INTRODUCTION 1 - univ-angers.frmecafluide.univ-angers.fr/MMC/meca.pdf1.3. FAISCEAU DES CONTRAINTES...

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INTRODUCTION 1

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2 INTRODUCTION

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¡¬ s ¡¢ 8 >4 9 7 = 6 V ; 6 4 ¡ ¨ s ¡± ² ³ ¡¢ d : d 4 ; 6 8 >4 9 7 = 6 V ; 6 4 ; ¤3 f V 5 6 < : ; 9 7 8 7 ; 9 v 9 6 k4 d 4 ´ T 7 d < = < 4 7 4 m 6 >4 8 < 4 7 8 µ 9 4 8 >4 T 7 < 6 4 ; ¤ V 7 6 : 8 9 4 7 8 9 6 V 6 < e 7 4 ?

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¡¬ p µ ¡ ´ u s ¹º» ¼ ½ ¡¢ » ¡ ¨ p µ ¡ ´ u s ¹º» ¼ ½ ¡± ² » ³ ¡¢ » ®

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9 < ¤ 4 9 6 = 4 5 4 ; 6 8 4 T 4 d V 9 9 4 : ; 9 V < 6 e 7 4 ¡ ¨ s ¡Æ [

4 1. CONTRAINTES

S 4 7 m 9 : 8 6 4 9 T f V 5 6 < : ; 9 4 m 6 >4 8 < 4 7 8 4 9 ? R = 4 9 x : 8 5 4 9 i : = 7 d < e 7 4 p h V 8 7 ; < 6 >4 T 4 i : = 7 d 4 u ¡Ç À [a : 8 5 4 >4 = >4 d 4 ; 6 V < 8 4 ? T ¡¢ s ¡Ç À T Â4 m 4 d h = 4 = V x : 8 5 4 i : = 7 d < e 7 4 T 4 h 4 9 V ; 6 4 7 8 w ¡ÁR = 4 9 x : 8 5 4 9 9 7 8 x V 5 < e 7 4 9 : 7 T 4 5 : ; 6 V 5 6 p h V 8 7 ; < 6 >4 T 4 9 7 8 x V 5 4 u ¡Ç È [ a : 8 5 4 >4 = >4 d 4 ; 6 V < 8 4 ?T ¡¢ s ¡Ç È T ´4 m 4 d h = 4 = V x : 8 5 4 9 7 8 x V 5 < e 7 4 T 4 h 8 4 9 9 < : ; É ¡Ê [� � Ë Ì � � � � � � � � � � � � � � � � � Í � � Î � � � �

3 4 9 x : 8 5 4 9 < ; 6 4 8 ; 4 9 T 4 5 : n >4 9 < : ; 9 : ; 6 T 4 9 x : 8 5 4 9 9 7 8 x V 5 < e 7 4 9 V h h 4 = >4 4 9 5 : ; 6 8 V < ; 6 4 9 < ; 6 4 8 ; 4 9 [

~ � � � } [ } � Ï D C G N MN K MN L N A B J H C N N Q N C G MN N P F C F A N Ð J G N B B Nc ; T >4 | ; < 6 = 4 i 4 5 6 4 7 8 5 : ; 6 8 V < ; 6 4 9 7 8 7 ; 4 x V 5 4 6 6 4 V 7 6 : 7 8 T 7 h : < ; 6 o [ p Ñ } u 4 9 6 = 4 9 v 9 6 k4 d 49 7 8 = 4 e 7 4 = : ; T >4 6 4 8 d < ; 4 = f V 5 6 < : ; T 4 5 : n >4 9 < : ; T 7 4 kV p Ñ Ò u [ ¡Ê 4 9 6 = V ; : 8 d V = 4 4 m 6 >4 8 < 4 7 8 4 [

¡Ó p o Ô ¡Ê u s T ¡¢T ´3 4 6 : 8 9 4 7 8 T 4 9 4 { : 8 6 9 T 4 5 : n >4 9 < : ; 9 7 8 = V x V 5 4 6 6 4 ´ 9 4 8 >4 T 7 < 6 4 ; Õ kV ?

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¡Ó p o Ô ¡Ê u 9 f >4 5 8 < 6 4 ; x : ; 5 6 < : ; T 4 9 4 9 5 : d h : 9 V ; 6 4 9 ; : 8 d V = 4 9 4 6 6 V ; _ 4 ; 6 < 4 = = 4 9 [ ¡Ó p o Ô ¡Ê u sØ ¡Ê Ù Ú ¡Û [

1.3. FAISCEAU DES CONTRAINTES EN UN POINT. THEOREME DE CAUCHY 5

~ � � � } [ Ò � Ü D L Ý D P J A B N P A D C L J K N P N B B J A Þ N A B H N K K N PØ ? 6 4 ; 9 < : ; : 7 6 8 V 5 6 < : ; p : 7 5 : d h 8 4 9 9 < : ; 9 < ß à uÚ ? 5 < 9 V < = = 4 d 4 ; 6 [

¥ ¦ á â ã p Ñ Ò ¡ Ñ } u § ¨ Ù ¥ ¦ á â ã p Ñ } ¡ Ñ Ò u § ¨ s ¥ ä § ¨5 4 e 7 < 4 ; 6 8 V åæ ; 4 ? ¡Ó p o Ô ¡Ê u s ¡Ó p o Ô ¡Ê u� � ç è � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Î � � � � � é ê �� ë �� Ì � � � ê ì

í = 4 m < 9 6 4 7 ; 4 < ; | ; < 6 >4 T 4 x V 5 4 6 6 4 9 T 4 ; : 8 d V = 4 ¡Ê V 7 6 : 7 8 T f 7 ; h : < ; 6 o 4 6 T : ; 5 T 4 i 4 5 6 4 7 8 9 ¡Ó p o Ô ¡Ê u [ ] : 7 8 T >4 6 4 8 d < ; 4 8 4 ; 6 < k4 8 4 d 4 ; 6 = f >4 6 V 6 T 4 5 : ; 6 8 V < ; 6 4 ` î T < 8 4 5 6 < : ; 9 9 7 ï 9 4 ; 6 [ z : < 4 ; 6 ¡Ä ð ` ¡Ä ñ 4 6 ¡Ä Å = 4 9 i 4 5 6 4 7 8 9 7 ; < 6 V < 8 4 9 T f 7 ; 8 4 h k4 8 4 : 8 6 n : ; : 8 d >4 ` V = : 8 9 : ; V 7 8 V = 4 9 5 : ; 6 8 V < ; 6 4 9 ? ¡Ó p o Ô ¡Ä ð u ` ¡Ó p o Ô ¡Ä ñ u 4 6 ¡Ó p o Ô ¡Ä Å u V i 4 5 = 4 9 e 7 4 = = 4 9 : ; h 4 7 6 T >4 6 4 8 d < ; 4 8 ¡Ó p o Ô ¡Ê u h : 7 8 ¡Êe 7 4 = 5 : ; e 7 4 [z : < 6 = 4 9 5 : d h : 9 V ; 6 4 9 T 4 ¡Ó p o Ô ¡Ê u T V ; 9 = 4 8 4 h k4 8 4 ¡Ó p o Ô ¡Ê u s Ø ½ ¹ ¡Ä ð Ù Ø ò ¹ ¡Ä ñ Ù Ø ó ¹ ¡Ä Å

4 6 5 4 = = 4 9 T 4 ¡Ê ¡Ê s ô ½ ¡Ä ð Ù ô ò ¡Ä ñ Ù ô ó ¡Ä Å3 4 6 >4 6 8 V k4 T 8 4 T 4 9 : d d 4 6 o 4 6 T 4 x V 5 4 : h h : 9 >4 4 ¤ ½ Ô ¤ ò Ô ¤ ó T 4 ; : 8 d V = 4 ¡Ê p i : < 8 | _ 7 8 4 u4 9 6 4 ; >4 e 7 < = < g 8 4 T : ; 5 = 4 6 : 8 9 4 7 8 T 4 9 V 5 6 < : ; 9 4 m 6 >4 8 < 4 7 8 4 9 4 ; Õ 4 9 6 ; 7 = [ z : < 6 o õ 7 ; h : < ; 6V h h V 8 6 4 ; V ; 6 kV = V x V 5 4 ¤ ½ Ô ¤ ò Ô ¤ ó [

6 1. CONTRAINTES

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¡Ó p o õ Ô ¡Ê u T ´ Ù ¡Ó p o Ô ¡Ä ð u T ´ ½ Ù ¡Ó p o Ô ¡Ä ñ u T ´ òÙ ¡Ó p o Ô ¡Ä Å u T ´ ó Ù w ¡Á T Â s ¡Æ

c ; V ¡± ð ± ñ ³ ¡± ð ± Å s Ò T ´ ¡Ê T f 7 ; 4 h V 8 6 4 6 T f V 7 6 8 4 h V 8 6 ¡± ð ± ñ ³ ¡± ð ± Å s p ¡± ð Ù ¡ ± ñ u ³ p ¡± ð Ù ¡ ± Å us ¡ ± ñ ³ ¡ ± Å Ù ¡ ± Å ³ ¡ ± ð Ù ¡ ± ð ³ ¡ ± ñs Ò T ´ ½ ¡Ä ð Ù Ò T ´ ò ¡Ä ñ Ù Ò T ´ ó ¡Ä Å5 4 e 7 < 5 : d h 6 4 6 4 ; 7 T 4 9 5 : d h : 9 V ; 6 4 9 T 4 ¡Ê T : ; ; 4 ô ½ T ´ s T ´ ½ ` ô ò T ´ s T ´ ò 4 6 ô ó T ´ s T ´ ó [V = : 8 9

¡Ó p o õ Ô ¡Ê u s ô ½ ¡Ó p o Ô ¡Ä ð u Ù ô ò ¡Ó p o Ô ¡Ä ñ u Ù ô ó ¡Ó p o Ô ¡Ä Å u w ¡Á T ÂT ´3 4 T 4 8 ; < 4 8 6 4 8 d 4 ¡ à e 7 V ; T o õ ¡ o V = : 8 9

¡Ó p o Ô ¡Ê u s óºö ¼ ½ ô ö ¡Ó p o Ô ¡Ä ÷ u3 4 9 5 : d h : 9 V ; 6 4 9 T 4 ¡Ó p o Ô ¡Ä ÷ u T V ; 9 = 4 8 4 h k4 8 4 9 : ; 6 ? Ø ½ ö ¡Ä ð Ù Ø ò ö ¡Ä ñ Ù Ø ó ö ¡Ä Å 5 4 e 7 < 9 f >4 5 8 < 6 ?

¡Ó p o Ô ¡Ä ÷ u s óº» ¼ ½ Ø » ö ¡Ä ø

1.4. TENSEUR DES CONTRAINTES 7

: ; : g 6 < 4 ; 6 T : ; 5 | ; V = 4 d 4 ; 6 5 4 e 7 < 5 : ; 9 6 < 6 7 4 = 4 6 n >4 : 8 k4 d 4 T 4 Z V 7 5 n v ? ¡Ó p o Ô ¡Ê u s óº» ù ö ¼ ½ Ø » ö ô ö ¡Ä ø

3 4 9 5 : d h : 9 V ; 6 4 9 T 7 i 4 5 6 4 7 8 5 : ; 6 8 V < ; 6 4 4 ; 7 ; h : < ; 6 o 9 7 8 7 ; 4 x V 5 4 6 6 4 T 4 ; : 8 d V = 4 ¡ÊT >4 h 4 ; T 4 ; 6 = < ; >4 V < 8 4 d 4 ; 6 T 4 9 5 : d h : 9 V ; 6 4 9 T 4 = V ; : 8 d V = 4 [ 3 4 9 5 : 4 ï 5 < 4 ; 6 9 = < ; >4 V < 8 4 9 9 : ; 6 = 4 95 : d h : 9 V ; 6 4 9 T f 7 ; 6 4 ; 9 4 7 8 ? = 4 6 4 ; 9 4 7 8 T 4 9 5 : ; 6 8 V < ; 6 4 9 [� � ú é � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

3 4 9 Ø » ö 9 : ; 6 = 4 9 û 5 : d h : 9 V ; 6 4 9 T 7 6 4 ; 9 4 7 8 T 4 9 5 : ; 6 8 V < ; 6 4 9 [ ü 4 9 6 = f < ; T < 5 4 T 4 = V h 8 : U 4 5 6 < : ; `ý 4 9 6 = f < ; T < 5 4 T 4 = V ; : 8 d V = 4 kV = V x V 5 4 6 6 4 [ þ : 6 V 6 < : ; ? ÿ Ø » ö � : 7 µµÓ [3 4 6 n >4 : 8 k4 d 4 T 4 Z V 7 5 n v 9 f >4 5 8 < 6 ? ¡Ó p o Ô ¡Ê u s µµÓ � ¡Ê�� Ø ½ ¹Ø ò ¹Ø ó ¹�� s �� Ø ½ ½ Ø ½ ò Ø ½ óØ ò ½ Ø ò ò Ø ò óØ ó ½ Ø ó ò Ø ó ó

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�� 7 4 = = 4 4 9 6 = V 5 : ; 6 8 V < ; 6 4 e 7 < 9 f 4 m 4 8 5 4 9 7 8 = V x V 5 4 6 6 4 T 4 ; : 8 d V = 4 ¡Ä ð ¡Ó p o Ô ¡Ä ð u s µµÓ � ¡Ä ð s �� Ø ½ ½ Ø ½ ò Ø ½ óØ ò ½ Ø ò ò Ø ò óØ ó ½ Ø ó ò Ø ó ó

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~ � � � } [ � @ A B N C Ý C MN B J B H D A E N P G D L Ý D P J A B N P E F B N A P N F C E N P G D A B C J H A B N P] : 7 8 = V x V 5 4 6 6 4 T 4 ; : 8 d V = 4 ¡Ä ð ` : ; : g 6 < 4 ; 6 = 4 i 4 5 6 4 7 8 : h h : 9 >4 [

8 1. CONTRAINTES

c ; T >4 d : ; 6 8 4 4 ; 7 6 < = < 9 V ; 6 = V 5 : ; T < 6 < : ; T f >4 e 7 < = < g 8 4 9 7 8 = 4 d : d 4 ; 6 8 >4 9 7 = 6 V ; 6 e 7 4 = 4 6 4 ; 9 4 7 84 9 6 9 v d >4 6 8 < e 7 4 ` 5 f 4 9 6 = V 8 >4 5 < h 8 : 5 < 6 >4 T 4 9 5 : d h : 9 V ; 6 4 9 6 V ; _ 4 ; 6 < 4 = = 4 9 [Ø » ö s Ø ö »� � � Ì � � � � � � � � � � Î � � � � � Î � � � �

