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Introduction aux Mathematiques et

Modeles Stochastiques

des Marches Financiers

Huyen PHAM

Universite Paris 7Laboratoire de Probabilites et

Modeles Aleatoires, CNRS UMR [email protected]

Version : 2006-2007.

Master 2eme annee, ISIFAR

Table des matieres

Preface 4

1 Introduction 51.1 Le probleme des produits derives en finance . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Les contrats a terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2 Les options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Arbitrage statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.1 Unicite du prix d’instruments financiers a flux identiques . . . . 101.2.2 Prix a terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.3 Parite call-put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Modeles stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.1 Operations sur les options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4.2 Relations d’arbitrage sur le call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Modelisation des marches financiers en temps continu. Arbitrage, va-lorisation et couverture d’options 172.1 Modele en temps continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 Portefeuille autofinancant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Arbitrage et probabilite risque-neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4 Evaluation et couverture par arbitrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5.1 Moments et densite du prix du sous-jacent dans le modele deBlack-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5.2 Modele de Black-Scholes multidimensionnel . . . . . . . . . . . . 302.5.3 Existence d’une prime de risque et d’une probabilite risque-neutre

dans un modele BS multidimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . 312.5.4 Parite call-put par evaluation risque-neutre . . . . . . . . . . . . 352.5.5 Evaluation risque-neutre du prix a terme . . . . . . . . . . . . . 36

1

TABLE DES MATIERES 2

3 Formule et proprietes de Black-Scholes 373.1 La formule d’evaluation et couverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.1 L’EDP d’evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.1.2 Valorisation risque-neutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 Formules fermees de Black and Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2.1 La formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2.2 Proprietes du prix des calls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.2.3 Implementation de la formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3 Sensibilite et grecques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.4 Volatilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4.1 La volatilite historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.4.2 La volatilite implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.5 Autres types d’options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.5.1 Options americaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.5.2 Options exotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.6.1 Convexite du prix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.6.2 Coefficients deterministes dans BS . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.6.3 Limite de BS quand σ tend vers 0 et + ∞ . . . . . . . . . . . . . 543.6.4 Formule du Put . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.6.5 Option a choix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.6.6 Options futures : formule de Black . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.6.7 Option puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.6.8 Option digitale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.6.9 Options composees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.6.10 Calcul et graphes des grecques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.6.11 Volatilite de l’option . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.6.12 Volatilite implicite et robustesse de BS . . . . . . . . . . . . . . 66

4 Valorisation d’options europeennes sur multi sous-jacents 684.1 Changement de numeraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.2 Options d’echange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.3 Options quanto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.4.1 Formule de Merton generalisee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.4.2 Formule de Garman-Kolhagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.4.3 Call geometrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.4.4 EDP de Black-Scholes sur deux actifs . . . . . . . . . . . . . . . 794.4.5 Option basket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

TABLE DES MATIERES 3

5 Modeles de taux d’interet 845.1 Principes de la modelisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.1.1 Generalites sur les taux d’interets . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.1.2 Absence d’arbitrage et modelisation de taux . . . . . . . . . . . . 85

5.2 Modeles classiques de taux spot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.2.1 L’EDP des taux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.2.2 Modele de Vasicek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.2.3 Modele de Cox-Ingersoll-Ross . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.2.4 Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.3 Modeles de deformation de la courbe des taux . . . . . . . . . . . . . . . 925.3.1 Le modele de Heath-Jarrow-Morton . . . . . . . . . . . . . . . . 935.3.2 Fonction de volatilite deterministe : HJM gaussien . . . . . . . . 95

5.4 Valorisation de produits derives sur taux d’interet . . . . . . . . . . . . 965.4.1 Les instruments de couverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.4.2 Methode d’evaluation forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.4.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.5.1 Taux forward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.5.2 Formule de Vasicek par EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.5.3 Moyenne et variance dans le modele CIR . . . . . . . . . . . . . 1055.5.4 Volatilite exponentielle dans HJM gaussien . . . . . . . . . . . . 1065.5.5 Option sur obligations a coupons . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.5.6 Formules de prix pour les caplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Bibliographie 114

Preface

Le but de ce cours est de fournir une introduction aux methodes mathematiquesutilisees dans la modelisation en temps continu des marches financiers. On s’interesseraplus particulierement aux problemes de couverture et de valorisation d’options. L’ob-jectif n’est pas de fournir un expose complet de la theorie mais plutot d’insister surles idees et techniques majeures. Les prerequis pour ce cours sont des connaisancesbasiques en calcul stochastique qui fournit les outils mathematiques adequats a la des-cription des aleas financiers et des methodes de calcul de prix d’actifs derives. Desexercices corriges illustrent les resultats du cours.

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Chapitre 1

Introduction

1.1 Le probleme des produits derives en finance

Depuis une trentaine d’annees, nous assistons a une revolution de grande ampleursur les marches financiers. Cette activite financiere se developpe a travers de nombreuxinstruments tels que la circulation de monnaie exprimee dans differentes devises, desoperations de prets et d’emprunts et bien sur des actions emises par les entreprises quirefletent leur capitalisation. Des indices ont ete crees (SP500, CAC 40 ...) permettantaux investisseurs etrangers d’avoir une information rapide sur le comportement desactions d’un pays. La grande variabilite et meme parfois l’instabilite de ces parametres(taux d’interet, taux de change ...) ou de ces titres a conduit naturellement a unedemande de transferts des risques de la part de certains intervenants du marche. Lesbanques ont donc propose et cree un certain nombre de nouveaux produits financiers,appeles produits derives, pour repondre a cette demande. Ces produits financiers sontnegocies basiquement selon deux manieres : dans des marches organises ou des marchesde gre a gre. Les marches organises sont soumis a des reglementations precises et ontun certain degre de standardisation (voire rigidite) sur les instruments proposes. Ilsgarantissent une grande lisibilite des prix affiches et une liquidite sur les titres negocies.Ils peuvent etre percus comme les supermarches de la finance. A cote de ces marches, ilexiste un marche de gre a gre ou de grand nombre de produits financiers sont negociesdirectement entre l’acheteur et le vendeur, via les coups de telephone et les ordinateurs,sans la garantie d’un marche. Les prix de tels produits financiers ne sont pas affichessur les ecrans Reuters et peuvent varier d’une banque a l’autre.

Un produit derive est un instrument financier qui s’achete ou se vend et dont lavaleur derive (est fonction) de celles d’autres actifs financiers de base. Ces actifs sontappeles actifs sous-jacents ou support du produit derive.

Les actifs sous-jacents classiques sont negocies dans differents marches :- marches des actions

5

INTRODUCTION 6

- marche des changes : achat/vente de devises- marche des matieres premieres : petrole, metaux ...- marche de l’energie : electricite, gaz ...- marche des taux d’interetCes produits derives permettent de se proteger contre un risque determine : baisse

du cours des actions, risque de taux d’interet ... Les produits derives les plus couram-ment negocies sont les contrats a terme et les options. Dans ce cours, on se focaliseraprincipalement sur le probleme des options qui a ete le moteur de la theorie et illustreremarquablement les applications des mathematiques a la finance.

1.1.1 Les contrats a terme

Un contrat a terme (forward dans la terminologie anglo-saxonne) est un contratentre deux parties (l’acheteur et le vendeur) pour une operation differee dans le temps :elles se mettent d’accord pour l’achat ou la vente d’un actif a une certaine date future(echeance) et a un prix fixe a l’avance. L’interet des contrats a terme pour les inter-venants est de figer des cours dans le futur : il s’agit dans ce cas d’une operation decouverture.

Exemple : Un industriel francais sait qu’il doit recevoir en dollars une forte sommed’argent dans six mois. Pour se couvrir contre une baisse du dollar, il achete un contrata terme, d’echeance six mois sur le dollar, en euros. Notons que cette operation decouverture du risque de change peut lui etre defavorable si dans six mois, le contratcote moins que le taux de change.

Un contrat a terme peut aussi etre mis en place a des fins de speculation lorsquel’operateur anticipe (contre le marche) un certain type de mouvement et achete ouvend un contrat en esperant realiser un gain. En France, il existe un marche organise,le MATIF ou Marche a Terme International de France, cree en 1986, dans lequel sontnegocies les contrats a terme.

1.1.2 Les options

Une option standard est un contrat donnant a son detenteur le droit, et non l’obli-gation, d’acheter ou de vendre une certaine quantite d’un actif a ou jusqu’a une date(echeance ou maturite) fixee et a un prix convenu a l’avance. Le detenteur ou ache-teur de ce contrat d’option est dit etre en position longue alors que sa contrepartie,l’emetteur ou vendeur du contrat, est en position courte. Le MONEP ou Marche desOptions Negociables de Paris, cree en 1987, est un marche organise d’options tres actif.

Les options europeennes sont les options qui peuvent etre exercees seulement lejour de l’echeance, et les options americaines sont celles pouvant etre exercees a toutinstant avant leur echeance.

INTRODUCTION 7

Les options standard traitees sont des options d’achat (call dans la terminologieanglo-saxonne) ou options de vente (put) selon qu’il donne le droit a leur detenteurd’acheter ou de vendre un actif sous-jacent (action, obligation, devise ...).

Les parametres d’une option standard (vanille en anglais) sont donc :- l’echeance ou maturite de l’option qui limite sa duree d’exercice. Dans les marches

organises, trois echeances sont cotees simultanement : 3, 6 et 9 mois. Toutefois, pourle CAC 40, l’echeance est mensuelle.

- le prix d’exercice (strike dans la terminologie anglo-saxonne) est le prix fixe al’avance auquel se fait la transaction en cas d’exercice de l’option. Trois prix d’exerciceau minimum sont cotes sur chaque action et pour chacune des trois echeances. Cesprix d’exercice sont fixes en general a des cours proches de celui de l’action. On ditque l’option est a la monnaie si le cours de l’action est egal (ou tres proche) du prixd’exercice. L’option call est dans la monnaie si le cours de l’action est superieur au prixd’exercice et en dehors de la monnaie s’il est inferieur. Pour le put, la terminologie estinversee.

- la prime est le prix du contrat paye par l’acheteur au vendeur de l’option. Pourun contrat portant typiquement sur 100 actions support sur les marches organises,l’acheteur doit payer 100 fois la prime. Lorsque l’option est cotee sur un marche or-ganise, la prime est donnee par le marche. En l’absence de cotation, le probleme ducalcul de la prime se pose. Et meme pour une option cotee, il peut etre interessant dedisposer d’une formule ou d’un modele permettant de detecter d’eventuelles anomaliesde marche.

Exemple : option (call) de change sur un dollar dans 6 mois pour K euros. Si ledollar monte, on exerce l’option et on achete le dollar a K euros. Si le dollar baisse, onn’exerce pas l’option et on achete au prix du dollar. La prime est perdue.

Les options offrent aussi un fort effet de levier comme l’illustre l’exemple suivant.

Exemple : Considerons un investisseur qui anticipe une hausse du cours d’une actionvalant aujourd’hui 98 euros. Il pourrait acheter l’action immediatement mais l’achatd’un call de 6 mois sur ce titre peut lui permettre de realiser un fort effet de levier.Prenons le cas d’un prix d’exercice du call de 100 et une prime de 4, 8. Supposonsqu’au bout de 6 mois, le cours vaut 107. Si l’investisseur avait achete le sous-jacent, ilva obtenir un gain relatif de 107−98

98 = 9, 2%, alors qu’en achetant le call, il obtiendraun gain relatif de 107−100−4,8

4,8 = 45, 8%. Si par contre, le cours vaut 100 au bout de sixmois, l’investissement dans le sous-jacent rapporte un gain relatif de 100−98

98 = 2, 4%alors que l’achat du call entraine 100−100−4,8

4,8 = −100% de gain : l’option est plus risqueemais la perte est limitee a la prime.

La problematique majeure que nous rencontrons pour les options est le calcul de laprime. Pour formaliser les idees, considerons le cas d’un call europeen sur une actiondont le cours a la date t est St, de maturite T et de prix d’exercice K. Si a l’echeance

INTRODUCTION 8

T , le cours de l’action est superieur au prix d’exercice, i.e. ST > K, le detenteur del’option va exercer son droit puisqu’il lui permet de realiser un profit egal a ST −K

correspondant a l’achat au cout K de l’action valant ST . Par contre, si ST ≤ K, il estclair que le detenteur du call n’a pas interet a exercer son droit. La valeur intrinsequea la maturite de l’option (on dit aussi flux ou payoff terminal dans la terminologieanglo-saxonne) du call est donc egale a :

(ST −K)+ = max(ST −K, 0).

De maniere similaire, on voit que le flux terminal du put europeen est egal a (K−ST )+.

0 K ST

Payoff max(ST-K,0) du Call

K

0 K ST

Payoff max(K-ST,0) du Put

D’autre part, pour le vendeur de l’option, il s’agit en cas d’exercice, par exemple ducall, i.e. ST > K, d’etre en mesure de fournir une action au prix K et par consequent depouvoir produire a la maturite une richesse egale a (ST−K)+. Au moment de l’emissiondu contrat, le cours ST est inconnu dans un monde aleatoire et deux questions crucialesse posent :

1. Quelle est la prime de l’option, c’est a dire le prix du contrat paye par l’acheteurau vendeur de l’option ? Autrement dit comment evaluer a la date de signature ducontrat, prise comme origine des temps t = 0, une valeur (ST −K)+ (dans le cas ducall) a la maturite T > 0 ? C’est le probleme de la valorisation (pricing).

2. Comment le vendeur de l’option, qui touche la prime a t = 0, peut-il produireune richesse (ST − K)+ (dans le cas du call) a la date T ? C’est le probleme de lacouverture (hedging).

La reponse a ces deux questions qui sont intimement liees, repose bien entendusur un minimum d’hypotheses que l’on doit faire : une hypothese de modelisationdes marches et en particulier du cours des actifs financiers et une hypothese de nonarbitrage qui dit essentiellement qu’il n’est pas possible de faire des profits sans prendredes risques. Nous reviendrons dans ce cours sur cette notion d’arbitrage qui est a labase des methodes de valorisation et couverture d’options. Initiees a l’origine dans

INTRODUCTION 9

le cadre du modele de Black-Scholes pour les options vanilles, ces methodes se sontlargement developpees, parallelement a l’essor considerable des marches financiers, ades modeles plus realistes et a des options de plus en plus complexes n’ayant de limiteque l’imagination des professionnels. Parmi ces options, dites exotiques, nous citons :

- les options quantos : ce sont des call ou des put ecrits sur des titres d’un marcheetranger mais payees en monnaie domestique.

- les options digitales : un call digital est une option qui paye un nominal connu ason detenteur si le cours de l’actif sous-jacent a la maturite depasse un prix d’exercicefixe et rien sinon. Un put digital a les memes caracteristiques mais le nominal est payesi le cours est inferieur au prix d’exercice. C’est un produit tres speculatif au voisinagede l’echeance car il est du type tout ou rien.

- les options asiatiques : ce sont des options dont le sous-jacent est la moyenne descours sur une periode donnee. Elles ont ete introduites pour lutter contre la manipu-lation des cours au voisinage de la maturite.

- les options lookback : ce sont des options dont le sous-jacent est le minimum oumaximum du cours sur une periode donnee. En general, la valeur intrinseque est ladifference entre la valeur du cours et la valeur du minimum ou du maximum.

Ces deux derniers types d’options font partie des options dites path-dependent carelles dependent de toute l’evolution du cours du sous-jacent et pas seulement de soncours a la maturite.

- les options barrieres : ce sont des options qui autorisent l’exercice seulement si lecours de l’actif sous-jacent a franchi un seuil fixe dans le contrat, appele barriere.

1.2 Arbitrage statique

La notion d’arbitrage est la base de la theorie et couverture d’options. Cette notioneconomique qui signifie essentiellement qu’on ne peut gagner de l’argent surement sansprendre de risques sera formalisee mathematiquement au chapitre suivant. Dans ceparagraphe, nous presentons la notion basique d’arbitrage statique. Sur les marches fi-nanciers, il existe des arbitragistes dont l’activite est de detecter les produits financiersdont le prix est decale par rapport a ce qu’il devrait etre, compte tenu des autres prixde marche et d’en tirer parti pour faire des profits sans risque. Leur intervention eststatique au sens ou ils prennent seulement des positions aujourd’hui, qu’ils liquiderontsans les renegocier a une date future. Ils contraignent les prix a verifier certaines rela-tions, comme nous le montrons sur les quelques exemples suivants. Nous supposeronsaussi que les marches sont sans frictions, i.e. il n’y a pas de couts de transactions ni decontraintes sur les ventes a decouvert. Nous supposons aussi l’existence sur le marchede zero-coupons. Un zero-coupon de maturite T est un produit financier qui assure unnominal fixe en T . Nous notons par B(t, T ) son prix a la date t ≤ T pour un nominal

INTRODUCTION 10

de 1 euro. Notons qu’il est strictement positif par absence d’arbitrage. Par exemple s’ilest possible d’emprunter et de placer de l’argent a un taux constant r, on a B(t, T ) =e−r(T−t).

1.2.1 Unicite du prix d’instruments financiers a flux identiques

Considerons deux instruments financiers X et Y versant le meme flux XT = YT al’echeance T . Alors, ces deux instruments ont la meme valeur a toute date intermediaire.

Corrige. Notons par Xt et Yt la valeur de ces instruments a la date t < T et sup-posons par l’absurde que Yt > Xt. Alors en achetant en t l’instrument X, en vendantl’instrument Y et en investissant le reste (Yt −Xt) dans un zero-coupon de maturiteT , nous constituons un portefeuille de valeur initiale nulle en t. Mais a l’horizon T , ceportefeuille garantit un flux XT − YT + (Yt −Xt)/B(t, T ) = (Yt −Xt)/B(t, T ) > 0.C’est donc une opportunite d’arbitrage.

Corrige. Remarque Par le meme raisonnement, on voit que si le flux de l’instrumentX est toujours inferieur a celui de l’instrument Y , alors son prix est aussi inferieur atoute date intermediaire.

1.2.2 Prix a terme

Soit un contrat a terme sur un titre S. Notons par FS(t, T ) le prix fixe a la date tauquel sera negocie le titre S en T : c’est le prix a terme ou le prix forward de S enT . Notons que l’acheteur du contrat a l’obligation (et non le droit comme pour uneoption d’achat) d’acheter le titre au prix FS(t, T ) convenu a l’avance.

Un raisonnement d’arbitrage statique permet de comparer le prix forward au prixdu titre sous-jacent, on dit aussi prix spot, S. Il y a en effet deux strategies possiblespour obtenir le titre S en T :

- la premiere consiste a acheter le titre en t, au prix St, et le garder jusqu’en T .- la deuxieme consiste a acheter le contrat forward en t, ce qui garantit de recevoir

le titre S en payant FS(t, T ) en T . Pour pouvoir payer cette somme en T , il suffitd’acheter FS(t, T ) zero-coupons de maturite T , ce qui coute en t : FS(t, T )B(t, T ).

Par absence d’arbitrage, on a donc :

FS(t, T ) =St

B(t, T ).

1.2.3 Parite call-put

Notons par Ct et Pt les prix respectifs en t du call et du put europeen de strike Ket de maturite T sur un sous-jacent S. En achetant le call et en vendant le put en t,au prix Ct−Pt, on est garantit d’obtenir a l’echeance le flux (ST −K)+ − (K − ST )+

INTRODUCTION 11

= ST −K. D’autre part, ce flux en T peut aussi etre obtenu en achetant le titre S eten vendant K zero-coupons en t, au prix St −KB(t, T ).

L’absence d’arbitrage montre donc la relation dite de parite call-put :

Ct − Pt = St −KB(t, T ).

1.3 Modeles stochastiques

Pour calculer le prix d’un produit derive, nous avons besoin d’un modele stochas-tique pour decrire l’evolution incertaine du ou des titres sous-jacents. Un modele sto-chastique doit refleter les observations de l’historique des prix aussi bien que possibled’un point de vue statistique. Parallelement, le modele stochastique doit s’integrer dansun cadre mathematique qui permet une analyse efficace des prix d’options. Un “bon”modele doit donc capturer a la fois les proprietes statistiques de la dynamiques desprix et s’integrer efficacement dans la theorie de l’analyse stochastique. Le celebrissimemodele de Black-Scholes est un compromis entre ces deux exigences et donne dansde nombreux cas des formules explicites de prix d’options. Dans ce cours d’introduc-tion aux mathematiques financieres, nous etudierons principalement ce modele. Auparagraphe precedent, nous avons vu (voir aussi en exercices) comment des raisonne-ments d’arbitrage statiques permettent d’obtenir simplement certaines relations sur lesprix d’options. Mais a priori, il n’y a pas de raison de se restreindre a des strategiesstatiques : le gestionnaire sait qu’il pourra renegocier a l’avenir son portefeuille etpratique donc une gestion dynamique. Ces caracteristiques seront decrites au chapitresuivant grace a la theorie de l’integrale stochastique qui formalise mathematiquementle concept de portefeuille autofinancant de couverture.

Il y a eu ces dernieres annees un engouement important pour developper desmodeles plus generaux que le modele de Black-Scholes afin de mieux “coller” aux ob-servations historiques des prix. Ce sont des modeles dits a volatilite stochastique, avecsauts ... Quel que soit le modele utilise, il faut ensuite determiner les parametres en jeudu modele a partir de l’observation des prix sous-jacents et meme des prix d’optionscotes : c’est le probleme de l’estimation et de la calibration des modeles. Bien entendu,plus le modele ou l’option est complexe, plus il est difficile d’obtenir des formules deprix d’options explicites. On a alors recours a des methodes numeriques pour calculerces prix.

1.4 Exercices

1.4.1 Operations sur les options

Call couvert

INTRODUCTION 12

Un call couvert est une strategie de portefeuille consistant en l’emission (vente ouposition courte) d’un call et la detention (achat ou position longue) d’une unite dusous-jacent.Quel est l’interet du call couvert ? Cette strategie permet pour l’emetteur ducall de se couvrir contre une hausse du cours du sous-jacent car il pourra toujoursdelivrer a la maturite le titre sous-jacent a l’acheteur du call.Calculer et representer le profit net d’une strategie call couvert. No-tons par S le titre sous-jacent, K le strike, T la maturite et c la prime du call. Le payoffd’un call couvert est egal a ST − (ST −K)+ et le profit net associe est donc :

ST − (ST −K)+ − (S0 − c) =

c− S0 +K si ST ≥ K

c− S0 + ST si ST < K.

On observe ainsi que si ST ≥ K, le profit net reste constant alors que si ST < K, ilcroit lineairement avec ST , voir figure ?

^

c-S0+K

K ST

c-S0

Profit d’un Call couvert

Put protectif

Un put protectif est une strategie de portefeuille consistant en une une position longuedans un put et dans le sous-jacent.Quel est l’interet du put protectif ? Cet instrument financier protege contreune baisse du cours du sous-jacent : si celui-ci decroit, la valeur du put augmente.Calculer et representer le profit net d’un put protectif. Notons par Sle titre sous-jacent, K le strike, T la maturite et p la prime du put. Le payoff d’un putprotectif est egal a ST + (K − ST )+ et le profit net associe est donc :

ST + (K − ST )+ − (S0 + p) =

−p− S0 + ST si ST ≥ K

−p− S0 +K si ST < K.

On observe ainsi que si ST < K, le profit net reste constant alors que si ST ≥ K, ilcroit lineairement avec ST .

INTRODUCTION 13

-p-S0+K

0 K ST

Payoff max(K-ST,0) du Put

Spread

Un spread est une combinaison de deux ou plusieurs options de meme type (call ou put)avec certaines en position longue et d’autres en position courte. Les deux strategies despread les plus courantes sont le spread vertical et le spread horizontal. Dans un spreadvertical, une option est achetee, l’autre vendue, les deux sur le meme sous-jacent a lameme maturite mais a des strikes differents. Parmi les spreads verticaux, on distingueles bull spread et les bear spread. Un bull spread (resp. bear) spread fait reference a unflux de profit qui beneficie d’une hausse (resp. baisse) du sous-jacent. Par exemple, unbull spread peut etre forme avec l’achat d’un call de strike K1, de prime c1, et la vented’un call de strike K2 > K1, de prime c2 < c1. Ceci requiert un cout initial positifc1 − c2 mais moindre par rapport a un call simple et donne a la maturite commune Tun payoff :

(ST −K1)+ − (ST −K2)+ =

0 si ST ≤ K1

ST −K1 si K1 < ST < K2

K2 −K1 si ST ≥ K2

On observe donc qu’un bull spread coute moins cher qu’un call simple mais fournit unpotentiel de profit moins important, en fait interessant au voisinage des strikes.

INTRODUCTION 14

0 K1 K2 ST

Payoff Bull Spread

De maniere similaire, un bear spread peut etre forme par l’achat d’un call de strikeK1 et la vente d’un call de strike K2 < K1. Le diagramme de profit est inversee parrapport a celui du bear spread ci-dessus.

Dans un spread horizontal, une option est achetee, l’autre vendue, les deux sur lememe sous-jacent au meme prix d’exercice mais a des maturites differentes. Le dia-gramme de profit est plus complexe que pour les spread verticaux car on doit connaitrele prix de l’option restant en vie.

Straddle

Un straddle est une combinaison de deux ou plusieurs options de type differents surle meme sous-jacent S. Un exemple populaire est le bottom straddle qui consiste enl’achat d’un call et d’un put de meme strike K et meme maturite T . Le payoff d’unbottom straddle est donc egal a :

(ST −K)+ + (K − ST )+ =

K − ST si ST ≤ K

ST −K si ST > K.

L’interet d’un bottom straddle est de fournir un profit lorsque le prix du titre al’echeance est loin du strike et de limiter la perte, due au cout d’achat des options,lorsque le prix du titre est proche du strike.

INTRODUCTION 15

K

0 K ST

Payoff du straddle

Un top straddle est simplement l’inverse d’un bottom straddle et est obtenue par lavente d’un call et d’un put de meme strike et de meme maturite. Il genere des profitslorsque le prix du titre a l’echeance est proche du strike mais peut causer de grandespertes lorsque le prix s’eloigne du strike.

1.4.2 Relations d’arbitrage sur le call

Nous montrons comment deduire a partir de raisonnements d’arbitrage statiquesdes bornes sur les call europeens (le cas des puts est traitee de maniere similaire). Onnote par C(S0,K, T ) le prix aujourd’hui en t = 0, d’un call europeen sur un sous-jacentS de maturite T et de strike K.

Bornes intrinsequesOn a les bornes suivantes :

(S0 −KB(0, T ))+ ≤ C(S0,K, T ) ≤ S0. (1.1)

Preuve. Pour simplifier les notations, on ecrit C = C(S0,K, T ). La borne superieureC ≤ S0 est claire car le payoff du call (ST −K)+ est inferieure au payoff du sous-jacentST en T . Le payoff du call etant positif, il est aussi immediat que C ≥ 0. Il restedonc a montrer C ≥ S0 − KB(0, T ). On raisonne par l’absurde en supposant C <

S0 −KB(0, T ). Considerons alors le portefeuille constitue d’une position longue dansle call, courte dans le titre et d’un achat de K zero-coupons de maturite T . La valeurinitiale de ce portefeuille est donc C − S0 + KB(0, T ) < 0. De plus, ce portefeuillegarantit un flux terminal (ST −K)+−ST +K qui est toujours positif. C’est donc uneopportunite d’arbitrage.

Prix du call en fonction du strikeOn a la relation suivante :

C(S0,K2, T ) ≤ C(S0,K1, T ) si K1 ≤ K2

INTRODUCTION 16

Ceci est immediat car le payoff d’un call est decroissant avec le strike.On a aussi la propriete de convexite :

C(S0, λK1 + (1− λ)K2, T ) ≤ λC(S0,K1, T ) + (1− λ)C(S0,K2, T ),

si K1 ≤ K2 et 0 ≤ λ ≤ 1.Preuve. On note K = λK1 + (1 − λ)K2 et pour simplifier Ci = C(S0,Ki, T ), i =1, 2, C = C(S0,K, T ). On raisonne par l’absurde en supposant C > λC1 + (1− λ)C2.Considerons alors la strategie de portefeuille consistant en l’achat de λ unites de call destrike K1 et (1− λ) de call de strike K2 et la vente du call de strike K. Ce portefeuillea pour valeur initiale λC1 + (1− λ)C2 − C < 0. De plus, il garantit un flux terminal

λ(ST −K1)+ + (1− λ)(ST −K2)+ − (ST −K)+

=

0 si ST ≤ K1

λ(ST −K1) si K1 < ST ≤ K

(1− λ)(K2 − ST ) si K < ST ≤ K2

0 si ST > K2.

qui est toujours positif ou nul. C’est donc une opportunite d’arbitrage.

Chapitre 2

Modelisation des marches

financiers en temps continu.

Arbitrage, valorisation et

couverture d’options

Ce chapitre introduit les principes fondamentaux de modeles de marches finan-ciers en temps continu dont le modele de Black-Scholes est une reference standard.Les modeles en temps continu sont des modeles ou les agents sont autorises a negociercontinument sur le marche et ou l’on doit donc modeliser l’evolution des prix des actifscomme des processus en temps continu. Comme les investissements sur les marchessont executes sur des intervalles de temps tres courts (relativement a l’horizon d’in-vestissement), ces modeles sont une approximation raisonnable des marches reels. Tressouvent, l’unite de temps est l’annee et les observations et investissements ont lieu tousles jours : l’intervalle de temps entre deux prix est donc 1/360, avec la convention qu’ily a en moyenne 360 jours negociables dans l’annee. Cette approximation est aussi lar-gement utilisee dans la finance moderne pour des raisons mathematiques. Meme si lesmodeles en temps continu requierent des outils mathematiques plus sophistiques quepour le temps discret, ils permettent des formules explicites grace au calcul differentielstochastique.

