Malmö högskola Lärarutbildningen
Natur, miljö och samhälle
Examensarbete 15 högskolepoäng
Integration rytmik och matematik Ett sätt att förbättra elevers förståelse för matematiska ord och begrepp?
Integration Eurhythmics and Mathematics A way to improve pupils comprehension of mathematical terms and conception?
Linda Cronberg Lena Johannsen
Lärarexamen 210 hp Matematik och lärande 2010-01-15
Examinator: Mats Areskoug Handledare: Lena Andersson
2
3
Sammanfattning
Vårt syfte är att undersöka om elevers matematiska språk och begrepp gynnas av en
ämnesintegration mellan rytmik och matematik. För att kunna besvara våra
frågeställningar har vi gjort klassrumsobservationer, elevenkäter, intervjuat fem
elever och två pedagoger. Resultatet av vår undersökning visar att pedagogernas
språkliga medvetenhet reflekteras i deras undervisning. Pedagogerna använder sig av
ett tydligt och korrekt matematiskt språk. Matematiska ord och begrepp synliggörs
tydligt i ett för eleverna verklighetsförankrat sammanhang, genom ämnesintegration.
Detta kan enligt pedagogerna öka elevernas förståelse för matematiska ord och
begrepp.
Nyckelord: Matematiska ord och begrepp, matematiskt språk, rytmik,
ämnesintegrerad undervisning
4
5
Innehållsförteckning
1. Inledning ....................................................................................................................7 1.1 Bakgrund..............................................................................................................7 1.2. Syfte och frågeställning ......................................................................................8
2. Litteraturgenomgång..................................................................................................9 2.1. Språkets betydelse för lärandet ...........................................................................9 2.2. Språkets betydelse för lärandet i matematiken .................................................10 2.3. Matematiska begrepp ........................................................................................12 2.4. Ämnesintegrerad undervisning .........................................................................12 2.5. Ämnesintegration rytmik – matematik .............................................................14
3. Metod .......................................................................................................................17 3.1. Datainsamlingsmetoder.....................................................................................17
3.1.1. Klassrumsobservationer.............................................................................17 3.1.2. Elevenkät....................................................................................................18 3.1.3. Pedagog- och elevintervju..........................................................................18
3.2. Urval .................................................................................................................19 3.3. Procedur ............................................................................................................20
3.3.1. Besök..........................................................................................................20 3.3.2. Pilotundersökning ......................................................................................20 3.3.3. Undersökningen .........................................................................................20
3.4. Validitet och Reliabilitet ...................................................................................21 4. Resultat och analys ..................................................................................................23
4.1. Rytmikmatematiklektionens utförande.............................................................23 4.2. Matematiklektionens utförande ........................................................................24 4.3. Klassrumsobservation av ord och begrepp .......................................................25 4.4. Elevenkäter .......................................................................................................26 4.5. Intervjuer med eleverna ....................................................................................29 4.6. Pedagogintervju ................................................................................................29
4.6.1. Intervju med rytmikpedagog......................................................................29 4.6.2. Intervju med matematikpedagog................................................................31
5. Diskussion................................................................................................................33 5.1. Tillförlitlighet....................................................................................................33 5.2. Vilka möjligheter finns det för språk och begrepp att synliggöras i en ämnesintegrerad rytmik – matematik undervisning?...............................................33 5.3. Utnyttjas möjligheterna att synliggöra matematiska ord/begrepp i ämnesintegrerad rytmik – matematik undervisning?...............................................34 5.4. Fördelar med att ämnesintegrera rytmik – matematik undervisning ................37 5.5. Vidare forskning ...............................................................................................37
6. Referenser ................................................................................................................38 6.1. Litteratur ...........................................................................................................38 6.2. Webreferenser ...................................................................................................40
Bilagor
6
7
1. Inledning
1.1 Bakgrund
Enligt PISA (Programme for International Students Assessment) 2003 presterar
svenska elever allt sämre i matematik. Som blivande matematiklärare för
grundskolans yngre år är vi bekymrade över denna utveckling. Under vår utbildning
har vi blivit medvetna om vikten av kreativ matematikundervisning. Detta ger
eleverna möjlighet att utveckla matematiska strukturer och lättare ta till sig
matematikkunskap eftersom det erbjuder en möjlighet att tydligare
verklighetsförankra ämnets ord och begrepp. Vygotskij menar att kreativitet är när
något nyskapas, i sinnet eller i handling och denna kreativitet begränsar sig inte bara
till det konstnärliga området utan kan användas överallt (Vygotskij, 1995/1930).
Under vår verksamhetsförlagda tid har vi dock sällan fått uppleva detta i klassrummet.
Oftast arbetar eleverna med individuell, tyst räkning i sina matematikböcker. Detta
tror vi kan vara anledningen till att eleverna presenterar sämre och att deras
begreppsuppfattning inte är så välutvecklad. Ett exempel på detta är eleven Benny i
Erlwangers (1973) artikel som visar på vilka missuppfattningar enskild räkning kan
ge. Enligt Riesbecks doktorsavhandling På tal om matematik (2008) kan elevers
dåliga prestationer i matematik bero på att eleverna inte har tillräcklig förståelse för
de ord och begrepp som används.
Vår hypotes är att om man kombinerar matematik med andra ämnen får eleverna
möjlighet att genom ett varierat arbetssätt använda sig av flera olika sinnen. Vilket
kan öka förståelsen och möjligheten för eleverna att ta till sig de olika ord och
begrepp som matematiken är uppbyggd på.
Under vår litteratursökning fann vi en rapport som beskriver ett samarbete mellan
rytmik och matematik. Detta arbete väckte vårt intresse för denna ämnesintegration,
och vi tog kontakt med författarna. Efter ett besök på en av pedagogens lektioner
bestämde vi oss för att vi ville undersöka om integrerad rytmik – matematik
undervisning kan öka elevers förståelse för matematikens ord/begrepp.
8
1.2. Syfte och frågeställning
”Berätta – och jag hör. Visa mig – och jag ser. Gör mig delaktig – och jag förstår”
Konfucius 551- 479f.kr (Hultberg, 2007 s 15).
Syftet med vår undersökning är att undersöka om elevernas matematiska språk gynnas
av en ämnesintegration mellan rytmik och matematik.
Våra frågeställningar är:
• Vilka möjligheter finns det för språk och begrepp att synliggöras i en
ämnesintegrerad rytmik – matematik undervisning?
• Hur utnyttjas möjligheterna att synliggöra matematiska ord/begrepp i
ämnesintegrerad rytmik – matematik undervisning?
9
2. Litteraturgenomgång
2.1. Språkets betydelse för lärandet
Kommunikativa processer är en förutsättning för människans lärande och utveckling
utifrån ett sociokulturellt lärande. Det är genom att lyssna, samtala, härma och
samverka med andra som barnet får del av kunskaper och färdigheter ända från sin
tidiga barndom och lär sig vad som är intressant och värdefullt i kulturen.
Grundvillkoret för att lärande ska kunna ske är språk och kommunikation, och viljan
att lära beror på upplevelsen av meningsfullhet i lärandet. Interaktion och samarbete
betraktas som helt avgörande för lärande. Kunskap konstrueras genom samarbete i en
kontext och inte genom individuella processer (Dysthe, 2003). Vidare menar Dysthe
att lärandet har med relationer att göra, genom deltagande och genom deltagarnas
samspel, språk och kommunikation sker lärande och dessa är grundläggande element i
läroprocessen. Genom praktisk aktivitet där elever i grupper samverkar konstrueras
kunskap. Pramling & Sheridan (2006) menar att genom språket erövrar barnen
omvärlden. I en oavbruten växelverkan utvecklas språk och lärande av varandra.
Språket används för att förstå, tänka och förmedla till andra. Från samtal med andra
till inre samtal utvecklas tänkandet, språket blir länken mellan kommunikationen med
andra och tänkandet. Bakhtin (Dysthe, 2003) menar att all kommunikation i grunden
är dialogisk, att mening och förståelse uppkommer som ett samarbete mellan den som
talar, skriver och den som läser.
Sex sammanfattande aspekter på den sociokulturella synen på lärande:
• Lärandet är situerat, vilket betyder att många sinnen är aktiva
• Lärande är huvudsakligen socialt, vilket innebär att inlärning sker i samverkan
med andra
• Lärandet är distribuerat, vilket betyder att alla inte innehar lika mycket eller
samma kunskap
• Lärande är medierat, det vill säga inlärning sker med olika verktyg och
hjälpmedel
• Språket är grundläggande i läroprocesserna
• Lärandet är deltagande i en praxisgemenskap
(Dysthe, 2003)
Vårt tänkande och lärande utvecklas i samtalen där man kan klargöra de övergångar
som behövs för att gå från konkret till abstrakt verksamhet. Kommunikation och
10
interaktion är idag grundläggande processer enligt många forskare när det handlar om
den kognitiva socialisationen av människor. Språklig kommunikation är unik som
medierande redskap. Elever är starkt formade av skoldiskursen enligt studier och för
att förändra detta krävs att vi utvecklar en språklig växelverkan mellan symbolen,
begreppet och verkligheten (Riesbeck, 2008).
