Introduccion al Metodo de Frobenius y el

Problema de Sturm-Loiuville

Sebastian Bruzzone

Abril 2006

Indice general

0.1. Soluciones Analiticas (Series de Potencias) . . . . . . . . . . . . . 10.1.1. Buscando soluciones regulares (Un ejemplo) . . . . . . . . 30.1.2. Buscando soluciones regulares (Segundo ejemplo) . . . . . 4

0.2. Puntos Singulares para Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden 50.3. El Metodo de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60.4. Analisis de los Casos Excepcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

0.4.1. Exponentes iguales, s1 = s2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 80.4.2. Exponentes que difieren en un natural . . . . . . . . . . . 9

0.5. A Modo de Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120.5.1. Ejemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

0.6. Una Clase Particular de Ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 150.6.1. Unas ecuaciones de renombre . . . . . . . . . . . . . . . . 17

0.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170.8. Problema de Sturm-Liouville y Funciones Ortogonales . . . . . . 18

0.8.1. Funciones y Valores Propios en Problemas de Contorno . 180.8.2. Ortogonalidad de las Funciones Propias . . . . . . . . . . 200.8.3. Ejemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220.8.4. Desarrollo de una Funcion en Serie de Funciones Ortogonales 22

0.9. Problemas de Contorno Relativos a Ecuaciones Diferenciales noHomogeneas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

0.10. Series de Bessel-Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1

Resumen

El fin de este trabajo es presentarle al estudiante un metodo muy util para laresolucion de ecuaciones diferenciales de segundo orden conocido como el Meto-do de Frobenius1. Este metodo se convirtio en una herramienta muy poderosapara la determinacion de soluciones para un amplio espectro de ecuaciones difer-enciales de segundo orden con una inmediata repercusion en aplicaciones de lafisica en innumerables problemas.El metodo propone la busqueda de soluciones desarrollables en series de poten-cias para ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden. Este procedimientorequiere el encontrar relaciones de recurrencia entre los coeficientes de las seriesbuscadas, asumiendo un primer termino no nulo.Las ideas mas generales sobre desarrollos en series de potencias se presentanen la primea seccion, Soluciones Analticas.. En la siguiente seccion se continuacon la definicion de puntos singulares para ecuaciones diferenciales lineales desegundo orden para asi presentar a continuacion el tema principal en la seccionEl Metodo de Frobenius.Un breve resumen es presentado y luego algunas ecuaciones de mucha importan-cia son presentadas como casos particulares de las ecuaciones analizadas bajo elmetodo antes presentado en la seccion Una Clase Particular de Ecuaciones.

1Nacimiento de Frobenius

0.1. Soluciones Analiticas (Series de Potencias)

Una clase muy extensa de ecuaciones diferenciales poseen soluciones ex-presables en series de potencias, las cuales son validas en un dominio determina-do. Las funciones que gozan de esta particularidad son denominadas analiticasLas ecuaciones diferenciales mas familiares para todos como la ecuacion de unoscilador armonico x+ ω2x = 0 admite soluciones del tipo x(s) = A1sen(ωs) +A2cos(ωs) siendo claro sen(ωs) y cos(ωs) funciones analiticas. De igual man-era para la ecuacion de un oscilador amortiguado como en un gran numero deecuaciones de la mecanica nos encontraremos con este tipo de ecuaciones.Una expresion de la forma

A0 +A1(x− x0) + · · ·+Anxn + · · · =

∞∑n=0

An(x− x0)n (1)

se denomina serie de potencias, estando definida por el limite

limN→∞

N∑n=0

An(x− x0)n

para aquellos valores de x en que exista este limite, en cuyo caso la serie sedenominara convergente. Para determinar los x que cumplen con esta condicionse utiliza el criterio del cociente,

si limn→∞An+1

An= ρ Converge si ρ < 1 Diverge si ρ > 1

notar que el criterio no clasifica si ρ = 1.Mas general es considerar el valor absoluto de dicho cociente, si esta acotadopor cierto numero σ cuando n → ∞, la serie converge cuando σ < 1. Por lotanto tendriamos

ρ = limn→∞|An+1

An||x− x0| = L|x− x0| en donde L = limn→∞|

An+1

An|

Si este limite existe, se deduce que (1)

converge si |x− x0| <1L

diverge si |x− x0| >1L

(2)

De esta manera tenemos un intervalo de convergencia cuando L existe

(x0 −1L, x0 +

1L

)

Este intervalo es simetrico respecto de x0 de manera tal que la serie es conver-gente dentro de este intervalo y divergente fuera del mismo.Que sucede si deseamos evaluar el comportamiento de una serie en los extremosdel intervalo de convergencia? Es decir en los x ∈ R tales quex = x0 ± 1

LPodemos abordar esta pregunta diferenciando dos criterios.

Si en un extremo del intervalo de convergencia se tiene que los terminosde la serie no son de signo constante, al menos desde un valor de n enadelante, la serie converge si desde ese valor se n u otro valor mayor losterminos decrecen monotamente en valor absoluto y tienden a cero. Encaso contrario la serie sera divergente.

1

Si los terminos resultan de signo constante desde un valor de n en adelantey si el cociente del termino n+1 al termino n−simo puede escribirse como

1− k1

n− k2

n2+ . . . la serie converge si k1 > 1 y diverge si k1 ≤ 1

Este ultimo es conocido como el criterio de Raabe.

Cabe observar que si L = 0 la serie converge en cualquier intervalo de x. Porel contrario si L es infinito, o con mayor generalidad si |An+1

An| no esta acotado

cuando n→∞, la serie convergera solo en x = x0. Cuando |An+1An| esta acotado,

queda determinado un intervalo de convergencia finito en donde la cantidad 1L

se denomina radio de convergencia.Puede ocurri que una serie tenga terminos cuyos subindices sean multiplosde unentero N ≥ 1, es decir que posea la siguiente forma,

A0 +AN (x− x0)N +A2N (x− x0)2N + · · · =∞∑k=0

AkN (x− x0)kN

Consideremos como ejemplo la serie de cosx

cosx = 1− x2

2!+x4

4!− · · · =

∞∑k=1

(−)kx2k

(2k)!|x| ≤ ∞

que no es otra cosa la serie de Maclaurin de cosx.En tal caso tenemos

ρN = limk→∞|A(k+1)N

AkN||x−x0|N = LN |x−x0|N siendo LN = lım

k→∞|A(k+1)N

AkN|

y se tiene que la serie converge para LN |x − x0|N < 1 o bien para los x talesque |x− x0| < 1

N√LN

.Una propiedad importante de las series de potencias es la posibilidad de operarsobre ellas de la misma forma que se opera con los polinomios.Dentro del intervalo de convergencia, una serie de potencias representa unafuncion continua de x, que posse derivadas de todos los ordenes y se puedederivar e integrar termino a termino como se hace con los polinomios; las seriesresultantes convergen, en el mismo intervalo, hacia la derivada o integral dela funcion representada por la serie incial. Una propiedad importante de laconvergencia absoluta de series, que no permite permutar el signo del limite conlos operadores de integracion y derivacion.Supongamos ahora la serie,

∞∑n=0

An(x− x0)n

que converge en un intervalo no nulo de x = x0 y representa, por cosiguiente, auna funcion f(x) en este intervalo.

f(x) =∞∑n=0

An(x− x0)n (3)

2

Derivando k veces los dos terminos en la ecuacion anterior y evaluando en x = x0

se tienefk(x0) = k′.Ak (k = 0, 1, 2, ...) (4)

por lo tanto (3) se transforma en

f(x) =∞∑n=0

fn

n!(x0)(x− x0)n (5)

que termina siendo el desarrollo de Taylor en serie de potencias de f(x) enx = x0. Es claro que no todas las funciones aceptan tal desarrollo debido a quedeben existir todas sus derivadas en x = x0.La funciones que aceptan este desarrollo se denominan regulares en x = x0.Si f(x) y todas sus derivadas con continuas (si f ∈ C∞(I)) en un intervalo Ique incluya al punto x = x0, f(x) se podra expresar como suma de terminos depotencias de (x− x0) mas un termino complementario, en la forma

f(x) =N−1∑n=0

fn(x0)n!

