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Introduction
Thermo
EOS
Introduction a la physique desplasmas
cours 8: Equation d’etat
S. Mazevet
Laboratoire de Structure ElectroniqueDepartement de Physique Theorique et Appliquee
Commissariat a l’Energie AtomiqueBruyeres-Le-Chatel, France
Orsay, Octobre 2010
Orsay, Octobre 2010 p-1/33
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Introduction
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Table of contents
1 IntroductionHydrodynamique et hydrodynamique radiativeDefinition d’une equation d’etatExperience
2 Relations thermodynamiques fondamentales
3 Equation d’etatEquation d’etat polytropiqueEquation de SahaIonisation par pressionInteractions CoulombiennesGas de Fermi
Orsay, Octobre 2010 p-2/33
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Introduction
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Hydrodynamique radiative
Resoudre de maniere numerique les equations hydrodynamiques ducours 3 a 1, 2, ou 3 dimensions demande un ensembled’algorithmes tres pousses
Le challenge important est d’obtenir la grille numerique la plusefficace pour le probleme a resoudre
Lorsque la rayonnement est important, il faut le prendre en comptecomme un fluide supplementaire a traiter (approximation la plussimple)
On parle alors d’hydrodynamique radiative
Les equations hydrodynamiques doivent alors etre generalisees
Par example, l’equation de conservation du moment l’equationfluide, devient alors
ρ∂
∂tu + ρu.∇u = −∇(p+ pR) (1)
avec pR la pression radiative
Orsay, Octobre 2010 p-3/33
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Introduction
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Hydrodynamique radiative II
Comme P ≡ kBT et PR = 43σc T
4 a partir du rayonnement d’uncorps noir, et σ la constante de Stefan-Boltzmann.Lorsque la temperature augmente, la pression radiative devientdominante.On parle alors de plasma ou la radiation est dominanteOn obtient la temperature de transition en posant P = PR
T (keV ) =1
1.6× 10−9
(3k4Bcρ(1 + Z)
4σmpA
)1/3
= 2.6
(ρ(1 + Z)
A
)1/3
(2)ou on a utilise une equation d’etat polytropique et ρ en g/cm3.
p =ρ(1 + Z)kBT
Amp(3)
Pour une experience en laboratoire ou a l’interieure d’une etoileρ ≡ 1g/cm3.Des temperatures de l’ordre du keV sont donc necessaires pour quela radiation domine.
Orsay, Octobre 2010 p-4/33
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Introduction
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Hydrodynamique radiative III
Les simulations hydro-rad sontappliquees de la FCI a l’astrophysique
Si les particules deviennentrelativistes, il faut traiter de maniereuniforme les particules et les photons
Les donnees fondamentales pour cessimulations sont l’equation d’etat(relation (ρ,T,P)) et l’opacite(absorption) qui decrivent lecomportement de la matiere endensite et temperature
Figure: Simulation de laformation d’une etoile massive
Simuler tous les plasmas demandent de connaitre les proprietes dela matiere, son equation d’etat et les proprietes de transportassociees (absorption, resistivite,..) sur un tres large domaine depression et temperature parfois impossible a reproduire enlaboratoire
Nous nous limiterons au cas ou la radiation n’est pas dominante.
Orsay, Octobre 2010 p-5/33
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Introduction
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Equation d’etat
Une equation d’etat est une loi unique a chaque element reliant lapression et l’energie interne a la densite et la temperature
Nous avons vu dans le cours 3 une equation d’etat simple,l’equation d’etat polytropique
Cette relation n’est valable qu’aux tres hautes temperatureslorsque les constituants se comportent comme des gaz parfaits
Pour toutes les autres conditions il faut mesurer et/ou modeliser
Il faut donc decrire le comportement d’un element en pression ettemperature variant des conditions normales aux conditionsextremes recontrees en astrophysiques ou dans les schemas defusion
Ces quantites sont ensuite tabulees et lues lors de la simulationhydrodynamique pour produire une description physique
Nous avons vu dans les chapitres precedents qu’une equationd’etat est necessaire pour fermer le systeme d’equations dehydrodynamique
Orsay, Octobre 2010 p-6/33
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Introduction
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Equation d’etat: example de l’hydrogene
L’hydrogene se trouve sousforme gazeuse et moleculairedans les conditions normales
Lorsque l’on varie la pressionl’hydrogene se solidifie si latemperature reste faible.
