Intro Aux Elements Finis GAIE(1)

8/10/2019 Intro Aux Elements Finis GAIE(1)

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Dpartement de gnie civilLaboratoire de mcanique des sols

Michel Dysli

2medition, juin 1997

COLE POLYTECHNIQUEFDRALE DE LAUSANNE

B3-5: Introduction aux

lments finis

DD oo cc uu mm ee nn tt ss dd ii ss tt rr ii bb uu ss


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Cycle postgrade : Gologie Applique l'Ingnierie et l'EnvironnementModule B3-5: Introduction aux lments finis M. Dysli

Liste desdocuments

mise jour: 1997-06-10

DocumentNo

Titre

- Buts du cours

1 Bibliographie

2 Scalaire, vecteur, tenseur

2a Equations de contraintes et dformations (cours mcanique des sols B2-2)

3 Exemple d'un tenseur: le tenseur des contraintes

4 Les quations et leur solution

4a Solution quations de contraintes et dformations (cours mcanique des sols B2-2)

5 Diffrences finies5a Calcul dun coulement souterrain avec un tableur

6 Elments finis

7 Autres lments finis

8 Exemples de discrtisation en lments finis

8a Exemples de discrtisation en lments finis (suite)

9 Fonctions de transformation et d'interpolation

9a Fonctions de transformation et d'interpolation (suite)

10 Matrices d'lasticit11 Relations entre les noeuds et l'intrieur de l'lment (1repartie)

11a Relations entre les noeuds et l'intrieur de l'lment (suite)

12 Dtermination de la matrice dformation - dplacement

13 Application numrique

14 Application numrique (suite)

15 Principe de la rsolution par la mthode des dplacements

16 FEM, BEM, KEM

Annexe Rappel du calcul matriciel


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Butsdu cours

Buts du cours"Introduction aux lments finis" (8 heures):

Comprendre les principes de la mthodedes lments finis applique au calculdes contraintes et dformations et celui des coulements souterrains.

Avoir les bases ncessaires pour s'enservir dans des cas simples.

Et non pas :

Etre capable d'crire des programmes sur ordinateur relatifs cette mthode... Il faudrait pour cela un cours de 100 200

heures!

Mthode:approche physique par des cas particuliers


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DocumentNo 1

ajout 1997-06-24

Bibliographie

1. Acquisitions conseilles

BATHE K.-J. (1996). Finite element procedures . Prentice-Hall.

BRITTO A. M., GUNN M. J. (1987). Critical State Soil Mechanics via Finite Elements. EllisHorwood Limited, Halsted Press: a division of John Wiley & Sons,

DHATT G., TOUZOT G. (1984). Une prsentation de la mthode des lments finis. Maloine SAParis.

PRAT M. (1995).La modlisation des ouvrages, Herms, Paris.

ZIENKIEWICZ O. C. (1979).La mthode des lments finis. 3e d., McGraw Hill.ZIENKIEWICZ O. C. (1977). The Finite Element Method. 3rd ed., McGraw Hill.

2. Autres

CHEN W. F., MIZUNO E. (1990).Nonlinear Analysis in Soil Mechanics. ElsevierDESAI C. S., SIRIWARDANE H. J. (1984). Constitutive laws for engineering materials. Prentice-

Hall.

Des ditions plus rcentes pourraient exister.


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DocumentNo 2

Scalaire, vecteur, tenseur

En physique, lorsqu'un simple nombre suffit dfinir une grandeur (temprature, densit, modulelastique, par ex.), ce nombre est un scalaire.

Si la grandeur a non seulement une dimension mais aussi une direction, on l'appellera alors vecteur.Une force, une acclration, un dplacement sont des vecteurs. Dans un systme d'axes cartsien 3dimensions, il faut 3 composantes au moins pour dfinir un vecteur, soit par exemple deux angles etune intensit, ou 3 projections sur les axes du systme choisi.Une modification du systme de rfrence induit une modification des 3 composantes dfinissant levecteur. Il est cependant possible de driver de ce vecteur une quantit scalaire qui est indpendantede sa direction. Par exemple, si l'on considre un vecteur dplacement de composantes d1, d2, d3, la

grandeur de ce vecteur: d= d1

2 + d2

2 +d3

2 est indpendante de sa direction; c'est l'invariant duvecteur.

La notion de tenseur est plus abstraite. On pourrait lui donner la signification physique d'une repr-sentation d'un champ: champ de vitesses, champ de contraintes par exemple. Dans la dfinition descomposantes d'un tel champ, nous devons nous rfrer deux fois des directions, par exemple, pourun champ de contrainte: premirement l'orientation du solide lmentaire et deuximement l'orientation des contraintes proprement dites sur les faces de ce solide. Il faudrait donc 3 .3 = 9composantes pour dfinir un tel tenseur. Cependant un tenseur cartsien est symtrique et seules 6composantes suffisent le dfinir compltement.