(x− x0)n +RN (x)

siendo RN (x) =fN (χ)N !

(x− x0)N χ ∈ (x, x0)

0.1.1. Buscando soluciones regulares (Un ejemplo)

Consideremos la siguiente ecuacion

Ly ≡ x2 d2y

dx2+ (x2 + x)

dy

dx− y = 0

busquemos una solucion de la forma1

y =∞∑k=0

Akxk

tomemos las derivadas primera y segunda de esta

dy

dx=∞∑k=0

kAkxk−1 d2y

dx2=∞∑k=0

k(k − 1)Akxk−2

sustituyamos esto ahora en la ecuacion diferencial

Ly ≡∞∑k=0

k(k − 1)Akxk +∞∑k=0

kAkxk+1 +

∞∑k=0

kAkxk −

∞∑k=0

A− kxk

Combinando la primera, tercera y cuarta sumatorias tenemos

∞∑k=0

[k(k − 1) + k − 1]Akxk =∞∑k=0

(k2 − 1)Akxk resultando en

1Estudiaremos si verifica soluciones analiticas desarrollables en un entorno de x0 = 0

3

Ly ≡∞∑k=0

(k2 − 1)Akxk +∞∑k=0

kAkxk+1

Ahora para combinar estas sumas cambiamos k → n en la primera y k+ 1→ nen la seguna

Ly ≡∞∑n=0

(n2 − 1)Anxn +∞∑n=1

(n− 1)Anxn =

= −A0 +∞∑n=1

(n2 − 1)Anxn +∞∑n=1

(n− 1)Anxn

⇒ Ly = −A0 +∞∑n=1

[(n2 − 1)An + (n− 1)An−1]xn

Ahora bien, para anular Ly, cada termino con xn debe anularse asi como tambienel termino independiente, por lo tanto A0 = 0 y ademas se tiene una formulade recurrencia,

(n− 1)[(n+ 1)An +An−1] = 0 n = 1, 2, 3...

la cual se satisface para n = 1. Para n ≥ 2 se tiene −An−1An

n = 2, 3, 4...Por consiguiente tenemos,

A2 = −A1

3, A3 = −A2

4, A4 = −A3

5, . . .

Tenemos entonces que A0 = 0, A1 es arbitrario y los demas coeficientes quedandeterminados mediante A1. La solucion es pues,

y = A1

(x− x2

3+

x3

3 · 4− . . .

)que puede escribirse de la forma

y =2A1

x

(x2

2!− x3

3!+ . . .

)= 2

A1

x

(x− 1 + (1− x

1!+x2

2!− x3

3!+ . . . )

)tenemos entoces la siguiente expresion

y = 2A1

(e−x − 1 + x

x

)Por lo tanto hemos encontrado una unica solucion analitica a la ecuacion difer-encial, es decir expresable en series de potencias de x alrededor de x0 = 0. Estono lleva a creer que no todas las soluciones linealmente independientes puedenexpresarse en series de potencias, o sea en expresiones regulares en x0 = 0.

0.1.2. Buscando soluciones regulares (Segundo ejemplo)

Consideremos la siguiente ecuacion

Ly ≡ x3 d2y

dx2+ y = 0

4

Como visto anteriormente, asumimos que se tiene una solucion de la forma∑∞k=0Akx

k, en donde luego de sustituir se tiene:

Ly ≡∞∑k=0

k(k− 1)Akxk+1 +∞∑k=0

Akxk == A0 +

∞∑n=1

[An + (n− 1)(n− 2)An−1]xn

que con la condicion Ly = 0 implica A0 = 0 y ademas

An = −(n− 1)(n− 2)An−1 (n = 1, 2, 3. . . . ) (6)

por lo tanto A1 = A2 = 0, entonces tenemos y = 0, es decir que la ecuacionno admite soluciones expresables en series de potencias de x, o sea regulares enx0 = 0 aparte de la solucion trivial nula.

0.2. Puntos Singulares para Ecuaciones Diferen-ciales de Segundo Orden

Escribamos una ecuacion diferencial lineal homogenea de segundo orden enla forma tipica,

d2y

dx2+ a1(x)

dy

dx+ a2(x)y = Ly (7)

de esto resulta claro que el comportamiento de sus soluciones en un entorno dex = x0 dependera exclusivamente del de las funciones a1(x) y a2(x) en dichoentorno.Diremos que el punto x = x0 es un punto ordinario de la ecuacion diferencialsi las funciones a1(x) y a2(x) son regulares en el, o sea si a1(x) y a2(x) admitendesarrollos en series de potencias validos dentro de algun intervalo quecontenga a x = x0.En caso contrario, diremos que el punto es singular y en ese caso, si losproductos (x − x0)a1(x) y (x − x0)2a2(x) son regulares en x = x0 aadiremosque se trata de un punto singular regular, en cualquier otro caso simplementediremos que x = x0 es un punto singular irregular.En la ecuacion

Ly ≡ d2y

dx2− y = 0

tenemos a1(x) = 0 y a2(x) = −1, asi que todos los puntos son ordinarios. En elcaso

Ly ≡ x2 d2y

dx2+ (x2 + x)

dy

dx− y =

d2y

dx2+(

1 +1x

)dy

dx− 1x2y = 0 (8)

Tenemos entonces a1(x) = 1 + 1x y a2(x) = − 1

x2 por lo tanto vemos que ambasfunciones no admiten desarrollos en series de potencias de x, pero si admitendesarrollos en (x− x0) para x 6= x0. Asi que x = 0 es el unico punto singular.Dado que los productos xa1(x) = 1+x y x2a2(x) = −1 son regulares, se deduceque el punto x = 0 es un punto singular regular.Como ultimo ejemplo podemos considerar

Ly ≡ x3 d2y

dx2+ y =

d2y

dx2+

1x3y = 0 (9)

en donde es claro que el punto x = 0 es singular irregular.