För att språket ska kunna utvecklas till ett bra verktyg för lärande och tänkande
behöver det användas på ett varierande sätt. Det är därför viktigt att pedagogen
använder sig av ett rikt och fylligt språk. Lärandet sker bättre när många sinnen är
aktiva än när barnen sitter stilla och lyssnar på pedagogen. För att kunna utvecklas
språkligt behöver eleverna få möjlighet att vara språkligt aktiva, de behöver få
samtala, diskutera och berätta under lektionerna. Fördelen med att låta elever få arbeta
i grupp kan vara att gruppen har mer kunskap än vad varje enskild elev har om ämnet
(Ladberg, 2000).
2.2. Språkets betydelse för lärandet i matematiken
Enligt Löwing (2008:1) är ett adekvat språk en viktig förutsättning för att lära sig
matematik. Matematikens språk är exakt men samtidigt ordknappt och detta är ett
stort problem enligt Löwing (2008:1). Ett exempel på detta är räknehändelsen som
följer: Lisa bakar 12 Lussekatter, Pelle äter 4 stycken, Sara äter 3 stycken och Maja
äter 2 stycken. Hur många kan Lisa äta? Vilket med ett matematiskt språk skrivs 12-
4-3-2=__. Det kortfattade matematiska uttrycket med speciella termer kräver stor
uppmärksamhet från eleverna, då det gäller för eleverna att hinna uppfatta all
information under en genomgång eller vid en förklaring. Här gäller det att pedagogen
är medveten om problemen med matematikens speciella språk och att det berör elever
från förskola till universitet. Att undvika ett matematiskt språk för att istället använda
ett vardagsspråk är inte en lösning på problemet, då hindras eleverna att utveckla sitt
kunnande. Istället bör pedagogerna utveckla elevernas språk successivt för att göra
det möjligt att kommunicera och hantera formell matematik. En bidragande orsak till
den kris som i dagens matematikundervisning föreligger kan vara bristen på ett
adekvat språk (Löwing, 2006).
Med en bra kommunikation i klassrummet ökar enligt Löwing (2008:1) inlärningen.
Det är med hjälp av språket som eleverna tillägnar sig matematisk information,
bearbetar den, kommunicerar och konstruerar ny kunskap (Löwing & Kilborn, 2002).
11
Språk och kommunikation gynnar lärandet, dialogen mellan pedagoger och elever är
en tillgång för utvecklingen av matematiska begrepp och matematisk förståelse (Gran,
1998).
För att få en funktionell kommunikation i klassrummet krävs det att deltagarna har ett
gemensamt språk samt förståelsen inom det undervisande området är gemensam.
Löwing (2008:1) delar upp det undervisande språket i följande två delar
Formellt undervisningsspråk
• Beskrivande (algoritmiskt) språk
• Förklarande språk
Informellt undervisningsspråk
• Tillämpad (vardagsanknutet) språk
• Laborativt (manipulativt) språk
Ett vanligt problem i klassrummet är att pedagogerna har svårt att nå eleverna med
sina förklaringar, ofta pratar elever och pedagoger förbi varandra. Pedagoger är ofta
inte medvetna om elevernas förkunskaper och pedagoger använder ett formellt språk
när de ska förklara även om de använt sig av ett laborativt arbetssätt. Det är sällan
pedagogerna använder sig av ett informellt språk med konkretisering. Genom att
pedagogen konkretiserar sin undervisning bidrar det till att ge förståelse och att bygga
upp ny kunskap utifrån egna erfarenheter. Att konkretisera innebär att pedagogen med
hjälp av material och erfarenheter visar matematiska samband och begrepp. Ett
material används som stöd för språket för att eleverna ska tillägna sig det som
pedagogen önskar (Löwing, 2008:1).
Det är pedagogen som ansvarar för diskursens utformning, vilket betyder att pedagog
ska kunna ta elevernas perspektiv. De behöver behärska ett språk som inte bara
fungerar för att förklara på ett formellt sätt, utan pedagogerna måste kunna
konkretisera och verklighetsanpassa det som ska förklaras för eleven. Pramling &
Sheridan (2006) menar att nyckeln till matematisk förståelse är språket som i
kommunikation skapar mening. Barnen utvecklar matematiken som språk genom att
göra matematiska begrepp till en del av sin erfarenhetsvärld. Genom att pedagogerna
riktar barnens uppmärksamhet när de sorterar, ordnar, mäter, väger jämför samt
räknar föremål i vardagliga sammanhang upptäcker barnen matematikens värld.
Pramling & Sheridan (2006) menar även att matematisk förståelse utvecklar barn bäst
genom vardagliga, funktionella och meningsfulla sammanhang. Det är viktigt att
12
pedagogen uppmärksammar matematiken och grundläggande matematiska begrepp
samt synliggör och problematiserar vardagen för att barnen ska få möjlighet att
reflektera och lösa problem där matematiken lyfts fram.
2.3. Matematiska begrepp
Matematiken är uppbyggd kring begrepp och ryggraden i en matematisk struktur
utgörs av de matematiska begreppen som enligt Wyndhamn (1987) rör
• Antal
• Storheter och mätetal
• Del av (bråk)
• Tals storleksordning
• Positionssystemet
• Räknesätt
När man introducerar nya matematiska ord och begrepp i skolan är det viktigt att
eleverna lär sig deras fulla betydelse (Löwing, 2006). Det är viktigt att pedagogen har
kännedom om elevernas förförståelse eftersom eleverna kan ha olika uppfattningar
om samma begrepp. Detta kan i slutändan leda till stora missuppfattningar mellan
pedagog och elev (Löwing, 2008:2). Kända svårigheter för elever är till exempel
tiotalövergångar. Eftersom elever är vana vid att efter nio kommer tio kan de vid
uppräkning av högre tal fortsätta att räkna: trettionio, trettiotio istället för trettionio,
fyrtio vilket sedan kan leda till svårigheter med att förstå räkneföljden av decimaltal.
En annan svårighet för elever kan vara att översätta en textuppgift till ett matematiskt
uttryck eftersom sammanhanget inte alltid är klart för dem och då kan de inte dra
lämpliga slutsatser och formulera sig matematiskt korrekt. För att undvika detta
problem behöver elever diskutera och öva på liknande uppgifter (McIntosh, 2008).
Även ”lika med” är ett begrepp som ofta missuppfattas och tolkas av många elever
som ”det blir”, och detta kan vara ett skäl till att eleverna senare får problem med
bland annat ekvationer (Löwing, 2006).
2.4. Ämnesintegrerad undervisning
Enligt Egidius (2006) betyder ämnesintegration användning av kunskaper och
tekniker från två eller flera ämnesområden vid studiet av ett konkret fenomen.
13
Genom att arbeta integrerat skapas ett sammanhang som underlättar hjärnans sätt att
lära eftersom hjärnan aktivt söker efter kontext. Genom ett ämnessamarbete kan
eleverna känna igen sig, orientera sig och knyta samman med tidigare lektioner
(Ladberg, 2000). Skolöverstyrelsen (1998) beskriver begreppet spiralprincipen, vilket
betyder att grundläggande idéer och begrepp ska införas tidigt för att kunna bli
välutvecklade och nyanserade. När nya arbetsområden bygger vidare på föregående
och samverkar tillsammans med andra ämnen, kan eleverna använda begrepp på ett
mer avancerat sätt och undervisningen utvecklas kontinuerligt och bli mer abstrakt
(Skolöverstyrelsen, 1998).
När integrerade ämnen vävs samman till en helhet tränas färdigheter så som att skriva
och läsa i funktionella sammanhang och traditionella läromedel kan läggas åt sidan
(Nilsson, 1997). För att kunna ta till sig något från ett ämne anser Löwing & Kilborn
(2002) att det behövs tillskott från andra ämnen. Skolöverstyrelsen (1998) menar att
elever bör bearbeta ny kunskap tillsammans med redan känd kunskap för att kunna
dra egna slutsatser och inte bara återge faktakunskaper. Enligt skolverkets rapport
Lusten att lära (2003) ger ämnesintegrerad undervisning elever tillfälle att lära på
olika sätt då integrerad undervisning är varierad, flexibel och stimulerad.
Diagrammet nedan visar hur man kan beskriva olika typer av integrerad undervisning.
Nedan beskrivs ytterligheterna:
Diagram 1 ”Sambandet mellan antal integrerade ämnen och ämnesdjupet” av Halvorsen, 1977 (Svingby, 1986)
• Om integrations bredden och djupet är maximalt används alla ämnen under all
undervisningstid och undervisningen liknas vid tematisk undervisning.
14
• Om ett fåtal ämnen är integrerade och mycket tid finns tillgängligt finns det
större möjlighet att gå in på djupet.
• Om alla ämnen integreras finns det inte mycket tidsutrymme för fördjupning
(Halvorsen 1977).
Ett ämne som ofta hamnar utanför ämnesintegrationer är matematik menar bland
annat Löwing & Kilborn (2002) och Skolverkets rapport (2003).
2.5. Ämnesintegration rytmik – matematik
I Svenska Akademiens ordlista (SAOL) (1998) finns beskrivningen för ordet estetik
”vetenskapen om det sköna” men den ursprungliga betydelsen, menar Paulsen (1996)
är kunskap som man tillägnat sig genom sina sinnen. I sin bok Estetik i förskolan
menar Paulsen (1996) att de estetiska ämnena såsom musik, bild och drama med flera
kan vara en bra metod att använda för att nå mål inom andra ämnen. Ulin (2003) ger
konreta exempel i sin bok Matematik & musik på hur man kan integrera matematik
och musik. Bland annat kan barnen hoppa hage och därigenom lära sig känna rytmen
samtidigt som de kan räkna hoppen de gör. För äldre elever kan man direkt koppla
matematikens bråk med musikens notvärden. Men det är viktigt att skilja på att
integrera ämnen och på att använda estetiska ämnen som en sysselsättning utan något
lärandesyfte. Estetik kan sägas vara en motpol till den kunskap som fås genom
förstånd och tanke (Paulsen, 1996). ”Det krävs en estetisk form så att kunskaperna
kan levandegöras” menar Lindqvist (1996).