L’hydrogene se dissocie puiss’ionise lorsque la temperatureet la pression augmentent
Figure: Diagramme de phase de l’hydrogene
Une equation d’etat complete de l’hydrogene est un modelepermettant de decrire le comportement de l’hydrogene du plasmatres peu dense et tres chauds que l’on trouve dans les tokamaksaux plasmas denses et froids des interieures planetaires.
Orsay, Octobre 2010 p-7/33
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Equation d’etat: experience
Mesurer le comportement d’un element en pression et temperatureest tres difficileIl se transforme (changement de phase liquide-solide, solide-solide), s’ionise, se dissocie,...Mesures statiques: on utilise des cellules a enclume diamant(jusqu’a 350GPa et 5000K)Mesures dynamiques: on comprime a l’aide d’un chocLes mesures dynamiques ont demarees avec des explosifs, descanons,...On utilise maintenant les lasers de puissance pour atteindre despressions de plusieurs Mbar et des temperatures de plusieursmilliers de degres sur des echantillons millimetriquesPour un choc on parle de relation d’Hugoniot reliant l’etat initial al’etat final obtenu lors d’un choc
(U1 − U2) +1
2(V1 − V2)(P1 + P2) = 0. (4)
La difficulte consiste a utiliser un diagnostique rapide pour mesurerl’etat transient obtenu
Orsay, Octobre 2010 p-8/33
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Equation d’etat: experience
La difficulte des mesures dynamiquesest illustree par la controverse autoursde l’equation detat de l’hydrogene
Il a fallut 10 ans d’experience sur lesgrandes installations lasers (Omega)et Z-pinch (Sandia) pour obtenir uneequation d’etat de l’hydrogene enpression en accord avec la theorie
Durant 10 ans, deux experienceetaient en contradiction
Implication importante pour lamodelisation de Jupiter et pour lacredibilite de la theorie
Figure: Hugoniot del’hydrogene
Un nombre important de modeles ont ete developpesPremier succes de la simulation numerique utilisant seulement leslois de la mecanique quantique: simulation de dynamiquemoleculaire quantiqueLors d’un choc l’hydrogene est dissocie puis ionise
Orsay, Octobre 2010 p-9/33
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Thermodynamique
La physique statistique permet de calculer les proprietes physiquesd’un systeme compose d’un tres grand nombre de particules.La thermodynamique enonce des relations entre des proprietesmesurables et macroscopiques, P, T,...Ces grandeurs thermodynamiques observables se derivent a partirde la mecanique statistique a l’equilibreUn exemple vu dans le cours precedent: la temperature qui est unegrandeur thermodynamique, observable et mesurable et sa relationavec la moyenne des vitesses des particules constituant le systeme.Une equation d’etat qui est definie comme la relation entre latemperature, la densite, la pression et l’energie interne d’unelement s’appuie donc sur des relations thermodynamiques.Une transformation thermodynamique correspond a unchangement d’etat. La transformation est quasi-statique si lesconditions exterieures qui conduisent a la transformation changentsuffisamment lentement pour qu’a chaque instant le systeme soit al’equilibre. La transformation est reversible si on revient auxconditions initiales lorsque les conditions exterieures reprennentleurs valeurs de depart. Orsay, Octobre 2010 p-10/33
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Thermodynamique II
Une quantite thermodynamique est dite extensive si elleproportionnelle la quantite de matiere (Nb de particules parexemple). Intensive si elle ne l’est pas Par exemple l’energieinterne U est extensiveOn rappelle ici les equations fondamentalles utilisees dans l’etudedes equations d’etat.
dU = dQ− PdV dE = TdS − PdV (5)
dF = −SdT − PdV dG = −SdT + V dP (6)
G = F + PV (7)
ou U est l’energie interne, Q la quantite de chaleur, P la pression,V le volume, S l’entropie, F l’energie libre de Helmotz, et Gpotentiel de Gibbs.Certains coefficients, definis a partir de derives partielles defonctions d’etat revetent une grande importance a la fois dans lesequations d’etat et la description de la matiere dans lestransformations thermodynamiques.
