20 12 I 1 6 6

7 0111 21 13 12 7 7

8 1000 22 20 13 10 8

9 1001 100 21 14 11 9

10 1010 101 22 20 12 A

11 1011 102 23 21 13 B

12 1100 110 30 22 14 C

13 1101 111 31 23 15 D

14 1110 112 32 24 16 E

15 1111 120 33 30 17 F

16 10000 121 100 31 20 10

17 10001 122 101 32 21 11

18 10010 200 102 33 22 12

19 10011 201 103 34 23 13

20 10100 202 110 ao 24 14

Para sumar 20 más números se ubica el primer sumando en la tabla y se cuenta el número de unidades que representa el siguiente sumando, el número al cual se llega es el resultado.

164

CAPÍTULO 9 ARITMÉTICA • Sistemas de numeración

Base 5

6 7 4 5 3 Base 8 1 2

EJEMPLOS

o

2

3

4

10

11

12

13

Obtén el resultado de la operación + 4(5).

Solución

En la tabla se ubica el 3 y se cuentan 4 unidades.

4 unidades

Después de 4 unidades se llega al número 12, que as el resultado de la suma. Por tanto, 3,5, + = 120,

2 Ile•El resultado de 5, + 3, es:

Solución

En la tabla se ubica el 5,5, y se cuentan 3 unidades.

3 unidades

Entonces, 5, + 30).= 100,

3 oli-E1 resultado de 80, + 500 es:

Solución

En la tabla se ubica el 8(0) y se cuentan 5 unidades

A 9 7 8 Base 16

6

S unidades

Por consiguiente, 805) + 5,30 = Duo

4 obi-El resultado de 3(5) + 2(5) + es:

Solución

En la tabla se ubica el 3,5) y se cuentan 2 unidades.

° 1 2 3 4 10 11 12 13

A partir del 100, se cuenta una unidad.

2 unidades

O 1 2 3 4 10 11 12 13

una undad

Por tanto, 3(5) + 2,55 + 1(5) = 11,5)

165

9 CAPITULO AAATEMM1CAS SIMPLIFICADAS

Para sumar números de 2 o más dígitos se procede de la misma forma que en el sistema decimal, se toma en cuenta el

cambio de orden para contar las unidades que se acarrean.

EJEMPLOS

Resuelve 234,5) +

Solución

Se colocan los sumandos en forma vertical.

234,5,

4" 315) 4,5,+ 3(5) = no) Se pone 2 y se acarrea 1

2,„

1 234,„

+ 3 3m+ 1(5) = 4(5) Se pone 4 y se baja el 2

242

Por tanto, 2340, + 3„, 2420,

2 •••Resuelve 104„ + 11„).

Solución


101„,

+ 11 l(2) + lai = 10a) Se pone O y se acarrea 1

o

1 101(2)

+ 11 „ +1,= 10o, 1 + 0, „ Se pone O y se acarrea 1

00

11 101,,

+ 11,„ 1,2, + I,,, = t0„, Se pone 10

1000,,

Por consiguiente, 101 + 11,2, = 1000,,

1 66

CAPITULO 9 ARITMÉTICA • Sistemas de numeración

3 ti • Resuelve 2340, + 421(5).

Solución


1

234m + 4210„ 40, + l(5) = 100, Se pone O y se acarrea 1

O

1 234,5,

; + 2,5, = 10,5, Se pone 1 y se acarrea 1

+ 421„) 10(5) + 1(5) =11(51

10

1

234,5, 2(5) 440, = Ilis,

Se pone + 4215) 11 + 10, =12 12

0,

1210„

Por tanto, 234,5, + 421(5) = 12100,

4 si (*.Resuelve 537(3) +

Solución


537,,,

+ 450, 70) + 4) = 14,5) Se pone 4y se acarrea 1

4

I

31) + 11(81 = ;O Se pone O y se acarrea 1 + 45 70, + ; = 100,

04

11 537,,,

+ 45,5, 5m +1(5)= 66) Se pone 6

604(5)