Rytmik innebär en ”systematiserad övning av den musikaliska sensibiliteten genom
kroppsrörelser” (Nationalencyklopedin). Men att finna vilka moment som ryms i
ordet rytmik är svårare. Frister – Lind har valt att dela upp rytmiken i följande fyra
delar: Rytm och pulskänsla, att kunna uttrycka musik i rörelse, förmågan att utveckla
ett spontant skapande och slutligen röst, ton och klangmedvetenhet (Frister – Lind,
1999). Vernersson (1988) visar på riktlinjer för uppbyggnad av en lektion rytmik i
följande sex delar: skapande i grupp, drama, avspänning, dans/rörelse, metrik och
grupp/samspel, där rörelse genomsyrar och binder samman alla moment. Doverborg
m.fl. (1999) ger exempel på hur man för yngre barn kan kombinera rytm, matematik
och språk genom att barnen får klappa stavelserna i sitt namn. Därefter får barnen lika
många klossar som motsvarar antalet stavelser. Därefter kan barnen rada upp
15
klossarna och sortera från den som har färst till den som flest. Slutligen kan barnen
rita av klossarna och presentera dem i ett stapeldiagram (Doverborg m.fl. 1999).
När man med hjälp av sina sinnen tolkar, sorterar och sätter intryck i samband med
tidigare erfarenheter använder man sig av perception. Detta kan betyda att man
uppfattar, urskiljer, minns, upptäcker saker i sin omgivning genom sin hörsel, syn,
känsel och rörelse (Sandborgh & Stening – Furén, 1986). Perception menar Forsström
(1995) är nära knutet till uppmärksamhet och när man är uppmärksam så väljer man
att rikta sig mot en bestämd sak. Men perception hjälper också till att filtrera och välja
den kunskap som är relevant. Koncentration i sin tur behövs för att barnen ska kunna
hålla kvar sin uppmärksamhet på en sak och stänga ute de störande moment som finns
runt om kring. Barns uppfattningsförmåga har en stark knytning till deras motorik och
den behöver därför tränas upp för att barnen ska kunna utveckla sin perception. En
grundläggande perceptionsförmåga är en given förutsättning för att barn ska kunna
avancera i sin bearbetning av minne, språk, problemlösning och begreppsbildning
(Forsström, 1995). Sandborgh m.fl. menar att en icke välutvecklad
perceptionsförmåga kan ge barn problem med att bestämma storleksordning och
känna igen former. Det kan också ge svårigheter att förstå lägesord såsom på, under,
bakom och så vidare (Sandborgh & Stening – Furén, 1986).
Leken menar Paulsen (1996) är ett sätt att kreativt förhålla sig till omgivningen. Lek
menar Ayres (1983) är något barn kan göra som förberedande för inlärning. Lindqvist
(1996) skriver i boken Lekens möjlighet att barn bör få möjlighet till lek som kopplas
till respektive ämne i skolan. I matematiken kan det vara att ha en affär eller ett
postkontor i skolan. Detta ger barnen möjlighet att på ett lekfullt sätt lära sig
grunderna i matematiken och kan därigenom även öka barns medvetenhet om
omvärlden. Pramling – Samuelsson m.fl.(1999) menar att leken även ger barn
möjlighet att använda och bekräfta uttryck som de lärt sig samtidigt som den ger
möjlighet att konkretisera orden och sätter dem i relation med verkliga händelser och
saker. Vidare ger leken barnen möjlighet att öva sig på att uttrycka sig så att andra
barn och vuxna förstår dem. Levy (Paulsen, 1996) har påpekat tre gemensamma drag
som är typiska för både estetiska aktiviteter och lek, nämligen:
• Inre motivation, om det inte finns inre motivation finns det ingen möjlighet att
driva aktiviteten vidare.
16
• Upphävandet av verkligheten, att jaget åsidosätts när man ger sig hän i
aktiviteten.
• Inre bas för kontroll, att barnet få känna att det styr, kan ta initiativ och själv
har kontroll över aktiviteten (Paulsen, 1996).
Barns skapande och kreativa arbete har en viktig betydelse har för deras mognad och
allmänna utveckling. Mycket tidigt i barns lekar kan man se spår av den kreativa
processen. Kreativitet menar Vygotskij är något som nyskapas, i sinnet eller i
handling och denna kreativitet begränsar sig inte bara till det konstnärliga området
utan kan användas överallt (Vygotskij, 1995/1930).
Enligt Vygotskij (Lindqvist, 1996) är leken ett sätt att låta barn lära utan att det ska bli
instrumentellt. Sättet att tillgänga sig kunskap på har Skemp (1976) valt att dela in i
två kategorier, instrumentell och relationell förståelse. Om en elev lär sig en
matematisk formel men inte varför den används då menar Skemp att det är
instrumentell förståelse, man gör men förstår inte. Om eleven däremot har kunskapen
om hur och varför formeln används, och sedan i sin tur kan använda detta i andra
sammanhang då kallas det för relationell förståelse (Skemp, 1976).
17
3. Metod
3.1. Datainsamlingsmetoder
I vår undersökning är det elevernas språkutveckling och förståelse för matematiska
ord och begrepp som står i fokus. Utgångspunkten för vår undersökning är våra
frågeställningar:
• Vilka möjligheter finns det för språk och begrepp att synliggöras i en
ämnesintegrerad rytmik – matematik undervisning?
• Hur utnyttjas möjligheterna att synliggöra matematiska ord/begrepp i
ämnesintegrerad rytmik – matematik undervisning?
Eftersom vi endast gjort vår undersökning i en klass kan resultatet på frågeställning 2
endast ses som en fallstudie och inga generella slutsatser kan dras av resultatet.
För att kunna besvara dessa kräver undersökningen flera olika metoder såsom
klassrumsobservation, intervjuer och elevenkäter (Johansson & Svedner, 2006).
Klassrumsobservationen är en öppen observation och ger oss tillträde till det
matematiska språk som används under lektionerna (Teorell & Svensson, 2007).
Valet av att genomföra enkäter motiveras med möjligheten att få bra överblick över
klassens kunskap och det är tidsbesparande i jämförelse med elevintervjuer. Vi har
valt en kvalitativ, strukturerad enkät som innehåller öppna frågor (Teorell &
Svensson, 2007).
Intervjufrågorna till eleverna är delvis strukturerade men standardiserade. Detta
innebär att deras möjligheter att svara är begränsade men lämnar ändå utrymme för
eleven att svara fritt och att varje intervju innehåller samma frågor. Pedagogernas
intervjuer är kvalitativ, har en låg grad av standardisering men en hög grad av
strukturering. En kvalitativ intervju ger svar på pedagogernas ”uppfattningar om
något fenomen” (Patel & Davidson, 2003 sid 78) men också en insikt i
informanternas egna erfarenheter och känslor (Dalen, 2007).
3.1.1. Klassrumsobservationer
Undersökningen startade med en klassrumsobservation. Under
klassrumsobservationerna satt vi på skilda platser i klassrummet och observerade
pedagogernas språkbruk för att anteckna de matematiska ord/begrepp som användes.
Vi närvarade under två lektioner för att systematiskt registrera pedagogernas
18
matematiska språk. Under observationen satt vi med på en rytmik - matematiklektion
och efterföljande matematiklektion. Observationerna gjorde vi för att kunna
sammanställa vilka ord/begrepp som pedagogerna använt, detta lade vi sedan som
grund för elevernas enkäter och intervjuer.
3.1.2. Elevenkät
Vi använde elevenkäter (bilaga 1) för att ta reda på elevernas förståelse för det
matematiska språk som pedagogerna använder. Då elever har olika sätt att uttrycka
sig på valde vi att utforma enkäten så att dessa möjligheter utnyttjas (Höines, 2006).
Enkäten utformades med fyra kolumner och tre rader, första kolumnen lämnades utan
text för att vi i förhand inte kunde veta vilka ord/begrepp som skulle användas under
lektionerna. I de resterande tre kolumnerna hade eleverna möjlighet att:
• förklara orden/begreppen med egna ord och/eller med en bild
• koppla samman det med en aktivitet från lektionerna under dagen
Att det bara finns tre rader per sida är för att ge eleverna utrymme till att kunna skriva
och rita utan att det blir för litet.
Elevenkäter är anonyma och gjorda under ledning. Det vill säga att vi var närvarande
under tiden för att kunna ge eleverna hjälp och förtydliga om det behövdes. Vid
insamlingen har enkäterna numrerats, men endast för att kunna se vilka sidor som hör
ihop, inte vem som har gjort vilken enkät. När eleverna skulle besvara enkäten fick de
själva fylla i orden/begreppen som vi valt ut och skrivit på tavlan, i respektive ruta.
3.1.3. Pedagog- och elevintervju
Vi har gjort kvalitativa djupintervjuer, med de involverade pedagogerna (bilaga 2)
och några av eleverna (bilaga 3), för att få svar på våra frågeställningar. Våra
intervjufrågor är formulerade som öppna, korta frågor som ger möjlighet till
uttömmande svar.