On fait les hypotheses idealisees sur les marches financiers : il n’y a pas de frictionsde marches, i.e. pas de couts de transaction pour la vente et l’achat de titres, pas derestrictions sur les ventes a decouvert, les actifs sont indefiniment fractionnables et atout instant il existe des acheteurs et des vendeurs pour tous les titres du marche.

17

VALORISATION ET COUVERTURE 18

2.1 Modele en temps continu

Espace de probabilite de referenceL’incertitude sur les marches financiers est modelisee par un espace de probabilite(Ω,F ,P) muni d’une filtration F = (Ft)t≥0 ou• Ω represente tous les etats du monde• la tribu F represente la structure d’information globale disponible sur le marche• (Ft) est une filtration croissante decrivant l’information disponible aux agents dumarche a la date t, Ft ⊂ F . Dans le cas ou l’horizon T des investisseurs sur le marcheest fini, on suppose usuellement FT = F . La propriete de croissance Fs ⊂ Ft, si s≤ t, traduit le fait que le marche n’oublie rien et donc qu’on dispose de plus en plusd’informations au fur et a mesure du temps.• une probabilite P qui donne les probabilites a priori des evenements consideres. C’estla probabilite historique ou objective. Comme nous le verrons par la suite, pour lesproblemes de pricing en finance qui nous interessent, l’identification exacte de P n’estpas un objectif majeur et c’est une caracteristique principale des modeles en finance.

Nous distinguons les titres de base, actions, obligations, ... qui sont les elementsconstitutifs des portefeuilles et les produits derives, options, contrats a terme qui fontl’objet du probleme de la valorisation et couverture.Les titres de baseIl y a d + 1 actifs de base sur le marche, notes S0, S1, . . ., Sd, pouvant etre negociesa toute date t ≥ 0. Si

t(ω) est le prix de l’actif i a la date t dans l’etat du monde ω∈ Ω. Dans ce cours, on supposera que les processus de prix (Si

t)t≥0 sont continus entemps, i.e. pour presque tout ω, l’application t → Si

t(ω) est continue. On note X =(S0, S1, . . . , Sd) le processus de prix des d+ 1 actifs.

L’actif S0 est le cash, i.e. le produit financier qui decrit la valeur de 1 euro capitaliseau jour le jour a la banque. Il est considere comme sans risque car son rendement dansun intervalle de temps [t, t+ dt] est connu a la date t de l’operation. On note r le tauxd’interet par unite de temps, suppose constant, pour un placement entre t et t+ dt ala banque. L’evolution de l’actif cash S0 est donc :

dS0t = rS0

t dt, S0 = 1. (2.1)

Autrement dit, 1 euro capitalise dans la banque rapporte :

S0t = ert

euros a la date t.Les actifs S = (S1, . . . , Sd) representent usuellement les prix des actifs risques

comme les actions, obligations ... Notre modelisation de reference sera donnee par lecelebrissime modele de Black-Scholes-Merton pour d = 1 actif risque :

dSt = St(bdt+ σdWt), (2.2)


ou W est un mouvement Brownien par rapport a F sa filtration, et b, σ sont desconstantes. Ce modele a ete introduit par Black, Scholes et Merton en 1973 (Mertonet Scholes ont recu le prix Nobel en 1997 pour ces travaux ; Black est decede avant). Ily a en fait une formule explicite pour le prix donne par :

St = S0 exp(σWt +

(b− σ2

2

)t

). (2.3)

Cette formule s’obtient de deux methodes : La premiere en appliquant la formule d’Itoa St = f(t,Wt) ou f est la fonction C2 ecrite ci-dessus ; on voit alors que f(t,Wt)satisfait l’EDS (2.2) et on conclut par unicite de l’EDS a coefficients Lipschitziens. Ladeuxieme methode consiste a appliquer la formule d’Ito a Yt = lnSt sur ]0, τ [ ou τ

= inft ≥ 0 : St = 0 et remarquer ensuite que St > 0, i.e. τ = ∞. Notons que lafiltration engendree par W et S est identique car on a une relation de correspondanceentre S et W : St = f(Wt) et Wt = f−1(St).

La distribution de St est appelee log-normale de parametres b et σ2 car le logarithmede St est normalement distribuee et on a :

– les rendements lnSt − lnSs suivent une loi gaussienne de moyenne (b− 12σ

2)(t−s)et de variance σ2(t− s).

– pour tous 0 < t1 < t2 . . . < tn, les accroissements relatifs St2St1

, . . ., StnStn−1

sontindependants et de meme loi.

On dit aussi que le processus de prix S suit un mouvement Brownien geometrique.L’interpretation de b et σ est la suivante en utilisant les proprietes de l’integrale d’Ito :

E[∫ t

0

dSu

Su

]= bt

Var[∫ t

0

dSu

Su

]= σ2t.

En voyant dSt/St comme le rendement relatif de l’actif sur une courte periode detemps, on interprete b comme le rendement relatif espere par unite de temps : il mesurela tendance du marche et est souvent compare au taux sans risque r. La constante σmesure l’alea de l’actif risque et est appelee volatilite. On se reportera au paragraphe 3.4pour le probleme de l’estimation des parametres b et σ (voir aussi le cours d’econometriede la finance). Le modele de Black-Scholes est une simplification idealisee des coursreels et est assez intuitif pour les praticiens du marche pour etre utilise et adaptesi besoin. Sa force, et en meme temps sa faiblesse est qu’il ne requiert qu’un petitnombre de parametres : en fait, seulement le parametre de volatilite pour le problemede pricing.

Un modele multidimensionnel de Black-Scholes avec d actifs et un mouvement


Brownien multidimensionnel est donnee par la dynamique :

dSit = Si

t

bidt+n∑

j=1

σijdW jt

(2.4)

ou W 1, . . . ,Wn sont n mouvement Browniens independants. On dit aussi que W =(W 1, . . . ,Wn) est un n-mouvement Brownien. Le vecteur b dans Rd de composantesbi est le vecteur des taux de rendements des actifs risques de base, et la matriceσ de dimension d × n de terme general σij est la matrice des volatilites des actifs.Le systeme (2.4) est appele aussi mouvement Brownien geometrique multidimension-nel. Plus generalement, on peut considerer des modeles ou les coefficients b et σ sontdeterministes : b = b(t), σ = σ(t), sont des fonctions du temps et du prix : b = b(t, s),σ = σ(t, s), on parle alors de modele de diffusion avec volatilite locale, ou encore desprocessus aleatoires : b = bt(ω), σ = σt(ω), on parle dans ce cas de processus d’Ito.

2.2 Portefeuille autofinancant

Nous modelisons le concept de gestion dynamique de portefeuille. Considerons unagent qui peut investir dans les actifs de base du marche. Une strategie de portefeuilleest la donnee d’un processus adapte φ = (φ0, ϕ) ou φ0 et ϕ = (ϕ1, . . . , ϕd) representele nombre de parts investi dans l’actif S0 et les actifs S = (S1, . . . , Sd) a la date t, etdont la valeur est determinee sur la base des informations disponibles juste avant t.φ0

t et ϕit peuvent prendre des valeurs positives ou negatives correspondent a un achat

ou une vente et puisqu’on a suppose que les actifs sont indefiniment fractionnables. Lavaleur (ou richesse) de ce portefeuille a la date t est definie par

Vt(φ) = φt.Xt = φ0tS

0t +

d∑i=1

ϕitS

it

Dans les modeles discrets ou l’investisseur ne peut negocier les titres qu’aux dates t0= 0, . . ., tk, la condition d’autofinancement s’ecrit :

φtk .Xtk = φtk+1.Xtk

ou encore de maniere equivalente en mettant en evidence la variation des actifs entredeux dates :

Vtk+1(φ) = φtk+1

.Xtk+1= φtk .Xtk + φtk+1

.(Xtk+1−Xtk)

= Vtk(φ) + φtk+1.(Xtk+1

−Xtk) (2.5)

Ceci traduit l’idee suivante : a l’instant tk, apres avoir pris connaissances des coursXtk , l’investisseur reajuste son portefeuille pour le faire passer de la composition φtk a


φtk+1, le reajustement se faisant au cours de la date tk sans apport ni retrait de fonds

exterieur. Autrement dit, les variations de la valeur d’un portefeuille autofinancant sontexclusivement dues aux variations du prix des actifs. En notant ∆Xtk+1

= Xtk+1−Xtk ,

on remarque d’apres (2.5) que la valeur d’un portefeuille autofinancant s’ecrit :

Vtk(φ) = V0(φ) +k∑

l=1

φtl .∆Xtl .

Dans un modele en temps continu, une strategie de portefeuille autofinancante(dans les actifs X = (S0, . . . , Sd)) est la donnee d’un processus adapte φ = (φ0, ϕ)tel que l’integrale stochastique

∫φ.dX existe et dont la valeur de portefeuille est ca-

racterisee par :

Vt(φ) := φt.Xt = V0(φ) +∫ t

0φu.dXu

On ecrit aussi la dynamique de la valeur d’un portefeuille autofinancant sous formedifferentielle :

dVt(φ) = φ0tdS

0t + ϕt.dSt = (Vt(φ)− ϕt.St)rdt+ ϕt.dSt

= rVt(φ)dt+ ϕt.(−rStdt+ dSt). (2.6)

Actualisation par le cashNous examinons la condition d’autofinancement lorsqu’on actualise par le cash. Onnote Si

t = Sit/S

0t = e−rtSi

t , i = 1, . . . , d, le prix actualise (par rapport au cash) desactifs risques, et Vt(φ) = Vt(φ)/S0

t = e−rtVt(φ) la richesse actualisee. Alors par laformule d’Ito et (2.6), la dynamique de la valeur d’un portefeuille autofinancant est :

dVt(φ) = −re−rtVt(φ)dt+ e−rtdVt(φ) = e−rt [−rVt(φ)dt+ dVt(φ)]

= e−rtϕt.(−rStdt+ dSt)

= ϕt.dSt,

ce qui s’ecrit encore :

Vt(φ) = V0(φ) +∫ t

0ϕudSu (2.7)

Remarque. Cette derniere relation montre donc qu’une strategie de portefeuille au-tofinancant est completement determinee par la valeur initiale de sa richesse v et lescomposantes ϕ = (ϕ1, . . . , ϕd) dans les actifs risques S1, . . . , Sd. En effet, en posant

Vt = S0t

(v +

∫ t

0ϕudSu

),

φ0t =

Vt − ϕt.St

S0t

,


alors V est la valeur de richesse du portefeuille autofinancant correspondant a uninvestissement φ0 dans le cash S0, ϕ dans les actifs risques S, et de richesse initiale V0

= v. Autrement dit, une strategie de portefeuille autofinancante est caracterisee parla donnee d’un couple (V, ϕ) de processus adaptes a valeurs dans R × Rd solution del’equation :

dVt = rVt + ϕt.(−rStdt+ dSt).

V est la valeur de portefeuille, ϕ le nombre de parts investi dans les actifs risques S,et en consequence φ0 = (V − ϕ.S)/S0 est le nombre de parts investi dans l’actif sansrisque S0. Il sera parfois commode, pour alleger les notations, de supposer S0 = 1, i.e.r = 0, ce qui revient a raisonner directement sur les quantites actualisees.

Exemple. Dans le cadre du modele de Black-Scholes (2.2), la dynamique de la richesseV d’un portefeuille autofinancant de strategie ϕ dans l’actif S est :

dVt = rVtdt+ ϕtSt [(b− r)dt+ σdWt] ,

et celle de la richesse actualisee est donc :

dVt = ϕtSt [(b− r)dt+ σdWt] .

Il est parfois commode (voir usuel) de travailler sur les montants au lieu des nombresd’unites investis en posant θt = ϕtSt. Bien entendu les deux formulations sont equivalenteslorsque le prix est strictement positif. La dynamique de la richesse autofinancante as-sociee a un montant θ dans l’actif risque S s’ecrit :

dVt = (Vt − θt)rdt+ θtdSt

St

= rVtdt+ θt [(b− r)dt+ σdWt] .

2.3 Arbitrage et probabilite risque-neutre

L’hypothese d’absence d’opportunite d’arbitrage est une condition cruciale dansla theorie de la valorisation de produits derives. Nous formalisons ce concept avec ladefinition suivante.

Definition 2.3.1 Une opportunite d’arbitrage sur [0, T ] est une strategie de porte-feuille autofinancant φ dont la valeur V (φ) verifie :

(i) V0(φ) = 0, (ii) VT (φ) ≥ 0 et P[VT (φ)] > 0.

Ainsi, un arbitrage represente la gestion dynamique d’un portefeuille autofinancantpermettant a partir d’un capital nul, de creer sans risque un profit sur.


Dans les modeles en temps continu, nous serons amenes a faire des hypothesessupplementaires d’integrabilite sur les strategies de portefeuille pour garantir l’absenced’opportunite d’arbitrage. Il existe en effet des strategies qui sont des opportunitesd’arbitrage comme le montre l’exemple suivant.

Exemple. Soit un marche avec un actif sans risque S0 = 1 et un actif risque St =Wt mouvement Brownien. Soit x > 0 et τx le temps d’arret correspondant au pre-mier instant ou S = W touche x. Considerons la strategie en actif risque ϕ = 1]0,τx].Alors partant d’une richesse initiale nulle V0 = 0, la valeur de ce portefeuille est Vt

=∫ t0 1]0,τx](u)dWu = Wt∧τx et tend vers une richesse positive Wτx = x > 0 pour un

horizon infini.

Nous preciserons ulterieurement les conditions d’integrabilite sur les strategiespour exclure ce genre de pathologies. Nous appelerons strategies admissibles de tellesstrategies. Cet ensemble de strategies admissibles doit etre assez riche pour permettrel’evaluation et la couverture de nombreux produits derives et pas trop gros pour eviterles opportunites d’arbitrage. Par exemple, des hypotheses de type carre integrable ouencore des strategies qui assurent une valeur de richesse toujours bornee inferieurement,i.e. ne conduidant pas a une banqueroute, sont suffisantes. Dans la suite, nous feronsl’hypothese suivante :

(AOA) Il n’existe pas d’opportunite d’arbitrage parmi les strategies de porte-feuille admissibles. On dit que le marche est viable.

Nous enoncons une propriete simple mais importante de la condition d’AOA.

Proposition 2.3.1 Sous l’hypothese d’AOA, deux portefeuilles admissibles ayant lameme valeur p.s. en T ont la meme valeur p.s. a toute date intermediaire t.

Preuve. Pour simplifier les notations, on raisonne pour t = 0. Soit φ et ψ deuxstrategies de portefeuille admissibles tels que VT (φ) = VT (ψ) p.s. et supposons parl’absurde que V0(φ) > V0(ψ). Considerons alors la strategie de portefeuille autofi-nancant qui consiste a t = 0 en une position ψ − φ dans les actifs, de valeur initialeV0(ψ)−V0(φ), et a investir le reste de gain positif V0(φ)−V0(ψ) dans le cash. La valeurinitiale de ce portefeuille est donc nulle et vaut a la date T :

VT (ψ)− VT (φ) + (V0(φ)− V0(ψ))S0T = (V0(φ)− V0(ψ))S0

T > 0.

C’est une opportunite d’arbitrage. 2

La condition d’AOA impose aussi des conditions sur les prix. Dans un modele entemps discret, par exemple le modele binomial, on sait que la condition d’AOA impliquel’existence d’une probabilite Q, appelee risque-neutre, equivalente a la probabilite ob-jective telle que le prix des actifs actualises soit une martingale. Ceci traduit l’ideeque plus un titre est risque, plus son rendement doit etre eleve sous peine d’etre exclu


dans les strategies de portefeuille. Ce resultat fondamental de la finance a une versionanalogue en temps continu mais il est beaucoup plus delicat a montrer. Pour expliqueret justifier ce resultat en temps continu, nous commencons par examiner le cas simpled’un modele de Black-Scholes avec deux actifs de meme volatilite σ et gouvernes parle meme mouvement Brownien :

dS1t = S1

t (b1dt+ σdWt)

dS2t = S2

t (b2dt+ σdWt).

Montrons alors que b1 = b2. Supposons le contraire, par exemple b1 > b2. Consideronsalors la strategie ou l’on achete 1 part de l’actif S1, vend S1

0/S20 parts de l’actif S2, et

on garde cette position jusqu’en T . La valeur initiale V0 de cette strategie est nulle etconduit en T a un profit strictement positif :

VT = S1T −

S10

S20

S2T = S1

0 exp(σWT −

σ2

2T

)(eb1T − eb2T

)> 0.

C’est donc un arbitrage. Notons aussi que si σ = 0, i.e. S1 et S2 sont des actifs sansrisque, alors ils doivent avoir le meme rendement que S0, i.e. b1 = b2 = r sinon il seraitfacile de construire un arbitrage. On a donc l’existence d’un processus λ (constant icidans le modele de Black-Scholes) tel que :

b1 = b2 = r + σλ.

λ est appele prix du marche du risque ou prime de risque. L’interpretation est lasuivante : dans un marche financier, le rendement des titres risques doit etre superieura celui des titres sans risque pour qu’ils soient conserves, ceci traduisant le fait que lesinvestisseurs ont une aversion pour le risque. La prime de risque mesure donc l’ecartentre le rendement instantane des actifs risques et celui du cash.

En utilisant la prime de risque λ = (b−r)/σ dans le modele de Black-Scholes (2.2),on voit que la dynamique du prix de l’actif risque s’ecrit :

dSt = rStdt+ σSt (λdt+ dWt) .

On observe ainsi qu’on peut annuler l’effet de la prime de risque en faisant un change-ment de probabilite sous lequel dWt +λdt sera un mouvement Brownien. Ceci est pos-sible justement grace au theoreme de Girsanov : il existe une probabilite Q equivalentea P sous laquelle :

Wt = Wt + λt, 0 ≤ t ≤ T, est un Q−mouvement Brownien.

Cette probabilite a pour densite de Radon-Nikodym par rapport a P sur (Ω,FT ) :

dQdP

= exp(−λWT −

λ2

2T

). (2.8)


La dynamique du prix de l’actif sous Q satisfait :

dSt = rStdt+ σStdWt,

ce qui se formule de maniere equivalente en ecrivant que la dynamique du prix actualiseS sous Q est :

dSt = σStdWt.

Ceci signifie que le prix actualise S est une integrale stochastique par rapport au Q-mouvement Brownien W et est donc une Q-martingale. On dit que Q est une probabiliterisque-neutre ou probabilite martingale.

De maniere generale, on introduit alors la definition suivante.

Definition 2.3.2 Une probabilite Q est appelee probabilite risque-neutre ou probabilitemartingale si Q est equivalente a P et si le prix actualise St = e−rtSt est une martingalesous Q.

La condition d’equivalence entre Q et P signifie que pour tout evenement A ⊂ Ω,si P(A) > 0 alors Q(A) > 0 et vice versa. Autrement dit, ce que P predit avec uneprobabilite strictement positive, Q le predit aussi et la reciproque est vraie. Le nommartingale vient naturellement de la propriete martingale du prix actualise. Le motrisque-neutre vient du fait que le rendement des actifs est egal au taux d’interet r sousQ.

On vient ainsi de voir l’existence d’une probabilite risque-neutre dans le modelede Black-Scholes. Ce resultat d’existence est en fait tres general dans les modeles entemps continu et decoule comme pour les modeles discrets de la condition d’AOA.Il est connu sous le nom de premier theoreme fondamental de la finance et soulignel’importance du concept de probabilite martingale. On en donnera une demonstrationdans le cadre du modele multidimensionnel de Black-Scholes (voir exercice 2.5.3). Ici,nous admettrons l’existence d’une probabilite risque-neutre comme caracterisation dela condition d’AOA.

(AOA) Il existe une probabilite risque-neutre.

Remarque. Dans le cadre du modele de Black-Scholes, on se convainc aisement et onpeut le montrer, qu’il n’y a qu’une maniere de rendre le processus de prix actualisemartingale, en faisant de Wt =Wt+λt un mouvement Brownien. Ceci implique l’unicited’une probabilite risque-neutre, a savoir la probabilite Q definie en (2.8).

On a ainsi deux univers de probabilite paralleles. L’espace de probabilite original(Ω,P) ou le processus de prix est originellement defini et en parallele un monde risque-neutre defini par l’espace de probabilite (Ω,Q) ou le rendement de l’actif est r, le taux


sans risque. Alors que le premier espace sert a modeliser les prix, nous verrons dans lasection suivante que le second espace servira pour la valorisation d’options.

Nous terminons cette section en precisant les conditions d’admissibilite sur lesstrategies de portefeuille. Fixons une probabilite risque-neutre Q et notons que d’apresl’expression (2.7), la richesse actualisee d’une strategie de portefeuille autofinancant estune integrale stochastique par rapport a une martingale sous Q. Sous des conditionsd’integrabilite sur l’integrand ϕ, c’est une martingale sous Q. On dira donc qu’unestrategie de portefeuille est Q-admissible si sa richesse actualisee est une martingalesous Q.

Remarque. Dans le modele de Black-Scholes, la dynamique de la richesse actualiseeV d’un portefeuille autofinancant de strategie ϕ dans l’actif S est sous Q :

dVt = ϕtσStdWt

Une condition suffisante garantissant que V est une martingale sous Q est la conditionde carre integrabilite sur l’integrand ϕ :

EQ[∫ T

0|ϕtσSt|2dt

]< +∞.

Ceci implique en effet que l’integrale stochastique caracterisant V est une Q-martingalede carre integrable.

Remarque. Soit φ une strategie Q-admissible. Si φ etait une opportunite d’arbitrage,on aurait V0(φ) = V0(ϕ) = 0 et VT (φ) ≥ 0, Q[VT (φ)] > 0 car Q ∼ P. Ceci impliqueraitEQ[VT (φ)] > 0 ce qui est en contradiction avec la propriete de martingale : EQ[VT (φ)] =V0(φ) = 0. On voit donc qu’il n’y a pas d’opportunite d’arbitrage parmi les Q-strategiesadmissibles.

2.4 Evaluation et couverture par arbitrage

Considerons un produit derive (on dit aussi actif contingent) represente par son flux(ou payoff) terminal, HT , une variable aleatoire FT -mesurable : les cas typiques etantrepresentes par les options europeennes HT = h(ST ) ou h est une fonction mesurable.Par exemple h(s) = (s−K)+ pour un call, h(s) = (K − s)+ pour un put. La questioncruciale est de donner un “juste” prix a ce produit derive. Pour repondre a cettequestion, placons nous pour fixer les idees du cote du vendeur. A la vente de ce produitderive, il recoit en contrepartie une prime (prix de l’option) de la part de l’acheteur. Ilpeut alors investir la prime dans un portefeuille d’actifs de maniere a avoir une valeurde portefeuille qui va dans le meme sens des flux qu’il risque de payer.

La gestion d’un produit derive obeit donc aux operations suivantes :- suivre regulierement le prix du produit derive dans le marche


- gerer un portefeuille autofinancant, de valeur Vt en t, dont la valeur initiale est laprime de l’option.

- surveiller le P&L (profit et perte) final, i.e. la difference entre la valeur du por-tefeuille et le montant du flux a payer (pour le vendeur), soit VT −HT . On parle ausside “tracking error”.

L’objectif du gestionnaire d’options est de reduire le P&L final afin d’avoir lavariance la plus faible possible. Le “meilleur” portefeuille est appele portefeuille decouverture. En particulier, s’il est possible de trouver un P&L final de risque nul, i.e.un portefeuille autofinancant de valeur terminale, le payoff de l’option, alors par lacondition d’AOA, on pourra definir a toute date le prix de l’option comme la valeur duportefeuille autofinancant. On dit encore que l’option est (parfaitement) replicable parune strategie de portefeuille autofinancant, appele portefeuille de couverture (parfaite)et le prix est appele prix d’arbitrage. Les questions se posent ensuite de construire untel portefeuille de couverture et d’avoir une formule pour le prix ? Nous allons repondrea ces problemes de valorisation et couverture par le principe d’evaluation risque-neutre.

Etant donnee la modelisation decrite aux sections precedentes, le probleme de lavalorisation et couverture d’une option de flux HT se formule mathematiquement enla recherche d’une strategie de portefeuille autofinancant φ tel que VT (φ) = HT . Sicela est possible, on dit que l’actif contingent HT est attaignable ou replicable (parla strategie φ). Dans la suite, on considere des modeles ou tous les actifs contingents(avec une condition d’integrabilite appropriee) sont attaignables. On dit que le marcheest complet. C’est le cas du modele de Black-Scholes comme on le verra au chapitresuivant. On admettra la caracterisation suivante de la completude de marche, enoncecomme second theoreme fondamental de la finance :

Marche complet ≡ unicite d’une probabilite risque-neutre

On se fixe desormais l’unique probabilite Q risque-neutre et on s’interesse auxoptions de flux HT satisfaisant la condition d’integrabilite EQ|HT | < +∞, i.e. HT ∈L1(Q,FT ). En marche complet, le flux HT est attaignable (replicable), i.e. il existe unestrategie de portefeuille φ Q-admissible tel que VT (φ) = HT . D’apres la proposition2.3.1, on peut definir de mainere unique le prix d’arbitrage Πt = Πt(HT ) en t de HT

comme la valeur Vt(φ) de ce portefeuille. φ est le portefeuille de couverture. On obtientla regle suivante d’evaluation risque-neutre :

Theoreme 2.4.1 En marche complet, le prix d’arbitrage d’une option de flux HT estdonne a la date t par :

Πt = EQ[e−r(T−t)HT

∣∣∣Ft

]. (2.9)

Son prix a la date t = 0 est

Π0 = EQ [e−rTHT

].


Preuve. On a vu au paragraphe precedent que la richesse actualisee Vt(φ) = e−rtVt(φ)d’une strategie φ Q-admissible est une martingale sous Q. Si le portefeuille φ repliquele flux HT , i.e. VT (φ) = HT , on a donc :

e−rtVt(φ) = EQ [e−rTVT (φ)∣∣Ft

]= EQ [e−rTHT

∣∣Ft

],

d’ou l’on deduit immediatement

Πt = Vt(φ) = EQ[e−r(T−t)HT

∣∣∣Ft

].

2

La regle d’evaluation risque-neutre est formellement tres simple : elle conduit a uncalcul d’esperance sous la probabilite risque-neutre du payoff de l’option. En particulier,on verra au chapitre suivant qu’on obtient des formules explicites dans le modele deBlack-Scholes.

Nous discutons maintenant la couverture de l’actif contingent HT . Il s’agit doncde determiner une strategie de portefeuille φ = (φ0, ϕ) telle que VT (φ) = HT . Puisquee−rtΠt = Vt(φ) et par la condition d’autofinancement (2.7), on a avec le theoreme2.4.1 :

EQ [e−rTHT

∣∣Ft

]= Π0 +

∫ t

0ϕudSu (2.10)

C’est une equation integrale d’inconnue le processus ϕ, avec un terme connu dans lemembre de gauche et une integrale stochastique d’integrand inconnue dans le terme dedroite. Par exemple, dans le cas d’un modele de Black-Scholes, cette equation integrales’ecrit encore :

EQ [e−rTHT

∣∣Ft

]= Π0 +

∫ t

0ϕuσSudWu.

Comment resoudre une telle equation ? Si dans le terme de droite, a la place del’integrale d’Ito, on avait une integrale standard dt par rapport au temps, on identifie-rait l’integrand avec ϕ par differentiation par rapport au temps des termes de droiteet gauche comme dans le cas d’une equation integrale ordinaire. Dans notre cas, nousavons une integrale d’Ito et une telle derivation n’est bien sur pas autorisee. En fait, ilexiste un calcul differentiel approprie pour ces integrales d’Ito utilisant les derivees deMalliavin. Ces derivees font appel a des notions avancees d’analyse stochastique quenous n’aborderons pas dans le cadre de ce cours. En fait, dans le cas d’un modele dediffusion avec des payoff europeens HT = h(ST ), on peut resoudre simplement cetteequation par application de la formule d’Ito. Nous detaillerons au chapitre suivant cescalculs dans le cadre du modele de Black-Scholes.


Remarque 2.4.1 L’evaluation et la couverture d’un actif contingent HT par arbitragepeut se formuler aussi de la maniere suivante : trouver un couple de processus (Πt, ϕt)tel que Πt soit la valeur d’un portefeuille autofinancant de composition ϕt dans l’actifrisque, repliquantHT . D’apres l’equation d’evolution (2.6) de la valeur d’un portefeuilleautofinancant, on cherche donc un couple de processus adaptes (Πt, ϕt) tel que :

dΠt = rΠtdt+ ϕt.(−rStdt+ dSt) (2.11)

ΠT = HT . (2.12)

Πt est alors le prix de HT et ϕt est la strategie de portefeuille en actif S a la datet. Un tel systeme (2.11)- (2.12) est appele equation retrograde (backward en anglais)car on se donne la condition terminale et on cherche un couple de solutions dont lapremiere composante doit atteindre l’objectif finalHT . Ceci contraste avec les equationsdifferentielles stochastiques usuelles ou l’on se donne la condition initiale. Notons quedans cette approche, il n’est pas necessaire de travailler sous la probabilite risque-neutre. On peut se placer sous la probabilite objective. Par exemple, dans le modelede Black-Scholes, l’equation retrograde (2.11)- (2.12) s’ecrit encore :

dΠt = rΠtdt+ ϕtSt((b− r)dt+ σdWt)

ΠT = HT .

C’est d’ailleurs formellement selon cette methode et en utilisant les equations auxderivees partielles (EDP) que Black et Scholes ont originellement decouvert leur formulede prix et couverture. Bien entendu, les deux approches risque-neutre et backward sontequivalentes : Le couple (Πt, ϕt) donne par (2.9), (2.10) est solution de l’equation (2.11)-(2.12). Nous expliciterons les calculs de ces deux methodes au chapitre suivant dans lemodele de Black-Scholes.

