INTEGRALES INDEFINIDAS

Universidad Nacional de San Cristobalde Huamanga

Facultad de Ingenierıa Quımica y Metalurgia

Escuela de Formacion Profesional deIngenierıa Agroindustrial

Curso

Analisis Matematico III(MA-241)

Tema

Integrales Indefinidas

Docente

Jose Carlos Juarez Pulache.

Alumna:

Barrantes Herrera Kety Mayte.

1 de marzo de 2016

Indice general

1. INTEGRALES 21.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. FUNDAMENTO TEORICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1. Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.1.1. Definicion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.1.2. Propiedades: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3.1.3. Formulas elementales: . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.1.4. Metodos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.1.4.1. Integracion por sustitucion o cambio de vari-able . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1.4.2. Integracion por pates . . . . . . . . . . . . . 91.3.1.5. Artificios: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1.5.1. Integrales de algunas funciones que contienenun trinomio cuadrado. . . . . . . . . . . . . 12

1.3.1.5.2. Integrales de algunas funciones trigonometri-cas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4. CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5. BIBLIOGRAFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1 Ingenierıa Agroindustrial

Ing. Civill

Capıtulo 1

INTEGRALES

1.1 INTRODUCCION

En este capıtulo abordamos el concepto y estudio de la integral indefinida de lascuales se plantearon algunos ejemplos que surgen en las Ciencias Experimentales.Ademas de contar con algunos artificios para identificar las debilidades y fortalezasde uno. Una de las cuestiones esenciales que trata el calculo integral es el de encon-trar las funciones F(x) que tienen como derivada una funcion dada f(x).

La alumnaEscuela Profesional de Ingenierıa Agroindustrial.

Universidad Nacional de San Cristobal de HuamangaAyacucho,29 de febrero del 2016.


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Analisis Matematico III

1.2 OBJETIVOS

1 Reconocimiento de formulas basicas en integrales.

2 Desarrollo de artificios en integrales indefinidas que contengan un trinomiocuadrado, de funciones trigonometricas y de sustitucion trigonometrica.

3 Manejo y desarrollo de las capacidades en el desarrollo del programa latex.

1.3 FUNDAMENTO TEORICO

1.3.1. Integral Indefinida

1.3.1.1. Definicion: Integrar es el proceso recıproco del de derivar, es decir,dada una funcion f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducena f(x). Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivadas de f(x); dicho deotro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:

F ′(x) = f(x).


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Si una funcion f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciandose todasellas en una constante.

[F (x) + C]′ = F ′(x) + 0 = F ′(x) = f(x).

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener unafuncion. Se representa por

∫f(x)dx. Se lee: integral de f de x diferencial de x.

∫es

el signo de integracion. f(x) es el integrando o funcion a integrar. dx es diferencialde x, e indica cual es la variable de la funcion que se integra. C es la constante deintegracion y puede tomar cualquier valor numerico real. Si F(x) es una primitivade f(x) se tiene que:

∫f(x)dx = F (x) + C

Para comprobar que la primitiva de una funcion es correcta basta con derivar.

1.3.1.2. Propiedades:

Si f y g son funciones que admiten antiderivadas, entonces lo mismo sucede con f±g,k f donde k es constante y se tiene:

a)∫

[f(x)± g(x)]dx =∫f(x)dx±

∫g(x)dx

b)∫

[kf(x)]dx = k∫f(x)dx,k=constante

Demostracion.

Como(∫

[f(x)± g(x)]dx)′ = f(x)± g(x) y

(∫f(x)dx±

∫g(x)dx)′ = (

∫f(x)dx)′ ± (

∫g(x)dx)′

= f(x)± g(x), por tanto∫

[f(x)± g(x)]dx y

[∫f(x)dx±

∫g(x)dx] son las integrales indefinidas de f(x)± g(x),


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Es decir el conjunto de las antiderivadas de f(x)± g(x); por tanto

∫[f(x)± g(x)]dx =

∫f(x)dx±

∫g(x)dx

De la parte (a) se deduce que la integral indefinida de una suma algebraica devarias funciones es igual a la suma algebraica de sus integrales.

Ejemplo:

∫(ex-4x3+Lnx)dx=

∫ex dx-

∫4x3 dx+

∫Lndx

=(ex+ c1)-(x4+c2 )+(xLnx-x+c3)

= ex-x4+xLnx-x+cDonde c=c1- c2+ c3

En lo que sigue solamente usaremos una constante de integracion para la sumade 2 o mas funciones.