Under intervjuerna med pedagogerna ville vi få svar på om hur medvetna de är i sitt
språkbruk i sin undervisning, varför de har valt att arbeta integrerat och vilka fördelar
detta kan ge för utvecklingen av elevernas matematiska språk.
Exempel på pedagogfråga är: Kan du ge exempel på hur rytmiken gynnar språk och
begreppsutveckling i matematik?
19
Genom elevintervjuerna ville vi gå djupare in på deras förståelse för de matematiska
begrepp och språkliga uttryck som används av pedagogerna under dagens lektioner.
Exempel på elevfråga är: Kan du komma på några matematikord som du eller
pedagogerna har använt idag? Vilka?
3.2. Urval
Undersökningen är gjord på en och samma F – 6 skola i södra Sverige. Här arbetar två
pedagoger som integrerar rytmik och matematik. Rytmikpedagogen är examinerad
1976 och har sedan 15 år tillbaka arbetat med integration rytmik och matematik.
Denna skola är dock inte hennes fasta bas utan detta är en av flera skolor som hon
besöker. Rytmikpedagogen har ansvar för planering och utförande av
rytmiklektionen men matematikpedagogen är aktiv i planering och utförande.
Matematikpedagogen är i grunden utbildad småskolelärare men då matematik alltid
har varit ett stort intresse har hon valt att fördjupa sin matematiska kunskap genom
fortbildningar på högskola. Hon har även ett stort intresse för estetiska
uttrycksformer. Det var av en ren slump dessa pedagoger började arbeta tillsammans
för cirka tio år sedan och de har sedan samarbetet började läst en matematikkurs
tillsammans på högskola.
Den klass i skolår två som vi gjorde vår undersökning i har integrerad matematik- och
rytmikundervisning. De har först en lektion i rytmik och direkt efter en lektion i
matematik som bygger på föregående rytmiklektion. Vi har inte tidigare haft kontakt
med varken pedagogerna eller skolan. Men som vi tidigare nämnt fann vi dessa
pedagoger under vår litteratursökning. Klassen som undersökningen är gjord i består
av 17 elever men ingen har svenska som modersmål. Dock har vi valt att inte
undersöka vilken påverkan modersmålet kan ha utan vi koncentrerar oss enbart på hur
det matematiska språket i undervisningen synliggörs. Vi har gjort enkätundersökning
med 16 av de 17 eleverna då en elev var frånvarande på undersökningsdagen. Vi
utförde endast fem elevintervjuer, detta låga antal beror på att det var endast från
dessa elevers föräldrar som vi fått in medgivandeblanketten.
20
3.3. Procedur
3.3.1. Besök
För att undersöka om det finns möjlighet att få svar på vår frågeställning, ”Vilka
möjligheter finns det för språk och begrepp att synliggöras i en ämnesintegrerad
undervisning?”, besökte vi rytmikpedagogen när hon hade en rytmik- och
matematiklektion på en liten skola i södra Sverige.
Efter detta besök utformades en mall för enkätundersökningen till eleverna och ett
brev (bilaga 4) som eleverna skulle ta hem till sina föräldrar. Här informerades
föräldrarna om att vi skulle komma, vad som skulle göras samt att eleverna skulle få
göra en enkät i skolan. Vi bad om tillåtelse för att få göra enskilda intervjuer med
eleverna. Därefter utformades intervjuguider till pedagogerna och eleverna.
3.3.2. Pilotundersökning
Under vår pilotundersökning närvarade vi och observerade en rytmik -
matematiklektion och efterföljande matematiklektion. Vi valde att sätta oss på skilda
platser och antecknade de matematiska ord och begrepp som de båda pedagogerna
använde under dessa lektionen. Under lektionerna användes en diktafon för att spela
in och för att kunna gå tillbaka och lyssna vid behov. Efter lektionerna valde vi ut tre
matematiska ord/begrepp som skulle användas i vår enkät. Varje elev fick en enkät
tilldelad som de skulle fylla i efter våra muntliga och skriftliga instruktioner och deras
enskilda förmåga. Under tiden eleverna fyllde i enkäten gick vi runt och svarade på
deras frågor. Efter insamlingen av enkäterna från vår pilotstudie insåg vi att vi
behöver vara tydligare i våra muntliga instruktioner till eleverna.
3.3.3. Undersökningen
Vår undersökning började med observationer av lektionerna och hade samma
tillvägagångssätt som pilotstudien förutom att i stället för att använda diktafon för
dokumentation användes en videokamera, detta efter godkännande från pedagogerna.
Detta gjorde att vi kunde koncentrera oss på språket i stället för lektionens
uppbyggnad. Denna inspelning hade bara syftet att visa oss lektionens utförande och
inte att visas för någon annan. De matematiska orden och begreppen som framkom
21
under lektionerna listades och användes sedan i enkäter och intervjuer. Vi antecknade
inte hur frekvent ordet/begreppet använts utan bara att det använts.
De sex ord/begrepp vi valde ut till enkäten var: addition, bakåt, före, lika med, lika
många och par. Dessa ord/begrepp valde vi för vi ansåg att pedagogerna använt
tydliga förklaringar till dessa.
Enkäten valde vi att inte ändra efter pilotundersökningen men tillvägagångssättet har
bearbetats. Dels valde vi att visa eleverna ett övningsexempel på klassens smartboard,
dels kunde eleverna denna gång välja om de skulle beskriva med ord eller bild och att
de skulle beskriva ett ord i taget. Efter elevernas lunchrast utförde vi intervjuerna av
de fem elever vars föräldrar gett oss tillstånd. Vi satt i elevernas tomma klassrum och
intervjuade dem en i taget och dessa intervjuer spelades in med diktafon. Här använde
vi oss av tekniken att en intervjuar och den andre antecknar. Frågorna vi ställde tog vi
i turordning enligt intervjuguiden. Sista frågan på intervjun var vilka ord/begrepp som
eleven visste betydelsen av. De nio ord/begrepp som vi läste upp var utvalda från
observationen tidigare under dagen och dessa var: bakåt, bredvid, framför, framåt,
hälften, längst, nere, plats och uppe. Vi läste upp samtliga ord för eleverna och de
svarade ja eller nej beroende på om de kände igen ordet eller inte. Därefter fick
eleverna förklara några av dessa ord, som vi slumpmässigt valde ut från de nio orden.
Intervjuerna som tog ungefär 10 minuter per elev, har vi vid ett senare tillfälle
transkriberat.
På eftermiddagen gjordes djupintervjuerna med pedagogerna. Vi intervjuade en
pedagog åt gången, en av oss ställde frågorna och den andre förde anteckningar.
Intervjuerna som tog cirka 40 minuter per pedagog, spelades in på en diktafon och
därefter transkriberades.
3.4. Validitet och Reliabilitet
Reliabilitet beskriver Johansson & Svedner (2006) som mätnoggrannhet i de metoder
som använts för ett arbete. Vårt resultat kan försämrats av att tiden inte räckte till för
att alla elever skulle hinna slutföra enkäten, och att ordet ”bakåt” missuppfattades av
många elever. Detta gör att vår bild av elevernas förståelse för dessa orden inte är
fullständig. Eftersom det inte fanns någon möjlighet för oss att själva välja ut elever
till intervjuerna, då vi var tvungna att ta hänsyn till om vi fått föräldrarnas
22
godkännande, gör detta att vi inte hade någon möjlighet att själva bestämma vilka
elever som skulle intervjuas. Vilket i sin tur gör att det inte fanns möjlighet att gå
djupare in i situationer som vi fann intressanta då dessa elever kanske inte hade fått ett
medgivande. En annan orsak som kan förändra resultatet är att eftersom pedagogerna
visste om att vi skulle komma hade de speciellt förberett sin undervisning vilket
gjorde att den kanske hade ett bredare och mer spritt innehåll än om vi inte hade
kommit.
Validiteten ska enligt Johansson & Svedner (2006) beskriva om undersökningen ger
en sann bild av verkligheten. Vi anser att vi har fått ett tydligt svar på våra
frågeställningar. Dock innefattar vår undersökning bara en klass vilket gör att
resultatet på fråga 2 endast kan ses som en fallstudie och inte kan ge en generell
rättvis bild.
23
4. Resultat och analys
4.1. Rytmikmatematiklektionens utförande
Lektionen började med uppvärmning där eleverna stod i ring och följde pedagogens
rörelser till musik. När vi i detta avsnitt skriver pedagogen menar vi huvudsakligen
rytmikpedagogen. Sedan sjöng de en sång där man kombinerar rörelser och rytm som
pedagogen skrivit, som beskriver resan till mattelandet. Därefter skulle de välfördelat
gå runt i rummet till musik och beroende på om pedagogen gick fram- eller baklänges
skulle eleverna göra likadant, men utan att pedagogen sa något, det gällde för eleverna
att vara uppmärksamma.
