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Funcao de onda A Equacao de onda de Schrodinger Exercıcios

INTRODUCAO A MECANICAQUANTICA

Fundamentos de Fısica Moderna (1108090) - Capıtulo 03

I. Paulino*

*UAF/CCT/UFCG - Brasil

2015.2

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Sumario

Funcao de ondaPrincıpios utilizados na Mecanica QuanticaInterpretacao da funcao de ondaPartıcula numa caixaValores esperados

A Equacao de onda de SchrodingerPostulados da Mecanica QuanticaA Equacao de onda de Schrodinger independente do tempoPoco potencial infinito e finitoOscilador harmonico quanticoReflexao e transmissao de eletrons

ExercıciosExercıcios

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Princıpio da incerteza de HeisenbergTodo o desenvolvimento da mecanica quantica e baseado no princıpio daincerteza que e uma consequencia da dualidade onda-partıcula. Esteprincıpio afirma que:

E impossıvel medir com precisao a posicao e o momentum linear de umapartıcula.

Para tentar entender este princıpio considere a seguinte situacao: Umamaneira de medir a posicao de uma partıcula e ilumina-la com um feixede luz de tal forma que a luz espalhada serviria para localiza-lo. Seja λ ocomprimento de onda luz, entao a incerteza na posicao (∆x) deve serproporcional a λ por causa dos efeitos de difracao. Ou seja,

∆x ∼ λ .

Para reduzir a incerteza, utiliza-se, por exemplo, comprimento de ondacurtos como o raios-X, etc.

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Princıpio da incerteza de HeisenbergPara medir o momentum linear de uma partıcula e precisoconhecer sua massa e sua posicao em dois instantes distintos deforma a puder calcular sua velocidade. Os fotons espalhados pelacolisao com a partıcula possui momentum linear h/λ. Apos acolisao dos fotons com a partıcula o momentum linear sofremudanca (efeito Compton). Desta maneira a imprecisao nadeterminacao do momentum linear deve ser proporcional amomentum linear dos fotons espalhados, ou seja,

∆px ∼h

λ.

O produto das imprecisoes pode ser escrito por:

∆x∆px ∼ λh

λ= h .

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Princıpio da incerteza de HeisenbergDefinindo com mais exatidao o que significa incerteza nas medidas,pode-se mostrar que

∆x∆px ≥~2.

Esta equacao e a formulacao matematica do princıpio da incertezade Werner Heisenberg enunciado em 1927 e ganhador do premioNobel de Fısica em 1932.

Este princıpio da incerteza tambem pode ser aplicado a outragrandezas fısicas como, por exemplo, uma medida de energia deuma partıcula realizada num dado intervalo de tempo ∆t deve teruma incerteza ∆E de forma que:

∆E∆t ≥ ~ .5 / 81


Princıpio da incerteza de HeisenbergA Figura a seguir ajuda a compreender pictoricamente o princıpioda incerteza.

como λ = 2π/k e ∆px ∼ h/λ. Significa que uma precisao total nadeterminacao da posicao da partıcula levaria a uma indeterminacaototal do momentum linear e vice-versa.

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Interpretacao da funcao de onda

Um eletron pode ser considerado uma onda de acordo com ahipotese de De Broglie. No entanto, a funcao de onda quedescreve o eletron deve ser solucao da equacao de onda deSchrodinger. Sendo assim, surge uma questao: o que representa afuncao de onda ψ que descreve o eletron?

Por exemplo, para uma onda se propagando numa corda, a funcaode onda descreve o deslocamento vertical da onda. Para ondassonoras, a funcao de onda descreve o deslocamento do ar ou apressao. Para onda eletromagneticas, a funcao de onda informa oestado do campo eletrico e magnetico.

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Para ondas classica, o quadrado da funcao de onda representa adensidade de energia.

Como a energia de uma onda luminosa e quantizada, a energia porunidade de volume (densidade de energia) e proporcional aoquadrado das respectivas funcoes de onda, que e proporcional aonumero de fotons por unidade de volume.

Suponha entao que se tenha uma fonte de luz muito baixa de talmaneira que apenas um foton seja emitido de cada vez. Destamaneira, numa unidade de volume arbitraria, pode conter o fotonou nao. Sendo assim, o quadrado da funcao de onda deve estarrelacionado com a probabilidade de encontrar o foton num certovolume.

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Por esta analogia, pode-se concluir que o quadrado da funcao deonda que descreve uma partıcula quantica e que e solucao daequacao de onda Schrodinger deve descrever a densidade deprobabilidade.

