Integra Multipla Parte

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Notas de Aula de Cálculo

Integração Múltipla

Bárbara Rodriguez Cinthya Meneghetti Cristiana Poffal

1 de dezembro de 2013


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Universidade Federal do Rio Grande - FURG

NOTAS DE AULA DE CÁLCULO

Instituto de Matemática, Estatística e Física - IMEF

Material elaborado como resultado do projeto REUNI - PROPESP No: 033128/2012

- coordenado pelas professoras Bárbara Rodriguez, Cinthya Meneghetti e Cristiana

Poffal com participação da bolsista REUNI: Elizangela Pereira.

1 Notas de aula de Cálculo - FURG


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Sumário

1 Integração Múltipla 3

1.1 Integral simples de funções de 2 variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Integral Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Propriedades da integral dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Integrais iteradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Integrais duplas e o cálculo de áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.1 Regiões verticalmente simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.2 Regiões horizontalmente simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4 Integrais duplas e o cálculo de volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.1 Volumes de regiões com domínio de integração retangular . . . 24

1.4.2 Volumes de regiões com domínio de integração não retangular 271.5 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.5.1 Massa de uma lâmina plana de densidade variável . . . . . . . 36

1.5.2 Momentos e Centro de Massa de uma lâmina plana de densi-

dade variável . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.5.3 Centróides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.6 Integral tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.6.1 Propriedades da integral tripla . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.6.2 Integral tripla como integral iterada . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.6.3 Integrais iteradas em regiões não retangulares . . . . . . . . . 47

1.7 Integral tripla e o cálculo de volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.8 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.8.1 Massas e Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

1.8.2 Centro de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

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Capítulo 1

Integração Múltipla

Neste capítulo estuda-se o o conceito de integração múltipla e suas apli-

cações ao cálculo de áreas e volumes.

1.1 Integral simples de funções de 2 variáveis

Calculam-se as derivadas parciais de funções de 2 variáveis derivando

estas funções em relação à variável indicada e considerando a outra como constante.

Do mesmo modo, pode-se calcular a integral indefinida de funções de 2 variáveis,

ou seja, integram-se essas funções em relação à variável indicada no elemento de

integração e se considera como constante a outra variável.

Exemplo 1.1.1. Calcule I =

12x2y3 dy.

Solução:

Para calcular I com o elemento de integração dy, considera-se x2 como

constante:

I = 12x2

y3 dy = 12x2 y4

4 + C x.

É importante lembrar que a constante C x engloba tanto números quanto

fatores com potências de x, pois x foi considerado como constante.

Assim, I = 3x2y4 + C x.

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1.1. INTEGRAL SIMPLES DE FUNÇÕES DE 2 VARIÁVEIS

Exemplo 1.1.2. Considere a função f (x, y) = x3y3

3 − 2y3 + 4, calcule:

a) ∂f

∂x(x, y)

b) I b = ∂f

∂x (x, y) dx

c) ∂f

∂y(x, y)

d) I d = ∂f

∂y (x, y) dy.

Solução:

a) ∂f

∂x(x, y).

Para calcular a derivada parcial em relação à variável x, considera-se

y como constante, assim:

∂

∂xx

3y3

3 −2y3 + 4 = 3x

2y3

3∂f

∂x(x, y) = x2y3.

b) I b =

∂f

∂x(x, y) dx.

Do item anterior, reescreve-se I b:

I b =

x2y3 dx.

A integral I b, com elemento de integração dx é

I b =

x2y3 dx = y3

x2 dx =

y3x3

3 + C y.

Portanto, I b = x3y3

3 + C y. É importante lembrar que a constante C y

engloba tanto números quanto fatores com potências de y , pois y foi considerado

como constante.

c) ∂f

∂y(x, y).

Para calcular a derivada parcial em relação à variável y, considera-se

x como constante, assim:

∂

∂y

x3y3

3 − 2y3 + 4

=

3x3y2

3 − 6y2

∂f

∂y(x, y) = x3y2 − 6y2.



