IO

UNIVERSIDAD HISPANOAMERICANASEDE HEREDIA

TRABAJO FINAL

CARRERA, INGENIERIA INDUSTRIAL

CURSO, INVESTIGACIÒN DE OPERACIONES I

INDICE

INDICE................................................................................................................2EJERCICIO 1......................................................................................................3EJERCICIO 2......................................................................................................4EJERCICIO 3......................................................................................................5EJERCICIO 4......................................................................................................8EJERCICIO 5......................................................................................................8EJERCICIO 6......................................................................................................9EJERCICIO 7....................................................................................................12EJERCICIO 8....................................................................................................14EJERCICIO 9....................................................................................................16EJERCICIO 10..................................................................................................18EJERCICIO 11..................................................................................................20EJERCICIO 12..................................................................................................22EJERCICIO 13..................................................................................................24EJERCICIO 14..................................................................................................26EJERCICIO 16..................................................................................................28EJERCICIO 17..................................................................................................30EJERCICIO 18..................................................................................................31EJERCICIO 19..................................................................................................33EJERCICIO 20..................................................................................................34EJERCICIO 21..................................................................................................35EJERCICIO 22..................................................................................................37EJERCICIO 23..................................................................................................38

2

EJERCICIO 1

Gasahol, Inc. Tiene 14000 galones de una mezcla de gasolina y alcohol

almacenada en su instalación de Fresno y 16000 galones almacenados en su

instalación de Bakersfield. Desde estas instalaciones, Gasahol debe proveer a

Fresh Food Farms (FFF) 10000 galones y a American Growers (AG) 20000

galones. El costo de embarcar un galón desde cada instalación de almacenado

a cada cliente es:

HACIA HACIA

DE FFF AG

Fresno $0.04 $0.06

Bakersfield $0.05 $0.03

Formule un modelo de programación lineal para determinar el plan de

embarque de costo mínimo que satisfaga las restricciones de provisión y

demanda.

Planteo Gráfico:

FRFFF

Fresh Food Farms (FFF)

Fresno (FR)

FRAG

Bakersfield (BK)

BKFFF

BKAG

American Growers (AG)

3

Variables de Decisión:

FRFFF: Cantidad de galones para proveer de Fresno a Fresh Food Farms.

FRAG: Cantidad de galones para proveer de Fresno a American Growers.

BKFFF: Cantidad de galones para proveer de Bakersfield a Fresh Food Farms.

BKAG: Cantidad de galones para proveer de Bakersfield a American Growers.

Restricciones de no negatividad:

FRFFF, FRAG, BKFFF y BKAG >= 0.

Restricciones de Disponibilidad:

FRFFF + BKFFF >= 10000

FRAG + BKAG >= 20000

FRFFF + FRAG <= 14000

BKFFF + BKAG <= 16000

Función Objetivo:

Min = [ ( FRFFF * 0.04 ) + ( FRAG * 0.06 ) + ( BKFFF *0.05 ) + ( BKAG * 0.03) ]

EJERCICIO 2

HealthNut Company esta desarrollando una nueva barra de mantequilla de

cacahuate y chocolate. El dulce debe tener al menos 5 gramos de proteínas,

pero no más de 5 gramos de carbohidratos y 3 gramos de grasas saturadas.

Desarrolle un programa lineal para determinar la cantidad de cada ingrediente

por utilizar que satisfaga los requerimientos nutricionales a un costo total

mínimo, basándose en los siguientes datos:

Mantequilla de cacahuate Chocolate

Costo ($/oz) 0.10 0.18

4

Proteínas (g/oz) 4.00 0.80

Carbohidratos (g/oz) 2.50 1.00

Grasas saturadas (g/oz) 2.00 0.50


M: onzas (peso) de mantequilla de chocolate por barra.

C: onzas de chocolate por barra.


M >=0 ; C >=0.

Restricciones de cantidad:

Proteínas: 4 * M + 0.8 * C >= 5

Carbohidratos: 2.5 * M + 1 C <= 5

Grasas saturadas: 2 * M + 0.5 * C=3

Función Objetivo: Min = [ ( M * 0.10 ) + ( C * 0.18 ) ]

EJERCICIO 3

HealthNut Company tiene una máquina que muele semillas de Psyllium hasta

producir un polvo fino a una velocidad de 30 lb por hora. La compañía también

usa la máquina para hacer crema de cacahuate con cacahuates tostados a una

velocidad de 60 lb por hora. El tiempo de fijación para cambiar la máquina de

un producto al otro es despreciable. La demanda mensual y los costos de

mantenimiento de inventario de cada producto se muestran en la tabla

siguiente:

DEMANDA (lb) COSTOS DE MANTENIMIENTO($/lb)

Crema de cacahuate Psyllium Crema de cacahuate Psyllium

Mayo 400 600 0,10 0,05

Junio 450 700 0,10 0,05

Julio 500 650 0,12 0,05

El inventario inicial para cada producto a principios de mayo es 0 y también

debe ser 0 a finales de julio. En ningún momento el inventario de Psyllium

5

puede exceder las 1.000 libras ni el mantequilla de cacahuate las 500 libras.

Asimismo, cada mes hay 20 hs. de tiempo de máquina disponible. Formule un

programa lineal para determinar un plan de producción para los mese de mayo,

junio y julio que minimice los costos totales de almacenamiento, suponiendo

que satisface la demanda al final de cada mes y que los costos de

mantenimiento de existencia se basan en la cantidad del inventario a principios

del mes.