Pensando no caso unidimensional, a probabilidade de encontraruma partıcula em uma regiao dx em torno de x pode ser escritapor:

p(x) = ψ2(x)dx .

A funcao de onda geralmente depende do tempo e da posicao,portanto, ψ = ψ(x , t). Quando se tratar de ondas estacionariasψ = ψ(x).

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Interpretacao da funcao de ondaSe quisermos a probabilidade de encontrar a partıcula numintervalo dx em torno de x1 e x2, podemos escrever como a somadas probabilidades, ou seja,

p = p(x1) + p(x2) =(ψ2(x1) + ψ2(x2)

)dx .

Naturalmente, o somatorio das probabilidades em todo o espacodeve ser igual a 1, o que implica em:∫ ∞

−∞ψ2dx = 1 .

Esta equacao e conhecida como condicao de normalizacao. Casoψ(x , t) satisfaca a condicao de normalizacao, esta funcao devetender a zero quando x tende a ±∞. Desta maneira, a condicaode normalizacao impoe restricoes as solucoes da equacao deSchrodinger.

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Exemplo

Suponha uma partıcula classica movendo-se entre duas paredes emx = 0 e x = a.(a) Qual e a probabilidade de encontrar a partıcula em x = b quepertence ao intervalo [0, a]?(b) Qual e a probabilidade de encontrar a partıcula entre b e c ,com c > b e c < a?

A densidade de probabilidade e constante neste caso e pode sercaculada por: ∫ ∞

−∞ρ(x)dx = 1⇒ ρ =

1

a.

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Exemplo

Suponha uma partıcula classica movendo-se entre duas paredes emx = 0 e x = a.(a) Qual e a probabilidade de encontrar a partıcula em x = b quepertence ao intervalo [0, a]?(b) Qual e a probabilidade de encontrar a partıcula entre b e c ,com c > b e c < a?

A probabilidade de encontrar a partıcula pode ser calculada por

p = ρ∆x .

Sendo assim, para o item (a) p = 0 e para o item (b) p = c−ba .

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Partıcula numa caixa

Caracterısticas importantes da mecanica quantica podem serilustradas sem resolver a equacao de Schrodinger. Apenas fazendoanalogia com problemas da fısica classica.

Considere uma partıcula de massa m confinada numa caixaunidimensional de comprimento L. Na fısica classica, quando apartıcula oscila dentro da caixa de um lado para o outro, suaenergia e momentum linear podem assumir quaisquer valores.

Na teoria quantica, a partıcula e descrita por uma funcao de ondaψ, cujo quadrado descreve a probabilidade de encontrar a partıculanas vizinhancas de um ponto.

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Se a partıcula estiver realmente na caixa, tem-se

ψ = 0, para x ≤ 0 e x ≥ L .

Esta situacao e semelhante ao caso de ondas estacionarias numacorda esticada presa nas extremidades em x = 0 e x = L. oscomprimentos de onda permitidos sao regidos por:

L =1

2nλn, n = 1, 2, 3, · · ·

Esta situacao e ilustrada na figura a seguir:

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As regioes onde osdeslocamentos verticais daonda sao nulos e chamada denodos ou nos.

As regioes em que osdeslocamentos verticais saomaximos sao chamadas deantinodos ou antinos.

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A energia total da partıcula e igual a sua energia cinetica, ou seja,

E =1

2mv2 · m

m=

1

2m(mv)2 =

p2

2m.

Sabe-se ainda, da hipotese de De Broglie, que

λ =h

p⇒ p =

h

λ,

sendo assim,

E =h2

2mλ.

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Partıcula numa caixaSabe-se ainda que a condicao de ondas estacionarias permiteescrever

λn =2L

n,

entao, a energia fica:

E =n2h2

8mL2= n2E1 ,

neste caso,

E1 =h2

8mL2

e a energia do menor estado ou estado fundamental. Paran = 2→ E2 = 4E1, para n = 3→ E2 = 9E1 e assim por diante.Este resultado pode ser representado no diagrama a seguir:

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Pode-se observar que a energia mais baixanao e nula e que e uma caracterıstica dateoria quantica.

Se uma partıcula esta confinada no espaco,esta possui um mınimo de energia cineticaconhecida como energia energia do pontozero que e inversamente proporcional adimensao do confinamento.

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As funcoes de onda referentes as ondas estacionarias para umacorda vibrante fixa em x = 0 e x = L podem ser escritas por:

yn(x) = An sin knx

em que kn = 2πλn

e o numero de onda e An e a amplitude da onda.

Fazendo uma analogia com este problema, pode-se pensar nasfuncoes de onda para a partıcula da seguinte forma:

ψn(x) = An sin knx .