2.5 Exercices

2.5.1 Moments et densite du prix du sous-jacent dans le modele de

Black-Scholes

1) Soit S un mouvement geometrique selon (2.2) de condition initiale S0 = x. Calculerpour tout p ≥ 1, E[|St|p]. En deduire le ratio de Sharpe

Sharpe ratio =E[St]− x√

Var(St).

2) Montrer que la densite z → `b,σ2(t, x, z) de St est

`b,σ2(t, x, z) =1

z√

2πσ2texp

(−1

2d2

2(t, xebt, z)

)1z>0

d2(t, x, z) =ln(x/z)− σ2

2 t

σ√t


Corrige. 1) C’est une consequence du resultat sur la transformee de Laplace d’une loigaussienne : si U est une loi normale de moyenne m et de variance γ2 alors

E[exp(λU)] = exp(λm+

12γ2λ2

), ∀λ ∈ R.

En particulier, si W est un mouvement Brownien, on a

E[exp

(λWt −

12λ2t

)]= 1.

Pour tout p ≥ 1, on obtient donc

E[|St|p] = xpE[exp

(pσWt + p(b− σ2

2)t)]

= xpE[exp

(p(b− σ2

2) +

12p2σ2

)t

].

En particulier, on a

E[St] = x exp(bt), Var(St) = x2 exp(2bt)(exp(σ2t)− 1),

d’ou :

Sharpe ratio =exp(bt)− 1

exp(bt)√

(exp(σ2t)− 1).

On note que le ratio de Sharpe est independant du prix initial x.2) D’apres l’expression explicite (2.3) du mouvement Brownien geometrique, on a

Yt = lnSt ∼ N(lnx+ (b− σ1/2)t, σ2t

).

Pour toute fonction fonction g bornee sur R∗+, on a avec le changement de variable z= ey :

E[g(St)] = E[g(exp(Yt))]

=∫g(ey)

1√2πσ2t

exp(− 1

2σ2t(y − lnx− (b− σ2/2)t)2

)dy

=∫ +∞

0g(z)`b,σ2(t, x, z)dz.

2.5.2 Modele de Black-Scholes multidimensionnel

1) Montrer que la solution du mouvement Brownien geometrique multidimensionnel(2.4) est :

Sit = Si

0 exp

bi − 12

n∑j=1

|σij |2 t+

n∑j=1

σijW jt

, i = 1, . . . , d.


2) On considere un mouvement Brownien geometrique (2.4) avec d = n = 2 et avec lesnotations σ11 = σ1

√1− ρ2, σ12 = σ1ρ, σ21 = 0, σ22 = σ2 :

dS1t = b1S1

t dt+ σ1S1t (√

1− ρ2dW 1t + ρdW 2

t ) (2.13)

dS2t = b2S2

t dt+ σ2S2t dW

2t , (2.14)

ou σ1, σ2 > 0 et ρ ∈ [−1, 1]. Calculer la correlation entre les rendements logarithmiquesde S1 et S2 a deux dates d’observation tk−1 et tk d’ecart ∆t = tk− tk−1, c’est a dire lacorrelation entre Y 1

tk= ln(S1

tk/S1

tk−1) et Y 2tk

= ln(S2tk/S2

tk−1). Interpreter le coefficientρ.

Corrige. On a

Y 1tk

=(b1 − σ2

1

2

)∆t+ σ1

√1− ρ2∆W 1

tk+ σ1ρ∆W 2

tk

Y 2tk

=(b2 − σ2

2

2

)∆t+ σ2∆W 2

tk,

ou ∆W itk

= W itk−W i

tk−1, i = 1, 2, suivent deux lois normales centrees et independantesde variance ∆t. (Y 1

tk, Y 2

tk) est donc un vecteur gaussien avec Y i

tk∼N ((bi−σ2

i /2)∆t, σ2i ∆t),

i = 1, 2. On calcule immediatement

Cov(Y 1tk, Y 2

tk) = σ1σ2ρ Cov(∆W 2

t ,∆W2t ) + σ1σ2

√1− ρ2 Cov(∆W 1

t ,∆W2t )

= σ1σ2ρ∆t,

d’ou l’on deduit la correlation :

Corr(Y 1tk, Y 2

tk) = ρ.

Dans le modele (2.13)-(2.14), ρ s’interprete donc comme la correlation entre les rende-ments logarithmiques des deux actifs S1 et S2.

2.5.3 Existence d’une prime de risque et d’une probabilite risque-

neutre dans un modele BS multidimensionnel

1) On se place dans le cadre du modele (2.4). Ecrire la dynamique de la valeur d’unportefeuille autofinancant de montant θ = (θ1, . . . , θd) dans les actifs S = (S1, . . . , Sd).Corrige. Notons ϕi = θi/Si le nombre d’unites investi dans Si. La valeur V de ceportefeuille a pour dynamique :

dVt = (Vt −d∑

i=1

ϕitS

it)rdt+ ϕi

tdSit

= rVtdt+d∑

i=1

ϕit(−rSi

tdt+ dSit)


= rVtdt+d∑

i=1

θit((b

i − r)dt+n∑

j=1

σijdW jt )

= (rVt + θt.(b− r1))dt+n∑

j=1

θt.σjdW j

t , (2.15)

ou on note 1 le vecteur dans Rd de composantes 1 et σj le jeme vecteur colonne de lamatrice σ = (σij).

2) On note Ker(σ∗) le noyau de la matrice transposee σ∗ de σ. L’objet de cette questionest de montrer que sous la condition d’AOA, Ker(σ∗) ⊂ B⊥ ou B est le vecteur (b−r1)et ⊥ est la relation d’orthogonalite. Soit donc θ un vecteur quelconque dans Ker(σ∗).En considerant la valeur de portefeuille de montant θ = θ1θ.B≥0 (resp. −θ1θ.B≤0),montrer par l’AOA que θ.B = 0.Corrige. θ etant dans Ker(σ∗), on a θ.σj = 0 et donc aussi θ.σj = 0 pour tout j =1, . . . , n. D’apres (2.15), la valeur de portefeuille associee au montant θ et de valeurinitiale nulle V0 = 0 satisfait :

dVt = (rVt + θ.B)dt.

C’est un portefeuille sans risque de valeur actualisee gouvernee par dVt = e−rtθ.Bdt.Sa valeur est donc explicitement egale a :

Vt =∫ t

0e−r(u−t)θ.Bdu =

∫ t

0e−r(u−t)θ.B1θ.B≥0du ≥ 0, 0 ≤ t ≤ T.

Par AOA, on doit avoir θ.B1θ.B≥0 = 0, i.e. θ.B ≤ 0. En prenant θ = −θ1θ.B≤0, onobtient de meme que θ.B ≥ 0 et donc finalement θ ∈ B⊥. En fait, le raisonnementprecedent montre qu’un portefeuille sans risque doit avoir un rendement instantaneegal au taux sans risque r.

3) En deduire qu’il existe λ ∈ Rn tel que

b− r1 = σλ.

λ est appele prime de risque du marche. Interpreter.Corrige. Puisque Ker(σ∗) ⊂ B⊥, on a par orthogonalite :

B = (B⊥)⊥ ⊂ (Ker(σ∗))⊥ ⊂ Im(σ),

ce qui est la relation voulue. La prime de risque mesure l’ecart pondere par la volatiliteentre le rendement des actifs risques et le taux sans risque. Notons que lorsque σ estinversible, l’existence de la prime de risque est triviale et ne requiert pas l’AOA : λ= σ−1(b− r1). Dans le cas general, son existence est une consequence de l’AOA et setraduit par des contraintes sur les coefficients. Par exemple, s’il y a n = 1 alea dans


un marche de BS avec d actifs de rendement bi et de volatilite σi. Alors la conditiond’AOA implique l’existence d’un λ ∈ R tel que pour tout i, bi − r = σiλ, autrementdit :

b1 − r

σ1= . . . =

bd − r

σd= λ.

Tous les actifs doivent donc avoir le meme ratio de performance, ce qui traduit aussi lefait que plus un titre est risque, plus son rendement doit etre eleve. Reciproquement,si dans un tel modele, on observe deux actifs de ratio (bi−r)/σi differents, cela signifiequ’il est possible de faire un arbitrage.

4) On definit la probabilite Q equivalente a P de densite sur (Ω,FT ) :

dQdP

= exp(−λ.WT −

|λ|2

2T

).

Verifier que Q est une probabilite risque-neutre et expliciter S = (S1, . . . , Sd) sous Q.Corrige. D’apres le theoreme de Girsanov multidimensionnel, le processus

Wt = Wt + λt

est un mouvement Brownien n-dimensionnel sous Q, ce qui signifie encore, en notantλ = (λ1, . . . , λn), que les n processus

W jt = W j

t + λjt

sont des mouvements Browniens independants sous Q. Par definition de λ, on a pourtout i :

bi − r =n∑

j=1

σijλj ,

et donc la dynamique des Si sous Q est :

dSit = Si

t

rdt+n∑

j=1

σij(dW jt + λjdt)

= Si

t

rdt+n∑

j=1

σijdW jt

.

La dynamique des prix actualises Sit = e−rtSi

t est donc

dSit = Si

t

n∑j=1

σijdW jt ,


ce qui montre que Si est une Q-martingale et donc Q est une probabilite risque-neutre.

5) Comme exemple, considerons le modele en dimension 2 decrit par (2.13)-(2.14).a) On suppose ρ ∈ ]− 1, 1[. Montrer l’existence d’une probabilite risque-neutre qu’onexplicitera et decrire la dynamique de S1 et S2 sous cette probabilite.Corrige. La matrice de volatilite dans ce modele est :

σ =

(σ1

√1− ρ2 σ1ρ

0 σ2

)

Si ρ ∈ ]−1, 1[, i.e. ρ2 < 1 alors la matrice σ est inversible et on a l’existence et l’unicitede la prime de risque donnee par :(

λ1

λ2

)=

(σ1ρ σ1

√1− ρ2

0 σ2

)−1(b1 − r

b2 − r

)=

1√1−ρ2

(b1−rσ1

− ρ b2−rσ2

)b2−rσ2

La probabilite risque-neutre est caracterisee par sa densite

dQdP

= exp(−λ1W 1

T − λ2W 2T −

|λ1|2 + |λ2|2

2T

),

et

W 1t = W 1

t + λ1t

W 2t = W 2

t + λ2t

sont deux mouvements Browniens independants. La dynamique de S1, S2 sous Q est

dS1t = rS1

t dt+ σ1S1t (√

1− ρ2dW 1t + ρdW 2

t )

dS2t = rS2

t dt+ σ2S2t dW

2t ,

b) On suppose ρ2 = 1. A quelle condition sur les coefficients b1, b2, σ1 et σ2 a t-onl’existence d’une prime de risque et d’une probabilite risque-neutre ? Dans ce cas, ya t-il unicite de la probabilite risque-neutre ? Ecrire la dynamique des prix sous uneprobabilite risque-neutre.Corrige. La dynamique des prix s’ecrit dans ce cas :

dS1t = b1S1

t dt+ σ1S1t ρdW

2t

dS2t = b2S2

t dt+ σ2S2t dW

2t ,

On aura existence d’une prime de risque et donc d’une probabilite risque-neutre s’ilexiste λ2 ∈ R au systeme :

b1 − r = σ1ρλ2

b2 − r = σ2λ2.


Ceci sera verifie sous la condition necessaire et suffisante :

b1 − r

σ1ρ=

b2 − r

σ2.

Dans ce cas, toute probabilite Q de densite

dQdP

= exp

−λ1W 1T −

b2 − r

σ2W 2

T −|λ1|2 +

∣∣∣ b2−rσ2

∣∣∣22

T

,

avec λ1 quelconque dans R, est une probabilite risque-neutre. En effet sous une telleprobabilite,

W 2t = W 2

t +b2 − r

σ2t

est un mouvement Brownien sous Q et la dynamique de S1 et S2 sous Q est :

dS1t = rS1

t dt+ σ1S1t ρdW

2t

dS2t = rS2

t dt+ σ2S2t dW

2t .

La non unicite d’une probabilite risque-neutre s’explique par le fait qu’il n’y a qu’unseul mouvement Brownien W 2 gouvernant la dynamique des deux prix S1 et S2 etqu’il suffit juste de changer ce mouvement Brownien par Girsanov pour rendre lesprix actualises martingales, l’effet d’un changement de Brownien sur W 1 n’affectantpas la dynamique des prix. Il faut noter que dans ce cas, la prise en compte de cemouvement Brownien W 1 dans le theoreme de Girsanov est arbitraire si l’objectif estde valoriser une option ecrite sur les sous-jacents S1 et S2 puisqu’il n’intervient pasdans la modelisation initiale de ces prix. Par contre, si on cherche a valoriser un actifcontingent dont le flux depend de W 1, on a reellement le probleme de la non unicited’une probabilite risque-neutre : on dit que le marche est incomplet et se pose laquestion du choix d’une probabilite risque-neutre. Ce choix depasse des considerationsuniques d’arbitrage et necessitent des criteres plus ou moins subjectifs.

2.5.4 Parite call-put par evaluation risque-neutre

Retrouver la formule de parite call-put a partir de la regle d’evaluation risque-neutre.Indication : utiliser l’egalite (x−K)+ = (x−K) + (K − x)+.Corrige. Soit St le prix de l’actif risque et K le strike. D’apres l’egalite de l’indication,on a

e−rT (ST −K)+ = e−rTST − e−rTK + e−rT (K − ST )+.


En prenant l’esperance sous une probabilite risque-neutre Q dans cette relation, onobtient

EQ [e−rT (ST −K)+∣∣Ft

]= EQ [e−rTST

∣∣Ft

]− e−rTK + EQ [e−rT (K − ST )+

∣∣Ft

],

soit d’apres la propriete de martingale du prix actualise sous Q et la regle d’evaluationrisque-neutre :

Ct = St − e−r(T−t)K + Pt.

2.5.5 Evaluation risque-neutre du prix a terme

Soit un contrat a terme conclu en t sur un titre S de maturite T et FS(t, T ) le prixa terme (forward), i.e. le prix fixe a la date t que le detenteur du contrat paiera al’emetteur du contrat en echange du titre S recu a la date T . Rappelons que le detenteurdu contrat a l’obligation d’acheter le titre au prix FS(t, T ) convenu a l’avance.1) Quel est le flux terminal en T de ce contrat a terme et le prix d’arbitrage Πt de cecontrat ?Corrige. Le detenteur du contrat recevra en T le titre de valeur ST qu’il paieraFS(t, T ). Le flux de ce contrat est doncHT = ST−FS(t, T ). D’apres la regle d’evaluationrisque-neutre, le prix de ce contrat est donc

Πt = EQ[e−r(T−t)(ST − FS(t, T ))

∣∣∣Ft

].

2) Le prix forward FS(t, T ) fixe en t, est determine par arbitrage de maniere a ce quel’on soit indifferent entre recevoir le titre S au prix spot ou au prix forward. Autrementdit, il est tel que Πt = 0. Calculer FS(t, T ). Que remarque t’on ?Corrige. D’apres la formule du prix du contrat a terme, on a Πt = 0 ssi :

EQ [ST − FS(t, T )∣∣Ft

]= 0 ⇐⇒ FS(t, T ) = EQ [ST | Ft] .

On note que le processus t → FS(t, T ) est une Q-martingale. En utilisant la proprietede Q-martingale de e−rtSt, on retrouve la formule reliant prix spot et prix forward :

FS(t, T ) = erT EQ [e−rTST

∣∣Ft

]= er(T−t)St.

3) Decrire la dynamique du processus (FS(t, T ))t dans un modele de Black-Scholessous la probabilite risque-neutre.Corrige. On rappelle que la dynamique de S sous Q est :

dSt = rStdt+ σStdWt,

et donc par la formule d’Ito :

dFS(t, T ) = −rer(T−t)Stdt+ er(T−t)dSt = σFS(t, T )dWt.

Chapitre 3

Formule et proprietes de

Black-Scholes

Nous etudions en detail le modele de Black-Scholes et detaillons comment les prin-cipes d’evaluation et couverture vus au chapitre precedent s’appliquent explicitementa ce cadre en conduisant a la celebre formule de Black-Scholes. Nous rappelons quece modele est donnee par une dynamique du sous-jacent comme mouvement Browniengeometrique :

dSt = bStdt+ σStdWt,

de solution explicite :

St = S0 exp(σWt +

(b− σ2

2

)t

).

3.1 La formule d’evaluation et couverture

3.1.1 L’EDP d’evaluation

Nous decrivons dans ce paragraphe la derivation originale du prix d’arbitrage selonBlack et Scholes, voir aussi remarque 2.4.1. On se donne un actif contingent h(ST )et on cherche un prix de la forme Πt = v(t, St) qui soit la valeur d’un portefeuilleautofinancant et repliquant h(ST ) a la maturite T . En supposant que la fonction v soitreguliere, on peut appliquer la formule d’Ito et obtenir :

dv(t, St) =(∂v

∂t(t, St) + bSt

∂v

∂x(t, St) +

12σ2S2

t

∂2v

∂x2(t, St)

)dt+ σSt

∂v

∂x(t, St)dWt.

D’autre part, si v(t, St) est la valeur d’un portefeuille autofinancant de couverture ϕen actif S, alors elle admet une differentielle de la forme

dv(t, St) = rv(t, St)dt+ ϕt(−rStdt+ dSt)

37

FORMULE DE BLACK-SCHOLES 38

= (rv(t, St) + ϕtSt(b− r)) dt+ ϕtStσdWt.

En identifiant les parties en dt et en partie Brownienne dW , on a necessairement :

∂v

∂x(t, St) = ϕt

∂v

∂t(t, St) + bSt

∂v

∂x(t, St) +

12σ2S2

t

∂2v

∂x2(t, St) = rv(t, St) +

∂v

∂x(t, St)St(b− r).

Apres simplification, on voit que la fonction v doit satisfaire l’EDP :

∂v

∂t(t, x) + rx

∂v

∂x(t, x) +

12σ2x

∂2v

∂x2(t, x)− rv(t, x) = 0, t ∈ [0, T [, x > 0. (3.1)

Cette EDP est appelee EDP de Black-Scholes a laquelle il faut bien entendu rajouterla condition terminale correspondant a la replication de l’actif contingent, v(T, ST ) =h(ST ) :

v(T, x) = h(x), x > 0. (3.2)

On resume le raisonnement precedent sous la forme :

Theoreme 3.1.1 Supposons qu’il existe une solution reguliere v(t, x) solution du proble-me de Cauchy (3.1)-(3.2). Alors le flux h(ST ) est replicable par un portefeuille de valeur

v(t, St) et de couverture ϕt =∂v

∂x(t, St) a la date t.

Remarque 3.1.1 Le probleme de la valorisation et couverture dans ce cadre se ramenedonc a la resolution d’une EDP. C’est originellement l’approche adoptee par Black etScholes qui avec un changement de variables appropriees transforment l’EDP (3.1) enune EDP de la chaleur bien connue en physique. On en connait une solution explicitequ’on detaillera au paragraphe suivant selon l’approche probabiliste risque-neutre. Lecours de Methodes numeriques d’EDP en finance introduit aux schemas numeriquespour resoudre ces EDPs pour des modeles et options plus complexes.

Interpretation financiereUne consequence essentielle de l’EDP d’evaluation est que le prix de l’option ne dependpas du rendement b de l’actif risque, i.e. de la tendance du marche a la hausse ou ala baisse, puisque ce parametre n’apparait pas dans l’EDP (3.1). En fait, la strategiede couverture dynamique permet a l’emetteur de l’option de se couvrir contre lesmouvements defavorables du marche. Il a annule le risque du a la tendance du marche.Cette strategie de couverture est donnee par la derivee du prix de l’option, appeleeaussi delta de l’option. Sur le plan statistique ou de la calibration de modele, cela faitun parametre en moins a estimer. Notons que le risque du aux fluctuations du marcheest toujours present et influe significativement sur le prix de l’option par l’intermediairedu parametre de volatilite. C’est la gestion de ce parametre qui va decrire le savoir-fairedu trader.


3.1.2 Valorisation risque-neutre

Nous pouvons utiliser une approche probabiliste pour determiner la solution duprix d’arbitrage de Black-Scholes. En effet, d’apres la regle d’evaluation risque-neutre,le prix d’un actif contingent h(ST ) est egal a la date t :

Πt = EQ[e−r(T−t)h(ST )

∣∣∣Ft

],

ou Q est la probabilite risque-neutre sous laquelle la dynamique du sous-jacent est :

dSs = rSsds+ σSsdWs. (3.3)

Notons que pour tous s > t, on a

Ss = S0 exp(σWs +

(r − σ2

2

)s

)= S0 exp

(σWt +

(r − σ2

2

)t

). exp

(σ(Ws − Wt) +

(r − σ2

2

)(s− t)

)= St exp

(σ(Ws − Wt) +

(r − σ2

2

)(s− t)

). (3.4)

Puisque l’increment du mouvement Brownien Ws−Wt est independant de St et Ft, onvoit que le conditionnement de toute fonction h(Ss) par rapport a Ft donne le memeresultat que le conditionnement par rapport a la seule valeur courante St. C’est unepropriete generale des processus de diffusion qu’on appelle propriete de Markov. Leprix de l’option h(ST ) est donc :

Πt = v(t, St),

ou la fonction de prix v est egale a

v(t, x) = EQ[e−r(T−t)h(St,x

T )], (3.5)

avec St,x designant la solution de (3.3) partant de x a la date t et donc explicitee par(3.4) avec St = x. Le lien avec l’approche d’evaluation EDP est donne par le resultatsuivant :

Theoreme 3.1.2 Soit la fonction v donnee par la representation risque-neutre (3.5).Si v est reguliere alors v est solution de l’EDP de Black-Scholes (3.1) avec la conditionterminale (3.2).

Preuve. Soit Vt = e−rtv(t, St). Puisque Vt = EQ[e−rTh(ST )|Ft], c’est une Q-martingale.De plus, par la formule d’Ito (sous Q), on a :

dVt = e−rtdv(t, St)− re−rtv(t, St)dt

= e−rt

(∂v

∂t(t, St) + rSt

∂v

∂x(t, St) +

12σ2S2

t

∂2v

∂x2(t, St)− rv(t, St)

)dt

+ e−rtσSt∂v

∂x(t, St)dWt


Par la propriete de Q-martingale de V , le terme en dt ci-dessus doit s’annuler ce quimontre que v satisfait l’EDP (2.2). Finalement, puisque ST,x

T = x, on a immediatementla condition terminale v(T, x) = h(x). 2

Remarque 3.1.2 Ce lien entre les approches d’evaluation risque-neutre et EDP estplus generalement la consequence du theoreme de representation de Feynman-Kac,decoulant lui-meme de la formule d’Ito : Soit X est une diffusion dans Rd verifiant

dXt = b(t,Xt)dt+ σ(t,Xt)dWt,

et notons Xt,x la solution de cette EDS partant de x en t. Considerons la fonction

v(t, x) = E[∫ T

te−

R st r(u,Xt,x

u )duf(s,Xt,xs )ds+ e−

R Tt r(s,Xt,x

s )dsh(Xt,xT )].

Si v est reguliere, alors v est solution du probleme de Cauchy :

∂v

∂t+ b.Dxv +

12Tr(σσ′D2

xxv)− rv + f = 0

v(T, x) = h.

La regularite de v est assuree par des conditions appropriees sur les coefficients b, σ,r, f et h, et est satisfaite dans le cadre du modele de Black-Scholes pour des fonctionsflux h a croissance lineaire, e.g. le call et le put.

Grace au caractere gaussien dans le mouvement Brownien geometrique, on peutexpliciter les representations risque-neutre (3.5) du prix d’arbitrage des options eu-ropeennes.

Proposition 3.1.1 La fonction de prix d’une option de flux h(ST ) dans le modele deBS (2.2) est egale a

v(t, x) =∫e−r(T−t)h

(x exp

σ√T − ty +

(r − σ2

2

)(T − t)

)n(y)dy (3.6)

ou n(y) = e−y2/2/√

2π est la densite de la loi normale centree reduite. La fonction v

s’ecrit encore

v(t, x) =∫ +∞

0h(z)π(t, x, z, T )dz (3.7)

ou

π(t, x, z, T ) = e−r(T−t)`r,σ2(T − t, x, z),


avec z > 0 → `r,σ2(t, x, z), la densite de la loi log-normale S0,xt de parametres r et σ2

sous Q :

`r,σ2(t, x, z) =1

z√

2πσ2texp

(−1

2d2

2(t, xert, z)

)d2(t, x, z) =

ln(x/z)− σ2

2 t

σ√t

Proof. D’apres l’expression (3.4) de S sous Q et en ecrivant que WT − Wt ∼√T − tU

ou U est une loi normale centree reduite, on a :

v(t, x) = EQ[e−r(T−t)h

(x expσ

√T − tU + (r − σ2

2)(T − t)

)],

d’ou l’on deduit immediatement (3.6). D’autre part, toujours d’apres (3.4), on voit quesous Q,

lnSt,xT ∼ N

(lnx+ (r − σ2

2)(T − t), σ2(T − t)

)d’ou l’on obtient par le changement de variable z = ey (voir aussi details dans l’exercice2.5.1) que la densite de St,x

T est la fonction z > 0 → `r,σ2(T − t, x, z). On en deduitimmediatement (3.7) avec (3.5). 2

Interpretation financiereEn termes financiers, π(t, x, z, T ) s’interprete comme la densite des prix d’etats : c’estle prix qu’on doit payer pour toucher 1 euro si on se trouve dans l’etat ST = z. Parlinearite des prix, on obtient ensuite que le prix d’un actif contingent h(ST ) est lasomme des h(z) × le prix d’etre en z. Cette notion de prix d’etat a ete introduite dansla litterature economique par Arrow et Debreu (on dit aussi prix d’Arrow-Debreu) quiont recu le prix Nobel.

Remarque 3.1.3 La formule integrale (3.6) met la dependance par rapport a la condi-tion initiale sur le noyau gaussien, alors que la formule (3.7) met cette dependance surle noyau log-normal.

Les formules integrales d’evaluation permettent de calculer la couverture, c’est adire le delta d’une option, selon deux approches.

Proposition 3.1.2 1) Si la fonction h de payoff de l’option h(ST ) est continue et p.p.derivable, alors le delta du prix de l’option est donnee par :

∂v

∂x(t, x) = EQ

[e−r(T−t)h′(St,x

T )St,1T

](3.8)

=∫e−r(T−t)h′

(x exp

σ√T − ty +

(r − σ2

2

)(T − t)

)exp

σ√T − ty +

(r − σ2

2

)(T − t)

n(y)dy


2) Dans le cas general, le delta du prix de l’option est egale a :

∂v

∂x(t, x) = EQ

[e−r(T−t)h(St,x

T )−d2(T − t, xer(T−t), St,x

T )xσ√T − t

](3.9)

=∫ +∞

0e−r(T−t)h(z)`r,σ2(T − t, x, z)

−d2(T − t, xer(T−t), z)xσ√T − t

dz

Preuve. La formule (3.8) decoule de la representation (3.6) et de la derivation sousle signe integrale qui est possible car le noyau gaussien n est tres regulier. La formule(3.9) decoule de la representation (3.7) dans laquelle la dependance en la conditioninitiale est exprimee dans le noyau log-normal `r,σ2 et en remarquant que

∂`r,σ2

∂x(t, x, z) = `r,σ2(t, x, z)

−d2(t, xert, z)xσ√t

.

2

Interpretation financiereDans la premiere approche, lorsque le payoff h(ST ) de l’option est regulier, le calculdu delta de l’option a la date t revient a evaluer le prix d’un actif contingent de flux

terminal h′(ST )∂ST

∂xou

∂ST

∂xest la derivee du prix par rapport a l’etat initial St =

x, appele processus tangent de S, et egal dans le modele de Black-Scholes a ST /St.Dans la seconde approche, appelee parfois approche par densite, le calcul du delta en trevient a evaluer le prix d’un produit derive de flux terminal h(ST )−d2(T−t,xer(T−t),ST )

xσ√

T−t.

Remarque 3.1.4 1. Les deux formules (3.8)-(3.9) sont bien evidemment equivalenteset s’obtiennent l’une a partir de l’autre par integrations par parties. Elles sont utileslorsqu’on calcule le prix par des methodes de Monte-Carlo. En effet, l’erreur etantproportionnelle a la variance de la variable dont on cherche a calculer l’esperance parsimulation, on aura interet a choisir (si c’est possible) la methode qui conduit a unevariable de variance la plus petite.2. La formule (3.9) s’applique pour les payoffs reguliers comme le call h(x) = (x−K)+ou le put h(x) = (K − x)+. La formule generale (3.9) est utilisee pour des payoffsirreguliers, typiquement les options digitales h(ST ) = 1ST >K . Notons que cette fonctionpayoff discontinue h(x) = 1x>K est derivable partout de derivee nulle sauf en x = K

ou la derivee n’est pas definie. On ne peut pas appliquer la formule (3.8) qui donneraitun delta de couverture nulle, ce qui n’est pas vraie. L’approche par densite conduisanta la formule (3.9) est un cas special d’une methode beaucoup plus generale basee surle calcul de Malliavin.


3.2 Formules fermees de Black and Scholes

La formule de Black-Scholes concerne plus specifiquement les call et put pour les-quels on a une formule explicite. C’est d’ailleurs ce qui a contribue a son renommeeparmi les practiciens et les academiques, et a valu a ses auteurs le prix Nobel.