Si pour un vecteur il est possible de driver uninvariant, un tenseur donne trois invariants dans unsystme 3 dimensions.

Type Scalaire Vecteur Tenseur

Ordre de la matrice 0 1 2

Exemple poidsvolumique

dplacement contrainte

Notations

d1

d2

d3

11

12

13

21

22

23

31

32

33

Notations indicielles di ij

Nombre decomposantes dans unsystme de coordon-nes 3 dimensions

30 31= 3 32= 9

Valeursindpendantes

1 3 9 en gnral

6 avec symtrie: ij= ji

Invariants 1 1 3


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Exemple d'un tenseur: le tenseur des contraintes

y'

z'

z'x'

x'

z'y'

x'z'

x'y'

y'z'

y'x'

z'y'

x'

z

y

x

y

z

zx

x

zy

xzxy

yz

yx

z

y

x

2

3

1

32

1

z

y

x

1, 2, 3 = axes des contraintes

principales= 0 sur les faces

1 0 0

0 2 0

0 0 3

x xy xz

yx y yz

zx zy z

avec:xy = yxxz = zx

zy = yz

tenseur des contraintes : tenseur des contraintesprincipales :

Invariants du tenseur des contraintes (sans dmonstration)

'= - u'= contrainte effective = contrainte totaleu = pression interstitielle

x xy xz

yx y yz

zx zy z

=

x xy xz

yx y yz

zx zy z

-

u 0 0

0 u 0

0 0 u

' ' '

' ' '

' ' '

-

u 0 0

0 u 0

0 0 u

1 0 0

0 2 0

0 0 3

1 0 0

0 2 0

0 0 3

=

'

'

'

I1 =x +y +z

I2 =xy +yz +zx xy2 yz

2 zx2

I3 =xyz + 2xyyzzx xyz2 yzx

2 z xy2

I1 =1 +2 +3I2 =12 +23 +31I3 =123

pression interstitielle =tenseur sphrique


DocumentNo 3


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Les quations et leur solution

Ecoulement souterrain Contraintes-dformations Conduction thermiqueChamps lectriquesetc.

Cas gomtriquement simple : solutions analytiques

Cas plus complexe: diffrences finies ou lments finis

h=1cv

ht

avec h= charge hydraulique t= temps cv= coefficient de consolidation

'x

+ Fx= 0ux

+

= f(')

Diffrences finies : document No 5 Elments finis : document No 6

quilibre des forces

avec '= contraintes effectives u= pression interstitielle Fx= force volumique x= axe cartsien quelconque

avec vi,j= vecteur des dplacements ij= dformations

relation dformation -

dplacement

relation contraintes - dformations

ij=1

2

vi

xj+

vj

xi

quilibre des dplacements(document No 15)

.vM + Kv = R- F+U...

M= matrice des masses.K= matrice de rigidit.v= vecteur des dplacements.R= vecteur des forces extrieures.F= vecteur des forces intrieuresU= vecteur des pressions interstitielles.

avec

WS

WS

puits

filtrantcouche 1

couche 2

Excavation avec paroi moule


DocumentNo 4


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Solution des quations de contraintes et dformations

Charges simples pouvant conduire une solution analytique :

S o l u t i o n s a n a l y t i q u e s

b a q u e s e t f o r m u l e s

Recordon Ed. (1980). Abaques du cours polycopi de mcanique des sols de l'EPFL.Giroud J.-P. (1975). Tables pour le calcul des fondations, Tomes 1 et 2. Dunod, Paris.Poulos H. G., Davis E. H. (1974). Elastic solutions for soil and rock mechanics. John Wyley & Sons.

Semi-infinilastique

DocumentNo 4a



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Diffrences finies

Ecoulement souterrain Contraintes-dformations

couche 1

couche 2

WS

WS

puits

filtrant

Fx

=Fi+1,j - Fi-1,j

2

F = contraintes, dformations, dplacements, tempratures, pressions, moments, charge hydraulique, etc.