Por consiguiente, 5370, + 45,5, = 604,5,

167

9 CAPÍTULO MATErwk-ricas SINAPLIFICADAS

5 ••• Determina la suma de: 3AC118) + 236„m

Solución

Se colocan los sumandos en forma vertical

3AC„8)

+ 236,10 C,, + 6,„ = 12,16) Se pone 2 y se acarrea 1

;ro

1 3AC(,,)

+ 23608) A0,1 + 3(I6) = A, D06) + 106) = E06)

Se pone E

E2

3AC,,,, + 236,„ 36) + 2061 = 5(16) Se pone 5

5E206)

Entonces, 3AC1 „ + 236,16) = 5E2061

6 • 2 Calcula la suma de: 4762„ + 1304„+ 546(8)

Solución


4762„ 1304,

+ 5468) + 46) + 6„= 14,6) Se pone 4 y se acarrea 1

4 1

4762(8) 1304„ 1(a) + 6(8) + 0 4„ .= 13(g) Se pone 3 y se acarrea 1

+ 546,

34 11

47620,

1304„ lon+ 741 + 3(g)-1- 5) = 20an Se pone 0 y se acarrea 2 + 546„

034 211 4762„ 1304„ 2„ + 46) + 1 6) = 7„ Se pone 7

+ 546„

7034„

Entonces, 4762, + 1304(8) + 546„= 7034(8)

168

CAPÍTULO 9

EJERCICIO

Resuelve 93

as siguientes operaciones:

10111,2) + 11100,

1100160

2211220, + 12010 ,

12120)

43201 + 3010,

1110,

AgrimÉroa • Sistemas de numeración

56721„, + 4576,„

756421,„

110111010) + 110110)

1111101,3)

22011022,, + 1120120 ,

200211,3,

1432,5, + 2312„,

310,

463721,, + 75624„,

421756,m

1011111,2, + loo11

1101101a,

33213„, + 23012 (4)

321„,

21402,5, + 430 0 2,

10110,

47200

+ 59100 65„,

11011111„ + 1000111m

1110111a, 11101,3)

+ 312,, 101,4,

332130,51.2„„ 4123420) + 30122,5,

11330, + AC1,,,,

4F0,

223013213„, + 10230120,

31322„0

60704„, + 50771,

222,,

157606, +A9F1o6)

54CF,,„

102201 + 20120,

211„,

210220, + 2204)

211„,

21332130, + 233220,

30321,0

745320,, + 64301 „,

524131,

A4F11200 + 131BC061

150"163


Resta con números en base distinta de 10

En la resta se recomienda usar la tabla de equivalencias y se procede a resolver como una resta en base 10.

Determina el resultado de la operación 245,— 14(5).

Solución Se busca en la tabla el número de unidades que hay de 14 5, a 24,5,

13

14

20

21

22

23

24 30

5 unidades

Por tanto, 24,5,— 14,„= 10„,

169

E Base 16

A O 9 8

44301m

2141.3,

3

Se pone 3 y se acarrea 1 Se suma 1 + 1„ - 2,

9 CAPITULO tsnArEmÁncas SMPUFICADAS

2 Ile•Encuentra el resultado de la operación 7 -3.

Solución

Se busca en la tabla el número de unidades que hay de 3 a

Base 8

oil

2

3

4

5

7

4 Invdades

Por tanto, 70, - 3(5) =40,

3 Se-El resultado de F11,1- 80,, es:

Solución

Se busca en la tabla el número de unidades que hay de 8 a F 1,,

7 unidades

Por consiguiente, F06,- 806: = 7(16)

Para restar números de 2 o más dígitos se colocan las cantidades en forma vertical y se procede como en la resta en

base 10.

El valor de la diferencia 44301,, - 21413, es:

Solución

Se colocan los números en forma vertical.