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Partıcula numa caixaPara este caso, as constantes kn podem ser escritas por:

kn =2π

λn,

mas,

λn =2L

n,

entao,

kn =nπ

L.

Logo, as funcoes de onda ficam

ψn(x) = An sin(nπ

Lx).

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As constantes An podem ser determinadas a partir da condicao denormalizacao, ou seja,∫ ∞

−∞ψ2dx =

∫ L

0A2n sin2

(nπLx)dx = 1⇒

A2n

∫ L

0

1

2−

cos(

2nπL x)

2dx = 1⇒

A2n

L

2= 1⇒

An =

√L

2.

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Partıcula numa caixaPortanto,

ψn(x) =

√L

2sin(nπ

Lx).

O numero n e chamado de numero quantico. Este numero surgedevido as condicoes de contorno que estabelecem limites para afuncao de onda. Graficamente as funcoes de onda para a partıculapodem ser representadas por:

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Partıcula numa caixaO quadrado das funcoes de onda que representam a densidade deprobabilidade de encontrar a partıcula numa dada regi ao podemser representadas da seguinte forma:

Note que nas regioes dos nodos, a probabilidade de encontrar apartıcula e mınima, enquanto que nas regioes dos antinodos, aprobabilidade aumenta bastante.

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A medida que o numero quantico cresce, os valores de maximos emınimos tendem a se aproximar conforme ilustra a figura abaixo:

Quando n e muito grande,praticamente, nao e possıveldistinguir os maximos e mınimos.

Este e o princıpio da correspondenciade Bohr, que estabelece umaconexao entre as teorias quanticas eclassicas. Desta forma pode-seperceber que a teoria quantica e umageneralizacao da teoria classica.

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Valores esperados

Se for conhecida uma serie de medidas de um parametro qualquer,pode-se entao escrever uma distribuicao de probabilidades para oevento.

O valor medio do parametro x que e obtido a partir de taismedidas e chamado de valor esperado de x ou esperanca de x quee denotado por x ou < x >. Matematicamente, o valor esperadode x para n medidas fica:

< x >=n∑

i=1

xipi

em que xi e o parametro de interesse e pi e sua respectivaprobabilidade.

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Valores esperados

Por exemplo, para o caso da posicao de uma partıcula quantica, ovalor esperado pode ser obtido por:

< x >=

∫ ∞−∞

xψ2(x)dx .

Para qualquer outro parametro f , pode-se escrever:

< f (x) >=

∫ ∞−∞

f (x)ψ2(x)dx .

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Valores esperados

Exemplo:

Uma partıcula em uma caixa unidimensional de comprimento Lesta no estado fundamental. Calcule a probabilidade de encontrara partıcula no (a) intervalo ∆x = 0, 01L, em x = L

2 e (b) na regiao0 < x < 1

4L.

Sabe-se que a funcao de onda para uma partıcula numa caixa noestado fundamental vale:

ψ(x) =

√2

Lsin(πx

L

).

A densidade de probabilidades fica:

ψ2(x) =2

Lsin2

(πxL

).

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Valores esperados

Exemplo:



4L.

Para o ponto x = L/2, tem-se

ψ2(L

2) =

2

Lsin2

(π2

)=

2

L.

Sendo assim a probabilidade sera:

p = ψ2

(L

2

)=

2

L· 0, 01L = 0, 02 .

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Valores esperados

Exemplo:



4L.

A probabilidade de encontrar a partıcula entre x = 0 e x = 14L

pode ser calculada por:

p =

∫ L4

0

2

Lsin2

(πxL

)dx =

1

4

(1

2− 1

π

)=π − 2

4π.

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Valores esperados

Exemplo:

Calcule o < x > para uma partıcula no estado fundamental prezanuma caixa unidimensional de comprimento L.

O valor esperado pode ser calculado por:

< x >=

∫ ∞−∞

xψ2(x)dx =2

L

∫ L

0x sin2

(πxL

)dx .

Esta integral pode ser resolvida da seguinte forma:∫x sin2(ax)dx =

∫x

xdx −

∫1

2cos(2ax)dx + c

e esta outra pode ser resolvida por partes, i.e,∫1

2cos(2ax)dx =

1

2

(x

4asin(2ax)−

∫sin(2ax)

2a

)+ c .

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Valores esperados

Exemplo:

Calcule o < x > para uma partıcula no estado fundamental prezanuma caixa unidimensional de comprimento L.

Efetuando a integracao conforme, obtem-se:

< x >=2

L

[L2

4− L2

4πsin 2π − L2

4(cos 2π − cos 0)

]=

L

2.