3 4 6 4 ; 9 4 7 8 >4 6 V ; 6 9 v d >4 6 8 < e 7 4 ` 9 4 9 i V = 4 7 8 9 h 8 : h 8 4 9 9 : ; 6 8 >4 4 = = 4 9 4 6 = 4 9 T < 8 4 5 6 < : ; 9 h 8 : h 8 4 9p i 4 5 6 4 7 8 9 h 8 : h 8 4 9 u 9 : ; 6 : 8 6 n : _ : ; V = 4 9 T 4 7 m kV T 4 7 m [ c ; ; : 6 4 Ø � ` Ø � � 4 6 Ø � � � 5 4 9 i V = 4 7 8 9h 8 : h 8 4 9 V h h 4 = >4 4 9 5 : ; 6 8 V < ; 6 4 9 h 8 < ; 5 < h V = 4 9 4 ; o [ 3 4 9 T < 8 4 5 6 < : ; 9 h 8 : h 8 4 9 9 : ; 6 V h h 4 = >4 4 9T < 8 4 5 6 < : ; 9 h 8 < ; 5 < h V = 4 9 [S V ; 9 = 4 8 4 h k4 8 4 h 8 < ; 5 < h V = p ¡Ä ` ¡Ä ` ¡Ä u = 4 6 4 ; 9 4 7 8 4 9 6 T < V _ : ; V = 4 6 = 4 i 4 5 6 4 7 8 5 : ; 6 8 V < ; 6 49 f >4 5 8 < 6 ? ¡Ó p o Ô ¡Ê u s µµÓ � ¡Ê s �� Ø � à àà Ø � � àà à Ø � � �

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��: k7 = 4 9 ô � [ [ [ 9 : ; 6 = 4 9 5 : d h : 9 V ; 6 4 9 T 4 ¡Ê T V ; 9 = 4 8 4 h k4 8 4 h 8 < ; 5 < h V = [� � � � � Î �� ë ë � � � � � ê �

~ � � � } [ � � Ü D L Ý D P J A B N P A D C L J K N P N B B J A Þ N A B H N K K N PØ 4 9 6 = V 5 : ; 6 8 V < ; 6 4 ; : 8 d V = 4 4 6 Ú = V 5 : ; 6 8 V < ; 6 4 6 V ; _ 4 ; 6 < 4 = = 4 p T V ; 9 = 4 h = V ; T 4 = V x V 5 4 6 6 4 u [c ; V Ø s ¡Ó � ¡Ê 4 6 Ø ò Ù Ú ò s � ò ` V < ; 9 < e 7 4 � Ú � s � � ¡Ó Ø ¡Ê � � [k 5 n V e 7 4 T < 8 4 5 6 < : ; ¡Ê : ; V 9 9 : 5 < 4 7 ; h : < ; 6 £ T 7 T 4 d < R h = V ; p Ø Ô � Ú � u [ � 7 4 = 4 9 6 = 4 = < 4 7 T 4£ e 7 V ; T ¡Ê Z 4 = < 4 7 8 4 h 8 >4 9 4 ; 6 4 = f >4 6 V 6 T 4 5 : ; 6 8 V < ; 6 4 4 ; o [

1.6. REPERE LIE A LA FACETTE. DIAGRAMME DE MOHR 9

¡� ² s ¡Ó p o Ô ¡Ê u s �� Ø� Ú � ��c ; V = 4 9 >4 e 7 V 6 < : ; 9 7 < i V ; 6 4 9� � ¡Ê � � s } � ô ò� Ù ô ò� � Ù ô ò� � � s }Ø s ¡Ó � ¡Ê � Ø s ô ò� Ø � Ù ô ò� � Ø � � Ù ô ò� � � Ø � � �Ø ò Ù Ú ò s � ò � Ø ò Ù Ú ò s ô ò� Ø ò� Ù ô ò� � Ø ò� � Ù ô ò� � � Ø ò� � � ®°5 f 4 9 6 7 ; 9 v 9 6 k4 d 4 = < ; >4 V < 8 4 4 ; ô ò� ` ô ò� � 4 6 ô ò� � � T : ; 6 = V 9 : = 7 6 < : ; 4 9 6

ô ò� s Ú ò Ù p Ø Ø � � u p Ø Ø � � � up Ø � Ø � � u p Ø � Ø � � �4 6 ô ò� � 4 6 ô ò� � � 9 : ; 6 : g 6 4 ; 7 9 h V 8 h 4 8 d 7 6 V 6 < : ; 5 < 8 5 7 = V < 8 4 T 4 9 < ; T < 5 4 9 [

~ � � � } [ � � � C H G N C G K N E N � D � Cz < : ; : 8 T : ; ; 4 = 4 9 5 : ; 6 8 V < ; 6 4 9 h 8 < ; 5 < h V = 4 9 Ø � � � � Ø � � � Ø � ` : ; T : < 6 V i : < 8Ú ò Ù p Ø Ø � � u p Ø Ø � � � u � àÚ ò Ù p Ø Ø � � � u p Ø Ø � u � àÚ ò Ù p Ø Ø � u p Ø Ø � � u � à3 4 9 >4 _ V = < 6 >4 9 T >4 | ; < 9 9 4 ; 6 T 4 9 T 4 d < R 5 4 8 5 = 4 9 4 6 = 4 9 < ; >4 _ V = < 6 >4 9 T 4 9 T 4 d < R T < 9 e 7 4 9 [ £ V h h V 8 6 < 4 ; 6kV = V Y : ; 4 n V 5 n 7 8 >4 4 T 4 = V | _ 7 8 4 } [ � [

10 1. CONTRAINTES

¾ ; 6 : 7 6 h : < ; 6 p Ø Ô � Ú � u < ; 6 >4 8 < 4 7 8 kV = V Y : ; 4 n V 5 n 7 8 >4 4 5 : 8 8 4 9 h : ; T � 9 : = 7 6 < : ; 9 h : 7 8 ¡Êp ô � Ô ô � � Ô ô � � � u [Ø 4 9 6 6 : 7 U : 7 8 9 5 : d h 8 < 9 4 ; 6 8 4 Ø � 4 6 Ø � � �4 6 � Ú � 4 9 6 6 : 7 U : 7 8 9 < ; x >4 8 < 4 7 8 kV Ú ! " # s ½ò p Ø � Ø � � � u [

� � $ �% � � � Î � � � � � � � � � � � � � � � � Ì � � � � � � � � � ê �j ; >4 6 V 6 h = V ; T 4 5 : ; 6 8 V < ; 6 4 9 4 h 8 >4 9 4 ; 6 4 e 7 V ; T 7 ; T 4 9 V m 4 9 4 9 6 h 8 < ; 5 < h V = [ c ; 5 n : < 9 <& ó s & � � � [ S 4 7 m 5 V 9 ? 9 : < 6 = 4 5 V 9 : k7 = V 5 : ; 6 8 V < ; 6 4 h 8 < ; 5 < h V = 4 Ø � � � 4 9 6 ; 7 = = 4 V = : 8 9 = 4 95 : ; 6 8 V < ; 6 4 9 9 : ; 6 6 : 7 6 4 9 5 : ; 6 4 ; 7 4 9 T V ; 9 = 4 h = V ; h 4 8 h 4 ; T < 5 7 = V < 8 4 kV & � � � ` h = V ; o & ½ & ò [ = 4 9Ø ó ¹ 9 : ; 6 6 : 7 9 ; 7 = 9 [ z : < 6 = 4 5 V 9 : k7 : ; ; 4 9 f < ; 6 >4 8 4 9 9 4 e 7 f V 7 m x V 5 4 6 6 4 9 T 4 ; : 8 d V = 4 ¡Ê T V ; 9= 4 h = V ; o & ½ & ò ` ¡Ê s p ô ½ Ô ô ò Ô à u [ ^ = : 8 9 = 4 9 Ø ó ¹ 9 : ; 6 6 : 7 9 ; 7 = 9 >4 _ V = 4 d 4 ; 6 [ Z 4 9 T 4 7 m 5 V 9 9 46 8 V < 6 4 ; 6 T V ; 9 = 4 h = V ; o & ½ & ò [ X : 7 6 4 x : < 9 T V ; 9 = 4 T 4 8 ; < 4 8 5 V 9 ` = f >4 6 V 6 5 : d h = 4 6 T 4 5 : ; 6 8 V < ; 6 4T 4 i 8 V x V < 8 4 < ; 6 4 8 i 4 ; < 8 >4 _ V = 4 d 4 ; 6 = V 5 : ; 6 8 V < ; 6 4 Ø � � � [3 4 9 8 4 = V 6 < : ; 9 e 7 < >4 6 V g = < 9 9 4 ; 6 = 4 9 i V = 4 7 8 9 h : 9 9 < g = 4 9 T 4 Ø 4 6 Ú 9 4 8 V d k4 ; 4 ; 6 kV ?

p Ø Ø � u p Ø Ø � � u Ù Ú ò s à� 7 4 = e 7 4 9 : < 6 ¡Ê ` = 4 h : < ; 6 £ V h h V 8 6 < 4 ; 6 V 7 5 4 8 5 = 4 T 4 W : n 8 5 : 8 8 4 9 h : ; T V ; 6 [>¾ e 7 V 6 < : ; h V 8 V d k4 6 8 < e 7 4 T 7 5 4 8 5 = 4 T 4 W : n 8 ?ô � s 5 : 9 ' 4 6 ô � � s 9 < ; ' V = : 8 9 Ø s Ø � 5 : 9 ò ' Ù Ø � � 9 < ; ò ' : 8 5 : 9 ò ' s ½ ( á â ) ò *ò 4 69 < ; ò ' s ½ + á â ) ò *ò ` T f : k7Ø s Ø � Ù Ø � �Ò Ù Ø � Ø � �Ò 5 : 9 Ò '

Ú ò s Ø ò� 5 : 9 ò ' Ù Ø ò� � 9 < ; ò ' Ø òs Ø ò� 5 : 9 ò ' Ù Ø ò� � 9 < ; ò ' Ø ò� 5 : 9 , ' Ù Ø ò� � 9 < ; , ' Ò Ø � Ø � � 9 < ; ò ' 5 : 9 ò 's p Ø ò� Ù Ø ò� � Ò Ø � Ø � � u 9 < ; ò ' 5 : 9 ò 's p Ø � Ø � � u ò ) - . / ò *ò � Ú � s 0000 Ø � Ø � �Ò 9 < ; Ò ' 0000^ i 4 5 7 ; 4 5 : ; i 4 ; 6 < : ; T 4 9 < _ ; 4 9 7 8 Ú : ; h 4 7 6 >4 6 4 ; T 8 4 V 7 5 4 8 5 = 4 4 ; 6 < 4 8 p 5 x [ X S u [ c ; h 4 7 6>4 _ V = 4 d 4 ; 6 >4 6 V g = < 8 = f >4 e 7 V 6 < : ; T 7 5 4 8 5 = 4 4 6 = 4 5 : ; 9 6 8 7 < 8 4 kV h V 8 6 < 8 T 4 = V 5 : ; ; V < 9 9 V ; 5 4 T 4 = f >4 6 V 6T 4 9 5 : ; 6 8 V < ; 6 4 9 T V ; 9 7 ; 8 4 h k4 8 4 e 7 4 = 5 : ; e 7 4 p 5 x [ X S u [

1.8. DECOMPOSITION DU TENSEUR DES CONTRAINTES 11

~ � � � } [ 1 � Ü N C G K N E N � D � C� � 2 � �� ë Î � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

j ; 6 4 ; 9 4 7 8 h 8 : h : 8 6 < : ; ; 4 = V 7 6 4 ; 9 4 7 8 7 ; < 6 >4 4 9 6 V h h 4 = >4 6 4 ; 9 4 7 8 9 h n >4 8 < e 7 4 p < = 4 9 6 < 9 : 6 8 : h 4 `= 4 9 h 8 : h 8 < >4 6 >4 9 9 : ; 6 < T 4 ; 6 < e 7 4 9 T V ; 9 6 : 7 6 4 9 = 4 9 T < 8 4 5 6 < : ; 9 u [ c ; T >4 5 : d h : 9 4 = 4 6 4 ; 9 4 7 8 T 4 95 : ; 6 8 V < ; 6 4 9 4 ; = V 9 : d d 4 T f 7 ; 6 4 ; 9 4 7 8 9 h n >4 8 < e 7 4 4 6 T f 7 ; 6 4 ; 9 4 7 8 T 4 6 8 V 5 4 ; 7 = = 4 V h h 4 = >4T >4 i < V 6 4 7 8 [z : < 6 3 = V 6 8 V 5 4 T 4 µµÓ ? 3 s X 8 ÿ µµÓ � s Ø ½ ½ Ù Ø ò ò Ù Ø ó ó ` V = : 8 9µµÓ s 3î µµ4 Ù µµÓ 5

: k7 µµ4 4 9 6 = 4 6 4 ; 9 4 7 8 < T 4 ; 6 < 6 >4 p 6 : 7 9 = 4 9 >4 = >4 d 4 ; 6 9 9 : ; 6 ; 7 = 9 9 V 7 x = 4 9 >4 = >4 d 4 ; 6 9 T < V _ : ; V 7 m >4 _ V 7 mkV } u 4 6 X 8 ÿ µµÓ 5 � s à [3 V 6 8 V 5 4 4 9 6 7 ; < ; i V 8 < V ; 6 T : ; 5 ? Ø ½ ½ Ù Ø ò ò Ù Ø ó ó s Ø � Ù Ø � � Ù Ø � � �µµÓ 5 V d å4 d 4 9 T < 8 4 5 6 < : ; 9 h 8 : h 8 4 9 e 7 4 µµÓ V i 4 5 = 4 9 i V = 4 7 8 9 h 8 : h 8 4 9 ? Ø � 6ó ` Ø � � 6ó 4 6 Ø � � � 6ó [� 7 V ; T µµÓ 5 7 µµ� V = : 8 9 Ø s 6ó 4 6 Ú s à e 7 4 = e 7 4 9 : < 6 ¡Ê [ Z f 4 9 6 = 4 5 V 9 T 4 = V 9 6 V 6 < e 7 4 T 4 9y 7 < T 4 9 [

12 1. CONTRAINTES

13

� � � � * � � � 8

9 :� ; . - < � , 2 . + �

Ë � � � �� Î � � � � ë � � � � � � �� ë � � � � � � � � � � � � Í � � Î � � � �z : < 6 7 ; h : < ; 6 o T f 7 ; 9 : = < T 4 8 4 h >4 8 >4 T V ; 9 7 ; 8 4 h k4 8 4 p r & ½ & ò & ó u h V 8 9 4 9 5 : : 8 T : ; ; >4 4 9o p & ½ Ô & ò Ô & ó u : 7 o p ¡= u [ ¡= 4 9 6 = 4 i 4 5 6 4 7 8 ¡� [ S 7 x V < 6 T 4 9 : = = < 5 < 6 V 6 < : ; 9 d >4 5 V ; < e 7 4 9 ` = 49 : = < T 4 9 4 T >4 x : 8 d 4 4 6 4 ; h V 8 6 < 5 7 = < 4 8 = 4 h : < ; 6 o 9 4 T >4 h = V 5 4 4 ; o õ [