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1.2. INTEGRAL DUPLA

d) I d =

∂f

∂y(x, y) dy.

Do item anterior, reescreve-se I d:

I d = (x3y2 − 6y2) dy.

Para calcular a integral com elemento de integração dy, deve-se con-

siderar x como constante.

I d =

(x3y2 − 6y2) dy = x3

y2 dy − 6

y2 dy =

x3y3

3 − 6y

3

3 + C x.

Portanto, I d = x3y3

3 − 2y3 + C x. É importante lembrar que a cons-

tante C x engloba tanto números quanto fatores com potências de x, pois x foiconsiderado como constante. No entanto, comparando I b e I d com f (x, y) é

possível identificar C y e C x respectivamente.

Observação 1.1.1. Note que o cálculo da integral não retorna à função origi-

nal. No entanto, comparando I b e I d com f (x, y) é possível identificar C y e C x

respectivamente.

1.2 Integral Dupla

Notação: A integral

R

f (x, y) dxdy é denominada integral dupla de

f (x, y) em R, onde R é uma região do plano xy.

Há muitas semelhanças entre as integrais simples e as integrais duplas, a

saber:

a) ambas são definidas como somas de Riemann;

b) uma integral dupla representa um volume, com sinal, assim como a integral

simples representa a área, com sinal;

c) calculam-se integrais duplas usando o Teorema Fundamental do Cálculo, basta

aplicá-lo duas vezes.



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1.2. INTEGRAL DUPLA

Uma característica importante no caso de funções de 2 variáveis é que o

domínio de integração desempenha um papel de destaque. O domínio de integração

de uma integral simples ba

f (x) dx é um intervalo [a, b], mas em 2 variáveis, o

domínio de integração é uma região R do plano com uma curva fronteira mais geral,

conforme a Figura 1.1.

Figura 1.1: Domínio de integração para integral dupla

Seja P uma partição da região R do plano xy (ver Figura 1.1). A norma

de P , denotada por P , é o comprimento da diagonal do maior sub-retângulo[xi−1, xi] × [yk−1, yk], onde 1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ k ≤ m. Note que quando P → 0tem-se que tanto o comprimento quanto a largura de todos sub-retângulos tendem

a zero.

Definição 1.2.1. A integral dupla de uma função contínua f (x, y) em uma região

R do plano xy (se o limite existir) é definida como:

R

f (x, y) dA = limP →0

ni=1

mk=1

f (P ik)∆Aik,

onde P ik ∈ [xi−1, xi] × [yk−1, yk], ∆Aik = (xi − xi−1)(yk − yk−1) e f (P ik)∆Aik é oelemento de volume. Neste caso, diz-se que f (x, y) é integrável em R.



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1.2. INTEGRAL DUPLA

1.2.1 Propriedades da integral dupla

Sejam f (x, y) e g(x, y) funções contínuas num retângulo R. Então f (x, y)

e g(x, y) são integráveis em R e valem as seguintes propriedades:

a)

R [f (x, y) ± g(x, y)] dA = R f (x, y) dA ± R g(x, y) dA.b) Para qualquer constante C ,

R

C f (x, y) dA = C

R

f (x, y) dA.

c) Se f (x, y) ≥ 0 em R, então

R

f (x, y) dA ≥ 0.

d) Se f (x, y) ≥ g(x, y) em R, então

R

f (x, y) dA ≥

R

g(x, y) dA.

e) Se R for a união de duas regiões que não se sobrepõem, R1 e R2, então R

f (x, y) dA =

R1

f (x, y) dA +

R2

f (x, y) dA.

Exemplo 1.2.1. Seja R = [0, 1] × [0, 1] e considere R1 a parte sobre a diagonaly = x, e R2 a parte sob a diagonal y = x conforme Figura 1.2. Suponha que:

R1 f (x, y) dxdy = 6, R1 g(x, y) dxdy = −4, R2

f (x, y) dxdy = 10

R2

g(x, y) dxdy = 2.