Ipi = Cantidad de libras de mantequilla de cacahuate en inventario al inicio de

cada mes i =1,2,3,4

Isi = Cantidad de libras de psylium en inventario al inicio de cada mes i =

1,2,3,4

Ppi = Cantidad de libras de mantequilla de cacahuate a producir cada mes i=

1,2,3

Psi = Cantidad de libras de semilas de psylium a producir cada mes i= 1,2,3


Ipi, Isi,Ppi,Psi >= 0 para i >= 1,2,3,4

Restricciones de Equilibrio de Inventario:

Ip1 = 0

Is1 = 0

Ip4 = 0

Is4 = 0

-Ip1 + Ip2 – Pp1 + 400 = 0

-Is1 + Is2 – Ps1 + 600 = 0

6

-Ip2 + Ip3 – Pp2 + 450 = 0

-Is2 + Is3 – Ps2 + 700 = 0

-Ip3 + Ip4 – Pp3 + 500 = 0

-Is2 + Is4 – Ps3 + 650 = 0

Restricciones de Producción / Tiempo:

0.01667 * Pp1 + 0.0333 * Ps1 =< 20

0.01667 * Pp2 + 0.0333 * Ps2 =< 20

0.01667 * Pp3 + 0.0333 * Ps3 =< 20

Restricciones de Capacidad de Inventario:

Ip1=< 500

Ip2 =< 500

Ip3 =< 500

Ip4 =< 500

Is1 =< 1000

Is2 =< 1000

Is3 =< 1000

Is4 =< 1000

Función Objetivo:

7

Min = ( 0.05* Is1 + 0.05*Is2 + 0.05 *Is3)

EJERCICIO 4

En Explosives, Inc. se mezclan azufre, carbón y salitre para producir pólvora.

El producto final debe contener al menos 10%, pero no más de 20%, de carbón

por unidad de peso. La cantidad de salitre no puede exceder el 50% de la

cantidad de carbón usado. Para evitar una explosión accidental, la suma de

50% del azufre más 60% del carbón más 30% del salitre usados no puede

exceder el 35% del producto final. El azufre es con mucho el componente más

caro. Formule un modelo para determinar la cantidad de cada ingrediente que

debe utilizarse para producir cada libra de pólvora que satisfaga las

restricciones y, a la vez, que requiera la menor cantidad de azufre.


A: porcentaje de azufre a utilizar para producir una libra de pólvora.

C: porcentaje de carbón a utilizar para producir una libra de pólvora.

S: porcentaje de salitre a utilizar para producir una libra de pólvora.


A,B,C y D >= 0.

Función Objetivo: MIN = C.

EJERCICIO 5

Cada semana, Florida Citrus, Inc., usa una sola maquina durante 150 horas

para destilar jugo de naranja y de toronja en concentrados almacenados en dos

tanques separados de 1000 galones antes de congelarlos. La maquina puede

procesar 25 galones de jugo de naranja por hora, pero solo 20 galones de jugo

de toronja. Cada galón de jugo de naranja cuesta $1.50 y pierde 30% de

contenido de agua al destilarse en concentrado. El concentrado de jugo de

8

naranja se vende después en $6.00 por galón. Cada galón de jugo de toronja

cuesta $2.00 y pierde 25% de contenido de agua al destilarse en concentrado.

El concentrado de jugo de toronja se vende después en $8.00 por galón.

Formule un modelo de programación lineal para determinar un plan de

producción que maximice la ganancia para la siguiente semana usando las

variables:

JN = el número de galones de jugo de naranja por utilizar esta semana.

JT = el número de galones de jugo de toronja por utilizar esta semana.


JN: número de galones de jugo de naranja por utilizar esta semana.

JT: número de galones de jugo de toronja por utilizar esta semana.


JN Y JT >= 0

Restricciones de producción:

JN/25 + JT/20 <= 150

JN - 0.3 JN <= 1000

JT - 0.25 JT <= 1000

Función Objetivo: MAX = [ ( 2.7 * JN ) + ( 4 * JT) ]

EJERCICIO 6

Oklahoma Oil, Inc., debe transportar 100000 barriles de cada uno de sus tres

campos petroleros a su tanque de almacenamiento en Oklahoma City. El

petróleo puede transportarse en camiones directamente de los campos al

9

tanque de almacenamiento a un costo de $0.03 por barril por milla. Hasta

150000 barriles de petróleo también pueden enviarse desde los campos

mediante ductos a un eje central en Tulsa a un costo de $0.02 por barril por

milla y luego transportarse en camiones a Oklahoma City por $1 por barril.

Formule un modelo para determinar el plan de embarque de costo mínimo,

dadas las siguientes distancias en millas:

HACIA

DESDE OKLAHOMA TULSA

Campo petrolero 1 150 50



Planteo gráfico:

C1O

Campo petroleo1

Oklahoma

C1T

Campo petroleo2

C2O

C2T

Tulsa

C3O

Campo petroleo3

C3T

10


C1O: cantidad de barriles a transportar desde el campo petroleo1 hacia

Oklahoma.


Oklahoma.


Oklahoma.

C1T: cantidad de barriles a transportar desde el campo petroleo1 hacia Tulsa.




