INTRODUCCION

En la ingeniera y en cualquier ciencia, es comn contar con un conjunto de

datos (valores discretos) a lo largo de un comportamiento continuo. Sin embargo, en

muchas ocasiones se requiere tener conocimiento de una estimacin en puntos entre

Los valores discretos.

Ejemplos:

En la termodinmica se utilizan tablas de vapor que relacionan la presin y el

volumen especfico a una temperatura particular.

En los negocios se cuenta con informacin de nmero de piezas vendidas y la

Ganancia obtenida.

La palabra interpolacin significa pasar una curva por un conjunto dado de puntos.

Matemticamente el problema de interpolacin es que dado un conjunto de puntos

en la grfica de una funcin, encontrar una funcin interpolante cuya grfica pase por Uno o ms puntos seleccionados.

La interpolacin es el clculo de valores para una funcin tabulada en puntos que

no aparecen en la tabla.

Esto es, aproximar informacin discreta o funciones complejas a funciones

analticamente sencillas. Esto es muy necesario en el campo de la ingeniera.

Los nombres de muchos matemticos famosos estn asociados con procedimientos

de interpolacin: Gauss, Newton, Bessel y Stirling por mencionar algunos.

La necesidad de interpolar se inici precisamente con los primeros estudios de

Astronoma cuando el movimiento de cuerpos celestes deba de determinarse a partir

De observaciones peridicas.

Actualmente las calculadoras y las computadoras calculan los valores de las

funciones trigonomtricas y logartmicas por lo que ya no es necesario interpolar para

conocer valores de senos o cosenos o cualquier otra funcin matemtica como se haca anteriormente.

Sin embargo los mtodos numricos constituyen la base de procedimientos como

derivacin e integracin numrica y solucin de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales.

Tambin, estos mtodos demuestran resultados tericos importantes sobre

polinomios y la exactitud de los mtodos numricos.

Interpolar con polinomios sirve como una excelente introduccin a ciertas tcnicas

para trazar curvas suaves.

INTERPOLACION

Dentro de los procesos manipulados en mtodos numricos el manejo de la interpolacin es muy importante, puesto que permite estimar valores intermedios entre datos definidos por puntos, Segn [1], el mtodo ms comn que se usa para este propsito es la interpolacin polinomial. Recuerde que la frmula general para un polinomio de n-simo grado es

Dados n + 1 puntos, hay uno y slo un polinomio de grado* n que pasa a travs de todos los puntos. Por ejemplo, hay slo una lnea recta (es decir, un polinomio de primer grado) que une dos puntos (figura 1.1a). De manera similar, nicamente una parbola une un conjunto de tres puntos (figura 18.1b). La interpolacin polinomial consiste en determinar el polinomio nico de n-simo grado que se ajuste a n + 1 puntos. Este polinomio, entonces, proporciona una frmula para calcular valores intermedios.

Aunque hay uno y slo un polinomio de n-simo grado que se ajusta a n + 1 puntos,

Existe una gran variedad de formas matemticas en las cuales puede expresarse este

Polinomio.

(Figura 1.1).Ejemplos de interpolacin polinomial:

a) de primer grado (lineal) que une dos puntos

b) de Segundo grado (cuadrtica o parablica) que une tres puntos

c) de tercer grado (cbica). Tomado de [1].

Primero empezaremos a trabajar con los polinomios de menor grado, entonces trabajaremos con interpolacin lineal.

INTERPOLACION LINEAL

Es uno de los procesos ms sencillos cuando se requiere estimar valores en graficas puesto que y utilizamos lneas rectas, la formula que se usa proviene de un anlisis y definicin de tringulos semejantes.

(Figura 1.2).Esquema grfico de la interpolacin lineal. Las reas sombreadas indican los tringulos Semejantes usados para obtener la frmula de la interpolacin lineal [1].

Despejando f(x) se tiene

Que es una frmula de interpolacin lineal. La notacin f(x) designa que ste es un polinomio de interpolacin de primer grado. Observe que adems de representar la pendiente de la lnea que une los puntos, el trmino

Es una aproximacin en diferencia dividida finita a la primer derivada, cuanto menor sea el intervalo entre los datos, mejor ser la aproximacin. Esto se debe al hecho de que, conforme el intervalo disminuye, una funcin continua estar mejor aproximada por una lnea recta.

EJEMPLO 1:

Estime el logaritmo natural de 2 mediante interpolacin lineal. Primero, realice el clculo por interpolacin entre ln1=0 y ln6=1.791759.

Despus, repita el procedimiento, pero use un intervalo menor de ln1 a ln4 (1.386294).

Observe que el valor verdadero de ln2 es 0.6931472.

Usamos la ecuacin y una interpolacin lineal para ln (2) desde x=1 hasta x=6 para obtener

Que representa un error: et=48.3%. Con el intervalo menor desde x=1 hasta x=4 se obtiene

f(x)real

x

x0

x1

f(x)

f(x0)

f(x1)

error verd

error abs

error rel

error rel porc

0,69314718

2

1

6

0,35835189

0

1,79175947

0,33479529

0,33479529

0,4830075

48,30075

0,69314718

2

1

4

0,46209812

0

1,38629436

0,23104906

0,23104906

0,33333333

33,3333333

0,69314718

2

1

3

0,54930614

0

1,09861229

0,14384104

0,14384104

0,20751875

20,751875

0,69314718

2

1

2,5

0,61086049

0

0,91629073

0,08228669

0,08228669

0,1187146

11,8714603

0,69314718

2

1

2

0,69314718

0

0,69314718

0

0

0

0

(Tabla 1). Representacin de valores de acuerdo al intervalo.

