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Econometrıa Regresion multiple e incumplimiento de hipotesis basicas – 1 / 70

Introducci on a la EconometrıaEl modelo de regresi on lineal multiple

Incumplimiento de las hip otesis b asicas

Roman Salmeron Gomez

Universidad de Granada

Contenidos

Contenidos

Introduccion

Especificacion delmodelo

Estimacion del modelo

Validacion del modelo

Explotacion del modelo

Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


Introducci on

Especificaci on del modelo

Estimaci on del modelo

Validaci on del modelo

Explotaci on del modelo

Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelaci on

Introducci on

Contenidos

Introduccion

Definicion deEconometrıa

Modelo economico yeconometrico

Fases del metodoeconometrico

Componentes de unmodelo econometrico

Naturaleza de lainformacion utilizadaen Econometrıa





Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


Econometrıa

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Introduccion










Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


La Estadıstica juega un papel importante en cualquier ciencia empırica a la horade estimular la formulacion de modelos y contrastarlos. En la ciencia economicaeste papel se hace especialmente importante hasta el punto de que la necesidadde extender la Estadıstica ha dado lugar al nacimiento de una disciplina nuevaque hoy goza de una gran vitalidad: la Econometrıa .

La Econometrıa es una rama de la Economıa que aglutina a la TeorıaEconomica, las Matematicas, la Estadıstica y la Informatica para estudiar y ana-lizar fenomenos economicos. Puede decirse que constituye en sı misma una dis-ciplina dentro de la Economıa y a la vez una potente herramienta que tanto loseconomistas como otros muchos investigadores sociales utilizan para el estudiode sus problemas concretos. El principal proposito de la Econometrıa es propor-cionar un sustrato empırico a la Teorıa Economica.

Una breve descripcion de la historia econometrica la puedes encontrar en laslecturas recomendadas.

Definici on de Econometrıa

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Introduccion










Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


De entre las muchas definiciones existentes sobre la Econometrıa destacarıa lasiguiente:

“La Econometrıa, usando la Teorıa Economica, las Matematicas yla Inferencia Estadıstica como fundamentos analıticos, y los datoseconomicos como la base informativa, proporciona una base para:

1. Modificar, refinar o posiblemente refutar las conclusiones en elcuerpo de conocimientos conocido como Teorıa Economica.

2. Conseguir signos, magnitudes y afirmaciones de calidad paralos coeficientes de las variables en las relaciones economicas,de modo que esta informacion puede usarse como base para laeleccion y toma de decisiones.”

Judge y otros (1985)

Modelo econ omico y econom etrico

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Introduccion










Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


Modelo econ omico: Un modelo economico es una representacion simplificadade la realidad economica mediante la expresion matematica de una determina-da teorıa economica.

Modelo econom etrico: Un modelo econometrico es aquel modelo economicoque contiene todos los elementos necesarios para ser estudiado desde un pun-to de vista empırico. Es decir, un modelo economico en el que se ha especi-ficado el tipo de relacion entre variables (en este curso lineal), el numero devariables, introduccion de la perturbacion aleatoria (para recoger el efecto delas variables no incluidas fundamentalmente), etc.

Ası, por ejemplo, un modelo economico es aquel en el que se especifica que elconsumo es una funcion de la renta: Consumo = f(Renta).

Mientras el modelo econometrico sera aquel en el que se establece que larelacion es lineal y se introduce la perturbacion aleatoria ut:

Consumot = β1 + β2 ·Rentat + ut.

Fases del m etodo econom etrico

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Introduccion










Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


La elaboracion de un modelo econometrico se puede dividir en las siguientesfases:

Especificaci on: En esta fase se propone la forma matematica de la relacion queliga las variables presentes en el modelo y la perturbacion aleatoria. Tambiendebe decidirse el numero de ecuaciones y variables que forman el modelo. Todoello se realizara partiendo de la Teorıa Economica.

Estimaci on: Esta fase consiste en la obtencion de valores numericos de lascantidades constantes del modelo econometrico. Por tanto, sera necesario dis-poner de informacion empırica sobre el fenomeno (datos) y haber decidido elmetodo de estimacion a usar.

Validaci on: En esta fase se evaluan los resultados obtenidos en la etapa ante-rior para decidir si los mismos son o no aceptables tanto desde el punto de vistade la teorıa economica (magnitudes, signos, etc) como desde el punto de vistaestadıstico (validez del modelo).

Explotaci on: Si el modelo es aceptado, este puede ser usado para la predicciony contrastar la permanencia de la estructura estimada.

Componentes de un modelo econom etrico

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Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


Las principales componentes de un modelo econometrico son:

Variables: Dentro de las variables podemos distinguir entre las variables obser-vables (aquellas de las que se disponen datos) y no observables (la perturba-cion aleatoria). Y dentro de las primeras tenemos a las variables dependientes,explicadas o endogenas (aquellas que estan influidas por otras variables) y va-riables independientes, explicativas o exogenas (aquellas que no estan influidaspor otras).

Parametros: Los parametros son las cantidades fijas o constantes del mode-lo econometrico que se desean estimar (los coeficientes de las variables y lavarianza de la perturbacion aleatoria).

Ecuaciones: Las relaciones entre las distintas variables se explicitara medianteuna o mas ecuaciones.

Naturaleza de la informaci on utilizada en Econometrıa

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Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


Los datos economicos suelen ser de clases muy variadas, siendo los tipos masimportantes los siguientes:

Datos de corte transversal: son un conjunto de datos formada por unidades(individuos, empresas, regiones, etc) observadas en un momento determinado(dıa, mes, trimestre, ano, etc). Por ejemplo, el consumo de varias familias en unmes en concreto.

Datos de series temporales: son un conjunto de datos formado por observa-ciones de una misma variable a lo largo del tiempo. Por ejemplo, el consumomensual de una familia a lo largo de todo un ano.

Datos de panel o longitudinales: son un conjunto de datos que combinan unadimension temporal con otra transversal. Por ejemplo, el consumo mensual deun conjunto de familias a lo largo de todo un ano.

Habra que atender al tipo de datos que se analicen ya que dependiendo de sunaturaleza se podran aplicar unos u otros metodos econometricos.

Especificaci on del modelo

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Modelo linealuniecuacional multiple

Hipotesis del modelo




Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


Modelo lineal uniecuacional multiple

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Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


El modelo lineal uniecuacional multiple analiza la relacion lineal entre una variabledependiente, Y , y mas de una variable independiente, Xi, i = 1, . . . , k, k > 1,mas un termino aleatorio, u.

Ası, a partir de n observaciones para cada variable, el modelo puede serexpresado como:

Yt = β1 + β2Xt2 + β3Xt3 + · · ·+ βkXtk + ut, t = 1, . . . , n, (1)

donde se ha considerado que hay termino constante, es decir, X1t = 1, ∀t.El objetivo sera estimar (es decir, obtener una aproximacion numerica) aque-

llas cantidades constantes presentes en el modelo (1), ası como la bondad de laestimacion realizada. En primer lugar, se escribe dicho modelo para todas y cadauna de las observaciones:

Y1 = β1 + β2X12 + β3X13 + · · ·+ βkX1k + u1

Y2 = β1 + β2X22 + β3X23 + · · ·+ βkX2k + u2

......