Orsay, Octobre 2010 p-11/33
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Thermodynamique III
C’est particulierement le cas pour tous les coefficients de chaleurspecifique
Cv =
(∂U
∂T
)V
(8)
Cp =
(∂U
∂T
)V
+ P
(∂V
∂T
)P
(9)
α =1
V0
(∂V
∂T
)P
Coeff. expansion thermique (10)
κ = − 1
V0
(∂V
∂P
)T
Coeff. de compressibilite (11)
σ = =1
P0
(∂P
∂T
)V
Coeff. de contrainte (12)
Ces differents coefficients sont relies entre eux.
Orsay, Octobre 2010 p-12/33
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Thermodynamique IV
Une equation d’etat se derive a partir de l’energie libre F (V, T )
dF = SdT − pdV (13)
La pression donnee par
p = −(∂F
∂V
)T
(14)
et l’entropie est donnee par
S = −(∂F
∂T
)V
(15)
L’energie interne est donnee par E = F + TS
La consistence thermodynamique est obtenue en imposant∂/∂T (∂F/∂V ) = ∂/∂V (∂F/∂T )(
∂E
∂V
)T
= −p+ T
(∂p
∂T
)V
(16)
Orsay, Octobre 2010 p-13/33
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Equation d’etat polytropique
Lorsque la temperature est suffisement elevee, les elementsconstituant sont completement ionises
Le comportement de la matiere entierement ionisee est proche dugas parfait.
Il peut etre decrite par une equation d’etat polytropique definit par
p =ρ(1 + Z)kBT
Amp(17)
c2s =
(∂p
∂ρ
)s
=γp
ρ(18)
ρε =p
(γ − 1)(19)
Ou l’on a definit ε, l’energie interne, et Z le degre d’ionisationmoyen, A la masse atomique moyenne des ions dans le plasma, etmp la masse d’un proton.
On suppose que Z et γ sont des constantes ce qui reste demaniere generale une tres mauvaise approximation.
Orsay, Octobre 2010 p-14/33
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Equation d’etat polytropique III
Pour l’expression de cs, la derivee est prise a entropie constante
Si le gas est un gas parfait, γ = 1 + 2/n avec n est le nombre dedegrees de liberte
Ces equations impliquent que l’energie par particule est n/2KBT
La chaleur specifique (a volume constant) est donnee par
cV =
(∂ε
∂T
)ρ
(20)
=(1 + Z)kb
(γ − 1)AMp(21)
La troisieme equation permet egalement de definir l’indice γ(∂p
∂ρ
)s
= (γ − 1)ε+ (γ − 1)ρ
(∂ε
∂ρ
)s
(22)
Orsay, Octobre 2010 p-15/33
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Equation d’etat polytropique II
en utilisant la deuxieme loi de la thermodynamique
dε = dq − pd(1/ρ) (23)
comme le flux de chaleur est nul a entropie constante dq = 0 onretrouve alors (
∂p
∂ρ
)= γ
p
ρ(24)
La troisieme equation implique donc que p ≡ ργ pour un processusadiabatique
Lorsque les ions constituant le plasma ont un numero atomiqueplus eleve que l’hydrogene ou l’helium, ils sont rarementcompletement ionises.
Ceci n’arrive que lorsque la temperature devient superieure aplusieurs keV ou lorsque la densite devient plusieurs dizaine de foissuperieure a celle du solide.
Orsay, Octobre 2010 p-16/33
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Degree d’ionisation d’un plasma multicharge
Pour le soleil par exemple, le Fer n’est pas que partiellement ionise
Il est donc important d’avoir une theorie qui permet de decrire unplasma partiellement ionise ou de maniere plus simple de connaitrele degree d’ionisation a une temperature et une densite donnee
Pour construire une equation d’etat meme de type polytropique, ilest donc primordiale de determiner le degree d’ionisation del’ensemble des especes constituant le plasma.
La densite electronique est Zni mais la valeur de la chargemoyenne depend de la temperature et de la densite pour uneespece atomique donnee.