As, usando el intervalo ms corto el error relativo porcentual se reduce a et=33.3%. El ejemplo anterior fue tomado de [1].

Figura (1.3) Dos interpolaciones lineales para estimar ln 2. Observe cmo el intervalo menor proporciona una mejor estimacin. Tomado de [1].

EJEMPLO 2:

Estime el sen (/4) mediante interpolacin lineal teniendo los valores de sen (0)=0 y sen (/2)=1

Luego; ejecute de nuevo el procedimiento y use el intervalo menor de sin (/6)= (1/2) y sin (/2)=1

Usamos la ecuacin y una interpolacin lineal para sin (/4) desde x=0 hasta x= (/2) para obtener

Que representa un error: et=29.2893%. Con el intervalo menor desde x= (/6) hasta x= (/2) se obtiene

As, usando el intervalo ms corto el error relativo porcentual se reduce a et=11.611%.

Segn [2] se define que esta interpolacin es la base para varios modelos numricos fundamentales. Al integrar la interpolacin lineal, se deduce el modelo de integracin llamado regla del trapecio. El gradiente de la interpolacin lineal es una aproximacin a la primera derivada de la funcin, la interpolacin lineal da como resultado una recta que se ajusta a dos puntos dados.

Por [3], podemos ver con ms detalle el desarrollo de la formula mediante tringulos semejantes; En una tabla se representan algunos valores de la funcin, pero no todos, en ocasiones nos interesa el valor de la funcin para un valor de la variable independiente distinto de los que figuran en la tabla, en este caso podemos tomar el ms prximo al buscado, o aproximarnos un poco ms por interpolacin, la interpolacin casi siempre nos dar un pequeo error respecto al valor de la funcin verdadero, pero siempre ser menor que tomar el valor ms prximo de los que figuran en la tabla, veamos cmo se calcula al valor de la funcin para un valor de la variable independiente que se encuentre entre dos valores de la tabla por interpolacin lineal.

(Figura 1.4).Representacin grafica del sistema para el desarrollo de tringulos semejantes [3].

Por la tabla sabemos que: y1 = f(x1) y2 = f(x2)

Y queremos saber: y = f(x)

Siendo x1 < x < x2

La interpolacin lineal consiste en trazar una recta que pasa por (x1,y1) y (x2,y2), y = r(x) y calcular los valores intermedios segn esta recta en lugar de la funcin y = f(x)

Para ello nos basamos en la semejanza de tringulos y

Esto es:

Despejando, tenemos:

O lo que es lo mismo:

El valor buscado es:

Si establecemos una relacin entre este sistema de interpolacin es muy similar al mtodo de la secante que se trabaja en la solucin de sistemas de ecuaciones no lineales puesto que consiste en formar varias rectas hasta llegar a la raz, solo que en este caso no llegaremos a una raz sino a un valor requerido.

INTERPOLACION CUADRATICA

De acuerdo con [1], una estrategia para mejorar la estimacin consiste en introducir alguna curvatura a la lnea que une los puntos. Si se tienen tres puntos como datos, stos pueden ajustarse en un polinomio de segundo grado (tambin conocido como polinomio cuadrtico o parbola). Una forma particularmente conveniente para ello es

Observe que aunque la ecuacin parece diferir del polinomio general (interpolacin lineal), las dos ecuaciones son equivalentes. Lo anterior se demuestra al multiplicar los trminos de la ecuacin:

O, agrupando trminos,

Donde

As, las ecuaciones (interpolacin lineal) e (interpolacin cuadrtica) son formas alternativas, equivalentes del nico polinomio de segundo grado que une los tres puntos. Un procedimiento simple puede usarse para determinar los valores de los coeficientes. Para encontrar b, en la ecuacin (interpolacin cuadrtica) se evala con x=x para obtener

La ecuacin (1) se sustituye en la (interpolacin cuadrtica), despus se evala en x=x para tener

Por ltimo, las ecuaciones (1) y (2) se sustituyen en la (interpolacin cuadrtica), despus se evala en x =x2 y (luego de algunas manipulaciones algebraicas) se resuelve para

Observe que, como en el caso de la interpolacin lineal, b1 todava representa la pendiente de la lnea que une los puntos x0 y x1. As, los primeros dos trminos de la ecuacin (interpolacin cuadrtica) son equivalentes a la interpolacin lineal de x0 a x1, como se especific antes en la ecuacin (interpolacin lineal). El ltimo trmino,

Determina la curvatura de segundo grado en la frmula. [1]

EJEMPLO 3 :

Ajuste un polinomio de segundo grado a los tres puntos del ejemplo 1

Con el polinomio evale ln 2.

SOLUCION

Aplicando la ecuacin (1) se obtiene

La ecuacin (2) da

Y con la ecuacin (3) se llega a

-

Sustituyendo los valores obtenidos en los anteriores procesos tenemos el polinomio

Que se evala en x = 2 para

TABLA INTERPOLACION.xlsx

(Tabla 3). Representacin de valores de acuerdo al intervalo.

Que representa un error relativo de et = 18.4%. As, la curvatura determinada por la frmula cuadrtica (Figura 1.5) mejora la interpolacin comparndola con el resultado obtenido antes al usar las lneas rectas del ejemplo 1 y en la (Figura 1.3).El anterior ejemplo fue tomado de [1].

(figura 1.5). El uso de la interpolacin cuadrtica para estimar ln 2. Para comparacin se presenta tambin la interpolacin lineal desde x = 1 hasta 4. [1].