Determine:

a) I a =

R

f (x, y) dxdy

b) I b =

R

[4f (x, y) − 5g(x, y)] dxdy.

Solução:

a) I a =

R

f (x, y) dxdy.

Aplicando a propriedade c, tem-se:

I a =

R1

f (x, y) dxdy +

R2

f (x, y) dxdy

I a = 6 + 10.

Portanto, I a = 16.



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1.2. INTEGRAL DUPLA

Figura 1.2: Regiões R1 e R2

b) I b =

R

[4f (x, y) − 5g(x, y)] dxdy.

Aplicando a propriedade a, pode-se reescrever I b como:

I b =

R

4f (x, y) dxdy −

R

5g(x, y) dxdyI b = 4

R

f (x, y) dxdy − 5

R

g(x, y) dxdy.

Aplica-se a propriedade c e logo em seguida a propriedade b, obtém-

se:

I b = 4 R1

f (x, y) dxdy + R2

f (x, y) dxdy−5

R1

g(x, y) dxdy +

R2

g(x, y) dxdy

I b = 4(6 + 10) − 5(−4 + 2).

Logo, I b = 74.

Exemplo 1.2.2. Considere a função f (x, y) = x3y3

3 − 2y3 + 4, calcule:

a) I a =

f (x, y)dx

dy

b) I b =

f (x, y)dy

dx.

Solução:



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1.2. INTEGRAL DUPLA

a) I a =

f (x, y)dx

dy.

Escrevendo a função f na integral iterada, obtém-se:

I a = x3y3

3 − 2y3 + 4

dx

dy

I a =

y3

3

x3dx − 2y3

dx + 4

dx

dy

I a =

x4y3

12 − 2xy3 + 4x

dy

I a = x4

12

y3dy − 2x

y3dy + 4x

dy.

Portanto, I a = x4y4

48 −

xy4

2

+ 4xy + C .

b) I b =

f (x, y)dy

dx.

I b =

x3y3

3 − 2y3 + 4

dy

dx

I b =

x3

3

y3dy − 2

y3dy + 4

dy

dx

I b = x3y4

12 − y4

2

+ 4y dxI b =

y4

12

x3dx − y

4

2

dx + 4y

dx.

Logo, I b = x4y4

48 − xy

4

2 + 4xy + C .

Note que, neste caso tem-se I a = I b.

1.2.2 Integrais iteradas

Com exceção dos casos mais simples, é trabalhoso calcular uma integral

dupla usando o limite da definição 1.2.1. A principal técnica para calcular integrais

duplas tem como base o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC), como no caso

de 1 variável. Para usar o TFC, é necessário expressar a integral dupla como uma

integral iterada.



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1.2. INTEGRAL DUPLA

Definição 1.2.2. Uma integral iterada é uma expressão do tipo

I =

ba

dc

f (x, y) dy

dx.

Note que a definição 1.2.2 é um caso particular da definição 1.2.1 em

que o domínio de integração é uma região retangular R = [a, b] × [c, d].

Exemplo 1.2.3. Calcule a integral I = 41

93

yx3 dydx.

Solução:

Para proceder com o cálculo de I , é necessário expressar a integral dupla

como uma integral iterada, assim:

I = 41

93

yx3 dy

dx

I =

41

x3 93

y dy

dx

I =

41

x3y2

2

9

3

dx

I =

41

x3(9)2

2 − x

3(3)2

2

dx

I = 41

72x3

2 dx

I = [9x4]41

.

Portanto, I = 2.295.

Exemplo 1.2.4. Calcule as integrais iteradas:

a) I

a = 42 91

yex dydx

b) I b = π

2

0

π2

0

sen(2x + y) dxdy.

Solução:

a) I a = 42

91

yex dydx.



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1.2. INTEGRAL DUPLA

Escrevendo a integral dupla na forma de integrais iteradas, obtém-se:

I a =

42

91

yex dy

dx

I a = 4

2

exy2

2

9

1

dx

I a =

42

40ex dx

I a = [40ex]42

.