Efter detta skulle de göra en räknebro. Då användes A4 papper med START, 10-hopp
från 10-100 och slutligen ”mattelandet” (bilaga 5). Dessa papper lades på rad och två
elever ställde sig vid varsin sida om start. När pedagogen slog uppe på trumman
skulle eleverna gå motsvarande steg framåt, varje slag på trumman motsvarade ett 10-
tal, det vill säga addera. När pedagogen slog nere på trumman skulle de gå tillbaka,
subtrahera. Eleverna fick då beroende på var på trumman det slogs gå fram eller
tillbaka på räknebron där ett steg motsvarade ett slag och dessa steg skulle helst göras
så att foten hamnade bredvid motsvarande tal. När eleverna landat på ”mattelandet”
var det tur för nästa par. När några elever gjort detta valde pedagogerna att täcka över
några av talen med vita ark för att utmana dem. Vid varje stopp fick eleven tala om
vid vilket tal de stod. Därefter täcktes ytterligare några papper över. När alla elever
gjort detta fick några prova på att göra detta med förbundna ögon. En pedagog gick då
bredvid eleven som gick längs mattebron medan rytmikpedagogen slog på trumman.
Även här skulle eleven efter varje trumsekvens tala om vid vilket tal den stod.
Därefter fick alla elever sätta eller lägga sig på golvet, ljuset släcktes och pedagogen
spelade så att eleverna kunde slappna av. Efter en stunds avspänning satte eleverna
sig upp och då sjöng de en sång som de sjungit vid andra tillfällen. Sången (bilaga 6)
handlade om en flundra som kunde räkna från 10 till hundra med 10-hopp, både
framlänges och baklänges. Normalt brukar eleverna även gå bredvid tal, från 10 till
100, 100 till 10 och slutligen 10 till 100 som ligger utlagda på golvet till denna sång.
Men på grund av tidsbrist sjöng de bara sången denna gång.
24
4.2. Matematiklektionens utförande
Efter rytmik – matematiklektionen gick eleverna direkt in till sitt klassrum.
Pedagogen började med att skriva lägesorden bakåt, framåt, före och efter på tavlan.
När vi i detta avsnitt skriver pedagogen avser vi i första hand klassläraren. Eleverna
fick diskutera vilka av dessa ord som hörde samman. Därefter ritade pedagogen upp
följande figur på tavlan:
30
Eleverna fick diskutera var man kunde placera orden i en kontext. Exempelvis: Vilket
tal kommer efter 30? Om jag går bakåt ett steg vilket tal hamnar jag på då? Detta knöt
pedagogen samman med föregående lektion då eleverna gått framåt och bakåt på
räknebron. Därefter delade pedagogen ut en stencil till varje elev (bilaga 7).
Pedagogen förklarade instruktionerna och samtalade om betydelsen av ordet lika med.
Hon jämförde detta med en gungbräda som hon ritade upp på tavlan för att visa att det
måste vara lika mycket på båda sidor om likhetstecknet. Slutligen fick eleverna arbeta
med stencilen. Under arbetet med stencilen hade eleverna möjlighet att få hjälp av
varandra eller de båda pedagogerna. Som en extra hjälp fanns fem par tior på
stencilen som eleverna kunde använda sig av.
25
4.3. Klassrumsobservation av ord och begrepp
De ord och begrepp som användes under lektionerna har listats nedan där vi har
sorterat dem utifrån Gudrun Malmers (1999) och Jan Wyndhamns (1987) uppdelning
av grundläggande matematikord och begrepp.
Ekvivalens
Lika med
Likhetstecknet
Lika många
Lika mycket på varje sida
Jämförelseord
Hälften
Längst
Många
Ringa in
Lägesord
Bakåt
Bredvid
Efter
Framför
Framåt
Före
I
Mitt i
Ner
Nere
Plats
På
Upp
Uppe
Positionssystemet
Tiotal
Ett steg fram är lika mycket
som ett 10-steg
Hur mycket är det värt?
Räkneord, antal
En
Ett
Två
Talen 10-100
Räknesätt
Addition
Minus
Plus
Subtraktion
Tio plus tio är lika mycket som 20
Storheter, mätetal
Meter
Uttryck
Par
Räknar
Sidan
Tal
Varannan
26
4.4. Elevenkäter
Resultatet av elevenkäterna (bilaga 1) har sammanställts i diagram 2. Det visar hur många
elever av de 16 som deltog i klassen, som har visat förståelse för respektive ord och hur
många som kunnat koppla det till en lärandesituation.
När vi bearbetade enkäterna valde vi att först sammanställa några kriterier för att analysera
vår empiri.
• Om eleven med egna ord eller en bild kunnat förklara sig så att det framgår att eleven
har förståelse för ordet/begreppet, tolkar vi svaret som fullständigt.
• Om eleven använt sig av symboler såsom likhetstecknet eller additionstecknet, tolkas
detta som en bild.
• Om eleven inte kunnat koppla ordet till en händelse från dagens två lektioner, utan
istället bara skrivit pedagogens namn tolkas detta som ofullständigt svar.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Lika
med Pa
r
Lika
mån
gaFö
re
Bak
åt
Add
ition
Förståelse genom egna
ord eller bild/symbol
Kunnat återkoppla till
lärandesituation
Diagram 2 ”Elevers förståelse av sex matematiska ord och begrepp”
27
Nedan har vi sammanställt resultaten av de matematiska orden och begreppen från
elevenkäten:
Lika med: Det var 15 av 16 elever som hade skrivit eller ritat en förklaring till ordet så att det
gick att utläsa att de hade en förståelse för ordet. 8 elever kunde ge en förklaring på en
aktivitet där ordet användes, 3 elever hade skrivit en felaktig lösning och fem elever hade inte
skrivit någonting.
Elevexempel 1. Elevexempel 2. Elevexempel 3.
Fullständigt svar Fullständigt svar Ofullständigt svar
Par: Alla 16 elever ger en förklaring till ordet men det var endast en elev som kunde koppla
det till en lärandesituation under dagen. De resterande 15 eleverna hade inte skrivit någonting
i rutan.
Elevexempel 4. Elevexempel 5.
Fullständigt svar Fullständigt svar
Lika många: 14 elever hade en fullständig förklaring till ordet och 2 elever hade inte skrivit
någonting. 3 elever kunde koppla det till en aktivitet, 1 elev hade en felaktig aktivitet och 12
elever hade lämnat rutan tom.
Elevexempel 6. Elevexempel 7. Elevexempel 8.
Fullständigt svar Fullständigt svar Ofullständigt svar
28
Före: På detta ord hade alla 16 elever gett en korrekt förklaring, 2 elever kunde koppla ihop
det med en aktivitet, 3 elever hade gett en felaktig lärandesituation, 10 elever skrev ingenting
och 1 elev hade en ofullständig förklaring.
Elevexempel 9. Elevexempel 10. Elevexempel 11.
Fullständigt svar Fullständigt svar Ofullständigt svar
Bakåt: 8 av eleverna visade förståelse för detta ord, 5 elever hade gett en felaktig förklaring
till ordet och 3 av eleverna hade inte skrivit någonting på detta ord. 1 elev kunde knyta
samman ordet med en aktivitet under dagen och 15 hade lämnat rutan tom.
Elevexempel 12. Elevexempel 13. Elevexempel 14.
Fullständigt svar Fullständigt svar Ofullständigt svar
Addition: 11 elever hade genom text eller bild gett en korrekt förklaring till ordet, 5 elever
hade lämnat rutan tom. Endast en elev kunde koppla ihop det med en lärandesituation och 15
elever hade inte fyllt i något på den frågan.
Elevexempel 15. Elevexempel 16.
Fullständigt svar Fullständigt svar
29
4.5. Intervjuer med eleverna
Intervjuerna inleddes med frågan om eleverna kunde minnas om de haft någon matematik den
första lektionen. Alla eleverna svarade att de hade haft matematik på rytmiklektionen och gav
exempel på att de gått bakåt och framåt, delat gruppen på hälften, gått till mattelandet och
räknat.
På andra frågan ville vi veta om eleven eller pedagogerna använt sig av några matematiska
ord. Alla elever svarade att pedagogerna använt sig av matematiska ord, endast en kunde inte
ge några exempel. Några av exemplen var hälften, dubbelt, matematik och tre av eleverna
svarade alla att orden lika med, plus och minus hade använts under lektionerna.
Den tredje frågan var om de lärt sig några nya matematikord, där svarade en elev att den hade
lärt sig ordet tänka. En annan elev hade lärt sig begreppet lika många men när vi bad eleven
förklara visade det sig att den inte hade någon förståelse för begreppet utan blandade ihop det
med tio-kompisar och dubbelt. De tre återstående eleverna svarade att de inte lärt sig några
nya matematikord under dagens lektioner.
Fråga nummer fyra var om de gjort något speciellt när de lärt sig orden från fråga tre. De två
som svarat ja kunde inte koppla det till en specifik situation. Till de tre som svarat nej i
föregående fråga omformulerade vi frågan till ”Varför tror du att ni har lärt er de orden?” och
”Har ni gjort något speciellt när ni lärde er de orden?”. Eleverna hade svårt att förstå denna
fråga och gav istället exempel på varför det är viktigt att kunna matematiska ord när man är
vuxen.
Under den sista elevfrågan läste vi upp nio utvalda matematiska ord och begrepp som vi
listade utefter dagens lektioner. Orden var: bakåt, bredvid, framför, framåt, hälften, längst,
nere, plats och uppe. Av dessa nio ord var det endast ett ord som en elev inte förstod och
kunde förklara, det ordet var ”längst”.