2Fx2

= Fi+1,j - 2Fi,j+ Fi-1,j

22

Fy

=Fi,j+1 - Fi,j-1

2

2F

y2=

Fi,j+1 - 2Fi,j+ Fi,j-1

22

i-2 i-1 i i+1 i+2j+2

j+1

j

j-1

j-2

y

x


DocumentNo 5

Exemple: coulement souterrain2 2 h

x2+ h

y2= 0Equation pour rgime permanent:

savoir:

h = charge hydraulique = z + u / wavec u = pression interstitielle

hi+1,j- 2hi,j+ hi-1,j

22

hi,j+1- 2hi,j+ hi,j-1

22+ = 0

hi,j=hi-1,j+ hi,j-1+ hi+1,j+ hi,j+1

4ou h0=

h1+ h2+ h3+ h44

h0h1

h2

h3

h4

z24

0

h = 18

h = 24

h

=2

4

h

=1

8

impermable

palplanche

h0= h1/4 + h3/4 + h4/2

h0= h1/4 + h2/4 + h3/4 + h5/8 + h6/8h0= h1/2 + h2/4 + h4/4

h0= h2/4 + h3/2 + h4/4

h5 h6

Excellent moyen = tableur

Cas particuliers aux limites :


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Calcul d'un coulement souterrain avec un table

123456789

1011

12131415161718

A B C D E F G H I J x

z 0 2 4 6 8 10 12 14 16 24 24 24 24 24 24 24 2422 24 2 3.92 23.83 23.75 23.67 23.61 23.5920 24 2 3.83 23.66 23.49 23.32 23.19 23.1418 24 2 3.74 23.48 23.21 22.94 22.70 22.57 18 18 16 24 2 3.66 23.31 22.94 22.53 22.10 21.75 18.36 18.32 1814 24 2 3.59 23.16 22.70 22.15 21.42 20.21 18.81 18.68 1812 24 23.54 23.05 22.53 21.94 21.23 20.37 19.53 19.08 1810 24 23.50 22.98 22.44 21.85 21.20 20.51 19.86 19.36 188 24 23.48 22.94 22.39 21.82 21.22 20.61 20.04 19.54 19

6 24 23.47 22.92 22.37 21.81 21.24 20.68 20.14 19.65 194 24 23.46 22.91 22.36 21.81 21.26 20.72 20.20 19.71 192 24 23.46 22.91 22.36 21.82 21.28 20.75 20.23 19.74 190 24 23.46 22.91 22.36 21.82 21.29 20.76 20.24 19.75 19

=(E9+F10+G9+F8)/4


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Elments finis

Ecoulement souterrain Contraintes-dformations

couche 1

couche 2

WS

WS

puits

filtrant

WS

Elmentsrectangulaires

x

y

ui= dplacementsFi= forces

uy,Fy

ux,Fx

k

ij

l

N M

O

m

no

p

hj

qO-N

OqO

M

qM

qM-N

N

hi

hk hl

hm

hn

ho

hp

hi= charge hydrauliqueqi= dbit


DocumentNo 6


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barres

poutre

2D

3D


DocumentNo 7

Autres lments finisexemples parmi de nombreux autres

joints

Elment decisaillement

= c + tg

jointcinmatique

Intersection ?

corps 2

corps 1

ajout 1997-06-24

seul l'effort de traction / compression est transmis

Efforts dans le plan

une unit


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DocumentNo 8

Exemples de discrtisation en lments finisparoimoule

Rseau initial

Rseau aprs plusieurspas d'excavation

3D

2D

z

y

z

y

Elmentisoparamtrique

21 noeuds

axe de symtrie

seulement dplacementvertical

couche 4

couche 1

couche 2

couche 3

e 1e 2

e 3e 4

e 5

e = tapes d'excavation

couche 4

couche 1

couche 2

couche 3

naissance du butonaprs tape excavation 2

aucun dplacement possible

De par la symtrie seul 1/4de l'excavation est modlise


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DocumentNo 8a

Exemples de discrtisation en lments finis (suite)


16/25

Approche trs simple n'utilisant que les forces, les dplacements, les contraintes et les

dformations. Les mmes principes s'appliquent par analogie aux coulements souterrains et tous les autres champs.

1) Compatibilit des dplacements entre les cts de deux lments voisins

mauvais

2) Fonction de transformation gomtrique: Transformation des coordonnes relles en coordonnes de rfrence Exemple pour un lment triangulaire

h()=fonction de transformation gomtriquePar exemple, pour l'lment triangulaire :

y(,) = h{ }yi

yj

yk

x(,) = h 1(,) xi

+ h 2 (,) xj

+ h 3 (,) xk

= h{ }xi

xj

xk

x(,)

De la mmemanire :

Elment de rfrenceCoordonnes naturelles

0, 1

0, 01, 0

Elment relCoordonnes locales

uy

x

y

xjxk

xi

ux


DocumentNo 9

Fonctions de transformation et d'interpolation (1repartie)

modification 1997-06-24


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Approche trs simple n'utilisant que les forces, les dplacements, les contraintes et lesdformations. Les mmes principes s'appliquent par analogie aux coulements souterrains et

tous les autres champs.