~ � � � Ò [ } �

14 2. DEFORMATIONS

c ; V h h 4 = = 4 i 4 5 6 4 7 8 T >4 h = V 5 4 d 4 ; 6 = 4 i 4 5 6 4 7 8 ¡ õ T 4 5 : d h : 9 V ; 6 4 9©ª«

> ½ p & ½ Ô & ò Ô & ó u> ò p & ½ Ô & ò Ô & ó u> ó p & ½ Ô & ò Ô & ó u : 7 ¡? p ¡= ub 4 d V 8 e 7 4 9 ?R 4 ; 4 d h = : v V ; 6 = V ; : 6 V 6 < : ; & Ô @ Ô A : ; 7 6 < = < 9 4 8 V > Ô B Ô C h : 7 8 = 4 9 5 : d h : 9 V ; 6 4 9 T 7 i 4 5 6 4 7 8T >4 h = V 5 4 d 4 ; 6 [R 4 ; d >4 5 V ; < e 7 4 T 4 9 y 7 < T 4 9 : ; 7 6 < = < 9 4 h = 7 6 å: 6 = 4 i 4 5 6 4 7 8 i < 6 4 9 9 4 T 4 T >4 h = V 5 4 d 4 ; 6 [c ; < ; 6 8 : T 7 < 6 T 4 7 m ; : 6 < : ; 9 ?V u V = = : ; _ 4 d 4 ; 6 7 ; < 6 V < 8 4 : 7 T < = V 6 V 6 < : ;9 : < 6 T 4 7 m h : < ; 6 9 i : < 9 < ; 9 o 4 6 D V i 4 5 ¡Ê s ¡ EF G i 4 5 6 4 7 8 7 ; < 6 V < 8 4 T V ; 9 = V T < 8 4 5 6 < : ; o D [o 9 4 T >4 h = V 5 4 4 ; o õ 4 6 D 4 ; D õ [ c ; V h h 4 = = 4 V = = : ; _ 4 d 4 ; 6 7 ; < 6 V < 8 4 4 ; o T V ; 9 = V T < 8 4 5 6 < : ; ¡Ê = V e 7 V ; 6 < 6 >4 ? H p o Ô ¡Ê u s = < dF I G o õ D õ o Do D

~ � � � Ò [ Ò �H p o Ô ¡Ê u 4 9 6 >4 _ V = 4 d 4 ; 6 V h h 4 = >4 T < = V 6 V 6 < : ; : 7 V = = : ; _ 4 d 4 ; 6 8 4 = V 6 < x [ Z f 4 9 6 7 ; 4 e 7 V ; 6 < 6 >4 9 V ; 97 ; < 6 >4 [g u T < 9 6 : 8 9 < : ; : 7 _ = < 9 9 4 d 4 ; 6z : < 4 ; 6 T 4 7 m h : < ; 6 9 D ½ 4 6 D ò i : < 9 < ; 9 T 4 o 4 6 6 4 = 9 e 7 4 ¡ E ð J ¡ E ñ [ z : < 4 ; 6 ¡Ê ð 4 6 ¡Ê ñ = 4 9

2.2. ETAT DE DEFORMATION EN UN POINT 15

i 4 5 6 4 7 8 9 7 ; < 6 V < 8 4 9 T V ; 9 = 4 9 T < 8 4 5 6 < : ; 9 ¡ E ð 4 6 ¡ E ñ [ z : 7 9 = f V 5 6 < : ; T 4 9 4 { : 8 6 9 4 m 6 >4 8 < 4 7 8 9 ?©ª«

o ¡ o õD ½ ¡ D õ½D ò ¡ D õò

~ � � � Ò [ î �z : < 6 ' = f V ; _ = 4 p ¡ õ E õð Ô ¡ õ E õñ u ` : ; V h h 4 = = 4 T < 9 6 : 8 6 < : ; : 7 _ = < 9 9 4 d 4 ; 6 4 ; o 9 7 4 K p o Ô ¡Ê ð Ô ¡Ê ñ u s = < dL M N OL / N O P QÒ ' R

Ë � Ë �% � � � � � � �� ë � � � � � � � � � Î � � � �z : < 6 o h : < ; 6 d V 6 >4 8 < 4 = T 4 5 : : 8 T : ; ; >4 4 9 p & ½ Ô & ò Ô & ó u e 7 < 9 4 T >4 h = V 5 4 4 ; o õ [ c ; V = 4 i 4 5 6 4 7 8T >4 h = V 5 4 d 4 ; 6 ?

¡ õ s 00000000> ½ p & ½ Ô & ò Ô & ó u> ò p & ½ Ô & ò Ô & ó u> ó p & ½ Ô & ò Ô & ó u s ¡? p ¡= u

4 6 9 : < 6 D 7 ; h : < ; 6 i : < 9 < ; T 4 o 6 4 = e 7 4 9 4 9 5 : : 8 T : ; ; >4 4 9 9 : < 4 ; 6 p & ½ Ù T & ½ Ô & ò Ù T & ò Ô & ó Ù T & ó u: 7 ¡= Ù T ¡= [ í = 9 4 T >4 h = V 5 4 4 ; D õ 6 4 = e 7 4 ¡E E õ s ¡? p ¡= Ù T ¡= u [

16 2. DEFORMATIONS

c 8 ¡? p ¡= Ù T ¡= u s ¡? p ¡= u Ù T ¡? [ T : ; 5 ¡E E õ s 00000000

> ½ Ù T > ½> ò Ù T > ò> ó Ù T > óV i 4 5©ª¸«

T > ½ s S > ½S & ½ T & ½ Ù S > ½S & ò T & ò Ù S > ½S & ó T & óT > ò s S > òS & ½ T & ½ Ù S > òS & ò T & ò Ù S > òS & ó T & óT > ó s S > óS & ½ T & ½ Ù S > óS & ò T & ò Ù S > óS & ó T & óe 7 < h 4 7 6 9 f >4 5 8 < 8 4 4 ; 5 : 8 4 T ¡? s º» ù ö S > »S & ö T & ö ¡Ä »c ; h 4 7 6 >4 5 8 < 8 4 9 : 7 9 x : 8 d 4 d V 6 8 < 5 < 4 = = 4 ?

T ¡? s��

S > ½S & ½ S > ½S & ò S > ½S & óS > òS & ½ S > òS & ò S > òS & óS > óS & ½ S > óS & ò S > óS & ó

�� T & ½T & òT & ó

��: 7 9 : 7 9 x : 8 d 4 6 4 ; 9 : 8 < 4 = = 4 ? T ¡? s µµT � T ¡=µµT 4 9 6 = 4 6 4 ; 9 4 7 8 T 4 9 T >4 x : 8 d V 6 < : ; 9 [b 4 d V 8 e 7 4 ?¾ ; d >4 5 V ; < e 7 4 T 4 9 y 7 < T 4 9 : k7 = 4 9 T >4 x : 8 d V 6 < : ; 9 ; 4 9 : ; 6 h V 9 9 6 V 6 < e 7 4 9 ` : ; ; 4 T >4 6 4 8 d < ; 4h V 9 T 4 6 4 ; 9 4 7 8 T 4 9 T >4 x : 8 d V 6 < : ; 9 d V < 9 T 4 9 6 V 7 m p i < 6 4 9 9 4 9 u T 4 T >4 x : 8 d V 6 < : ; [ í = 9 f V _ < 6 T 4 = VT >4 8 4 4 6 4 d h : 8 4 = = 4 T 4 9 _ 8 V ; T 4 7 8 9 h 8 >4 5 >4 T 4 ; 6 4 9 [z : < 6 U µµT = 4 6 8 V ; 9 h : 9 >4 T 4 µµT ?

U µµT s��

S > ½S & ½ S > òS & ½ S > óS & ½S > ½S & ò S > òS & ò S > óS & òS > ½S & ó S > òS & ó S > óS & ó

��c ; < ; 6 8 : T 7 < 6 T 4 7 m ; : 7 i 4 V 7 m 6 4 ; 9 4 7 8 9 ?= f 7 ; 9 v d >4 6 8 < e 7 4 µµV s ½ò p µµT Ù U µµT u4 6 = f V 7 6 8 4 V ; 6 < 9 v d >4 6 8 < e 7 4 µµ× s ½ò p µµT U µµT u [

2.3. INTERPETATION DU TENSEUR DES DEFORMATIONS 17

Ë � ç W � � � � Î �� ë � � � � � �µµT 4 9 6 = V 9 : d d 4 T 4 µµV 4 6 µµ× T : ; 6 = 4 9 5 : d h : 9 V ; 6 4 9 9 : ; 6 8 4 9 h 4 5 6 »S & ö Ù S > öS & » Y 4 6 K » ö s }Ò X S > »S & ö S > öS & » Y^ < ; 9 < ¡? p ¡= Ù T ¡= u s ¡? p ¡= u Ù µµV � T ¡= Ù µµ× � T ¡= : k7

¡? p ¡= u ? 6 8 V ; 9 = V 6 < : ; 9 V ; 9 T >4 x : 8 d V 6 < : ;µµV � T ¡= ? T >4 x : 8 d V 6 < : ; h 7 8 4µµ× � T ¡= ? 8 : 6 V 6 < : ; h 7 8 4Z [ \ [ ] ^_ ` a b c b a ` c d e c a f gg_ b c e b c h i f j k ` l i d e m a f c e^ ; V = v 9 4 T 7 6 4 8 d 4 H

½ ½ ?z : < 6 µµV T V ; 9 7 ; 5 V 9 : k7 6 : 7 9 = 4 9 6 4 8 d 4 9 9 : ; 6 ; 7 = 9 9 V 7 x H½ ½ [ ] : 7 8 9 < d h = < | 4 8 : ; 9 7 h h : 9 4>4 _ V = 4 d 4 ; 6 e 7 4 o õ 7 o T : ; 5 e 7 4 ¡? s ¡� [ z : < 6 D 7 ; h : < ; 6 i : < 9 < ; T 4 o 9 7 8 = f V m 4 r & ½ [ ¡ E s T ¡= [

~ � � � Ò [ �

¡E E õ s µµV � T ¡= s ��H½ ½ à àà à àà à à

�� T & ½àà�� s ��

H½ ½ T & ½àà

�� s H½ ½ o D ¡Ä ð

T f : k7 H½ ½ s G G nF G s F G n + F GF G 4 6 9 < D ¡ o V = : 8 9H

½ ½ s H p o Ô ¡Ä ð uH½ ½ 8 4 h 8 >4 9 4 ; 6 4 = f V = = : ; _ 4 d 4 ; 6 8 4 = V 6 < x T V ; 9 = V T < 8 4 5 6 < : ; ¡Ä ð 4 6 T 4 d å4 d 4H

ò ò s H p o Ô ¡Ä ñ uHó ó s H p o Ô ¡Ä Å u

18 2. DEFORMATIONS

~ � � � Ò [ � �z : < 6 = 4 8 4 5 6 V ; _ = 4 o o ½ D o ò T 4 5 å: 6 >4 o ½ ` o ò [3 f V < 8 4 T 4 o o ½ D o ò s p s o ½ o ò 4 6 9 4 6 8 V ; 9 d x : 8 d 4 4 ; V < 8 4 T 4 o o õ½ D õ o õò s p õ sp H ½ ½ Ù } u o ½ p H ò ò Ù } u o ò [3 V i V 8 < V 6 < : ; 8 4 = V 6 < i 4 T f V < 8 4 4 9 6 ?q pp s p H ½ ½ Ù } u o ½ p H ò ò Ù } u o ò o ½ o òo ½ o ò s H

½ ½ ÙHò ò Ù

H½ ½

Hò ò r H

½ ½ ÙHò ò

5 V 8 H½ ½

Hò ò 4 9 6 7 ; < ; | ; < d 4 ; 6 h 4 6 < 6 T 7 9 4 5 : ; T : 8 T 8 4 [¾ ; _ >4 ; >4 8 V = < 9 V ; 6 ? s ÀÀ s H

½ ½ ÙHò ò Ù

Hó ó s X 8 ÿ µµV � s t= V i V 8 < V 6 < : ; 8 4 = V 6 4 5 8 < 6 7 8 4 ?t s ¡u � ¡? s T ½S & ½ Ù S > òS & ò Ù S > óS & ó^ ; V = v 9 4 T 4 9 6 4 8 d 4 9 ; : ; R T < V _ : ; V 7 m H

½ ò s Hò ½ [z : < 6 µµV T V ; 9 7 ; 5 V 9 : k7 6 : 7 9 = 4 9 6 4 8 d 4 9 9 : ; 6 ; 7 = 9 9 V 7 x H

½ ò s Hò ½ 4 6 : k7 ¡? s ¡Æ [ z : < 6 D ½i : < 9 < ; T 4 o 9 7 8 r & ½ 4 6 D ò i : < 9 < ; T 4 o 9 7 8 r & ò [

¡E ð E õð s µµV � T ¡= s �� à H½ ò àH

ò ½ à àà à à�� T & ½àà

�� s �� àHò ½ T & ½à

�� s Hò ½ T & ½ ¡Ä ñ

¡E ñ E õñ s µµV � T ¡= s �� à H½ ò àH

ò ½ à àà à à�� àT & òà

�� s ��H½ ò T & òàà

�� s Hò ½ T & ò ¡Ä ð

2.3. INTERPETATION DU TENSEUR DES DEFORMATIONS 19

~ � � � Ò [ � �3 f V ; _ = 4 p ¡ E ð Ô ¡ E ñ u h V 9 9 4 T 4 vò kV ' s p ¡ E õð Ô ¡ E õñ u [ 3 V i V 8 < V 6 < : ; T 4 = f V ; _ = 4 4 9 6vò ' [ S f V 7 6 8 4 h V 8 6 6 V ; t ½ s G M ¹ nMF G M s w / M x y Mx y M s H

ò ½ [ 3 4 9 V ; _ = 4 9 >4 6 V ; 6 h 4 6 < 6 9 : ; V 9 9 < d < = 4 V ; _ = 44 ; 8 V T < V ; 4 6 6 V ; _ 4 ; 6 4 [ S : ; 5 t ½ s Hò ½ 4 6 t ò s H

½ ò [ = V i V 8 < V 6 < : ; T f V ; _ = 4 vò ' s Ò H½ ò [ c 8K p o Ô ¡Ä ð Ô ¡Ä ñ u s = < d L M N OL / N O z vò ' { s Ò H