Pour connaitre Z il faut donc calculer la population relative Ni desdifferentes especes ioniques potentiellement presentes dans leplasma.
Le degre d’ionisation est alors
Z =1
N
∑i
ZiNi (25)
Orsay, Octobre 2010 p-17/33
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Equation de Saha
Determiner le degree d’ionisation d’un plasma est un problemecomplique lorsque la densite est importante.
Pour des densites suffisement importantes pour que le plasma soita l’equilibre, le degree d’ionisation est obtenu a partir de ladistribution des electrons sur les niveaux d’energies des especesioniques presentes.
Pour une temperature donnee, cette distribution est donnee parl’equation de Saha.
Si l’on considere les etats fondamentaux des differentes especesioniques presentes dans un plasma
Pour une plasma d’Al, ces especes sont, par exemple, Al+, Al2+,Al3+,...
L’equation de Saha donne la population des differentes especesioniques en considerant que les collisions ionisantes et derecombinaison sont a l’equilibre
Orsay, Octobre 2010 p-18/33
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Equation de Saha II
L’equation de Saha donne donc
NjNk
ne =gj
4gka30
(kBTeπEH
)3/2
e−Ej,kkBTe (26)
ou nous avons definit a0 = 5.29× 10−9 le rayon de Bohr, Ej,kl’energie necessaire pour aller de l’etat j a l’etat k et gj et gk lepoid statistique de chacuns des etats.
Si l’on suppose que tous les ions sont de type hydrogenoides onpeut alors poser pour l’energie d’ionisation de l’etat k a k + 1
E(k+1)k = Z2k+1EH (27)
ou EH = h2/(8a20π2me).
On peut definir une charge caracteristique, differente de la chargemoyenne en supposant deux etats d’ionisation Zbal − 1/2 etZbal + 1/2 pour lesquels Ni/Nk = 1.
Orsay, Octobre 2010 p-19/33
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Equation de Saha III
L’equation de Saha donne alors
Zbal =
√kBTeEH
√√√√ln
[1
ne
gj4gka3o
(kbTeπEH
)3/2]− 1
2(28)
Zbal = 19.7
√√√√Te
[1 + 0.19ln
(T
3/2e
n24
)]− 1
2(29)
ou Te est en keV et n24 est la densite electronique en 1024cm−3.On a egalement suppose gj = gk.
en posant ne = Zbalni, nous avons une equation explicite de Z.
Orsay, Octobre 2010 p-20/33
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Thermo
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Equation de Saha IV
En utilisant l’expression de Zbal on peut donc ecrire pour j et karbitraire
NjNk
= e−
(εjk−Z2balEH )
kBTe (30)
Pour obtenir la population relativeNjN1
on doit appliquer cetterelation de maniere repetitive
NjN1
= Πj−1k=1
Nk+1
Nk(31)
NjN1
= Πjm=2exp
[−m
2 − Z2bal
kBTe/EH
](32)
= exp
[− (j − 1)(6 + 5j + 2j2 − 6Z2
bal)
6kBTe/EH
](33)
Ceci conduit a une distribution fortement piquee autours de ZbalLes ions presents dans le plasma ont donc tous un degreed’ionisation tres proche de Zbal
Orsay, Octobre 2010 p-21/33
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Thermo
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Equation de Saha V
Le degree d’ionisation d’un plasma sedefinit de maniere plus generale apartir des populations de chaquesetats ioniques
Z =
∑Znucj=1 jNj/N1∑Znucj=1 Nj/N1
(34)
L’equation de Saha est simplement unresultat de la physique statistiqueobtenu en considerant les energiesd’ionisation
Figure: Degree d’ionisationde l’oxygene le long d’unisotherme
L’equation de Saha implique que Zbal est inversementproportionelle a la densite
Lorsque la densite augmente l’equation de Saha n’est plus validecar les ions ne peuvent pas etre consideres comme isoles
Orsay, Octobre 2010 p-22/33
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Introduction
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Ionisation par pression
Lorsque la densite augmente, les ions ne peuvent plus etreconsideres comme isoles et les electrons libres deviennentdegeneres.La prise en compte du premier effet represente l’ionisation parpression.Cet effet se resume a l’abaissement du potentiel d’ionisation desatomes ou des ions constituant le plasma.Pour un atome ou un ion cet effet se traduit par la disparition desetats tres excites et d’un diminution du potentiel d’ionisation.La prise en compte de cet effet modifie le comportement de Zbal endensite et force une ionisation totale pour les plus hautes densites.Cet effet peut se calculer de deux manieres differentes suivant leregime.Lorsque la densite est faible et que la longueur de Debye estsuperieure a la distance inter-ionique, on peut calculer la chargetotale produite par le reste du plasma sur cet atomeLes etats lies dont l’energie est situee entre le continum et cepotentiel sont elimines.