44301„ 214130,

Se busca en la tabla el número de unidades que hay de 3,, a 11„

I lo

3

11 J 12

13 Base 5

o

2

3 unidades

Se busca en la tabla el número de unidades que hay de 2„, a 10,

1 o

2

12

13 Base 5

o

1

3 un-dades

170

13 unidades (continúa)

CAPÍTULO 9 ARITMillCA • Sistemas de numeración

1

443011, 21413,,

Se pone 3 y se acarrea 1 Se suma 1,5, + 4/51 — 10„,

33

Se busca en la tabla el número de unidades que hay de 10 a 13,5,

1

2

3

4

10

11

12

13 Base 5

3 unidades

1

44301,, 214131,

Se pone 3 y se acarrea 1 Se suma 1/5, + 1,,

333

Se busca en la tabla el número de unidades que hay de 2,5, a 40,

Base 5

o

2 1 3 1 4 1 10 11 1 12 I

13

2 unidades

44301,1 21413n

Se pone 2

2333

Se hosca en la tabla el número de unidades que hay de 2„,a 40)

o

1

2

3

4 10 1 11 1 12

13

2 unidades

44301,1 2141;

Se pone 2

22333n

Por tanto, 44301m— 21413,51= 22333,5,

2 in-iscum es la diferencia de: DE2, im — A25no?

Solución

Se busca en la tabla el núme o de unidades que hay de 5 a 1206)

4 5 6 7 8 9 A o E

10 11 12 13 14

171

Se pone D 13 y se acarrea 1 Se suma 10, + 20,

1 DE2,0 A250,

O

3 4 6 8 9 A

E

10 11 12 13

3 4 5 6 7 8 9 A

O E

10 11 12 13

DE2„„

A250,

Se pone 3

38D00

(continuación)

Se busca en la tabla el número de unidades que hay de 3,„, a E„„

11 unidades

DE2„w

A25tie

Se pone 8 - 11,,

BD

Se busca en la tabla el numero de unidades que hay de 41151 a

3 unidades

Por consiguiente, DE2"- 425 6 = 381306,

•

9 CAPITULO MATEMÁfiCAS SIMAIRCADAS

EJERCICIO 94 Resuelve las siguientes operaciones:

1. 111000„ 4. 34213, 7. 75451„, - 101011,, - 4432„, - 57627,

1101110110, 5. 420444, 8. 769n5) - 110001„ - 4433,5) - 3A8 11

11011101, 6. 5436, 9. 3ABC" - 1111011„ - 333„ - 2A 8061


172

Base 2 (Binario)

x 0 1

0 0 0 0 1

Base 5 (Quinario)

x 0 1 2 3 4

O 0 0 0 0 0

I 0 1 2 3 4

2 O 2 4 11 13

3 O 3 11 14 22

4 O 4 13 22 31

CAPÍTULO 9 ARITMÉ11CA • Sistemas de numeración

Multiplicación con números en base distinta de 10

Así como el sistema decimal tiene sus tablas de multiplicar, a cada sistema se le puede construir su tabla.

Base 3 (Ternario)

x 0 1 2

0 0 0 0

1 0 1 2

2 0 2 11

Base 4 (Cuaternario)

0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 10 12

3 0 3 12 21

Base 8 (Octal)

x 0 1 2 3 4 5 6 7

0 0 0 0 0 0 0 0 O

0 1 2 3 4 5 6 7

2 0 2 4 6 10 12 14 16

3 0 3 6 11 14 17 22 25

4 0 4 10 14 20 24 30 34

5 0 5 12 17 24 31 36 43

6 0 6 14 22 30 36 44 52

7 O 7 16 25 34 43 52 61

Base 16 (Hexadecimal)

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A BCDEE O 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 O O 0

1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A BCDEF 2 0 2 4 6 8 A CE 10 12 14 16 18 1A 1C 1E