C10, C20, C30, C1T, C2T y C3T >= 0

Restricciones de embarque:

C1O + C1T = 100000

C2O + C2T = 100000

C3O + C3T = 100000

C1T + C2T + C3T =< 150000

C1O, C2O, C3O, C1T, C2T, C3T >= 0

Función Objetivo:

Min = [(C10 * 0.03 * 150) + (C20 * 0.03 * 170) + (C30 * 0.03 * 190) + (C1T +

0.02 *50) + (C2T * 0.02*65 + C2T) + (C3T *0.02 * 80 + C3T)]

11

EJERCICIO 7

Cajun World mezcla seis especias para fabricar un producto para atezar

pescados. La siguiente tabla proporciona el costo de cada especia y los

porcentajes mínimos y máximos por unidad de peso que pueden usarse en el

producto final:

ESPECIA COSTO ($/gm) MINIMO (%) MÁXIMO (%)

Cayena 0.020 18 20

Pimienta negra 0.025 15 18

Semillas de hinojo 0.082 12 14

Polvo de cebolla 0.025 16 20

Ajo 0.028 12 15

Orégano 0.075 14 18

Formule un programa lineal para determinar la cantidad de cada especia

utilizada para producir cada kilogramo de producto que minimice el costo total.


C: porcentaje de Cayena que debo utilizar para producir 1 Kg. de producto.

P: porcentaje de Pimienta negra que debo utilizar para producir 1 Kg. de

producto.

S: porcentaje de Semillas de hinojo que debo utilizar para producir 1 Kg. de

producto.

PO: porcentaje de Polvo de cebolla que debo utilizar para producir 1 Kg. de

producto.

A: porcentaje de Ajo que debo utilizar para producir 1 Kg. de producto.

12

O: porcentaje de Orégano que debo utilizar para producir 1 Kg. de

producto.


C, P, S, PO, A y O >= 0


C+P+S+PO+A+O = 1

C>=0.18

C <= 0.2

P <= 0.15

P <= 0.18

S <= 0.12

S <= 0.14

PO <= 0.16

PO <= 0.2

A <= 0.12

A <= 0.15

A <= 0.14

A <= 0.15

Función Objetivo:

MIN = [ ( 0.02 * C ) + ( 0.025 * P ) + ( 0.082 * S ) + ( 0.025 * PO ) + (

0.028 * A ) + ( 0.075 * O ) ]

13

EJERCICIO 8

Incredible Indelible Ink Company mezcla tres aditivos A1, A2 y A3 a una base

en diferentes proporciones para obtener diferentes colores de tinta. La tinta roja

se obtiene mezclando A1, A2 y A3 en la proporción de 3,1, 2; la tinta azul en la

proporción de 2, 3, 4 y la tinta verde en la proporción de 1, 2, 3. Después de

mezclar estos aditivos, se añade una cantidad igual de base para cada color:

La compañía actualmente tiene 1000 galones de A1, 1500 de A2, 2000 de A3 y

4000 de base. Dado que el precio de venta por galón de cada tipo de tinta es el

mismo, desarrolle un modelo para determinar cómo deberían usarse estos

recursos para obtener los máximos ingresos.


R = Cantidad de galones de tinta roja producidos

B = Cantidad de galones de tinta azul producidos

G = Cantidad de galones de tinta verde producidos

Ra1 = Cantidad de galones de aditivo A1 utilizados en tinta roja



Ba1 = Cantidad de galones de aditivo A1 utilizados en tinta azul



Ga1 = Cantidad de galones de aditivo A1 utilizados en tinta verde



14

Rb = Cantidad de galones de base utilizados en la tinta roja

Gb = Cantidad de galones de base utilizados en la tinta azul

Bb = Cantidad de galones de base utilizados en la tinta verde


R,B,G,Ra1,Ra2,Ra3,Ba1,Ba2,Ba3,Ga1,Ga2,Ga3,RRb,Gb y Bb >=0

Restricciones de disponibilidad:

Ra1 + Ba1 + Ga1 =< 1000

Ra2 + Ba2 + Ga2 =< 1500

Ra3 + Ba3 + Ga3 =< 2000

Rb + Bb + Gb =< 4000

Ra1 – 3Ra2 = 0

2Ra2 – Ra3 = 0

Ra1 + Ra2 + Ra3 – Rb = 0

Ra1 + Ra2 + Ra3 + Rb – R = 0

3Ba1 – 2Ba2 = 0

4Ba2 – 3Ba3 = 0

Ba1 + Ba2 + Ba3 – Bb = 0

Ba1 + Ba2 + Ba3 + Bb – B = 0

2Ga1 – Ga2 = 0

3ga2 – 2Ga3 = 0

15

Ga1 + Ga2 + Ga3 – Gb = 0

Ga1 + Ga2 + Ga3 – Gb – G = 0

Función Objetivo: Max = [(R + B + G)]

EJERCICIO 9

El departamento de energía de Lilliput actualmente está en el proceso de

desarrollar un plan nacional de energía para el año siguiente. Lilliput puede

generar energía de cualquiera de cinco fuentes: carbón, gas natural, materiales

nucleares, proyectos hidroeléctricos y petróleo. Los datos sobre los recursos de

energía, las capacidades de energía medidas en megawatt-hora(MW-hs), y los

costos unitarios de generación se dan en la siguiente tabla.

FUENTE DE ENERGIA

CAPACIDAD TOTAL (MW-hs)

COSTO DE GENERACIÓN ($/MW-hs)

Carbón 45000 6.0

Gas natural 15000 5.5

Nuclear 45000 4.5

Hidroeléctrica 24000 5.0

Petróleo 48000 7.0

Lilliput necesita 50000 MW-hs de energía de uso doméstico, y el país tiene un

compromiso para producir 10000MW-hs para exportación. Más aún, a fin de

conservar los recursos de energía y proteger el ambiente, el gobierno ha

aprobado las siguientes regulaciones:

1. La generación proveniente de materiales nucleares no debe exceder 20% de la

energía total generada por Lilliput;

2. Debe utilizarse al menos 80% de la capacidad d las plantas de carbón;

3. Los efluentes que salen a la atmósfera no deben exceder los límites

especificados en la tabla;

16

4. La cantidad de energía generada a partir de gas natural debe ser al menos

30% de la generada a partir de petróleo;

FUENTE DE

ENERGIA

DIÓXIDO

DE AZUFRE

MONÓXIDO DE

CARBONO

PARTICULAS

DE POLVO

DESECHOS

SOLIDOS

Carbón 1.5 1.2 0.7 0.4

Gas natural 0.2 0.5

Nuclear 0.1 0.2 0.7

Hidroeléctrica

Petróleo 0.4 0.8 0.5 0.1

Kg máximos

permitidos

75 60 30 25

Formule un programa lineal para determinar un plan de energía de costo

mínimo.