Yn = β1 + β2Xn2 + β3Xn3 + · · ·+ βkXnk + un

Modelo lineal uniecuacional multiple

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Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


Que nos conduce a la siguiente forma matricial:

yn×1 = Xn×k · βk×1 + un×1, (2)

donde:

yn×1 =

Y1

Y2

...Yn

, βk×1 =

β1

β2

...βk

, un×1 =

u1

u2

...un

,

Xn×k =

1 X12 . . . X1k

1 X22 . . . X2k

......

. . ....

1 Xn2 . . . Xnk

.


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Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


Consideraremos las siguientes hipotesis basicas en el modelo lineal uniecuacionalmultiple:

El vector y se puede expresar como combinacion lineal de las variables expli-cativas mas un vector de perturbacion.La perturbacion aleatoria esta centrada (E[ut] = 0, t = 1, . . . , n), eshomocedastica

(V ar(ut) = E[u2

t ] = σ2, t = 1, . . . , n)

e incorrelada(Cov(ut, us) = E[ut · us] = 0, ∀t 6= s, t, s = 1, . . . , n). En tal caso sedice que las perturbaciones son esfericas y se verifica que E[u] = 0n×1 yV ar(u) = E[u · ut] = σ2 · In×n.La matriz X es no estocastica y de rango completo por columnas, es decir,rg(X) = k (como consecuencia n > k y las columnas de X , es decir, Xi,i = 1, . . . , n, son linealmente independientes).No hay relacion entre variables independientes y la perturbacion aleatoria:

Cov(un×1, Xi) = E[(u− E[u]) · (Xi − E[Xi])

t]

= E[u · (Xi −Xi)

t]= E[un×1 · 01×n] = 0n×n.

Estimaci on del modelo

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Estimacion mınimocuadratica de loscoeficientes delmodelo

Teorema deGauss-Markov

Estimacion de lavarianza de laperturbacion aleatoria



Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


Estimaci on mınimo cuadr atica de los coeficientes del modelo

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Introduccion








Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


Definiendo los errores o residuos, e, del modelo lineal uniecuacional multiple comola diferencia entre los verdaderos valores de la variable dependiente y su estima-cion, esto es

e = y − y,

donde y = Xβ, y siguiendo la premisa de minimizar la suma de los cuadradosde los residuos

ete = (y −Xβ)t · (y −Xβ) = yty − 2βtXty + βtXtXβ,

se obtiene la estimacion del parametro β como

β =(XtX

)−1 ·Xty.

Dicho metodo recibe el nombre de mınimos cuadrados ordinarios, MCO, porlo que los estimadores obtenidos a partir de dicho metodo reciben el nombre deestimadores de mınimos cuadrados ordinarios, EMCO.

Como consecuencias de dicha estimacion se verifica que Xt · e = 0k×1,it · e = 01×1, it · y = it · y y yt · e = 01×1 donde it = (1 1 . . . 1)1×n.

Estimaci on mınimo cuadr atica de los coeficientes del modelo

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Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


Adviertase que:

XtX =

nn∑

t=1Xt2 · · ·

n∑t=1

Xtk

n∑t=1

Xt2

n∑t=1

X2t2 · · ·

n∑t=1

Xt2Xtk

......

. . ....

n∑t=1

Xtk

n∑t=1

XtkXt2 · · ·n∑

t=1X2

tk

,

y

Xty =

n∑t=1

Yt

n∑t=1

Xt2Yt

...n∑

t=1XtkYt

.

Teorema de Gauss-Markov

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Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


Teorema 1 (Teorema de Gauss-Markov) Los estimadores de mınimos cuadra-dos ordinarios son lineales, insesgados y optimos (ELIO), es decir, tienen varianzamınima entre la clase de los estimadores lineales e insesgados.

En efecto, por la forma de escribirse el estimador es evidente que es lineal.Ası, llamando:

Ck×n =(XtX

)−1

k×k·Xt

k×n =

c11 c12 . . . c1nc21 c22 . . . c2n

......

. . ....

ck1 ck2 . . . ckn

,

se tiene que β se expresa como combinacion lineal del vector y:

βk×1 = Ck×n · yn×1 =

c11Y1 + c12Y2 + . . .+ c1nYn

c21Y1 + c22Y2 + . . .+ c2nYn

...ck1Y1 + ck2Y2 + . . .+ cknYn

.


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Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


Para que el estimador β de β sea insesgado se ha de cumplir que E[β] = β. En

efecto, sustituyendo y = Xβ + u en β:

β =(XtX

)−1 ·Xty =(XtX

)−1 ·Xt(Xβ + u)

= β +(XtX

)−1 ·Xtu −→ β = β +(XtX

)−1 ·Xtu.

Entonces, teniendo en cuenta que E[u] = 0:

E[β] = E[β +

(XtX

)−1 ·Xtu]= β +

(XtX

)−1 ·Xt · E[u] = β.

Por otro lado, la matriz de varianzas-covarianzas de β:

V ar(β)

= E

[(β − E[β]

)·(β − E[β]

)t]= E

[(β − β

)·(β − β

)t]

= E[(X

tX)−1

Xtu · ut

X(X

tX)−1

]

=(X

tX)−1

Xt · E[u · ut] ·X

(X

tX)−1

= σ2 ·

(X

tX)−1

XtX

(X

tX)−1

= σ2 ·

(X

tX)−1

,


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Introduccion








Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


donde se ha tenido en cuenta que β es insesgado, β − β = (XtX)−1

Xtu yV ar(u) = E[u · ut] = σ2 · In×n.

Para demostrar que β es de mınima varianza consideraremos otro estimador,

β∗, de β lineal e insesgado de forma que V ar(β)< V ar (β∗).

En efecto, β∗ = Dk×n · yn×1 tal que D ·X = Ik×k es lineal e insesgado.Ademas, V ar (β∗) = σ2 ·DDt.

En tal caso, puesto que podemos escribir D = (XtX)−1

Xt + W con

W 6= 0k×n, se tiene que DDt = (XtX)−1

+WW t, y en tal caso:

V ar (β∗) = σ2 ·DDt = σ2 ·(XtX

)−1+σ2 ·WW t = V ar

(β)+σ2 ·WW t,

esto es, V ar (β∗)− V ar(β)= σ2 ·WW t.

Y como WW t es definida positiva: V ar (β∗) − V ar(β)

> 0, y en talcaso:

V ar (β∗) > V ar(β).

Estimaci on de la varianza de la perturbaci on aleatoria

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Introduccion








Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


Ademas de los coeficientes de las variables independientes, hay en el modelootra cantidad constante que habra que estimar: la varianza de la perturbacionaleatoria, σ2.

Un estimador insesgado de σ2 es:

σ2 =ete

n− k,

ya que E[ete] = (n− k) · σ2.Para calcular dicho estimador se dispone de la expresion:

σ2 =yty − βtXty

n− k.

En consecuencia, la estimacion de la matriz de varianzas-covarianzas de β es:

V ar

(β)= σ2 ·

(XtX

)−1.