3 0 3 6 9 CF 12 15 18 1B 1E 21 24 27 2A 20

4 0 4 8 C 10 14 18 1C 20 24 28 2C 30 34 38 3C

5 0 5 A F 14 19 lE 23 28 20 32 37 3C 41 46 48

6 0 6 C 12 18 lE 24 2A 30 36 3C 42 48 4E 54 5A

7 0 7 E 15 1C 23 2A 31 38 3E 46 40 54 58 62 69

8 0 8 10 18 20 28 30 38 40 48 50 58 60 68 70 78

9 0 9 12 1B 24 20 36 3F 48 51 5A 63 6C 75 7E 87

A O A 14 1E 28 32 3C 46 50 5A 64 6E 78 82 8C 96

8 0 B 16 21 2C 37 42 40 58 63 6E 79 84 8F 9A A5

C O C 18 24 30 3C 48 54 60 6C 78 84 90 9C A8 84

D O O 1A 27 34 41 4E 58 68 75 82 8F 9C A9 86 0

E O E 1C 24 38 46 54 62 70 7E 8C 9A A8 86 C4 02

F O FlE 20 3C 48 5A 69 78 87 96 A5 84 0 02 El

173

9 CAPÍTULO

~TICAS SIMPUFICADAS

Para multiplicar números de 2 o más dígitos se procede de igual forma que en el sistema decimal se toma en cuenta la tabla correspondiente a la base.

1 • • Determina el resultado de 12,3) x 2.

Solución

Se colocan los factores en forma vertical.

120)

x 2„,

'120)

X 2, 2,3) x2(3) = 143, Se pone! y se acarrea 1

1

12,„

x 20) 2„ x I, = 2, Se pone 10 20) 1,3, 10„, + =

101„,

Por tanto, 120, x20) = 101„

2 e. 'Encuentra el resultado de 12340) x 3„.

Solución


1234„

x

1234(5)

X 30, 3(5) x 4,= 22„ Se pone 2 y se acarrea 2

2

1234„

x 3 30) x 3„ = 14,„ 14(5) + 2(5) = 2101

Se pone 1 y se acarrea 2

12

1234„

x 3,5, 3 x 4.11,5, 11(5) + 2„,= 13„,

Se pone 3 y se acarrea I

3120, ,

1254„,

x 30, 30, x 1,„ = 3,,

411- 1(5) = 4(51 Se pone 4

43120,

Por tanto, 234(5) x 30, = 4312„„

EJEMPLOS o o. o

174

3 se El resultado de 324,0 x 506) es:

Solución


324),„

x 5„6,

32406)

x („) Solo x 40M= 14(16) Se pone 4 y se acarrea 1

4

324(16)

x 5„) 5(16) x 2(16) -= A(16) Se pone B A061+ 106) = »116)

84

324,„

X 5,„ 5116) X 306) = F06) Se pone F

F84061

Por tanto, 3240, x 500 = F841 ,0

4 e.• Resuelve 527„ x 4250.

Solución

Se multiplica del mismo modo que en el sistema decimal, sólo que con la tabla de multiplicar del sistema octal.

527,

x 423(5)

2005 1256

2534 270165„

Por consiguiente, 527(5) x 4230= 2701655)

••• Realiza el producto de: 3AC00 x 840.

Solución

3AC(0)

B2116)

758 2864 280985,0

Finalmente, 3AC00 x B206) = 2809800

CAPÍTULO 9 MIMÉ-1CA • Sistemas de numeración

175

9 CAP111110

EJERCICIO

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

95 Resuelve las siguientes operaciones:

11011„, 23012,4) 67124,0 1. 5. 9.

X 111„, x 321,4) x 315„,

110101,2) 2301,„ 1047,„ 2. 6. 10.

x x 34402 x 7601,„

2112(3) 5401„, A4C„„ 3. 7. 11.

x 210) x 543,„ x 2B„„

2301301 5641„) AB206) 4. 8. 12.

x x 546„, x 3A0„


División con números en base distinta de 10

Se utilizan las tablas de multiplicar y se procede de la misma forma que en el sistema decimal.

EJEMPLOS S r Resuelve 31214) ÷ 2,4).