Elment:

isoparamtrique h() = h()sub-paramtrique ordre h() < ordre h()super-paramtrique ordre h() > ordre h()

h(,)= fonction d'interpolation sur l'lment de rfrence

ui,j,k= variables nodales = variables attaches aux noeuds de l'lment rel comme des

dplacements, des forces ou une pression interstitielle.

u(x,y) = h1(x,y) h 2 (x,y){ h3(x,y)}ui

uj

uk

h(x) =fonction d'interpolation sur l'lment rel

u(,) = h1( ) h 2 ( ){ ui

uj

uk

, , h 3( )},

Pour le triangle (interpolation linaire) :

h1(x,y) =

1

2Ay

kyj( ) xjx( ) xk xj( ) yjy( )[ ]

h2(x,y) =

1

2Ay

iy

k( ) x

kx( ) x

ix

k( ) y

ky( )[ ]

h3(x,y) =

1

2Ay

jyi( ) xi x( ) xjxi( ) yi y( )[ ]2A = x

kx

j( ) yi yj( ) xi xj( ) yk yj( )

h1(,) = 1

h2(,) =

h3(,) =

Passage des valeurs aux noeuds (variables nodales u) celles en tout pointx,you ,du triangle :

Pour le triangle (interpolation linaire) :


DocumentNo 9a

Fonctions de transformation et d'interpolation (suite)

Toutes les expressions des fonctions d'interpolation qui impliquent des drives de u (variable nodale) enx, y sont transformes en drives de et grace la matrice de transformation dite matrice jacobienneouJacobien J:

=

x

y

x

y

{ }= J[ ] x{ }

Problme lors de l'inversion si, parexemple, le dterminant de J est nulle

u= quelque chose

3) Fonctions d'interpolation: Passage des valeurs aux noeuds (variables nodales) celles en tout point d'un lment Exemple pour un lment triangulaire

4) Jacobien


u

u

xu

yu

=1J[ ]x{ } { }


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Matrices d'lasticit

Forme gnrale de la relation - pour un corps lastique:

avec :K = coefficient de compressibilit [kPa par ex.]G = module de glissement ou de cisaillement [kPa[

Premire solution: dcomposition du tenseur des contraintes en en tenseur sphrique met en untenseur dviatorique o. Les tenseurs correspondant des dformations sont met o.L'indice o de et est la lettre o et non pas le chiffre 0.

Deuxime solution:usage de vecteurs de contraintes et de dformations

m= 3K.m

o= 2G. o

lasticit linaire: lasticit non linaire :

m= 3K.m

o= 2G. o

=

xyzxyyzzx

xyzxyyzzx

s11 s12 s13 s14 s15 s16s21

s31

s41

s51

s61

etc.

Contraintes planes (z= 0)

Dformations planes (z= 0)

xyxy

ij= ij=xyxy

xy= xy2xy= xy

Rappel:

1 01 0

0 0(1-)

2

(1-2)

E

1-

1-

0

0

0

01-2

2

(1-2)(1+)E

ij= ij

xyxy

ij= ij=xyxy

ij= ij

Symtrie de rvolution

(1-2)(1+)E

zrrz

ij= ij=

zrrz

ij= ij

1-

1-

00

0

01-2

2

1- 0

0 0 0

0

zz

r

r

rzzr

ij= sij.ij et

ij= sij-1.ij forme la plus utilise

sij-1est l'inverse de la matrice sij


DocumentNo 10

= D[ ] ij

= D[ ] ij

D = matrice d'lasticit

y

z

zx

x

zy

xzxy

yz

yx

z

y

x

ajout 1997-06-24

Simplifications ( 2D )y

x

z

x

z

y

z=

0

z=

0

z0

z0


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Relations entre les noeuds et l'intrieur de l'lment (1repartie)Approche trs simple n'utilisant que les forces, les dplacements, les contraintes et les dformations.