C: cantidad de energía generada de carbón medidas en megawatt-horas (MW-

hs).

G: cantidad de energía generada de gas natural medidas en megawatt-horas

(MW-hs).

N: cantidad de energía generada de nuclear medidas en megawatt-horas (MW-

hs).

H: cantidad de energía generada de hidroeléctrica medidas en megawatt-horas

(MW-hs).

P: cantidad de energía generada de petróleo medidas en megawatt-horas

(MW-hs).

17


C, G, N, H, P >= 0

Restricciones de disponibilidad:

C <= 45000;

G <= 15000;

N <= 45000;

H <= 24000;

P <= 48000;

C + G + N + H + P >= 60000;

N <= 0.2*(C+G+N+H+P);

45000*0.8<=C;

1.5*C + 0.2*G + 0.4*P <= 75000;

1.2*C + 0.5*G + 0.1*N + 0.8*P <= 60000;

0.7*C + 0.2*N + 0.5*P <= 30000;

0.4*C + 0.7*N + 0.1*P <= 25000;

G >= 0.3*P;

Función Objetivo: MIN = [ ( 6 * C ) + ( 5.5 * G ) + ( 4.5 * N ) + ( 5 * H ) + ( 7 *

P ) ]

EJERCICIO 10

Fresh Food Farms, tiene 50 acres de tierra en la cual puede plantar cualquier

cantidad de maíz, soya, lechuga, algodón y brócoli. La siguiente tabla muestra

18

información relevante perteneciente a la producción, el costo de plantación, el

precio de venta esperado y los requerimientos de agua para cada cultivo:

CULTIVO PRODUCCIÓN (Kg/acre)

COSTO ($/Kg)

PRECIO DE VENTA ($/Kg)

AGUA REQUERIDA (litros/Kg)

Maíz 640 1.00 1.70 8.75

Soya 500 0.50 1.30 5.00

Lechuga 400 0.40 1.00 2.25

Algodón 300 0.25 1.00 4.25

Brócoli 350 0.60 1.30 3.50

Para la próxima temporada, hay 100000 litros de agua disponibles y la

compañía ha contratado vender al menos 5120 Kg de maíz. Formule un

programa lineal para determinar una estrategia de plantación óptima para la

compañía. Use el número de acres de cada cultivo para plantación como las

variables de decisión.


M: acres destinados a la plantación de maíz.

F: acres destinados a la plantación de frijoles de soja.

L: acres destinados a la plantación de lechuga.

A: acres destinados a la plantación de algodón.

B: acres destinados a la plantación de brócoli.


M, F,L, A y B >= 0


19

640*M >= 5120

M+F+L+A+B <= 50

5600*M+2500*F+900*L+1275*A+1225*B <= 100000

Función Objetivo: MAX = [ ( 448 * M ) +( 400 * F ) + ( 240 * L ) + ( 225 * A )

+ ( 245 * B )]

EJERCICIO 11

La D & M POWER, fabrica tres tipos de aisladores de uso industrial en

compañías de servicios electrónicos: aisladores de aplicación general, de

aplicación especial y de alto voltaje. Cada producto pasa a través de tres

operaciones de producción en la planta de la D & M: horneado, lavado-

laminado y pulimiento. Solo existe disponible una máquina en cada una de las

respectivas operaciones. La tasa de producción (en unidades por hora) para

cada tipo de aislador, y en cada operación se muestran en tabla Nº 02. Los

costos de las materias primas asociadas con la fabricación de los aisladores

son de S/.5 (aplicación general), S/.6 (aplicación especial) y S/.10 (alto voltaje).

Los costos por hora de las respectivas operaciones de producción son: S/. 250

(horneado), S/. 200 (lavado y laminado), y S/.100 (pulimiento). Los precios

unitarios de venta son S/. 25.00, S/. 39.75 y S/.67.50 para los tres productores

respectivamente. A la compañía le gustaría asignar el tiempo utilizado en las

diferentes operaciones de manera que se maximicen las utilidades por hora.

20

TABLA Nº 02

Tasas de producción: D & M POWER

Tipo de Aislador

Proceso de Fabricación

(unidades/hora)

Horneado Lavado y

laminado

Pulimient

o

Aplicación General

Aplicación Especial

Alto Voltaje

50

40

25

40

20

10

25

10

10

Solución:

Variables de Decisión.

Xi = Número de aislador del tipo i (i: 1, 2, 3) x hora a producirse.

Tipo de Aislador

A.A.

General

A. A. Especial A. Alto

Voltaje

Precio de Venta 25 39.75 67.50

Costo de Materiales 5 6 10

Costo del Proceso:

Horneado

Lav-Lam

Pulido

Total

250/50 = 5

200/40 = 5

100/25 = 4

14

250/40 = 6.25

200/20 = 10

100/20 = 5

21.25

250/25 = 10

200/10 = 20

100/10 = 10

40

Costo Total 19 27.25 50

Ganancia 6 7.5 17.50

Función Objetivo.