3.2.1 La formule

Theoreme 3.2.3 Le prix d’un call de maturite T , de strike K, de sous jacent St = x

a la date t est donne par :

C(t, x,K, T ) = xN(d1(T − t, xer(T−t),K))−Ke−r(T−t)N(d2(T − t, xer(T−t),K))

ou N est la fonction de repartition de la loi normale centree reduite et

d1(t, x, y) = d2(t, x, y) + σ√t

d2(t, x, y) =ln(x/y)− σ2

2 t

σ√t

.

Le delta du call est egal a :

∂C

∂x(t, x,K, T ) = N(d1(T − t, xer(T−t),K))

et represente le nombre de parts a investir dans l’actif risque a la date t quand St =x.

Preuve. Pour alleger les notations, on calcule pour t = 0 et on note SxT = S0,x

T lasolution du Brownien geometrique partant de x en t = 0. Le point important estd’introduire l’ensemble d’exercice du call :

E = SxT > K .

En notant U = WT /√T qui suit une loi normale centree reduite sous Q, on voit que

E = U < d2 avec d2 = d2(T, xerT ,K)

On linearise alors le payoff du call en ecrivant le prix comme somme de deux payoffs :

C(0, x,K, T ) = EQ[e−rT (SxT −K)+] = EQ[e−rTSx

T 1E ] − EQ[e−rTK1E ].

Le premier terme se calcule avec la formule (3.6) utilisant la densite n(y) de la loigaussienne U :

EQ[SxT 1E ] =

∫ d2

−∞xe−rT exp

(−σ√Ty +

(r − σ2

2

)T

)n(y)dy

= x

∫ d2

−∞

1√2π

exp(−1

2(y + σ

√T )2)dy

= xN(d2 + σ√T ) = xN(d1), (3.10)


avec d1 = d1(T, xerT ,K) = d2 + σ√T . Le deuxieme terme se calcule aisement :

EQ[e−rTK1E ] = Ke−rT Q[E ] = Ke−rT Q[U < d2] = Ke−rTN(d2).

Le calcul du delta peut soit etre effectue directement sur la formule expliciteprecedente C(t, x,K, T ) en derivant par rapport a x. Une autre methode plus rapideest d’utiliser la formule de derivation (3.8) sous le signe esperance en notant que lafonction h(x) = (x−K)+ est derivable p.p. avec h′(x) = 1x>K . On a donc

∂C

∂x(0, x,K, T ) = EQ

[e−rT 1Sx

T >KSx

T

x

]= EQ

[e−rT 1E

SxT

x

]= N(d1),

d’apres le calcul deja fait (3.10). 2

On a de meme une formule explicite pour le put et son delta, qu’on peut deriverpar exemple avec la formule de parite call-put, voir exercice (3.6.4).

3.2.2 Proprietes du prix des calls

• Nous avons deja vu dans l’exercice (1.4.2) par un raisonnement d’arbitrage statiqueque le prix du call satisfait les bornes :

(x−Ke−r(T−t))+ ≤ C(t, x,K, T ) ≤ x.

On retrouve ce resultat par la regle d’evaluation risque-neutre. En effet, on a C(t, x,K, T )= EQ[e−r(T−t)(St,x

T − K)+] ≤ EQ[e−r(T−t)St,xT ] = St,x

t = x. De plus, C(t, x,K, T ) ≥EQ[e−r(T−t)(St,x

T −K)] = EQ[e−r(T−t)St,xT ] − Ke−r(T−t) = x−Ke−r(T−t). On obtient

alors la borne inferieure puisque le prix du call est positif.

• Puisque d1(t, x, y) est croissante par rapport a x, ceci montre d’apres la formule dudelta que celui est croissante en x. Le prix du call est donc une fonction convexe dusous-jacent. D’autres proprietes du prix du call en fonction des autres parametres devolatilite, strike et maturite seront examines ci-dessous.

• Le prix du call est une fonction homogene du sous-jacent et du strike au sens ou :

C(t, λx, λK, T ) = λC(t, x,K, T ), ∀λ ≥ 0.

On exprime ainsi souvent le strike en pourcentage du cours de l’action.

• Lorsque l’option est a la monnaie forward, i.e. K = xer(T−t), le prix du call est

C(t, x,K, T ) = x

[N

(12σ√T − t

)−N

(−1

2σ√T − t

)]' 0, 4xσ

√T − t.


3.2.3 Implementation de la formule

Pour mettre en oeuvre pratiquement la formule de Black and Scholes, on a besoindes elements suivants :

? une approximation de la fonction de repartition N(d). Il y a plusieurs methodes decalcul efficaces de N , par exemple celles basees sur la simulation de la loi gaussienne.Signalons aussi une approximation par :

N(d) ' 1− 12πe−d2/2(af(d) + bf(d)2 + cf(d)3),

avec

f(d) =1

1 + 0, 33267da = 0, 4361836

b = −0, 1201676 c = 0, 937298.

? Le prix d’exercice et la date d’expiration sont specifies sans ambiguite dans le contrat.

? Le temps jusqu’a maturite (ou maturite restante T − t) est plus difficile a preciser :faut-il compter tous les jours ou seulement les jours ou les marches sont ouverts ?Ce temps jusqu’a maturite apparait dans la formule de Black and Scholes dans deuxtermes. Dans le facteur d’actualisation er(T−t), le nombre de jours du calendrier estapproprie car les interets courent tous les jours. Dans le terme σ

√T − t, la reponse

est plus ambigue car ici le temps jusqu’a maturite est lie a la volatilite. Or des etudesempiriques ont montre que les week-ends et jours feries sont nettement moins risques.Souvent les traders ajustent cette maturite restante a un nombre de jours compris entrele nombre de jours du calendrier et celui du nombre de jours ouvres. Par exemple ilsconviennent que 1 jour non ouvrable = 1/3 jour d’une journee ouverte.

? Le cours de l’action courante est un cours de negociation. Quel est le bon cours, celuidu matin, du soir, le plus fort, le plus faible ... Les cours publies dans les journaux sontsouvent des cours reconstitues mid-market, i.e. moyenne entre le prix de l’offre et leprix de ventre (bid-ask).

? Le taux d’interet suppose constant dans le modele de BS est le taux sans risqueannuel. Un ordre de grandeur de ce taux est entre 2 et 12%. Il faut noter qu’en general,les taux ne sont pas constants sur les marches et il y a des extensions du modele de BSavec des taux deterministes ou aleatoires. On etudiera plus tard les modeles de tauxd’interets.

? Le parametre de volatilite σ est non directement observable sur le marche. C’est unparametre cle et il fait l’objet d’une discussion separee dans la section 3.4. Signalonsjuste a present que son ordre de grandeur depend beaucoup de la nature du titre sous-jacent : dans les marches d’actions, il varie entre 30 et 70%, dans les marches de changeentre 10 et 30% et dans les marches de taux d’interet entre 8 et 30%.


3.3 Sensibilite et grecques

Nous analysons l’impact des differents parametres sur le prix du call dans le modelede Black-Scholes. Rappelons que ce prix note C(t, x,K, T, r, σ) depend :

– de la date courante t et de la valeur x de l’action : ce sont les variables d’etat– de la maturite et du strike K : ce sont les parametres de l’option– du taux sans risque r et de la volatilite σ : ce sont les parametres du modele.La sensibilite du prix du call a ces parametres est un facteur tres important dans la

gestion de la couverture de l’option. Ces sensibilites sont usuellement appelees grecquesen relation avec l’alphabet correspondant. Puisque dans la formule de Black-Scholes, letemps t et la maturite T interviennent seulement a travers la maturite restante T − t,pour alleger les notations, on ne calculera ces sensibilites que pour t = 0 (il suffitde remplacer T pat T − t a la date t) et on ne rappelera pas les variables dans lesexpressions de C, d1 et d2.

Delta = ∆ :=∂C

∂x= N(d1) > 0

Gamma = Γ :=∂2C

∂x2=

1xσ√Tn(d1) > 0

Theta = Θ :=∂C

∂T=

xσ

2√Tn(d1) + rKe−rTN(d2) > 0

Vega = V :=∂C

∂σ= x

√Tn(d1) > 0

rho = ρ :=∂C

∂r= KTe−rTN(d2) > 0

∂C

∂K= −e−rTN(d2) < 0.

(on rappelle que n = N ′ est la densite de la normale centree reduite). Ces calculs aisessont laisses en exercice. L’interpretation financiere de ces quantites et leur signe estclaire. Le delta qui mesure la variation du prix de call par rapport aux variations dusous-jacent est positif et est le nombre de parts que l’investisseur doit donc acheterpour se couvrir. Le Gamma represente la sensibilite de ce portefeuille de couverturepar rapport aux variations du prix. C’est un parametre important car il indique si ondoit changer souvent de portefeuille : les traders preferent en general avoir des bornesde contraintes sur leur gamma. Le Theta mesure la variation du prix du call en fonctionde sa maturite et son signe positif indique que plus l’echeance est elevee, plus le prixdu call est grand. Le Vega qui mesure la variation du prix du call a la volatilite estpositif et indique donc que plus le sous-jacent est risque, plus le prix du call est eleve.On a une interpretation similaire pour le rho. Finalement, le dernier calcul montre quele prix du call est decroissant avec le strike ce qui est logique puisque le payoff du callest lui meme decroissant avec le prix d’exercice.


L’EDP de Black-Scholes (3.1) s’ecrit aussi avec les notations des grecques (notons

que Θ est la derivee par rapport a T − t et donc∂C

∂t= −Θ) :

12σ2x2Γ + rx∆− rC −Θ = 0.

En notant que σ2x2Γ = σV/(T − t), on peut aussi l’exprimer comme :

12

σ

T − tV + rx∆− rC −Θ = 0.

Cette egalite est utile et permet de relier entre elles les differentes sensibilites etantdonnes les parametres du modele et de l’option.

3.4 Volatilite

La volatilite est le parametre qui mesure le risque associe au rendement de l’actifsous-jacent. On appelle usuellement volatilite locale ou instantanee d’un actif de prixXt le coefficient eventuellement aleatoire σX

t defini par :

dXt = Xt

(btdt+ σX

t dWt

).

Dans le cadre de la formule de Black-Scholes, la volatilite locale est constante et cettevolatilite σ est le seul parametre qui n’est pas directement observable. Dans la pratique,deux approches sont utilisees pour l’identifier :

– la methode “historique” : ce sont des methodes empiriques utilisant les donneeshistoriques sur les cours de l’action

– la methode implicite : ce sont des methodes basees sur l’observation des prix desoptions.

3.4.1 La volatilite historique

La methode historique est une methode statistique qui utilise la propriete d’independancedes rendements logarithmiques. Precisement, en notant ∆t = tk − tk−1 l’intervalle detemps entre deux observations tk−1 et tk du prix, on a :

Yk := ln(Stk

Stk−1

)= µ∆t+ σ∆Wtk ,

ou µ = b− σ2/2 et les increments ∆Wtk = Wtk −Wtk−1, k ∈ N∗, sont independants et

identiquement distribues (i.i.d) de loi normale centree de variance ∆t. Autrement dit,les rendements logarithmiques Yk, k ∈ N∗, sont i.i.d. de loi normale de moyenne µ∆t et


de variance σ2∆t. Si on a observe n rendements Y1, . . ., Yn, on a donc des estimateursstandard non biaises de µ et σ2 avec :

µ =1n∆t

n∑k=1

Yk, σ2 =1

(n− 1)∆t

n∑k=1

(Yk − µ∆t)2.

Le σ estime ainsi est appele volatilite historique. L’unite de temps usuelle est l’anneeet en considerant des observations journalieres, on a ∆t = 1/300 (en supposant unemoyenne de 300 jours de trading). On retient en general des valeurs de n comprisesentre 50 et 180 jours.

Remarque 3.4.5 Les methodes d’estimation doivent en principe etre precedees detests statistiques d’adequation de modeles, notamment pour tester si l’hypothese denormalite pour les rendements logarithmiques peut etre retenue. Les tests effectuessur les donnees de marche permettent en fait rarement de valider cette hypothese. Ily a de nombreux travaux pour trouver des modeles plus adequats, par exemple lesmodeles ARCH en temps discret ou les modeles a volatilite stochastique. Ces pointssont abordes dans le cours d’econometrie de la finance.

3.4.2 La volatilite implicite

La methode implicite ne fait pas du tout reference a une notion statistique. Ellerepose sur le fait que dans un marche liquide, la loi de l’offre et de la demande permetde fixer des prix d’equilibre qui correspondent a un consensus de marche. Le marche sesert alors moins des modeles pour fixer des prix (sauf sur des options plus complexes),que pour evaluer et couvrir le risque associe a une option.

Dans cette optique, le parametre de reference est la volatilite implicite : elle estobtenue en inversant la formule de Black-Scholes qui donne le prix CBS du call parrapport au prix Cobs du call observe sur le marche, a un niveau de cours actuel donne,pour une maturite et un strike donne. Cette volatilite implicite σimp est donc donnepar la relation :

CBS(t, x,K, T, σimp) = Cobs(t, x,K, T ).

C’est donc un probleme dit inverse et qui definit bien de maniere unique σimp puisquele prix CBS de Black-Scholes est une fonction strictement croissante de la volatilite.

Il n’y a pas de formule explicite pour σimp et on a recours a des methodes numeriquespour la calculer (methodes par dichotomie, methode de Newton-Raphson, etc ...). No-tons que σimp depend du strike et de la maturite lies au prix du call observe. Souvent,on calcule cette volatilite implicite pour differents strikes et/ou differentes maturites decall et on represente alors son graphe en fonction du strike et/ou de la maturite. Si lemodele de Black-Scholes “gouvernait” effectivement la realite des marches, on devrait


en theorie trouver une volatilite implicite constante en fonction de ces parametres. Enfait, ce qu’on observe plus ou moins est une volatilite implicite decroissante en dehorsde la monnaie et croissante dans la monnaie : ce phenomene est communement ap-pele le smile de volatilite, en reference a la figure souriante de la volatilite implicite.Ce smile n’est pas statique et sa forme evolue aussi en fonction de la maturite. Lavolatilite implicite peut s’ecarter significativement de la volatilite historique car elleest censee refleter la volatilite future anticipee par le marche. Elle incorpore egalementcomme on vient de le voir toutes les incertitudes sur la qualite du modele utilise.

Ce parametre de volatilite implicite est un outil cle dans la gestion des risques car ilpermet a partir de la connaissance d’un prix d’option de mettre en place des strategiesde couverture et les mesures de sensibilite associees grace au calcul des grecques.

3.5 Autres types d’options

On considere dans ce paragraphe d’autres types d’options que les options eu-ropeennes. Le probleme de valorisation de ces options est plus difficile que pour lespayoffs europeens. On se contente ici de decrire ces produits derives sans faire d’etudemathematique rigoureuse mais plutot en donnant les idees intuitives. On se placera leplus souvent dans le cadre du modele de Black et Scholes.

3.5.1 Options americaines

Contrairement aux options europeennes qui ne donne le droit a son detenteur den’exercer qu’a maturite T et de recevoir ainsi un flux terminal h(ST ), une optionamericaine permet a son detenteur de l’exercer a toute date t avant la maturite T et derecevoir alors le flux h(St). Bien entendu, le prix d’une option americaine est superieureau prix d’une option europeenne puisqu’il donne plus de droits.

La representation probabiliste du prix d’une option americaine utilise la notion detemps d’arret. Rappelons qu’un temps d’arret τ est une variable aleatoire positive quine regarde pas vers le futur, ce qui signifie que si t est la date actuelle, on sait sil’evenement τ ≤ t a eu lieu ou non. Ceci se formalise par la propriete que τ ≤ t estFt-mesurable. Le detenteur d’une option americaine peut choisir tout temps d’arretpour exercer son option. On montre que le prix d’une option americaine de payoff(h(St))0≤t≤T a la date t = 0 est donne par :

π0 = supτ∈T0,T

EQ[e−rτh(Sτ )],

ou T0,T est l’ensemble des temps d’arrets a valeurs dans [0, T ]. L’explication intuitive dece resultat est le suivant : si on savait que le detenteur de l’option exercera au tempsd’arret τ , alors la valeur de l’option serait egale a la valeur de l’option europeenne


correspondante de maturite τ , donc EQ[e−rτh(Sτ )]. Mais, l’emetteur de l’option nesait pas quand le detenteur va l’exercer et va charger le prix au maximum parmi tousles exercices possibles. De maniere similaire, le detenteur veut exercer l’option a la datequi lui permet d’obtenir la plus haute valeur.

Quelle est la formulation EDP du prix d’une option americaine dans le modele deBlack-Scholes ? On en donne ici une justification heuristique. Notons par v(t, St) le prixa la date t et considerons le prix actualise e−rtv(t, St). Par la formule d’Ito, on a sousla probabilite risque-neutre

d(e−rtv(t, St)) = e−rt

(∂v

∂t+ rSt

∂v

∂x+

12σ2S2

t

∂2v

∂x2− rv

)(t, St)dt+ ...dWt.(3.11)

Dans le cas d’une option europeenne, le prix actualise est egal a la richesse actualise duportefeuille de replication et est donc une martingale sous la probabilite risque-neutre :on obtient l’EDP de Black-Scholes. Ici, en plus, dans le cas d’une option americaine,l’emetteur de l’option peut recevoir de l’argent qu’il peut consommer si l’acheteurn’exerce pas l’option de maniere optimale. Ceci se traduit par le fait que la tendancedans la richesse actualisee est negative :

∂v

∂t+ rx

∂v

∂x+

12σ2x2 ∂

2v

∂x2− rv ≤ 0. (3.12)

D’autre part, puisque que le detenteur de l’option peut a toute date t, obtenir le fluxh(St) s’il exerce a cette date, on a

v(t, x) ≥ h(x). (3.13)

On appelle region de continuation, note C, l’ensemble des valeurs de date et prix (t, x)pour lesquels il n’est pas optimal d’exercer l’option lorsque (t, St) est dans cette region.De maniere similaire, on appelle region d’exercice, l’ensemble complementaire note E ,i.e. l’ensemble des valeurs de date et prix (t, x) pour lesquels il est optimal d’exercerl’option. Intuitivement il sera optimal d’exercer l’option pour les valeurs de (t, St) pourlesquels le prix de l’option est egal au payoff en cas d’exercice immediat, i.e. lorsquev(t, St) = h(St). Autrement dit,

E =(t, x) ∈ [0, T ]× R∗+ : v(t, x) = h(x)

,

C =(t, x) ∈ [0, T ]× R∗+ : v(t, x) > h(x)

.

De plus, il n’y a pas de consommation possible pour le detenteur de l’option jusqu’al’exercice optimal de l’option, auquel cas le terme de tendance dans (3.11) doit etre nul.Ceci signifie que l’EDP de Black-Scholes est valable dans la region de continuation :

∂v

∂t+ rx

∂v

∂x+

12σ2x2 ∂

2v

∂x2− rv = 0, (t, x) ∈ C. (3.14)


Les relations (3.12)-(3.13)-(3.14) s’ecrivent parfois sous forme d’inequation variation-nelle :

min[−∂v∂t− rx

∂v

∂x− 1

2σ2x2 ∂

2v

∂x2+ rv, v − h

]= 0,

auquel il faut rajouter la condition terminale

v(T, x) = h(x).

C’est un probleme dit a frontiere libre ou la frontiere est la courbe separant la regiond’exercice de la region de continuation. Elle est dite libre car elle est inconnue etfait partie de la solution du probleme. Il n’y a pas de formule explicite pour le prixd’une option americaine et on a recours a des methodes numeriques pour resoudrel’inequation variationnelle satisfaite par le prix.

Remarque 3.5.6 Le prix d’un call americain est egal au prix d’un call europeen, i.e.il n’est jamais optimal d’exercer un call avant sa maturite. En effet, si le call americainde sous-jacent S, de strike K etait exerce en t < T la maturite, son detenteur recevraitSt−K. Or on sait que la valeur du call europeen correspondant est superieure ou egalea St−Ke−r(T−t), qui est strictement superieure a St−K. L’exercice premature du calln’est donc pas optimal. On s’interesse generalement alors au cas du put americain quiest different du put europeen.

3.5.2 Options exotiques

Les options call et put sont souvent appelees options vanilles. Les options de naturedifferentes sont appelees options exotiques. Ce sont des produits complexes qui ont prisune reelle importance depuis les annees 90. Ces options sont traitees sur les marchesde gre a gre et visent a repondre a des besoins specifiques d’assurance des institutionsfinancieres. Il n’y a virtuellement pas de limites, si ce n’est l’imagination des inves-tisseurs, a la nature des options exotiques. Typiquement, ce sont des options qui nedependent pas seulement de la valeur terminale du sous-jacent, mais en plus du maxi-mum, minimum ou de la moyenne des cours sur l’intervalle [0, T ]. On dit que ce sontdes options path-dependent. Nous nous interessons plus particulierement aux optionsbarrieres, lookback et asiatiques, et dans le contexte de Black et Scholes.

Options barrieresCes options sont populaires car elles coutent moins cheres que leur contrepartie vanille,mais elles ont aussi plus difficiles a valoriser. L’explication provient de ce que leur payoffa la maturite depend du fait que le sous-jacent ait traverse ou non durant l’intervalle[0, T ] un ou plusieurs niveaux (barriere) fixe, et donc le nombre de configurationspossibles d’exercice de l’option est moindre que pour une option standard equivalente.Les plus courantes sont :


- Knock-out options : l’option expire automatiquement lorsque le sous-jacent toucheune ou plusieurs barrieres fixees.- Knock-in options : l’option est activee si les barrieres sont touchees.On considere pour simplifier le cas d’une seule barriere, notee L ou H selon qu’il s’agitd’une barriere basse ou haute, et qui est fixee au meme titre que le prix d’exercice K,et on en donne quelques exemples :Down-and-out option : le droit d’exercice de l’option est perdue si le prix du sous-jacentS descend en dessous de L. Le prix d’un Down-and-out call est donc a la date t = 0 :

DOC(S0,K, L) = EQ[e−rT (ST −K)+ 1min[0,T ] St>L

]Bien evidemment, on suppose que L < S0 sinon le prix est trivialement nul. On peutencore exprimer ce prix comme

DOC(S0,K, L) = EQ [e−rT (ST −K)+ 1TL>T

],

ou TL est le temps d’arret ou les sous-jacent franchit pour la premiere fois la barrierebasse L, soit

TL = inft : St ≤ L = inft : St = L.

Down-and-in option : le droit d’exercice de l’option est autorise seulement si le prixdu sous-jacent S descend en dessous de L. Le prix d’un Down-and-in call est donc a ladate t = 0 :

DIC(S0,K, L) = EQ[e−rT (ST −K)+ 1min[0,T ] St≤L

]= EQ [e−rT (ST −K)+ 1TL≤T

].

On observe clairement que

DOC(S0,K, L) +DIC(S0,K, L) = Call(S0,K).

Up-and-out and Up-and-in option : Cette option possede les memes caracteristiquesque la DOC ou DIC mais cette fois-ci la barriere H > S0 est montante. Le prix d’unUp-and-out call est donc :

UOC(S0,K,H) = EQ[e−rT (ST −K)+ 1max[0,T ] St<H

]= EQ [(ST −K)+ 1TH>T ] ,

ou TH est le temps d’arret ou les sous-jacent franchit pour la premiere fois la barrierehaute H, soit

TL = inft : St ≥ H = inft : St = H.

Le prix d’un Up-and-in call est :

UIC(S0,K,H) = EQ[e−rT (ST −K)+ 1max[0,T ] St≥H

]= EQ [e−rT (ST −K)+ 1TH≤T

].


On a clairement

UOC(S0,K, L) + UIC(S0,K, L) = Call(S0,K).

Le calcul du prix de ces options barrieres fait intervenir la loi de ST et de sonmaximum sur [0, T ]. Il peut etre explicitement calcule dans le modele de Black-Scholescar on connait la densite jointe du mouvement Brownien et de son maximum grace auprincipe de reflection. Il y a une autre facon utilisant moins de mathematiques et baseesur la formule de symetrie du call-put due a Peter Carr.

Options lookbackCes options sont similaires au call ou put, sauf qu’ici le prix d’exercice est le maximumou minimum du sous-jacent sur [0, T ]. Par exemple, le payoff d’un lookback call est(

ST −Kmin[0,T ]

St

)+

,

et celui d’un lookback put est (Kmax

[0,T ]St − ST

)+

.

Il y a des formules explicites pour le prix de ces options lookback dans le cas du modelede Black et Scholes.

Options asiatiquesLe payoff de ces options depend de la moyenne du sous-jacent sur l’intervalle [0, T ].De cette maniere, il est ainsi moins sensible a la valeur finale ST du sous-jacent. Parexemple, la payoff d’un call asiatique est(

1T

∫ T

0Stdt−K

)+

.

Il y a une formule quasi-explicite pour le prix de ces options dans le modele de Black-Scholes du a Geman et Yor et utilisant de maniere intensive les processus de Bessel.Une autre approche consiste a ecrire l’EDP de valorisation en introduisant la variabled’etat :

Yt =1St

(1T

∫ t

0Sudu−K

).

3.6 Exercices

3.6.1 Convexite du prix

Montrer dans le modele de Black-Scholes que si le payoff de l’option h(ST ) est unefonction convexe du sous-jacent, alors il en est de meme de son prix d’arbitrage.

Corrige. C’est une consequence immediate de la formule de representation (3.6).


3.6.2 Coefficients deterministes dans BS

On considere un modele de Black-Scholes avec des coefficients r(t) et σ(t) dependantdu temps. Ecrire dans ce cas l’EDP d’evaluation et la representation risque-neutre d’uneoption. Comment est modifiee la formule de Black-Scholes ?Corrige. Un raisonnement similaire a celui decrit au paragraphe 3.1.1 montre quel’EDP de BS avec coefficients r et σ deterministes est :

∂v

∂t(t, x) + r(t)x

∂v

∂x(t, x) +

12σ2(t)x

∂2v

∂x2(t, x)− r(t)v(t, x) = 0, t ∈ [0, T [, x > 0.(3.15)

La condition terminale est la meme, i.e. v(T, x) = h(x) pour une option h(ST ). Dansla regle d’evaluation risque-neutre, il suffit juste de remplacer l’actualisation par :

S0t = exp(

∫ t

0r(u)du).

Le prix d’une option h(ST ), solution de l’EDP (3.15) est donc :

v(t, x) = EQ[e−

R Tt r(u)duh(St,x

T )],

ou le prix sous Q est donne par la formule d’Ito :

St,xT = x exp

(∫ T

tr(u)− σ2(u)

2du+

∫ T

tσ(u)dWu

).

Ainsi sous Q,

lnSt,xT ∼ N

(∫ T

tr(u)− σ2(u)

2du,

∫ T

tσ(u)2du

),

alors que dans le modele standard de Black-Scholes, la moyenne et la variance de lnSt,xT

sont (r − σ2/2)(T − t) et σ2(T − t). La formule de BS reste donc valable avec

r = R(t, T ) :=1

T − t

∫ T

tr(u)du, σ2 = Σ2(t, T ) :=

1T − t

∫ T

tσ2(u)du.

3.6.3 Limite de BS quand σ tend vers 0 et + ∞

Montrer que les valeurs limites du prix du call pour une volatilite nulle et infiniesont les bornes inferieures et superieures d’arbitrage :

limσ↓0

C(t, x,K, T, r, σ) = (x−Ke−r(T−t))+

limσ→+∞

C(t, x,K, T, r, σ) = x,

et donner l’interpretation financiere.


Corrige. Pour alleger les notations, on omet la dependance en t (= 0 pour simplifier),x, K, T , r et on ne garde que celle en la variable σ. On rappelle que

C(σ) = xN(d1(σ))−Ke−rTN(d2(σ))

ou

d1(σ) = d2(σ) + σ√T , d2(σ) =

ln(x/K) + rT

σ√T

− 12σ√T .

En envoyant σ vers zero, on a donc :

limσ↓0

d1(σ) = limσ↓0

d2(σ) =

+∞ si ln(x/K) + rT > 00 si ln(x/K) + rT = 0−∞ si ln(x/K) + rT < 0.

On trouve alors :

limσ↓0

C(σ) =

xN(+∞)−Ke−rTN(+∞) = x−Ke−rT si ln(x/K) + rT > 0

xN(0)−Ke−rTN(0) = 0 si ln(x/K) + rT = 0xN(−∞)−Ke−rTN(−∞) = 0 si ln(x/K) + rT < 0.

Ceci montre que limσ↓0C(σ) = (x − Ke−rT )+. L’interpretation financiere est la sui-vante. A la limite σ = 0, l’actif n’est plus risque et donc on sait des aujourd’hui sil’option sera exerce en comparant la valeur actuelle x de l’actif a la valeur du strikeactualise Ke−rT . Autrement dit, le prix du call doit etre egal a la valeur du payoffactualise (x−Ke−rT )+.

En envoyant de meme σ vers l’infini, on a :

limσ→+∞

d1(σ) = +∞, limσ→+∞

d2(σ) = −∞,

d’ou il resulte immediatement

limσ→+∞

C(σ) = xN(+∞)−Ke−rTN(−∞) = x.

L’interpretation financiere est la suivante. A la limite σ = +∞, l’action est tres risqueet a de grandes chances d’etre dans la monnaie ST > K a la maturite. Il a aussi degrandes chances d’etre hors la monnaie mais la perte est limitee par le prix d’exercice.Le prix du call ne doit donc tenir compte que de cette grande probabilite dans lamonnaie qui donne un payoff ST tres grand par rapport au strike. Le prix du call estdonc le prix du sous jacent actuel pour recevoir ST a la maturite.