EJEMPLO 4:

Ajuste un polinomio de segundo grado a los tres puntos del ejemplo 2

Con el polinomio evale sen (/4).

SOLUCION

Aplicando la ecuacin (1) se obtiene

La ecuacin (2) da

Y con la ecuacin (3) se llega a

-

Sustituyendo los valores obtenidos en los anteriores procesos tenemos el polinomio

Que se evala en x = para

Que representa un error relativo de et = 2,69056442964422%.

Este proceso nos permite tener el valor requerido en menos repeticiones con respecto a la interpolacin lineal.

FORMA GENERAL DE LOS POLINOMIOS DE INTERPOLACION DE NEWTON

Segn [1] tenemos que puede generalizarse para ajustar un polinomio de n-simo grado a n

+ 1 datos. El polinomio de n-simo grado es

Como se hizo antes con las interpolaciones lineales y cuadrticas, los puntos asociados con datos se utilizan para evaluar los coeficientes b0, b1,..., bn. Para un polinomio de n-simo grado se requieren n + 1 puntos: [x0, f(x0)], [x1, f(x1)],..., [xn, f(xn)]. Usamos estos datos y las siguientes ecuaciones para evaluar los coeficientes:

.

.

.

Donde las evaluaciones de la funcin colocadas entre parntesis son diferencias divididas finitas. Por ejemplo, la primera diferencia dividida finita en forma general se representa como

La segunda diferencia dividida finita, que representa la diferencia de las dos primeras diferencias divididas, se expresa en forma general como

En forma similar, la n-sima diferencia dividida finita es

Estas diferencias sirven para evaluar los coeficientes en las ecuaciones (5) a (8), los cuales se sustituirn en la ecuacin (4) para obtener el polinomio de interpolacin

(Figura 1.6) Representacin grfica de la naturaleza recursiva de las diferencias divididas finitas. Tomado de [1].

De acuerdo con [4] podemos tener este diagrama para calcular los coeficientes , es conveniente construir una tabla de diferencias divididas como la siguiente :

Obsrvese que los coeficientes del polinomio de interpolacin de Newton, se encuentran en la parte superior de la tabla de diferencias divididas.- El polinomio de interpolacin de Newton se define de la siguiente manera:

EJEMPLO 5:

Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientes datos :

Y utilizar la informacin de dicha tabla, para construir el polinomio de interpolacin de Newton.

SOLUCION:

Procedemos como sigue:

Por lo tanto el polinomio de interpolacin de Newton es :

El anterior ejemplo es tomado de [4].

EJEMPLO 6:

En el ejemplo 3, los datos x0 = 1, x1 = 4 y x2 = 6 se utilizaron para estimar ln 2 mediante una parbola. Ahora, agregando un cuarto punto (x3 = 5; f(x3) = 1.609438], estime ln 2 con un polinomio de interpolacin de Newton de tercer grado.

SOLUCION:

Utilizando la ecuacin (4), con n = 3, el polinomio de tercer grado es

Las primeras diferencias divididas del problema son [ecuacin(9)]

Las segundas diferencias divididas son [ecuacin (10)]

La tercera diferencia dividida es [ecuacin (11) con n = 3]

Los resultados de f[x1, x0], f[x2, x1, x0] y f[x3, x2, x1, x0] representan los coeficientes b1, b2 y b3 de la ecuacin (4), respectivamente. Junto con b0 = f(x0) = 0.0, la ecuacin (4) es

la cual sirve para evaluar f3(2) = 0.6287686, que representa un error relativo: et = 9.3%. Tomado de [1].

EJEMPLO 7:

Construir un polinomio de interpolacin de Newton con los siguientes datos

SOLUCION:

Utilizando la ecuacin (4), con n = 3, el polinomio de tercer grado es

Las primeras diferencias divididas del problema son [ecuacin(9)]

Las segundas diferencias divididas son [ecuacin (10)]

La tercera diferencia dividida es [ecuacin (11) con n = 3]

Los resultados de f[x1, x0], f[x2, x1, x0] y f[x3, x2, x1, x0] representan los coeficientes b1, b2 y b3 de la ecuacin (4), respectivamente. Junto con b0 = f(x0) = 0.0, la ecuacin (4) es

La cual sirve para evaluar f3() =0.70588929, que representa un error relativo: et = 0.17%.

Como conclusin de cada ejercicio se puede analizar que entre mas se ejecute la interpolacin polinomio aumentando el grado del polinomio, el error relativo porcentual decrece y no hay que hacer tantas iteraciones al momento de declarar los puntos iniciales de trabajo.

ERRORES DE LA INTERPOLACION POLINOMIAL DE NEWTON

Segn [1] se tiene que la estructura de la ecuacin (12) es similar a la expansin de la serie de Taylor en el sentido de que se van agregando trminos en forma secuencial, para mostrar el comportamiento de orden superior de la funcin. Estos trminos son diferencias divididas finitas y, as, representan aproximaciones de las derivadas de orden superior. En consecuencia, como ocurri con la serie de Taylor, si la funcin verdadera es un polinomio de n-simo grado, entonces el polinomio de interpolacin de n-simo grado basado en n + 1 puntos dar resultados exactos.