Validaci on del modelo

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Bondad de ajuste

Distribucion en elmuestreo de losestimadores MCO

Contraste de unconjunto de hipotesislineales: casosparticulares

Mınimos CuadradosRestringidos

Analisis de la varianza

Intervalos de confianza


Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


Bondad de ajuste: Coeficiente de determinaci on

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Bondad de ajuste







Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


Una vez estimado el modelo lineal uniecuacional multiple, es decir, una vez ob-tenidas las estimaciones de β y σ2, el siguiente paso sera estudiar la calidad dedichas estimaciones.

Ası, a continuacion, obtendremos el coeficiente de determinacion, que no esmas que una medida para estudiar la bondad del ajuste lineal determinado por losestimadores por mınimos cuadrados ordinarios.

Dicho coeficiente de determinacion, que se denota por R2, se define como elporcentaje de variabilidad explicada por el modelo. Por tanto, este se obtendra co-mo el cociente entre la varianza explicada por la estimacion y la total:

R2 =

1T·

n∑i=1

(Yi − Y

)2

1T·

n∑i=1

(Yi − Y

)2 =

n∑i=1

(Yi − Y

)2

n∑i=1

(Yi − Y

)2 .

Como se observa, el coeficiente de determinacion queda expresado en funcionde la suma de cuadrados explicados (SCE) y los totales (SCT).

Bondad de ajuste: Coeficiente de determinaci on

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Bondad de ajuste







Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


Luego, teniendo en cuenta la descomposicion

SCT = SCE + SCR,

se tiene que

R2 =SCE

SCT= 1− SCR

SCT.

Entonces, para calcular dicho coeficiente se dispone de la expresion:

R2 =βtXty − n · Y 2

yty − n · Y 2 = 1− yty − βtXty

yty − n · Y 2 .

Adviertase que, siempre que el modelo lineal tenga termino independiente, elcoeficiente de determinacion varıa entre 0 y 1. El valor 0 lo toma cuando la SCE esnula y, por tanto, el modelo no es adecuado; mientras que toma el valor 1 cuandola SCR es nula y, por tanto, el modelo es adecuado.

Coeficiente de determinaci on corregido

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Bondad de ajuste







Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


Puesto que a medida que vamos incluyendo variables en el modelo el coeficientede determinacion aumenta aunque las variables que incluyamos no sean signifi-cativas, esto supone un problema.

El coeficiente de determinacion corregido, R2, viene a resolver este proble-

ma del coeficiente de determinacion. Dicho coeficiente mide el porcentaje de va-riacion de la variable dependiente (al igual que el coeficiente de determinacion)pero teniendo en cuenta el numero de variables incluidas en el modelo. Se definecomo:

R2= 1− (1−R2) · n− 1

n− k.

En cualquier caso, estas medidas de bondad del ajuste no deben de ser

sobrevaloradas. Obtener un R2 o R2

cercano a 1 no indica que los resultadossean fiables, ya que, por ejemplo, puede ser que no se cumpla alguna de lashipotesis basicas y los resultados no ser validos. Por tanto, estos indicadores hande ser considerados como una herramienta mas a tener en cuenta dentro delanalisis.

Distribuci on en el muestreo de los estimadores MCO

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Bondad de ajuste







Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


Introduciendo la hipotesis de que la perturbacion aleatoria sigue una distribucionnormal, esto es:

un×1 ∼ N(0n×1, σ2 · In×n).

En consecuencia, βk×1 ∼ N(β, σ2 · (XtX)−1

), ya que:

β sigue una distribucion normal ya que se puede expresar en funcion de unanormal: β = β + (XtX)

−1 ·Xtu.

se tienen calculados el vector de medias, E[β]= β, y matriz de varianzas-

covarianzas, V ar(β)= σ2 · (XtX)

−1.

Por otro lado, ya que ete = utMu siendo Mn×n = I −X (XtX)−1

Xt

simetrica, idempotente y con rg(M) = n− k < k se tiene que utMuσ2 ∼ χ2

n−k,lo que se traduce en que

(n− k) · σ2

σ2∼ χ2

n−k.

Contraste de un conjunto de hip otesis lineales

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Bondad de ajuste







Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


A continuacion abordaremos la especificacion de contrastes sobre un conjunto dehipotesis lineales sobre los coeficientes del modelo. Concretamente, suponiendoq restricciones lineales independientes entre sı:

a11β1 + a12β2 + · · ·+ a1kβk = b1

a21β1 + a22β2 + · · ·+ a2kβk = b2...

... =...

aq1β1 + aq2β2 + · · ·+ aqkβk = bq

Plantearemos contrastar la hipotesis nula H0 : Rβ = r donde

Rq×k =

a11 a12 . . . a1ka21 a22 . . . a2k

......

. . ....

aq1 aq2 . . . aqk

, rq×1 =

b1b2...bq

.

Contraste de un conjunto de hip otesis lineales

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Bondad de ajuste







Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


Usando la distribucion

(Rβ −Rβ

)t

·

[R (XtX)

−1Rt

]−1

q · σ2·(Rβ −Rβ

)∼ Fq,n−k,

rechazaremos la hipotesis nula al nivel de significacion α si

(Rβ − r

)t

·

[R (XtX)

−1Rt

]−1

q · σ2·(Rβ − r

)> Fq,n−k(1− α),

donde Fq,n−k(1 − α) es el punto de una F de Senedecor de q y n− k gradosde libertad que deja por debajo suyo una probabilidad 1− α.

Casos particulares

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Bondad de ajuste







Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


Un caso particular de suma importancia sera aquel en el que se desee contrastarla hipotesis nula H0 : βi = bi, i = 1, . . . , k.

En tal caso, q = 1, R = (0 0 . . . 1i) . . . 0) y r = bi, por lo que ladistribucion anterior queda simplificada como

(βi − bi

)2

σ2 · wi

∼ F1,n−k,

donde wi es el elemento (i,i) de la matriz (XtX)−1

, o lo que es lo mismo, σ2 ·wi

es el elemento (i,i) de σ2 · (XtX)−1

=

V ar(β)

, esto es, la varianza estimada

de βi.Teniendo en cuenta que la raız cuadrada de una F-Snedecor con 1 y n grados

de libertad es una t-Student con n grados de libertad se tiene que

βi − biσ · √wi

∼ tn−k,

Casos particulares

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Bondad de ajuste







Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


y en tal caso rechazaremos H0 : βi = bi al nivel de significacion α si

∣∣∣∣∣βi − biσ · √wi

∣∣∣∣∣ > tn−k

(1− α

2

),

donde tn−k

(1− α

2

)es el punto de una distribucion t de student con n − k

grados de libertad que deja por debajo suya una probabilidad 1− α2 .

Este caso particular es de vital importancia cuando bi = 0, ya que entoncesestaremos contrastando si el coeficiente de la variable independiente Xi es ono nulo. De forma que al rechazar dicha hipotesis tenemos garantizado que lavariable Xi ha de estar en el modelo, por lo que sus variaciones influyen en lavariable dependiente. En tal caso se dice que dicha variable es significativa y queel contraste es un contraste de significacion individual.

