Profesora Rosa N. Llanos Vargas

INTEGRAL DE SUPERFICIE DE CAMPOS VECTORIALESSea S una superficie de IR3 descrita por tal que,S :S es orientada con vector unitario normal . Sea F un campo vectorial que est definido y es continuo en un conjunto abierto U de IR3 que contenga a la superficie S,

Superficie orientadaLa definicin de las integrales de superficies de campos vectoriales involucra el concepto de superficies orientadas o superficies orientables, que son superficies en las que se pueden identificar dos caras o lados , aquellas superficies en las que se identifica un solo lado se denominan superficies no orientables En la figura la superficie S tiene un plano tangente en cada punto ( x, y , z) excepto tal vez en puntos de fronteraEn cada punto hay dos vectores unitarios normales Ellos tienen sentidos opuestos , ademsson campos vectoriales continuos en S. Cada campo vectorial identifica un lado de la superficie.Se da una orientacin de S seleccionando uno de los campos vectoriales

Cuando la superficie S est definida de manera explcita por la expresin z = g ( x, y ), el vector normal unitario

Induce a una orientacin hacia arriba,puesto que la tercera componente es positiva Cuando la superficie S est definida de manera explcita por la funcin vectorial entonces el vector normal a S , es

Si la superficie S es cerrada,laorientacin positiva o ascendente del vector normal es hacia afuera , como se observa en las figuras a continuacin

Sea S una superficie de IR3 descrita por tal que,S :S es orientada con vector unitario normal . Sea F un campo vectorial que est definido y es continuo en un conjunto abierto U de IR3 que contenga a la superficie S,

Definicin Si F es un campo vectorial continuo definido sobre una superficie S, la cual es orientada y tiene vector unitario , entonces la integral de superficie de F sobre S , es

Donde D es el dominio de los parmetros u y v Esta integral tambien se llama flujo de F a travs de S.OBSERVACION:

PROPIEDADES

3) Si S = donde es a lo sumo una curva, entonces

4) El valor de la integral de superficie de un camp vectorial es , salvo el signo, independiente de la parametrizacin elegida.INTERPRETACION Si F es un campo vectorial, F . es un campo escalar que representa la componente normal del campo F a la superficie S, como se observa en la siguiente figura,

Si el campo vectorial F( x, y , z ) representa un campo de fuerzas en el espacio (campo elctrico, magntico, etc) entonces

Representa el flujo que atraviesa S por unidad de tiempo.Mecanica: Suponga que el campo F es la velocidad de un fluido que se desplaza a travs dela superficie S. Se est considerando al fluido como un conjunto de partculas de posicin (x, y , z ) adems suponiendo que el campo de velocidad de corriente es estacionario ( independiente del tiempo). En este caso cada elemento F(Pi) . representa la cantidad de fluido que pasa por cada en una unidad de tiempo , en la direccin de su normal ,entonces la integral de superficie

Representa la CANTIDAD TOTAL DE FLUIDO que pasa a travs de la superficie S en la direccin de en una unidad de tiempo Ejemplos. Calcular las integrales de superficie de los campos vectoriales F sobre las superficies S que se indican:a) Solucin DParametrizando S: x= v cos uy= v sen u ,0 , 0 v 1z= 1 v2

entonces

El vector normal obtenido corresponde a la direccin descendente ( 3componente negativa). Tomamos como vector normal el ascendente por tratarse de una superficie abierta, es decir:

b) F(x,y,z)=(senxyz, z(xy) , x2 + y2 );S es la porcin del plano y=2z limitado por x2+y2 z2 =1

Solucin Proyeccin de la curva de interseccin del plano y = 2z con x2 + y2 z2 = 1 sobre el plano coordenado XY :x2 + y2 z2 = 1 , z = es una elipse centrada en (0,0) y semiejes 1 y .D

La parametrizacin mediante coordenadas elpticas del interior de la curva proyeccin (dominio D), induce la parametrizacin de la porcin del plano interior al hiperboloide :