½ òÒ H½ ò 8 4 h 8 >4 9 4 ; 6 4 = V T < 9 6 : 8 6 < : ; K p o Ô ¡Ä ð Ô ¡Ä ñ u [S 4 d V ; < k4 8 4 _ >4 ; >4 8 V = 4 Ò H

» ö 8 4 h 8 >4 9 4 ; 6 4 = V T < 9 6 : 8 6 < : ; K p o Ô ¡Ä ø Ô ¡Ä ÷ u T 4 o 9 7 4 _ V = 4 d 4 ; 6 T < 9 6 : 8 6 < : ; V ; _ 7 = V < 8 4 : 7 T < = V 6 V 6 < : ; V ; _ 7 = V < 8 4 [b 4 d V 8 e 7 4 ? = f V ; _ = 4 ' T < d < ; 7 4 9 < H» ö | à [

Z [ \ [ Z ^_ ` a b c b a ` c d e c a f gg} b c e f i ` k ` l i d e m a f c eµµ× 4 9 6 V ; 6 < 9 v d >4 6 8 < e 7 4 < = v V T : ; 5 î 5 : 4 ï 5 < 4 ; 6 9 ; : ; ; 7 = 9 T < 9 6 < ; 5 6 9 ?K ½ s ½ò P ~ � �~ y / ~ � /~ y � R s K ó ò s

K ò óK ò s ½ò P ~ � M~ y � ~ � �~ y M R s K ½ ó s K ó ½K ó s ½ò P ~ � /~ y M ~ � M~ y / R s K ò ½ s K ½ ò

9 : < 6µµ× s �� à

K ó K òK ó à K ½

K ò K ½ à��

3 4 9 K » h 4 7 i 4 ; 6 å4 6 8 4 5 : ; 9 < T >4 8 >4 4 9 5 : d d 4 = 4 9 5 : d h : 9 V ; 6 4 9 T f 7 ; i 4 5 6 4 7 8 p : ; T < 6 h 9 4 7 T : Ri 4 5 6 4 7 8 u = 4 i 4 5 6 4 7 8 8 : 6 V 6 < : ; ¡� s ½ò ¡= � Û ¡? s ½ò ¡u ³ ¡? [ Z f 4 9 6 = f : 8 < _ < ; 4 T 7 d : 6 8 : 6 V 6 < : ; ; 4 = [

20 2. DEFORMATIONS

¾ { 4 6 9 7 8 7 ; i 4 5 6 4 7 8 >4 = >4 d 4 ; 6 V < 8 4 T ¡= ?µµ× � T ¡= s �� à

K ó K òK ó à K ½

K ò K ½ à�� T & ½T & òT & ó

�� s �� K ó T & ò Ù K ò T & óK ó T & ½

K ½ T & ó K ò T & ½ Ù K ½ T & ò

��e 7 < 9 : ; 6 = 4 9 5 : d h : 9 V ; 6 4 9 T 7 h 8 : T 7 < 6 i 4 5 6 : 8 < 4 = T 4 ¡� V i 4 5 T ¡= [

µµ× � T ¡= s ¡� ³ T ¡= s }Ò p ¡u ³ ¡? u ³ T ¡=b 4 d V 8 e 7 4 ? 4 ; d >4 5 V ; < e 7 4 T 4 9 y 7 < T 4 9 : k7 : ; 5 : ; 9 < T k4 8 4 h = 7 6 å: 6 = 4 9 i < 6 4 9 9 4 9 : 7 6 V 7 mT 4 T >4 x : 8 d V 6 < : ; 9 e 7 4 = 4 9 T >4 x : 8 d V 6 < : ; 9 ` : ; 7 6 < = < 9 4 = 4 9 T >4 8 4 4 9 6 4 d h : 8 4 = = 4 9 T 4 9 _ 8 V ; T 4 7 8 9h 8 >4 5 >4 T 4 ; 6 4 9 [ ^ = : 8 9 = 4 i 4 5 6 4 7 8 6 V 7 m T 4 8 : 6 V 6 < : ; 4 9 6 ¡� s ½ò ¡= � Û ¡� s ½ò ¡u ³ ¡�3 4 9 5 : d h : 9 V ; 6 4 9 T 7 6 4 ; 9 4 7 8 µµ× 9 f < ; 6 4 8 h 8 k4 6 4 ; 6 5 : d d 4 T 4 9 V ; _ = 4 9 T 4 8 : 6 V 6 < : ;< ; | ; < 6 >4 9 < d V = 4 = : 5 V = 4 9 V ; 9 T >4 x : 8 d V 6 < : ; [ ] : 7 8 = f < ; 6 4 8 h 8 >4 6 V 6 < : ; : ; h 8 : 5 k4 T 4 5 : d d 4 h : 7 8 = 46 4 ; 9 4 7 8 ¡V [z : < 6 µµ× 6 4 = e 7 4 9 4 7 = 9 K ½ ò s

K ò ½ 9 : ; 6 ; : ; ; 7 = 9 [ ¾ 6 9 : < 6 D ½ i : < 9 < ; T 4 o 9 7 8 r & ½ 4 6 D ò9 7 8 r & ò ` V = : 8 9 ? ¡E ð E õð s µµ× � T ¡= s �� à

K ò ½ àK ò ½ à àà à à�� T & ½àà

�� s �� àK ò ½ T & ½à��

¡E ñ E õñ s µµ× � T ¡= s �� à K ò ½ àK ò ½ à àà à à

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K ò ½ T & òàà��

c ; i >4 8 < | 4 9 7 8 = 4 | _ 7 8 4 Ò [ 1 ` e 7 f < = 9 f V _ < 6 g < 4 ; T f 7 ; 4 8 : 6 V 6 < : ; T f V ; _ = 4 K ò ½ s K ó [ 3 4 i 4 5 6 4 7 88 : 6 V 6 < : ; 4 9 6 g < 4 ; ¡� s K ó ¡Ä ÅË � ú � �� ë Î � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ë � � � � � �Î � � � �

] 7 < 9 e 7 4 9 4 7 = µµV 8 4 h 8 >4 9 4 ; 6 4 = 4 9 T >4 x : 8 d V 6 < : ; 9 h 7 8 4 9 : ; ; 4 5 : ; 9 < T k4 8 4 e 7 4 = 7 < [ S 4 = V d å4 d 4d V ; < k4 8 4 e 7 4 = 4 6 4 ; 9 4 7 8 T 4 9 5 : ; 6 8 V < ; 6 4 9 : ; h 4 7 6 = 4 T >4 5 : d h : 9 4 8 4 ; 9 : d d 4 T f 7 ; 6 4 ; 9 4 7 89 h n >4 8 < e 7 4 4 6 T f 7 ; T >4 i < V 6 4 7 8 : 7 6 4 ; 9 4 7 8 T 4 6 8 V 5 4 ; 7 = = 4 [µµV s tî µµ4 Ù µµV �

2.5. REPERE LIE A LA FACETTE 21

~ � � � Ò [ 1 �µµV � 4 9 6 V h h 4 = >4 T >4 i < V 6 4 7 8 5 V 8 9 V 6 8 V 5 4 >4 6 V ; 6 ; 7 = = 4 < = ; f v V h V 9 T 4 T < = V 6 V 6 < : ; 5 7 g < e 7 4 ` < = ; 45 : 8 8 4 9 h : ; T e 7 f kV T 4 9 T < 9 6 : 8 9 < : ; 9 p T >4 i < V 6 < : ; 9 u [ 3 V 6 8 V 5 4 >4 6 V ; 6 7 ; < ; i V 8 < V ; 6 h V 8 5 n V ; _ 4 d 4 ; 6T 4 8 4 h k4 8 4 ` = V T < = V 6 V 6 < : ; 5 7 g < e 7 4 t s s ÀÀ 4 9 6 < ; i V 8 < V ; 6 4 [3 4 6 4 ; 9 4 7 8 µµV >4 6 V ; 6 9 v d >4 6 8 < e 7 4 ` 9 4 9 i V = 4 7 8 9 h 8 : h 8 4 9 9 : ; 6 8 >4 4 = = 4 9 4 6 9 4 9 T < 8 4 5 6 < : ; 9 h 8 : h 8 4 9: 8 6 n : _ : ; V = 4 9 T 4 7 m kV T 4 7 m [ 3 4 9 T >4 x : 8 d V 6 < : ; 9 8 4 = V 6 4 4 9 H � ` H � � 4 6H � � � [ ] : 7 8 >4 6 7 T < 4 8 = f >4 6 V 6 T 4 T >4 x : 8 d V 6 < : ; 4 ; 7 ; h : < ; 6 : ; 7 6 < = < 9 4 = 4 x : 8 d V = < 9 d 4 T 4 9 5 4 8 5 = 4 9 T 4W : n 8 T 4 d V ; < k4 8 4 < T 4 ; 6 < e 7 4 V 7 m 5 : ; 6 8 V < ; 6 4 9 [

Ë � � � � Î �� z : < 6 T ¡? = 4 i 4 5 6 4 7 8 T >4 x : 8 d V 6 < : ; ` ¡Ê = 4 i 4 5 6 4 7 8 7 ; < 6 V < 8 4 T V ; 9 = V T < 8 4 5 6 < : ; T ¡= [ c ;5 : ; 9 < T k4 8 4 = V x V 5 4 6 6 4 ; : 8 d V = 4 kV ¡Ê [ c ; V T ¡? s µµV � T ¡= [ c ; < ; 6 8 : T 7 < 6 = V 5 : d h : 9 V ; 6 4 ; : 8 d V = 4H

¹ s T ¡? � ¡Ê 4 6 = V 5 : d h : 9 V ; 6 4 6 V ; _ 4 ; 6 < 4 = = 4 Ã 6 4 = = 4 e 7 4 H ò¹ Ù Ã ò s p T > u ò [H¹ 8 4 h 8 >4 9 4 ; 6 4= f V = = : ; _ 4 d 4 ; 6 8 4 = V 6 < x H p o Ô ¡Ê u 4 6 Ã = 4 _ = < 9 9 4 d 4 ; 6 h V 8 V = = k4 = 4 kV = V x V 5 4 6 6 4 [ 3 4 T < V _ 8 V d d 4 T 4W : n 8 9 4 6 8 V 5 4 T V ; 9 = 4 h = V ; p H ¹ Ô �Ã � u [

22 2. DEFORMATIONS

23

� � � � * � � � �� . 2 / � 1 . < � . - , � < � + , � � 1 � :� < � :� � � � , 2 � 0 � 1 � � � � 2 � 0 �

ç � � � � � � � � � � � �c ; i V 5 : ; 9 < T >4 8 4 8 = 4 T : d V < ; 4 >4 = V 9 6 < e 7 4 T 4 9 T >4 x : 8 d V 6 < : ; 9 ? 8 >4 i 4 8 9 < g < = < 6 >4 4 6 = < ; >4 V 8 < 6 >4 [ 3 V8 4 = V 6 < : ; = < ; >4 V < 8 4 4 ; 6 8 4 5 : ; 6 8 V < ; 6 4 9 4 6 T >4 x : 8 d V 6 < : ; 9 4 6 T : ; ; >4 4 h V 8 = V = : < T 4 � : : � 4 [

Ø » ö s º� ù � � » ö � � H � �3 4 9 5 : 4 ï 5 < 4 ; 6 9 � » ö � � 9 : ; 6 = 4 9 5 : d h : 9 V ; 6 4 9 T f 7 ; 6 4 ; 9 4 7 8 T f : 8 T 8 4 V h h 4 = >4 6 4 ; 9 4 7 8 T 4 8 < _ < T < 6 >4 [3 V 8 4 = V 6 < : ; < ; i 4 8 9 4 T >4 | ; < 6 = 4 6 4 ; 9 4 7 8 T f >4 = V 9 6 < 5 < 6 >4 [ ^ h 8 < : 8 < 5 4 6 4 ; 9 4 7 8 5 : d h : 8 6 4 û � û s � }5 : d h : 9 V ; 6 4 9 [ Z 4 h 4 ; T V ; 6 < = 4 9 6 ; >4 5 4 9 9 V < 8 4 d 4 ; 6 9 v d >4 6 8 < e 7 4 4 ; ü 4 6 ý ` V < ; 9 < e 7 f 4 ; � 4 6 o5 : d d 4 Ø » ö 4 6 � � � [ 3 V h = 7 h V 8 6 T 4 9 d V 6 >4 8 < V 7 m 9 : ; 6 < 9 : 6 8 : h 4 9 [ S V ; 9 5 4 9 5 : ; T < 6 < : ; 9 = 4 ; : d g 8 4T 4 5 : d h : 9 V ; 6 4 9 < ; T >4 h 4 ; T V ; 6 4 9 4 9 6 8 V d 4 ; >4 kV Ò [� » ö � � s � � » ö � � � Ù � p � » � � ö � Ù � » � � ö � u: k7 � » ö 4 9 6 = 4 9 v d g : = 4 T 4 � 8 : ; 4 5 � 4 8 e 7 4 = V 9 6 < 5 < 6 >4 T 4 3 V d >4 [= V = : < T 4 � : : � 4 9 f >4 5 8 < 6 V = : 8 9 ?