Máx. Z = 6X1 + 7.5X2 + 17.50X3

21

Sujeto a:

0.02X1 + 0.025X2 + 0.04X3 1

0.025X1 + 0.05X2 + 0.10X3 1

0.02X1 + 0.10X2 + 0.10X3 1

X1, X2, X3 0

EJERCICIO 12

MUEBLES DESK compañía, un fabricante de muebles de oficina, produce dos

tipos de muebles de escritorio: ejecutivos y secretariales. La compañía tiene

dos plantas en las que fabrica los escritorios. La planta 1, que es una planta

antigua opera con doble turno 80 horas por semana. La planta 2, que es una

planta más nueva y no opera a su capacidad total. Sin embargo, y dado que los

administradores planean operar la segunda planta con base en un turno doble

como el de la planta 1, se han encontrado operadores para que trabajen en los

dos turnos. En esos momentos, cada turno de la planta 2 trabaja 25 horas por

semana. No se apaga ninguna prima adicional a los trabajadores del segundo

turno, la tabla Nº 03 muestra el tiempo de producción (en horas por unidad) y

los costos estándar (en soles por unidad) en cada planta.

La compañía ha competido con éxito en el pasado asignado un precio de S/.

350 a los escritorios ejecutivos. Sin embargo, parece que la compañía tendrá

que reducir el precio de los escritorios secretariales a S/. 250 con el objetivo de

estar en posición competitiva. La compañía ha estado experimentando exceso

de costos en las últimas ocho a diez semanas; por tanto, los administradores

han fijado una restricción presupuestaria semanal sobre los costos de

producción. El presupuesto semanal para la producción total de escritorios

ejecutivos es de S/. 2000, en tanto que el presupuesto para los escritorios

secretariales es de S/. 2200. A los administradores les gustaría determinar cuál

es el número de cada clase de escritorios que deben fabricarse en cada planta

con el objeto de maximizar las utilidades.

22

TABLA Nº 03

Tiempo (horas) y costos (soles): Muebles Desk Compañía

Tipos de Escritorio

Tiempos de

Producción

(horas/unidad)

Costo Estándar

(soles/unidad)

Planta

1

Planta 2 Planta

1

Planta 2

Escritorios

Ejecutivos

Escritorios

Secretariales

7.0

4.0

6.0

5.0

250

200

260

180

Solución:

Tipo de Escritorio

Tiempos de

Producción

(horas/unidad)

Costo Estándar

($/unidad)Precio

Venta

($/

unidad)

Presupuest

o

($/semana)Planta1 Planta 2 Planta 1 Planta 2

Ejecutivo

Secretarial

7

4

6

5

250

200

260

180

350

275

2000

2200

Tiempo Disponible

(hrs/sem)

80 50


Xij = Escritorio del tipo i (i: 1, 2) a fabricarse por semana en la

Planta j (j: 1, 2)

i (1: Ejecutivo, 2: Secretarial)

j (1:Planta 1 , 2: Planta 2)

Función Objetivo.

23

Para la Función Objetivo, es necesario calcular la utilidad para

cada uno de los escritorios, en la siguiente forma:

Planta 1 Planta 2

Ejecutivo 350 - 250 = 100 350 – 260 = 90

Secretarial 275 - 200 = 75 275 – 180 = 95

Máx. Z = 100X11 + 9,000X12 + 7,500X21 + 9,500X22

Sujeto a:

1. Producción.

Planta 1 7X11 + 4X21 80

Planta 2 6X12 + 5X22 50

2. Presupuesto.

Ejecutivo 250X11 + 260X12 2000

Secretarial 200X21 + 180X22 2200

3. No negatividad Xij 0

EJERCICIO 13

1. Un fabricante cuyo negocio es mezclar aguardiente, compra tres

grados A, B y C. los combina de acuerdo a las recetas que

especifican los porcentajes máximo y mínimo de los grados A y C en

cada mezcla. Estos porcentajes se dan en la tabla Nº 1.

TABLA Nº 1: ESPECIFICACIONES DE MEZCLAS

Mezcla Especificación Precio por botella

Super Fuerte No más del 60% de A

No menos del 20% de C

S/. 6.80

Fuerte No más del 60% de C

No menos del 15% de A

S/. 5.70

Menos Fuerte No más de 50% de C S/. 450

24

La provisión de los tres grados de aguardientes básicos, junto con

sus costos se presente en la tabla Nº 2.

TABLA Nº 2: DISPONIBILIDAD Y COSTOS DE AGUARDIENTE

Aguardiente Máxima cantidad disponible

botellas por día

Costo por botella

A

B

C

2 000

2 500

1 200

S/. 7.00

S/. 5.00

S/. 4.00

Indique como se obtiene la primera matriz en un modelo de

programación lineal de una política de producción que haga máxima

la ganancia.

Solución:


Xij = Cantidad de aguardiente del tipo i (i: A, B, C) utilizada en la

mezcla (j: 1, 2)

1: Super fuerte

2: Fuerte

XA1 = Cantidad de aguardiente del tipo A utilizado en el super

fuerte

XB1 = Cantidad de aguardiente del tipo B utilizado en el super

fuerte

XC1 = Cantidad de aguardiente del tipo C utilizado en el super

fuerte

XA2 = Cantidad de aguardiente del tipo A utilizado en el fuerte

XB2 = Cantidad de aguardiente del tipo B utilizado en el fuerte

XC2 = Cantidad de aguardiente del tipo C utilizado en el fuerte

25

Ganancia = Pv – Costo

Función Objetivo.