5

0.3. El Metodo de Frobenius

Nuestra motivacion es poder determinar en cuales casos puedo encontrarsoluciones regulares en x = 0 para una ecuacion diferencial lineal homogeneade segundo orden. Basta realizar un cambio de variable como z = x − x0 paradeterminar las soluciones de la ecuacion diferencial nueva en z = 0 (o sea enx = x0) Reescribiendo la ecuacion [0] de la forma

Ly ≡ R(x)d2y

dx2+

1xP (x)

dy

dt+

1x2Q(x)y = 0 (10)

en donde R(x) no se anula en un intervalo que contiene a x = 0. Suponemosademas que P (x), Q(x) y R(x) son funciones regulares en x = 0.Tenemos entonces que

xa1(x) =P (x)R(x)

x2a2(x) =Q(x)R(x)

(11)

son regulares en x = 0. Ademas de lo anterior se asume que la ecuacion [1] fuedividida previamente por cierta constante de manera tal que R(0) = 1.Se tiene entonces:

P (x) = P0 + P1x+ P2x2 + . . . (12)

Q(x) = Q0 +Q1x+Q2x2 + . . . (13)

R(x) = 1 +R1x+R2x2 + . . . (14)

Intentamos encontrar soluciones analiticas, es decir, desarrollables en series depotencias de la variable x del tipo

y = xs∞∑n=0

Anxn = A0x

s +A1xs+1 +A2x

s+2 + . . . (15)

en donde de busca determinar el valor de s en donde supondremos que A0 6= 0.Sustituyendo en [1] operando se llega a la siguiente relacion:

Ly ≡ [s(s− 1) + P0s+Q0]A0xs−2 + {[(s+ 1)s+ P0(s+ 1) +Q0]A1 +

R1s(s− 1) + P1s+Q1A0}xs−1 +{[(s+ 2)(s+ 1) + P0(s+ 2) +Q0]A2 +

(R1(s+ 1)s+ P1(s+ 1) +Q1)A1+

+(R2s(s− 1) + P2s+Q2)A0}xs (16)

Definiendo ahora dos funciones f(s) y gk(s) como sigue:

f(s) = s(s− 1) + P0s+Q0 = s2 + (P0 − 1)s+Q0 (17)gk(s) = Rk(s− k)(s− k − 1) + Pk(s− k) +Qk = (18)

= Rk(s− k)2 + (Pk −Rk)(s− k) +Qk (19)

6

Con la notacion de (8),(9), tenemos que (7) puede ser escrita como:

Ly ≡ f(s)A0xs−2 + [f(s+ 1)A1 + g1(s+ 1)A0]xs−1 +

+[f(s+ 2)A2 + g1(s+ 2)A1 + g2(s+ 2)A0]xs+

+[f(s+ n)An +n∑k=1

gk(s+ n)An−k]xs+n−2 + . . . (20)

Para que (1) se satisfaga en algun intervalo de x = 0, esta ultima expresiondebera anularse identicamente

⇒ f(s) = 0 o bien s2 + (P0 − 1)s+Q0 = 0 (21)

Esta ecuacion determina dos valores para s, la llamaremos ecuacion indicial,debido a que indica dos valores posibles para el indice s. Es aqui donde obten-dremos los exponentes de primer termino en las dos series del tipo (6), son losexponentes de la ecuacion diferencial en x = 0.Ahora anulando el coefciente de xs−1 en (11) uno encuentra

f(s+ 1)A1 = −g1(s+ 1)A0

mientras que para el coeficiente de xs se tiene

f(s+ 2)A2 = −g1(s+ 2)A1 − g2(s+ 2)A0

En general la anulacion del coeficiente de xs+n−2 en (11) nos proporciona lasiguiente formula de recurrencia

f(s+ n)An = −n∑k=1

gk(s+ k)An−k (n ≥ 1) (22)

la cual determina An en funcion de los precedentes, por lo tanto determina Anen funcion de A0, el cual asumimos 6= 0, si ∀n tenemos f(s+n) 6= 0. Sean ahoras1 y s2 las raices de [12]. Evaluaremos los casos segun la naturaleza de estasraices, si son iguales, distintas, reales, etc.

si s1 = s2 o bien(1− P0)2 − 4Q0 = 0 (23)

solo tendremos una solucion del tipo (3)

si s1 6= s2

f(s) = (s− s1)(s− s2)⇒ f(s+ n) = (s+ n− s1)(s+ n− s2)⇒ f(s1 + n) = n[n(s1 − s2]

⇒ f(s2 + n) = n[n− (s1 − s2)] (24)

Si s1 es complejo y Pn, Qn y Rn son todos reales, tendremos que s2 =s1 ⇒ s1− s2 sera imaginario puro entonces las expresiones anteriores (15)no se anulan para ningun valor real de n, excepto para n = 0.

7

Si s1 y s2 son reales y distintos con s1 − s2 > 0 entonces f(s + n) no seanula para n ≥ 1 y ademas f(s2 + n) solo se anulara para n = s1 − s2.Dado que n ∈ N, esto ultimo es posible si s1 − s2 es natural.

Por ultimo, si s1 = s2, f(s1 +n) = n2 entonces f(s1 +n) no se anula paran ≥ 1

Tenemos entonces para s1 − s2 = N , con N ∈ N la formula de recurrencia (13)se verifica para n = N

(s− s2)(s− s2 +N)AN = −N∑k=1

gk(s+N)AN−k (25)

donde con s = s2, se anula el primer termino y la ecuacion no se verifica paraningun AN , a menos que el segundo miembro tambien se anule, en tal caso ANy A0 quedan indeterminados.

0.4. Analisis de los Casos Excepcionales

0.4.1. Exponentes iguales, s1 = s2

Intentemos determinar una segunda solucion que sea independiente de laobtenida por el metodo de Frobenius.En vez de introducir primero el valor del exponente s1 en la formula de recur-rencia (13) y determinar A1, A2, . . . , AN a partir de A0, supondremos que estoscoeficientes estan expresados por medio de la formula de recurrencia en funcionde A0 y de s, indicando esto como A1 = A1(s), A2 = A2(s), . . . . Con estos val-ores de los Ak se determina una funcion y, que depende de s y de x; indicandolacomo ys(x):

ys(x) = xs∞∑n=0

An(s)xn (26)

Si tenemos en cuenta (13):

Ly ≡ f(s)A0xs−2 + [f(s+ 1)A1 + g1(s+ 1)A0]xs−1 +

+[f(s+ 2)A2 + g1(s+ 2)A1 + g2(s+ 2)A0]xs +

+[f(s+ n)An +n∑k=1

gk(s+ n)An−k]xs+n−2 + . . .

La formula de recurrencia para n ≥ 1 exige que todos los terminos se anulenen (13) salvo el primero

Lys(x) = A0f(s)xs−2 como s1 = s2

⇒ Lys(x) = A0(s− s1)2xs−2 (27)

Con s1 = s2 concuerda de que (17) sea solucion de (1), o sea de la ecuaciondiferencial lineal homogenea de segundo orden Denominemos a esta solucioncomo y1(x) para s = s1.

8

Como s1 es raiz doble entonces el resultado de derivar respecto de s tambien seanulara en s = s1.

∂

∂sLys(x) = A0[2(s− s1) + (s− s1)2lnx]xs−2

como el operador ∂/∂s y el operador L conmutan se tiene:

⇒(∂

∂sLys(x)

)s=s1

= L

(∂

∂sys(x)

)s=s1

= 0 (28)

la segunda solucion de (1) para s1 = s2 es entonces de la forma

y2(x) =(∂

∂sys(x)

)s=s1

(29)

y1(x) = xs1∞∑n=0

An(s1)xn =∞∑n=0

An(s1)xn+s1 (30)

En donde la segunda ecuacion, (21), representa a la primera solucion halladamediante el metodo de Frobenius. Ahora una solucion independiente esta dadacomo vimos por

y2(x)(∂

∂sys

)s=s1

=

(xslnx

∞∑n=0

An(s)xs + xs∞∑n=0

A′n(s)xn)s=s1

(31)

Utilizando (21) y viendo que A0 es independiente de s tenemos

y2(x) = y1(x)lnx+∞∑n=1

A′n(s1)xn+s1 siendo A′n(s1) =(d

dsAn(s)

)s=s1

(32)

Hemos encotrado una segunda solucion independiente a la ecuacion diferencial.