4.6. Pedagogintervju
4.6.1. Intervju med rytmikpedagog
Rytmikpedagogen beskriver rytmik som en pedagogisk metod som bygger på musik, rörelse
och sinnesträning. När pedagogen planerar en lektion skall alla dessa delar vara med, det ska
bli en balans mellan intryck och uttryck. Det är även viktigt att eleverna får träna rörelse men
likaså stillhet och koncentration. Genom rytmiken får eleverna möjlighet att lära med kroppen
och alla sina sinnen. När man arbetar med integrerad undervisning menar pedagogen att alla
30
de inblandade ämnena ska bidra till lektionen. Rytmiken får dock ofta rollen som hjälpmedel i
stället för pedagogisk metod. Det finns mycket matematik i musik och rytmik men många
pedagoger ser det inte och därför utnyttjas det inte.
Tanken att integrera rytmik med andra ämnen var från början för att eleverna skulle kunna få
möjlighet att uttrycka sig kreativt. Men det var först när en annan pedagog som hon
samarbetade med sa att rytmiklektionen innehöll mycket matematik som intresset för
medveten integration väcktes. Hon menar att arbeta med rytmik är ett barnvänligt sätt att lära
på eftersom barn ofta lär sig via rörelse och sina sinnen. Fördelen med rytmik är, att eftersom
alla elever inte lär på samma sätt, kan de elever som har svårt att ta in ett intellektuellt
budskap med hjälp av rytmiken få budskapet på en annan nivå.
Rytmikpedagogen säger att hon nu är medveten om sitt matematiska språk när hon
undervisar. Detta har utvecklats under samarbetet med matematikpedagogen och när hon läste
en kurs i matematikdidaktik. Pedagogen tycker det är svårt att säga något om elevernas
begreppsutveckling eftersom hon bara är i klassen en dag i veckan. Men hon anser att
eleverna lättare förstår begreppen och när hon ser tillbaka på elever hon har haft innan märker
hon en positiv förändring i förståelse för språk och begrepp. Förståelsen för begrepp kan
göras mer konkret i integrationen av rytmik och matematik eftersom hela kroppen kan
användas för att beskriva, förklara och förstå. Hon ger ett exempel med matematikbron där
barnen ser tiotalen, får gå fram och tillbaka och då ser att talen blir högre och lägre. Detta ger
barnen ett visuellt minne och de får känslan av addition och subtraktion när de går fram och
tillbaka, ”lär med kroppen, det fastnar i knoppen”. För att ytterligare tydliggöra begreppen ger
hon exempel på hur tiotalsövergångar kan läras in genom en upprepad musikslinga och
tiotalen upp till hundra har blivit en sång där eleverna räknar uppåt och sedan nedåt från 10
till 100. När eleverna på detta sätt lär sig räkna baklänges från 100 till 10 genom en sång
avdramatiseras svårigheten med att räkna baklänges menar hon. Är det något begrepp som är
svårt kan man använda det i lektionen på många olika sätt.
Vidare menar hon att språkutvecklingen gynnas av rytmik eftersom språkorganet är muskler.
Först behöver eleverna arbetat med grovmotoriken för att sedan kunna arbeta med
finmotoriken och detta är beroende av att eleverna kan röra på sina kroppar. Ord är inget
annat än rytm så om du arbetar med puls, rytm och rytmik och tar med hela kroppen då kan
du utveckla språket helt gratis menar hon.
31
4.6.2. Intervju med matematikpedagog
Matematikpedagogen anser att hon är väldigt medveten om sitt matematiska språk när hon
undervisar. Detta menar hon beror på att hon har ett stort intresse för matematiken, har
fördjupat sig inom denna, och detta gör att hon känner sig säker på de matematiska ordens
betydelse. Vidare menar hon att språket kan gynnas av integrerad undervisning där man får
möjlighet att förklara begreppen med en kombination som innefattar mer än ord. Ju fler
tillfällen eleverna får begreppen presenterade för sig desto fler tillfällen finns det att ta till sig
begreppen. Pedagogen gav ett exempel från dagens lektioner där de arbetat med begreppen
framåt och bakåt. Under rytmiklektionen fick barnen gå framåt och bakåt längs
matematikbron och under matematik lektionen ritade pedagogen en bild på tavlan som visade
hur begreppen kunde användas. Pedagogen menar att eleverna får möjlighet att kunna ta till
sig begreppen på olika vis och att det visas i ett sammanhang som eleverna kan tänka tillbaka
på. Pedagogen anser att det finns så många matematiska ord och begrepp som är väsentliga
och har en snarlik betydelse, så därför är det viktigt att låta eleverna dokumentera de enligt
henne viktigaste ord och begrepp som de använder under lektionerna. Detta gör de i en bok
som följer med eleven och som elever i efterhand har sagt visat sig vara en stor tillgång i
deras matematikundervisning.
De språkliga fördelarna med integrerad undervisning är att ord och begrepp aktualiseras
tidigare på ett lekfullt sätt och används mer frekvent, i stället för att begreppen bara blir ord i
en bok som inte har något sammanhang. Pedagogen använder sig mycket av samtal och
diskussioner i sin undervisning med eleverna eftersom hon anser att det är lätt att missa att
tydligt lyfta fram begrepp om man låter eleverna arbeta mycket enskilt.
När man integrerar undervisning menar pedagogen att man får möjlighet att koppla samman
de tekniska tyngre ämnena med de lättsamma och roligare kreativa. Man får också en
möjlighet att känna en helhet, för helheten är enligt henne väldigt viktigt. Att integrera rytmik
gör att eleverna får kontroll på kroppen som gör att de får en helt annan förmåga att
koncentrera sig. I rytmiken använder man sig mycket utav kroppen vilket leder till att
eleverna får ännu ett uttryckssätt, vilket enligt pedagogen är extra viktigt för elever med annat
modersmål än svenska. Det har enligt pedagogen visat sig att elever som hittar pulsen och
rytmen i musiken ofta har fördelar i matematik. Hon förklarar att musikens notvärde har
starka kopplingar till matematikens bråk.
32
Svårigheten med integrerad matematikundervisning är att matematiken följer en linje och man
kan inte bara dyka in i den lite här och där. Fördelen anser hon är att man får många idéer av
den andra pedagogen, man har ett utbyte av varandras tankar och kunskap. Men även att det
är ett sätt som förgyller hennes insatser som pedagog och därför kan man engagera sig mer,
och då blir eleverna mer stimulerade för att de vet att hon har gjort det här för deras skull.
33
5. Diskussion
5.1. Tillförlitlighet
Det är svårt att få en tydlig bild av om ämnesintegrationen på sikt ger förbättrad ord- och
begreppsuppfattning eftersom vi inte har haft möjlighet att under en längre tid göra
observationer. Men generellt tror vi utifrån intervjun med rytmikpedagogen att resultatet kan
överföras till andra klasser, eftersom elevernas ord och begreppsuppfattning kan förbättras
genom att de får möjlighet att arbeta ämnesintegrerat och varierat.
5.2. Vilka möjligheter finns det för språk och begrepp att
synliggöras i en ämnesintegrerad rytmik – matematik
undervisning?
Pedagogerna visade att de var språkligt medvetna då vi anser att de använde sig av korrekta
matematiska termer. Eftersom pedagogerna är medvetna om och använder ett korrekt
språkbruk tar de ansvar för diskursens utformning, samt att de kan konkretisera och
verklighetsanpassa orden/begreppen på en passande elevnivå (Pramling & Sheridan, 2006).
Genom sin språkliga medvetenhet använder pedagogerna ett förklarande, vardagsanknutet och
manipulativt språk.
Matematikpedagogen menar att de språkliga fördelarna är att ord och begrepp aktualiseras
tidigare på ett lekfullt sätt genom integrerad undervisning samt att de används mer frekvent.
Detta visades väldigt tydligt under våra observationer och därför tror vi att eleverna lättare
kan göra begreppen till en del av sin erfarenhetsvärld. Att använda sig av ett rikt och fylligt
språk är enligt Ladberg (2000) viktigt eftersom det ger eleverna möjlighet att utveckla språket
till ett bra verktyg för lärande och tänkande. Löwing (2008:1) menar att ett gemensamt språk i
klassrummet är avgörande för att undervisningen ska fungera.
Dysthe (2003) menar att klassrumsdiskussioner främjar konstruerandet av kunskap.
Vi tror i enighet med Löwing (2008:1) att inlärningen kan ökas genom bra kommunikation i
klassrummet och klassen får då en genensam förståelse för begreppen. Genom
klassrumsdiskussioner får eleverna möjlighet att få begreppen förklarade på olika sätt
eftersom gruppen som helhet har mer kunskap än den enskilda individen (Ladberg, 2000).
Eleverna får möjlighet till förståelse för begreppen på ett elevnära sätt, genom att arbeta i
grupp, med möjlighet till skilda förklaringar. Löwing (2008:1) menar att ett problem är att
pedagoger och elever ofta pratar förbi varandra, vi menar detta kan undvikas om eleverna får
34
förklara för varandra. Under diskussionen har eleverna fått en möjlighet att utveckla en
språklig växelverkan mellan begrepp, symbol och verkligheten (Riesbeck, 2008).
De båda pedagogerna menar att ämnesintegrationen ger eleverna möjlighet att ta till sig
orden/begreppen med hjälp av sina olika sinnen och eftersom elever lär på olika sätt kan de
olika möjligheterna tillgodoses. Sandborgh & Stening – Furén (1986) anser att en viktig
förutsättning för elever ska kunna avancera i sina matematiska färdigheter är att man tränar
deras perceptionsförmåga. Enligt Ladberg (2000) sker lärandet bättre när flera sinnen är
aktiva, därför kan integration rytmik och matematik vara en bra arbetsform för att synliggöra
det matematiska språket. Rytmiken ger eleverna möjlighet att sjunga, känna rytmer, uttrycka
musik i rörelse och använda sitt spontana skapande och därigenom använda sina olika sinnen.
