Introducción:Introducción:Características básicas de los datos Características básicas de los datos

económicos de series temporaleseconómicos de series temporales

• Espacio Muestral: , el conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio

• Resultado: , un elemento del Espacio Muestral

• Suceso: , un subconjunto del Espacio Muestral

• Algebra: , colección de sucesos que nos interesa estudiar

• Variable Aletoria: , una función del Espacio Muestral al conjunto de estados S

• Conjunto de Estados: S, el espacio que contiene todos los posibles valores de una variable aleatoria. Las elecciones mas comunes son los numeros naturales N, los reales R, vectores de dimension k Rk, los reales positivos R+, etc

• Probabilidad:

• Distribución: es un Borel Set (conjunto de la recta real que puede expresarse como uniones o interseccion de intervalos)

Breve Repaso de Tª de la ProbabilidadBreve Repaso de Tª de la Probabilidad

}{Ω

E

}E:E F

S:Z

]1,0[:P F

}:{ donde ,]1,0[: RAA BB

•Vector de Variables Aleatorias: Z= (Z1, Z2 , ..., Zk) es un vector de dimensión k donde cada componente es una variable aleatoria

•Sucesión de Variables Aleatorias: Z= (Z1, Z2 , ..., Zn) es una sucesion de n variables aleatorias

Si interpretamos t=1, ..., n como momentos equidistantes en el tiempo, Zt puede interpretarse como el resultado de un experimento aleatorio en el momento de tiempo t . Por ejemplo la sucesión de variables aleatorias podria ser los precios de las acciones de Toyota Z t en n dias sucesivos.

Un aspecto NUEVO, comparado con la situación de una sola variable aleatoria, es que ahora podemos hablar de la estructura de DEPENDENCIA dentro del vector de variables aleatorias.

•Función de Distribución FZ de Z : Es la colección de probabilidades

Breve Repaso (cont)Breve Repaso (cont)

})nz)(nZ,...,1z)(1Z:({P)nznZ,...,1z1Z(P)z(ZF

Supongamos que el tipo de cambio €/$ en cada instante fijo de tiempo t entre las 5p.m y las 6p.m. de esta tarde es aleatorio. Entonces podemos interpretarlo como una realización Zt() de la variable aleatoria Zt. . Observamos Zt(), 5<t<6. Si quisieramos hacer una predicción a las 6 p.m. sobre el tipo de cambio Z7() a las 7 p.m. es razonable considerar TODA la evolución de Zt( entre las 5 y las 6 p.m. El modelo matematico que describe esta evolución se le llama proceso estocástico.

Procesos EstocásticosProcesos Estocásticos

RZZ tt :),(Supongamos que(1) Fijamos t

Cambianos el indice temporal podemos generar varias variables aleatorias:

)(),.......(),(21

nttt ZZZ

(2) Fijamos

Esto es una variable aleatoria.

RTZ : Es una realización o trayectoria del Proceso estocástico.

La colección-sucesión de variables aleatorias se le llama PROCESO ESTOCATISCO

Una realización del proceso estocástico se le llama SERIE TEMPORAL

Una realización es:

nt t tz z z,.... ,2 1

Un proceso estocástico es una colección-sucesión de variables aleatorias indexadas por el tiempo

Definidas en un espacio muestral

),Tt),(tZ()Tt,tZ(

Procesos Estocásticos (cont)Procesos Estocásticos (cont)

Ejemplos de procesos estocásticosEjemplos de procesos estocásticos

E1: Sea el conjunto indice T={1, 2, 3} y sea el espacio muestral () el formado por los resultados de lanzar un dado:

Define

Z(t, )= t + [valor del dado]2 t

Entonces para un particular, digamos 3={3}, la realización o trayectoria es (10, 20, 30).

Q1: Dibuja todas las realizaciones de este proceso estocástico.

E2: Un Movimiento Browniano B=(Bt, t [0, infty]):

• Comienza en cero: Bo=0

• Tiene incrementos independientes y estacionarios

• Para cada t>0, Bt sigue una distribución N(0, t)

• Tiene trayectorias continuas: “no saltos”.