3.6.4 Formule du Put

Montrer en utilisant par exemple la formule de parite call-put que le prix du putde prix d’exercice K et de maturite T est :

P (t, x) = Ke−r(T−t)N(−d2(T − t, xer(T−t),K))− xN(−d1(T − t, xer(T−t),K))

et que son delta est :

∂P

∂x(t, x) = −N(−d1(T − t, xer(T−t),K)).

Corrige. Pour alleger les notations, on omet la dependance dans les arguments de d1

et d2. On rappelle que la parite call-put est :

P (t, x) = C(t, x)− x+Ke−r(T−t).

D’apres la formule de Black-Scholes pour le call, on a donc :

P (t, x) = x(N(d1)− 1) +Ke−r(T−t)(1−N(d2)).

On obtient la formule enoncee du put avec la propriete de la fonction de repartition Nde la loi normale centree reduite :

N(d) +N(−d) = 1, ∀d ∈ R.

Finalement, en utilisant de nouveau la parite call-put, on obtient le delta :

∂P

∂x(t, x) =

∂C

∂x(t, x)− 1 = N(d1)− 1 = −N(−d1).

3.6.5 Option a choix

Une option a choix sur un titre est un produit derive qui donne le droit au detenteurde choisir a une date τ s’il veut un call ou un put de maturite T > τ , et de strike K.On notera Ct et Pt le prix du call et du put a la date t.1) Quel est le payoff de l’option a choix ?2) Verifier que le prix d’arbitrage a la date t = 0 de cette option a choix est

Π0 = C0 + EQ [e−rT (K − ST )1Cτ <Pτ

]. (3.16)

3) Montrer que ce prix s’ecrit encore :

Π0 = C0 + EQ[e−rτ (Ke−r(T−τ) − Sτ )+

]= P0 + EQ

[e−rτ (Sτ −Ke−r(T−τ))+

].


Interpreter. Indication : utiliser la loi des esperances conditionnelles iterees en introdui-sant la tribu Fτ par rapport a laquelle Cτ et Pτ sont mesurables et la parite call-put.

Corrige. 1) Le detenteur de cette option choisera le call a la date τ si Cτ ≥ Pτ et leput sinon. Le payoff de cette option a la date T est donc :

HT = (ST −K)+1Cτ≥Pτ + (K − ST )+1Cτ <Pτ .

2) Le prix d’arbitrage est Π0 = EQ[e−rTHT ]. En ajoutant et soustrayant (ST−K)+1Cτ <Pτ

dans HT et en notant que (K − x)+ − (x−K)+ = K − x, on a :

HT = (ST −K)+ + (K − ST )1Cτ <Pτ ,

et donc

Π0 = EQ [e−rT (ST −K)+]+ EQ [e−rT (K − ST )1Cτ <Pτ

]= C0 + EQ [e−rT (K − ST )1Cτ <Pτ

].

3) Pour calculer le second terme dans la droite de (3.16), on utilise la loi des esperancesconditionnelles iterees en introduisant la tribu Fτ par rapport a laquelle Cτ et Pτ sontmesurables :

EQ [e−rT (K − ST )1Cτ <Pτ

]= EQ

[EQ [e−rT (K − ST )1Cτ <Pτ

∣∣Fτ

]]= EQ

[1Cτ <Pτ EQ [e−rT (K − ST )

∣∣Fτ

]]= EQ

[1Cτ <Pτ

(e−rTK − EQ [e−rTST

∣∣Fτ

])]= EQ [1Cτ <Pτ

(e−rTK − e−rτSτ

)]= EQ

[e−rτ

(Ke−r(T−τ) − Sτ

)1Cτ <Pτ

],

en utilisant la propriete de martingale du prix actualise sous Q. Maintenant d’apres larelation de parite call-put :

Pτ = Cτ − Sτ +Ke−r(T−τ),

on voit que Cτ < Pτ = Sτ < Ke−r(T−τ) et donc :

EQ [e−rT (K − ST )1Cτ <Pτ

]= EQ

[e−rτ

(Ke−r(T−τ) − Sτ

)+

].

On reconnait dans ce dernier terme le prix d’un put de strike Ke−r(T−τ) et de maturiteτ . Le prix de l’option choix est donc la somme du prix d’un call de strike K, dematurite T et du prix d’un put de strike Ke−r(T−τ) et de maturite τ . L’autre relation


s’obtient aisement en ecrivant que(Ke−r(T−τ) − Sτ

)+

=(Ke−r(T−τ) − Sτ

)+ (Sτ −

Ke−r(T−τ))+, d’ou :

Π0 = C0 + EQ[e−rτ (Ke−r(T−τ) − Sτ )

]+ EQ


]= C0 + e−rTK − S0 + EQ


]= P0 + EQ


],

en utilisant de nouveau la propriete de martingale du prix actualise sous Q et la paritecall-put. On a une interpretation analogue : Le prix de l’option choix est la somme duprix d’un put de strike K, de maturite T et du prix d’un call de strike Ke−r(T−τ) etde maturite τ .

3.6.6 Options futures : formule de Black

Soit un contrat a terme sur un titre S de maturite T et FS(t, T ) le prix forward dece contrat conclu a la date t. Dans un modele de Black-Scholes, calculer une formulede type Black-Scholes pour le prix d’arbitrage d’un call de support ce contrat forward,de strike K et d’echeance τ < T .Corrige. Le payoff de ce call est :

Hτ = (FS(τ, T )−K)+,

et son prix d’arbitrage a la date t est

Πt = EQ[e−r(τ−t)(FS(τ, T )−K)+

∣∣∣Ft

].

On rappelle que FS(t, T ) = er(T−t)St (voir exercice (2.5.5)). Pour calculer le prixci-dessus, on peut soit refaire les calculs analogues au cas du call sur S, soit plus rapi-dement susbtituer directement FS(τ, T ) dans le payoff et utiliser la formule standardde BS. On utilise cette derniere approche en reecrivant :

(FS(τ, T )−K)+ = er(T−τ)(Sτ −Ke−r(T−τ))+

de sorte que

Πt = EQ[e−r(τ−t)er(T−τ)(Sτ −Ke−r(T−τ))+

∣∣∣Ft

]= er(T−τ)

EQ[e−r(τ−t)(Sτ −Ke−r(T−τ))+

∣∣∣Ft

].

L’expression entre accolades est le prix d’un call sur S de strike Ke−r(T−τ) et dematurite τ . En utilisant la formule standard de BS, on obtient :

Πt = er(T−τ)StN(d1)−Ke−r(T−τ)e−r(τ−t)N(d2)

,


avec d1 = d2 + σ√τ − t et

d2 =ln(Ste

r(τ−t)/Ke−r(T−τ))− σ2

2 (τ − t)σ√τ − t

.

On reexprime la formule avec la variable FS(t, T ) :

Πt = e−r(τ−t)[FS(t, T )N(d1)−KN(d2)

]et

d2 =ln(FS(t, T )/K)− σ2

2 (τ − t)σ√τ − t

.

3.6.7 Option puissance

On considere une option de payoff h(ST ) = SnT dans le modele de Black-Scholes. Mon-

trer que son prix est de la forme v(t, x) = ϕ(t, T )xn. Trouver la fonction ϕ(t, T ) parles deux methodes suivantes :

(i) regle d’evaluation risque-neutre(ii) substituer v(t, x) = ϕ(t, T )xn dans l’EDP de Black-Scholes, obtenir une equationdifferentielle ordinaire (edo) pour ϕ et la resoudre.Indication : Pour (i) utiliser la forme explicite de St,x

T , pour (ii) la solution de l’edosera de la forme ϕ(t, T ) = ek(T−t) avec k a determiner.

Corrige. (i) On a

St,xT = x exp

[σ(WT − Wt) +

(r − σ2

2

)(T − t)

]d’ou

(St,xT )n = xn exp

[nσ(WT − Wt)−

n2σ2

2(T − t)

]exp

[n

((n− 1)σ2

2+ r

)(T − t)

]On deduit

v(t, x) = EQ[e−r(T−t)(St,x

T )n]

= xn exp[(n− 1)

(nσ2

2+ r

)(T − t)

].

(ii) L’EDP de Black-Scholes avec sa condition terminale est

∂v

∂t+ rx

∂v

∂x+

12σ2x2 ∂

2v

∂x2− rv = 0

v(T, x) = xn.


En substituant v(t, x) = ϕ(t, T )xn, on trouve apres avoir observe que xn se simplifie :

∂ϕ

∂t+ nrϕ+

n(n− 1)2

σ2 − rϕ = 0

φ(T, T ) = 1.

La solution de cette edo est donnee par :

ϕ(t, T ) = ek(T−t) avec k = (n− 1)(n

2σ2 + r

).

On retrouve bien le meme resultat qu’au (i).

3.6.8 Option digitale

1) Calculer le prix d’arbitrage dans le modele de BS d’une option digitale de payoff1ST >K .2) Calculer le delta de couverture de l’option digitale par la methode de densite etretrouver le resultat par derivation directe sur l’expression obtenue en 1).

Corrige. 1) On sait que la region d’exercice St,xT > K = U < d2 ou U suit une loi

normale centree reduite sous Q et d2 est celui de la formule de Black-Scholes. On endeduit imediatement que le prix de l’option digitale est

v(t, x) = EQ[e−r(T−t)1St,x

T >K

]= e−r(T−t)N(d2) (3.17)

d2 =ln(x/K) + (r − σ2

2 )(T − t)σ√T − t

(3.18)

2) D’apres la formule de differentiation (3.9) par la methode de densite, on a :

∂v

∂x(t, x) = EQ

[e−r(T−t)1St,x

T >K

−d2(T − t, xer(T−t), St,xT )

xσ√T − t

]

−d2(T − t, xer(T−t), St,xT ) =

ln(St,xT /x)− (r − σ2

2 )(T − t)σ√T − t

.

Puisque ln(St,xT /x) = (r− σ2/2)(T − t) − σ

√T − tU et St,x

T > K = U < d2 ou d2

est defini en (3.18), on en deduit que :

∂v

∂x(t, x) =

∫ d2

−∞e−r(T−t) −1

xσ√T − t

yn(y)dy

= e−r(T−t) 1xσ√T − t

n(d2).

On retrouve le meme resultat en derivant directement (3.17) en notant que

∂d2

∂x=

1xσ√T − t

.


3.6.9 Options composees

On se place dans le cadre du modele de Black-Scholes :

dSt = rStdt+ σStdWt, (3.19)

ou W est un mouvement Brownien sur (Ω,F , (Ft)t≥0) sous la probabilite risque-neutreQ. On note :

- C1(t, St) le prix en t d’un call europeen sur S de prix d’exercice K1 et de maturiteT1,

- C2(t, St) le prix en t d’un call sur C1 de prix d’exercice K2 et de maturite T2

< T1. C’est donc le prix d’une option sur option et son payoff a la maturite T2 est(C1(T2, ST2)−K2)+.

1) Quelle sont les EDP satisfaites par C1(t, x) et C2(t, x) et leurs conditions termi-nales ?

2) Rappeler l’expression de la fonction C1(t, x) ?3) En integrant (3.19), montrer que l’on peut ecrire pour tout t > 0 :

St = S0 exp[(r − σ2

2

)t− σ

√tUt

], (3.20)

avec

Ut = − 1√tWt.

Quelle est la loi de Ut sous Q ?4) Montrer que l’option C2 est exercee, i.e. C1(T2, ST2) ≥ K2, si et seulement si ST2

est superieure a une certaine valeur K∗ dont on donnera une caracterisation implicite.On notera desormais

E1 = ST1 ≥ K1E2 = ST2 ≥ K∗ .

5) a) Justifier que la valeur de l’option sur option a la date t = 0 s’ecrit :

C2(0, S0) = e−rT2EQ [(C1(T2, ST2)−K2)1E2 ] .

b) Justifier que

C1(T2, ST2) = e−r(T1−T2)EQ [ (ST1 −K1)1E1 | FT2 ] .

c) En deduire que

C2(0, S0) = e−rT1EQ [ST11E1∩E2 ]−K1e−rT1Q(E1 ∩ E2)−K2e

−rT2Q(E2).


Indication : on utilisera la loi des esperances conditionnelles iterees et on remarqueraque E2 ∈ FT2 .

6) En utilisant (3.20), montrer que

E2 = UT2 ≤ δ2 ,

ou on explicitera δ2. En deduire Q(E2) = N(δ2) ou N est la cumulative d’une gaussiennecentree reduite univariee.

7) a) Montrer que

E1 ∩ E2 = UT1 ≤ δ1, UT2 ≤ δ2 ,

ou on explicitera δ1.b) Montrer que la loi de (UT1 , UT2) sous Q est une gaussienne bivariee centree de

matrice de covariance (1 ρ

ρ 1

),

avec ρ qu’on explicitera, et en deduire que

Q(E1 ∩ E2) = N2(δ1, δ2),

ou (x1, x2) 7→ N2(x1, x2) est la cumulative de la gaussienne bivariee ci-dessus.8) a) En utilisant la question 3), montrer que

ST1

S0erT1= exp

[σWT1 −

12σ2T1

].

b) On definit alors une mesure Q∗ de densite par rapport a Q definie par

dQ∗

dQ=

ST1

S0erT1.

Justifier que Q∗ est une probabilite et montrer que W ∗t = Wt − σt est un mouvement

Brownien sous Q∗.c) En utilisant la formule de Bayes, montrer que

EQ [ST11E1∩E2 ] = S0erT1Q∗(E1 ∩ E2).

d) Calculer la loi du couple (UT1 , UT2) sous Q∗.9) En deduire que

C2(0, S0) = S0N2(δ1 + σ√T1, δ2 + σ

√T2)−K1e

−rT1N2(δ1, δ2)−K2e−rT2N(δ2).

Corrige.


1) Les EDP satisfaites sont

∂Ci

∂t+ rx

∂Ci

∂x+

12σ2x2∂

2Ci

∂x2− rCi(t, x) = 0, 0 ≤ t < Ti,

avec les conditions terminales

C1(T1, x) = (x−K1)+, C2(T2, x) = (C1(T2, x)−K2)+.

2)

C1(t, x) = xN(d1)−K1e−r(T1−t)N(d2),

avec

d1 =ln(

xK1e−r(T1−t)

)+ σ2

2 (T1 − t)

σ√T1 − t

, d2 = d1 − σ√T1 − t.

3) Ut suit une loi normale centree reduite sous Q.4) Comme C1(T2, x) est strictement croissante en x, on a C1(T2, ST2) ≥ K2 ssi ST2 ≥K∗ avec K∗ definie par

C1(T2,K∗) = K2.

5) a) D’apres la regle d’evaluation risque-neutre :

C2(0, S0) = e−rT2EQ [(C1(T2, ST2)−K2)+] = e−rT2EQ [(C1(T2, ST2)−K2)1E2 ] .

b) On a aussi

C1(T2, ST2) = e−r(T1−T2)EQ [ (ST1 −K1)+| FT2 ] = e−r(T1−T2)EQ [ (ST1 −K1)1E1 | FT2 ] .

c) En remplacant l’expression b) dans a), on obtient

C2(0, S0) = e−rT2EQ [C2(T2, ST2)1E2 ]−K2e−rT2Q(E2)

= e−rT2EQ[e−r(T1−T2)EQ [ (ST1 −K1)1E1 | FT2 ] 1E2

]−K2e

−rT2Q(E2)

= e−rT1EQ [(ST1 −K1)1E1∩E2 ]−K2e−rT2Q(E2)

= e−rT1EQ [ST11E1∩E2 ]−K1e−rT1Q(E1 ∩ E2)−K2e

−rT2Q(E2).

6) On a

δ2 =ln(

S0

K∗e−rT2

)− σ2

2 T2

σ√T2

.

Comme UT2 suit une loi gaussienne centree reduite sous Q, on a Q(E2) = N(δ2).


7) a) On a

δ1 =ln(

S0

K1e−rT1

)− σ2

2 T1

σ√T1

.

b) Le processus W etant gaussien, on a que (UT1 , UT2) = (− 1√T1WT1 ,− 1√

T2WT2) suit

une loi normale bivariee centree. De plus, on a V arQ(UTi) = 1 et

ρ = CovQ(UT1 , UT2) =1√T1T2

CovQ(WT1 , WT2) =min(T1, T2)√

T1T2=√T2

T1.

8) a) Immediat.b) Q∗ est une mesure de probabilite car ST1

S0erT1≥ 0 et EQ[ ST1

S0erT1] = 1. W ∗

t est unmouvement Brownien sous Q∗ par le theoreme d Girsanov.c) On a

EQ [ST11E1∩E2 ] = EQ[S0e

rT1dQ∗

dQ1E1∩E2

]= S0e

rT1Q∗(E1 ∩ E2).

d) On a

(UT1 , UT2) =(− 1√

T1W ∗

T1,− 1√

T2W ∗

T2

)− (σ

√T1, σ

√T2).

Donc la loi de (UT1 , UT2) sous Q∗ est une loi normale bivariee, de moyenne (−σ√T1,−σ

√T2)

et de matrice de covariance celle de la question 7)b).9) On a

Q∗(E1 ∩ E2) = Q∗(UT1 ≤ δ1, UT2 ≤ δ2) = N2(δ1 + σ√T1, δ2 + σ

√T2),

d’apres la question 8)d). En combinant les relations 6), 7)b) et la relation ci-dessus, onobtient le resultat voulu.

3.6.10 Calcul et graphes des grecques

1) Tracer le graphe du delta du call en fonction du sous-jacent.

2) Verifier la formule des grecques Theta, Vega et rho. Tracer le graphe du Theta enfonction du sous-jacent.

Corrige. 1) On rappelle que le delta du call est a la date t = 0 :

∆(x) = N(d1)

d1 =ln(x/K) + (r + σ2

2 )T

σ√T

.


C’est une fonction croissante du sous-jacent x avec

limx↓0

∆(x) = N(−∞) = 0, limx→+∞

∆(x) = N(+∞) = 1.

De plus, on a

∂∆∂x

(x) = Γ(x) =∂d1

∂xN ′(d1) =

1xσ√Tn(d1)

d’ou

∂2∆∂x2

(x) =1

σ√T

[− 1x2n(d1) +

1x2σ

√Tn′(d1)

]= − 1

x2σ√T

[1 +

1σ√Td1

]n(d1).

Il y a donc un changement de convexite de ∆ en 1 + d1/(σ√T ) = 0, i.e. en x0 =

Ke−(r+3σ2/2)T , et ∆ est convexe (resp. concave) avant (resp. apres) x0.

3.6.11 Volatilite de l’option

1) En notant C(t, St) le prix du call a la date t, interpreter le terme

σCt =

1C

∂C

∂x(t, St)σSt.

2) On definit l’elasticite du prix du call par rapport au sous-jacent par :

eCt =σC

t

σ.

Montrer que eCt > 1. Interpreter.

Corrige. 1) Par la formule d’Ito applique a C(t, St), on a

dC(t, St) = C(t, St)(µtdt+ σC

t dWt

),

ou

σCt =

1C

∂C

∂x(t, St)σSt.

σCt est donc la volatilite instantanee (on dit aussi locale) du call.

2) D’apres la formule de Black-Scholes et du delta, on a :

eCt =St

C(t, St)∆(t, St) =

StN(d1)StN(d1)−Ke−r(T−t)N(d2)

> 1.

Ceci signifie que le call est plus risquee (volatile) que l’action sous-jacente.


3.6.12 Volatilite implicite et robustesse de BS

Supposons que l’on utilise a tort la formule de Black-Scholes avec une volatiliteconstante σBS pour donner le prix CBS d’un call (ST−K)+, alors que la vraie volatilitelocale de l’actif est σt, eventuellement aleatoire mais inconnue. On note par V BS

t lavaleur du portefeuille de couverture mise en place avec le delta a l’aide de la volatiliteσBS et par εT = V BS

T − (ST −K)+ l’erreur de replication a maturite. Montrer que

εT =∫ T

0e−r(T−t) 1

2((σBS)2 − σ2

t

)S2

t Γ(t, St)dt (3.21)

=∫ T

0e−r(T−t) 1

2σBS

T − t

(1− σ2

t

(σBS)2

)V(t, St)dt, (3.22)

ou Γ et V sont le gamma et le vega du prix CBS . Interpreter et commenter.

Corrige. La vraie dynamique du sous-jacent sous Q est :

dSt = St(rdt+ σtdWt).

Appliquons la formule d’Ito a la fonction CBS et au sous-jacent St :

dCBS(t, St) =(∂CBS

∂t(t, St) + rSt

∂CBS

∂x(t, St) +

12σ2

t S2t

∂2CBS

∂x2(t, St)

)dt

+ σtSt∂CBS

∂x(t, St)dWt

Puisque CBS est le prix de Black-Scholes pour la volatilite σBS , il verifie l’EDP deBlack-Scholes :

∂CBS

∂x(t, x) + rx

∂CBS

∂x(t, x) +

12(σBS)2S2

t

∂2CBS

∂x2(t, x)− rCBS(t, x) = 0.

En substituant dans la formule d’Ito ci-dessus et avec les notations des grecques ∆(t, x)

=∂CBS

∂x(t, x), Γ(t, x) =

∂2CBS

∂x2(t, x), on obtient :

dCBS(t, St) = rCBs(t, St)dt+12((σBS)2 − σ2

t

)S2

t Γ(t, St)dt

+ σtSt∆(t, St)dWt

D’autre part, le portefeuille de couverture ∆ a une dynamique V BSt verifiant :

dV BSt = (V BS

t −∆(t, St)St)rdt+ ∆(t, St)dSt

= rV BSt dt+ σtSt∆(t, St)dWt.

En notant εt = V BST −CBS

t l’erreur a la date t, qui verifie εT = V BST − (ST −K)+, on

a donc :

dεt = rεtdt+12((σBS)2 − σ2

t

)S2

t Γ(t, St)dt.


On obtient l’expression (3.21) par resolution immediate de cette equation lineaire.Finalement, l’autre expression (3.22) est obtenue en exploitant la relation entre Gammaet Vega : (σBS)2x2Γ(t, x) = σBSV(t, x)/(T − t).

Naturellement, si le modele est bien specifie, i.e. σt = σBS , l’erreur de replicationest nulle. Dans le cas ou il est mal specifie, l’expression ci-dessus de εT fait apparaitreclairement le vega (ou gamma) comme une mesure de l’exposition a une mauvaiseestimation de la volatilite. De nombreux produits dont la volatilite est aleatoire sonttout de meme evalues avec une formule de Black-Scholes. L’expression de l’erreur dereplication permet de justifier les approximations commises : par exemple, si la volatilitechoisie majore la vraie volatilite, i.e. σBS ≥ σt, alors le resultat est favorable au trader,i.e. εT ≥ 0, si le gamma est positif, c’est a dire si le prix est convexe. C’est le cas ducall et cette propriete s’etend a des payoff convexes.

Chapitre 4

Valorisation d’options

europeennes sur multi

sous-jacents

Dans le chapitre precedent, nous nous sommes focalises sur la couverture et lavalorisation d’options europeennes sur un seul sous-jacent. Dans ce chapitre, nousconsiderons le cas d’options europeennes ecrits sur des actifs multi sous-jacents. Laplupart des arguments developpes dans le cadre unidimensionnel restent valables maisil y a de nouvelles idees, en particulier liees au choix du numeraire. Les exemplesd’options multi sous-jacents sont les options index, a panier, d’echange, multi-devises,...

4.1 Changement de numeraire

Il y a des astuces de calcul pour la valorisation d’options lorsque lorsqu’il y aplusieurs actifs sous-jacents ou encore si les taux d’interets sont aleatoires. Cette astuceconsiste a changer l’unite de mesure : c’est la methode du changement de numeraire.Par exemple, lorsque la valeur d’un actif est mesuree en euros, c’est la monnaie eurosqui est notre numeraire. Lorsque nous actualisons la valeur d’un actif par le cash,c’est ce cash qui est notre numeraire. Il y a un certain arbitraire dans le choix de cettereference monetaire et dans un modele, un choix pertinent de numeraire peut simplifierles calculs de valorisation de produits derives.

De maniere generale, on definit un numeraire comme un processus N adapte stric-tement positif. Les exemples courants dans les applications de modeles de marche ouexiste comme titres de base, le cash, les zero-coupons, des actifs risques, sont :(1) Le cash S0, i.e. la valeur obtenue en investissant une unite monetaire, disons l’euro,

68

MULTI SOUS-JACENTS 69

continument au taux d’interet rt :

S0t = exp

(∫ t

0rsds

).

(2) Le zero-coupon de maturite T . C’est l’instrument financier qui verse 1 euro en T , etson prix a la date t est note B(t, T ). Notons que B(T, T ) = 1. Lorsque les taux d’interetssont deterministes, on a B(t, T ) = e−

R Tt r(s)ds = S0

t /S0T . Dans le cas de taux d’intertets

aleatoires, les zeros-coupons et le cash sont des instruments financiers distincts.(3) Un actif des actifs risques Si

Jusqu’a present, nous avons utilise le cash comme numeraire et defini la probabilitemartingale risque-neutre associee Q0, i.e. telle que les prix actualises S/S0 par le cashsoient martingales sous Q0. En marche complet, nous avions alors obtenu la regled’evaluation risque-neutre : pour tout actif contingent HT , son prix d’arbitrage estdonne a la date 0 par

Π0 = EQ0

[HT

S0T

]Le resultat suivant montre l’invariance de la notion de probabilite martingale et de laregle d’evaluation par changement de numeraire.

Theoreme 4.1.1 Soit N un numeraire choisi parmi les titres de base. Alors il existeune probabilite QN ∼ P telle que les prix X des actifs de base actualises par cenumeraire soient des QN -martingales. Cette probabilite est caracterisee par sa den-site de Radon-Nikodym par rapport a Q0 :

dQN

dQ0=

NT

N0S0T

. (4.1)

De plus, on a la formule de changement de numeraire pour la regle d’evaluation risque-neutre : pour tout actif contingent HT en marche complet, son prix d’arbitrage est :

Π0 = EQ0

[HT

S0T

]= N0EQN

[HT

NT

]. (4.2)

Ce theoreme repose sur la formule de Bayes conditionnelle que nous rappelons.

Lemme 4.1.1 (Formule de Bayes) Soit Q P sur (Ω,FT ) de densite de Radon-Nikodym dQ/dP, et notons (Zt) la P-martingale :

Zt = E[dQdP

∣∣∣∣Ft

], 0 ≤ t ≤ T.


Alors pour tous 0 ≤ s ≤ t ≤ T , pour toute variable Xt Ft-mesurable Q-integrable, ona :

EQ [Xt| Fs] = E[Zt

ZsXt

∣∣∣∣Fs

],

et en particulier Zt est la densite de Radon-Nikodym de Q par rapport a P sur (Ω,Ft).

Preuve. Par definition de l’esperance conditionnelle, il suffit de montrer que pour toutevenement A ⊂ Fs, on a

EQ[Xt1A] = EQ[E[Zt

ZsXt

∣∣∣∣Fs

]1A

]. (4.3)

Pour cela, on utilise la formule de Bayes standard entre Q et P de densite dQ/dP =ZT sur (Ω,FT ) :

EQ[Y ] = E[ZTY ], pour toute variable aleatoire Y Q− integrable. (4.4)

En utilisant cette formule au terme de droite de (4.3), on a

EQ[E[Zt

ZsXt

∣∣∣∣Fs

]1A

]= E

[ZT E

[Zt

ZsXt

∣∣∣∣Fs

]1A

]= E

[E[ZT E

[Zt

ZsXt

∣∣∣∣Fs

]1A

∣∣∣∣Fs

]]= E

[E[Zt

ZsXt

∣∣∣∣Fs

]1AE [ZT | Fs]

]= E

[E[Zt

ZsXt

∣∣∣∣Fs

]1AZs

]= E[ZtXt1A] = E[ZTXt1A],

ou on a utilise la loi des esperances conditionnelles et la propriete de martingale de Z.En utilisant de nouveau (4.4), on obtient (4.3). Finalement, notons que la formule deBayes de ce lemme pour s = 0 donne

EQ[Xt] = E[ZtXt],

pour toute variable Xt Ft-mesurable Q-integrable, et donc Zt est la densite de Q parrapport a P sur (Ω,Ft). On ecrit aussi dQ

dP

∣∣∣Ft = Zt. 2

Preuve du theoreme 4.1.1. Notons que puisque N/S0 est une Q0-martingale stric-tement positive, l’expression (4.1) definit bien une probabilite QN ∼ Q0 : EQ0

[dQN

dQ0

]= 1. De plus, on a

Zt := EQ0

[dQN

dQ0

∣∣∣∣Ft

]=

Nt

N0S0t

.


Puisque les prix actualises par les cash X/S0 sont des Q0-martingales, on obtient avecla formule de Bayes pour tous 0 ≤ s ≤ t :

EQN

[Xt

Nt

∣∣∣∣Fs

]= EQ0

[Zt

Zs

Xt

Nt

∣∣∣∣Fs

]= EQ0

[S0

s

Ns

Xt

S0t

∣∣∣∣Fs

]=

S0s

Ns

Xs

S0s

=Xs

Ns,

ce qui prouve la propriete de QN -martingale des prix X/N actualises par le numeraire.La formule (4.2) decoule aussi de la formule de Bayes :

EQN

[HT

N0T

]= EQ0

[ZT

HT

NT

]= EQ0

[1N0

HT

S0T

].

2

Remarque 4.1.1 Lorsqu’on utilise un zero-coupon de maturite T comme numeraireNt = B(t, T ) (c’est astucieux dans le cas de modeles de taux d’interet, voir chapitre6), la probabilite martingale correspondante est appelee probabilite T -forward neutreet notee QT (dans le cas de taux deterministe, QT = Q0 la probabilite martingale).Par definition de QT , on voit que le prix forward en S de maturite T est egal a

FS(t, T ) =St

B(t, T )= EQT

[ST

B(T, T )

∣∣∣∣Ft

]= EQT

[ST | Ft] .