Mınimos Cuadrados Restringidos

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Bondad de ajuste







Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


En el caso en el que no se rechace la hipotesis nula H0 : Rβ = r, serıa deseableincorporar dicha informacion al modelo. En tal caso, se obtiene un nuevo estima-dor:

βR = β +(XtX

)−1Rt

[R(XtX

)−1Rt

]−1

·(r −Rβ

),

que recibe el nombre de mınimos cuadrados restringidos ya que se ha obtenidocon la restriccion de que ha de verificar que RβR = r.

Dicho estimador es lineal, insesgado siempre que la hipotesis nula H0 :Rβ = r sea cierta y optimo. Es decir, el estimador por mınimos cuadrados restrin-gidos tiene menor varianza que el estimador mınimo cuadratico ordinario siemprey cuando la restriccion (hipotesis nula) sea cierta.

Luego, cuando una restriccion lineal sobre los coeficientes de las variablesindependientes es cierta, el estimador por mınimos cuadrados ordinarios deja deser optimo y habra que usar el estimador por mınimos cuadrados restringidos.

Ademas se verifica que:

SCRR ≥ SCR, R2R ≤ R2.


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Bondad de ajuste







Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


El analisis de la varianza aborda el contraste que tiene por hipotesis nula quetodos los coeficientes de las variables independientes son nulos simultaneamente,esto es, H0 : β2 = β3 = · · · = βk = 0.

Salta a la vista que estamos ante un caso particular de un contraste sobrek − 1 restricciones lineales de los coeficientes de las variables independientes.En este caso, rechazaremos la hipotesis nula al nivel de significacion α si

Fexp =SCEk−1SCRn−k

> Fk−1,n−k(1− α).

Para calcular dicho estadıstico se suele resumir la informacion anterior en unatabla, conocida como tabla de analisis de la varianza (tabla ANOVA) ya que enella se recogen las fuentes de variacion de la varianza:

Fuente de variacion Suma de Cuadrados Grados de Libertad Medias

Explicada SCE = βtXty − nY2

k − 1 SCEk−1

Residuos SCR = yty − βtXty n− k SCRn−k

Total SCT = yty − nY2

n− 1


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Bondad de ajuste







Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


Adviertase que rechazar H0 implica que hay al menos un coeficiente no nulo, porlo que la relacion existente entre las variables independientes y la dependiente nose debe al azar, lo cual valida el modelo en su conjunto.

Por otro lado, sin mas que dividir la region de rechazo por SCT tanto en elnumerador como en el denominador se obtiene la expresion equivalente:

R2

k−1

1−R2

n−k

> Fk−1,n−k(1− α).

La importancia de esta nueva expresion para la region de rechazo es que permitecalcular una cota, sin mas que despejar R2, a partir de la cual el coeficiente dedeterminacion es significativo. Esto es, el coefciente de determinacion es signifi-cativo al nivel de significacion α si

R2 >k−1n−k

· Fk−1,n−k(1− α)

1 + k−1n−k

· Fk−1,n−k(1− α).


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Introduccion




Bondad de ajuste







Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


A partir de las distribuciones en el muestreo para los estimadores estudiados esinmediato obtener los siguientes intervalos de confianza al nivel 1− α:

Intervalo de confianza para βi

βi ± tn−k

(1− α

2

)· σ · √wi, i = 1, . . . , k.

Intervalo de confianza para σ2

[(n− k) · σ2

χ2n−k

(1− α

2

) , (n− k) · σ2

χ2n−k

(α2

)],

donde χ2n−k

(1− α

2

)y χ2

n−k

(α2

)son los puntos de una distribucion chi-

cuadrado con n−k grados de libertad que dejan a su izquierda, respectivamente,una probabilidad 1− α

2 y α2 .

Una forma alternativa de contrastar hipotesis es usando los intervalos deconfianza. De manera que para contrastar H0 : Rβ = r se calculara la region deconfianza para Rβ y si r pertenece a dicha region, no se rechazara la hipotesisnula.

Explotaci on del modelo

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Prediccion PuntualOptima

Prediccion porintervalo

Contraste dePermanenciaEstructural

Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


Predicci on Puntual Optima

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Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


Una vez validado el modelo, la siguiente fase de un modelo econometrico es laexplotacion, siendo entonces la prediccion o la permanencia estructural algunosde sus objetivos.

La prediccion se realiza desde dos puntos de vista: a) por un lado realizare-mos una prediccion puntual dando un unico valor de prediccion para un instanteen concreto; b) por otra parte, puesto que Y es una variable aleatoria, podemoscalcular su esperanza dado un valor en concreto de las variables independientes.

Siguiendo las directrices anteriores se llega a la misma expresion algebraicaen ambos casos:

p0 = xt0 · β,

donde xt0 = (1 X02 X03 . . . X0k) contiene los valores de las variables inde-

pendientes para los que se quiere obtener la prediccion.Este predictor, p0, mınimo cuadratico (ya que se obtiene a partir del estima-

dor por mınimos cuadrados ordinarios de β) es lineal, insesgado y optimo (en elsentido de mınima varianza).

Predicci on por intervalo

Contenidos

Introduccion








Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


En este apartado calcularemos el intervalo de confianza para el valor esperadode Y dado x0, es decir, para E[Y0/x0] = xt

0 · β.

Como xt0 · β se distribuye segun una normal (ya que esta en funcion de β) y

E[xt0 · β] = xt

0β, ya que es insesgado.

V ar(xt0 · β

)= E

[(xt0 · β − xt

0 · β)·(xt0 · β − xt

0 · β)]

= xt0 ·

E

[(β − β

)·(β − β

)t]·x0 = xt

0 ·V ar(β)·x0 = σ2 ·xt

0 (XtX)

−1x0.

se tiene que

xt0 · β ∼ N

(xt0 · β, σ2 · xt

0

(XtX

)−1x0

).

Ahora bien, esta distribucion no es apta para hacer inferencia puesto quedepende de la cantidad desconocida σ2. Para resolver este problema, tipificare-mos la anterior distribucion normal y la dividiremos entre la raız cuadrada de lasiguiente distribucion chi-cuadrado

Predicci on por intervalo

Contenidos

Introduccion








Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


(n− k) · σ2

σ2∼ χ2

n−k,

dividida a su vez entre sus grados de libertad, obteniendo la siguiente distribuciont-Student:

xt0 · β − xt

0 · β

σ ·√xt0 (X

tX)−1 x0

∼ tn−k.

A partir de esta distribucion, el intervalo de confianza al nivel 1 − α paraE[Y0/x0] = xt

0 · β es:

xt0 · β ± tn−k

(1− α

2

)· σ ·

√xt0 (X

tX)−1 x0,

donde tn−k

(1− α

2

)es el punto de una distribucion t de Student con n − k

grados de libertad que deja a su izquierda una probabilidad 1− α2 .

Contraste de Permanencia Estructural

Contenidos

Introduccion








Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


Al explotar el modelo mediante la prediccion se esta presuponiendo que la relacionestimada se mantiene para la informacion no presente en la muestra observada.Para confirmar este aspecto, calcularemos el intervalo de confianza para Y dadox0, de forma que si la nueva informacion pertenece a dicho intervalo, la estructuradel modelo estimado permanecera.