(x,y)=

x

uxvy

u+v

y

document No 35 module B22 :

1) Relation entre les dformations l'intrieur de l'lment et lesdplacements aux noeuds : Matrice des dformations - dplacements

xy

12

34

5

67

8x,y

v1u1

v5u5

v2u2

u8v8

u4v4

u7v7

u3

v3

u6v6

12

3 4

5

6

7

8x,y

Fy1Fx1

Fy5Fx5

Fx2

Fx8

Fy8

Fx4

Fy4

Fy7Fx7

Fx3

Fy3

Fx6

Fy6

Fy2

2) Relation entre les contraintes l'intrieur de l'lment et les forces auxnoeuds : Matrice des forces aux noeuds - contraintes

x

y

{ (x,y)}= C(x,y)[ ]Fnoeuds{ } (2)

Dans le cas de l'lment isoparamtrique avec h = h > 1 (par exemple interpolation cubique) on peututiliser, pour passer des dplacements aux noeuds aux dformations l'intrieur de l'lment, la mthoded'intgration numrique de Gauss qui permet de calculer, avec une trs bonne approximation, les dfor-mations et les contraintes en des points dtermins: lespoints de Gauss, dont les positions permettentd'obtenir la prcision maximale.La mthode de Gauss fait partie d'un ensemble de mthodes dnomm: mthode des rsidus pondrs.Cette mthode gnrale d'intgration numrique qui utilise des fonctions de pondrations permet depasser d'un systme d'quations aux drives partielles uneformulation intgraleen utilisant lesfonctions de d'interpolation(polynomiale par exemple). La prcision de la formulation intgrale dpendde la position du point considr dans l'lment. Ces formulations intgrales sont nombreuses, parexemple: mthode de Gauss dj cite mthode de Ritz mthode de Legendre = environ Gauss mthode de Galerkine ( la mode aujourd'hui!) mthode de Newton-Cotes => diffrente des autres et moins prcises.


DocumentNo 11

(1)(x,y){ } = B(x,y)[ ] unoeuds{ }vnoeuds

xyxy

=(x,y)

Une matrice B diffrente pour chaque point x,y

lment triangulaire 3 noeuds

lment rectangulaire 4 noeudslment rectangulaire 8 noeuds

3 63.6

3 83.83 163.16

Dimensions (lignes .colonnes):

B u, v

lment triangulaire 3 noeuds

lment rectangulaire 4 noeudslment rectangulaire 8 noeuds

6 3

8 316 3

Dimensions (lignes .colonnes):

6.3

8.316.3

F C

Pas utilise par la suite

3) Points de Gauss et mthode des rsidus pondrs


Dans la relation , la matriceBest forme de termes provenant desfonctions de pondrations, des fonctions d'interpolation et des fonctions de transformation

gomtrique. Un exemple de constitution de cette matrice est donn sur le document no 12.

(x,y){ } = B(x,y)[ ] unoeuds

{ }vnoeuds


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Relations entre les noeuds et l'intrieur de l'lment (suite)Approche trs simple n'utilisant que les forces, les dplacements, les contraintes et les dformations.

Il reste assembler tous les lments. La mthode gnrale utilise pour cela fait l'objet du document15. Nous allons avant dire encore quelques mots sur les mthodes d'intgration numrique, dont cellede Gauss (document 12).


DocumentNo 11a

lment triangulaire 3 noeudslment rectangulaire 4 noeudslment rectangulaire 8 noeuds

Dimensions de K (lignes .colonnes):6.68.8

16.16

i,j[ ] sont des constantes qui dpendent des valeur de iet i(intgration de Gauss)

Fnoeuds{ } =u

noeuds{ }vnoeudsK[ ] avec [K] = matrice de rigidit de l'lment

(3)

sans dmonstration, intgration sur le surface de l'lmentD[ ] B[ ]B[ ]TK[ ] = dSS (4)

, = coordonnes naturelles, J = Jacobien (document 9a), det = dterminantdS= det J dd[ ] (5)

avec [] = [][D][B] det [J][A] ddK[ ] =S

(6)

i,j

= i,jK[ ] A[ ] i,j A[ ] i,jou est value chaque point iet i(7)

4) Relation forces - dplacements avec usage de la matrice d'lasticit D et de la matrice B



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Dtermination de la matrice dformation - dplacement


DocumentNo 12

Deux dimension, lment 4 noeuds avec 4 points d'intgration (degr n = 2)

ainsi: x = 1/4 (1 + )(1 + )x1+ 1/4 (1 - )(1 + )x2+ 1/4 (1 - )(1 - )x3+ 1/4 (1 + )(1 - )x4y = 1/4 (1 + )(1 + )y1+ 1/4 (1 - )(1 + )y2+ 1/4 (1 - )(1 - )y3+ 1/4 (1 + )(1 - )y4u = 1/4 (1 + )(1 + )u1+ 1/4 (1 - )(1 + )u2+ 1/4 (1 - )(1 - )u3+ 1/4 (1 + )(1 - )u4v = 1/4 (1 + )(1 + )v1+ 1/4 (1 - )(1 + )v2+ 1/4 (1 - )(1 - )v3+ 1/4 (1 + )(1 - )v4

Nous savons dj que (doc. No 11 ou module B22) :

x= u

x

v

yy=

u

x+v

yxy=

En valuant les relations (3) et (4), on peut tablir le matrice de transformation dformation - dplacement, savoir la

matrice B, en un point i, j: ij=Bij.u. Les indices i et j indiquent que la transformation est value au point i, j.