Ø » ö s º� ù � p � � » ö � � � Ù � p � » � � ö � Ù � » � � ö � u u H � �Z V = 5 7 = : ; 9 ºö � » ö H ö � [ ºö � » ö H ö � s � » » H » � s H

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24 3. LOI DE COMPORTEMENT - SCHEMA ELASTIQUE CLASSIQUE

= 4 9 v d g : = 4 T 4 � 8 : ; 4 5 � 4 8 x : 8 5 4 = f >4 _ V = < 6 >4 T 4 9 T 4 7 m < ; T < 5 4 9 T V ; 9 7 ; 4 9 : d d V 6 < : ; [c ; 4 ; T >4 T 7 < 6 e 7 4 º� � � � � H � � s º� H � � s X 8 ÿ µµV � s tS : ; 5 Ø » ö s � � » ö º� ù � � � � H � � Ù � º� ù � p � » � � ö � H � � Ù � » � � ö � H � � us � t � » ö Ù � º� � » � º� � ö � H � � Ù � º� � ö � º� � » � H � �s � t � » ö Ù � º� � » � H � ö Ù � º� � ö � H � »s � t � » ö Ù � H

» ö Ù � Hö »5 4 e 7 < T : ; ; 4 T : ; 5

Ø » ö s � t � » ö Ù Ò � H» öµµÓ s � t µµ4 Ù Ò � µµV

e 7 < 4 9 6 = f 4 m h 8 4 9 9 < : ; 6 4 ; 9 : 8 < 4 = = 4 T 4 = V = : < T 4 � : : � 4 h : 7 8 7 ; d < = < 4 7 >4 = V 9 6 < e 7 4 < 9 : 6 8 : h 4 [ç � Ë � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

¾ m h >4 8 < d 4 ; 6 V = 4 d 4 ; 6 : ; ; 4 d 4 9 7 8 4 h V 9 T < 8 4 5 6 4 d 4 ; 6 = 4 9 5 : 4 ï 5 < 4 ; 6 9 � 4 6 � [ z < : ; 9 : 7 d 4 67 ; 4 >4 h 8 : 7 i 4 6 6 4 kV 7 ; 4 6 8 V 5 6 < : ; = : ; _ < 6 7 T < ; V = 4 ` 4 = = 4 9 f V = = : ; _ 4 T V ; 9 = V d å4 d 4 T < 8 4 5 6 < : ; [

~ � � � î [ } �3 4 8 V h h : 8 6 T 4 = V 6 8 V 5 6 < : ; kV = f V = = : ; _ 4 d 4 ; 6 8 4 = V 6 < x 9 f V h h 4 = = 4 d : T 7 = 4 T 4 � : 7 ; _ [

3.2. MODULE DE YOUNG ET COEFFICIENT DE POISSON 25

Ñ s ¡ ´q o ¡ o s Ø ½ ½H½ ½c ; : g 9 4 8 i 4 4 ; d å4 d 4 6 4 d h 9 T 4 9 d : T < | 5 V 6 < : ; 9 p 8 >4 6 8 >4 5 < 9 9 4 d 4 ; 6 9 u T V ; 9 = 4 9 V 7 6 8 4 9 T < 8 4 5 6 < : ; 9 [�� Ø ½ ½ à àà à àà à à

�� s � t �� } à àà } àà à }�� Ù Ò � ��

H½ ½

H½ ò

H½ óH

½ òHò ò

Hò óH

½ óHò ó

Hó ó

��5 4 e 7 < T : ; ; 4 h : 7 8 = 4 9 6 4 8 d 4 9 T < V _ : ; V 7 m ?

Ø ½ ½ s � t Ù Ò � H½ ½ s p � Ù Ò � u

H½ ½ Ù � H

ò ò Ù � Hó ó s Ñ H

½ ½à s � t Ù Ò � Hò ò s � H

½ ½ Ù p � Ù Ò � uHò ò Ù � H

ó óà s � t Ù Ò � Hó ó s � H

½ ½ Ù � Hò ò Ù p � Ù Ò � u

Hó ó

3 4 9 6 4 8 d 4 9 ; : ; T < V _ : ; V 7 m T : ; ; 4 ; 6 = V ; 7 = = < 6 >4 T 4 H» ö = : 8 9 e 7 4 ü ¢s ý [ 3 4 9 T 4 7 m T 4 8 ; < k4 8 4 9>4 e 7 V 6 < : ; 9 9 : ; 6 < T 4 ; 6 < e 7 4 9 4 ; h 4 8 d 7 6 6 V ; 6 H

ò ò 4 6 Hó ó [ ¾ = = 4 9 T : ; ; 4 ; 6 7 ; 4 8 4 = V 6 < : ; T 4h 8 : h : 8 6 < : ; ; V = < 6 >4 4 ; 6 8 4 H

ò ò `Hó ó 4 6 H

½ ½ [ z : < 6 £ 5 4 5 : 4 ï 5 < 4 ; 6 T 4 h 8 : h : 8 6 < : ; ; V = < 6 >4 [ £ 4 9 6V h h 4 = >4 5 : 4 ï 5 < 4 ; 6 T 4 ] : < 9 9 : ; [ Hò ò s H

ó ó s £ H½ ½^ = : 8 9 : ; : g 6 < 4 ; 6 ? Ø ½ ½ s p � Ù Ò � Ò � £ uH½ ½ s Ñ H

½ ½à s � p � Ù Ò � u £ � £= V T 4 7 m < k4 d 4 >4 e 7 V 6 < : ; T : ; ; 4 £ 4 ; x : ; 5 6 < : ; T 4 � 4 6 � ` 5 4 6 6 4 4 m h 8 4 9 9 < : ; 7 6 < = < 9 >4 4 T V ; 9 = Vh 8 4 d < k4 8 4 >4 e 7 V 6 < : ; T : ; ; 4 Ñ ?Ñ s � î � Ù Ò �� Ù � 4 6 £ s �Ò p � Ù � u

c ; : g 6 < 4 ; 6 >4 _ V = 4 d 4 ; 6 = 4 9 8 4 = V 6 < : ; 9 < ; i 4 8 9 4 9 ?� s Ñ £p } Ò £ u p } Ù £ u 4 6 � s }Ò Ñ} Ù £

Ø 4 9 6 4 ; h V 9 5 V = ` H 4 9 6 9 V ; 9 T < d 4 ; 9 < : ; ` T : ; 5 � ` � 4 6 Ñ 9 : ; 6 4 ; h V 9 5 V = [ £ 4 9 6 9 V ; 9 T < d 4 ; 9 < : ; [¤ V = 4 7 8 9 5 : 7 8 V ; 6 4 9 T 7 d : T 7 = 4 T 4 � : 7 ; _ 4 6 T 7 5 : 4 ï 5 < 4 ; 6 T 4 ] : < 9 9 : ; ?


W V 6 >4 8 < V 7 W [ T 4 � : 7 ; _ Ñ p ¥ ] V u Z : 4 x [ T 4 ] : < 9 9 : ; £Z V : 7 6 5 n : 7 5 à ` à } à ` �¦ >4 6 : ; î à à ` } �¦ : < 9 } } R } ] = : d g } � à ` î^ 5 < 4 8 Ò à à à ` îZ 7 4 8 < e 7 4 9 4 6 T >4 i < V 6 4 7 8 9 ?µµV s tî µµ4 Ù µµV 5µµÓ s 3î µµ4 Ù µµÓ 5V = : 8 9 = V = : < T 4 � : : � 4 T 4 i < 4 ; 6 3î µµ4 Ù µµÓ 5 s � t µµ4 Ù Ò � X tî µµ4 Ù µµV 5 Yh V 8 < T 4 ; 6 < | 5 V 6 < : ; 3 s p î � Ù Ò � u t: ; h : 9 4 3 s î § t V i 4 5 § d : T 7 = 4 T 4 8 < _ < T < 6 >4 kV = V 5 : d h 8 4 9 9 < : ; [§ s � Ù òó � s ½ó ¨½ + ò ©§ 4 9 6 = f < ; i 4 8 9 4 T 7 5 : 4 ï 5 < 4 ; 6 T 4 5 : d h 8 4 9 9 < g < = < 6 >4 ª s } ¡ § s ½À s Às «

c ; : g 6 < 4 ; 6 >4 _ V = 4 d 4 ; 6 µµÓ 5 s Ò � µµV 5 [ � 9 f V h h 4 = = 4 d : T 7 = 4 T 4 8 < _ < T < 6 >4 V 7 _ = < 9 9 4 d 4 ; 6 : 7d : T 7 = 4 T 4 Z : 7 = : d g [= V 8 4 = V 6 < : ; 8 >4 5 < h 8 : e 7 4 T 4 = V = : < T 4 � : : � 4 9 f >4 5 8 < 6 V = : 8 9 ?µµV s © 3 µµ4 Ù ½ ( ©¨ µµÓ3 4 9 8 4 = V 6 < : ; 9 4 ; 6 8 4 i 4 5 6 4 7 8 5 : ; 6 8 V < ; 6 4 4 6 i 4 5 6 4 7 8 T >4 x : 8 d V 6 < : ; 9 f 4 ; T >4 T 7 < 9 4 ; 6 ?T ¡? s µµV � T ¡= s µµV � T t ¡Ê ` ¡Ó p o Ô ¡Ê u s µµÓ � ¡Ê T : ; 5 µµÓ � ¡Ê s � t ¡Ê Ù Ò � µµV � ¡Ê 9 < T t 4 9 67 ; < 6 V < 8 4 ? ¡Ó p o Ô ¡Ê u s � t ¡Ê Ù Ò � T ¡?

3.4. RESISTANCE DES MATERIAUX 27

4 6 h : 7 8 = 4 9 5 : d h : 9 V ; 6 4 9 T V ; 9 = 4 8 4 h k4 8 4 = < >4 kV = V x V 5 4 6 6 4 ?Ø s � t Ù Ò � H

¹Ú s Ò � ÃÑ ` § ` � 4 6 � 9 : ; 6 T 4 9 _ 8 V ; T 4 7 8 9 h : 9 < 6 4 _ V = 4 d 4 ; 6 ? à ß £ ß ½ò [b 4 d V 8 e 7 4 ? h : 7 8 = 4 9 y 7 < T 4 9 = V 8 4 = V 6 < : ; >4 e 7 4 x : 8 d V 6 < : ; x V < 6 V h h V 8 V åæ 6 8 4 7 ; 5 : 4 ï 5 < 4 ; 6 � e 7 < d 4 9 7 8 4 = V 8 >4 9 < 9 6 V ; 5 4 V 7 _ = < 9 9 4 d 4 ; 6 T 7y 7 < T 4 [ Z f 4 9 6 = 4 5 : 4 ï 5 < 4 ; 6 T 4 i < 9 5 : 9 < 6 >4 [ z : ; 7 ; < 6 >4 4 9 6 T < { >4 8 4 ; 6 4 p ] V [ 9 : 7 h : < 9 4 7 < = = 4 u [

ç � ú � �� ë � � �� 3 4 9 d V 6 >4 8 < V 7 m 9 : ; 6 4 ; _ >4 ; >4 8 V = 6 8 k4 9 8 >4 9 < 9 6 V ; 6 9 kV = V 5 : d h 8 4 9 9 < : ; [ ¥ >4 ; >4 8 V = 4 d 4 ; 6 = 4 9 = < d < 6 4 9T 7 T : d V < ; 4 >4 = V 9 6 < e 7 4 8 4 h 8 >4 9 4 ; 6 >4 4 9 T V ; 9 = 4 8 4 h k4 8 4 Ø Ô � Ú � T : ; ; 4 ; 6 = V | _ 7 8 4 î [ Ò [

~ � � � î [ Ò � ¬ H L H B N E F E D L J H A N MN K J P B H O F NS 4 7 m 5 V 9 4 m 6 8 k4 d 4 9 9 4 h 8 >4 9 4 ; 6 4 ; 6 ?

~ � � � î [ î � � J B MN C H J F Q Ð C J Þ H K N P3 4 9 d V 6 >4 8 < V 7 m e 7 < 8 >4 9 < 9 6 4 ; 6 g < 4 ; V 7 m 5 : ; 6 8 V < ; 6 4 9 T 4 5 < 9 V < = = 4 d 4 ; 6 d V < 9 d V = kV = V 6 8 V 5 6 < : ; [Z 4 9 : ; 6 = 4 9 d V 6 >4 8 < V 7 m x 8 V _ < = 4 9 : 7 5 V 9 9 V ; 6 9 [ Z 4 8 6 V < ; 9 V 5 < 4 8 9 ` = V x : ; 6 4 ` = 4 g >4 6 : ; = 4 i 4 8 8 4 [


S 4 9 d < 5 8 : | 9 9 7 8 4 9 9 < k4 _ 4 9 T 4 5 : ; 6 8 V < ; 6 4 9 < d h : 8 6 V ; 6 4 9 9 : ; 6 8 4 9 h : ; 9 V g = 4 9 T 4 9 8 7 h 6 7 8 4 9 [ í = 98 >4 9 < 9 6 4 ; 6 d < 4 7 m kV = V 5 : d h 8 4 9 9 < : ; [ c ; V d >4 = < : 8 4 = 4 7 8 9 h 4 8 x : 8 d V ; 5 4 9 4 ; = 4 9 d V < ; 6 4 ; V ; 6 4 ;5 : d h 8 4 9 9 < : ; p 4 m ? g >4 6 : ; h 8 >4 5 : ; 6 8 V < ; 6 u [

~ � � � î [ � � J B MN C H J F Q E F G B H K N P3 4 9 d V 6 >4 8 < V 7 m e 7 < 8 >4 9 < 9 6 4 ; 6 d V = V 7 5 < 9 V < = = 4 d 4 ; 6 ` < = 9 T 4 i < 4 ; ; 4 ; 6 8 V h < T 4 d 4 ; 6 h = V 9 6 < e 7 4 9 [Z 4 9 : ; 6 = 4 9 d V 6 >4 8 < V 7 m T 7 5 6 < = 4 9 [ ^ = 7 d < ; < 7 d ` 5 7 4 9 4 ; 5 4 T 4 T < 9 = : 5 V 6 < : ; 9p T >4 x V 7 6 9 T V ; 9 = 4 8 >4 9 4 V 7 5 8 < 9 6 V = = < ; u h 4 8 d 4 6 V 7 m h = V ; 9 5 8 < 9 6 V = = < ; 9 T 4 _ = < 9 9 4 8 = 4 9 7 ; 9 9 7 8 = 4 9V 7 6 8 4 9 [¾ m 4 d h = 4 T 4 T < V _ 8 V d d 4 T f 4 m 6 4 ; 9 < : ; T f 7 ; V 5 < 4 8 T : 7 m p d : < ; 9 T 4 à ` � T 4 5 V 8 g : ; 4 u [

~ � � � î [ � � ® H J Þ C J L L N E MN Ð D C L J B H D A G D A B C J H A B N3 V Y : ; 4 r ¤ 4 9 6 = V Y : ; 4 >4 = V 9 6 < e 7 4 [3 V Y : ; 4 ¤ ¯ 4 9 6 = V = < d < 6 4 >4 = V 9 6 < e 7 4 h : 7 8 = V e 7 4 = = = f >4 h 8 : 7 i 4 6 6 4 9 7 g < 6 7 ; V = = : ; _ 4 d 4 ; 6 9 V ; 9V 7 _ d 4 ; 6 V 6 < : ; T 4 5 : ; 6 8 V < ; 6 4 i 4 8 9 î à à þ ° d d ò [3 V Y : ; 4 ¯ ± 4 6 = V Y : ; 4 T 4 h = V 9 6 < 5 < 6 >4 [£ r õ 4 9 6 = V T >4 5 n V 8 _ 4 V h 8 k4 9 T >4 h V 9 9 4 d 4 ; 6 T 4 = V Y : ; 4 >4 = V 9 6 < e 7 4 [ r r õ 4 9 6 7 ; V = = : ; _ 4 d 4 ; 6