Le processus FS(t, T ), t ≤ T , est une QT -martingale de valeur finale ST .

Exemple : Considerons un call europeen de maturite T et de prix d’exercice K sur unsous-jacent S. En utilisant le numeraire zero-coupon de maturite T , le prix d’arbitragede ce call est egal d’apres la formule (4.2) :

C0 = B(0, T )EQT[(ST −K)+],

en se rappelant que B(T, T ) = 1. En introduidant l’ensemble d’exercice A = ST > K,ce prix s’ecrit encore

C0 = B(0, T )EQT[ST 1A]−KB(0, T )QT (A).

En utilisant le numeraire S pour calculer la premiere esperance dans le terme de droite,on a par la formule (4.2) applique au flux HT = ST 1A :

B(0, T )EQT

[ST 1A

B(T, T )

]= S0EQS

[ST 1A

ST

]= S0QS(A),

d’ou

C0 = S0QS(A)−KB(0, T )QT (A). (4.5)

On voit ainsi qu’on est ramene a calculer la probabilites d’exercice sous les probabilitesmartingales appropriees. C’est donc un calcul similaire au call standard.


4.2 Options d’echange

Une option d’echange est une option donnant le droit a son detenteur d’echanger ala maturite T un actif risque S2 pour un autre note S1, qui peut aussi etre un indice.Le payoff de cette option est donc (S1

T − S2T )+.

En utilisant le numeraire S2, son prix d’arbitrage est d’apres (4.2) :

C0 = S20EQS2

[(S1

T − S2T )+

S2T

]= S2

0EQS2

[(S1

T

S2T

− 1)

+

].

En introduidant l’ensemble d’exercice A = S1T > S2

T , ce prix s’ecrit encore

C0 = S20EQS2

[S1

T

S2T

1A

]− S2

0QS2

(A).

En utilisant le numeraire S1 pour calculer la premiere esperance dans le terme dedroite, on a par la formule (4.2) :

S20EQS2

[S1

T 1A

S2T

]= S1

0EQS1[S1

T 1A

S1T

]= S1

0QS1(A),

d’ou

C0 = S10QS1

(A)− S20QS2

(A). (4.6)

Pour expliciter les calculs de ces probabilites d’exercice, considerons par exempleun modele ou chacun des deux actifs suit un mouvement Brownien geometrique :

dS1t = S1

t (b1dt+ σ1dW1t )

dS2t = S2

t (b2dt+ σ2dW2t ),

ou W 1 et W 2 sont deux mouvements Browniens supposes independants pour simplifier.Pour calculer les probabilites d’exercice apparaissant dans (4.6), nous allons etablir ladynamique de I = S1/S2 sous chacune des probabilites QS1

et QS2. La probabilite QS1

est telle que S1/S1 = 1 est une QS1-martingale, ce qui est trivial, et telle que S2/S1

soit une QS1-martingale. Or par la formule d’Ito, on a

d

(S2

t

S1t

)=

1S1

t

dS2t + S2

t d

(1S1

t

)+ d < S2

t ,1S1

t

>

d

(1S1

t

)= − 1

(S1t )2

dS1t +

1(S1

t )3d < S1

t > = − 1S1

t

[(b1 − σ2

1)dt+ σ1dW1t

]d’ou

d

(S2

t

S1t

)=

S2t

S1t

[(b2 − b1 + σ2

1 − σ1σ2)dt− σ1dW1t + σ2dW

2t

]


Par le theoreme de Girsanov, la dynamique de J = S2/S1 sous QS1est donc :

d

(S2

t

S1t

)=

S2t

S1t

(−σ1dW

1t + σ2dW

2t

),

ou W 1 et W 2 sont des QS1-mouvements brownien independants. Par la formule d’Ito,

on en deduit la dynamique de I = 1/J sous QS1:

dIt = − 1J2

t

dJt +1J3

t

d < Jt >

= It

[(σ2

1 + σ22)dt− σ1dW

1t + σ2dW

2t

],

et donc

IT = I0 exp(

12σ2T − σ1W

1T + σ2W

2T

),

ou on a pose σ2 = σ21 + σ2

2. En notant U = (σ1W1T − σ2W

2T )/(σ

√T ) qui suit une loi

normale centree reduite sous QS1, la probabilite d’exercice QS1

(A) s’explicite en :

QS1(A) = QS1

(U < d1) = N(d1), avec d1 =ln(S1

0/S20) + σ2

2 T

σ√T

.

Par symetrie, un calcul similaire nous donne

QS2(A) = N(d2), avec d2 = d1 − σ

√T =

ln(S10/S

20)− σ2

2 T

σ√T

.

On obtient alors la formule de Margrabe pour l’option d’echange :

C0 = S10N(d1)− S2

0N(d2).

Remarque 4.2.2 Sachant valoriser une option d’echange, on peut aussi calculer uneoption sur le maximum ou minimum de deux actifs en remarquant que :

min(S1, S2) = S2 − (S2 − S1)+, max(S1, S2) = S2 + (S1 − S2)+.

4.3 Options quanto

On s’interesse a la valorisation d’options de change, appelees aussi options quanto.Ces options ont pris une grande importance car les etablissements financiers sont deplus en plus engages sur les marches internationaux. Pour simplifier, on se restreint adeux marches, le marche domestique et le marche etranger. Par exemple, pour fixerles idees, le marche francais ou les cours des actifs sont exprimes en euros et le marcheamericain ou les cours sont exprimes en dollars. On note X le taux de change entre les


deux marches, c’est a dire que X represente le montant en monnaie domestique (euros)qu’il faut pour convertir une unite de monnaie etrangere (dollars). On fait l’hypothesed’absence de couts de transactions entre les deux monnaies. Chaque marche a sa regled’evaluation par arbitrage : on note Πd

t (HdT ) (resp. Πf

t (HfT )) le prix d’arbitrage en mon-

naie domestique (resp. etrangere) d’un actif contingent domestique HdT (resp. etranger

HfT ). Par exemple, si rd (resp. rf ) est le taux d’interet domestique (resp. etranger),

supposes constants, et en notant Qd (resp. Qf ) une probabilite martingale dite domes-tique (resp. etrangere), i.e. telle que les titres domestiques (resp. etrangers) actualisespar le cash du taux domestique rd (resp. etranger rf ) soient des Qd-martingales (resp.Qf -martingales), on a :

Πdt (H

dT ) = EQ0

[e−rd(T−t)HdT |Ft]

( resp. Πft = EQf

[e−rf (T−t)HfT |Ft] )

D’autres regles d’evaluation, via les probabilites martingales, peuvent etre choisis enutilisant un autre numeraire. De plus, pour eviter tout arbitrage entre les deux economies,on considere que tout titre etranger converti en monnaie domestique est un titre domes-tique. Ceci entraine la relation de consistence entre les regles d’evaluation de chaquemarche :

Πdt (XTH

fT ) = XtΠ

ft (Hf

T ), (4.7)

pour tout actif etranger HfT .

Applications :

Option d’achat sur action etrangere et strike en devisesIl s’agit de valoriser en monnaie domestique un flux etranger de payoff (Sf

T − Kf )+.Son prix en monnaie domestique s’exprime d’apres (4.7) a la date t = 0 par :

Cd0 = Πd

0(XT (SfT −Kf )+) = X0Π

f0((Sf

T −Kf )+) = X0Cf0 (Sf

0 ,Kf , T )

ou Cf0 (Sf

0 ,Kf , T ) est le prix du call sur le marche etranger. Si on a une formule fermee

pour ce marche, il en est de meme sur le marche domestique.

Option d’achat sur action etrangere et strike en monnaie domestiqueCette option a un payoff terminal qui s’ecrit en monnaie domestique : (XTS

fT −Kd)+

ou Sf est le sous-jacent etranger et Kd le strike domestique. De plus, le flux XTSfT a

comme prix domestique d’apres (4.7)

Πdt (XTS

fT ) = XtΠ

ft (Sf

T ) = XtSft .

On peut donc interpreter ce call comme un call domestique sur le sous-jacent XSf destrike Kd. Son prix d’arbitrage domestique est donc en t = 0

C0 = Πd0((XTS

fT −Kd)+) = Cd

0 (X0Sf0 ,K

d, T )


ou Cd0 (X0S

f0 ,K

d, T ) est le prix du call domestique de sous-jacent XSf , de strike Kd

et de maturite T .

Option d’achat sur deviseC’est un call de maturite T sur le taux de change X de prix d’exercice K, et donc depayoff (XT −K)+. C’est un cas particulier de l’option decrite ci-dessus lorsque l’actionetrangere Sf est un zero-coupon etranger, note Bf (., T ) de meme maturite T quel’option, puisque dans ce cas par definition Sf

T = Bf (T, T ) = 1. Son prix d’arbitrageest donc :

C0 = Πd0((XT −K)+) = Cd

0 (X0Bf (0, T ),K, T ).

4.4 Exercices

4.4.1 Formule de Merton generalisee

On considere un modele ou le prix forward sur l’actif S de maturite T , F (t, T ) =St/B(t, T ) a une volatilite deterministe σF (t). La dynamique de F sous la probabiliteT -forward neutre QT est donc :

dF (t, T ) = F (t, T )σF (t)dW Tt , (4.8)

ou W T est un QT -mouvement Brownien. Le but de cet exercice est de valoriser un callde payoff (ST −K)+.1) a) Quelle est la dynamique de 1/F (t, T ) sous QS .b) Expliciter alors 1/ST sous QS et QT .

2) a) Calculer les probabilites d’exercice QS(A) et QT (A) ou A = ST > K.b) Montrer que le prix du call est donne par

C0 = S0N(d1)−KB(0, T )N(d2)

ou l’on explicitera d1 et d2.

Corrige. 1) a) D’apres la formule d’Ito, on a

d

(1

F (t, T )

)= − 1

F (t, T )2dF (t, T ) +

1F (t, T )3

d < F (t, T ) >

= − 1F (t, T )

[−σF (t)2dt+ σF (t)dW T

t

]Puisque 1/F est une martingale sous QS , on en deduit par le theoreme de Girsanovque sa dynamique sous QS est

d

(1

F (t, T )

)= − 1

F (t, T )σF (t)dWS

t ,


ou WS est un QS-mouvement Brownien.b) D’apres la question precedente, et puisque ST = F (T, T ), on a

1ST

=B(0, T )S0

exp(−∫ T

0σF (t)dWS

t −12

∫ T

0σF (t)2dt

)(4.9)

De meme, d’apres (4.8), on a

ST =S0

B(0, T )exp

(∫ T

0σF (t)dW T

t − 12

∫ T

0σF (t)2dt

), (4.10)

d’ou

1ST

=B(0, T )S0

exp(−∫ T

0σF (t)dW T

t +12

∫ T

0σF (t)2dt

).

2) a) Calculons QS(A) ou A est la probabilite d’exercice A = ST > K = 1/ST <

1/K. D’apres (4.9), on a

A =−∫ T

0σF (t)dWS

t < ln(

S0

KB(0, T )

)+

12ΣF (T )2

,

ou on a pose ΣF (T )2 =∫ T0 σF (t)2dt. Puisque −

∫ T0 σF (t)dWS

t suit une loi normale sousQS , centree de variance ΣF (T )2, on en deduit que

QS(A) = N(d1), avec d1 =ln(

S0KB(0,T )

)+ 1

2ΣF (T )2

ΣF (T ).

Pour calculer QT (A), on utilise (4.10) et on ecrit

A =−∫ T

0σF (t)dW T

t < ln(

S0

KB(0, T )

)− 1

2ΣF (T )2

.

On en deduit

QT (A) = N(d2), avec d2 =ln(

S0KB(0,T )

)− 1

2ΣF (T )2

ΣF (T )= d1 − ΣF (T ).

b) Finalement, on obtient le resultat voulu avec la formule du call (4.5) par la methodedu changement de numeraire :

C0 = S0QS(A)−KB(0, T )QT (A).


4.4.2 Formule de Garman-Kolhagen

On suppose que les taux d’interets des marches domestiques et etrangers rd et rfsont constants et on noteBd(., T ) etBf (., T ) les zeros-coupons correspondants de matu-rite T . On suppose que le taux de change (conversion d’une unite de monnaie etrangereen monnaie domestique) suit une modelisation de type Merton-Black-Scholes :

dXt = Xt(bdt+ σdWt).

1) a) En utilisant le principe de non arbitrage entre les deux marches, exprimer ladynamique de X et celle de XBf (., T ) sous la probabilite martingale domestique Qd.b) En deduire que le call sur devise de payoff (XT −K)+ est un call domestique surl’actif XBf (., T ), et calculer alors son prix.

2) a) Soit FX(t, T ) le prix forward en t d’une unite de monnaie etrangere delivree en Ten monnaie domestique, appelee aussi prix forward de change. Exprimer FX(t, T ) enfonction de rd, rf et X.b) Montrer que le prix du call sur devise, de payoff (XT −K)+ est :

C0 = e−rdT [FX(0, T )N(d1)−KN(d2)] ,

ou on explicitera d1 et d2. Interpreter.

Corrige. 1) a) Ce principe de non arbitrage entraine qu’une unite etrangere capitaliseeau taux rf entre 0 et t, de valeur Sf

t = erf t, et changee en monnaie domestique au prixXtS

ft , est un actif domestique. Cet actif actualise par le cash du taux domestique rd,

doit donc etre une martingale sous une probabilite martingale Qd appelee probabilitemartingale domestique. La dynamique de XSf sous Qd est donc par Girsanov :

d(XtSft ) = (XtS

ft )(rddt+ σdW d

t ),

ou W d est un mouvement Brownien sous Qd. On en deduit immediatement que ladynamique du taux de change sous la probabilite martingale domestique est :

dXt = Xt

[(rd − rf )dt+ σdW d

t

]Comme Bf (t, T ) = e−rf (T−t), on en deduit aussi que la dynamique de XBf (., T ) estsous Qd :

d(XtBf (t, T )) = XtBf (t, T )(rddt+ σdW d

t

).

b) De plus comme (XT −K)+ = (XTBf (T, T ) −K)+, on voit que le call sur deviseest un call domestique de sous-jacent XBf (., T ). Son prix est donc d’apres la formulede Black-Scholes

C0 = X0Bf (0, T )N(d1)−Ke−rdTN(d2)


avec

d1 =ln(

X0Bf (0,T )erdT

K

)+ σ2T

σ√T

, et d2 = d1 − σ√T .

2) a) L’unite de monnaie etrangere delivree en T est le zero-coupon etranger de maturiteT , i.e. Bf (t, T ), et egal lorsque le taux d’interet etranger rf est constant a

Bf (t, T ) = e−rf (T−t).

Le zero-coupon domestique de maturite T est Bd(t, T ) = e−rd(T−t) puisque le tauxdomestique rd est constant. On a donc :

FX(t, T ) =Bf (t, T )Xt

Bd(t, T )= e(rd−rf )(T−t)Xt.

b) On remarque que X0Bf (0, T ) = Bd(0, T )FX(0, T ) = e−rdTFX(0, T ). Le prix du calls’ecrit encore

C0 = e−rdT [FX(0, T )N(d1)−KN(d2)]

avec

d1 =ln(

FX(0,T )K

)+ σ2T

σ√T

, et d2 = d1 − σ√T .

C’est la formule de Black pour les options futures : le call sur devise s’interprete doncaussi comme un call de support le prix forward de change.

4.4.3 Call geometrique

On considere un modele de Black-Scholes bidimensionnel avec deux actions S1 etS2 gouvernes sous la probabilite risque-neutre par :

dS1t = S1

t (rdt+ σ1dW1t ) (4.11)

dS2t = S2

t (rdt+ σ2dW2t ), (4.12)

ouW 1 etW 2 sont deux mouvements Browniens supposes independants. Soit une optionde payoff h(S1

T , S2T ) = (S1

TS2T −K)+, appele call geometrique, qu’on cherche a valoriser.

On notera S1,t,x1

T et S2,t,x2

T les solutions de (4.11)-(4.12) en T partant de x1 et x2 en t.

1) En posant σ =√σ2

1 + σ22, que peut-on dire du processus

Wt =σ1W

1t + σ2W

2t

σ.


2) Exprimer S1,t,x1

T S2,t,x2

T en fonction de W .3) En deduire le prix v(t, x1, x2) du call geometrique :

v(t, x1, x2) = CallBS(t, x1x2,K, T, 2r, σ),

ou CallBS est la formule de Black-Scholes du call en dimension 1, avec σ a determiner.

Corrige. 1) W est une martingale de variation quadratique < W >t = (σ21 < W 1 >t

+σ22 < W 2 >t)/σ2 = t, donc c’est un mouvement Brownien.

2) On a

Si,t,xi

T = xi exp[(r − σ2

i

2

)(T − t) + σi(W i

T −W it )],

d’ou

S1,t,x1

T S2,t,x2

T = x1x2 exp[(

2r − σ2

2

)(T − t) + σ(WT −Wt)

]3) On remarque donc que

S1,t,x1

T S2,t,x2

T = St,x1x2

T

ou St,x est la solution du modele de Black-Scholes de taux d’interet 2r et de volatilite2σ.

dSs = Ss(2rds+ σdWs), St = x.

On en deduit que

v(t, x1, x2) = er(T−t)CallBS(t, x1x2,K, T, 2r, σ),

ou CallBS est la formule de Black-Scholes du call.

4.4.4 EDP de Black-Scholes sur deux actifs

On considere un modele de Black-Scholes bidimensionnel avec deux actions S1 etS2 gouvernes sous la probabilite risque-neutre par :

dS1t = S1

t (rdt+ σ1dW1t )

dS2t = S2

t (rdt+ σ2ρdW1t + σ2

√1− ρ2dW 2

t ),

ou W 1 et W 2 sont deux mouvements Browniens independants et ρ ∈ [−1, 1]. Onconsidere une option de payoff HT = h(S1

T , S2T ).

1) Soit Vt = v(t, S1t , S

2t ) le prix de l’option a la date t. En appliquant la formule d’Ito

et en ecrivant que Vt est la richesse d’une strategie de portefeuille autofinancante etdonc qu’actualisee, c’est une martingale, deriver l’EDP satisfaite par v.


2) On considere une option d’echange correspondant a une fonction payoff h(x1, x2) =(x1− x2)+. On cherche une solution de l’EDP de la forme v(t, x1, x2) = x2w(t, y) avecy = x1/x2. Deriver l’EDP satisfaite par w. Que remarque t’on ? Expliciter alors w.3) En deduire le prix v(t, x1, x2).

Corrige. 1) D’apres la formule d’Ito a Vt = v(t, S1t , S

2t ), on a

dVt =[∂v

∂t+ rS1

t

∂v

∂x1+ rS2

t

∂v

∂x2+

12σ2

1(S1t )2

∂v

∂x21

+12σ2

2(S2t )2

∂v

∂x22

+ ρσ1σ2S1t S

2t

∂v

∂x1∂x2

]dt

+σ1S1t

∂v

∂x1dW 1

t + σ2S2t

∂v

∂x2dW 2

t .

Puisque e−rtVt est une martingale, le terme en dt ci-dessus doit etre egal a rVt, et doncv(t, x1, x2) satisfait l’EDP. :

∂v

∂t+ rx1

∂v

∂x1+ rx2

∂v

∂x2+

12σ2

1x21

∂v

∂x21

+12σ2

2x22

∂v

∂x22

+ ρσ1σ2x1x2∂v

∂x1∂x2− rv = 0,

auquel est associe la condition terminale :

v(T, x1, x2) = h(x1, x2).

2) En remarquant que (x1−x2)+ = x2(y−1)+ avec y = x1/x2, on voit apres substitutionde v(t, x1, x2) = x2w(t, y) que w doit satisfaire :

∂w

∂t+

12σ2y2 ∂w

∂y2= 0

w(T, y) = (y − 1)+

avec σ2 = σ21+σ2

2−2ρσ1σ2. On reconnait l’EDP de Black-Scholes pour un taux d’interetnul, une volatilite σ et un call de strike 1. On a donc

w(t, y) = yN(d1(y))−N(d2(y)),

avec

d1(y) =ln(y) + 1

2σ2(T − t)

σ√T − t

, d2(y) = d1(y)− σ√T − t.

3) En ecrivant v(t, x1, x2) = x2w(t, x1/x2) on obtient

v(t, x1, x2) = x1N(d1)− x2N(d2)

avec d1 = d1(x1/x2), d2 = d2(x1/x2). On retrouve bien la formule obtenue en coursavec la methode du changement de numeraire.


4.4.5 Option basket

On considere un modele de Black-Scholes multidimensionnel ou les prix des actionsSi, i = 1, . . . , n, sont gouvernes sous la probabilite risque-neutre Q par :

dSit = Si

t(rdt+ σidWit ),

ou W = (W 1, . . . ,Wn) est un n-mouvement Brownien. On considere une option basketde payoff

h(ST ) =

(n∑

i=1

ωiSiT −K

)+

= (AT −K)+,

ou ωi ≥ 0 est le poids de l’actif Si :∑n

i=1 ωi = 1. AT =∑n

i=1 ωiSiT est la moyenne

ponderee arithmetique desa actifs Si a la maturite T .Il n’y a pas de formule explicite pour le prix d’une option basket et cet exercice

propose une approximation par l’option geometrique. On se place a la date t = 0 et onintroduit les poids modifies :

ωi =ωiS

i0∑n

j=1 ωjSj0

.

1) a) Montrer que le payoff de l’option basket peut s’ecrire comme :

h(ST ) = erT

n∑j=1

ωjSj0

(AT − K)+,

avec

AT =n∑

i=1

ωiSiT , K =

e−rTK∑nj=1 ωjS

j0

,

et SiT = (Si

T /(erTSi

0).b) En deduire que le prix de l’option basket en t = 0 s’exprime comme

CB0 =

n∑j=1

ωjSj0

EQ[(AT − K)+

].

2) On approxime alors le prix de l’option basket par

CB0 =

n∑j=1

ωjSj0

EQ[(GT − K)+

],


avec

GT =n∏

i=1

(SiT )ωi , K = K + EQ[GT − AT ].

a) Montrer que

GT = exp(ηT −

12c2T

),

ou on explicitera c2 et ηT . Verifier que la loi de ηT sous Q est gaussienne centree devariance v2T a expliciter.b) Expliciter c := EQ[GT ] et verifier que K = K + c− 1.3) a) Montrer que si U est une loi gaussienne sur (Ω,F ,Q), centree, de variance σ2,alors

EQ[(a exp

(U − 1

2σ2

)− b

)+

]= aN(d)− bN(d− σ),

avec d = ln(a/b)+σ2/2σ .

b) En deduire que

CB0 =

n∑j=1

ωjSj0

(cN(d1)− (K + c− 1)N(d2)),

ou on explicitera d1 et d2.

Corrige. 1) En ecrivant ωi en fonction de ωi, on voit que

AT =

n∑j=1

ωjSj0

n∑i=1

ωiSi

t

Si0

= erT

n∑j=1

ωjSj0

AT .

On en deduit immediatement l’expression voulue de h(ST ).b) Par la regle d’evaluation risque-neutre, le prix de l’option basket est donc

CB0 = EQ [e−rTh(ST )

]=

n∑j=1

ωjSj0

EQ[(AT − K)+

].

2) a) Notons que

SiT = exp

(σiW

iT −

12σ2

i T

).

On en deduit

GT =n∏

i=1

exp(ωiσiW

iT −

12ωiσ

2i T

)= exp

(ηT −

12c2T

),


avec

ηT =n∑

i=1

ωiσiWiT , c2 =

n∑i=1

ωiσ2i .

Puisque le vecteur (W 1T , . . . ,W

nT ) est gaussien sous Q, ηT est gaussienne centree de

variance

V arQ(ηT ) =n∑

i=1

(ωiσi)2T := v2T.

b) On ecrit

GT = exp[ηT −

12v2T

]exp

[12(v2 − c2)T

],

d’ou l’on obtient

EQ[GT

]= exp

[12(v2 − c2)T

]= c.

De plus, on a

EQ[AT

]=

n∑i=1

ωiEQ[Si

T

]=

n∑i=1

ωi = 1.

On a donc K = K + EQ[GT − AT ] = K + c− 1.3) a) Calcul standard deja vu pour la formule de Black-Scholes.b) On ecrit

EQ[(GT − K)+

]= EQ

[c exp

(ηT −

12v2T

)− K)+

].

On applique donc le calcule du a) avec U = ηT , σ2 = v2T , a = c et b = K = K+ c−1.On obtient finalement la formule voulue avec

d1 =ln(

cK+c−1

)+ 1

2v2T

v√T

, d2 = d1 − v√T .

Chapitre 5

Modeles de taux d’interet

L’incertitude sur les mouvements futurs des taux d’interets est un point importanten theorie de la decision financiere. En effet, l’aversion des agents au risque est lie enparticulier aux taux d’interets et les problemes associes a la gestion de tresorerie sonttres sensibles aux perturbations de la courbe des taux. L’etude et la comprehension dela structure par terme des taux d’interets represente donc un enjeu majeur en finance,tant pour gerer le risque de taux affectant le bilan des banques, que pour evaluer etcouvrir les nombreux produits financiers de plus en plus complexes auxquels recourentles marches pour faire face au risque de taux et plus generalement de change.

Dans ce chapitre, nous presentons les principes de bases de la modelisation destaux d’interets base sur l’absence d’opportunite d’arbitrage. Nous illustrons ensuite latheorie sur les applications a la valorisation de produits derives sur taux, comme parexemple les options sur obligations.

5.1 Principes de la modelisation

5.1.1 Generalites sur les taux d’interets

On introduit quelques definitions et notations relatives aux differentes notions as-sociees aux taux d’interets.

Un zero-coupon d’echeance T est un titre versant 1 euro a la date T , et ne donnantaucun flux avant. On note B(t, T ) son prix a la date t ≤ T , qui doit etre strictementpositif sous AOA. On a B(T, T ) = 1. Ce sont en pratique des obligations emises parl’etat pour financer sa dette.

Le taux d’interet continu moyen (appele aussi rendement a l’echeance) sur la periode[t, T ], note R(t, T ), est defini par :

B(t, T ) = exp(−(T − t)R(t, T )), i.e. R(t, T ) = − 1T − t

lnB(t, T ).

84

TAUX d’INTERET 85

Le taux lineaire, surtout utilise pour des periodes courtes [t, t + δ] (δ moins d’unan), note L(t, δ) est defini par :

B(t, t+ δ) =1

1 + δL(t, δ).

Le taux spot (court) instantane est la limite du taux moyen quand le temps restanta maturite θ = T − t tend vers zero :

rt = limT→t

R(t, T ) = − ∂ lnB(t, T )∂T

∣∣∣∣T=t

.

En pratique, c’est le taux a court terme, par exemple le taux au jour le jour.La courbe des taux (on dit aussi structure par terme des taux) en t est la fonction

qui donne les differents taux moyens de la date t en fonction de leur maturite restanteθ = T − t ≥ 0, soit θ → R(t, t + θ). On desire etudier le comportement de la courbeR(t, t + θ) en fonction de la courbe de taux observee aujourd’hui R(0, θ). On dit quela courbe est plate en t si cette fonction θ → R(t, t+ θ) est constante.

Les operations et emprunts a terme sont tres courantes sur les marches de taux.Nous introduisons quelques autres definitions qui joueront un role central dans lamodelisation.

Le taux spot forward en t pout la maturite T est defini par

f(t, T ) = −∂ lnB(t, T )∂T

,

de sorte que rt = f(t, t) et par integration :

B(t, T ) = exp(−∫ T

tf(t, s)ds

). (5.1)

Autrement dit, f(t, s) represente le taux instantane a la date s tel que le marche le“voit” a la date t.

5.1.2 Absence d’arbitrage et modelisation de taux

Considerons dans un premier temps le cadre simplifie ou tous les taux d’interetsR(t, T ), t ≤ T , sont connus des aujoud’hui en t = 0. Autrement dit, les evolutions duprix des zeros-coupons : t→ B(t, T ) et des taux d’interets : t→ R(t, T ), rt, f(t, T ) sontdeterministes pour toute maturite T . Alors, par absence d’opportunite d’arbitrage, ondoit avoir :

B(t, T ) = B(t, s)B(s, T ), ∀ t ≤ s ≤ T,

sinon il serait facile d’exhiber un arbitrage (exercice aise laisse au lecteur !). En passantau log puis en derivant par rapport a T , on obtient par definition du taux forward :

TAUX d’INTERET 86

f(t, T ) = f(s, T ), pour tous t ≤ s ≤ T . En particulier, on voit que f(t, s) = rs pourtous t ≤ s : dans un monde deterministe, le taux instantane a la date s tel que lemarche le “voit” a la date t, est le taux instantane de la date s. D’apres (5.1), on adonc :

B(t, T ) = exp(−∫ T

trsds

), i.e. B(t, T ) = B(0, T ) exp

(−∫ t

0rsds

).

Notons aussi que dans ce contexte certain, le taux moyen est donne par- :

R(t, T ) =1

T − t

∫ T

trsds.

Dans un environnement aleatoire, a la date t, les taux d’interets et les prix deszeros-coupons futurs R(s, T ) et B(s, T ), t < s < T , ne sont pas connus. On concoitneanmoins, comme pour les modeles deterministes, que l’AOA implique des relationsentre les prix des differents taux et zeros-coupons : c’est le but d’une modelisationaleatoire des taux. On se donne un espace de probabilite filtre (Ω,F ,F,P) ou F == (Ft)0≤t≤T est la filtration d’un mouvement Brownien standard. Comme dans lesmodeles d’actions, on introduit le processus de cash defini par :

S0t = exp

(∫ t

0rsds

).