1.3.1.3. Formulas elementales:

1.-∫du = u+ c

2.-∫ du

u= Ln|u|

3.-∫undu = un+1/(n+ 1) + c, n 6= −1

4.-∫eudu = eu + c

5.-∫au.du = au

Lna+ c

6.-∫senu.du = −cosu+ c

7.-∫cosu.du = senu+ c

8.-∫tgu.du = Ln|secu|+ c

9.-∫ctgu.du = Ln|senu|+ c

10.-∫secu.du = Ln|secu+ tgu|+ c

11.-∫cscu.du = Ln|cscu− ctgu|+ c

12.-∫sec2u.du = tgu+ c

13.-∫csc2u.du = −ctgu+ c

14.-∫secu.tgu.du = secu+ c

15.-∫cscu.ctgu.du = −cscu+ c


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16.-∫senhu.du = coshu+ c

17.-∫coshu.du = senhu+ c

18.-∫tghu.du = Ln|coshu|+ c

19.-∫sech2u.du = tghu+ c

20.-∫csch2u.du = −ctghu+ c

21.-∫sechu.tghu.du = −sechu+ c

22.-∫cschu.ctghu.du = −cschu+ c

23.-∫ du

a2+u2 = 1aarctg u

a+ c, (a > 0)

24.-∫ du

a2+u2 = 12aLn|u−a

u+a|+ c, (a > 0)

25.-∫ du

a2−u2 = 12aLn|u+a

u−a |+ c, (a > 0)

26.-∫ du√

a2−u2 = arcsenua

+ c(a > 0)

27.-∫ du

u√u2±a2 = Ln|u+

√u2 + a2|+ c

28.-∫ du

u√u2−a2 = 1

aarcsec |u|

a+ c, (a > 0)

29.-∫√

(a2 − u2)du = 12[u.√

(a2 − u2) + arcsenua] + c; (c > 0)

30.-∫√

(a2 + u2)du = 12[u.√

(u2 + a2) + a2Ln|u+√

(u2 − a2)|] + c

31.-∫√

(u2 − a2)du = 12[u.√

(u2 − a2 − a2Ln|u+√

(u2 − a2)|] + c


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1.3.1.4. Metodos:

Antes de dar los metodos de integracion: por sustitucion o cambio de variable ypor partes, es necesario hacer notar una diferencia esencial entre las operaciones dederivacion y de integracion indefinida. Dada una funcion elemental ( funcion que seobtiene mediante un numero finito de operaciones de adicion, sustraccion, multipli-cacion, division y composicion de funciones, de las funciones: constantes, potencias(y = x∞), exponenciales (y = ax), logarıtmica (y = [log]ax, ), trigonometricas ytrigonometricas inversas, su derivada mantiene una esta propiedad, es decir, tam-bien se expresa como una funcion elemental, mientras que en la integral indefinida,esto solamente sucede en condiciones muy especiales. De hecho es posible escribirintegrales relativamente simples como:

∫e−xdx,

∫ex

2

dx,∫ senx

xdx,

∫ tgx

xdx,

∫ dx

Lnx,

∫ √1 + x3dx,

∫sen(x2)dx,

∫cos(x2)dx

Las cuales no pueden ser expresadas en terminos de ¨combinaciones finitas¨ defunciones elementales. del punto de vista practico, la integraciones se presenta comouna operacion mas complicada que la derivacion, en cuanto se tiene reglas generalesde derivacion; para la integracion solamente es posible hacer artificios que son validospara clases particulares mas o menos restrictas de funciones. Cada caso particularrequiere un ensayo, una tentativa.


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1.3.1.4.1. Integracion por sustitucion o cambio de variable Este meto-do esta basado en la regla de derivacion de la funcion compuesta. Dada la funcionf : I → R, queremos calcular

∫f(x)dx Supongamos que se hace un cambio de vari-

able .

Supongamos que se hace un cambio de variable en el elemento de integracion,haciendo x = ϕ(t) Con ϕ : J → I una funcion con derivada ϕ′(t) 6= 0,∀tεJ.

Si la funcion de G en J, esto es G′(t) = f(ϕ(t)ϕ′(t), tεJ

Admite una primitiva G en J, esto esG′(t) = g(t) = f(ϕ(t)ϕ′(t),∀tεJ

Se tiene∫f(x)dx =

∫f(ϕ(t)ϕ′(t)dt

=∫g(t)dt

= G(t) + c

= G(ϕ−1(x)) + c

Ejemplo 1 :

Calcular:

I =∫ xdxe3x(1−x)4

=∫ (xexdx)

(ex−xex)4

Si u = ex − xex ,entonces du = −xexdx , luego

I = − ∫ duu4

= 1(3u3)

+ c = 1(3e3x(1−x)3

+ c

Ejemplo 2 :

Calcular:

I =∫ (x2−1)dx

(x2+1)√

(x4+1)


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I =∫ x2−1

x2dx

(x2+1x ).