3.4. RESISTANCE DES MATERIAUX 29

8 >4 9 < T 7 4 = [ z < : ; 8 4 5 n V 8 _ 4 4 ; £ : ; V V 7 _ d 4 ; 6 >4 = 4 T : d V < ; 4 T f >4 = V 9 6 < 5 < 6 >4 [ Z f 4 9 6 = 4 h n >4 ; : d k4 ; 4T f >4 5 8 : 7 < 9 9 V _ 4 [ p 4 m ? 6 8 V i V < = T 7 5 7 4 ; : d k4 ; 4 T 4 9 6 8 < 5 6 < : ; ` T >4 x : 8 d V 6 < : ; 8 V h < T 4 V i 4 5 T < d < ; 7 6 < : ; T 4 = V5 : ; 6 8 V < ; 6 4 [] : 7 8 7 ; V 5 < 4 8 T 7 8 p 6 8 4 d h >4 u < = ; f v V h V 9 T 4 h V = < 4 8 T 4 = V = < d < 6 4 >4 = V 9 6 < e 7 4 [ ] : 7 8 7 ; d V 6 >4 8 < V 75 V 9 9 V ; 6 < = ; f v V h V 9 T 4 Y : ; 4 T f >4 5 8 : 7 < 9 9 V _ 4 : 7 T 4 h = V 9 6 < 5 < 6 >4 [

~ � � � î [ � � ² G H N C E F C N B L J B MN C H J F G J P P J A B


31

� � � � * � � � ³� - . ´ � µ� < � � / ¶ :� � � � , 2 1 2 , :�

ú � � �% · � � � � � � � � � � � � ë � � � � � � � � � � � � � � · � �3 f >4 e 7 V 6 < : ; x : ; T V d 4 ; 6 V = 4 T 4 = V 9 6 V 6 < e 7 4 9 f >4 5 8 < 6 4 ; 5 4 e 7 < 5 : ; 5 4 8 ; 4 = 4 8 >4 9 7 = 6 V ; 6 4 T 4 9 x : 8 5 4 9V h h = < e 7 >4 4 9 ? ¿ ¿ ¿ À ¡Ç À T Â Ù ¿ ¿ È ¡Ç È T ´ s ¡Æí 5 < ¡Ç È s ¡Ó p o Ô ¡Ê u x : 8 5 4 9 7 8 x V 5 < e 7 4 [ c 8 ¡Ó p o Ô ¡Ê u s ¡Ó p o Ô ¡Ê u s µµÓ � ¡Ê [ c ; h 4 7 6V = : 8 9 6 8 V ; 9 x : 8 d 4 8 = f < ; 6 >4 _ 8 V = 4 T 4 9 7 8 x V 5 4 4 ; < ; 6 >4 _ 8 V = 4 T 4 i : = 7 d 4 _ 8 åV 5 4 kV 7 ; 6 n >4 : 8 k4 d 4T f c 9 6 8 : _ 8 V T 9 � v [ ¿ ¿ È µµÓ � ¡Ê T ´ s ¿ ¿ ¿ À ¡u p µµÓ u T Â

: k7 = 4 i 4 5 6 4 7 8 _ 8 V T < 4 ; 6 T 4 µµÓ ` ¡u p µµÓ u 4 9 6 7 ; i 4 5 6 4 7 8 T : ; 6 = 4 9 5 : d h : 9 V ; 6 4 9 9 : ; 6 ºö S Ø » öS & ö [3 f >4 e 7 V 6 < : ; x : ; T V d 4 ; 6 V = 4 4 ; o 9 f >4 5 8 < 6 V = : 8 9

¡Ç À Ù ¡u p µµÓ u s ¡ÆT : ; 6 = 4 9 5 : d h : 9 V ; 6 4 9 9 : ; 6 ?

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¸ ½ Ù ~ ¹ M M~ y M Ù ~ ¹ M /~ y / Ù ~ ¹ M �~ y � s à¸ ò Ù ~ ¹ / M~ y M Ù ~ ¹ / /~ y / Ù ~ ¹ / �~ y � s à¸ ó Ù ~ ¹ � M~ y M Ù ~ ¹ � /~ y / Ù ~ ¹ � �~ y � s à3 f >4 e 7 V 6 < : ; x : ; T V d 4 ; 6 V = 4 V h h = < e 7 >4 4 V 7 d : d 4 ; 6 8 >4 9 7 = 6 V ; 6 T : ; ; 4 Ø » ö s Ø ö » [

32 4. PROBLEMES D’ELASTICITE

¾ ; 7 6 < = < 9 V ; 6 = V = : < T 4 5 : d h : 8 6 4 d 4 ; 6 µµÓ s � t µµ4 Ù Ò � µµV V = : 8 9 = 4 _ 8 V T < 4 ; 6 T 4 µµÓ 9 f >4 5 8 < 6 ? ¡u p µµÓ u s � ¡u t Ù Ò � ¡u p µµV u: 8 : ; 9 V < 6 e 7 4 t s ¡u � ¡? [ S f V 7 6 8 4 h V 8 ?

ºö S H» öS & ö s ºö SS & ö º }Ò X S > »S & ö Ù S > öS & » Y »s }Ò ºö S ò > »S & òö Ù }Ò ºö S ò > öS & » S & ö

s }Ò q > » Ù }Ò SS & » ¼ ºö S > öS & ö ½s }Ò q > » Ù }Ò SS & » P ¡u � ¡? RS : ; 5 ¡u p µµV u s }Ò q ¡? Ù }Ò ¡u P ¡u � ¡? R

4 6 T : ; 5 | ; V = 4 d 4 ; 6 ¡Ç À Ù � q ¡? Ù p � Ù � u ¡u � ¡? s ¡Æe 7 < 5 : ; 9 6 < 6 7 4 = f >4 e 7 V 6 < : ; T 4 3 V d >4 R Z = V h 4 v 8 : ; [¾ ; ; : 6 V 6 < : ; < ; T < 5 < 4 = = 4 ?¸ » Ù � ºö S ò > »S & òö Ù p � Ù � u ºö S ò > öS & » S & ö s à3 4 9 h 8 : g = k4 d 4 9 T f >4 = V 9 6 < 5 < 6 >4 h 4 7 i 4 ; 6 å4 6 8 4 8 >4 9 : = 7 9 4 ; 8 >4 9 : = i V ; 6 5 4 9 >4 e 7 V 6 < : ; 9 V 7 m e 7 4 = = 4 9: ; V T U : < ; 6 = 4 9 5 : ; T < 6 < : ; 9 V 7 m = < d < 6 4 9 [j ; 4 V 7 6 8 4 d >4 6 n : T 4 h : 7 8 8 >4 9 : 7 T 8 4 = 4 9 h 8 : g = k4 d 4 9 T f >4 = V 9 6 < 5 < 6 >4 4 9 6 T 4 6 8 : 7 i 4 8 = 4 95 : ; 6 8 V < ; 6 4 9 4 6 T f 4 ; T >4 T 7 < 8 4 = 4 9 T >4 x : 8 d V 6 < : ; 9 [3 4 9 >4 e 7 V 6 < : ; 9 kV 8 >4 9 : 7 T 8 4 9 : ; 6 ? ¡Ç À Ù ¡u p µµÓ u s ¡Æ ` h 7 < 9 µµV s © 3 µµ4 Ù ½ ( ©¨ µµÓ [ í =x V 7 6 6 : 7 6 4 x : < 9 9 f V 9 9 7 8 4 8 e 7 4 = 4 9 5 : d h : 9 V ; 6 4 9 T 7 6 4 ; 9 4 7 8 µµV 9 : ; 6 g < 4 ; 5 4 = = 4 T f 7 ; 6 4 ; 9 4 7 8T 4 9 T >4 x : 8 d V 6 < : ; 9 ` 5 f 4 9 6 R kV R T < 8 4 e 7 f < = 4 m < 9 6 4 7 ; 5 n V d h T 4 T >4 x : 8 d V 6 < : ; ¡? 6 4 = e 7 4 H

» ö s½ò P ~ � ¾~ y ¿ Ù ~ � ¿~ y ¾ R [ Z 4 = kV 5 : ; T 7 < 6 kV � >4 e 7 V 6 < : ; 9 ?S ò Ø ò òS & ò½ Ù S ò Ø ½ ½S & òò Ò S ò Ø ½ òS & ½ S & ò £} Ù £ X S ò 3S & ò½ Ù S ò 3S & òò Y s àS ò Ø ò óS & ½ S & ò Ù S ò Ø ½ òS & òó S ò Ø ½ óS & ò S & ò S ò Ø ò óS & ½ S & ó £} Ù £ S ò 3S & ½ S & ò s à= 4 9 V 7 6 8 4 9 >4 e 7 V 6 < : ; 9 9 : ; 6 : g 6 4 ; 7 4 9 h V 8 h 4 8 d 7 6 V 6 < : ; 5 < 8 5 7 = V < 8 4 T 4 9 < ; T < 5 4 9 [ Z 4 9 >4 e 7 V 6 < : ; 95 : ; 9 6 < 6 7 4 ; 6 = 4 9 5 : ; T < 6 < : ; 9 T 4 ¦ 4 = 6 8 V d < [ í = x V 7 6 >4 _ V = 4 d 4 ; 6 V U : 7 6 4 8 = 4 9 5 : ; T < 6 < : ; 9 V 7 m = < d < 6 4 9 [

4.2. EXEMPLE: CYLINDRE SOUMIS A SON PROPRE POIDS 33

ú � Ë % � � ë Î � � À � ì � � � � � � � � � ë � � �� Î � � Î � � Î � � � �z : < 6 7 ; 5 v = < ; T 8 4 T 4 8 >4 i : = 7 6 < : ; T f V m 4 i 4 8 6 < 5 V = ± Á & ó = < d < 6 >4 h V 8 T 4 7 m 9 4 5 6 < : ; 9 T 8 : < 6 4 9n : 8 < Y : ; 6 V = 4 9 ´ Á 4 6 ´ ½ T 4 5 4 ; 6 8 4 ± Á 4 6 ± ½ 4 6 T < 9 6 V ; 6 4 9 T 4 o s ± Á ± ½ [ 3 4 5 v = < ; T 8 4 T 4d V 9 9 4 i : = 7 d < e 7 4 w 4 9 6 4 ; >4 e 7 < = < g 8 4 9 : 7 9 = f V 5 6 < : ; T 4 9 : ; h 8 : h 8 4 h : < T 9 4 6 T f 7 ; 4 T < 9 6 8 < g 7 6 < : ;7 ; < x : 8 d 4 T 4 5 : ; 6 8 V < ; 6 4 9 ; : 8 d V = 4 9 p h 8 4 9 9 < : ; u 4 m 4 8 5 >4 4 9 9 7 8 = V 9 7 8 x V 5 4 ´ Á [ p | _ 7 8 4 [ } u& ó

& ½Â

Ão

´ ½ ± ½

´ Á ± Á Ä

Ã

~ � � � [ } �± Á 4 9 6 | m 4 4 6 = 4 9 : = < T 4 ; 4 6 : 7 8 ; 4 h V 9 V 7 6 : 7 8 T 4 ± Á [c ; i 4 7 6 T >4 6 4 8 d < ; 4 8 = V x : 8 d 4 h 8 < 9 4 h V 8 = 4 5 v = < ; T 8 4 9 : 7 9 = f V 5 6 < : ; T 4 9 x : 8 5 4 9 e 7 < = 7 < 9 : ; 6V h h = < e 7 >4 4 9 [ú � ç Å � � � � Î � � � � � � � � � � � � � � � � �

í = ; 4 9 f V _ < 6 h = 7 9 T f 7 ; h 8 : g = k4 d 4 T 4 9 6 V 6 < e 7 4 d V < 9 T 4 T v ; V d < e 7 4 [ 3 f >4 e 7 V 6 < : ; kV 8 >4 9 : 7 T 8 44 9 6 ¡Ç À Ù ¡u p µµÓ u s w ¡K

: k7 ¡K 4 9 6 = f V 5 5 >4 = >4 8 V 6 < : ; [ c ; 9 f < ; 6 >4 8 4 9 9 4 V 7 5 V 9 : k7 = 4 9 x : 8 5 4 9 i : = 7 d < e 7 4 9 9 : ; 6 ; >4 _ = < _ 4 V g = 4 95 4 e 7 < h 4 8 d 4 6 T f >4 5 8 < 8 4 h : 7 8 = V 5 : d h : 9 V ; 6 4 9 7 »S l ò s ºö S Ø » öS & ö


: 7 4 ; 5 : 8 4 4 ; 7 6 < = < 9 V ; 6 = V = : < T 4 5 : d h : 8 6 4 d 4 ; 6 ?w S ò > »S l ò s � q > » Ù p � Ù � u ºö S ò > öS & » S & ö

Æ [ \ [ ] Ç d b c È i d É l ` a b l d k È cZ n 4 8 5 n : ; 9 7 ; 4 9 : = 7 6 < : ; T f : ; T 4 h = V ; 4 = : ; _ < 6 7 T < ; V = 4 T V ; 9 = V T < 8 4 5 6 < : ; & ½ [> ½ s ¤ 4 » Ê Ë U + Ì MÍ Î Ï > ò s à > ó s à

V = : 8 9 ~ / � M~ U / s Ð ò > ½ ` q > ½ s ~ / � M~ y /M s Ê /Ñ /Î > ½ 4 6 Ò ö ~ / � ¿~ y M ~ y ¿ s ~ / � M~ y /M s Ê /Ñ /Î > ½9 : < 6 ? w Ð ò s � Ð òÓ ò� p � Ù � u Ð òÓ ò�5 4 e 7 < T : ; ; 4 Ó � s � Ù Ò �w

i < 6 4 9 9 4 T 4 = f : ; T 4 = : ; _ < 6 7 T < ; V = 4 [Æ [ \ [ Z Ç d b c ` f k d e Ô c f e k È c

3 V h 8 : h V _ V 6 < : ; 9 f 4 { 4 5 6 7 4 6 : 7 U : 7 8 9 9 4 = : ; & ½ d V < 9 = V T >4 x : 8 d V 6 < : ; 9 4 = : ; & ò [> ½ s à > ò s ¤ 4 » Ê Ë U + Ì MÍ Õ Ï > ó s à

V = : 8 9 ~ / � /~ U / s Ð ò > ò ` q > ò s ~ / � /~ y /M s Ê /Ñ /Õ > ò 4 6 Ò ö ~ / � ¿~ y / ~ y ¿ s ~ / � /~ y M ~ y / s à9 : < 6 ? w Ð ò s � Ð òÓ òU5 4 e 7 < T : ; ; 4 Ó U s Ö �wi < 6 4 9 9 4 T 4 = f : ; T 4 6 8 V ; 9 i 4 8 9 V = 4 [