0.4.2. Exponentes que difieren en un natural

Es en este caso que tenemos

s1 − s2 = N ≥ 1

Es bueno recordar que la formula de recurrencia (22) no se satisface identica-mente para n = N y s = s2.De nuevo supondremos que (16) vale para n ≥ 1 para todos los valores de s, asicon las Ak en funcion de A0 y s. Definimos tambien y = ys(x) del tipo (17).Es claro que segun (16) y (22) las expresiones de los coeficientes AN (s),AN+1(s)tendran en el denominador el factor (s− s2) y no tendran por lo tanto un limitefinito en s → s2. Si consideramos en vez el producto (s − s2)ys(x), se ve quecuando s→ s2 los terminos con coeficientes An con n < N se anulan y los demasterminos tendran limites finitos lo que genera una nueva serie de potenciasen x con un termino inicial en xs2+N = xs1 . Veamos las cuentas, teniamos:

f(s+ n)An = −n∑k=1

gk(s+ n)An−k

9

entonces evaluando en n = N y recordando que f(s) = (s− s1)(s− s2)

AN = −N∑k=1

gk(s+N)AN−k

(s− s2)1

(s− s2 +N)

ahora con

f(s+N+1)AN+1 = −N+1∑k

gk(s+N+1)AN+1−k = −g1(s+N+1)AN−g2(s+N+1)AN−1−. . .

Entonces

AN+1 = −g1(s+N + 1)AN

f(s+N + 1)− g2(s+N + 1)

AN−1

f(s+N + 1)− . . .

Quedando

AN+1 = −g1(s+N + 1)

(−

N∑k=1

gk(s+N)An−k

(s− s2)(s− s2 +N)f(s+N + 1)

)Como ultimo tenemos

(s− s2)AN+1 =

(g1(s+N + 1)f(s+N + 1)

N∑k=1

gk(s+N)AN−k

(s− s2)(s− s2 +N)

)Por lo tanto los An seran no nulos para n ≥ N entonces cuando s → s2 setendra una serie nueva con el primer termino en xs2+N = xs1 .La formula de recurrencia (22) anula todos lo terminos salvo al primero en (20)por lo tanto:

L(s− s2)ys(x) = A0(s− s2)2(s− s1)xs−2 (33)

y siguiendo un razonamiento analogo al que nos conducia a (28) se tiene

L{ ∂∂s

[(s− s2)ys(x)]}s=s2 = 0 (34)

asi que tenemos la segunda raiz a la ecuacion diferencial y2 como

y2(x) = { ∂∂s

[(s− s2)ys(x)]}s=s2 (35)

junto con y1(x) = [ys(x)]s=s1 forman el conjunto de soluciones a la ecuaciondiferencial. Pero debemos encontrar una expresion para esta nueva solucion.Reescribiendo el tipo de solucion analitica que buscabamos vemos:

ys(x) =∞∑n=0

An(s)xn+s =N−1∑n=0

An(s)xn+s +∞∑k=N

an(s)s− s2

xn+s (36)

en donde an(s) = (s − s2)An(s) para n ≥ N Observando que An(s) es regularen s = s2 si n < N y an(s) es regular tambien en s = s2 cuando n ≥ N sededuce

∂

∂s[(s− s2)ys(x)] = (s− s2)

N−1∑n=0

(A′n(s) +An(s)lnx)xn+s +N−1∑n=0

AN (s)xn+s

10

+∞∑n=N

a′n(s)xn+s + lnx

∞∑n=N

an(s)xn+s (37)

con s→ s2 se tiene la solucion y2(x) de la forma

y2(x) =N−1∑n=0

An(s2)xn+s2 +∞∑n=N

a′n(s2)xn+s2 + lnx

∞∑n=N

an(s2)xn+s2 (38)

con an(s) = (s− s2)An(s) para n ≥ N

Ahora escribamos la solucion correspondiente a s1 en la siguiente forma

y1(x) =∞∑n=0

An(s1)xn+s2 ≡ A0u1(x) (39)

Observando que el coeficiene de lnx en (38) es equivalente a considerar el sigu-iente limite

lims→s2 [(s− s2∞∑n=0

An(s)xn+s]

se tiene entonces, en virtud de (33) que este termino es tambien solucion dela ecuacion diferencial. Dado que su primer termino es del tipo xN+s2 = xs11,esta debe ser un multiplo fijo de la solucion y1(x), ver (39). Por lo tanto loscoeficientes de ambas estan a razon constante. Esta razon se encuentra haciendoel cociente de los primeros terminos, aN (s2)/A0, asi de esta forma el coeficientede lnx en (38) se puede reemplazar por

aN (s2)u1(x)

por lo tanto () se convierte en la siguiente expresion

y2(x) = aN (s2)u1(x)lnx+N−1∑n=0

An(s2)xn+s2 +∞∑n=N

a′n(s2)xn+s2 (40)

Cuando el segundo miembro de (25) contiene el factor s − s2, hemos visto queresulta una solucion del tipo (15), correspondiente a s = s2, en donde A0 y ANson arbritrarios. (40) cumple esto ya que si los AN son regulares para n ≥ N setiene

aN (s2) = lims→s2(s− s2)AN (s) = 0

y tambien

a′n(s2) = lims→s2{d

ds[(s− s2)An(s)]} =

= lims→s2 [(s− s2)A′n(s) +An(s)] = An(s2)

por lo tanto el primer termino de (40) se anula y se los restantes se combinanpara dar

y2(x) =∞∑n=0

AN (s2)xn+s2

1Recordar que los primeros N − 1 de la suma son nulos

11

0.5. A Modo de Resumen

En todos los casos en donde una ecuacion diferencial lineal homogenea conun punto singular regular en x = 0, con una unica solucion en funcion delexponente s1 de la forma

y1(x) =∞∑0

Anxn+s1 ≡ A0u1(x)

se tiene que cualquier otra solucion independiente sera del tipo

y2(x) = Cu1(x)lnx+∞∑n=0

Bnxn+s2

donde C es una constante.

0.5.1. Ejemplo 1

Siempre un ejemplo es bienvenido para aclarar un poco las cosas. Para aclararel procedimiento anterior, consideremos la ecuacion diferencial

Ly ≡ xd2y

dx2+ y = 0

Suponiendo una solucion de la forma

y =∞∑n=0

Anxn+s

resulta que

Ly = s(s− 1)A0xs−1 +

∞∑n=1

[(n+ s)(n+ s− 1)An +An−1]xn+s−1

Obteniendose asi la formula de recurrencia

(n+ s)(n+ s− 1)An = −An−1 (n ≥ 1)o bien

An = − An−1

(n+ s)(n+ s− 1)

siendo los dos exponentess1 = 1 s2 = 0

Ahora bien, dado que estos exponentes difieren en una unidad, la solucion de-seada quedara asegurada por el mayor exponente, o sea s1 = 1.Con s = s1 = 1, la formula de recurrencia se convierte en

(n+ 1)nAn = −An−1 (n ≥ 1)

de la cual se deduce

A1 = − A0

2 · 1, A2 = − A0

(3 · 2)(2 · 1)A3 = − A0

(4 · 3 · 2)(3 · 2 · 1); . . .

12

siendo en general

An = (−)nA0

(n+ 1)!n!