Logo, I a = 40e2(e2 − 1).

b) I b = π

2

0 π

2

0

sen(2x + y) dxdy.

Escreve-se a integral dupla na forma de integral iterada e obtém-se:

I b =

π2

0

π2

0

sen(2x + y) dx

dy

I b =

π2

0

−cos(2x + y)

2

π

2

0

dy

I b =

π2

0

− cos(π + y) + cos(y)2

dy

I b =

π2

0

−cos(π + y)2

dy +

π2

0

cos(y)2

dy

I b =

−1

2 sen(π + y)

π

2

0

+

1

2 sen(y)

π

2

0

.

Portanto, I b = 1.

Exercício 1.2.1. Mostre que R

sen(x + y) dA = 0,

onde R = [0, π] × [0, 2π]. Interprete o resultado geometricamente.

Exemplo 1.2.5. Se f (x, y) for uma constante positiva, qual será o resultado da

integral I =

R

f (x, y) dA?

Solução:



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1.2. INTEGRAL DUPLA

Seja R = [a, b] × [c, d] e f (x, y) = h, h constante, então pelo teorema deFubini tem-se:

I =

R

f (x, y)dA =

dc

ba

h dxdy =

ba

dc

h dydx.

Aplicando as propriedades de integral dupla, obtém-se como resultado:

I = h(d − c)(b − a) = h(b − a)(d − c),

que expressa o volume de um paralelepípedo de base R e altura h.

Exemplo 1.2.6. Verifique que 10

42

x2y3 dydx =

42

10

x2y3 dxdy.

Solução:

Para facilitar a demonstração, chama-se de I a a integral dupla à esquerdada igualdade e de I b a integral dupla à direita.

Resolvendo a integral iterada I a, obtém-se:

I a =

10

42

x2y3 dy

dx

I a =

10

x2y4

4

4

2

dx

I a = 10 60x

2

dx

I a = [20x3]

1

0

.

Assim, I a = 20.

Para a integral iterada I b, tem-se:

I b =

42

10

x2y3 dx

dy

I b =

4

2

x3y3

3

10

dy

I b =

42

y3

3 dy

I b =

y4

12

4

2

.

Dessa forma, I b = 20.

Portanto, verifica-se a igualdade I a = I b.



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- I M E

F - F U R G

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1.2. INTEGRAL DUPLA

O exemplo anterior motiva a seguinte questão: será que se pode inverter a

ordem de integração para qualquer região R e obter o mesmo resultado? O Teorema

de Fubini esclarece quando isso será possível.

Teorema 1.2.1 (Teorema de Fubini). A integral dupla de uma função contínua

f (x, y) num retângulo R = [a, b]×[c, d] é igual à integral iterada, em qualquer ordem: R

f (x, y) dA =

ba

dc

f (x, y) dydx =

dc

ba

f (x, y) dxdy.



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1.2. INTEGRAL DUPLA


R

(8 − 2y) dA, onde R = [0, 3] × [0, 4].Solução:

Aplicando o teorema de Fubini, tem-se:

I = 30 4

0 (8 − 2y)dy dxI =

30

[8y − y2]40

dx

I =

30

16 dx

I = [16x]30

Logo, I = 48.


R

(5 − x) dA, onde R = [0, 5] × [0, 3].Solução:

Aplica-se o teorema de Fubini, obtendo-se:

I =

50

30

(5 − x)dy

dx

I = 50

[5y − xy]30 dxI =

50

(15 − 3x) dx

I =

15x − 3x

2

2

3

0

Portanto, I = 75

2 .



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1.3. INTEGRAIS DUPLAS E O CÁLCULO DE ÁREAS

1.3 Integrais duplas e o cálculo de áreas

Existem dois tipos básicos de regiões planas: as verticalmente simples

e as horizontalmente simples. Em ambos os casos, pode-se usar a integral dupla

para o cálculo da área de tais regiões. Saber reconhecer o domínio de integração ou

região de integração é fundamental para o cálculo de integrais duplas. Outro ponto

importante é o reconhecimento das curvas que delimitam a região de integração.