√(x4+1)x

I =∫ (1− 1

x2)dx

(x+ 1x)√

(x2+ 1x2

)

Si u = x+ 1/x Entonces du = (1− 1x2 )dx y u2 = x2 + 1

x2 + 2 ,luego

I =∫ duu√u2−2

I = 1√2arcsec |u|√

2+ c

I = 1√

[]2arcsecx2+1√2|x|+c

1.3.1.4.2. Integracion por pates Sea u y v dos funciones definidas yderivables en el intervalo I, por la regla de la diferencial del productose tiene.

d(uv) = udv + vdu , de dondeudv = d(uv)− vdu

Integrando miembro a miembro se tiene:

∫udv = uv − ∫

vdu

Esta formula es conocida como formula de integracion por partes. Enla practica esta formula es muy util y consiste en expresar elementode integracion como el producto de dos factores, de una funcion u yde la diferencial de funcion v (dv), de tal manera que se determinala funcion v a partir de la diferencial dv, y el calculo de la nuevaintegral

∫vdu, constituyen en conjunto un problema mas simple que

el calculo de la integral∫udv. Para descomponer el elemento de in-

tegracion dado en dos factores u y dv, normalmente se elige comola funcion u aquellos que se simplifica con la derivacion, por ejemplo


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xn(n ∈ N), Lnx, arcsenx, arctgx, etc; esto no es una regla general, enla practica la habilidad y la experiencia son la mejor herramienta.

Observacion:

Cuando se determina la funcion v, a partir de su diferencial dv, noes necesario considerar la constante de integracion pues si en lugar dev se considera v+c, c constante, entonces:

∫udv = u(v + c)− ∫

(v + c)du = uv − ∫vdu


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Ejercicio 1.

Calcular:

J =∫eaxcosbxdx

Solucion: Escogemos.

u = eax → du = aeaxdx

dv = cosbx.dx→ v = 1/bsenbx

Entonces:

J = 1beaxsenbx −

∫ abeaxsenbxdx

El integrado del segundo miembro presenta la misma dificultad quela integral original, asi usamos una vez mas la integracion por partes.

Escogemos, u1 = a/beax → du1 = a2/beaxdx

dv1 = senbxdx→ v1 = −1/bcosbx y se tiene:

J = 1beaxsenbx− [− a

bxcosbx + a2

b2∫eaxcosbxdx]

J = 1beaxsenbx + a

b2eaxcosbx− a2

b2

J = [1 + a2

b2]eax(senbxb + acosbx

b2)

J =Ejercicio 2.

Calcular:


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I =∫ cosx+xsenx−1

(senx−x)2dx

Solucion:

I =∫ cosx+xsenx−sen2x−cos2x

(senx−x)2dx

I =∫ −cosx(cosx−1)−senx(senx−x)

(senx−x)2dx

I =∫ −cosx(cosx−1)

(senx−x)2dx− ∫ senxdx

(senx−x)

Para eso hagamos lo siguiente:

u = −cosx→ du = senxdx

dv = (cosx−1)dx(senx−x)2

?v = − 1(senx−x)

luego:

I = cosxsenx−x +

∫ senxdx(senx−x) −

∫ 1(senx−x)

I = cosxsenx−x + c

1.3.1.5. Artificios:

1.3.1.5.1. Integrales de algunas funciones que contienen un trinomiocuadrado. Integrales de algunas funciones que contienen un trinomio cuadrado.

1.∫ dxpx2+qx+r


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2.∫ dx√

px2+qx+r

3.∫ (ax+b)dxpx2+qx+r

4.∫ (ax+b)dx√

px2+qx+r

En los casos 1 y 2, es suficiente completar cuadrados en el trinomio y aplicar lasformulas correspondientes: (23), (24), (25) o (26). En los casos 3 y 4 usar el siguienteartificio.

a2a(2px + q)− aq

2p + b

La expresion 2px+ q es la derivada del trinomio cuadrado. Entonces :

∫ (ax+b)dx(px2+qx+r)

= a2p

∫[ (2px+q)dx(px2+qx+r)

] + (b− aq2p)

∫ dx(px2+gx+r)

= a2pLn|px

2 + qx + r| + (b− aq2p)

Por otro lado

∫ (ax+b)dx√px2+qx+r

= a2p

∫ (2px+q)dx√px2+qx+r

+ (b− aq2p)

∫ dx√px2+gx+r

= ap

√px2 + qx + r(b− aq

2p)

Calculo de las siguientes integrales (nivel 1) usando artificio.Calcular:∫ 3dx

4x2+4x−3

Solucion:

∫ 3dx4x2+4x−3

= 32

∫ 2dx(2x+1)2−4

= 38Ln|

2x−12x+3 + c|


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Calculo de las siguientes integrales (nivel 2) usando arti-

ficio.