Partiendo de que

Y0 − Y0 = u0 − xt0

(β − β

)∼ N

(0, σ2 ·

(1 + xt

0

(XtX

)−1x0

)),

se llega de forma analoga a la anterior a la distribucion

Y0 − Y0

σ ·√1 + xt

0 (XtX)

−1x0

∼ tn−k,

donde Y0 = xt0 · β. Por tanto, el intervalo de confianza al nivel 1−α para Y0 es:

xt0 · β ± tn−k

(1− α

2

)· σ ·

√1 + xt

0 (XtX)

−1x0.

Incumplimiento de las hip otesisbasicas: Multicolinealidad

Contenidos

Introduccion





Multicolinealidad

Concepto y causas

Multicolinealidadexacta o perfecta

Multicolinealidadaproximada

Deteccion de lamulticolinealidad

Soluciones

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


Concepto y causas

Contenidos

Introduccion





Multicolinealidad

Concepto y causas




Soluciones

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


El problema de multicolinealidad consiste en la existencia de relaciones linealesentre dos o mas variables independientes del modelo lineal uniecuacional multiple.

Dependiendo de como sea dicha relacion lineal hablaremos de multicolineali-dad perfecta o aproximada.

Las principales causas que producen multicolinealidad en un modelo son:

relacion causal entre variables explicativas del modelo.escasa variabilidad en las observaciones de las variables independientes.reducido tamano de la muestra.

En definitiva, la multicolinealidad suele ser un problema muestral que se presentanormalmente en datos con el perfil de series temporales.

Ası, por ejemplo, la edad y la experiencia suelen presentar una alta relacionya que ambas evolucionan conjuntamente: a mayor edad se presupone mayorexperiencia. Por tal motivo sera difıcil separar el efecto de cada una sobre la va-riable dependiente y que se produzca multicolinealidad debido a la relacion causalexistente entre dichas variables (series temporales).

Multicolinealidad exacta o perfecta

Contenidos

Introduccion





Multicolinealidad

Concepto y causas




Soluciones

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


La multicolinealidad exacta o perfecta hace referencia a la existencia de una rela-cion lineal exacta entre dos o mas variables independientes.

Dicho tipo de multicolinealidad se traduce en el incumplimiento de una de lashipotesis basicas del modelo uniecuacional multiple: la matriz X no es de rangocompleto por columnas, esto es, rg(X) < k.

El incumplimiento de dicha hipotesis no permite invertir la matriz XtX , por loque el sistema normal

XtX · β = Xty,

es compatible indeterminado, es decir, es imposible obtener una solucion unicapara β (hay infinitas).

¿Que hacer ante esta situacion? Evidentemente no se podran estimar loscoeficientes de las varaibles independientes, sin embargo, si se podra estimar unacombinacion lineal de los mismos. Y en tal caso no tenemos garantizado que sepuedan recuperar a partir de estas las estimaciones de los parametros originales.

Multicolinealidad aproximada

Contenidos

Introduccion





Multicolinealidad

Concepto y causas




Soluciones

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


La multicolinealidad aproximada hace referencia a la existencia de una relacionlineal aproximada entre dos o mas variables independientes.

En este caso, no se incumplira la hipotesis basica de que la matriz X seacompleta por columnas (rg(X) = k), por lo que se podra invertir XtX y obtenerlos estimadores por mınimos cuadrados ordinarios. Sin embargo, el determinantede XtX sera muy proximo a cero, por lo que (XtX)−1 tendera a tener valoresaltos.

En consecuencia, cuando existe un problema de multicolinealidad no perfectase presentan los siguientes problemas:

las varianzas de los estimadores son muy grandes.al efectuar contrastes de significacion individual no se rechazara la hipotesisnula, mientras que al realizar contrastes conjuntos si.los coeficientes estimados seran muy sensibles ante pequenos cambios enlos datos.un coeficiente de determinacion elevado.

Detecci on de la multicolinealidad

Contenidos

Introduccion





Multicolinealidad

Concepto y causas




Soluciones

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


Basarse en los sintomas enumerados anteriormente para la deteccion de la mul-ticolinealidad no es un procedimiento fiable ya que es subjetivo.

Por tal motivo, para la deteccion de la multicolinealidad usaremos los meto-dos:

Numero de condicion.Factor de agrandamiento de la varianza.

El numero de condicion, k(X), se define como la raız cuadrada del cocienteentre el autovalor mas grande de XtX , λmax, y el mas pequeno, λmin. Esto es:

k(X) =

√λmax

λmin

.

Si dicho numero de condicion toma un valor entre 20 y 30 estamos ante un pro-blema de multicolinealidad probable y se considera seguro si supera 30.

Detecci on de la multicolinealidad

Contenidos

Introduccion





Multicolinealidad

Concepto y causas




Soluciones

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


El factor de agrandamiento de la varianza, FAV , se define para cada uno de loscoeficientes como:

FAV (βi) =1

1−R2i

, i = 2, . . . , k,

donde R2i es el coeficiente de determinacion obtenido al efectuar la regresion de

Xi sobre el resto de las variables independientes del modelo.El FAV se interpreta como la razon entre la varianza observada y la que habrıa

sido en caso de que Xi estuviera incorrelacionada con el resto de variables inde-pendientes del modelo, es decir, muestra en que medida se agranda la varianzadel estimador como consecuencia de la relacion de los regresores.

Valores del FAV superiores a 10 hacen pensar en la posible existencia demulticolinealidad en el modelo.

Soluciones al problema de multicolinealidad

Contenidos

Introduccion





Multicolinealidad

Concepto y causas




Soluciones

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


Algunas de las posibles soluciones al problema de multicolinealidad son las si-guientes:

mejora del diseno muestral estrayendo la informacion maxima de la variablesobservadas.eliminacion de las variables que se sospechan son causantes de la multicoli-nealidad.en caso de disponer de pocas observaciones, aumentar el tamano de la mues-tra.utilizar la relacion extramuestral que permita realizar relaciones entre losparametros (informacion a priori) que permita estimar el modelo por mınimoscuadrados restringidos.

Por otro lado, algunos autores sugieren tratar el problema de la multicolineali-dad de forma mecanica y puramente numerica proponiendo una tecnica conocidacomo regresion alomada. Sin embargo, esta tecnica tiene dos problemas impor-tantes: es arbitraria y los estimadores obtenidos no son interpretables.

Incumplimiento de las hip otesisbasicas: Heterocedasticidad

Contenidos

Introduccion





Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Naturaleza delproblema

Causas de laheteroscedasticidad

Consecuencias de laheteroscedasticidad

Procedimientos deDeteccion

Mınimos CuadradosPonderados

Autocorrelacion


Naturaleza del problema

Contenidos

Introduccion





Multicolinealidad

Heteroscedasticidad






Autocorrelacion


En el modelo lineal general, y = Xβ+u, se supone que la perturbacion aleatoriaes tal que E[u] = 0n×1 y V ar(u) = E[u · ut] = σ2In×n, lo cual implica que:

E[ut] = 0, ∀t ∈ 1, . . . , n.E[u2

t ] = V ar(ut) = σ2, ∀t ∈ 1, . . . , n (varianza constante = homoce-dasticidad).E[ui · uj ] = Cov(ui, uj) = 0, ∀i 6= j ∈ 1, . . . , n (incorrelacion).