Por lo tanto la solucion correspondiente al exponente s1 es entonces,

y1 = A0

∞∑n=0

(−)nxn+1

(n+ 1)!n!≡ A0u1(x)

Con s = s2 = 0, la formula de recurrencia toma la siguiente forma

n(n− 1)An = −An−1 (n ≥ 1)

Si n = 1, esta relacion es incomplatible con nuestra suposicion de A0 6= 0 y, porconsiguiente, no existe la serie del tipo buscado para el exponente menor s = 0,en decir, que no hay serie que comienze por un termino constante. No obstante,vimos como luce una segunda solucion independiente de la ecuacion diferencial.Esta solucion y2(x) denominada asi antes tiene la forma

y2(x) = a1(0)u1(x)lnx+A0 +∞∑n=1

a′n(0)xn

siendoan(s) = (s− s2)An(s) = sAn(s) (n ≥ 1)

Resultando de la formula se recurrencia la siguiente relacion

An(s) = − An−1(s)(n+ s)(n+ s− 1)

(n ≥ 1)

y por lo tanto deducimos que

a1(s) = − A0

s+ 1, a2(s) =

A0

(s+ 2)(s+ 1)2, . . .

siendo en general

an(s) =(−)nA0

(s+ n)[(s+ n− 1)(s+ n− 2) · · · (s+ 1)]2(n ≥ 1)

Haciendo uso de la formula de derivacion logaritmica

df

ds= f

d

ds(lnf)

uno obtiene

a′n(s) = −an(s)d

ds

(ln(n+ s) + 2

n−1∑k=1

ln(s+ k)

)=

= −an(s)

(1

s+ n+ 2

n−1∑k=1

1s+ k

)

13

Por lo tanto, sustituyendo por s = 0 se deduce:

a′n(0) = −an(0)

(1n

+ 2n−1∑k=1

1k

)

Encontramos, utilizando este resultado

a′1(0) = A0, a′2(0) = −54A0, a′3(0) =

518A0 . . .

y en general se tiene

a′n(0) = (−)n+11n + 2

∑n−1k=1

1k

n!(n− 1)!A0

La expresion para y2(x) es entonces

y2(x) = −A0u1(x)lnx+A0

(1 +

∞∑n=1

(−)n+11n + 2

∑n−1k=1

1k

n!(n− 1)!xn

)

o bien en una forma mas amigable como

y2(x) = −A0

((x− x2

2+x3

12+ . . .

)lnx−

(1 + x− 5

4x2 +

518x3 + . . .

))

De esta forma, la solucion general es de la forma y = c1y1(x)+c2y2(x), en dondese asignan a la constante A0 valores convenientes en las expresiones de y1(x) ey2(x).Tambien es posible, de acuerdo a los visto al final de la seccion anterior, podemosdeterminar una segunda solucion si suponemos directamente que es de la forma

y2(x) = Cu1(x)lnx+∞∑n=0

Bnxn

ya que entonces siendo s2 = 0, sustituyendo esta expresion en la ecuacion difer-encial resulta:

Ly ≡ C

((xd2u1

dx2+ u1

)lnx+ 2

du1

dx− 1xu1

)+∞∑n=0

[(n+ 1)nBn+1 +Bn]xn

Como u1(x) es solucion de la ecuacion Ly ≡ 0, se anula en coeficiente de lnx,por lo que la condicion Ly ≡ 0 puede ser escrita de la siguiente manera:

∞∑n=0

[(n+ 1)nBn+1 +Bn]xn + C

∞∑n=0

(−)n(

2(n!)2

− 1(n+ 1)!n!

)xn = 0

La condicion para que se anule el coeficiente de cualquiera de las potencias xn

es ahora(n+ 1)nBn+1 +Bn = (−)n+1C

2n+ 1(n+ 1)!n!

(n ≥ 0)

14

y ahora sustituyendo n por sus distintos valores se obtiene

B0 = −C B2 =34C − 1

2B1 . . .

Puede verse que tanto B1 como C son arbitrarios y todos los coeficientes seexpresan en funcion de estos, por lo tanto la solucion se escribe como sigue:

y2(x) = C[(x− 12x2+

112x3+. . . )lnx−(1− 3

4x2+

736x3+. . . )]+B1[x− 1

2x2+. . . ]

Se ve que el coeficiente de B1 no es otra cosa mas que la serie que figura enla primera solucin y1(x). De modo que si C y B son arbitrarios, la expresionpara y2(x) representara la solucion general de la ecuacion dada. La expresionparticular para y2(x) obtenida por el primer metodo corresponde a elegir C =−B1 = −A0.

0.6. Una Clase Particular de Ecuaciones

Muchas ecuaciones diferenciales lineales importantes de segundo orden puedenser obtenidas particularizando los coeficientes de la siguiente ecuacion.

(1 +RMxM )

d2y

dx2+

1x

(P0 + PMxM )

dy

dx+

1x2

(Q0 +QMxM )y = 0 (41)

para M = 1, 2, 3, . . .De nuevo suponemos una solucion de la forma

y =∞∑n=0

Anxn+s (42)

con

f(s) = s2 + (P0 − 1)s+Q0 (43)g(s) = RM (s−M)2 + (PM −RM )(s−M) +QM (44)

con la ecuacion () vemos que gM (s) = g(s) y gs = 0 si n 6= M , de esta forma laformula de recurrencia () se reduce a

f(s+ n)An = 0 (1 ≤ n ≤M − 1) (45)

f(s+ n)An = −g(s+ n)An−M (n ≥M) (46)

Ahora tomando A1 = A2 = A3 = · · · = AM−1 = 0 verificamos (45). Por lotanto (46) se sigue que An = 0 a menos que n sea un multiplo de M , n = kMcon k = 1, 2, 3, . . . En esta notacion la solucion supuesta () sera

y =∞∑k=0

BkxkM+s (47)

donde Bk = AkM , convirtiendose por lo tanto (46) en

f(s+ kM)Bk = −g(s+ kM)Bk−1 (k = 1, 2, 3, . . . ) (48)

15

En consecuencia se cumple

B1 = − g(s+M)f(s+M)

B0

B2 = − g(s+ 2M)f(s+ 2M)

B1 =g(s+M)g(s+M)f(s+M)f(s+ 2M)

B0

y en general se tiene

Bk = (−)kg(s+M) . . . g(s+KM)f(s+M) . . . f(s+ kM)

B0 (49)

Recordando que teniamos f(s) = (s − 1)(s − 2) vemos que (49) se convierteentonces en,

Bk(s) = (−)k{g(s+M) . . . g(s+ kM)}

{(s+M − s1) . . . (s+Km− s1)}{(s+M − s2) . . . (s+ kM − s2)}(50)

donde tenemos k factores en cada corchete.Si no se anula nunguno de los factores del denominador para s = s1 o s = s2,los coeficientes de las dos soluciones de la forma

y1(x) =∞∑k=0

Bk(s1)xkM+s1 y2(x) =∞∑k=0

Bk(s2)xkM+s2

se obtienen explicitamente como se muestra a continuacionc cuando k ≥ 1.

Bk(s1) = (−)kg(s1 +M) . . . g(s1 + kM)

[M + (s1 − s2)] . . . [kM − (s1 − s2)]B0

Mkk!(51)

Bk(s2) = (−)kg(s2 +M) . . . g(s2 + kM)

[M − (s1 − s2)] . . . [kM − (s1 − s2)]B0

Mkk!(52)

Si asumimos que la diferencia (s1 − s2) no es real y negativa, el denominadoren (51) no se anula, como tampoco podra anularse el de (52) a menos que losexponentes s1 y s2 difieran en un multiplo entero de M .Los casos excepcionales se estudian de igual manera que en las secciones ante-riores.