Rytmikpedagogen menar att rytmik är ett barnvänligt sätt att lära eftersom eleverna får
använda rörelse och sina sinnen, och matematikpedagogen menar att genom att integrera
rytmiken i matematiken gör att eleverna får kontroll på kroppen vilket i sin tur leder till ökad
koncentrationsförmåga. Detta kan möjligen vara en förutsättning för att eleverna lättare kan ta
till sig och bearbeta informationen de får under lektionerna, Forsström (1995) menar att
elevers motorik behöver tränas upp för att de ska kunna utveckla sin uppfattningsförmåga.
Anledningen till elevernas goda förståelse för matematiska begrepp kan vara att rytmiken ger
dem möjlighet att träna sin motoriska förmåga. Detta i sin tur gör att deras
perceptionsförmåga utvecklas vilket enligt Sandborgh & Stening – Furén (1986) kan förstärka
elevernas möjlighet till koncentration. Detta skulle även kunna bero på att genom
ämnesintegreringen får eleverna möjlighet att få orden/begreppen förklarade för sig via olika
uttrycksformer och orden/begreppen används mer frekvent både av eleverna och av
pedagogerna.
5.3. Utnyttjas möjligheterna att synliggöra matematiska ord/begrepp
i ämnesintegrerad rytmik – matematik undervisning?
Under rytmiklektionen får eleverna tillfälle att uppleva matematiken genom sina sinnen, de
får höra vad de ska göra, se när andra gör det och uppleva det med och i kroppen. Eleverna får
en förankring av begreppen i sin erfarenhetsvärld och enligt Pramling & Sheridan (2006)
utvecklar då eleverna matematiken som språk. Rytmik anser vi i detta sammanhang kan kallas
för strukturerad, planerad lek och enligt Lindqvist (1996) ger leken möjlighet att lära sig
grunderna i matematik på ett lekfullt sätt. Pramling & Samuelsson (1999) menar att leken ger
möjlighet att på ett konkret sätt sätta ord i relation med händelser.
35
Under uppvärmningen menar vi att en förförståelse skapas för begreppen framåt och bakåt.
Genom att låta eleverna gå fram och tillbaka på matematikbron kopplar pedagogerna
begreppen addition och subtraktion till elevernas verklighet genom flera olika sinnen. När
eleverna får stanna upp och säga på vilket tal de befinner sig får eleverna både en konkret bild
och en abstrakt inre bild, ”lär med kroppen det fastnar i knoppen” som rytmikpedagogen
säger. Ämnesintegrerad undervisning kan förebygga instrumentell förståelse vilket enligt
Skemp (1976) är att eleven gör något men förstår inte varför. Under avslappningsövning
tränas elevernas koncentrationsförmåga och enligt Forsström (1995) behöver elever
koncentration för att kunna vara uppmärksamma och stänga ute störande moment.
Rytmikpedagogen säger att hennes lektioner är uppbyggda så att de skiftar mellan rörelse och
stillhet för att behålla elevernas koncentration. När perceptionsförmågan används menar
Forsström (1995) att uppmärksamheten riktas mot en bestämd företeelse och hjälper till att
filtrera och välja ut den relevanta kunskapen som i detta lektionstillfälle var framåt, bakåt och
10-steg.
Observationens andra lektion inledde pedagogen med att prata om de begrepp som använts
under den första lektionen och återknöt till matematikbron. Genom återknytningen menar vi
att eleverna fått förförståelse som pedagogerna kan bygga vidare på. I enighet med konceptet
spiralprincipen (Skolöverstyrelsen, 1998) innebär detta att undervisningen kan utvecklas och
bli mer abstrakt. Därefter samtalade pedagog och elever tillsammans om betydelsen av
begreppen och i vilka sammanhang de kan användas. Vi menar att om eleverna får vara
språkligt aktiva under lektionerna utvecklas deras språk, och de får tillfälle att tillägna sig de
grundläggande matematiska begrepp som enligt Riesbeck (2008) är nödvändiga för att förstå
matematiken.
Enligt Löwing (2006) är ”lika med” ett begrepp som ofta missuppfattas av elever och tolkas
som ”det blir”. Detta problem tycker vi pedagogen undviker på ett tydligt sätt när hon jämför
begreppet ”lika med” med en gungbräda, eleverna kan verklighetsförankra begreppet och
förstår att det ska vara lika mycket på båda sidor. Detta visade eleverna en god uppfattning för
när de arbetade med stencilen, vilket även kan stödjas med enkätresultatet för det begreppet.
De hade inga svårigheter att förstå att det skulle vara lika mycket på båda sidor om
likhetstecknet. Under arbetet med stencilens addition och subtraktion kan eleverna tänka
tillbaka på föregående rytmiklektion och frammana en inre bild som arbetet med
matematikstegen kunnat ge.
Det bara var åtta elever som kunde förklara ordet bakåt och detta tror vi kan bero på att
eleverna förväxlat ordet med bakom, eftersom ordet innan på enkäten var framför.
36
Exempelvis hade en elev skrivit ”Min kompis är bakom mig och är jättetröt”. Något som vi
tycker är förvånansvärt är hur få elever som kunde koppla orden/begreppen till en
lärandesituation. Eftersom i elevintervjuerna kunde alla elever koppla ihop orden/begreppen
med en situation undrar vi om detta beror på att vi varit otydliga i våra enkätinstruktioner eller
om det är ett språkligt missförstånd. Det kan möjligen bero på att eleverna inte är säkra eller
vana i sitt skriftspråk. Många skrev under vilken lektion orden/begreppen använts men
vidareutvecklade det inte.
Alla de intervjuade eleverna förstod att det hade funnits matematik under rytmiklektionen och
de kunde även ge konkreta exempel på den matematik som använts under lektionen. Detta
visar på att eleverna har en god förståelse för de ord/begrepp som pedagogerna använder och
att de kan koppla de till matematiken. Men även att pedagogerna har ett elevnära språk och att
de når ut till eleverna. Det krävs enligt Löwing (2008:1) ett gemensamt språk i
undervisningen för att få en funktionell kommunikation. Det skulle kunna vara därför de
flesta av eleverna kunde ge exempel på matematiska ord som använts under lektionerna. Inga
av eleverna kunde ge exempel på om de lärt sig några nya matematiska uttryck. Detta kan
bero på att pedagogerna inte använt sig utav nya matematiska ord/begrepp eller att eleverna
redan kunde de olika uttryck som använts.
Våra intervjuer visar att eleverna har en god förståelse för ord/begrepp som pedagogerna
använt sig utav i sin undervisning under dagen.
Pedagogerna har båda märkt en begreppsutveckling hos eleverna, detta tror de möjligen kan
bero på att begreppen görs mera konkreta och hela kroppen används för att beskriva, förklara
och förstå. Den integrerade undervisningen gör det möjligt att förklara begreppen med mer än
ord. Exempelvis brukar rytmikpedagogen använda en upprepande musikslinga på
tiotalsövergångar och matmatiska ord som hon märker är svåra för eleverna att förstå. Vi
menar att när hela kroppen är aktiv är flera sinnen aktiverade vilket Ladberg (2000) då anser
underlättar lärandet. Matematikpedagogen menar att det är viktigt för eleverna att
dokumentera de matematiska ord/begrepp som används frekvent i en begreppsbok, för att ha
något att gå tillbaka till. Detta tycker vi är ett bra sätt för eleverna att skapa ett personligt band
till de olika begreppen för att underlätta förståelsen.
37
5.4. Fördelar med att ämnesintegrera rytmik – matematik
undervisning
”Det krävs en estetisk form så att kunskaperna kan levandegöras” (Lindqvist, 1996 sid 67).
Integration mellan rytmiken och matematiken kan vara en lämplig arbetsform då det ger
eleverna tillfälle att röra på sig och utveckla sin motorik. Eleverna ges möjlighet att använda
sig av sina olika uttryckssätt och på så sätt befästa sina kunskaper. Att arbeta ämnesintegrerat
hjälper eleverna att känna igen sig och knyta samman med tidigare lektioner vilket är viktigt
enligt Ladberg (2000) eftersom hjärnan söker efter ett sammanhang. Ämnesintegration ger
även möjlighet till en stimulerande och varierande undervisning där eleverna får tillfälle att
använda sitt kroppsspråk, matematiska språk och sitt vardagliga skolspråk. Om man utgår från
diagram 1 kan man säga att pedagogernas undervisning innehåller få ämnen och är balanserad
men att de väljer att gå in på djupet. Paulsen (1996) menar att när ett ämne av estetisk natur
används med ett kärnämne finns det risk för att det estetiska ämnet förlorar sig och blir som
rytmikpedagogen säger ”en hjälpgumma” utan pedagogiskt lärandesyfte. Det är viktigt att
rytmiken tas tillvara på och används som en undervisningsform och det menar vi att
pedagogerna gör. Löwing & Kilborn (2002) menar att elever behöver tillskott från andra
ämnen för att kunna ta till sig kunskap från ett ämne. Enligt matematikpedagogen är
integration av matematik och rytmik bra eftersom det ger balans mellan ett tekniskt, tyngre
ämne och de lättsammare mer kreativa och som Paulsen (1996) menar att estetik är motpolen
till den kunskap som fås genom förståndet.