Tomando como normal ascendente al opuesto del vector encontrado , entonces Por consiguiente

c)F(x,y,z) = ( xz, yz, z2) ; S es el elipsoide 4x2 +9y2 + z2 = 1 en el primer octante SolucinEl elipsoide 4x2 +9y2 + z2 = 1 es equivalente a :

Parametrizando el elipsoide en el primer octante:

Que sirve como vector ascendente,

d)F(x,y,z) = ( yz, xz , xy ) ; S es el cubo con centro el origen de coordenadas y aristas de longitud 2.SolucinNos encontramos ante una superficie cerrada que es la unin de seis caras, superficies regulares. Como superficie cerrada que es debemos tomar sobre cada una de sus caras el vector normal exterior. Debe parametrizarse cada cara para la evaluacin de la integral sobre la misma, como se observa en el cuadro a continuacin:

Cara (parametrizacin)nF.n

(1,0,0)

(-1,0,0)

(0,1,0)

(0,-1,0)

(0,0,1)

(0,0,-1)Yz

-yz

xz

-xz

xy

-xy

Luego, el valor de la integral es la suma de la ltima columna , es decir,

2) Calcular el flujo que atraviesa la superficie del primer octante de la esfera de centro el origen de coordenadas y radio R, en la direccin de la normal ascendente, para el campo F(x,y,z) = (yz,xz,xy)SolucinEl flujo que atraviesa la superficie S es

Parametrizando S : X = RsenucosvY=Rsenusenv ; 0Z=Rcosu

)

Siendo este vector normal ascendente, entonces I==I = 3. El flujo de un fludo tiene el campo F(x, y , z ) = ( x , -2x-y , z ) como vector densidad de flujo. Sea S el hemisferio superior de la esfera x2 + y2 +z 2 = 1 . Calcular la masa de fludo que atraviesa S por unidad de tiempo en la direccin de la normal ascendente.SolucinParametrizando S:X= senucosvY=senusenvZ=cosu

Este es el vector normal ascendente, pues tiene la tercera componente positiva . La masa de fludo que atraviesa S por unidad de tiempo es el flujo del fludo, es decir =

TEOREMA DE STOKES Sea S una superficie orientada y suave por trozos sobre un dominio de IR3, cuya frontera C es una curva simple cerrada , suave por tramos dirigida de acuerdo a la orientacin dada a S. Sea F un campo vectorial de clase C1 en el dominio espacial que contiene a S; entonces

El teorema de Green relaciona una integral doble sobre una regin plana D con una integral de lnea alrededor de la curva plana C que es la frontera de D; el teorema de Stokes relaciona una integral de superficies sobre la superficie S con una integral de lnea alrededor de la curva que es la frontera de S ; en el espacio . La orientacin de S induce la orientacin positiva de la curva frontera.Nota- El teorema de Stokes afirma que la circulacin a travs de la curva C es igual al flujo total del rotacional del campo, que pasa por la superficie S en la direccin de la normal ascendente.Ejemplo. Verificar el teorema de Stokes con el clculo de la integral de lnea sobre las trayectorias C de los campos vectoriales F que se indican:a)F(x , y , z) = (z , x , y) ; C es la curva de interseccin del plano y + z = 2 con el cilindro x2 + y2 =1SolucinParametrizacin de S ,(x,y) tiene componentes:x = xy = yz = 2 y , para

Verificar el teorema supone comprobar la igualdad de las integrales 1) Clculo de la integral de superficie Donde F(x,y,z ) = ( z , x , y ) , rot F = (1,1,1 )

2) Clculo de la integral de lnea , donde C es la interseccin del cilindro , con el plano z = 2 y .Parametrizacin de C :

Quedando comprobado el teorema .b)F(x,y,z) = ( x2 +y , yz , x z2 ) ; C es la interseccin del plano 2x + y + 2z = 2 y los tres planos coordenados.Solucin

1) Clculo de la integral Parametrizacin de S :