Si nos encontramos interesados en saber el intervalo de convergencia delas soluciones obtenidas podemos estudiar el cociente de terminos consecutivosde una de las series. Considerando

∑∞k=0Bkx

kM , este cociente sera la razonBk

Bk−1xky con (48) uno encuentra,

− g(s+ kM)f(s+ kM)

xM = −RM [s+ (k − 1)M ]2 + (PM −RM )[s+ (k − 1)M ] +QM(s+ kM)2 + (P0 − 1)(s+ kM) +Q0

xM

ahora bien, cuando k → ∞ e valor aboluto de este cociente tiende al limiteLM |x|M donde LM = |RM |. Por lo tanto el criterio del cociente muestra que laserie lagunar obtenida converge en el interior del intervalo

|x| < M

√1|RM |

16

Considerando el extremo donde RMxM = −1, la serie converge solo siP0 − PM

RM+M > 0.

Mientras que en extremo donde RMxM = +1, la serie converge solo siP0 − PM

RM+ 2M > 0.

0.6.1. Unas ecuaciones de renombre

Si particularizamos las constantes que aparecen en (41) se obtienen variasecuaciones de muchisimo interes. Veamos solo algunas

1. la ecuacion de Bessel

x2 d2y

dx2+ x

dy

dx+ (x2 − p2)y = 0 (53)

correspondiendo a M = 2, R2 = 0, P0 = 0, P2 = 0, Q0 = −p2, Q2 =1. Esta ecuacion la veremos, por ejemplo, al buscar soluciones radialespara el laplaciano del potencial electrostatico con condiciones de contornohomogeneas. Mas adelante se vera que las soluciones para la ecuacionde Bessel estaran compuestas por series conocidas como las funciones deBessel. Estas nuevas funciones se hallan siguiendo el mismo desarrollovisto anteriormente en el metodo de Frobenius para la ecuacion de Bessel.

2. la ecuacion de Legendre

(1− x2)d2y

dx2− 2x

dy

dx+ p(p+ 1)y = 0 (54)

correspondiente a M = 2, R2 = −1, P0 = 0, P2 = −2, Q0 = 0, Q2 =p(p+ 1). Esta ecuacion aparece por ejemplo como la solucion dependientedel angulo azimutal para el laplaciano del potencial electrostatico concondiciones de contorno. Mas adelante se vera que las soluciones de estaecuacion estaran compuestas por dos series, donde una de estas sera unasuma finita conocida como los polinomios de Legendre. Esta condicionaparecera como un requerimiento en el metodo de Frobenius al buscarsoluciones a la ecuacion de Legendre.

3. la ecuacion de Gauss

x(1− x)d2y

dx2+ [γ − (α+ β + 1)x]

dy

dx− αβy = 0 (55)

la cual corresponde a M = 1, R = −1, P0 = γ, P1 = −(α+β+1), Q0 = 0,Q1 = −αβ.

0.7. Problemas

1. Hallese y clasifiquense los puntos singulares de la ecuacion diferencial

x2(1− x2)2d2y

dx2+ 2x(1− x)

dy

dx+ y = 0

17

2. Utilicese el metodo de Frobenius para obtener la solucion general de cadauna de las siguientes ecuaciones diferenciales, para un entorno de x = 0;

2xd2y

dx2+ (1− x2)

dy

dx− y = 0

x2 d2y

dx2+ x

dy

dx+ (x2 − 1)y = 0

xd2y

dx2+ 2

dy

dx+ xy = 0

x(1− x)d2y

dx2− 2

dy

dx+ 2y = 0

3. Hallese la solucion general de la ecuacion diferencial

xd2y

dx2+ (c− x)

dy

dx− ay = 0

valida en un entorno de x = 0, suponiendo que c no es entero. La solucionregular en x = 0 y cuyo valor en ese punto es la unidad, se denominafuncion hipergeometrica confluente y se designa con M(a, c, x). Pruebeseque si c no es entero, la solucion general es de la forma

y = c1M(a, c;x) + c2x1−cM(1 + a− c, 2− c;x)

0.8. Problema de Sturm-Liouville y FuncionesOrtogonales

Problema de contorno: Condiciones a ser satisfechas por la ecuacion difer-encial ordinaria para dos o mas valores de la variabe independiente encierto problema fisico. Difiere del problema de condiciones iniciales, o prob-lema de Cauchy en donde las condiciones dadas se refieren a un solo punto.

Conidion homogenea Una ecuacion o condicion se dice homogenea cuandosi se satisface para una funcion particular y1(x), tambien se verifica paraCy1(x), en donde C es una constante. Por ejemplo al combinacion deuna funcion y sus derivadas que se anule en un punto es una condicionhomogenea.

0.8.1. Funciones y Valores Propios en Problemas de Con-torno

Consideremos los siguiente ejemplos:

18

Ecuacion de cuerda con extremos fijos de longitud L,

d2y

dx2− 1c2d2y

dt2= 0 y(0) = y(L) = 0

admitiendo soluciones de la forma

y(x) = f(x)sen(ωt+ φ)

sustituyendo se tiene

sen(ωt+ φ)f ′′(x)− ω2

c2sen(ωt+ φ)f(x) = 0

siendoω2

c2= k2 ⇒ f ′′(x)− k2f(x) = 0

con soluciones para esta nueva ecuacion de la forma f(x) = eαx

⇒ α2 − k2 = 0⇒ α = ±k ⇒ f ′′(x) = Aekx +Be−kx

Considerando ahora las condiciones homogeneas en los extremos, x = 0 yx = L,

y(0) = f(0)sen(ωt+ φ) = (A+B)sen(ωt+ φ) = 0⇒ A = −B

con la segunda condicion de borde,

y(L) = f(L)sen(ωt+φ) = A(ekL−e−kL)sen(ωt+φ) = 0⇒ 2iAsenKL = 0

por lo tanto tenemos kL = nπ, definiendo asi los valores propios kn = n πLobteniendose asi n soluciones de la forma yn(x) = (AnsennπL x)sen(ωt+φ)en donde reconocemos la funcion propia Φn = sen(nnπL x).