∫ (3x−5)dxx2+6x+18

Solucion:

3x− 5 = 32(2x + 6)− 9− 5 = 3

2(2x + 6)− 14, entonces

= 32Ln(x2 + 6x + 18)− 14

3 arctg(x+33 ) + c

∫ (3x−5)dxx2+6x+18

= 32

∫ (2x+6)dxx2+6x+18

− 14∫ dx

(x+3)2+9

Calculo de las siguientes integrales (nivel 3) usando arti-

ficio.

∫ (3e2x−4ex)dx√4ex−e2x−3

Solucion:

I =∫ (3e2x−4ex)dx√

4ex−e2x−3=

∫ (3ex−4)exdx√4ex−e2x−3

Sustituyendo tenemos:

I =∫ (3t−4)dt√

4t−t2−3= −3

2

∫ (4−2t)dt√4t−t2−3

+ 2∫ dt√

1−(t−2)2

= −3√

4t− t2 − 3 + 2arcsen(t− 2) + c

= −3√

4ex − e2x− 3 + 2arcsen(ex − 2) + c

1.3.1.5.2. Integrales de algunas funciones trigonometricas. Las integrales

de la forma∫R(x,

√(px2 + qx+ r))dx donde R es una funcion racional en las vari-

ables x y√

(px2 + qx+ r) se puede simplificar por medio de una sustitucion trigonometri-


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ca adecuada.

El trinomio px2 + qx+ r, completando cuadrados, puede ser escrita como: u2 +a2ou2 − a2oa2 − u2 donde a es una constante.

I) Si el trinomio tiene la misma forma a2 − u2 , mediante la sustitucion

u = asenθ, a > 0

Se elimina el radial,√

(a2 − u2) = acosθ Tambien se tiene que du = acosθ

Para regresar a la variable original u, se emplea el triangulo:

II) Si el trinomio tiene la forma a2 + u2, mediante la sustitucion

u = atgθ, a > 0

Se elimina el radical, pues√

(a2 + u2) = asecθ. Tambien se tiene quedu = asec2θdθ.

Para regresar la variable original u, se emplea el triangulo

III) Si el trinomio tiene la forma u2 − a2, mediante la sustitucionu = asecθ, a > 0, se elimina el radical, pues,

√(u2 − a2 = atgθ). Tam-

bien que du = asectθgθ


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Para regresar a la variable original u, se emplea el triangulo

Ejercicio 1.

Calcular: I =∫√

(9− x2)dx

Solucion:

I =∫√

(32 − x2)dx =∫√

(9− 9senθ)3cosθ

I =∫

9cos2θ = 92

∫(1 + cos2θ)dθ

I = 92(θ + senθ) + c

Entonces como resultado tenemos:

I = 92[arcsenx2 +

x√

(9−x2)

9 + c

Ejercicio 2.

Calcular:I =∫ x3dx√

(x2+2x+5)


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Solucion:

I =∫ x3dx√

x2+2x+5=

∫ x3dx√(x+1)2+4

=∫ (2tgθ−1)32sec2θ

2secθ

=∫(2tgθ − 1)3secθ

=∫(8tg3θsecθ − 6tg2θsecθ + 6tgθθsecθ − secθ)dθ

= 83sec

3θ − 3secθ + 2Ln|secθ + tgθ| − 2secθ + c1

Por lo tanto, el resultado sera:

= 13(x2 + 2x+ 5)(3/2)− 4

3(x+ 1)√

(x2 + 2x + 5) + 2Ln|x+

1 +√

(x2 + 2x + 5)| −√

(x2 + 2x + 5) + c


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1.4 CONCLUSIONES

1 Se realizo satisfactoriamente el reconocimiento de formulas basicas en inte-grales, pudiendo aportar 31 formulas elementales.

2 Se evaluaron los artificios en 10 problemas de esta forma se determino cuan im-portantes pueden ser debido a la capacidad de simplificar problemas complejos.

3 Se aprendio adecuadamente el manejo y desarrollo de las capacidades en eldesarrollo del programa latex.


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1.5 BIBLIOGRAFIA

* Maximo Mitacc- Luis Toro. TOPICOS DE CALCULO VOL(II) Primera Edi-cion. Editorial San Marcos. Lima, mayo de 1984.

* http://www.elsolucionario.org/analisis-matematico-ii-eduardo-espinoza-ramos-1ed/

* https://www.fing.edu.uy/ canale/latex.pdf* http://www.rinconmatematico.com/latexrender/


Ing. Civill

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