Solución

2,4 1

2,4 x 1,, = 2„, Se resta de la primera cifra del dividendo y se baja la siguiente cifra

312„, —2

11

12 20, 312,4,

—2 20,x 20, = 10„, 11 Se resta de 110, y se baja la siguiente cifra

—10 012

123 2,„ 3120,

—2 11 2„, x 3,4) .= 120)

—10 Se resta de 12„,

012 —12

o

Entonces, 312,„1- = 1230,

176

2 •tResue1ve421+3)

Solución

30)

1 319 x 101 = 3(5)

Se resta de la primera cifra del dividendo y se baja la siguiente cifra

421®

—3 12

12

3„ 421,5,

—3 2(5) x 305 = 1105

12 Se resta de 12(5) y se baja la siguiente cifra

—11 011

122

3„ 421(5)

—3 12

—11 Se resta de 110)

011 —11

o

Entonces, 4210, 305 = 1220).

3 ID. Resuelve 5272„ +24,

Solución

211

—50 27

—24 32

—24 06

Por tanto, 5272® „= 2110, y el residuo es 6„

4 'Resuelve 4D0A„-r- 190m.

Solución 315

19, ® 4/31

—4B 020 —19 070 —70

o

Por tanto, 400/3(15) 19 =


177

9 CAPÍTULO

EJERCICIO

MATEMÁTICAS

Resuelve

SIMPLIFICADAS

96 las siguientes operaciones:

1. 10m111.0m 8. 23j21233;

2. 1 l ml 100111(2) 9. 43„)11104240„

3. 101m 1100100111,m 10. 608 1-5;626;

4. . 1004211Z 11. 32,8) 1-66 81

5. 21a, 117122-2-1: 12. 371) 731 ;„

6. 230V:11S; 13. 1100 151-47:

7. 314322322 14. 23,101,61

4,11 Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente

Sistemas antiguos de numeración

Hemos visto los sistemas de numeración que más se utilizan en la actualidad; sin embargo, la necesidad que el hombre ha tenido de contar desde que existe, lo llevó a inventar otros sistemas, los cuales en su mayoría ya no se utilizan.

Sistema de numeración maya

Sistema posicional en el que se utiliza el principio aditivo, tiene agrupamientos de 20 en 20 (vigesimal), utiliza el cero y se considera muy avanzado para su época.

r Simboiogía

= cero

• = ano =Cinco

178

Los números del O al 19 se representan de la siguiente manera:

o • ••

o 1 2

• •

5 6 7

• 1111

10 11 12

• 5.

15 16 17

•••

3

SO

••••

4

••••

8

•••

9

••••

13

•••

14

••••

18 19

CAPITULO 9 ARITMÉTICA • Sistemas de numeración

Para representar números mayores que 20 se utilizan bloques acomodados verticalmente, de tal forma que las canti-

dades en cada bloque se multiplican por potencias de 20, es decir, el primer bloque por 20° = 1, el segundo bloque por

201 = 20, el tercer bloque por 202 .= 400, etcétera.

EJEMPLOS

•

o 1Transforma a número decimal. el - siguiente arreglo de bloques:

• Bloque 3 6x4002400

Bloque 2 Cr» 0x20=0

• Bloque 1 7 x 1 = 7

Por tanto, el resultado e 2 407

il•-i,Qué número decimal representa el siguiente arreglo de bloques?

2 400

7

2 407

Bloque 3 • • 3 x 400 = 1 200 1

• Bloque 2 7 x 20 = 140 +

• 11 x 1 = 11 1

Bloque I

Finalmente, el resultado es 1 351

200

140

II

351

1 79

Bloque 3

Bloque 2

Bloque 1

•

o •

•

2. 8.

•

o •

6.

•

• •

•

e.

•

•

9.

• •

S.

12.

•

• •

9 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SMPUFICADAS

El sistema de numeración maya tiene una relación astronómica, que tomaba como unidad más simple un día (kin). 20

kines formaban un uinal (mes), 18 uinales formaban un tun (360 días = I año), 20 tunes un katún, un ciclo 144 000

días y 20 ciclos formaban un gran ciclo (2 880 000 días).