Ecuacion de Laplace con condiciones de contorno homogeneas.Estudiaremos como ejemplo las soluciones radiales de la ecuacion de Laplaceen coordenadas cilindricas para el problema de una region cargada con po-tencial V0 de radio a en el centro de un plano conductor a potencial ceroque dista una distancia d de otro plano paralelo a potencial nulo. Con-siderando que se tiene una simetria azimutal ϕ = ϕ(r, z) e imponiendosoluciones en variables separables ϕ = R(r)Φ(φ)Z(z) tendremos,

1R

(d2R

dr2+

1r

dR

dr) +

1r2φ

d2Φdφ2

+1Z

d2Z

dz2= 0

1r2φ

d2Φdφ2

= −ν2 1Z

d2Z

dz2= +k2

La simetria azimutal nos afirma que en

d2Φdφ2

+ ν2φ = 0 con solucion Φ(φ) = Aeiνφ +Be−iνφ

se debe cumplir que ν = 0, entonces luego de reordenar los terminos en laecuacion radial y con el cambio de variable x = kr tendremos la ecuacion

19

de Bessel para ν = 0, por lo tanto la solucion general dependera de lasfunciones de Bessel de orden 0;

R(x) = C1J0(x) + C2Y0(x)

Debido al comportamiento divergente de la funcion Y0 en el origen setiene C2 = 0, por lo tanto R(x) = C1J0(x). La restante condicion, nuestracondicion homogenea, requiere que esta funcion se anule en r = a por loque se tiene;

R(ka) = C1J0(ka) = 0⇒ ka = x0n ⇒ kn =x0n

an = 0, 1, 2, . . .

en consecuencia R(kr) = CnJ0(x0n

a r) en donde los valores de kn nos de-finen los valores propios de la funcion propia J0 estando definida por

J0(x) =∞∑j=0

(−)j x22j

(j!)2

0.8.2. Ortogonalidad de las Funciones Propias

Dos funciones ϕm(x) y ϕn(x) se llaman ortogonales es un intervalo (a, b) sies nula la integral de su producto expandida a dicho intervalo,∫ b

a

ϕm(x)ϕn(x)dx = 0 n 6= m (56)

En general, ϕm(x) y ϕn(x) se denominan ortogonales respecto a un nucleo r(x)en un intervalo (a, b) si∫ b

a

r(x)ϕm(x)ϕn(x)dx = 0 n 6= m (57)

Un conjunto de funciones es ortogonal en (a, b) si todos los pares son ortogo-nales en (a, b). Una propiedad muy util en los problemas de contorno de tipomas generlal es el hecho de que los conjuntos de autofunciones correspondientesa tales problemas son ortogonales respecto a determinado nucleo.Con el estudio del problema de contorno relativo a ecuaciones diferenciales lin-eales de segundo orden podremos establecer esta propiedad. Escribamos unaecuacion lineal homogenea de segundo orden de la siguiente manera2.

d

dx

[p(x)

dy

dx

]+ [q(x) + λr(x)] y = 0 (58)

con condiciones de contorno homogeneas prefijadas que en este caso se referirana los extremos el intervalo (a, b). Mediante el operador,

L =d

dx

(pd

dx

)+ q = p

d2

dx2+dp

dx

d

dx+ q (59)

2Cualquier ecuacion del tipo a0(x) d2ydx2 + a1(x) dy

dx+λa3(x)y = 0 se puede llevar a (58) con

p = eR a1

a0dx

, q = a2a0p y r = a3

a0p

20

escribimos entonces (58) como

Ly + λr(x)y = 0 (60)

y suponiendo que λ1 y λ2 son dos valores propios del problema en cuestion,cuyas funciones propias son y = ϕ1(x) e y = ϕ2x) respectivamente, se deduceen ese caso

d

dx(pdϕ1

dx) + (q + λ1r)ϕ1 = 0 (61)

d

dx(pdϕ2

dx) + (q + λ2r)ϕ2 = 0 (62)

Multiplicando la primera ecuacion por ϕ2(x), la segunda por ϕ1(x) y restandolasse tiene,

ϕ2d

dx

(pdϕ1

dx

)− ϕ1

d

dx

(pdϕ2

dx

)+ (λ1 − λ2)rϕ1ϕ2 = 0

⇒ (λ2 − λ1)∫ b

a

rϕ1ϕ2dx =∫ b

a

[ϕ2

d

dx

(pdϕ1

dx

)− ϕ1

d

dx

(pdϕ2

dx

)]dx (63)

identificando g1 = ϕ2, f ′1 = ddx

(pdϕ1dx

), g2 = −ϕ1 y f ′2 = d

dx

(pdϕ2dx

)implemen-

tamos integracion a la derecha de la igualdad,

(λ2 − λ1)∫ b

a

rϕ1ϕ2dx =[ϕ2

(pdϕ1

dx

)− ϕ1

(pdϕ2

dx

)]ba

−

−∫ b

a

[dϕ2

dx

(pdϕ1

dx

)− dϕ1

dx

(pdϕ2

dx

)]dx

dado que el ultimo termino en la ecuacion anterior se anula, tenemos

(λ2 − λ1)∫ b

a

rϕ1ϕ2dx =[p(x)

(ϕ2(x)

dϕ1

dx(x)− ϕ1(x)

dϕ2

dx(x))]b

a

(64)

Como las funciones ϕ1(x) y ϕ2(x) satisfacen las condiciones de contorno relativasa la ecuacion (58) en x = a y x = b, es claro que el segundo miembro de (64)se anula si en cada extremo se prefija una condicion de una de las siguientesformas:

y = 0dy

dx= 0 y + α

dy

dx= 0 x = a, x = b (65)

siendo la ultima condicion equivalente a ϕ2ϕ′1 − ϕ1ϕ

′2 ≡ (ϕ2 + αϕ′2)ϕ′1 − (ϕ1 +

αϕ′1)ϕ′2.

1. Si p(x) = 0, en x = a o en x = b, se anula el segundo termino en (64)pidiendo que y e dy

dx sean finitos en dicho punto y que p dydx tienda a cero.

2. Si p(a) = p(b) tambien se anula este segundo termino si se satisfacen lascondiciones yb = y(a), y′(b) = y′(a). En particular esto se cumpliraal ser las funciones periodicas de periodo (b− a).

21

En cualquiera de los casos numerados se tiene

∫ b

a

r(x)ϕ1(x)ϕ2(x)dx = 0 λ1 6= λ2 (66)

es decir que las funciones propias correspondientes a distintos valores propiosson ortogonales respecto al nucleo r(x).

Por lo tanto, un problema de contorno relativo a una ecuacion diferencialdel tipo (54) junto con condiciones homogeneas de los tipos considerados, sedenomina como el problema de Sturm-Liouville. De la ultima relacion deducimosque dos funciones propias distintas, ϕm(x) y ϕn(x) de un problema de Sturm-Liouville son ortogonales con nucleo r(x) en el intervalo considerado.

0.8.3. Ejemplo 2

Consideremos la siguiente ecuacion

d2y

dx2+ k2 dy

dx= 0 y(0) = y(L) = 0, kn = n

π

L, ϕn = sen(

nπ

Lx)

con n = 1, 2, 3, . . . , y en este caso r(x) = 1 por lo tanto∫ L

0

ϕn(x)ϕm(x)dx =∫ L

0

sen(nπ

Lx)sen(

mπ

Lx)dx = 0 m 6= m

cosa que es facil de verificar como cierta.La integral formada con el mismo nucleo del cuadrado de una funcion propiaϕn(x) tendra un valor positivo.3

Cn =∫ b

a

r(x)|ϕn(x)|2dx

Eligiendo el factor convenientemente en la definicion de ϕn(x) podremos hacerque Cn valga la unidad. Con esto ϕn(x) estara normalizada respecto al nucleor(x). En el caso anterior

Cn =∫ 0

L

sen2nπ

Lxdx =

L

2⇒ ϕn(x) =

√2Lsen

nπ

Lx

0.8.4. Desarrollo de una Funcion en Serie de FuncionesOrtogonales

Dado {ϕn(x)} ortogonal en (a, b) respecto a un nucleo r(x) conocido, quierodesarrollar una f(x) dada em una serie cuyos terminos sean

f(x) = A0ϕ0(x) +A1ϕ1(x) + · · ·+ =∞∑n=0

Anϕn(x) (67)

3En aplicaciones fisicas las funciones p(x) y r(x) son positivas en (a, b)