F(x,y,z) = ( x2 +y , yz , x z2 ) ; rotF = ( -y , -1 , -1) . Entonces

2) Clculo de la integral de lnea , donde C se descompone en tres segmentos:C1 : de (1,0,0) a ( 0, 2, 0 ) cuya parametrizacin es x = 1- ty = 2tz= 0 ; t

C2 : de (0,2,0) a ( 0,0 ,1 ) cuya parametrizacin es x = 0y = 2 - 2tz= t ; t

C3 : de (0,0,1) a ( 1,0 ,0 ) cuya parametrizacin es x = ty = 0z= 1 - t ; t

I = -4/3 - 1 + 1/6 = - 13 / 6c)F( x, y , z) = (x , y , 0 ) ; C es la curva de interseccin del paraboloide z = x2 + y2 con el cilindro x2 + y2 = 4SolucinParametrizacin de S :

1) Clculo de la integral F(x,y,z) = ( x , y , 0 ) ; rotF = ( 0 , 0 , 0) . Entonces

2) Clculo de la integral de lnea , Parametrizacin de C :z = 4 x2 + y2 = 4 , es decir

Ejemplo. Emplear dos superficies diferentes para calcular las siguientes integrales de lnea mediante el teorema de Stokes.a) ; siendo C la curva de interseccin de la esfera x2 +y2 +z2 = a2 con el plano z = a/ 2 , con a > 0SolucinEl teorema de Stokes afirma que

Para cualquier superficie S que tenga por frontera la curva cerrada C Sea, como primera superficie S con frontera C, la porcin del plano z = a/2 limitado por la esfera x2 +y2 +z2 = a2x2 +y2 +z2 = a2 , z = a/2 , entonces el dominio de los parmetros es el crculo T : x2 +y2 a2Parametrizacin de S :

En segundo lugar tomamos a la superficie S con frontera C, el casquete de la esfera x2+y2+z2 =a2 limitado por el plano z = a/2.Parametrizacin de S :T : x2 +y2 a2

Utilizando coordenadas polares T se describe por

Entonces

b) ; C es la curva interseccin del plano cuya ecuacin es 2x + 2y + 2z = 1 con el paraboloide z = x2 +y2SolucinLa proyeccin de la interseccin de ambas superficies sobre el plano XY es el crculo

T es el dominio de los parmetros

En primer lugar tomamos la superficie S con contorno C a la porcin del plano interior al paraboloide.Parametrizacin de S: x= x , y = y , z = f( x , y ) = -x y + , = ( 1 , 1, 1 )

Efectuando un cambio a coordenadas polares con centro en ( -1/2 ,-1/2) ; el dominio T se describe como:

Consideramos ahora como superficie S con frontera C la porcin de paraboloide delimitado por el plano; cuya parametrizacines :S: x=x , y = y , z = f ( x, y ) = x2 +y2 ; (x,y)

Ejemplo . Calcular la integral de lnea

C es la curva de interseccin de la esfera x2 +y2 + z2 =1 con el plano y + z = 1SolucinDe acuerdo con las condiciones del teorema de Stokes C es la frontera de S , adems

En este caso F(x,y,z) = ( y , z , x ) , rot F = ( -1 ,-1 ,-1)

Parametrizacin de la superficie S con frontera C :

Determinacin del dominio de parmetros T: su frontera es la proyeccin sobre el plano xy de la curva de interseccin del plano con la esferax2 +y2 + z2 =1 ; z = 1 y De donde x2 +y2 + (1-y)2 =1 , es decir x2 + 2(y- 1/2) 2 = T es la elipse de centro (0, ) y semiejes

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA (o de Gauss)El Teorema se refiere al flujo de un campo vectorial a travs de una superficie cerrada S que es la frontera de una regin E en el espacio.Sea S una superficie que encierra un volumen V , S: k(A) , donde k es de clase C1 , f: V de clase C1 y el vector normal unitario exterior a la superficie S. Entonces Teorema de la Divergencia (o de Gauss). Sea S una superficie que encierra una regin slida E, y sea F: V un campo vectorial de clase sobre una regin abierta que contiene a E y n el vector unitario exterior a la superficie S; entonces