Tambin, como en el caso de la serie de Taylor, es posible obtener una formulacin

para el error de truncamiento. Recuerde que el error de truncamiento en la serie de Taylor se expresa en forma general como

Donde x est en alguna parte del intervalo de xi a xi+1. Para un polinomio de interpolacin de n-simo grado, una expresin anloga para el error es

Donde x est en alguna parte del intervalo que contiene la incgnita y los datos. Para que esta frmula sea til, la funcin en turno debe ser conocida y diferenciable. Por lo comn ste no es el caso. Por fortuna, hay una formulacin alternativa que no requiere del conocimiento previo de la funcin. Utilizndose una diferencia dividida finita para aproximar la (n + 1)-sima derivada,

Donde [x, xn, xn1,. . . , x0] es la (n + 1)-sima diferencia dividida finita. Debido a que la ecuacin (15) contiene la incgnita f(x), no permite obtener el error. Sin embargo, si se tiene un dato ms, f(xn+1), la ecuacin (15) puede usarse para estimar el error como sigue:

EJEMPLO 8:

Con la ecuacin (16) estime el error en la interpolacin polinomial de segundo grado del ejemplo 3. Use el dato adicional f(x3) =f(5) = 1.609438 para obtener sus resultados.

SOLUCION

Recuerde que en el ejemplo 3 el polinomio de interpolacin de segundo grado proporcion una estimacin, f2(2) = 0.5658444, que representa un error de 0.6931472 0.5658444 = 0.1273028. Si no se hubiera conocido el valor verdadero, como usualmente sucede, la ecuacin (18.18), junto con el valor adicional en x3, pudo haberse utilizado para estimar el error,

Donde el valor de la diferencia dividida finita de tercer orden es como se calcul antes en el ejemplo 6. Esta expresin se evala en x = 2 para obtener

Que es del mismo orden de magnitud que el error verdadero. Tomado de [1].

EJEMPLO 9:

Con la ecuacin (16) estime el error en la interpolacin polinomial de segundo grado del ejemplo 4. Use el dato adicional f(x3) =f() = 0.8660254 para obtener sus resultados.

SOLUCION

Recuerde que en el ejemplo 4 el polinomio de interpolacin de segundo grado proporcion una estimacin, f2() =, que representa un error de 0.70710678 =-0.16669085. Si no se hubiera conocido el valor verdadero, como usualmente sucede, la ecuacin (16), junto con el valor adicional en x3, pudo haberse utilizado para estimar el error,

Donde el valor de la diferencia dividida finita de tercer orden es como se calcul antes en el ejemplo 6. Esta expresin se evala en x = 2 para obtener

Que es aproximado al valor de magnitud que el error verdadero.

INTERPOLACION DE LAGRANGE

Segn [1] se tiene que El polinomio de interpolacin de Lagrange es simplemente una reformulacin del polinomio de Newton que evita el clculo de las diferencias divididas, y se representa de manera concisa como

Donde

Donde designa el producto de. Por ejemplo, la versin lineal (n = 1) es

Y la versin de segundo grado es

La ecuacin (17) se obtiene de manera directa del polinomio de Newton. Sin embargo, el razonamiento detrs de la formulacin de Lagrange se comprende directamente al darse cuenta de que cada trmino Li(x) ser 1 en x = xi y 0 en todos los otros puntos (figura1.7). De esta forma, cada producto Li(x) f(xi) toma el valor de f(xi) en el punto xi. En consecuencia, la sumatoria de todos los productos en la ecuacin (17) es el nico polinomio de n-simo grado que pasa exactamente a travs de todos los n + 1 puntos, que se tienen como datos.

(Figura 1.7) Descripcin visual del razonamiento detrs del polinomio de Lagrange. Esta fi gura muestra un caso de segundo grado. Cada uno de los tres trminos en la ecuacin (20) pasa a travs de uno de los puntos que se tienen como datos y es cero en los otros dos. La suma de los tres trminos, por lo tanto, debe ser el nico polinomio de segundo grado f2(x) que pasa exactamente a travs de los tres puntos.

Observe que, como en el mtodo de Newton, la forma de Lagrange tiene un error estimado de [ecuacin (15)].

De este modo, si se tiene un punto adicional en x = xn+1, se puede obtener un error estimado. Sin embargo, como no se emplean las diferencias divididas finitas como parte del algoritmo de Lagrange, esto se hace rara vez.

EJEMPLO 10

Con un polinomio de interpolacin de Lagrange de primero y segundo grado evale ln 2 basndose en los datos del ejemplo 3

El polinomio de primer grado [ecuacin (19)] se utiliza para obtener la estimacin en x = 2,

De manera similar, el polinomio de segundo grado se desarrolla as: [ecuacin (20)]

Como se esperaba, ambos resultados concuerdan con los que se obtuvieron antes al usar el polinomio de interpolacin de Newton. Tomado de [1].

De acuerdo con [4] podemos observar la interpolacin de lagrange de la siguiente manera:

Tenemos los datos :

El polinomio de interpolacin de Lagrange se plantea como sigue:

Donde los polinomios se llaman los polinomios de Lagrange, correspondientes a la tabla de datos.

Como se debe satisfacer que , esto se cumple si y para toda .

Como se debe satisfacer que , esto se cumple si y para toda .

Y as sucesivamente, veremos finalmente que la condicin se cumple si y para toda .

Esto nos sugiere como plantear los polinomios de Lagrange. Para ser ms claros, analicemos detenidamente el polinomio . De acuerdo al anlisis anterior vemos que deben cumplirse las siguientes condiciones para :

y , para toda

Por lo tanto, planteamos como sigue:

Con esto se cumple la segunda condicin sobre . La constante c se determinar para hacer que se cumpla la primera condicin:

Por lo tanto el polinomio queda definido como:

Anlogamente se puede deducir que:

, para

EJEMPLO 11

Calcular el polinomio de Lagrange usando los siguientes datos:

SOLUCION

Tenemos que:

donde:

Sustituyendo arriba, el polinomio de Lagrange queda definido como sigue:

EJEMPLO 12

Calcular el polinomio de Lagrange usando los siguientes datos:

SOLUCION

Tenemos que:

donde:

Sustituyendo arriba, el polinomio de Lagrange queda como sigue:

Los ejemplos 11 y 12 fueron tomados de [4].