Par exemple, si les axes x et y de l'exemple 4 noeuds sont confondus avec les axes et et si l'lment est un carr dedimension 2 de cot, le Jacobien est une matrice unitaire et ainsi:

ainsi :

x

y

= J[ ] -11

4u

u

xy

= J[ ] -114v

v

= i = j

= i = j

1 + j 0 -(1 + j) 0 -(1 - j) 0 1 - j 0

1 + i 0 1 - i 0 -(1 - i) 0 -(1 + i) 0

ij

ij

0 1 + j 0 -(1 + j) 0 -(1 - j) 0 1 - j0 1 + i 0 1 - i 0 -(1 - i) 0 -(1 + i)

u

v

.

u

v

.

(3)

(4)

1 + j 0 -(1 + j) 0 -(1 - j) 0 1 - j 0 0 1 + i 0 1 - i 0 -(1 + i) 0 -(1 + i)1 + i 1 + j 1 - i -(1 + j) -(1 - i) -(1 - j) -(1 + i) 1 - j

14

B =

Fonctions d'interpolation: (sans dmonstration)Noeuds : 4 5 6 7 8 9

h1= 1/4 (1 + )(1 + ) -1/2h5 -1/2h8 -1/4h9h2= 1/4 (1 - )(1 + ) -1/2h5 -1/2h6 -1/4h9h3= 1/4 (1 - )(1 - ) -1/2h6 -1/2h7 -1/4h9h4= 1/4 (1 + )(1 - ) -1/2h7 -1/2h8 -1/4h9h5= 1/2 (1 -

2)(1 + ) -1/4h9h6= 1/2 (1 - )(1 -

2) -1/4h9h7= 1/2 (1 -

2)(1 - ) -1/4h9h8= 1/2 (1 + )(1 -

2) -1/4h9h9= 1/2 (1 -

2)(1 - 2)

z = h1z1+ h2z2+ h3z3+ ... + hizi avec z = x, y, u ou v

et que (Jacobien, document No 9a) :

savoir en drivant (1) :

x / = 1/4 (1 + )x1- 1/4 (1 + )x2- 1/4 (1 - )x3+ 1/4 (1 - )x4

x /= 1/4 (1 + )x1+ 1/4 (1 - )x2- 1/4 (1 - )x3- 1/4 (1 + )x4y /= 1/4 (1 + )y1- 1/4 (1 + )y2- 1/4 (1 - )y3+ 1/4 (1 - )y4y /= 1/4 (1 + )y1+ 1/4 (1 - )y2- 1/4 (1 - )y3- 1/4 (1 + )y4u /= 1/4 (1 + )u1- 1/4 (1 + )u2- 1/4 (1 - )u3+ 1/4 (1 - )u4u /= 1/4 (1 + )u1+ 1/4 (1 - )u2- 1/4 (1 - )u3- 1/4 (1 + )u4v /= 1/4 (1 + )v1- 1/4 (1 + )v2- 1/4 (1 - )v3+ 1/4 (1 - )v4v /= 1/4 (1 + )v1+ 1/4 (1 - )v2- 1/4 (1 - )v3- 1/4 (1 + )v4

xy

J[ ] = -1= J[ ]

xy

etson

inverse:

=

x

y

x

y

xy

d'o :ij=

xyxy

=

u x/v y/

+u y/ xv/

(1)

(2)

-1, 0

0, -1

+1, 0

0, +1

+0,5774

-0,5774

-0,5774

-0,5774

Point de Gaussnoeud 1

noeud 2

noeud 3

noeud 4

y, v

x, ux4

y4u4

v4

dplacements

1

2

3

4

u1v1u2v2u3v3u4v4

u

v

=u=

On peut constater que les valeurs de la matrice B dpendent des coordonnes naturelles iet j



22/25


DocumentNo 13

Application numrique

En appliquant les relations (1) du document No 12:x = 3 et y = 2

noeud 1noeud 2

y, v

x, u

noeud 3 noeud 4

6 m

4 m

1

2

3

4

=3 00 2

J=

x

y

x

y

=

3

2

3

2

Jacobien =

Dans ce cas particulier J est indpendant des et

=0,333 0

0 0,5

Son inverse, J-1

Avec les relations (3) et (4) du document No 12, on peut maintenant dterminer la matrice B,par exemple pour le point de Gauss No 1 (i= -0,5774, j= -0,5774) :

xy

= 14u

u

x

y

= 1

4v

v

1 + j 0 -(1 + j) 0 -(1 - j) 0 1 - j 01 + i 0 1- i 0 -(1 - i) 0 -(1 + i) 0

u

v

0 1 + j 0 -(1 + j) 0 -(1 - j) 0 1 - j

0 1 + i 0 1 - i 0 -(1 - i) 0 -(1 + i)