Lo anterior indica que cada bloque se tenía que multiplicar por I 20. 360. 7 200,... respectivamente.

EJEMPLOS , -a. es-Transforma a número decimal el siguiente arreglo de bloques:

E a)

6 x 360 = 2 160

O x 20 = O

7x 1 = 7

2 .160

7

2 167

Por tanto, el resultado es 2 172

•

Sin embargo, para efectos prácticos. se multiplica por potencias de 20. es decir, 20° = 1. 201 = 20, 202 = 400,

203 = 8 000. etcétera.

EJERCICIO 97 Transforma los siguientes números mayas a numeración decimal, emplea potencias de 20:

1. 4. 7. 10.

• • •

• o • •

• • • •

"Si Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente

180

CAPíTUID 9 ARITMÉTICA • Sistemas de numeración

Ejemplo

Convierte 3 528 a número maya.

Solución

Bloque 3: se obtiene al dividir 3 528 entre 400y el cociente se transforma a número maya.

8

400 1.-32T3

328

Bloque 2: el residuo 328 se divide entre 20 y el cociente se transforma a número maya.

16

20

128 8

Bloque 1: el residuo 8 se transforma a número maya.

• • 8=

El resultado final se obtiene al acomodar los bloques

Bloque 3

• •

•

3 528 = Bloque 2

Bloque I

• •

EJERCICIO 98 Transforma los siguientes a numeración maya, emplea potencias de 20:

1.25 7.727

146 8. 1 492

200 9. 2 006

223 10. 6 857

467 11. 9 435

540 12. 12 007


•

16 =

181

9 CAPITULO MATEMÁTICAS SIMIIIFICADAS

Sistema de numeración babilónico

Es un sistema aditivo en base 10 basta el 60 y posicional con base 60 para cantidades superiores. Sus símbolos se

llaman cuñas.

Slmbología

= 1

Como el sistema era aditivo se podían formar los números del 1 al 9

V VV VV7 VV VV

1 2 3 4

V V V V V V VV

VVV VV VV VVV

5 6 • - 9

Para números mayores de 10

..4,77 --c4--<( 7

-<VVV -`47VV

10+2=12 40+ 1= 41 —14 37:9.739 V

A partir de 60 se utilizaba el sistema posicional, en donde cada grupo de signos representaba el número de unidades.

EJEMPLOS

6' -Fi 1 e ' Transforma el siguiente bloque a número decimal. E

-< v

-<( -4 V (20 x 3 600) + (21 x 60) + (12)

Por tanto, el número que representa al bloque es 73 272

1.7 72 000

+ 1 260

12

73 272

1 82

2 in Transforma el siguiente bloque a número decimal.

108

+

000

780

2/ -4 -<

-47 -4° "<f° 108 802

(30 x 3 600) + (13 x 60) + (22)

Por consiguiente. el número que representa al bloque es 108 802


EJERCICIO 99 Convierte a numeración decimal.

1. 4.

-47 -47-47

-47

7-<

2. 5.

-47 -4-4 -<-<

_et v -<vv 7-477 _<

3.

_4 7 -«<7 7 -47

-4 7 -4v

6.

7-47 1 7 -4

9 CAPITULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

EJEMPLOS

I 1•• Representa el número 134 en numeración babilónico E Solución

Se divide 134 por 60

1

60 N3 14

El número 134 = 60 x 2 + 14 Con el cociente y el último residuo se forma el bloque de símbolos.

2 14

V -.4 V V V V V

2 e• Representa el número 4 532 en numerac.ón babilónica.

Solución Se divide 4 532 por 3 600, el residuo se divide por 60

1 15

3 600 171 601932

932 332 32

Elnúmero 4532=3600x1 +60x15+32 Con los cocientes y el último residuo se forma el bloque de símbolos.