Ahora segn [2] existen mejores mtodos para determinar una interpolacin polinomial sin resolver las ecuaciones lineales. Entre estos estn la formula de interpolacin de Lagrange; para representar la idea bsica que subyace en la formula de Lagrange considere el producto de factores dados por

Que se refiere a los n+1 puntos dados. La funcin es un polinomio de orden n de x, y se anula en . Si dividimos entre , la funcin resultante

Toma el valor de uno para , y de cero para . En forma anloga, podemos escribir como

Donde el numerador no incluye y el denominador no incluye . La funcin es un polinomio de orden n y toma el valor de uno en y de cero en . Asi, si multiplicamos por respectivamente y las sumamos, el resultado ser un polinomio de orden a lo mas n e igual a para cada hasta .

L formula de interpolacin de Lagrange de orden n asi obtenida se escribe como sigue [conte/de Boor]:

INTERPOLACION POR SPLINES

Segn [1] se define un procedimiento alternativo consiste en colocar polinomios

de grado inferior en subconjuntos de los datos. Tales polinomios conectores se

denominan trazadores o splines. Por ejemplo, las curvas de tercer grado empleadas para unir cada par de datos se llaman trazadores cbicos. Esas funciones se pueden construir de tal forma que las conexiones entre ecuaciones cbicas adyacentes resulten visualmente suaves. Podra parecer que la aproximacin de tercer grado de los trazadores sera inferior a la expresin de sptimo grado. Usted se preguntara por qu un trazador an resulta preferible. La figura (1.8) ilustra una situacin donde un trazador se comporta mejor que un polinomio de grado superior. ste es el caso donde una funcin en general es suave, pero presenta un cambio abrupto en algn lugar de la regin de inters. El tamao de paso representado en la figura (1.8) es un ejemplo extremo de tal cambio y sirve para ilustrar esta idea.

La figura (1.8a a c) ilustra cmo un polinomio de grado superior tiende a formar una curva de oscilaciones bruscas en la vecindad de un cambio sbito. En contraste, el trazador tambin une los puntos; pero como est limitado a cambios de tercer grado, las

oscilaciones son mnimas. De esta manera, el trazador usualmente proporciona una mejor aproximacin al comportamiento de las funciones que tienen cambios locales y abruptos. El concepto de trazador se origin en la tcnica de dibujo que usa una cinta delgada y flexible (llamada spline, en ingls), para dibujar curvas suaves a travs de un conjunto de puntos. El proceso se representa en la figura (1.9) para una serie de cinco alfileres (datos). En esta tcnica, el dibujante coloca un papel sobre una mesa de madera y coloca alfileres o clavos en el papel (y la mesa) en la ubicacin de los datos. Una curva cbica suave resulta al entrelazar la cinta entre los alfileres. De aqu que se haya adoptado el nombre de trazador cbico (en ingls: cubic spline) para los polinomios de este tipo.

(Figura 1.8) Una representacin visual de una situacin en la que los trazadores son mejores que los polinomios de interpolacin de grado superior. La funcin que se ajusta presenta un incremento sbito en x = 0. Los incisos a) a c) indican que el cambio abrupto induce oscilaciones en los polinomios de interpolacin. En contraste, como se limitan a curvas de tercer grado con transiciones suaves, un trazador lineal d) ofrece una aproximacin mucho ms aceptable.

(Figura 1.9) La tcnica de dibujo que usa una cinta delgada y flexible para dibujar curvas suaves a travs de una serie de puntos. Observe cmo en los puntos extremos, el trazador tiende a volverse recto. Esto se conoce como un trazador natural.

Donde mi es la pendiente de la lnea recta que une los puntos:

Estas ecuaciones se pueden usar para evaluar la funcin en cualquier punto entre x0

y xn localizando primero el intervalo dentro del cual est el punto. Despus se usa la

ecuacin adecuada para determinar el valor de la funcin dentro del intervalo. El mtodo es obviamente idntico al de la interpolacin lineal.

EJEMPLO 13:

Ajuste los datos de la tabla con trazadores de primer grado. Evale la funcin en x = 5.

X

f(x)

3

2,5

4,5

1

7

2,5

9

0,5

(TABLA 2).

Se utilizan los datos para determinar las pendientes entre los puntos. Por ejemplo, en el intervalo de x = 4.5 a x = 7 la pendiente se calcula con la ecuacin (22):

Se calculan las pendientes en los otros intervalos y los trazadores de primer grado obtenidos se grafican en la figura (2.0). El valor en x = 5 es 1.3. Tomado de [1].

(Figura 2.0)

Una inspeccin visual a la figura (2.0) indica que la principal desventaja de los trazadores de primer grado es que no son suaves. En esencia, en los puntos donde se encuentran dos trazadores (llamado nodo), la pendiente cambia de forma abrupta. Formalmente,la primer derivada de la funcin es discontinua en esos puntos. Esta deficiencia se resuelve usando trazadores polinomiales de grado superior. Tomado de [1].

De acuerdo con [4] se tiene que dados los puntos

Una funcin spline de grado 1 que interpole los datos es simplemente unir cada uno de los puntos mediante segmentos de recta, como sigue:

Claramente esta funcin cumple con las condiciones de la spline de grado 1. As, tenemos que para este caso:

donde:

i) es un polinomio de grado menor o igual que 1

ii) tiene derivada continua de orden k-1=0.

iii) , para .