Muitas vezes é conveniente escrever essas curvas em função de x, isto é, y = f (x) e

outras, como função de y, isto é, x = g(y). Essa conveniência é devido a maior ou

menor dificuldade no cálculo do valor da integral.

1.3.1 Regiões verticalmente simples

Na Figura 1.3, considere a região R do plano limitada por a ≤ x ≤ b eg1(x) ≤ y ≤ g2(x), onde g1 e g2 são funções contínuas no intervalo [a, b].

A área de R é dada por:

A =

ba

g2(x)g1(x)

dydx. (1.3.1)

Figura 1.3: Região no plano definida pelas curvas g1(x) e g2(x) para a ≤ x ≤ bDe fato,

ba

g2(x)g1(x)

dydx =

ba

y

g2(x)

g1(x)dx =

ba

(g2(x) − g1(x)) dx.



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Exemplo 1.3.1. Use a integral repetida para calcular a área da região limitada

pelos gráficos de f (x) = sen(x) e g(x) = cos(x) entre x = π

4 e x =

5π

4 .

Solução:

Trata-se de uma região verticalmente simples no plano xy, e pode ser

descrita como:

R :

π

4 ≤ x ≤ 5π

4

cos(x) ≤ y ≤ sen(x).

A região pode ser visualizada na Figura 1.4.

Figura 1.4: Exemplo 1.3.1

Escreve-se a área de R como:

A =

ba

g2(x)g1(x)

dydx

A =

5π4

π

4

sen(x)cos(x)

dydx

A =

5π4

π

4

sen(x)cos(x)

dy

dx

A = 5π4

π

4

[y]sen(x)cos(x) dx

A =

5π4

π

4

[(sen(x) − cos(x)]dx

A = [− cos(x)] 5π4π4

− [sen(x)] 5π4π4

.

Portanto, A = 2√

2 u.a.



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1.3.2 Regiões horizontalmente simples

A área de uma região R definida por c ≤ y ≤ d e h1(y) ≤ x ≤ h2(y)(Figura 1.5), onde h1(y) e h2(y) são funções contínuas no intervalo [c, d], é dada por:

A = dc

h2(y)h1(y)

dxdy.

Figura 1.5: Região no plano definida pelas curvas h1(y) e h2(y) para c ≤ y ≤ d

De fato, dc

h2(x)h1(x)

dxdy =

dc

yh2(x)h1(x)

dy =

dc

(h2(x) − h1(x)) dy.

Exemplo 1.3.2. Considere a integral I = 20

4y2

dxdy.

a) Esboce a região cuja área é dada pela integral.

b) Determine outra integral repetida usando a ordem dydx que representa a mesmaárea.

c) Calcule o valor da área da região.

Solução:

a) A área da região expressa pela integral I = 20

4y2

dxdy, onde x varia entre as

curvas y2 e x = 4 e 0

≤ y

≤ 2, está representada na Figura 1.6.



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Figura 1.6: Exemplo 1.3.2 a

b) Observando a Figura 1.7, verifica-se que y varia de 0 a √

x e 0 ≤ x ≤ 4. Portantooutra integral repetida pode ser representada por:

I a = 40

√ x

0 dydx.

Figura 1.7: Exemplo 1.3.2 b

c) Resolvendo a integral I dada, obtém-se:

I =

20

4y2

dx

dy

I =

20

[x]

4

y2dy

I =

2

0

(4 − y2)dy

I =

4y − y

3

3

2

0

Logo, a área da região é 16

3 u.a.



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Exemplo 1.3.3. Determine a área da região R localizada abaixo da parábola y =

4x − x2, acima do eixo das abscissas e acima da reta y = −3x + 6.