C’est la somme qu’on recoit en investissant continument 1 euro au taux spot instantane.Les obligations zeros-coupons de maturite T , sont consideres comme des actifs risques,de processus de prix B(t, T ), 0 ≤ t ≤ T . En accord avec le principe d’AOA, on supposel’existence d’une probabilite risque-neutre Q sous laquelle les prix actualises des zeros-coupons B(t, T )/S0

t , 0 ≤ t ≤ T , sont des martingales sous Q, et ceci pour toutesles maturites T . Cette propriete de martingale combinee avec l’egalite B(T, T ) = 1entraine B(t, T )/S0

t = EQ[B(T, T )/S0T |Ft] = EQ[1/S0

T |Ft], soit

B(t, T ) = EQ[exp

(−∫ T

trsds

)∣∣∣∣Ft

], 0 ≤ t ≤ T. (5.2)

Il y a essentiellement deux approches pour modeliser ensuite la courbe des taux. Lapremiere (historiquement) consiste a utiliser le taux spot instantane comme variableexplicative et donc a proposer une dynamique du taux court rt. La seconde consiste amodeliser directement les prix des zeros-coupons B(t, T ) (ou de maniere equivalente,d’apres (5.1), les taux forward f(t, T )) en respectant la condition d’AOA.

5.2 Modeles classiques de taux spot

Dans cette modelisation, on suppose connu le taux spot et on cherche a decrire lacourbe des taux. On considere une dynamique du taux spot decrite sous la probabilite

TAUX d’INTERET 87

historique P par

drt = α(t, rt)dt+ γ(t, rt)dWt,

ou W est un mouvement Brownien reel sous P et α, γ sont deux fonctions reelles surR+×R. Pour calculer le prix des zeros-coupons, on a besoin de connaitre la dynamiquedu taux spot sous la probabilite risque-neutre Q. Notons (λt)t la prime de risque issudu theoreme de Girsanov et qui fait donc du processus

Wt = Wt +∫ t

0λsds

un mouvement Brownien sous Q. On suppose que la prime de risque est une fonctiondu temps et du taux spot : λt = λ(t, rt). La dynamique du taux spot sous Q est donc

drt = (α(t, rt)− λ(t, rt)γ(t, rt))dt+ γ(t, rt)dWt. (5.3)

Dans les modeles classsiques qu’on detaillera plus tard, la forme de la prime de risqueλ est en general choisie pour que la dynamique de r sous P et Q ait la meme forme.

5.2.1 L’EDP des taux

Dans cette modelisation du taux spot et d’une prime de risque fonction du tauxspot, le prix d’un zero-coupon donne par (5.2) est une fonction du taux spot : B(t, T )= B(t, rt, T ) ou B est une fonction reelle sur R+×R+×R. En supposant que la fonctionB soit reguliere C2, on a par la formule d’Ito (T est fixe) :

dB(t, T ) =(∂B∂t

+ α∂B∂r

+12γ2∂

2B∂r2

)(t, rt, T )dt+ γ

∂B∂r

(t, rt, T )dWt

= B(t, T ) (µ(t, rt, T ) + σ(t, rt, T )dWt) , (5.4)

ou

µ(t, r, T ) =1

B(t, r, T )

(∂B∂t

+ α∂B∂r

+12γ2∂

2B∂r2

)(t, r, T )

σ(t, r, T ) =1

B(t, r, T )γ(t, r)

∂B∂r

(t, r, T ).

La dynamique (5.4) est ecrite sous la probabilite objective P. Par Girsanov, la dyna-mique du prix zero-coupon sous Q est

dB(t, T ) = B(t, T )[(µ(t, rt, T )− σ(t, rt, T )λ(t, rt))dt+ σ(t, rt, T )dWt

],

Puisque le prix actualise B(t, T )/S0t est une Q-martingale, le terme de tendance de

B(t, T ) doit etre egal a rt sous Q, i.e. (µ(t, rt, T )− σ(t, rt, T )λ(t, rt)) = rt. D’apres lesexpressions de µ et σ, ceci implique que la fonction de prix B doit verifier l’EDP :

∂B∂t

+ (α− λγ)∂B∂r

+12γ2∂

2B∂r2

− rB = 0. (5.5)

TAUX d’INTERET 88

Cette EDP est associee a la condition terminale B(T, T ) = 1, i.e. :

B(T, r, T ) = 1. (5.6)

Remarque 5.2.1 1. L’EDP des taux (5.5) est a comparer avec l’EDP obtenue dans lemodele de Black-Scholes. Une difference importante est la presence du terme de primede risque λ. Ce parametre n’est pas determine par le modele mais doit etre specifiea priori : c’est un probleme statistique et λ est estime par calibration du prix deszeros-coupons a ceux du marche.2. Comme pour le modele de Black-Scholes, on a deux methodes de calcul du prixd’un zero-coupon dans un modele de taux spot (5.3). Soit on utilise la representationprobabiliste sous la probabilite risque-neutre :

B(t, T ) = B(t, rt, T ) = EQ[exp

(−∫ T

trsds

)∣∣∣∣Ft

], 0 ≤ t ≤ T,

soit on cherche a resoudre l’EDP des taux (5.5)-(5.6).

5.2.2 Modele de Vasicek

Dans ce modele, on suppose que le taux spot suit sous P un processus d’Ornstein-Uhlenbeck :

drt = a(b− rt)dt+ γdWt,

ou a, b et σ sont des constantes positives. La moyenne instantanee est proportionnellea l’ecart entre une valeur b et le taux rt. Une force de rappel mesuree par la valeur atend a rapprocher rt de la valeur b. On suppose que la prime de risque λ est constantede sorte que le taux spot suit aussi sous Q un processus d’Ornstein-Uhlenbeck :

drt = a(b− rt)dt+ γdWt, (5.7)

ou b = b− γλ/a. Cette equation differentielle stochastique se resoud de maniere expli-cite.

Proposition 5.2.1 La solution de (5.7) est donnee par

rt = b+ (r0 − b)e−at + γ

∫ t

0e−a(t−u)dWu. (5.8)

Preuve. La solution de l’equation lineaire s’obtient comme dans le cas des equationsdifferentielles ordinaires par la methode de variation des constantes en considerant leprocessus ρt = eatrt. Par la formule d’Ito, on a

dρt = aeatrtdt+ eatdrt = eat(abdt+ γdWt).

TAUX d’INTERET 89

En integrant, on obtient

ρt = eatrt = r0 + b(eat − 1) +∫ t

0eauγdWu,

ce qui donne (5.8). 2

On voit donc que sous Q, rt est un processus gaussien de moyenne b+ (r0 − b)e−at

et de variance γ2(1−e−2at)/2a. En particulier, rt peut prendre des valeurs negatives cequi n’est pas tres satisfaisant en pratique. Notons aussi que, lorsque t tend vers l’infini,rt converge en loi vers une loi gaussienne de moyenne b et de variance γ2/2a. Pourcalculer le prix d’un zero-coupon par la representation (5.2), on a besoin de determinerla loi de

∫ Tt rsds sachant Ft, i.e. rt. Il y a plusieurs manieres de proceder. Le plus simple

est d’integrer l’EDS (5.7), d’ou l’on obtient :

a

∫ T

trsds = −(rT − rt) + ab(T − t) + γ

∫ T

tdWs. (5.9)

En utilisant l’expression integrale (5.8) du taux spot rT :

rT = b+ (rt − b)e−a(T−t) + γ

∫ T

te−a(T−s)dWs,

et en reportant dans (5.9), on obtient∫ T

trsds = b(T − t) + (rt − b)

1− e−a(T−t)

a+ γ

∫ T

t

1− e−a(T−s)

adWs.

On en deduit que∫ Tt rsds est une variable gaussienne, de moyenne et variance condi-

tionnelle sous Q :

m(t, T ) = b(T − t) + (b− rt)1− e−a(T−t)

a(5.10)

Γ2(t, T ) = EQ

(γ ∫ T

t

1− e−a(T−s)

adWs

)2∣∣∣∣∣∣Ft

= γ2

∫ T

t

(1− e−a(T−s)

a

)2

ds

= − γ2

2a3

(1− e−a(T−t)

)2+γ2

a2

(T − t− 1− e−a(T−t)

a

). (5.11)

On peut alors aisement expliciter le prix des zeros-coupons et la courbe des tauxmoyens.

Theoreme 5.2.1 Dans le modele de Vasicek, le prix d’un zero-coupon de maturite Test donne par :

B(t, T ) = exp

[−R∞(T − t) + (R∞ − rt)

1− e−a(T−t)

a− γ2

4a3

(1− e−a(T−t)

)2],

TAUX d’INTERET 90

ou R∞ = b− γ2

2a2 . La courbe des taux a la date t est donnee par

R(t, T ) = R∞ − (R∞ − rt)1− e−a(T−t)

a(T − t)+

γ2

4a3(T − t)

(1− e−a(T−t)

)2.

Preuve. Comme∫ Tt rsds est une variable gaussienne de moyenne et variance condi-

tionnelle sous Q, m(t, T ) et Γ2(t, T ), on a d’apres l’expression de sa tranformee deLaplace :

B(t, T ) = EQ[exp

(−∫ T

trsds

)∣∣∣∣Ft

]= exp

(−m(t, T ) +

12Γ2(t, T )

),

ce qui donne la formule explicite B(t, T ) en reportant (5.10)-(5.11). On obtient ensuiteimmediatement la formule de la courbe des taux R(t, T ) = − 1

T−t lnB(t, T ). 2

Remarque 5.2.2 Le modele de Vasicek donne la forme analytique de la courbe destaux T → R(t, T ) a n’importe quelle date t. On voit que R∞ = limT→∞R(t, T ) pourtout t : R∞ s’interprete comme le taux a long terme. Il ne depend pas du taux spot,ce qui est vu comme un defaut par les financiers. Si on etudie la courbe T → R(t, T ),on voit que :

- lorsque rt < R∞ − γ2/4a2, la courbe est strictement croissante- lorsque R∞ − γ2/4a2 ≤ rt ≤ R∞ + γ2/2a2, elle est croissante puis decroissante- lorsque R∞ + γ2/2a2 < rt, elle est strictement decroissante.Le graphe de la courbe des taux ressemble effectivement a de nombreuses courbes

observees sur le marche. Toutefois, certaines d’entre elles, notamment les courbes dites“inversees”, ou le taux court rt est plus haut que le taux long R∞, et ou apparait uncreux, ne peuvent etre atteintes par un modele de Vasicek.

5.2.3 Modele de Cox-Ingersoll-Ross

Pour pallier au caractere negatif possible des taux d’interet dans le modele gaussiende Vasicek, Cox, Ingersoll et Ross ont introduit le modele dit en “racine carree” surle taux spot et notee CIR. L’evolution du taux spot est gouverne sous la probabiliteobjective par :

drt = a(b− rt)dt+ γ√rtdWt.

En supposant que la prime de risque est de la forme λt = λ√rt, le taux spot suit sous

la probabilite risque-neutre une dynamique de la meme forme :

drt = a(b− rt)dt+ γ√rtdWt,

avec a = a + γλ, b = ab/(a + γλ). On peut montrer l’existence et l’unicite d’unesolution a cette EDS malgre le caractere non Lipschitzien de la racine carree, mais

TAUX d’INTERET 91

on n’a pas de formule explicite. Cette solution est positive et de plus, si 2ab ≥ γ2,la solution n’atteint pas 0 car alors le terme de tendance est suffisamment importantpour empecher le processus d’atteindre 0.

On peut calculer explicitement le prix d’un zero-coupon et donc la courbe des tauxdans le modele CIR.

Theoreme 5.2.2 Dans le modele CIR, le prix d’un zero-coupon de maturite T estegal a

B(t, T ) = Φ(T − t) exp(−A(T − t)rt),

ou les fonctions Φ et A sont donnees par

A(θ) =2(eρθ − 1)

(a+ ρ)(eρθ − 1) + 2ρ, ρ =

√a2 + 2γ2

Φ(θ) = φ(θ)2abγ2 , φ(θ) =

2ρe(a+ρ)θ/2

(a+ ρ)(eρθ − 1) + 2ρ.

La courbe des taux a la date t est donnee par

R(t, T ) =A(T − t)T − t

rt −2abγ2

lnφ(T − t)T − t

.

Preuve. L’EDP des taux satisfaite par le prix du zero-coupon B(t, T ) = B(t, rt, T ) estdans le modele CIR est

∂B∂t

+ a(b− r)∂B∂r

+12γ2r

∂2B∂r2

− rB = 0,

avec la condition terminale B(T, r, T ) = 1. On cherche B de la forme B(t, T, r) =Φ(T − t)e−A(T−t)r. En substituant dans l’EDP, on obtient

−Φ′(θ) + Φ(θ)A′(θ)r − a(b− r)Φ(θ)A(θ) +12γ2rΦ(θ)A2(θ)− rΦ(θ) = 0.

L’identification des coefficients de r dans la relation ci-dessus conduit aux equationsdifferentielles ordinaires satisfaites par Φ et A :

A′(θ) + aA(θ) +12γ2rA2(θ)− 1 = 0

−Φ′(θ)− abA(θ) = 0,

avec les conditions initiales A(0) = 0 et Φ(0) = 1. La resolution de ces edo donne lesexpressions explicites de A, Φ et donc B(t, r, T ). On obtient finalement la courbe destaux en ecrivant R(t, T ) = − 1

T−t lnB(t, T ). 2

Remarque 5.2.3 Comme pour le modele de Vasicek, on a une forme analytique dansle modele CIR de la courbe des taux T → R(t, T ) a toute date t. La structure desformes a priori possible est mieux decrite par ce modele mais il est plus difficile acalibrer et donc a implementer en pratique.

TAUX d’INTERET 92

5.2.4 Extensions

Les deux exemples presentes ci-dessus rentrent dans une classe plus generale demodeles de taux dits affines, pour lesquels les prix des zeros-coupons sont des expo-nentielles d’une fonction affine du taux spot. En fait, Duffie et Kan ont montre qu’unecondition necessaire et suffisante pour qu’il en soit ainsi est que le taux spot suit unedynamique de la forme

drt = α(t, rt)dt+ γ(t, rt)dWt,

avec des fonctions α et γ de la forme

α(t, r) = α1(t)r + α2(t), γ(t, r)2 = γ1(t) + γ2(t)r.

C’est par exemple le cas du modele de Vasicek generalise :

drt = a(t)(b(t)− rt)dt+ γ(t)dWt,

ou du modele CIR generalise :

drt = a(t)(b(t)− rt)dt+ γ(t)√rtdWt.

D’autres modeles ont aussi ete proposes, en particulier des modeles bidimensionnelspour mieux prendre en compte des disparites entre taux court et taux long. Citons parexemple le modele de Schaffer et Schwartz ou les variables explicatives sont le tauxlong `t et l’ecart entre le taux court et le taux long et = rt − `t :

det = a1(b1 − et)dt+ γ1dW1t

d`t = a2(b2 − `t)dt+ γ2

√`tdW

2t .

Ces modeles plus complexes n’ont en general pas de formules explicites et necessitentla mise en oeuvre de methodes numeriques.

5.3 Modeles de deformation de la courbe des taux

Les modeles etudies au paragraphe precedent expliquent toute la courbe des tauxa partir d’une seule variable, le taux court. C’est un point de vue restrictif et desextensions ont ete proposes en introduisant d’autres variables explicatives comme letaux long. Les travaux de Heath, Jarrow et Morton poussent a la limite cette extensionen modelisant toute la courbe des taux comme leur variable explicative (en dimensioninfinie), tout en respectant la condition d’AOA. Ceci permet de decrire algebriquementces contraintes a partir de la seule connaissance de la volatilite, fonction de la maturite,des zero-coupons. Nous etudions en detail le modele de Heath-Jarrow-Morton.

TAUX d’INTERET 93

5.3.1 Le modele de Heath-Jarrow-Morton

On considere un marche sans arbitrage qui traite en temps continu les zero-couponsde toute maturite, et le processus de cash S0

t associe au taux court rt. On suppose doncl’existence d’une probabilite risque-neutre Q sous laquelle le prix actualise B(t, T )/S0

t

du zero-coupon de maturite T est une martingale. On suppose donc que la dynamiquedu prix du zero-coupon est representee par :

dB(t, T )B(t, T )

= rtdt+ σ(t, T )dWt, B(T, T ) = 1, (5.12)

ou W est un mouvement Brownien sous Q.? σ(t, T ) est la famille des volatilites locales, eventuellement aleatoire et adapte, deszero-coupons, parametree par les maturites T . Comme a la maturite, le prix du zero-coupon est connu avec certitudeB(T, T ) = 1, on suppose que σ(T, T ) = 0. On supposeraaussi que la fonction de volatilite σ est continue et derivable par rapport a la maturiteT et on note sa derivee qui est aussi eventuellement un processus adapte :

Σ(t, T ) =∂σ(t, T )∂T

. (5.13)

Nous allons voir, et c’est une propriete remarquable du modele HJM que la fonctionde volatilite determine toute la courbe de taux (a travers sa loi sous la probabiliterisque-neutre Q).

Theoreme 5.3.3 (i) Le prix a la date future t d’un zero-coupon de maturite T estdonne par :

B(t, T ) = Bf (0, t, T ) exp[∫ t

0σ(s, T )− σ(s, t)dWs −

12

∫ t

0|σ(s, T )|2 − |σ(s, t)|2ds

],

ou Bf (0, t, T ) = B(0, T )/B(0, t) est le prix forward en 0 d’echeance t pour un zero-coupon de maturite T , et donc lu aujourd’hui.(ii) La courbe des taux a la date future t est donnee par

R(t, T ) = Rf (0, t, T ) +12

∫ t

0

|σ(s, T )|2 − |σ(s, t)|2

T − tds−

∫ t

0

σ(s, T )− σ(s, t)T − t

dWs,

ou Rf (0, t, T ) = − 1T−t lnBf (0, t, T ) = − 1

T−t ln B(0,T )B(0,t) est le taux forward moyen en 0,

pour l’echeance t et la maturite T . Ce taux est lu sur la courbe des taux aujourd’hui.(iii) Le taux spot forward en t est donne par

f(t, T ) = f(0, T ) +∫ t

0σ(s, T )Σ(s, T )ds−

∫ t

0Σ(s, T )dWs, (5.14)

et en particulier le taux spot est donne par

rt = f(0, t) +∫ t

0σ(s, t)Σ(s, t)ds−

∫ t

0Σ(s, t)dWs, (5.15)

TAUX d’INTERET 94

Preuve. (i) D’apres la dynamique (5.12) du zero-coupon, on a

B(t, T ) = B(0, T ) exp[∫ t

0σ(s, T )dWs +

∫ t

0rs −

12|σ(s, T )|2ds

].

On elimine rs dans cette relations en utilisant la condition B(t, t) = 1 qui s’exprimepar :

1 = B(0, t) exp[∫ t

0σ(s, t)dWs +

∫ t

0rs −

12|σ(s, t)|2ds

].

En faisant le quotient des deux egalites precedentes, on a la relation voulue.(ii) La relation donnant la courbe des taux decoule immediatement de la definition dutaux moyen R(t, T ) = − 1

T−t lnB(t, T ) et de l’expression en (i) du zero-coupon.(iii) La relation sur le taux forward s’obtient en prenant la derivee logarithmique parrapport a T du prix du zero-coupon exprime en (i) :

f(t, T ) = −∂ lnB(t, T )∂T

= −∂ lnBf (0, t, T )

∂T

−∂(∫ t

0 σ(s, T )− σ(s, t)dWs − 12

∫ t0 |σ(s, T )|2 − |σ(s, t)|2ds

)∂T

= f(0, T )−∫ t

0

∂σ(s, T )∂T

dWs +12

∫ t

0

∂|σ(s, T )|2

∂Tds.

Finalement, la relation (iv) s’obtient directement avec (iii) en ecrivant rt = f(t, t). 2

Remarque 5.3.4 D’apres l’expression integrale (iii) du taux spot forward, la differentiellede sa dynamique sous Q est :

df(t, T ) = α(t, T )dt+ γ(t, T )dWt, (5.16)

avec α(t, T ) = σ(t, T )Σ(t, T ) et γ(t, T ) = −Σ(t, T ). Originellement, Heath, Jarrow etMorton ont propose une dynamique des taux forward sous la forme (5.16) et montresous l’AOA, il y a une contrainte entre la tendance α et la volatilite γ. En effet, notonsd’abord par integration de (5.13) et puisque σ(t, t) = 0, que la volatilite du zero-coupons’exprime en fonction de celle du taux forward par :

σ(t, T ) =∫ T

tΣ(t, s)ds = −

∫ T

tγ(t, s)ds.

On voit alors la contrainte d’AOA dite de Heath-Jarrow-Morton :

α(t, T ) = γ(t, T )∫ T

tγ(t, s)ds. (5.17)

Autrement dit, la fonction de volatilite γ(t, T ) du taux forward ou de maniere equivalentela fonction de volatilite σ(t, T ) du zero-coupon caracterise completement la courbe destaux sous la probabilite risque-neutre : le prix des produits derives de taux ne dependradonc que du choix de cette fonction de volatilite.

TAUX d’INTERET 95

L’utilisation en pratique du modele de HJM est la suivante :- on specifie une fonction de volatilite σ(t, T ) pour le zero-coupon ou de maniereequivalente pour le taux forward.- on estime la structure des taux forward aujourd’hui de la relation :

f(0, T ) = −∂ lnB(0, T )∂T

et de l’observation de la courbe des taux aujourd’hui, i.e. B(0, T ) pour toutes lesmaturites T .- on en deduit la dynamique (sous la probabilite risque-neutre) des prix des zero-coupons B(t, T ), des taux spot forward f(t, T ) et instantane rt = f(t, t). Cela permetde valoriser les produits derives de taux. On detaillera et appliquera cette methodeplus tard.

5.3.2 Fonction de volatilite deterministe : HJM gaussien

Lorsque la volatilite du zero-coupon est deterministe, ce qui signifie aussi que lavolatilite du taux forward est deterministe, les expressions (5.14)-(5.15) indiquent clai-rement que le taux spot et le taux forward sont des processus gaussiens. On dit que lemodele HJM est gaussien.

Exemple : modele de Ho et Lee

On considere le cas ou la volatilite du taux spot forward est constante γ(t, T ) = −σavec σ constante. Notons que la volatilite des zero-coupons est dans ce cas σ(t, T ) =σ(T − t). La condition d’AOA de HJM implique que la tendance du taux forward sousQ est d’apres (5.17) : α(t, T ) = σ2(T − t). La dynamique du taux forward est donc :

df(t, T ) = σ2(T − t)dt− σdWt,

ou encore sous forme integrale

f(t, T ) = f(0, T ) + σ2t

(T − t

2

)− σWt.

Le taux spot rt = f(t, t) est donne par

rt = f(0, t) +σ2t2

2− σWt.

Sa dynamique sous forme differentielle est

drt =(∂f(0, t)∂T

+ σ2t

)dt− σdWt.

TAUX d’INTERET 96

On peut aussi expliciter le prix du zero-coupon en utilisant soit directement l’expressiondu theoreme 5.3.3, soit en calculant B(t, T ) = exp(−

∫ Tt f(t, s)ds) :

B(t, T ) =B(0, T )B(0, t)

exp(σ(T − t)Wt −

σ2

2(T − t)Tt

).

Cette formule a un inconvenient : Wt n’est pas directement observable. On y remedieen utilisant l’expression ci-dessus du taux spot pour obtenir apres substitution :

B(t, T ) =B(0, T )B(0, t)

exp(−(T − t)(rt − f(0, t))− σ2

2(T − t)2t

).

Cette derniere formule ne depend que de valeurs observables ou estimees : le taux spotrt et la courbe des taux aujourd’hui via B(0, T ), B(0, t) et f(0, t).

5.4 Valorisation de produits derives sur taux d’interet

5.4.1 Les instruments de couverture

Nous decrivons quelques operations sur les marches de taux parmi les plus courantespour se couvrir contre le risque de taux.

Contrat a terme sur taux d’interetUn contrat a terme sur taux d’interet (Forward Rate Agreement FRA) est l’engagementd’echanger un taux d’interet, a une date donnee et standardisee T , dite echeance ducontrat, a un prix Ft (taux forward du contrat) etabli lors de la conclusion du contrata la date t < T . Les flux echanges n’ont lieu qu’a l’echeance et sont la difference entrele taux constate et le taux forward du contrat.

SwapUn swap (du mot anglais echange) de taux d’interet est un contrat de gre a gre auxtermes duquel deux parties s’engagent a echanger pendant un nombre d’annees et pourun nominal fixe dans le contrat, des flux d’interet annuels (ou pluriannuels) calculespour une partie sur la base d’un taux variable constate a des dates prefixes et pourl’autre partie sur la base d’un taux fixe, appele taux de swap.

Cap et floorLes contrats a terme decrits ci-dessus sont symetriques en terme de risque pour les deuxparties : acheteur et vendeur. Il existe des instruments optionnels sur les contrats aterme, qui permettent, moyennant le paiement d’une prime, de garantir a son detenteurle droit d’emprunter ou de preter a la date d’echeance, a un taux garanti, souvent prochedu taux forward. On parle de caplet ou de floorlet. Plus generalement, consideronsl’exemple d’un investisseur ayant une dette pluri-annuelle, indexee sur un taux variable,par exemple l’EURIBOR trois mois. Il desire swaper cette dette contre le paiement de

TAUX d’INTERET 97

coupons fixes, mais seulement si les taux variables ont monte. Il achete donc un cap,qui lui permet a chaque date de paiement de coupon de comparer le taux variable avecle taux garanti. Si le taux variable est superieur au taux garanti, il exerce son droit,sinon il y renonce. Le floor est analogue au cap mais sur le principe de la vente.

5.4.2 Methode d’evaluation forward

Identification des echeanciersLa premiere etape dans la valorisation de produits de taux est une description precise del’echeancier, i.e. l’identification des dates de paiement et des flux connus ou aleatoiresattendus dans le futur.Exemples :- Obligation a taux fixe (OAT) : Considerons une obligation de taux de coupon C

annuel, de nominal N euros, et de maturite Tn annees. Les flux sont de la forme :(C, Ti) pour i = 1, . . . , n− 1, et (N + C, T ) a l’echeance Tn.- Swaps : Dans la description de l’echeancier d’un swap, on distingue la branche variable,qui correspond a des paiements regulierement espaces (par exemple tous les trois mois)d’une fraction egale au nombre de jours de la periode/360 du taux variable de reference(par exemple le taux Euribor 3 mois) constate a la date de paiement precedente.Formellement, le paiement en Ti+1 = Ti + δ est le taux δL(Ti, δ) ou L(Ti, δ) est le tauxvariable de la date Ti sur la periode δ et defini par :

B(Ti, Ti+1) =1

1 + δL(Ti, δ), i.e. δL(Ti, δ) =

1B(Ti, Ti+1)

− 1.

La branche fixe consiste au paiement aux memes dates du taux fixe, appele taux deswap, note Rsw, qui est fixe dans le contrat.

L’echeancier est donc de la forme (δL(Ti, δ)− Rsw, Ti+1) pour i = 0, . . . , n− 1, etdes dates Ti = T0 + iδ.- Option sur obligation : L’option a une maturite τ , un prix d’exercice K. Le sous-jacentest une obligation de maturite T > τ , avec des coupons Ci payes aux dates Ti : T <

T1 < . . . < Tn = T . Le prix a la date t de l’obligation support de l’option est donc :

Ot =N∑

i=1

CiB(t, Ti).

Marche a terme et probabilite forward-neutreLa deuxieme etape consiste a valoriser les divers flux associes a l’echeancier du produitde taux. Pour valoriser un flux Xi de la date Ti, on utilise comme pour les modelesd’actions, la regle d’evaluation risque-neutre. Le prix de ce flux aujourd’hui en t = 0est :

Π0(Xi) = EQ0

[Xi

S0Ti

]. (5.18)

TAUX d’INTERET 98

Cependant, il sera pertinent de choisir comme numeraire le prix zero-coupon de ma-turite Ti a la place du cash S0, et donc d’utiliser la probabilite Ti-forward neutre. Onrappelle que la probabilite Ti-forward neutre, notee QTi , est la probabilite martingaleassociee au numeraire zero-coupon de maturite Ti, i.e. la probabilite qui rend martin-gale les prix actualises par le zero-coupon B(t, Ti) des titres sur les marches. On a doncpour toute variable aleatoire Xi FTi-mesurable :

FXi(0, Ti) =Π0(Xi)B(0, Ti)

= EQTi

[Xi

B(Ti, Ti)

]= EQTi [Xi] . (5.19)

Autrement dit, on evalue le contrat forward sur le fluxXi de maturite Ti, i.e. l’equivalentcertain vu d’aujourd’hui du flux Xi. Ainsi, alors que sur les marches d’actions, les ac-tifs de couverture sont les actions spot sur le marche au comptant, dans le contexte demarche de taux, les actifs de couverture seront naturellement les contrats forward surles marches a terme.

Notons aussi que la comparaison des relations (5.18)-(5.19) donne la formule dechangement de numeraire entre probabilite risque-neutre et probabilite Ti-forwardneutre, pour toute variable aleatoire Xi FTi-mesurable,

Π0(Xi) = EQ0

[Xi

S0Ti

]= B(0, Ti)EQTi [Xi] . (5.20)

Plus generalement, si on introduit la probabilite T -forward neutre avec T ≥ Ti, on ala formule de passage de changement de numeraire :

Π0(Xi) = B(0, Ti)EQTi [Xi] = B(0, T )EQT

[Xi

B(Ti, T )

]. (5.21)

Pour caracteriser la probabilite Ti-forward neutre QTi , on ecrit que les prix forwardBf (t, Ti, T ) = B(t, T )/B(t, Ti) sont des QTi-martingales pour tous T . On se place dansle cadre du modele HJM. D’apres l’expression des prix des zero-coupons au theoreme5.3.3, on a :

Bf (t, Ti, T )

= Bf (0, Ti, T ). exp[∫ t

0σ(s, T )− σ(s, Ti)dWs −

12

∫ t

0|σ(s, T )|2 − |σ(s, Ti)|2ds

].