Por exemplo, o valor esperado de < x2 > pode ser determinado damesma maneira e o resultado e o seguinte:

< x2 >=2π2 − 3

6π2L2 .

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Postulado I - Observaveis e operadores

Para qualquer observavel bem definido e auto consistente,designado por A (como por exemplo, momentum linear,posicao,energia, massa, momentum angular, etc.) existe umoperador correspondente chamado de A tal que as medidas de A,chamadas de a sao os autovalores de A. Ou seja, os autovalores dea sao aqueles que satisfazem a seguinte equacao:

Aϕ = aϕ . (1)

que e uma equacao de autovalores.Existem diversos operadores utilizados na matematica que naopossuem conexoes diretas com a fısica. Outros, no entanto, saobem utilizados na fısica, como o operador gradiente ∇. Aquivamos estudar apenas os operadores que correspondem observaveisfısicos.

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O operador momentum linear

O operador que corresponde ao observavel fısico momentum lineare escrito por:

~p = −i~∇ . (2)

Considerando uma partıcula movendo-se apenas numa dimensao(x). O operador momentum linear passa a ser escrito por:

px = −i~ ∂∂x

. (3)

Quais sao as auto funcoes e os autovalores do operadormomentum linear?

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A equacao de autovalor para este operador fica:

−i~∂ϕ∂x

= pxϕ . (4)

Os valores de px representam os possıveis valores da componente xdo momentum linear do sistema em estudo. As autofuncoes ϕ(x)correspondendo a um valor especıfico do momentum linear px saotais que:

|ϕ|2dx

e a probabilidade de encontrar a partıcula com um momentumlinear px no intervalo x e x + dx .

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O operador momentum linearPor exemplo, considere uma partıcula que pode se moverlivremente, isto e, nao esta confinada ao londo do eixo x . Paraeste caso, nao ha condicoes de contorno para ϕ e a solucao daequacao de autovalor deve ter a seguinte forma:

−i~∂ϕ∂x

= pxϕ⇒

~ipx

∂ϕ

∂x= ϕ⇒

ϕ = Aeipx x~ = Ae ikx . (5)

em que k e o numero de onda que e dado por:

k =p

~. (6)

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A autofuncao dadas pela Equacao (5) e periodica em x . Paraencontrar o comprimento de onda, faz-se:

e ikx = e ik(x+λ) ⇒

1 = e ikλ = cos kλ+ i sin kλ , (7)

que e satisfeita se: {cos kλ = 1sin kλ = 0

. (8)

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Uma solucao aceitavel para o sistema (8) e:

kλ = 2π , (9)

que e equivalente a relacao de De Broglie:

k = 2πλ = p

~ ⇒

p = hλ .

(10)

Conclui-se entao que a autofuncao do operador momentum linearcorrespondente ao autovalor p tem um comprimento de onda que eo comprimeno de onda de De Broglie.

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Na mecanica quantica e mais comum escrever o numero de onda kdo que o momentum p. Nesta notacao, diz-se que as autofuncoese os autovalores do operador momentum linear sao:

ϕk = Ae ikx ; p = ~k . (11)

O subscrito k indica que ha uma continuidade de autofuncao eautovalores, ~k, que resulta numa solucao nao trivial da equacaode autovalores.

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O operador de energia

O operador correspondente a energia e o operador hamiltoniano H,que pode ser escrito substituindo o operador momentum linear daseguinte forma:

H =p2

2m+ V (~r) =

(−i~∇)2

2m+ V (~r) = − ~2

2m∇2 + V (~r) . (12)

A equacao de autovalor e

Hϕ(~r) = Eϕ(~r) (13)

e e conhecida como equacao de Schrodinger independente dotempo. esta equacao resulta nas possıveis energias E que umapartıcula pode ter.

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Postulado II - Medidas na Mecanica Quantica

Medicoes de um observavel A que resultam num valor a, deixam osistema no estado ϕa que e uma autofuncao do operador A quecorresponde ao autovalor a.

Como exemplo, suponha uma partıcula movendo-se numadimensao. Num dado instante, e medido o momentum linear dapartıcula e encontras-se p = ~k. Esta medida deixa a partıcula noestado ϕk , entao, uma medida de p imediatamente depois iraresultar em ~k .

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Postulado III - Funcao de Estado e valores esperadosO terceiro postulado da Mecanica Quantica estabelece a existenciada funcao de estado e sua relevancia com as propriedades dosistema.

O estado de uma sistema num dado instante pode ser representadopor um estado ou uma funcao de onda de onda ψ que e contınua ediferenciavel.Todas as informacoes relacionadas ao estado do sistema estaocontidas na funcao de onda.