1 15 32

V V V

EJERCICIO 100 Convierte a numeración babilónica.

1. 5 6. 2 006

2. 15 7. 7 981

3. 80 8. 40 815

4. 125 9. 44 102

5. 890 10. 73 874


184

CAPITULO 9 ARETMÉTICA • Sistemas de numeración

Sistema de numeración romano

Sistema que se basa en 3 principios: aditivo, sustractivo y multiplicativo.

Simbología

I V X L C O M

1 s 10 SO 100 500 1 000

Principio aditivo. Si se tienen 2 símbolos distintos y el de menor valor está a la derecha, entonces se suman.

Ejemplos V!=5 +1 = 6

X//= 10+2=12

CL= 100 + 50 = 150

.0 Principio sastractivo. Si se tienen 2 símbolos distintos y el de mayor valor está a la derecha, entonces se resta.

Ejemplos IV= 5 —1=4 XL = 50 — 10=40

Los símbolos !, X, C, sólo se pueden restar una vez.

¡sólo se resta de los símbolos que le siguen V y X

Ejemplos IV = 5 — 1 = 4

X sólo se resta de los símbolos que le siguen L y C

Ejemplos XL= 50 — 10 = 40

C sólo se resta de los símbolos que le siguen!) y M

Ejemplos CD =500-100=400

Los símbolos I, X. C y M no pueden repetirse más de 3 veces.

Ejemplos

CM.r. I 000 — 100 = 900

/X=10— I =9

XC= 100 —10=90

CM=.1000 —100=900

///,- 3

XXX =30

CCXXV/ = 226

CD= 400 IV = 4

XL = 40

CCC= 300

MMM = 3 000

.' Principio multiplieativo. Si un número es mayor que MMM = 3000, se utiliza un segmento horizontal sobre el número, así se indica que el número queda multiplicado por 1000.

Ejemplos IV =4 x1000=4000

IV =4 x 1 000 xl 000 =4000000

XV = 15 x 1 000 = 15 000

185

ial

9 CAPITULO ~Bus SWPIIFICADAS

Al seguir los principios se puede convertir de numeración decimal a romana.

EJEMPLOS 8 Representar en numeración romana 368.

Solución

El número 368 se expresa de la siguiente manera en número romano.

368= 300 60 8

368= CCC LX VIII

Por tanto, 368 = CCCLXVIII

2 ..• Representa el número 123 457 en numeración romana.

Solución

123 457 se escribe de la siguiente forma:

123457=-123 x 1000+400+50+7

Cada sumando representa un número romano

123 457 = 123 x I 000 400 50 7

123 457 = CD L VII CXXIII

Por tanto, 123 457 = CXXIII CDLVII

3 ...Convierte el número 245 305 379 a numeración romana.

Solución

245 305 379 se escribe de la siguiente forma:

245305679=245 x1000x1000+305 x1000+ 600+70+9

Cada sumando representa un número romano.

245305679= 245 x1000 x1000 305x1000 600 70 9

245 305 679 = CCXLV CCCV DC LXX IX

Finalmente, 245 305 679 = CCXLV CCCV DC LXX IX

EJERCICIO 101 Representa en numeración romana:

6. 1 004 11. 1 997 16. 89 000

7. 1 492 12. 12 345 17. 123 000

8. 1 589 13. 15 432 18. 230 005

9. 1 621 14. 23 007 19. 2 345 000

10. 1 810 15. 43 879 20. 8 340 020

)1 Verifica tus resultados en la secdón de soluciones correspondiente

1.89

2.99

376

786

957

186


Al seguir los principios se puede convertir de numeración romana a decimal.

‘Representa el número MDCLXVI en sistema decimal.

Solución Se indica la equivalencia de cada símbolo y se suman:

X V 1 000 500 100 50 10 5 1

1000+500+100+50+10+5+1=1666

Por consiguiente, MDCLXVI = 1 666

2 Representa el número XI CM L en sistema decimal.

Solución Se indica la equivalencia de cada símbolo y se suman:

XI CM

11x1000x1000 900x1000 50

11 000 000 + 900 000 + 50 = 11 900 050

Por tanto, X/ CM L = 11 900 050

EJERCICIO 102 Representa en sistema decimal.