Solução:

Esboça-se o gráfico da região para melhor identificação dos limites de

integração que irão compor a integral que representa a área em questão. O esboço

pode ser visto na Figura 1.8.


Assim, tem-se duas regiões, R1 onde y varia entre as curvas y = −3x + 6

e y = 4x − x2

e 1 ≤ x ≤ 2, e a região R2 onde y varia entre 0 e 4x −4x2

e 2 ≤ x ≤ 4.A área da região então, é dada por:

A =

R1

dA +

R2

dA.

A =

21

4x−x2−3x+6

dydx +

42

4x−x20

dydx

A = 21

[y]4x−x2

−3x+6 dx + 42

[y]4x−x2

0dx

A =

21

(7x − x2 − 6) dx + 42

(4x − x2) dx

A =

7x2

2 − x

3

3 − 6x

2

1

+

2x2 − x

3

3

4

2

.

Logo, a área da região é 15

2 u.a.



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Exercício 1.3.1. Esboce a região de integração e mude a ordem de integração das

integrais duplas:

a) I a = 40

y0

f (x, y) dxdy b) I b = 40

2√ y

f (x, y) dxdy.

Exercício 1.3.2. Para cada integral dada:

i. Esboce a região cuja área é dada pela integral.

ii. Determine outra integral repetida usando a ordem dydx que representa a mesma

área.

iii. Calcule o valor da área da região.

a) 10

√ 1−y2−√

1−y2dxdy

b) 20

x0

dydx +

42

4−x0

dydx

c) 20

1x

2

dydx.

Exercício 1.3.3. Use a integral repetida para determinar a área da região limitada

pelos gráficos das equações dadas:

a) 2x − 3y = 0, x + y = 5, y = 0

b) xy = 9, y = x, y = 0, x = 9

Exercício 1.3.4. Determine a área da região limitada pelas curvas:

a) y = x2 e y = 4x − x2

b) y = x3 e y = x2

c) y = x2 − 9 e y = 9 − x2

d) y = x3, y = x + 6 e y =

−

x



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e) y = ex, y = e−x e x = 2.

Exercício 1.3.5. Calcule a área da região compreendida por y = x, y = −x,y = 6 + 2x, y = 6 − 2x, y = 2 − x2 e y = 4.

Exercício 1.3.6. Seja f (x, y) = mxy2, onde m é uma constante. Determine o valor

de m de modo que

R

f (x, y) dxdy = 1, onde R = [0, 1] × [0, 2].

Respostas dos exercícios

1.3.1

a) 40

4x

f (x, y)dydx.

b) 20

x20

f (x, y)dydx.

1.3.2

a) A = π

2 u.a. b) A = 4 u.a. c) A = 1 u.a.

1.3.3

a) A = 5 u.a. b) A = 9

2 + 9 ln(3) u.a.

1.3.4

a) 8

3

u.a. b) 1

12

u.a. c) 72 u.a. d) 22 u.a. e) e2

− 1

e2

−2 u.a.

1.3.5 23

3 u.a. 1.3.6 m =

3

4.



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1.4. INTEGRAIS DUPLAS E O CÁLCULO DE VOLUMES

1.4 Integrais duplas e o cálculo de volumes

Se f (x, y) ≥ 0 em R, então

R

f (x, y) dxdy pode ser interpretado como

o volume limitado superiormente pela superfície z = f (x, y), inferiormente por R e

lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de R. Observe a Figura

1.9.

Figura 1.9: Volume limitado superiormente pela superfície z = f (x, y)

1.4.1 Volumes de regiões com domínio de integração retan-

gular

De acordo com o teorema de Fubini, o volume V da região compreendidanos intervalos a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d e f (x, y) ≥ 0 (Figura 1.10), pode ser calculadocomo:

V =

ba

dc

f (x, y) dydx. (1.4.1)

Analogamente, quando se escreve V como uma integral iterada na ordem

dxdy, calcula-se V como a integral:

V = dc

ba

f (x, y) dxdy. (1.4.2)



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- I


Figura 1.10: Representação gráfica da região limitada superiormente por f (x, y)

Exemplo 1.4.1. Determine o volume da região sólida entre a superfíciez = 16 − x2 − 3y2 e o retângulo R = [0, 3] × [0, 1].