Máx. Z = 6.80 (XA1 + XB1 + XC1) + 5.70 (XA2 + XB2 + XC2) – [7 (XA1 +

XA2) + 5.0 (XB1 + XB2) + 4.0 (XC1 + XC2)]

Sujeto a:

Disponibilidad

XA1 + XA2

XB1 + XB2

XC1 + XC2

Especificaciones super fuerte

XA1 X A1 + XB1 + XC1

XC1 X A1 + XB1 + XC1

Especificaciones fuerte

XC2 X A2 + XB2 + XC2

XA1 X A2 + XB2 + XC2

Xij 0, i: A, B, C j:1, 2

EJERCICIO 14

Una compañía fabrica dos clases de cinturones de piel. El cinturón A es de alta

calidad, y el cinturón B es de Baja calidad. La ganancia respectiva por cinturón

es de S/. 0.40 y S/. 0.30. cada cinturón de tipo A requiere el doble de tiempo

que el que usa el de tipo B, y si todos los cinturones fueran de tipo B, la

compañía podría fabricar 1000 día, el abastecimiento de piel es suficiente

únicamente para 800 cinturones diarios (A y B combinados) el cinturón A

requiere una hebilla elegante, de las que solamente se dispone 400 diarias. Se

26

tiene únicamente 700 hebillas el día para el cinturón B. establezca las

ecuaciones de programación lineal para el problema.

Solución:

TABLA Nº 1: GANANCIA DE CINTURONES Y DISPONIBILIDAD DE

CINTURONES

Tipos de cinturón Ganancia por cinturón Disponibilidad de

hebillas por día

A

B

0.4

0.3

400

700

Variables de decisión:

Xi = Número de cinturones a producirse del tipo i (i = A, B) al día

Función Objetivo:

Max (z) = 0.4XA + 0.3XB

Restricciones sujeto a:

1. Tiempo

tA = 2tB

2. Abastecimiento de cinturones

2XA + XB 1000

XA + XB 800

3. Disponibilidad de hebillas

XA 400

XB 700

4. No negatividad

Xi 0

27

EJERCICIO 16

Un fabricante de laminas metálicas recibe un pedido para producir 2000

laminas de tamaño 2' x 4' y 1000 laminas de tamaño 4'x7'. Se dispone de dos

láminas estándar de tamaño 10' x 3000' y otra de 11' x 2000'. El personal del

departamento de ingeniería decide que los tres siguientes patrones anteriores

de corte son adecuados para satisfacer el pedido y minimizar el desperdicio.

Formule el problema como un modelo de programación lineal.

Solución:

Láminas

2’ * 4’ → 2000 10’ * 3000’

4’ * 7’ → 1000 11’ * 2000’

28

2' 7'

4'

2'

Patron Nº 2

Patron Nº 3

4'

2'2'2'2' 2'

72'

4'

Patron Nº 1


Xij = Número de patrones del tipo i (i = 1, 2, 3) utilizados en el rollo j (j = 1, 2)

Función Objetivo:

Min (z) = 4X11 + 0X31 + 0X22 + 4X32

Sujeto a:

1. Láminas 2’ * 4’

X11 + 5X31 + 2X22 + 5X32 2000

2. Láminas 4’ * 7’

X11 + 0X31 + X22 + 0X32 1000

3. Cantidad de patrones

X11 + X31 3000/4

X22 + X32 2000/4

4. No negatividad

Xij 0

29

EJERCICIO 17

El real hotel opera los 7 días a la semana. Las mucamas son contratadas para

trabajar seis horas diarias. El contrato colectivo especifica que cada mucama

debe trabajar 5 días consecutivos y descansar 2 días. Todas las mucamas

reciben el mismo sueldo semanal. El real hotel requiere como mínimo las horas

de servicio.

Lunes 150, Martes 200, Miércoles 400, Jueves 300, Viernes 700, Sábado 800 y

Domingo 300. El administrador desea encontrar un plan de programación de

empleos que satisfaga estos requerimientos y a un costo mínimo.

Formule este problema como un modelo de programación lineal.

Solución:

L Ma Mi J V S D L Ma Mi J V

XL

XMa

XMi

XJ

XV

XS

XD

XL

30


Xi = Numero de mucamas que inician a trabajar el día i (i: 1, 2, 3,

4, 5, 6, 7) por 5 días.

1: Lunes, 2: Martes, 3: Miércoles, 4: Jueves, 5: Viernes, 6:

Sábado, 7: Domingo

Función Objetivo.

Min. Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7

Sujeto a:

X4 + X5 + X6 + X7 + X1 X5 + X6 + X7 + X1 + X2 X6 + X7 + X1 + X2 + X3 X7 + X1 + X2 + X3 + X4 X1 + X2 + X3 + X4 + X5 X2 + X3 + X4 + X5 + X6

X3 + X4 + X5 + X6 + X7

Xi 0 i=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

EJERCICIO 18

Panificadora Nacional decide (importar) y vender harina de trigo debido a la

escasez que existe actualmente en el mercado nacional. Posee una bodega

con capacidad de 50,000 sacos (de 50 Kg. Cada uno). El primero de octubre

tenía un inventario inicial de 10,000 sacos y $ 200,000 disponibles. El precio

estimado de harina de trigo por saco para el último trimestre es el siguiente:

MES PRECIO DE

COMPRA ($)

PRECIO DE VENTA

($)

Octubre 28 31

Noviembre 30 32

Diciembre 29 30

31

La harina de trigo se entrega en el mes de compra y no puede ser vendida

hasta el mes siguiente.

La compra y venta se hace estrictamente al contado contra entrega.