Por exemplo, se um sistema esta no estado ψ(~r , t), a media deuma observavel fısico C num dado instante e:

〈C 〉 =

∫ψ∗Cψd~r . (14)

A media 〈C 〉, e o valor esperado de C .41 / 81


Postulado III - Funcao de Estado e valores esperados

O significado fısico da media do observavel C pode ser entendidoda seguinte forma:Um observavel C e medido num experimento especıfico X . Umnumero muito grande de experimentos identicos a X e aplicado.Os estados iniciais ψ(~r , 0) de cada replica do experimentos saotodos identicos. Num dado instante t, medidas de C resultam emC1, C2, · · ·CN . A media de C e portanto:

〈C 〉 =1

N

N∑i=1

Ci . (15)

O Postulado III afirma que a media calculada experimentalmentepela Equacao (15) produz o mesmo resultado da integral (14).De um outra forma, a media pode ser calculada por:

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Postulado III - Funcao de Estado e valores esperados

〈C 〉 =∑

para todo C

CiP(Ci ) , (16)

em que P(Ci ) e a probabilidade de medir Ci .Transformando num somatorio contınuo, obtem-se

〈C 〉 =

∫CP(C )dC (17)

integrando sobre todo C . Neste caso, P(C )dC e a probabilidadede encontrar C no intervalo entre C e C + dC . Neste caso, 〈C 〉 eo valor esperado de C .O desvio padrao e dado por ∆C :

(∆C )2 =⟨(C − 〈C 〉)2

⟩=⟨C 2⟩− 〈C 〉2 . (18)

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Postulado IV - Desenvolvimento temporal de ψ

O desenvolvimento da funcao de estado ψ(~r , t) para um dadosistema obedece a seguinte equacao:

i~∂

∂tψ(~r , t) = Hψ(~r , t) (19)

que e conhecida com Equacao de Schrodinger dependente dotempo.

O operador H e o operador Hamiltoniano do sistema. Se ooperador Hamiltoniano independe do tempo entao pode-seescrever:

H = H(~r) (20)

e pode-se construir as solucoes para Equacao de Schrodingerdependente do tempo a partir da tecnica de separacao de variaveis.

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A Equacao de onda Schrodinger

A equacao de onda de Schrodinger mostrada no postulado IV euma equacao diferencial parcial no tempo e no espaco muitosemelhante a equacao de onda utilizada na mecanica classica.

Na sua forma unidimensional, a equacao de Schrodingerdependente do tempo pode ser escrita por:

− ~2

2m

∂2ψ(x , t)

∂x2+ Uψ(x , t) = i~

∂ψ(x , t)

∂t

em que U e a funcao energia potencial.

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A Equacao de onda Schrodinger

As funcoes de onda que sao solucoes desta equacao nao saonecessariamente funcoes reais. Portanto, ψ(x , t) nao enecessariamente uma funcao real, ou seja, uma funcao que podeser medida.

Por outro lado, a probabilidade de encontrar uma partıcula numadada regiao e obrigatoriamente um numero real. Desta forma,

p(x , t)dx = |ψ(x , t)|2 dx = ψ(x , t)∗ψ(x , t)dx

em que ψ(x , t)∗ e o conjugado complexo de ψ(x , t).

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A Equacao de onda de Schrodinger independente do tempoAs solucoes de ondas estacionarias da equacao de Schrodinger saoexpressas por:

ψ(x , t) = ψ(x)e−iωt .

Agora,

e−iωt = cos(ωt)− i sin(ωt) ,

que e a formula de Euler.

O lado direito da equacao de onda de Schrodinger, para este caso,fica:

i~∂ψ(x , t)

∂t= i~(−iω)ψ(x)e−iωt = ~ωψ(x)e−iωt = Eψ(x)e−iωt ,

em que E = ~ω e a energia da partıcula. 47 / 81


A Equacao de onda de Schrodinger independente do tempo

Substituindo ψ(x , t) = ψ(x)e−iωt na equacao de ondaSchrodinger, obtem-se:

− ~2

2m

∂2ψ(x)

∂x2e−iωt + U(x)ψ(x)e−iωt = Eψ(x)e−iωt ⇒

− ~2

2m

∂2ψ(x)

∂x2+ U(x)ψ(x) = Eψ(x) ,

que e a equacao de onda de Schrodinger independente do tempo eso vale quando U = U(x). Neste Capıtulo sera considerado apenaseste caso particular da equacao de onda de Schrodinger.