0,333 00 0,5

0,333 0

0 0,5

u

v

=

et ainsi B1=0.14 0 -0.14 0 -0.53 0 0.53 0 0 0.21 0 0.79 0 -0.79 0 -0.210.21 0.14 0.79 -0.14 -0.79 -0.53 -0.21 0.53

0.14 0 -0.14 0 -0.53 0 0.53 00.21 0 0.79 0 -0.79 0 -0.21 0

0 0.14 0 -0.14 0 -0.53 0 0.53

0 0.21 0 0.79 0 -0.79 0 -0.21

Calculons enfin les dformations au point de Gauss No 1 (1) pour le dplacement des noeuds suivant(cas trivial pour contrle) :

noeud 1noeud 2

noeud 3 noeud 4

4 m

1

0,5 m

6 m

1=

xyxy

= B

u1v1u2v2u3v3u4v4

=

00.50

0.50000

1=

xy

xy

=

0

-0.125

0

14

u

v

14

14

0.14 0 -0.14 0 -0.53 0 0.53 0 0 0.21 0 0.79 0 -0.79 0 -0.210.21 0.14 0.79 -0.14 -0.79 -0.53 -0.21 0.53

c.q.f.d. !

Suite sur document No 14

+

u

v

1

4=


23/25

Application numrique (suite)


DocumentNo 14

Il reste maintenant constituer la matrice de rigidit K de l'lment au moyen de la relation (7) dudocument No 11. Les coefficients sont donns sur le tableau ci-dessous (sans dmonstration).

Nbre de ptsde Gauss

2 0,0 2.00004 0,5774 1.00006 0,7746 0,5555 0,0000 0,88888 0,8611 0,3479 0,3400 0,6521

i,j= i,jK[ ] A[ ] i,j = 1[A]1+ 2[A]2+ 3[A]3+ 4[A]4

Dans notre cas 1= 2= 3= 4= 1No des points de Gauss

[A]2=

[K]= 1.[A]1+ 1.[A]2 + 1.[A]3 + 1.[A]4

Pour calculerA, il faut connatre la matrice d'lasticitD.En admettantE= 20'000 et = 0,3 et des contraintes planes (doc. 10) :

[D]=21'978 6'593 0 6'593 21'978 0 0 0 7'692

[A]1= [B]1T [D] [B]1=

292.3 159.5 317.2 188.8 -1091.2 -595.2 481.7 246.9

159.5 425.2 246.9 1316.3 -595.2 -1587.2 188.8 -154.3 317.2 246.9 1957.9 -595.2 -1183.9 -921.5 -1091.2 1269.8 188.8 1316.3 -595.2 5184.0 -704.9 -4913.1 1111.2 -1587.2-1091.2 -595.2 -1183.9 -704.9 4072.9 2221.6 -1797.8 -921.5-595.2 -1587.2 -921.5 -4913.1 2221.6 5924.3 -704.9 576.0 481.7 188.8 -1091.2 1111.2 -1797.8 -704.9 2407.4 -595.2 246.9 -154.3 1269.8 -1587.2 -921.5 576.0 -595.2 1165.5

2407.4 595.2 -1797.8 704.9 -1091.2 -1111.2 481.7 -188.8 595.2 1165.5 921.5 576.0 -1269.8 -1587.2 -246.9 -154.3 -1797.8 921.5 4072.9 -2221.6 -1183.9 704.9 -1091.2 595.2 704.9 576.0 -2221.6 5924.3 921.5 -4913.1 595.2 -1587.2 -1091.2 -1269.8 -1183.9 921.5 1957.9 595.2 317.2 -246.9 -1111.2 -1587.2 704.9 -4913.1 595.2 5184.0 -188.8 1316.3

481.7 -246.9 -1091.2 595.2 317.2 -188.8 292.3 -159.5 -188.8 -154.3 595.2 -1587.2 -246.9 1316.3 -159.5 425.2etc.