La Panificadora Nacional Desea tener un inventario final de 20,000 sacos el

terminar el trimestre como precaución a una posible escasez al inicio del

próximo año.

El gerente le solicita a usted el programa óptimo de compra y venta para el

trimestre.

Solución:

Io = 10000 I1 I2

I3

Io = 200000 D1 D2

D3


Yi = Cantidad de sacos de trigo a vender en el mes i (i: 1, 2, 3)

Xi = Cantidad de sacos de trigo a comprar en el mes i (i: 1, 2, 3)

1: Octubre, 2: Noviembre, 3: Diciembre

Función Objetivo.

Máx. Z = 31Y1 + 32Y2 + 30Y3 - 28X1 - 30X2 - 29X3

Sujeto a:

Inventario

I1 = 10000+X1 - Y1

I2 = I1 + X2 - Y2

20000 ≤ I2 + X3 - Y3

Disponibilidad del dinero

D1 = 200000+31Y1 - 28X1

32

D2 = D1 + 32Y2 - 30X2

D3 = D2 + 30Y3 - 29X3

Y1 ≤ 10000

Y2 ≤ I1

Y3 ≤ I3

I1 ≤ 50000

I2 ≤ 50000

I3 ≤ 50000

Xi ≥ 0; i: 1, 2, 3

EJERCICIO 19

A un estudiante de Ingeniería de Industrial se le pidió que entretuviese a un

visitante de su empresa durante 90 minutos. El pensó que sería una excelente

idea que el huésped se emborrache. Se le dio al estudiante S/. 50, además

sabia que al visitante le gustaba mezclar sus tragos, pero que siempre bebía

menos de 8 vasos de Cerveza, 10 Ginebras, 12 Whiskys y 24 Martinis. El

tiempo que empleaba para beber era 15 minutos por cada vaso de cerveza, 6

minutos por cada vaso de ginebra, 7 y 4 minutos por cada vaso de Whisky y

Martini.

Los precios de la bebida eran:

Cerveza S/. 1 el vaso, Ginebra S/. 2 el vaso, Whisky S/. 2 el vaso, Martini S/. 4

el vaso.

El estudiante pensaba que el objetivo era maximizar el consumo alcohólico

durante los 90 minutos que tenía que entender a su huésped. Logro que un

amigo químico le diese el contenido alcohólico de las bebidas en forma

cuantitativa, siendo las unidades alcohólicas por un vaso de cerveza, Ginebra,

Whisky y Martini, 17, 15, 16 y 7 por vaso respectivamente. El visitante siempre

bebía un mínimo de 2 Whiskys.

¿Cómo resolvió el estudiante el problema?

Solución:

33


Xi = Numero de vaso del tipo i (i: 1, 2, 3, 4)

1: Cerveza

2: Ginebra

3: Whisky

4: Martini

Función Objetivo.

Máx. Z = 17X1 + 15X2 + 16X3 + 7X4

Sujeto a:

X1 + 2X2 + 2X3 + 4X4 50

X1 8

X2 10

X3 12

15X1 + 6X2 + 7X3 + 4X4 9

X1, X2, X3, X4, 0

EJERCICIO 20

Nestle Company está desarrollando una nueva barra de mantequilla de

cacahuate y chocolate. El dulce debe tener al menos 5 gramos de proteínas

por onza de mezcla pero no más de 5 gramos de carbohidratos y 3 gramos de

grasas saturadas. Desarrolle un programa lineal para determinar la cantidad de

cada ingrediente por utilizar que satisfaga los requerimientos nutricionales a un

costo total mínimo, basándose en los siguientes datos:

MANTEQUILLA DE

CACAHUATE (por

CHOCOLATE

34

onza)

Proteínas (gr.) 4.0 0.8

Carbohidratos (gr.) 2.5 1.0

Grasas saturadas

(gr.)

2.0 0.5

Costo por onza $ 0.10 $ 0.18

Solución:


Xi = Onza de i (i: 1, 2) utilizado en una onza de mezcla

1: Mantequilla de cacahuate

2: Chocolate

Función Objetivo.

Máx. Z = 0.10X1 + 0.18X2

Sujeto a:

4X1 + 0.8X2 5

2.5X1 + X2 5(X1 + X2)

2.0X1 + 0.5X2 3(X1 + X2)

X1, X2 0

EJERCICIO 21

La Ferguson tiene limitaciones de tiempo tanto en el Departamento de

Maquinaria asi como en los Departamentos de Inspección, Prueba y ensamble.

La Ferguson Ingeniería S.A. fabrica válvulas de aguja, válvulas de globo y

ensambla un módulo que consta de un bloque maquinado y dos válvulas de

agujas.

35

Recientemente ha obtenido un contrato para ensamblar 200 módulos. El

contrato estipula que por cada módulo que deje de entregar la Ferguson tiene

que pagar una multa de $ 20.

El mercado para las válvulas, aguja y globo se presenta óptimo ya que la

demanda de estos dos productos es bastante grande.

La ganancia por unidad por cada tipo de producto es como sigue:

Válvula aguja $ 10.00

Válvula globo $ 20.00

Módulo $ 60.00

TIEMPO REQUERIDO EN EL DEPARTAMENTO DE MAQUINARIA

(Minutos por unidad)

MAQUINA VALVULA

AGUJA

VALVULA

GLOBO

BLOQUE

MAQUINADO

TIEMPO

DISPONIBLE

(minutos/semana)

Torno 10 15 25 25,000

Fresadora 5 5 10 15,000

TIEMPO REQUERIDO (Minutos por unidad)

MAQUINA VALVULA

AGUJA

VALVULA

GLOBO

MODULO TIEMPO

DISPONIBLE

(minutos/semana)

Inspección 5 5 10 45,000

Ensamblaje - 5 10 45,000

Prueba 5 20 45,000

Solución:

Válvula aguja $ 10.00

Válvula globo $ 20.00

Módulo $ 60.00

36


Xi = Cantidad de productos del tipo i (i: 1, 2, 3) a fabricarse a la

semana.