Distribución de un Proceso EstocásticoDistribución de un Proceso Estocástico En analogía con las variables aleatorias queremos introducir caracteristicas no aletorias de los procesos estocásticos tales como su distribución, su esperanza, etc, y describir su estructura de dependencia. Esta es una tarea mucho más complicada que en el caso de vectores de variables aleatorias. De hecho un proceso estocástico no-trivial Z=(Z t, t T) con un conjunto indice T es un objeto de dimension infinita en el sentido de que se puede entender como una colección infinita de variables aleatorias Zt, t T. Ya que los valores de Z son funciones en T, la distribucón de Z deberia ser definida sobre subconjuntos de un cierto “espacio de funciones”, i.e.

P(X A), A F,Donde F es una colección apropiada de subconjunto de este espacio de funciones. Este enfoque es posible, pero requiere matematicas muy avanzadas. En este curso intentaremos algo mucho mas simple.

Las distribuciones finito-dimensionales (fidis) de un proceso estocástico Z son las distribuciones de los vectores finito dimensionales

(Zt1,..., Ztn), t1, ..., tn T,

para todas las posibles elecciones de t1, ..., tn T y para cada n 1.

Al igual que en la Econometría básica trabajábamos con dos los supuestos de i.i.d. (idénticamente distribuido e independiente), en la Econometría de Series Temporales nos hace faltan dos supuestos equivalentes:• Estacionariedad (substituye al supuesto de identicamente distribuido)• Ergodicidad (substituye al supuesto de independencia)

Necesitamos hacer dos supuestos:Necesitamos hacer dos supuestos:

EstacionareidadEstacionareidad

Considera la probabilidad conjunta de un conjunto de variables aleatorias

),...,(),.....,(221121 nnn ttttttttt zZzZzZPzzzF

Proceso estacionario de 1st orden si

kttodoparazFzF ktt ,)()( 111

Proceso estacionario de orden n si

ktttodoparazzFzzF ktkttt ,,),(),( 212121

ktttodoparazzFzzF nktkttt nn,,).....().....( 111

Definición.

Un proceso es estrictamente (o en sentido fuerte) estacionario si es estacionario de orden n para cada n.

Proceso estacionario de 2nd orden si

MomentosMomentos

2t

2t

)tZ,tZcov()2t,1t(

)]ttZ)(ttZ[(E)tZ,tZ(Cov

tdz)tz(f2)ttZ(2)ttZ(E2t)tZ(Var

tdz)tz(ftZt)tZ(E

21

21

221121

Momentos (cont)Momentos (cont)Para procesos estrictamente estacionarios:

22

t

t

porque kttktt zFzF1111

)()(

asumiendo que

kktkttt

ktkttt

zzzz

zzFzzF

),cov(),cov(

),(),(

2121

2121

La correlación entre dos variables aleatorias depende SOLAMENTE de su diferencia temporal.

)()( 2tt ZEyZE

Estacionareidad DébilEstacionareidad DébilUn proceso se dice que es estacionario debil de orden n si todos sus momentos conjuntos de orden n existen y son invariantes en el tiempo.

Procesos Estacionarios en Covarianzas (de 2nd orden):• Esperanza constante• Varianza constante• La función de covarianza depende solo de la diferencia temporal entre las variables

Estacionariedad Fuerte:

,.....),,(,....),,( 2121 jtjtjtttt YYYFYYYF

Un proceso estacionario en covarianzas es ergodico en la mediasi

)(lim tZEzp

Una condición suficiente para ergodicidad en la media es

cuando 0 kk

Ergodicidad

Ergodicidad bajo GausanidadErgodicidad bajo Gausanidad

Si tZ es un proceso gausiano estacionario, k

k

es una condición suficiente para asegurar ergodicidad en todos los momentos

Ergodicidad para los segundos momentosErgodicidad para los segundos momentos

Una condición suficiente para ergodicidad en los segundos momentos

k

k

Funciones de Autocovarianza y de AutocorrelaciónFunciones de Autocovarianza y de Autocorrelación

Para un proceso estacionario en covarianzas:

02

2

)var()var(),cov(

),()(

)(

kk

ktt

kttk

tsst

t

t

ZZZZ

ZZCovZVar

ZE

]1,1[:(ACF) aciónautocorrel de función :

:anza autocovari de función:

k

Rk

k

k

Propiedades de la función de autocorrelaciónPropiedades de la función de autocorrelación

1.

2.

3.

1 entonces )var( Si 00 tZ

0

k

1n,correlació de ecoeficient un es Como

kk

ktkt

kktktk

kk

kk

ZZE

ZZE

))((

))(( queya )(

Funcion de Autocorrelación Parcial (o correlación Funcion de Autocorrelación Parcial (o correlación condicional)condicional)

Esta función mide la correlación entre dos variable separadas k periodos cuando la dependencia lineal en el medio de esos periodos (entre t y t+k ) es eliminada.