8730.5 3571.4 -2961.3 -274.7 -4364.7 -3571.4 -1404.5 274.7 3571.4 12699.0 274.7 3784.6 -3571.4 -6348.7 -274.7 -10134.9 -2961.3 274.7 8730.5 -3571.4 -1404.5 -274.7 -4364.7 3571.4 -274.7 3784.6 -3571.4 12699.0 274.7 -10134.9 3571.4 -6348.7 -4364.7 -3571.4 -1404.5 274.7 8730.5 3571.4 -2961.3 -274.7 -3571.4 -6348.7 -274.7 -10134.9 3571.4 12699.0 274.7 3784.6 -1404.5 -274.7 -4364.7 3571.4 -2961.3 274.7 8730.5 -3571.4 274.7 -10134.9 3571.4 -6348.7 -274.7 3784.6 -3571.4 12699.0

u1v1u2v2u3v3u4v4

Fx1Fy1Fx2Fy2Fx3Fy3

Fx4Fy4

=

Fnoeuds{ } =u

noeuds{ }vnoeudsK[ ]k11 k12k21

symtrique kij= kji

Fx1Fy1

u1

v1

= k11u2

v2

+ k12u3

v3

+ k13u4

v4

+ k14

Fx2Fy2

u1

v1

= k21u2

v2

+ k22u3

v3

+ k23u4

v4

+ k24

etc. Les sous-matrices kijsont

aussi elles-mmes symtriques

Appuis :

noeud 1noeud 2

noeud 3

noeud 4

u4= v4= 0 d'o : k14= k41= k24= k42= k34= k43= k44=0 00 0

v4= 0 d'o :noeud 4

c1, c2, c3, c4= constantesc100 0

k14= k41=c200 0

k24= k42=

c30

0 0k34= k43=

c40

0 0k44=

=K[ ] matrice de rigiditd'un lment

i = no noeud o l'ondsire connatre lesforces

j = no noeud o lesdplacements sontconnus

ajout 1997-06-24


24/25

R

K

Mv

C

.vM +Kv = R - F+ U.. .

ne figure pas

dans l'quation

Point de calcul

des,

Ke

k34

k24

11k 12k 13k k14

31k 32k 33k

21k

22k

23k

41k

42k

43k k44

=

matrice de rigidit de l'lment qui tablit la relation entre le vec-teur des forces F et le vecteur desdplacements v aux noeuds 1,2,3,4.

KeF= v.

sous-matrice relative chaque noeud, de dimensiondl.dl, dl= degrs de libertdu noeud

kij =

k

33

42

43

44

11k

12k13k

14

31k

32k

k

k34

21k

22k 23k

k24

41k

k

k

k

k k

k

kk

k

k

k

k k

kk

k

kk

k

k

kk

k k

k

k

k k k

k

k k kk

k kk k

k k k k

largeu

rdeba

nde

Matrice de rigidit de l'ensemble de la structure :arrangement des sous-matrices kijen fonction de lanumrotation globale de tous les noeuds du rseau.

symtrique

Dans cette matrice les termes kijsont

en fait la somme des termes occupantla mme position (provenant deslments voisins).

R1 R2

12

3 4U

= D { } }{matrice d'lasticitvoire lasto-plastique

D=

D= loi de comportement

Principe de la rsolution par le mthode des dplacements

Relation entre le vecteur des forcesaux noeuds F de l'lment et celui desdplacements vcorrespondants :

matrice K : voir document No 11a

Equation d'quilibredes dplacements


DocumentNo 15

F ={ } {v}Ke

e signifie "de l'lment"

M= matrice des masses.K= matrice de rigidit.

v= vecteur des dplacements, dnomm uouR= vecteur des forces extrieures.F= vecteur des forces aux noeuds du systme; forces quivalentes aux contraintes effectives.U= vecteur de la rsultante aux noeuds des pressions interstitielles.

avec :

u

v

dans les prcdents documents.



25/25

FEM, BEM, KEM

FEM = Finite Element Method=MEF = Mthode des Elments finis

BE(M) = Boundary Element (Method)

= (Mthode des) Elments aux frontires

(Mthode des lments finisavec lments spciaux o lesdplacements ne sont connusqu' leurs "frontires")

KEM = Kinematic Element Method

= Mthode des Elments cinmatiques

(Mthode des lments finis aveclments indpendants et jointscinmatiques)

Mthode dnomme aussi:DEM = Discret Element Method

t = 0,26 sec. t = 0,51 sec. t = 0,75 sec.

Simulation creuse tunnel

Effet sisme sur un barrage poids

Tous les lments sont indpendants avec jointscinmatiques entre eux.

Un seul lmentavec rsolution sa frontire quisera "tu" pour

simuler l'excavation

Elments avec rsolution leur frontire

Elment eauavec rsolution sa frontire


DocumentNo 16

Date post:	02-Jun-2018
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Intro Aux Elements Finis GAIE(1)

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