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Solucoes de equacoes diferenciais lineares de 2a ordem

Quando U(x) =CONSTANTE, a equacao de onda de Schrodingerresume-se a uma equacao diferencial linear de segunda ordem sujaa solucao e exemplificada abaixo:

Considere a seguinte equacao diferencial:

d2y

dx2+ b

dy

dx+ cy = 0 .

Pode-se se escrever uma equacao auxiliar da forma:

λ2 + bλ+ c = 0 .

que e uma equacao quadratica.

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Solucoes de equacoes diferenciais lineares de 2a ordem

A solucao da equacao diferencial e do tipo

y = c1eλ1x + c2e

λ2x

se λ1 e λ2 sao solucoes distintas da equacao auxiliar. Quandoλ1 = λ2, a solucao fica:

y = c1eλ1x + c2xe

λ2x ,

neste caso, c1 e c2 sao contantes que podem ser determinadaspelas condicoes iniciais do problema.

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A Equacao de onda de Schrodinger em tres dimensoes

A equacao de Schrodinger independente do tempo pode serfacilmente aplicada para tres dimensoes. Em coordenadasretangulares, pode-se escrever:

− ~2

2m

(∂2ψ(x , y , z)

dx2+∂2ψ(x , y , z)

dy 2+∂2ψ(x , y , z)

dz2

)+Uψ(x , y , z) = Eψ(x , y , z) ,

ou,

− ~2

2m∇2ψ(x , y , z) + Uψ(x , y , z) = Eψ(x , y , z) .

As solucoes deste tipo de equacoes requer tecnicas sofisticadas. Noentanto, para problemas simples como o poco potencial infinito,pode-se obter a forma das solucoes por analogia.

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Sabe-se que A21 sin2(k1x)dx e a probabilidade de encontrar a

partıcula no eixo x entre x e x + dx . Para os outros eixos, asolucao e analoga, portanto,

ψ(x , y , z) = A sin(k1x) sin(k2y) sin(k3z) .

Substituindo na equacao de Schrodinger tridimensional, tem-se

E =~2

2m(k2

1 + k22 + k2

3 ) .

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Sendo assim,

E =h2

8mL2(n2

1 + n22 + n2

3) = E0(n21 + n2

2 + n23)

em que, n1, n2 e n3 sao numeros inteiros e E0 e a energia doestado fundamental.

O primeiro estado excitado pode ser obtido para este sistema detres formas diferentes, cada um com sua propria funcao de onda,neste caso, diz-se que o nıvel de energia e degenerado.

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Poco potencial infinitoEsta situacao e identica ao problema de uma partıcula presa numacaixa unidimensional. Neste caso, pode-se escrever a funcaopotencial da seguinte forma:

U(x) =

{0, 0 < x < L

∞, x ≤ 0 ou x ≥ L.

No interior da caixa, tem-se:

− ~2

2m

d2ψ(x)

dx2= Eψ(x)⇒

d2ψ(x)

dx2+

2mE

~2ψ(x) = 0 ,

pode-se escrever k2 = 2mE~2 .

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Poco potencial infinito

A solucao geral desta equacao diferencial e da forma:

ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx) ,

em que A e B sao contantes a serem determinadas pelas condicoesiniciais.

Em x = 0, tem-se:

ψ(x = 0) = 0 = 0 + B ⇒

B = 0 .

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Em x = L, tem-se:

kl = nπ ⇒

k =nπ

L, n = 1, 2, 3, · · ·

Desta forma,

ψn(x) = A sin(nπx

L

)que sao as mesmas funcoes de onda obtidas para o caso de umapartıcula presa numa caixa unidimensional. A constante A pode serobtida pela condicao de normalizacao.

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Alem do mais, pode-se escrever:

En =~2k2

n

2m=

~2

2m

(nπL

)2=⇒

En = n2

(h2

8mL2

)= n2E1 ,

lembrado que

E1 =h2

8mL2

e a energia do estado fundamental, que foi a mesma obtida noproblema da partıcula presa na caixa unidimensional.

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Poco potencial finito

Considere agora a energia do poco potencial finito dada por:

U(x) =

{0, 0 < x < L

U0, x ≤ 0 ou x ≥ L.

que pode ser esquematizada por:

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E facil perceber que a solucao da equacao de Schrodingerindependente do tempo e a mesma para o caso do poco potencialinfinito na regiao interior ao poco, isto e:

d2ψ(x)

dx2+

2mE

~2ψ(x) = 0 ,

e as solucoes sao da forma:

ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx) .

Agora, ψ(x) nao e necessariamente nula para x = 0, portanto,B 6= 0.