Orsay, Octobre 2010 p-23/33
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Introduction
Thermo
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Ionisation par pression II
Ceci peut etre prise en compte dans lequation de Botzmann parune occupation dependant de la densiteNous allons traiter le cas simple ou la distance moyenneinter-ionique est plus importante que la longueur de Debye,L’ecrantage etant local autour de chaque atome ou ion, on utilisele modele dit de l’ion spheriqueDans l’approximation de l’ion spherique, on suppose que chaqueion influence seulement la region contenue a l’interieur de la spherede rayon R0 donne par
4π
3R3
0ni = 1 (35)
ou ni est la densite ionique en cm−3.Pour une densite de 7.5× 1022 on a R0 ≡ 10−8cm.A l’interieur de la sphere R0, la charge des electrons doit annulercelle de l’ion
Zi =4π
3R3
0ne (36)
Orsay, Octobre 2010 p-24/33
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Ionisation par pression III
En determinant le potentiel electrostatique produit par leselectrons libres a l’aide de l’equation de Poisson et en l’utilisantcomme perturbation d’un ion hydrogenoide on obtient le nombrequantique principal le plus eleve possible
nc =
√ZiRoa0
(37)
Le meme resultat peut etre obtenu en utilisant une descriptionsemiclassique
On dit alors que le plus haut niveau quantique possible est celuipour lequel le rayon de l’orbite est equal a R0
La reduction de l’energie d’ionisation est donnee par
∆E ≡ ZiEHa0R0
(38)
Orsay, Octobre 2010 p-25/33
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Introduction
Thermo
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Ionisation par pression IV
On voit que l’importance de cet effet diminue lorsque l’energied’ionisation augmente
∆E
Z2i EH
=aoZi
(4πni
3
)1/3
≡ 1.33
(n24
T3/2eV
)1/3
(39)
La generalisation pour inclure le comportement a basse densite ouλD ≥ R0 est donnee par
∆E ≡ ZiEHmin(
2a0λD
,a0R0
)(40)
Orsay, Octobre 2010 p-26/33
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Interactions Coulombiennes
Lorsque la densite devient importante, on ne peut plus considererles electrons comme un gas ideal ou les particules n’interagissentpas entre elles.
La prise en compte de cet effet se fait par l’intermediaire de lafonction d’energie libre d’Helmotz F
En definissant l’energie libre electronique Fe, la contributionelectronique a la pression, l’entropie et l’energie interne deselectrons est alors
pe = ρ2∂Fe∂ρ
(41)
se = −∂Fe∂Te
(42)
εe = −T 2t
∂
∂Te
(FeTe
)(43)
Orsay, Octobre 2010 p-27/33
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Introduction
Thermo
EOS
Interactions Coulombiennes
Lorsque l’on considere les electrons contenus dans la sphere R0
definit dans l’approximation de l’ion spherique, l’energie libreelectronique est donnee par
Fe =ZkBTeAmp
[−1 + ln
(Znih
3
2(2πmekBTe)3/2
)]− 9
10
Z2e2
R0Amp(44)
ou Z est le nombre d’electrons libres par ion.
Le premier terme est l’expression standard de l’energie libre pourun gas parfait de particule libre de densite niZ.
Le deuxieme terme represente la contribution des interactionscoulombiennes electron-electron et electron-ion.