Ejemplo. La corriente de un fluido tiene como vector densidad de flujo en cada punto F(x,y,z)=(x,). Calcular la masa del fluido que atraviesa la superficie exterior del hemisferio S= { (x,y,z) : en la unidad de tiempo y en la direccin del vector normal exterior.SolucinDenotamos S = la superficie exterior del slido, por el teorema de la divergencia tenemos

Como div(F) = 1+2y-2y = 1 entonces

Ejemplo. Sea F(x,y,z) )= (2x,-3y,5z) y S es el hemisferio z= junto con el disco en el plano XY. Comprobar que se verifica el teorema de la divergencia.Solucin 1)Clculo de la integral de superficie: S consta de dos partes, es el disco inferior y es el hemisferioo superior, entonces

Para ntese que el disco tiene un vector normal hacia afuera n = -k, de esta manera, tenemos

Ya que z =0 sobre .Para z = g(x,y) = Luego, el vector tangente unitario est dado por:

Entonces F.n = (2x, -3y, 5z).Por otro lado dS = dA = dA = dALo que implica que:

2) Clculo de la integral triple: Tenemos que divF = 2-3+5 = 4 ; por lo tanto

De esta manera se comprueba el teorema de la divergencia.Ejemplo.Sea E la regin acotada por las grficas de S es la frontera de E y sea el campo F, F(x,y,z)=. Calcular el flujo de F a travs de S.Solucin La regin E est dada en la figura con los vectoresUnitarios exteriores. Calcular la integral de superficieEquivale a calcular tres integrales, ya que la regin laAcota tres superficies distintas.Utilizando el teorema de la divergencia,

divF = 3

EJERCICIOS PROPUESTOS1. Calcular las integrales de superficie de F(x,y,z) = (xz, yz , z2) siendo la superficie el primer octante del elipsoide 4x2 + 9y2 + z2 = 36.

2. Calcular las integrales de superficie ;a) ; S es el slido limitado por z = 4 x2 y2 , z=0b) ; S(u,v) = ( ucosv, usen v , v) ;

3. Calcular el flujo que atraviesa la superficie del primer octante de la esfera de centro el origen de coordenadas y radio 1, en la direccin de la normal ascendente para el campo F(x,y,z)=(yz,xz,xy)

4. Verificar el teorema de Stokes con el clculo de la integral de lnea sobre las trayectorias C , de los campos vectoriales F que se dan a) F(x,y,z ) = ( z,y,x) ; C es la interseccin de y + z = 4 con x2 +y2 = 1b) F(x,y,z) = ( x+2y, y+2z , z+ 2x) ; C es la curva de interseccin del plano x+y+z = 3 y los planos coordenados

5. Emplear dos superficies diferentes para calcular la siguiente integral de lnea mediante el teorema de Stokes ; C es la curva interseccin del cono z2 =x2 + y2 con el plano z = 2

6. Calcular . donde C esuna curva cerrada que limita un recinto sobre el plano XY de 4 unidades de rea y F(x,y,z) = ( y3Chx+Shysenz, 3y2ShxChz+4x , y(Shx+Chz))

7. Verificar que cada integral de lnea tiene el valor indicado en cada caso:a) ; C es la curva interseccin de x2 +y2 +z2 = 1 con el plano x +y +z=1b) ; C es la curva interseccin de x2 +y2 =2y con el plano y = z

8. Calcular las siguientes integrales de lnea:a) C : b) ;C: c) ; C:{y+z = 1 }9. Calcular la integral de superficie de F(x,y,z) = ( , S es la superficie exterior total del cono C= {(x,y,z): y n es el vector normal exterior.10. Sea V el conjunto V={ (x,y,z): 4 y sea F(x,y,z)=(-6y,6x,-2x). Hallar integrando en la superficie frontera de V el flujo saliente y comprobarlo mediante el teorema de la divergencia.

BibliografaStewart, J. (2003) Clculo Multivariable. 4edicin .Thomas , G. (2006) Clculo . Vol II. xx

12