Por lo tanto, la spline de grado 1 queda definida como :

donde es la diferencia dividida de Newton. Tomado de [4].

SPLINES CUADRATICOS

Segn [1] se tiene que tienen primeras derivadas continuas en los nodos. Aunque los trazadores cuadrticos no aseguran segundas derivadas iguales en los nodos, sirven muy bien para demostrar el procedimiento general en el desarrollo de trazadores de grado superior. El objetivo de los trazadores cuadrticos es obtener un polinomio de segundo grado para cada intervalo entre los datos. De manera general, el polinomio en cada intervalo se representa como

La figura 2.1 servir para aclarar la notacin. Para n + 1 datos (i = 0, 1, 2,..., n) existen n intervalos y, en consecuencia, 3n constantes desconocidas (las a, b y c) por evaluar. Por lo tanto, se requieren 3n ecuaciones o condiciones para evaluar las incgnitas. stas son:

1. Los valores de la funcin de polinomios adyacentes deben ser iguales en los nodos

interiores. Esta condicin se representa como

para i = 2 a n. Como slo se emplean nodos interiores, las ecuaciones (24) y

(25) proporcionan, cada una, n 1 condiciones; en total, 2n 2 condiciones.

2. La primera y la ltima funcin deben pasar a travs de los puntos extremos. Esto

agrega dos ecuaciones ms:

en total tenemos 2n 2 + 2 = 2n condiciones.

(Figura 2.1) Notacin utilizada para obtener trazadores cuadrticos. Observe que hay n intervalos y n + 1 datos. El ejemplo mostrado es para n = 3. Tomado de [1].

3. Las primeras derivadas en los nodos interiores deben ser iguales. La primera derivada de la ecuacin (23) es

Por lo tanto, de manera general la condicin se representa como

para i = 2 a n. Esto proporciona otras n 1 condiciones, llegando a un total de 2n + n 1 = 3n 1. Como se tienen 3n incgnitas, nos falta una condicin ms. A menos que tengamos alguna informacin adicional respecto de las funciones o sus derivadas, tenemos que realizar una eleccin arbitraria para calcular las constantes. Aunque hay varias opciones, elegimos la siguiente:

4. Suponga que en el primer punto la segunda derivada es cero. Como la segunda

derivada de la ecuacin 18.28 es 2ai, entonces esta condicin se puede expresar

matemticamente como

La interpretacin visual de esta condicin es que los dos primeros puntos se unirn

con una lnea recta.

EJEMPLO 14

Ajuste trazadores cuadrticos a los mismos datos que se utilizaron en el ejemplo 13 (tabla 2). Con los resultados estime el valor en x = 5.

X

f(x)

3

2,5

4,5

1

7

2,5

9

0,5

(TABLA 2).

En este problema, se tienen cuatro datos y n = 3 intervalos. Por lo tanto,

3(3) = 9 incgnitas que deben determinarse. Las ecuaciones (24) y (25) dan 2(3)

2 = 4 condiciones:

Evaluando a la primera y la ltima funcin con los valores inicial y final, se agregan 2

ecuaciones ms [ecuacin (26)]:

La continuidad de las derivadas crea adicionalmente de 3 1 = 2 condiciones [ecuacin

(27)]:

Por ltimo, la ecuacin (29) determina que a1 = 0. Como esta ecuacin especifica a1

de manera exacta, el problema se reduce a la solucin de ocho ecuaciones simultneas.

Estas condiciones se expresan en forma matricial como

Estas ecuaciones se pueden resolver utilizando las tcnicas de la parte tres, con los resultados:

que se sustituyen en las ecuaciones cuadrticas originales para obtener la siguiente relacin para cada intervalo:

Cuando se usa f2, la prediccin para x = 5 es,

El ajuste total por trazadores se ilustra en la figura 18.16b. Observe que hay dos

desventajas que se alejan del ajuste: 1. la lnea recta que une los dos primeros puntos y

2. el trazador para el ltimo intervalo parece oscilar demasiado. Los trazadores cbicos

de la siguiente seccin no presentan estas desventajas y, en consecuencia, son mejores mtodos para la interpolacin mediante trazadores.

(FIGURA 2.2) Representacin grafica de esplines cuadrticos. [1].

El ajuste total por trazadores se ilustra en la figura 2.2. Observe que hay dos

desventajas que se alejan del ajuste: 1. la lnea recta que une los dos primeros puntos y

2. el trazador para el ltimo intervalo parece oscilar demasiado. El ejemplo es tomado de [1].

SPLINES CUBICOS

De acuerdo con [1], el objetivo en los trazadores cbicos es obtener un polinomio de tercer grado para cada intervalo entre los nodos:

As, para n + 1 datos (i = 0, 1, 2,..., n), existen n intervalos y, en consecuencia, 4n incgnitas a evaluar. Como con los trazadores cuadrticos, se requieren 4n condiciones para evaluar las incgnitas. stas son:

1. Los valores de la funcin deben ser iguales en los nodos interiores (2n 2 condiciones).

2. La primera y ltima funcin deben pasar a travs de los puntos extremos (2 condiciones).

3. Las primeras derivadas en los nodos interiores deben ser iguales (n 1 condiciones).

4. Las segundas derivadas en los nodos interiores deben ser iguales (n 1 condiciones).

5. Las segundas derivadas en los nodos extremos son cero (2 condiciones).

La interpretacin visual de la condicin 5 es que la funcin se vuelve una lnea recta en

los nodos extremos. La especificacin de una condicin tal en los extremos nos lleva a

lo que se denomina trazador natural. Se le da tal nombre debido a que los trazadores

para el dibujo naturalmente se comportan en esta forma (figura 1.9). Si el valor de la

segunda derivada en los nodos extremos no es cero (es decir, existe alguna curvatura),

es posible utilizar esta informacin de manera alternativa para tener las dos condiciones

finales. Los cinco tipos de condiciones anteriores proporcionan el total de las 4n ecuaciones requeridas para encontrar los 4n coeficientes. Mientras es posible desarrollar trazadores cbicos de esta forma, presentaremos una tcnica alternativa que requiere la solucin de slo n 1 ecuaciones.