Solução:

A região R do plano xy descrita como:

R :

0 ≤ x ≤ 30 ≤ y ≤ 1

representa a base do sólido limitado superiormente pelo parabolóide.

Assim, o volume é

V =

30

10

(16 − x2 − 3y2) dydx

V =

30

16y − x2y − y3 1

0dx

V = 3

0

(15

−x2) dx

V =

15x − x

3

3

3

0

.

Logo, o volume da região é 36 u.v..



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- I M E F - F U R G

- I M E

F - F U R G

- I M E F - F U R G

- I M E F - F U R G

- I



Exemplo 1.4.2. Determine o volume do sólido entre a superfície z = 4 − y2 e oretângulo R = [0, 3] × [0, 2].

Solução:

O volume da região sólida representada na Figura 1.12, em que a região

R do plano xy é definida como:

R : 0 ≤

x

≤ 3

0 ≤ y ≤ 2 ,




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- I M E F - F U R G

- I M E

F - F U R G

- I M E F - F U R G

- I M E F - F U R G

- I


é calculado por:

V =

20

30

(4 − y2) dxdy

V = 2

04x −

y2x 30dyV =

20

(12 − 3y2) dy

V = [12y − y3]20

.

Portanto, o volume do sólido é 16 u.v..

1.4.2 Volumes de regiões com domínio de integração não re-

tangular

Nessa seção estudam-se as integrais duplas em regiões cujo domínio de

integração não corresponde a retângulos, por exemplo, as integrais da forma ba

g2(x)g1(x)

f (x, y) dydx e dc

h2(y)h1(y)

f (x, y) dxdy.

Nesses casos, os limites de integração interiores podem ser funções da

variável de integração exterior. Entretanto, os limites de integração exteriores não

podem depender de nenhuma das variáveis. Após calcular a integral interior, obtém-

se uma expressão que é constante ou que depende somente da variável de integração

exterior.

Exemplo 1.4.3. Considere o sólido limitado pelo plano z = f (x, y) = 2 − x − 2y epelos três eixos coordenados. Determine o volume desse sólido.

Solução:

Primeiramente determinam-se os limites de integração conforme Figura

1.13. A região R do plano xy a ser considerada é definida como:

O volume do sólido é:



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- I M E F - F U R G

- I M E F

- F U R G

- I M E F - F U R G

- I M E F - F U R G

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- I M E F - F U R G

- I M E F - F U R G

- I

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- I M E F - F U R G

- I M E F

- F U R G

- I M E F - F U R G

- I M E F - F U R G

- I M E

F - F U R G

- I M E F - F U R G

- I M E F - F U R G

- I


Figura 1.14: Região de integração do Exemplo 1.4.4

Para o volume do sólido, tem-se:

V = 2

−2 √

4−x2√ 2

−

√ 4−x

2

√ 2

(4

−x2

−2y2) dydx

V =

2−2

4y − x2y − 2y

3

3

√

4−x2√ 2

−√

4−x2√ 2

dx

V =

2−2

2(4 − x2) 32√

2− 4

3

(4 − x2) 322√

2

dx

V =

2−2

4(4 − x2) 323√

2dx.

Utilizando substituição trigonométrica, onde x = 2 sen(θ) e dx = 2 cos(θ) dθ

com −π2 ≤ θ ≤ π

2, tem-se:

V =

π2

−π2

64

3√

2cos3(θ) 2 cos(θ) dθ

V = 128

3√

2

π2

−π2

cos4(θ) dθ

V = 1283√

2

π2

0

1 + cos(θ)

2

2dθ

V = 128

3√

2

π2

0

1 + 2 cos(θ) + cos2(2 θ) dθ

V = 32

3√

2

θ + 2

sen(2 θ)

2

π

2

0

+ 32

3√

2

π2

0

1 + cos(4θ)

2 dθ

V = 32

3√

2 π

2 + 0

+

16

3√

2 θ +

sen(4 θ)

4 π

2

0

.