5.5. Vidare forskning
I vårt undersökningsområde finns inte mycket tidigare forskning. Därför är möjligheterna
stora att finna nya områden att fördjupa sig i.
Förslag på vidare forskning är:
• Rytmik – matematik under en längre period och i större utbredning
• Matematiken integrerat med estetiska ämnen såsom bild, slöjd och musik.
• Elevernas inställning till ämnesintegrerad undervisning
• Om rytmik och matematik integration kan vara till hjälp för elever med svenska som
andraspråk.
38
6. Referenser
6.1. Litteratur
Ayers, Jean (1979). Sinnenas samspel hos barn. Stockholm: Psykologiförlaget.
Dalen, Monica (2007). Intervju som metod. Malmö: Gleerups förlag AB.
Doverborg, Elisabet & Pramling - Samuelsson, Ingrid (1999). Förskolebarn i matematikens
värld. Stockholm: Liber.
Dysthe, Olga (2003). Dialog samspel och lärande. Lund: Studentlitteratur.
Egidius, Henry (2006). Termlexikon i pedagogik, skola och utbildning. Lund:
Studentlitteratur.
Erlwanger, Stanley H (1973). Benny’s Conception of Rules and Answers in IPI Mathematics.
Journal of Children´s Mathematical Behaviour 1(2), 7-26.
Forsström, Agnets (1995). Perception & Motorik – i teori och praktik. Örebro: Tryckmakarna
AB.
Frister – Lind, Heléne (1999). Flyg lilla fjäril. Helsingborg: Lutfisken AB.
Gran, Bertil (1998). Matematik på elevens villkor. Lund: Studentlitteratur.
Hultberg, Cecilia (2007). Kreativitet och variation. Skapa och lära, Kreativt lärande –
Levande kunskap, SoL i kistad 2001-2006 (sid 15-21). Visby: Academus AB/KMH förlaget.
Höines, Marit (2006). Matematik som språk. Kristianstad: Kristianstad Boktryckeri AB.
Jederlund, Jens (2002). Musik och språk, Stockholm: Runa.
Johansson, Bo & Svedner, Per Olov (2006). Examensarbetet i lärarutbildningen. Uppsala:
Kunskapsföretaget.
39
Järleby, Anders (2005). Spela roll – Kreativt lärande med teater och drama. Uddevalla:
Pegasus.
Ladberg, Gunilla (2000). Skolans språk och barnets. Lund: Studentlitteratur.
Lindqvist, Gunilla (1996). Lekens möjligheter. Lund: Studentlitteratur.
Löwing, Madeleine & Kilborn, Wiggo (2002). Baskunskaper i matematik. Lund:
Studentlitteratur.
Löwing, Madeleine (2006). Matematikundervisningens dilemma. Lund: Studentlitteratur.
Löwing, Madeleine (2008:1). Att kommunicera matematik i skolan. Bergsten, Christer.,
Lennerstad, Håkan.(Red). Matematiska språk. (s. 91-104). Stockholm, Santérus
Löwing, Madeleine (2008:2). Grundläggande aritmetik. Lund: Studentlitteratur.
Malmer, Gudrun (1999). Bra matematik för alla. Lund: Studentlitteratur.
McIntosh, Alistair (2008). Förstå och använda tal. Göteborg: Nationellt Centrum för
Matematikutbildning.
Nilsson, Jan (2007). Tematisk undervisning. Lund: Studentlitteratur.
Patel, Runa & Davidson, Bo (2003). Forskningsmetodikens grunder. Lund: Studentlitteratur.
Paulsen, Britt (1996). Estetik i förskolan. Lund: Studentlitteratur.
Pramling, Ingrid & Sheridan, Sonja (2006). Lärandets grogrund. Lund: Studentlitteratur.
Riesbeck, Eva (2008). På tal om matematik. Lund: Studentlitteratur.
Sandborgh, Gun & Stening – Furén, Birgitta (1986). Inlärning genom rörelse. Arlöv:
Berlings.
40
Skemp, Richard R. (1976). Relational and instrumental understanding. Mathematics teaching,
Bulletin of the Association of teachers of mathematics, 77, 20-26.
Skolverket (2003). Lusten att lära – med fokus på matematik. Stockholm:
Skolverket/Fritzes.
Skolöverstyrelsen (1998). Hand i hand… Örebro: SIL-Lagret.
Svingby, Gunilla (1986). Integration eller ämnesläsning- en fråga om kunskapssyn. Naeslund,
Jon (Red). Kunskap och begrepp. Göteborg: Graphic Systems.
Teorell, Jan & Svensson, Torsten (2007). Att fråga och att svara. Malmö: Liber AB.
Ulin, Bengt (2003). Matematik och musik. Västerås: Ekelunds förlag AB.
Vernersson, Ann-Kerstin (1988). Rytmik, en musikpedagogisk metod för vuxna.
Musikpedagogikexamen. Göteborgs universitet, Musikvetenskapliga institutionen, Göteborg.
Vygotskij, Lev (1995/1930). Fantasi och kreativitet i barndomen. Göteborg: Daidalos.
Wyndhamn, Jan (1987). Matematikdidaktiska reflektioner. Skapande vetande. Rapport
1987:2. Lindköpning: Lindköpings Universitet.
6.2. Webreferenser
Nationalencyklopedin (2008). Hämtat från http://www.ne.se (2009-11-16, 11.10)
Skolverket (2009). PISA 2003- Programme for International Students Assessment. Hämtat
från http://www.skolverket.se/sb/d/192 (2009-11-12, 10.35)
Svenska Akademiens ordlista (2008). Hämtad från
http://www.svenskaakademien.se/web/Ordlista.aspx (2009-11-25, 14.20)
41
Bilaga 1. Elevenkät
Ord Vad tror du ordet betyder?
Kan du rita en bild som förklarar ordet?
När användes ordet idag? Vad gjorde ni i klassen då?
42
Bilaga 2. Intervjufrågor pedagoger
1. Varför har du valt att arbeta med integrerad undervisning?
2. Hur länge har du arbetat på detta sätt?
3. Hur kom det sig att du började arbeta integrerat?
4. Är du medveten om ditt matematiska språk när ni undervisar?
5. Har du märkt någon förändring i elevernas matematiska språk?
6. Har du märkt någon förändring i elevernas förståelse för matematiska begrepp?
7. Vilken roll spelar rytmiken in i undervisning?
8. Vilka för- och nackdelar finns det med integrerad undervisning?
9. Kan du beskriva vad du menar med integrerad undervisning?
10. Vad är enligt dig rytmik?
11. I vilka ämnen använder du integrerad undervisning?
12. Hur länge har du arbetat som pedagog?
13. Hur går du tillväga när du planerar en matematik – rytmik lektion? Exempelvis
kvadrater, tiotal, hälften.
14. Kan du beskriva vilka förändringar du har märkt i elevers matematiska språk?
15. Kan du ge exempel på hur rytmiken gynnar språk och begreppsutveckling i
matematik?
16. Vilka möjligheter finns det för språk och begrepp att synliggöras i en
ämnesintegrerad undervisning? Utnyttjas dessa möjligheter?
43
Bilaga 3. Intervjufrågor elever
Hade du någon matematik på Barbros lektion? Vad gjorde du i så fall? Kan du komma på några matteord som du eller lärarna har använt idag? Vilka? Lärde du dig några nya matteord idag? Vilka? Vad tror du gjorde att du lärde dig de orden? Vilka av dessa ord vet du vad de betyder? (vi läser upp våra ord) (Ber eleven redogöra för något av orden)
44
Bilaga 4. Brev till föräldrar
Till föräldrar/vårdnadshavare Hej! Vi går nu sista terminen på lärarutbildningen vid Malmö Högskola. Som en del av utbildningen ska vi göra ett examensarbete då vi fördjupar oss inom en del av matematiken. Vårt examensarbete ska handla om det matematiska språket och elevernas förståelse för de matematiska begreppen. Vårt arbetssätt bygger på modern pedagogisk forskning. Vi skulle vilja dela ut enkäter och göra intervjuer med några av eleverna i klassen. Intervjuerna består av några fördjupningsfrågor kring enkäten och kommer att ske under vecka 48. Elevernas svar kommer att vara anonyma och varken deras eller skolans namn kommer att nämnas i vårt arbete. För att kunna göra denna undersökning behöver vi er tillåtelse, vi hoppas ni vill ge oss ert medgivande då det skulle vara till stor hjälp i vår undersökning. Har ni några frågor kan ni höra av er till Linda Cronberg Lena Johannsen Tack på förhand! Linda Cronberg och Lena Johannsen
Jag tillåter att mitt barn deltar i undersökningen Jag tillåter INTE att mitt barn deltar i undersökningen
Elevens namn_______________________________________________ Målsmans underskrift__________________________________________________ Lämnas senast 23/11 till Ewa Olsson
45
Bilaga 5.
START
30
90
70
80
60
50
40
100
MATTE LANDET
20
10
Mattelandet
46
Bilaga 6. Flundrans hundrasång
Flundrans hundrasång
Jag undra´ sa en flundra Kan jag räkna till hundra
10,20,30,40,50,60,70 80,90,100
Jag måste nog begrunda Var det verkligen hundra
100,90,80,70,60,50,40 30,20,10
Jag måste mig beundra
Jag kan räkna till hundra 10,20,30,40,50,60,70
80,90,100
47
Bilaga 7. Matematikstencil