Cuando se incumple el supuesto de homocedasticidad, es decir, la varianza no esconstante sino que varıa con la observacion (E[u2

t ] = σ2t , ∀t), se dice que hay

heteroscedasticidad.Consideramos entonces el modelo lineal general yn×1 = Xn×k · βk×1 +

un×1, tal que E[u] = 0n×1 y V ar(u) = σ2 · Ωn×n donde Ω es una matrizdiagonal con diagonal no constante.

Adviertase que en este caso se dice que el modelo tiene una matriz devarianzas-covarianzas no escalar o con perturbaciones no esfericas (ya que lamatriz de varianzas-covarianzas de la perturbacion aleatoria ya no es igual al pro-ducto de una constante por la matriz identidad).

Causas de la heteroscedasticidad

Contenidos

Introduccion





Multicolinealidad

Heteroscedasticidad






Autocorrelacion


Las principales causas de la presencia de heteroscedasticidad en un modelo linealmultiple son:

Naturaleza del fenomeno: en situaciones en las que se disponen de datosde seccion cruzada (como las del ejemplo anterior: consumo de bienes delujo e ingresos familiares, polıtica de dividendos y ganancias empresarialeso polıtica de inversion y ganancias empresariales) es factible la presencia deheteroscedasticidad.Usar datos agregados: cuando las observaciones de la variable dependientepueden dividirse en grupos (por ejemplo, una persona que reside en una pro-vincia, un grupo de empresas que pertenecen a un mismo sector, etc.) y seusan como datos los promedios proporcionados por tales grupos es factible lapresencia de heteroscedasticidad.Si se omite una variable relevante en el modelo, es esperable que la pertur-bacion aleatoria dependa de dicha variable omitida, por lo que su varianzadifıcilmente sera constante.

Consecuencias de la heteroscedasticidad

Contenidos

Introduccion





Multicolinealidad

Heteroscedasticidad






Autocorrelacion


Puesto que en el metodo de estimacion por MCO no influye la matriz de varianzas-covarianzas de la perturbacion aleatoria es claro que el estimador por MCO delmodelo con perturbaciones no esfericas sera:

βMCO =(XtX

)−1Xty.

Dicho estimador sigue siendo lineal e insesgado, ya que las condiciones queconducen a verificar dichas propiedades en el modelo con perturbaciones esferi-cas no se han modificado (las demostraciones son identicas a tal caso). Sin em-bargo, ya no se tiene asegurado que la varianza sea mınima, ya que ahora:

V ar(βMCO

)=

(XtX

)−1XtE[u · ut]X

(XtX

)−1

= σ2(XtX

)−1XtΩX

(XtX

)−1,

distinta a la del modelo con perturbaciones esfericas: σ2 (XtX)−1

.Por tanto, la consecuencia de la presencia de heteroscedasticidad en un mo-

delo lineal es que los estimadores obtenidos, aunque seran lineales e insesgados,no seran optimos.

Procedimientos de Detecci on

Contenidos

Introduccion





Multicolinealidad

Heteroscedasticidad






Autocorrelacion


Para detectar la heteroscedasticidad en un modelo lineal multiple disponemos dedistintos procedimientos.

En primer lugar usaremos metodos graficos a partir de los cuales intentare-mos intuir cuales son las variables que provocan la existencia de heteroscedasti-cidad en el modelo. Concretamente, estudiaremos los graficos de los residuos yde dispersion.

Puesto que tomar una decision a partir de un procedimiento grafico no es muyadecuado ya que son facilmente manipulables, recurriremos a metodos analıti-cos para determinar la presencia de heteroscedasticidad en el modelo. Los testestudiados (cuya hipotesis nula es que las perturbaciones aleatorias son homo-cedasticas) son el de Glesjer, Goldfeld-Quandt, Breusch-Pagan y White. Los dosprimeros se deben usar cuando la muestra es pequena y una variable es la causade la heteroscedasticidad, mientras que los otros dos cuando la muestra es gran-de y no se sabe la o las variables que provocan el problema. Ademas, la hipotesisnula de todos estos contrastes es siempre que el modelo es homocedastico.

Estimaci on en los modelos con heteroscedasticidad:Mınimos Cuadrados Ponderados

Contenidos

Introduccion





Multicolinealidad

Heteroscedasticidad






Autocorrelacion


Hemos comprobado que en un modelo con perturbaciones no esfericas el esti-mador por mınimos cuadrados ordinarios es lineal e insesgado pero no tenemosasegurado que sea optimo (en el sentido de varianza mınima).

Para resolver este problema surgen los mınimos cuadrados generalizados.Dicho metodo consiste en transformar un modelo con perturbaciones no esfericasen otro con perturbaciones esfericas, de forma que al aplicarle a este ultimo elmetodo de mınimos cuadrados ordinarios se obtenga un estimador lineal, inses-gado y optimo.

En dicha transformacion es fundamental el teorema de Aitken, el cual afirmaque al ser Ω una matriz simetrica definida positiva entonces existe una matriz

regular, P , tal que P tP = Ω−1 (en tal caso se verifica que Ω = P−1(P−1

)t,

de donde se deduce que PΩP t = In×n).Esto es, premultiplicando el modelo con perturbaciones no esfericas por una

matriz no estocastica, P , se obtiene que y∗ = X∗β + u∗, donde y∗ = Py,X∗ = PX y u∗ = Pu. Entonces:

E[u∗] = E[Pu] = PE[u] = 0n×1,

E[u∗ · ut∗] = E[PuutP t] = PE[uut]P t = σ2PΩP t = σ2In×n.

Mınimos Cuadrados Ponderados

Contenidos

Introduccion





Multicolinealidad

Heteroscedasticidad






Autocorrelacion


Consideremos el modelo lineal general, y = Xβ + u, tal que

E[u] = 0n×1, V ar(u) = E[u · ut] =

σ21 0 · · · 00 σ2

2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · σ2

n

,

es decir, la perturbacion aleatoria es incorrelada, E[ui · uj ] = 0, ∀i 6= j ∈1, . . . , n, y heterocedastica, V ar(ut) = E[u2

t ] = σ2t , t = 1, . . . , n.

Por cuestion de notacion consideraremos:

E[u · ut] = σ21 ·

1 0 · · · 0

0σ2

2

σ2

1

· · · 0

......

. . ....

0 0 · · · σ2

n

σ2

1

= σ2 · Ω,

donde σ2 = σ21 y Ω = diag(w1, . . . , wn) con wt =

σ2

t

σ2

1

, t = 1, . . . , n.


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Introduccion





Multicolinealidad

Heteroscedasticidad






Autocorrelacion


Por tanto, se ha considerado que la varianza de la perturbacion aleatoria tiene lasiguiente estructura:

V ar(ut) = E[u2t ] = σ2 · wt, ∀t.

Esta suposicion final es fundamental para que el modelo pueda ser estima-do. En principio, si suponemos que todas las varianzas son distintas entre sı,tendrıamos que estimar k + n parametros: k correspondientes a los coeficientesde las variables independientes y n correspondientes a la varianza de la per-turbacion aleatoria. Ante esta situacion, habrıa mas parametros a estimar queobservaciones disponibles, n. Estimacion absolutamente imposible.