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Do lado de fora do poco, a equacao de Schrodinger fica:

− ~2

2m

d2ψ(x)

dx2+ U0ψ(x) = Eψ(x) ,

ou

d2ψ(x)

dx2− 2m

~2[U0 − E ]ψ(x) = 0⇒

d2ψ(x)

dx2− α2ψ(x) = 0 .

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Note que

α2 =2m

~2(U0 − E ) > 0 ,

porque 0 ≤ E ≤ U0.

A solucao deste tipo de equacao diferencial e da seguinte forma:

ψ(x) = Ceα1x + De−α2x .

Determinar as constantes C e D a partir das condicoes iniciaisrequer muita manipulacao matematica.

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Poco potencial finitoA maioria das funcoes de onda fora do poco nao sao bemcomportadas, ou seja, tendem a infinito quando x → ±∞.Encontra-se funcoes de ondas bem comportadas apenas paracertos valores de energia que sao as energias permitidas no pocoquadrado finito. Esquematicamente, tem-se:

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Poco potencial finitoAs solucoes que satisfazem o problema fisicamente podem serescritas por:

Observe que as funcoes de onda se estendem para alem da caixa,para regioes conhecidas como proibidas classicamente, mesmo queE < U0.

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Oscilador harmonico quanticoA energia potencial para uma partıcula de massa m presa a umamola de constante k e dada por:

U(x) =1

2kx2 .

Porem, pode-se escrever a frequencia angular por:

ω0 =

√k

m,

que e a frequencia angular do oscilador. Desta forma, a energiapotencial pode ser escrita por:

U(x) =1

2mω2

0x2 .

Classicamente sabe-se que a partıcula pode oscilar entre −A e A esua energia total e E = 1

2mω20A

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Oscilador harmonico quantico

A equacao de onda de Schrodinger para o oscilador harmonico fica:

− ~2

2m

d2ψ(x)

dx2+

1

2mω2

0x2ψ(x) = Eψ(x) .

Procurar solucoes para esta equacao e um pouco trabalhoso erequer ferramentas matematicas mais sofisticadas, mesmo que estaequacao seja uma equacao ordinaria.

A funcao de onda para o estado fundamental e da seguinte forma:

ψ0(x) = A0e−γx2

.

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Oscilador harmonico quanticoTomando a segunda derivada da funcao de onda no estadofundamental obtem-se

d2ψ0(x)

dx2= −2γA0e

−γx2+ 4γ2x2e−γx

2.

Substituindo este resultado na equacao de onda de Schrodinger,tem-se:

x2

(1

2mω2

0 −2~2γ2

m

)+

(γ~2

m− E

)= 0 .

Como nao ha restricoes para valores de x pode-se escolher x = 0,desta forma. a energia pode ser escrita por:

E =γ~2

m.

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De uma forma mais geral, para valores de x 6= 0, pode-seencontrar:

E0 =1

2~2ω .

Para o primeiro estado excitado, a funcao de onda pode ser escritapor

ψ1(x) = A1xe−γx2

,

que resulta numa energia

E1 =3

2~ω

e, assim por diante, ate encontrar o termo geral dado por:

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Em =

(n +

1

2

)~ω , para n = 0, 1, 2, 3, · · ·

Os nıveis de energia do oscilador harmonico podem ser ilustradosconforme figura abaixo:

Note que o espacamento entre os nıveis de energia do osciladorharmonico e uniforme. 68 / 81


Potencial degrauAte agora, foram estudados apenas problemas envolvendo estadosligados em que a energia potencial era maior que a energia total dosistema para grande valores de |x |.

Considere agora uma partıcula movendo-se numa regiao na qual aenergia potencial e uma funcao degrau que pode ser escrita daseguinte forma:

U(x) =

{0, x < 0

U0, x ≥ 0.

que pode ser ilustrada por

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Potencial degrauDeseja-se compreender o que acontece quando uma partıculamove-se da esquerda para direita atingindo o degrau. A solucaoclassica diz que, a esquerda do degrau, a partıcula move-se comvelocidade

v =

√2E

m.

Em x = 0, uma forca impulsiva age sobre a partıcula refletido-a seE < U0 . Caso E > U0, a partıcula continuara seu movimento paraa direita, so que com velocidade

v =

√2(E − U0)

m.

Este problema pode ser ilustrado por uma bola rolando em umaplanıcie e chegando a atingir uma colina de altura h.

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Potencial degrau

O resultado do ponto de vista da mecanica quantica e similar aocaso classico em que E < U0, a funcao de onda tende a se anularem x = 0 e decai exponencialmente, semelhante ao caso do pocopotencial finito. A onda penetra na regiao classicamente proibidamas e completamente absorvida. A figura a seguir auxilia nacompreensao deste resultado.