La formula para utilizar los splines cubicos es la siguiente:

Esta ecuacin contiene slo dos incgnitas (las segundas derivadas en los extremos de

cada intervalo). Las incgnitas se evalan empleando la siguiente ecuacin:

Si se escribe esta ecuacin para todos los nodos interiores, resultan n 1 ecuaciones

simultneas con n 1 incgnitas. (Recuerde que las segundas derivadas en los nodos

extremos son cero.) La aplicacin de estas ecuaciones se ilustra con el siguiente

ejemplo.

EJEMPLO 15:

Ajuste trazadores cbicos a los mismos datos que se usaron en los ejemplos 13 y 14 (tabla 2). Utilice los resultados para estimar el valor en x = 5.

X

f(x)

3

2,5

4,5

1

7

2,5

9

0,5

(TABLA 2).

El primer paso consiste en usar la ecuacin (32) para generar el conjunto de ecuaciones simultneas que se utilizarn para determinar las segundas derivadas en

los nodos. Por ejemplo, para el primer nodo interior se emplean los siguientes datos:

Estos valores se sustituyen en la ecuacin (32):

Debido a la condicin de trazador natural, (3) = 0, y la ecuacin se reduce a

En una forma similar, la ecuacin (32) se aplica al segundo punto interior con el siguiente resultado:

Estas dos ecuaciones se resuelven simultneamente:

Estos valores se sustituyen despus en la ecuacin (31), junto con los valores de

las x y las f(x), para dar

O

Esta ecuacin es el trazador cbico para el primer intervalo. Se realizan sustituciones

similares para tener las ecuaciones para el segundo y tercer intervalo:

y

Las tres ecuaciones se pueden utilizar para calcular los valores dentro de cada intervalo. Por ejemplo, el valor en x = 5, que est dentro del segundo intervalo, se calcula como sigue

Se calculan otros valores y los resultados se grafican en la figura 2.3

(Figura 2.3) Resultados de ejemplo 15. El ejemplo y la grafica son tomados de [1].

X

f(x)

3

2,5

4,5

1

7

2,5

9

0,5

1. Los valores de la funcin deben ser iguales en los nodos interiores (2n 2 condiciones).

2. La primera y ltima funcin deben pasar a travs de los puntos extremos (2 condiciones).

3. Las primeras derivadas en los nodos interiores deben ser iguales (n 1 condiciones).

4. Las segundas derivadas en los nodos interiores deben ser iguales (n 1 condiciones).

5. Las segundas derivadas en los nodos extremos son cero (2 condiciones).

INTERPOLACION POLINOMIAL MEDIANTE MATRICES

Este mtodo consiste en formar una matriz con los puntos que se van a empezar a evaluar, se forma un sistema de variables y se desarrolla dicho sistema, el resultado va a ser un polinomio de grado n-1 de acuerdo a la cantidad de puntos con la que se va a trabajar. El polinomio es de la forma

EJEMPLO 16:

Teniendo las parejas (1,2), (-3,4), (5,7), (2,8) ajuste un polinomio con el mtodo de matrices

SOLUCION:

.Formamos la matriz de la siguiente manera

x

x^2

x^3

1

1

1

1

1

-3

9

-27

1

5

25

125

1

2

4

8

Puesto que son cuatro puntos, entonces el polinomio que da de grado 3, luego con las matriz formamos un sistema de n variables, esta n es dada por la cantidad de puntos con la que se va a trabajar; en este caso es de cuatro variables.

x

x^2

x^3

1

1

1

1

A0

2

1

-3

9

-27

A1

4

1

5

25

125

A2

7

1

2

4

8

A3

8

Desarrollando el sistema se tiene

SOL

-3,5625

A0

4,62291667

A1

1,3

A2

-0,36041667

A3

Entonces obtenemos el polinomio

(Figura 2.4) Polinomio obtenido de acuerdo al ejemplo 16. Tomado de [5].

EJEMPLO 17:

Teniendo las parejas (1,1), (2,4), (3,9) ajuste un polinomio con el mtodo de matrices

SOLUCION:

.Formamos la matriz de la siguiente manera

X

X^2

1

1

1

1

2

4

1

3

9

Como son tres puntos va a dar un polinomio de grado dos y se forma el sistema

X

X^2

1

1

1

a0

1

1

2

4

a1

4

1

3

9

a2

9

Desarrollando el sistema se tiene:

sol

0

A0

0

A1

1

A2

Entonces obtenemos el polinomio

(Figura 2.5) Polinomio obtenido del ejemplo 17.

BIBLIOGRAFIA

1. Mtodos Numricos para ingenieros tercera edicin, Ed. Mc Graw Hill, Mxico D.F 1999.

2. SHOICHIRO, NAKAMURA METODOS NUMERICOS APLICADOS CON SOFWARE

Primera edicin, ed. PRENTICE-HALL HISPANOAMERICANA, S.A,mexico.