Ahora bien, teniendo en cuenta que wt estara relacionado con las variablesindependientes (tal y como se ha puesto de manifiesto en los metodos analıticos),simplemente habrıa que estimar σ2. Por tanto, hemos pasado a estimar un soloparametro en lugar de n. Es decir, hay que estimar en el modelo k+1 parametros.Cuestion que ahora si es asumible.


Contenidos

Introduccion





Multicolinealidad

Heteroscedasticidad






Autocorrelacion


Para resolver el problema de heteroscedasticidad, como hemos indicado, hayque encontrar una matriz P no estocastica tal que P tP = Ω−1. En este caso,puesto que

Ω−1 =

1w1

0 · · · 0

0 1w2

· · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 1

wn

,

es claro que

P =

1√w1

0 · · · 0

0 1√w2

· · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 1√

wn

.


Contenidos

Introduccion





Multicolinealidad

Heteroscedasticidad






Autocorrelacion


Comprobemos que el modelo transformado a partir de la matriz P anterior, y∗ =X∗β + u∗, donde

y∗ = Py =

Y1√w1

Y2√w2

...Yn√wn

, u∗ = Pu =

u1√w1

u2√w2

...un√wn

,

X∗ = PX =

1√w1

X21√w1

· · · Xk1√w1

1√w2

X22√w2

· · · Xk2√w2

......

. . ....

1√wn

X2n√wn

· · · Xkn√wn

,

es un modelo con perturbaciones esfericas. En efecto, es claro que:

Y ∗t =

Yt√wt

, u∗t =

ut√wt

, X∗it =

Xit√wt

, i = 1, . . . , k, t = 1, . . . , n.


Contenidos

Introduccion





Multicolinealidad

Heteroscedasticidad






Autocorrelacion


Y entonces:

E[u∗

t ] = E

[ut√wt

]=

1√wt

· E[ut] = 0,∀t

V ar(u∗

t ) = V ar

(ut√wt

)=

1

wt

· V ar(ut) =σ2 · wt

wt

= σ2,∀t

Cov(u∗

i , u∗

j ) = E[u∗

i · u∗

j ] = E

[ui√wi

· uj√wj

]=

E[ui · uj ]√wiwj

= 0,∀i 6= j

Es evidente que el modelo transformado es un modelo con perturbaciones esferi-cas, por lo que las estimaciones obtenidas a partir del mismo seran lineales, in-sesgadas y optimas.

Adviertase que en el modelo transformado se ponderan los datos inversamen-te al valor de la desviacion tıpica de las perturbaciones. Por tal motivo, el metodode mınimos cuadrados generalizados (MCG) recibe en este caso el nombre demınimos cuadrados ponderados (MCP).

Incumplimiento de las hip otesisbasicas: Autocorrelaci on

Contenidos

Introduccion





Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion


Causas yconsecuencias de laautocorrelacion


Estimacion bajoautocorrelacion



Contenidos

Introduccion





Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion






En el modelo lineal general, y = Xβ+u, se supone que la perturbacion aleatoriaes tal que E[u] = 0n×1 y V ar(u) = E[u · ut] = σ2In×n, lo cual implica que:

E[ut] = 0, ∀t ∈ 1, . . . , n.E[u2

t ] = V ar(ut) = σ2, ∀t ∈ 1, . . . , n (varianza constante = homoce-dasticidad).E[ui · uj ] = Cov(ui, uj) = 0, ∀i 6= j ∈ 1, . . . , n (incorrelacion).

Cuando se incumple el supuesto de incorrelacion, es decir, la covarianza de laperturbacion aleatoria es no nula para dos instantes de tiempo distintos, E[ui ·uj ] 6= 0, ∀i 6= j o, equivalentemente, E[ut · ut−k] 6= 0, ∀k > 0, se dice quehay autocorrelacion.

En tal caso, los elementos de fuera de la diagonal principal de la matriz devarianzas-covarianzas no son todos nulos (hay al menos un elemento no nulo).

Este problema aparece especialmente cuando se disponen de datos de se-ries temporales, es decir, cuando se disponen de observaciones que miden unavariable de una entidad (individuos, familias, empresas, etc.) a lo largo del tiempo.


Contenidos

Introduccion





Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion






Consideraremos entonces el modelo lineal general

yn×1 = Xn×k · βk×1 + un×1,

tal que E[u] = 0n×1 y V ar(u) = σ2 · Ωn×n donde Ω es una matriz cuyadiagonal principal es constantemente 1 y de los elementos que no pertenecen adicha diagonal principal hay al menos un elemento no nulo.

Al igual que en el tema anterior, se dice que el modelo tiene una matriz devarianzas-covarianzas no escalar o con perturbaciones no esfericas (ya que lamatriz de varianzas-covarianzas de la perturbacion aleatoria es distinta al produc-to de una constante por la matriz diagonal).

Causas y consecuencias de la autocorrelaci on

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Introduccion





Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion






Las principales causas que provocan autocorrelacion en un modelo lineal son:

Existencia de variables endogenas retardadas.Omision de variables relevantes: la perturbacion aleatoria contendra a la va-riable excluida ocasionando un patron de correlacion.Si se especifica una relacion funcional erronea (por ejemplo, una relacion linealcuando no lo es), el termino de perturbacion captara tal efecto provocandoautocorrelacion en el modelo.Las tecnicas de manipulacion de datos (interpolacion, promedios, etc.) puedenintroducir un patron sistematico en el modelo que conduzca a la autocorrela-cion.Naturaleza del fenomeno: con datos correspondientes a series de tiempo (seobserva una variable a lo largo del tiempo) es probable que observacionessucesivas sean dependientes entre sı provocando autocorrelacion.

La presencia de autocorrelacion en un modelo lineal provoca, al igual que en elcaso de la heteroscedasticidad, que los estimadores obtenidos no sean optimos(aunque si sean lineales e insesgados).

Procedimientos de Detecci on

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Introduccion





Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion






Para detectar la autocorrelacion en un modelo lineal multiple disponemos de dis-tintos procedimientos.

En primer lugar usaremos metodos graficos a partir de los cuales intentare-mos intuir cuales son las variables que provocan la existencia de autocorrelacionen el modelo. Ya que las perturbaciones aleatorias no son observables, usaremoslos residuos de la estimacion por MCO (al igual que para detectar la heterosce-dasticidad). Concretamente, analizaremos el grafico temporal de los residuos y elgrafico de dispersion de los mismos frente a algun retardo suyo.

Puesto que tomar una decision a partir de un procedimiento grafico no esmuy adecuado ya que son facilmente manipulables y serıa totalmente subjetiva,recurriremos a metodos analıticos para determinar la presencia de heteroscedas-ticidad en el modelo. De todos los metodos analıticos disponibles, el mas utilizado,y que estudiaremos, es el de Durbin-Watson. Ademas, como este metodo no esadecuado cuando existen variables retardadas como explicativas (ya que enton-ces tiende a indicar ausencia de autocorrelacion), se estudia entonces el contrasteh de Durbin.

