Introduction aux classes empiétantes

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ENST Bretagne, département IASC

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Introductionaux

classes empiétantes

François Brucker

[email protected]

Brest (Breizh)

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‘‘Définition générale de la classification’’ : Le seul moyen de de faire une méthode instructive et naturelle,

c’est de mettre ensemble les choses qui se ressemblentet de séparer celles qui diffèrent les unes des autres.

Georges Leclerc de Buffon, naturaliste et écrivain, Histoire naturelle,1749.

2 grands types de critères :

• globaux (au niveau des classes)• locaux (au niveau des objets)

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Une définition d’une classe

Ensemble X d’objets

Relation RSymétrique (x R y y R x)

Réflexive (x R x pour tout x de X)

On associe à R un graphe GR=(X,E)

C est une classe de X C est une clique maximale de GR

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Une classification de (X,R)

(X,R) GR {C1, C2, …, Cp}

Ensemble de cliques maximales

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Classification particulière

Partition

Critère global : Critère local :

Relation d’équivalence

• réflexive• symétrique• transitive

x R y et y R z x R zA B {A,B

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non empiétance transitivité

Classe A Classe B

ami

moi

ami

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y

x

z

t

On regarde par rapport à 2 éléments

Relation 2-transitive (Jardine et Sibson, 1971)

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Se généralise à 3, 4, ..., n éléments.

x

y

z

Relation n-transitive (Jardine et Sibson, 1971)

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Les classes formées par ces modèles relationnels

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Une définition d’une classe

Ensemble X d’objets

On associe à chaque d(x,y)= un graphe G=(X,E)

C est une classe de X C est une clique maximale d’un G

Dissimilarité : d : X Rd(x,y)=d(y,x)d(x,y) 0d(x,x)=0

telle que

Propre si d(x,y)=0 x=y

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Classification particulière

Arbre hiérarchique

Ultramétrique : U

u(x,y) max{u(x,z),u(z,y)}

A B {A,B

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Le cas des hybrides

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Réticulogramme

x

yz

t

u

v

w

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Distance additive d’arbre

x

yz

t

u

v

w

Ce n’est pas à proprement parler un système de classes

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Autre problème où l’empiétance est nécessaire : la sériation

Le problème est ici de classer des objets par ordre chronologique, les objetsétant décrit par une dissimilarité.

Une classification est alors la donnée d’un ordre compatible avec la dissimilarité

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Lien entre sériation et classes

À la différence du modèle arboré, le problème de sériationest lié à un modèle de classe particulier : les hypergraphes d’intervalles

x y z t

Les classes d’une dissimilarité d sont un hypergraphe d’intervalleSi et seulement si il existe un ordre tel que toute classe de d

soit un intervalle de cet ordre.

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Lien entre dissimilarités et classes

Il existe des bijections entre dissimilarités et classes

transformer une dissimilarité quelconqueen une dissimilarité d’un type particulier.

Dans ce cas, classifier c’est :

• ultramétriques hiérarchies (Jardine, Jardine et Sibson, 1967, Johnson, 1967, Benzecri, 1973)• dissimilarités fortement de Robinson pseudo-hiérarchies indicées (Durand, 1989)• quasi-ultramétriques quasi-hiérarchies indicées (Diatta et Fichet, 1994)

Les modèles de classe associés aux modèles de distancecorrespondent à des visions classificatoires différentes

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Les k-ultramétriques(Jardine et Sibson, 1971)

Pour tout S X, |S|=k, a,b X : d(a,b) max{d(x,y) | x S {a,b}, y S}

Définition :

ie. Sur k+2 points, les deux plus grandes dissimilarités sont égales

d est une dissimilarité k-ultramétrique sur X ssi :

Intérêt : rendre compte des relations de k-transitivités

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d est une dissimilarité fortement de Robinson sur X ssi :

• Il existe un ordre sur X • pour tout x y z d(x,z) max{d(x,y),d(y,z)}

• pour tout x y z• pour tout z t : d(x,z)=d(y,z) d(x,t)=d(y,t)• pour tout t x : d(x,z)=d(x,y) d(y,t)=d(z,t)

Définition :

Les pyramides(Diday, 1984 ; Fichet, 1984)

x y z t

Intérêt : problèmes de sériation

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Les quasi-ultramétriques(Diatta et Fichet, 1994)

x y

z t

d est une dissimilarité quasi-ultramétrique ssi : pour tout {x,y,z,t} X :max { d(x,z), d(z,y) } d(x,y) d(z,t) max { d(t,x), d(t,y), d(x,y) }

Définition :

Intérêt (1/2): l’intersection de 3 classes est toujours l’intersection de 2 d’entres elles

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Les quasi-ultramétriques :Intérêt (2/2)

yx

z

t

1. Les 2-boules sont exactement les cliques maximales (calculabilité)

2. L’intersection de 2 cliques maximales est une clique maximale (stabilité)

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Relation entre les différents modèles

ultra-métrique

quasi-ultramétrique 3-ultramétrique

faible(etc.)

pyramides

distance d’arbre

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• ultramétrique dendrogrammes

Problème : visualisation des classes d’une dissimilarité.

Visualisation des classes

• Modèles « classiques » : • Quasi-ultramétrique ?

• pyramides

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Classes sur un chemin

x y z t

x y z t u vx y z t u v

x y z t

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Classes sur un circuit

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Classes sur un arbre

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Visualisation 3D

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Exemple : distance de mutationNombre de positions dans la protéine cytochrome-c où deux espèces ont deux

acides aminés différents (Fitch et Margoliash, 1967)

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Ultramétrique sous dominante

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