En definissant

W Tit = Wt −

∫ t

0σ(s, Ti)ds,

on a

Bf (t, Ti, T )

= Bf (0, Ti, T ). exp[∫ t

0σ(s, T )− σ(s, Ti)dW Ti

s − 12

∫ t

0|σ(s, T )− σ(s, Ti)|2ds

].

TAUX d’INTERET 99

Ceci prouve que W Ti est un mouvement Brownien sous QTi et que la dynamique duprix forward, martingale sous QTi est :

dBf (t, Ti, T ) = Bf (t, Ti, T ) (σ(t, T )− σ(t, Ti)) dW Tit .

5.4.3 Exemples

- Contrat forward sur un taux. Le prix d’un contrat forward de maturite T pourse garantir en T + δ 1 euro, i.e. un zero-coupon de maturite T + δ, est a la date t ≤ T :

Bf (t, T, T + δ) =B(t, T + δ)B(t, T )

= EQT[B(T, T + δ)|Ft].

Le taux de rendement lineaire de ce contrat forward est le taux forward lineaire, noteLf (t, T, δ), et defini par :

Bf (t, T, T + δ) =1

1 + δLf (t, T, δ).

Notons que Lf (t, T, δ) est l’equivalent certain du taux lineaire L(T, δ) entre T et T + δ

au sens ou

EQT+δ[L(T, δ)|Ft] =

1δ

EQT+δ

[1

B(T, T + δ)− 1∣∣∣∣Ft

]=

1δ

[B(t, T )

B(t, T + δ)− 1]

=1δ

[1

Bf (t, T, T + δ)− 1]

= Lf (t, T, δ).

- Calcul du taux swap. Considerons le swap caracterise par son echeancier aux datesTi = T0 + iδ, i = 1, . . . , n :

δL(Ti−1, δ)−Rsw =1

B(Ti−1, Ti)− 1−Rsw.

Le taux swap est calcule par arbitrage de maniere a ce que la valeur de ce contrat soitnulle a la date de signature t = 0 :

n∑i=1

Π0 (δL(Ti−1, δ)−Rsw) = 0.

Pour calculer le prix du flux a la date Ti, on choisit la probabilite Ti-forward neutre :

Π0 (δL(Ti−1, δ)−Rsw) = B(0, Ti)EQTi

[1

B(Ti−1, Ti)− 1−Rsw

]= B(0, Ti)

[B(0, Ti−1)B(0, Ti)

− 1−Rsw

],

TAUX d’INTERET 100

ou la deuxieme egalite vient de la propriete de martingale du prix forwardB(t, Ti−1)/B(t, Ti)sous QTi . Le taux swap est donc determine par la relation :

0 =n∑

i=1

B(0, Ti)[B(0, Ti−1)B(0, Ti)

− 1−Rsw

]

=n∑

i=1

[B(0, Ti−1)−B(0, Ti)]−Rswn∑

i=1

B(0, Ti),

d’ou

Rsw =B(0, T0)−B(0, Tn)∑n

i=1B(0, Ti).

Notons que l’evaluation du taux swap ne requiert pas la specification d’un modele detaux.

- Call sur zero-coupon. Considerons un call de prix d’exercice K, de maturite τ surun zero-coupon d’echeance T > τ . Le payoff en τ de ce call est donc :

X = (B(τ, T )−K)+.

On se place dans le cadre du modele HJM gaussien. On va calculer son prix selon deuxmethodes :

(1) En utilisant la probabilite τ -forward neutre, le prix du call est

Π0 = B(0, τ)EQτ[(B(τ, T )−K)+] = B(0, τ)EQτ

[(Bf (τ, τ, T )−K)+].

Puisque sous Qτ , on

lnBf (τ, τ, T ) ∼ N (Bf (0, τ, T )− 12Σ2(τ, T ),Σ2(τ, T )),

avec Σ2(τ, T ) =∫ τ0 |σ(s, T )− σ(s, τ)|2ds, le calcul de EQτ

[(Bf (τ, τ, δ)−K)+] est celuid’un call de maturite τ , de strike K dans le modele de Black-Scholes avec taux d’interetnul, et volatilite Σ2(τ, T )/τ . On a donc

EQτ[(Bf (τ, τ, T )−K)+] = Bf (0, τ, T )N(d1)−KN(d2),

avec

d1 =ln(

Bf (0,τ,T )K

)+ 1

2Σ2(τ, T )

Σ(τ, T )d2 = d1 − Σ(τ, T ).

On en deduit

Π0 = B(0, T )N(d1)−KB(0, τ)N(d2).


(2) On reecrit le flux X sous la forme de flux aux dates T et τ par :

X = B(τ, T )1E −K1E ,

ou E est la region d’exercice B(τ, T ) ≥ K. Pour calculer le prix du flux B(τ, T )1Eversant 1 euro en T en cas d’exercice, on utilise la probabilite T -forward neutre. On adonc par la formule (5.21)

Π0(B(τ, T )1E) = B(0, T )EQT[1E ] = B(0, T )QT (E).

Pour calculer le prix du flux versant K en τ en cas d’exercice, on utilise la probabiliteτ -forward neutre :

Π0(K1E) = B(0, τ)EQτ[K1E ] = KB(0, τ)Qτ (E).

Le prix du call est donc

Π0(X) = B(0, T )QT (E)−KB(0, τ)Qτ (E).

Pour obtenir une formule explicite, il reste a decrire les probabilites de l’ensembled’exercice sous les probabilites forward neutres QT et Qτ . D’apres l’expression du prixforward de maturite T , on a

B(t, τ)B(t, T )

=B(0, τ)B(0, T )

. exp[∫ t

0σ(s, τ)− σ(s, T )dW T

s − 12

∫ t

0|σ(s, τ)− σ(s, T )|2ds

].

On exprime alors la probabilite d’exercice sous QT :

QT (E) = QT

(1

B(τ, T )≤ 1K

)= QT

[∫ τ


s ≤ ln(B(0, T )KB(0, τ)

)+

12Σ2(τ, T )

],

ou

Σ2(τ, T ) =∫ τ

0|σ(s, τ)− σ(s, T )|2ds

Puisque∫ τ0 σ(s, τ) − σ(s, T )dW T

s suit sous QT une loi normale centree de varianceΣ2(τ, T ), on en deduit que

QT (E) = N(d1),


avec

d1 =ln(

B(0,T )KB(0,τ)

)+ 1

2Σ2(τ, T )

Σ(τ, T ).

De maniere similaire, en utilisant l’expression du prix forward de maturite τ :

B(t, T )B(t, τ)

=B(0, T )B(0, τ)

. exp[∫ t

0σ(s, T )− σ(s, τ)dW τ

s −12

∫ t

0|σ(s, T )− σ(s, τ)|2ds

],

on obtient pour la probabilite d’exercice sous Qτ :

Qτ (E) = Qτ (B(τ, T ) ≥ K)

= Qτ

[−∫ τ


s ≤ ln(B(0, T )KB(0, τ)

)− 1

2Σ2(τ, T )

]= N(d2),

avec

d2 =ln(

B(0,T )KB(0,τ)

)− 1

2Σ2(τ, T )

Σ(τ, T )= d1 − Σ(τ, T ).

Le prix du call zero-coupon est donc egal a

Π0(X) = B(0, T )N(d1)−KB(0, τ)N(d2).

5.5 Exercices

5.5.1 Taux forward

On considere le contrat a terme permettant a l’echeance T d’obtenir un zero-couponde maturite T + θ, et on note Bf (t, T, T + θ) le prix en t ≤ T de ce contrat, appelezero-coupon forward.1) Quel est le prix d’arbitrage de ce zero-coupon forward ?

2) On definit le taux forward moyen en t, pour l’echeance T et la maturite T + θ, noteRf (t, T, T + θ) par :

Bf (t, T, T + θ) = exp(−θRf (t, T, T + θ)), i.e. Rf (t, T, T + θ) = −1θ

lnBf (t, T, T + θ).

Montrer que le taux forward instantane f(t, T ) est egal a

f(t, T ) = limθ→0

Rf (t, T, T + θ) = −∂ lnBf (t, T, T + θ)

∂θ

∣∣∣∣θ=0

.


3) On considere la probabilite T -forward neutre QT . Montrer que le taux spot forwardf(t, T ), t ≤ T , est une QT -martingale :

f(t, T ) = EQT[rT |Ft], t ≤ T.

Interpreter. Indication. On utilisera l’approximation lnβ ∼ β − 1 lorsque β → 1.

Corrige. 1) On a

Bf (t, T, T + θ) =B(t, T + θ)B(t, T )

. (5.22)

2) Par definition de Rf (t, T, T + θ) et d’apres la relation (5.22), on a

limθ→0

Rf (t, T, T + θ) = −∂ lnBf (t, T, T + θ)

∂θ

∣∣∣∣θ=0

= − ∂ lnB(t, T + θ)∂θ

∣∣∣∣θ=0

= f(t, T ).

3) Puisque Bf (t, T, T + θ) tend vers 1 quand θ tend vers zero, on a

f(t, T ) = − limθ→0

Bf (t, T, T + θ)− 1θ

.

Par definition de QT , le processus Bf (t, T, T + θ) = B(t, T + θ)/B(t, T ), t ≤ T + θ estune QT -martingale, i.e.

Bf (t, T, T + θ) = EQT[Bf (T, T, T + θ)| Ft] = EQT

[B(T, T + θ)| Ft] .

En notant encore que B(T, T + θ) tend vers 1 quand θ tend vers zero, on en deduitavec la definition de rT :

f(t, T ) = −EQT

[limθ→0

B(T, T + θ)− 1θ

∣∣∣∣Ft

]= −EQT

[limθ→0

lnB(T, T + θ)θ

∣∣∣∣Ft

]= EQT

[rT |Ft].

Le taux spot forward est donc egal au prix forward d’un contrat ecrit sur le taux spotinstantane.

5.5.2 Formule de Vasicek par EDP

On considere le modele de Vasicek ecrit sous la probabilite risque-neutre :

drt = a(b− rt)dt+ γdWt.

1) Ecrire l’EDP des taux satisfaite par un prix zero-coupon B(t, r, T ).


2) On cherche B(t, r, T ) de la forme B(t, T, r) = exp(−A(T − t)r+C(T − t)) avec A etC des fonctions ne dependant que de la maturite restante θ = T − t.a) Ecrire les equations differentielles ordinaires que doivent satisfaire A et C.b) Resoudre ces equations et retrouver la formule de Vasicek pour le prix d’un zero-coupon.3) Calculer la volatilite du zero-coupon.

Corrige. 1) En ecrivant que e−R t0 rsdsB(t, rt, T ) est une martingale sous Q, on obtient

par la formule d’Ito, l’EDP satisfaite par B :

∂B∂t

+ a(b− r)∂B∂r

+12γ2∂

2B∂r2

− rB = 0,

combinee avec la condition terminale B(T, r, T ) = 1.2) a) En substituant dans l’EDP ci-dessus la forme B(t, T, r) = exp(−A(T − t)r +B(T − t)), on obtient (puisque B est strictement positif) :

A′(θ)r − C ′(θ)− a(b− r)A(θ) +12γ2A2(θ)− r = 0,

−A(0)r +B(0) = 0.

L’identification des coefficients de r implique que A et B doivent etre solution de :

A′(θ) + aA(θ)− 1 = 0

−C ′(θ)− abA(θ) +12γ2A2 = 0,

avec les conditions initiales A(0) = 0 et C(0) = 0.b) La resolution de ces equations differentielles ordinaires lineaires est immediate :

A(θ) =1− e−aθ

a

C(θ) = −(b− γ2

2a2

)θ +

1− e−aθ

a

(b− γ2

4a2

)+

γ2

4a3(1− e−2aθ).

En posant R∞ = b− γ2

2a2 , on retrouve la formule de Vasicek :

B(t, r, T ) = exp [−A(T − t)r + C(T − t)]

= exp

[−R∞(T − t) + (R∞ − r)

1− e−a(T−t)

a− γ2

4a3

(1− e−a(T−t)

)2].

3) Pour calculer la volatilite σ(t, T ) du zero-coupon, on applique la formule d’Ito aB(t, T ) = B(t, rt, T ) ce qui donne

σ(t, T ) =1

B(t, rt, T )γ∂B∂r

(t, rt, T ) = γ1− e−a(T−t)

a.

On remarque que la volatilite du zero-coupon est deterministe.


5.5.3 Moyenne et variance dans le modele CIR

Soit le modele CIR pour le taux spot :

drt = a(b− rt)dt+ γ√rtdWt. (5.23)

1) En integrant cette EDS et en admettant que l’integrale stochastique qui intervientest d’esperance nulle, ecrire l’EDO satisfaite par E[rt]. Expliciter la moyenne E[rt].

2) En appliquant la formule d’Ito a r2t et en procedant de maniere similaire au 1), ecrirel’EDO satisfaite par E[r2t ]. Expliciter alors la variance Var(rt).

Corrige. 1) On a en integrant (5.23)

rt = r0 + a

∫ t

0(b− rs)ds+ γ

∫ t

0

√rsdWs.

En prenant l’esperance et en posant φ(t) = E[rt], on a par Fubini :

φ(t) = r0 + a

∫ t

0(b− φ(s))ds.

Cette equation integrale se transforme en edo

φ′(t) = a(b− φ(t)), φ(0) = r0,

dont la solution est

E[rt] = φ(t) = b+ (r0 − b)e−at.

2) Par la formule d’Ito a r2t , on a

dr2t = 2rtdrt + d < rt > =[(2ab+ γ2)rt − 2ar2t

]dt+ 2γr

32t dWt,

soit en integrant

r2t = r20 + (2ab+ γ2)∫ t

0rsds− 2a

∫ t

0r2sds+ 2γ

∫ t

0r

32s dWs.

En prenant l’esperance et en posant ψ(t) = E[r2t ], on a par Fubini :

ψ(t) = r20 + (2ab+ γ2)∫ t

0φ(s)ds− 2a

∫ t

0ψ(s)ds.

Cette equation integrale se transforme en edo

ψ′(t) = (2ab+ γ2)φ(t)− 2aψ(t), ψ(0) = r20,


dont la resolution donne

e2atψ(t) = ψ(0)2 + (2ab+ γ2)∫ t

0e2asφ(s)ds

= r20 + (2ab+ γ2)[be2at − 1

2a+ (r0 − b)

eat − 1a

],

soit

E[r2t ] = ψ(t) = r20e−2at +

(2b+

γ2

a

)[b

2(1− e−2at) + (r0 − b)(e−at − e−2at)

].

On en deduit

Var(rt) = ψ(t)− φ(t)2 =γ2

a(1− e−at)

[r0e

−at +b

2(1− e−at)

].

5.5.4 Volatilite exponentielle dans HJM gaussien

On considere le modele de HJM avec une volatilite des taux forward de la forme

γ(t, T ) = −σ exp(−a(T − t)),

avec des constantes σ 6= 0 et a ≥ 0.

1) Expliciter la dynamique du taux forward sous la condition d’AOA de HJM.2) En deduire que la dynamique du taux spot est :

rt = f(0, t) +σ2

2a2(1− e−at)2 − σ

∫ t

0e−a(t−s)dWs,

et ecrire sa differentielle. Que remarque t-on ?3) Expliciter l’expression du prix du zero-coupon en fonction du taux spot et de lacourbe des taux aujourd’hui et montrer qu’on a :

B(t, T ) =B(0, T )B(0, t)

exp[S(t, T )(rt − f(0, t))− σ2

4aS(t, T )2(1− e−2a(T−t))

],

ou

S(t, T ) = −1a

(1− e−a(T−t)

).

Corrige. 1) La condition d’AOA de HJM implique que la tendance du taux forwardest sous Q :

α(t, T ) = γ(t, T )∫ T

tγ(t, s)ds =

σ2

ae−a(T−t)(1− e−a(T−t)).


Sa dynamique est sous Q :

f(t, T ) = f(0, T ) +∫ t

0α(s, T )ds+

∫ t

0γ(s, T )dWs

= f(0, T ) +σ2

a2

[e−a(T−t)

(1− e−a(T−t)

2

)− e−aT

(1− e−aT

2

)]

−σ∫ t

0e−a(T−s)dWs.

2) Le taux spot rt = f(t, t) est donne par

rt = f(0, t) +σ2

2a2(1− e−at)2 − σ

∫ t

0e−a(t−s)dWs.

Pour obtenir la differentielle de rt, on pose rt = eatrt qui s’ecrit

rt = g(t)− σ

∫ t

0easdWs

avec

g(t) = f(0, t)eat +σ2eat

2a2(1− e−at)2.

On a donc drt = g′(t)dt− σeatdWt, d’ou

drt = e−at(drt − artdt) = (e−atg′(t)− art)dt− σdWt.

C’est le modele de Vasicek.3) La volatilite du zero-coupon est

σ(t, T ) = −∫ T

tγ(t, s)ds =

σ

a(1− e−a(T−t)).

Le prix zero-coupon est donc

B(t, T ) =B(0, T )B(0, t)

exp[∫ t

0σ(s, T )− σ(s, t)dWs −

12

∫ t

0|σ(s, T )|2 − |σ(s, t)|2ds

]=

B(0, T )B(0, t)

exp[σ

a

∫ t

0e−a(t−s) − e−a(T−s)dWs

− σ2

2a2

∫ t

0(1− e−a(T−s))2 − (1− e−a(t−s))2ds

].

D’apres l’expression de rt, on a

σ

a

∫ t

0e−a(t−s) − e−a(T−s)dWs =

σ

a(1− e−a(T−t))

∫ t

0e−a(t−s)dWs

= S(t, T )(rt − f(0, t)− σ2

2a2(1− e−at)2

).


ou

S(t, T ) = −1a

(1− e−a(T−t)

)D’autre part, un calcul integral direct donne

σ2

2a2

∫ t

0(1− e−a(T−s))2 − (1− e−a(t−s))2ds

= − σ2

2a2S(t, T )

[2(1− e−at) +

12(e−a(T−t) − e−a(T+t))− 1

2(1− e−2at)

].

En substituant dans l’expression de B(t, T ), on obtient alors apres quelques simplifi-cations :

lnB(t, T ) = ln(B(0, T )B(0, t)

)+ S(t, T )(rt − f(0, t))

− σ2

2a2S(t, T )

[(1− e−at)2 − 2(1− e−at)− 1

2(e−a(T−t) − e−a(T+t)) +

12(1− e−2at)

]= ln

(B(0, T )B(0, t)

)+ S(t, T )(rt − f(0, t))− σ2

4aS(t, T )2(1− e−2a(T−t)),

qui est le resultat voulu.

5.5.5 Option sur obligations a coupons

On considere une obligation versant a partir d’une emission en τ des coupons Ci

aux dates τ < T1 < . . . Tn. Le prix de cette obligation en τ est donc

Oτ =n∑

i=1

CiB(τ, Ti).

On considere un call de maturite τ , de strike K sur cette obligation.

1) Montrer que le prix de ce call en t = 0 est donne par

Π0 =

[n∑

i=1

CiB(0, Ti)QTi(E)

]−KB(0, τ)Qτ (E),

ou E = Oτ ≥ K et Qτ , QTi , i= 1, . . . , n sont les probabilites forward-neutres associeesaux dates τ , Ti, i = 1, . . . , n.2) On se place dans un modele HJM gaussien Ho-Lee ou Vasicek. En remarquant que leprix zero-coupon est une fonction deterministe strictement decroissante du taux spot,B(t, T ) = B(t, T, rt), montrer qu’il existe un taux court constant rK tel que

E = rτ ≤ rK.


Comment est caracterise rK ?3) En deduire que QTi(E) = N(di) ou on explicitera di. Calculer alors Π0.

Corrige. 1) On ecrit le payoff du call sous la forme

(Oτ −K)+ =

(n∑

i=1

CiB(τ, Ti)−K

)1E

=n∑

i=1

CiB(τ, Ti)1E − K1E .

En introduisant la probabilite Ti-forward neutre, le prix du flux CiB(τ, Ti)1E versantCi en Ti en cas d’exercice est :

Π0(CiB(τ, Ti)1E) = B(0, Ti)EQTi (Ci1E) = B(0, Ti)CiQTi(E).

En introduisant la probabilite τ -forward neutre, le prix du flux K1E versant K en τ

en cas d’exercice est :

Π0(K1E) = B(0, τ)KQτ (E).

En additionnant la somme des prix des divers flux, on obtient la relation voulue.2) On a

Oτ =n∑

i=1

CiB(τ, Ti) =n∑

i=1

CiB(τ, Ti, rτ ) = O(τ, rτ ),

ou O(t, r) =∑n

i=1CiB(t, Ti, r) est une fonction deterministe et strictement decroissanteen r. On en deduit qu’il existe rK tel que

E = Oτ ≥ K = rτ ≤ rK,

avec rK determine par la relation :

O(τ, rK) = K.

3) On peut alors ecrire pour tout Ti :

QTi(E) = QTi(rτ ≤ rK) = QTi(B(τ, Ti, rτ ) ≥ B(τ ;Ti, rK))

= QTi(B(τ, Ti) ≥ Ki) avec Ki = B(τ ;Ti, rK).

Par le meme calcul que pour le call de maturite τ , de strike Ki sur le zero-coupon dematurite Ti, on a alors

QTi(E) = N(di)


avec

di =ln(

B(0,Ti)KiB(0,τ)

)+ 1

2Σ2(τ, Ti)

Σ(τ, Ti).

On a aussi

Qτ (E) = N(d0)

avec

d0 = di − Σ(τ, Ti).

Le prix du call est donc

Π0 =n∑

i=1

CiB(0, Ti)N(di) − KB(0, τ)N(d0).

5.5.6 Formules de prix pour les caplets

On considere un caplet de strike K et de maturite T +δ : c’est un contrat optionnelpermettant d’emprunter en T + δ au taux Libor L(T, δ) de la periode [T, T + δ] auniveau maximum de K. Son payoff est donc δ(L(T, δ)−K)+.

1) Montrer que ce caplet est equivalent a (1+δK) put de maturite T sur un zero-couponde maturite T + δ.

2) On se place dans un modele HJM gaussien avec donc une structure de volatiliteσ(t, T ) deterministe pour les zero-coupon. Calculer le prix du caplet et montrer qu’ils’ecrit en t = 0 sous la forme

Π0 = B(0, T + δ) [(1 + δLf (0, T, δ)N(d1)− (1 + δK)N(d2)] ,

ou Lf (t, T, δ) est le taux forward lineaire entre T et T + δ, et on explicitera d1 et d2.

3) Montrer que la dynamique de Lf (t, T, δ) est donnee sous la probabilite T+δ-forwardneutre QT+δ par :

dLf (t, T, δ) = Lf (t, T, δ)γ(t, T, δ)dW T+δ,

ou on explicitera γ(t, T, δ). Indication : exprimer B(t, T )/B(t, T + δ) sous QT+δ.

4) On suppose γ(t, T, δ) deterministe. On dit que le modele Libor est log-normal.Montrer que le prix du caplet est egal a

Π0 = δB(0, T + δ)[Lf (0, T, δ)N(d′1)−KN(d′2)

],

ou on explicitera d′1 et d′2.


Corrige. 1) En utilisant la relation 1 + δL(T, δ) = 1/B(T, T + δ), on ecrit le payoffsous la forme

X =(

1B(T, T + δ)

− 1− δK

)+

=1 + δK

B(T, T + δ)

(K −B(T, T + δ)

)+

en posant K = 1/(1+ δK). X est donc le prix d’un contrat forward de maturite T + δ,sur (1 + δK) put de maturite T de support le zero-coupon de maturite T + δ. Par laregle de valorisation risque-neutre, on a :

Π0(X) = EQ0

[X

S0T+δ

]

= (1 + δK)EQ0

[e−

R T+δ0 rsds 1

B(T, T + δ)

(K −B(T, T + δ)

)+

]= (1 + δK)EQ0

[e−

R T0 rsdsEQ0

[e−

R T+δT rsds|FT

] 1B(T, T + δ)

(K −B(T, T + δ)

)+

]= (1 + δK)EQ0

[e−

R T0 rsds

(K −B(T, T + δ)

)+

].

C’est le prix de (1+δK) put de maturite T , de strike K, sur le zero-coupon de maturiteT + δ.2) On applique la meme methodologie que pour un call sur zero-coupon. En introdui-sant les probabilites T et T + δ-forward neutre, on a :

Π0(X) = (1 + δK)[B(0, T )KQT (E)−B(0, T + δ)QT+δ(E)

],

ou E = B(T, T + δ) ≤ K. On ecrit

Bf (t, T, T + δ)

= Bf (0, T, T + δ). exp[∫ t

0σ(s, T + δ)− σ(s, T )dW T

s − 12

∫ t

0|σ(s, T + δ)− σ(s, T )|2ds

].

Puisque Bf (T, T, T + δ) = B(T, T + δ), on a

QT (E) = QT

(∫ T

0σ(s, T + δ)− σ(s, T )dW T

s ≤ ln

(K

Bf (0, T, T + δ)

)+

12Σ2(T, δ)

),

ou Σ2(T, δ) =∫ T0 |σ(s, T +δ)−σ(s, T )|2ds. Comme −

∫ T0 σ(s, T +δ)−σ(s, T )dW T

s suitsous QT une loi normale centree de variance Σ2(T, δ), on a

QT (E) = N(d1), avec d1 =ln(

1+δLf (0,T,δ)1+δK

)+ 1

2Σ2(T, δ)

Σ(T, δ).


De maniere similaire, on a

1Bf (t, T, T + δ)

=1

Bf (t, T, T + δ). exp

[∫ t

0σ(s, T )− σ(s, T + δ)dW T+δ

s − 12

∫ t

0|σ(s, T )− σ(s, T + δ)|2ds

].

On en deduit

QT+δ(E) = QT+δ

(1

Bf (T, T, T + δ)≥ 1K

)= QT

(−∫ T

0σ(s, T )− σ(s, T + δ)dW T

s ≤ ln

(K

Bf (0, T, T + δ)

)− 1

2Σ2(T, δ)

),

d’ou

QT+δ(E) = N(d2), avec d2 = d1 − Σ(T, δ) =ln(

1+δLf (0,T,δ)1+δK

)− 1

2Σ2(T, δ)

Σ(T, δ).

On obtient finalement

Π0(X) = B(0, T )N(d1)− (1 + δK)B(0, T + δ)N(d2)

= B(0, T + δ) [(1 + δLf (0, T, δ)N(d1)− (1 + δK)N(d2)] .

3) Le prix forward B(t, T )/B(t, T + δ) est une martingale sous QT+δ et sa volatiliteest donnee par la difference de volatilite de σ(t, T ) et σ(t, T + δ). Autrement dit :

d

(B(t, T )

B(t, T + δ)

)=

B(t, T )B(t, T + δ)

(σ(t, T )− σ(t, T + δ)) dW T+δt .

On ecrit par definition du taux forward lineaire entre T et T + δ :

1 + δLf (t, T, δ) =B(t, T )

B(t, T + δ).

On obtient donc

dLf (t, T, δ) =1δ

B(t, T )B(t, T + δ)

(σ(t, T )− σ(t, T + δ)) dW T+δt

=1δ(1 + δLf (t, T, δ)) (σ(t, T )− σ(t, T + δ)) dW T+δ

t

= Lf (t, T, δ)γ(t, T, δ)dW T+δt ,

avec

γ(t, T, δ) =1 + δLf (t, T, δ)δLf (t, T, δ)

(σ(t, T )− σ(t, T + δ)) .


4) En utilisant la probabilite T + δ-forward neutre, le prix du caplet a la date t = 0s’exprime comme :

Π0 = B(0, T + δ)EQT+δ[δ(L(T, δ)−K)+]

= δB(0, T + δ)EQT+δ[(Lf (T, T, δ)−K)+]

Puisque sous QT+δ, on

lnLf (T, T, δ) ∼ N (−12Γ2(T, δ),Γ2(T, δ)),

avec Γ2(T, δ) =∫ T0 |γ(s, T, δ)|

2ds, le calcul de EQT+δ[(Lf (T, T, δ)−K)+] est celui d’un

call de maturite T , de strike K dans le modele de Black-Scholes avec taux d’interetnul, et volatilite Γ2(T, δ)/T . On a donc

EQT+δ[(Lf (T, T, δ)−K)+] = Lf (0, T, δ)N(d′1)−KN(d′2),

avec

d′1 =ln(

Lf (0,T,δ)K

)+ 1

2Γ2(T, δ)

Γ(T, δ)d′2 = d′1 − Γ(T, δ).

On en deduit

Π0 = δB(0, T + δ)[Lf (0, T, δ)N(d′1)−KN(d′2)

].

Bibliographie

[1] Benth F.E. (2004) : Option theory with stochastic analysis, an introduction tomathematical finance, Springer Verlag.

[2] Bingham N. et R. Kiesel (2004) : Risk-neutral valuation, 2nde edition, SpringerVerlag.

[3] Dana R.A. et M. Jeanblanc (2002) : Marches financiers en temps continu, 2ndeedition, Economica.

[4] El Karoui N. (2003) : Couverture des risques financiers, Notes de cours, DEAParis 6.

[5] Lamberton D. et B. Lapeyre (1998) : Introduction au calcul stochastique appliquea la finance, 2nde edition, Ellipses.

[6] Musiela M. et M. Rutkowski (2005) : Martingale methods and financial modelling,2nd edition, Springer Verlag.

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