Estimaci on bajo autocorrelaci on

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Introduccion





Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion






Consideremos el modelo lineal uniecuacional multiple

y = Xβ + u,

donde E[u] = 0n×1, E[u2t ] = σ2, t = 1, . . . , n (homocedasticidad) y E[ui ·

uj ] = σij , ∀i 6= j ∈ 1, . . . , n (autocorrelacion).Por tanto, la matriz de varianzas-covarianzas de la perturbacion aleatoria sera

V ar(u) = E[u · ut] =

σ2 σ12 . . . σ1n

σ21 σ2 . . . σ2n

......

. . ....

σn1 σn2 . . . σ2

= σ2 · Ω.

Para resolver el problema de autocorrelacion hay que aplicar el metodo demınimos cuadrados generalizados al modelo, para lo cual debemos obtener unamatriz no estocatica P tal que P t · P = Ω−1.

Para conseguir el objetivo anterior supondremos que la estructura de auto-correlacion viene marcada por un proceso autorregresivo de orden 1, esto es,ut = ρ · ut−1 + vt.


Contenidos

Introduccion





Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion






En tal caso:

Cov(ut, ut−k) = E[ut · ut−k] = E[(ρ · ut−1 + vt) · ut−k]

= ρ · E[ut−1 · ut−k] + E[vt · ut−k]

= ρ · E[ut−1 · ut−k],

por lo que repitiendo el calculo de forma iterativa:

Cov(ut, ut−k) = ρk · σ2, k > 0.

Entonces, la matriz de varianzas covarianzas de la perturbacion aleatoriaviene determinada por la matriz:

Ω =

1 ρ ρ2 . . . ρn−1

ρ 1 ρ . . . ρn−2

ρ2 ρ 1 . . . ρn−3

......

.... . .

...ρn−1 ρn−2 ρn−3 . . . 1

.


Contenidos

Introduccion





Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion






Adviertase que la suposicion de que la perturbacion aleatoria sigue el esquema deun proceso AR(1) es fundamental para que se pueda estimar el modelo. Teniendoen cuenta la matriz Ω original, tendrıamos que estimar n2−n

2 + 1 + k parame-

tros: n2−n2 de la matriz Ω, 1 correspondiente a σ2 y k de los coeficientes de los

regresores. Por tanto, se tendrıan mas parametros a estimar que observaciones.Cuestion que no es viable.

Sin embargo, a partir de la suposicion realizada sobre la perturbacion aleato-ria habrıa que estimar k + 2 parametros: 1 de la matriz Ω (que es ρ), 1 corres-pondiente a σ2 y k de los coeficientes de los regresores. Por lo que la estimacionsi serıa viable.

Entonces, teniendo en cuenta que:

Ω−1 =

1 −ρ 0 . . . 0 0−ρ 1 + ρ −ρ . . . 0 00 −ρ 1 + ρ . . . 0 0...

......

. . ....

...0 0 0 . . . 1 + ρ −ρ0 0 0 . . . −ρ 0

,


Contenidos

Introduccion





Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion






la matriz buscada es para realizar la transformacion es:

P =

√1− ρ2 0 0 . . . 0 0−ρ 1 0 . . . 0 00 −ρ 1 . . . 0 0...

......

. . ....

...0 0 0 . . . 1 00 0 0 . . . −ρ 1

.

El modelo transformado a partir de la matriz P anterior, y∗ = X∗β + u∗, estal que

y∗ = Py =

√1− ρ2 · Y1

Y2 − ρ · Y1

...Yn − ρ · Yn−1

, u∗ = Pu =

√1− ρ2 · u1

u2 − ρ · u1

...un − ρ · un−1

,


Contenidos

Introduccion





Multicolinealidad

Heteroscedasticidad

Autocorrelacion






X∗ = PX =

√1− ρ2

√1− ρ2 ·X21 · · ·

√1− ρ2 ·Xk1

1− ρ X22 − ρ ·X21 · · · Xk2 − ρ ·Xk1

......

. . ....

1− ρ X2n − ρ ·X2n−1 · · · Xkn − ρ ·Xkn−1

,

por lo que las nuevas observaciones responden a las expresiones:

Y ∗t =

√1− ρ2 · Y1 t = 1

Yt − ρ · Yt−1 t > 1, X∗

it =

√1− ρ2 ·Xi1 t = 1

Xit − ρ ·Xit−1 t > 1,

con i = 1, . . . , k.Ahora bien, para obtener estos valores del modelo transformado es necesa-

rio estimar ρ, pero para esto hay que estimar tambien los coeficientes. ¿Comoresolver este problema? Mediante el proceso iterativo de Prais-Winsten que des-cribimos a continuacion.


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Proceso iterativo de Prais-Winsten:

1. Estimar el modelo original por MCO.2. Utilizar los residuos del ajuste anterior para estimar ρ.3. Utilizar la estimacion de ρ para obtener Y ∗

t y X∗it.

4. Estimar el modelo transformado por MCO volviendo al paso 1.

Repetir este proceso hasta que la diferencia entre dos estimaciones consecutivasde ρ sea menor que un valor prefijado (de orden 10−3 normalmente).

En los casos en los que se disponga de un numero de observaciones su-ficientemente grande se puede despreciar la primera observacion (perdiendola)transformando los datos segun

Y ∗t = Yt − ρ · Yt−1, X∗

it = Xit − ρ ·Xit−1,

para t > 1 e i = 1, . . . , k. En tal caso se puede establecer un proceso iterativosimilar al anterior que recibe el nombre de Cochrane-Orcutt.


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Finalmente, comprobemos que con esta transformacion realmente se ha elimina-do el problema en el modelo.

Para t = 1, se tiene que u∗1 =

√1− ρ2 · u1, por lo que:

E[u∗1] =

√1− ρ2 · E[u1] = 0,

V ar(u∗1) = E[(1− ρ2) · u2

1] = (1− ρ2) · E[u21] = (1− ρ2) · σ2,

Cov(u∗2, u

∗1) = E

[(u2 − ρu1) ·

√1− ρ2 · u1

]

=√1− ρ2E[u2u1]− ρ

√1− ρ2 · E[u2

1]

= ρ√1− ρ2 · σ2 − ρ

√1− ρ2 · σ2 = 0.

Mientras que para t > 1, se tiene que u∗t = ut − ρut−1 y entonces:

E[u∗t ] = E[ut]− ρE[ut−1] = 0,

V ar(u∗t ) = E[u2

t + ρ2u2t−1 − 2ρutut−1] =,

= E[u2t ] + ρ2E[u2

t−1]− 2ρE[utut−1] =

= σ2 + ρ2σ2 − 2ρρσ2 = σ2 − ρ2σ2 = (1− ρ2) · σ2,


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Cov(u∗t , u

∗t−1) = E[u∗

tu∗t−1] = E[(ut − ρut−1) · (ut−1 − ρut−2)]

= E[utut−1]− ρE[utut−2]− ρE[u2t−1] + ρ2E[ut−1ut−2]

= ρσ2 − ρρ2σ2 − ρσ2 + ρ2ρσ2 = 0.

Por tanto, el modelo transformado tiene una perturbacion aleatoria con media ce-ro, varinza constante, (1 − ρ2) · σ2, e incorrelada. Luego el problema ha sidoresuelto.

Bibliografia

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