1. LXXXII 7. DLXIV 13. MDCCCL 19. XXIII CDLVII

2. LXXIV 8. DCCXIX 14. MDCCIII 20. XIX XX

3. LVI 9. CDLD 15. MDCCCVI 21. CC3CLV

4. XCIII 10. CM3CCI 16. MDXXV 22. MMMCDLVII CMXCVII1

5. XXXIX 11. DCCCIII 17. MMDCCOCIV 23. rx. DLXXV CMDOCIII

6. LXVIII 12. COCLIV 18. MCDXXIX 24. ITICMXLV CMYIE


Sistema de numeración egipcio

Los egipcios utilizaron un sistema en base 10, bajo el principio aditivo.

Simbología

Vara Talón Cuerda

enrollada Flor de

loto Dedo Pez Hombre '

asustado

I n 10

9 o< t , 100 1004) 10 000 100 000 1 000 000

EJEMPLOS --

Ti

187

9 CAPITULO h/V \TEMA-DC/1S SIMPHFICADAS

EJEMPLOS Transforma a número decimal.

nnniiiiii Solución Se multiplica el número de símbolos por su respectivo valor y los resultados se suman.

nnn 111111 Por tanto, el resultado es 36

2 •••Transforma a número decimal.

mm 1111 nnn 1111

Solución Se multiplica el número de símbolos por su respective; valor y los resultados se suman.

nnnn 1111 70

nnn 1111 .4. 8 78

7 x 10=70 8 x 1 = 8

Por tanto, el resultado es 78

3 ***Transforma a número decimal.

GPñnn1111 Solución

100

nnn 30 + 4

1x100=100 3x10=30 4x1=4 134

Por consiguiente, el resultado es 134

4 *'Transforma a número decimal.

19GRnnnnii

30 + 6

36

188

Solución

LP9 nnnn II lx1 000=1000 2x100=200 4x10=40 2 x 1 = 2

1 000 200

+ 40

1 242

Por tanto, el resultado es 1 242

5 ...Transforma a número decimal.

Solución

D5R 5R91

99GR I 10 000

+ 300 1

1 x 10000=10060 3 x 100=300 1 x 1=1 10 301

Por consiguiente. el resultado es 10 301


EJERCICIO 103 Transforma a numeración decimal.

6. Ci< cpc G»9991

7.11nnnnnliii

t rt0<1911

cpacbco(99

ttl,

/I Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente

1 89

3x1=3 2x100=200

4x 10=40

9c nnnn III

9 CAPITULO

MATF.MM1CAS SIMFUFICADAS

Para representar un número decimal en numeración egipcia se siguen los siguientes pasos:

EJEMPLOS

4, 1 se,Representa 243 en sistema de numeración egipcia. E a> Solución

Se escribe el número 243 de la siguiente forma:

243 =2 x 100+ 4 x 10 +3

Por tanto, el equivalente de 243 en numeración egipcia as:

99nnnnIll 2 •• 'Conviene 1 422 a sistema de numeración egipcia.

Solución

Se escribe el número I 422 de la siguiente forma:

1422=1 x1000+4 x 100+2x10+2

lx1000=1 000 4x100=400 2x10=20 2 x 1 = 2

1 G»GP9 nn II Por tanto, el equivalente de 1 422 en numeración egipcia es:

",99GR9nnll 3 Representa 100 531 en sistema de numeración egipcia.

Solución

Se escribe el número 100 531 de la siguiente forma:

100531=1 x 100000+5 x 100+3 x10+1

1 x 100 000 = 100 000 5x100=500 3x10=30 1 x 1=1

99996P nnn 1 CD‹

Por tanto, el equivalente de 100 531 en numeración egipcia es:

clxi799(a-Innnl

190

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