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Potencial degrau

Para o caso de E > U0, o resultado da mecanica quantica diferesignificativamente do resultado classico. Em x = 0, o comprimentode onda muda abruptamente de

λ1 =h

p1=

h√2mE

para

λ2 =h

p2=

h√2m(E − U0)

.

Quando isto acontece, sabe-se que parte da onda foi transmitida eparte foi refletida. Neste caso, diz-se que o eletron hora e refletido,hora e transmitido porque ele pode ser representado por umafuncao de onda.

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Potencial degrau

As probabilidades de reflexao e transmissao podem ser calculadassolucionando a equacao de onda de Schrodinger em ambas asregioes do potencial degrau e comparando as amplitudes das ondastransmitidas e refletidas com a onda incidente de forma a seescrever:

R =(k1 − k2)2

(k1 + k2)2

em que, k1 e o numero de onda incidente e k2 e o numero de ondatransmitido. A probabilidade de transmissao e calculada por

T = 1− R

que e a condicao de normalizacao.

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Penetracao de barreiras

Considere uma barreira potencial que pode ser escrita por:

U(x) =

0, x < 0

U0, 0 ≤ x ≤ a

0, x > a

.

Considere uma partıcula de energia E ligeiramente menor que U0

que incide sobre a barreira vinda da esquerda. Nesta situacao,tem-se

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Penetracao de barreirasLembrando que

α2 =2m

~2(U0 − E )

pode-se escrever:

αa =

√2ma2

~2(U0 − E ) >> 1 .

O coeficiente de transmissao, por sua vez, pode ser escrito por:

T = e−2αa .

Desta forma, a probabilidade de transmissao da barreira diminuiexponencialmente com a largura da barreira e com a raiz quadradada altura relativa da barreira (U0 − E ).

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A penetracao de barreiras, tambem conhecida como efeitotunelamento e representada na figura abaixo:

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Exercıcios

1. O que e a condicao de normalizacao na mecanica quantica?

2. Qualquer funcao de onda que e solucao da Equacao deSchrodinger representa um sistema fısico?

3. Qual e o significado fısico da funcao de ondaψ na mecanicaquantica?

4. Em quais situacoes e possıvel utilizar a Equacao deSchrodinger independente do tempo?

5. O que sao estados ligados e nao-ligados na mecanicaquantica?

6. O que sao estados quanticos degenerados?

78 / 81


Exercıcios7. Suponha uma partıcula classica movendo-se entre duas

paredes em x = 0 e x = a. (a) Qual e a probabilidade deencontrar a partıcula entre b e c , com c > b e c < a? (b)Qual e a probabilidade de encontrar a partıcula em x = b quepertence ao intervalo [0, a]? O que e a condicao denormalizacao na mecanica quantica?

8. Utilize a analogia com o problema de uma corda presa nasextremidades e encontre as funcoes de onda para umapartıcula presa numa caixa unidimensional de comprimento L.

9. Encontre o valor esperado de x e x2 para uma partıcula presanuma caixa unidimensional no seu primeiro estado excitado.

10. Uma partıcula presa numa caixa unidimensional decomprimento L esta no estado fundamental. Calcule aprobabilidade de encontrar a partıcula (a) no intervalo∆x = 0, 001L em x = 1

2L e (b) na regiao 0 < x < 14L.

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Exercıcios

11. Encontre as solucoes da Equacao de onda de Schrodinger parao seguinte potencial:

U(x) =

{∞, x ≤ 0 oux ≥ L

0, 0 ≤ x ≤ L.

12. Encontre as solucoes da Equacao de onda de Schrodinger parao seguinte potencial:

U(x) =

{U0, x ≤ 0 oux ≥ L

0, 0 ≤ x ≤ L.

13. Qual e a diferenca substancial entre as solucoes dos problemas11 e 12?

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Exercıcios14. Mostre que ψ0(x) = A0e

−γx2e ψ1(x) = A1xe

−γx2sao

solucoes da equacao de onda de Schrodinger independente dotempo.

15. Qual e a diferenca entre as solucoes classica e quantica da umsistema submetido a um potencial degrau?

16. Explique o efeito tunelamento na mecanica quantica.17. Quanto vale as energias dos tres primeiros estados excitados

no problema de uma partıcula presa numa caixatridimensional?

18. Explique o que significa os coeficientes de transmissao ereflexao nos problemas de potencial degrau e barreiras damecanica quantica.

19. Por que as funcoes de onda que representam estadosquanticos fısicos nem sempre sao funcoes reais? Comentesobre o significado das funcoes de onda complexas.

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