4.3. ONDES PLANES DANS UN SOLIDE 35Æ [ \ [ \ Ç d b c b c b l È k ` k ` l i d × a Ø l Ù a cZ f 4 9 6 = 4 5 V 9 T 4 = f : ; T 4 9 : ; : 8 4 [c ; V t s Ò » ~ � ¾y ¾5 4 e 7 < T : ; ; 4 ?

w ~ / Ú~ U / s Ò » ~ � � ¾~ U / ~ y ¾ s Ò » ~~ y ¾ P ~ / � ¾~ U / Rs Ò » ~~ y ¾ Û � q > » Ù p � Ù � u Ò ö ~ / � ¿~ y ¾ ~ y ¿ Üs � q P Ò » ~ � ¾~ y ¾ R Ù p � Ù � u Ò ö ~ /~ y /¿ P Ò » ~ � ¾~ y ¾ Rs � q t Ù p � Ù � u Ò ö ~ / Ú~ y /¿s p � Ù Ò � u q tZ 4 e 7 < T : ; ; 4 7 ; 4 >4 e 7 V 6 < : ; T 4 h 8 : h V _ V 6 < : ; T f : ; T 4 V i 4 5 = V i < 6 4 9 9 4 ?Ó Ú s � Ù Ò �w

e 7 < 4 9 6 < T 4 ; 6 < e 7 4 kV = V i < 6 4 9 9 4 = : ; _ < 6 7 ; T < ; V = 4 [ 3 4 9 : ; 4 9 6 7 ; 4 : ; T 4 = : ; _ < 6 7 T < ; V = 4 [Æ [ \ [ Æ Ç d b c È i d É l ` a b l d k È c b k d e a d c Ø k f f c3 4 h 8 : g = k4 d 4 4 9 6 T < { >4 8 4 ; 6 T 4 5 4 = 7 < T 4 9 : ; T 4 9 = : ; _ < 6 7 T < ; V = 4 9 T V ; 9 7 ; d < = < 4 7 < ; | ; < [c ; 5 : ; 9 < T k4 8 4 7 ; >4 = >4 d 4 ; 6 T 4 i : = 7 d 4 5 : d h 8 < 9 4 ; 6 8 4 = 4 9 9 4 5 6 < : ; 4 ; & ½ 4 6 4 ; & ½ Ù T & ½ [ 3 4 9x : 8 5 4 9 9 7 8 x V 5 < e 7 4 9 4 m 4 8 5 >4 4 9 9 7 8 5 n V e 7 4 9 4 5 6 < : ; 9 : ; 6 ? ¡¢ p & ½ u s Ø ½ ½ ´ ¡Ä ½ 4 6 ¡¢ p & ½ Ù T & ½ u sP Ø ½ ½ Ù ~ ¹ M M~ y M T & ½ R ´ ¡Ä ½ [ c 8 Ý ¡K s ¡¢ p & ½ u Ù ¡¢ p & ½ Ù T & ½ u T : ; ; 4 ?

w ´ T & ½ S ò > ½S l ò s S Ø ½ ½S & ½ T & ½T f V 7 6 8 4 h V 8 6 Ø ½ ½ s Ñ H

½ ½ 4 6 H½ ½ s ~ � M~ y M 5 4 e 7 < T : ; ; 4 = f >4 e 7 V 6 < : ; V 7 m T >4 8 4 4 9 h V 8 6 < 4 = = 4 9

Ñ S ò > ½S & ò½ s w S ò > ½S l ò= V i < 6 4 9 9 4 T 4 = f : ; T 4 4 9 6 ? Ó s ÑwZ : d h V 8 V < 9 : ; T 4 9 6 8 : < 9 i < 6 4 9 9 4 9 h : 7 8 = f V 5 < 4 8 ?^ i 4 5 Ñ s Ò } � } à ½ Á ] V ` w s 1 � à à � _ ° d ó ` £ s à Ô î [


Ó � s Þ ß ½ + ©à ½ + ò © á à ½ ( © á s � à à à d ° 9Ó U s Þ ß ½ò à ½ ( © á s î Ò à à d ° 9Ó s Þ ß s � Ò à à d ° 9b 4 d V 8 e 7 4 ? ] : 7 8 7 ; y 7 < T 4 = 4 d : T 7 = 4 T 4 8 < _ < T < 6 >4 � 4 9 6 ; 7 = [ ¾ ; 5 : ; 9 >4 e 7 4 ; 5 4 9 4 7 = 4 9 = 4 9: ; T 4 9 = : ; _ < 6 7 T < ; V = 4 9 p T 4 T < = V 6 V 6 < : ; i : = 7 d < e 7 4 u 9 4 h 8 : h V _ 4 ; 6 T V ; 9 = 4 9 y 7 < T 4 9 [ Z 4 9 : ; 6 T 4 9: ; T 4 9 T 4 5 : d h 8 4 9 9 < : ; [ c ; V h 7 V < ; 9 < d : ; 6 8 4 8 e 7 4 = 4 ; : v V 7 6 4 8 8 4 9 6 8 4 4 9 6 = < e 7 < T 4 ` 5 V 8 = 4 9: ; T 4 9 9 < 9 d < e 7 4 9 6 8 V ; 9 i 4 8 9 V = 4 9 ; 4 9 f v h 8 : h V _ 4 ; 6 h V 9 [

37

� � � � * � � � âã � � ä 2 . + / � � � . 0 , - � �

í = 9 f V _ < 6 T 4 T >4 6 4 8 d < ; 4 8 = V y k4 5 n 4 T 4 9 h : 7 6 8 4 9 9 : 7 d < 9 4 9 kV T 4 9 4 { : 8 6 9 4 m 6 4 8 ; 4 9 [ 3 V y k4 5 n 44 9 6 = V T >4 x : 8 d V 6 < : ; 6 8 V ; 9 i 4 8 9 V = 4 [� � � � �� å � � � � � � � À � æ � � � � ç ë � ë � � � � ç �� · � � � � è � �

c ; T < 9 6 < ; _ 7 4 ?� = 4 9 5 n V 8 _ 4 9 5 : ; 5 4 ; 6 8 >4 4 9 : 7 8 >4 h V 8 6 < 4 9 `� = 4 9 h : < ; 6 9 T f V h h 7 < | m 4 9 ` d : g < = 4 9 : 7 4 ; 5 V 9 6 8 >4 9 [

~ � � � � [ } � é Q N L Ý K N E ê N ë D C B P G D A G N A B C MN P N B E N Ý D H A B P E êJ Ý Ý F H ì Q N N B L D í H K NS V ; 9 5 4 5 V 9 < = v V Ò 4 { : 8 6 9 V h h = < e 7 >4 9 4 ; Ò h : < ; 6 9 [ c ; V 7 8 V kV T >4 6 4 8 d < ; 4 8 = 4 9 8 >4 V 5 6 < : ; 9 4 6= 4 9 d : d 4 ; 6 9 [ 3 4 9 h : < ; 6 9 T f V h h 7 < 9 : ; 6 T 4 9 h 4 i < ; 4 e 7 4 = V h : 7 6 8 4 T >4 x : 8 d >4 4 V 7 8 V= V x : 8 d 4 9 7 < i V ; 6 4 ?

38 5. FLEXION DES POUTRES

~ � � � � [ Ò � î D F B C N Ý C MN G MN E N A B N J Ý C IN P E MN Ð D C L J B H D A

~ � � � � [ î � é Q N L Ý K N E ê N ë D C B C MN Ý J C B H N B E êJ Ý Ý F H N A G J P B C MN3 4 9 4 { : 8 6 9 e 7 4 = f : ; 5 : ; 9 < T k4 8 4 ; 6 h V 8 = V 9 7 < 6 4 9 : ; 6 7 ; < e 7 4 d 4 ; 6 T 4 9 4 { : 8 6 9 6 8 V ; 9 i 4 8 9 V 7 m [ 3 Vh : 7 6 8 4 4 9 6 T < 8 < _ >4 4 9 4 = : ; = f V m 4 r & ½ = 4 9 4 { : 8 6 9 9 4 = : ; r & ò [ 3 4 9 >4 e 7 V 6 < : ; 9 T f >4 e 7 < = < g 8 4 9 6 V 6 < e 7 49 4 8 V d k4 ; 4 ; 6 4 ; h 8 : U 4 6 V ; 6 9 7 8 = 4 9 V m 4 9 T 7 8 4 h k4 8 4 : 8 6 n : ; : 8 d >4 ?

P º ¡¢ R ò s à P º ¡ ï ð R ó s à� � Ë � �� ë � � � � � � � � � � � æ � � � � � � � � � � � �ñ [ Z [ ] _ ò i f ` e l d ` c f d c e b a e ók b c e × ô k f É c e × i d × c d ` f c c e

S V ; 9 7 ; 4 9 4 5 6 < : ; 4 ; & ½ ` 7 ; 4 x : 8 5 4 < ; 6 4 8 ; 4 V h h 4 = >4 4 4 { : 8 6 6 8 V ; 5 n V ; 6 4 6 7 ; d : d 4 ; 6 < ; 6 4 8 ; 4V h h 4 = >4 d : d 4 ; 6 y >4 5 n < 9 9 V ; 6 T : 4 e 7 < = < g 8 4 [

~ � � � � [ � Ü D A õ N A B H D A P E N P H Þ A N P F C K N P N ë D C B P N B K N P L D L N A B Pz : < 6 7 ; 4 h : 7 6 8 4 4 ; 5 V 9 6 8 >4 4 4 ; & ½ s à 4 6 9 : 7 d < 9 4 kV 7 ; 4 5 n V 8 _ 4 £ 5 : ; 5 4 ; 6 8 >4 4 4 ; & ½ s ö [>¾ 6 V g = < 9 9 : ; 9 = f >4 e 7 < = < g 8 4 T 7 d : 8 5 4 V 7 T 4 h : 7 6 8 4 5 : d h 8 < 9 4 ; 6 8 4 = 4 h : < ; 6 ¤ T f V g 9 5 < 9 9 4 & ½ 4 6 ö [] : 7 8 5 4 = V : ; 5 : 7 h 4 h V 8 = V h 4 ; 9 >4 4 = V h : 7 6 8 4 4 ; & ½ [z 7 8 = V d : < 6 < >4 T 8 : < 6 4 : ; V = 4 9 8 4 = V 6 < : ; 9 ?

5.2. DETERMINATION DES EFFORTS INTERNES 39

~ � � � � [ � � é ë D C B P H A B N C A N Pº � ò s à � £ Ù Â s à � Â s £ s Z 6 4º o ¨ � ó s à � o Ù £ p ö & ½ u s à � o s £ p ö & ½ uc ; : g 6 < 4 ; 6 V < ; 9 < = 4 9 4 { : 8 6 9 < ; 6 4 8 ; 4 9 V h h = < e 7 >4 9 kV 7 ; 4 x V 5 4 6 6 4 T 4 ; : 8 d V = 4 ¡Ä ½ [� 7 4 = f : ; 8 4 6 8 : 7 i 4 9 7 8 = 4 9 5 n >4 d V 9 7 4 5 8 < 8 4 = f >4 e 7 < = < g 8 4 T 4 = V d : < 6 < >4 _ V 7 5 n 4 ` < = x V 7 6 T f V g : 8 T T >4 6 4 8 d < ; 4 8 6 : 7 6 4 9 = 4 9 x : 8 5 4 94 m 6 >4 8 < 4 7 8 4 9 [ Z f 4 9 6 kV T < 8 4 = V 8 >4 V 5 6 < : ; ø 4 6 = 4 d : d 4 ; 6 o ù V h h = < e 7 >4 9 kV = f 4 ; 5 V 9 6 8 4 d 4 ; 6 [


] : 7 8 = f 4 ; 9 4 d g = 4 T 4 = V h : 7 6 8 4 ?º � ò s à � £ Ù ø s à � ø s £º o ð � ó s à � o ù Ù £ ö s à � o ù s £ ö

c ; : g 6 < 4 ; 6 V < ; 9 < = 4 9 4 { : 8 6 9 < ; 6 4 8 ; 4 9 V h h = < e 7 >4 9 kV 7 ; 4 x V 5 6 6 4 T 4 ; : 8 d V = 4 ¡Ä ½ [ Z f 4 9 6 U 7 9 6 4= f : h h : 9 >4 T 7 8 >4 9 7 = 6 V 6 h 8 >4 5 >4 T 4 ; 6 [S f : k7 = 4 9 5 n >4 d V ?

~ � � � � [ 1 �4 6 T : ; 5 = 4 9 >4 e 7 V 6 < : ; 9 T f >4 e 7 < = < g 8 4 ?

º � ò s à � ø Ù Â s à � Â s ø s £º o ¨ � ó s à � o ø & ½ Ù o ù s à � o s o ù Ù ø & ½ s £ p ö & ½ u

~ � � � � [ � � P G � MN L J P E N P N ë D C B P B C J A G � J A B P N B E N P L D L N A B P ÷ MN G � H P P J A B P Ý D F C K J Ý J C B H NÞ J F G � N4 6 = 4 g < = V ; T 4 9 x : 8 5 4 9 4 m 6 >4 8 < 4 7 8 4 9 ?ø 4 6 £ 9 f : h h : 9 4 ; 6 4 6 5 8 >4 4 ; 6 7 ; 5 : 7 h = 4 e 7 < 4 9 6 >4 e 7 < = < g 8 >4 h V 8 o ù [

5.2. DETERMINATION DES EFFORTS INTERNES 41

~ � � � � [ û � Mé O F H K H í C N E N K J Ý D F B C Nñ [ Z [ Z ú ô k f É c e f c m k f ` l c e

3 4 9 5 n V 8 _ 4 9 ; 4 9 : ; 6 h V 9 ; >4 5 4 9 9 V < 8 4 d 4 ; 6 5 : ; 5 4 ; 6 8 >4 4 9 ` 4 = = 4 9 h 4 7 i 4 ; 6 å4 6 8 4 8 >4 h V 8 6 < 4 9 [ c ;T >4 | ; < 6 7 ; 4 T < 9 6 8 < g 7 6 < : ; T 4 5 n V 8 _ 4 û p & ½ u [ ^ = : 8 9 = V 8 >4 9 7 = 6 V ; 6 4 ø 4 9 6 ?ø s ¿ üÁ û p & ½ u T & ½= 4 d : d 4 ; 6 8 >4 9 7 = 6 V ; 6 4 9 6 ? ø µ& ½ s ¿ üÁ û p & ½ u & ½ T & ½c ; 4 ; T >4 T 7 < 6 = f V g 9 5 < 9 9 4 T 7 h : < ; 6 T f V h h = < 5 V 6 < : ; T 4 ø ?