En considerant Z = 0.63√Te avec Te en eV et ni = ρ/Amp on
obtient
pe = 0.63kBniT3/2e − 0.192e2n
4/3i Te (45)
ρεe = 2.18kBniT3/2e − 0.315kBniT
3/2e ln
[nih
3
Te(mekB)3/2
](46)
Orsay, Octobre 2010 p-28/33
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Introduction
Thermo
EOS
Interactions Coulombiennes II
En considerant les ions completement ionises Z = Znuc on obtient
pe = ZnuckBniTe −62/3π1/3
10e2n
4/3i Z2
nuc (47)
ρεe =3
2ZnuckBniTe −
22/335/3π1/3
10e2n
4/3i Z2
nuc (48)
Le systeme passe d’une description a l’autre pourTe = (Znuc/0.63)2.Pour obtenir une equation d’etat complete, il faut ajouter lacontribution ionique a la pression et a l’energie interne.
pi =ρkBTiAmp
(49)
εik =3
2
kBTiAmp
(50)
εii = R/Amp =kBEHAmp
Z∑k=0
k2 =kBEH6Amp
Z(Z + 1)(1 + 2Z)(51)
Orsay, Octobre 2010 p-29/33
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Introduction
Thermo
EOS
Interactions Coulombiennes III
ou R represente l’energie interne par ion.La pression et l’energie totale dans les deux regimes sont alors
p = 1.6× 10−12niTe
(1 + 0.63
√Te − 2.76× 10−8n
1/3i
)(52)
ρε = 1.6× 10−12ni (53)
×[1.43
√Te + 4.20Te + T 3/2
e
(1.3− 0.315T 3/2
e ln
[ni
1023Te
])]p = 1.6× 10−12ni
(Te(1 + znuc)− 6.96× 10−8n
1/3i Z2
nuc
)(54)
ρε = 2.4× 10−12ni
(825 + Te(1 + Znuc)− 1.39× 10−7n
1/3i Z2
nuc
)(55)
Lorsque la densite augmente, la pression baisse par un facteur deuxlorsque l’on passe du regime ideal a haute temperature et bassedensite vers le sbasse temperatureOn approche alors le regime ou les electrons sont degneres etobeissent la statistique de FermiCette baisse de pression est due aux interactions coulombiennes
Orsay, Octobre 2010 p-30/33
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Gas de Fermi
Lorsque la densite est tres eleveee les electrons obeissent a lastatistique de Fermi
f(r, p) =1
1 + exp(ε(p)− µ)/kBT(56)
ou ε(p) = p2/2m est l’energie cinetique de l’electron qui depend dsonmoment p et µ est le potentiel chimique.
Dans le cas non polarise, chaque element de volume h3 peutaccommoder deux electrons donc une densite d’etat 2/h3
Pour N electron dans un volume V on obtient la relation
N =
∫2
h3d3rd3pf(r, p) =
2V
λ3thI1/2
(µ
kBT
)(57)
ou nous avons introduit l’integrale de Fermi
Is(x) =
(1
s!
)∫ ∞0
dyys
1 + exp(y − x)(58)
Orsay, Octobre 2010 p-31/33
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Introduction
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Gas de Fermi II
Dans le cas fortement degenere, l’equation d’etat des electrons estobtenue a partir de l’energie libre
F = Nµ+
∫2
h3d3rd3plnf(r, p) (59)
= Nµ− kBT2V
λ3thI3/2
(µ
kBT
)(60)
Lorsque la densite est faible, on a µ/kBT → −∞ et l’on retrouveles expressions du gas parfait.
Orsay, Octobre 2010 p-32/33
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Introduction
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Dynamique moleculaire quantique
Structure electronique a T=0(Electronic structure)
Boite de simulation periodique
Volume et temperature constante
Separation de Born Oppenheimer
H(Ri) = He(ψe, Ri) +Hi(Ri) and Fi = −∂Ee(ψi, Ri)
∂Ri
Les electrons sont traites de maniere quantique en utilisant latheorie des fonctionelles de densite ab initio ou quantique
Les ions sont avances en utilisant les forces produites par leselectrons Dynamique Moleculaire
Valable pour les plasmas denses et T<10eV
Orsay, Octobre 2010 p-33/33