22

Supondremos que tal desarrollo existe y multiplicando ambos miembros porϕk(x)r(x), la k−esima funcion del conjunto,

r(x)f(x)ϕk(x) =∞∑n=0

Anr(x)ϕn(x)ϕk(x) (68)

integrando sobre (a, b) e intercambiando el simbolo sumatoria con el de integra-cion, o sea, asumiendo que la serie converge uniformemente en (a, b)∫ b

a

r(x)f(x)ϕk(x)dx =∞∑n=0

An

∫ b

a

r(x)ϕn(x)ϕk(x)dx

que no hemos hecho otra cosa que realizar el producto interno entre dos elemen-tos del conjunto {ϕn(x)}, y en virtud de la ortogonalidad de este conjunto setiene,

An

∫ b

a

r(x) [ϕn(x)]2 dx =∫ b

a

r(x)f(x)ϕn(x)dx (69)

Si la funcion a desarrollar f(x), fuese ortogonal a todo el conjunto {ϕn(x)}respecto de r(x), todos los terminos serian nulos y por ende no tendriamosdesarrollo alguno. Funciones de este tipo son puramente matematicas sin sen-tido fisico. Salvo estos casos patologicos, es posible demostrar que no existenfunciones que sean ortogonales respecto a todos los elementos del conjunto asiconstruido.En este sentido diremos que los conjuntos son completos.Si las funciones p(x), q(x) y r(x) son regulares en el intervalo (a, b) y si ade-mas las funciones p(x) y q(x) son positivas en todo el intervalo, incluido losextremos, es sabido que la representacion formal de una funcion f(x), acotada yparcialmente diferenciable, mediante una serie de funciones propias de la ecua-cion () converge hacia la funcion f(x) con x∈ (a, b). y a 1/2[f(x+) + f(x−)] enlos puntos de discontinuidad finita.

0.9. Problemas de Contorno Relativos a Ecua-ciones Diferenciales no Homogeneas.

Buscamos ahora soluciones a la ecuacion[d

dx

(pdy

dx

)+ qy

]+ λry = F (x) (70)

con determinadas condiciones de contorno homogeneas de los tipos dados en(65). Podemos expresar la pasada ecuacion siguiendo la notacion (60),

Ly + λry = F (x) (71)

Si asociamos al problema dado, el problema de contorno equivalente a satisfacerla ecuacion homogenea, tendremos,

Ly + λry = 0 (72)

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Expresemos la funcion desconocida y en (70) mediante una serie de la forma

y =∞∑n=0

anϕn(x) (73)

en donde trataremos de determinar los coeficientes an. Para hacer esto susti-tuyamos (73) en (70) y como tenemos en (72) la relacion

Lϕn = −λnrϕn

la ecuacion (70) se convierte en

r(x)∞∑n=0

(λ− λn)anϕn(x) = F (x) (74)

por lo tanto utilizando (69) para calcular los coeficientes del desarrollo unoobtiene

f(x) =∞∑n=0

Anϕn =F (x)r(x)

(75)

Comparando ahora (75) con (76) tenemos que an = An

λ−λn. Por lo tanto la

solucion al problema no homogeneo (75) sera

y =∞∑n=0

Anλ− λn

ϕn(x) =A0

λ− λ0ϕ0(x) +

A1

λ− λ1ϕ1(x) + . . . (76)

Algunas conclusiones importantes,

1. Si F (x) = 0. Existe solucion no trivial para (70) si y solo si λ = λk dondeλk es valor propio del problema homogeneo para todo k.

2. Si F (x) 6= 0 Existe solucion si λ 6= λk en donde λk es valor propio delproblema homogeneo para todo k. Ademas si λ → λk, no existe (76) amenos que Ak = 0, es decir que a menos que∫ b

a

r(x)f(x)ϕk(x)dx =∫ b

a

F (x)ϕk(x)dx = 0

que es equivalente a que F (x) sea ortogonal a ϕk(x) respecto de r(x).

0.10. Series de Bessel-Fourier.

A modo de ejemplo del metodo presentado en la seccion anterior, consid-eraremos un desarrollo en funciones propias ortogonales para la ecuacion deBessel. Se presentan con frecuencia desarrollos en serie de funciones de Besselen relacion con ciertos problemas de contorno donde interviene la ecuacion difer-encial

x2 d2y

dx2+ x

dy

dx+ (µ2x2 − p2)y = 0 (77)

o biend

dx

(xdy

dx

)+(−p

2

x+ µ2x

)y = 0 (78)

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Las soluciones para la ecuacion de una membrana o para soluciones a la ecua-cion radial del laplaciano del potencial electrostatico son dos ejemplos en dondeencontramos estas ecuaciones. Recordando la solucion general

y = C1Jp(µx) + C2J−p(µx) p no entero (79)y = C1Jp(µx) + C2Yp(µx) p entero (80)

vemos que (78) es un caso particular de (70) siendo

p(x) = x q(x) = −p2

xr(x) = x λ = µ2 (81)

Dado que p(0) = 0 y que el dominio es (0, L), vemos que las funciones propiasdel problema son ortogonales en este dominio respecto de r(x) = x.4

Como deseamos que en el origen la solucion no diverja, tenemos que C2 = 0 en80.Ahora si fijamos en x = L al condicion y(L) = 0, los valores de µ que verificanesta condicion quedan determinados como las raices de la ecuacion

Jp(µnL) = 0 (82)

Veamos que ecuaciones deben verificarse a partir de las distintas condiciones decontorno homogeneas.

y(L) = 0 Jp(µnL) = 0 (83)y′(L) = 0 J ′p(µnL) = 0 (84)

ky(L) + y′(L) = 0 kJp(µnL) + µnJ′p(µnL) = 0 (85)

En todos los casos las funciones propiasson de la forma

ϕn(x) = Jp(µnx) (86)

en donde µn sera solucion de (83), (84) o (85). y como vimos dichas funcionesson ortogonales en (0, L) respecto al nucleo r(x) = x∫ L

0

xJp(µmx)Jp(µnx)dx = 0 m 6= n (87)

Aunque (78) es uno de los casos excepcionales ya que p(x) y r(x) se anulanen x = 0 y ademas q(x) no es regular en dicho punto a menos que el ordende la funcion de Bessel sea 0, se puede demostrar que la serie formal (67), undesarrollo en funciones propias ortogonales de un problema de contorno concoeficientes dados por (68), convergera a hacia f(x) en (0.L) en las mismascondiciones establecidas para las series de Fourier.Dado que Jp(−x) = (−)pJp(x), las soluciones a (83), (84) y (85) existen enparejas y son simetricas respecto del origen. Cambiando µn por −µn en (86) obien, ϕn(x) no cambia o queda multiplicada por un factor numerico por lo que

4Para esto basta que y sea finita, que x dydx

sea cero en x = 0 y que en x = L se prefije unacondicion homogenea cualquiera.

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no precisaremos de los µn < 0.Con todo lo anterior tenemos

f(x) =∞∑n=1

AnJp(µnx) (0 < x < L) (88)

siendo µn las raices de (83), (84) y (85).Los An estaran dados por

An

∫ L

0

x [Jp(µnx)]2 dx =∫ L

0

xf(x)Jp(µnx)dx (89)

y definiendo el factor junto a An como

Cn =∫ L

0

x|Jp(µnx)|2dx (90)

se tiene

An =1Cn

∫ L

0

xf(x)Jp(µnx)dx (91)

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