3. http://es.wikipedia.org/wiki/Interpolaci%C3%B3n_lineal

3. http://docentes.uacj.mx/gtapia/AN/Unidad6/Contenido4.htm

5. Notas de clase METODOS NUMERICOS 2008-1

POL-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.533.544.555.5621.812511.6351562500000164.0000000000000018-1.3632812499999998-4.7249999999999917-6.3554687499999956-6.5249999999999932-5.5039062499999885-3.5625-0.9710937499999997625.0804687499999996810.4882812512.27500000000000213.0898437512.66250000000001910.72265625000001671.2242187499999986-6.8749999999999858-31254287

-6-5-4-3-2-101234563625169410149162536

n

b

b

b

,

,

,

1

0

L

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1

1

0

1

0

2

0

1

0

-

-

-

-

+

+

-

-

+

-

+

=

n

n

x

x

x

x

x

x

b

x

x

x

x

b

x

x

b

b

x

f

L

L

)

2

)(

1

)(

2

(

3

.

0

)

1

)(

2

(

25

.

0

)

2

(

2

4

)

(

-

+

+

-

+

+

-

+

+

=

x

x

x

x

x

x

x

f

)

(

)

(

)

(

)

(

1

1

0

0

x

l

y

x

l

y

x

l

y

x

P

n

n

+

+

+

=

L

)

(

x

l

i

0

0

)

(

y

x

P

=

1

)

(

0

0

=

x

l

0

)

(

0

=

x

l

i

0

i

1

1

)

(

y

x

P

=

1

)

(

1

1

=

x

l

0

)

(

1

=

x

l

i

1

i

(

)

n

n

n

y

x

P

=

(

)

1

=

n

n

x

l

(

)

0

=

n

i

x

l

n

i

)

(

0

x

l

)

(

0

x

l

1

)

(

0

0

=

x

l

0

)

(

0

=

j

x

l

0

j

(

)

(

)

(

)

(

)

n

o

x

x

x

x

x

x

c

x

l

-

-

-

=

L

2

1

(

)

(

)

(

)

(

)

n

x

x

x

x

x

x

c

x

l

-

-

-

=

=

0

2

0

1

0

0

0

1

1

L

(

)

(

)

(

)

n

x

x

x

x

x

x

c

-

-

-

=

0

2

0

1

0

1

L

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

n

n

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

l

-

-

-

-

-

-

=

0

2

0

1

0

2

1

0

L

L

(

)

-

-

=

j

i

i

j

j

i

i

j

x

x

x

x

x

l

)

(

)

(

n

j

,

,

1

K

=

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

3

3

2

1

1

0

0

x

l

y

x

l

y

x

l

y

x

l

y

x

f

+

+

+

=

)

(

3

)

(

2

)

(

)

(

2

)

(

3

2

1

0

x

l

x

l

x

l

x

l

x

f

-

+

+

-

=

48

)

7

)(

5

)(

3

(

)

6

)(

4

)(

2

(

)

7

)(

5

)(

3

(

)

(

0

-

-

-

-

=

-

-

-

-

-

-

=

x

x

x

x

x

x

x

l

16

)

7

)(

5

)(

1

(

)

4

)(

2

)(

2

(

)

7

)(

5

)(

1

(

)

(

1

-

-

-

=

-

-

-

-

-

=

x

x

x

x

x

x

x

l

16

)

7

)(

3

)(

1

(

)

2

)(

2

)(

4

(

)

7

)(

3

)(

1

(

)

(

2

-

-

-

-

=

-

-

-

-

=

x

x

x

x

x

x

x

l

48

)

5

)(

3

)(

1

(

)

2

)(

4

)(

6

(

)

5

)(

3

)(

1

(

)

(

3

-

-

-

=

-

-

-

=

x

x

x

x

x

x

x

l

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

+

-

-

-

=

16

)

5

)(

3

)(

1

(

8

)

7

)(

3

)(

1

(

16

)

7

)(

5

)(

1

(

24

)

7

)(

5

)(

3

(

)

(

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

)

(

2

)

(

3

)

(

)

(

)

(

3

2

1

0

x

l

x

l

x

l

x

l

x

f

-

+

-

=

48

)

4

)(

2

(

)

6

)(

4

)(

2

(

)

4

)(

2

)(

0

(

)

(

0

-

-

-

=

-

-

-

-

-

-

=

x

x

x

x

x

x

x

l

16

)

4

)(

2

)(

2

(

)

4

)(

2

)(

2

(

)

4

)(

2

)(

2

(

)

(

1

-

-

+

=

-

-

-

-

+

=

x

x

x

x

x

x

x

l

16

)

4

)(

2

(

)

2

)(

2

)(

4

(

)

4

)(

0

)(

2

(

)

(

2

-

-

+

=

-

-

-

+

=

x

x

x

x

x

x

x

l

48

)

2

)(

2

(

)

2

)(

4

)(

6

(

)

2

)(

0

)(

2

(

)

(

3

-

+

=

-

-

+

=

x

x

x

x

x

x

x

l

-

+

-

-

-

+

+

-

-

+

-

-

-

-

=

24

)

2

)(

2

(

16

)

4

)(

2

(

3

16

)

4

)(

2

)(

2

(

48

)

4

)(

2

(

)

(

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

1

+

n

(

)

x

s

j

(

)

x

s

(

)

j

j

y

x

s

=

n

j

,

,

1

,

0

K

=

]

,

[

j

i

x

x

f