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- I M E F - F U R G

- I M E F

- F U R G

- I M E F - F U R G

- I M E F - F U R G

- I M E

F - F U R G

- I M E F - F U R G

- I M E F - F U R G

- I

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- I M E F - F U R G

- I M E F

- F U R G

- I M E F - F U R G

- I M E F - F U R G

- I M E

F - F U R G

- I M E F - F U R G

- I M E F - F U R G

- I


Assim, V = 8π√

2 u.v.

Exemplo 1.4.5. Calcule a integral I =

R

(x + y) dA, onde R corresponde à

região limitada por y = x2 e y = 2x.

Solução:

A região R do plano xy representada na Figura 1.15, é descrita como:

R :

0 ≤ x ≤ 2x2

≤ y

≤ 2x

.


Assim, a integral I é escrita como:

I =

20

2xx2

(x + y) dydx

I = 20

xy + y

2

2

2x

x2dx

I =

20

2x2 +

4x2

2 − x3 − x

4

2

dx

I =

4x3

3 − x

4

4 − x

5

10

2

0

.

Assim, I = 52

15.

Exemplo 1.4.6. Determine o volume do sólido limitado superiormente pelo gráfico

de z = 4 − x − y, inferiormente pela região R delimitada por x = 0, x = 2, y = 0 ey =

1

4x +

1

2 e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de R (veja

Figura 1.16).



32/60

- I M E F - F U R G

- I M E F - F U R G

- I M E F

- F U R G

- I M E F - F U R G

- I M E F - F U R G

- I M E

F - F U R G

- I M E F - F U R G

- I M E F - F U R G

- I

- I M E F - F U R G

- I M E F - F U R G

- I M E F

- F U R G

- I M E F - F U R G

- I M E F - F U R G

- I M E

F - F U R G

- I M E F - F U R G

- I M E F - F U R G

- I



Solução:

A região R do plano xy a ser considerada é definida por:

R :

0 ≤ x ≤ 20 ≤ y ≤ 1

4x +

1

2

.

O volume do sólido é:

V = 20

1

4x+ 1

2

0 (4 − x − y) dydx

V =

20

(4 − x)y − y

2

2

1

4x+ 1

2

0

dx

V =

20

(4 − x)

1

4x +

1

2

− 1

2

1

4x +

1

2

2dx

V =

20

−9x

2

32 +

3x

8 +

15

8

dx

V =−3x3

32 + 3x2

16 + 15x

8

2

0

.

Portanto, V = 15

4 u.v.



33/60

- I M E F - F U R G

- I M E F - F U R G

- I M E F

- F U R G

- I M E F - F U R G

- I M E F - F U R G

- I M E

F - F U R G

- I M E F - F U R G

- I M E F - F U R G

- I

- I M E F - F U R G

- I M E F - F U R G

- I M E F

- F U R G

- I M E F - F U R G

- I M E F - F U R G

- I M E

F - F U R G

- I M E F - F U R G

- I M E F - F U R G

- I


Exemplo 1.4.7. Calcule a integral dupla I =

R

sen(x)dA, sendo R a região

limitada pelas retas y = 2x, y = 1

2x e x = π .

Solução:

A região R do plano xy representada na Figura 1.17 é descrita como:

R :

0 ≤ x ≤ π1

2x ≤ y ≤ 2x

.


Dessa forma, a integral I é reescrita como:

I =

π0

2x1

2x

sen(x)dydx

I = π0 [y sen(x)]

2x

1

2xdx

I =

π0

2x sen(x) − x

2 sen(x)

dx

I = 3

2

π0

[x sen(x)] dx.

A integral I deve ser resolvida através da integração por partes. A escolha

mais conveniente é tomar u = x e dv = sen(x) dx. Logo, du = dx e

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