1: Válvula aguja

2: Válvula globo

3: Módulo

Función Objetivo.

Máx. Z = 10X1 + 20X2 + 60X3

Sujeto a:

10X1 + 15X2 + (25 + 2x10)X3 25000

5X1 + 5X2 + 10X3 15000

5X1 + 5X2 + 10X3 45000

5X2 + 10X3 45000

5X2 + 20X3 45000

X3 300

X1, X2, X3 0

EJERCICIO 22

Un fabricante de muebles desea determinar cuántas mesas, sillas, escritorios y

libreros debe fabricar para optimizar el uso de los recursos disponibles. En

estos productos se utilizar dos tipos de madera diferente y tiene en existencia

1500 pies del primer tipo y 1000 pies del segundo tipo, para hacer el trabajo

total cuenta con 800 horas hombre.

Su pronóstico de ventas mas sus órdenes pendientes de entrega hacen

necesario fabricar no más de 40 mesas, 130 sillas, 30 escritorios y 10 libreros.

Cada mesa, silla, escritorio y librero requieren 5, 1, 9 y 12 pies respectivamente

del primer tipo de madera, 2, 3, 4 y 1 pies del segundo tipo de madera. Una

mesa requiere 3 horas/hombre para ser fabricada, una silla requiere de 2

horas/hombre, 5 horas/hombre un escritorio y 10 horas/hombre el librero.

Solución:

37

Tipo

Muebles

Madera

1

Madera

2

Horas/Hombre Utilidad

Mesas 5 2 3 12

Sillas 1 3 2 5

Escritorios 9 4 5 15

Libreros 12 1 10 10

Existencia

(pies)

1500 1000 800


Xi = Cantidad i (1, 2, 3, 4).

Función Objetivo.

Máx. Z = 12X1 + 5X2 + 15X3 + 10X4

Sujeto a:

5X1 + X2 + 9X3 + 12X4 ≤ 1500

2X1 + 3X2 + 4X3 + X4 ≤ 1000

3X1 + 2X2 + 5X3 + 10X4 ≤ 800

Xi ≥ 0; i: 1, 2, 3, 4

EJERCICIO 23

PETROPERU comercializa gasolina de dos grados: la extra y la normal. Cada

gasolina debe satisfacer ciertas especificaciones, tales como la presión máxima

de vapor aceptable y el octanaje mínimo. Los requerimientos de manufactura

para las gasolinas y el precio por barril se muestran en siguiente cuadro:

Especificaciones de manufactura y precio por barril: PETROPERU

38

Gasolina Octanaje mínimo

(%)

Presión máxima de

vapor (Kg./cm3)

Precio venta (barril)

Normal

Extra

80

100

9

6

S/. 21

S/. 24

Se atizan tres tipos de gasolinas para fabricar las gasolinas normal y extra. Las

características de las gasolinas base se muestran en el siguiente cuadro:

Características de la gasolina base: PETROPERU

Gasolina

base

Octanaj

e

Presión de

vapor

Disponibilidad

máxima

Costo por

barril

Tipo 1

Tipo 2

Tipo 3

108

90

73

4

10

5

32,000

20,000

38,000

S/. 22

S/. 20

S/. 19

PETROPERU se ha comprometido con un comprador a proporcionarle 30,000

barriles de gasolina regular por semana. No se tiene compromisos con

respecto a la gasolina extra. A la compañía le gustaría determinar el plan de

manufactura para las dos clases de gasolina que maximice las utilidades

Solución:

Consideraciones:

1. Se utilizan tres tipos de gasolina base de las cuales se conoce: el

octanaje, presión de vapor, disponibilidad y costo por barril.

2. Para fabricar dos tipos de gasolina a comercializar y que deben

cumplir ciertas especificaciones.

Definición de las variables:

Xij = Numero de barriles de gasolina base tipo i (i: 1, 2, 3) que se

utiliza para fabricar gasolina j (j: N, E) por semana.

39

Función Objetivo.

Máx. Z = 21(X1N + X2N + X3N) + 24(X1E + X2E + X3E) - [22(X1N + X1E) +

20(X2N + X2E) + 19(X3N + X3E)]

Sujeto a:

Octanaje

Normal: 108X1N + 90X2N +73X3N ≥ 80(X1N + X2N + X3N)

Extra: 108X1E + 90X2E + 73X3E ≥ 100(X1E + X2E + X3E)

Presión de vapor:

Normal: 4 X1N + 10X2N + 5 X3N ≤ 9(X1N + X2N + X3N)

Extra: 4 X1E + 10X2E + 5 X3E ≤ 6(X1E + X2E + X3E)

Disponibilidad de gasolina base:

Tipo1: X1N + X1E ≤ 32 000

Tipo2: X2N + X2E ≤ 20 000

Tipo3: X3N + X3E ≤ 38 000

De demanda de gasolina normal:

X1N + X2N + X3N ≥ 30 000

No negatividad:

Xij ≥ 0; i: Tipo 1, Tipo 2, Tipo 3 j: N, E

40

Date post:	24-Jun-2015
Category:	Documents
Upload:	pablo-godinez
View:	2,165 times
Download:	16 times

IO

Documents