),......|,(por dada vienela PACF,aleatorias variablesdos y Sean

11

kttktt

ktt

ZZZZZZ

Motivación Piensa en el modelo de regresión lineal (asume E(Z)=0 sin perdida de generalidad)

kjkkjkjk

jktktjkttkkjktktkjktktkktjkt

jkt

jktkt

kttkkktkktkkt

ZeZZZZZZZZ

Z

jZeeZZZZ

......esperanzas toma )2(

......

por multiplica (1)

1 conionada incorrleacesta donde......

2211j

2211

2211

kjkkjkjk ......2211j

Dividiendo por la varianza del proceso:

kj ,...2,1

011

2112

1011

.......

.......

.......

kkkkk

kkkk

kkkk

Ecuaciones deYule-Walker

0331322313

1330321312

2331320311

0221212

1220211

1110111

3

2

1

k

k

k

11

1

1

1

21

1

22

11

1

11

12

11

21

312

21

11

33

E4: Zt=

Yt si t es par

Yt+1 si t es impar

donde Yt es una serie estacionaria. Es Zt estacionaria debil?

E5: Defina el proceso St = X1+ ... + Xn ,

donde Xi es iid (0, Muestra que para h>0

Cov (St+h, St) = t

y por lo tanto St no es estacionario debil.

Ejemplos de Procesos EstocásticosEjemplos de Procesos Estocásticos

Ejemplos de Procesos Estocásticos (cont)Ejemplos de Procesos Estocásticos (cont)

E6: Procesos RUIDO BLANCOUna secuencia de variables

0para 0),( )(

)0 te(normalmen )(:2

kaaCovaVar

aEa

ktt

at

aatt

0001

0001

0 00

aciónautocorrelanza y Autocovari2

kk

kk

kk

kk

k

ak

. . . .1 2 3 4 k

k

Como vamos a estimar los momentos poblaciones de las Como vamos a estimar los momentos poblaciones de las series temporales????series temporales????

Utilizaremos el metodo de analogia tan usado en Econometria I:

•Momentos poblaciones se estiman via momentos muestrales.•Asumiendo estacionareidad y ergodicidad estos estimadores seran consistentes.

Donde Estamos?Donde Estamos?

Considera el Problema de la Prediccion como motivación:

Predecir Zt+1 dado el conjunto de información It en el tiempo t.

La esperanza condicional puede ser modelada en una forma parametrica o en una forma no-parametrica. En este curso elegiremos la primera. Los modelos parametricos pueden ser lineales o no-lineales. En este curso elegiremos los modelos lineales. Resumiendo los modelos que vamos a estudiar en este curso son ing

modelos parametricos y lineales

]|[:

][

11

211

ttt

tt

IZEZSolución

ZZEMin

Apendice I: Transformaciones Apendice I: Transformaciones ((vease el conjunto de notas extravease el conjunto de notas extra))

• Objetivo: Tratar con procesos mas manejables

•Transformación logaritimica reduce cierto tipo de heterocedasticidad. Si asumimos que

t=E(Xt) y V(Xt) = k 2t,

se puede demostrar (por el metodo delta) que la varianza del log es aproximadamente constante:

• Tomar dieferencias elimina la tendencia (no muy informativo sobre la naturaleza de la tendencia)

• Diferencias del Log = Tasa de Crecimiento

k)tZ(Var2)t/1()tZ(log(Var)Z(Var2)('f))Z(f(Var

1tZ1tZtZ

)1tZ

1tZtZ1log()

1tZtZ

log()1tZlog()tZlog(

Apendice II: Analisis GraficoApendice II: Analisis Grafico• Objetivo: Descubrir caracteristicas basicas de los datos

• Realice graficos de la serie economica en niveles, en logaritmos, en primeras diferencias y en tasas de crecimiento e intente decidir que transformacion hace la serie paracer mas estacionaria.

• Correlograma de las transformacions propuestas previamente. En el capitulo siguiente aprendera a identificar una familia de modelos en base al correlograma.

• Descarguese la base de datos Eco-Win de la Biblioteca de la UC3M y analice graficamente las series que mas le interesen.

• Recuerde que el movimiento se demuestra andando.