µ& ½ s ý üÁ û p & ½ u & ½ T & ½ý üÁ û p & ½ u T & ½

~ � � � � [ } à � é Q J L Ý K N P E N G � J C Þ N P C MN Ý J C B H N PZ V = 5 7 = T 4 = f 4 { : 8 6 6 8 V ; 5 n V ; 6 < ; 6 4 8 ; 4 Â 4 6 T 7 d : d 4 ; 6 T 4 y 4 m < : ; o

º � ò s à s Â Ù T Â Â Ù û T & ½T : ; 5 T ÂT & ½ s û


~ � � � � [ } } � é ë D C B P P F C F A MN K MN L N A B T & ½5 4 e 7 < T : ; ; 4 Â p & ½ u s ý û p & ½ u T & ½ Ù Ó ½

º o � ó s à s o Ù T o o Ù p Â Ù T Â u T & ½Ò Ù Â T & ½Ò s àT : ; 5 T oT & ½ s Â5 4 e 7 < T : ; ; 4 o p & ½ u s ý Â p & ½ u T & ½ Ù Ó ò4 m 4 d h = 4 ? 9 < û s û Á V = : 8 9 Â p & ½ u s û Á & ½ Ù Ó ½ 4 6 o p & ½ u s ½ò û Á & ò½ Ù Ó ½ & ½ Ù Ó ò� � ç è � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ñ [ \ [ ] þ c ÿ d l ` l i d e

c ; 9 : 7 n V < 6 4 h : 7 i : < 8 7 6 < = < 9 4 8 = 4 9 d å4 d 4 9 >4 e 7 V 6 < : ; 9 V i 4 5 T 4 9 5 n V 8 _ 4 9 5 : ; 5 4 ; 6 8 >4 4 9 [ c ;< ; 6 8 : T 7 < 6 h : 7 8 5 4 = V T 4 9 x : ; 5 6 < : ; 9 T 4 9 < ; _ 7 = V 8 < 6 >4 9 [¸ ¹ p & u s � & � � ¹ s ©ª«

à & ß �p & � u ¹ & | �� ô s Ò Ô } Ô à Ô } Ô Ò � � �

ô s Ò ` � & � � + ò ` 5 : 7 h = 4 5 : ; 5 4 ; 6 8 >4 4 ; & s �p V 6 6 4 ; 6 < : ; : ; h 8 4 ; T T V ; 9 5 4 6 6 4 4 m h 8 4 9 9 < : ; = 4 9 < _ ; 4 : h h : 9 >4 kV 5 4 = 7 < T 7 5 : 7 h = 4 [ u

5.3. FONCTIONS DE SINGULARITES 43

ô s } ` � & � � + ½ ` 5 n V 8 _ 4 5 : ; 5 4 ; 6 8 >4 4 4 ; & s �ô s à ` � & � � Á ` 5 : 7 h = 4 7 ; < x : 8 d 4 h : 7 8 & � �ô s } ` 5 n V 8 _ 4 = < ; >4 V < 8 4 h : 7 8 & � �

~ � � � � [ } Ò � � � Ý N P E N G � J C Þ Nc ; V = 4 9 8 k4 _ = 4 9 T f < ; 6 >4 _ 8 V 6 < : ; 9 7 4 5 < V 7 m ô s } ¿ y+ � � & � � + ½ T & s � & � �Á

ô s Ò ¿ y+ � � & � � + ò T & s � & � � + ½ñ [ \ [ Z ] � � c c j m È c^ h h = < 5 V 6 < : ; kV = V h : 7 6 8 4 4 ; 5 V 9 6 8 >4 4 T 4 = V | _ 7 8 4 � [ �¾ ; & ½ s à : ; V ø s £ 4 6 o ù s £ ö [ S f : k7 ?û p & ½ u s £ � & ½ � + ½ Ù £ ö � & ½ � + ò Ù p £ � & ½ ö � + ½ u8 4 d V 8 e 7 4 9 ?^ 6 6 4 ; 6 < : ; kV = V 5 : ; i 4 ; 6 < : ; T 4 9 < _ ; 4 h : 7 8 = 4 5 : 7 h = 4 [


3 4 6 4 8 d 4 4 ; 6 8 4 h V 8 4 ; 6 n k4 9 4 9 5 : 8 8 4 9 h : ; T V ; 6 kV = f 4 m 6 8 >4 d < 6 >4 T 4 = V h : 7 6 8 4 ` ; f < ; 6 4 8 i < 4 ; 6 h V 9 T V ; 9= 4 5 V = 5 7 = T 4 9 < ; 6 >4 _ 8 V 6 < : ; 9 [ í = h 4 7 6 å4 6 8 4 : d < 9 [í ; 6 >4 _ 8 : ; 9 7 ; h 8 4 d < k4 8 4 x : < 9 ?Â p & ½ u s ¿ û p & ½ u T & ½ Ù Ó ½ s £ � & ½ �

Á £ ö � & ½ � + ½ Ù Ó ½: 8 Â p ö u s £ s £ Ù Ó ½ T : ; 5 Ó ½ s à ` : ; : g 6 < 4 ; 6 V = : 8 9 = 4 8 >4 9 7 = 6 V 6 T 4 = V | _ 7 8 4 � [ � [

o & ½ s ¿ Â p & ½ u T & ½ Ù Ó ò s £ � & ½ � ½ Ù £ ö � & ½ � Á Ù Ó ò: 8 o p ö u s £ ö Ù £ ö Ù Ó ò s à T : ; 5 Ó ò s à ` : ; : g 6 < 4 ; 6 V = : 8 9 = 4 8 >4 9 7 = 6 V 6 T 4 = V | _ 7 8 4� [ � [ñ [ \ [ \ Z � c c j m È c

~ � � � � [ } î � é Q N L Ý K N

S >4 6 4 8 d < ; : ; 9 = 4 9 8 >4 V 5 6 < : ; 9 4 ; ¤ 4 6 ¯ [ 3 V 5 n V 8 _ 4 T < 9 6 8 < g 7 >4 4 4 9 6 >4 e 7 4 4 4 ; î ö ¡ [ S f : k7 = 4 9 8 >4 V 5 6 < : ; 9 4 ; T >4 6 4 8 d < ; V ; 6 = 4 9 d : d 4 ; 6 9 T 4 9 x : 8 5 4 9 4 ; ¤4 6 = 4 g < = V ; T 4 9 x : 8 5 4 9 [ û Á öÒ � î ö s ø � ö � ø � s î� û Á öø ¨ s û Á öÒ ø � s }� û Á öT f : k7 û p & ½ u s }� û Á ö � & ½ � + ½ û Á � & ½ öÒ �Á Ù X î� û Á ö � & ½ ö � + ½ Y= 4 T 4 8 ; < 4 8 6 4 8 d 4 4 ; 6 8 4 h V 8 4 ; 6 n k4 9 4 9 h 4 7 6 å4 6 8 4 : d < 9 [c ; : g 6 < 4 ; 6 = 4 9 4 { : 8 6 9 6 8 V ; 5 n V ; 6 9 4 ; < ; 6 >4 _ 8 V ; 6 ?

Â p & ½ u s }� û Á ö � & ½ �Á Ù û Á � & ½ öÒ � ½= V 5 : ; 9 6 V ; 6 4 Ó ½ 4 9 6 ; 7 = = 4 [ c ; i >4 8 < | 4 g < 4 ; e 7 4 Â ü s ó� û Á ö [

5.4. FLEXION 45

c ; : g 6 < 4 ; 6 = 4 9 d : d 4 ; 6 9 y >4 5 n < 9 9 V ; 6 9 4 ; < ; 6 >4 _ 8 V ; 6 kV ; : 7 i 4 V 7 ?o p & ½ u s }� û Á ö � & ½ � ½ }Ò û Á � & ½ öÒ � ò= V 5 : ; 9 6 V ; 6 4 Ó ò 4 9 6 ; 7 = = 4 [ c ; i >4 8 < | 4 e 7 4 o p ö u s à [

~ � � � � [ } � é ë D C B P B C J A G � J A B P N B L D L N A B P ÷ MN G � H P P J A B P H A B N C A N P J Ý Ý K H O F MN P IJ F A N Ð J G N E NA D C L J K N q ½� � ú è � � � � � �ñ [ Æ [ ] � f i Ø È óc j c b c È k � c l i d

z : < 6 7 ; 4 h : 7 6 8 4 4 ; y 4 m < : ; ` : ; T >4 | ; < 6 7 ; V m 4 ; 4 7 6 8 4 e 7 < ; 4 9 4 6 8 : 7 i 4 ; < 4 ; 5 : d h 8 4 9 9 < : ;; < 4 ; 4 m 6 4 ; 9 < : ; [ j ; h : < ; 6 T f V g 9 5 < 9 9 4 & ½ V h h V 8 6 4 ; V ; 6 kV = f V m 4 ; 4 7 6 8 4 9 4 T >4 h = V 5 4 T 4 > ò [ j ;h : < ; 6 T f : 8 T : ; ; >4 4 & ò 9 4 T >4 h = V 5 4 T 4 > ò 4 6 T 4 > ½ [t � 6 V ; t 4 9 6 = V h 4 ; 6 4 T 4 = V = < _ ; 4 ; 4 7 6 8 4 T f >4 e 7 V 6 < : ; > ò p & ½ u [ S : ; 5 t s ~ � /~ y M : 8 t s > ½ ¡ & ò `T f : k7 ? > ½ s S > òS & ½ & ò^ = : 8 9 H

½ ½ s S > ½S & ½ s & ò S ò > òS & ò½


~ � � � � [ } � � Ï K N Q H D Ae 7 < 4 9 6 = f >4 6 < 8 4 d 4 ; 6 8 4 = V 6 < x 4 ; & ½ [ 3 V 5 : ; 6 8 V < ; 6 4 T f >4 6 < 8 4 d 4 ; 6 4 9 6 V = : 8 9 ?

Ø ½ ½ s Ñ H½ ½ s & ò Ñ S ò > òS & ò½b 4 d V 8 e 7 4 ? : ; V ; >4 _ = < _ >4 = 4 9 6 4 8 d 4 9 6 4 = 9 e 7 4 H

ò ò [3 V x : 8 5 4 >4 = >4 d 4 ; 6 V < 8 4 9 4 = : ; & ½ 4 9 6 T ½ s Ø ½ ½ T ´ [ 3 V 5 : d h : 9 V ; 6 4 9 7 8 & ½ T 4 = V 9 : d d 4 T 4 9x : 8 5 4 9 4 9 6 ; 7 = = 4 ? ¿ È Ø ½ ½ T ´ s ¿ È & ò Ñ S ò > òS & ò½ T ´ s à~ / � /~ y /M 4 9 6 = V 5 : 7 8 g 7 8 4 T 4 = V h : 7 6 8 4 ` e 7 < h 4 7 6 å4 6 8 4 5 : ; 9 < T >4 8 >4 4 5 : d d 4 5 : ; 9 6 V ; 6 4 [ ¾ = = 4 ; 4i V 8 < 4 e 7 4 = 4 ; 6 4 d 4 ; 6 [ 3 f >4 e 7 V 6 < : ; h 8 >4 5 >4 T 4 ; 6 4 9 4 8 V d k4 ; 4 kV ?

¿ È & ò T ´ s à � µ& ò s à3 f V m 4 ; 4 7 6 8 4 4 9 6 = 4 5 4 ; 6 8 : �æ T 4 [3 V 9 : d d 4 T 4 9 d : d 4 ; 6 9 4 ; r 4 9 6 >4 _ V = 4 d 4 ; 6 ; 7 = = 4 [ V h h 4 = : ; 9 o = 4 d : d 4 ; 6 V h h = < e 7 >4 e 7 <h 8 : i : e 7 4 = V y 4 m < : ; ? o ¿ È Ø ½ ½ & ò T ´ s à

V = : 8 9 o s Ñ S ò > òS & ò½ ¿ È & òò T ´

5.4. FLEXION 47

= f < ; 6 >4 _ 8 V = 4 4 9 6 5 4 = = 4 T 7 5 V = 5 7 = T 7 d : d 4 ; 6 T f < ; 4 8 6 < 4 � T 4 = V 9 4 5 6 < : ; h V 8 8 V h h : 8 6 kV = f V m 4& ó [ c ; : g 6 < 4 ; 6 V = : 8 9 ? S ò > òS & ò½ s oÑ �3 4 T >4 h = V 5 4 d 4 ; 6 > ò p = V y 4 m < : ; u 9 f : g 6 < 4 ; T 8 V 4 ; < ; 6 >4 _ 8 V ; 6 T 4 7 m x : < 9 5 4 6 6 4 >4 e 7 V 6 < : ; [ñ [ Æ [ Z ú k È × a È b c e b c m È k × c j c d ` e

Â p & ½ u s ý û p & ½ u T & ½ Ù Ó ½o p & ½ u s ý Â p & ½ u T & ½ Ù Ó òB õ s ~ � /~ y M s ½¨ � ý o p & ½ T & ½ Ù Ó óB s > ò p & ½ u s ý B õ p & ½ u T & ½ Ù Ó ,ñ [ Æ [ \ _ c j m È c � × k È × a È b c È k � óc × ô c j k l j k È c b � a d c m i a ` f c

~ � � � � [ } � � é Q N L Ý K N �

û p & ½ u s £Ò � & ½ � + ½ £ � & ½ öÒ � + ½ Ù X £Ò � & ½ ö � + ½ YÂ p & ½ s £Ò � & ½ �Á Ù £ � & ½ öÒ �

Á Ó ½ s à

~ � � � � [ } 1 � é ë D C B P B C J A G � J A B Po p & ½ s £Ò � & ½ � ½ £ � & ½ öÒ � ½ Ó ò s à


~ � � � � [ } � � � D L N A B P ÷ MN G � H P P J A B P

Ñ � > õò p & ½ u s £ � & ½ � ò £Ò � & ½ öÒ � ò Ù Ó ó: 8 > õò p ö ¡ Ò u s à h V 8 9 v d >4 6 8 < 4 [ S : ; 5 �, p ö ¡ Ò u ò Ù Ó ó s à T : ; ; 4 Ó ó s � ü /½ � [Ñ � > õò p & ½ u s £ � & ½ � ò £Ò � & ½ öÒ � ò £ ö ò} �

Ñ � > ò p & ½ u s £} Ò � & ½ � ó £� � & ½ öÒ � ó £ ö ò} � & ½ Ù Ó ,> ò p à u s à 4 6 � & ½ üò � ó s à h : 7 8 & ß ö ¡ Ò T : ; 5 Ó , s àV = : 8 9 > ò p & ½ u s £ � Ñ � º � & ½ � ó � � & ½ öÒ � ó î ö ò & ½ »~ � � � � [ } û � ® MN Ð D C L J B H D A E N K J Ý D F B C N

3 V y k4 5 n 4 d V m < d V = 4 4 9 6 � s > ò p ö ¡ Ò u ?� s £ ö ó � Ñ �

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